1

6 Električni krugovi stalnih jednosmjernih struja

U ovom poglavlju će se analizirati električni krugovi stalnih jednosmjernih struja. Pod

pojmom električni krug, podrazumjeva se skupina tijela i sredina, koja predstavlja

zatvoren put za električnu struju.

Prostor unutar kojeg se pomjera električni naboj, često se formalno označava terminom

strujno polje. Kretanja elektrona i jona u strujnom polju, u osnovi su vrlo složena, jer se

isti neprestano sudaraju sa elementarnim česticama materije, koje im stoje na putu, tokom

pomenutog kretanja. Prisutni su i međusobni sudari električnih naboja , naročito u

uslovima kada odsustvuje djelovanje stranog električnog polja, jer je tada nivo

haotičnosti, u kretanju električnih naboja vidno izraženiji. Stoga se pristupa promatranju

usrednjenog kretanja električnih naboja, koji se nađu u elementarnom dijelu fizičkog

volumena ∆V, tokom elementarnog vremenskog intervala ∆t i to tako da se uvede srednja

makroskopska brzina pomjeranja električnih naboja, za svaku vrstu električnih naboja

ponaosob (u slučaju da su električni naboji predstavljeni samo pozitivnim i negativnim

jonima, tada se uvode srednje brzine v+ i v- , koje su kontinualne funkcije koordinata i

vremena u opštem slučaju). Ukoliko se za sve tačke promatranog prostora, u svakom

vremenskom trenutku, može konstatovati da je srednja makroskopska brzina kretanja

električnih naboja nepromjenljiva, tada se takvo strujno polje naziva stacionarnim

strujnim poljem

U teoretskoj elektrotehnici, najčešće se ravnopravno tretiraju sve tri vrste električnih

struja, dakle kondukcione električne struje ili struje provodnosti, zatim struje

dielektričnog pomjeraja, kao i konvekcione električne struje.

Pošto aktuelna tehnička praksa, u prvi plan postavlja struje provodnosti, drugim dvjema

vrstama električnih struja, preostaje uglavnom akademski značaj.

Ukoliko je električna struja, odnosno usmjereno pomjeranje električnog naboja u

provodnim tijelima, organizovano pod dejstvom električnog polja, onda se govori o

kondukcionim električnim strujama.

Kretanje električnih naboja uzrokovano mehaničkim silama, dovodi do pojave

konvekcionih struja. Dakle konvekcione električne struje su struje, koje se uspostavljaju

prenošenjem električnih naboja putem elementarnih naelektrisanih čestica ili tijela, koja

su u kretanju. Za razliku od kondukcionih električnih struja, kod kojih je gustina

električne struje proporcionalana jačini električnog polja E, kod konvekcionih električnih

struja, koje se po pravilu uspostavljaju u vakumu ili pak u gasovima, tokom slobodnog

kretanja električnih naboja pod uticajem stranog električnog polja E, ne postoji direktna

proporcionalnost između brzine kretanja električnih naboja i vektora stranog

elektrostatskog polja (kretanje električnih naboja je jednoliko ubrzano, pošto ne postoji

otpor sredine, stoga je u ovom slučaju prisutna proporcionalnost između vektora ubrzanja

električnog naboja i vektora jačine električnog polja).

U vakumu, pod pretpostavkom da je zapreminska gustina električnih naboja ρ , pri čemu

se ti isti električni naboji kreću brzinom v , moguće je pokazati da postoji veza između

gustine konvekcione struje Jkonv i te brzine v, definisana relacijom :

Jkonv = ρ· v (6.1)

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

2

Tokom analize dielektrika, konstatovano je da se pod pojmom idealnog dielektrika

podrazumjeva dielektrik u čijoj strukturi ne postoje nikakvi slobodni električni naboji,

koji bi mogli izazvati kondukcione, ili konvekcione električne struje. Ova konstatacija

odmah omogućava i posve validan zaključak da je specifična provodnost takve

dielektrične sredine jednaka nuli.

Fizičko stanje prostora u dielektriku, u uslovima djelovanja stranog električnog polja, kao

što je već poznato, opisana je vektorom dielektričnog pomjeraja.

Nije teško zaključiti da svaka promjena vektora električnog polja, dovodi i do promjene

vektora električnog pomjeraja, koja se fizikalno manifestuje tako, što kroz neku

elementarnu vektorsku površ ds = n o · ds , tada očigledno naknadno protiče, odnosno

prostorno se pomjera, izvjesna količina električnog naboja dq. To nadalje znači, da kroz

tu površinu ds , tada protiče i električna struja. Ta struja se naziva strujom dielektričnog

pomjeraja. Za razliku od struja provodnosti, koje mogu egzistirati proizvoljno dugo i pri

konstantnom električnom polju, struje dielektričnog pomjeraja mogu postojati samo

tokom intervala promjene električnog polja, u funkciji vremena.

Nije teško pokazati da se, vektor gustine struje dielektričnog pomjeraja Jpom , može

dovesti u vezu sa vektorom dielektričnog pomjeraja D , na način iskazan relacijom (6.2),

d D

Jpom = ——— (6.2)

d t

Posljednja relacija očigledno naglašava da, ako se vektor dielektričnog pomjeraja u

okolini analizirane tačke mijenja ne samo po intenzitetu, nego i po pravcu i po smjeru,

tada vektor gustine struje dielektričnog pomjeraja, više nije orijentisan kao i vektor

dielektričnog pomjeraja D, jer on usklađuje vlastitu orijentaciju, sa orijentacijom, kojoj

teži priraštaj vektora dielektričnog pomjeraja ∆ D, kada ∆ t → 0.

Za kvantitativno opisivanje električne struje, uobičajno se koristi termin jačina električne

struje. U tom smislu, jačina električne struje (i) koja prolazi kroz neku površinu ds,

određena je količnikom elementarne količine električnog naboja dq, koja protekne kroz tu

površinu, tokom elementarnog intervala vremena dt i veličine tog elementarnog intervala

vremena dt.

∆ q dq

i = lim —— = —— (6.3)

∆t→0 ∆ t dt

Saglasno gornjoj definiciji, električna struja je skalarna veličina. Mada su skalarne

veličine potpuno određene ukoliko se poznaje samo vrijednost tog skalara, u slučaju

električne struje, zbog efikasnijih proračuna električnih krugova, važno je poznavati i

kakav je smjer električne struje, odnosno smjer pomjeranja električnog naboja, u odnosu

na odabranu referentnu veličinu.

U tom smislu se definiše vektor gustine električne struje J , kao vektor čiji je intenzitet

određen količnikom elementarne jačine struje di , što prolazi kroz elementarnu površinu

ds, koja stoji normalno na pravac toka te struje, a pravac i smjer vektora J je podudaran

sa kretanjem pozitivnog električnog naboja u proizvoljno maloj okolini tačke, za koju se

upravo i određuje vektor gustine električne struje J.

3

U opštem slučaju, vektor gustine električne struje J, zaklapa sa jediničnim vektorom

pozitivne normale na površ ds, vektorom no , neki ugao α, te se veličine obuhvaćene

prethodnom definicijom vektora gustine električne struje J, mogu povezati i pomoću

relacije (6.4)

d i = J · d s = J · no ds = J· cos α · ds (6.4)

Jačina struje ( i ), koja protiče kroz neku konačnu površinu s , uz pomoć relacije (6.4),

može se odrediti pomoću odnosa definisanih sa (6.5 )

i = ∫s

J ds (6.5)

pri čemu, samo pod uslovom da je gustina električne struje, u svim tačkama površi s iste

vrijednosti, kao i da je položaj tog vektora u odnosu na jedinični vektor pozitivne

normale na površ s, nepromjenjen, u svim tačkama te površi s, relacija (6.5) se može

prevesti i u oblik (6.6):

i = J · cos α · s (6.6)

Kada je vektor gustine struje J normalan na površ s, odnosno kada on sa jediničnim

vektorom pozitivne normale na površ s, zaklapa ugao α = 0, tada važi još jednostavniji

odnos između ovih veličina, jer je tada električna struja određena relacijom:

i = J·s (6.7)

Posljednja relacija se može vrlo efikasno koristiti u slučajevima linijskih provodnika, čija

je dužina mnogo veća od njihovog poprečnog presjeka, i to samo onda kada kroz njih

teče električna struja, koja se ne mjenja sa vremenom.

Električna struja, koja se po svom intenzitetu i smjeru ne mijenja tokom vremena, naziva

se stalnom jednosmjernom strujom. Ovu struju treba razlikovati od pojma jednosmjerne

struje, koja ima samo stalan smjer tokom svih vremenskih intervala, ali joj se intenzitet

mijenja tokom vremena (ovakve struje se dobijaju često iz ispravljačkih sklopova, kod

kojih proces filtriranja električne struje nije dovoljno kvalitetno proveden)

U razmatranjima koja predstoje, analizirati će se po pravilu stalne jednosmjerne struje.

Jedinica mjere, za intenzitet električne struje, je amper (A) (Andre Marie Amperè, 1775-

1836, francuski fizičar)

1(C)

1 (A) = —— (6.8)

1 (s)

Tokom posmatranja provodnog tijela proizvoljnog oblika, kroz koje je uspostavljen tok

stalne jednosmjerne struje, može se uočiti da postoje zatvorene linije (linije koje nemaju

ni svoj početak ni svoj kraj), kod kojih je u svakoj njihovoj tačci vektor gustine električne

struje podudaran sa tangentom na tu liniju u toj tačci. Takve linije se nazivaju strujnim

4

linijama, dok dio prostora ograničen strujnim linijama, unutar kojeg je ista jačina

električne struje, nosi naziv strujna tuba.

Očigledno funkcija, pomoću koje se strujne linije opisuju u prostoru, odlikuje se i

matematičkom osobinom neprekidnosti

6.1 Veza između vektora gustine električne struje i vektora jačine električnog polja,

Ohmov zakon u integralnom i diferencijalnom obliku

Na osnovu prethodno uvedenih pojmova može se zaključiti da su intenzitet električne

struje i gustina električne struje makroskopske veličine, kojim se kvantitativno izražavaju

odnosi uspostavljeni u strujnom polju.

Ukoliko se formira relacija, koja povezuje vektor gustine električne struje J sa

zapreminskom gustinom pokretljivih električnih naboja N* i njima pridruženom

makroskopskom srednjom brzinom njihovog pomjeranja vs , a potom i relacija koja

povezuje tu istu brzinu sa vektorom jačine električnog polja E, moguće je doći i do

relacije, koja povezuje vektor jačine električnog polja E i vektor gustine električne struje

J . U elektrotehnici je ta relacija poznata kao Ohmov zakon u vektorskom obliku, ili pak

kao Ohmov zakon u diferencijalnom obliku (Georg Simon Ohm,1789-1854, njemački

fizičar).

Neka je sa N* označena zapreminska gustina pokretljivih električnih naboja, sa e njihov

pojedinačni električni naboj, a sa vs makroskopska srednja brzina njihovog pomjeranja.

Tokom vremenskog intervala dt , kroz elementarnu površ ds, koja je upravna na pravac

kretanja tih električnih naboja , prođu svi oni električni naboji, koji se zateknu u

zapremini (v · dt · ds), dakle ( N*· v · dt · ds ). Množenjem tog broja, sa iznosom

naelektrisanja pojedinačnog električnog naboja e, dobija se ukupna količina električnog

naboja dq, koja u opisanim uslovima, tokom vremenskog intervala dt, prođe kroz

elementarnu površ ds.

dq = ( N*· vs · dt · ds )· e (6.9)

Uzimajući u obzir činjenicu da količnik (dq / dt ) određuje jačinu struje di, koja protekne

tokom vremenskog intervala dt, kroz elementarnu površ ds, na osnovu relacije (6.9) se

dobija da je vektor gustine te električne struje J , moguće izraziti i u formi predočenoj sa

(6.10).

dq

—— = ( N*· vs · ds ) · e = J·ds ; J =( N* · vs ) · e (6.10)

d t

Ukoliko u procesu pomjeranja električnih naboja učestvuje više vrsta električnog naboja

(pozitivni i negativni joni, te elektroni) svaki od njih sa različitim zapreminskim

gustinama pokretljivih električnih naboja, ali i sa različitim makroskopskim srednjim

brzinama njihovog pomjeranja, tada je vektor gustine električne struje, definisan

relacijom.

J = ( N1* · v 1s ) · e1 + ( N2* · v 2s ) · e2 + ···· (6.11)

5

Metalne provodnike odlikuje relativno slabo protivljenje, organizovanju, usmjerenog

pomjeranja električnih naboja. Metali imaju kristalnu strukturu, pri čemu su elektroni

pozicionirani na spoljnjim ljuskama, vrlo labavo vezani za matične atome, te se relativno

slobodno kreću unutar ostataka kristalne rešetke, koju formiraju ostaci atoma, dakle joni.

U odsustvu djelovanja stranog električnog polja, pomjeranje električnih naboja je

haotično i dominantno određeno temperaturom materijala, koji se analizira (uslijed

toplotne energije, koja zavisi od nivoa apsolutne temperature, kristalna rešetka metala

osciluje. Razmjena energije između rešetke i slobodnih elektrona, vrši se putem fonona,

kvanta toplotne energije, koji su uvedeni po analogiji sa fotonima-kvantima svjetlosne

energije. Pratioc ove izmjene energije jeste termičko kretanje elektrona). Termičko

kretanje elektrona, stoga ne rezultira pomjeranjem elektrona duž provodnika, zbog čega

je unutar elementarne zapremine metala, sveukupno pomjeranje električnih naboja

jednako nuli.

Kada se struktura provodnika izloži djelovanju stranog električnog polja, haotičnom

termičkom kretanju električnih naboja, superponira se uređeno pomjeranje električnih

naboja, uzrokovano djelovanjem tog polja. Ako su ti električni naboji elektroni, strano

električno polje djeluje na njih električnom silom, usljed čijeg dejstvom se ti elektroni

pomjeraju u smjeru suprotnom od smjera djelovanja električnog polja. Kretanje elektrona

u ovakvim uslovima je rezultantno kretanje nastalo slaganjem kretanja usljed djelovanja

stranog električnog polja i termičkog kretanja. Bez obzira što je termičko kretanje mnogo

izražajnije, ipak dolazi i do korekcija u kretanju električnih naboja u odnosu na situaciju

kada nema djelovanja stranog električnog polja. Makroskopski gledano registruju se

pomjeranja električnih naboja u pravcu djelovanja stranog električnog polja, konstantnom

srednjom brzinom. Da bi se sagledao niz uzročno posljedičnih veza u ovom procesu, koji

omogućava da se uspostavi relacija (6.12 )

vs = η· E (6.12)

povoljno je posmatrati kretanje elektrona između dva uzastopna sudara sa kristalnom

rešetkom, ili nekom drugom preprekom, postavljajući u prvi plan analize, efekte

djelovanja stranog električnog polja. Označi li se sa λ srednja dužina slobodnog puta

elektrona, između dva uzastopna sudara, a sa τ vremenski interval koji određuje

vremenski razmak između ta dva uzastopna sudara, uz uzimanje u obzir i da je brzina

termičkih kretanja vt >> vs , pri čemu je sa vs označena srednje brzine usmjerenog

pomjeranja električnih naboja, proizilazi da je u takvim uslovima: (τ · vt = λ ) .

Ubrzanje elektrona između dva uzastopna sudara, određeno je prema relaciji: F = - e ·E ,

odakle slijedi da je : (me · a = e· E ). Maksimalna brzina vm , koju nakon vremena τ

dostiže elektron, zbog njegovog jednoliko ubrzanog kretanja, određena je relacijom:

F e· E

v m = a · τ = —— · τ = —— · τ (6.13)

me me

S obzirom da pri svakom sudaru sa kristalnom rešetkom, ili pak nekom drugom

preprekom, elektroni predaju stečenu kinetičku energiju toj prepreci (ona se degradira u

6

toplotu), srednja početna brzina elektrona neposredno nakon sudara je jednaka nuli, što

opet daje za pravo da se makroskopska srednja brzina pomjeranja elektrona vs , poveže sa

maksimalnom brzinom pomjeranja elektrona, neposredno prije novog sudara vm , putem

relacije: (vs = vm / 2 ). Uzimajući to u obzir, relacija (6.13) , sada se može pisati i u formi

iskazanoj sa (6.14):

e·τ

vs = —— · E = η· E (6.14)

2·me

Koeficijent proporcionalnosti η naziva se pokretljivost elektrona i on zavisi od vrste

provodnika i od temperature. Pri sobnoj temperaturi, on se za metale kreće u rasponu od

0,001 pa do 0,12 (m/s) /(V/m), (za bakar ovaj koeficijent iznosi 0,003 (m/s) /(V/m), a za

sivi kalaj oko 0,12 (m/s) /(V/m)). Sa porastom temperature termičko kretanje se intezivira,

pa srednje vrijeme između dva uzastopna sudara τ se smanjuje, odnosno koeficijent

pokretljivosti elektrona η opada.

Joni se pod uticajem stranog električnog polja kreću na sličan način kao i slobodni

elektroni, ali znatno sporije od slobodnih elektrona u metalima, pošto je njihova masa

znatno veća (joni u rastvorima su sastavljeni od jonizovanih atoma, atomskih grupa, koje

su uz to još i hidratizovane – zbog vezanja za određeni broj molekula vode). Pokretljivost

jona zavisi od nivoa njihove koncentracije u analiziranoj sredini, kao i od temperature te

sredine. Da bi se mogla upoređivati pokretljivost, slobodnih elektrona u metalima i

pokretljivost jona unutar odgovarajuće supstance, u nastavku teksta u tabeli broj 6.1,

navode se relevantni podaci za pokretljivost nekih jona.

Tabela 6.1

Vrsta jona

Pokretljivost jona

(m /s) /(V/m)

H+ 0,003370 · 10-4

K+ 0,000657 · 10-4

Na+ 0,000419 · 10-4

OH- 0,001810· 10-4

Cl- 0,000680· 10-4

Slobodni elektroni i joni raspolažu određenim električnim nabojem, koji se pod dejstvom

stranog električnog polja pomjera i to tako da se slobodni elektroni i negativni joni

pomjeraju u smjeru, koji je suprotan od smjera djelovanja električnog polja. Pozitivni joni

se nasuprot tome, pomjeraju upravo u smjeru djelovanja stranog električnog polja. Sva

ova kretanja električnih naboja, ostvarena u uslovima djelovanja stranog električnog polja,

tumače se kao kondukcione električne struje, ili struje električne provodnosti. U tehničkoj

praksi se uglavnom koristi pravilo, po kojem je smjer električne struje određeno smjerom

pomjeranja pozitivnih električnih naboja, odnosno smjerom djelovanja električnog polja.

Ovako utvrđen smjer električne struje, često se naziva i tehničkim smjerom električne

struje.

7

Istovremeno uvažavanje relacija (6.10) i (6.14), omogućava da se lako formira relacija

(6.15), putem koje je direktno iskazana povezanost vektora jačine električnog polja E i

vektora gustine električne struje provodnosti J .

e2 · τ

J = ( N* · vs · e ) = N* · —— · E = σp · E (6.15)

2·me

Veličina σp , za većinu materijala, koji se koriste u elektrotehnici, je skalar (postoje

također i materijali, za koje se veličina σp mora predstaviti u formi tenzora, jer je kod tih

materijala vrijednost ovog parametra, izrazito ovisna o smjeru i pravcu djelovanja stranog

električnog polja). Ovim skalarom se po pravilu izražavaju pojedinačne električne

osobine tih materijala i on nosi naziv specifična električna provodnost materijala.

Njegova recipročna vrijednost, ima naziv specifična električna otpornost i formalno se

označava simbolom ρR .

Jedinica mjere, za specifičnu električnu provodnost, izvedena je iz relacije (6.15) i

iskazana relacijom:

Am-2

—— = (Ωm)-1

Vm-1

Analogno tome jedinica mjere za specifičnu električnu otpornost je (Ωm).

Provodnici, kod kojih je moguće uspostavljanje direktne proporcionalnosti između

vektora gustine električne struje i vektora jačine električnog polja, nose naziv linearni

provodni materijali.

Tokom analize električnih krugova po pravilu se zahtjeva određivanje vrijednosti

električnih struja u svim dijelovima električnog kruga, kao i električnih napona između

pojedinih dijelova električnog kruga. Na ovaj način se stvaraju pretpostavke za detaljniju

analizu funkcionalnih karakteristika električnog kruga, uključujući i proračune poput

bilansa električnih snaga unutar tog kruga.

Ohmov zakon, iskazan u formi zapisanoj sa (6.15), nije pogodan za takve analize, pošto u

sebi ne sadrži ni električne napone, ni električne struje, nego neke druge fizičke veličine,

poput vektora E i J . Da bi se prevazišao naznačeni prividni nesklad, u praktičnim

aplikacijama, se vrlo često susreće jedan drugi oblik Ohmovog zakona, oblik koji

proizilazi iz interpretacije Ohmovog zakona u integralnom obliku, a za koji je polazna

tačka, opet izraz (6.15).

Da bi se došlo do Ohmovog zakona u integralnom obliku, povoljno je posmatrati u

odabranom provodniku vrlo tanka strujna tuba, poprečnog presjeka ds1, koji pri tome

može biti i promjenljiv duž tube.Neka ta strujna tuba nosi oznaku 1. Fokusira li se

potom pažnja samo na elementarni dio te tube, dužine dl , tada se može na osnovu

relacije (6.15), i njenog množenja upravo sa veličinom dl, pisati da je:

ds1 E · dl σp = J · dl =( J · dl ) · —— (6.16)

ds1

8

Kolinearnost vektora J i dl , odnosno vektora E i dl , omogućava da se posljednja

relacija transformiše u nešto jednostavniji oblik (6.17),

ds1 E · dl = ( J · dl ) · ——— (6.17) σp· ds1

Uvažavajući činjenice da jačina struje dI1, kroz presjek ds, (dI1 = J · ds1), mora ostati

ista u svim presjecima tube 1, kao i da je proizvodom E · dl praktično određen električni

napon dU, između krajeva elementarnog dijela tube 1, dužine dl, relacija (6.17) se može

predstaviti i u obliku (6.18):

dl

dU = ρR · — · dI1 (6.18)

ds1

Objedinjavajući sve ovakve elementarne slučajeve, duž cijele dužine l, razmatrane strujne

tube 1, moguće je uspostaviti vrlo značajnu vezu između električne struje tube 1 i

električnog napona U, koji vlada između krajeva strujne tube 1:

U = dI1 R

1l

dl

dsρ∫ = (dI1 )·R

1st (6.19)

Veličina R1st = R

1l

dl

dsρ∫ nije ništa drugo, do električni otpor strujne tube1, čija je dužina l.

Struja dI1, sada se može eksplicitno izraziti u ovisnosti od električnog otpora strujne tube

1, R1st i električnog napona U , koji vlada između njenih krajeva, pomoću relacije:

U

dI1 = —— (6.20)

R1 st

Jačina ukupne električne struje I , pri čemu je I ≈ dI1+ dI2 + dI3 +···, koja se usmjerava

kroz analizirani provodnik poprečnog presjeka s, gdje je s definisano relacijom s = ds1+

ds2+ ds3+·····, dobija se očigledno integriranjem izraza (6.20) po svim strujnim tubama,

koje su locirane unutar poprečnog presjeka provodnika s.

Kod tankih linijskih provodnika, poprečni presjeci na njihovim krajevima, najčešće su i

ekvipotencijalne površi sa električnim potencijalima V1, odnosno V2. U tom kontekstu se

onda pokazuje i da je jačina električne struje I, koja se uspostavlja kroz takve

provodnike, direktno proporcionalna električnom naponu U, koji vlada između njegovih

krajeva.

Koeficijent te proporcionalnosti, označava se sa 1/R , pri čemu se, novouvedenom

parametru R. pridružuje naziv električni otpor razmatranog provodnika.

9

Kod tankih linijskih provodnika, homogene strukture, sa specifičnom električnom

otpornošću ρR , čija je dužina l, a poprečni presjek s, električna otpornost provodnika se

određuje pomoću izraza :

l

R = ρR —— (6.21)

s

Za specifičnom električnom otpornošću ρR, u tehničkoj praksi se kao jedinica mjere, po

pravilu koristi veličina ( Ωmm2/m ), koja očigledno nije potpuno dimenziono usaglašena.

Objašnjenje za ovakav izbor, se uglavnom povezuje sa evidentnom dimenzionom

razlikom, veličine poprečnog presjeka provodnika, koja se obično mjeri i izražava u mm2

i dužine tog provodnika, koja se mjeri i izražava u metrima.

Na slici broj 6.1 prikazani su svi relevantni parametri, koji su sadržani u Ohmovom

zakonu, bilo da je on dat u diferencijalnom (vektorskom ) obliku, koji obično preferiraju

fizičari i interpretatori teoretske elektrotehnike, ili je pak isti zakon, izražen pomoću

pojednostavljenog izraza, koji se izvodi iz njegovog integralnog oblika, a za koji se po

pravilu opredjeljuju inženjeri, pri vlastitim proračunima električnih krugova.

Slika broj 6.1 Primjena Ohmovog zakona na tanki pravolinijski provodnik dužine l i

konstantnog poprečnog presjeka s, protjecan stalnom jednosmjernom

strujom I

Električni otpor metalnih provodnika je uglavnom konstantne vrijednosti na

temperaturama, koje su bliske 20º C.

10

Preciznije govoreći, specifični električni otpor metalnih provodnika, mijenja se u

ovisnosti o iznosu ambijentalne temperature, u skladu sa zakonitošću izraženom putem

relacije (6.22) :

ρ2 = ρ1· ( 1 + α· (Ө2 - Ө1)) (6.22)

Pri tome, sa simbolom ρ2, označen je specifični električni otpor metalnog provodnika pri

temperaturi Ө2, a sa simbolom ρ1, označen je specifični električni otpor metalnog

provodnika pri temperaturi Ө1. S obzirom da se u tabelarnim podacima električnih

karakteristika metalnih provodnika, po pravilu susreće vrijednost njihovog specifičnog

električnog otpora pri temperaturi od Ө1 = 20º C , onda se relacija (6.22) koristi za

određivanje specifičnog električnog otpora metalnog provodnika, pri nekoj drugoj

temperaturi Ө2 .

U tabeli 6.2, navedeni su podaci o specifičnim električnim otpornostima metala, koji se

često susreću u elektrotehnici.

Tabela 6.2

Vrsta materijala Temperatura

u º C

Specifični električni

otpor u ( Ωmm2/m )

Temperaturni koeficijent

α u Ω/Ωº C

Srebro 0 0,015 0,004

Bakar, elektrolitički 0 0,0154 0,0041

Bakar, elektrolitički 20 0,0175 0,0043

Aluminijum 20 0,02873 0,004

Konstantan 18 0,49 ± 0,00001

Ugljen 20 5-7 -0,0008

Temperaturni koeficijent α, kod metalnih provodnika, pri značajnijim promjenama

temperature nije više konstantan, jer i sam postaje nova funkcija trenutne vrijednosti

temperature samog metala (na visokim temperaturama, ti temperaturni koeficijenti se

značajnije povećavaju).

S druge strane je primjećeno, da na vrlo niskim temperaturama, (preciznije rečeno pri

tačno određenoj vrijednosti temperature, koja je bliska temperaturi apsolutne nule) kod

nekih metala, nastupa vrlo strmo smanjivanje specifičnog električnog otpora, zbog čega i

električni otpor tih metala, tada postaje izuzetno mali.

Takva se temperatura naziva, kritičnom temperaturom za električnu otpornost ( za olovo

ona iznosi oko 7,2 º K, za živu 4,22 º K , a za kalaj 3,71 º K) .

Sama pojava, koja se manifestuje putem ovako radikalnog smanjivanja električne

otpornosti metalnih provodnika, u fizici i elektrotehnici se naziva supraprovodljivost.

6.2 Serijsko i paralelno spajanje električnih otpornika

Glavne karakteristike elemenata električnih krugova opisuju se nizom električnih veličina,

kao što su: električna snaga, koju oni mogu odavati ili pak angažirati-odnosno preuzeti na

11

sebe, zatim električna struja, kojom se mogu opteretiti, ili pak koju mogu odavati ostalim

elementima električnog kruga, potom električni napon, koji mogu elementi održavati

između svojih krajeva, ili pak preuzeti na vlastite priključne stezaljke, pri čemu sve te

veličine moraju ostati u iznosima, koji ne remete normalno funkcionisanje svih dijelova

električnog kruga.

Uspostavljene vrijednosti tih električnih veličina, pored konstruktivnih i strukturnih

karakteristika pojedinih elemenata, u značajnoj mjeri predodređuju: njihov aktivni

električni otpor R, pripadajuća im električna kapacitivnost C i vlastita im električna

induktivnost L.

U električnim krugovima stalne jednosmjerne struje, električni kapacitet se pojavljuje ili

kao prateća karakteristika upotrebljenih elemenata, ili pak kao namjenski uveden element

električnog kruga, kada je to po pravilu realizovano u formi električnog kondenzatora.

Električni kondenzatori u osnovi blokiraju tok stalne jednosmjerne struje, te se oni u

električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona, ponašaju kao otvoren

prekidač, odnosno prekid grane u kojoj se isti nalaze . Oni dakle u ovakvim električnim

krugovima pružaju beskonačan električni otpor uspostavljanju električne struje kroz

granu električnog kruga u kojoj se nalaze (jasno ovo se odnosi samo na ustaljena stanja, a

ne i na kratke intervale opterećavanja i rasterećavanja kondenzatora, kada kratkotrajno

postoje i električne struje punjenja, odnosno pražnjenja kondenzatora )

Električni induktivitet je element električnog kruga, koji najizrazitije demonstrira

inerciona ponašanja u električnom krugu (inženjeri vole reći da je ponašanje induktiviteta

u elektrotehnici, vrlo slično ponašanju mase tijela u mehanici).

U električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, induktivitet se ponaša

kao kratkospojnik, dakle ne pruža nikakav otpor električnoj struji. Električne prigušnice,

kao namjenski konstruisani elementi sa velikom vrijednošću električnog induktiviteta, u

električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, obično se koriste da umanje

nivo valovitosti električne struje, u izlaznim blokovima ispravljačkih uređaja.

Kako i u električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona i električni

kondenzatori i električne prigušnice, pružaju električni otpor – istina u ovakvim

krugovima, njihovo ponašanje je praktično ekstremno - to se za električni otpor

provodnika R, kojim se on opire uspostavljanju električne struje kroz vlstitu strukturu,

koristi još precizniji termin od onog koji je uveden u prethodnom poglavlju. U tom

kontekstu se, ova veličina u elektrotehnici, vrlo često označava kao aktivni električni

otpor.

Da bi neki potrošač električne energije, kod kojeg je dominantna električna osobina

izražena posredstvom njegovog aktivnog električnog otpora, pravilno bio upotrebljen,

potrebno je, pored vrijednosti njegovog električnog otpora u omima, poznavati i

električnu snagu koju je on u stanju preuzimati dovoljno dugi interval vremena, te nivo

preciznosti njegove električne otpornosti, odnosno koliko je tačno predviđeno moguće

odstupanje od navedene osnovne vrijednosti električnog otpora ( primjer pravilno

navedenih podataka, za aktivni električni otpor, je recimo slijedeći: 10 Ω, ±5%, 5 W)

Aktivni električni otpor može biti dizajniran na različite načine, najčešće ovisno o

namjeni uređaja čiji je on sastavni dio.

Na slici broj 6.2 prikazano je više varijanti aktivnog električnog otpora, otpornosti 65 Ω .

Pošto u svakoj kutiji postoje dvije priključne stezaljke, izvor električne energije, koji

treba da energetski napoji ove kutije, nema nikakav uvid šta je u njihovoj unutrašnjosti.

12

Ukoliko je izvor električne energije realizovan u formi idealnog naponskog izvora, za

stalni jednosmjerni napon od 130 V (idealni naponski izvor ima sposobnost da između

svojih krajeva uspjeva održavati stalan jednosmjerni napon, bez obzira kolikom

električnom strujom bio opterećivan - takav izvor očigledno ima nultu vrijednost

unutrašnjeg električnog otpora izvora), tada će u svim slučajevima izvor biti opterećen i

sa stalnom jednosmjernom strujom I = 2 A.

Svaki od aktivnih električnih otpornika sa slike broj 6.2 predviđen je, da pri njegovom

priključenju na navedeni idealni naponski izvor, pretvara u toplotu električnu snagu od

oko 260 W. ( P = R · I2, odnosno P = U· I )

Slika broj 6.2 Razlićite verzije izvedbe aktivnog električnog otpora od 65 Ω

Na slici 6.2.a je prikazana, 28 cm duga otporna žica, od legure hroma i nikla, promjera

Ф = 0.1 mm , slika 6.2.b prikazuje zavojnicu-svitak, od 314 m lakirane bakarne žice,

promjera Ф = 0.4 mm, slika 6.2.c prikazuje spoj dva otpornika od 70 Ω i jednog

otpornika od 30 Ω, slika 6.2.d prikazuje žarulju od 120 V, 220 W s volframovom niti,

dok slika 6.2.e predstavlja rastvor KCl u čaši sa sa elektrodama odgovarajućih dimenzija

i odgovarajućeg razmaka između njih.

Da bi se ostvarila željena vrijednost aktivnog električnog otpora, često se pristupa

međusobnom povezivanju više otpora, kako je to učinjeno i na slici 6.2.c. Međusobni

13

spojevi elementarnih otpornih elemenata, međutim mogu biti i vrlo zamršeni, što je

vidljivo i na slici broj 6.5.

Za pravilno određivanje ekvivalentnog aktivnog električnog otpora kojim se može

nadomjestiti djelovanje, prikazanog složenog spoja elementarnih aktivnih električnih

otpora , u odnosu na ostatak električnog kruga, korisno je u prvoj iteraciji rješavanja tako

postavljenog problema uočiti, koji su otpornici međusobno povezani u serijsku vezu, a

koji su u međusobnoj paralelnoj vezi.

Treba se podsjetiti da su pri serijskoj međusobnoj vezi, električni otpornici opterećeni

električnom strujom istog intenziteta, te da preuzimaju na sebe električne napone,

određene vrijednostima električnih otpornika i uspostavljene električne struje, saglasno

Ohmovom zakonu, što je jasno vidljivo i sa slike broj 6.3 ( Uj = I·Rj ). Pri paralelnoj

vezi električnih otpornika, oni bivaju izloženi istoj vrijednosti električnog napona, a

struje kroz pojedine otpornike opet se određuju u skladu sa Ohmovim zakonom, kao što

to i pokazuju relacije izvedene za slučaj sa slike broj 6.4. Na osnovu strukture ostvarenih električnih veza na električnoj šemi sa slike broj 6.3 važe

odnosi:

VA - VB = I · R1, VB – VC = I · R2 , VA – VC = I · ( R1+ R2) = I · Rek, Rek = ( R1+ R2)

Slika broj 6.3 Serijski spoj aktivnih električnih otpornika i računanje vrijednosti

ekvivalentnog aktivnog električnog otpora

Pri paralelnom povezivanju aktivnih električnih otpora, kao što je to prikazano na slici

broj 6.4, važe slijedeći odnosi:

V V 1 1 1 1 R1 + R2

I = I1+I2 = — + — = V · ( — + — ) = V·(Rek )-1; (Rek )

-1 = — + — = ———

R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1·R2

14

Slika broj 6.4 Paralelni spoj aktivnih električnih otpornika i računanje vrijednosti

ekvivalentnog aktivnog električnog otpora

Na slikama broj 6.5 i broj 6.6, prikazani su složeniji spojevi aktivnih električnih

otpornika i procedure koje treba uvažavati, kada se određuje, njima ekvivalentni aktivni

električni otpor.

Slika broj 6.5 Složeni spoj aktivnih električnih otpornika i procedura određivanja,

ekvivalentnog električnog otpornika za ovakav spoj

15

Slika broj 6.6 Složeni spoj aktivnih električnih otpornika sa poznatim konkretnim

vrijednostima električnih otpora

1

6.3 Joule-ov zakon

Na osnovu iskustvenih saznanja, poznato je da se električni provodnici zagrijavaju,

tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu, prvi je analitički uspješno opisao

Joule (James Presccott Joule, 1818- 1889).

Da bi pronašao egzaktne uzročno-posljedične veze, između električnog rada, koji se

obavlja prilikom toka stalne jednosmjerne električne struje I, kroz provodnik električne

otpornosti R i količine toplote, koja se tokom tog procesa oslobađa, Joule je odabrani

izolovani provodnik električne otpornosti R, postavio u kalorimetar, a potom pristupio i

mjerenju količine toplote, koja se razvija u tom kalorimetru, tokom provođenja različitih

varijanti pomenutog eksperimenta.

Nakon što je uspostavio stalnu jednosmjernu električnu struju kroz provodnik električne

otpornosti R, ustanovio je da se pri dva puta dužem vremenskom intervalu, toka

električne struje I, oslobađa i dva puta veća količina toplote. Potom je ustanovio i da se

pri tri puta dužem vremenskom intervalu toka električne struje I, oslobađa tri puta veća

količina toplote, te da se i pri n puta dužem vremenskom intervalu toka električne struje I,

oslobađa i n puta veća količina toplote. U skladu sa ovakvim rezultatima Joule je

formirao sasvim ispravan zaključak, da je iznos električnog rada, koji se tokom

određenog vremenskog intervala toka stalne jednosmjerne električne struje, kroz

provodnik električne otpornosti R, pretvara u toplotu, direkno proporcionalan vremenu

trajanja tog procesa t.

Provodeći isti eksperiment, i u uslovima kada je sve bitne karakteristike analiziranog

sistema zadržao nepromijenjenim, osim jačine stalne jednosmjerne električne struje, koju

je odlučio mijenjati, primjetio je da pri dva puta većoj jačine stalne jednosmjerne

električne struje, dolazi do čeverostruko veće količine oslobođene toplote, odnosno da pri

n puta većoj jačine stalne jednosmjerne električne struje, dolazi i do n2 puta veće

količine oslobođene toplote.

Analogne eksperimente, potom je obavio i sa nekoliko različitih vrsta električnih

provodnih materijala, te došao do zaključka da je količina toplote A, oslobođene tokom

takvih eksperimenata, direktno proporcionalna sa električnim otporom upotrijebljenih

provodnih materijala, kroz koje je usmjeravana stalna jednosmjerna električna struja. Ova

serija, prethodno opisanih eksperimenata, omogućila je Joule-u, da analitički poveže

odnose između relevantnih veličina I, R i t, relacijom:

A = R · I2 · t (6.23)

Upravo iskazani odnosi, spoznati putem eksperimentalno stećenih iskustava, danas se

međutim mogu uobličiti i uz korištenje pretežno teoretskih podloga, zasnovanih na

dosada predočenim pojmovima iz osnova elektrotehnike.

U tom smislu na slici broj 6.7 (a) prikazan je beskonačno mali dio strujne tube, dužine dl

i normalnog poprečnog presjeka ds. Pod pretpostavkom da pri prolasku stalne

jednosmjerne struje dI, kroz analizirani dio strujne tube, između njenih krajeva vlada

potencijalna razlika, odnosno električni napon, dU, tada za održavanje takvog

energetskog stanja treba iz nekog energetskog izvora angažovati električnu snagu:

dP = (dI) · (dU) =(J·ds)·(E · dl) (6.24)

2

Slika broj 6.7 Fizikalna osnova za izvođenje Joule-ova zakona u diferencijalnom obliku

Sa slike 6.7 je vidljivo da su vektori J i ds, odnosno ds i dl kolinearni, što daje

mogućnost da se uspostave relacije: (J·ds) = J·ds ; (E · dl) = ((E · J )/J)·dl ;

dV= (dl)(ds) , nakon čega je moguće relaciju (6.24) zapisati i u obliku predočenom sa

(6.25):

E · J

dP= J·ds · —— dl = E · J ·dV (6.25)

J

odakle se lako dolazi do relacije za zapreminsku gustinu električne snage, p = (dP)/(dV),

koja se angažuje iz raspoloživog energetskog izvora i u skladu sa zakonom Joule-a,

pretvara u toplotu, unutar strukture provodnog materijala, kroz koji se usmjerava upravo

stalna jednosmjerna struja gustine J .

dP

p = —— = E · J = ρR· J2 = σP · E

2 (6.26)

dV

Relacija (6.26) je u literaturi poznata kao Joule-ov zakon u diferencijalnom obliku. S

obzirom da je jedinica mjere za aktivnu električnu snagu, odnosno električnu snagu

angažovanu aktivnim električnim otporom R, vat, (W), to je jedinica mjere za

zapreminsku gustinu električne snage p, definisana sa ( W·m-3).

Iskoriste li se gornji rezultati za određivanje električne snage koju će neki provodnik

konačne zapremine, poput provodnika sa slike 6.7 (b) , preuzeti iz vanjskih energetskih

izvora i pretvoriti, u skladu sa zakonom Joule-a, u toplotu, formira se relacija (6.27):

P = I2 · R = ⋅ ⋅∫V

E J dV (6.27)

U opisanim uslovima između, tačaka poprečnog presjeka A1 i poprečnog presjeka A2,

vlada potencijalna razlika, odnosno električni napon, UA1-A2 = R·I , pri čemu električni

potencijal poprečnog presjeka A1, zadovoljava relaciju : VA1 > VA2 , a stalna

3

jednosmjerna električna struja I, prvo ulazi u poprečni presjek A1, a tek potom u

provodnik, pridružene mu električne otpornosti R.

Pri ispunjenju prethodno navedenih uslova , uobičajno je reći da su električna struja I i

električni napon , UA1-A2 , usaglašeni po znaku i smjeru.

6.4 Jednačina kontinuiteta električne struje i prvi Kirchhoff-ov zakon

Pri definisanju zapreminski raspoređenog električnog naboja, unutar neke zapremine V,

ograničene zatvorenom površi s, konstatovano je da, ukoliko se zapreminska gustina tako

lokalizovanog naboja označi sa ρ, tada se ukupna količina električnog naboja q unutar te

zapremine, određuje prema relaciji:

q = V

dVρ⋅∫ (6.28)

Nije teško zaključiti, da do promjene iznosa obuhvaćenog električnog naboja q, može

doći ukoliko u analiziranu zapreminu uđu novi električni naboji istog znaka kao i

električni naboj q, ili pak istu oblast napusti dio električnih naboja istog znaka kao i q.

Bilo koja od spomenutih varijanti, očigledno dovodi i do obrazovanja kondukcionih, ili

konvekcionih električnih struja.

Prethodna rasuđivanja formalizovano se mogu iskazati u obliku relacije (6.29), koja je u

elektrotehnici poznata kao jednačina kontinuiteta električne struje.

∂ dq

∫S

J ···· ds = - —— (V

dVρ⋅∫ ) = - —— (6.29)

∂ t dt

Znak (-) ispred izraza za brzinu promjene električnog naboja q, posljedica je činjenice da

pozitivnom izlaznom fluksu vektora gustine električne struje J, odgovara negativan

prirast ∆q , iznosa ukupnog električnog naboja q.

Jednačinom kontinuiteta se može tumačiti i tvrdnja da je algebarski zbir električnih

naboja u prirodi nepromjenljiv.

U skladu sa prethodno uvedenom definicijom stacionarnog strujnog polja, odnosno

definicijom stalne jednosmjerne struje u takvom polju je sigurno ispunjen uslov:

(dq/dt)=0, odakle proizilazi logičan zaključak da se za stacionarna strujna polja,

jednačina kontinuiteta transformiše u relaciju:

∫S

J ···· ds = 0 (6.30)

4

Posljednja relacija se može, uz pomoć jedne od osnovnih teorema matematičke discipline,

Teorija vektorskih polja- teoreme Gauss-Ostrogradskog prevesti i u ekvivalentan

diferencijalni oblik, iskazan sa (6.31)

div J = 0 (6.31)

Diferencijalnim oblikom jednačine kontinuiteta, za stacionarna strujna polja, posebno se

naglašava da je stacionarno strujno polje bezizvorno polje, odnosno da su linije

stacionarnog strujnog polja zatvorene same u sebe (električni naboji se kreću unutar

strujnih tuba, poput nestišljive tečnosti). Odnosi iskazani relacijam (6.30) i (6.31)

predstavljaju prvi Kirchhoff-ov zakon u integralnom, odnosno diferencijalnom obliku

respektivno.

Tokom rješavanja praktičnih primjera iz proračuna električnih krugova, češće je u

upotrebi integralni oblik prvog Kirchhoff-ovog zakona. Kada se prvi Kirchhoff-ov

zakon primjenjuje na električne krugove, u kojim je kretanje električnih naboja

kanalisano kroz linijske-žičane provodnike, relacija (6.30) se može pojednostaviti u oblik

predočen sa (6.32):

n

1k

I=∑ k = 0 (6.32)

Relacija (6.32) tvrdi da je algebarska suma svih električnih struja, koje dolaze ili odlaze u

čvorište električnog kruga jednaka nuli (čvorište električnog kruga je mjesto u njegovoj

električnoj šemi, na kojem se sastaje tri ili više grana razmatranog električnog kruga).

Termin algebarska suma struja, koristi se u cilju naglašavanja da razmatrane struje mogu

imati ili pozitivan, ili negativan predznak. Formalno je ispravno, električnim strujama

koje napuštaju čvorište, pridružiti predznak (+), pošto je njihov smjer usaglašen sa

smjerom vektora gustine električne struje, koji sa vektorom jedinične normale na površ s

(usmjerenim od površi s ka okolnom prostoru) zaklapa oštar ugao. Slično tome, strujama

koje dolaze u čvorište treba pridružiti predznak (-), jer je njihov smjer usaglašen sa

smjerom vektora gustine električne struje, koji sa vektorom jedinične normale na površ s

(usmjerenim od površi s ka okolnom prostoru) zaklapa tupi ugao.

Treba naglasiti da se u analitičkoj notaciji, koju koriste Osnove elektrotehnike, Električni

krugovi i Teorija elektromagnetnih polja, simbolom I naglašava da je riječ o stalnim

jednosmjernim strujama.

Slika broj 6.8 Primjena prvog Kirchhoff-ovog zakona na čvorište u koje se vezuje

pet grana nekog električnog kruga

5

6.5 Elektromotorna sila u osnovnom električnom krugu.

Termin osnovni električni krug, podrazumjeva električni krug koji se sastoji od jednog

izvora električne energije i jednog potrošača električne energije (izvor električne energije

pri tome može biti bilo naponski, ili pak strujni izvor električne energije; u tehničkoj

literaturi se ravnopravno sa navedenim terminom izvor električne energije, koristi i

termin generator električne energije). U električnim krugovima stalnih jednosmjernih

struja i napona, potrošač je po pravilu predstavljen sa aktivnim električnim otporom R,

kako je to predočeno i na slici 6.9.

Slika broj 6.9 (a) Električna polja u naponskom izvoru i van njega, (b) Struktura

osnovnog električnog kruga

Da bi se u električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, mogla održavati

stacionarna raspodjela električnih naboja, odnosno konstantnost električnih potencijala

unutar određenih područja, pored kulonskih - elektrostatičkih sila, moraju postojati i

druge - neelektrostatičke sile. Ove sile (one se u teoretskoj elektrotehnici obično

označavaju terminom strane sile) ponašaju se kao svojevrsni posrednici, putem kojih se

drugi vidovi energije transformišu u električnu energiju, kako bi se stvorile pretpostavke

za obavljanje električnog rada u razmatranom električnom krugu.

Označi li se ta strana sila simbolom F * , tada električno polje E * , uzrokovano tom

silom, ima smjer unutar generatora kao na slici 6.9 (a). Na račun energetskih resursa -

akumuliranih unutar prikazanog generatorskog elementa (najčešće su ti resursi

nelektričnog porijekla i obično formirani u sklopu određenih hemijskih reakcija) na

krajevima tog elementa se ostvaruje povećana koncentracija pozitivnog električnog

naboja q i negativnog električnog naboja (–q). Tako koncentrisani električni naboji

dovode međutim i do pojave sila elektrostatskog polja između tih naboja, koja se jasno

najjednostavnije reprezentuje preko vektora jačine elektrostatskog polja Eel , sa smjerom

i u generatorskom elementu i van njega, kao na slici 6.9.

6

Na osnovu naprijed izloženog proizilazi da unutar generatora očigledno djeluje

rezultantno električno polje E = E * + Eel , pod čijim uticajem se, pri specifičnoj

provodnosti izvora σPi , pojavljuje električna struja čija je gustina određena relacijom: E

= σPi · J . To rezultantno polje, u unutrašnjosti generatora ima isti smjer, kao i strujne

linije vektora gustine struje J, dakle od stezaljke generatora koja se nalazi na negativnom

električnom potencijalu, ka stezaljci generatora, koja se nalazi na pozitivnom električnom

potencijalu.

Unutar generatora važi relacija:

BnA

E∫ · d l = BnA

E∫ *· d l + BnA

E∫ el · d l (6.33)

u kojoj je unutrašnja elektromotorna sila izvora označena sa :BnA

E∫ *· d l = Ei

Unutrašnja elektromotorna sila izvora Ei , nastoji u izvoru pokrenuti električne naboje u

smjeru koji je suprotan smjeru djelovanja sila elektrostatičkog polja Eel .

Elektrostatsko polje, kao što je već ranije konstatovano, pripada klasi konzervativnih

vektorskih polja, zbog čega je linijski integral vektora jačine elektrostatskog polja Eel , po

bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak nuli. Saglasno tome opravdano je pisati da je:

∫BnAmB

E el · d l = ∫BnA

E el ·dl + ∫AmB

E el · dl = 0 → ∫AmB

E el · dl = ∫BnA

E el ·dl

nakon čega se relacija (6.33) može pisati i kao:

Ei = BnA

E∫ · d l + ∫AmB

E el · dl (6.34)

S obzirom da je na spoljašnjem dijelu zatvorene putanje BnAmB, to jeste dijelu te

putanje koji leži van izvora električne energije-dakle putanji AmB, E = Eel

BnA

E∫ *· d l = Ei =BnA

E∫ · d l BnA

E∫ el · d l =BnA

E∫ · d l + ∫AmB

E el · dl

posljednja relacija se može pisati i u obliku:

Ei =BnA

E∫ · d l + ∫AmB

E · dl (6.35)

Prvi integral u relaciji (6.35) nije ništa drugo do pad električnog napona , odnosno

gubitak električnog napona, koji se dešava unutar generatora električne energije zbog

protivljenja generatora da se uspostavi električna struja I, čiji je vektor gustine već ranije

7

označavan sa J. Ovo protivljenje se fizikalno izražava preko unutrašnjeg aktivnog

električnog otpora generatora r.

Drugi integral u relaciji (6.35) predstavlja pad električnog napona, ili gubitak električnog

napona, pri savladavanju protivljenja priključenog potrošača aktivne otpornosti R,

uspostavljanju stalne jednosmjerne električne struje I, u prostom električnom krugu sa

slike 6.9. Prema tome relaciji (6.35) je praktično ekvivalentna sa relacijom (6.36)

Ei =BnA

E∫ · d l + ∫AmB

E · dl = r · I + R · I (6.36)

Napon UAB , koji se registruje između krajeva potrošača aktivne električne otpornosti R,

očigledno je usaglašen i po znaku i po smjeru sa električnom strujom I, koja je prolazeći

upravo kroz taj aktivni električni otpor R i dovela do uspostavljanja tog električnog

napona.

Slika 6.10 (a) prikazuje slučaj usaglašenosti smjera električne struje I i njome izazvanog

pada napona na otporniku R, električnog napona UAB, dok slika 6.10 (b) prikazuje slučaj

neusaglašenosti smjera električne struje I i njome izazvanog pada napona na otporniku R,

električnog napona UAB .

Slično tome, slika 6.10 (c) prikazuje slučaj usaglašenosti smjera električne struje I i

elektromotorne sile izvora električne energije E, dok slika 6.10 (d) prikazuje slučaj

neusaglašenosti smjera električne struje I i elektromotorne sile izvora električne energije

E. U oba ova slučaja, ukoliko je proizvod: E·I > 0, tada izvor električne energije radi u

generatorskom režimu rada (pražnjenje akumulatora). Relacija E·I < 0, uz oznake kao na

slikama 6.10 (c) i 6.10(d), signalizira da tada izvor radi u potrošačkom režimu rada

(punjenje akumulatora).

Slika 6.10 Primjeri usaglašenosti smjera električne struje I i električnog napona UAB

odnosno usaglašenosti električne struje I i elektromotorne sile E

6.6 Drugi Kirchhoff-ov zakon za električne krugove

U okviru provedene analize odnosa, između karakterističnih električnih veličina, u

prostom električnom krugu sa slike 6.9, pomoću relacije (6.36) je definisana i jednačina

naponske ravnoteže za to kolo.

8

Odnosi uspostavljeni u toj relaciji, mogu se međutim uspješno primjeniti i na bilo koju

drugu složeniju zatvorenu putanju, ukoliko je ona formirana od grana koje ulaze u

strukturu šeme nekog linearnog električnog kruga. Pri tome, unutar svake od tih grana

mogu postojati i međusobno različiti, kako izvori električne energije, tako i potrošači

električne energije. Uopštena metodologija, za opisivanje odnosa unutar takvih dijelova

električnih krugova, formulisana je drugim Kirchhoff-ovim zakonom, koji glasi:

U proizvoljnoj zatvorenoj konturi složenog linearnog električnog kruga, algebarska suma

padova napona, uzrokovanih prolaskom struja Ijk, kroz aktivne električne otpore Rjk,

uravnotežena je algebarskom sumom elektromotornih sila Ejk , koje djeluju unutar te

razmatrane konture. Ovakva tvrdnja se formalno analitički izražava relacijom:

Σ Ijk · Rjk = Σ Ejk (6.37)

Simboli j, k najčešće uzimaju vrijednosti prirodnih brojeva, a unutar posljednje relacije,

oni naglašavaju da se unutar razmatrane zatvorene konture, analizira i grana koja

povezuje čvorište j i čvorište k.

Podcrtavanje termina, algebarska suma padova napona, odnosno algebarska suma

elektromotornih sila, u drugom Kirchhoff-ovom zakonu ima za cilj da upozori svoje

korisnike da predznak ispred pojedinih sabiraka u relaciji (6.37) može biti kako pozitivan,

tako i negativan.

Da bi se znalo tačno, koji predznak treba pridružiti pojedinim sabircima, odabranu

zatvorenu konturu treba prvo orijentisati, i to bilo u smjeru kretanja kazaljke na satu, bilo

u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu. Potom treba i u svim granama,

koje sačinjavaju razmatranu zatvorenu konturu, ukoliko to unaprijed nije propisano,

predpostvaiti smjerove struja, što se kanališu tim granama.

Nakon ovih predradnji, preostaje samo da se uvažava pravilo po kojem: ukoliko je smjer

struje Ijk u grani (j-k), podudaran sa smjerom orijentacije razmatrane zatvorene konture,

tada je pad električnog napona Ijk · Rjk , koji se dešava na otporniku Rjk , zbog prolaska

te struje, pozitivnog predznaka.

Slično tome, ukoliko se struja koja bi krenula sa one stezaljke izvora elektromotorne sile

Ejk koja ima veći električni potencijal, podudara sa smerom orijentacije razmatrane

konture, tada djelovanje te elektromotorne sile u toj konturi, treba uzeti sa pozitivnim

znakom.

Primjer 6.1 U linearnom električnom krugu kao na slici, poznate su slijedeće vrijednosti:

E1 = 18 V, E2 = 12 V, R1= 12 Ω , R2= 2 Ω, R3= 6 Ω, R4= 4 Ω. Odrediti

vrijednosti stalnih jednosmjernih struja u svim granama električne šeme sa slike koristeći

I i II Kirchhoff-ov zakon, za električne krugove.

9

Rješenje Orijentiše li se jedna kontura u smjeru ABCD, a druga u smjeru BEFC tada je moguće

pisati da je:

TE1 = R1I1 + R3 (I1 I2 )

E2 = (R2 + R4 ) I2 R3 (I1 I2 )

Poslije uvrštavanja posebnih vrijednosti važi da je:

18 = 18 I1 6 I2

12 = 6 I1 +12 I2

I1 = 0,8 A; I2 = 0,6 A

Pgen = - I1 · E1 + I2 · E2 = 21,6 W ; PR = 12·0,64+2·0,36+6·1,96 + 4·0,36 = 21,6 W

1

6.7 Metod konturnih struja

Kada se razmatrani linearni električni krug, po osnovu uvažavanja postojeće redne i paralelene veze prisutnih potrošača i izvora električne energije, elementarnim transformacijama ne može direktno svesti na osnovni električni krug, potrebno je, uz pomoć primjene prvog i drugog Kirchhoffovovog zakona, postaviti dovoljan broj linearnih algebarskih jednačina, da bi se mogle odrediti sve nepoznate veličine u tom električnom krugu. U praktičnim problemima, najčešće se susreću zahtjevi poput određivanja električnih struja u svim granama električnog kruga, u uslovima kada su poznate sve relevantne karakteristike izvora i potrošača električne energije, koji su prisutni unutar tog kruga. Sa porastom broja grana električnog kruga, raste i broj jednačina, koje su neophodna osnova za izračunavanje nepoznatih vrijednosti električnih struja u granama analiziranog električnog kruga. Bez obzira, što se odnosi definisani prvim i drugim Kirchhoffovim zakonom, za kola stalnih jednosmjernih struja, iskazuju linearnim algebarskim jednačinama sa realnim koeficijentima, povećani broj takvih jednačina očigledno zahtjeva čak i pri računarskom rješavanju takvih problema, ne samo povećanje memorijskih resursa, nego i relativno dugo vrijeme obrade takvih podataka, kako bi se dobili traženi rezultati. Nastojeći pronaći efikasniji put za iznalaženje rješenja i u takvim slučajevima, Maxwell ( James Clerk Maxwell (1831-1879) engleski fizičar) je uspjeo dokazati da se u bilo kojem linearnom električnom krugu, sa N1 čvorišta i N2 grana, umjesto jednovremenog analiziranja N2 linearnih algebarskih jednačina sa realnim koeficijentima, isti rezultat može dobiti i znatno racionalnije, ukoliko se prvo rješava skup od N=N2-(N1-1) jednačina sa N nepoznatih, pa tek onda (dakle nakon što se odredi tih N ( N<N2) nepoznatih veličin), u drugoj etapi i sistem od preostalih (N-N2) jednačina. Opisani pristup je potpuno u skladu sa opštom teorijom rješavanja linearnih algebarskih jednačina, pri čemu se njegova efikasnost sve više ispoljava, što je parametar N2 veći. Nakon pobrojanih načelnih karakteristika opisanog Maxwellovog pristupa, za njegovu konkretnu implementaciju je neophodno precizirati i kako se odabire tih prvih N jednačina i koje su promjenljive sadržane u njima. Prvih N jednačina se bazira na drugom Kirchhoffovom zakonu, pri čemu se taj zakon primjenjuje samo na konture kojima se može pripisati atribut nezavina. Da bi neka kontura bila nezavisna, ona mora biti struktuirana tako da posjeduje bar jednu granu koja pripada samo toj konturi. Na slici broj 6.11 prikazana su neka rješenja za određivanje broja nezavisnih kontura N, unutar zadatih grafova pojedinih električnih krugova. U teoretskoj elektrotehnici se pod pojmom grafa električnog kruga, podrazumjeva pojednostavljena šema razmatranog električnog kruga, odnosno ona električna šema električnog kruga, unutar koje je prikazan samo raspored svih grana i svih čvorišta električnog kruga ( u takvoj pojednostavljenoj šemi električnog kruga, očigledno nisu ucrtani ni električni potrošači ni električni izvori, koji su sastavni dijelovi uobičajnih kompletnih električnih šema). Dok je na slici 6.11 (a) prikazan graf električnog kruga koji raspolaže sa N2=3 grane i N1=2 čvorišta, te je broj mogućih nezavisnih kontura, prema relaciji N=N2-(N1-1)=2, na

2

slici 6.11 (b) je prikazan graf električnog kruga, koji raspolaže sa N2=4 grane i N1=2 čvorišta, te je broj mogućih nezavisnih kontura, prema relaciji N=N2-(N1-1)=3

Slika broj 6.11 Nekoliko primjera grafova linearnih električnih krugova

Slično tome, na slici 6.11 (c) prikazan je graf električnog kruga, koji raspolaže sa N2 = 5 grane i N1=3 čvorišta, pa je broj mogućih nezavisnih kontura, u skladu sa relacijom N = N2 - (N1-1) = 3, a na slici 6.11 (d) je prikazan graf električnog kruga, koji raspolaže sa N2 = 6 grane i N1 = 2 čvorišta, te je broj mogućih nezavisnih kontura, opet prema relaciji N = N2 - ( N1-1) = 3. Nije teško uočiti da priključivanjem svake nove grane između dva već postojeća čvora, dolazi jednovremeno do povećanja i broja grana-dakle parametra N2 , ali i do povećanja broja nezavisnih kontura-odnosno parametra N. Opisanim pristupom, unutar nezavisnih kontura razmatranog grafa uvijek su obuhvaćene sve grane tog grafa. Treba naglasiti da za svaki konkretan električni krug, izbor skupa nezavisnih kontura nije jednoznačan, jer se uvijek mogu napraviti bar dvije različite varijante pri izboru. Nakon što se utvrde nezavisne konture za analizirani graf, pretpostavi se smjer struja u nezavisnim granama svake od kontura. Takvim strujama se potom pridružuje naziv konturne struje, jer se daljnji proračuni baziraju na pretpostavci da takve struje teku unutar cijele konture. Dok su konturne struje jedine struje koje se usmjeravaju kroz nezavisne grane kontura, u granama koje su zajedničke za više kontura, očigledno teče algebarska suma odgovarajućih konturnih struja. Svaka kontura se i orijentiše u smislu njenog obilaska i to obično na takav način, da je utvrđeni smjer njenog obilaska, podudaran sa smjerom pripadne joj konturne struje. Algebarske jednačine, koje se postavljaju za svaku od utvrđenih kontura, zasnivaju se na drugom Kirchhoffovom zakonu. N Σ Ijk · Rmj = Σ Emk (6.38) j=1 Algebarski zbir elektromotornih sila unutar konture m, može se formalno pretstaviti sa Σ Emk , pri čemu se elektromotorne sile koje djeluju u smjeru konture m (struja koja bi potekla iz njihove pozitivne stezaljke, imala bi isti smjer kao i kontura m) uzimaju u zbiru Σ Emk sa predznakom plus, dok se ostalim elektromotornim silama unutar te konture, u predmetnom zbiru , pridružuje predznak minus.

3

Zbir aktivnih električnih otpora unutar konture m, formalno se označava sa R mm , pri čemu mu se pridružuje i naziv vlastiti aktivni električni otpor konture m. S obzirom da postoje i grane električnog kruga, koje su zajedničke za više kontura, aktivni električni otpori unutar tih grana, ukoliko je recimo ta grana zajednički dio konture m i konture j, označava se sa R mj . Uz aktivni električni otpor R mj stajat će pozitivan predznak, ukoliko se smjerovi kontura m i j u toj grani podudaraju. Međutim ako se njihovi smjerovi ne podudaraju, tada će uz aktivni električni otpor R mj stajati negativan predznak. Opisanim pristupom, a uz uvažavanje (6.38), generiše se sistem linearnih nehomogenih algebarskih jednačina sa realnim koeficijentima, oblika: R11 I1k + R12 I2k + R13 I3k···········+ R1N INk = Σ E1k R21 I1k + R22 I2k + R23 I3k···········+ R2N INk = Σ E2k (6.39) R31 I1k + R32 I2k + R33 I3k···········+ R3N INk = Σ E3k ··········································································· RN1 I1k + RN2 I2k + RN3 I3k·········+ RNN INk = Σ ENk

Rješavanjem predmetnog sistema od N algebarskih jednačina, na osnovu tako dobijenih rješenja, određene su električne struje u N grana razmatranog električnog kruga. Električne struje u preostalih ( N2 - N ) = N2 – (N2-(N1-1) ) = ( N1-1 ) grana, određuju se korištenjem prethodno dobijenih rezultata i prvog Kirchhoff-ovog zakona. Primjer 6.2 U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema data na slici broj 6.12, poznati su slijedeći parametri: E =18 V, R1=12 Ω, R2= 2 Ω, R3= 6 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 2 Ω .Primjenom metoda konturnih struja odrediti električne struje u svim granama razmatranog električnog kruga, zatim električnu snagu naponskog generatora, te provjeriti ispunjenje zakona o očuvanju električne snage (energije) u električnom krugu.

Slika broj 6.12 Električna šema rasporeda električnih izvora i potrošača uz primjer 6.2

4

Rješenje: U skladu sa sistemom jednačina (6.39), za električnu šemu sa slike broj 6.12 može se pisati da je: R11 I1k + R12 I2k + R13 I3k = Σ E1k R21 I1k + R22 I2k + R23 I3k = Σ E2k R31 I1k + R32 I2k + R33 I3k = Σ E3k pri čemu je: R11 = R1 + R4; R12 = - R1; R13 = - R4; R21 = - R1; R22 = R1 + R2 + R3 ; R23 = - R3 ; R31 = - R4 ; R32 = - R3 ; R33 = R3 + R4 + R5 ; Σ E1k = 18 V; Σ E2k = 0 ; Σ E3k = 0. 16 I1k - 12 I2k - 4 I3k = 18 -12 I1k + 20 I2k - 6 I3k = 0 - 4 I1k - 6 I2k +12 I3k = 0

I1k = I1 = 5,74 A; I2k = I2 = 4,73 A; I3k = I3 = 4,28 A; IR1= I1 - I2 = 1,01 A; IR3= I2 – I3 = 0,45 A; IR4= I1 – I3 = 1,46 A; Električna snaga naponskog generatora može se računati posredstvom relacije: Pg = E · I1 =18 · 5,74 = 103,3 W a na sličan način i električna snaga, koju angažuju potrošači u razmatranom električnom krugu: Pp= ( I1 - I2)

2· R1 + ( I1 - I3) 2· R4 + ( I3 - I2)

2· R3 + ( I2) 2· R2 + ( I3)

2· R5 = 103,3 W Lako se uočava da je doista Pg = Pp

6.8 Zakon o očuvanju električne snage (energije) u linearnom električnom krugu

U svakom linearnom električnom krugu stalnih jednosmjernih struja i napona, prema Zakonu o održanju energije, ukupna električna snaga, koju odaju naponski i strujni izvori električne energije prisutni unutar tog električnog kruga, jednaka je električnoj snazi koju apsorbuju-preuzimaju, potrošači električne energije istog tog električnog kruga. Navedeni energetski odnosi izražavaju činjenicu da su takvi električni krugovi u stanju dinamičke ravnoteže ( algebarska suma električnih snaga izvora, u dinamičkoj je ravnoteži sa sumom snaga Jouleovih gubitaka u analiziranom električnom krugu) koja se analitički može iskazati relacijom: n n n

Σ Ri · Ii2 = Σ Ei Ii + Σ ( ISi )jk· Ukj (6.40) i =1 i = 1 i = 1

5

U relaciji (6.40), članovi na lijevoj strani su uvijek pozitivni, dok članovi sa desne strane mogu biti i pozitivni i negativni. Članovi oblika Ei · Ii definišu električnu snagu koja se pridužuje naponskim izvorima kod kojih je sa Ei označen električni napon između pozitivne i negativne priključne stezaljke tih izvora, dok struja Ii označava struju koja izlazi iz pozitivne stezaljke izvora (pozitivan iznos ovako računate električne snage izražava generatorski režim rada takvih izvora, dok negativan iznos ovako računate električne snage izražava potrošački režim rada predmetih izvora) Slično tome članovi oblika ( ISi )jk· Ukj definišu električnu snagu koja se pridužuje strujnim izvorima, kod kojih je sa Ukj označen električni napon između čvora k i čvora j za koje je spojen strujni izvor, dok struja ( ISi )jk označava struju strujnog izvora koja je usmjerena od čvorišta j ka čvorištu k (pozitivan iznos ovako računate električne snage izražava generatorski režim rada takvih izvora, dok negativan iznos ovako računate električne snage izražava potrošački režim rada tih izvora) Zakon o očuvanju električne snage (energije) u linearnom električnom krugu je vrlo zahvalan postupak za provjeru ispravnosti provedenih proračuna u takvim krugovima, što je demonstrirano i u primjeru 6.2 i u primjeru 6.3 Primjer 6.3 Metodom konturnih struja, odrediti električne struje u svim granama električnog kruga, čija je električna šema prikazana na slici broj 6.13, a potom provjeriti tačnost dobijenih rezultata primjenom Zakona o očuvanju energije u električnom krugu. Poznate su slijedeće vrijednosti parametara sadržanih u prikazanoj električnoj šemi: R1 = 2 Ω; R2 = 1 Ω; R3 = 3 Ω; R4 = 4 Ω; R5 = 5 Ω; E1 = 40 V; E2 = 15 V; Is = 5 A.

Slika broj 6.13 Električna šema rasporeda električnih izvora i potrošača uz primjer 6.3

Djelovanje realnog strujnog izvora Is moguće je nadomjestiti pomoću djelovanja

novouvedenih realnih naponskih izvora: Is·· R4 ( on je u serijskoj vezi sa aktivnim

električnim otporom R4 , pri čemu mu je stezaljka, koja raspolaže sa većim potencijalom,

vezana za čvorište 4 ) i Is·· R3 (on je u serijskoj vezi sa aktivnim električnim otporom R3 ,

pri čemu mu je stezaljka, koja raspolaže sa većim potencijalom, vezana za čvorište 3),

nakon čega se, pri smjerovima konturnih struja kao na slici 6.13 , u skladu sa ranije

6

pobrojanim pravilima generisanja sistema jednačina po metodu konturnih struja, lako

uspostavlja sistem jednačina:

R11 I1k + R12 I2k = E1 - R3· Is

R21 I1k + R22 I2k = E2 + R4·Is

( R1 + R3 + R5 ) ·I1 + R5· I2 = E1 - R3· Is

R5· I1 + ( R2 + R4 + R5 ) ·I2 = E2 + R4· Is

10 ·I1k + 5·I2k = 40 – 15 = 25

5·I1k + 10·I2k = 15 + 20 = 35

Iz gornjeg sistema jednačina, dobijaju se vrijednosti konturnih električnih struja I1k = 1 A;

I2k = 3 A; odnosno: IR1 = I1k; IR2 = I2k; IR3 = I1k + Is = 6 A; IR4 = Is - I2k = 2 A;

IR5 = I1k + I2k = 4 A.

Ukoliko se ne koristi mogućnost ekvivalencije djelovanja realnog strujnog izvora, sa

djelovanjem odgovarajućeg realnog naponskog izvora, nego se metod konturnih struja

primjenjuje direktno, tada imamo električnu šemu sa tri konture. Postoji pravilo da ako je

u razmatranoj električnoj šemi, unutar jedne grane prisutan strujni izvor , onda se ta grana

mora uzeti za nezavisnu granu, jedne od kontura te električne šeme. S obzirom na samu

prirodu djelovanja strujnog izvora, tada je odmah određena i vrijednost konturne struje u

toj istoj konturi. Zbog toga, u električnoj šemi sa slike 6.13, mora biti I3k = Is, pa

uvažavajući tu činjenicu, postavljaju se jednačine za samo dvije konture.

R11 I1k + R12 I2k + R13 I3k = Σ E1k

R21 I1k + R22 I2k + R23 I3k = Σ E1k

R11 I1k + R12 I2k + R13 Is = E1

R21 I1k + R22 I2k + R23 Is = E2

S obzirom da je R13 = R3 i R23 = - R4 , na osnovu prethodnog sistema jednačina, dobija

se sistem jednačina, koji je identičan sa sistemom jednačina, dobijenim pri primjeni

ekvivalencije djelovanja realnog strujnog izvora, sa odgovarajućim realnim naponskim

izvorom.

Provjeravanjem tačnosti dobijenih rezultata, uz pomoću Zakona o očuvanju električne

energije u električnom krugu, proizilazi da je:

7

E1 ·I1 + E2 ·I2 + Is ·U42 = 40 ·1 + 15· 3 +5· 26 = 215 W

R1·(IR1)2 + R2·(IR2)

2 + R3·

(IR3)

2 + R4·

(IR4)

2 + R5·

(IR5)

2 = 2 + 9 + 108 + 16 + 80 = 215 W

što je svojevrstan vid potvrde, da su provedeni proračuni bili ispravni.

6.9 Granični uslovi na dodiru dvije homogene provodne sredine

Da bi se odredilo ponašanje karakterističnih veličina strujnog polja, vektora jačine

električnog polja E i vektora gustine električne struje J , na granici dodira dvije

homogene provodne sredine, sa specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2 ,

dovoljno je posmatrati odnose predstavljene na slici broj 6.14, uz uvažavanje da u dijelu

strujnog polja, u kojem ne djeluju neelektrične sile, mora važiti kako Ohmov zakon

(J = σP · E ), tako i prvi Kirchhoffov zakon (div J = 0).

Slika broj 6.14 Ponašanje vektora jačine električnog polja E i vektora gustine električne

struje J , na granici dodira dvije homogene provodne sredine, sa

specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2

8

Primjeni li se prvi Kirchhoffov zakon u diferencijalnom obliku, na granicu dodira dvije

homogene provodne sredine, sa specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2 , pri

čemu se za zatvorenu površ odabere cilndar veoma male visine ∆h (∆h →0, pa se cilindar

praktično degeneriše u dvije paralelne baze površina ∆s1 i ∆s2 ), tada uz uvažavanje

odnosa prikazanih na slici 6.14 (a), ima smisla pisati da je:

∫S

J ···· ds = J1n· ∆s1 – J2n· ∆s2 = 0 , odakle slijedi da je

J1n = J2n (6.41)

Na osnovu relacije (6.41) slijedi zaključak da su, na granici dodira dvije homogene

provodne sredine, sa specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2 , normalne

komponente vektora gustine električne struje jedanake.

Relacija (6.41) , s obzirom na pretpostavljenu homogenost provodnih sredina i važenje

Ohmovog zakona u njima, omogučava da se napiše i da je:

σP1 ·E1n = σP2 ·E2n (6.42)

Na osnovu prethodno izvedenih relacija proizilazi slijedeći zaključak: ukoliko je sredina

1, po svojim karakteristikama bliska idealnom dielektriku, a sredina 2 metalnom

provodniku, onda izvedeni granični uslovi pokazuju da će, zbog σP1 ≈ 0 , morati biti i

J1n = 0, odnosno prema (6.41) i J2n = 0 . To znači da na granici dodira jako dobrog

provodnika i jako dobrog izolatora linije vektora gustine električne struje imaju samo

tangencijalnu komponentu u odnosu na dodirnu površinu, odnosno vektor gustine struje J

je u metalnom provodniku usmjeren paralelno sa površinom dodira provodne i izlacione

sredine. Ova konstatacija je ilustrovana slikom 6.15 (a).

Primjenom teoreme o bezvrtložnom karakteru električnog polja E , na usko područje oko

dodirne površi dvije homogene provodne sredine, sa specifičnim električnim

provodnostima σP1 i σP2 , kako je to prikazano i na slici 6.14 (b), može se pisati da je:

∫ E · dl = 0 = E1t· ∆wda - E2t· ∆wbc (6.43)

labcd

odakle slijedi i da je:

J1t J2t E1t = E2t → —— = —— (6.44)

σP1 σP2

Posljednja relacija pokazuje da je u veoma kvalitetnom dielektriku (σP1 ≈ 0),

tangencijalna komponenta vektora gustine električne struje J1t = ( σP1/ σP2 ) · J2t ≈ 0.

Stoga u primjeru sa slike 6.15 (c) postoji samo normalna komponenta vektora električnog

polja E . Međutim ukoliko se strukturi sa slike 6.15 (c) doda potrošač aktivnog otpora R,

na način koji je prikazan na slici 6.15 (d), tada se stvaraju uslovi ua uspostavljanje stalne

jednosmjerne električne struje, određene vektorom gustine električne struje J . U ovom

slučaju pojavljuje se i tangencijalna komponenta vektora jačine električnog polja E, dakle

9

Et , zbog čega se i prostorna slika linija vektora jačine električnog polja E donekle

mijenja.

S obzirom da je i dalje prisutan odnos Et << En promjene u slučaju sa slike 6.15 (d)

uistinu nisu velike, ali gledano sa fenomenološke strane ipak su dosta značajne.

Izvedeni granični uslovi na dodiru dvije homogene provodne sredine iskazani relacijama

(6.41) , (6.42) i (6.44) , omogućavaju da se uspostavi i odnos između uglova Ө1 i Ө2 koje zaklapaju karakteristični vektori E i J, sa normalama na površ u čijim tačkama se

susreću analizirane provodne sredine.

Prema slici (6.14) očigledno važe odnosi iskazani relacijom (6.45):

J1t J2t tan Ө1 σ P1

tan Ө1 = —— ; tan Ө2 = —— → ——— = —— (6.45)

J1n J2n tan Ө2 σP2

Povezanost iznosa uglova Ө1 i Ө2 i specifičnih električnih provodnosti σP1 i σP2 ,

definisana relacijom (6.45), grafički je predstavljena na slici 6.14 . Sama grafička

interpretacija ponašanja vektora gustine struje J,naglašava da je sredina 2 bolji provodnik,

u električnom smislu,od sredine 1

Slika broj 6.15 Različite forme sučeljavanja dielektrika i provodnika, sa stanovišta

ponašanja vektora J i E

1

Da bi se bi ipak stekao potpuniji uvid u odnos između normalne i tangencijalne komponente vektora jačine električnog polja E unutar električnog kruga koji je grafički predstavljen na slici broj 6.15 (d), isti primjer će se sagledati i kvantitativno, uz uvažavanje slijedećih parametara predmetnog sistema: Neka su provodne elektrode od bakra (σP = 5,8· 107 S m-1) i formirane od dva komada okrugle žice prečnika 2 mm i dužine 1 cm, pri čemu je razmak između tih paralelno postavljenih elektroda takođe 1 cm. Neka potrošač aktivne električne otpornosti RL ima vrijednost 1 Ω, a naponski izvor generiše stalni jednosmjerni napon od 1 V. Stalna jednosmjerna struja I, određena je tada relacijom I = ( Vo / RL ), pošto je vrijednost električnog otpora upotrebljenih elektroda oko (54 +54)10-6 Ω, te se može zanemariti u odnosu na vrijednost aktivnog električnog otpora RL. I Intenzitet vektora gustine električne struje J određuje se prema relaciji: J = ——— , pa je J = 3,2 ·105 Am-2 . 10-6 π Tangencijalna komponenta vektora jačine električnog polja, računa se na osnovu relacije: Et = ( J / σP ) i iznosi Et ≈ 5,5 ·10-3 Vm-1 Da bi se izračunala i normalna komponenta vektora jačine elektrostatskog polja En , potrebno je prema relaciji: Q’

Er = ————— , r ≥ 1 mm 2 · π · εo · r odrediti iznos podužne gustine električnog naboja Q’ . Ta vrijednost je u analiziranom sistemu definisana izrazom Q’ = (C’ · Vo), u kojoj je sa C’ izražena podužna kapacitivnost razmatranog sistema od dvije paralelne elektrode, čije su geometrijske karakteristika ranije definisane: π · εo C’= ———— = 12 · 10-12 F · m-1 → Q’ = 1,2 · 10-11 C m-1 ln (d / a) Pri vrijednosti r = 5 mm, uz izračunati iznos za Q’, dobija se da je Er = En ≈ 43 Vm-1

Odnos: (En / Et ) ≈ ( 43/(5,5 ·10-3)) ≈ 7818, jasno pokazuje koliko je dominantna normalna komponenta vektora jačine električnog polja En u analiziranom primjeru, u odnosu na njegovu tangencijalnu komponentu Et. Ugao θ, koji zaklapa vektor jačine elektrostatskog polja E, u odnosu na normalu povučenu na dodirnu površinu bakarne elektrode i okolnog vazdušnog prostora tada je: θ = arctan (Et / En ) = arctan ( 0,000128) , odnosno ugao θ iznosi oko 0,007° . 6.10 Dvojnost vektora gustine stalne jednosmjerne električne struje J i vektora

elektrostatske indukcije D; kapacitivno - otpornička analogija

U mnogim materijalima, koji nalaze svoju primjenu unutar raznorodnih elektrotehničkih aplikacija, vektor gustine stalne jednosmjerne električne struje J i vektora elektrostatske indukcije D, direktno su proporcionalni sa vektorom jačine električnog polja E . Ovakva povezanost vektora J i D postoji u onim područijima koja su karakteristična po konzervativnosti električnog polja (takva područja su linearni električni krugovi

2

stacionarnih struja i napona, izuzev same unutrašnjosti električnih izvora, te linearni električni krugovi u kojim ne egzistiraju vremenski promjenljiva električna polja). Kao što će biti pokazano u nastavku teksta, pomenute osobine omogućavaju da se, na osnovu sličnosti odnosa u elektrostatskom polju i strujnom polju stalnih jednosmjernih električnih struja, uspostavi i veza između električne kapacitivnosti i aktivne električne otpornosti, koje su pridružene takvim sistemima, u okviru njihovih proučavanja. U linearnim električnim krugovima stacionarnih struja, izuzev unutrašnjosti električnih izvora (tamo djeluju i neelektrične sile), vektor gustine stacionarne električne struje mora da zadovolji i Ohmov zakon i prvi Kirchhoffov zakon, što znači da mora važiti: J = σP· E ; div J = 0 Uzimajući u obzir da je električno polje stacionarnih električnih struja, bezvrtložno vektorsko polje (rot E = 0, E = - grad V ), opravdano je uspostaviti i relaciju: div (σP· grad V) = 0 (6.46) Kako je kod homogenih provodnih materijala σP ≈ konst., relacija (6.46) se može pisati i kao (6.47): σP · div (grad V) = 0 (6.47) Posljednja relacija potvrđuje da u stacionarnom strujnom polju, unutar kojeg nema djelovanja stranih neelektričnih sila, potencijalna funkcija V(x,y.z) zadovoljava jednačinu Laplacea (dakle slično kao što u elektrostatskom polju, unutar kojeg nema slobodnih električnih naboja, potencijalna funkcija V(x,y.z) takođe zadovoljava jednačinu Laplacea). Pri istim graničnim uslovima, saglasno teoremi o jedinstvenosti rješenja Laplaceove jednačine, njena rješenja će biti ista i za elektrostatsko polje i za električno polje stacionarnih struja. Ovaj zaključak ima i stanovitu praktičnu vrijednost, jer omogućava da se pomoću sagledavanja ponašanja jedne veličine, formira ispravan sud i o ponašanje njoj homologne veličine (u tom smislu, recimo pomoću analize strujnog polja stacionarne električne struje, može se doći i do informacija o ponašanju elektrostaskog polja, jasno ukoliko su ispunjena i navedena ograničenja). Analizirajući granične uslove na dodiru dva linearna, homogena i izotropna dielektrika, okarakterisane dielektričnim konstantama ε1 i ε2, utvrđeno je da se ponašanje karakterističnih vektora E i D mora uskladiti sa sljedećim graničnim uslovima: D1n = D2n i E1t = E2t , ili pak E1n · ε1 = E2n · ε2 i (D1t / ε1) = (D2t / ε2 ) Ako se sa α1 i α2, označe uglovi, koje vektori E i D zaklapaju sa normalom na graničnu površ dodira dva analizirana dielektrika, tada se vrlo jednostavno dolazi i do odnosa:

3

tgα1 ε1

——— = —— tgα2 ε2

Slično tome, analizirajući i granične uslove na dodiru dvije homogene provodne sredine, okarakterisane specifičnim električnim provodnostima σP1 i σP2, utvrđeno je da se ponašanje karakterističnih vektora E i J i tada mora uskladiti sa određenim graničnim uslovima, odnosno da mora važiti: J1n = J2n i E1t = E2t , ili pak E1n · σP1 = E2n · σP2 i (J1t / σP1) = (J2t / σP2 )

Ako se sa Ө1 i Ө2 označe uglovi, koje vektori E i J zaklapaju sa normalom na graničnu površ dodira dvije homogene provodne sredine, tada se jednostavno dolazi i do odnosa: tg Ө1 σP1

——— = —— tg Ө2 σP2

Vršeći eksperimentalnu provjeru prethodno provedenih razmatranja, može se primjetiti da, ukoliko se cilindrične elektrode od bakra, zarone u elektrolitički rastvor, pri čemu je odnos specifične električne provodnosti bakra oko 106 puta veći od specifične električne provodnosti odabranog elektrolitičkog rastvora, položaj vektora E i J je takav, da oni sa strane elektrolitičkog rastvora ulaze na bakarne elektrode pod uglom od gotovo (π /2) radijana. Površina bakarnih elektroda je pri tome i ekvipotencijalna površ. Zahvaljujući svim navedenim činjenicama i činjenici da je i strujno polje stacionarnih struja konzervativno vektorsko polje, otvoren je prostor da se pomoću analognih metoda, po osnovu sagledavanja karakteristika ponašanja relevantnih veličina stacionarnog strujnog polja, izvedu i zaključci o ponašanju homolognih veličina u elektrostatskom polju. Opisani slučaj, može biti osnova da se definiše i veza između električne kapacitivnosti i aktivne električne otpornosti, koje su pridružene sličnim sistemima, tokom njihovih razmatranja. S obzirom da je električna kapacitivnost sistema elektroda, uronjenih u savršeni dielektrik dielektrične konstante ε i opterećenih električnim nabojem Q i – Q, definisana relacijom C = (Q/U), te da je, u skladu sa Maxwellovim postulatom, naboj Q određen relacijom:

∫ D ds = Q = ε ∫ E ds

S S ta ista električna kapacitivnost se može izraziti i u obliku:

4

ε ∫ E ds

S C = ————— (6.48) U Iste te relacije, mogu se koristiti i u slučajevima nesavršenog dielektrika, kojem je svojstvena specifična električna provodnost σP , kada će očigledno iz elektrode koja raspolaže električnim nabojem Q, odnosno koja se nalazi na većem potencijalu V, isticati struja I, čiji je intenzitet određen relacijom:

I = ∫ J ds = σP · ∫ E ds (6.49)

S1 S1

Posljednja relacija (6.49), uz uvažavanje relacije R = ( U/I ), omogućava da se aktivni električni otpor sredine između elektroda-R, iskaže i u formi (6.50) U R = ————— (6.50)

σP · ∫ E ds

S1 Fizikalne karakteristike razmatranog sistema dozvoljavaju da se razlika između površi s i s1, učini zanemarljivo malom, zbog čega je opravdano na osnovu relacija (6.48) i (6.50) formirati i relaciju (6.51) ε R = ——— (6.51) σP · C Na osnovu relacije (6.51), očigledno je moguće na osnovu poznavanja električne kapacitivnosti analiziranog sistema i karakteristika dielektrične ( provodne ) sredine, odrediti i aktivni električni otpor te sredine, kojim se ona suprostavlja uspostavljanju stalne jednosmjerne struje, u uslovima postojanja električnog napona U između elektroda, koje su vezane za naponski izvor. Ista relacija omogućava da se proizvod RC, u slučaju homogenih, linearnih, izotropnih i vremenski invarijantnih materijala, definiše i u obliku, ε RC = —— = τ (6.52) σP

pri čemu parametar τ označava vrijeme unutar kojeg se dešava proces redidistribucije slobodnih električnih opterećenja, pri prelasku sistema iz stanja kada je električno polje koje djeluje na analiziranu sredinu imalo vrijednost nula, u stanje kada je to isto električno polje, skokovito doseglo vrijednost E.

5

Za dobre provodnike poput elektrolitičkog bakra, karakteristični parametar τCu ≈ 10 -19 s, za destilovanu vodu on je τvode ≈ 10 -5 s, dok je za dobre dielektrike poput ćilibara τćilibara ≈ 10 3 s. Za kvarc je međutim τkvarca čak ≈ 50 dana. U tabeli koja slijedi, dakle u tabeli broj 6.1, date su uporedno karakteristike dvojnosti električnih i dielektričnih karakteristika, u skladu sa prethodnim razmatranjima i slikom 6.16 Tabela 6.1

Relacije sa stanovišta specifične električne provodnosti sredine ( σP )

Relacije sa stanovišta dielektričnosti sredine ( ε )

∫L

E dl = 0

∫L

E dl = 0

J = σP E

D = ε E

div J = 0

div D = 0

J = σP E = - σP grad V

D = ε E = - ε grad V

J1n = J2n

D1n = D2n

(J1t / σP1) = (J2t / σP2 )

(D1t / ε 1) = (D2t / ε 2 )

U R = —————

σP · ∫1s

E ds

ε ∫s

E ds

C = ————— U

6

Slika broj 6.16 Dvojnost vektora gustine stalne jednosmjerne električne struje J i vektora

elektrostatske indukcije D 7. Magnetne pojave u stacionarnom strujnom polju U ovom poglavlju će se razmatrati magnetne pojave u stacionarnom strujnom polju. Nakon što bude uveden pojam magnetnog polja stacionarnih struja u vazduhu i sagledaju mehaničke manifestacije što se dešavaju u tom prostoru, pobrojat će se i nekoliko aplikativnih rješenja, zasnovanih upravo na manifestacijama takvog tipa. 7.1 Magnetno polje stacionarnih struja

Tokom istorijskog razvoja elektrotehnike, dugo vremena su se električne i magnetne pojave posmatrale odvojeno. Naime još od 1600 godine, kada je William Gilbert u Londonu ( u to vrijeme, on je bio lični fizičar kraljice Elizabete I (1533-1603)), u svom epohalnom djelu «De Magnete», istraživao moguću povezanost električnih i magnetnih pojava i pri tome zaključio da te dvije oblasti ipak nemaju zajedničkih elemenata, takvo se stanje zadržalo skoro dvije stotine godina. Čak je i danski fizičar Hans Christian Oersted (1777-1851, koji je jedna od nezaobilaznih ličnost tokom sagledavanja procesa izučavanja magnetnih pojava), držeći studentima predavanja iz predmeta «Elektricitet, galvanizam i magnetizam», na Univerzitetu u Kopenhagenu, dugo vremena u okviru elektriciteta prezentirao dotadašnja znanja iz elektrostatike, u okviru galvanizma pratio i komentarisao rezultate istraživanja Luigia Galvania (1737-1798) i njegovog kolege Alessandra Volte (1745- 1827, 1800 – Voltin element) vezane za izvore stalne jednosmjerne struje i rezultate djelovanja stalnih jednosmjernih struja, a u okviru magnetizma komentarisao osobine magnetita, magnetskih igala i zemaljskog magnetnog polja.

7

Oersted je ipak, sa aspekta današnjeg gledanja na tok razvoja magnetizma i načina njegovog višegodišnjeg eksperimentalnog rada u njemu, imao u početku neku maglovitu zamisao, da je magnetizam, kao i galvanska struja, neka vrsta prikrivenog oblika elektriciteta. Tokom svojih predavanja, u zimu 1819/1820, on je ipitivao uticaj prolaska galvanske struje kroz žicu, na magnetnu iglu koja je bila u blizini te žice. Slučaj je htjeo, da je pri prvom eksperimentu prostorni položaj magnetne igle bio upravo takav, (normalan na položaj ose provodnika) da se nije manifestovalo djelovanje bilo kakve mehaničke sile, uzrokovane magnetnim poljem nastalim od usmjeravane struje, na magnetnu iglu. Međutim pri novom eksperimentalnom pokušaju, magnetna igla je bila očigledno sticajem sretnih okolnosti u nekom drugačijem položaju (provodnik sa strujom i magnetna igla su tada bili paralelni), pa se iskazalo i djelovanje mehaničke sile na nju, kada je uspostavljena električna struja kroz žicu. Potom, kada je promjenio smjer struje u provodniku, Oersted je primjetio da se i magnetena igla otklonila na suprotnu stranu. Ubrzo zatim, potaknuti opisanim eksperimentima i rezultatima registrovanim u okviru istih, André - Marie Ampère (francuski fizičar i matematičar 1775-1836); Michael Faraday ( engleski fizičar i hemičar;1791-1867) i drugi istraživači elektromagnetnih pojava, vrlo su uspješno detaljno razradili i objasnili efekte magnetnog djelovanja stalne jednosmjerne struje. Ipak kao vrhunac tih zaključaka i otkrića, smatra se Faradayev zakon elektromagnetne indukcije, te Ampèrov zakon za magnetna kola u uopštenom obliku i u njemu sadržano objašnjenje nastanka magnećenja materije koje je potvrđeno kao ispravno tek nakon punih stotinu godina razvoja nauke i elektrotehnike. Na slici broj 7.1 (a) prikazan je ogled koji je provodio Oersted, pri čemu promjena smjera struje dovodi i do promjene orijentacije magnetne igle.

Slika broj 7.1 (a) Prikaz Oerstedova eksperimenta

Isto djelovanje kao i na magnetnu iglu, provodnik sa jednosmjernom strujom I ima i na zavojnicu, koja se električni napaja preko izvora jednosmjernog napona - baterije i visi o

8

tankom koncu, tako da se može prostorno pomjerati pod uticajem sila magnetnog polja kada se one pojave –što je prikazano na slici broj 7.1 (b)

Slika broj 7.1 (b) Prikaz Oerstedova eksperimenta, pri čemu je magnetnu iglu zamjenila

lako pokretna zavojnica, sa jednosmjernom strujom Mehanička djelovanja predstavljena slikama 7.1 (a) i 7.1 (b) mnogo se jasnije iskazuju u slučaju dva tanka paralelna provodnika, kroz koje se usmjeravaju stalne jednosmjerne struje, na način prikazan na slici broj 7.2

Slika broj 7.2 Prikaz sila magnetnog polja, koje se javljaju kod dva paralelna tanka

linijska provodnika, opterećena stalnim jednosmjernim strujama Pojave iskazane u opisanim eksperimentima, manifestuju se i u mnogim drugim situacijama, kao što su: međudjelovanje dva permanentna magneta, djelovanje zemljinog magnetnog polja na magnetnu iglu i slično. Sve te pojave imaju očigledno zajedničku karakteristiku u tome, da je evidentno prisutna modifikacija osobina tog prostora, zbog pojave djelovanja mehaničkom silom, na provodnike sa električnom strujom, ili na

9

permanentne magnete. U tom kontekstu se tom prostoru i pridružuje naziv magnetno polje. Za grafičko predočavanje karakteristika magnetnog polja, danas se uobičajno koristi vektor magnetne indukcije B , čije vektorske linije iskazuju neke osnovne osobine tog prostora. Linije vektora B su neprekidne usmjerene linije, zatvorene same u sebe, čija gustoća naglašava intenzitet vektora magnetne indukcije u pojedinim dijelovima analiziranog prostora. Na osnovu predočenih grafičkih prikaza eksperimentalne osnove, za utvrđivanje mehaničkog djelovanja između dva provodnika sa stalnim jednosmjernim strujama, ili pak između provodnika sa stalnom jednosmjernom strujom i permanentnog magneta (magnetna igla) (Ampère je pokazao da se djelovanje permanentnog magneta može uspješno ekvivalentirati i zbirnim djelovanjem velikog broja elementarnih strujnih kontura), proizilazi da se u bilo kojoj od tih varijanti pojavljuje i električni naboj u kretanju. U tom smislu, za pravilno integralnu analitičko interpretiranje pojava u magnetnom polju, korisno je prvo pokušati uspostaviti vezu između registrovanih mehaničkih sila i električnog naboja u kretanju. 7.1.1 Sila u magnetnom polju, okarakterisanom magnetnom indukcijom B, na

elementarni električni naboj q koji je u kretanju

Na osnovu opisanih eksperimenata, stalna jednosmjerna električna struja ima uticaj i na prostor, u okolini provodnika kroz koji ona protiče. Ona stvara magnetno polje, koje prožima ( ispunjava) prostor oko provodnika sa tom strujom. Ukoliko se u tom prostoru pojavi neko električno opterećenje q, koje se pri tome kreće srednjom brzinom v, tada će na to električno opterećenje djelovati sila Fq = q E + q v x B (7.1) koja je rezultat zbirnog djelovanja električnog polja E i magnetnog polja izraženog preko vektora B. Ovu relaciju je prvi postavio Lorentz (H.A. Lorentz (1853-1928)) pa se ona često spominje u literaturi kao Lorentzov izraz za silu. Sila definisana relacijom (7.1) ima očigledno dvije komponente. Prva njena komponenta je neovisna o brzini kojom se kreće naboj q, ukoliko su svi drugi naboji koji generišu električno polje E nepomični. Druga komponenta u rezultantnoj sili ovisi o brzini pomjeranja električnog naboja q, dakle o vektoru vrzine v, ali i o karakteristikama magnetnog polja izraženim preko vektora B. Ta komponenta sile je prostorno postavljena normalno na ravninu, koju određuju vektori v i B, pa se može zaključiti da uslijed te komponente sile ne dolazi do promjene intenziteta brzine kretanja električnog naboja q, nego samo do korekcija u putanji njegovog kretanja (otklanjanje na gore, ili pak na dole u odnosu na pravac vektora brzine v )

10

7.1.2 Magnetne sile na provodnik kroz koji protiče stalna jednosmjerna struja

Relacija (7.1) je osnova da se izvede i izraz za određivanje magnetne sile na provodnik, koji je smješten u magnetnom polju, okarakterisanom vektorom magnetne indukcije B , u uslovima kada kroz taj provodnik postoji stalna jednosmjerna struja I. U ranijim poglavljima je pokazano , relacija (6.10), da vektor gustine stalne jednosmjerne električne struje J , može biti izračunat pomoću izraza: J = N*· vs · e u kojem je sa N* označena zapreminska gustina pokretljivih električnih naboja, sa vs makroskopska srednja brzina njihovog pomjeranja, a sa e njihov pojedinačni električni naboj. Označi li se sa dV, zapremina elementarnog dijela provodnika dužine dl i poprečnog presjeka ds, tada na takav elementarni provodnik, ako se nađe u području magnetnog polja sa magnetnom indukcijom B , djeluje rezultantna magnetna sila: dF = N*· (dV) · dFq = N*· (dV) · q v x B (7.2) što uz uvažavanje q = e i v = vs omogućava da se relacija (7.2) transformiše u oblik (7.3), odnosno (7.4) dF = N*· (dV) · e v x B = N*· (dl ·ds) · e vs x B (7.3) dF = J · ds ·dl x B = I · dl x B (7.4) Ukupna sila F , kojoj je izložen provodnik dužine l u magnetnom polju indukcije B, određuje se sabiranjem elementarnih sila, definisanih sa relacijom (7.4), a uz uvažavanje pravila vektorskog računa, F = ∫ (I · dl x B ) (7.5) Posljednja relacija se u literaturi često označava kao Laplaceov izraz za određivanje magnetne sile na provodnik sa stalnom jednosmjernom strujom, kada se on nalazi unutar područja djelovanja magnetnog polja indukcije B (P. S. Laplace, francuski matematičar (1749-1827)). Uz pomoć ovog izraza, moguće je uspostaviti povezanost jedinice mjere za intenzitet magnetne indukcije – koja je nazvana «tesla» (T) ( Nikola Tesla (1856-1943)) i jedinica mjere za ostale fizikalne veličine unutar izraza (7.5). 1 T = N A-1m-1 Relacija (7.5) je veoma važan oblik međusobnog analitičkog povezivanja mehaničkih i električnih veličina sa magnetnim veličinama, pri čemu su sve te veličine podložne i direktnom mjerenju. U tom smislu intenzitet magnetne indukcije B može se tretirati i kao svojevrsni koeficijent proporcionalnosti između mehaničke sile i strujne konture sa stalnom

11

jednosmjernom električnom strujom I1, kojim se kvantitativno iskazuju osobine magnetnog polja. Sva složenost odnosa između električnih i magnetnih veličina vidi se ako posmatramo međusobno djelovanje, u formi mehaničke sile, između dvije strujne konture, sa stalnim jednosmjernim strujama I1 i I2 , kao što je to prikazano na slici broj 7.3

Slika broj 7.3 Magnetne sile između dvije strujne konture sa stalnim jednosmjernim

strujama I1 i I2

Amper je pokazao da se ukupna sila F12 , kojom strujna kontura C1, sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I1 , djeluje na strujnu konturu C2 sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I2 i obe se nalaze u vazduhu, može odrediti uz pomoć relacije (7.6) µo I1 d l1 x R

F12 = —— ∫2C

I2 d l2 x ( ∫1C

————— ) (7.6)

4π R2

Vektor odstojanja između strujnog elementa d l1 i strujnog elementa d l2 , prema slici 7.3 je vektor R = r2 – r1 = Ro ·R , kod kojeg je sa R označen moduo tog vektora, a sa Ro njegov jedinični vektor. Sličnim rasuđivanjem se može uspostaviti i relacija za određivanje sile F21 , kojom strujna kontura C2, sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I2 , djeluje na strujnu konturu C1 sa stalnom jednosmjernom električnom strujom I1, jasno kad su obe opet u vazduhu. I dok za integralne sile važi relacija F12 = F21 , kada se analizira samo odnos između sila na strujne elemente d l1 i d l2 , dakle sila d F12 i dF21 tada jednakost sila nije ispunjena. Na slici broj 7.4 prikazana je geometrijska procedura za određivanje magnetne sile između dva paralelna pravolinijska provodnika, opterećena stalnim jednosmjernim električnim strujama I1 i I2. Ovaj primjer je praktična implementacija Laplaceova izraza (7.5), ali i analitički opis efekata koji su prikazani na slici broj 7.2

12

Slika broj 7.4 Magnetne sile između dva paralelna pravolinijska provodnika, opterećena

stalnim jednosmjernim električnim strujama I1 i I2. Primjer 7.1 Polukružna provodna petlja prečnika 2a = 1 m, kroz koju se usmjerava stalna jednosmjernastruja I = 10 A, nalazi se u homogenom nagnetnom polju u vazduhu, koje karakteriše magnetna indukcija intenziteta B = 1,5 T. Odrediti ukupnu magnetnu silu, koja djeluje na tu konturu.

Rješenje: Ukupna magnetna sila, koja djeluje na ravnom djelu konture je F1

a a F1 = ∫ ((- I dx ) i x k B ) = j I B ∫ dx = 2 I a B j = 15 j N

-a -a

Ukupna magnetna sila na polukružni dio konture je F2 i iznosi: π π π

F2 = ∫ ((- I a dφ ) φo x k B ) = - I Ba ∫ r o dφ = - I Ba ∫ ( i cosφ + j sinφ) dφ 0 0 0

F2 = - 2 I a B j = -15 j N Prema tome ukupna sila koja djeluje na zatvorenu konturu je: F = F1 + F2 = 0

1

7.1.3 Moment magnetnog dipola. Mehanički moment na strujnu konturu smještenu

u stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B

Da bi se lakše uspostavila određena ekvivalencija između elektrostatskog polja i

stacionarnog magnetnog polja, korisno bi bilo i u stacionarnom magnetnom polju imati

veličinu, čija je uloga slična ulozi elementarnog električnog naboja q u elektrostatskom

polju.

Ideja o uvođenju magnetnih masa, ipak nije mogla udovoljiti takvim zahtjevima, jer bez

obzira na nivo fizičke diobe permanentnog magneta i njegove trenutačne dimenzije,

nakon takve diobe, uvijek se ponovo dobija permanentni magnet, ali samo manje

zapremine. Kako se na ovaj način, očigledno nije uspjeo izolirati ni sjeverni magnetni pol,

ni južni magnetni pol, nastavljeno je traganje za adekvatnim rješenjem prethodno

postavljenog cilja.

U tom smislu, prve dobre rezultate je pokazala ideja o uvođenju momenta magnetnog

dipola m, vektorske veličine definisane relacijom:

m = I · S = I · no · S (7.7)

U relaciji (7.7) simbol I označava stalnu jednosmjernu struju, uspostavljenu u strujnoj

konturi, koja ograničava površ S, za koju je jedinični vektor pozitivne normale, označen

sa no ( jedinični vektor pozitivne normale, u odnosu na zadatu površ S, je onaj vektor čiji

pravac i smjer, sa smjerom orjentacije granice površi S, uvažava pravilo desnog zavrtnja ).

Saglasno makroskopskom pristupu pri objašnjavanju magnetnih pojava, za elektron u

atomu vodonika, sa aspekta njegovog idealiziranog kretanja po kružnoj orbiti

poluprečnika r ≈ 0,53 !0-10

m i njegovog naelektrisanja e = -1,6022 ·10 -19

C , a uz

pretpostavku da se takvim kretanjem uspostavlja električna struja, I = e·f , gdje je

f = (ω / (2·π)), orbitalni magnetni moment iznosi: m = e · f · r2 · π = 1,414·10

-24 Am

2 .

Kada se zatvorena strujna kontura sa stalnom jednosmjernom strujom I nalazi u

homogenom magnetnom polju magnetne indukcije B, tada prema Laplasovom izrazu za

elektromagnetnu silu, na svaki njen strujni element (I · dl ) djeluje elementarna

mehanička sila d F = (I · dl ) x B . Uz uvažavanje dl = dr , prema slici broj (7.5)

elementarni moment ove sile dMMMM , u odnosu na proizvoljnu tačku O iznosi:

d MMMM = r x dF (7.8)

pri čemu je sa r označen vektor položaja napadne tačke sile dF u odnosu na tačku O.

Rezultantni moment MMMM svih elementarnih sila, koje djeluju na analiziranu strujnu konturu,

tada je:

MMMM = I ∫ r x (dr x B) = m x B (7.9)

S obzirom da prema izrazu (7.9) izračunati moment elektromagnetskih sila ne zavisi

eksplicitno od koordinata tačke O, dejstvo elektromagnetnih sila se svodi na čisti spreg

sila, koji ima tendenciju da zaokrene konturu i to tako da se vektor magnetnog momenta

strujne konture m, poklopi po pravcu i smjeru djelovanja sa vektorom magnetne

indukcije B, stranog homogenog magnetnog polja

2

Slika broj 7.5 Zatvorena strujna kontura sa stalnom jednosmjernom strujom I

Pri formiranju relacije (7.9), uz pomoć Teorije vektorskih polja, može se pokazati da je

(1/2) ∫ r x dr = S ,

gdje je sa S označen vektor površi, koja se oslanja na zatvorenu strujnu konturu sa slike

7.5.

Za jasnije razumjevanje djelovanja mehaničkog momenta na strujnu konturu, smještenu u

stacionarno magnetno polje, okarakterisano magnetnom indukcijom B, povoljno je

sagledati efekte opisane relacijom (7.9), na pravougaonu strujnu konturu, smještenu u

homogeno magnetno polje, magnetne indukcije B, kao što je to prikazano na slici broj 7.6

Slika broj 7.6 Pravougaona strujna kontura u homogenom magnetnom polju magnetne

indukcije B

Neka je kroz krutu pravougaonu strujnu konturu PQRS, sa slike 7.6, usmjerena stalna

jednosmjerna struja I, u smjeru PQRS i neka homogeno magnetno polje magnetne

indukcije B ima takav pravac i smjer da linije vektora B dolaze pod pravim uglom u

odnosu na stranice QR i SP dužine b.

U skladu sa izrazom Laplacea za određivanje magnetne sile na provodnik sa stalnom

jednosmjernom strujom I (7.5), lako se utvrđuje da sile koje djeluju na stranice PQ i RS,

dužine a, imaju isti intenzitet i pravac, a suprotan smjer, i nastoje razvući pravougaonu

konturu. Njihov intenzitet je određen relacijom: Fa = I·a·B·sin (lo,Bo ), a na slici 7.6

3

formalno su označene simbolima F3 i F4 ( lo i Bo su jedinični vektori strujnog elementa

Idl i vektora magnetne indukcije B respektivno ).

Sličnim rasuđivanjem, dolazi se i do zaključka, da na stranice QR i SP djeluju sile F1 i F2 ,

koje takođe imaju isti intenzitet, iznosa ( I · b · B ) (na ovom dijelu strujne konture,

jedinični vektori lo i Bo , međusobno su ortogonalni), ali im je pravac i smjer djelovanja

takav da obrazuju spreg sila, čiji je moment takav, da nastoji zarotirati konturu PQRS oko

z ose (napadne tačke sila F1 i F2 međusobno su očigledno pomjerene ). Ukoliko se

simbolom θ označi ugao, koji zaklapaju jedinični vektor pozitivne normale na strujnu

konturu PQRS no i jedinični vektor magnetne indukcije Bo, tada se intenzitet zakretnog

momenta, kojem se izlaže analizirana strujna kontura u opisanim uslovima, određuje

prema relaciji:

| d MMMM | = |r x dF | = a ·sin θ · I · b · B (7.10)

pri čemu je djelovanje zakretnog momenta takvo, da nastoji da dovede do podudaranja po

pravcu i smjeru, djelovanje vektora no i Bo . Uz uvažavanje činjenice da je površina

pravougaone konture PQRS S = a·b , kao i ranije uvedene definicije ugla θ, proizilazi da

je relacija (7.10) ništa drugo, do primjena izraza (7.8) i (7.9) na analizirani problem.

7.1.4 Hallov efekat

Edwin Herbert Hall (1855-1938), 1879 godine, je tokom provođenja eksperimenata sa

studentima Univerziteta u Baltimoru, uočio jednu do tada neregistriranu pojavu, koja

proizilazi iz sadejstva stacionarne električne struje, usmjeravane kroz tanku metalnu traku

i stranog stacionarnog magnetnog polja, unutar kojeg se takva traka nalazi. U znak

priznanja za pomenuto otkriće, u tehničkoj literaturi se danas uočena pojava, po pravilu

naziva Hallov efekat.

Da bi se što jednostavnije ilustrovao smisao Hallovog eksperimenta, na slici broj 7.7 je

prikazana odgovarajuća laboratorijska struktura, koja se sastoji od: idealnog naponskog

izvora sa naponom između stezaljki Vo , stranog magnetnog polja, okarakterisanog

vektorom magnetne indukcije Bo, metalna pločica od odgovarajućeg materijala

(monovalentni materijali, poput zlata, srebra, bakra, platine, natrijuma...), u obliku kvadra,

sa dimenzijama L, d, w , te vrlo preciznog instrumenta za mjerenje električnog napona,

idealnog voltmetra VH.

Nakon zatvaranja strujnog kruga na slici 7.7, u razmatranom električnom krugu se

uspostavlja stalna jednosmjerna struja intenziteta

Io = Jx · w · d = σ · Eo · w · d (7.11)

U skladu sa klasičnom elektronskom teorijom, na slobodne elektrone supstance, koji se

pomjeraju brzinom v , u skladu sa Lorentzovim izrazom za silu (7.1), djeluje

elektromagnetna sila (-e v x B ), potiskujući ih ka donjoj stranici metalnog kvadra,

površine (w · L).

4

Slika broj 7.7 Struktura za objašnjavanje Hallovog efekta (eksperimenta)

U opisanim uslovima, na donjoj osnovici kvadra se nagomilava negativan električni

naboj qe, dok na gornjoj stranici površine L·w nastaje povećana koncentracija pozitivnog

električnog naboja qp. Između ta dva sloja naelektrisanja, međusobno razmaknuta za

rastojanje d, tada djeluje elektrostatička sila : Fy = qp · Ey , odnosno (qe · Ey ) pri čemu je

vektor elektrostatskog polja Ey usmjeren od gornje stranice, površine (w·L), ka donjoj

stranici površine (w·L) .

Razdvajanje električnih naboja prestaje onog momenta, kada se uspostavi relacija:

-e · ( v x B ) – e · Ey = 0 (7.12)

koja omogućava da se, uz uvažavanje činjenice da su vektori v i B međusobno

ortogonalni, formiraju relacije:

Jx

Ey = v B → Ey · d = v ·B · d → VH = ——— · B · d (7.13)

e · N*

Simbolom VH (VH = Ey · d), predstavljen je električni napon između gornje i donje

stranice površine (L · w), Jx označava intenzitet vektora gustine stacionarne električne

struje ( Jx · w · d = Io ) uspostavljene u analiziranom primjeru, dok simboli N* i e

definišu zapreminsku gustinu električnih naboja, odnosno naelektrisanje jednog

električnog naboja (prema klasičnoj elektronskoj teoriji, električnu struju obrazuju

slobodni elektroni , odnosno elektroni provodnosti). Relacija (7.13) se može napisati i u

alternativnom obliku (7.14)

VH = kH · d · Jx · B (7.14)

u kojem je sa kH = 1/ (e N*) označena Hallova konstanta, odnosno Hallov koeficijent.

Kod metala Hallov koeficijent kH , ima malu vrijednost, jer je zapreminska gustina

električnih naboja u metalu velika.

Za monovalentne provodnika, elektroni su oslobođeni značajnijeg uticaja pozitivne

jonske rešetke, pa je slaganje eksperimentalnih rezultata sa odgovarajućim analitičkim

izrazima (7.14) tada posve zadovoljavajuće.

5

Međutim kod bivalentnih provodnika poput cinka, kadmijuma, berilijuma, postoji znatno

odstupanje između rezultata dobijenih kroz eksperiment i odgovarajućih pokazatelja

proisteklih iz analitičkih proračuna.

Ovo neslaganje ne može da objasni klasična elektronska teorija, ali može zonska teorija

elektrona, za čvrste materijale.

U tehničkoj praksi, Hallov efekat je osnova za niz vrlo korisnih aplikacija. Jedno od

takvih aplikacija je teslametar - uređaj za mjerenje intenziteta magnetne indukcije B

( određivanje intenziteta vektora magnetne indukcije B, vrši se na osnovu vrijednosti

izmjerenog Hallovog napona VH, između bočnih strana kvadra sa slike 7.7 ), a vrlo često

se uz pomoć Hallovog efekta određuju i pojedine relevantne karakteristike

poluprovodnika.

7.1.5 Kretanje električnog naboja u magnetnom polju, magnetne indukcija B

Uz upotrebu Lorentzovog izraza za silu ( 7.1), moguće je provesti i detaljniju analizu

kretanja električnog naboja q, koji se tokom kretanja brzinom v, nađe u istom trenutku i u

magnetnom polju, okarakterisanom magnetnom indukcijom B i u elektrostatskom polju,

okarakterisanom vektorom jačine elektrostatskog polja E. Takva analiza bez sumnje je

vrlo korisna, jer je u tehničkoj praksi i aktuelnim istraživačkim poduhvatima, upravljanje

kretanjem električnih naboja, pomoću električnog i magnetnog polja, široko

rasprostranjeno.

S obzirom da u početnom kretanju električnog naboja q, kada je njegova brzina kretanja

mala, dominantan uticaj ima komponenta elektromagnetne sile, koja je proporcionalna

vektoru jačine elektrostatskog polja E , te da pri porastu intenziteta vektora brzine v , sve

veći uticaj na tok kretanja električnog naboja, ima komponenta elektromagnetne sile koja

je proporcionalna vektoru ( v x B ), zahtjevana analiza uspostavljanja trajektorije

kretanja električnog naboja u opisanim uslovima, često se sagledava tako da se u prvoj

fazi odvojeno sagledava efekat djelovanje vektora E, od efekta djelovanja vektora B .

Tek nakon tako dobijenih rezultata, pristupa se integralnoj obradi problema

jednovremenog djelovanja i elektrostatskog polja i magnetnog polja.

U tom smislu, neka homogeno strano magnetno polje, okarakterisano vektorom magnetne

indukcije B , djeluje u pravcu i smjeru koji je kolinearan sa pravcem i smjerom vektora

početne brzine kretanja električnog naboja v . U takvim uslovima, komponenta

elektromagnetne sile proporcionalna vektoru ( v x B ) , jednaka je nuli, pa se električni

naboj kreće pravolinijski, po trajektoriji koju određuju samo karakteristike električnog

naboja (mq , q, vq ) i postojeće elektrostatsko polje E ( mada je i tada prisutno i strano

magnetno polje).

Nije ništa manje opravdano sagledati i drugi granični slučaj, dakle slučaj kada strano

homogeno magnetno polje, okarakterisano vektorom magnetne indukcije B , djeluje u

pravcu i smjeru, koji je upravo ortogonalan na pravac i smjer vektora početne brzine

kretanja električnog naboja v. Pri takvim uslovima, komponenta Lorentzove sile,

proporcionalna vektoru ( v x B ), ima maksimalan intenzitet, a djeluje tako da nastoji

otkloniti trajektoriju kretanja električnog naboja q, od pravolinijske trajektorije iz

prethodnog slučaja i nema uticaja na izmjenu njegove brzine. Obilježi li se sa r

poluprečnik krivine trajektorije električnog naboja, u opisanim uslovima je brzina vq

praktično tangencijalna brzina, pri kružnom kretanju, koje se uspostavlja uravnoteženjem

6

magnetne komponente u ukupnoj sili ( q·vq·B) i centripetalne sile: ( mq· (vq )2 · r

-1). Na

osnovu relacije (7.15)

( q·vq·B) = ( mq· (vq )2 · r -1) (7.15)

moguće je odrediti i poluprečnik r, tako uspostavljene kružne trajektorije kretanja

električnog naboja q: r = (mq · vq )(q · B)-1. S obzirom da je brzina pomjeranja električnog

naboja vq konstantna, za vrijeme T će električni naboj q obići cijelu kružnu putanju,

2 · π · r 2 · π · mq

T = ———— = ———— (7.16)

vq q ·B

Recipročna vrijednost vremena obilaska kružne putanje T označava se sa f i naziva

frekvencija kruženja ili učestanost kruženja. Ona je očigledno direktno proporcionalna

intenzitetu vektora magnetne indukcije, ali ne zavisi od brzine sa kojom električni naboj

ulazi u prisutno magnetno polje.

Slika broj 7.8 (a) Vektori v i B su ortogonalni; (b) Vektori v i B zaklapaju ugao Ө,

0 < Ө < π/2

Slučaj kada električni naboj q, ulazi u područje magnetnog polja indukcije B, sa brzinom

vq čiji vektor vq , sa vektorom magnetne indukcije B zaklapa ugao Ө , 0 < Ө < π/2, može

se proanalizirati i na slijedeći način.

Vektor brzine kretanja električnog naboja q , dakle vq , razloži se na dvije međusobno

ortogonalne komponente: vp kolinearnu sa vektorom B i vn ortogonalnu u odnosu na

vektor B . S obzirom da vektori vq i B zaklapaju međusobno ugao Ө, tada vrijede i

relacije : vp = vq cos Ө , vn = vq sinӨ

Sila koja djeluje na električni naboj u slučaju prikazanom na slici 7.8 (b) , određena je

relacijom: F = q ( vq x B ) = q ( vp + vn )x B = q ( vn ) x B , pa je poluprečnik kružne

trajektorije kretanja električnog naboja u ovom slučaju:

7

r = ( m · vq · sinӨ)(q · B )-1. (7.17)

S obzirom da sada postoji i komponenta brzine kretanja električnog naboja q u smjeru

vektora magnetne indukcije B, to je korak cilindrične spirale p, koju opiše električni

naboj q, tokom vremenskog intervala T, jednak:

p = ( 2 · π · mq · vq · cos Ө ) (q · B )-1 (7.18)

Promjenom intenziteta vektora magnetne indukcije B moguće je mjenjati i poluprečnik

kružne putanje r i korak cilindrične spirale p. Na slici broj 7.9, prikazani su slučajevi

konvergiranja električnog naboja ka pravolinijskoj putanji (naboj se kreće u smjeru

porasta intenziteta vektora magnetne indukcije B) i divergiranja električnog naboja od

pravolinijske putanje ( naboj se kreće nasuprot smjeru porasta intenziteta vektora

magnetne indukcije B).

Slika broj 7.9 Trajektorije kretanja električnog naboja u prostoru djelovanja vektora

magnetne indukcije B , čiji se intenzitet mijenja

U skladu sa Lorentzovim izrazom za silu (7.1), moguće je formirati i jednačine

dinamičkog kretanja električnog naboja q, iz kojih se analitički može rekonstruisati

trajektorija njegovog kretanja. Te jednačine su izražene relacijama (7.19) i (7.20):

d v

mq —— = qe · ( v x B ) + qe · E (7.19)

d t

Pri tome u vektorskoj diferencijalnoj jednačini I reda (7.19), promjenljiva veličina je

vektor brzine kretanja električnog naboja v , dok je u vektorskoj diferencijalnoj jednačini

II reda (7.20), promjenljiva veličina vektor položaja r , električnog naboja q

d 2 r dr

mq —— = qe · ( —— x B ) + qe · E (7.20)

d t 2

dt

8

Prethodni opis kretanja električnih naboja, koji se kreću brzinom v unutar prostora u

kojem djeluje i elektrostatsko polje (okarakterisano vektorom jačine elektrostatskog polja

E ) i magnetno polje (okarakterisano vektorom magnetne indukcije B ) dobra je osnova

za kompletnije razumjevanje kako tehnologije upravljanja trajektorijom kretanja

električnih naboja, tako i procesa ubrzavanja kretanja elementarnih električnih naboja u

posebnim napravama kao što su ciklotroni i betatroni (u ciklotronu elementarne čestice

dobijaju početno ubrzanje posredstvom električnog polja, a nakon toga se pomoću

magnetnog polja koriguje njena putanja - daje joj se kružni oblik, potom se pomoću

električnog polja čestica dodatno ubrzava, a onda opet podvrgava djelovanju magnetnog

polja i tako sve dok se ne ostvari željena brzina čestice. Za ciklotron je karakteristično da

se njegov rad zasniva na superpoziciji djelovanja električnog i magnetnog polja. Međutim

u betatronima se i ubrzavanje električnog naboja i iskrivljavanje njegove putanje odvija

kroz djelovanje jedinstvenog elektromagnetnog polja )

8 Magnetno polje proizvedeno strujom

U ovom poglavlju će se obraditi analitičke metode koje omogućavaju da se provedu

proračuni karakterističnih veličina magnetnog polja (vektora magnetne indukcije B,

vektora jačine magnetnog polja H, vektora magnetizacije M, magnetnog fluksa Ф), te

dati objašnjenje za uzroke različitog ponašanja pojedinih materijala, kada se izlože

djelovanju stranog magnetnog polja. Mada Biot – Savart - Laplace-ov zakon , zatim

Ampère-ov zakon u osnovnom i uopštenom obliku, te njima slične matematičke relacije,

otvaraju prostor samo za neophodne proračune magnetnih karakteristika određenih

geometrijskih oblika provodnika, sa stacionarnim strujama, njihovim pravilnim

razumjevanjem i tumačenjem mogu se ipak rješavati i drugi komplikovaniji problemi,

jasno ukoliko se koriste i aktuelni računarski algoritmi i pridružena im infrastruktura.

8.1 Biot- Savart- Laplace-ov zakon

Rješavanje problema određivanja magnetnih karakteristika magnetnog polja, nastalog

zbog proticanja stacionarne električne struje kroz provodnike smještene u tom području,

u prvoj fazi se zasnivalo na korištenju rezultata eksperimentalnih istraživanja, provedenih

uglavnom u vazduhu. Prve značajnije rezultate na tom polju, koji se respektuju u

tehničkoj literaturi i danas, ostvarili su Biot ( Jean Baptiste Biot, ( 1774-1862) francuski

fizičar ) i Savart ( Félix Savart (1791-1841) francuski fizičar). Oni su zaključili da je, u

slučaju veoma dugih žičanih provodnika, postavljenih u vazduhu, intenzitet

uspostavljenog magnetnog polja obrnuto proporcionalan, spram udaljenosti, računate od

tačaka u kojim se polje mjeri, do provodnika sa stacionarnom strujom, koji upravo

generiše to magnetno polje. Istovremeno su zaključili i da je u fiksiranoj tački prostora,

intenzitet magnetnog polja direktno proporcionalan intenzitetu stacionarne električne

struje, pod uslovom da provodnik sa tom strujom prostorno miruje. Njihov sunarodnjak

Pouillet ( Claude-Servais-Mathias Pouillet (1790-1868) francuski fizičar) je utvrdio da u

slučaju žičane, kružne, strujne konture, poluprečnika r , u centru te konture, postoji

direktna proporcionalnost magnetne indukcije B, stvorene stacionarnom strujom I i same

te struje,odnosno dužine konture l , kao i da je ta ista magnetna indukcija B , obrnuto

9

proporcionalna kvadratu poluprečnika te konture r, jasno kada je stacionarna struja

fiksiranog iznosa.

Vrijednosti koeficijenata proporcionalnosti k1 i k2 , koje su upotrebljavali Biote i Savart,

odnosno Pouillet, u odgovarajućim izrazima, tokom opisivanja rezultata vlastitih

eksperimenata:

I I· l

B = k1—— ; odnosno B = k2 ——

a r2

određeni su kasnije, uz korištenje rezultata istraživanja Ampèra. Tada je i utvrđeno da ti

koeficijenti iznose: k1 = µ /(2π) i k2 = µ /(4π).

Nastojeći poopštiti rješenje problema određivanja magnetne indukcije, za slučajeve

provodnika ma kakvog geometrijskog oblika, opterećenih stacionarnom električnom

strujom, Laplace je došao do sljedećih zaključaka:

1) Kada više permanentnih magneta, i/ili pak provodnika sa stacionarnim

električnim strujama, stvara vlastita magnetna polja u okolnom prostoru, tada se

rezultantno magnetno polje određuje sabiranjem njihovih pojedinačnih magnetnih

polja, po pravilima vektorskog računa. Pri tomu se svako pojedinačno magnetno

polje računa potpuno nazavisno, kao da nema djelovanja ostalih magnetnih polja.

2) Tokom određivanja magnetnog polja izolovanog provodnika, kroz koji se

usmjerava stacionarna električna struja, dozvoljeno je smatrati da magnetno polje

svakog strujnog elementa (I · dl ) nastaje nezavisno od djelovanja ostalih strujnih

elemenata razmatranog sistema. Ukupna magnetna indukcija, koju generiše

cjelokupan provodnik, tokom usmjeravanja stacionarne električne struje, jednaka

je zbiru elementarnih magnetnih indukcija, nastalih djelovanjem pojedinih

strujnih elemenata, pri čemu se zbir formira po pravilima vetorskog računa, jer je

magnetna indukcija vektorska veličina.

3) Elementarna magnetna indukcija dB, koju u tački P, smještenoj u vazduhu, stvara

strujni element (I · dl4’ 4 ), određena je relacijom (8.1)

I dl4’ x Ro

dBP = µo ————— (8.1)

4 · π · R2

u kojoj je sa R označeno najkrače rastojanje od sredine strujnog elementa pa do tačke P, a

sa Ro jedinični vektor pridružen tom rastojanju i usmjeren od strujnog elementa ka

okolnom prostoru. Kako i strujni element ( I ·dl4’ ) ima vektorsku prirodu, njegov smjer je

određen smjerom struje, koja se uspostavlja kroz provodnik, čiji je on dio.

Na slici broj 8.1 je dat jedan pristup pri grafičkoj interpretaciji odnosa iskazanih

relacijom (8.1).

10

Slika broj 8.1 Grafičke interpretacije odnosa definisanih relacijom (8.1)

U skladu sa pravilima vektorskog računa, vektor dBP je normalan na ravninu u kojoj se

nalaze vektori dl4’ i Ro , pri čemu vektori ( dl

4’ , Ro , dBP ) formiraju, u matematskom

smislu, desni trijedar.

Ukoliko se stacionarna električna struja izražava preko pripadnog joj vektora gustine

struje J , pridruženog strujnoj tubi poprečnog presjeka ds’ i dužine dl’, izraz (8.1) se tada

modificira u oblik, predočen sa relacijom (8.2)

µo J( r’) ds’dl^’ x Ro

dBP = —— · —————— (8.2)

4 ·π R2

Pri određivanju vrijednosti vektora magnetne indukcije u tački P, BP , treba objediniti sva

djelovanja iskazana relacijom (8.2), odnosno koristiti relaciju (8.3)

µo J( r’) x Ro dV’

BP = —— ∫V

—————— (8.3)

4 ·π R2

u kojoj je sa dV’označena elementarna zapremina analizirane strujne tube, dV’ = ds’dl^’.

Mada se kreacija relacije iskazane sa (8.1), odnosno sa (8.2), pripisuje Laplace-u, u

literaturi se ista vrlo često naziva, ili Biot-Savart-ov zakon, ili Biot-Savart-Laplace-ov

zakon.

11

8.2 Ampère-ov zakon u osnovnom obliku

Pri analizi provodnika sa stacionarnom električnom strujom, u mnogim slučajevima koji

su interesantni za tehničku praksu, vrijednost vektora magnetne indukcije B , može se

jednostavnije odrediti primjenom Ampère-ovog zakon u osnovnom obliku za određivanje

vektora magnetne indukcije B, nego kada se isti zadatak rješava korištenjem prethodno

opisanog Biot-Savart-Laplace-ovog zakona.

S obzirom da je tokom analize magnetnih pojava, vrlo često u upotrebi i Ampère-ov

zakon za izračunavanje sile između dvije strujne konture, onda je korisno naglašavati da

je ovdje riječ o Ampère-ovom zakonu za određivanje vrijednost vektora magnetne

indukcije B.

Ampère-ov zakon za određivanje vrijednosti vektora magnetne indukcije B glasi:

Cirkulacija vektora magnetne indukcije B, po zatvorenoj konturi C, smještenoj u vazduhu,

jednaka je algebarskom zbiru svih struja, koje prolaze provodnicima što su obuhvaćeni

konturom C , pomnoženom sa µo. Analitički se ovi odnosi iskazuju relacijom (8.4):

∫C

B · dl = µo Σ I = µo ∫S

J · ds (8.4)

Kontura C se treba orijentisati u smjeru njenog obilaska, tokom procesa integriranja.

Struje čiji smerovi sa orijentacijom konture C formiraju «desni zavrtanj», pri tome se

računaju sa predznakom plus, dok se strujama koje imaju drugačiji smjer, pridružuje znak

minus.

Amperov zakon se može iskazati i u alternativnom obliku, ako na relaciju (8.4)

primjenimo teoremu Stokes-a.

Prema teoremi Stokes-a ( Sir George Gabriel Stokes , irski matematičar i fizičar (1819-

1903)), cirkulaciju vektora magnetne indukcije po zatvorenoj konturi C, moguće je

izjednačiti sa fluksom rotora tog istog vektora, koji prodire kroz površ S, koja se oslanja

na konturu C, dakle važi :

∫C

B · dl = ∫S

(∇ x B ) · ds (8.5)

Na osnovu relacija (8.4) i (8.5), jednostavno se zaključuje da je:

rot B = (∇ x B ) = µo J (8.6)

što se u teoretskoj elektrotehnici označava kao diferencijalni oblik Ampère-ova zakona za

određivanje vrijednosti vektora magnetne indukcije B.

Primjer 8.1 Dat je veoma dugačak cilndrični provodnik poluprečnika a, kroz koji se

usmjerava stalna jednosmjerna električna struja I, sa smjerom kao na slici

broj 8.2. Odrediti analitičke izraze za promjenu intenziteta vektora

magnetne indukcije B, u funkciji odstojanja razmatranih tačaka od

aksijalne ose tog provodnika i to za slučajeve:

12

a) Intenzitet vektora gustine električne struje J je isti u svim tačkama

poprečnog presjeka provodnika

b) Intenzitet vektora gustine električne struje J se mijenja u tačkama

poprečnog presjeka provodnika prema zakonitosti J = K r

Rješenje: a) Na osnovu relacije ∫C

B · dl = µo ∫S

J · ds , slijedi da je za:

0 < r1 ≤ a

∫ππππ2

0

( Bφ φo ) · (φo r1 dφ ) = µo ∫S

J · ds =

I

µo ∫ππππ2

0

∫1

0

r

—— k · k r dr dφ = µo I1

π · a2

Sa I1 je označen onaj dio struje I, koji se usmjerava kroz poprečni presjek A1 = r12··π, koji

obuhvata kontura C1

I

Bφ · r1 ·2π = µo ———— π · r12 , 0 < r1 ≤ a

π · a2

Bφ · r2 ·2π = µo I , a < r2

Zbirno se može pisati da je vektor magnetne indukcije određen relacijama:

I

( µo ———— r ) φo , 0 < r ≤ a

2 π · a2

B = I

( µo ———— ) φo a < r

2 π · r

Na slici broj 8.2 grafički je prikazana promjena magnetne indukcije B, u funkciji

odstojanja analiziranih tačaka od aksijalne ose tog provodnika.

Pri riješavanju zadatka pod tačkom (b) treba uzeti u obzir da je u području: 0 < r ≤ a

∫C

B · dl = µo ∫S

J · ds = µo ∫ππππ2

0

∫a

0

K r · k · k · r ···· dr dφ = µo I ,

13

odakle slijedi da je:

K = 3 · I ·( 2·π·a3)-1,

Uz uvažavanje utvrđene vrijednosti za parametar K, intenzitet magnetne indukcije Bφ je:

Bφ · r1 ·2 π = µo ·3 ·I ·( 2·π·a3)-1

· ( 2 π · r 13 )/3 , 0 < r1 ≤ a

I

B = ( µo ———— r2 ) φo , 0 < r ≤ a

2· π ·a 3

I

B = ( µo ———— ) φo a < r

2 · π · r

Slika broj 8.2 Određivanje vektora magnetne indukcije B , kod veoma dugog

cilindričnog provodnika, poluprečnika a

1

8.3 Magnetni fluks, Gaussov zakon za magnetna polja Pod pojmom magnetnog fluksa podrazumjeva se fluks vektora magnetne indukcije B, definisan u skladu sa opštom matematičkom definicijom elementarnog fluksa neke vektorske funkcije B, kroz elementarnu površ ds dФ = B · ds (8.7) Saglasno relaciji (8.7), ukupni magnetni fluks kroz površ s, za koju je površ ds samo njen elementarni dio, određuje se prema relaciji (8.8) Ф = B

s∫ d s (8.8)

Elementarna površ ds ima prirodu vektora, jer je definisana relacijom ds = no · ds, u kojoj je sa no označen vektor jedinične normale na površ ds, određen u skladu sa pravilom desnog zavrtnja (dakle granicu površi ds, neku konturu C, treba orjentisati, ili u smjeru kazaljke na satu, ili u suprotnom smjeru, a potom odabrati smjer vektora no tako da on sa tom orjentacijom konture, formira desni zavrtanj). Magnetni fluks je po svojoj prirodi skalarna veličina, za koju je jedinica mjere definisana na osnovu slijedeće relacije: Wb = T · m2 i naziva se «veber» (Wilhelm E. Weber (1804-1891 ) je bio profesor fizike na Univerzitetu u Gőttingenu i zajedno sa Johan Karl Fridrich Gaussom (1777-1855), koji je bio profesor matematike na tom istom univerzitetu, dao je značajan doprinos u objašnjavanju prirode magnetnih pojava). S obzirom da su linije vektora magnetne indukcije B neprekidne linije zatvorene same u sebe, to je fluks vektora magnetne indukcije, kroz bilo koju zatvorenu površ jednak nuli (pod pojmom zatvorene površi podrazumjeva se površ koja obuhvata – dakle zaokružuje, određeni volumen) U tom smislu se formuliše i Gaussov zakon za magnetna polja, bilo u integralnoj formi iskazanoj relacijom (8.9):

S∫ B ·ds = 0 (8.9)

bilo u lokalnoj-diferencijalnoj formi (8.10) (prevođenje Gaussovog zakona iz integralne forme u diferencijalnu formu, moguće je ostvariti uz pomoć teoreme Gauss-Ostrogradski, koja se obrađuje u matematičkoj disciplini Teoriji vektorskih polja) div B = 0 (8.10) Relacija (8.10) poznata je i kao četvrta Maxwellova jednačina, u diferencijalnoj formi, kojom se posebno naglašava bezizvorna priroda magnetnog polja (dakle ona podcrtava da nema magnetnih masa u magnetnom polju. Elementarne Ampèrove struje, raspoređene unutar cijele materijalne sredine, osnova su magnetnih pojava u smislu reakcije materijalne sredine na djelovanje stranog magnetnog polja).

2

Integralni oblik Gaussovog zakona za magnetna polja, u literaturi se često naziva i zakonom o konzervaciji magnetnog fluksa. U tom smislu, slično kao što se u elektrostatici krivolinijski integral između zadatih tačaka A (x1,y1,z1) i B (x2,y2,z2), umjesto po zadatoj krivoj liniji lAB , može računati i po nekoj drugoj krivoj liniji l’AB , na kojoj je odnos vektora E i dl povoljniji za računanje, pri računanju magnetnog fluksa kroz neku površ s, koju ograničava zadata kontura C, moguće je umjesto računanja magnetnog fluksa kroz tu zadatu površ s, računati magnetni fluks i kroz neku drugu površ s’, na kojoj je odnos vektora B i no povoljniji za proračune nego na izvornoj-polaznoj-površi s. Pri tome se mora jedino poštivati ograničenje da i ta nova površ s’, za svoju granicu ima istu konturu C. 8.4 Određivanje rada elektromagnetnih sila pomoću magnetnog fluksa Ukoliko se provodna, zatvorena kruta kontura C, sa stalnom jednosmjernom strujom I, nalazi u magnetnom polju, okarakterisanom sa vektorom magnetne indukcije B , tada na svaki strujni element Idl te strujne konture, djeluje elementarna elektromagnetna sila dF, određena relacijom dF = (I dl x B ). Pod pretpostavkom da ta strujna kontura nije fiksirana u prostoru, pod djelovanjem elektromagnetne sile dF, ta kontura će poćeti da se pomjera, pa će elektromagnetna sila dF tokom pomjeraja strujnog elementa Idl , za dužinu dl1, izvršiti elementarni rad δA = dF · dl1 (8.11) Bez umanjenja opštosti, u tekućim analizama moguće je smatrati da se vektori B i dl , nalaze u xoy ravnini, zbog čega će sila dF djelovati u pravcu z ose Descartesovog pravouglog koordinatnog sistema. Lako se uočava da se relacija (8.11) može pisati i u obliku (8.12), dakle kao, δA = (I dl x B )· dl1 (8.12) Neka vektor dl1 , koji označava pravac i smjer pomjeranja strujnog elementa (I · dl) pod djelovanjem elektromagnetne sile dF, zaklapa sa vektorom te sile dF neki ugao α. S obzirom da se mješoviti vektorski proizvod (dl x B ) · dl1 lako može transformisati u oblik: ( dl1 x dl ) · B = B · (dl1 x dl ) = B · (dS) = δФ dolazi se do relacije, δФ = B · (dS), kojom se označava elementarni fluks vektora magnetne indukcije B , kroz elementarnu površ dS, koju prebriše strujni element I·dl, tokom svog prostornog pomjeranja za dužinu dl1 (u prethodnoj relaciji treba primjetiti da je vektorski proizvod: dl1 x dl = dS , ponovo vektor, ali takav da njegov intenzitet određuje površinu paralelograma, konstrisanog nad vektorima dl1 i dl kao matičnim stranicama tog paralelograma, pri čemu je smjer i pravac tog vektora, određen tako da vektori: dl1, dl i (dl1 x dl ) formiraju desni trijedar).

3

Nije teško primjetiti da je ugao α, između vektora dF i dl1 , podudaran sa uglom između vektora magnetne indukcije B i vektora jedinične normale n’o za elementarnu površ dS, prebrisanu tokom pomjeranja strujnog elementa. Vektor jedinične normale n’o za elementarnu površ dS, određen je prema pravilima vektorske algebre, relacijom: (dl1 x dl ) n’o = —————————— (dl1) (dl) sin ((dl1), (dl)) U skladu sa prethodnim zaključcima, rad elektromagnetne sile pri prostornom pomjeranju strujnog elementa Idl za dužinu dl1 , može se, umjesto na način iskazan relacijom (8.12), predstaviti i u alternativnom obliku δ A = (I dl x B ) · dl1 = (I · δФ ) (8.13) koji pokazuje da elementarni rad ima isti predznak, kao i elementarni fluks δФ. S obzirom da se razmatrana strujna kontura, može izdjeliti na vrlo veliki broj strujnih elemenata, ukupni rad elektromagnetne sile, koji se obavi tokom translatornog pomjeranja strujne konture C za dužinu dl1, jednak je zbiru elementarnih radova oblika (8.13), te se može pisati da je: d A = ∫ δA = I ∫

S

δФ = I · dФ (8.14)

gdje je simbol dФ upotrebljen za označavanje magnetnog fluksa kroz površ omotača cilindrične površi, formiranog tokom translatornog pomjeranja konture C, za dužinu dl1. Ako simbolom Ф1, označimo fluks vektora magnetne indukcije B, kroz konturu C u njenom početnom položaju, a simbolom Ф2 , fluks vektora magnetne indukcije B, kroz konturu C u njenom krajnjem položaju (dakle nakon što se ona translatorno pomjerila za odstojanje dl1), tada se na osnovu zakona o konzervaciji magnetnog fluksa, relacija (8.9), može pokazati da je: dФ = Ф2 - Ф1 (8.15) Relacije (8.13) i (8.15) omogućavaju da se izvede i nekoliko veoma važnih zaključaka koji potpomažu potpunijem razumjevanju analiziranih magnetnih pojava. U tom smislu, treba naglasiti pravilo da kada se kolo pomjera pod djelovanjem elektromagnetne sile, tada je rad tih sila pozitivan , pa je i priraštaj magnetnog fluksa dФ pozitivan, odnosno magnetni fluks se povećava. Dakle elektromagnetne sile djeluju tako da nastoje strujnu konturu postaviti u položaj u kojem ona zauzima maksimalni magnetni fluks. Tokom prethodnih analiza nijednom nismo uzeli u obzir djelovanje sopstvenog magnetnog fluksa, dakle magnetnog fluksa nastalog uslijed prolaska stalne jednosmjerne struje I, kroz zatvorenu provodnu konturu C. Zašto?

4

Odgovor na ovo pitanje relativno je jednostavan. Naime, ako kontura C, tokom svog prostornog pomjeranja ne mijenja oblik, što se i podrazumjeva zbog polazne pretpostavke da je ona kruta, tada taj sopstveni magnetni fluks ostaje konstantan u odnosu na strujnu konturu i tokom ostvarenog njenog translatornog pomjeranja (tokom pomjeranja ne mijenja se položaj između strujne konture i sopstvenog magnetnog fluksa jer on prati konturu - dakle pomjera se sa njom). Rad sila uzrokovan sopstvenim magnetnim fluksom jedank je nuli, jer tako nastale elektromagnetne sile ne nastoje pomjeriti konturu. Međutim ukoliko bi razmatrana kontura bila elastična, tada bi ona mogla mijenjati i svoj oblik, pod djelovanjem elektromagnetnih sila, pri čemu bi njihovo djelovanje bilo tako da bi one nastojale konturi obezbjediti oblik, pri kojem ona obuhvata maksimalanu površinu odnosno maksimalni magnetni fluks. U skladu sa matematičkim normama, moguće je dokazati da zatvorena kontura ograničava maksimalnu površinu, kada ta kontura poprimi kružni oblik. Ukoliko strujna kontura ima već kružni oblik, ili je pak pod djelovanjem elektromagnetnih sila poprimila kružni oblik, tada elektromagnetne sile i dalje naprežu tu strujnu konturu, nastojeći da je raskinu i da na taj način još više povećaju iznos obuhvaćenog magnetnog fluksa. 8.4.1 Određivanje elektromagnetnih sila pomoću magnetnog fluksa Pri translatornom pomjeranju strujne konture, unutar stranog magnetnog polja, rezultantna sila, F , pod čijim uticajem se ostvaruje pomjeranje te strujne konture u nekom pravcu l1 za dužinu dl1, obavlja mehanički rad dAF , određen relacijom: dAF = F ·dl1 = F · dl1 · cos ( Fo ,dl1o ) = Fl · dl1 (8.16) Pod pretpostavkom da je tokom ovog pomjeranja u strujnoj konturi bila uspostavljena stalna jednosmjerna struja I, te da je ostvareni priraštaj magnetnog fluksa, kroz prebrisanu površ, tokom predmetnog translatornog pomjeranja, dФ , tada je moguće na osnovu relacija (8.14) i (8.16) uspostaviti i relaciju: Fl · dl1 = I · dФ (8.17) Ova relacija otvara mogućnost za određivanje komponente elektromagnetne sile Fl , u pravcu generalizirane koordinate l1 . dФ Fl = I · ——— (8.18) dl1 Korisno je napomenuti da posljednja relacija ima i opštu važnost, pa se može koristiti i pri računanju elektromagnetne sile, koja nastaje i u uslovima kada se promjena magnetnog fluksa dešava uslijed nehomogene prirode magnetnog polja, odnosno kada je intenzitet vektora magnetne indukcije, funkcija prostornih koordinata, dakle B = B (x,y,z).

5

8.5 Magnetne osobine materijala Prethodna razmatranja magnetskih pojava, provođena su uglavnom u uslovima kada nije potencirana priroda medija, unutar kojih su se te pojave dešavale. S obzirom na usku povezanost kondukcionih struja i magnetnih pojava, po pravilu su analizirani primjeri, sadržavali određene provodne materijale (bakar), smještene u vazduhu, a tražene karakteristične fizičke veličine, poput magnetne sile, ili pak magnetne indukcije, računate su u pojedinim tačkama okolne vazdušne sredine. Ipak svako potpunije sagledavanje magnetnih pojava, nužno nalaže da se provjeri ima li i vrsta medija, unutar kojeg se dešava predmetni procesi, uticaj na njihove rezultate. U tom kontekstu prva saznanja, koja su trebala biti osnova za sveobuhvatan odgovor na takva pitanja, sticana su uglavnom kroz eksperimentalna istraživanja, da bi nakon toga tek uslijedili i pokušaji njihovog analitičkog opisivanja. Na slici broj 8.3 prikazan je svitak dužine 40 cm, unutrašnjeg poluprečnika 5 cm i vanjskog poluprečnika 20 cm, formiran od ravnomjerno i gusto raspoređenih zavojaka, kroz koje se usmjerava stalna jednosmjerna struja I. Zbog postavljenog cilja da se u središtu takvog svitka, obezbjedi magnetna indukcija iznosa od 3 T, potrebno je obezbjediti visoke vrijednosti stalne jednosmjerne struje, zbog čega izvori koji obezbjeđuju tu struju, trebaju raspolagati električnom snagom od oko 400 kW. U cilju odvođenja stvorene toplote, kroz uptrebljene provodnike, koji su u obliku šuplje cijevi, ostvaruje se cirkulacija od oko 2 litra vode u sekundi. Da bi se stekao osjećaj veličine uspostavljene magnetne indukcije u središtu ovakvog solenoida, treba napomenuti da je ta vrijednost oko 100 000 puta veća od intenziteta magnetnog polja Zemlje. Mada na rubovima prikazanog svitka intenzitet magnetne indukcije opadne gotovo na polovinu središnje vrijednosti, upravo na tim djelovima zavojnice djeluje najjača elektromagnetna sila, jer je tu prostorna promjena vrijednosti magnetne indukcije i najveća ( ∂ Bz / ∂ z maksimalno - pogledati izraz (8.18 )). Unošenjem u taj prostor uzoraka različitih materijala, ali jednake mase, opaža se da se materijali mogu razvrstati u tri globalne skupine: U prvoj skupini su materijali na koje elektromagnetna sila svitka djeluje ka gore, dakle nastoji da takav uzorak istjera iz unutrašnjosti svitka. Takvi su materijali voda (-0,22 N/kg), bakar (-0,026 N/kg ), olovo (- 0, 37 N/kg), grafit (-1,1 N/kg) pri čemu je u zagradi naznačen intenzitet elektromagnetne sile po jedinici mase, a znak minus naznačava da elektromagnetne sile nastoje istjerati uzorak iz solenoida. Druga grupa materijala, karakteristična je po tome što elektromagnetne sile, koje djeluju na njih, nastoje uvući uzorke tih materijala u unutrašnjost svitka. Takva svojstva opažena su kod natrija (+0,2 N/kg), aluminijuma (+0,17 N/kg), bakarnog sufata (+2,2 N/kg), a znak plus označava da je smjer djelovanja elektromagnetnoh sila suprotan u odnosu na prethodni slučaj. Treća grupa materijala ima slične osobine kao i druga grupa, ali je intenzitet djelovanja elektromagnetnih sila mnogo izraženiji. To najbolje ilustruju vrijednosti relevantnih pokazatelja koji su: za željezo (+4000 N/kg), a za magnetit (+ 1200 N/kg). Opisani efekti nisu ovisni o smjeru električne struje kroz svitak, jer se oni ponavljaju u istom obliku i ako se smjer električne struje kroz svitak promjeni.

6

Prva grupa materijal pripada klasi dijamagnetskih materijala. Kada se takvi materijali izlože djelovanju stranog magnetnog polja, tada njihova unutrašnja materijalna struktura reaguje tako, da se magnetni momenti ekvivalentnih Amperovih struja predmetnog materijala, usmjere na način da stvore vlastito magnetno polje, koje pokušava oslabiti strano magnetno polje.

Slika broj 8.3 Svitak koji omogućava obezbjeđivanje magnetne indukcije u svom

središtu u iznosu od 3 T, a na svojim rubovima vrijednosti (∂ Bz / ∂ z) od 17 T/m Druga grupa materijal pripada klasi paramagnetskih materijala. Kada se takvi materijali izlože djelovanju stranog magnetnog polja, tada njihova unutrašnja materijalna struktura reaguje tako, da se magnetni momenti ekvivalentnih Amperovih struja predmetnog materijala, usmjere na način da stvore vlastito magnetno polje, koje pokušava podržati strano magnetno polje. Treća grupa materijala pripada klasi feromagnetnih materijala, koji se fenomenološki ponašaju čak donekle slično kao i paramagnetni materijali, ali je nivo njihove reakcije, u smislu podržavanja djelovanja stranog magnetnog polja, kud i kamo izraženiji. Kako eksperimentalni uslovi za ostvarivanje ogleda kao na slici 8.3, nisu praktični za svakodnevnu upotrebu, umjesto razvrstavanja materijala po osnovu registrovanja uspostavljene elektromagnetne sile, koja se manifestuje pri njihovom unošenju u strano magnetno polje, uvedeni su drugi parametri za iskazivanje njihovih magnetnih osobina. U tom smislu ako, se sa BoM označi intenzitet magnetne indukcije u nekoj tački M, kada se svitak nalazi u vazduhu, a simbol BmM označava intenzitet magnetne indukcije u istoj tački prostora M, ali nakon što se takav svitak postavi na jezgro od odabranog materijala, tada odnos: ( BmM / BoM ) određuje relativnu magnetnu propustljivost tog materijala.

7

Relativna magnetna propustljivost materijala je bezdimenziona veličina, koja ovisno o magnetnim osobinama testiranog materijala, ima slijedeće osobine: Za dijamagnetne materijale, relativna magnetna propustljivost ima vrijednost neznatno manju od 1, (1 - ε < μd < 1 ), za paramagnetne materijale relativna magnetna propustljivost ima vrijednost neznatno veću od 1, ( 1 < μp < 1 + ε) , dok kod feromagnetnih materijala relativna magnetna propustljivost ima vrijednost mnogo veću od 1 ( μFe >> 1). U elektrotehnici se često koristi i veličina, izvedena iz vrijednosti relativne magnetne propustljivosti, pomoću relacije: χm = μr – 1, a koja se naziva magnetna susceptibilnost. S obzirom na njenu definiciju i prethodno navedene iznose za relativnu magnetnu propustljivost različitih materijala, u tabelama 1, 2 , su date vrijednosti magnetne susceptibilnosti za neke dijamagnetne i paramagnetne materijale. Tabela broj 8.1 Dijamagnetni materijal

Magnetna susceptibilnost

bizmut -16,0·10-5

srebro -2,64·10-5 bakar -1,00·10-5 voda -0,90·10-5 Tabela broj 8.2 Paramagnetni materijal

Magnetna susceptibilnost

platina +2,70·10-4

aluminijum +1,96·10-5 kiseonik +1,81·10-6 vazduh +0,36·10-6 Za feromagnetne materijale, koji imaju poseban značaj u elektrotehnici, relativna magnetna propustljivost nije konstantna veličina. Stoga se za magnetnu susceptibilnost feromagnetnih materijala i ne može formirati odgovarajuća tablična interpretacija u formi kao što je to učinjeno za dijamagnetike i paramagnetike. S obzirom da je u prethodnim razmatranjima, više puta naglašavano da se reakcija materijalnih sredina na djelovanje stranog magnetnog polja, veoma dobro izražava preko Amperovih mikrostruja, postavlja se pitanje je li moguče takve ocjene unijeti iu analitičke izraze koji opisuju pojave u različitim materijalnim sredinama kada se iste nalaze u stranom magnetnom polju. Sam magnetni moment elementarne strujne konture je nepraktičan zbog svoje monijaturne strukture. Međutim ukoliko se uvede neki prosječni pokazatelj stanja magnetnih momenata elementarnih strujnih kontura unutar nekog volumena, onda se situacija mijenja iz korjena. U tom smislu je i definisana nova vektorska veličina, vektor magnetizacije M , kao količnik sume magnetnih momenata smještenih unutar elementarnog volumena ∆V, i upravo iznosa tog elementarnog volumena ∆V.

8

( Σ m )u ∆V M = ————— (8.19) ∆V Jedinica mjere za intenzitet vektora magnetizacije je ( A/m ).Vektor magnetizacije se može tumačiti i kao zapreminska gustina magnetnih momenata. U tom smislu moguće je pokazati da se algebarska suma Amperovih struja, ΣimA , obuhvaćenih zatvorenom konturom C, unutar koje se našla i neka materijalna sredina, može povezati sa vektorom magnetizacije M , pomoću relacije: ΣimA = ∫

C

M · dl (8.20)

Slika broj 8.4 Tanak sloj jednoliko namagnećenog materijala, sa vektorom magnetizacije

koji je okomit na gornju površinu tog materijala, u smislu stvaranja vanjskog magnetnog polja ponaša se isto kao i strujna traka koja ograničava tu površinu

9

Posljednja relacija otvara prostor da se pristupi poopštenju Amperovog zakona tako da on važi ne samo za vakum (odnosno vazduh) nego za bilo koju materijalnu sredinu. Na slici broj 8.4 prikazana je geneza formiranja relacije (8.20). Nije teško uočiti da važi relacija M · dl = M dz, jer je u važnosti i relacija dz = dl (cos (Mo, dlo )). U skladu sa tretmanom tankog sloja jednoliko namagnećene materije, koji je ilustrovan na lijevom dijelu slike 8.4, moguće je uvažavati i znatno deblji sloj istog materijala poput onog što je prikazan na desnom dijelu slike 8.4. Relacija (8.20) otvara također i prostor da se pristupi poopštenju Amperovog zakona, sa ciljem da on važi ne samo za vakum (odnosno vazduh) nego i za bilo koju drugu materijalnu sredinu. 8.6 Uopšteni oblik Ampèrovog zakona Prema osnovnom obliku Ampèrovog zakona, čija važnost je ograničena na vakum, odnosno vazduh, uspostavljena je veza između cirkulacije (kruženja) vektora magnetne indukcije B, po zatvorenoj konturi C i algebarske sume konduktivnih struja, usmjerenih kroz provodnike, koji su obuhvaćeni tom istom konturom C. ∫

C

B · dl = μo ( Σ i )unutar C (8.21)

Kada se analizira naznačena veza u nekoj drugoj materijalnoj sredini, tada je neophodno uzeti u obzir i reakciju te sredine, na postojeće okolnosti. Reakciju sredine na djelovanje stranog magnetnog polja najpšovoljnije je uvažavati preko Ampèrovih mikro struja, obuhvaćenih tom istom konturom ( ΣimA )unutar C . Proširivanjem relacije (8.21) sa tim Ampèrovim mikro strujama, formira se relacija (8.22). ∫

C

B · dl = μo (( Σ i )unutar C + ( ΣimA )unutar C ) (8.22)

Kombinovanjem relacija (8.20) i (8.22) dobijaju se relacije (8.23) i (8.24): ∫

C

B · dl = μo (( Σ i )unutar C + ∫C

M · dl ) (8.23 )

∫

C

(B / μo – M )· dl = (( Σ i )unutar C (8.24)

Uvede li se novi vektor , vektor jačine magnetnog polja H, H = (B / μo – M ) , tada se relacija (8.24) može pisati i u obliku (8.25) koji se naziva Ampèrov zakon u uopštenom obliku, jer važi za bilo koju materijalnu sredinu. ∫

C

H· dl = (( Σ i )unutar C (8.25)

10

Na osnovu prethodno izloženog rasuđivanja proizilazi da je i u magnetnom polju, za sveobuhvatnije sagledavanje tehnički interesantnih problema, povoljno uvesti tri vektora , vektore B, M i H međusobno povezane relacijom H = (B / μo – M ) ( slično kao što su u elektrostatici uvedeni vektori E, D i P i povezani relacijom D = εo E + P ) . 8.7 Karakteristike feromagnetnih materijala

1

8.7 Karakteristike feromagnetnih materijala Feromagnetni materijali (gvožđe (Fe), nikl (Ni), kobalt (Co) i njihove legure ) imaju poseban značaj u elektrotehnici, uglavnom zbog svoje sposobnosti da obezbjede veliku zapreminsku gustinu magnetne energije. Pored već istaknute njihove osobine , da im je magnetna propustljivost μ >> μo , oni se odlikuju i zavisnošću magnetne propustljivosti ne samo od intenziteta vektora jačine magnetnog polja μ = μ (H), nego i od ranijeg magnetnog stanja analiziranog uzorka feromagnetnog materijala. Eksperimentalno se može pokazati da magnetna indukcija B, može poprimiti različite vrijednosti i pri istim iznosima intenziteta jačine magnetnog polja H, ukoliko je način uspostavljanja magnetnog polja H, ili pak prethodno stanje analiziranog feromagnetnog materijala različito. S tim u vezi očigledno postoji problem jednoznačnog određivanja promjene magnetne propustljivosti μ = μ (H). Ukoliko je odabrani feromagnetni materijal bio potpuno razmagnetisan, tada će se prema grafikonu sa slike 8.4, pri povećanju jačine stranog magnetnog polja H, od vrijednosti nula, pa do vrijednosti H1 , pripadajuća vrijednost magnetne indukcije dosta brzo mijenjati od vrijednosti nula pa do vrijednosti B1 (Amperove mikrostruje se orjentišu tako da vlastitim poljem, podržavaju strano magnetno polje) . Nakon toga slijedi područje unutar kojeg je znatno manja strmina porasta magnetne indukcije B (većina Amperovih mikrostruja se već ranije orjentisala tako da vlastitim poljem podržava strano magnetno polje, pa je posljedica ovakvog efekta znatno manje izražena). Konačno, slijedi područje u kojem je strmina porasta magnetne indukcije B tako blaga da je gotovo identična kao u vazduhu i to područje se naziva područjem zasićenja. Kriva OD1 naziva se i krivom prvobitnog magnećenja. Nakon što se dospije u tačku D1 , ukoliko se poćne smanjivati intenzitet jačine magnetnog polja H, tada se kriva magnećenja B (H) formira iznad krive prvobitnog magnećenja. Kada jačina magnetnog polja opadne na nulti iznos, primjećuje se da magnetna indukcija raspolaže vrijednošću Br , koja se naziva remanentna (zaostala ) indukcija (ova pojava pokazuje da su elementarne Amperove mikrostruje održale određeni nivo usmjerenosti nastale poosnovu djelovanja stranog magnetnog polja). Da bi se registrovana magnetna indukcija svela na nulti iznos, neophodno je uspostaviti strano magnetno polje H suprotnog smjera djelovanja do vrijednosti – Hc . spomenuta vrijednost jačine magnetnog polja - Hc , pri kojoj magnetna indukcija poprima vrijednost nula, dakle Bc = f ( Hc ) = 0, naziva se koercitivna sila. Daljnjim snižavanjem vrijednosti jačine magnetnog polja H do vrijednosti, - Hm, koja je po apsolutnom iznosu jednaka vrijednosti jačine magnetnog polja pri kojoj se ostvarila vrijednost magnetne indukcije BD1 , indukcija dobija negativnu vrijednost, koja odgovara vrijednosti magnetne indukcije u tački C1. Na slici 8.4 se jasno vidi da ponovnim povećavanjem jačine magnetnog polja preko skupa vrijednosti definisanih razmakom [-Hm , Hm] nastaje kriva prikazana skupom tačaka između tačke C1 i tačke D2 , nakon čega se za isti opseg promjena vrijednosti magnetnog polja H, formira dio krive linije linije D2 C2 , potom dio C2 D3 .......... Opisanim postupkom, formira se kriva linija, koja pokazuje da na novonastalu vrijednost magnetne indukcije B, pored trenutne vrijednosti uspostavljenog stranog magnetnog polja H bitan uticaj ima i prethodno stanje magnetnog kola, odnosno prethodna vrijednost

2

Slika broj 8.4 Prvobitna kriva magnećenja i tok uspostavljanja histerezisnog ciklusa za

feromagnetni materijal dostignute magnetne indukcije B. Nakon desetak ciklusa promjene jačine magnetnog polja H u dijapazonu: 0, Hm , 0, - Hm , uspostavlja se stabilna histerezisna petlja, kakva je prikazana na slici 8.5, pomoću krive linije koja spaja tačke C, Hc , D, - Hc , C. Ukoliko se opseg promjena jačine magnetnog polja reducira na razmak [-H’m , H’m], pri čemu je H’m < Hm , tada će se opisati histerezisni ciklus naći unutar histerezisnog ciklusa koji se uspostavlja tokom promjena jačine magnetnog polja, preko skupa vrijednosti definisanih razmakom [- Hm , Hm] . Spajanjem vrhova, ovako uspostavljenih histerezisnih ciklusa, formira se osnovna kriva magnećenja, koja je na slici 8.5 predočena krivom OD. Osnovna kriva magnećenja feromagnetnog materijala, u osnovi je nešto grublji način grafičkog opisivanja nelinearnih osobina feromagnetnog materijala. Međutim i ovakav pristup, još uvijek izražava jednoznačno i dovoljno dobro, osnovne karakteristike feromagnetika , zbog čega se koristi i za određivanje apsolutne vrijednosti magnetne propustljivosti feromagnetika μ = (Ba / Ha ) (simbol a u indeksaciji veličina, asocira da se uzimaju vrijednosti amplituda magnetne indukcije i jačine magnetnog polja sa osnovne krije magnećenja). Za kobalt relativna magnetna permeabilnost iznosi, μCo = 250, za nikl, μNi = 600, a za željezo μFe = 6 000 (stepen čistoće željeza kakav se koristi za električne mašine je oko 99,6%). Ukoliko se ostvari daljnja eliminacija primjesa, u prvom redu ugljika, i postigne čistoća željeza nivoa 99,96 %, tada se može postići i relativna magnetna propustljivost od oko 280 000. Legiranjem željeza sa niklom ostvaruje se relativna magnetna propustljivost od oko 70 000 ( permalloy, legura od 78,5% Fe i 21,5 % Ni ) ili pak od gotovo 1 000 000 (supermalloy, legura od 79% Ni, 15% Fe, 5% Mo, 0,5% Mn ).

3

Pored apsolutne vrijednosti magnetne propustljivosti, za feromagnetne materijale se može definisati, na osnovu pripadajućeg histerezisnog ciklusa, takođe i diferencijalna magnetna propustljivost μd = dB / dH , zatim inkrementalna magnetna propustljivost μ∆ = (∆B) /(∆ H).

Slika broj 8.5 Tok uspostavljanja histerezisnog ciklusa za različite dijapazone promjene

jačine magnetnog polja H i osnovna kriva magnećenja izvedena iz tih ciklusa

Magnetne osobine feromagnetika su veoma ovisne o apsolutnoj vrijednosti temeperature feromagnetika. Pri temperaturi apsolutne nule feromagnetik dolazi u stanje apsolutnog zasićenja. Porast temperature feromagnetika otežava usmjeravanje Amperovih mikrostruja, tako da pri temperaturi, koja se naziva Curie-va temperatura, feromagnetik praktično poprima, u magnetnom smislu, osobine paramagnetika. Curie-va temperatura za željezo iznosi oko 770 º C, za nikl oko 360 º C, a za kobalt oko 1120 º C (Pierre Curie (1859-1906) francuski fizičar, koji je otkrio navedenu krakterističnu temperaturu za feromagnetik 1895 godine. Sa suprugom Marie Curie dobio 1903. Nobelovu nagradu za pronalazak radiuma i polonijuma).

4

8.7.1 Gubitci uslijed pojave histerezisa Tokom opisivanja histerezisnog ciklusa, feromagnetni materijal se zagrijava, po osnovu pretvaranja dijela dovedene električne energije za obezbjeđivanje željene vrijednosti jačine magnetnog polja, u toplotu. Kvantitativne odnose ovih energetskih transformacija, moguće je iskazati na slijedeći način. Neka je magnetni materijal formiran u obliku torusa , srednje linije l i poprečnog presjeka s. Na ovakav torus ravnomjerno i gusto je raspoređeno N zavojaka tanke žice, kroz koju se usmjerava stalna jednosmjerna struja I. Tokom promjene ulančanog fluksa NФ, koji je ulančen sa namotajem na torusu, za iznos NdФ, iz vanjskih energetskih resursa se angažuje energija dW, dW = I · dΨ = I · N · dФ (8.26) Angažovana energija za ovu namjenu, po jedinici zapremine, može se odrediti pomoću relacije, dW NI Ф —— = —— · d ( —— ) = H· dB (8.27) l·s l s Prema slici 8.6 ova energija je određena površinom krivolinijskog trapeza visine dB i srednje linije H.

Slika broj 8.6 Grafički prikaz gubitaka u feromagnetiku, uslijed postojanja histerezisnog

ciklusa Tokom porasta jačine magnetnog polja od vrijednosti – Hm , pa do vrijednosti Hm , magnetna indukcija također raste od vrijednosti – Bm , pa do Bm . U tom procesu, obavlja se električni rad po jedinici zapremine analiziranog feromagnetika, koji je proporcionalan

5

površini koju ograničavaju pravci B = - Bm, B = Bm , H = 0, i kriva H (B). Dio te površine, između tačaka C-G-L je negativan ( jer je H < 0, a dB > 0 ), dok je dio te površine između tačaka L-D-E pozitivan ( jer je H > 0 i dB > 0 ). Slično tome, nakon što se dostigne maksimalna vrijednost magnetne indukcije u tački D, te počne jačina magnetnog polja H smanjivati sa vrijednosti Hm prvo ka vrijednosti H = 0, a potom i dalje ka vrijednosti - Hm , površina ograničena pravcima B = Bm, B = - Bm , H = 0, te krivom H (B) ponovo ima dva dijela dio, D-E-K koji je negativan ( jer je dB < 0, a H > 0 ) i dio K-C-G koji je pozitivan ( jer je H < 0, a dB < 0 ). Sabiranjem tih površina ostaje površina ograničena krivom H(B) koja prolazi kroz tačke D-K-C-L-D i koja ima pozitivnu vrijednost. Električni rad koji ima pozitivnu vrijednost obavlja se na račun vanjskih energetskih resursa i ta energija se pretvara u toplotu. Stoga se feromagnetik zbog postojanja histerezisnog ciklusa zagrijava tokom provođenja postupka magnećenja. Gubici električne energije, tokom jednog histerezisnog ciklusa proporcionalni su površini koju ograničava petlja histerezisa. U skladu sa tom činjenicom, u aplikacijama gdje se stalno ponavljaju ciklusi magnećenja (periodički promjenljiva magnetna polja), povoljno je da upotrebljeni feromagnetni materijali imaju usku petlju histerezisa. Takvi feromagnetni materijali, nazivaju se mekim feromagnetnim materijalima (soft feromagnetics) i koriste se za transformatorska jezgra energetskih transformatora , te izradu magnetnih kola obrtnih električnih mašina. Feromagnetni materijali sa širokom petljom histerezisa (raspolažu sa velikim iznosom koercitivne sile Hc ), teško se mogu razmagnetisati djelovanjem stranog magnetnog polja i uglavnom imaju primjenu kod permanentnih magneta. Nazivaju se tvrdim feromagnetnim materijalima (hard feromagnetics). Pored gubitaka električne energije uslijed histerezisnog efekta, u aplikacijama gdje se koriste periodički promjenljiva magnetna polja, u tijelu feromagnetika se pojavljuju i vrtložne struje (ove struje imaju svoj uzrok u Faraday-evom zakonu elektromagnetne indukcije). Da bi se umanjili efekti gubitaka uslijed postojanja vrtložnih struja, kod uređaja što rade na industrijskim frekvencijama (50-60 Hz), feromagnetna jezgra se prave od tankih limova (debljina manja od 1mm) Za visokofrekventna magnetna kola, takav pristup u ograničenju intenziteta vrtložnih struja nije dovoljan, pa se magnetna kola za ovakve namjene koriste od posebnih materijala - ferita. Feriti se formiraju mješanjem feromagnetne «prašine» i «prašine» od keramičkih materijala, pošto je električna vodljivost keramičkih materijala vrlo mala ( feriti imaju električnu vodljivost reda 10-4 Sm-1 , dok je električna vodljivost feromagnetika 107 Sm-1 ). U pokušaju da se objasni priroda magnećenja feromagnetika, kada se taj proces posmatra sa makroskopskog stanovišta, često se koristi teorija Weiss-ovih domena (Pierre Ernst Weiss (1865-1940) francuski fizičar). U skladu sa teorijom Weiss-ovih domena postoje područja veličine 10-12 do 10-18 m3

unutar kojih se nalazi od 1017 do 1011 atoma koji su u osnovi sličnog magnetnog djelovanja. Međutim unutar materije statistička magnetna usmjerenost takvih područja –domena je jednako vjerovatna u svim pravcima i smjerovima. Međutim kada se izloži djelovanju stranog magnetnog polja domeni koji imaju magnetno usmjerenje kao i strano magnetno polje se povećavaju na račun drugih domena, na način kako to prikazuje slika broj 8.7.

6

Slika broj 8.7 Promjena veličine magnetnih domena u funkciji intenziteta stranog

magnetnog polja H Kada nastupi magnetno zasićenje feromagnetnog materijala, tada su svi elementarni Weiss-ovi domeni, usmjereni kao i strano magnetno polje. 9. Osnovni magnetni krugovi.Analogija sa električnim krugovima Magnetni krug je skup materijalnih tijela ili sredina, kroz koje se usmjerava i zatvara magnetni fluks. Na sličan način kao što u osnovnom električnom krugu, pored izvora električne energije, (koji je predstavljen u formi naponskog generatora, ili pak u formi strujnog generatora ), te uspostavljene električne struje, postoji još i električni otpor tog električnog kruga, kojim se ograničava intenzitet uspostavljene električne struje i u osnovnom magnetnom krugu uvedene su tri osnovne veličine za opisivanje stanja tog kruga. Te tri karakteristične veličine su: magnetni fluks (ekvivalent električne struje u električnom krugu), magnetnomotorna sila, ili magnetnopobudna sila ( ekvivalent izvora električne energije u električnom krugu) te magnetni otpor magnetnog kruga (ekvivalent električnog otpora u električnom krugu). Međusobni odnosi između navedenih relevantnih veličina magnetnog kruga uređeni su relacijom koja se često naziva Ohmovim zakonom za magnetni krug. Na slici broj 9.1 prikazan je svitak od N zavojaka, kroz koji se usmjerava stalna jednosmjerna struja I. U tom kolu se pod elementarnom tubom magnetnog fluksa, podrazumjeva oblast ograničena linijama vektora magnetne indukcije, unutar koje je iznos magnetnog fluksa stalan, i kod koje je poprečni presjek tube mnogo manji od njene dužine.

7

Slika broj 9.1 Elementarni magnetni krug, realizovan u formi svitka sa N zavojaka, kroz

koje se usmjerava stalna jednosmjerna struja I U skladu sa Ampèrovim zakonom u opštem obliku, za analizirani magnetni krug važi relacija, ∫

C

H · dl = N I (9.1)

Pod pretpostavkom da se razmatrani svitak nalazi u izotropnoj sredini, vektor magnetne indukcije B je kolinearan sa vektorom jačine magnetnog polja H , te se oba ta vektora pružaju duž tangente povučene na osovinu odabrane elementarne tube. Magnetni fluks, računat kroz poprečni presjek elementarne tube, koji je normalan na njenu osovinu, pod prethodno uvedenim ograničenjima može se odrediti pomoću relacije, dФ = B · dS = μ · H · dS (9.2) Na osnovu relacije (9.2), moguće je intenzitet vektora jačine magnetnog polja H izraziti i u obliku (9.3) dФ H = ——— (9.3) μ · dS što nakon uvrštenja u relaciju (9.1), rezultira u oblik definisan sa (9.4) ∫

C

( (dФ ) / ( μ · dS) ) · dl = N I (9.4)

U skladu sa definicijom strujne tube, fluks dФ je konstantnog iznosa u svim dijelovima strujne tube, pa se kao konstanta može izvući ispred znaka integrala, nakon čega se relacija (9.4) transformiše u relaciju (9.5), odnosno (9.6)

8

dФ · ∫

C

( (dl ) / ( μ · dS) ) = N I (9.5)

N I dФ = ————————— (9.6) ∫

C

( (dl ) / ( μ · dS) )

Izraz u nazivniku posljednje relacije, određuje magnetni otpor analiziranog magnetnog kruga i dovoljno je tačan kada se koristi za magnetne krugove, čiji je poprečni presjek mnogo manji od dužine njegove srednje linije. Bez obzira na uočljivu sličnost relacije, kojom su definisani elementarni odnosi između karakterističnih veličina osnovnog električnog kruga, sa relacijom putem koje su definisani odnosi između karakterističnih veličina osnovnog magnetnog kruga, između ovih krugova postoje i stanovite razlike. Naime kod električnih krugova je odnos električne otpornosti sredine, kroz koju se usmjerava električna struja, spram električne otpornosti sredine, što okružuje sredinu kroz koju se kanališe električna struja, takav da sama egzistencija izvora električne energije, odnosno njegova elektromotorna sila, nije dovoljan uslov za uspostavljanje električne struje ( struji se mora obezbjediti zatvorena putanja kroz sredinu konačne električne otpornosti). S druge strane kod magnetnih krugova, magnetni otpor sredine kroz koju se namjenski organizira usmjeravanje magnetnog fluksa, u odnosu na magnetni otpor sredine koji okružuje tu ciljanu putanju za fluks, mnogo je manje različit no što je to slučaj kod električnih krugova. Ovaj podatak, uz činjenicu da i vazduh, ili bilo koja druga materijalna sredina, posjeduje konačnu vrijednost magnetne propustljivosti, pa samim tim i konačnu vrijednost magnetnog otpora, omogućava zaključak da kod magnetnih krugova svako postojanje magnetomotorne sile, NI ≠ 0, znači i da će se uspostaviti magnetni fluks kroz neku zatvorenu putanju u tom prostoru. 9.1 Proračuni složenijih magnetnih krugova Magnetni krugovi najčešće nisu tako jednostavni, da se mogu odmah svesti na osnovni magnetni krug i potom analizirati pomoću ranije uspostavljenih jednačina. Stoga su u upotrebi relacije za definisanje odnosa između karakterističnih veličina, razgranatih magnetnih krugova, koje nalikuje na Kirchhoffove zakone za električne krugove. U tom smislu za svako čvorište magnetnog kruga u kojem se susreće tri ili više grana magnetnog kruga važi relacija da je algebarska suma magnetnih flukseva koji dolaze ili odlaze iz tog čvorišta jednaka nuli, dakle: ∑ Фk = 0 (9.7) Pri tome ukoliko je broj čvorišta u analiziranom magnetnom krugu nč , tada se prema zakonitostima formulisanim relacijom (9.7), može formirati (nč -1) jednačina.

9

Slično tome za svaku zatvorenu putanju, po kojoj se mogu kanalisati magnetni fluksevi, uspostavlja se i relacija slična II Kirchhoffovom zakonu, dakle relacija oblika (9.8) n n ∑ Fk = ∑ Фk Rmk (9.8) k = 1 k = 1 Pod pretpostavkom da je broj nepoznatih flukseva n , tada se prema relaciji (9.8) formira preostalih, n - (nč -1), jednačina. 9.2 Granični uslovi na dodiru dvije linearne, izotropne i homogene magnetne

sredine Slično kao što je to pokazano u elektrostatici, pri određivanju graničnih uslova kojima se podvrgavaju vektori E i D na dodiru dvije linearne, izotropne i homogene dielektrične sredine, moguće je uspostaviti i granične uslove kojima se podvrgavaju vektori H i B na dodiru dvije linearne, izotropne i homogene magnetne sredine. Pošavši od primjene uopštenog oblika Amperovog zakona, na granicu dodira dvije linearne, izotropne i homogene magnetne sredine, uz oznake sa slike broj 9.2 moguće je pokazati da mora važiti odnos: H1t = H2t . Potom koristeći Gaussov zakon za magnetna kola na istoj graničnoj oblasti, dolazi se i do drugog graničnog uslova, po kojem je : B1n = B2n

Slika broj 9.2 Granični uslovi na dodiru dvije homogene, linearne i izotropne magnetne

sredine, magnetnih propustljivosti μ1 i μ2

10

10. Električna i magnetna polja koja su promjenljiva u vremenu Nakon što je razjašnjena veza između proticanja stalne jednosmjerne struje kroz provodnik i uspostavljanja stacionarnog magnetnog polja u okolini tog provodnika, traganje istraživača je fokusirano na ispitivanje da li je moguć i obrnuti proces, to jeste da se pomoću magnetnog polja generiše električna struja. U tom pravcu, prve cjelovite rezultate vlastitog uspješnog istraživanja, objavio je Michael Faraday 1831. godine, na zasjedanju Britanskog kraljevskog društva. Prezentirajući tada rezultate svoga višegodišnjeg istraživanja, baziranog uglavnom na eksperimentima, Fraday je javno pokazao kako se pomoću magnetnog polja može proizvesti električna struja. 10.1 Faraday-ev zakon elektromagnetne indukcije, Lenz-ovo princip U cilju potpunijeg objašnjavanja Faraday-ovog zakona elektromagnetne indukcije u nastavku teksta će se opisati nekoliko karakterističnih ogleda koji su pomogli Faraday-u da ispravno objasni uočene pojave. Na slici broj 10.1 prikazana su dva slučaja koja omogućavaju registrovanje efekta elektromagnetne indukcije.

Slika broj 10.1 Eksperimenti koji omogućavaju uočavanje pojave elektromagnetne

indukcije Na lijevom dijelu slike broj 10.1, prikazana je provodna kontura sa aktivnim električnim otporom R, u kojoj se nalazi i galvanometar, čiji je zadatak da registruje eventualne protoke električnih opterećenja unutar konture. Tokom ispitivanja ponašanja sličnog sistema, Faraday je primjetio da ukoliko se toj konturi približava permanentni magnet, igla galvanometra skreće u jednu stranu vlastite skale, a kada se permanentni magnet udaljava od te konture igla galvanometra pravi otklon u suprotnu stranu te iste skale. S obzirom da je otklon igle galvanometra, istovremeno i potvrda prolaska određene količine električnog opterećenja kroz razmtranu konturu, Faraday je zaključio da tok električnog naboja kroz konturu ima jedan smjer

11

kada se povećava intenzitet magnetnog fluksa kroz nju, a drugi smjer kada se smanjuje intenzitet magnetnog fluksa kroz istu konturu. Faraday je također utvrdio da se može uspostaviti i proporcionalnost, između količine električnog opterećenja ∆q, koja protekne kroz poprečni presjek provodne konture unutar određenog vremenskog intervala i promjene magnetnog fluksa ∆Ф, koji se spreže (obuhvata ) sa tom konturom, tokom istog vremenskog intervala, iskazana relacijom (10.1), ∆q = - ( ∆Ф ) / R (10.1) Sa R je označena aktivna električna otpornost provodne konture. U daljim nastojanjima da pronađe ispravan i cjelovit odgovor na otvorena pitanja nastala tokom provođenja svojih eksperimenata, Faraday je permanentni magnet-dakle izvor magnetnog polja, zamjenio električnim krugom, u kojem je bila uspostavljena stalna jednosmjerna struja I, kako je to grafički prikazano u desnom dijelu slike 10.1. Efekti koji su registrovani tokom prostornog pomjeranja električnog kruga, sa stalnom jednosmjernom strujom I, bili su podudarni sa prethodno uočenim efektima tokom eksperimenata sa permanentnim magnetom (ova dva eksperimenta su primjeri demonstriranja dinamičke elektromagnetne indukcije) Ispitujući da li je za uočene efekte uspostavljanja protoka električnog opterećenja ∆q, neophodno prostorno pomjeranje izvora magnetnog polja , Faraday je testirao i ponašanje nepomičnog sistema satavljenog od elektromagneta, kao izvora magnetnog polja i provodne konture sa galvanometrom, koja se nalazi unutar područja djelovanja tog magnetnog polja.

Slika 10.2 Eksperiment za demonstriranje statičke elektromagnetne indukcije

12

Iznos količine električnog opterećenja ∆q, koja protekne kroz poprečni presjek provodne konture, tokom određenog vremenskog intervala u kojem se ostvaruje i promjena magnetnog fluksa ∆Ф, registrovana je neposredno nakon uključivanja električne struje kroz elektromagnet, ali i neposredno poslije isključivanja struje kroz elektromagnet. Pri tome smjer kretanja induciranog električnog opterećenja ∆q, u slučaju isključenja struje, suprotan je od smjera induciranog električnog opterećenja ∆q, u slučaju uključenja struje. Relacija (10.1) se u graničnom procesu transformiše u relaciju (10.2), dq = - d Ф / R (10.2) iz koje se uz pomoć izraza dq = i · dt , te činjenice da je Ri = E , dolazi di izraza (10.3), koji je formirao Maxwell, za određivanje inducirane elektromotorne sile. E = - d Ф / dt (10.3) U skladu sa posljednjom relacijom, elektromotorna sila koja se indukuje u konturi obuhvaćenoj magnetnim fluksom, proporcionalna je negativnoj vrijednosti brzine promjene tog magnetnog fluksa. Negativni predznak promjene brzine magnetnog fluksa, pretstavlja matematički izraz Lenz-ovog pravila (Heinrich Lenz (1804-1865), prema kojem indukovana elektromotorna sila u provodnoj konturi, pokušava uspostaviti struju, koja će svojim vlastitim magnetnim fluksom, djelovati tako da nastoji spriječiti mijenjanje iznosa stranog magnetnog fluksa, koji obuhvata upravo tu provodnu konturu. 10.2 Primjena zakona elektromagnetne indukcije Zakon elektromagnetne indukcije ima svoju primjenu u većini elektrotehničkih uređaja. Posebno je značajna uloga ovog zakona u obezbjeđenju funkcionisanja električnih mašina. Efekti induciranja prostoperiodične elektromotorne sile, u namotajima koji se okreću ugaonom brzinom w, unutar homogenog magnetnog polja magnetne indukcije B, i to oko svoje ose, na način prikazan slikom broj (10.3), omogućavaju da se jednostavnije shvati rad generatora prostoperiodične elektromotorne sile E = Em sinwt. Dakle neka se kruta provodna pravougaona kontura MNPQ, sa stranicama MN = PQ = s, odnosno NP = QM = s’, obrće oko svoje ose, koja je paralelna sa stranicom s , stalnom ugaonom brzinom w, u homogenom i stacionarnom magnetnom polju indukcije B. Ugao koji zaklapa vektor magnetne indukcije B, sa vektorom pozitivne jedinične normale na orijentisanu površ, koju je ograničila predmetna kontura MNPQ ( površ je orijentisana u smjeru MNPQ) označen je uglom θ . Nije teško pokazati da važi relacija θ = wt. Uzimajući to u obzir , kao i činjenicu da je, Ф = ∫ B ds = B S cos θ = B S cos wt (10.4) S uz primjenu relacije (10.3), koja definiše induciranu elektromotornu silu u skladu sa zakonom Faradaya, jednostavno se pokazuje da se inducirana elektromotorna sila E , mijenja prema zakonu: E = Em sinwt

13

Slika broj 10.3 Princip rada generatora prostoperiodične elektromotorne sile

Treba primjetiti da inducirana elektromotorna sila ima maksimalnu vrijednost u momentima kada je brzina promjene magnetnog fluksa najveća, a ne u momentima kada je magnetni fluks maksimalan. 10.3 Koeficijenti samoindukcije i koefeicijenti uzajamne indukcije Već je ranije konstatovano da je magnetni fluks proporcionalan sa iznosom električne struje, pri čemu je koeficijent te proporcionalnosti po svojoj prirodi induktivnost. Ukoliko se razmatra odnos magnetnog fluksa i struje koja je upravo stvorila taj magnetni fluks, tada se kao koeficijent proporcionalnosti, pojavljuje samoinduktivnost L, dakle važi relacija Ф = L I (10.5) Samoinduktivnost L je uglavnom konstantnog iznosa i određena je geometrijskim i električnim karakteristikama sistema kojem se pripisuje. Ukoliko se samoinduktivnost vezuje za feromagnetne jezgre, tada ona može biti i funkcija uspostavljenog magnetnog polja H. Slično tome, moguće je uspostaviti i odnos između jednog dijela fluksa Ф1 , dakle fluksa Ф12 ( pri čemu je Ф12 < Ф1 ), koji uz to dopire do neke druge konture C2 , i struje I1, koja je prolazeći kroz konturu C1, stvorila magnetni fluks Ф1. U ovom slučaju, kao faktor proporcionalnosti se koristi uzajamna induktivnost, odnosno međuinduktivnost, M12 , pa se može pisati da je, Ф12 = M12 · I1 (10.6) Prema slici broj 10.4 , analognim rasuđivanjem, moguće je definisati i međuinduktivnost M21 pomoću relacije

14

Ф21 = M21 · I2 (10.7)

Slika broj 10.4 Magnetnospregnute provodne konture C1 i C2 , koje omogućavaju

određivanje međuinduktivnosti M12 i međuinduktivnosti M21 10.4 Magnetna energija u linearnim i nelinearnim sredinama Najopštiji izraz za određivanje energije lokalizovane u magnetnom polju ima oblik Wm = (1/2) ∫ B H dV (10.8) V u kojem je jasno istaknuta prostorna karakteristika energije magnetnog polja. Vrlo često se, za određivanje magnetne energije pridružene svitku sa N zavojaka, kroz koje protiče struja I , koristi i izraz (10.9) Wm = (1/2) I · Ψ (10.9) u kojem je sa Ψ označen ulančeni fluks za takav svitak. Ako svitak nije vezan za feromagnetni materijal, tada se izraz (10.9) može još više pojednostaviti i pisati kao Wm = (1/2) I 2 · L (10.10) Posljednji izraz se po pravilu koristi za određivanje magnetne energije linearnih magnetnih sredina.

Maxwellove jednačine za elektromagnetno polje

U ovom poglavlju će se predočiti potpuni sistem Maxwellovih jednačina elektromagnetnog polja u nepokretnim sredinama.

Tokom provedenog sagledavanja i analize osnovnih procesa u elektrotehnici, u prethodnim poglavljima ove knjige, predočeni su i uobličeni, u analitičke forme, rezultati brojnih eksperimentalnih istraživanja. Kako su ti eksperimenti vršeni u statičkim, ili stacionarnim uslovima, ti izrazi opisuju kvazistacionarno elektromagnetno polje, te oni ne moraju istovremeno odgovarati u potpunosti i stanjima i pojavama, što se dešavaju u brzo promjenljivim elektromagnetnim poljima. Tražeći odgovor na pitanje, mogu li se dešavanja u kvazistacionarnom elektromagnetnom polju, opisati na konzistentniji način od postojećeg njihovog opisivanja pomoću relacija:

dq

E S⋅ =ε∑ ;

Gaussov zakon za fluks vektora jačine elektrostatskog polja E

( Gaussov teorema za vektor jačine elektrostatskog polja),

d 0B S⋅ = ; Gaussov zakon (teorema) o konzervaciji fluksa vektora magnetne indukcije B ,

dH il⋅ = ∑ ; Ampèreov zakon o cirkulaciji vektora jačine magnetnog polja H ,

d 0E l⋅ = ; Zakon o konzervativnosti elektrostatskog polja, opisanog vektorom jačine elektrostatskog polja E ,

( )strpJ E E= σ ⋅ + ; Lokalni oblik Ohmovog zakona,

0D E P= ε ⋅ + ;

Veza između karakterističnih veličina-vektora elektrostatskog polja,

( )0B H M= μ ⋅ + ; Veza između karakterističnih veličina vektora

stacionarnog magnetnog polja,

škotski fizičar i matematičar James Clark Maxwell (1831-1879), u svom rukopisu „A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field“, objavljenom 1864. godine, predočio je tadašnjoj naučnoj javnosti, matematičke rezultate svog produbljavanja i proširivanja dostignuća Faradaya i Ampèrea, u domenu fizikalnog tumačenja elektromagnetnih efekata. Tokom razdoblja 1864-1873 Maxwell je uspio putem nekoliko epohalnih radova, u potpunosti zaokružiti matematičko opisivanje osnovnih odnosa unutar Teorije elektromagnetnih polja. Ona su potom integralno publikovana u djelu „Traktat o

elektricitetu i magnetizmu“. Značaj ovog njegovog ostvarenja, veoma dobro ilustruje podatak da se njegov predmetni sistem jednačina i danas tretira kao ishodište elektrotehničkih relacija za makroskopsko razmatranje fizičkih pojava.

Pobrojane Maxwellove istraživačke rezultate i iz njih proistekli njegov doprinos, u domenu elektromagnetnih talasa, eksperimentalno su potom potvrdili i njemački fizičar Hajnrich Hertz 1888. godine, zatim P. N. Lebedov (svjetlosni pritisak), te Nikola Tesla (radiotehnika).

Analizirajući Ampèreov zakon o cirkulaciji vektora jačine magnetnog polja H , Maxwell je uočio da se unutar sume struja ∑ i ( tu sumu susrećemo na desnoj strani relacije, kojom se analitički izražava taj zakon) moraju uračunati sve vrste struja koje prodiru kroz površ oslonjenu na konturu C, po kojoj se i računa cirkulacija vektora jačine magnetnog polja H . Dakle, u navedenoj sumi treba uzeti u obzir ne samo kondukcione struje ikond, nego i konvekcione struje ikonv, kao i struje dielektričnog pomjeraja

dp d dti = ( (E) / )Φ . Uvođenjem u analizu i struja dielektričnog pomjeraja, idp, koje mogu nastati samo

u uslovima kada se dešavaju promjene vektora električnog polja E tokom vremena, Maxwell je uspostavio vezu između vremenski promjenljivog električnog polja i magnetnog polja, te time dao realnu osnovu da se u budućnosti ta dva polja tretiraju kao komponente jedinstvenog elektromagnetnog procesa.

Nije teško primijetiti da Ampèreov zakon o cirkulaciji vektora jačine magnetnog polja H i Faradayov zakon elektromagnetne indukcije:

dddtqH ⋅ = ∑l ;

dddt

E l Φ⋅ = − ;

povezuju šest različitih fizikalnih veličina H , E , l, t, q i Ф ( B ), unutar kojih su i vrijeme i dužina, što je u skladu sa činjenicom da se pojave od interesa izučavaju u prostoru.

Za potpunije opisivanje električnih i magnetnih pojava uz već prisutne njihove reprezente, Maxwell je zaključio da je povoljno uvesti i neke nove veličine, poput: vektora dielektričnog pomjeraja ,D vektora magnetne indukcije ,B te magnetnopobudne sile Fmp i indukovane elektromotorne sile e. Povezanost tih novih veličina sa ranije uvedenim veličinama je iskazana relacijama:

d d d d d d; ; ; ; ;d d d d d dmp

q q F eD F Ni N H B e ES t S tl l

Φ Φ= = = = = = − = .

Tokom opisivanja osnovnih odnosa u električnom i magnetnom polju, u uslovima prisustva zapreminske gustine električnih naboja ρ i stacionarne jednosmjerne električne struje, okarakterisane vektorom gustine te struje J u zraku, uspostavljene su i relacije:

d ( )dd

BEt

l Φ⋅ = − ;

0

dq

E S⋅ =ε∑ ;

d 0B S⋅ = ;

0 kond 0d ( )d

dEB it

l⎛ ⎞Φ

⋅ = μ ⋅ + ε⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Prva jednačina u posljednjem sistemu je ustvari druga varijanta Faradayevog zakona elektromagnetne indukcije. Tom jednačinom se naglašava da pri promjeni fluksa magnetne indukcije nastaje i električno polje.

Drugom jednačinom tog istog sistema, izražen je Gaussov zakon za određivanje vektora jačine elektrostatskog polja .E Ovaj zakon je ustvari jedan vid poopštenja Coulombovog zakona o djelovanju mehaničke sile u elektrostatskom polju. Putem nje se iskazuje i izvorna priroda električnog polja, dakle činjenica da vektorske linije vektora E izviru-započinju, u pozitivnim električnim nabojima, te da te iste linije završavaju-poniru u negativnim električnim nabojima.

Treća jednačina je Gaussov zakon, ali onaj koji govori o konzervativnosti vektora magnetne indukcije. Tim zakonom naglašava se da su vektorske linije vektora magnetne indukcije neprekidne linije, zatvorene same u sebe. Ovom relacijom se pokazuje i da ne postoje magnetne mase, odnosno magnetni naboji, koje bi u magnetnom polju imale ulogu sličnu ulozi koju imaju električni naboji u električnom polju. Stoga se magnetno polje treba tretirati kao bezizvorno vektorsko polje.

Četvrta jednačina je ustvari jedna verzija Ampèreovog zakona o cirkulaciji vektora magnetne indukcije .B Unutar te jednačine, posebno je naglašeno da se uzroci uspostavljanja magnetnog polja nalaze u djelovanju kodukcionih struja ikond i djelovanju struja dielektričnog pomjeraja idp. Ova jednačina pokazala se i kao osnova tvrdnji da se prostiranje elektromagnetnih polja odvija konačnim brzinama (ovo nije bilo poznato do tada), što je poslije i eksperimentalno potvrđeno.

Analizirani sistem od četiri jednačine predstavlja ustvari i sistem Maxwellovih

jednačina u integralnom obliku. S obzirom da je integralni oblik zapisivanja ovih jednačina, pogodan samo za proračune elektromagnetnih veličina u sistemima kod kojih je prisutan visok nivo geometrijske simetrije, to se isti sistem jednačina često transformiše (koristeći resurse matematičke discipline sa nazivom Teorija vektorskih polja) i u ekvivalentni diferencijalni oblik.

Taj diferencijalni oblik sistema Maxwellovih jednačina posebno je pogodan za lokalnu formu analize ponašanja pojedinih veličina (dakle, određivanje i razmatranje vrijednosti tih veličina unutar elementarne zapremine). Relacije koje slijede predstavljaju upravo diferencijalni oblik sistema Maxwellovih jednačina u nepokretnim sredinama:

rot BEt

∂= −

∂;

BEt

⎛ ⎞∂∇× = −⎜ ⎟

∂⎝ ⎠;

rot DH Jt

∂= +

∂;

DH Jt

⎛ ⎞∂∇× = +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠;

0

div D ρ=ε

;

0

D⎛ ⎞ρ∇ ⋅ =⎜ ⎟ε⎝ ⎠

;

div 0B = ;

( )0B∇ ⋅ = .

U linearnim i izotropnim sredinama ovim jednačinama mogu se pridružiti i relacije:

( ) ; ; ;strpJ E E D E B H= σ ⋅ + = ε ⋅ = μ ⋅

koje povezuju vektore D , B i J sa vektorima jačina polja E i H .

Epohalna vrijednost navedenog Maxwellovog sistema jednačina za opisivanje

pojedinih fizikalnih veličina u elektromagnetnom polju, dodatno se uvećava, ukoliko se uoči činjenica da su rezultati njegovih istraživanja, generisani čak decenijama prije pojave Kvantne teorije∗ i pojave Teorije relativiteta∗∗.

Ni pod kasnijim uticajem revolucionarnih promjena u shvaćanju i tretiranju fizikalnih pojava, do kojih je moralo doći zbog naučnog ustoličavanja Teorije relativiteta i Kvantne mehanike, blistavost Maxwellovih jednačina elektromagnetnog polja, nije ni malo zasjenjena.

S obzirom da se pri rješavanju konkretnih inženjerskih problema, predmetne pojave po pravilu razmatraju u kontekstu usvojenog makroskopskog poimanja događaja, Maxwellov sistem jednačina za opisivanje elektromagnetnog polja, u Teoriji polja je zauzeo praktično upravo ono mjesto, kakvo imaju Kirchhoffovi zakoni u Teoriji električnih krugova i mreža. ∗ Početkom 1900. godine Max Planck, Albert Einstein i Niels Bohr definisali su novi pristup po kojem se atomima pripisuju kvantizirana energetska stanja, te sposobnost da emituju energiju u kvantima, kada prelaze iz jednog stanja u drugo. Potaknuti ovakvim idejama Werner Heisenberg i Erwin Schrodinger su 1925. godine formulisali osnovne principe Kvantne mehanike. ∗∗ A. Einstein je 1905. godine, objavljujući rad sa naslovom „O elektrodinamici tijela u kretanju“, praktično postavio temelje nove naučne oblasti, koja je potom preimenovana u Teoriju relativnosti; u toj naučnoj oblasti egzaktno se ujedinjuju prostor i vrijeme u jedinstven entitet.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE Zadaci za samostalni rad / X sedmica

1. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema

prikazana na slici, poznate su vrijednosti električnih otpora: i , kao i električni napon između tačaka i razmatrane šeme, . Treba izračunati električnu snagu, koju angažuje analizirani električni krug sa slike, električni napon , kao i električne struje, koje prolaze kroz otpornike , .

2. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema prikazana na slici, realni naponski generator stalnog jednosmjernog napona u neopteredenom stanju raspolaže sa potencijalnom razlikom između svojih priključnih stezaljki od . Njegov unutrašnji električni otpor je . Ako su poznate i vrijednosti električnih otpora u električnoj šemi sa slike, , i , treba odrediti vrijednost ukupne električne struje , kojom razmatrani potrošači optereduju naponski izvor, a potom nacrtati i potencijalni dijagram za električnu šemu sa slike.

3. Dat je cilindrični bakarni provodnik, kružnog poprečnog presjeka, poluprečnika . Kroz ovakav provodnik, uspostavljena je stalna jednosmjerna električna struja, intenziteta . Ako je zapreminska koncentracija slobodnih elektrona , treba odrediti srednju brzinu kretanja tih elektrona.

4. Radna karakteristika sijalice sa volframovom niti definisana je njenom električnom snagom , i nazivnim električnim naponom na koji se ona treba priključiti . Mjerenjem u hladnom stanju, ustanovljeno je da je otpor te sijalice . Ako je temperaturni koeficijent volframa , kolika je radna temperatura volframove niti?

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

Zadaci za samostalni rad / XI sedmica

1. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna

šema prikazana na slici, odrediti električni napon između tačaka i ,

. Poznata je vrijednost električnog napona na krajevima idealnog

naponskog izvora 80 .

2. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema

prikazana na slici, ako se presječe veza u tački i tu spoji ampermetar

unutrašnje aktivne električne otpornosti 0,1 za koje će se

iznose promjeniti električna struja i električni napon ?

3. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna

šema prikazana na slici, treba odrediti iznos za koji će se promijeniti

električni napon između tačaka i , , ukoliko se električnom

otporniku 10 , priključi voltmetar unutrašnjeg električnog

otpora 100 , na način prikazan na slici.

4. U električnom krugu stalne jednosmjerne

struje, čija je električna šema prikazana na

slici, treba odrediti odnos električnih

napona ⁄ , što ih mjere idealni

voltmetri i , za slučajeve kada je: a)

sklopka otvorena, b) sklopka zatvorena.

5. U električnom krugu sa slike s idealnim voltmetrom, napon na

strujnom izvoru prije prekida voda na mjestu - bio je . Poslije

prekida voda na mjestu - napon na strujnom izvoru je . Odrediti

promjenu napona Δ .

6. Ulazna otpornost (otpornost između tačaka i , )

kombinacije otpornika prikazane na slici iznosi:

a. 2 b. c. 3 2⁄ d. 2⁄

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

Zadaci za samostalni rad / XII sedmica

1. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je

električna šema prikazana na slici, kada je sklopka zatvorena, idealni ampermetar registruje stalnu jednosmjernu struju 10 . Istovremeno idealni ampermetar registruje stalnu jednosmjernu struju 1 . Kolike vrijednosti stalne jednosmjerne električne struje će registrovati isti ampermetri, nakon što se otvori sklopka ?

2. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema

prikazana na slici, idealni voltmetar pokazuje napon od 20 . Koliki je napon idealnog naponskog izvora ?

3. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema prikazana na slici, idealni voltmetar pokazuje napon 210 , pri označenom polaritetu tokom njegovog spajanja. Šta će pokazati idealni voltmetar , nakon što se zatvori sklopka ?

4. U električnom krugu stalne jednosmjerne struje, čija je električna šema prikazana na slici, nalaze se dva idealna naponska izvora. Električnim mjerenjima u ovakvom krugu registrovani su slijedeći pokazatelji: a) kada djeluje samo izvor , a na mjestu izvora je kratkospojnik, izmjereno je da se u takvom krugu angažuje električna snaga iz izvora od 55 ; b) kada djeluje samo izvor , a na mjestu izvora je kratkospojnik, izmjereno je da se u takvom krugu angažuje električna snaga iz izvora od 176 . Ukoliko je poznato da između potrošača u razmatranom električnom krugu važe odnosi: , 2 i 3, koliku snagu angažuju ti potrošaci kada jednovremeno djeluju izvori i ?

5. Za električni krug prikazan na slici poznati su slijedeći podaci: 10 ,

12 , 6 , 24 , 200 , 1 ,

3 . Odrediti napon pri otvorenom prekidaču i napon

pri zatvorenom prekidaču .

6. U električnom krugu prikazanom na slici odrediti potencijal tačke ! u odnosu

na referentnu tačku.

a. 16 b. "16 c. "8 d. 8

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE Zadaci za samostalni rad / XIII sedmica

1. Za električni krug sa slike poznati su slijededi podaci: ,

, , , , , , . Primjenom metode struja kontura odrediti vrijednosti struja

, ,

, ,

u

granama kruga te napon na strujnom izvoru .

2. Za električni krug prikazan na poznati su slijededi

podaci: , , , , . Primjenom metode struja kontura odrediti otpornost i elektromotornu silu .

3. Odrediti smjer i intenzitet elektromagnetnih sila koje djeluju na sve stranice pravougaone konture za sistem prikazan na slici. Poznate vrijednosti su: , , .

4. Vrlo dugi ravni vodič i kruti metalni okvir smješteni su prema slici. Kroz njih teku struje smjerova prikazanih na slici, a okvir ima težinu . U prikazanom položaju ukupna sila na kruti metalni okvir jednaka je . Odrediti struju . Poznato je: , ; .

5. Ako kroz vodič prikazan na slici teče struja u naznačenom smjeru, odrediti

intenzitet i smjer vektora magnetne indukcije u središtu pravougaonika (tačka ).

Vodič se nalazi u vazduhu. Poznato je: , , .

6. Pozitivni naboji , i ubačeni su u homogeno magnetno polje indukcije i kredu se

naznačenim brzinama. Intenziteti sila na naboje su:

a. b. c. d.

B

2v

1v Q1 Q2

Q3

7. Dva beskonačno duga ravna vodiča razmješteni su kao na slici. Intenziteti struja koje teku kroz vodiče međusobno su jednaki, a smjerovi protjecanja struja naznačeni su na slici. Vektor jačine magnetnog polja u tački ima smjer:

a.

b. c. d. niti jedan magneto polje jednako je

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE Zadaci za samostalni rad / XIV sedmica

1. Strujna kontura poluprečnika , sa stalnom jednosmjernom strujom , leži u ravni u vazduhu. Treba odrediti vektor magnetne indukcije u tačkama koje se nalaze na pravcu koji je normalan na ravan , a prolazi kroz središte te kružne konture.

2. Kružni solenoid dužine sa gusto i ravnomjerno raspoređenih zavojaka, ima prečnik . Kroz njegove

zavojke se usmjerava stalna jednosmjerna struja . Odrediti vrijednost vektora magnetne indukcije u tačkama aksijalne ose solenoida, koja se podudara sa osom Decartovog pravouglog koordinatnog sistema.

3. Zadana su dva, u geometrijskom smislu, jednaka torusa, pravougaonog poprečnog presjeka . Unutrašnji poluprečnik takvog torusa je , a spoljašnji , pri čemu je , a . Jedan je torus realizovan sa jezgrom od neferomagnetnog materijala, čije magnetne karakteristike su slične vazduhu, dok je drugi torus formiran od feromagnetnog materijala, čije su magnetne karakteristike date na slici. Na oba torusa su identične zavojnice, formirane od po ravnomjerno i gusto raspoređenih zavojaka, kroz zavojke se usmjerava stalna jednosmjerna struja . Treba odrediti odnos magnetnog fluksa u torusu s feromagnetnom jezgrom, prema fluksu u torusu sa neferomagnetnom jezgrom, te odnos magnetnog otpora feromagnetnog torusa, prema magnetnom otporu neferomagnetnog torusa.

4. Zadano je torusno magnetno kolo, sa jezgrom od feromagnetnog materijala, struktuirano na način prikazan na slici. Karakteristike upotrjebljenog feromagnetnog materijala date su tablicom. Ukoliko je dužina srednje linije torusa , širina zračnog raspora , poprečni presjek jezgre torusa , a magnetno pobudna sila amper-zavojaka, odrediti magnetno pobudnu silu, , koja de obezbijediti da magnetni fluks u torusu iznosi , te odredite koliko bi iznosila potrebna magnetno pobudna sila , ukoliko ne bi postojao zračni raspor, da se ostvari isti iznos magnetnog fluksa?

Napomena: Uzima se u obzir rasipanje linija magnetnog polja u zračnom rasporu i to tako da se poveda

površina zračnog raspora za .

5. Na slici je prikazano magnetno jezgro izrađeno od feromagnetnog materijala. Na ovom jezgru namotan je namot s zavoja. Kroz namot teče stalna jednosmjerna struja jačine . Dimenzije jezgre naznačene na slici date su u milimetrima. Pri zadanoj jačini struje, relativna magnetna permeabilnost materijala od kojeg je izgrađeno jezgro iznosi . Odrediti magnetne tokove u svim dijelovima magnetnog jezgra. Zanemariti magnetna rasipanja.

6. Dvije magnetne jezgre izrađene su od materijala magnetne

permeabilnosti i imaju dimenzije kao na slici. Namoti na jezgrama imaju broj zavojaka i kroz njih teče ista struja . U jednoj od jezgri napravljen je zračni raspor širine . Odrediti kako se odnose samoinduktivnosti i . Zanemariti ivične efekte.

a.

b.

c.

d.

7. Za magnetni krug prikazan na slici vrijedi:

a. b. c. d.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

Zadaci za samostalni rad / XV sedmica

1. Magnetni krug prikazan na slici ima kružni poprečni presjek površine

srednje linije lS. Krug je izrađen od željeza magnetne permeabilnosti namotan namot sa N zavoja kroz koji teče struja u ovom krugu.

2. Sistem sa slike se sastoji od beskonačno dugog pravolinijskog provodnika i trougaone konture koji su postavljeni u vazduhu u istoj ravni. Poznati su

slijedeći podaci: a, µ0, I1, I2. Odrediti međusobnu induktivnost provodnika i konture M12. 3. Provodnik CD nalazi se u homogenom magnetnom polju indukcije B = 0.8(T). Du

provodnika je l = 0.3(m). Otpor vanjskog kruga je R = 0.1(potrebna da bi se provodnik kretao brzinom v = 20(m/s), promjenu ulančenog magnetnog toka u vremenu od 0.1(s), te iznos i smjer induciranog napona.

4. Provodnik dužine b kreće se po šinama ravnomjernom brzinom v. Paralelno sa šinama postavljen je beskonačno dugi tanki provodnik kroz koji teče struja I. Odrediti iznos i smjer induciranog napona u provodniku dužine b. Poznati su slijedeći podaci: I = 1000 A, v = 100 m/

sedmica

1. Magnetni krug prikazan na slici ima kružni poprečni presjek površine S i dužinu

. Krug je izrađen od željeza magnetne permeabilnosti µµµµ i na njega je zavoja kroz koji teče struja I. Odrediti elektromagnetnu energiju

sastoji od beskonačno dugog pravolinijskog provodnika konture koji su postavljeni u vazduhu u istoj ravni. Poznati su

. Odrediti međusobnu induktivnost provodnika i

CD nalazi se u homogenom magnetnom polju indukcije B = 0.8(T). Dužina

a je l = 0.3(m). Otpor vanjskog kruga je R = 0.1(Ω). Odrediti silu koja je kretao brzinom v = 20(m/s), promjenu ulančenog

magnetnog toka u vremenu od 0.1(s), te iznos i smjer induciranog napona.

ine b kreće se po šinama ravnomjernom brzinom v. Paralelno sa šinama postavljen je beskonačno dugi tanki provodnik kroz koji teče struja I. Odrediti iznos i smjer induciranog napona u provodniku dužine b. Poznati su slijedeći podaci: I = 1000 A, v = 100 m/s, b = 38 cm, a = 10 cm.

5. Sistem na slici sastoji se od željezne jezgre pravougaonog poprečnog presjeka, namota kroz koji teče istosmjerna struja i provodnika na koji je priključen voltmetar. Magnetni tok u jezgri je konstantan i iznosi 0.01(Wb), a površina

poprečnog presjeka jezgre je 8⋅10−3(m

2). Provodnik se pomjera iz položaja 1 u položaj 2 tako što se u tački A strujni

krug otvori i nakon provlačenja vodiča kroz jezgru ponovo zatvori. Opisana operacija traje 0.2(s). Napon koji će pokazati voltmetar pri pomjeranju provodnika je: a. U = 0.25(V). b. U = 0(V). c. U = 50(mV). d. U = 2(V). 6. Sistem na slici sastoji se od željezne jezgre pravougaonog poprečnog presjeka, namota kroz koji teče istosmjerna struja i provodnika na koji je priključen voltmetar. Magnetni tok u jezgri je konstantan i iznosi 0.01(Wb). Provodnik se pomjera iz položaja 1 u položaj 2 tako što se provlači kroz zračni raspor koji postoji u željeznoj jezgri. Površina

ovog zračnog raspora je 8⋅10−3(m

2). Provodnik se kroz zračni raspor kreće konstantnom brzinom, a njegov prolazak

kroz zračni raspor traje 0.2(s). Napon koji će pokazati voltmetar pri pomjeranju provodnika je: a. U = 0.25(V). b. U = 0(V). c. U = 50(mV). d. U = 2(V).

A

Željezna jezgra

Namot

Vodič

Željezna jezgra

Namot

Vodič