Parallel Assoc Book Chap

8/19/2019 Parallel Assoc Book Chap

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E c i e n t P a r a l l e l A l g o r i t h m s f o r M i n i n g

A s s o c i a t i o n s

?

M a h e s h V . J o s h i , E u i - H o n g ( S a m ) H a n , G e o r g e K a r y p i s , a n d V i p i n K u m a r

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a ,

M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 , U S A

f m j o s h i , h a n , k a r y p i s , k u m a r g @ c s . u m n . e d u

A b s t r a c t . T h e p r o b l e m o f m i n i n g h i d d e n a s s o c i a t i o n s p r e s e n t i n t h e

l a r g e a m o u n t s o f d a t a h a s s e e n w i d e s p r e a d a p p l i c a t i o n s i n m a n y p r a c t i -

c a l d o m a i n s s u c h a s c u s t o m e r - o r i e n t e d p l a n n i n g a n d m a r k e t i n g , t e l e c o m -

m u n i c a t i o n n e t w o r k m o n i t o r i n g , a n d a n a l y z i n g d a t a f r o m s c i e n t i c e x -

p e r i m e n t s . T h e c o m b i n a t o r i a l c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m h a s f a s c i n a t e d

m a n y r e s e a r c h e r s . M a n y e l e g a n t t e c h n i q u e s , s u c h a s A p r i o r i , h a v e b e e n

d e v e l o p e d t o s o l v e t h e p r o b l e m o n s i n g l e - p r o c e s s o r m a c h i n e s . H o w e v e r ,

m o s t a v a i l a b l e d a t a s e t s a r e b e c o m i n g e n o r m o u s i n s i z e . A l s o , t h e i r h i g h

d i m e n s i o n a l i t y r e s u l t s i n p o s s i b l y l a r g e n u m b e r o f m i n e d a s s o c i a t i o n s .

T h i s s t r o n g l y m o t i v a t e s t h e n e e d f o r e c i e n t a n d s c a l a b l e p a r a l l e l a l g o -

r i t h m s . T h e d e s i g n o f s u c h a l g o r i t h m s i s c h a l l e n g i n g . I n t h e c h a p t e r , w e

g i v e a e v o l u t i o n a r y a n d c o m p a r a t i v e r e v i e w o f m a n y e x i s t i n g r e p r e s e n -

t a t i v e s e r i a l a n d p a r a l l e l a l g o r i t h m s f o r d i s c o v e r i n g t w o k i n d s o f a s s o -

c i a t i o n s . T h e r s t p a r t o f t h e c h a p t e r i s d e v o t e d t o t h e n o n - s e q u e n t i a l

a s s o c i a t i o n s , w h i c h u t i l i z e t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n e v e n t s t h a t h a p p e n

t o g e t h e r . T h e s e c o n d p a r t i s d e v o t e d t o t h e m o r e g e n e r a l a n d p o t e n -

t i a l l y m o r e u s e f u l s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s , w h i c h u t i l i z e t h e t e m p o r a l o r

s e q u e n t i a l r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n e v e n t s . I t i s s h o w n t h a t m a n y e x i s t i n g

a l g o r i t h m s a c t u a l l y b e l o n g t o a f e w c a t e g o r i e s w h i c h a r e d e c i d e d b y t h e

b r o a d e r d e s i g n s t r a t e g i e s . O v e r a l l t h e f o c u s o f t h e c h a p t e r i s t o s e r v e a s a

c o m p r e h e n s i v e a c c o u n t o f t h e c h a l l e n g e s a n d i s s u e s i n v o l v e d i n e e c t i v e

p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s o f a l g o r i t h m s f o r d i s c o v e r i n g a s s o c i a t i o n s , a n d h o w

v a r i o u s e x i s t i n g a l g o r i t h m s t r y t o h a n d l e t h e m .

?

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y N S F g r a n t A C I - 9 9 8 2 2 7 4 , b y A r m y R e s e a r c h O c e g r a n t

D A / D A A G 5 5 - 9 8 - 1 - 0 4 4 1 , b y A r m y H i g h P e r f o r m a n c e C o m p u t i n g R e s e a r c h C e n t e r

c o o p e r a t i v e a g r e e m e n t n u m b e r D A A H 0 4 - 9 5 - 2 - 0 0 0 3 / c o n t r a c t n u m b e r D A A H 0 4 - 9 5 -

C - 0 0 0 8 , t h e c o n t e n t o f w h i c h d o e s n o t n e c e s s a r i l y r e e c t t h e p o s i t i o n o r t h e p o l i c y o f

t h e g o v e r n m e n t , a n d n o o c i a l e n d o r s e m e n t s h o u l d b e i n f e r r e d . A c c e s s t o c o m p u t i n g

f a c i l i t i e s w a s p r o v i d e d b y A H P C R C , M i n n e s o t a S u p e r c o m p u t e r I n s t i t u t e . R e l a t e d

p a p e r s a r e a v a i l a b l e v i a W W W a t U R L : h t t p : / / w w w . c s . u m n . e d u / ~ k u m a r


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2 J o s h i , H a n , K a r y p i s , a n d K u m a r

s e r i a l A p r i o r i a l g o r i t h m i n d e t a i l , a n d g i v e a c o m p a r a t i v e r e v i e w o f m a n y o t h e r

r e p r e s e n t a t i v e s e r i a l a l g o r i t h m s .

M a n y p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s o f a s s o c i a t i o n r u l e s i n v o l v e h u g e t r a n s a c t i o n

d a t a b a s e s w h i c h c o n t a i n a l a r g e n u m b e r o f d i s t i n c t i t e m s . I n s u c h s i t u a t i o n s ,

t h e s e r i a l a l g o r i t h m s l i k e A p r i o r i r u n n i n g o n s i n g l e - p r o c e s s o r m a c h i n e s m a y t a k e

u n a c c e p t a b l y l a r g e t i m e s . T h i s i s d e s p i t e o f t h e a l g o r i t h m i c i m p r o v e m e n t s p r o -

p o s e d i n m a n y s e r i a l a l g o r i t h m s . T h e p r i m a r y r e a s o n s a r e t h e m e m o r y , C P U

s p e e d , a n d I / O b a n d w i d t h l i m i t a t i o n s f a c e d b y s i n g l e - p r o c e s s o r m a c h i n e s . A s a n

e x a m p l e , i n t h e A p r i o r i a l g o r i t h m , i f t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m s e t s b e c o m e s

t o o l a r g e , t h e n t h e y m i g h t n o t a l l t i n t h e m a i n m e m o r y , a n d m u l t i p l e d a t a b a s e

p a s s e s w o u l d b e r e q u i r e d w i t h i n e a c h i t e r a t i o n , i n c u r r i n g e x p e n s i v e I / O c o s t .

T h i s i m p l i e s t h a t , e v e n w i t h t h e h i g h l y e e c t i v e p r u n i n g m e t h o d o f A p r i o r i , t h e

t a s k o f n d i n g a l l a s s o c i a t i o n r u l e s c a n r e q u i r e a l o t o f c o m p u t a t i o n a l a n d m e m -

o r y r e s o u r c e s , e s p e c i a l l y w h e n t h e d a t a i s e n o r m o u s a n d h i g h d i m e n s i o n a l ( l a r g e

n u m b e r o f d i s t i n c t i t e m s ) . T h i s i s t r u e o f m o s t o f t h e o t h e r s e r i a l a l g o r i t h m s a s

w e l l . T h i s m o t i v a t e s t h e d e v e l o p m e n t o f p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s .

C o m p u t a t i o n a l w o r k i n a s s o c i a t i o n r u l e d i s c o v e r y c o n s i s t s o f c a n d i d a t e g e n -

e r a t i o n a n d c o u n t i n g t h e i r o c c u r r e n c e s , a n d t h e m e m o r y r e q u i r e m e n t s c o m e f r o m

s t o r i n g t h e c a n d i d a t e s g e n e r a t e d . I n o r d e r t o e x t r a c t c o n c u r r e n c y , t h e c o m p u -

t a t i o n a l w o r k a n d t h e m e m o r y r e q u i r e m e n t s n e e d t o d i s t r i b u t e d a m o n g a l l t h e

a v a i l a b l e p r o c e s s o r s . I n t h i s c h a p t e r , w e d i s c u s s t h e p r o s a n d c o n s o f d i e r e n t

w o r k a n d m e m o r y d i s t r i b u t i o n a p p r o a c h e s b y s t u d y i n g v a r i o u s p a r a l l e l f o r m u -

l a t i o n s o f t h e A p r i o r i - l i k e a l g o r i t h m s i n a n e v o l u t i o n a r y m a n n e r . M o s t e x i s t i n g

p a r a l l e l a l g o r i t h m s c a n b e c l a s s i e d b a s e d o n h o w t h e c a n d i d a t e s a r e d i s t r i b u t e d

a m o n g p r o c e s s o r s . W e g i v e d e t a i l s o f t h e r e p r e s e n t a t i v e a l g o r i t h m s 1 2 , 1 3 , 5 , 1 4 ,

1 5 , 9 ] , a n d b r i e y r e v i e w f e w o t h e r p a r a l l e l i z a t i o n s t r a t e g i e s 1 6 , 1 7 ] .

T h e c o n c e p t o f a s s o c i a t i o n r u l e s c a n b e g e n e r a l i z e d a n d m a d e m o r e u s e f u l b y

o b s e r v i n g a n o t h e r f a c t a b o u t t r a n s a c t i o n s . A l l t r a n s a c t i o n s h a v e a t i m e s t a m p

a s s o c i a t e d w i t h t h e m ; i . e . t h e t i m e a t w h i c h t h e t r a n s a c t i o n o c c u r r e d . I f t h i s

i n f o r m a t i o n c a n b e p u t t o u s e , o n e c a n n d r e l a t i o n s h i p s s u c h a s " i f a n i t e m

A w a s b o u g h t b y a c u s t o m e r , t h e n h e / s h e i s l i k e l y t o b u y a n i t e m B i n a f e w

d a y s t i m e " . T h e u s e f u l n e s s o f t h i s k i n d o f r u l e s g a v e b i r t h t o t h e p r o b l e m o f

d i s c o v e r i n g s e q u e n t i a l p a t t e r n s o r s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s .

I n g e n e r a l , t h e d a t a c a n b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f o b j e c t s a n d e v e n t s h a p -

p e n i n g o n t h e s e o b j e c t s . A s a n e x a m p l e , a c u s t o m e r c a n b e a n o b j e c t a n d i t e m s

b o u g h t b y h i m / h e r c a n b e t h e e v e n t s . I n e x p e r i m e n t s f r o m m o l e c u l a r b i o l o g y , a n

o r g a n i s m o r i t s c h r o m o s o m e c a n b e a n o b j e c t a n d i t s b e h a v i o r o b s e r v e d u n d e r

v a r i o u s c o n d i t i o n s c a n f o r m e v e n t s . I n a t e l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k , s w i t c h e s

c a n b e o b j e c t s a n d a l a r m s h a p p e n i n g o n t h e m c a n b e e v e n t s . T h e e v e n t s h a p -

p e n i n g i n s u c h d a t a a r e r e l a t e d t o e a c h o t h e r v i a t h e t e m p o r a l r e l a t i o n s h i p s o f

t o g e t h e r a n d b e f o r e ( o r a f t e r ) . T h e a s s o c i a t i o n r u l e s u t i l i z e o n l y t h e t o g e t h e r p a r t

o f t h e r e l a t i o n s h i p . T h e c o n c e p t w a s e x t e n d e d t o t h e d i s c o v e r y o f s e q u e n t i a l p a t -

t e r n s 1 8 ] o r e p i s o d e s 1 9 ] , w h i c h t a k e i n t o a c c o u n t t h e s e q u e n t i a l ( b e f o r e / a f t e r )

r e l a t i o n s h i p a s w e l l . T h e f o r m u l a t i o n i n 1 8 ] w a s m o t i v a t e d b y t h e s u p e r m a r k e t

t r a n s a c t i o n d a t a , a n d t h e o n e i n 1 9 ] w a s m o t i v a t e d b y t h e t e l e c o m m u n i c a t i o n


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P a r a l l e l A l g o r i t h m s f o r D i s c o v e r i n g A s s o c i a t i o n s 3

a l a r m d a t a . A u n i e d a n d g e n e r a l i z e d f o r m u l a t i o n o f s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s i s

p r o p o s e d i n 2 0 ] .

T h e s e q u e n t i a l n a t u r e o f t h e d a t a , d e p i c t e d b y t h e b e f o r e / a f t e r r e l a t i o n s h i p s ,

i s i m p o r t a n t f r o m t h e d i s c o v e r y p o i n t o f v i e w a s i t c a n b e u s e d t o d i s c o v e r m o r e

p o w e r f u l a n d p r e d i c t i v e a s s o c i a t i o n s , b u t i t i s a l s o i m p o r t a n t f r o m t h e a l g o r i t h -

m i c p o i n t o f v i e w a s i t i n c r e a s e s t h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m e n o r m o u s l y .

T h e t o t a l n u m b e r o f p o s s i b l e s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s i s m u c h l a r g e r t h a n n o n -

s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s . V a r i o u s f o r m u l a t i o n s a n d a l g o r i t h m s p r o p o s e d s o f a r 1 8 ,

1 9 , 2 1 , 2 2 , 2 0 ] , t r y t o c o n t a i n t h e c o m p l e x i t y b y i m p o s i n g v a r i o u s t e m p o r a l c o n -

s t r a i n t s , a n d b y u s i n g t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e s u p p o r t c r i t e r i o n a s t h e n u m b e r

o f e v e n t s i n t h e a s s o c i a t i o n i n c r e a s e s . T h e e n o r m i t y a n d h i g h d i m e n s i o n a l i t y

o f d a t a c a n m a k e t h e s e a l g o r i t h m s c o m p u t a t i o n a l l y v e r y e x p e n s i v e , e s p e c i a l l y

b e c a u s e o f t h e m o r e c o m p l e x n a t u r e o f s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s ; a n d h e n c e , t h e

n e e d f o r e c i e n t p a r a l l e l a l g o r i t h m s i s e v e n m o r e a s c o m p a r e d n o n - s e q u e n t i a l

a s s o c i a t i o n s . I n m a n y s i t u a t i o n s , t h e t e c h n i q u e s u s e d i n p a r a l l e l a l g o r i t h m s f o r

d i s c o v e r i n g s t a n d a r d n o n - s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s c a n b e e x t e n d e d e a s i l y t o d i s -

c o v e r s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s . H o w e v e r , d i e r e n t i s s u e s a n d c h a l l e n g e s a r i s e d u e

t o t h e s e q u e n t i a l n a t u r e o f t h e a s s o c i a t i o n s a n d t h e w a y i n w h i c h i n t e r e s t i n g

a s s o c i a t i o n s a r e d e n e d ( c o u n t i n g s t r a t e g i e s ) . I n t h e n a l p a r t o f t h i s c h a p t e r ,

w e d i s c u s s a l l t h e s e i s s u e s a n d c h a l l e n g e s , a n d a f e w p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s f o r

r e s o l v i n g t h e m .

T h e r e s t o f t h i s c h a p t e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 p r o v i d e s a n o v e r v i e w

o f t h e s e r i a l a l g o r i t h m s f o r m i n i n g a s s o c i a t i o n r u l e s . S e c t i o n 3 d e s c r i b e s p a r a l -

l e l a l g o r i t h m s f o r n d i n g a s s o c i a t i o n r u l e s . S e c t i o n 4 c o n t a i n s a d e s c r i p t i o n o f

a g e n e r a l i z e d f o r m u l a t i o n o f s e q u e n t i a l a s s o c i a t i o n s a n d p a r a l l e l a l g o r i t h m s t o

d i s c o v e r t h e m . S e c t i o n 5 s u m m a r i z e s t h e c h a p t e r .

2 S e r i a l a l g o r i t h m s f o r a s s o c i a t i o n r u l e d i s c o v e r y

2 . 1 A p r i o r i A l g o r i t h m

L e t T b e t h e s e t o f t r a n s a c t i o n s w h e r e e a c h t r a n s a c t i o n i s a s u b s e t o f t h e i t e m s e t

I . L e t C b e a s u b s e t o f I , t h e n w e d e n e t h e s u p p o r t c o u n t o f C w i t h r e s p e c t t o

T t o b e :

( C ) = j f t j t 2 T ; C t g j :

T h u s ( C ) i s t h e n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s t h a t c o n t a i n C . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r

a s e t o f t r a n s a c t i o n s f r o m s u p e r m a r k e t a s s h o w n i n T a b l e 1 . T h e i t e m s s e t I f o r

t h e s e t r a n s a c t i o n s i s f B r e a d , B e e r , C o k e , D i a p e r , M i l k g . T h e s u p p o r t c o u n t o f

f D i a p e r , M i l k g i s ( D i a p e r ; M i l k ) = 3 , w h e r e a s ( D i a p e r ; M i l k ; B e e r ) = 2 .

A n a s s o c i a t i o n r u l e i s a n e x p r e s s i o n o f t h e f o r m X

s ;

= ) Y , w h e r e X I

a n d Y I . T h e s u p p o r t s o f t h e r u l e X

s ;

= ) Y i s d e n e d a s ( X Y ) = j T j ,

a n d t h e c o n d e n c e i s d e n e d a s ( X Y ) = ( X ) . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a

r u l e f D i a p e r , M i l k g = ) f B e e r g , i . e . p r e s e n c e o f d i a p e r a n d m i l k i n a t r a n s -

a c t i o n t e n d s t o i n d i c a t e t h e p r e s e n c e o f b e e r i n t h e t r a n s a c t i o n . T h e s u p p o r t

o f t h i s r u l e i s ( D i a p e r ; M i l k ; B e e r ) = 5 = 4 0 % . T h e c o n d e n c e o f t h i s r u l e i s


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T a b l e 1 . T r a n s a c t i o n s f r o m s u p e r m a r k e t .

T I D I t e m s

1 B r e a d , C o k e , M i l k

2 B e e r , B r e a d

3 B e e r , C o k e , D i a p e r , M i l k

4 B e e r , B r e a d , D i a p e r , M i l k

5 C o k e , D i a p e r , M i l k

( D i a p e r ; M i l k ; B e e r ) = ( D i a p e r ; M i l k ) = 6 6 % . A r u l e t h a t h a s a v e r y h i g h

c o n d e n c e ( i . e . , c l o s e t o 1 . 0 ) i s o f t e n v e r y i m p o r t a n t , b e c a u s e i t p r o v i d e s a n a c -

c u r a t e p r e d i c t i o n o n t h e a s s o c i a t i o n o f t h e i t e m s i n t h e r u l e . T h e s u p p o r t o f a

r u l e i s a l s o i m p o r t a n t , s i n c e i t i n d i c a t e s h o w f r e q u e n t t h e r u l e i s i n t h e t r a n s a c -

t i o n s . R u l e s t h a t h a v e v e r y s m a l l s u p p o r t a r e o f t e n u n i n t e r e s t i n g , s i n c e t h e y d o

n o t d e s c r i b e s i g n i c a n t l y l a r g e p o p u l a t i o n s . T h i s i s o n e o f t h e r e a s o n s w h y m o s t

a l g o r i t h m s 3 , 2 3 , 5 ] d i s r e g a r d a n y r u l e s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e m i n i m u m s u p -

p o r t c o n d i t i o n s p e c i e d b y t h e u s e r . T h i s l t e r i n g d u e t o t h e m i n i m u m r e q u i r e d

s u p p o r t i s a l s o c r i t i c a l i n r e d u c i n g t h e n u m b e r o f d e r i v e d a s s o c i a t i o n r u l e s t o

a m a n a g e a b l e s i z e . N o t e t h a t t h e t o t a l n u m b e r o f p o s s i b l e r u l e s i s p r o p o r t i o n a l

t o t h e n u m b e r o f s u b s e t s o f t h e i t e m s e t I , w h i c h i s 2

j I j

. H e n c e t h e l t e r i n g i s

a b s o l u t e l y n e c e s s a r y i n m o s t p r a c t i c a l s e t t i n g s .

T h e t a s k o f d i s c o v e r i n g a n a s s o c i a t i o n r u l e i s t o n d a l l r u l e s X

s ;

= ) Y , s u c h

t h a t s i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o a g i v e n m i n i m u m s u p p o r t t h r e s h o l d a n d i s

g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o a g i v e n m i n i m u m c o n d e n c e t h r e s h o l d . T h e a s s o c i a t i o n

r u l e d i s c o v e r y i s c o m p o s e d o f t w o s t e p s . T h e r s t s t e p i s t o d i s c o v e r a l l t h e

f r e q u e n t i t e m s e t s ( c a n d i d a t e s e t s t h a t h a v e m o r e s u p p o r t t h a n t h e m i n i m u m

s u p p o r t t h r e s h o l d s p e c i e d ) . T h e s e c o n d s t e p i s t o g e n e r a t e a s s o c i a t i o n r u l e s

f r o m t h e s e f r e q u e n t i t e m s e t s . T h e c o m p u t a t i o n o f n d i n g t h e f r e q u e n t i t e m s e t s

i s m u c h m o r e e x p e n s i v e t h a n n d i n g t h e r u l e s f r o m t h e s e f r e q u e n t i t e m s e t s .

H e n c e i n t h i s c h a p t e r , w e o n l y f o c u s o n t h e r s t s t e p .

A n u m b e r o f s e r i a l a l g o r i t h m s h a v e b e e n d e v e l o p e d f o r d i s c o v e r i n g f r e q u e n t

i t e m s e t s . W e w i l l g i v e a b r i e f r e v i e w o f m a n y o f t h e m l a t e r i n s e c t i o n 2 . 2 . T h e

p r i m a r y p a r a l l e l a l g o r i t h m s d i s c u s s e d i n t h i s c h a p t e r a r e b a s e d o n t h e A p r i o r i

a l g o r i t h m 3 ] . W e d e s c r i b e i t b r i e y i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n .

T h e h i g h l e v e l s t r u c t u r e o f t h e A p r i o r i a l g o r i t h m i s g i v e n i n F i g u r e 1 . T h e

A p r i o r i a l g o r i t h m c o n s i s t s o f a n u m b e r o f p a s s e s . I n i t i a l l y F

1

c o n t a i n s a l l t h e

i t e m s ( i . e . , i t e m s e t o f s i z e o n e ) t h a t s a t i s f y t h e m i n i m u m s u p p o r t r e q u i r e m e n t .

D u r i n g p a s s k , t h e a l g o r i t h m n d s t h e s e t o f f r e q u e n t i t e m s e t s F

k

o f s i z e k t h a t

s a t i s f y t h e m i n i m u m s u p p o r t r e q u i r e m e n t . T h e a l g o r i t h m t e r m i n a t e s w h e n F

k

i s

e m p t y . I n e a c h p a s s , t h e a l g o r i t h m r s t g e n e r a t e s C

k

, t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s o f

s i z e k . F u n c t i o n a p r i o r i g e n ( F

k 1

) c o n s t r u c t s C

k

b y e x t e n d i n g f r e q u e n t i t e m s e t s

o f s i z e k 1 . T h i s e n s u r e s t h a t a l l t h e s u b s e t s o f s i z e k 1 o f a n e w c a n d i d a t e

i t e m s e t a r e i n F

k 1

. O n c e t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s a r e f o u n d , t h e i r f r e q u e n c i e s a r e

c o m p u t e d b y c o u n t i n g h o w m a n y t r a n s a c t i o n s c o n t a i n t h e s e c a n d i d a t e i t e m s e t s .


6/41


F i n a l l y , F

k

i s g e n e r a t e d b y p r u n i n g C

k

t o e l i m i n a t e i t e m s e t s w i t h f r e q u e n c i e s

s m a l l e r t h a n t h e m i n i m u m s u p p o r t . T h e u n i o n o f t h e f r e q u e n t i t e m s e t s ,

S

F

k

,

i s t h e f r e q u e n t i t e m s e t s f r o m w h i c h w e g e n e r a t e a s s o c i a t i o n r u l e s .

1 F

1

= f f r e q u e n t 1 - i t e m s e t s g ;

2 f o r ( k = 2 ; F

k 1

6= ; k + + ) f

3 C

k

= a p r i o r i g e n ( F

k 1

)

4 f o r a l l t r a n s a c t i o n s t 2 T f

5 . s u b s e t ( C

k

, t )

6 g

7 F

k

= f c 2 C

k

j c . c o u n t m i n s u p g

8 g

9 . A n s w e r =

S

F

k

F i g . 1 . A p r i o r i A l g o r i t h m

C o m p u t i n g t h e c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s i s t h e m o s t c o m p u t a t i o n a l l y

e x p e n s i v e s t e p o f t h e a l g o r i t h m . O n e n a i v e w a y t o c o m p u t e t h e s e c o u n t s i s t o

p e r f o r m s t r i n g - m a t c h i n g o f e a c h t r a n s a c t i o n a g a i n s t e a c h c a n d i d a t e i t e m s e t . A

f a s t e r w a y o f p e r f o r m i n g t h i s o p e r a t i o n i s t o u s e a c a n d i d a t e h a s h t r e e i n w h i c h

t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s a r e h a s h e d 3 ] . H e r e w e e x p l a i n t h i s v i a a n e x a m p l e t o

f a c i l i t a t e t h e d i s c u s s i o n s o f p a r a l l e l a l g o r i t h m s a n d t h e i r a n a l y s i s .

F i g u r e 2 s h o w s o n e e x a m p l e o f t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e w i t h c a n d i d a t e s o f s i z e

3 . T h e i n t e r n a l n o d e s o f t h e h a s h t r e e h a v e h a s h t a b l e s t h a t c o n t a i n l i n k s t o c h i l d

n o d e s . T h e l e a f n o d e s c o n t a i n t h e c a n d i d a t e i t e m s e t s . A h a s h t r e e o f c a n d i d a t e

i t e m s e t s i s c o n s t r u c t e d a s f o l l o w s . I n i t i a l l y , t h e h a s h t r e e c o n t a i n s o n l y a r o o t

n o d e , w h i c h i s a l e a f n o d e c o n t a i n i n g n o c a n d i d a t e i t e m s e t . W h e n e a c h c a n d i d a t e

i t e m s e t i s g e n e r a t e d , t h e i t e m s i n t h e s e t a r e s t o r e d i n s o r t e d o r d e r . N o t e t h a t

s i n c e C

1

a n d F

1

a r e c r e a t e d i n s o r t e d o r d e r , e a c h c a n d i d a t e s e t i s g e n e r a t e d

i n s o r t e d o r d e r w i t h o u t a n y n e e d f o r e x p l i c i t s o r t i n g . E a c h c a n d i d a t e i t e m s e t

i s i n s e r t e d i n t o t h e h a s h t r e e b y h a s h i n g e a c h s u c c e s s i v e i t e m a t t h e i n t e r n a l

n o d e s a n d t h e n f o l l o w i n g t h e l i n k s i n t h e h a s h t a b l e . O n c e a l e a f i s r e a c h e d , t h e

c a n d i d a t e i t e m s e t i s i n s e r t e d a t t h e l e a f i f t h e t o t a l n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m s e t s

a r e l e s s t h a n t h e m a x i m u m a l l o w e d . I f t h e t o t a l n u m b e r o f c a n d i d a t e i t e m s e t s a t

t h e l e a f e x c e e d s t h e m a x i m u m a l l o w e d a n d t h e d e p t h o f t h e l e a f i s l e s s t h a n k ,

t h e l e a f n o d e i s c o n v e r t e d i n t o a n i n t e r n a l n o d e a n d c h i l d n o d e s a r e c r e a t e d f o r

t h e n e w i n t e r n a l n o d e . T h e c a n d i d a t e i t e m s e t s a r e d i s t r i b u t e d t o t h e c h i l d n o d e s

a c c o r d i n g t o t h e h a s h v a l u e s o f t h e i t e m s . F o r e x a m p l e , t h e c a n d i d a t e i t e m s e t

f 1 2 4 g i s i n s e r t e d b y h a s h i n g i t e m 1 a t t h e r o o t t o r e a c h t h e l e f t c h i l d n o d e o f

t h e r o o t , h a s h i n g i t e m 2 a t t h a t n o d e t o r e a c h t h e m i d d l e c h i l d n o d e , h a s h i n g

i t e m 3 t o r e a c h t h e l e f t c h i l d n o d e w h i c h i s a l e a f n o d e .


7/41


2,5,8

1,4,7 3,6,9

Hash Function

1 2 3 5 6

3 4 5 3 5 6

2 3 5 6

3 5 6

5 6

1 +

2 +

3 +

2 3 4

Transaction

Candidate Hash Tree

3 6 71 3 61 4 5

1 2 4 1 2 5 1 5 9

6 8 9

3 5 7

4 5 7 4 5 8

3 6 8

5 6 7

F i g . 2 . S u b s e t o p e r a t i o n o n t h e r o o t o f a c a n d i d a t e h a s h t r e e .


8/41


9/41


n u m b e r o f l e a f n o d e s i n h a s h t r e e g r o w s l a r g e r , t h e r u n t i m e g e t s d o m i n a t e d

m o r e b y N

C

k

.

2 . 2 O t h e r S e r i a l A l g o r i t h m s

I n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n , w e d e s c r i b e d A p r i o r i , o n e o f t h e r s t a n d m o s t p o p u -

l a r a l g o r i t h m s f o r g e n e r a t i n g f r e q u e n t i t e m s e t s . T h e r e a r e m a n y o t h e r a l g o r i t h m s

p r o p o s e d a f t e r t h e c o n c e p t i o n o f A p r i o r i . W e w i l l b r i e y d e s c r i b e s o m e r e p r e s e n -

t a t i v e a l g o r i t h m s f r o m t h e l o t , n a m e l y D H P 4 ] , T r e e P r o j e c t i o n a l g o r i t h m s 9 ,

1 0 ] , P A R T I T I O N 5 ] , t h e s a m p l i n g - b a s e d a l g o r i t h m s 6 ] , a f a m i l y o f a l g o r i t h m s

p r o p o s e d i n 7 ] , t h e D I C a l g o r i t h m 8 ] , a n d t h e F P - t r e e b a s e d a l g o r i t h m 1 1 ] .

A l l t h e a l g o r i t h m s u s e t h e m o n o t o n e p r o p e r t y o f t h e i t e m s e t s u p p o r t i n s o m e

w a y . A s s t a t e d e a r l i e r , t h i s p r o p e r t y i m p l i e s t h a t a k - i t e m s e t i s f r e q u e n t o n l y i f a l l

o f i t s ( k 1 ) - s u b i t e m s e t s a r e f r e q u e n t . T h e s e t s o f i t e m s c a n b e v i s u a l i z e d t o f o r m

a l a t t i c e . E s s e n t i a l l y , a l l t h e a l g o r i t h m s t r a v e r s e t h i s i t e m s e t l a t t i c e . D i e r e n t

w a y s o f u s i n g t h e m o n o t o n e p r o p e r t y r e s u l t i n d i e r e n t w a y s o f t r a v e r s a l , a n d

t h a t r e e c t s i n t h e p e r f o r m a n c e . A n o t h e r d i m e n s i o n w h e r e a l g o r i t h m s d i e r i s

t h e w a y t h e y h a n d l e t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e ; i . e . h o w m a n y p a s s e s t h e y m a k e

o v e r t h e e n t i r e d a t a b a s e a n d h o w t h e y r e d u c e t h e s i z e o f t h e p r o c e s s e d d a t a b a s e

i n e a c h p a s s . W i t h t h e s e p o i n t s i n m i n d , w e p r e s e n t a c o m p a r a t i v e s u m m a r y o f

a l l t h e a l g o r i t h m s .

A c l a s s o f a l g o r i t h m s g e n e r a t e c a n d i d a t e k - i t e m s e t s f r o m f r e q u e n t ( k 1 ) -

i t e m s e t s . T h e s e a r e c a l l e d l e v e l - w i s e a l g o r i t h m s . T h e A p r i o r i , D H P , a n d b r e a d t h -

r s t T r e e P r o j e c t i o n a l g o r i t h m s m a k e a p a s s o v e r t h e e n t i r e d a t a b a s e a t e v e r y

l e v e l o f t h e a l g o r i t h m . T h e y d i e r i n t h e w a y s t h e y o p t i m i z e o n t h e n u m b e r o f

c a n d i d a t e s g e n e r a t e d , a n d t h e w a y s t h a t m a k e t h e c o u n t i n g p h a s e e c i e n t .

D H P ( d i r e c t h a s h i n g a n d p r u n i n g ) a l g o r i t h m i m p r o v e s u p o n t h e A p r i o r i a l g o -

r i t h m i n t w o w a y s . F i r s t , i t r e d u c e s t h e c a n d i d a t e s p a c e b y l o o k i n g a h e a d i n t h e

t r a n s a c t i o n s f o r p o t e n t i a l l y f r e q u e n t ( k + 1 ) - i t e m s e t s w h i l e c o u n t i n g c a n d i d a t e

k - i t e m s e t s . T h i s i s a c h i e v e d b y h a s h i n g a l l p o t e n t i a l l y f r e q u e n t ( k + 1 ) - s u b s e t s

o f e a c h t r a n s a c t i o n t o a c o m m o n h a s h t a b l e , a n d u s i n g t h i s h a s h t a b l e t o p r u n e

s o m e ( k + 1 ) c a n d i d a t e s w i t h o u t c o u n t i n g t h e m . T h e a l g o r i t h m , h o w e v e r , m u s t

b a l a n c e t h e t r a d e - o b e t w e e n t h e s i z e o f t h e h a s h t a b l e a n d i t s e e c t i v e n e s s i n

a g g r e s s i v e p r u n i n g . T h e s e c o n d f a c t o r w h i c h a l l o w s D H P t o i m p r o v e u p o n A p r i -

o r i , i s i t s i d e a o f t r a n s a c t i o n t r i m m i n g . W h i l e c o u n t i n g a t l e v e l k , e a c h i t e m i n

a t r a n s a c t i o n i s c h e c k e d f o r w h e t h e r i t a p p e a r s i n a t l e a s t k d i e r e n t c a n d i d a t e

k - i t e m s e t s . I f i t d o e s n o t , t h e n i t w i l l n o t b e p r e s e n t i n a n y s u b s e q u e n t c a n d i d a t e

j - i t e m s e t s ( j > k ) , a n d h e n c e i t c a n b e r e m o v e d f r o m t h e t r a n s a c t i o n . S i m i l a r l y ,

w h i l e p r e p a r i n g t h e h a s h t a b l e a t l e v e l k , i f a n i t e m d o e s n o t a p p e a r i n a n y o f

t h e ( k + 1 ) - i t e m s e t s b e i n g h a s h e d , t h e n i t c a n b e r e m o v e d f r o m t h e t r a n s a c t i o n .

I f t h e h a s h i n g s c h e m e i s e e c t i v e i n p r u n i n g m a n y c a n d i d a t e s a t a n e a r l y l e v e l ,

t h e n t h i s t r a n s a c t i o n t r i m m i n g s c h e m e r e d u c e s t h e a c t i v e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e

s i z e s u b s t a n t i a l l y , w h i c h i n t u r n c a n r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n t i m e s p e n t p e r

t r a n s a c t i o n .

T r e e P r o j e c t i o n a l g o r i t h m s a c h i e v e c a n d i d a t e s p a c e p r u n i n g a s w e l l a s c o u n t -

i n g e c i e n c y b y c o m b i n i n g a n o v e l i d e a o f r e p r e s e n t i n g t h e c a n d i d a t e s i n a l e x -


10/41


i c o g r a p h i c t r e e s t r u c t u r e w i t h a w a y o f r e d u c i n g t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e s i z e

i n e v e r y p a s s b y p r o j e c t i n g t h e t r a n s a c t i o n s o n t o t h i s l e x i c o g r a p h i c t r e e . T h e

l e x i c o g r a p h i c t r e e i s a n a l t e r n a t i v e s y s t e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i t e m s e t l a t -

t i c e . E a c h n o d e i n t h e t r e e i s a s s o c i a t e d w i t h a n i t e m s e t a n d a s e t o f i t s p o s s i b l e

e x t e n s i o n s . A n o d e c a n b e e x t e n d e d o n l y b y a n i t e m t h a t i s l e x i c o g r a p h i c a l l y

l a r g e r a n d a p p e a r s a s a n e x t e n s i o n o f t h e i t s p a r e n t . A l i s t o f a c t i v e i t e m s i s k e p t

a t e a c h n o d e . A l s o , t h e e x t e n s i o n s o f e a c h n o d e a r e m a r k e d a c t i v e o r i n a c t i v e .

T h e a c t i v e i t e m l i s t i s u s e d t o p r o j e c t a t r a n s a c t i o n o n t o t h e n o d e , a n d t h i s

p r o j e c t e d t r a n s a c t i o n n e e d s t o o w d o w n o n l y t h e a c t i v e e x t e n s i o n s . T h e i d e a i s ,

o n l y t h o s e i t e m s i n a t r a n s a c t i o n p e r c o l a t e d o w n t h e t r e e t h a t c a n p o t e n t i a l l y b e

u s e f u l i n e x t e n d i n g t h e t r e e b y o n e m o r e l e v e l . W i t h e v e r y p a s s o f t h e a l g o r i t h m ,

m a n y e x t e n s i o n s b e c o m e p r o g r e s s i v e l y i n a c t i v e , w h i c h i n t u r n r e s u l t s i n r e d u c -

t i o n o f a c t i v e i t e m l i s t s i z e s a t a l l n o d e s . T h i s y i e l d s t h e a l g o r i t h m i t s e c i e n c y

i n c o u n t i n g p h a s e a s w e l l a s h e l p s i t i n p o s s i b l y p r u n i n g t h e c a n d i d a t e s p a c e

m o r e a g g r e s s i v e l y a s c o m p a r e d t o A p r i o r i o r D H P . T h e c o n c e p t o f p r o j e c t i o n

c a n b e t h o u g h t o f a s a m o r e g e n e r a l i z e d f o r m o f t r a n s a c t i o n t r i m m i n g u s e d i n

D H P . A l s o , t h e c o n c e p t o f a c t i v e i t e m s a n d a c t i v e e x t e n s i o n s e e c t i v e l y r e n d e r

t h e l e x i c o g r a p h i c t r e e a s a c o m p a c t , d y n a m i c v e r s i o n o f t h e h a s h - t r e e s t r u c t u r e s

u s e d i n A p r i o r i .

T h e P A R T I T I O N a n d s a m p l i n g - b a s e d a l g o r i t h m s 6 ] a r e l e v e l - w i s e , b u t o n l y

o n a s m a l l p o r t i o n o f t h e e n t i r e d a t a b a s e . I n f a c t , u s e o f s m a l l e r s u b s e t s o f

d a t a b a s e a l l o w s t h e m t o o p t i m i z e t h e d a t a b a s e p e r f o r m a n c e b y m a k i n g a t m o s t

t w o p a s s e s o v e r t h e e n t i r e d a t a b a s e .

P A R T I T I O N a l g o r i t h m t a k e s t h e i d e a o f s u p p o r t m o n o t o n i c i t y f u r t h e r . I t

p a r t i t i o n s t h e d a t a b a s e i n t o m u l t i p l e p a r t s , a n d o b s e r v e s t h a t i f a n i t e m s e t i s

f r e q u e n t i n t h e e n t i r e d a t a b a s e t h e n i t i s f r e q u e n t i n a t l e a s t o n e o f t h e p a r t i t i o n s ,

w h e n t h e f r e q u e n c y i s c o m p u t e d r e l a t i v e t o t h e p a r t i t i o n s i z e . T h i s o b s e r v a t i o n

i s u s e d t o p r u n e t h e p o t e n t i a l f r e q u e n t i t e m s e t s b y c o u n t i n g t h e c a n d i d a t e s i n

s m a l l e r l o c a l p a r t i t i o n s . A l e v e l - w i s e a l g o r i t h m i s e m p l o y e d t o g e n e r a t e a l l l o -

c a l l y f r e q u e n t i t e m s e t s . A l l s u c h i t e m s e t s a r e g a t h e r e d a n d t h e i r g l o b a l c o u n t s

a r e c o l l e c t e d i n a s e c o n d p a s s o v e r t h e d a t a b a s e . T h u s , o n l y t w o d a t a b a s e p a s s e s

a r e n e e d e d . I n o r d e r t o a c h i e v e t r u e g a i n i n p e r f o r m a n c e , t h e a l g o r i t h m h a s t o

m i n i m i z e t h e e e c t o f d a t a s k e w a c r o s s p a r t i t i o n s b y r a n d o m i z i n g t h e p a r t i t i o n -

i n g s c h e m e . I t a l s o h a s t o t a k e c a r e o f t h e t r a d e - o b e t w e e n t h e p a r t i t i o n s i z e

a n d n u m b e r o f p a r t i t i o n s . F i n d i n g l o c a l l y l a r g e i t e m s e t s i n s m a l l e r p a r t i t i o n s i s

q u i c k , b u t t h e l o w e r a m o u n t o f i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e i n s m a l l e r p a r t i t i o n s a l s o

t e n d s t o g i v e r i s e t o m a n y f a l s e p o s i t i v e s b e c a u s e t h e s u p p o r t i s c o u n t e d w i t h

r e s p e c t t h e i r s m a l l s i z e . T h e P A R T I T I O N a l g o r i t h m h a s o n e m o r e n o v e l f e a t u r e

a s c o m p a r e d t o A p r i o r i , w h i c h c a n p o t e n t i a l l y a c c e l e r a t e t h e c o u n t i n g p h a s e . I t

u s e s v e r t i c a l d a t a l a y o u t i n w h i c h i n s t e a d o f s t o r i n g a l i s t o f i t e m s f o r e a c h t r a n s -

a c t i o n ( h o r i z o n t a l l a y o u t a s u s e d i n A p r i o r i ) , i t s t o r e s t h e t i d - l i s t o f t r a n s a c t i o n

i d s f o r e a c h i t e m . I t i s m a d e s u r e t h a t t h e s i z e o f e a c h p a r t i t i o n i s s u c h t h a t

a l l t h e r e q u i r e d t i d - l i s t s i n a p a r t i t i o n t i n t h e m a i n m e m o r y . T h i s a l l o w s t h e

i t e m s e t s u p p o r t c o u n t i n g t o b e p e r f o r m e d e c i e n t l y b y i n t e r s e c t i n g t h e t i d - l i s t s

o f i t s i n d i v i d u a l i t e m s .


11/41

1 0 J o s h i , H a n , K a r y p i s , a n d K u m a r

T h e s a m p l i n g - b a s e d a l g o r i t h m s p r o p o s e d i n 6 ] u s e a r a n d o m l y s a m p l e d p a r -

t i t i o n o f t h e d a t a b a s e t o n d l o c a l l y f r e q u e n t i t e m s e t s i n t h a t p a r t i t i o n . T h e g a i n

i n p e r f o r m a n c e i s p o s s i b l e d u e t o t h e l e s s a m o u n t o f d a t a t h a t t h e a l g o r i t h m s

w o r k o n , m a k i n g i t a t t r a c t i v e f o r l a r g e d a t a b a s e s . H o w e v e r , i n o r d e r t o e n s u r e

t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e f r e q u e n t i t e m s e t s d i s c o v e r e d , t h e a l g o r i t h m h a s t o d o

s e v e r a l t h i n g s . F i r s t , i t h a s t o r e d u c e t h e s u p p o r t t h r e s h o l d u s e d f o r d i s c o v e r i n g

f r e q u e n t s e t s i n t h e s a m p l e d d a t a . T h i s i s d o n e w i t h t h e h o p e o f c a p t u r i n g m o s t

o f t h e a c t u a l f r e q u e n t i t e m s e t s . D e s p i t e o f t h i s r e d u c t i o n i n s u p p o r t t h r e s h o l d

( w h i c h c a n n o t b e r e d u c e d b e l o w c e r t a i n l e v e l ) , s o m e i t e m s e t s w i l l b e m i s s i n g .

T h e a l g o r i t h m h a s a n o v e l s y s t e m a t i c s t r a t e g y o f c h e c k i n g f o r a l l t h e m i s s i n g

i t e m s e t s . I t i n t r o d u c e s a c o n c e p t o f n e g a t i v e b o r d e r o f t h e l o c a l l y f r e q u e n t i t e m -

s e t s . T h i s b o r d e r i s f o r m e d b y a l l m i n i m a l s m a l l i t e m s e t s ; i . e . , t h e s e t s w h i c h

a r e i n f r e q u e n t b u t a l l t h e i r s u b s e t s a r e f r e q u e n t . L o c a l l y f r e q u e n t s e t s a n d t h e

s e t s i n t h e i r n e g a t i v e b o r d e r a r e c o u n t e d i n t h e e n t i r e d a t a b a s e , a n d t h e s e g l o b a l

c o u n t s a r e u s e d t o s e e i f a n y t r u e f r e q u e n t i t e m s e t s a r e l o s t b y s a m p l i n g . S i n c e

t h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n a r a n d o m s a m p l e , t h e a u t h o r s p r e s e n t a p r o b a b i l i s t i c

a n a l y s i s t h a t r e l a t e s t h e s a m p l e s i z e , t h e l i m i t o n l o w e r i n g s u p p o r t t h r e s h o l d ,

a n d a c c u r a c y t h a t c a n b e a c h i e v e d .

T h e c l a s s o f n o n - l e v e l - w i s e a l g o r i t h m s c o n s i s t s o f t h e h y b r i d l a t t i c e t r a v e r -

s a l t e c h n i q u e p r o p o s e d i n 7 ] , t h e D I C a l g o r i t h m , a n d t h e d e p t h - r s t v e r s i o n

o f t h e t r e e p r o j e c t i o n a l g o r i t h m 1 0 ] . L i k e P A R T I T I O N a n d s a m p l i n g - b a s e d a l -

g o r i t h m s , t h e d e s i g n g o a l f o r t h e s e a l g o r i t h m s i s r e d u c t i o n i n t h e n u m b e r o f

p a s s e s m a d e o v e r t h e e n t i r e d a t a b a s e . H o w e v e r , t h e m a j o r p o i n t o f d i e r e n c e

i s t h e i r i t e m s e t l a t t i c e t r a v e r s a l t e c h n i q u e . I n s t e a d o f a l e v e l - w i s e ( o r b r e a d t h -

r s t ) t r a v e r s a l , t h e y i n t e r l e a v e t h e d e p t h - r s t a n d b r e a d t h - r s t s e a r c h e s w i t h

t h e d a t a b a s e p a s s e s . I n o t h e r w o r d s , t h e c a n d i d a t e g e n e r a t i o n a n d c a n d i d a t e

c o u n t i n g p h a s e s a r e i n t e r l e a v e d . T h e g u i d i n g f a c t o r i s t h e s e a r c h f o r e i t h e r t h e

m a x i m a l f r e q u e n t i t e m s e t s 7 ] o r t h e m i n i m a l i n f r e q u e n t i t e m s e t s 8 ] .

T h e l a t t i c e t r a v e r s a l a l g o r i t h m s p r o p o s e d i n 7 ] u s e a v e r t i c a l l a y o u t ( s i m i -

l a r t o P A R T I T I O N ) . O n e p a s s i s m a d e o v e r t h e d a t a b a s e t o g e n e r a t e t h e i t e m

t i d - l i s t s . A f t e r t h a t , n o m o r e p a s s e s a r e r e q u i r e d o v e r t h e d a t a b a s e . O n l y t h e t i d -

l i s t s n e e d t o b e s c a n n e d . A n o v e l f e a t u r e o f a l l t h e i r a l g o r i t h m s i s t h a t t h e y a r e

s e e d e d b y a n i t e m s e t c l u s t e r i n g m e t h o d . T h e c l u s t e r i n g a l l o w s t h e m t o i d e n t i f y

c l o s e a p p r o x i m a t i o n s t o t h e p o t e n t i a l l y m a x i m a l i t e m s e t s . T h i s m a y s u b s t a n -

t i a l l y p r u n e t h e c a n d i d a t e s e a r c h s p a c e b y d i v i d i n g t h e o r i g i n a l i t e m s e t l a t t i c e

i n t o s m a l l e r s u b l a t t i c e s f o r m e d o n l y b y i t e m s b e l o n g i n g t o s a m e c l u s t e r . T h e y

p r o p o s e t h r e e d i e r e n t a p p r o a c h e s t o t r a v e r s e t h e s e s m a l l e r i t e m s e t s u b l a t t i c e s .

T h e b o t t o m - u p a p p r o a c h d o e s a b r e a d t h - r s t t r a v e r s a l o f t h e l a t t i c e s t a r t i n g

w i t h t h e 2 - i t e m s e t s . T h i s i s s i m i l a r t o t h e l e v e l - w i s e a l g o r i t h m s . B u t i t f a c e s a

p r o b l e m o f g e n e r a t i n g a l l t h e s u b s e t s o f f r e q u e n t i t e m s e t s . T h e t o p - d o w n a p -

p r o a c h s t a r t s w i t h p o t e n t i a l l y m a x i m a l i t e m s e t s g i v e n b y t h e c l u s t e r i n g , a n d

g o e s d o w n t h e l a t t i c e u n t i l a l l t h e m a x i m a l f r e q u e n t i t e m s e t s a r e f o u n d . T h i s

a p p r o a c h f a c e s t h e p r o b l e m o f c o s t l y m u l t i - w a y i n t e r s e c t i o n s o f t i d - l i s t s a s w e l l

a s i t s u e r s f r o m t h e a p p r o x i m a t e n a t u r e o f c l u s t e r s . A h y b r i d a p p r o a c h c o m -

b i n e s t h e g o o d f e a t u r e s o f b o t h a p p r o a c h e s , a n d i s s h o w n t o b e b e t t e r t h a n


12/41

P a r a l l e l A l g o r i t h m s f o r D i s c o v e r i n g A s s o c i a t i o n s 1 1

t h e t w o . A l t h o u g h i t i s t r u e t h a t t h e e n t i r e d a t a b a s e i s s c a n n e d o n c e , t h e r e a r e

s e v e r a l p a s s e s m a d e o v e r t h e i n d i v i d u a l t i d - l i s t s . T h e m a i n p e r f o r m a n c e g a i n

a c h i e v e d m a y b e a t t r i b u t e d t o t h e i r c l u s t e r i n g s c h e m e t o p r u n e t h e s e a r c h s p a c e

c l u b b e d w i t h a n u n d e r l y i n g a s s u m p t i o n t h a t t h e t i d - l i s t s f o r i n d i v i d u a l i t e m s o r

2 - i t e m s e t s a r e n o t v e r y l a r g e .

T h e D I C a l g o r i t h m i s a r e c e n t n o n - l e v e l - w i s e a l g o r i t h m w h i c h i s a c t u a l l y

c l o s e r t o t h e s a m p l i n g - b a s e d a l g o r i t h m s . I n s t e a d o f u s i n g a r a n d o m s a m p l e o f t h e

d a t a b a s e a n d p o t e n t i a l l y l o s i n g s o m e f r e q u e n t i t e m - s e t s , i t p r o p o s e s a s y s t e m a t i c

s e a r c h o f t h e d a t a b a s e t h a t r e d u c e s t h e n u m b e r o f d a t a b a s e p a s s e s t o s o m e

n u m b e r b e t w e e n 1 a n d t h e t o t a l n u m b e r o f p a s s e s t h a t w o u l d b e m a d e b y a

l e v e l - w i s e a l g o r i t h m . U n l i k e l e v e l - w i s e a l g o r i t h m s w h i c h c o u n t o n l y k - i t e m s e t s i n

o n e p a s s o f t h e a l g o r i t h m , D I C s t a r t s c o u n t i n g l o n g e r i t e m s e t s a f t e r s o m e x e d

i n t e r v a l s d u r i n g a g i v e n d a t a b a s e p a s s . F o r e x a m p l e , i n a d a t a b a s e o f 1 0 0 0 0

t r a n s a c t i o n s , i t s t a r t s c o m p u t i n g 1 - i t e m s e t s a t r s t t r a n s a c t i o n , t h e n s o m e 2 -

i t e m s e t s s t a r t g e t t i n g c o u n t e d a f t e r M = 1 0 0 0 t r a n s a c t i o n s , s o m e 3 - i t e m s e t s s t a r t

g e t t i n g c o u n t e d a f t e r 2 * M = 2 0 0 0 t r a n s a c t i o n s , a n d s o o n . T h e v a l u e o f M c a n

b e c h a n g e d . E a c h i t e m s e t t h a t t h e a l g o r i t h m d e c i d e s t o c o u n t , g e t s c o u n t e d i n

e a c h t r a n s a c t i o n . T h e a l g o r i t h m k e e p s t r a c k o f p o t e n t i a l f r e q u e n t i t e m s e t s a n d

p o t e n t i a l m i n i m a l s m a l l i t e m s e t s . T h e c o u n t i n g s t a r t s o n l y f o r t h o s e i t e m s e t s

w h o s e s u b s e t s h a v e b e e n f o u n d f r e q u e n t i n t h e d a t a v i s i t e d s o f a r . E s s e n t i a l l y

t h e a m o u n t o f l a t t i c e t r a v e r s e d b y t h e a l g o r i t h m i s s a m e a s t h a t b y a l e v e l - w i s e

a l g o r i t h m , b u t t h e d y n a m i c n a t u r e o f c o u n t i n g t h e i t e m s e t s g i v e s t h e a l g o r i t h m

a e x i b i l i t y t o r e d u c e d a t a b a s e p a s s e s . T h e c r u c i a l f a c t o r f o r i t s p e r f o r m a n c e i s

t h e a b i l i t y t o i d e n t i f y f r e q u e n t s u b s e t s o f a g i v e n i t e m s e t e a r l y e n o u g h s o t h a t t h e

i t e m s e t s t a r t s g e t t i n g c o u n t e d e a r l y . I d e a l l y i f t h e p r o b a b i l i t y o f s e e i n g a g i v e n

i t e m s e t i n a n y f r a c t i o n o f t r a n s a c t i o n s i s t h e s a m e , t h e n D I C p e r f o r m s v e r y w e l l .

H o w e v e r , i f t h e d a t a s e t i s n o t h o m o g e n e o u s , t h e n t h e p e r f o r m a n c e w o u l d s u e r .

T h e a u t h o r s o f D I C i d e n t i f y t h i s p r o b l e m a n d p r o p o s e s o m e r e m e d i e s s u c h a s

r a n d o m i z a t i o n a n d r e l a x i n g t h e s u p p o r t t h r e s h o l d .

T h e d e p t h - r s t v e r s i o n o f t h e t r e e p r o j e c t i o n a l g o r i t h m 1 0 ] g e n e r a t e s t h e

l e x i c o g r a p h i c t r e e i n a d e p t h - r s t m a n n e r . T h e c r u c i a l f a c t o r f o r i t s p e r f o r m a n c e

i s t h a t t h e e n t i r e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e n e e d s t o t i n t h e m e m o r y , w h i c h i s n o t

v e r y p r a c t i c a l f o r m a n y t r a n s a c t i o n d a t a b a s e s . H e n c e , w e w i l l n o t r e v i e w i t i n

d e t a i l h e r e .

F i n a l l y , w e b r i e y r e v i e w a c l a s s o f a l g o r i t h m s 2 4 , 1 1 ] t h a t c h o o s e a r a d i c a l l y

d i e r e n t a p p r o a c h t o d i s c o v e r f r e q u e n t i t e m s e t s . T h e s e a l g o r i t h m s d o n o t i n v o l v e

g e n e r a t i o n o f p o t e n t i a l c a n d i d a t e s . T h e a l g o r i t h m b a s e d o n F P - t r e e s 1 1 ] u s e s

a c o m p a c t t r i e - l i k e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e t h a t i s u s e d t o

d i r e c t l y i n f e r t h e f r e q u e n t i t e m s e t s i n v o l v i n g a g i v e n f r e q u e n t i t e m . T h i s c o m -

p a c t r e p r e s e n t a t i o n i s a c h i e v e d u s i n g t h e d a t a s t r u c t u r e c a l l e d f r e q u e n t p a t t e r n

t r e e ( F P - t r e e ) , w h i c h i s a d a t a s t r u c t u r e b a s e d o n s e t - e n u m e r a t i o n t r e e f o r m e d

u s i n g f r e q u e n c y - o r d e r e d 1 - i t e m s e t s . I t i s c o n s t r a i n e d u s i n g t h e g i v e n t r a n s a c -

t i o n d a t a b a s e i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r . E a c h t r a n s a c t i o n i s t r a n s f o r m e d t o a

f r e q u e n c y - o r d e r e d s e t o f i t e m s a n d i s m a p p e d t o t h e s e t - e n u m e r a t i o n t r e e . T h e

c o u n t s o f i t e m s o n t h e p a t h i t g e t s m a p p e d t o a r e i n c r e m e n t e d b y o n e . A l l t h e


13/41


o c c u r r e n c e s o f a g i v e n i t e m a r e l i n k e d a c r o s s t h e t r e e . O n c e F P - t r e e i s c o n -

s t r u c t e d , f o r e a c h i t e m , t h e a l g o r i t h m n d s a l l t h e f r e q u e n t i t e m s e t s h a v i n g t h a t

i t e m a s t h e l a s t i t e m ( i n f r e q u e n c y - o r d e r ) . T h i s i s a c h i e v e d b y u s i n g t h e p r e x

p a t h s t o a l l t h e o c c u r r e n c e s o f t h a t i t e m i n t h e t r e e . A s y s t e m a t i c r e c u r s i v e d e -

c o m p o s i t i o n o f t h e p r e x p a t h s y i e l d s a l l t h e d e s i r e d f r e q u e n t i t e m s e t s . I f t h i s

p r o c e s s i s m a p p e d t o a l a t t i c e t r a v e r s a l p r o c e s s , t h e n t h e a l g o r i t h m e s s e n t i a l l y

t r a v e r s e s t h e l a t t i c e i n a t o p - d o w n f a s h i o n ( i . e . g o i n g f r o m l o n g e r i t e m s e t s d o w n

t o s m a l l e r i t e m s e t s ) , s t a r t i n g w i t h t h e i t e m s e t f o r m e d b y a l l t h e f r e q u e n t i t e m s

i n t h e u n i o n o f t h e i t e m s o c c u r r i n g i n t h e p r e x p a t h s . H o w e v e r , i t s r e c u r s i o n

p r o c e s s b r e a k s t h e l a t t i c e d o w n i n t o o n l y t h e i n t e r e s t i n g s u b l a t t i c e s d r i v e n b y

t h e i n c r e a s i n g l y s m a l l e r F P - t r e e s . T h i s a u t h o r s s h o w t h e i r a l g o r i t h m t o b e a n

o r d e r o f m a g n i t u d e f a s t e r t h a n t h e A p r i o r i a l g o r i t h m a n d c o n s i d e r a b l y f a s t e r

t h a n t h e T r e e P r o j e c t i o n a l g o r i t h m .

A r e l a t e d a l g o r i t h m p r o p o s e d i n 2 4 ] , a l s o u s e s t h e c o m p a c t t r i e 2 5 ] r e p r e -

s e n t a t i o n o f t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e , t o d i r e c t l y i n f e r t h e f r e q u e n t a s s o c i a t i o n s .

H o w e v e r , u n l i k e F P - t r e e , w h i c h e n c o d e s t h e e n t i r e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e i n t o a

t r i e - l i k e s t r u c t u r e , t h e i r a l g o r i t h m c o n s t r u c t s a t r i e o n l y o u t o f t h o s e s u b s e t s o f

a t r a n s a c t i o n t h a t c o n t a i n s l e s s t h a n a p r e - s p e c i e d n u m b e r o f i t e m s . T h i s w a s

m o t i v a t e d b y t h e i r o b s e r v a t i o n t h a t t h e l a r g e s t f r e q u e n t i t e m s e t s d o n o t c o n -

t a i n m o r e t h a n 8 - 1 0 i t e m s . O n c e t h e t r i e i s c o n s t r u c t e d , t h e y u s e a l l t h e s u b s e t s

p r e s e n t i n t h e t r i e a s p o t e n t i a l f r e q u e n t s e t s . H o w e v e r , u n l i k e F P - t r e e b a s e d a l -

g o r i t h m , t h e y d o n o t g i v e a s y s t e m a t i c a l g o r i t h m f o r i n f e r r i n g a c t u a l f r e q u e n t

i t e m s e t s b a s e d o n s u p p o r t .

T h i s c o n c l u d e s o u r s u r v e y o f t h e r e p r e s e n t a t i v e s e r i a l a l g o r i t h m s f o r c o m p u t -

i n g f r e q u e n t i t e m s e t s .

3 P a r a l l e l F o r m u l a t i o n s

T h e e n o r m i t y a n d h i g h d i m e n s i o n a l i t y o f d a t a s e t s t y p i c a l l y a v a i l a b l e a s i n p u t t o

t h e p r o b l e m o f a s s o c i a t i o n r u l e d i s c o v e r y , m a k e s i t a n i d e a l p r o b l e m f o r s o l v i n g

o n m u l t i p l e p r o c e s s o r s i n p a r a l l e l . T h e p r i m a r y r e a s o n s a r e t h e m e m o r y a n d C P U

s p e e d l i m i t a t i o n s f a c e d b y s i n g l e p r o c e s s o r s . D e s p i t e o f m a n y r e c e n t i m p r o v e d

a p p r o a c h e s t o c o m p u t e a l l f r e q u e n t i t e m s e t s , t h e s h e e r a m o u n t o f c o m p u t a t i o n a l

w o r k t h a t n e e d s t o b e d o n e f o r l a r g e a n d h i g h d i m e n s i o n a l p r o b l e m s r e s u l t s i n

p r o h i b i t i v e l y l a r g e r u n t i m e s o n s i n g l e p r o c e s s o r s . T h u s , i t i s c r i t i c a l t o d e s i g n

e c i e n t p a r a l l e l a l g o r i t h m s t o d o t h e t a s k . A n o t h e r r e a s o n f o r d e s i g n i n g p a r a l l e l

a l g o r i t h m s c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t m a n y t r a n s a c t i o n d a t a b a s e s a r e a l r e a d y

a v a i l a b l e i n p a r a l l e l d a t a b a s e s o r t h e y a r e d i s t r i b u t e d a t m u l t i p l e s i t e s t o b e g i n

w i t h . T h e c o s t o f o f b r i n g i n g t h e m a l l t o o n e s i t e o r o n e c o m p u t e r f o r s e r i a l

d i s c o v e r y o f a s s o c i a t i o n r u l e s c a n b e p r o h i b i t i v e l y e x p e n s i v e .

I n t h e p r o c e s s o f a s s o c i a t i o n r u l e d i s c o v e r y , t h e r s t p a r t o f n d i n g f r e q u e n t

i t e m s e t s i s m u c h m o r e e x p e n s i v e a s c o m p a r e d t o t h e s e c o n d p a r t o f n d i n g r u l e s

f r o m t h e s e f r e q u e n t i t e m s e t s . H e n c e , w e c o n c e n t r a t e o n p a r a l l e l a l g o r i t h m s f o r

f r e q u e n t i t e m s e t d i s c o v e r y . W e r e v i e w e d m a n y d i e r e n t s e r i a l a l g o r i t h m s i n p r e -

v i o u s s u b s e c t i o n . E x c e p t f o r a f e w , m o s t o f t h e s e a l g o r i t h m s i n v o l v e g e n e r a t i o n


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o f c a n d i d a t e i t e m s e t s a n d c o u n t i n g t h e m i n t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e , e s p e c i a l l y

t h e l e v e l - w i s e a l g o r i t h m s s u c h a s A p r i o r i . F i r s t , w e p r e s e n t p o s s i b l e p a r a l l e l f o r -

m u l a t i o n s o f s u c h a l g o r i t h m s a n d m a p t h e e x i s t i n g p a r a l l e l a l g o r i t h m s t o t h e s e

f o r m u l a t i o n s . I n t h e e n d , w e r e v i e w p a r a l l e l f o r m u l a t i o n s o f s o m e n o n - l e v e l - w i s e

a l g o r i t h m s .

3 . 1 P a r a l l e l F o r m u l a t i o n s o f l e v e l - w i s e A l g o r i t h m s

T h e c o m p u t a t i o n a l w o r k i n l e v e l - w i s e a l g o r i t h m s c a n b e v i e w e d t o c o n s i s t o f

t w o p a r t s : t h e e o r t s p e n t i n g e n e r a t i n g t h e c a n d i d a t e s a n d t h e e o r t s p e n t

i n c o u n t i n g t h e m . I n o r d e r t o d i s t r i b u t e t h i s w o r k a m o n g p r o c e s s o r s , m u l t i p l e

p o s s i b i l i t i e s e m e r g e d e p e n d i n g o n h o w t h e t r a n s a c t i o n s a n d c a n d i d a t e i t e m s e t s

a r e a s s i g n e d t o p r o c e s s o r s . T h e n e e d f o r p a r a l l e l a l g o r i t h m s c o m e s f r o m t h e

t r a n s a c t i o n d a t a b a s e b e i n g t o o l a r g e ( e n o r m i t y o f t h e d a t a b a s e ) , o r p o s s i b l e

n u m b e r o f f r e q u e n t i t e m s e t s b e i n g t o o l a r g e ( b e c a u s e o f h i g h d i m e n s i o n a l i t y o f

t h e d a t a b a s e ) , o r b o t h . C o r r e s p o n d i n g l y , i n o r d e r t o a c h i e v e c o n c u r r e n c y , e i t h e r

t h e c a n d i d a t e s n e e d t o b e c o u n t e d i n p a r a l l e l , o r t h e y n e e d t o b e g e n e r a t e d i n

p a r a l l e l , o r b o t h p h a s e s n e e d t o b e d o n e i n p a r a l l e l .

W e a s s u m e t h a t t h e t r a n s a c t i o n d a t a b a s e i s t o o l a r g e t o b e r e p l i c a t e d a m o n g

a l l p r o c e s s o r s . F o r m o s t p r a c t i c a l p r o b l e m s i n d a t a m i n i n g , t h i s i s a f a i r o r

r a t h e r n e c e s s a r y a s s u m p t i o n . U s u a l l y , t h e t r a n s a c t i o n s a r e d i s t r i b u t e d a m o n g

p r o c e s s o r s e q u a l l y . G i v e n t h i s , t h e i s s u e b e c o m e s h o w t o d i s t r i b u t e t h e c a n d i -

d a t e s a m o n g p r o c e s s o r s s u c h t h a t t h e i r c o u n t i n g a n d g e n e r a t i o n i s e e c t i v e l y

p a r a l l e l i z e d . T h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s . O n e i s t o r e p l i c a t e t h e c a n d i d a t e s o n a l l

p r o c e s s o r s a n d t h e o t h e r i s t o a v o i d r e p l i c a t i o n . I n t h e f o l l o w i n g w e r e v i e w i n

d e t a i l v a r i o u s a l g o r i t h m s b a s e d o n t h e s e p o s s i b i l i t i e s . T h e d i s c u s s i o n t a k e s i n t o

a c c o u n t t h e i s s u e s o f m i n i m i z i n g p a r a l l e l i z a t i o n o v e r h e a d s , e x t r a c t i n g c o n c u r -

r e n c y , a n d u t i l i z i n g t h e t o t a l a v a i l a b l e m e m o r y e e c t i v e l y .

R e p l i c a t i n g C a n d i d a t e I t e m s e t s O n e p o s s i b l e w a y t o p a r a l l e l i z e i s t o s i m p l y

r e p l i c a t e t h e c a n d i d a t e g e n e r a t i o n p r o c e s s o n a l l t h e p r o c e s s o r s , a n d p a r a l l e l i z e

t h e c o u n t i n g p r o c e s s . H e r e a r e a f e w r e p r e s e n t a t i v e a l g o r i t h m s t h a t t a k e t h i s

a p p r o a c h .

{ C o u n t D i s t r i b u t i o n ( C D ) : I n t h i s p a r a l l e l f o r m u l a t i o n o f A p r i o r i a l g o -

r i t h m , p r o p o s e d i n 2 6 ] , e a c h p r o c e s s o r c o m p u t e s h o w m a n y t i m e s a l l t h e

c a n d i d a t e s a p p e a r i n t h e l o c a l l y s t o r e d t r a n s a c t i o n s . T h i s i s d o n e b y b u i l d -

i n g t h e e n t i r e h a s h t r e e t h a t c o r r e s p o n d s t o a l l t h e c a n d i d a t e s a n d t h e n

p e r f o r m i n g a s i n g l e p a s s o v e r t h e l o c a l l y s t o r e d t r a n s a c t i o n s t o c o l l e c t t h e

c o u n t s . T h e g l o b a l c o u n t s o f t h e c a n d i d a t e s a r e c o m p u t e d b y s u m m i n g t h e s e

i n d i v i d u a l c o u n t s u s i n g a g l o b a l r e d u c t i o n o p e r a t i o n 2 7 ] . T h i s a l g o r i t h m i s

i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 . N o t e t h a t s i n c e e a c h p r o c e s s o r n e e d s t o b u i l d a h a s h

t r e e f o r a l l t h e c a n d i d a t e s , t h e s e h a s h t r e e s a r e i d e n t i c a l a t e a c h p r o c e s s o r .

T h u s , e x c l u d i n g t h e g l o b a l r e d u c t i o n , e a c h p r o c e s s o r i n t h e C D a l g o r i t h m

e x e c u t e s t h e s e r i a l A p r i o r i a l g o r i t h m o n t h e l o c a l l y s t o r e d t r a n s a c t i o n s . T h e


15/41


N P A ( N o n - P a r t i t i o n e d A p r i o r i ) a l g o r i t h m , p r o p o s e d i n 1 5 ] , i s a l s o i d e n t i c a l

t o t h i s C D a l g o r i t h m .

T h i s a l g o r i t h m h a s b e e n e m p i r i c a l l y s h o w n t o s c a l e l i n e a r l y w i t h t h e n u m -

b e r o f t r a n s a c t i o n s 2 6 ] . A d e t a i l e d s c a l a b i l i t y a n a l y s i s i s p r e s e n t e d b y 1 3 ] .

G i v e n N n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s a n d P n u m b e r o f p r o c e s s o r s , i f M i s t h e t o t a l

n u m b e r o f c a n d i d a t e s t h a t g e t g e n e r a t e d , t h e n t h e y s h o w t h a t t h e p a r a l l e l

r u n t i m e o f t h e a l g o r i t h m i s T

s

= P + O ( M ) , w h e r e T

s

i s t h e s e r i a l r u n t i m e

o f t h e a l g o r i t h m . T h e O ( M ) t e r m c o m e s f r o m t h e h a s h t r e e c o n s t r u c t i o n

a n d g l o b a l r e d u c t i o n o f c o u n t s . T h i s i n d i c a t e s t h a t t h e a l g o r i t h m i s s c a l a b l e

i n n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s , h o w e v e r i t d o e s n o t p a r a l l e l i z e t h e c o m p u t a t i o n

o f b u i l d i n g t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e . T h i s s t e p b e c o m e s a b o t t l e n e c k w i t h

l a r g e n u m b e r o f p r o c e s s o r s . F u r t h e r m o r e , i f t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s i s

l a r g e , t h e n t h e h a s h t r e e d o e s n o t t i n t o t h e m a i n m e m o r y . I n t h i s c a s e ,

t h i s a l g o r i t h m h a s t o p a r t i t i o n t h e h a s h t r e e a n d c o m p u t e t h e c o u n t s b y

s c a n n i n g t h e d a t a b a s e m u l t i p l e t i m e s , o n c e f o r e a c h p a r t i t i o n o f t h e h a s h

t r e e . T h e c o s t o f e x t r a d a t a b a s e s c a n n i n g c a n b e e x p e n s i v e i n t h e m a c h i n e s

w i t h s l o w I / O s y s t e m . N o t e t h a t t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s i n c r e a s e s i f e i t h e r

t h e n u m b e r o f d i s t i n c t i t e m s i n t h e d a t a b a s e i n c r e a s e s o r i f t h e m i n i m u m

s u p p o r t l e v e l o f t h e a s s o c i a t i o n r u l e s d e c r e a s e s . T h u s t h e C D a l g o r i t h m i s e f -

f e c t i v e f o r s m a l l n u m b e r o f d i s t i n c t i t e m s a n d a h i g h m i n i m u m s u p p o r t l e v e l .

2{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

5

3

7

6

2

N/P

Data

Count

N/P

Data

Count

N/P

Data

Count

Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree

7 {1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

3

1

1

3

9

0{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{2, 4}

{3, 4}

{4, 5}

2

8

2

6

6

M M M

Global Reduction

N: number of data items M: size of candidate set P: number of processors

Proc 0 Proc 1 Proc 2

F i g . 4 . C o u n t D i s t r i b u t i o n ( C D ) A l g o r i t h m


16/41


{ P a r a l l e l P A R T I T I O N a l g o r i t h m : T h e p a r a l l e l f o r m u l a t i o n o f t h e s e r i a l

P A R T I T I O N a l g o r i t h m h a s b e e n g i v e n i n 5 ] . T h e s e r i a l a l g o r i t h m h a s i n -

h e r e n t p a r a l l e l i s m i n i t a s f a r a s p r o c e s s i n g o f e a c h p a r t i t i o n i s c o n c e r n e d .

T h e a l g o r i t h m i s v e r y s i m i l a r t o t h e c o u n t d i s t r i b u t i o n a l g o r i t h m , i n t h a t t h e

d a t a i s d i s t r i b u t e d a n d t h e c a n d i d a t e s e t i s r e p l i c a t e d a m o n g p r o c e s s o r s . T h e

d i e r e n c e i s t h a t t h e f r e q u e n t i t e m s e t s a r e c o u n t e d i n f o u r s t a g e s . I n t h e r s t

s t a g e , e a c h p r o c e s s o r d i s c o v e r s l o c a l l y f r e q u e n t i t e m s e t s a s s u m i n g t h a t i t s l o -

c a l d a t a i s t h e e n t i r e d a t a b a s e . N e x t , t h e s e i t e m s e t s a r e e x c h a n g e d a m o n g

p r o c e s s o r s , f o r m i n g t h e g l o b a l c a n d i d a t e s e t . I n t h e t h i r d s t a g e , l o c a l c o u n t s

f o r t h e s e c a n d i d a t e s a r e c o m p u t e d b y s c a n n i n g t h e l o c a l d a t a a g a i n . F i n a l l y ,

a c o m m u n i c a t i o n o p e r a t i o n i s p e r f o r m e d t o a d d u p t h e l o c a l c o u n t s t o g e t

t h e g l o b a l c o u n t s f o r t h e c a n d i d a t e s , f r o m w h i c h g l o b a l l y f r e q u e n t i t e m s e t s

c a n b e d e t e r m i n e d . I n t h i s a l g o r i t h m , t h e s i z e o f t h e c a n d i d a t e s e t g e n e r a t e d

i n s e c o n d s t a g e i s d e p e n d e n t o n t h e s i z e o f l o c a l d a t a s e t s a n d s k e w i n t h e

d a t a . I t c o u l d p o t e n t i a l l y b e b i g g e r t h a n t h e c a n d i d a t e s e t i n C D b e c a u s e o f

f a l s e p o s i t i v e s , a n d h e n c e c a n c a u s e t h e a l g o r i t h m t o l o s e i t s m a i n p u r p o s e o f

a c h i e v i n g e c i e n c y b y p r u n i n g b a s e d o n l o c a l c o u n t s . A s i n t h e s e r i a l c a s e ,

t h e v e r t i c a l d a t a l a y o u t u s e d i n p a r a l l e l P A R T I T I O N c a n m a k e t h e c o u n t -

i n g p h a s e e c i e n t , a n d a l l o w s i t t o a v o i d m u l t i p l e s c a n s o f t h e l o c a l d a t a b a s e .

{ P D M A l g o r i t h m : A n o t h e r p a r a l l e l a l g o r i t h m w h i c h i s b a s e d o n t h e s e r i a l

A p r i o r i - l i k e a l g o r i t h m i s P D M 1 4 ] , w h i c h i s a p a r a l l e l f o r m u l a t i o n o f t h e

D H P 4 ] a l g o r i t h m . T h e a p p r o a c h t o p a r a l l e l i z a t i o n i s v e r y m u c h s i m i l a r t o

t h e C D a l g o r i t h m . T h e d i e r e n c e i s i n t h e f a c t t h a t D H P d i e r s f r o m A p r i -

o r i i n i t s u s e o f h a s h t a b l e s t o l o o k a h e a d i n t o t h e p o t e n t i a l c a n d i d a t e s o f

n e x t p h a s e . T h e p h a s e o f c a n d i d a t e g e n e r a t i o n f r o m f r e q u e n t k - i t e m s e t s i n

p a r a l l e l i z e d i n P D M b y u s i n g a p a r a l l e l n e s t e d l o o p j o i n a l g o r i t h m , w h e r e

e a c h p r o c e s s o r g e n e r a t e s o n l y a s m a l l s u b s e t o f e n t i r e c a n d i d a t e s e t . T h e s e

s e t s a r e e x c h a n g e d b y a l l n o d e s t o g e n e r a t e g l o b a l c a n d i d a t e s e t s i m i l a r t o

C D . T h e c r u c i a l p o i n t i n t h e p a r a l l e l f o r m u l a t i o n o f D H P i s t h e c o n s t r u c t i o n

o f t h e h a s h t a b l e i n p a r a l l e l . S i n c e t h e h a s h t a b l e i s u s e d i n t h e s u b s e q u e n t

c a n d i d a t e g e n e r a t i o n p a s s t o p r u n e t h e c a n d i d a t e s , a g l o b a l c o p y o f t h e h a s h

t a b l e s h o u l d b e a v a i l a b l e t o a l l t h e p r o c e s s o r s . W h i l e c o u n t i n g k - i t e m s e t s ,

t h e h a s h t a b l e s t o r e s t h e c o u n t s o f k + 1 - i t e m s e t s a p p e a r i n g i n t r a n s a c t i o n s .

S i n c e t h e t r a n s a c t i o n s a r e p a r t i t i o n e d a c r o s s p r o c e s s o r s , e a c h p r o c e s s o r w i l l

h a v e t h e c o u n t s d u e t o l o c a l t r a n s a c t i o n s . A s i m p l e a p p r o a c h o f g a t h e r i n g

g l o b a l c o u n t s f o r e a c h l o c a t i o n i n t h e h a s h t a b l e i s t o d o a g l o b a l e x c h a n g e

o f a l l l o c a l h a s h t a b l e s . T h e p o t e n t i a l o f r e q u i r i n g a l a r g e h a s h t a b l e s i z e ,

e s p e c i a l l y f o r 2 - i t e m s e t s , m a k e s t h i s s i m p l e a p p r o a c h i n e c i e n t . T h e p a p e r

p r o p o s e s a n o p t i m i z a t i o n o v e r t h i s b y s i m p l y o b s e r v i n g t h e f a c t t h a t n o t a l l

e n t r i e s i n t h e l o c a l h a s h t a b l e s n e e d t o b e e x c h a n g e d w i t h o t h e r p r o c e s s o r s .

A n e n t r y i n t h e g l o b a l h a s h t a b l e w i l l b e g r e a t e r t h a n s u p p o r t t h r e s h o l d , s ,

o n l y i f a t l e a s t o n e p r o c e s s o r h a s i t s c o r r e s p o n d i n g l o c a l e n t r y g r e a t e r t h a n

s = p , w h e r e p i s t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s . T h i s f a c t i s u s e d t o d e t e r m i n e w h i c h

e n t r i e s s h o u l d b e e x c h a n g e d u s i n g g l o b a l b r o a d c a s t . R e s t o f t h e e n t r i e s i n t h e

h a s h t a b l e a r e e x c h a n g e d u s i n g a c l u e - a n d - p o l l p r o c e d u r e w h i c h r e d u c e s t h e


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a m o u n t o f c o m m u n i c a t i o n . S i n c e t h e s a m e h a s h t a b l e a n d t h e e n t i r e c a n d i -

d a t e s e t i s a v a i l a b l e t o a l l t h e p r o c e s s o r s , t h e t r a n s a c t i o n t r i m m i n g f e a t u r e o f

D H P a l g o r i t h m i s e a s i l y m a i n t a i n e d i n P D M a s w e l l . E a c h p r o c e s s o r t r i e s t o

r e d u c e t h e s i z e o f t r a n s a c t i o n s i n i t s l o c a l p a r t i t i o n . O v e r a l l , P D M i s m u c h

s i m i l a r t o C D . B u t , e e c t i v e p a r a l l e l i z a t i o n o f h a s h t a b l e c o n s t r u c t i o n , t h e

p o s s i b l e a d v a n t a g e s g a i n e d b y a g o o d h a s h i n g f u n c t i o n , a n d t h e t r a n s a c t i o n

t r i m m i n g m i g h t g i v e P D M a n e d g e o v e r C D .

{ C o u n t D i s t r i b u t e d T r e e P r o j e c t i o n a l g o r i t h m : T h i s f o r m u l a t i o n p r o -

p o s e d i n 9 ] i s b a s e d o n t h e C D a l g o r i t h m d e s c r i b e d a b o v e . I d e n t i c a l l e x i c o -

g r a p h i c t r e e , u p o n w h i c h t h e t r e e p r o j e c t i o n a l g o r i t h m s a r e b a s e d , i s b u i l t o n

e a c h p r o c e s s o r a n d c o u n t s a r e c o m m u n i c a t e d a t e v e r y l e v e l . A s w i t h C D , t h i s

p a r a l l e l f o r m u l a t i o n w o r k s w e l l o n l y i f t h e l e x i c o g r a p h i c t r e e t s i n m e m o r y ,

a n d i t s s c a l a b i l i t y w i t h n u m b e r o f c a n d i d a t e s i s p o o r .

P a r t i t i o n i n g C a n d i d a t e I t e m s e t s G i v e n t h e p r o b l e m s p o s s i b l y e n c o u n t e r e d

b e c a u s e o f r e p l i c a t i o n o f c a n d i d a t e s , a n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h w o u l d b e t o p a r -

t i t i o n t h e c a n d i d a t e s a m o n g p r o c e s s o r s . H o w e v e r , m a n y i s s u e s a r i s e r e g a r d i n g

h o w t o p a r t i t i o n t h e m a n d h o w t o e e c t i v e l y p a r a l l e l i z e c o u n t i n g f o r g i v e n p a r -

t i t i o n i n g . F o l l o w i n g a l g o r i t h m s h a n d l e t h e s e i s s u e s . D D a l g o r i t h m d i s c u s s e d r s t

m a k e s a s i m p l e y e t w e a k e o r t t o p a r a l l e l i z e . T h e n e x t a l g o r i t h m , I D D , i m p r o v e s

u p o n i t g r e a t l y . A f e w o t h e r a l g o r i t h m s , i n s p i r e d b y I D D , a r e a l s o d e s c r i b e d i n

t h e e n d .

{ D a t a D i s t r i b u t i o n ( D D ) : T h i s a l g o r i t h m 2 6 ] a d d r e s s e s t h e m e m o r y p r o b -

l e m o f t h e C D a l g o r i t h m b y p a r t i t i o n i n g t h e c a n d i d a t e i t e m - s e t s a m o n g t h e

p r o c e s s o r s . T h i s p a r t i t i o n i n g i s d o n e i n a r o u n d r o b i n f a s h i o n . E a c h p r o c e s -

s o r i s r e s p o n s i b l e f o r c o m p u t i n g t h e c o u n t s o f i t s l o c a l l y s t o r e d s u b s e t o f t h e

c a n d i d a t e i t e m - s e t s f o r a l l t h e t r a n s a c t i o n s i n t h e d a t a b a s e . I n o r d e r t o d o

t h a t , e a c h p r o c e s s o r n e e d s t o s c a n t h e p o r t i o n s o f t h e t r a n s a c t i o n s a s s i g n e d

t o t h e o t h e r p r o c e s s o r s a s w e l l a s i t s l o c a l l y s t o r e d p o r t i o n o f t h e t r a n s a c -

t i o n s . I n t h e D D a l g o r i t h m , t h i s i s d o n e b y h a v i n g e a c h p r o c e s s o r r e c e i v e t h e

p o r t i o n s o f t h e t r a n s a c t i o n s s t o r e d i n t h e o t h e r p r o c e s s o r s a s f o l l o w s . E a c h

p r o c e s s o r a l l o c a t e s P b u e r s ( e a c h o n e p a g e l o n g a n d o n e f o r e a c h p r o c e s -

s o r ) . A t p r o c e s s o r P

i

, t h e i

t h

b u e r i s u s e d t o s t o r e t r a n s a c t i o n s f r o m t h e

l o c a l l y s t o r e d d a t a b a s e a n d t h e r e m a i n i n g b u e r s a r e u s e d t o s t o r e t r a n s a c -

t i o n s f r o m t h e o t h e r p r o c e s s o r s . N o w e a c h p r o c e s s o r P

i

c h e c k s t h e P b u e r s

t o s e e w h i c h o n e c o n t a i n s d a t a . L e t l b e t h i s b u e r ( t i e s a r e b r o k e n i n f a v o r

o f b u e r s o f o t h e r p r o c e s s o r s a n d t i e s a m o n g b u e r s o f o t h e r p r o c e s s o r s a r e

b r o k e n a r b i t r a r i l y ) . T h e p r o c e s s o r p r o c e s s e s t h e t r a n s a c t i o n s i n t h i s b u e r

a n d u p d a t e s t h e c o u n t s o f i t s o w n c a n d i d a t e s u b s e t . I f t h i s b u e r c o r r e s p o n d s

t o t h e b u e r t h a t s t o r e s l o c a l t r a n s a c t i o n s ( i . e . , l = i ) , t h e n i t i s s e n t t o a l l

t h e o t h e r p r o c e s s o r s ( v i a a s y n c h r o n o u s s e n d s ) , a n d a n e w p a g e i s r e a d f r o m

t h e l o c a l d a t a b a s e . I f t h i s b u e r c o r r e s p o n d s t o a b u e r t h a t s t o r e s t r a n s a c -

t i o n s f r o m a n o t h e r p r o c e s s o r ( i . e . , l 6= i ) , t h e n i t i s c l e a r e d a n d t h i s b u e r i s

m a r k e d a v a i l a b l e f o r n e x t a s y n c h r o n o u s r e c e i v e f r o m a n y o t h e r p r o c e s s o r s .


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T h i s c o n t i n u e s u n t i l e v e r y p r o c e s s o r h a s p r o c e s s e d a l l t h e t r a n s a c t i o n s . H a v -

i n g c o m p u t e d t h e c o u n t s o f i t s c a n d i d a t e i t e m - s e t s , e a c h p r o c e s s o r n d s t h e

f r e q u e n t i t e m - s e t s f r o m i t s c a n d i d a t e i t e m - s e t a n d t h e s e f r e q u e n t i t e m - s e t s

a r e s e n t t o e v e r y o t h e r p r o c e s s o r u s i n g a n a l l - t o - a l l b r o a d c a s t o p e r a t i o n 2 7 ] .

F i g u r e 5 s h o w s t h e h i g h l e v e l o p e r a t i o n s o f t h e a l g o r i t h m . N o t e t h a t e a c h

p r o c e s s o r h a s a d i e r e n t s e t o f c a n d i d a t e s i n t h e c a n d i d a t e h a s h t r e e .

T h e S P A ( S i m p l y P a r t i t i o n e d A p r i o r i ) a l g o r i t h m , p r o p o s e d i n 1 5 ] , i s i d e n -

t i c a l t o D D . I t p a r t i t i o n s t h e c a n d i d a t e s a m o n g p r o c e s s o r s i n a r o u n d r o b i n

m a n n e r . E a c h t r a n s a c t i o n i s b r o a d c a s t t o a l l t h e p r o c e s s o r s s o a s t o g e n e r a t e

a g l o b a l c o u n t f o r a l l t h e c a n d i d a t e s .

N/P N/P N/P

M/P M/P M/P

Local Data Remote Data

CountCount


CountCount


CountCount

Data Data

Broadcast Broadcast Broadcast

Data

Broadcast

Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree Candidate Hash Tree

{1, 3}

{3, 4}

{4, 7}

9

2

3

{1, 4}

{3, 5}

{5, 6}

5

1

2

{1, 2}

{2, 5}

{4, 6}

3

7

5

All-to-all Broadcast

N: number of data items M: size of candidate set P: number of processors

Data

Proc 0 Proc 1 Proc 2

F i g . 5 . D a t a D i s t r i b u t i o n ( D D ) A l g o r i t h m

T h e D D a l g o r i t h m e x p l o i t s t h e t o t a l a v a i l a b l e m e m o r y b e t t e r t h a n C D , a s

i t p a r t i t i o n s t h e c a n d i d a t e s e t a m o n g p r o c e s s o r s . A s t h e n u m b e r o f p r o c e s -

s o r s i n c r e a s e s , t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s t h a t t h e a l g o r i t h m c a n h a n d l e a l s o

i n c r e a s e s . H o w e v e r , a s r e p o r t e d i n 2 6 ] , t h e p e r f o r m a n c e o f t h i s a l g o r i t h m i s

s i g n i c a n t l y w o r s e t h a n t h e C D a l g o r i t h m . T h e r u n t i m e o f t h i s a l g o r i t h m

i s 1 0 t o 2 0 t i m e s m o r e t h a n t h a t o f t h e C D a l g o r i t h m o n 1 6 p r o c e s s o r s 2 6 ] .

T h e p r o b l e m l i e s w i t h t h e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n o f t h e a l g o r i t h m a n d t h e

r e d u n d a n t w o r k t h a t i s p e r f o r m e d i n p r o c e s s i n g a l l t h e t r a n s a c t i o n s .

T h e c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n o f t h i s a l g o r i t h m c a u s e s t h r e e p r o b l e m s . F i r s t ,

d u r i n g e a c h p a s s o f t h e a l g o r i t h m e a c h p r o c e s s o r s e n d s t o a l l t h e o t h e r p r o -

c e s s o r s t h e p o r t i o n o f t h e d a t a b a s e t h a t r e s i d e s l o c a l l y . I n p a r t i c u l a r , e a c h


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p r o c e s s o r r e a d s t h e l o c a l l y s t o r e d p o r t i o n o f t h e d a t a b a s e o n e p a g e a t a t i m e

a n d s e n d s i t t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s b y i s s u i n g P 1 s e n d o p e r a t i o n s .

S i m i l a r l y , e a c h p r o c e s s o r i s s u e s a r e c e i v e o p e r a t i o n f r o m e a c h o t h e r p r o c e s -

s o r i n o r d e r t o r e c e i v e t h e s e p a g e s . I f t h e i n t e r c o n n e c t i o n n e t w o r k o f t h e

u n d e r l y i n g p a r a l l e l c o m p u t e r i s f u l l y c o n n e c t e d ( i . e . , t h e r e i s a d i r e c t l i n k

b e t w e e n a l l p a i r s o f p r o c e s s o r s ) a n d e a c h p r o c e s s o r c a n r e c e i v e d a t a o n a l l

i n c o m i n g l i n k s s i m u l t a n e o u s l y , t h e n t h i s c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n w i l l l e a d t o

a v e r y g o o d p e r f o r m a n c e . I n p a r t i c u l a r , i f O ( N = P ) i s t h e s i z e o f t h e d a t a b a s e

a s s i g n e d l o c a l l y t o e a c h p r o c e s s o r , t h e a m o u n t o f t i m e s p e n t i n t h e c o m m u -

n i c a t i o n w i l l b e O ( N = P ) . H o w e v e r , e v e n o n t h e p a r a l l e l c o m p u t e r w i t h f u l l y

c o n n e c t e d n e t w o r k , i f e a c h p r o c e s s o r c a n r e c e i v e d a t a f r o m ( o r s e n d d a t a t o )

o n l y o n e o t h e r p r o c e s s o r a t a t i m e , t h e n t h e c o m m u n i c a t i o n w i l l b e O ( N ) .

O n a l l r e a l i s t i c p a r a l l e l c o m p u t e r s , t h e p r o c e s s o r s a r e c o n n e c t e d v i a a s p a r s e r

n e t w o r k s ( s u c h a s 2 D , 3 D o r h y p e r c u b e ) a n d a p r o c e s s o r c a n r e c e i v e d a t a

f r o m ( o r s e n d d a t a t o ) o n l y o n e o t h e r p r o c e s s o r a t a t i m e . O n s u c h m a -

c h i n e s , t h i s c o m m u n i c a t i o n p a t t e r n w i l l t a k e s i g n i c a n t l y m o r e t h a n O ( N )

t i m e b e c a u s e o f c o n t e n t i o n w i t h i n t h e n e t w o r k .

S e c o n d , i n a r c h i t e c t u r e s w i t h o u t a s y n c h r o n o u s c o m m u n i c a t i o n s u p p o r t a n d

w i t h n i t e n u m b e r o f c o m m u n i c a t i o n b u e r s i n e a c h p r o c e s s o r , t h e p r o p o s e d

a l l - t o - a l l c o m m u n i c a t i o n s c h e m e c a u s e s p r o c e s s o r s t o i d l e . F o r i n s t a n c e , c o n -

s i d e r t h e c a s e w h e n o n e p r o c e s s o r n i s h e s i t s o p e r a t i o n o n l o c a l d a t a a n d

s e n d s t h e b u e r t o a l l o t h e r p r o c e s s o r s . N o w i f t h e c o m m u n i c a t i o n b u e r o f

a n y r e c e i v i n g p r o c e s s o r s i s f u l l a n d t h e o u t g o i n g c o m m u n i c a t i o n b u e r s a r e

f u l l , t h e n t h e s e n d o p e r a t i o n i s b l o c k e d .

T h i r d , i f w e l o o k a t t h e s i z e o f t h e c a n d i d a t e s e t s a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r

o f p a s s e s o f t h e a l g o r i t h m , w e s e e t h a t i n t h e r s t f e w p a s s e s , t h e s i z e o f t h e

c a n d i d a t e s e t s i n c r e a s e s a n d a f t e r t h a t i t d e c r e a s e s . I n p a r t i c u l a r , d u r i n g t h e

l a s t s e v e r a l p a s s e s o f t h e a l g o r i t h m , t h e r e a r e o n l y a s m a l l n u m b e r o f i t e m s

i n t h e c a n d i d a t e s e t s . H o w e v e r , e a c h p r o c e s s o r i n t h e D D a l g o r i t h m s t i l l

s e n d s t h e l o c a l l y s t o r e d p o r t i o n s o f t h e d a t a b a s e t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s .

T h u s , e v e n t h o u g h t h e c o m p u t a t i o n d e c r e a s e s , t h e a m o u n t o f c o m m u n i c a t i o n

r e m a i n s t h e s a m e .

T h e r e d u n d a n t w o r k i s i n t r o d u c e d d u e t o t h e f a c t t h a t e v e r y p r o c e s s o r h a s t o

p r o c e s s e v e r y s i n g l e t r a n s a c t i o n i n t h e d a t a b a s e . I n C D ( s e e F i g u r e 4 ) , o n l y

N = P t r a n s a c t i o n s g o t h r o u g h e a c h h a s h t r e e o f M c a n d i d a t e s , w h e r e a s i n D D

( s e e F i g u r e 5 ) , a l l N t r a n s a c t i o n s h a v e t o g o t h r o u g h e a c h h a s h t r e e o f M = P

c a n d i d a t e s . A l t h o u g h , t h e n u m b e r o f c a n d i d a t e s s t o r e d a t e a c h p r o c e s s o r

h a s b e e n r e d u c e d b y a f a c t o r o f P , t h e a m o u n t o f c o m p u t a t i o n p e r f o r m e d

f o r e a c h t r a n s a c t i o n h a s n o t b e e n p r o p o r t i o n a l l y r e d u c e d . A c c o r d i n g t o t h e

a n a l y s i s p r e s e n t e d i n 1 3 ] , i n g e n e r a l , t h e a m o u n t o f w o r k p e r t r a n s a c t i o n

w i l l g o d o w n b y a f a c t o r m u c h s m a l l e r t h a n P .

T h e d e t a i l e d a n a l y s i s o f p a r a l l e l r u n t i m e i s g i v e n i n 1 3 ] , a c c o r d i n g t o w h i c h

t h e a l g o r i t h m i s n o t s c a l a b l e w i t h r e s p e c t t o n u m b e r o f t r a n s a c t i o n s , b u t i t

s c a l e s w e l l w i t h r e s p e c t t o n u m b e r o f c a n d i d a t e s .


20/41


{ I n t e l l i g e n t D a t a D i s t r i b u t i o n ( I D D ) : T h i s a l g o r i t h m w a s p r o p o s e d i n

2 8 ] . I t s o l v e s t h e p r o b l e m s o f t h e D D a l g o r i t h m . F i r s t , i n I D D , t h e l o c a l l y

s t o r e d p o r t i o n s o f t h e d a t a b a s e a r e s e n t t o a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s b y u s -

i n g a r i n g - b a s e d a l l - t o - a l l b r o a d c a s t d e s c r i

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