Osnove Dig Logike

3. Osnove digitalne logike

15. rujna 2006. FER-Zagreb, Digitalna logika 2006/07 1

Osnove digitalne logike

• logika sudova

• Booleova algebra

• kanonski oblik Booleovih funkcija

• skupine osnovnih logičkih funkcija

• univerzalne funkcije

• nepotpuno specificirane funkcije


Logika sudova

• digitalni sustav ~ sve funkcije temeljene na

malom skupu "osnovnih logičkih funkcija"

• sklopovi koji ostvaruju osnovne logičke funkcije ~ osnovni logički sklopovi :

obrađuju "logičke varijable"

• elektroničke izvedbe osnovnih logičkih sklopova:

• "Električke veličine koje odgovaraju logičkim varijablama održavaju se unutar unaprijed definiranih i fiksnih granica (na ulazu i na izlazu)."


Logika sudova

• "logičke varijable", "osnovne logičke funkcije" ~ terminologija logike sudova

• logika sudova, propozicijska logika(engl. propositional logic) ~ "kombiniranje" elementarnih sudova

radi dobivanja novih složenih sudova, bez obzira na suvislost samih sudova

• osnovni kombinatori sudova ~ "osnovni logički veznici"


Logika sudova (propozicijska logika)

• sudovi (tvrdnje, iskazi): • jednostavne rečenice

• istiniti ili neistiniti

Primjer :sud A: "Nema ulja (u motoru)."

sud B: "Temperatura (motora) je previsoka."


Logika sudova

• osnovni logički veznici: ~ "kombinatori" I, ILI

• vrijednost složenog suda ~ istinit ili neistinit

Primjer :f = A ILI B = "Nema ulja (u motoru)."

ILI "Temperatura (motora) je previsoka."

f = A I B = "Nema ulja (u motoru)." I "Temperatura (motora) je previsoka."


Logički kombinatori

• izvedba kombinatora I • (mehanički) kontakt:

A B

A ≡ < sk lo p ka A u k ljuče na >B ≡ < sk lo p ka B u k ljuče na >f ≡ < ža ru lja sv ije tli>

• izvedba relejima: struja = pobuda releja A B


Interpretacija kombiniranja

• algoritamski:ako (A istinit) i (B istinit)

onda f istinit inače f neistinit

• "logički produkt" ~ konjunkcija• "računarska" notacija:

• simbolička logika:

• teorija skupova:

ABBAf =⋅=

BAf ∧=

BAf I=

AB

U

A BI



• izvedba kombinatora ILI • (mehanički) kontakt:

• izvedba relejima: struja = pobuda releja

A ≡ <sklopka A uključena>B ≡ <sklopka B uključena>f ≡ <žarulja svijetli>

A

BU

A

B

U


Interpretacija kombiniranja

• algoritamskiako (A istinit) ili (B istinit) (ili oba!)


• "logička suma" ~ disjunkcija • "računarska" notacija:

• simbolička logika:

• teorija skupova:

BAf +=

BAf ∨=

BAf U=

AB

U

A BU


Tablice istinitosti (kombinacija)

• tablica kombinacija, tablica istinitosti (engl. truth table) ~ prikaz djelovanja kombinatora:

konačni broj mogućih kombinacija vrijednosti istinitosti elementarnih sudova

• oznake: T ~ istina, ⊥ ~ neistina

• definiraju odnos ulaza i izlaza digitalnog sustava

A B f

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ T ⊥ ⊥ T T T

A B f

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T T T ⊥ T T T T

funkcija I(konjunkcija)

funkcija ILI(inkluzivna disjunkcija)


Logička negacija

• logička funkcija NE, komplement, inverzija• nije kombinator

• složeni sud od jedne logičke varijable

• algoritamskiako (A istinit) i (B istinit)


• logički izraz• "računarska" notacija: • simbolička logika: • teorija skupova:

A f

⊥ T T ⊥

funkcija NE(negacija)

AU

R

Af =

Af ¬=CAf =

U

A

~A


Booleova algebra

• osnovni matematički aparat korišten u analizi i projektiranju digitalnih sklopova:• G. Boole:

formalizam za proučavanje "zakona prosuđivanja": "An Investigation of the Laws of Thought", 1854

• C. E. Shannon: primjena Booleove algebre: "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits", 1938

• efikasna primijena za analizu relejnihelektromehaničkih sklopova


Booleova algebra

• izgradnja konzistentnog matematičkog sustava na aksiomatski način

• algebra se definra postavljanjem skupa tvrdnji

• formalna definicija:• konačni skup objekata: K

• dvije binarne operacije: +, ·

• skup osnovnih postulata (aksioma) ~ aksiomatizacija


Booleova algebra

• aksiomatizacija s dobrim svojstvima: • E. V. Huntington:

"Sets of Independent Postulates for the Algebra of Logic", 1904:

• zadatak reduciranje Booleove algebre na minimalni broj postulata• konzistentnost:

niti jedan postulat iz skupa ne proturječi nekom drugom iz istog skupa

• nezavisnost: niti jedan se postulat ne da dokazati pomoću ostalih

• skup {K,+,▪,¯ } je Booleva algebra ako vrijede ...


Huntingtonovi postulati

• P1: Postoji skup K objekata ili elemenata podložnih relaciji ekvivalencije, oznakom "=", koja zadovoljava princip supstitucije.

• ekvivalencija:• refleksivnost:

• simetričnost:

• tranzitivnost:

( )( )a K a a∀ ∈ =

( , )( uvijek kada je )a b K b a a b∀ ∈ = =

( , , )( i implicira )a b c K a b b c a c∀ ∈ = = =



P2: Definiraju se dva operatora kombiniranja "+" i "⋅"koji su zatvoreni s obzirom na K:

P2a:

P2b:

P3: Za operatore kombiniranja postoji neutralnielement:

P3a:

P3b:

( , )( )a b K a b K∀ ∈ + ∈( , )( )a b K a b K∀ ∈ ⋅ ∈

( 0 )( | 0 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ + =( 1 )( | 1 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ ⋅ =



P4: Vrijedi zakon komutacije:

P4a:

P4b:

P5: Vrijedi zakon distribucije:

P5a:

P5b:

( , )( )a b K a b b a∀ ∈ + = +( , )( )a b K a b b a∀ ∈ ⋅ = ⋅

( , , )( ( ) ( ) ( ))a b c K a b c a b a c∀ ∈ + ⋅ = + ⋅ +( , , )( ( ) ( ) ( ))a b c K a b c a b a c∀ ∈ ⋅ + = ⋅ + ⋅



P6: Postoji inverzni element – "komplement":

P7: Skup K sadrži barem dva različita elementa:

( )( | ( 1); ( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =

( barem , | )a b K a b∃ ∈ ≠



• "operabilni" postulati ~ direktno korištenje u manipulacijama logičkih izraza• P3 (neutralni element)

• P4 (komutativnost)

• P5 (distributivnost)

• P6 (inverzni element)



• inverzni element (komplement) ~ interpretacija kao rezultat operacije komplementiranja

• interpretacija "+" i "⋅" u uobičajenom smislu aritmetičkih operatora? ~ P5a i P6 ne vrijede!

• dualnost (metateorem o dualnosti):

"Zamjenom operatora i neutralnih elemenata u nekom postulatu dobiva se njegov par, ako takav postoji."



• prioriteti operatora: • komplement

• konjunkcija

• inkluzivna disjunkcija

• zagrade mijenjaju redoslijed obavljanja operacija• preporuča se uporaba radi izbjegavanja krivih

interpretacija


Teoremi Booleove algebre

T1: dominacijaT1a: T1b:

Dokaz:( 1 )( | 1 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ ⋅ =

( )( 1 1)a K a∀ ∈ + =( )( 0 0)a K a∀ ∈ ⋅ =

1

)1()()1(

1)1()1(

=+=

⋅+=+⋅+=

⋅+=+

aaaa

aaaaa

.)..(

)6()3()5(

)6()3(

DEQ

PbPaP

PbP

( 1 )( | 1 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ ⋅ =

( )( | ( 1); ( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =

( )( | ( 1); ( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =

( , , )( ( ) ( ) ( ))a b c K a b c a b a c∀ ∈ + ⋅ = + ⋅ +

(lat. quod erat demonstrandum)



T2: idempotencijaT2a: T2b:

Dokaz:

))(( aaaKa =+∈∀))(( aaaKa =⋅∈∀

aa

aaaaaaa

aaaa

=+=

⋅+=+⋅+=

⋅+=+

0)(

)()(1)()(

.)..(

)3()6(

)5()6()3(

DEQ

aPP

aPP

bP ( 1 )( | 1 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ ⋅ =

( )( | ( 1); ( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =

( )( | ( 1); ( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =

( , , )( ( ) ( ) ( ))a b c K a b c a b a c∀ ∈ + ⋅ = + ⋅ +

( 0 )( | 0 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ + =



T3: involucija

Dokaz: …

( )( ( ))a K a a∀ ∈ =



T4:T4a: T4b:

Dokaz:

( , , )( ( ) ( ) ( ))a b c K a b c a b a c∀ ∈ + ⋅ = + ⋅ +

( , )( )a b K a ab a b∀ ∈ + = +( , )( ( ) )a b K a a b a b∀ ∈ ⋅ + = ⋅

( )

baba

baaabaa

+=+⋅=

+⋅+=+)(1

)()(

.)..(

)3()6(

)5(

DEQ

bPP

aP( )( | ( 1);( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =

( 1 )( | 1 )K a K a a∃ ∈ ∀ ∈ ⋅ =



T5: apsorpcijaT5a: T5b:

Dokaz:

( , )( )a b K a ab a∀ ∈ + =( , )( ( ) )a b K a a b a∀ ∈ ⋅ + =

aa

baabaaba

=⋅=

+⋅=+⋅=+

1)1(

1)(

.)..(

)3()1(

)5()3(

DEQ

bPT

bPbP



L6:

Dokaz:

( , , )( (( ) ) (( ) ) ) )a b c K a a b c a b c a a∀ ∈ ⋅ + + = + + ⋅ =

acbaa

caacabaacbaa

⋅++==

⋅+=⋅++⋅=++⋅

))((

)())((

.)..(

)5()5()5(

DEQ

TTP



T7: asocijativnostT7a: T7b:

Dokaz: indirektan• ako tvrdnja teorema vrijedi, lijeva i desna strana su jednake, pa vrijedi

idempotencija (T2):

)()))(((

)))(())((()())((

)())(())(())(())((

cbaccbaba

ccbabcbaacbcbaa

cbcbaacbacbacbaz

++=⋅++++=

⋅+++⋅+++=+⋅+++=

+⋅+++⋅++=++⋅++=

.)..(

)5()6,4(

)5()6(

)5(

DEQ

TPP

bPT

bP

( , , )(( ) ( ))a b c K a b c a b c∀ ∈ + + = + +( , , )(( ) ( ))a b c K a b c a b c∀ ∈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅



T8: de Morganovi zakoniT8a: T8b:

Dokaz: indirektan • ispitivanjem ispravnosti komplementa (P6)

( , )( )a b K a b a b∀ ∈ + = ⋅( , )( )a b K a b a b∀ ∈ ⋅ = +

( )( | ( 1);( 0))a K a K a a a a∀ ∈ ∃ ∈ + = ⋅ =



Dokaz T8:

( ) (( ) ) (( ) ) ( 5 )( ( )) ( ( )) ( 4)1 1 ( 5, 1)1 ( 1)

a b a b a b a a b b P aa a b b a b P

T TT

+ + ⋅ = + + ⋅ + +

= + + ⋅ + += ⋅=

( 5 , 4 )( ) ( ) ( ) ( )( 7, 6, 1)0 0( 2)0

P b P ba b a b a a b b b aT P TT

+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= +=



• Dokaz T8 (nastavak):

• oba zahtjeva P6 su zadovoljena: je jedinstveni komplement od)( ba + )( ba ⋅

babababa

bababa

+=⋅→⋅=+

⋅=⋅=+

bbaa

babababa

→→

⋅=+→⋅=+

,

)3(T

.)..( DEQ



Poopćenje de Morganovih zakona:

Dokaz:

• putem asocijativnosti (T7)

)......)(,...,,( zbazbaKzba ⋅⋅⋅=+++∈∀

)......)(,...,,( zbazbaKzba +++=⋅⋅⋅∈∀

cbacbacbacba ⋅⋅=+⋅=++=++ )(



T9: simplifikacijaT9a: T9b:

Dokaz:

• primjenom distributivnosti (P5) i neutralnog elementa (P3)

))(,( ababaKba =⋅+⋅∈∀))())((,( ababaKba =+⋅+∈∀


Dvočlana Booleova algebra

• najjednostavnija Booleova algebra

⇒ ekvivalentni termi (izrazi) za 1 odnosno 0:

}1,0{2 == KK

)1()6()4()3(

11101 ,011 ,111

110111 ,1011

TPPPa

=+==⋅=+

=+=⋅=+=

)1()6()3(

00010 ,000 ,100

010 ,0000

TPPa

=⋅==⋅=+

=⋅=+=

000011000111100111

10 ,01

=⋅=⋅=⋅=+=+=+=+=⋅

==

0 i 1 nemaju numerička nego logička značenja


Dvočlana Booleova algebra

• teorija skupova ~ izomorfna dvočlanoj Booleovoj algebri:

pridruživanje:

• definicija operacija:

{ } { }:

, ,

p

, ,0

razni skup: univerzalni sku

,1 , , , ~, ,

0,1 ,

p

K S U

K S U

U

φ

φ

φ

⋅ + ↔

= ↔ =

I U

, , ~x A B x A B x A∈ ∈ ∈I U


Teorija skupova kao Booleova algebra

• Vennov dijagram ~ prikaz skupa skupom točaka • univerzalni skup U:

kvadrat, pravokutnik ili slični lik

• skup: lik (obično krug) unutar U

A ~A A∪B A∩B

AB

U

AB

U

A

U

A

U

A

U


Teorija skupova kao Booleova algebra

• postulati u skupovnom obliku:

(P3)

(P4)

(P5)

(P6)

AUAAA

==

I

Uφ

ABUAABBA

II

UU

==

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CABACBA

CABACBAIUIUI

UIUIU

==

φ=

=

AA

UAA

I

U



• simboli za kombinator I: • američki vojni standard

Mil-STD-806B

• međunarodni standard IEC/ISO

DIN 40900

ANSI/IEEE 91-1984

• stari standard DIN



• simboli za kombinator ILI: • američki vojni standard

Mil-STD-806B

• međunarodni standard IEC/ISODIN 40900 ANSI/IEEE 91-1984

• stari standard DIN


Negacija

• simboli za operator NE: • američki vojni standard

Mil-STD-806B

• kombiniranje s drugim operatorima

• međunarodni standard IEC/ISO


Booleove funkcije

• logika sudova ~ izražavanje složenog suda kombiniranjem elementarnih sudova operatorima povezivanja (I, ILI)

• Booleova funkcija formalno: ~ "neko pridruživanje funkcijskih vrijednosti (0 ili 1) za svakukombinaciju vrijednosti argumenata (varijabli)"

• funkcija od n varijabli:

f(x1, x2, …, xn) → 2n mogućih kombinacija

• izražavanje Booleove funkcije ~ tablica kombinacija (2n redaka), analogno osnovnim logičkim funkcijama I, ILI, NE


Booleove funkcije

• upisivanje funkcije u tablicu

Primjer:

A B A B BA ⋅ BA ⋅ BABA ⋅+⋅0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 11 0 0 1 0 1 11 1 0 0 0 0 0

ako je A=1 "ili" B=1onda f=1inače f=0

BABABAf ⋅+⋅=),(

⇒ isključena kombinacija A=1, B=1isključivo ILI, ekskluzivna disjunkcija, EX-ILI


Booleove funkcije

• definicija:

• notacija:

• simbol:• suma mod 2

• 1 za neparni broj 1 na ulazima

A B f0 0 00 1 11 0 11 1 0

12 +k⊕

BABABAf ⋅+⋅=),(

BABAf ⊕=),(


Booleove funkcije

• čitanje funkcije iz tablice: • za f = 1:

• dakle

• za f = 0:

)0()1()1()0( =⋅=+=⋅= BABA

)1()1()1()1( =⋅=+=⋅= BABA

BABAf ⋅+⋅=

)1()1()0()0( =⋅=+=⋅= BABA

[ ] [ ][ ] [ ])0()0()1()1(

)1()1()0()0()1()1()0()0(=+=⋅=+===+=⋅=+===⋅=⋅=⋅=

BABABABABABA

)()( BABAf +⋅+=

A B f0 0 00 1 11 0 11 1 0


Booleove funkcije

• čitanje općenite funkcije iz tablice: • za f = 1:

• za tablicu iz primjera (EX-ILI):

• općenito za funkciju od n varijabli:

A B f0 0 α0

0 1 α1

1 0 α2

1 1 α3

0 1 2 3

0 0 1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( )fP P P PA B A B A B A Bα α α α

α α α α= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ + ⋅ + ⋅

21

21

30

10

PPf +=

====

αααα

2 1

0 0 2 1 2 10

... , {0,1}n

n n i i ii

f P P Pα α α α−

− −=

= ⋅ + + ⋅ = ⋅ ∈∑


Booleove funkcije


oblik

kanonski, standardni oblik: potpuni disjunktivni normalni oblik

2 1

0 0 2 1 2 10

... , {0,1}n

n n i i ii

f P P Pα α α α−

− −=

= ⋅ + + ⋅ = ⋅ ∈∑


Booleove funkcije

• čitanje općenite funkcije iz tablice – definicije:

• literal : varijabla ili komplement

• produkt : niz literala povezanih operacijom I

• suma : niz literala povezanih operacijom ILI

• normalni član : produkt/suma u kojoj se niti jedan literal ne pojavljuje više od jednog puta

• standardni produkt : normalni produkt koji sadrži toliko literala koliko funkcija ima varijabli: • kanonski produkt, Pi ili minterm, mi

• u tablici kombinacija odgovara mu samo jedna 1

• standardna suma produkata : kanonski oblik funkcije


Booleove funkcije

• Booleove funkcije: čitanje općenite funkcije iz tablice • za f = 0:

• za tablicu iz Primjera (EX-ILI):

• općenito za funkciju od n varijabli:

A B f0 0 α0

0 1 α1

1 0 α2

1 1 α3

[ ]0 1 2 3

0 0 1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) (

( ( ( )

)

) ) ) (

f

S S S S

A B A B A B A Bα α α α

α α α α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣+ + ⎦=

+ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

30

21

30

10

SSf ⋅=

====

αααα

2 1

0 0 2 1 2 10

( ) ... ( ) ( )n

n n i ii

f S S Sα α α−

− −=

= + ⋅ ⋅ + = +∏


Booleove funkcije


oblik

• također kanonski, standardni oblik: potpuni konjunktivni normalni oblik

• oznake: Si: kanonske sume ili makstermi, Mi

2 1

0 0 2 1 2 10

( ) ... ( ) ( )n

n n i ii

f S S Sα α α−

− −=

= + ⋅ ⋅ + = +∏


Booleove funkcije

• standardni (kanonski) oblici su ekvivalentni:• npr. za EX-ILI:

• izbor standardnog oblika za prikaz: • mali broj 1 u definiciji funkcije ~ kanonska suma

standardnih produkata • mali broj 0 u definiciji funkcije ~ kanonski produkt

standardnih suma• manji broj članova (terma) ~

brže/jednostavnije čitanje iz tablice!

BABABABA

BBBABAAABABAf

⋅+⋅=

+⋅+⋅+=

⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅+=

00

)()(


Booleove funkcije

• drugi prikazi:• varijabla ~ 1, komplement ~ 0

• standardni članovi = vektori (n-torke) ~ n-bitni brojevi !

• interpretacija Booleove funkcije: f : {0, 1}n → {0, 1}

• skraćeno pisanje funkcije ~ indeksi minterma/maksterma

(1,2) (0,3)f A B A B= ⋅ + ⋅ = Σ = Π


Booleove funkcije

• pretvorba nekanonskog oblika Booleove funkcije u kanonski oblik~ Shannonov teorem ekspanzije:

• suma produkata~logički "množiti"

svaki produkt koji nije kanonski s 1 tj. članom

Primjer:

CBACBACBACBABCA

CBAACCBBA

CBAf

++++=

=⋅++++=

⋅+=

...)())((

1, x: varijabla koja nedostajex x+ =


Booleove funkcije

• nekanonski oblici Booleovih funkcija: pretvorba u kanonski oblik• produkt suma :

svaku sumu koja nije kanonska logički "zbrojiti" s 0 tj. članom

Primjer:

)()()()(

...)()(

)()(

CBACBACBACBA

CBAACBBA

CBCAf

++⋅++⋅++⋅++=

=++⋅⋅+⋅+=

+⋅+=

nedostaje koja varijabla: x,0=⋅ xx


Booleove funkcije

• komplementarna funkcija : ~ funkcija kojoj su vrijednosti komplementarne onima izvorne funkcije (0 → 1, 1 → 0)

vrijedi:

∏

∑

∏

∑−

=

−

=

−

=

−

=

+=

⋅=→

+=

⋅=

12

0

12

0

12

0

12

0

)()(n

n

n

n

iii

iii

iii

iii

S

Pf

S

Pf

α

α

α

α

{2 }nP PP

i j ii I i Ij I

f P f P S∈ ∈∈ −

= → = =∑ ∑ ∏


Mintermi i makstremi

x y z Minterm Oznaka 0 0 0 x'y'z' m0 0 0 1 x'y'z m10 1 0 x'yz' m20 1 1 x'yz m31 0 0 xy'z' m41 0 1 xy'z m51 1 0 xyz' m6

1 1 1 xyz m7

x y z Maksterm Oznaka0 0 0 x+y+z M0 0 0 1 x + y + z' M10 1 0 x + y' + z M20 1 1 x+y'+z' M31 0 0 x' + y + z M41 0 1 x'+y+z' M51 1 0 x'+ y'+ z M6

1 1 1 x'+y'+z' M7


Booleove funkcije

Primjer: komplementarna funkcija

ABCCABCBABCACBAPPPPPCBAf

++++=

++++= 76431),,(

520

76431

)(...

)()()()()(

),,(

PPPCBACBACBACBACBBACBACA

SSSSSCBACBACBACBACBA

ABCCABCBABCACBA

ABCCABCBABCACBACBAf

++=++=++=+=

=⋅⋅⋅⋅=

++⋅++⋅++⋅++⋅++=

⋅⋅⋅⋅=

++++=


Booleove funkcije

• dualna funkcija: ~ funkcija koja se dobiva zamjenom operatora

(+,⋅) i konstanti (0, 1) izvorne funkcije• primjena teoreama o dualnosti

vrijedi:

)0,1,,,,...,,,()1,0,,,,...,,,( +⋅=→⋅+= CBAffCBAff DD

( )D Df f=


Booleove funkcije

Primjer: - dualna funkcija

0 1 3 4 6

2 5 7

( , , )

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

D

f A B C ABC ABC ABC ABC ABC P P P P P

f A B C A B C A B C A B C A B C A B C

AC ABCABC ABC ABCP P P

= + + + + = + + + +

= + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +=

= +

= + += + +


Booleove funkcije

• komplementarna i dualna funkcija• izražavanje de Morganovih zakona

(= komplement funkcije) dualnom funkcijom:• de Morgan:

• komplement funkcije (još jednom):

• postupak komplementiranja: • komplementirati varijable• izvesti dualnu funkciju

• primjena komplementarne funkcije

~ pojednostavljivanje Booleovih izraza

,1,0),,,...,,,(

,0,1),,,...,,,(

+⋅=

⋅+=

CBAf

CBAff

,...),,(,...),,( CBAfCBAf D=


Booleove funkcije

• kombinacije varijabli~ uzeti u obzir sve moguće kombinacije vrijednosti 0 i 1

koje varijable mogu poprimiti:

• broj kombinacija: r = 2n

• svakoj kombinaciji moguće pridružiti dvije vrijednosti: 0 ili 1


Booleove funkcije dvije i više varijabli

• moguće funkcije jedne varijable:

A f0 f1 f2 f3

0 0 0 1 11 0 1 0 1

f0,f3: konstante (nularne funkcije) f0=0 f3=1

f1,f2: unarne funkcije f1=A: varijabla f2=A : komplement


Booleove funkcije

• moguće funkcije dvije varijable: A B f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

A B f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

klase funkcija od dvije varijable 1. konstante: f0,f15 2. funkcije pojedinačne varijable: f3,f5,f10,f12 3. konjunkcije literala: f1,f2,f4,f8 4. disjunkcije literala: f7,f11,f13,f14 5. ekvivalencija i ekskluzivna disjunkcija: f6,f9






Booleove funkcije

• moguće funkcije dvije varijable:

f0 =0 konstanta (*) f8 = BA + NILI (*) f1 = AB I (*) f9 = ABBA + ekvivalencija (*) f2 = BA inhibicija (*) f10 = B komplement

f3 = A identitet (*) f11 = )( ABBA ⇒=+ implikacija f4 = BA inhibicija f12 = A komplement f5 = B identitet f13 = )( BABA ⇒=+ implikacija

(*) f6 = BABA + EX-ILI (*) f14 = AB NI (*) f7 = BA + ILI f15 =1 konstanta


* - različite netrivijalne funkcije


Vježba

• koje su funkcije međusobno komplementarne?• I i NI,

• ILI i NILI,

• INHIBICIJA i IMPLIKACIJA,

• ISKLJUČIVO ILI i EKVIVALENCIJA.

• koje su funkcije međusobno dualne?• I i ILI,

• NI i NILI,

• INHIBICIJA I IMPLIKACIJA,

• ISKLJUČIVO ILI i EKVIVALENCIJA.


Booleove funkcije

• uzeti u obzir sve moguće kombinacije vrijednosti 0 i 1 koje varijable mogu poprimiti: • broj kombinacija: 2n

• svakoj komb. moguće pridružiti dvije vrijednosti:0 ili 1

• broj mogućih Booleovih funkcija od n varijabli: n n2

n22 1 2 4 2 4 16 3 8 256 4 16 64K = 65.536 5 32 4G = 4.294.967.296


Osnovne i univerzalne funkcije

• zapažanje: • nagli porast broja mogućih funkcija

~hipereksponencijalni zakon

• za n ≥ 3 već nema smisla pisati tablicu! • ograničiti se na f(x1, x2)• pronaći one f(x1, x2) kojima će se moći ostvariti

sve ostale funkcije ~ “univerzalne" funkcije?

• izražavanje f(x1, x2, …, xn) kao kompozicija izvjesnog broja f(x1, x2) f=f'(ϕ1, ϕ2, …, ϕt)

φ1

φ2

φt

f' f



• potreba za ograničavanjem broja različitih Booleovihfunkcija, odnosno sklopova koji ih ostvaruju: • razlozi tehničko-proizvodne prirode

• standardizacija funkcija/sklopova• masovna proizvodnja samo nekih logičkih sklopova

• (engl. economy of scale)

• samo definiranim (malim!) skupom funkcija (sklopova)ostvariti sve (preostale) funkcije (sklopove)



• potpuni sustav funkcija :"skup Booleovih funkcija naziva se funkcijski potpunisustav ako se iz funkcija takvog skupa, korištenjem superpozicije i zamjene, može dobiti svaka Booleovafunkcija"• superpozicija ~ primjena funkcije

• zamjena ~ promjena mjesta varijabli (i načina dekompozicije složene Booleove funkcije)

• elementi potpunog sustava funkcija: ~ osnovne (primitivne) funkcije



• potpuni sustav funkcija:• želja: minimalni potpuni sustav,

ekonomski najopravdaniji!

• provjera potpunosti sustava funkcija: izražavanje {I, ILI, NE} • dokazano osnovni skup Friedman i Menon 1975

• {I, ILI, NE} također jedan potpuni sustav, jedino nije minimalan!



• neki potpuni sustavi funkcija:

⇒ nije potrebno {I, ILI, NE}!

• provjera za {I, NE}: de Morganom za ILI

{I,NE}: {f1,f10}, {f1,f12}{ILI,NE}: {f7,f10}, {f7,f12}

)))(),((()))(()),(((),(

BNEANEINEBNENEANENEILIBAILI

==

A B A B AB+ = + =



• neki (drugi) potpuni sustavi funkcija:

{EX-ILI,I,1}: {f1, f6, f15}

( , )A B A B ABEX IL BI A= ⊕ = +−

EX-ILI(A,1) = A EX-ILI(EX-ILI(A,B),I(A,B)) = ILI(A,B)

{EX-NILI, I, 1} : {f1 , f9 , f15}

{inhibicija, 1} : {f2 , f15}

{implikacija, 0} : {f11 , f0}

AA =⋅1

ABABAABAABAA =+=+= )()(

BABA +=)(



• posebno značajni potpuni sustavi funkcija: oni koji sadrže samo jednu funkciju!

{NI} : { f14 }

{NILI} : { f8 }

• univerzalne funkcije : NI, NILI• minimalni potpuni skup funkcija

• minimalni broj različitih sklopova

• invertor (NI = NE ● I, NILI = NE ● ILI): pojačanje signala

AAA =⋅ABAB =

BABA +=

A A A+ =

A B A B+ = +

A B AB+ =



Primjer: ostvarivanje {I, ILI, NE} korištenjem {NI}

)),(),,(())),(),,(((

)),(())),(((),(

BANIBANINIBANIBANIINE

BANINEBAINENEBAI

====

),()),(()(

AANIAAINEANE

==

)),(),,(()))(),(((

)))(()),(((),(

BBNIAANINIBNEANEINE

BNENEANENEILIBAILI

===


NE I ILI

AAAA =⋅

A AAA =+

A

B

BA ⋅ BA ⋅

A

B

A

BBABA ⋅=+

AB

BA ⋅

A

B

A

B

BABA +=⋅

A

B

BA+ BA+

ABA+

B


Primjer : ostvarivanje {I, ILI, NE} korištenjem {NI} i {NILI}



• zapažanje:• {I, ILI, NE} povoljno pri formuliranju problema/rješenja

~ konceptualno blisko

• {NI, NILI} povoljno pri ostvarenju digitalnog sklopa ~ blisko električkoj izvedbi

• potreba za transformacijom izraza kojim je definirana Booleova funkcija

• metode transformacije: • metoda supstitucije

• algebarska metoda


Metoda supstitucije

• metoda supstitucije (funkcija u obliku sume produkata): • zamijeniti osnovne funkcije univerzalnima:

NE → NI ◦ NI, I → NE ◦ NI, ILI → NI ◦ NE

• primijeniti T3 (involucija) ~ eliminirati dvostruku primjenu funkcija NE

⇒

NINEI o= )( n putaNENIILI o=


Metoda supstitucije

• algebarska metoda (funkcija u obliku sume produkata): • primijeniti T3 (involucija) na izraz kojim je definirana

Booleova funkcija

• primijeniti T8 (de Morganov zakon)

2 1

1 20

0 0 1 1 2 1 2 1

0 0 1 1 2 1 2 1

( , ,..., )

...

...

n

n n

n n

n i ii

f x x x P

P P P

P P P

α

α α α

α α α

−

=

− −

− −

=

= + + +

= ⋅ ⋅ ⋅

∑



• algoritam transformacije (funkcija u obliku produkta suma)~ prikaz funkcijom NILI • svaku sumu (funkcija ILI) prikazati funkcijom NILI;

NILI pojedinačne varijable reducira se na komplement

• na dobivene NILI članove primijeniti "izlazni" NILI član

• također dvorazinska logička shema



• metoda supstitucije (funkcija u obliku produkta suma): • zamijeniti osnovne funkcije univerzalnima:

• NE → NILI ◦ NILI, ILI → NE ◦ NILI, I → NILI ◦ NE

• primijeniti T3 (involucija) ~ eliminirati dvostruku primjenu funkcija NE

⇒ f

ILI I

NILINEILI o= )( n putaNENILII o=

f



• algoritam transformacije (funkcija u obliku produkta suma)~ prikaz funkcijom NILI • svaku sumu (funkcija ILI) prikazati funkcijom NILI;

NILI pojedinačne varijable reducira se na komplement

• na dobivene NILI članove primijeniti "izlazni" NILI član

• također dvorazinska logička shema

f f



Primjer :

Primjer :

CBAAB

CBAABf

⋅=

+=

CBABA

CBABAf

++++=

++⋅+= )()(



• transformacija funkcije koja nije u obliku sume produkata ili produkta suma ~ višerazinska logička shema

• Primjer :

DACBADACBADACBAf ⋅⋅=⋅+⋅=++⋅= )()(


Funkcije tri i više varijabli

• proširivanje funkcija na više varijabli: • generiranje složenijih funkcija

opetovanom primjenom funkcija manjeg broja varijabli

• standardizacija funkcijskih implementacija ~ standardizacija logičkih sklopova:

ekonomičnost!

• treba zadovoljiti:

• komutativnost (~ "zamjena")

• asocijativnost (~ "superpozicija")



• proširivanje funkcije I: moguće je! • asocijativnost:

• komutativnost: "izmiješati" varijable

⎩⎨⎧

=− ),...)),(,...,(,(

))...),),,((...((),...,(

121

3211

nn

nn xxfxfxf

xxxxfffxxf

)...))(...(())...))(...((...

121

32121

nn

nn

xxxxxxxxxxx

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

−

)...))(...(())...))(...((...

121

32121

nn

nn

xxxxxxxxxxx

++++=+++=+++

−



• proširivanje funkcije EX-ILI: promjena definicije!

Primjer : asocijativnost po stupcima tablice

A B BA ⊕0 0 00 1 11 0 11 1 0

A B C CBA ⊕⊕0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

⇒



• proširivanje funkcije EX-ILI: promjena definicije!

• EX-ILI(A, B) = A "ili" B, ali ne oba!

• EX-ILI(A, B, C) = neparan broj 1~ oznaka: 2k+1

2k+1



• svojstva funkcije EX-ILI:

• važnost EX-ILI:• aritmetički sklopovi • zaštita poruka od pogrešaka prilikom prijenosa• generiranje pseudo-slučajnih nizova

(kodiranje, kriptiranje)

1. komutativnost2. asocijativnost 3. distributivnost4. AA =⊕ 0 5. AA =⊕1 6. 0=⊕ AA 7. 1=⊕ AA 8. BABA ⊕=⊕



• proširivanje funkcije EX-NILI: • n = 2: "ekvivalencija" dvije varijable

• n = 3: neparni paritet (2k+1)

• n = 4: komplement neparnog pariteta

• definicija: logički identitet svih varijabli !

nn xxxxxxf ...... 2121 +=



• proširivanje univerzalnih funkcija NI, NILI: ne ide! ~ slijediti definiciju funkcija

⇔≡ INENI o

n

n

nn

xxxxxx

xxxINExxxNI

+++=⋅⋅⋅=

≡

......

)),...,,((),...,,(

21

21

2121

⇔≡ ILINENILI o

n

n

nn

xxxxxx

xxxILINExxxNILI

⋅⋅⋅=+++=

≡

......

)),...,,((),...,,(

21

21

2121



• proširivanje univerzalnih funkcija NI, NILI: ne ide! • asocijativnost ne vrijedi!

• zato se držati definicije (NI = NE ● I, NILI = NE ● ILI)

• uočiti ~ NI i NILI su međusobno dualne

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

+==≠++=⋅⋅=

BCABCACBNIANI

CABCABCBANINICBACBACBANI

)),(,(

)),,((),,(



• druge (složene) Booleove funkcije: • logički prag [threshold f.]: ≥ m ulaza u 1, m < n

• majoritet [majority f.]: većinska f, f. glasanja> n/2 ulaza u 1

• "samo m":

upravo m ulaza u 1, m < n

m≥

2n

≥

m=n ulaza


Nepotpuno specificirane funkcije

• u nekim primjenama:~ ne pojavljuju se sve ulazne kombinacije

→ nije važna vrijednost funkcije (engl. don't care)→ u tablicu kombinacija upisuje se "X"

Primjer 1 : ostvariti funkciju koja ispituje je li dekadska znamenka prikazana u BCD (8421) kodu neparna~ koristi se samo 10 ulaznih kombinacija



funkcija koja ispituje je li dekadska znamenka A = a3a2a1a0 prikazana u BCD kodu neparna

f = Σm(1, 3, 5, 7, 9) +Σd(10, 11, 12, 13, 14, 15)

= ΠM(0, 2, 4, 6, 8) •

Πd(10, 11, 12, 13, 14, 15)

a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

a3 a2 a1 a0 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

a3 a2 a1 a0 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 1 1 0 1 0 X 1 0 1 1 X 1 1 0 0 X 1 1 0 1 X 1 1 1 0 X 1 1 1 1 X

a3 a2 a1 a0 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 1 1 0 1 0 X 1 0 1 1 X 1 1 0 0 X 1 1 0 1 X 1 1 1 0 X 1 1 1 1 X



Primjer 2 : • Pretpostavimo da su x1 i x2 ulazi upravljani sklopkama koje

mehanički osiguravaju da x1 i x2 ne mogu biti istovremeno uključeni.

• Za kombinaciju ulaznih varijabli (x1,x2) = 11 kažemo da je “don’t care condition”, a za funkciju T da je nepotpuno specificirana.

x1 x2 T

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 X

x1 x2 T

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 −

Documents

Osnove Dig Logike