Osnove logičke algebre

Sinteza logičkih kola Sinteza logičkih kola

Vanr.prof.dr.Lejla Banjanović-Mehmedović

Sadržaj izlaganja� Procedura projektovanja logičkih kola

� Osnovni elementi u projektovanju logičkih kola

� Primjeri sinteze logičkih kola

Projektovanje logičkih sistema Coypright: Lejla Banjanović-Mehmedović

Koraci u projektovanju logičkih sistema

� Razumjeti problem

� Šta logičko kolo treba da radi

� Šta su ulazi (podaci, kontrola) i izlazi

� Nacrtati block diagram ili sliku� Nacrtati block diagram ili sliku

� Formulisati problem korištenjem odgovarajuće forme projektovanja

� Tabela istine

� Može zahtjevati kodiranje simboličkih ulaza i izlaza

� Izabrati implementacioni cilj (diskretna logička kola)

� Slijediti implementacionu proceduru (CAD alat, hardverski jezik, npr. Verilog)


Tipična funkcionalnost CAD alata� Koraci u projektovanju:

� Tabela istine, shematski prikaz - način iskazivanja zahtjeva

� Sinteza i optimizacija (sinteza- transformiše � Sinteza i optimizacija (sinteza- transformiše dizajnerske zahtjeve u logički dizajn)

� Simulacija

� Fizički dizajn (transformiše logički graf u layout (blueprint) za fabrikaciju


Sinteza logičkih kola

� Zadatak sinteze logičkih kola se rješava u četiri etape:� Formulisanje tablice istinitosti na osnovu zadate namjene kola

� Generisanje odgovarajuće Bulove funkcije

� Uprošćavanje ili minimizacija dobijene Bulove funkcije

� Realizacija minimizovane Bulove funkcije pomoću raspoloživihlogičkih kola


Konjuktivne i disjunktivne forme

� Literal – bilo koja logička promjenljiva ili njena negacija.

� Logički izraz koji je literal ili predstavlja konjukciju više literala u kojoj se ni jedna promjenljiva ne javlja više od literala u kojoj se ni jedna promjenljiva ne javlja više od jednaput, naziva se elementarna konjukcija.

� Logički izraz koji je literal ili predstavlja disjunkciju više literala u kojoj se ni jedna promjenljiva ne javlja više od jednaput, naziva se elementarna disjunkcija.

Coypright: Lejla Banjanović-Mehmedović

ABD

A B D∨ ∨

Projektovanje logičkih sistema

Konjuktivne i disjunktivne forme� Disjunktivna forma - logički izraz koji ima oblik

disjunkcije više prostijih izraza (članova).

� Disjunktivna normalna forma (DNF) ili suma proizvoda (SOP) – svaki od izraza je elementarna

A BC AB∨ ∨��

proizvoda (SOP) – svaki od izraza je elementarna konjukcija .

� Za funkciju n varijabli, forma proizvoda, u kojoj se svaka od n varijabli pojavljuje jednom naziva se minterma.

� Savršena disjunktivna normalna forma (SDNF) -disjunktivna normalna forma mintermi


A BC ABC∨ ∨

Y ABC ABC ABC= ∨ ∨Projektovanje logičkih sistema

Konjuktivne i disjunktivne forme� Konjuktivna forma - logički izraz koji ima oblik

konjukcije više prostijih izraza (članova)

� Konjuktivna normalna forma (KNF) ili proizvod suma (POS) – svaki od izraza je elementarna disjunkcija

( )ABC B C∨

(POS) – svaki od izraza je elementarna disjunkcija

� Za funkciju n varijabli, forma sume, u kojoj se svaka od n varijabli pojavljuje jednom naziva se maksterma.

� Savršena konjuktivna normalna forma (SKNF) -konjuktivna normalna forma makstermi


( )( )A B C A B C∨ ∨ ∨

( )( )( )Y A B C A B C A B C= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨


Konjuktivne i disjunktivne forme

� Dužina neke disjunktivne ili konjuktivne normalne forme je ukupan broj literala koji se javljaju u njoj, tj. ukupan broj pojavljivanja svake od promjenljivih koja se javlja u funkciji. (npr. 3 ili 8 ili 9).

� Za logičku funkciju kaže se da je data u minimalnoj disjunktivnoj normalnoj formi (MDNF) ukoliko je data u disjunktivnoj normalnoj formi i ukoliko ne postoji kraća disjunktivna normalna forma koja joj je ekvivalentna.

� Minimalna konjuktivna normalna forma(MKNF)


..( )

..( )

Y ABC ABC D DNF

Y AB D MDNF

= ∨ ∨= ∨


Formiranje logičkog izraza iz

kombinacione tabele� Da bi se formirao izraz u obliku SDNF koji

odgovara zadatoj kombinacionoj tabeli, za svaki red tabele u kojem se uzima vrijednost 1 treba formirati mintermu u

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 1vrijednost 1 treba formirati mintermu u kojoj one promjenljive koje u tom redu tabele imaju vrijednost 0 ulaze sa negacijom, a one koje imaju vrijednost 1 ulaze bez negacije.

� Tražena SDNF je disjunkcija svih takvih mintermi.

Coypright: Lejla Banjanović-MehmedovićProjektovanje logičkih sistema

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

..( )Y ABC ABC ABC ABC ABC SDNF= ∨ ∨ ∨ ∨

Formiranje logičkog izraza iz

kombinacione tabele� Da bi se formirao izraz u obliku SKNF koji

odgovara zadatoj kombinacionoj tabeli, za svaki red tabele u kojem se uzima vrijednost 0 treba formirati makstermu

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 1vrijednost 0 treba formirati makstermu u kojoj one promjenljive koje u tom redu tabele imaju vrijednost 0 ulaze bez negacije, a one koje imaju vrijednost 1 ulaze sa negacijom.

� Tražena SKNF je konjukcija svih takvih makstermi.


0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

( )( )( )..( )Y A B C A B C A B C SKNF= ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

Minterme i maksterme 3 ulazne

varijable

� Realni sistemi su složeni, sa većim brojem varijabli...


Primjer 1: Sinteza funkcije korištenjem

mintermi i makstermi


Primjer 1: Realizacija funkcije


Primjer 2: Kontrola rasvjete� Velika prostorija ima troje vrata i prekidač u blizini vrata

za kontrolu rasvjete u sobi. Moguće je uključiti ili isključiti rasvjetu, promjenom stanja svakog od prekidača (tri ulazne varijable (x1,x2,x3)).

� Pretpostavimo da je svjetlo isključeno, ako su svi prekidači otvoreni (isključeni). Zatvaranje bilo kojeg od prekidača, otvoreni (isključeni). Zatvaranje bilo kojeg od prekidača, će upaliti svjetlo. Potom uključenje drugog prekidača će isključiti rasvjetu.

� Rasvjeta će biti uključena ako je tačno jedan prekidač uključen (zatvoren) i isključena ako su dva (ili nijedan) prekidač uključen. Ako je rasvjeta isključena, kada su dva prekidača zatvorena, mora biti moguće je uključiti, pritiskom na treći prekidač.


Primjer 2: Kontrola rasvjete


Primjer 2: Kontrola rasvjete


Primjer 3: Selekcija ulaznih

vrijednosti

� U računarskim sistemima, neophodno izabrati podatak sa tačno jednog od brojnih ulaza.

� Pretpostavimo dva ulazna signala x1 i x2. � Pretpostavimo dva ulazna signala x1 i x2.

� Njihove vrijednosti se mjenjaju u vremenu u nekim regularnim intervalima u zavisnosti od selekcije kontrolnog signala s.

� Logična tri ulaza (x1,x2,s)

� Izlaz isti kao ulaz x1 ako je s = 0, isti kao x2 ako je s = 1.



vrijednosti



vrijednosti


Primjer 4: Sistem za spaljivanje

toksičnih otpada

� Redudantni sistem:� Sa više senzora


� Sa više senzora

� Najmanje 2 senzora detektuju vatru, otvoreni ventili

Primjer 4: Tabela istine za analizirani

sistem


Primjer 4: Realizacija logičke funkcije


Univerzalne logičke operacije� Svaka logička funkcija se može izraziti preko operacija

konjukcije, disjunkcije i negacije.

� Dovoljne negacija i konjukcija, jer se i disjunkcija može izraziti preko ove dvije operacije: X Y XY∨ =izraziti preko ove dvije operacije:

� Dovoljne negacija i disjunkcija, jer vrijedi formula:

� Svaka logička funkcija se može izraziti preko Shefferove operacije(negacija konjukcije) ili alternativno preko Pierceove funkcije (negacija disjunkcije); nazivaju se univerzalne logičke operacije.

� NAND i NOR –univerzalna logička kola


X Y XY∨ =

XY X Y= ∨


Realizacija logičkih kola pomoću NI i

NILI kola

� Svako logičko kolo se može realizovati pomoću NI ili NILI logičkih kola, što je od praktičnog značaja pri realizaciji integralnih digitalnih kola.pri realizaciji integralnih digitalnih kola.

� Problemi realizacije Bulovih funkcija pomoću isključivo NI ili NILI kola (homogenizacija kola) mogu se rješiti i analitičkim postupkom, primjenom De Morganovih pravila.


Realizacija logičkih kola pomoću NI i

NILI kola

� Nakon uvođenja negacija u polazni izraz (parcijalno) primenjujemo De Morganove teoreme tako da:

� eliminišemo zbirove, prevodeći ih u negirane � eliminišemo zbirove, prevodeći ih u negirane proizvode, kod realizacije pomoću NI kola.

� eliminišemo proizvode, prevodeći ih u negirane zbirove, kod realizacije pomoću NILI kola.


Realizacija logičkih kola pomoću NI

kola


Realizacija elementarnih kola pomoću

NILI kola


DeMorgan’s teorema u formi

logičkih gejtova


Implementacija SOP-a korištenjem

NAND gejtova


Implementacija POS-a korištenjem

NOR gejtova


� Neka je potrebno projektovati logičko kolo koje ima funkciju komparatora dva signala x i y. Izlazni signal treba da bude:

Primjer 5: Komparator signala


� NI funkcija

Primjer 5: Komparator signala

SOP: POS:


Primjer 6: Pumpni sistem� Rad svake od četiri pumpi se kontroliše pomoću

električnog signala koji ima napon od 5V, ako je pumpa u radu, a nulti napon ako je u kvaru.

� Neophodno je da bar dvije od četiri pumpe budu stalno � Neophodno je da bar dvije od četiri pumpe budu stalno u radu, a u protivnom bi trebalo aktivirati zvučni alarm. Alarmni uređaj se aktivira naponskim signalom od 5V.

� Projektovati logičko kolo, sastavljeno od NILI kola, koje će u slučaju potrebe aktivirati alarmni uređaj.


Primjer 6: Pumpni sistem

Funkcija alarma ima logičku vrijednost 1 (alarmantna situacija) ako nijedna ili najviše jedna od 4 promenljivih ima jediničnu vrijednost (pumpa u radu), dok su


vrijednost (pumpa u radu), dok su ostale jednake nuli.

Primjer 6: Pumpni sistem


� Za realizaciju je neophodno ukupno 14 NILI kola (8+6invertora, označenih kružićima)

Primjer 7: Sistem rezervoara� Za održavanje nivoa (dopunjavanjem) u 4

rezervoara (A,B,C,D), na raspolaganju su 2 pumpe, P1 i P2, što je dovoljno u normalnomrežimu. Kada u nekom rezervoaru nivo padneispod dozvoljenog, automatski se generiše signal koji uključuje pumpu radi korekcije nivoa. koji uključuje pumpu radi korekcije nivoa.

� Pumpu P2 može da “pozove” svaki od 4 rezervoara a pumpu P1 samo rezervoari C i D.

� Alarmantna situacija nastaje kada neki odrezervoara ne može da priključi pumpu jer je zauzeta.

� Formirati kolo za generisanje alarmnog signalapomoću NI logičkih kola.


Primjer 7: Sistem rezervoara

Pozivni signal ima vrijednost 1 ako rezervoar poziva pumpu, a 0 ako nema potrebe za pumpom


Alarm ima vrednost 1 ako 3 ili više rezervoara traži pumpu, ili ako pumpu istovremeno pozivaju rezervoari A i B

Primjer 7: Sistem rezervoara


Primjer 8: Solarni sistem zagrijavanja


Primjer 8: Solarni sistem zagrijavanja� Sunce zagrijava solarni kolektor, koji može

prenositi toplotu u termo-akumulacijske blokove kamenja (za pohranjivanje toplote) ili direktno u kuću.� Ventilator VBP se koristi za pomjeranje topline � Ventilator VBP se koristi za pomjeranje topline

iz kamenih blokova u prostoriju

� Ventilator VSP se koristi za pomjeranje topline iz solarnog kolektora u prostoriju

� Ventilator VSB se koristi za pomjeranje topline iz solarnog kolektora u kamene blokove


Primjer 8: Solarni sistem zagrijavanja� Postoji nekoliko senzora koji daju nekoliko signala:

� Kada prostorija treba toplotu, signal T postaje TRUE. Ovaj signal se dobija od temperaturnog senzora (termostata) u prostoriji.prostoriji.

� Kada je kameni blok topliji od prostorije (može davati toplotu), B>P signal je TRUE. Ovaj signal se dobija komparacijom dvije vrijednosti temperature (dva temp. senzora). Ista logika se koristi i za:

� Signal S>P – kada je solarni kolektor topliji od prostorije

� Signal S>B – kada je solarni kolektor topliji od kamenih blokova.


Primjer 8: Solarni sistem zagrijavanjaT (A) B>P (B) S>P (C) S>B (D) VBP VSP VSB

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0


0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 0

Primjer 8: Solarni sistem zagrijavanja� Zapis u SoP obliku i minimizacija Boole-ovom

algebrom


Primjer 8: Solarni sistem zagrijavanja� Prikaz minimalne forme funkcije, prikazane

pomoću NAND kola:


Primjer 9: Sistem za pakovanje

Projektovanje logičkih sistema Copyright: Lejla Banjanović-Mehmedović

Primjer 9: Sistem za pakovanje� Transportna traka kreće na signal

START

� Prilikom aktivacije senzora FOTO, ukoliko je traka aktivna, otvara se ventil koji puni ambalažu dok se ona nalazi u polju fotosenzora. Nakon toga roba s trake izlazi u kutiju.

Sistem radi dok se ne aktivira senzor

START FOTO VAGA MASAx2 VEN TRA

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0

� Sistem radi dok se ne aktivira senzor VAG (ograničenje mase kutije proizvoda), koji mjeri masu kutije u koju silaze proizvodi s trake

� Ukoliko želi, radnik može omogućiti da se zaobiđe blokada trake preopterećenjem vage, aktivacijom preklopke MASAx2. U tom slučaju traka nastavlja raditi iako je vaga preopterećena.


0 1 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1

Primjer 9: Sistem za pakovanje� START=A, FOTO=B, VAGA=C, MASAx2=D)

� VEN:

� VEN=ABC'D' + ABC'D + ABCD

� TRA:

� TRA=AB'C'D' + AB'C'D + AB'CD + ABC'D' + ABC'D + ABCD

� Minimizacija:

� VEN:

� VEN=ABC'(D'+D) + ABCD=ABC' + ABCD= AB(C'+CD)=AB(C'+D)=ABC' +ABD

� TRA:

� TRA=AB'C'(D'+D) + ABC'(D'+D) + ACD(B'+B)=AB'C' + ABC' + ACD=AC'(B'+B) +ACD=

� =AC' +ACD=A(C'+CD)=A(C'+C'D+CD)= A(C'+D(C’+C))= AC' +AD






Documents

Osnove logičke algebre