PARALELISMO ENTRE RECTAS

𝐿1: (𝑥 , 𝑦 )=(2 ,−1 )+𝛼(−3,6) 𝐿2: (𝑥 , 𝑦 )= (3,5 )+𝛼 (2 ,−4 )

El paralelismo entre rectas lo determinan los vectores dirección

𝒂 𝒃

𝒂∥𝒃⟹𝑳𝟏∥𝑳𝟐

PARALELISMO ①

②𝒂 .𝒃  ⊥=𝟎 ③

(−𝟑 ,𝟔 ) .(𝟒 ,𝟐)¿−𝟏𝟐+𝟏𝟐⟹𝑳𝟏∥𝑳𝟐

𝐿4 :12−4 𝑥−8

=5−5 𝑦5

{ }(−6 ,−3)

{ }(4,2)

Paralelismo

⟹ 𝑳𝟑∥𝑳𝟒

2

No coinciden o noEstán superpuestas

No coinciden o noEstán superpuestas

No coinciden o noEstán superpuestas

Coinciden o están superpuestas

ORTOGONALIDAD ENTRE RECTAS

𝐿1: (𝑥 , 𝑦 )=(3 ,1 )+𝛼 (2 ,6) 𝐿2: (𝑥 , 𝑦 )= (3 ,2 )+𝛼(3 ,−1)La Ortogonalidad entre

rectas lo determinan los vectores dirección

𝒂 𝒃

𝒂⊥𝒃⟹ 𝑳𝟏⊥𝑳𝟐

ORTOGONALIDAD ① ②

(𝟐 ,𝟔 ) .(𝟑 ,−𝟏)¿𝟔−𝟔⟹ 𝑳𝟏⊥𝑳𝟐

𝐿4 :3−2 𝑥−10

=𝑦+11

Otro Método para hallar la

Ortogonalidad

𝒙−𝟓𝒚=𝟏𝟑𝟐

⟹ 𝑳𝟑⊥𝑳𝟒

¿−𝟏

𝒙−𝟏𝟑𝟐

=𝟓 𝒚𝟏𝟓𝒙−

𝟏𝟑𝟏𝟎

=𝒚

𝒎𝟒=¿ ¿−𝟏

Posiciones relativas entre rectas

Paralelas

distancia

𝐿1: (𝑥 , 𝑦 )=(3,2 )+𝛼(−2,4)

𝐿2: (𝑥 , 𝑦 )= (2,1 )+𝛽 (1 ,−2)

(𝟑 ,𝟐)

(𝟐 ,𝟏)

(𝟏 ,𝟏)

Proy𝐿2

(1,1)¿Proy𝑎

(1,1)Com 𝑝(1 , −2)

(1,1)¿(1,1)(1 ,−2)

|(1 ,−2)|¿−1

√5

√2=¿

(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)2+( 1√5

)2

¿ (√2)2⟹ (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)2¿2−15

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=¿√ 95¿ 3√5

{ }(−4 ,−2)

{ }(2,1)

3

(2,1)

√5

No Paralelas

𝜶

Ortogonales

𝜶𝟗𝟎𝟎

(𝟏 ,𝟐)

⟹ ⟹ 𝒎𝟏=−𝟐⟹ ⟹ 𝒎𝟐=−

𝟏𝟑

𝒎𝟏 .𝒎𝟐=−𝟏

𝒎𝟏=𝒂=(𝟏 ,−𝟐)

𝒎𝟐=𝒃=(𝟏 ,−𝟏𝟑

)

α

𝜽 𝜷α

𝛽=𝛼+𝜃

𝛼=𝛽−𝜃

𝑇𝑎𝑔𝛼=¿𝑇𝑎𝑔(𝛽−𝜃)¿ 𝑇𝑎𝑔 𝛽−𝑇𝑎𝑔𝜃1+𝑇𝑎𝑔 𝛽 .𝑇𝑎𝑔𝜃

𝑳𝟏

𝑳𝟐

Ángulo de inclinación de la Recta (1)

Ángulo de inclinación de la Recta (2)

𝑻𝒂𝒈 𝜷=¿Pendiente de la Recta (1)¿𝒎𝟏

𝑻𝒂𝒈𝜽=¿Pendiente de la Recta (2)¿𝒎𝟐

𝑇𝑎𝑔𝛼=¿𝒎𝟐−𝒎𝟏

𝟏+𝒎𝟐 .𝒎𝟏

ANGULO ENTRE RECTAS

Posiciones relativas entre rectas

Paralelas distancia

No Paralelas

Ortogonales

𝜶

𝜶𝟗𝟎𝟎

𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐𝑎𝑥+𝑏𝑦=d

|𝑐−𝑑|√𝑎2+𝑏2

𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑚𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑚

𝑚𝑥+𝑛 𝑦=𝑎𝑝𝑥+𝑞𝑦=𝑏

Resolviendo el sistema de ecuaciones

Debe hallar las pendientes y

verificar:

Sí ; no son ortogonales:

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Dada la recta: Hallar la distancia del punto A (6,2) a la recta

𝑫

No hay distancia

A

A

B

Proy𝐿1

(3 ,11)

Pendiente:

𝒎𝟏=𝟐𝒂=(𝟏 ,𝟐)

¿Proy𝑎

(3 ,11) ¿ Proy(1,2 )

(3 ,11)

Comp(1,2 )

(3 ,11)¿ (3 ,11)(1,2)|(1,2)|

¿25

√5

√130=¿

(𝐷)2+( 25√5

)2

¿ (√130)2 (𝐷)2¿130−6255 𝑫=√𝟐𝟓𝟓 ¿√𝟓

⟹ ⟹ ¿𝟓 √𝟓