Osnovi Furijeove analize - dopunska pitanja

N. C. Dincic, 27. I 2020.

1 Neki zanimljivi rezultati

1.1 Puasonova formula ([4])

Puasonova1 formula daje elegantnu vezu izmedu Furijeovih redova i Fu-rijeovih transformacija.

Neka je data funkcija f ∈ S(R) na realnoj pravoj. Konstruisacemo novufunkciju F1 na sledeci nacin:

F1(x) =∞∑

n=−∞

f(x+ 2nπ).

Kako je f funkcija koja brzo opada u beskonacnosti, red na desnoj stranikonvergira apsolutno i ravnomerno na svakom kompaktnom podskupu od R,te je funkcija F1 neprekidna. Posto je

F1(x+ 2π) =∞∑

n=−∞

f(x+ 2(n+ 1)π) =∞∑

n=−∞

f(x+ 2nπ) = F1(x),

sledi da je F1 2π−periodicna funkcija.Postoji jos jedan nacin da se dode do ”periodicne verzije” funkcije f ,

ovaj put koristeci Furijeovu analizu. Polazi se od identiteta za Furijeovutransformaciju

f(x) =1√2π

∫ ∞−∞

f(ξ)eiξxdξ,

i posmatra diskretni analogon (gde se integral menja sumom):

F2(x) =1√2π

∞∑n=−∞

f(n)einx.

I ova suma na desnoj strani konvergira apsolutno i ravnomerno, zato sto jef ∈ S, te je funkcija F2 neprekidna. Ona je takode 2π−periodicna, jer

F2(x+ 2π) =1√2π

∞∑n=−∞

f(n)ein(x+2π) =1√2π

∞∑n=−∞

f(n)einx = F2(x).

1Simeon Denis Poisson (1781–1840), francuski matematicar, geometar i fizicar

1

Fundamentalni rezultat tvrdi da ova dva potpuno razlicita pristupa vode doiste funkcije.

Teorema 1.1 (Puasonova sumaciona formula). Ako f ∈ S, tada

∞∑n=−∞

f(x+ 2nπ) =1√2π

∞∑n=−∞

f(n)einx.

Specijalno, za x = 0 dobija se

∞∑n=−∞

f(2nπ) =1√2π

∞∑n=−∞

f(n).

Dokaz. Da bismo dokazali prvu formulu, dovoljno je dokazati da obe strane(koje su neprekidne funkcije) imaju iste Furijeove koeficijente, ako se posma-traju kao funkcije na [0, 2π]. Jasno je da je m−ti Furijeov koeficijent funkcije

na desnoj strani f(m)/√

2π. Za funkciju na levoj strani imamo

cm =1

2π

∫ 2π

0

( ∞∑n=−∞

f(x+ 2nπ))e−imxdx =

=∞∑

n=−∞

1

2π

∫ 2π

0

f(x+ 2nπ)e−imxdx =∣∣∣x+ 2nπ = y

∣∣∣ =

=1

2π

∞∑n=−∞

∫ 2(n+1)π

2nπ

f(y)e−im(y−2nπ)dy =1

2π

∞∑n=−∞

∫ 2(n+1)π

2nπ

f(y)e−imydy =

=1√2π

1√2π

∫ ∞−∞

f(y)e−imydy =1√2πf(m).

Zamena mesta sume i integrala je dopustena zato sto f ∈ S.

Napomenimo da se teorema moze, bez sustinskih promena u dokazu,uopstiti na slucaj kada su f i f umereno opadajuce funkcije (”functionsof moderate decrease”). Podsecamo, funkcija f definisana na R je umerenoopadajuca ako je f neprekidna i

(∃A > 0)(∀x ∈ R) |f(x)| ≤ A

1 + |x|2.

Umesto kvadrata u gornjoj formuli moze stajati 1 + ε, gde ε > 0.Napomena: Umesto ove teoreme moze i Primer 3, str. 512 iz [6].

2

1.2 Senonova teorema o uzorcima

Definicija 1.1. Funkcija f je vremenski ogranicena (eng. time-limited)ako (∃M ∈ R)(∀|x| ≥M) f(x) = 0. Funkcija je ogranicenog opsega (eng.band-limited) ako (∃L ∈ R)(∀|ω| > L) F [f ](ω) = 0.

Funkcije ogranicenog opsega mogu se rekonstruisati na osnovu svojih uzo-raka u diskretnom nizu ekvidistantnih tacaka na sledeci nacin.

Teorema 1.2 (Senon2). Neka je f deo po deo neprekidna i apsolutno inte-grabilna realna funkcija ogranicenog opsega. Tada ∀ωs > 2L

f(x) =∞∑

n=−∞

f(nT )sin ωs(x−nT )

2ωs(x−nT )

2

, x ∈ R,

pri cemu je T = 2πωs.

Dakle, funkcija f ogranicenog opsega sa frekvencijom L > 0 potpunoje odredena nizom svojih vrednosti u ekvidistantnim tackama koje su narastojanjima manjim od π

L. Na primer, digitalni signal na audio CD-u je

uzorkovan 44000 puta u sekundi. Ovo je posledica cinjenice da ljudsko culosluha ne registruje frekvencije iznad 20000 Herca. Zato se audio-signal najprepropusta kroz odgovarajuci niskopropusni filter, pa se tako dobijeni signaluzorkuje 44000 puta u sekundi, sto je na osnovu Senonove teoreme dovoljnoza vernu rekonstrukciju.

Da bi rekonstrukcija funkcije f ogranicenog opsega sa frekvencijom L bilamoguca, ucestalost uzimanja uzorka ωs mora biti veca od 2L. Frekvencija2L naziva se Najkvistova frekvencija. Ukoliko se uzimaju uzorci rede odNajkvistove3 frekvencije, moze se desiti da jednom nizu uzoraka odgovara viserazlicitih funkcija, pa se originalna funkcija ne moze rekonstruisati. Resenjeje u koriscenju antialajzing (eng. anti-aliasing) filtera.

Teorema 1.3. Neka je f deo po deo neprekidna i apsoluto integrabilna realnafunkcija ogranicenog opsega. Ako postoji M > 0 tako da (∀|x| > M)f(x) = 0,tada je f ≡ 0.

2Claude Elwood Shannon (1916–2001), americki matematicar i inzenjer elektronike.Zbog svojih zasluga poznat kao ”otac teorije informacija”.

3Harry Nyquist (1889–1976), americki inzenjer elektronike svedskog porekla, poznat posvom radu iz oblasti teorije informacija

3

Drugim recima, ne postoje netrivijalne realne funkcije koje su deo po deoneprekidne i apsolutno integrabilne koje su istovremeno vremenski ogranicenei ogranicenog opsega.

1.3 Hajzenbergov princip neodredenosti ([4])

Hajzenbergov4 princip neodredenosti se matematicki moze formulisatikao odnos izmedu funkcije i njene Furijeove transformacije. Grubo receno,funkcija i njena Furijeova transformacija ne mogu biti istovremeno esencijalnolokalizovane (tj. ne mogu imati istovremeno ogranicene domene).

Teorema 1.4. Neka je ψ ∈ S(R) koje zadovoljava uslov normalizacije, tj.∫∞−∞ |ψ(x)|2dx = 1. Tada(∫ ∞

−∞x2|ψ(x)|2dx

)(∫ ∞−∞

ξ2|ψ(ξ)|2dξ)≥ 1

4,

i jednakost vazi akko ψ(x) = Ae−Bx2, gde B > 0 i |A|2 =

√2Bπ

.

U stvari, za sve x0, ξ0 ∈ R vazi:(∫ ∞−∞

(x− x0)2|ψ(x)|2dx)(∫ ∞

−∞(ξ − ξ0)2|ψ(ξ)|2dξ

)≥ 1

4.

Dokaz. Druga nejednakost sledi iz prve ako se ψ(x) zameni sa e−ixξ0ψ(x+x0)i obavi smena promenljivih (vezba za studenta!). Primetimo da su funkcijeψ i ψ′ brzo opadajuce u beskonacnosti. Da bismo dokazali prvu nejednakost,krenucemo od pretpostavke o normiranosti, a zatim koristiti parcijalnu inte-graciju:

1 =

∞∫−∞

|ψ(x)|2dx =∣∣∣u=|ψ(x)|2

v=x

∣∣∣ = x|ψ(x)|2∣∣∣+∞−∞−

∞∫−∞

xd

dx|ψ(x)|2dx =

= −∞∫

−∞

xd

dx(ψ(x)ψ(x))dx = −

∞∫−∞

(xψ′(x)ψ(x) + xψ′(x)ψ(x))dx =

= −∞∫

−∞

xψ′(x)ψ(x)dx−∞∫

−∞

xψ′(x)ψ(x)dx.

4Werner Karl Heisenberg (1901–1976), nemacki fizicar, dobitnik Nobelove nagrade zafiziku 1932, jedan od osnivaca kvantne mehanike

4

Koristeci sledece:

• z + z = 2Re(z), |Re(z)| ≤ |z|, |λz| = |λ||z|

•∫RRe(h(x))dx = Re(

∫R h(x)dx) za h : R→ C

•∣∣∣∫R f(x)g(x)dx

∣∣∣2 ≤ (∫R |f(x)|2dx

) (∫R |g(x)|2dx

)za funkcije f, g koje

su integrabilne sa kvadratom (nejednakost Svarc-Kosi-Bunjakovski)

dobijamo:

1 = 2

∣∣∣∣Re(∫ ∞−∞

xψ(x)ψ′(x)dx

)∣∣∣∣ ≤ 2

∣∣∣∣∫ ∞−∞

xψ(x)ψ′(x)dx

∣∣∣∣ ≤≤ 2

(∫ ∞−∞|xψ(x)|2dx

)1/2(∫ ∞−∞|ψ′(x)|2dx

)1/2

=

= 2

(∫ ∞−∞

x2|ψ(x)|2dx)1/2(∫ ∞

−∞|ψ′(x)|2dx

)1/2

.

Ako se iskoriste osobina Furijeove transformacije izvoda i Planserelova for-mula ∫ ∞

−∞|f(x)|2dx =

∫ ∞−∞|f(ξ)|2dξ,

tada imamo∞∫

−∞

|ψ′(x)|2dx =

∞∫−∞

|ψ′(ξ)|2dξ =

∞∫−∞

|iξψ(ξ)|2dξ =

∞∫−∞

ξ2|ψ(ξ)|2dξ.

Da bi vazila jednakost mora da vazi jednakost u nejednakosti Svarc-Kosi-Bunjakovski, odakle dobijamo diferencijalnu jednacinu ψ′(x) = cxψ(x) cijeje resenje ψ(x) = Aecx

2/2. Kako je ψ ∈ S, mora biti c < 0 (uzimamo da

c = −2B za neko B > 0), a iz uslova normalizacije nalazimo |A|2 =√

2Bπ

.

Dokaz Planserelove formule (promena redosleda integracije moguca uprostoru Svarca)∫ ∞−∞|f(x)|2dx =

∫ ∞−∞

f(x)f(x)dx =

∫ ∞−∞

f(x)

(1√2π

∫ ∞−∞

f(ξ)eiξxdξ

)dx =

=

∫ ∞−∞

(1√2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iξxdx

)f(ξ)dξ =

∫ ∞−∞

f(ξ)f(ξ)dξ =

∫ ∞−∞|f(ξ)|2dξ.

5

Kvantnomehanicko tumacenje Pretpostavimo da se cestica krece duzrealne prave. Prema aksiomama kvantne mehanike, svakoj cestici pridruzujese ”funkcija stanja” ψ ∈ S(R) koja je normalizovana. Polozaj cestice odredujese ne kao konkretna tacka, vec kao verovatnoca da se cestica nade u intervalu

(a, b):b∫a

|ψ(x)|2dx. Pritom se |ψ(x)|2 interpretira kao gustina raspodele, dok

su ocekivanje i varijansa dati redom sa

x =

∞∫−∞

x|ψ(x)|2dx, σ =

∞∫−∞

(x− x)2|ψ(x)|2dx.

Furijeova transformacija prebacuje nas iz ”prostora koordinata” u ”prostorimpulsa”, te je prema tome verovatnoca da impuls ξ cestice pripada intervalu(α, β) jednaka

∫ βα|ψ(ξ)|2dξ.

Sada mozemo iskazati gornju teoremu malo drugacije: sto preciznijeznamo polozaj cestice, to manje znamo o njenom impulsu, i obratno. Dakle,

”neodredenost polozaja”× ”neodredenost impulsa” ≥ ~16π2

,

gde je ~ = 1.054571726× 10−34 J · s tzv. redukovana Plankova konstanta.

2 DFT i FFT

Da bismo koristili Furijeove redove, transformacije i trigonometrijskeaproksimacije funkcije f , ona nam mora biti poznata (ana;iticki) na nekomintervalu. Vrlo cesto je funkcija data svojim vrednostima u konacnom brojutacaka (najcesce ekvidistantnih tj. tacaka gde je rastojanje svake dve susednejednako), i od interesa je prosiriti Furijeovu analizu i na ovaj slucaj. Glavnaprimena ovakve ”diskretne Furijeove analize” je u telekomunikacijama, anali-zi vremenskih serija i pri raznim simulacijama. Za funkcije zadate konacnimskupom svojih vrednosti u ekvidistantnim tackama koristi se tzv. diskretnaFurijeova transformacija (eng. discrete Fourier transform - DFT).

Neka je f(x) 2π−periodicna funkcija. Pretpostavimo da znamo vrednostfunkcije f u N ekvidistantnih tacaka na [0, 2π]:

xk =2πk

N, k = 0, N − 1; (1)

6

kaze se da je funkcija uzorkovana (semplovana) u tim tackama. Zelimo daodredimo trigonometrijski polinom

q(x) =N−1∑n=0

cneinx (2)

koji interpolira f(x) u cvorovima (1), tj.

fk = f(xk) = q(xk) =N−1∑n=0

cneinxk , k = 0, N − 1. (3)

Dakle, potrebno je odrediti koeficijente c0, . . . , cN−1 tako da vazi prethodnarelacija.

fke−imxk =

N−1∑n=0

cnei(n−m)xk =

N−1∑n=0

cnei(n−m) 2πk

N ,

sumirajuci gornji izraz po k dobijamo

N−1∑k=0

fke−imxk =

N−1∑k=0

N−1∑n=0

cnei(n−m) 2πk

N =N−1∑n=0

cn

N−1∑k=0

ei(n−m) 2πkN . (4)

Uvedimo oznaku r = ei(n−m) 2πN . Za n = m je r = e0 = 1, pa unutrasnja suma

u (4) postaje N ; ako n 6= m onda r 6= 1, |r| = 1, pa unutrasnja suma u (4)postaje

N−1∑k=0

rk =1− rN

1− r= 0,

posto je rN = ei(n−m)2π = 1. Dakle,

N−1∑k=0

fke−imxk =

N−1∑n=0

cnδm,nN = Ncm,

odnosno

cn =1

N

N−1∑k=0

fke−inxk , fk = f(xk), k = 0, N − 1. (5)

Posto algoritam za izracunavanje cn koristi uzastopno polovljenje problemavelicine N , iz prakticnih razloga izostavljamo faktor 1

Ni definisemo DFT

7

datog signala f = [f0 . . . fN−1]T kao vektor f = [f0 . . . fN−1]T cije sukomponente

fn = Ncn =N−1∑k=0

fke−inxk , fk = f(xk), n = 0, N − 1, (6)

odnosno u vektorskom obliku

f = FN · f ,

gde je FN = [enk] Furijeova matrica formata N ×N ciji su elementi

enk = e−inxk = e−2πinkN = ωnk, ω = ωN = e−

2πiN , k, n = 0, N − 1. (7)

Jasno je da ω = e−2πi/N predstavlja primitivni N−ti kompleksni koren je-dinice. Kao primer pokazacemo kako izgleda Furijeova matrica tipa 4 × 4(primetimo da ω = e−2πi/4 = −i):

F4 =

ω0 ω0 ω0 ω0

ω0 ω1 ω2 ω3

ω0 ω2 ω4 ω6

ω0 ω3 ω6 ω9

=

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

.Ukoliko je poznata DFT f = FNf , tada se moze rekonstruisati dati signal

f = F−1N f .

Matrica FN i njen kompleksni konjugat FN = 1N

[ωnk] zadovoljavaju

FNFN = FNFN = N · IN ,

pa zato FN ima inverz

F−1N =

1

NFN . (8)

Dokaz: Matrica GN = FN · FN = [gjk] ima elemente gjk =”vrsta j odFN”×”kolona k od FN”, odnosno ako stavimo W = ωjωk, vazi

gjk = (ωjωk)0+(ωjωk)1+. . .+(ωjωk)N−1 = W 0+W 1+. . .+WN−1 =

0, j 6= kN, j = k

8

Zaista, za j = k vazi ωkωk = (ωω)k = (e2πiN e−

2πiN )k = 1, pa je suma N

takvih izraza N - to su dijagonalni elementi GN . Za j 6= k je W 6= 1 idobijamo geometrijsku sumu W 0 + W 1 + . . . + WN−1 = 1−WN

1−W = 0, jer

WN = (ωjωk)N = (e2πi)j(e−2πi)k = 1.Ukoliko se koristi normiranje konstantom 1√

N, tada DFT postaje unitarna

transformacija, definisana unitarnom matricom U = 1√NF, jer za nju vazi

U−1 = U∗ i | detU | = 1. Njeni elementi su dati sa

Umn =1√Nω

(m−1)(n−1)N =

1√Ne−

2πiN

(m−1)(n−1).

Jos jedna zanimljiva osobina: U4 = I.Kako je f spektar frekvencija signala f(x), komponente fn daju razla-

ganje 2π−periodicne funkcije f(x) na proste (kompleksne) harmonike. Ovdetreba koristiti samo n−ove koji su mnogo manji od N

2da bi se izbegao ”alajz-

ing” efekat (aliasing - efekat do kojeg dolazi ako se uzme premalo ekvidistant-nih uzoraka, tako da npr. kod pokretnih slika tockovi koji se okrecu izgledajukao da se okrecu presporo ili cak u pogresnom smeru). Zato je u primenamaN obicno veliko, zbog cega nastaje novi problem. Jednacina kojom nalazimof zahteva O(N) operacija za svako n, dakle O(N2) operacija za sve n < N

2.

Sada vec 1000 uzorkovanja zahteva milione operacija.

20 40 60 80 100

2000

4000

6000

8000

10 000

Slika 1: Uporedni graficki prikaz slozenosti N · log2N i N2

Navedeni problem se otklanja tzv. brzom Furijeovom transformaci-jom (fast Fourier transform - FFT), koja zahteva samo O(N log2N) opera-cija umesto O(N2) (vidi sliku za uporedni prikaz slozenosti). U FFT biramoN tako da bude stepen dvojke5 - N = 2p, p ∈ N i koristimo poseban ob-lik Furijeove matrice da razbijemo dati problem na manje probleme velicine

5Ako vec imamo uzorak cija velicina nije stepen dvojke, dopunu vrsimo nulama.

9

M = N2

. Ovo razbijanje je moguce, jer za N = 2M imamo

ω2N = ω2

2M = (e−2πiN )2 = e−

4πi2M = e−

2πiM = ωM .

Dati vektor f = [f0 . . . fN−1]T polovi se na dva vektora od po M kom-ponenti: f ev = [f0 f2 . . . fN−2]T koji sadrzi parne komponente i f od =[f1 f3 . . . fN−1]T koji sadrzi neparne. Za f ev i f od odredujemo DFT

f ev = [fev,0 fev,2 . . . fev,N−2]T = FMf ev,

f od = [fod,1 fod,3 . . . fod,N−1]T = FMf od,

koristeci istu M×M matricu FM . Od ova dva vektora dobijamo komponenteza DFT datog vektora f prema formulama

fn = fev,n + ωnN fod,n, fn+M = fev,n − ωnN fod,n, n = 0,M − 1. (9)

Za N = 2p polovljenje se moze ponoviti p − 1 puta, cime se dolazi do N2

problema velicine 2, sto predstavlja gore dati smanjeni broj mnozenja.Dokaz formule (9): Prema (6) i (7), komponente DFT su

fn =N−1∑k=0

ωknN fk =M−1∑k=0

ω2knN f2k +

M−1∑k=0

ω(2k+1)nN f2k+1.

Koristeci ω2N = ωM , izvlacenjem ωnN iz druge sume, dobijamo

fn =M−1∑k=0

ωknM fev,k + ωnN

M−1∑k=0

ωknM fod,k. (10)

Ove dve sume su fev,n i fod,n, komponente od Ff ev i Ff od. Prva formula u(9) je ista kao (10), dok za drugu imamo n + M umesto n, sto dovodi dopromene znaka, jer

ωMN = e−2πiMN = e−iπ = −1.

Ovde opisan metod, zasnovan na strategiji ”podeli pa vladaj” je jedna odmogucih implementacija FFT, tzv. algoritam Kuli-Tuki6. Oni su svoj algo-ritam objavili 1965. godine, iako je nesto slicno bilo poznato i ranije. Gaus

6James William Cooley (1926-2016), John Wilder Tukey (1915–2000), americki mate-maticari

10

je jos 1805. godine razvio slican algoritam da bi izracunao putanju asteroidaPalas i Junona. Medutim, tek sa razvojem racunara FFT je pokazao svojumoc.

Dajemo primer DFT i FFT za N = 4 :ω = e−

2πi4 = −i, ωnk = (−i)nk, f = [f0 f1 f2 f3]T .

f = F4f =

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

f0

f1

f2

f3

=

f0 + f1 + f2 + f3

f0 − if1 − f2 + if3

f0 − f1 + f2 − f3

f0 + if1 − f2 − if3

.Potrazimo sada preko FFT: M = N

2= 2, ω = ωM = e−

2πi2 = −1.

f ev =

[f0

f2

]= F2f ev =

[1 11 −1

] [f0

f2

]=

[f0 + f2

f0 − f2

],

f od =

[f1

f3

]= F2f od =

[1 11 −1

] [f1

f3

]=

[f1 + f3

f1 − f3

].

Dakle,

f0 = fev,0 + ω04 fod,0 = (f0 + f2) + (f1 + f3) = f0 + f1 + f2 + f3,

f1 = fev,1 + ω14 fod,1 = (f0 − f2)− i(f1 − f3) = f0 − if1 − f2 + if3,

f2 = fev,0 + ω04 fod,0 = (f0 + f2)− (f1 + f3) = f0 − f1 + f2 − f3,

f0 = fev,1 − ω14 fev,1 = (f0 − f2)− (−i)(f1 − f3) = f0 + if1 − f2 − if3.

Furijeova matrica Fn za n = 2r moze se particionisati na delove kojisadrze matricu Fn/2:

Fn =

[Fn/2 Dn/2Fn/2Fn/2 −Dn/2Fn/2

]Pn/2,

gde je Dn/2 = diag1, ω, ω2, ..., ωn/2−1 dijagonalna matrica, a Pn/2 par-neparpermutaciona matrica data sa

P Tn = [e0, e2, ..., en−2, e1, e3, ..., en−1].

11

Na primer, za matricu M4 imamo:

F4 =

[F2 D2F2

F2 −D2F2

]P2 =

=

[

1 11 −1

] [1 00 −i

] [1 11 −1

][

1 11 −1

] [−1 00 i

] [1 11 −1

]

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

=

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

3 JPEG ([5])

JPEG (akronim od Joint Photographic Expert Group) je vec dugo najces-ci format slike na internetu. Standardizovan 1994, u stanju je da zadrzi visokkvalitet i malu velicinu fajla. Njegova sposobnost da upakuje tako mnogovizuelnih informacija u mali fajl je uglavnom zasnovana na iskoriscavanjumogucnosti i ogranicenja ljudskog oka.

JPEG slike su kolekcije nizova brojeva koje odgovaraju kanalima razlicitihboja. Podaci koji cine digitalnu sliku su kao matrica koja ima diskretnevrednosti.

Kod JPEG kompresije koriste se tri koraka: diskretna kosinusna transfor-macija (Discrete Cosine Transform), kvantizacija i entropijsko (Hafmanovo)kodiranje.

1. DCT je kao DFT po tome sto prevodi prostorni domen slike u domenfrekvencija. Prostorni domen sastoji se od brojeva koji odrazavaju intenzitetsvakog kanala u datom pikselu, dok se domen frekvencija sastoji od promenaintenziteta sa jednog piksela na susedni.

Obicno domen frekvencija sadrzi manje informacija od prostornog dome-na. U opstem slucaju, nase uobicajene slike imaju malo ekstremnih promenapo intenzitetu, i sastavljene su od gradijenata koje je lako predvideti. DCTpredstavlja domen frekvencija kao kombinaciju kosinusnih funkcija po x i y,kao FT.

Jednacina za DCT izmedu domena prostora i frekvencija je

C(u, v) = a(u)a(v)N−1∑x=0

N−1∑y=0

f(x, y) cosπ(2x+ 1)u

2Ncos

π(2y + 1)v

2N,

gde:

12

• C(u, v) su koeficijent DCT matrice u tacki (u, v);

• f(x, y) je vrednost iz prostornog domena na koordinati (x, y) JPEGslike;

• N su duzina i sirina slike;

• a(u), a(v) su normalizacione konstante.

Gornji racun za celu sliku formata 2000 × 800 piksela zauzeo bi mnogoresursa. Umesto toga, JPEG slika se prvo deli na blokove tipa 8 × 8. Svakipiksel sadrzi 24 binarnih bitova koji predstavljaju boju piksela, po 8 za svakiod tri kanala (crvena, plava, zelena). Kako je 28 = 256, svaka vrednost uokviru 8 × 8 kvadrata je u opsegu od 0 do 256. Da bismo mogli primenitiDCT, sve vrednosti moraju biti centrirane oko nule. S tim ciljem od svakevrednosti se oduzima 28/2 = 128.

Deljenje slike na blokove tipa 8×8 omogucava jos jednu prednost primeneDCT. Za date vrednosti N, i, j moze se konstruisati standardna matrica ko-eficijenata DCT, cime se transformacija svodi na matricno mnozenje, gde jematrica B iz domena frekvencija jednaka CACT , gde je C matrica koeficije-nata DCT a A 8× 8 domen frekvencija.

DCT ima osobinu da uklanja varijaciju u intenzitetu sa slike.Dok DCT konvertuje sliku u njen domen frekvencija i otklanja izvesnu

varijaciju, on proizvodi vise informacija nego sto je bilo na pocetku. Dok suvrednosti u prostornom domenu u opsegu od−128 do 128, vrednosti u matriciposle DCT su od −1024 do 1024. Drugi metod kompresije, kvantizacija,koristi se za uklanjanje tih suvisnih informacija.

2. Kvantizacija Posle DCT, slika je detaljno opisana u svom domenufrekvencija. Medutim, ljudsko oko ne moze da razlikuje promene vrlo sjajnihili vrlo zatvorenih boja. JPEG se moze dalje kompresovati tako sto se postavena nulu promene frekvencija koje ljudsko oko ne moze da razlikuje.

Kvantizacija zahteva kvantizacionu matricu. Svaki broj u 8 × 8 blokuJPEG slike deli se brojem na odgovarajucim koordinatama u kvantizacionojmatrici i zaokruzuje na ceo broj. Za standardnu kvantizacionu matricu vidi[5], str. 5.

Kvantizacija znacajno umanjuje velicinu fajla, smanjujuci kolicinu bitovaza enkodiranje svakog piksela. Hafmanovo kodiranje moze dodatno smanjitivelicinu JPEG slike.

13

3. Hafmanovo kodiranje DCT obicno daje matricu kod koje se nizefrekvencije pojavljuju u gornjem levom uglu matrice. Kvantizacija ondamnoge visoke frekvencije zaokruzuje na nulu. Prateci cik-cak putanju kroz8 × 8 blokove, obicno se dobija nekoliko nenula matricnih koeficijenata zakojima sledi niz nula.

Hafmanovo kodiranje koristi ponavljanja, kao recimo listu brojeva kojase zavrsava dugom listom nula, tako sto umece novi kod umesto ceste kom-binacije brojeva. Kod JPEG uobicajeni kod koji oznacava da su preostalikoeficijenti u matrici nule je EOB.

Npr, −2, 0, 5, 10,−43,−3, 0, . . . , 0 postaje −2, 0, 5, 10,−43,−3, EOB.Zakljucak: Formati kao .bmp i .tiff zahtevaju mnogo informacija da bi

mogli da skladiste sliku, jer im treba 32 bita da enkodiraju boju svakogpiksela. S druge strane, JPEG ima tri nivoa kompresije. Prvo se diskretnikomadi informacija u svakom pikselu transformisu u 2D krive. Zatim sesuvisne informacije koje ljudsko oko ne moze razlikovati umanjuju. Preostalainformacija je savrsena za dalju kompresiju Hafmanovim kodiranjem.

Kombinacija ova tri koraka omogucava slike vrlo male velicine i velikeraznolikosti kvaliteta slike nivoa kompresije. Zato je JPEG dominantan for-mat slike na internetu.

4 Furijeova transformacija u Rn [7]

Definicija 4.1. Neka je Ω ⊆ Rn merljiv skup. Tada prostor funkcija L1

definisemo kao:

L1(Ω) = f : Ω 7→ C | f merljiva, ||f ||1 =

∫Ω

|f | <∞.

Definicija 4.2. Furijeova transformacija proizvoljne funkcije f ∈ L1(Rn) je

f(ξ) =

∫Rn

e−i〈ξ,x〉f(x)dx, (ξ ∈ Rn), (11)

gde je 〈ξ, x〉 =n∑j=1

ξjxj uobicajeni skalarni proizvod vektora x = (x1, . . . , xn)

i ξ = (ξ1, . . . , ξn) iz Rn.

14

Dakle, f : Rn 7→ C.

Teorema 4.1 (Formula rekonstrukcije i osnovne osobine). Neka za f : Rn →C vazi:

f, f ∈ L1(Rn). (12)

Tada se f moze rekonstruisati iz svoje Furijeove transformacije:

f(x) =1

(2π)n

∫Rn

ei〈ξ,x〉f(ξ)dξ, (13)

za skoro sve x ∈ Rn.Stavise, ako je g funkcija koja zadovoljava g, g ∈ L1(Rn), tada fg, f g,

f g, f ∗ g ∈ L1(Rn), i

1.∫Rn fg = (2π)−n

∫Rn f

¯g (formula Planserela),

2.∫Rn |f |

2 = (2π)−n∫Rn |f |

2 (formula Planserela),

3. f ∗ g = f g,

4. f g = (2π)−nf ∗ g,

5.f(x) = (2π)nf(−x) za skoro sve x ∈ Rn,

6. f(·+ a) = ei〈ξ,a〉f(ξ), a ∈ Rn,

7. Ako je jos f neprekidno diferencijabilna i ∂f∂xj∈ L1(Rn), tada

∂

∂xjf(ξ) = iξj f(ξ).

Podsecamo da se konvolucija funkcija definise kao

(f ∗ g)(x) =

∫Rn

f(x− y)g(y)dy.

Ako f, g ∈ L1(Rn), prema teoremi Fubinija f(x − y)g(y) ∈ L1(Rn) za skorosve x, te je desna strana dobro definisana i f ∗ g ∈ L1(Rn).

15

Dokaz. Dokaz formule reprezentacije odlozicemo za kasnije, dok cemo sadadokazivati osobine 1-7.

1) Najpre dokazujemo da su obe strane dobro definisane, tj. da integrandi

pripadaju L1(Rn). Prema definiciji Furijeove transformacije, |f(ξ)| ≤||f ||1 za sve ξ, pa je f ogranicena funkcija, te zato f ¯g ∈ L1(Rn)(kao proizvod ogranicene i L1−funkcije). Analogno, koristeci formulu

rekonstrukcije, dobija se |f(x)| ≤ (2π)−n||f ||1 skoro svuda, odaklefg ∈ L1(Rn).

Sada polazimo od leve strane, zamenjujemo g odgovarajucom formulomrekonstrucije i koristimo teoremu Fubinija:∫

Rnfg = (2π)−n

∫Rnf(x)

(∫Rng(ξ)ei〈ξ,x〉dξ

)dx =

= (2π)−n∫Rn

(∫Rnf(x)e−i〈ξ,x〉dx

)g(ξ)dξ =

= (2π)−n∫Rnf(ξ)g(ξ)dξ.

2) sledi neposredno iz dela 1) ako stavimo g = f.

6) Kako ovde f(· + a) oznacava funkciju definisanu sa g(x) = f(x + a),smenom y = x+ a dobijamo

g(ξ) =

∫Rne−i〈ξ,x〉f(x+ a)dx =

∫Rne−i〈y−a,ξ〉f(y)dy = ei〈a,ξ〉f(ξ).

3) Sada pokazujemo da ako f, g ∈ L1(Rn), onda f ∗ g ∈ L1(Rn). Nejedna-kost trougla i teorema Fubinija daju

||f ∗ g||1 =

∫Rn

∣∣∣ ∫Rnf(x− y)g(y)dy

∣∣∣dx ≤≤∫Rn

(∫Rn|f(x− y)||g(y)|dy

)dx =

=

∫Rn

(∫Rn|f(x− y)|dx

)|g(y)|dy = ||f ||1||g||1.

16

Sada je 3) neposredna posledica teoreme Fubinija i 6):

f ∗ g(ξ) =

∫Rn

(∫Rnf(x− y)g(y)dy

)e−i〈ξ,x〉dx =

=

∫Rn

(∫Rnf(x− y)e−i〈ξ,x〉dx

)g(y)dy =

=

∫Rne−i〈ξ,y〉f(ξ)g(y)dy = f(ξ)g(ξ).

4) Polazimo od izraza na levoj strani, zamenimo formulu rekonstrukcijeza g i primenimo teoremu Fubinija:

f g(ξ) =

∫Rnf(x)g(x)e−i〈ξ,x〉dx =

=

∫Rnf(x)

((2π)−n

∫Rng(`)ei〈`,x〉d`

)e−i〈ξ,x〉dx =

= (2π)−n∫Rn

∫Rnf(x)e−i〈ξ−`,x〉dx g(`)d` =

= (2π)−n∫Rnf(ξ − `)g(`)d` = (2π)−n(f ∗ g)(ξ).

5) Iskoristimo formulu rekonstrukcije u tacki −x :

f(−x) = (2π)−n∫Rnf(ξ)ei〈−x,ξ〉dξ = (2π)−n

f(x).

7) Lako se pokazuje pod dodatnom pretpostavkom da f iscezava vanizvesnog ogranicenog skupa: koristeci parcijalnu integraciju po xj icinjenicu da se zbog dodatne pretpostavke izvesni izrazi u parcijalnojintegraciji anuliraju, dobijamo:

∂f

∂xj(ξ) =

∫Rne−i〈ξ,x〉

∂f

∂xj(x)dx =

∫Rn−1

(∫Re−i〈ξ,x〉

∂f

∂xj(x)dxj

)∏`6=j

dx` =

=

∫Rn−1

(−∫R(−iξje−i〈ξ,x〉)f(x)dxj

)∏`6=j

dx` = iξj f(ξ).

Mnogo je manje ocigledno da 7) vazi pod prirodnim uslovom navedenimu teoremi.

17

Nastavljamo dokazujuci formulu reprezentacije za Helder-neprekidne funkcijeza slucaj dimenzije n = 1 koji se lako prenosi na opste n. Analogno parcijal-nim sumama kod Furijeovih redova, ovde radimo sa ”zarubljenim” integral-ima

IN,f (x) =1

2π

∫|ξ|≤N

f(ξ)eiξxdξ.

Kako je f ∈ L1(R), po teoremi o dominiranoj konvergenciji7

IN,f (x)→ 1

2π

∫Rf(ξ)eiξxdξ, N →∞ za sve x ∈ R.

Najpre izolujemo delove od IN,f (x) koji su nezavisni of f :

IN,f (x) =1

2π

∫|ξ|≤N

eiξx∫Re−iξyf(y)dydξ =

=

∫R

( 1

2π

∫|ξ|≤N

eiξ(x−y)dξ)f(y)dy =

∫RDN(x− y)f(y)dy,

gde je

DN(x− y) =1

π

sinN(x− y)

x− yneprekidni analogon Dirihleovog jezgra, za koji, izmedu ostalog, vazi:

(∀a > 0) limN→∞

a∫−a

DN(t)dt = 1.

Koristicemo u nastavku i Riman-Lebegovu lemu, koja tvrdi da za svako f ∈L1(Rn) vazi da ∫

Rne−i〈ξ,x〉f(x)dx→ 0, |ξ| → ∞, ξ ∈ Rn.

7Teorema o dominiranoj konvergenciji: Ako je Ω ⊆ Rn merljiv skup, gj ∈ L1(Ω),g ∈ L1(Ω) i gj(x) konvergira g(x) za skoro svako x ∈ Ω kad j → ∞, i |gj(x)| ≤ h(x) zaskoro sve x ∈ Ω i neko h ∈ L1(Ω), tada

∫Ωgj →

∫Ωg kad j →∞.

18

Sada nastavljamo dokaz:

f(x)

∫ x+1

x−1

DN(x− y)dy − IN,f (x) =

=

∫ x+1

x−1

(f(x)− f(y))DN(x− y)dy −∫|x−y|>1

f(y)DN(x− y)dy =

=

∫ x+1

x−1

f(x)− f(y)

x− ysinN(x− y)

πdy −

∫|x−y|>1

f(y)

x− ysinN(x− y)

πdy.

Koristimo sledece pomocne funkcije:

g(y) =f(x)− f(y)

x− y, h(y) =

f(y)

x− y.

Sada g ∈ L1((x−1, x+1)), posto zbog Helder-neprelidnosti funkcije f imamo|f(x) − f(y)| ≤ M |x − y|α za neko M > 0, α > 0, te zato |g(y)| ≤ M/|x −y|1−α ∈ L1. Takode, h ∈ L1(R \ (x− 1, x+ 1)), posto je u toj oblasti |h(y)| ≤|f(y)| ∈ L1. Kada se pusti da N →∞, desna strana tezi nuli po lemi Riman-

Lebega, dok leva strana tezi ka f(x)·1− 12π

∫R fξe

iξxdξ. Ovim je dokaz formulereprezentacije za Helder-neprekidne funkcije gotov za dimenziju n = 1, dokse za vece n uopstava neposredno.

Dokaz formule reprezentacije pod minimalnim uslovima iz teoreme sada semoze dokazati aproksimacionim argumentom. Funkciju f ∈ L1(Rn) aprok-simiracemo njenom konvolucijom sa glatkom funkcijom, gde biramo da taglatka funkcija bude normalizovani Gausijan sa standardnom devijacijomσ > 0 :

Gσ(x) =1

(2πσ2)n/2e−|x|

2/2σ2

.

Ovo je pogodno zato sto se Gausijan jednostavno ponasa u odnosu na Furi-jeovu transformaciju. Tvrdimo da Gσ ∗ f ima sledece osobine:

a) Gσ ∗ f je Helder-neprekidna (preciznije, klase C∞),

b) Gσ ∗ f konvergira f skoro svuda kad σ → 0,

c) Gσ ∗ f i njena Furijeova transformacija pripadaju L1.

Osobina a) se neposredno proverava:

(Gσ ∗ f)(x′)− (Gσ ∗ f)(x) =

∫Rn

(Gσ(x′ − y)−Gσ(x− y))f(y)dy,

19

Gσ(x′ − y)−Gσ(x− y) =∫ 1

0ddtGσ(x+ t(x′ − x)− y)dt =

=∫ 1

0〈∇Gσ(x+ t(x′ − x)− y), (x′ − x)〉dt,

te zato |(Gσ ∗ f)(x′)− (Gσ ∗ f)(x)| ≤ M |x′ − x|, sa M = supRn |∇Gσ|||f ||1.(Ovde je ∇ =

(∂∂x1, ..., ∂

∂xn

)=∑n

k=1 ~ek∂∂xk

nabla ili gradijent.) Osobina b)se moze posmatrati kao uproscena verzija tzv. teoreme o Lebegovoj tacki.Konacno, osobina c: Gσ ∗ f pripada L1 kao konvolucija dve L1 funkcije, a

njena Furijeova transformacija pripada L1 prema identitetu Gσ ∗ f = Gσf ieksplicitne formule za FT Gausijana:

Gσ(ξ) = e−σ2|ξ|2/2.

Na osonovu Furijeove formule reprezentacije za Helder-neprekidne L1 funkcijecije FT pripadaju L1, i gornje eksplicitne formule, za sve x ∈ Rn vazi:

(Gσ ∗ f)(x) = (2π)−n∫Rnei〈ξ,x〉(Gσ ∗ f)(ξ)dξ =

= (2π)−n∫Rnei〈ξ,x〉Gσ(ξ)f(ξ)dξ = (2π)−n

∫Rnei〈ξ,x〉e−σ

2|ξ|2/2f(ξ)dξ.

Kada σ → 0, leva strana konvergira ka f(x) za skoro svako x (prema b)), a

desna strana tezi (2π)−n∫Rn e

i〈ξ,x〉f(ξ)dξ za sve x prema teoremi o dominira-

noj konvergenciji, posto integrand tezi tackasto ka ei〈ξ,x〉f(ξ) i po apsolutnoj

vrednosti je odozgo ogranicen sa |f(ξ)| ∈ L1(Rn). Ovim je dokaz Furijeoveteoreme o rekonstrukciji kompletan.

Do sada smo radili sa prostorom X = f : Rn 7→ C | f, f ∈ L1(Rn).To je najveci prostor u kojem FT i njen inverz imaju smisla kao integralnetransformacije. Medutim, on je suvise restriktivan, jer:

• pri resavanju talasne jednacine ∂2u∂t2

(x, t) = ∆u(x, t) =∑n

k=1∂2u∂x2k

(x, t)

potrebna je FT funkcije sinxx

koja nije u L1, vec samo u L2;8

• pri resavanju Sredingerove jednacine ∂ψ∂t

(x, t) = i∆ψ(x, t) potrebna je

FT funkcije eit|x|2, t ∈ R, koja nije u L1, vec samo u L∞;

• formula Planserela, kao i analogno tvrdenje za Furijeove redove, suge-risu ispitivanje ponasanja za FT na L2.

8Na neogranicenim domenima, kakav je Rn, prostori Lp, 1 < p ≤ ∞, nisu sadrzani uL1. Primer, f(x) = (1 + |x|)−n ∈ Lp \ L1.

20

Pitanje: Kako definisati FT na L2(Rn) ili L∞(Rn)?Pomenuti prostori se ne nalaze u L1, tako da osnovna definicija FT kao

integrala gubi smisao. Ovaj problem se prevazilazi na dva nacina: aproksi-macija L1 funkcijama ili koriscenjem dualnosti.

Definicija 4.3. Preslikavanje A : L2(Rn) 7→ L2(Rn) je neprekidno ako zasvaki niz fj koji konvergira ka f u L2 (tj. ||fj − f ||2 7→ 0), A(fj) konvergiraka A(f) u L2.

Teorema 4.2. Postoji jedinstveno preslikavanje F : L2(Rn) 7→ L2(Rn) kojeje a) neprekidno, i b) koje se pokalapa sa FT na L2(Rn) ∩ L1(Rn). Stavise,takvo preslikavanje zadovoljava

(∀f ∈ L2(Rn)) ||f ||22 = (2π)−n||Ff ||22.

Definicija 4.4. Neka je F preslikavanje iz prethodne teoreme. Furijeovatransformacija funkcije f ∈ L2(Rn) definise se kao f = Ff.

Dokaz. Dokazimo najpre egzistenciju. Neka f ∈ L2. Ako f ∈ L1 ∩ L2,definisemo Ff = f , gde je f uobicajena FT. Ukoliko f /∈ L1, biramo niz fj ∈L1(Rn)∩L2(Rn) tako da ||fj − f ||2 → 0. (Npr. uzimajuci fj = χRjf, gde χRoznacava karakteristicnu funkciju kugle sa centrom u koordinatnom pocetkupoluprecnika R, a poluprecnici Rj su odabrani tako da teze beskonacnosti.)Sada koristimo pomocni rezultat: Neka g ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn). Tada g ∈L2(Rn) i vazi formula Planserela ||g||22 = (2π)−n||g||22. Sada imamo lanac

implikacija: fj konvergira u L2 ⇒ fj je Kosijev niz u L2 ⇒ fj je Kosijev niz

u L2 (prema pomenutom pomocnom rezultatu) ⇒ fj konvergira u L2 (zbog

kompletnosti prostora L2). Dakle, postoji v ∈ L2 tako da ||fj − v||2 → 0.Stavimo Ff := v.

Po konstrukciji, uslov b) vazi. Pokazimo da je zadovoljena relacija kojutvrdi formula, odakle ce slediti i a). Zaista, formula Planserela primenjena

na fj daje ||fj||22 = (2π)−n||fj||22, ali fj → f i fj → Ff u L2 i || · ||2 jeneprekidna u odnosu na L2 konvergenciju, odakle sledi tvrdenje.

Ostaje dokaz jedinstvenosti. Neka su F (1),F (2) : L2 7→ L2 neprekidnapreslikavanja koja se poklapaju na L1 ∩ L2. Neka je f ∈ L2 proizvoljno.Kako je L1 ∩ L2 gust u L2, mozemo uzeti neki niz fj ∈ L1 ∩ L2 takav dafj → f u L2. Tada za sve j F (1)f ← F (1)fj = F (2)fj → F (2)f, gde smostrelicama oznacili konvergenciju u L2 kad j →∞. Dakle, F (1)f = F (2)f.

21

5 Furijeova transformacija distribucija [7]

Definicija 5.1. Prostor Svarca je prostor glatkih, brzo opadajucih funkcija

S(Rn) = ϕ : Rn 7→ C|ϕ ∈ C∞, ||ϕ||α,β = supx∈Rn|xβDαϕ(x)| <∞,∀α, β ∈ Nn

0.

Ovde i nadalje koristimo multi-indeks notaciju: za α = (α1, . . . , αn),β = (β1, . . . , βn) ∈ Nn

0 definisemo

xβ := xβ11 . . . xβnn , Dαϕ(x) :=

∂α1

∂xα11

· · · ∂αn

∂xαnnϕ(x), x ∈ Rn,

uz dogovor da x0j = 1, ∂0

∂x0jϕ = ϕ.

Zahtev za konacnoscu svih normi || · ||α,β daje dve lepe strukturne osobineprostora S(Rn) : invarijantnost u odnosu na diferenciranje ϕ 7→ Dαϕ i uodnosu na mnozenje monomima ϕ(x) 7→ xβϕ(x).

Definicija 5.2. Dualni prostor prostora S(Rn), prostor

S ′(Rn) = L : S(Rn) 7→ C |L linearan i neprekidan,

naziva se prostor distribucija. Preslikavanje L : S(Rn) 7→ C je neprekidnoako za proizvoljan niz ϕj takav da ||ϕj−ϕ||α,β → 0, j →∞, za sve α, β ∈ Nn

0

vazi Lϕj → Lϕ, j →∞.

Koncept distribucija uopstava koncept obicnih funkcija. Svaka obicna,recimo Lp funkcija, moze se interpretirati kao distribucija, dok postoje di-stribucije koje nisu u vezi ni sa jednom obicnom funkcijom.

Primer 1: Svaka funkcija f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞, dovodi se u vezu sadistribucijom Lf ∈ S ′(Rn) na sledeci nacin:

(∀ϕ ∈ S(Rn)) Lfϕ :=

∫Rnf(x)ϕ(x)dx.

Cesto se distribucija Lf oznacava samo sa f .Primer 2: Za a ∈ Rn, posmatrajmo preslikavanje δa : S(Rn) 7→ C (tzv.

delta funkcija) definisano sa

(∀ϕ ∈ S(Rn)) δaϕ := ϕ(a).

22

Tvrdimo da δa pripada prostoru distribucija. Zaista, linearnost je ocigledna,dok se neprekidnost pokazuje na sledeci nacin: neka su ϕj, ϕ ∈ S(Rn) takvida ||ϕj − ϕ||α,β → 0 kad j → ∞ za sve multiindekse α, β ∈ Nn

0 . Tadaspecijalno ||ϕj−ϕ||0,0 = supx∈Rn |ϕj(x)−ϕ(x)| → 0. Dakle, ϕj(a)−ϕ(a)→ 0,tj. δaϕj − δaϕ→ 0, sto je i trebalo dokazati.

Definicija 5.3. Neka je L ∈ S ′(Rn). Furijeova transformacija od L je pre-

slikavanje L : S(Rn) 7→ C definisano sa

Lϕ := Lϕ, ∀ϕ ∈ S(Rn).

Izraz Lϕ je dobro definisan zato sto ϕ ∈ S(Rn)⇒ ϕ ∈ S(Rn).Primer 1, nastavak: Prema gornjoj definiciji FT, imamo:

Lfϕ = Lϕ =

∫Rnf(x)ϕ(x)dx =

∫Rnf(x)

(∫Rne−i〈ξ,x〉ϕ(ξ)dξ

)dx =

=

∫Rn

(∫Rne−i〈ξ,x〉f(x)dx

)ϕ(ξ)dξ =

∫Rnf(ξ)ϕ(ξ)dξ = Lf ϕ.

Dakle, FT distribucije pridruzene f daje distribuciju povezanu sa f , gde jef obicna FT od f .

Primer 2, nastavak: Neka L = δa, a ∈ Rn. Racunamo:

δaϕ = δaϕ = ϕ(a) =

∫Rne−i〈a,x〉ϕ(x)dx

(prvo definicija FT distribucije, onda definicija delta funkcije), te je

δa = Lf , f(x) = e−i〈a,x〉.

Dakle, FT delta funkcije je distribucija pridruzena tzv. ravanskom talasu.Koristeci uobicajenu notaciju (pisuci f umesto Lf ),

δa(x) = e−i〈a,x〉.

Ovaj rezultat je sjajna manifestacija Hajzenbergovog principa neodredenosti:npr. na R delta-funkcija ima disperziju nula (jer je lokalizovana u tacki a),

dok njena FT δa = 1 ima beskonacno veliku disperziju (tj. ona je potpunodelokalizovana)!

23

Primer 3: Nadimo FT ”ravanskog talasa” f(x) = ei〈a,x〉. Klasicni pristupdaje divergentan integral iako je f obicna funkcija, jer nije zadovoljen uslov∫Rn |f | < ∞. Sada cemo interpretirati f kao distribuciju, cime dobijamo za

svako ϕ ∈ S(Rn) :

Lfϕ = Lf ϕ =

∫Rnei〈a,x〉ϕ(x)dx = (2π)nϕ(a) = (2π)nδaϕ,

(koriscene Furijeova teorema reprezentacije i definicija delta-funkcije). Znaci,

Lf = (2π)nδa.

Dakle, FT distribucije pridruzene ravanskom talasu je delta funkcija, u uobi-cajenom zapisu f = (2π)nδa. Specijalno, za a = 0, imamo 1 = (2π)nδ0.

Primer 4: Posmatrajmo beskonacnu sumu delta funkcija, jednako raspo-deljenih na realnoj pravoj

L =∑k∈Z

δk.

L se moze posmatrati kao jednodimenzionalni model kristala, dok je L tadamodel njegove rendgenske difrakcione slike.

”Naivni” pristup daje L(x) =∑

k∈Z e−ikx, i problem je sto suma ne kon-

vergira niti clanovi cine nula niz. Zato cemo L posmatrati kao distribucijuna R. Najpre tvrdimo da je L dobro definisano kao linearno preslikavanjesa S(R) u C, tj. da suma Lϕ =

∑k∈Z δkϕ =

∑k∈Z ϕ(k) konvergira za sve

ϕ ∈ S(R). Zaista, za svako takvo ϕ

supx∈R|ϕ(x)| = ||ϕ||0,0 <∞, sup

x∈R|x2ϕ(x)| = ||ϕ||0,2 <∞,

te zato(∀x ∈ R) (1 + x2)|ϕ(x)| ≤ ||ϕ||0,0 + ||ϕ||0,2 := C.

Deobom sa 1 + x2 dobijamo procenu brzine opadanja

(∀x ∈ R) |ϕ(x)| ≤ C

1 + x2,

te je suma Lϕ =∑

k∈Z ϕ(k) apsolutno konvergentna, preciznije:

|Lϕ| ≤∑k∈Z

|ϕ(k)| ≤ C∑k∈Z

1

1 + k2<∞.

24

Ostaje da se dokaze neprekidnost. Na osnovu gornje procene opadanja, sagore definisanom konstantom C, imamo

|Lϕj − Lϕ| ≤ (||ϕj − ϕ||0,0 + ||ϕj − ϕ||0,2)∑k∈Z

1

1 + k2,

sto tezi nuli jer prvi faktor tezi nuli kad j →∞, a drugi je konstanta. Dakle,L je zaista distribucija.

Za dato ϕ ∈ S(R) definisemo 2π−periodicnu funkciju ϕper rekurzvno:

ϕper(x) :=∑j∈Z

ϕ(x− 2πj).

Na osnovu napred odredene granice opadanja, ova suma konvergira apso-lutno i ravnomerno, te je ϕper ogranicena neprekidna funkcija. Primenomiste granice na njeno diferenciranje clan po clan, zakljucujemo da je ϕperbeskonacno diferencijabilna. Dakle, ona se moze razviti u Furijeov red

ϕper =∑k∈Z

(ϕper)keikx, (ϕper)k =

1

2π

π∫−π

e−ikxϕper(x)dx

Furijeove koeficijente mozemo izracunati eksplicitno:

(ϕper)k =1

2π

π∫−π

ϕper(x)e−ikxdx =1

2π

∑j∈Z

π∫−π

ϕ(x− 2πj)e−ikxdx =

=1

2π

∑j∈Z

π∫−π

ϕ(x− 2πj)e−ik(x−2πj)dx =

=1

2π

∑j∈Z

π−2πj∫−π−2πj

ϕ(y)e−ikydy =1

2π

∫Rϕ(y)e−ikydy =

1

2πϕ(k).

Zamenom koeficijenata u Furijeov red, u tacki x = 0 dobijamo:∑k∈Z

ϕ(k) = 2π∑k∈Z

ϕ(2πk).

25

Ovaj identitet je poznat kao Puasonova sumaciona formula. Ako odatleeliminisemo test-funkciju ϕ i interpretiramo kao formulu po nasoj nepoznatojdistribuciji L :

Lϕ = Lϕ =∑k∈Z

ϕ(k) = 2π∑k∈Z

ϕ(2πk) = (2π∑k∈Z

δ2πk)ϕ,

zakljucujemo da

L = 2π∑k∈Z

δ2πk.

Dakle, FT beskonacne sume jednako raspodeljenih delta funkcija je opetbeskonacna suma jednako raspodeljenih delta funkcija.

5.0.1 Racunanje sa distribucijama

Definicija 5.4. Neka L ∈ S ′(Rn) i g ∈ S(Rn). Definisimo sledeca preslika-vanja sa S(Rn) u C :

• (konvolucija) (L ∗ g)ϕ := L(g− ∗ ϕ), g−(x) := g(−x),

• (proizvod) (Lg)ϕ := L(gϕ),

• (izvod) ( ∂∂xjL)ϕ := −L ∂ϕ

∂xj,

za sve ϕ ∈ S(Rn).

Dakle, kadgod treba nesto uraditi sa distribucijom, to se radisa test funkcijom. U nastavku ispitujemo kako se slazu ovako uvedeneoperacije sa FT.

Pogodno je uvesti oznaku F−1L za inverznu FT od L, definisanu sa

(F−1L)ϕ := L(F−1ϕ),

gde

(F−1ϕ)(x) := (2π)−n∫Rnei〈ξ,x〉ϕ(ξ)dξ.

Teorema 5.1. Neka L ∈ S ′(Rn). Tada

L = F−1L.

Specijalno, ako dve distribucije imaju jednake FT, one se poklapaju. Stavise,za svako g ∈ S(Rn) imamo

26

1. (FT konvolucije) L ∗ g = Lg,

2. (FT proizvoda) Lg = (2π)−nL ∗ g,

3. (FT izvoda) ∂∂xjL = Lm, gde m(ξ) = iξj.

6 Uvod u teoriju talasica ([1])

Transformacija talasicima je alat koji sece podatke, funkcije ili operatore nakomponente razlicite frekvencije, a zatim svaku od komponenti izucava urazoluciji koja je saglasna njenoj velicini. Pretece ovog metoda nezavisno suotkrivene u matematici (Kalderon, 1964.), fizici (Aslaksen, Klauder, 1968;Paul, 1985.) i inzenjerstvu.

6.1 Vremensko-prostorna lokalizacija

U mnogim primenama za dati signal f(t) (pretpostavicemo da je t neprekidnapromenljiva) zanimace nas njegov frekvencijski sadrzaj lokalizovan u vre-menu. Ovo je slicno npr. muzickoj notaciji koja muzicaru kaze koje note(=informacija o frekvenciji) treba da odsvira u svakom datom trenutku.

6.2 Nedostaci Furijeove transformacije ([2])

Nedostatak 1. Uklanjanje vremenskih aspekataVremenski aspekti f iscezavaju u f . Ako funkcija f nije neprekidna, skoro

je nemoguce odrediti je koristeci f , kao sto pokazuje sledeci jednostavanprimer: f(x) = χ[−a,a](x), a > 0. Furijeova transformacija fukcije f je f(ω) =sin(2πaω)

πω. Ako znamo da je proucavana funkcija kvadratna funkcija, parametar

a mozemo naci trazeci rastojanje izmedu dveju uzastopnih nula Furijeovetransformacije. Ovo postaje isuvise komplikovano za slozeniji signal, cak iza jednostavnu linearnu kombinaciju f = αχ[−a,a](x) + βχ[−b,b](x), b > a >

0. Ne mozemo naci a i b iz f , osim na komplikovan nacin. Dodatno, dveFurijeove transformacije sa slika 2 i 3 su vrlo slicne, iako druga funkcijaima dva prekida vise (u ±b) od karakteristicne funkcije. Samo gledanje uFurijeovu transformaciju ne omogucava da se odredi broj i lokacija prekidafunkcije.

27

Slika 2: Furijeova transformacija karakteristicne funkcije χ[−a,a] za a = 1

Slika 3: Furijeova transformacija karakteristicne funkcije χ[−a,a] + χ[−b,b] zaa = 1, b = 2

Ovaj primer pokazuje da ne mozemo locirati tacke prekida, promene reg-ularnosti funkcije f , iz f . Integracija po R radi neku vrstu usrednjavanja,sto maskira prekide.Nedostatak 2. Nekauzalnost Furijeove transformacije Racunanje fzahteva poznavanje f na R. ”Progresivno” izracunavanje transformacije, testoga i analiza u realnom vremnu, je nemoguca. Zaista, mi ne mozemo nipriblizno znati spektar od f signala f ciju buducnost ne znamo. Slika 4ilustruje ovo, i predstavlja funkcije f , |f |, g i |g|, gde f = χ[−a,a] i g =χ[−a,0]−χ(0,a], za a = 1. Iako se f i g poklapaju na R−, jasno je da se njihoveFurijeove transformacije znacajno razlikuju.Nedostatak 3. Hajzenbergov princip neodredenosti

Ako je nosac od f ”mali”, nosac od f je ”veliki” i obratno. Na primer,

28

Slika 4: Funkcije f , |f |, g i |g| za a = 1

Slika 5: Funkcija f i f za a = 1/8 i a = 8

29

slika 5 prikazuje f i f kada f = χ[−a,a] za dve vrednosti a: gore je nosac za

f ”mali”, a za f ”veliki”.Dva granicna slucaja su posebno prosvetljujuci: ako je f koncentrisana u

tacki 0, njena transformacija f jednaka je 1 svuda; obratno, ako signal f nijelokalizovan u vremenu i jednak je 1 svuda, f je koncentrisano u 0. Koristecidistribucije, ovo mozemo zapisati kao: Fδ = 1, F1 = δ, gde je δ Dirakovafunkcija.

Lokalizacije f i f povezane su Hajzenbergovim rincipom neodredenosti,koji odreduje nejednakost izmedu disperzija za f i f . On povezuje prozivoddisperzija u vremenu (σf ) i frekvenciji (σf ):

σ2f σ

2f≥ 1

4,

gde su ove varijanse definisane kao

σ2f =

1

||f ||2

∫R(t− u)2|f(t)|2dt, σ2

f=

1

||f ||

∫R(ω − ξ)2|f(ω)|2dω.

One odreduju disperzije za |f |2 i |f |2 oko njihovih odgovarajucih ocekivanihvrednosti u i ξ, koje su date sa

u =1

||f ||

∫Rt|f(t)|2dt, ξ =

1

||f ||

∫Rω|f(ω)|2dω.

Ovo svojstvo povlaci da inverzna Furijeova transformacija moze biti nu-mericki nestabilna, posto korisne informacije za rekonstruisanje f iz f prekoformule sinteze mogu biti locirane vrlo visoko u domenu frekvencija. Speci-jalno, ovo se desava ako f ima kompaktan nosac i nepravilna je. Da bismoje rekonstruisali, potrebno je koristiti f(ω) za velike vrednosti ω.

Da sumiramo, Furijeova transformacija je globalne prirode.Kako bismo prevazisli nedostatake globalne prirode Furijeove transforma-

cije, ideja se sastoji u lokalizovanju analize tako sto se bira deo signala okovremenskog polozaja, obavi Furijeova transformacija, a onda ponovo pocneza sve vremenske polozaje. U ovome se ogleda princip Furijeove transfor-macije klizajuceg prozora, ciji je specijalan slucaj poznat i kao Gaborova9

transformacija.

9Dennis Gabor (1900–1979), madarsko-britanski elektroinzenjer i fizicar, dobitnik No-belove nagrade za fiziku 1971. za pronalazak holografije.

30

6.3 Kratkotrajna Furijeova transformacija (STFT)

Funkcija x(t) koja se transformise najpre se mnozi prozorskom funkcijomω(t), i racunaju se koeficijenti proizvoda x(t)ω(t); postupak se potom pon-avlja za translirane vrednosti prozora: ω(t− t0), ω(t− 2t0), ... (slika 6.)

STFTx(t)(τ, ξ) ≡ X(τ, ξ) =

∫ ∞−∞

x(t)w(t− τ)e−iξtdt.

Pre svega, uzimamo prozorsku funkciju w ∈ L1 ∩ L2 centriranu u 0, takoda je |w| parna, sa energijom 1, koju koristimo za lokalizovanje u vremenu.Primecujemo da

wξ,b(t) = w(t− b)e2πiξt, ξ, t, b ∈ R.Neprekidna Gaborova transformacija signala f definise se kao

Gf(ξ, b) =

∫Rf(t)wξ,b(t)dt, ξ, b ∈ R.

Kao i Furijeova transformacija, Gaborova transformacija je linearna, bijek-tivna, neprekidna, cuva uglove i duzine (tj. skalarne prozivode i norme).Formula rekonstrukcije data je sa

f(t) =

∫R2

(Gf)(ξ, b)wξ,b(t)dξdb u L2, t ∈ R.

Gaborova transformacija je Furijeova transformacija lokalizovana u vremenu,posto za svaku vrednost b racunamo Furijeovu transformaciju od f(t)wξ,b(t).Zaista,

Gf(ξ, b) =

∫Rf(t)wξ,b(t)dt = F [f(t)w(t− b)](ξ).

Tako prozorska funkcija w ogranicava analizu na domen oko b. Ako je, naprimer, prozor lokalizovan na segmentu, kao u slucaju kvadratne funkcijew = 1√

2aχ[−a,a], vrednost Gf(ξ, b) za fiksirano b zavisi samo od vrednosti koje

f uzima na segmentu ciji je centra u b, [b− a, b+ a].Gaborova transformacija je analiza u vremenu i frekvenciji. Skalarni

prozivod u L2 moze se predstaviti u skladu sa vremenom ili frekvencijom:

Gf(ξ, b) = 〈f, wξ,b〉L2 = 〈Ff,Fwξ,b〉L2 ,

odakle

Gf(ξ, b) =

∫Rf(z)wξ,b(z)dz =

∫Rf(z)w(z − ξ)e2πib(z−ξ)dz.

31

Slika 6: STFT - kratkotrajna Furijeova transformacija

Slika 7: Omotac i realni delovi Gaborovih talasica za ξ = 1, 2 i 5

Sta se desava ako je w(t) = e−πt2, koji je sam svoja Furijeova transformacija?

Funkcija w(t−b) lokalizovana je u okolini b, te zato Gf(ξ, b) sadrzi informacijuo f u blizini polozaja (vremena) b. Kako Fw = w, Gf(ξ, b) takode ima

informacije o f u blizini frekvencije ξ.Atomi ove transformacije wξ,bξ,b∈R ponekad se nazivaju Gaborovim ta-

lasicima. To su kompleksne eksponencijalne funkcije, kao kod Furijeove trans-formacije, ali oslabljene prozorom w koji je centriran u b. Pomenuti prozorje nula ili esencijalno nula (tj. vrlo brzo opada) sem intervala centriranog unuli. On lokalizuje funkciju koja se analizira u tom intervalu. Za Gausijan

32

prozor slika 7 daje tri atoma definisana sa

wξ,b = e−π(t−b)2e2πiξt,

za b = 0 i ξ = 1, 2, 5. U sva tri slucaja slika pokazuje omotac (E = ±e−πt2)i realni deo od wξ,b. Broj oscilacija se povecava sa frekvencijom ξ, ali jeomotac nepromenljiv, te vremenska rezolucija ostaje fiksirana. Ovo je i glavninedostatak Gaborove transformacije.

6.4 Ukratko o talasicima

Kako bi se prevazisli nedostaci Gaborove transformacije, neophodno je po-traziti transformaciju koja dopusta slicnu analizu, ali moze da istovremenoradi na celom opsegu vremenskih rezolucija. To se u izvesnom smislu mozepostici transformacijom talasicima.

Talasic10 (ili majka-talasic, eng. mother-wavelet) je funkcija ψ ∈ L1 ∩ L2

koja ima n+ 1 nula-momenat, tj.∫Rtpψ(t) = 0, p = 0, n.

Funkcija ψ oscilira (otud naziv talas!), uzimajuci pozitivne i negativne vred-nosti. Broj n kontrolise oscilacije od ψ, u smislu da sto je n vece, to ψ viseoscilira. Deminutiv ”talasic” potice iz lokalizovanosti funkcije ψ.

Translacijom i dilatacijom talasica ψ definisemo atome transformacijetalasicima. Za proizvoljno skaliranje a ∈ R+ i proizvoljan polozaj b ∈ Rdefinisemo atom ove transformacije sa

ψa,b(t) =1√aψ(t− b

a

).

Familija ψa,ba,b je familija talasica pridruzena ψ. Ukoliko uzmemo ψ saenergijom 1 (||ψ||L2 = 1) sve funkcije ψa,b imaju normu 1.

Talasici vise nemaju nepromenljive omotace, nasuprot atomima Gaborovetransformacije. Oni se ponasaju kao harmonika: cuvaju isti oblik i isti brojoscilacija, i predstavljaju translirano-skalirane verzije iste funkcije.

Neprekidna transformacija talasicima funkcije f konacne energije jefamilija koeficijenata Cf (a, b) definisana sa:

Cf (a, b) =

∫Rf(t)ψa,b(t)dt = 〈f, ψa,b〉L2 , a ∈ R−, b ∈ R.

10eng. wavelet, fr. ondellete

33

Ova transformacija ima inverznu (pod dopunskim uslovom poznatim kao”prihvatljivost”, eng. admissibility), i formula sinteze (rekonstrukcije) je

f(t) =1

Kψ

∫(0,∞)×R

Cf (a, b)ψa,b(t)dadb

a2u L2, t ∈ R.

Na izvestan nacin koeficijent Cf (a, b) karakterise fluktuacije funkcije f okopolozaja b na skaliranju a. Pretpostavimo da je ψ nula izvan [−M,M ], tadaje ψa,b nula izvan [−Ma+ b,Ma+ b]. Vrednost Cf (a, b) tada zavise samo odvrednosti f u okolini b na segmentu cija duzina je proporcionalna a.

Uslov prihvatljivosti je

Kψ =

∫ ∞0

|ψ(ξ)|2

ξdξ =

∫ 0

−∞

|ψ(ξ)|2

ξdξ <∞.

Specijalno, ovaj uslov povlaci ψ(0) = 0, te zato∫R ψ(t)dt = 0.

Primeri talasica:

1. Harovi talasici Harova funkcija definisana je kao

ψ(x) =

1 0 ≤ x < 1/2−1 1/2 ≤ x < 10 x /∈ [0, 1)

2. Gausovski talasic definisan sa ψ(x) = Cxe−πx2.

3. Sombrero talasic definisan preko svoje Furijeove transformacije kaoψ(ξ) = Cξ2e−πξ

2.

34

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Slika 8: Harov talasic

-2 -1 1 2

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Slika 9: Gausovski talasic

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Slika 10: Sombrero talasic

35

-3 -2 -1 1 2 3

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Slika 11: Translacija gausovskog talasica (ψ2,1 puna linija, ψ2,1 tanka linija iψ2,−1 isprekidana linija)

-4 -2 2 4 6 8

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Slika 12: Skaliranje gausovskog talasica (ψ2,1 puna linija, ψ3,1 tanka linija,ψ4,1 isprekidana linija)

36

7 Furijeova analiza na konacnim

Abelovim grupama ([4])

Abelova (ili komutativna) grupa je skup G zajedno sa binarnom operacijomna njemu, (a, b) 7→ a · b, koja je asocijativna, komutativna, ima jedinicu ineutralni element.

Homomorfizam izmedu dve Abelove grupe G i H je preslikavanje f : G→H koje zadovoljava

f(a · b) = f(a) · f(b),

gde je tacka na levoj strani operacija iz G, a na desnoj iz H. Grupe Gi H su izomorfne, G ≈ H, ako postoji bijektivni homomorfizam iz G uH. Ekvivalentno, G i H su izomorfne ako postoji jos jedan homomorfizamf : H → G, tako da za sve a ∈ G i b ∈ H

(f f)(a) = a, (f f)(b) = b.

Ukoliko je Abelova grupa konacna, oznacicemo sa |G| broj elemenata uG, i njega cemo zvati red grupe.

Neka je G konacna Abelova grupa i oznacimo sa S1 jedinicn krug u kom-pleksnoj ravni. Karakter na G je funkcija koja uzima kompleksne vrednostie : G→ S1 koja zadovoljava:

(∀a, b ∈ G) e(a · b) = e(a)e(b).

Drugim recima, karakter grupe je homomorfizam grupe G na grupu jedinicnekruznice. Trivijalni ili jedinicni karakter je (∀a ∈ G) e(a) = 1. Ako je

G konacna Abelova grupa, sa G oznacavamo skup svih karaktera od G, iprimetimo da ovaj skup nasleduje strukturu Abelove grupe.

Lema 7.1. Skup G je Abelova grupa u odnosu na mnozenje definisano sa

(∀a ∈ G) (e1 · e2)(a) = e1(a)e2(a).

Za grupu G kazemo da je dualna grupa grupe G.Oznacimo sa V vektorski prostor funkcija sa kompleksnim vrednostima

koje su definisane na konacnoj Abelovoj grupi G. Primetimo da je dimenzijaprostora V upravo |G|. Skalarni proizvod na V definisemo kao

(∀f, g ∈ V ) 〈f, g〉 =1

|G|∑a∈G

f(a)g(a).

Ovde je suma po elementima grupe, te je stoga konacna.

37

Teorema 7.1. Karakteri od G formiraju ortonormiranu familiju u odnosuna gore definisani skalarni proizvod.

Proof. Posto je |e(a)| = 1 za proizvoljan karakter, dobija se

〈e, e〉 =1

|G|∑a∈G

e(a)e(a) =1

|G|∑a∈G

|e(a)|2 = 1.

Ako e 6= e′ i oba su karakteri, moramo pokazati da 〈e, e′〉 = 0. Ovde koristimopomocni rezultat: ako je e netrivijalni karakter grupe G, tada

∑a∈G e(a) = 0.

Zaista, izaberimo b ∈ G takvo da e(b) 6= 1. Tada

e(b)∑a∈G

e(a) =∑a∈G

e(b)e(a) =∑a∈G

e(ab) =∑a∈G

e(a).

Poslednja jednakost sledi zato sto i a i ab uzimaju sve vrednosti iz grupe G.Dakle,

∑a∈G e(a) = 0.

Sada mozemo dovrsiti dokaz teoreme. Neka je e′ karakter razlicit od e.Posto e(e′)−1 nije trivijalno, pomocni rezultat povlaci∑

a∈G

e(a)(e′(a))−1 = 0.

Posto, (e′(a))−1 = e′(a), dokaz je gotov.

Kao posledicu teoreme dobijamo da je su razliciti karakteri linearni neza-visni. Posto je dimenzija od V nad C jednaka |G|, sledi da je G konacnog

reda ne veceg od |G|. Zapravo, moze se dokazati da vazi |G| = |G|.Analogiju izmedu kompleksnih eksponenata i karaktera tvrdi naredna teo-

rema.

Teorema 7.2. Karakteri konacne Abelove grupe G formiraju bazu za vek-torski prostor svih funkcija na G.

Neka su dati funkcija f na G i karakter e na G. Furijeov koeficijentod f u odnosu na e definisemo kao

f(e) = 〈f, e〉 =1

|G|∑a∈G

f(a)e(a),

38

a Furijeov red od f kao

f ∼∑e∈G

f(e)e.

Posto karakteri formiraju bazu, znamo da

f =∑e∈G

cee

za neki skup konstanti ce. Na osnovu relacija ortogonalnosti koje karakterizadovoljavaju, nalazimo da 〈f, e〉 = ce, te je f zaista jednak svom Furijeovomredu, naime,

f =∑e∈G

f(e)e.

Da sumiramo,

Teorema 7.3. Neka je G konacna Abelova grupa. Karakteri od G formirajuortonormiranu bazu za vektorski prostor V funkcija iz G koji je opremljenskalarnim proizvodom

〈f, g〉 =1

|G|∑a∈G

f(a)g(a).

Specijalno, svaka funkcija f na G jednaka je svom Furijeovom redu

f =∑a∈G

f(e)e.

Za konacne Abelove grupe vazi teorema Parseval-Planserela.

Teorema 7.4. Ako je f funkcija na G, tada ||f ||2 =∑

e∈G |f(e)|2.

Proof. Posto karakteri iz G formiraju ortonormiranu bazu za V i 〈f, e〉 =

f(e), imamo da

||f ||2 = 〈f, f〉 =∑e∈G

〈f, e〉f(e) =∑e∈G

|f(e)|2.

39

References

[1] I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS-NSF Regional conferenceseries in applied mathematics, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1992.

[2] M. Misiti et al., Wavelets and their applications, ISTE, 2007.

[3] N. Teofanov, Predavanja iz primenjene analize, Zavod za udzbenike inastavna sredstva, Beograd, 2011.

[4] E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Prince-ton University Press, Princeton and Oxford, 2003.

[5] C. Holloway, JPEG Image compression: Transformation, Quantizationand Encoding,milankie.huffmancoding.com/chollowayjpegimagecompression.pdf

[6] R. Dimitrijevic, Analiza realnih funkcija vise promenljivih, Nis, 2010.

[7] G. Friesecke, Lectures on Fourier analysis, version 5.5.2007.

40