OSNOVE TELEKOMUNIKACIJ I

3

Laboratorijske vaje TK Šolsko leto 2008 / 2009

Izvajalec Anton Umek Avtor dokumenta Vesna Koderman Skeniranje Simon Kovše UREJANJE DOKUMENTA

VERZIJA 01.01 DATUM 17.01.2010

OPOMBE

7 Analiza periodiinih signalov

1 Analiza periodidnih signalov

Periodidni signal r(t) je vlak pravokotnih impulzov:

? : l m s

T5

V : L

-rl2

Slika 1 - Vlak pravokotnih impulzov.

Naloge:

L. Izraiunajte in nariSite potek amplitudnega spektra in potek modnostnega spektra

signala!7+ O,35 ?x =

2. Do katere frekvence se nahaja 95% moli signala ? -, h|W.l'ivrc-{rn,/

3. Vlak pravokotnih impulzov x(t) vodimo skozi nizko sito z mejno frekvenco f ,s:

2Tr12

TTT' : t ' " : r rnr :5

{ t J o /

2 * . " ,

j t r o 1 \

L * l * , , 5 * o

(ai^.o"L h t t\ i rct udbr '. Qc I l-1r,,*" 0

d..r Lcctl*o 3f , hprwqeur,t tgir^ tni"l"ylr*q{

(r @l-++ta;:'.* Po n^eer.r6 J

ff. Xari5ite potek signala g(t) na izhodu sita ! (dp 6, harr'^.anske t ̂ r.^f""*r;&)

Naloge ponovite tudi za primere:

Navodila: Izraiunamo kompleksni spekter periodidnega signala x(t) :

xlnl: + ['o*' r(t)e-tn'otdtl J to

rrr_.f _ ,, r sin ("roE)A t n J - v T @

1. Amplitudni spekter periodidnega signala je absolutna vrednost Fburierovih koeficientov,

Alnl - lx["]lkvadrate komponent amplitudnega spektra lXl"ll' p" imenujemo modnostni spek-ter.

www.stromar.si 2

7 Analiza periodilnih signalov

2. Srednjo kvadratidno vrednost signala imenujemo moE signala. Mod signala jevsota moii posameznih harmonskih komponent:

W: I lto+r rft\zd,t: i lxlnll,- 7 Jto

*\"/ r?:_oo

Periodidni signali imajo lahko neskondno Stevilo harmonskih komponent. Zarnimanas Stevilo spektralnih komponent K s frekvencami 0, k/0, 2w0,.., Kwo, ki vsebuje95%modi signala:

K

i._t"t"ll':ffiof7 : -1L

3. Periodidni signal c(t) lahko izraaimos spektralnimi komponentami X[n],kar us-treza zapisu kompleksne Fourierove vrste:

r(t) -,_i_ xlnlet*ot

Frekvendno omejen signal dobimo s seitevanjem kondnega Stevila Nr spektralnihkomponent:

N1a$): I xlnlenwot

n,:-lfi

Reiitve: datoteka otk-vajaL.mcd

www.stromar.si 3

I

Ane\\ao- bey\trJiel\i

Url \l

$

SlcNnt tt

T \-'r

enarrlt arr-r, [.,r",,)"r^t \t \ \ J q \ \ J

bexin 'Ldn\.r

SKica'. v\aL pvarokoMih'\wrr,nu\rs{xtt)

f

A

\ Uz i r l n

L . I T T

X l-r'-1I - \h) oY\t

x(b) e v dt Fouviarr Q-y a* hrcrm.<loryrnac.iiq.

t. \J \J

o1,

inuerbrlo. T=r^vicr,r-^ra, Aarm*\a ', X [E\ - I X tn'l . jwn nb

-@

Loqnosh ',

+ Rca\nr .SoaL[{r *<- $odl Dancvwrrkar Tur^Y.it<- lrna.rzrnar''.i ltr\i<r \oa. ; t;\^i

mrrannc,Fgrr F".r.rv-in .

)\|

X L - r r r : X * f . n - \

.zo \k<-r q'c [vtntc{1"-

Raiit v I Atr-i. rrci( :\.TTS;WTqI

iln\c-rv,

^ )TT

('J xtts) , c.dr (nw,b\ Jt + xzt S

( n€rl

X [nl frVr (r,,^r. t) Ab_A/u _ n/t-

'f,/- T./-

-D Xtnl = t (T \ A,cs. [n u,, t) dt E i3 I cat (n L,,b ) At

-al, ow6

. L r \ L t

= * ( tr. (nu, "r) / s_.1 ) i ry rT

t r v r \ t r h / v : & r , r ' . .

h h)o 'T / ,= A,+'ztl ' .

Y'\ o TY

. / M x z' Lxhkt

N {qFhCaot j- T a&mrrn9

\ (4)= i f (**r , \4ne^... e\*-\ = \+ (^ : o ,g i n x \

4 T|= haVo i , r 5 r

=iL(x '+o ' .d i^ . ,4 \'\

2) Trztvcrraw^ mo7 ti*na\o, i

to +T- t 0x'(E) 3

? \ xL( t )db e Z \xC": l ' da \e rt oei t{-3{aplo t vroraio } HL \,

q..ic,rtrrti ORTDcorrl.^ LN t ?nrssrt1 =' -Oc

vT€Ren

www.stromar.si 4

{

{

X'tu) -- zA- , v/L

-..-.r].+.- - _ . : : *n' ,r,aff f.r^v'iftfd} bir't r.r^.., \l nm,Tcrt* rnYilt.r,y.-r -I

. SICNAL Lc- na- rrErttovNt ?€ett>br i

x^( t ) * i t ( tu t

A

(J

Qir o,r. *( u\ = cr

" Napobck ?),, HoH^ CAD \ AnnL"iva. rn (u. T ) Aas(- oykvrneL un dc1;e^,.,u\J v \,

x { t \ = Ko_ ( r raod" ( b . t ) \

1

' DsKtc-\na L*Uia-r,

lin [n ruoTlz)X L,.l = hr/r 'T;Tfi:-

L

Sx(x )= \ * (K -o 4, q$L\ \I

A T/r s* ( houo'trA-\X n),_l-

n = -4o , , , 40 ?arrrvna- h.its tta\ni de\ . ir",*n;not ni olcl irr kI \

',fierarnelri I A.T.T

' Y\ath CnU

f

S* (x\r= \+ ( x+o tnn xY. 1)

Xl i n \ "=A, l / t sx ( nuooTz.)

( h t - - 4o , , . 4o \

N rt l= 2-o

\ e - N v n t.l vrt ( q^r^+ *+ u,\c* * , )n

tr/

F^,= A''1 N r=3 O,qE * F^ ='

Xr ( t , N) ' ,=N \Wo fi t

X(n \ ' ? J ( xrt) = x, ( t ) \h = - N N-*

t i : -T. -0,33T, , zr ( arro( - bLof ^u )

Y. !nr.l* ?oh n4i2 s€- :eaLl'rl,ir .o>diri

t

www.stromar.si 5

3 Analiza aperiodiinih sigaalov

({r,.

so . l-sl . o Y '

\ 7

s , ,o. ( ' , . - . . . ! Y^*

tA= k* :h , ,3 Analiza aperiodidnih signalov L \ ) nt rS_ V, I

Na sliki B so podani trije aperiodidni signali, t9 j ) i:*S:-*i

l . . f t ' { a \.rf

*'(') ., t

tjt]--.-,.., \, ,, rr&9' \ 'r\ 2 Y\

)0 ,V,.- " 'Vr.l $*'ic.j"^,

i-^"'p^' .-r-\W, tL*\tT-r ,i{r€t'

e?X;,*oz{'Er'^v\ *s

- 1t-

l - { t ^, . i lul-r,lz 0 rpl2 -rJz

l0 lr,/2 -t,l27o rJz \r,-), \nr

*i^^ \n^pr^/z -u,! &g* l"bf-i v(?^4 7.* ,otil1, *Q

). *\"Slika 3 - Aperiodidni signali .'v''K

Sjvi \na-- \*Fv,./-r tc g; v reh kch Tr fV "\t

Naloge: sjvi \na-- \*Fr/-r tc

- g\^ v r-n 'r Lv, ' r ,r\s

L. Konst ante Vn dolodite tako, da bodo imeli vsi signali ena,y'o energijo Er : Ez :

E s : L ' J

2. Izraiunajte Fburierove transforme in na,ri5ite poteke gostote amplitudnih, faznihin energijskih spektrov signalov | \/

3. Primerjajte kumulativne energijske spektre signalov !

4. Izrabtnajte in na,ri5ite poteke kriZnih korelacij !

5. Izraiunajte in nariSite poteke avtokorelacijskih funkcij !

Navodila:

1. Energija aperiodidnega signala je enafta:

.E= [ * *p )2a tJ -oa

2. Gostote amplitudnega, faznegain energijskega spektra doloda Fburierov transformsignala:

x(,) : I:x(t)e-t'tdt

3. Kumulativni energijski spekter predstavlja energijo signala v navzgor omejenemobmodju do izbrane mejne frekvence c.rrn:

s(,,s) -- * l:: ,tx(,)t'd,

- t f"c

;JO

^9(oo) - B

lX(w)12 dt't

www.stromar.si 6

I

,"

Y$ 3 Analiza aperiodiinih signalov

4. Rrnkcijo kriZne korelacije med dvema aperiodidnima signaloma i5demo po paxa-

metru dasovnega zalril<a rz

rn(r) : [* *r( t ) r2( t * r )d, t'

./ -cro

5. Avtokorelacijska funkcija signala r(t) je:

foor ( r ) - | r ( t ) r ( t+r )d t

J -oo

r ( 0 ) : B

Re3itev naloge: otk-vajaS.mcd

www.stromar.si 7

I

/g Z. Labohh0vl\ska-i6lo- 1 ANAL\zA AseKlob\aN\lt S\crNnuoV

,\t/\ A1A^r,Nh ̂ A^o nrn,{ l,*lo LaL o A^ i nr^o, r*' A/-1 l*u An ^,i rt&:^,,*rrl ^', lpdo

I

/ | / u f - | t I q | \J I . u

t t^t"^)io [.,y'',XL; , n n*+t 0n ^Aar [-, A^.1 *)u lnt L rria^n ̂ n M I* nua]rp

. , s t - ' t 1 0 q - | , t , . | |

2\ Tuol , Ao \r fro,tl, o *t+<* k,n lrrv-^.r\sL ih . )^.rrrJ:cil - A*2 D/a. M-o'alaulto *lp/ a / t t d \ r u { t - q q \

lo^rl^9*u ,n")t', l,,ir>rt, o Lstr Na*n ^,tt^, *l^rt^u;ri)c.- ila"Ao-U , klp . da- rr'railt"a-f l l a l

lr-rfu* r.,'ip,, To, n;nat*iArc,I L J , / I E

ML by OK fu revinauxiatu-t rtion a-fu- Tz-/ 0 1

.1 V

tvtn l)t,C U-^..) Il.t-WavM-t

U I

Ewilro ltil't 6,^A t' k, ' *r,*\r^oorL l*r^^, ' !I ' d U q . J - s - t I 0 J . v " U

-[ta'| ,n\-<,f )o]nuninu., r 'ttthtl, 'AtAt- Ir,trn dt ikr,^aMtD lut-rcv;b F"iF: =-FU t U [ - I f , - uf f i t

nF- t X'(t) oLt .!tll>

'!i 4*, r . t Tp/z

F^- v , .T" t r ,=v ,Lr , " , , Fr e z ' f ( t * .L ) t )Vt =o Tr/,

L 4= L'l V3 il.

tL

=.rV:+t't*o -i{

r I b I+ ! r , lv 3 l p '

NoYvnirar,O Siarfta,l \^r cncr..,iri ( iii^ &wro f,redvno:L ,f\ i$ l

E ^ = F . e . p r r E - A

\J J

-p V a -Ei Vz = F'; vr=f%

o

\../ Xt,^r\ = \ x(u\ e,-J*to\tt \ \ JAL, Tr/> T

-T

....\> X^(t,J) = z 5 Vn.(oa (t^rt) " l .*

. b\'\ [ r.,JcrZVrr ' -e f

! n h r 1L'l1 ' -r^) /

/ , Te/u 3

o of r r \

lfln lvrl ' "L )

r . I , Tp/-

?ani[rr'o ', ,r t /' F(t) t - . \I -D, r(,,J) 'E to Hl i vn=,\

- \rtz I .rr. t L ,

\D( r T*\ ' , = \ t \ ( t l / til*+h Co-A i

q"€K$ERl Kt(ur\ - Vn , ?(t^lJ*\www.stromar.si 8

I

X'-( tZ, S\6NAL I NotrAi'*o *.r;" ny

''\nro ( orahikrro,,ue vlain,-\ *-\ ^ J,c.- era^nc.r--

Ovrcdur,Slu*o ,

- l

?iarv,"l* rralrfulirna,o ,v\,^ l^lo- Atlz- "

mvui lo I rnw/r^e^rt*r -ir|

q

fut a,a- fw- ^Y' y''--o,,\rr,5

-------r--------r

( *ot- A/u \ i^ \Ank-r,r- t tn,vorrit^!' bpo\ , { - [ I

$nrrprrao'ttr:tr k)n *tc)^ ,L,

/7* r?/\

---r xr(e) )Ife^n^\L V tt-vo

_ i ^ \ v

^ t \ f '

I

l+ l rrdzt rrzl I

F-, Tp/z

b (b, rr/'\ b ( Ut r?/t+

, TrL\ u (t-rr/q, rr/.\

sutER?oz\ct.rA .' xL( E\ = v-, !p (tfTP/q ,rrlr\ - vz,\o ( t -T?/\ , Tur\

t ,nt*^ no, Y I xe(!)l r, \ do, t0 rclimo vnorah^o 9n c'r'.aki L c\r*ar! [o!cvnc.oa, iorcyvtr!,

(*!avNt Te€t\r : u(u) .- f (ur) , bvrmrL v &,r,r,.o

,,, (u - b" \' ' , . L

\ . - \ f

l l - o'f (OJ ) e- uIJ

nrcn',.,iL V \.cV.t

-tr 5 L^rttll = Xz (ar) = \.,, t tu,.,,Tt/r ). l t^)g"

' t r \

V.r( w(J

Bo\ ekgp\\cr\no ta ?seiicmo IJ

Xt(t ' l \ = V.-( ?(co ,trz:- \, Zi *iu. (ulrrz* 1 =J

\ b ^ /

T

I V. 'T" I t r n - \ u r ' ' t r \ )t ^ ) r T r ^ / r .

T P / z , l i h o , h n u b c , . , . r - Vo

urnar, eot, t X- (r) =-J x, (ii, ioiv.r'(urb) AJr Ll \ Vz'! tA(ot) dk E ,u o

www.stromar.si 9

I

fs,v rp /,

\t

( X.(o) = z I \. ( 4-'rlr, ) , coo (b,r) dt = DN

X.(o) 9e da" lu'a rcctt , t* rravaihtavv.a [.arr,r,or] lmkr-rorr'lr v [r*ven.\te*'* ur\I

t

xtu) +-< Xt^) ' , Jx(r) # e 4*)J -

X(t\ '- I I J- i rtttTr( &L it{eant- vi*,bkaAvu,rnilh irnur^l aovt

!t

vuovnrtz.ru i a

u

wral.avi ani+t lyr Vr,ueraI I u 0

Vi- i ra L, . r l - ,o krLt , t .^nta n^^^.u. i to . l r vrr ) r^-x* rv. r -v u r

\z.t^d,'c'v[arvalst'p"",

v

trl r-

I r rrt fi|]Y.ll v

'il"[:J l " I

? ' l t \t t,

-D ft7-,X.(b) I,t I

X (^) Xs (^)

Xr (L , ) - \ s * ' , , , . \ - Vg { v / , . \j .J v.t4_

-tr A3 tw '/ V. f,rzr_ I" ' /\ z \-- /'

/ r r l rTs r

v

.r t .- r r T o \ \ a

-13--, ,VJT.I,

I

. ir^l' ,(u/r/

, \ \ DcUa\ i h,v1o vsL hi tvt \ tys ' . Xn(q)) . Xr-(qJ\,Xrfr-r \

t

www.stromar.si 10

, ) E = 4 ' , Tp :4 , , t l= -ZTp , -1 ,9g, T* , , . Z ,T,

Z,) Vn = \ - 'Tn ' , Vz ==/T

l= \ t \ <Tvr

x. (t) = Vz- tTr/q , TF/, t -Tr/,t , Tr/.

Sx(x)= jp(x*o,Ht4

S^ (,^, Tt4-

f,l) l- V.r , I ( c^r ,T

X,- (co) r= , i.V., !4 (a $) ' $" (S'

'T, , ' (s^("r*

h) = o, * \ \ \urr

www.stromar.si 11

i

Iq,r

o oc'p

!

F = 5 x'(t) d,t = # [ tx t"l lL dr-r*Oo - 6

Sx(a r=o . \ = E

0a5^ (c^rr*)=2,+l IX(*)t 'd^, LJ ta ,.. G) -.-

0 IJ

A lXrr^rt I

\1^- .l -

uJe",

td*,

l,\qth c.*n l s,t (c,o *" \ = + J (rx,r(a,\\\ i o\r^ro a

LAx,- = O, *u'J,r 4<ql xv u \o t$

o tokl k'di;,rn k+\ev..ri :

00

" * ( t \ = S x t t t ) , x r ( t+u)

" \ f . , ko rc \a . i i o --o J

rr, ("r) = .l x,' (g\ ' xr (t tT) AJ, ,.. ̂ v\ilr-Lo rc.ciiq-\l

KouEgAc\Jlt : Davc^vnakar ,kv.Vr.r.rg f^" 'v,

t, ( rr.^*,\ \ , ,1. A,*!rir- h;r,.,,rrvr\ \ U V - T

Z 2 , lunkz,ia ry)t&wrctL,ni e*ra *rn T. 1\l t \J

l r l \ ,

AVToKou€FAct$A: bvinnaicrrnrn A.*r'riitb Jat4q S 5abc. rwnclo-r M,rt,*taVntrno ?ct t, , * , , ' i ' . , : . , . , . ' : | , j I J , ,

- ; ,

f , \A(r.o) = J xttu) dtt -g , \r bovetara a tnnere^io,,-cD \ o\)

... ItJarr'rcstrc der raltanayno lvn[e.q,vo,t- . radtanolmo VrpF,o , r r vwty.,ba v:u-tvnrrzt d\^.r ir.,k*roo

(Ltr \au1l

Jrn d* cJf Ci ott at

0 a b

tp;n- ZTF

onlax

..1rr V \Oy'rtwrf fu, ^r-tAbArt^gatrrn-,,-t \UVo*ctL \,\s,v\ av

IN-4oo

www.stromar.si 12

f f i t r t ^ x - t " , t tt-,. t

' Xe ( t tT

r r " , f ^ - ( t r ) \

www.stromar.si 13

4 Prewjanje signalov skozi linea,rne sisteme

4 Prerrajanje signalov skozi linearne sisteme

Izraiunajte odzive linearnega sistema za raalidne aperiodidnePrenosne lastnosti linearnega sistema doloda impulzni odziv:

. h(t) : U,(t)wse-uot

b d.tvu \*6u\r \x,(t) v,(t)

signale na vhodu.

(1)

(2)

(3)

Iinearnega sis-

(4)

(5)

(6)

xr(t)

1 ; ,,o T n

Yr(t)

Slika 4 - Filtriranje signalov

Naloge:

1. Oba odziva at(t) in y2(t) izraiunajte najprej s konvolucijo:

aQ) - [* *Q)nQ - r)d,rJ -66

2. Numeridno izraiunajte pribliZek konvolucije nizov:

y(n\t) x Lt! r(kAt)h((n - k)Ar)k

3. Izraiunajte spekter signala na"vhodu X(r), prevajalno funkcijotema H(r) in spekter signala na izhodu:

Y(r) - x(w)H(u)

4. Signal na izhodu y(t) izraiunajte s transformacijo spektra Y(w):1 foo

a(t) - ; J _*Y (w)d't dt t

Uporabite pribliZek pri raiunanju integrala:

y(t) N ArI Y(k\w)eikLut' k

Re5itev naloge: otk-vajM.mcd

www.stromar.si 14

b, L.d.U, \lal'A'. [)f(lpt/tarrrr lnq.r..,t,r., qV.or-r \nncarrne- g,t<ku.^a-'.1

p

"

drro\ov \vnpu ? , , .

I

q

,h tt) = 0(o,hJ o d^oJ(t) *-, .lt (u\ [( .*)

@Ll ko^alrr,,,r\ramo v tvcLrernOnezvn

Jtoar =l p'6t\onr. M;uaa---,- v

krJt . u**{.r*.\v

Npv. \I t

A = '/t' -+ L. !o.

'rvrnhrrl? Garno .

T\ ,

!P- od ne\a- -r"ri'nr (l) hararu'

r \ J

cdtv r'ttz t"i*verrno v\a, q'xrm\nia,.J

nr lu)q -CD - €

bva., Yat\teno- na.Ano*T wwta--- ---' x(+) b- f^tl',,.,

ft(-r) :E:I\ ffiJ +. t \ ( t - t \

L T=t T= t r -

ot0') = IX^ ( t - \ =

Y 1 1 Q s Y \ , F

C ) ' t - i . o -

q) k')

At^(u) = \ h(T) x( r -1) dT ? \ , I h t r )dt ,\) -@ o

t k

n, t r ( t ) -V^ ,LJo\ g-0^r rTJ, t = ! { , r^ . ro- i : * I = vn( { -d*" t ) I (b( Iq a

b L

) nr^ (t) A tr) "{ra -LrJo Lv

V.'u)o ff V.( gdo tE'Tr ' ) - <-,t

' d 't -Tr t -Tr

POnl, dnw.o oddv \ra o-oFrv'to shornrc^c

U

-J/ ' \ )

( b - l FI t u \ \r

, v 4

.-e X (b) 4

S t t) . . d"iu rir,[cw*o ^t lov\hnq,vrA oaohiw- c4g!r\^^t.l- r\d- v]toct*a,

www.stromar.si 15

t ) - \a ( s( t ) - s( t *

= u(r\ f h(r) : J h(T\ u(u-T\ o\ T = i r"rt6t;5 =

= (n- e-* '* ) ,u(b/

T=o T= b

'r Y (t^t) = t t tu' t) ' X (c^r\ . . . \r . yravpdi

oTp

_zUtr_re/z-) r U(t_

-Trla

www.stromar.si 16

- f 4 t > oAl( t ) =

t o , i * * "

\{afh CAL ', UrJo= 3 , Tp= 4 , Vz .=1.** rr* ; :r{,' + A,

,tn ttl l= U tt) , Lt)o a- wot

\l

I

A,t (t) = ( U >O \ (,,,. l.a\:a piisrnv,o v nnatlncaotq \

s(t) = u[q la-e-tarot )

x,r(t) r= v,o ,( ut) - U (t idl

iz (t), ,E V. ( U tr) - zU tt-rr/z-) + 0 (u -r" \ \

A4,r ( i l ,* Vn ( s tb) - s (t- TJ

(i4' [b\ r: V. ( E(r) - Zs ( t -rvz-) r u (t - Tr )t

M4 t t ) i : i h(r) , x. l ( t - r ) dfg t -Tr

h\ \^^^o,i .fuJi. Ai\ri0,.r,., ^oiin,r-rl \-*L- , d4t. /trti '\r,r ?trub Ar- L"rr-l.ruclY,uMl

1 - { - ' \ -

\

[r , l ik.rr^ ta [ ' r-Llr,a. \ro* *o^nlt]-{a{o pa.lro rr,^.4-lc,u n{f i1r"^ 0, l , t ta,^,nvtr\ . ' - .\) \ 0

x tb) --- lh(u\ \+ ,'r'AQ\

T \, IK (,"r\

/1\"

yu-r\\-\v^ -L

Xr( t \ = V, r ' r ,o (U-Tr /2 , Tn)r+o ' l

x.(b\ = v. , ,0 ( t t_ Tpd , .r / . ) - v",p ( (u-. f ; \ , r rr . \

n F tl,Tt \ r \ \

=+ ?(^ , T.\ : To)

| \ ( l z ' \ab .v+ i * \ \JN- \ l T r

L L

9.1 ' ' r l l

7" pfa,rr.f\c\" - .--\

t -) X{(r^r) = V4, T(,1 , T*) ,'.-i^ t /

, i ' - \ . ,l b' J !

zI

-) xe(o)= V.-'?(,,c,T16) g-Jw'rrq V.plrr,Trz, \ "-Js

"www.stromar.si 17

-) ?o\ceburchro !g Fcurreriw hornnrtovvn vrvurc4a-\^\c Fr"r,nYorwU \) \ it- { \- :'i c.c.v q'd o

*---.21 " (ho mpoSFe-rla,r,a.=clo $ot . - ^ - , - ' I

\$

I l (oc\ = { ( t*( t ) \ : \ h t t \ , dJ*o J* =- J M(t) , Lr. . )o e-t^, 'L, e{*t d.}-a)

co

-a)

: t ^" dt tt 'o *i* ) dk E \,r.)o I e t (w' +1u^r )'

4*I o

- t s ( t ^ r o t i t . l ) o c\,AJo

CrJo tt tt) A/(, t+ JS"\l-'dryw#=;---

--+!lM*:S_+'*

Ya (,,-r ) s X,, (.-l) , \\ (t;\ -> ir kA* bo'r,,o \rro,Anvroh bvrgLi A k_ ft,{ . (1")

Yatu\ = Xr[u.r \ 'H (a\ s*+ , \ r -r t - &t. (t\\l

ru ̂ (L\ = # t Ylt,ro) , g:J*L d.{^} ,r, .,rnL\i[L \],ra,,a,rna'r,r,^^: \a.tc cla nnttio0 o t t n J

i*.{*.*^0,o rrna A^i-hr!^- \r,n L.rn*t,alrr' ',

\4a\hC Ab '.

Sx (x) ,,- if (x + o \ -ln+g) \ ̂ )

t \ , \ w o\ t (N) = f f i

IJ

?(tl) -- Tp, Sx ( c^1,9 )

X4 ( , ^ ) \ : Vn ,T( , r ,T r \ ,d t ' t z

Yltur)=Ht*) ,x, t (ur)

( , ^ l *=40 , ( ^ ) s

L r J = - ( . l t ) h 4 , - O . b 3 , k ] t . , . h ) r , ( vrari(ei crre^t, ' , \11(d) \ . ."1 )

ldna

n\n (t\ ! - t= z I [ J \ { tur ) e j - t dr^>- h)7n

\rr\ na tmr.L rrnailVr \t<aaanal ft,iz(t) D,N,

www.stromar.si 18

5 Vzorienje signala 10

5 VzorEenje signala

Signal na vhodu vzordevalnika je oblikovan impulz:

r(t) - Vt p(t,rr);(l - cos 2r+)t p

Pomozni signal p(t,Tp) je enotni pravokotni impulz s sirino ?o:

p ( t , T p ) - U ( t ) - U ( t - T o )

Slika 5 - Idealno vzordenje

Naloga: Izraiunajte spekter signala na vhodu in na izhodu idealnega vzordevalnika!

Komentar

1. Vzordenje signala predstavimo kot mnoZenje signala v dasovnem prostoru s peri-odidno vzordevalno funkcijo u(t):

u6(t) - r(t)a(t) (8)

Idealno vzordenje predstavimo kot rirnoZenje z vlakom Diracovih impulzov:

u(t) -,e 5g-nr)

2. Spekter vzordenega signala je po frekvenci periodiden s perio do wrr:

(7)

(e)

xd(,):+;e x@-ku,,) (10)

Re5itev naloge: otk-vajab.mcd

www.stromar.si 19

4, tat, vaia. \lzov&rr,'re. snarna.\q-

,p ^J \lacrLuohJ.[ keLvuea N/-eb. bili n,*-i 2x n*l-,tL eL nrtsh,o k"wwlu,u ru

N \lzorOn\ *icz,^aL ntirvuo s+ni AilD*n ^n Ui dAitvo r\^a. t?l",o"t"^?U 0 (J

+ *,r-n".,^i ( Vavv""ovia^i \ nqtraA kr),v<r;tct- 4s h-tlz rwlhetr'c nl*d /1^1"+- !1 h2I \ J

_rV.ny-uv^lu)V -tr^a vt<yMo Lrutuvt,tnW ?g kllZ I

G} -\

4ln @

g/

r:?;l ?Y l - l c

l . 45khz Tf4= ' l z

fitk" 6c 40 ktz

' ?oah,lr^rno *ph ter ^Aa. vhql*r 6 (. p =4S f H a) ,\ r hDct]ar IL ptnnod,,rdfala

Nar\ionnr,c{

-\ 'lkm"",c qtpe\)ar hc\

V fUCft L dOolrYrc'. ' ; r Ja lvl

r - - - i - - - i -\ l \

, t ' r A | , - \O Y a \ \ K ' F v z \ Y . = - c o r q r , r

i ; i il l ' , r tn .{,olr'rYna

- o I o i i l s r ' - r o - , ; . - -

f- t'= 'L u t rt:

\t t'* lo rQvr rir,,, n azuv, *^,oe-l-vr (vou or{

$ l \ JI

kj t^^. nCl., rrrnaO f{t-Otr'l o r v

/ \ To hr [i,,*,. o fu.^,?r nviryL o Li\c no V Wz rvrr pVro il h\ U

I' I Y.,r, ,^. ,.. !r (rrrA,{.rr aL - tlO cto t-,lO kt\ a, t l t\-> \n er, -rLo rLnh A\t+,o. vv ool.c^.Q., vlodril*, \ -+ No'raLr-r.ll;- lnh\vno

hn"\u

o-,i iotvt,

' )

t4[rr"rr"L S Lr,|vu'"t-o S LPz IU

Ala.t ) ^

rn \-t:

/\ \tr/ n a \ t ) /\( \f /,

t

rt LdvaI Y - r e r ) ' r 2a , l t " : \ 1 -

X (*) Xv(.) X* (,^,) =t

\'/ I "t*'

. l l YG.nrL t-rr nr,ar.vra\v,eaa I <^oh*+* rc-rVr,n(l.rw\tah(q4 *r*vra\a-

CA o"t,a\o,,, I

)fe-urvt

VtoYane4'a s"arn^\a,

www.stromar.si 20

' 1 : J - , ' l a * 4 - V - L,V='1- lt '- ' t1- -

*L vso*A ', Tve = * /b

TFL \ ' \

t ' r ' j \ T p ) ) )

I

rvvvl> \y.r- rno byanrrkcMt l

\ac i i i

:> Yt( totr^ro) + ?r(ul- t )") ' , (do=

ct> K(ur) = i V,r ' P(o) - ,* Vn P(c^rtuo) - f Vn f(qr yl:

F> X.rr;) = Xx rar) ' ( \ t l

www.stromar.si 21

t - 4 x\=iT(x+o + 4

2n t ' ( t )c) ' >t

t,=o lr- 0J0 i ' *

?(-),= T" ' \- ( Tr) eJ

X(,r),= ; Fc,r; - ( t f( c^:+rDo) + t F (r^r -k)o

\ , i= \z (,,' 'r?bgrcn no tao vtari

cr) vz ',= zrr/r

N t= O. zloo ,,r lo.h) ctv i ic( qraFc- I [x (b) L \ M 11X 1' .^t) \ , d

i S \ r ?9Yc ( - , , '

( t ^ : ) " = T , - 7 K ( " , t k c J v * ) ( ^ ' n , . r , r . i o * n * I ( t X " r ( c ^ r \ \ . t ^ l

'-(,^l) = Xrf.) ' ( \Gr\ < ry {\\ nrctY\S(75

t ) . V{<-v te{ro.,ltr <

www.stromar.si 22

?-a Ou^o.^tu \v^V cr M<acv hranS Forrna-J_ o

@

!*

x" (t) =* i X'(r^r\ ei-t d*-L . ': z\f

'L Vn (Xrtu")) ,ooo(r^rt) - [rn, (X"t^)) m" (,^,r t) d,^>-€o

())vz,zr 2 _

o \

+ x"(t) = + J I <.ix,tt^,)l coa (q,!) - l- Lx"(",)],u.," (-Dl dq)o

I*

T; \'b^.^o rcil\a hnl\n^gviano ,r. narcclri\* bo"^c vEo\€ r*orm+t b inkgrq

-t"tkvv o"\ ra 1 dpl,,ivno no.- t{ Ae \nu ',

t N --,\oo(rt ve/z

AW= -G-I

oT T J . \

AUJ

r f -

U,lvrC^J

L

,-1 :\. r t \

+ x.(t): f, Z- atnJN = o

t

( \rl"",\no n\t!,o 9n\" i{- H !,+,c , h i'nor-W-vg

z =(, II

LV- \.' rrErrn.r a".a-\\Fi i)nc ?tt.L

\\t*) (*-' h tu) 7 , v\aL- h tOt"tit I t'rr'rt- a t =

o trJvr/z

/ntt)-h \ rr t . r) e*\*td- :kt- J t,oa (wb) sl^) =-@ o

,.tl/z/ ( r r J v r r \

/ " * \

+ fIT %r!) \ h jg , BnL q . Y , \

"-1I- tr).rr / \-

. xv-\ ^S> (r ) = -a-

b l t - v

(Nvz = Qnrrt --1, s^( ry ) : T,Sx (* t)v1 r c

" - - . r2 Xt ( t ) = X(L) . Zd ( t - hTu*) : Z / ( t - n tu*) . ̂ ( ,n \ . )

X.(t) = Z \^( t -nrur\ 'X ( t ,Tr " )l \ : o

www.stromar.si 23

6 Int ersimb olna interferenca

6 Intersimbolna interferenca

Oddajnik po5ilja nakljudno zaporedje binarnih znakov. V naboru signalov sta pra-

vokotna impulza z nasprotno polariteto:

N

r(t) - I "["]g(t-nT")n:O

Signal r(t) vodimo dez prenosni komunikacijski kanal, za l<aterega poznamo sistemskofunkcijo h(t):

(11 )

11

Slika 6 - Prenos digitalnega signala

Naloga:

1. Izraiunajte in nari5ite signal na vhodu sprejemnika .

2. Dolodite velikost intersimbolne interference !

Re5itev naloge: otk-vaja6.mcd

x(t)

www.stromar.si 24

\l

r

) INTE-S\\TKLNA I\SEKFERENCA

Bthavni rnaucvni vr? '. -i f---1 l*l i --- (oadg^iK)"rffir| . l l J t * - ' _ l

ffi"ot'r\nr\ t=J

4/ (b) , ,tJ.d /t"b'h'' 4 ;-' i ' fut?v-srl.<rr,Aispere3a_A

<---)T5

c {ft

= Ts ,', s\mbo\Yra,-

hikosF

.r lod"\oqn\k nvc,nosnr

\ J t .kona\

\ =

l@wilr^r.\!.Hl

1.u rno\s $redh"rrnlh

?rOxcierwrnkr J

^' U t( fn \ tr,ner.rn \r.pula,r "€di

diry<rg^-, b

:& pok^/r f..J*"i kot lr^{ga,

rgrl Fernos^^ enaLov 7

^) ?t.aU'avtr 'rn^pw\a

1o a,oTo- |t,.o\3o ) phfl^ & t*r,!.akA^ W gvcl*ivc.U"' ..,

.-->

x(t\

A

rqt\iOtr odwi*^ pvavckohnrX 'rvnpr,r\zov

\VY\

5tt-t)

r 9 r

I

= r

o t t

\, \o

A. A

P

I L J /

. t toot 1 ^ - (u-Ts) ,J . - /

A,(4-e ) 'e

T a{ * vredno:\ F za'-t.'no* : t1(rs)

{. wedvroski 'niso a,G.[rn<- t,r**"e31. int"rtr**o) t t

(n,Tt)

I S f \\r '\n\tv

srvnbo\lra tnkx$r<.nca-

be$niSa-

x(t) \ \\ \so!a-

x( t ) = Z S(n\ F( t -n.T.)

/3n)'(n)

,/

P(u):A

( t >o) (u < r=\- . \ '

,f, lt -e. t,.oE'1

%4 (t)

l ' t t -

\ ' l \ > r ' r r r \ \ L / -

\*?y\ fi)hiva$r. w%e irv'pulza- {n^ap ?).i f13sgih uei.h cl."b;l; odziv: l

X1(u)*hIt)

h +4

y..dtnakovyrc. rnohSa-

ISI. > 4 \r\ hopq.L.c^- tr:yac[i$

inkr{<vvncr

IST- < 4 ,:. do \r"lev{<.rs\n u* rn<- rpnd<-

Lo ?v,oV* IsC ne *gl5" t\<d sobo

\ t ( rs) \

www.stromar.si 25

vhocl^^, tv'\ dav W irnpulzo- na \?hodi^ . , '

,,\ Xtl 0^ott I

-> { , [ t \= A ' (s( r ) - s(L-Ts))

l%fUCad '.

mA'= 3 Ts := ' l

]fL^Jo '.= Z

-t6.-1"

p(r) r= ( t>o) t t (Ts)

xr (t) ,= A, P (t)

Utut ' .= t)o

s (t) r= U (t\ (4- e *"*

)

r \ r t t ) ' , J A(s( t ) s ( t -Ts ) )

t := o ,$: , , 4c,rs

' A=3\ Ts=4

'ntPtg de$ntrar\'\o

tq\r =

ATOQo ? .4ffi

tvn pult ha

fS I = ?

(y,or i i i Tntar ( xrtr) l t ) rh ( tnt t)r t ) )

[ ,,' itroan navho v?rrce- orhiva, 0^^ uA ?naL v e\.xidishanan\h &,aovnrh lvrfw uo\if. )

N l =4c Y1 ' . =O , , N -4

0t^vn' ,= t tn(n 'Ts)

( ro*ril T"tq, ( nt.V ̂ ,, n,Ts ) \n ( ntn tt) \$)

nak $trerr.r brnorn '> ?l.PeYco5e r.n*tiv

. \ernolovro.r-"'o V5<,hnc:h'no pavolo\C\\b5" 1

rnd (s) )

o l / l L

a

i"a*lt I .-

t -

- l

) '

5 c l i = Q , r I - 1

Z'tto"r (t"a (z)\ - 1\ -

/ ,,,T,> ndn" - Atu\

\ t { i n - 4 r, tr l

\@

| - r ,

fY\:rtrSr o6f of \

x (b-) ',= Z- Si 'A, b( t - \i l i )i = o t

t ' '= Q-, * 'n. rr. I 'Tsr -1

n4 (t) :: Z si , 1,ln (L -i ,t )6 \ - - o

q

L

(xtt) , v) rn F.\ir€ Fg )

www.stromar.si 26

r f \ltLtar ( Zap"r<tr un"Vav v nt$vr"nr\r^. dFk).hyan o \r varrc-ntto lrtrna\". I )

\, r {Vi

r= n{ l i , ts) (,unar\i i i q.ofai ( ' I t(t)\t) in (1vi , i ' \s ) )

I s'rii = i.t (Xu, ,o r 4 \ - 4) (,,,a.LUgornatc,ov v frgr^uv'niVr^-)

r'

!Z \= 4 ,, E- 1 (,,,. ,gim11*," tpr({,kff- in od&np ?aprq1,. rv'aUov)

( naviici dvo \oEerrc. To? . (si.-, , ia 1 i,n G1i.,iz) )

Erri. r: Siz- \ + 5t i. (,,, defelsa $T^L ', prw&rivrno yl.ll,.A( tv'raL.,v

v oddSni L im syrgwnnit- )

(, , . frar\ iej Tr1-, (Evr i . , i , ))

\

7www.stromar.si 27

7 Prenos brez ISI

7 Prenos brez ISI

kV prenosnih sistemih nairtujemo prevajalni karakteristiji oddajnega in sprejemnega sitatako, da zmanj5amo neZeleni vpliv disperzije na prenosni poti. Model komunikacijskegakanala podaja slika 7. Skupna prevajalna karakteristika H(r) zdruZuje oddajno sito,

L2

kodirnik oddajnosito

prenosnrkanal

sprejemno vzordevalnik detektor dekodirniksito ) znakov

Slika 7 - Model prenosnega sistema

prenosni kanal in sprejemno sito.

Hfu\ - H^*(w\Hp(u\H..(w

Model dasovno diskretnega komunikacijskega kanala podaja slika 8. ee Zelimo dosediprenos brez intersimbolne interference, mora biti izpolnjen pogoj:

Pogoj za prenos brez intersimbolne interference v dasovnem prosturu (12) doloda tudipotek vzorderie skupne prevajalne karakteristike:

h(nT" +to) - tSlnl

- , ( 1 ; n -od t?z l : 10

i n#o

Hilw) - konst.

1 gHa@):+ I H@*kw, ) - f ,ons t * {o

s lc:-oo

(12)

(13)

Slika 8 - easovno diskretni model prenosnega sistema

Naloga: Na vhod skupne prevajalne funkcije vodimo impulzno modulirani signal o(t):

oo

kodirnik detektor dekodirnikznakov

o ( t ) - f s [ n ]6 ( t - nT " )

www.stromar.si 28

7 Prenos brez ISI

Skupna prevajalna funkcija oddajnega sita, prenosne poti in sprejemnega sita ima potekfunkcije dvignjenega kosinusa:

( r " ; l / l .#( r -a)f / ( / ) :J T$+cos( f ( / l -cn ; +t t_: ) < l / l . * ( r+a)

[o ; l / l , * ( t+a)

Izraiunajte in nari5ite dasovni potek signala na vhodu vzordevalnika v sprejemniku!

Re3itev naloge: otk-vaja7.mcd

13

\ - i * , t * - t ' l -G<bl"C

4 rw\ = 4rr t " ' ' \ -hNtTs r (O

(w

j l (-r, ( d < c, h*+rr, -*N+ri)

I

' i l ( l^, . t .r< , , '$t '

n , *(C)r,\ ,.t"

- 1 , l 4 t h l ( L I i = ( :

/ / \

www.stromar.si 29

I

\ wr lhod dovno

+F-q ,r ,"bwnc Fa \0n.

I

,*, TRENOS tsKEE I:L

oddatnovntt h1.tu)

9pvcttrnno' tsito h"(u\

N hradi .$rrvrna* prA rny\o-[& ynorav\^o ivne]r

zpretrtrvnno Ybo . Sprctrur^"uo Vb Uo ct\/q1ea^D

ye^'sqpr [ra neL"e- h"lnhnct- t\napvc6 v.-r- bo

\,€ prrrgunO"-\) , \^df ;'frtt^^^\^,o q.tho

\Wo tvr^ Ts T' ,

V\aL J' i"nuiil tncV\

* Zanrwr-

o \KUpI\rA ?RanrAusrA '6pXagreR\5{\KA I

Fcn,.v iaU*

1.1*tzvnnc- $o' cr r"npu\z / mot

To 6L disho 0K L

?i1nra,l- 0I '

vmr,o rnaa $L

To$fctrt

\ot"o \ l f da &' \ \ ' \ \ r naE o I( iorl- ico-h \ a

?anrmq, ffi* & tr"ntq;"lv.^- preanot Vtcz I S t

?apikr.o I fttt.+ h,T.\

'lr*qs hea- IlL p-lr kd";_r-la.dsx k^ Fc/nos brsz L5 t

& :rrrl,?Msvi- funL0" cebMer6a. ltlkmaa

,qltrds.- O--pr -arrah- lno6&{h kc^ r.r"iLh-

:L:\2A tr: o

!^cerf -L--- To F Nglur:hv,ov k"k\

4

t.+ fU)\Y

h t t\ = ?"o. ct\ * h. (t)x h n, (.t)

flct Fb"b^ -

www.stromar.si 30

)r Shft fvtoyauw\^2 lrgrnlt.,ah $qc^t) t

* NSaui s\oncv

' Ht(.o) =

* Za- prcrnos bn"et

\ l I

NPt, hnow.c

. J

(1ar.v-

l:T'

L"t 15 v $.e\..rem dnervra

* =Rtar \ n c .s)

ISL Cw\oro\ ,rtorln \

p\e}. H(o) r\\ tXf.t K, t'*"nos b.c= Lll S r gc. &\ r

J " r

, Nt"T ,f,,\-rr<^navtr \g* t t^ qg rob\r'"s ?c- p*ezvros bvet/ \t yc\ov \co hlnbo\rna- frc\^,ern.r- ) ,

\\( bs sr5\3e,n^o vtc L \n\.obn\V&- &bivno Lov,sb^,tho l

f rr \dect\,tro l^,\tb Ufo (urh = t )

V?-oy dgvc,,\ nrL-

plrosFon^- '.

q

\ s - -

\ ' t e r \ \

(,As = Znfs ,r\

H; C,^11 : kons!c.n!"*

r--l '/---2 UdJ-..zl--

\aor€r.ira\u,i d*t

\l torEcvaVrncr $rcLve^aca

\"\.Ib"

!n h)s

, LOsFT

r R(^)

N

Iaisd e"w

If ({ '+-

Skrpn^ pveu,q.ln"a- ho^*t-* H(fr&) P @no, I

[r, ) u\tl <+(n-+)

rt (f ,r\ = i E (4+[c*F(\J\- k))) | ]a rv,t{-d-) 4 \t\ < !tn**)

I L. j**\ttI- \t o ob\\k^c Avqgrneftc-. louvurnc" ( Rnrse,u cou s \ NE E R. )

\Zr.ano,^h {<. pkcbno Eoorvnr pkt -

r.,ag.na\c. po, vhcd*,u trorZunWuLq t kr{*^lt r !

,r..- (nc)

t%= * t^ f&)

0lunc (L '&) = 1

hsr (t r n-- o) = [r,o, (t) ,,. idea\r,o nnto nbI

hflpl( Itraotnawt'o '1rn\cr?

k1p" r f,ck,n" p^

fnvolwro gwro Ic t \n\er29e6 \6pl"wwrne f*vrtct3crp dq/*r- '.J

?'.jtu*{"-'t^ra, twn!-otr ... k?" *U \la-wto

\ape$ara\i ) ,

L

\ t ril=o\t

!(r**1

www.stromar.si 31

t4s/z_t r ' , \ r ; , . . t L t [

v , t r r i r , . ( t ) = i n \ [ \ , . r ( , ^ r ) e0 ' - du r = T \ Ts r cno (o t )dd=

=}.,hlt ,^rt) ' i / '= S xn-(FIr,s = bFItO :\^(s*t)1 t L J

- T t 'Ns /z_ L 6 , / z , l o

coo (\ * ")4 _ (ro.t/r").

\\q\h Cad I

+ h*. lbrd.)-- s^ (9.t ) '

iFG

Te.= 1 fr,: * 0d5".= t

\\rc (t, a.)'= Ltir . tir**rl' tt (tt' . t',,r-*), r.,E'(r* (,.- ( 5l trt r-H )). f '= -Zfr , - , l .oO,fs. .z, fs, d, ,1:= o,44

(notl l i ryopr \\tc(t,r) ) t\Rc(+,0,s) I HRc(f,o) v odv*nosli o"t {..cw,v,c.c- f )

3[( t \ ,= .Z Hec t{ t n,q, , d.r)

\^ '-z

Sx(x\:= rt (x+o,* , ,r)

hec (r,a-),= s.(?rl, ## t:= -z,rs\-,r.es.Ts,, 4,Ts(nariiri lorle I ftgq (!,e) I hrr- (l,o,B)

, hs.(t,,rr) r odvivrnovli .., U )

N,= Za vt :=o. . N-1

dT = ( d.uii fr.b*to ,,, \

dn ' ,=

f toor [ rno\ (z)) , Z - 4

{ t t ) ' ,= X d""hr , ( t :b rTs \ d . { ) t '= or } . , \ r ) ,T5

( p,iiri O"i' 1tu) l q (n't) 0r odvivn os,h od, t in h,Ts )

3www.stromar.si 32

\\i.4rnAct\ n^aLOA/q. It@

. ?rugrr, I oT\( bN 4

fncd daie\<]cq Z'iwlt2novn I\n pv\\Y\^L)Y!^ ;

t

-+ ba {.L 5l t <,tltql^^a-- [*^$^ ViLh"r- ob\i[.a- :, \

t$q = Lds o\i Ott= Zt'lt a\r

l \ \ ROi *\"T tcuL" \-k h^ o (" rvlrti Yrc. v11ah I alzl = Bk), itd,,

?"Vsfr ) do Tt v dq^^r-\n trrnme,rn,r, rca z? Nlapu,i:to!^ovc rnnpw\r<- \u. d.a-

i c S r - vd6o ( i l rX - : ' h ' L , r l s (n=o , { ,2 , , . ) pnc t ^ r o t ' IS f t ,

\\r &pif^ prcv3"I,,^a t'*"Q, y Ecrnvnsrvt p*V-o*- fn 'plvvwt Ir- ,rc6vrA cyv

pLd** l}toYiJvc'f'*L" )

www.stromar.si 33

8 Generator Suma T4

8 ^ Generator Suma-

Naloga: Generirajte vzorce nakljuinega sign ala y[k], ki bo imel pribliZnonormalno (Gaussovo) porazdelitev gostote amplitudne verjetnosti s srednjovrednostjo I : 0 in varianco of ! IzraEunajte tudi histogram porazdelitvevrednosti nakljuino generiranih vzorcev !

Komentar: Dober pribliZek za Sum z normalno porazdelitvijo dobimo s se5tevanjemN neodvisnih signalov .r"lkl, ki imajo enakomerno amplitudno verjetnostno pcrazdelitev.

( rp*@) : I r :,::l"tj' l'l

< AI u slcer

Nakljudni signali r"lkl imajo srednjo vrednost rn - E : 0 in varianco

*,[k]

&[k]

x'[k]

x*[k]

Slika I - Generator Gaussovega Suma.

Razmere podaja slika 9. Signat vsote oznaiimo z ylk]:

Srednja vrednost vsote je

neodvisnih izvorov:enaka ni6, varianca vsote pa linearno nara5da s Stevilorrr

o?: No'*: N+ (12)

(14)

(15)

(16)

Po centralnem limitnem teoremu se porazdelitev vsote signalov neodvisnih nakljudnihgeneratorjev z vedanjem Stevila N -> oo pribliZuje Gaussovi porazdelitvi:

Re5itev naloge: otk-vaja8.mcd

(18)

www.stromar.si 34

f'\|

x^ [k] \X.tk-l.->,N-.iii7o---o1tr1^*tvl/

,\\ qnT"ol XnCFf,

\r"rc. Arnq,Vovrn €rrn I

a,,.vrr p\i hrdno q[ oM*]rnst $

pvatckl,t\<l//ftt\),,,

,/ P (% t nd^)

uA

tIu+ \

q&r1gt i fwr,yo"vrno nnnalW,<- p\€6flW :0 - - ( q I

{c^w^,l'"v Qr"u*r*-tr

Vpr;ot3e I lrnan,o clve haY{r..ani ?*q\rvLi I Vt $nc"\,a u'wlswto{nuo

povada,tilcr, Ka\Anq- & yov"r*te,trkl \ & trnr XIEtvno ? E" *6< h

{ a* rptr^"{rv lr^ brcrni F*Lti a.b\*" hntotno Fv't?dk t^k^l,

I

\ U s4"9i &do^r,'@ 3e &e W DpY . \rr d4\^ xi+gt't,^- \r,^ \a,Lc "^of"tlu

I ttdbiYho "II f t (q)

= pr[xr)* F^. lx ' ) r" P^.(xr) i l ] "* px"(xv ' )II

I *1-t-* ,a 7r zx

X' \ f t s l \ ) /n . r r z \u1 / \ , . r ' 4 i .F r -, /,v

--> P\r= f,4l xr ) x f xz(x)

-zA /

t^ ' 0

Xz t kl -7 ..-' I'z' I a't -

N L Ave,,rnrc. :pr, ,CocLh^o

hn'ot,"ga dYoh hitol"rWu

, (r Prvv'h, yrvotd,,) ctrcbryrro

& [ E ] - * A

x.fvl tl -/ , ^

xgtvl l-xr[ rl

!ww1.a-

{e due y"

I F"{.L r

o tf thi{^ CAot^r,- bm^^o pnavcatt\i

\}e\uc\e

Sft,^"ra,r$vkc

-A do A .

lverzk un (x{!,""1^ b6^^r@ \c- vyvet v4iua)

\Vvrt, et'c,hr;!*t'r h€ pta+ctrJa|cv qL

4

www.stromar.si 35

|'$

, Nawlp bo'h^o Ydwd* [Y\ilM^rxrOno ',

\vrk'vva-Q-

(\\o- r,'^^.LqAJo -ft+

, d/o^r,,,YZA,trt*al

1 da- lvno q'AOEa- Yf t ' &$Vta va,*Q frv'd{

f,,|J;,r',&tL dT/v"A'L) N

flr6o.h' (\.ud! , ,, ZcJo f,\.ovil,@ lvan[v ctwo nyvo+.+*H;afi

nfico1r^,w't A ,

C - A A Z

J (x-x) 'p*(x) dx = ?

t3.nvtuo .. bL le+[<"*"^offir

bs*o YqakLi.U

Lt*,,o*r-),

pa^ro; ruroLe adl"c-

lavianco,',- ---;*-:lr:,*-:;'. *: :-

/ zUx

r\)U ̂d.

,<

-4 ") crt 5 N,(xL N.e3

|\qkhCqo\ ', -,P olegnryavno

rn ',...

(qZ i= l N l= ' \oo

Nr44_',= z(rnd.(zn) *A)6

' h = o

tnol r,tna\"- ntr

lffiA \= {=\o-

(r^" fra

I t= 4qp

1 l= C , , l - 1

ntailnn lbvuAirr,o dn( ra,!'zr SU rnq-)

/L yor<rwiYnT o trvcdli- vvecfr^.e*

!.vrC6rn (^14) lvn dfc.rio.n

rn€qn (at4) =

orar (Y) =Mrn (%n) =

n^ar (14)=

*&rg{IAE$ ,r

N , ,, (\ , r-l..lo.w z er"oltcrv*lY\tua vvXuhrtovl"no pvarr\u\i\jr

A,,, prrd*a p{\edlwre ry. 'L %rc'tzt+exvto rr,v.a:'/'e&lUJo

I I i Fr* gb, vhrr c-r^/ o?. c*,ol,?in"' vetJvLi"- \

Nwtq t'l flneoolvrh^rh {yvJz.\\'Lahi\ \uovwr'vrlivL

2

t'\1 r\ r siqfnai- ft4 xt-

www.stromar.si 36

h\:fO Qrnn ;\ o \

*1(rt'" .ttot$7 n''-to'

; . int, K\

rnal{,r Co,&t* ,

tu\pvabr\i bovro

W n$cfanro v

\nt vrne- vckht,u LoJ+rta^^'

8o tL'fo^,- veq\r'r-c- vf grAnaolh'

HathCa.d:it---'

? r--Sc ('', dotoaro 5l"rt'o yvtdaJ.cv 26. ir.rac-uvr hir+ot-,*)

Pr- o" ?- 1

Y\^Pi= O,, ? O = tP L A,', -"ori* itt lwwu)

ivrge.mpl= - NtA + fnp'A (,,, tnge irnfcrvoLov )

?ovhisf r= h\tf (rnge , !) (ivoaunon'o Vi*loalc"rv, t

"U"JF veorQ^,,

Ur.Xt{n Lt"vt"ii{)= 0{ F n gt" nfgJ. )

{ _%7,\r,?t(14)r= ffitr'end1

' ,= -N,A \ .D,q9 'N ' ,A r \ N 'A

- N& Nf\

t T Lt t * , , , , - -

3www.stromar.si 37

9 Prenosni l<anal z Gaussovim Eumom 15

t q\q rclono tt" r\a, net"\, \

Modelirajte prenos zaporedja binarnih simbolov po iasovno diskretnemkanalu z dodanim Gaussovim Sumom!

PRENOSNI KANAL

Stika 1O - Model prenosnega sistema.

Slika 10 podaja model sistema. Binarni niz na vhodu kodirnika o[i] pretvorimo vzaporedje simbolov rlil, kijih doloda pravilo:

Na kanalu se koristnemu signalu pri5teva Gaussov sum. Gaussov Sum je naklju6nisignal, ki ima Gaussovo amplitudno porazdelitev s srednjo vrednostjo nid in variancoo2r,

( +v . dea :1' - l -v ' , (ea-o

1 n 2

p"(n) - a=r e-4\/Znozn

Signal na vhodu sprejemnika oznaiimo z yfil:

vl i l : r l i l+nl i l

v sprejemniku detektiramo informacijo v nizu aVl po pravilu odlodanja:

^_11 ,6e y>o" - I o ,Eey<o

verjetnost napake je enaka verjetnosti dogodka b[i,] I a[i,]:

" _ [ p@l t ]<_v) , ce r l i l _y1 e -

[ f(rz[r;] > V) ,, te rlil - -V

P" - I:pn(n)d,n

Re5itev naloge: otk-vajag.mcd

(1e)

(2r)

(20)

Pe - P(bli,l * "lrl). (23)

Napake pri prenosu nastopajo, kada^r je velikost Suma vedja od velikosti signala:

(22)

(24)

(25)

ODDAJNIK SPREJEMNIK

www.stromar.si 38

R ,4, zoog

v

\* ?Rpr.msnlt KANAL ? cAussovlfr \uxom varo- I

)

-r \r ^ .1^ o o ^:\ ., o .1 /"'^ (Q1us"v) ntr)

I

?,= l-F-#l^.. ---f--l-- n(t) ^ /\,> x(t) --oA* tur(r)

kcraitni\- ..r \A(? trr*\owa- 'rn lodivc" mak-e- ^/^-t . i\

\ . / ) r r r r 7Krla.r l^trtde , An Mr.rr^.rVO

l - I

u t ' lT!, nn",^ol, Wi cte . lz- r.l - nr ircr".,.* ra- nrzota-hJat- Sl,r,ru vzzli ad- aqnla- , Tt: i' t - \ u

lrrr !Lr.hr-r r"to ,.lanat | (AMt I^.* ,uond,ln , da u- strrn rvyrar,J.t'I @'L -V aJ.Ls u t v v

/b,ri.Jr-.t AtweA " ). ,i h, ^^ r* th' ,-t V \ . -ra t/" rrtr"cA"r,rh' oLuc-L* rurcril.r'd,{ i\" ,ln c. n o{Lu . ht- b, arryl €,ki?yi ryn L[o*v, ]

(,

\

) "Srr^.lrL A , be = ? (n < -V)I

b'qb:.

.' St""

Ino ,rr vritlnofrt rv-orutke- T.,r nrvrp-kl.rorrt d."n lla-v q \l

lbt^or.o Aue h^r"Lcih . U; rla Ail.tanj r^p- Qaun ,,i, &r",*, J:o s*",v / U

cb(x\ ,,, vricl-n*hnr 'r\nkg

a-Q.-e-rt (x) \h 6 t"\I

L, fu^*V.rra , r'.r.ry;rYo

r J " \

f .hOf,kh ,,. ir D*n^L,,i,,r- i1t- no.ll(,an!r' . Vt' dc ik',uu t l ! ) " l U

hrh )De = + (r- o ( * ) )

A h,*- An" = + (n - .,r f#=\)A h=-V n=V s

'lt u, r v\ th , -= A- ( r ,nvm (+ \ (v* r t0 .c . , , , J \

l\-{ \ - v r * , . \ v v ( J L

\l * .,. Y\Ar1c la,rYv1a- \ rir* ..r !/tokwrikrt

X=t ' n -

d^ \fadnolvr =, /ir

f l

h i*o*., vnAak*- r*oZ {*o lr, pd;\o* ni*vnb- V , til,tlo .lol-n

I

tlrvh At'n rk fu''.u -*zU

t

www.stromar.si 39

['\al,ta la.rl ( u*t' boyr,'o ,Jt)ol,^' Ar naila c.act r* ?

V3e-- / - crvnovyn ( *)

r t pe(sue)oA- Ao's Ao ,loo i /o$ry+1^d\o Atlcrl u ^.)i

&- r .ea-L

q

I -n^ ;U^rr., uL t*r^ rwtt t)l t,

v

nf I

p-rr^-\ \

0 -

F'+ \SNK ,Lr- Nr deubcl'th sNe = f to . teq (5)

q

,t/

SsrR = ZO tn^ (# \ \-JSl ,,r ty't Yra* lmaril+nr mMrn- rurni'r'

I V s N Ft) .i-

: 4o E ( sxrg-ar, la,v.,^i ;-,rnYrr,r.,a\

U

YIo+4, c^oL - koon

SUK i= - ) . o .E ?r3

hp (srve\ r-- 4- cn,nna ( qo95 ;/ l( navii' A.GL:' p (spn) . -sNR ,* A)::-rrrtr,ra irntA udi k-*vL \L-.1^ | )\ t , d | | ' 0

ck\.hvno "r.J".o*

q

Noc, fu 'nnwo

u"rto.rn I rwn; X. rr* fF =o,n , )a,koitrta n",,o... LiB

v t l- To \ztara*ttt*ur-t 4

J -fazb?vl'ttn a i:- r>,rwa tz

0 \/bo' t

Cn" : Q '4

F\ '17

Qt^Jro.. rnezulrr.} . r*) ; nva ,,hp = 00-6u \ r l

aU R. ztt"k n3, S

1 : g V4O 7o = ,r- = +'+ ':r)f\^->

v : r,s+A=r1r\r.-,

l

www.stromar.si 40

I

!l

\^pr rn u- aoj' 4 ) = ? ,O3

4L/ '

www.stromar.si 41

70 Prenos informacije preko binarnega simetriinega kanda

10 Prenos informacije preko binarnega simetridnega kanala

Za rnodel diskretnega komunikacijskega kanala na sliki 11 izraiunajte vred-nosti entropije na vhodu in na izhodu. fzraEunajte tudi vrednost povpreinevzajemne informacije med spremen[iivko na izhodu kanala in spremenljivkona vhodu kanala!

16

X:0

X:1

Y:0

Y

Slika 11 - Binarni simetridni kanal (BSK)

Lastnosti binarnega simetriinega kanala doloda parametet pe, ki predstavlja ver-jetnost napake pri prenosu simbolov: P(a * ")

: pe. Diskretni signala na vhoduin na izhodu sta binarna niza. Verjetnostno porazdelitev vhodnega niza zapi5emo zvektorjem, ki ga doloda en parameter: P(r - 0) - ps:

Px : | , : ; , ]

(26)

Za izbrane vrednosti parametrov kanala in izvora pe : (0,0.01,1) in po : (0,0.1,0.5)izradunajte entropije Hy, Hv, Hvtx, Hxv in Hy,yl Kdaj prenesemo po kanalu najvedinformacije?

Napotek: Entropija izvora informacije na vhodu kanala X je povpredna informacija:

I

Hx : - t Pxlkl 1og2(P7s[k]) : -po\o1zpo - (1 -po)log2(1 - pi QT)&:0

Verjetnostno porazdelitev spremenljivke na izhodu Py izraiunamo iz porazdelitve spremenljivke na vhodu Py in pogojnih verjetnosti Py6:

PY - PvwPx - l L-o ' ,P"_ I | . '' / '

L p. r -p. lL1Entopija na izhodu je lahko vedja od entropije na vhodu!izradunamo s pomodjo Bayesove formule:

I ,r',- P o )

Pogojne verjetnosli PxV

Pv P'p x v - t x t - Y l x ( 2 g ), T Y

Vzajemno informacijo med izhodom in vhodom kanala lahko izradunamo na vednaiinov:

I(r;a) - I(r) + I(y) - I(r Ay)- I(r) - I("la)- r(a) - I(al*)

(30)(31)(32)

www.stromar.si 42

70 Prcnos informacije preko binarnega simetriinega l<anala

Povpredno vzajemno informacijo med izhodom in vhodom imenujemo vzajemna en-tropija. TUdi vzajemno entropijo lahko izrazimo na ved naiinov:

Hxy - I(r;y) : Hx * Hv - Hxv-Hx -Hxv- Hy - Hvtx

Vzajemna entropija med izhodom in vhodom kanala ne more biti vecja od entropije navhodu! Pogojna entropija Hxv je mera negotovosti sprejetega signala:

L7

(33)(34)(35)

(36)H xv : ? D p"[k]Pxvli, kltog2 rfu

Vzajemno entropijo 33 doloda tudi ena,iba:

f ?. Hx;v:? Dp*UlPvwL,klrog2'#

- t f r" Wlpxvli, kltog2'#i k

(37)

(38)

Kapaciteta kanala C je maksimalna vzajemna entropija, ki jo dobimo pri optimalniporazdelitvi simbolov na vhodu:

C - ry*Hv,x

ReSitev 39 za BSK najdete v knjigil, stran 56.

ReSitev naloge: otk-vajal0.mcd

(3e)

lsa5o TomaZid: Osnove telekomunikacij Iwww.stromar.si 43

l'\|

?ro^ns \lt[o Yvytrzciie . hvtin bi^,o '.t/'-(c,t?t. <hvne,kt&'te-aa hywrlo vata lO

lrn.r*o rtnor.rtrrletl A.t M*- 'ttvor

ilbtpMlra- n*L t rvb I n^D d,oa*r"teL Au - | ( J

lul^rt-oda- ft lilbyr/j. /\^e olnno.Jtk-

u

\ )U 0-

.lI {..n) - 1

lro " FA) = -{b, P(A) [bi+l4 U

r \' Qcnertra'( \ \a tog f f i c , , e - , c , b ,b . c c . a\-/

)

; a"t"aA

?(s= \ , ; \ = r^ t , T(s=s i ) = i - ( ^ ' r ^ , ( t ; )o

t&r'li{,t..:r.:1rsi i:'iiiti,1lit"i',r,1, ' tra't":i]f:.-?+;r' . };ii:,f,(l;. i"r'l - 'i f: ?,}i'{r "!irrt'i.i

EuTFcPt JA levoR.Ai -H=7 r (s=s,) ,P(E=\ i \\

A pou\Drr Ano +, bi L u r :,.! ^A)nr ( LiH ,wtYLrl t'rtT /r\ aL l

IJ

ti\ lA

5o, 5r ?nhr.-ruiu ll (\vt-g1a, k^ nav€vcfrlc V,{<rlryv.c,.c-itc,\ J - {

An-c i>\nach* V^^a-!t

T \,

b cI

l n ^ = A - U -. \

Fnhra,^ii- i l tvt,tur,i(a. tf 4 bil I )t u ) q U

i?vot l:ornc.l 4 -rala,o*r.- \+ kc"no"\o- , Tr"Sffiiit

aaa- ', t',1 lt : x- ( itg "t't"*c"x

r t 1 l r

4-P. - / rvrarrtrc r?(u="c) = o ,S

\-----,A - ,' t Pe-

0

{ . \/ +n \t'\^t/v] y l\-L d,,Olrt fr , \ rrialiyrto dL dnbimo , d,e- i,

b"tu n,o l*prr-ortni,-ui ! l no., b, =0,s Ht^/) > flt^l , /a,-, l. l it

' . ^ t * - I \

bn€a,lzOv a.ltt )- / t t a / r l

www.stromar.si 44

, v l \ J

ZaniVn rmn ftglvanEta- nvong6Aru- iulorwra t'o. ' ll X Sl-\- \:l".ezA t va, u'e, ho| 0 | u u I c -

'Etr .o!\ iutrbt I D - Al-tvOotii ,vro it ron^- iu A^D rloor.j la u' Eatt utat t ln.n,

| . - r q , q ' { d

To IALU. inai*ttatt,a rno ki nv"L\w /"a litl!\,I . , ,

-d \ )

Za**mq r,tsa h^t;to 'rnlot

mzay- *- W 2LthtL rtr OZ , t)ubtu-a1o /1/"!t'au*ha, l \ r v r l r f \ JlU COfvr"au"rt Aar.aol, (*1dfuvw

't\ iVhrdgvn : \zore,n.r,..r 'r,alrvn^n n';x'a,

J U - ' \ _ -U

o lmqmo^ - brnavni - rr nnz,krL-dlri ^La^ta.l- I Ss f

v h U> = m -) rocrrrc. rlooii&ra,^- I*.,nI'--v

o Pa tvabtU pt'* hno,ttttnc, wr( n ^ltl^ t\,hdttr- Uz^"r@-AA i,v 6 6 ?

r ) f

h ^ = O r AE , l ?1" , Vx = l r -

" lt-aifn v.p"irtr,o gr,r.l'ronno ftlordr^a- yor,l, fi;rri5 /

fl" i = Z Pr, lb ( *. \ ', l lx = 0,\6^9 .r p^[..o^i,^ rn6 r,\^-r.I r\J

. BIK '\\rq

dcLiv,it q/*\o vrie,,{.rvo* uv rn*o - ', Ve = o ,,t

U g ( zJ\J U

| 4- pc- be- I I o,3 oi7hn. ' = | a I

' r Tru-x = | o , , ' t o ,s

o ficr.xr,irnc- rl,,ars r.rya Ld&\1At v,ntlnolh *ot. n^0 i?4,aAr^ Ss K i

k = 0. , 4 A

?*, = i tx, ?q- X..

I o. f l{

iq = g,u,., i+vais = lo,*z-J

[ r ,=; Pu: ,Lb(*)o \= - . d l 'U ,

tlo^ = 56h&^, izpi3 = 0,68 e,,rnkoniio na'nA,ocrtr=;#*

r \ J

{

&_ t,

e l

www.stromar.si 45

y'\| o ?a Ba uaoolr, lcmlttt hl^to f\,ar uUwro nn'a.hior^. titafot w w- :;)\, nnr.Iv'ol

t

t tx hnan, A^ / ) rur \ (Px-u) 1u\J <t

i= 0,,4U

f \ h '

I V l e \ J r l

Px-u,.,- = W r/,-q',B..fr g,.Ana" .bfr.^rl.,\e.,

J U

. M OSxovi morofiw\ AftiLlwyti itrqet+,ao"tn-o Va.Oay.p \nvt,.oiu,t o_ 'ln

hrrt cqleU U U U

* r , u e

!lx-q ;. wzaou\q er*kmiia ,,r nr.ria n^nnlo-nh *tu'clz* KquIQd U- [ vv , lJ

- \ t A- 0 U v r /

N ?q t7rotZla"lt toyul6,?1^r iuh,ovmaa-tl Atrtoilaual.r*o \toht thrj <.t t-lvon,i p la

n" I*lYo nirh n AMt dl - 0 'h

4u v

- *rJtl ^^),-t nn- Lorroln /aL tukoni,a Mo 'nJ, oatt b4t^.tz i "onio-

!fu, I

O ?arnrrn^ o- Y'?4t'1(Atttto ',

rr, Lv n ,a r it'^ t\^o n*L,oob^ i vr 't>L'tncb*

t' u

rnof,ba 3k \33 ' l' 'n lf x-u : o,244 r rr lv w dJ.ia-(sht vt\Lt,s*u& iw^f ,^ t t ' H *

3s; u

o it 'ta-

n"-ilw r*t rwar>^bo kjo nul}lo . tuu tt^^ ht jtn run-!.o 'th/.orrnaui

q r - C Io f n?'r

l r

nY Attit <, b" bil,',, biv-nn,rw b" I Pa € O r 5 r, , nffiU t I

h,l = O r?S rr r prre,honila A^o ,,lthO olaT rur

,-'l> l+" = Qt &41 H" =46

(/

{

./lt t @ /)

www.stromar.si 46

loovprcDnru

A do vrc d.<- \

S 3Ft-J( -/ f:t 4,or

prc W\ Y\U/lta'nvua

+e" sn- r i nv.ke- vabirno zbid' , QO O4 4o

ra I

www.stromar.si 47

17 Uiinkovitost prcnosnega sistema- primerjava prenosnih l<apacitet

11 -Udinkovitost Drenosnesa sistema- primeriava prenosnih kapacitet

1. Za prenosni sistem na sliki 12 dolodite model BSK.

2. Izrailunajte potek teoretidne prenosne kapacitete BSK: CBsx(Pe(SNE))!

3. Izraiunajte potek kapacitete Gaussovega kanala C(S.A'I^R)!

4. Ucinkovitost prenosnega sistema izrazite z odmikom od Shannonove kapacitetekanala pri BER - 10-5!

4t) Jl-lJJ-t+t

18

1,0,1,0,1,0, . .

tII

" ' ,0 ,1 ,1 r0 ,

r[n]:g

r[n]:1

a[n]:o

v[n]:1

Slika 12 - Dvonivojski prenos po Gaussovem kanalu in nadomestni model diskretnegakanala

I{g4qentaq: Slika 12 podaja model prenosnega sistema. Po Gaussovem prenosnem

kanalu prenaiamo par simbolov, ki sta po obliki pravokotna impulza z nasprotno polar-

iteto. Dekodirnik v sprejemniku preverja polariteto vzorcev sprejetega signala. Napakepri prenosu nastopajo zaradi Suma, ki se na prenosnem kanalu pri5teva oddanemu sig-

nalu. Verjetnost napake lahko natandno izradunamo iz verjetnostne porazdelitve Suma. -

Osnovna parametra, ki doloda lastnosti prenosnega kanala sta mod Suma o2, in omejitev

modi signala ol. Ekvivalenti diskretni kanal za dani primer je BSK. Potek odvisnosti

prenosne kapacitete od razmerja ,SNR, izradunamo posredno iz relacij Cssr<(P") in

P"(SNE).

Idealni prenosni sistem izkori3ia polno kapaciteto kanala, ki jo doloda Shannonova

formula. Prenosni sistem z dvonivojskim kodiranjem ne izkori5ia polne kapacitete

Gaussovega prenosnega kanala. Razlike v kapaciteti lahko ocenimo na osnovi primerjave

C(SNE) in Cesx(S,A,rft). Ucinkovitost prenosnega sistema izraiamo z odmikom od

Shannonove kapacitete kanala 1(P"). Zaizbrani prenosni sistem, kjer prena5amo b bitov

na simbol s kondno verjetnostjo napake.pri prenosu P", potrebujemo ?(P")-krat veEjo

mod signala, kot bi jo potrebovali v idealnem prenosnem sistemu za primer C - b:2.

Re5itev naloge: otk-vajall.mcd

C gsK

. . . ,0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,L ,1 ,0 , . .

www.stromar.si 48

t'\| n:'ffinrp(sJdffgr fRm$|Gce $SIbrA --+ Rrne,r*Vn M

N friskr.t,t ^, I rznna 0 n^, ̂ ^/\d I**uu, Al rvrparrritio ,{ , LC\Mivu'a ^^r) A !^l; L bi\"V\

I

A^A- 7*:.nb Ct \r..vr^tro,M I

H

L ' f

K"rt"i!* h; d hJ\n nnad ttrn ?rn,,,l. na'/.!n T^r *o 7

(\.A '

Slt^ho.dra b.^.;t<[.- (L^'',,,-t.w, h,,r'ro.tc, t I C- 4- to^- (l * 5$T O t

lP#) n\'1 l L*o

dx',,, Mdlu *q'T ulalt

-tttrnnaKtqf n4 ti l P )

Uh -rrr fr totr

0

r$ *ret. tarnraric { ^x"l' c^o) u*a'ro ht rwr4- mazla vic*"v-!s- ha /M-..dbU

. l t . l l . . n tgttu n-t , rd,A MtYfittftl"ruts h- n^oha.[ In'I,uf A,.:z WrcJx 1

v

Ubv

r,, hnb' t

Nr;tr," o oh{^t Ao /h I ̂ E i. rv,rrr}akttthhtu^a ', ^

o,s / J zuY{ '

IL+ .^r 'r - r' Orrn^ssoVa. nofaftdn-lu.kd ivne vv'r A^^;

v

nruan3&rno k 1l

,lLA "^or'Lo,b

^(rv,Juour;o It ,*u'r,ocr\c\ Lrc^Au^tL tt&lr-\v r\J t

A^*> dd{.gsovo, rrlr.alt&liu ntmoEq- r''rv.flttz inh]/',d.oiiz a. r*r'*t-a--$ w - lAr.rAel.

I t r ' V u ( - _ U V

r-

^-*'r Yo^nr; V +o- Iarura-Iz- ',

,*,n tlvtZj,-', Yta)"LvwlAo pr^}ttD hitq ( Ot bo vrcraAnat u q - u \ \ J -

r^ ln rnno U:ia r** d,- nlr'ul rrrr* i, l>ln orlor^,- \

Lt t !Ie( t. , . Aiskrc,hnr r,.trt€l i ^ tlg-

3sK t ,

l ' l \ l \ r r r V ,\

Wk t .lirL,r t )mta^ Vo^^nlo Io" BsK

'\' 4-f.

v | ; -

Fe-

0 \ |r f ! ,

re,^ nrlt A Erl|-hrtrg,c." VA^"91^ i (-nu cwiv llij,t,,q* I rq-

{

www.stromar.si 49

^ l

Wyvnucnoho l& Vntrrn{Vi A. Vnr.fr'

fra

N

r

I

/, \J

1f f t

c-> - l \ t x z, \ rh

\ S-N =4-$f--1 -

S l \ F = ( l ( ) , ( , U . r " 5 - l V I Ja ( . /

f,o.,- [vre-) q 4 + fu.lg-( n.-\ +- (a- vr-) ,!*,, ( 4- rp -) = Nax , v&.te',.nr.* o'U c g

g"*i tTI il,'RT;

U

1.1^,D

b4."l4^ ( ̂ Affi

r . - - \ ' I

drro\\(k r lnnnlnUr\'*, Lb7*1 = ?9,wwt

I r .| . r | ^ / \ J - ' l l ' \Lbnac,tk/'a A.atttrraavu-1^ ka^",La- i (, (s- N ) = t'Lb ( 4l {-xl

@. 8 "r ffi - *rsry&ffi .:#n4'ea i4q' +

Lo*,ovla- KsK \ (.*o (r. \ - 4r u, I,a,(o,\ + (tt-B).fu-ll nI (, ' f v f l

r , {sNR\ : { ) ' tb ( 4 r 4o'qF ) sNR i= -7a , , t ? -9U d ,

(*'rol Cftst ( e.\, ' \ / s$$1be(sNfK): 4- cnorrn t4o *)

U

l l /L, ow^L t loo rile,vn slo s Lpta

l . ] l Cesr (o ,q ) - o ,SB4\l \l q I \)

n\e nrd.inqln i gg:l . ,

14 fqileda_ | I" tnnA,vno 4ooo Z*&-u \^ 4oy, ^

Duo qto,Lzt /r"\a" t*lt tLV: I c(sr.re)ln

I

- -r h':,oe ?nrrcBSr ( ro. ( srv e\ \ [ i , sia- .

u U i " \r\4- 3cL+ Pnar A . :4 ! l' 1 - '

' / \ \ I(Tlr^n'L nl hrtv,ar;J"l^€ L^o-lo nn^nnAtur*rt ,oo(absdvni M

r laA nn\ l.r/rrrn/\ ia.,iY.na rnobblov | -+ kaveh'">'r- r>ln Ln.r*, fu lah),YnA,,aUtL

fi-a

(nnprVfnR. I tema,,oLna .L . fu- *'**u.a ru)/t *. M

?.eduqdrvnce"

U

SNR6

f{4

F)

)

o7.orl

www.stromar.si 50

Wg=c=gESl

lbjclF.Nl

FobrF.$rlF

i t l , r,o;i l l ' n"{ a^- k.^,nl\i iru.r.t I

-t t hdrr,-i^^.

1J t p Vt lckncvf

04 Er .--

S l , r \ b ^ = o ,oo4

ooo s

.\^D \\

www.stromar.si 51

u - q I Ut . r .Y-Q Vf^U, I€IA.

\l *,M.4rkqffim.suenffideMi*881f;t-u4:3r.-$y*/-E-

\\}'

"(iur

i-r*-tn *%# - t _ ) S\avnwov'F.ffiwu*u:t

( \ /

Nf^ar,.tr{ovl^r, k-of enn" nvo^l i I 0.,'.o * := Zg I S. L B T L€_ to orMode

*AW"l,1-'v.**o .

r fiar t

o4avo ritnr-o\t

lNtrcR.\,\ Acr.\ (K€,P1 PeEl

o trnlou.t-o d,isr^' rraw-foV- b.nrz1 F.s.t*,^ Vrln, ,ota- \oov4r'alu+a /n'tVovt aji ayvL !\, v

t, f *otl, IL) I

kar [\\v/sl I \-'s = Lbir/bnALJ L,.no"l-[crir,fi'L

n^D l Y*^* n)azvrev,ft- n.qit f

,-/ Cr

\ /

b\ ltn^"Ii rar, l\s^Nlny , r , s r {p - = 3o lB . *D, CIsNR) = i l "A . { 1+ { i\

an^u[ih^A ' L&sdsrM{# B 4o lc |i\z +

q

Pr-o* = Zts - b,o@ TloV cb,.v.o sNnrtr

\^^" [bVsl s 7 crBodB\ e l+'?gU

Y*^ - Bt to" . {nt\NR

f lO * )= bi\cN /?.o,ooo, \ ,181 ? 3?,1KO

-"-Zsc\und,o

0

\ *^*.,r,.,^ V.r^a \ ', sNR(Ats) s (f )

II ,/.'t--

V""lT : f a t f 2 _ t f r

r l _ I, t \ l l l j

)tsa = R' [oc, (nt 4l

a(#L^ (r i -t ' r \ tt

(} n

_ l1n^ [.rrrr.o,^ir'(L^ tv,w [nL r) .rl^ris-r",. ,^-l V^r,-^riwV Vaua-go tv\ oo.4ov\A0 L'V,\" !

\\ l ' U

' . f- J u r \ r

)

t

b t ,

www.stromar.si 52