of 81 /81
SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET Jure Radnić Alen Harapin OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA INTERNA SKRIPTA Split, 2007.

Osnove betonskih kostrukcija

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Kako se radi proračun betonskih i čeličnih kostrukcija za različite nosivosti

Text of Osnove betonskih kostrukcija

SVEUILITE U SPLITU GRAEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET

Jure Radni Alen Harapin

OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJAINTERNA SKRIPTA

Split, 2007.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

2

SADRAJ: 1 2 Osnove pojmovi o Armiranom betonu...................................................................................... 4 1.1 Openito ................................................................................................................................ 4 Osnove prorauna AB konstrukcija.......................................................................................... 5 2.1 Openito ................................................................................................................................ 5 2.2 Osnovne pretpostavke........................................................................................................... 7 2.3 Radni dijagram betona........................................................................................................... 8 2.4 Radni dijagram elika ............................................................................................................ 9 2.5 Koeficijenti sigurnosti ........................................................................................................... 10 2.6 Klase okolia........................................................................................................................ 11 3 Dimenzioniranje AB konstrukcija prema Graninim stanjima nosivosti ................................. 13 3.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku ..................................................................... 13 3.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja .......................... 13 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 Teoretske postavke ...................................................................................................... 13 Sluaj 1 ......................................................................................................................... 16 Sluaj 2 ......................................................................................................................... 17 Sluaj 3 ......................................................................................................................... 19 Sluaj 4 ......................................................................................................................... 21

3.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja ............................. 22 3.4 Dimenzioniranje T i presjeka ............................................................................................ 26 3.5 Kratki elementi optereeni centrinom tlanom silom.......................................................... 31 3.6 Kratki elementi optereeni centrinom vlanom silom......................................................... 31 3.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdunu silu....................... 32 3.7.1 3.7.2 3.7.3 Uzduna vlana sila postupak Wuczkowskog ........................................................... 32 Uzduna tlana sila postupak Wuczkowskog ............................................................ 33 Uzduna tlana/vlana sila dimenzioniranje pomou dijagrama interakcije .............. 38

3.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdunom silom .... 41 3.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprenu silu......................................................................... 43 3.9.1 3.9.2 3.9.3 3.9.4 3.9.5 Openito ....................................................................................................................... 43 Postupak....................................................................................................................... 43 Standardna metoda ...................................................................................................... 44 Metoda slobodnog odabira nagiba tlanih tapova ...................................................... 45 Minimalna (konstruktivna) armatura ............................................................................. 46

3.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije....................................................................... 50 3.10.1 Openito ....................................................................................................................... 50 3.10.2 Postupak....................................................................................................................... 51 3.10.3 Zajedniko djelovanje Momenta torzije i Poprene sile ................................................ 52

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

3

3.10.4 Proraun ploa na proboj.............................................................................................. 57 3.10.5 Koso savijanje............................................................................................................... 57 3.10.6 Vitki elementi naprezani ekscentrinom tlanom silom ................................................ 57 4 Dimenzioniranje presjeka prema Graninim stanjima uporabe ............................................. 58 4.1 Openito .............................................................................................................................. 58 4.2 Granino stanje naprezanja................................................................................................. 58 4.3 Granino stanje pukotina ..................................................................................................... 59 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4.1 4.4.2 5 Openito ....................................................................................................................... 59 Minimalna armatura ...................................................................................................... 59 Dokazni postupak bez kontrole irine pukotina ............................................................ 60 Proraun irine pukotina ............................................................................................... 60 Openito ....................................................................................................................... 64 Dokaz graninog stanja progibanja .............................................................................. 65

4.4 Granino stanje progiba....................................................................................................... 64

PRILOZI ................................................................................................................................. 72 Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graninim stanjima sloma ..... 73 Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i presjeka...................................................................... 74 Prilog 3: Tablice za proraun pravokutnih krino armiranih ploa optereenih jednolikim kontinuiranim optereenjem.......................................................................................... 75 Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih pravokutnih presjeka...................... 76 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih pravokutnih presjeka...................... 77 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih pravokutnih presjeka...................... 78 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih krunih presjeka............................. 79 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrino armiranih krunih presjeka............................. 80 Prilog 9: Armaturne tablice........................................................................................................... 81

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

4

11.1

OSNOVE POJMOVI O ARMIRANOM BETONUOpenito

Beton je umjetni kamen, dakle materijal koji, kao i svaki kamen ima veliku tlanu ali malu vlanu vrstou. U kombinaciji s armaturom dobiva se novi materijal armirani beton, koji objedinjuje sve dobre karakteristike oba osnovna materijala. Efikasno djelovanje tih dvaju, po mehanikim karakteristikama razliitih materijala, omogueno je sljedeim: Beton tokom svog stvrdnjavanja vrsto prianja uz elik (armaturu), tako da pri djelovanju vanjskih sila oni zajedno sudjeluju u noenju. Prianjanje elika i betona glavni je faktor njihovog zajednikog sudjelovanja u noenju. Beton i elik imaju priblino jednake temperaturne koeficijente. Betonu, ovisno o agregata temperaturni koeficijent je: c = 1.4 10 5 0.7 10 5 1 o C , a eliku: c = 1.2 10 5 1 o C , zbog ega u kombinaciji ova dva materijala dolazi do neznatnog unutranjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama. Beton titi elik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazinog karaktera kemijskih reakcija i obilnog luenja Ca(OH)2.

Kombinacijom betona i elika u obliku armiranog betona postie se dobro iskoritenje obaju materijala, pri emu beton u prvom redu prima tlana, a elik vlana naprezanja.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

5

22.1

OSNOVE PRORAUNA AB KONSTRUKCIJAOpenito

Pod pojmom graninog stanja presjeka odnosno konstrukcije, podrazumijeva se ono stanje pri kojem presjek odnosno konstrukcija gubi sposobnost da se odupre vanjskim utjecajima ili pak dobiva nedoputeno velike deformacije ili lokalna oteenja, ime prestaje ispunjavati postavljene kriterije u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti. Prema tome, konstrukcija (ili jedan njen dio) smatrat e se nepodobnom za predvienu uporabu ako je prekoraeno bar jedno od graninih stanja. Ovakav pristup, zasnovan na teoriji pouzdanosti konstrukcija, zahtijeva da se odabere ogranieni skup stanja za opisivanje ponaanja konstrukcije. Takva se stanja obino nazivaju graninim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava uvjete za koje je projektirana. Openito, uobiajeno je da se granina stanja dijele u dvije velike grupe: a) granino stanje koje odgovara maksimalnoj nosivosti, a postie se:

lomom materijala u kritinom presjeku ili dosezanjem znatnijih deformacija; otkazivanjem nosivosti konstrukcije praeno pojavom tzv. plastinih zglobova, gdje se formira mehanizam loma kod statiki neodreenih nosaa (kod ploa se formiraju tzv. linije loma); dovoenjem konstrukcije ili elementa konstrukcije koje promatramo kao kruta tijela u stanje gubitka ravnotee; izvijanjem u elastinom ili plastinom podruju; zamorom materijala (npr. za mostove i nosae kranskih staza); nestabilnou uslijed velikih pomaka i deformacija. graninim stanjem deformacija vezano za upotrebljivost i izgled elementa i konstrukcije u cjelini - proraun deformacija; graninim stanjem pukotina - proraun pukotina. graninim stanjem naprezanja kontrola naprezanja.

b) granina stanja upotrebljivosti, a postiu se:

Bitno je napomenuti da se jo uvijek esto proraun konstrukcija vri po teoriji elastinosti (linearna teorija), dok se dimenzioniranje vri po metodi graninih stanja. Dakle, oiti je nesklad takvog postupka jer, naime, nedjeljiva je nelinearna ovisnost naprezanje-deformacija za armirano betonski presjek od preraspodjele unutarnjih sila u statiki neodreenoj konstrukciji ("plastifikacija" presjeka i "plastifikacija" sistema). Metoda graninih stanja promatra stanje deformacija i naprezanja neposredno pred slom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka neposredno pred slom, valja poznavati i stanja naprezanja koja prethode graninome. Greda od armiranog betona optereena koncentriranom silom u sredini raspona ima razliite stupnjeve iskoritenosti u raznim presjecima zavisno od momentnog dijagrama. Idui od leajeva prema sredini raspona vide se tri razliita stanja naprezanja, poznata u armiranom betonu kao stanja naprezanja I, II i III (crte 1).

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

6F

I n.o.

Ia n.o.

II n.o.

III

SREDINA PRESJEKA

d

R

Bez pukotina

Sitne pukotine 1/2 l

Pukotine pred slom M II M III

MI

M Ia

Crte 1 - Stanja naprezanja AB grede

Za stanje I, naprezanja tlaka i vlaka su mala, pa je opravdano pretpostaviti da je raspodjela naprezanja linearna. Kraj stanja I (Ia) oznaava da je vlana vrstoa betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela naprezanja u vlanoj zoni ide po krivulji dok je raspodjela tlanih naprezanja jo uvijek linearna. Stanje naprezanja II karakteristino je po tome to u vlanoj zoni nastaju pukotine i vlana se zona iskljuuje iz nosivosti, a raspodjela tlanih naprezanja ima oblik krivulje. Stanje naprezanja III (stanje neposredno pred slom) karakteristino je po tome to raspodjela tlanih naprezanja ima oblik krivulje, a u vlanoj zoni, kao i u zoni II, nastaju pukotine koje su jo vee i doseu neutralnu os. Tlana zona se smanjuje i neutralna os putuje prema gore. Nain sloma armirano betonskih elemenata ovisi o postotku armiranja, o djelovanju unutranjih sila i o mehanikim karakteristikama betona i armature. Openito slom presjeka moe nastati: 1. uslijed poputanja armature i to na 2 naina: nedovoljnim armiranjem ( < min) tako da prilikom prijelaza iz faze I u fazu II dolazi do

naglog poveanja naprezanja u armaturi, plastifikacije armature, formiranja veih pukotina i loma armature. Slom nastaje trenutno. Da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom;

iscrpljenou armature, kod ega se slom presjeka ne dogaa odmah poslije pojave

pukotina, ve mu prethode sve vee pukotine i naglaene deformacije armature u vlanoj zoni (duktilan slom); 2. uslijed poputanja betona nastaje neduktilan slom. Takav slom nastaje kod jako armiranih presjeka, pri emu naprezanje u eliku ne dosee granicu poputanja. Slom nastaje iznenadno bez naglaenih pukotina i veih deformacija, osobito za betone visokih kvaliteta; 3. uslijed istodobnog poputanja betona i armature nastaje tkz. balansirani slom, koji je karakteriziran prethodnom pojavom naglaenih deformacija i pukotina. Ako postoji mogunost slobodnog izbora presjeka, preporuuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne iscrpljenosti armature i betona, tj uz potpuno iskoritenje obaju materijala ili samo elika.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

7

2.2

Osnovne pretpostavke da postoji dovoljna sigurnost na lom, da je zadovoljen uvjet ogranienja pukotina za radna optereenja (uvjet trajnosti), da ukupne deformacije, s utjecajem puzanja, skupljanja i temperature, ne izazovu

Elementi konstrukcija kod dimenzioniranja trebaju zadovoljiti uvjete:

nepovoljne utjecaje na konstrukciju u eksploataciji (uvjet uporabljivosti). U proraunu se po pravilu izrauna jedno granino stanje, koje se smatra mjerodavnim, a zatim se, za usvojenu geometriju poprenih presjeka i kvaliteta materijala, dokazuje da su i ostala granina stanja zadovoljena. U velikom broju sluajeva, u inenjerskoj praksi, najkritinije je stanje granine nosivosti - loma. Stoga se detaljan proraun - dimenzioniranje karakteristinih poprenih presjeka nosaa sprovodi prema teoriji granine nosivosti, a zatim se daje dokaz odnosno provjera ispunjenosti uvjeta koje trae granina stanja upotrebljivosti. Meutim, zavisno od namjene objekta, okolne sredine, primijenjenog sistema konstrukcije i sl., moe se dogoditi da ne bude (uvijek) mjerodavno stanje loma, ve jedno od dva granina stanja upotrebljivosti. Tako, na primjer, u jako agresivnim sredinama, gdje se u toku eksploatacije doputaju vrlo male irine pukotina u betonu, moe biti najkritinije granino stanje pukotina, pa kao takvo i mjerodavno za proraun. Kod vitkih AB konstrukcija velikih raspona moe pak biti mjerodavno granino stanje deformacija, koje se kod savijenih elemenata svodi na granino stanje progiba. Uvjeti koje ovo granino stanje trai moraju se potivati radi osiguranja funkcionalnosti konstrukcije, posebno radi osiguranja kompatibilnosti deformacija (progiba) konstrukcije sa opremom, pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama; zatim izbjegavanja nepovoljnih psiholokih efekata, itd. Proraun prema graninim stanjima dakle obuhvaa proraune i kontrole ponaanja konstrukcija i to: a) granino stanje loma: provjerava na klizanje, izvijanje, prevrtanje, isplivavanje, odizanje oslonaca...); proraun unutarnjih sila koje vladaju u konstrukciji bilo linearnom teorijom (teorijom proraun statike ravnotee konstrukcije (gdje se konstrukcija promatrana kao kruto tijelo

elastinosti) ili transformacijom konstrukcije u mehanizme loma (proraun teorije plastinosti); proraun granine nosivosti kritinih presjeka za djelovanje momenata savijanja i uzdunih

sila, poprenih sila, momenata torzije, lokalnih naprezanja, probijanja, adhezije i sl.; proraun graninog stanja loma uslijed zamora materijala (za posebne elemente

konstrukcija). b) granino stanje u eksploataciji: dokaz razmaka i otvora pukotina u vlanoj zoni betona; dokaz maksimalnih deformacija i progiba za upotrebljivost konstrukcije.

Proraun po graninoj nosivosti lomu vri se na osnovu sljedeih pretpostavki: presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni (vrijedi hipoteza Bernoulli-a), iz ega proistie da

je raspored deformacija po visini presjeka pravolinijski; nosivost betona u vlanoj zoni se ne uzima u obzir. Vlanu silu prima armatura; prianjanje betona i elika nije narueno sve do samog loma konstrukcije. Dakle deformacije

betona i armature su iste za istu udaljenost od neutralne osi presjeka; poznata je veza naprezanje-deformacija za armaturu i beton, ime je odreena veliina i

raspored tlanih naprezanja po visini tlanog dijela presjeka.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

8

2.3

Radni dijagram betona

Eksperimentalna istraivanja su pokazala da stvarni oblik veze izmeu naprezanja c i deformacije c za beton ovisi o nizu faktora: vrsti optereenja, stanju naprezanja u elementu (jednoosno, dvoosno ili vieosno), kvaliteti betona, brzini nanoenja optereenja, duine trajanja optereenja, obliku poprenog presjeka nosaa, koliine armature u tlanoj zoni presjeka, gustoi vilica itd. Za potrebe prorauna-dimenzioniranja betonskih i armirano betonskih presjeka potrebno je iznai analitiku vezu izmeu naprezanja c i deformacija c betona, koja e s jedne strane biti vrlo jednostavna i primjenjiva u praksi, a s druge to vjernije opisivati stvarnu vezu. Ova analitika veza, koja se u literaturi naziva radni dijagram betona (RDB), u pravilnicima raznih zemalja poprima itav niz oblika: parabole drugog ili treeg stupnja, pravokutnika, parabole+pravokutnika i sl. U naoj zemlji, a prema prijedlogu EC 2, usvojen je radni dijagram betona oblika parabola+pravokutnik (crte 2).

cfckck 4c)c c= (

fcd

f 4

] c [2.0 3.5

Crte 2 Radni dijagram betona

Raunski radni dijagram betona je dakle parabola:c = fcd (4 c ) c 4

pri

0 c 2 .0

()

tj pravacc = fcd

pri

2 . 0 < c 3 .5

()

gdje je: fcd - raunska tlana vrstoa betona, koja se dobiva iz karakteristine tlane vrstoeKarakteristika betona fck (MPa) fc,cub (MPa) fct,m (MPa) Rd (MPa) Ecm (MPa) vrstoa na valjku vrstoa na kocki Srednja vlana vrstoa Posmina vrstoa Poetni modul elastinosti C 12/15 12.0 15.0 1.6 0.18 26000.0 C 16/20 16.0 20.0 1.9 0.22 27500.0 C 20/25 20.0 25.0 2.2 0.26 29000.0 C 25/30 25.0 30.0 2.6 0.30 30500.0 C 30/37 30.0 37.0 2.9 0.34 32000.0 C 35/45 35.0 45.0 3.2 0.37 33500.0 C 40/50 40.0 50.0 3.5 0.41 35000.0 C 45/55 45.0 55.0 3.8 0.44 36000.0 C 50/60 50.0 60.0 4.1 0.48 37000.0

U tabeli su takoer dane i vrijednosti poetnog modula elastinosti te vlane vrstoe za pojedine klase betona, izraunate po izrazima

Ecm = 9500 3 fck + 8 fct,m 0.3 (fck )23

[MPa] [MPa]

; ;

fck [MPa] fck [MPa]

()

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

9

2.4

Radni dijagram elika

Idealna veza izmeu naprezanja i deformacija za elik, kao raunski model za proraundimenzioniranje armirano betonskih presjeka, koja se u literaturi naziva radni dijagram elika (RD), uzima se u obliku bilinearnog dijagrama (crte 3). Maksimalno (granino) naprezanje elika fyk jednako je granici teenja (razvlaenja). Dakle usvaja se da je granina nosivost armature po naprezanjima dostignuta kada naprezanje u armaturi bude jednako granici razvlaenja.

sfyk fyd

] s [2 0 .0

Crte 3 Radni dijagram elika

Dakle smatra se da je dostignuta granina nosivost presjeka po vlanoj uzdunoj armaturi znatno prije no to elik ue u zonu ovrivanja. To je iz razloga to ve pri deformacijama od 5 do 20 armirano betonski nosai se toliko deformiraju da se praktiki iscrpljuje nosivost presjeka deformacije rastu iako se vanjska sila ne mijenja (armatura "tee"). Pri prekoraenju deformacija od 20 dolazi do znaajnih rotacija presjeka i do znatne redukcije tlane zone to ima za posljedicu drobljenje i lom betona u tlaku. U tablici su date mehanike karakteristike i uvjeti za pojedina svojstva elika za armiranje, koji u stvari predstavljaju traene kvalitete za pojedina svojstva.ipkasta armatura (nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4) B 500A B 500B B 450C (1.0438) (1.0439) (1.04) Namot: 4-16 ipke: 6-40 500 1.05 Namot: 6-16 ipke: 6-40 500 1.08 Namot: 6-16 450 1.15 1.35 Mreasta armatura (nHRN EN 10080-5) B 500A (1.0438) 5-16 500 1.05 B 500B (1.0439) 6-16 500 1.08 B 450C (1.04) 6-16 450 1.15 1.35

Naziv i oznaka (broj) elika Nazivni promjer, d (mm) Granica razvlaenja fyk (MPa) Omjer vlane vrstoe i granice razvlaenja

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

10

2.5

Koeficijenti sigurnosti

Metoda graninih stanja je semiprobabilistika metoda u kojoj se na principu vjerojatnoe intenziteta optereenja definiraju reprezentativne vrijednosti. Tim se vrijednostima pridruuju koeficijenti sigurnosti, pa se dobivaju raunske vrijednosti. eljeni stupanj sigurnosti postie se dakle preko koeficijenata sigurnosti. Zavisno o kakvom se optereenju radi imamo i razliite koeficijente sigurnosti. Koeficijenti sigurnosti variraju prema tome da li se radi o stalnom (vlastita teina, teina stalne opreme...), promjenjivom (korisno optereenje, snijeg, vjetar...) ili specijalnom optereenjenju (utjecaji temeperature, puzanja i skupljanja betona, seizmiki udari...). Koeficijent sigurnosti, u biti, slui nam da "pokrijemo" neke netone pretpostavke koje smo uveli u raun, kao to su: Netonost procjene stalnog i pokretnog optereenja; Netonost odreivanja vrstoa i deformacija materijala; Netonost usvojenog statikog sistema u odnosu na stvarnu konstrukciju; Odstupanje raunskih radnih dijagrama od stvarnih za pojedine materijale; Tolerantne greke prorauna; Greke odreivanja kritinih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije; Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konanu vrstou, kao i utjecaj nejednolike

temperature; Neke netonosti kod izvoenja (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netonost

dimenzija presjeka, itd.); Netonost u poloaju armature, naroito odstupanje u veliini zatitnog sloja u odnosu na

projektiranu statiku visinu presjeka; Moguu koroziju elika, koja utjee na smanjenje nosivosti; Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja

naprezanja na vrstoe; Zavisno od deformacije betona i elika definiraju se podruja za odreivanje stanja naprezanja, odnosno jedinstvenog koeficijenta sigurnosti, prema crteu 4.V la k

d2

T la k 2.0 3 .5 B

A s2a 1 b 2 4 d 3 e f g h 5 3 .0 c C

d

A s1

A 2 0 .0

d1

Crte 4 Dijagram deformacija AB presjeka

1.

Centrini i ekscentrini vlak u fazi malog ekscentriciteta u podruju 1 omeeni su linijama a i b. Cijeli betonski presjek je vlano optereen. Ukupnu vlanu silu prima armatura. Toka A je toka rotacije presjeka. Izmeu linija deformacija b i c, u podruju 2, dolaze sluajevi istog savijanja i savijanja sa uzdunom silom (N). Neutralna os uvijek se nalazi u presjeku, a po poloaju ide i do tlanog ruba. Mogui poloaji linija deformacije b i c imaju rotaciju u toki A. Samo u sluaju linije c beton je potpuno iskoriten.

2.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

11

3.

Sluajevi istog savijanja i savijanja sa uzdunom silom mogu biti omeeni i linijama c i d, u podruju 3. Beton je u ovom podruju uvijek iskoriten do vrstoe (fcd). Presjeci su jae armirani za liniju deformacije d. Mogui poloaji linije deformacija imaju za rotaciju toku B. Izmeu linija d i f u podruju 4, spadaju svi sluajevi sloenog savijanja sa ekscentrinom tlanom silom. Vlana armatura, As1, u pravilu nije uvijek iskoritena kod loma zbog malih deformacija elika. Toka rotacije linija deformacije je toka B. Za deformacije armature: s1 < v = fyd Es lom nastaje po betonu, prije nego to elik dostigne granicu razvlaenja fyd. Naprezanja u eliku nisu iskoritena izmeu linija e i f, dok su iskoritena izmeu linija d i e. Linija f predstavlja granicu kod koje je c=3.5 i c=0. U podruju iznad ove linije (prema liniji d) presjeci se raunaju na sloeno savijanje po velikom ekscentricitetu.

4.

5.

Podruje 5 odreeno je linijama g i h, a odnosi se na sluajeve ekscentrine tlane sile u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija nalazi se uvijek izvan presjeka. U presjeku se javljaju samo tlana naprezanja. Mogua toka rotacije linija deformacije je toka C. Lom uvijek nastaje po betonu. Za krajnje tlano vlakno betona c= 2.0-3.5, naprezanja su praktino na granici gnjeenja, dok su naprezanja u armaturi na suprotnom rubu od s= 0 do s= fyd. Maksimalna deformacija tlane armature iznosi 2.0.

2.6

Klase okolia

Beton u eksploataciji moe biti izloen razliitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnoloki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristine tlane vrstoe, minimalnog zatitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati klasu betona. Razredi izloenosti i minimalne vrijednosti dane su u tablici.Razred Opis okolia Informativni primjer mogue pojave razreda izloenosti Najmanji razred tlane vrstoe betona Minim. Zatitni sloj cmin (mm) Maksim. v/c omjer Min. koliina cementa Ostali zahtjevi

1. Nema rizika od oteenja X0 Bez rizika djelovanja Elementi bez armature u neagresivnom okoliu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloeni smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi) Elementi u prostorijama obine vlanosti zraka (ukljuujui kuhinje, kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlanosti (npr. Javne kuhinje, kupalita, praonice, vlani prostori zatvorenih bazena za kupanje,) Vanjski betonski elementi izravno izloeni kii; elementi u podruju vlaenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke, Podruja prskanja vode s prometnih povrina; privatne garae Bazeni za plivanje i kupalita sa slanom vodom; elementi izloeni industrijskim vodama koji sadre kloride Elementi izloeni prskanju vode s prometnih povrina na koja se nanose sredstva za odleivanje; parkiraline ploe bez zatitnog sloja C 20/25 15 -

2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom XC1 XC2 Suho ili trajno vlano Vlano, rijetko suho Umjerena vlanost Cikliko vlano i suho Suho ili trajno vlano Vlano, rijetko suho Cikliko vlano i suho C 20/25 C 30/37 20 35 0.65 0.60 260 280 -

XC3

C 30/37

35

0.55

280

-

XC4

C 30/37

40

0.50

300

-

3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1 XD2 C 30/37 C 30/37 55 55 0.55 0.55 300 320

XD3

C 35/45

55

0.45

320

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora XS1 XS2 XS3 Izloeni soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom Uronjeno U zonama plime i prskanja vode Umjereno zasieno vodom bez sredstava za odleivanje Umjereno zasieno vodom sa sredstvom za odleivanje ili morska voda Jako zasieno vodom bez sredstava za odleivanje Vanjski elementi u blizini obale Stalno uronjeni elementi u lukama Zidovi lukobrana i molova C 30/37 C 35/45 C 35/45 55 55 55 0.50 0.45 0.45 300 320 340 -

12

5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleivanje XF1 Vanjski elementi Podruja prskanja vode s prometnih povrina, sa sredstvom za odleivanje (ali drukije od onog kod XF4); podruje prskanja morskom vodom Otvoreni spremnici za vodu; elementi u podruju kvaenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) Prometne povrine tretirane sredstvima za odleivanje; preteno vodoravni elementi izloeni prskanju vode s prometnih povrina na koja se nanose sredstva za odleivanje; parkiraline ploe bez zatitnog sloja); elementi u podruju morske plime; mjesta na kojima moe doi do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekuih umjetnih gnojiva Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silau i korita (lijebovi) za hranjenje ivotinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvoenje dimnih plinova Elementi industrijskih konstrukcija izloeni prometu vozila s pneumatskim gumama na kotaima Elementi industrijskih konstrukcija izloeni prometu viljukara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotaima Elementi industrijskih konstrukcija izloeni prometu viljukara s pneumatskim gumama ili elinim kotaima; hidraulike konstrukcije u vrtlonim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); povrine izloene prometu gusjeniara C 30/37 0.55 300

XF2

C 25/30

-

0.55

300

XF3

C 30/37

-

0.50

320

Agregat prema HRN EN 12620 s dovoljnom otpornou na smrzavanje; Minimalna koliina zraka 4.0%

XF4

Jako zasieno vodom sa sredstvom za odleivanje ili morska voda

C 30/37

-

0.45

340

6. Beton izloen kemijskom djelovanju XA1 Slabo kemijski agresivan okoli Umjereno kem. agresivan okoli; konstrukcije u marinama Jako kemijski agresivan okoli C 30/37 0.55 300 -

XA2

C 35/45

-

0.50

320 Sulfatno otporni cement

XA3

C 35/45

-

0.45

360

7. Beton izloen habanju XM1 Umjereno habanje C 30/37 25 -

XM2

Znatno habanje

C 30/37

45

-

Manje maks. zrno agregata

XM3

Ekstremno habanje

C 35/45

50

-

-

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

13

3

DIMENZIONIRANJE AB KONSTRUKCIJA PREMA GRANINIMSTANJIMA NOSIVOSTI

3.1

Minimalna i maksimalna armatura u presjeku

Slom slabo armiranih presjeka, kao to je prije istaknuto, nastaje trenutno. Da bi sprijeili takav slom potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom. Minimalna vlana armatura odreuje se iz uvjeta spreavanja krtog loma, tj. iz uvjeta da ukupnu vlanu silu u betonu kod pojave pukotina preuzme vlana armatura. Osim toga ova armatura smanjuje irinu pukotina kod loma betona. EC-2 utvruje jedinstveni minimalni postotak armiranja za presjeke optereenje dominantno na savijanje: l,min = 0.1%Maksimalna vlana armatura u presjeku odreuje se iz uvjeta da kapacitet rotacije pri lomu bude dovoljan da bi se mogla izvriti redistribucija momenata du nosaa. Plastifikacija armature se mora izvriti prije iscrpljenja nosivosti betona da do sloma ne bi dolo drobljenjem betona u tlaku. EC-2 utvruje jedinstveni maximalni postotak armiranja za presjeke optereenje dominantno na savijanje: l,max = 4.0%

3.2

Jednostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja

3.2.1 Teoretske postavkeU presjeku optereenom momentom savijanja javlja se stanje deformacije-naprezanja kakvo je prikazano na crteu 5.

x=*d

2

c2B

0.85 fcd Fc

d-x

As1

d1

s1

d-d2 z=*d

Msd

Neutralna os

h d

A

Fs1

1

bCrte 5 - Naprezanja i deformacije jednostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

Linija deformacije je pravac jer vrijedi Bernoullieva hipoteza ravnih presjeka. Naprezanje u betonu je odreeno radnim dijagramom betona (parabola+pravokutnik) - crte 2, a naprezanje u armaturi po radnom dijagramu elika crte 3. Za dimenzioniranje presjeka koristi se uvjetom ravnotee koji se za ovaj sluaj moe iskazati

M = 0 H = 0gdje su: Msd =

Msd = Fc z = Fs1 z Fc = Fs1

(3.1)

Mi

i

- raunska vrijednost utjecaja (raunski moment);

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

14

Fc - raunska sila u betonu (tlana sila); Fs1 - raunska sila u armaturi (vlana sila); z - krak unutranjih sila; x - udaljenost neutralne osi od tlanog ruba presjeka; d - udaljenost teita vlane armature od tlanog ruba presjeka, statika visina presjeka; b, h - dimenzije presjeka (irina i visina); d1 - udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka.

Tlana sila u betonu za opi popreni presjek moe se izraziti kao integral naprezanja po povrini poprenog presjeka:Fb = c dAA

(3.2)

Za pravokutni popreni presjek kod kojeg je irina (b) konstantna izraz 3.2 se transformira u:Fc = b c dx = v x b fcd0

x

(3.3)

gdje je v koeficijent punoe RDB-a, ovisan o stupnju iskoritenosti betona, a predstavlja odnos povrine RDB-a i povrine pravokutnika ( fcd x ).c 2 (6 c 2 ) 0 < c 2 2 12 3 c2 2 v = 2 < c 2 3 .5 3 c2 v =

(3.4)

Vlana sila u armaturi dobiva se umnokom povrine armature sa naprezanjem u eliku sa:Fs1 = A s1 fyd

(3.5)

Poloaj neutralne osi x moe se lako izraunati iz geometrijskih odnosa (crte 5):x d = c 2 s1 + c 2 x= c 2 d= d s1 + c 2

(3.6)

gdje je:

- koeficijent poloaja neutralne osi.z = d k a x = d k a d = (1 k a ) d = d

Krak unutranjih sila (z) takoer se moe lako izraunati: (3.7)

gdje su: z - krak unutranjih sila; - koeficijent kraka unutranjih sila; ka - koeficijent poloaja tlane sile betona.8 c 2 0 < c 2 2 4(6 c 2 ) (3 4 ) + 2 ka = c2 c2 2 < c 2 3 .5 2c 2 (3c 2 2) ka =

(3.8)

Unutranji reaktivni moment (raunska nosivost presjeka) moe se izraziti kao umnoak unutranje sile i kraka:Msd = Fc z = 0.85 v d b fcd d

(3.9)

tj.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

15Msd b d2 fcd

sd = 0.85 v =

(3.10)

gdje su: b - irina pravokutnog presjeka; d - statika visina presjeka; fcd - raunska vrstoa betona; sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja. Potrebna povrina armature dobit e se iz:Msd = A s1 fyd d ; A s1 = Msd d fyd

(3.11)

Na isti nain moe se postaviti jednadba preko sume horizontalnih sila:

N = 0

Fc = Fs1

0.85 v d b fcd = A s1 fyd = 0.85 v = fyd A s1 fyd = d b fcd fcd

(3.12)

gdje su: - mehaniki koeficijent armiranja; - stvarni koeficijent armiranja; Kod praktinog rjeavanja pojedinih zadataka dimenzioniranja armirano betonskih presjeka, niz uvedenih koeficijenata se oitava iz tablica. Jedne takve tablice dane su u prilogu 1, a njihovo a njihovo praktino koritenje biti e prikazano na konkretnim primjerima koji se javljaju u praksi.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

16

3.2.2 Sluaj 1Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka, kvaliteta materijala i raunsko optereenje. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature. Iz izraza (3.10). odredi se bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja:

sd =

Msd bd2 fcd

te se iz tablica (prilog 1) za odabranu deformaciju armature s1 oitaju vrijednosti c2, i . Potrebna povrina armature dobiva se prema izrazu (3.11).

A s1 =Numeriki primjer

Msd d fyd

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.x = 10.67

materijal: C 30/37 ; fck = 30.0 MPafcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

h = 60 d = 55

Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

optereenjeMsd = 260.0 kNm

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm sd = Msd 260 100 = = 0.107 2 bd fcd 40 55 2 2.0

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 2.4 ; = 0.925; = 0.194

x = d = 0.194 55 = 10.67 cm A s1 = Msd 260 100 = = 11.75 cm2 d fyd 0.925 55 43.48

odabrano 616 (As=12.06 cm2)

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

17

A s13.5 0.8 1.6 5.1 3 1.6 0.8 1.6 4.56 4.56 1.6 4.56 40 1.6 4.56 1.6 4.56 1.6 0.8 3

3.2.3 Sluaj 2Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka b/d i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature. (Nepoznato nam je As1, s1, c2 i moment nosivosti). Moment nosivosti presjeka je onaj moment za kojega su oba materijala (beton i elik) u potpunosti iskoriteni. Dakle c2 =3.5 a s1=3-20 . Izborom s1=3 dobiva se veliki moment nosivosti i vie armature, a izborom s1=20 mali moment nosivosti i malo armature Za pretpostavljene deformacije iz tablica se oitaju koeficijenti sd i . Izrazima (3.10) i (3.11) dobivamo traene veliine.MRd,lim = sd,lim bd2 fcd

A s1 =

MRd,lim d fyd

Numeriki primjer

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature. materijal: C 30/37h = 60 d = 55

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPaMsd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

b = 40

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

18

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm

Pretpostavimo: s1 = 20.0 i c2 = 3.5 iz tablica sd,lim = 0.096; lim = 0.938; lim = 0.149MRd,lim = sd bd2 fcd = 0.096 40 55 2 2.0 = 232.32 kNm x = lim d = 0.149 55 = 8.19 cm A s1 = MRd,lim lim d fyd = 232.32 100 = 10.36 cm2 0.938 55 43.48

Pretpostavimo: s1 = 3.0 i c2 = 3.5 iz tablica sd,lim = 0.288; lim = 0.776; lim = 0.538MRd,lim = sd bd2 fcd = 0.288 40 55 2 2.0 = 696.96 kNm

x = lim d = 0.538 55 = 29.59 cm A s1 = MRd,lim lim d fyd = 696.96 100 = 37.56 cm2 0.776 55 43.48lim0.776 0.829 0.892 0.921 0.938

U tablici su dani odnosi momenta nosivosti i uzdune armature za jo neke deformacije elika:s13.0 5.0 10.0 15.0 20.0

c23.5 3.5 3.5 3.5 3.5

lim0.538 0.412 0.259 0.189 0.149

Rd,lim0.288 0.235 0.159 0.120 0.096

x29.59 22.65 14.26 10.41 8.19

MRd,lim696.96 568.23 385.16 290.24 232.32

As137.56 28.67 18.05 13.17 10.36

10.41

8.19

c2=3.5

h = 60

d = 55

A s1d1 = 5

s120 15 10 5 3

b = 40

29.60 22.65 14.26

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

19

3.2.4 Sluaj 3Postupak

Poznati su kvaliteta materijala i raunsko optereenje. Potrebno je odrediti dimenzije betonskog presjeka i potrebnu povrinu armature. (Nepoznato nam je: b, h, As1, s1, c2). Unaprijed se odabere irina presjeka b, te se izraunavanjem izraza (3.10) po d odredi potrebna visina presjeka. sd,lim = Msd bd2 fcd ; dpot Msd sd,lim b fcd

te se za odabrano d, potrebna povrina armature dobiva prema izrazu (3.11)A s1 = Msd d f yd

Numeriki primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za raunski moment Msd=300 kNm.. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature. materijal: C 30/37h = 60 d = 55

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPaMsd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

b = 40

Pretpostavimo: s1 = 10.0 i c2 = 3.5 iz tablicadpot

sd,lim = 0.159; lim = 0.892; lim = 0.259

Msd sd,lim b fcdd (cm) 97.1 68.7 56.1 48.6 43.4 39.7 36.7

b (cm) 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0

120.0 100.0 80.0 60.0 40.0 20.0 0.0

h (cm)

b0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

20

Za presjeke koji su optereeni momentom savijanja povoljan odnos dimenzija je d/b = 1.5-2.0.bod = 35 cm hod = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm sd = Msd 300 100 = = 0.142 2 bd fcd 35 55 2 2.0

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 3.1 ; = 0.904; = 0.237

x = d = 0.237 55 = 13.04 cm A s1 = Msd 300 100 = = 13.88 cm2 d fyd 0.904 55 43.48

716 (As=14.07 cm2) Armatura nije dobro odabrana jer je mali razmak izmeu ipki.

A s13.5 0.8 1.6 5.1 3.5 1.6 0.8 1.6 2.53 2.53 1.6 2.53 35 1.6 2.53 1.6 2.53 1.6 2.53 1.6 0.8 3.5

A s1 = 13.88 cm2

618 (As=15.27 cm2) Ova armatura je bolje odabrana.

A s13.5 0.8 1.8 5.2 3.5 1.8 0.8 1.8 3.12 3.12 1.8 3.12 35 1.8 3.12 1.8 3.12 1.8 0.8 3.5

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

21

3.2.5 Sluaj 4Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka (b/h), povrina armature i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti. (Nepoznato nam je: Msd). Uz pretpostavku deformacija armature s1 = 20.0 , nae se mehaniki koeficijent armiranja (izraz 3.12):= A s1 fyd d b fcd

te nakon to se iz tablica (prilog 1) oitaju koeficijenti sd,lim ili lim moment nosivosti se odredi prema jednom od sljedeih izrazaMRd,lim = sd,lim b d2 fcd MRd,lim = A s1 lim d fyd ili

Vano je napomenuti da se na ovaj nain dobiva najmanji moment nosivosti. Odabirom manjih deformacijaNumeriki primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za raunski moment Msd=300 kNm.. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu povrinu armature. materijal: C 30/37h = 60 d = 55

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPaMsd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

b = 40

Pretpostavimo: s1 = 10.0 i c2 = 3.5 , i b=60 cm iz tablicadpot

sd,lim = 0.159; lim = 0.892; lim = 0.259300 100 = 39.65 cm 0.159 60 2.0

Msd = sd,lim b fcd

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

22

3.3

Dvostruko armirani pravokutni presjek optereen momentom savijanja

Dvostruko armirani presjeci su oni presjeci koji posjeduju vlanu i tlanu armaturu (crte 6). Dvostruko armirani presjeci upotrebljavaju se kada je raunski moment Msd vei od momenta nosivosti MRd,lim kojeg presjek moe preuzeti bez tlane armature.

d2

As2 Msd

x=*d

2

s2

c2

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-x

Nsd As1

d1

s1

d-d2 z=*d

Neutralna os

h d

Fs1

1

bCrte 6 - Naprezanja i deformacije dvostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

U dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlane armature na njegovu nosivost moe se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw 15 ( - promjer ipke tlane armature) i ako je zadovoljen uvjet x 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlanog ruba presjeka , d2 -udaljenost teita tlane armature od ruba presjeka). Time se tlana armatura osigurava od izvijanja! Za betone razreda C 35/45 prema normi HRN EN 1992-1-1 najvea doputena granina vrijednost koeficijenta poloaja neutralne osi iznosi lim=0.45. S tim u vezi mogu se izraunati i ostali parametri: c2 = 3.5 lim = 0.45; ;

s1 = 4.278 lim = 0.813;

sd,lim = 0.252

(3.13)

Prema tome najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti je:MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.252 bd2 fcd

(

)

(3.14)

Za betone razreda C 40/50 prema normi HRN EN 1992-1-1 najvea doputena granina vrijednost koeficijenta poloaja neutralne osi iznosi lim=0.35. S tim u vezi mogu se izraunati i ostali parametri: c2 = 3.5 lim = 0.35; ;

s1 = 6.5 lim = 0.854;

sd,lim = 0.206

(3.15)

Prema tome najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti je:MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.206 bd2 fcd

(

)

(3.16)

Limitirajui moment preuzimaju beton i vlana armatura, dok razliku do stvarnog momenta preuzimaju dodatna vlana i tlana armatura. Prema tome potrebna armatura e se izraunati prema izrazima:A s1 = MRd,lim M MRd,lim + sd - ukupna vlana armatura (d d2 ) fyd lim d fyd A s2 = Msd MRd,lim - tlana armatura (d d2 )s2

(3.17)

(3.18)

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

23

Gdje je s2 tlano naprezanje u armaturi. Pri deformaciji s2 v uzima se da je s2 = fyd a za s2 > v , sa se izraunava iz izraza:s2 = Es s2 d2 d 1

(3.19)

gdje je: s 2 - vlana deformacija elika promatrana kao apsolutna vrijednost,

Es - modul elastinosti elika ( Es = 200 GPa ), v - Granina deformacija pri kojoj dolazi do teenja armature (= fyd E s ).

Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane i tlane armature od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature. materijal:d2 = 5

A s2 Msd

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

c

d = 55

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

optereenjeMsd = 760.0 MPa

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = d2 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm sd = Msd 760 100 = = 0.314 2 bd fcd 40 55 2 2.0

Vidljivo je da izraunati sd vei od maksimalnog kojeg moemo oitati iz tablica. Presjek je potrebno dvostruko armirati. Raunamo moment nosivosti: c2 = 3.5 lim = 0.45 ; ; s1 = 4.278 lim = 0.813 ; sd,lim = 0.252

MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.252 bd2 fcd = 0.252 40 55 2 2.0 = 609.8 kNm

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

24

Vlana armatura:A s1 = MRd,lim M MRd,lim (760.0 609.8) 100 = 609.8 100 = + + sd (d d2 ) fyd 0.813 55 43.48 (55 5) 43.48 lim d fyd = 31.36 + 6.91 = 38.27 cm2c2 = 3.5 x = 24.75 d2 = 5

x = lim d = 0.45 55 = 24.75 cm c 2 x d2 24.75 5.0 = s2 s2 = c 2 = 3.5 = 2.79 x x d2 x 24.75 v (B 500 ) = fyd Es = 434.8 1000 () = 2.17 200000

A s2

s2 = 2.79

s2 > v s2 = fydA s1

A s2 = A s1 = 38.27 cm2 A s2 = 6.91 cm2

Msd MRd,lim (760.0 609.8 ) 100 = = 6.91 cm2 (d d2 )fyd (55 5) 43.48

odabrano 532 (As=40.21 cm2) odabrano 320 (As=9.42 cm2)2 0.8 3.5 5.33

Krivo su pretpostavljene veliine d1 i d2, pa ponavljamo proraun.b = 40 cm h = 60 cm d1 = 6.0 cm d2 = 5.5 cm

A s2

A s13.5 0.8 3.2 5.9

d = h d1 = 60 6 = 54 cm

3.2 3.5 0.8 3.85

3.2 3.85

3.2 3.85 40

3.2 3.85

3.2 0.8 3.5

MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.252 bd2 fcd = 0.252 40 54 2 2.0 = 587.9 kNm

Vlana armatura:A s1 = MRd,lim M MRd,lim (760.0 587.9) 100 = 587.9 100 + sd = + (d d2 ) fyd 0.813 54 43.48 (54 5.5) 43.48 lim d fyd = 30.80 + 8.16 = 38.96 cm2

Tlana armaturaA s2 = Msd MRd,lim (760.0 587.9 ) 100 = = 8.16 cm2 (d d2 ) fyd (54 5.5) 43.48

Vidljivo je da se armatura nije znaajno promijenila. Vrijede odabrane ipke.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

25

Numeriki primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=6 cm, a udaljenost teita tlane armature od ruba presjeka d2=12 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.d 2 = 12

materijal: C 30/37A s2c

;

fck = 30.0 MPa

d = 55

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

optereenjeMsd = 760.0 MPa

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = 6.0 cm d2 = 12.0 cm d = h d1 = 60 6 = 54 cm sd = Msd 760 100 = = 0.314 2 bd fcd 40 55 2 2.0

MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.252 bd2 fcd = 0.252 40 54 2 2.0 = 587.9 kNm

Vlana armatura:A s1 = MRd,lim M MRd,lim (760.0 587.9) 100 = 587.9 100 + sd = + (d d2 ) fyd 0.813 54 43.48 (54 12) 43.48 lim d fyd = 30.80 + 9.42 = 40.22 cm2c2 = 3.5 x = 24.75 d 2 = 12

x = lim d = 0.45 55 = 24.75 cm

A s2

s2 = 1.80

c 2 x d2 24.75 12.0 = s2 s2 = c 2 = 3.5 = 1.80 x x d2 x 24.75 v (B 500 ) = fyd Es = 434.8 1000 () = 2.17 200000

s2 > v s2 = Es s2 = 200000 0.0018 = 360.6 MPaA s1

A s2 =

Msd MRd,lim (760.0 587.9 ) 100 = = 11.36 cm2 (55 12) 36.06 (d d2 )s2

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

26

A s1 = 40.22 cm2 A s2 = 11.36 cm2

odabrano 532 (As=40.21 cm2) odabrano 420 (As=12.57 cm2)2 0.8 3.5 5.33

A s2

A s13.5 0.8 3.2 5.9 3.2 3.5 0.8 3.85 3.2 3.85 40 3.2 3.85 3.2 3.85 3.2 0.8 3.5

Napomena: Ovim postupkom se praktiki moe odrediti armatura za bilo koji zadani moment Msd. No, potrebno je uvijek imati na umu da ukupni postotak armature u presjeku ne prijee maksimalnu doputenu vrijednost.l = A sl A s1 + A s2 40.21 + 12.57 = = = 2 .2 % Ac 60 40 60 40

Maksimalna vrijednost koliine armature za presjeke naprezanje savijanjem je (prema EC2) l,max=4%, to je vie od dobivene vrijednosti, te zakljuujemo da je presjek ispravno dimenzioniran. Meutim, ovaj postotak armature je praktino prevelik za dani presjek, te je potrebno poveati presjek i/ili smanjiti optereenje.

3.4

Dimenzioniranje T i presjekabeff

T presjecima nazivamo one presjeke ija tlana zona ima oblik slova "T", crte 7.d22

hf

A s2 Msd

s2Neutralna os

c2 * cd-d2 z

0.85 f cd

Fs2 Fc

h d

d-x

x

A s1

d1

s1

Fs1

1

bwCrte 7 T - presjek

Dakle, osim oblika, da bi presjek bio T presjek mora biti ispunjen i uvjet da je x>hf . Ako je x5bw primjenjuje se pojednostavljeni proraun, koji je za praksu dovoljno toan, a nalazi se na strani sigurnosti. Pri tome se pretpostavlja da ukupnu tlanu silu prima samo ploa, i da ova sila djeluje u srednjoj ravnini ploe, tj. da je krak unutranjih sila z=(d-hf/2). Dakle, zanemaruje se tlana sila koju prima dio rebra izmeu neutralne osi i donje ivice ploe b eff 0.85 f

hf

d2

2

s2

c2 * c

cd

Fc

xNeutralna os

Msd

A s1

d1

s1

z = d - h f /2

h d

d-x

Fs1

1

bwCrte 8 "T" presjek s odnosom beff/bw>5

Koristei uvjete ravnotee, dobiva se izraz za potrebnu povrinu presjeka vlane armature.A s1 = Msd (d hf / 2) fyd

(3.20)

U praksi se najee pretpostave-usvoje dimenzije presjeka, a zatim se odreuje armatura. Pri tom se, u pravilu, ne ide na potpuno iskoritavanje betona, jer bi to dalo neracionalne, previe armirane presjeke. Dakle granina nosivost ovakvih presjeka dostie se po armaturi (10-20 ). S obzirom na veliku nosivost ploe, tlana raunska armatura je u pravilu nepotrebna i ekonomski neopravdana. Izuzetno kada aktivna irina ploe beff nije mnogo vea od irine rebra bw, a T presjek izloen savijanju s velikom tlanom silom, moe se javiti potreba i za tlanom raunskom armaturom. Ako je beff5bw, obino se ne zadovoljavamo prethodnim, pojednostavljenim postupkom prorauna T presjeka, posebno ako je nosa T presjeka veeg raspona i optereenja. Tada primjenjujemo toniji postupak u kojem ne zanemarujemo doprinos tlanog dijela rebra. Toniji postupak primjenjujemo i onda kada je beff>5bw ako je x >>hf. To e se dogoditi kod presjeka optereenih na savijanje s velikom tlanom silom. Tada se doprinos nosivosti presjeka velike tlane zone rebra ne smije zanemariti. U praksi se dimenzioniranje T presjeka svodi na dimenzioniranje zamjenjujueg presjeka irine bi. irina bi odreuje se iz uvjeta da se, pri jednakim poloajima neutralne osi, dobiju jednake tlane sile u zadanom i zamjenjujuem presjeku. Polazina osnova nam je pravokutni presjek irine jednake irini ploe. Nakon izraunavanja koeficijenta sd i oitavanja koeficijenta , odreujemo poloaj neutralne osi (3.6), pri emu se mogu pojaviti dvije mogunosti: neutralna os prolazi kroz plou ili njenim donjim rubom. Takav presjek proraunavamo kao pravokutni dimenzija beff/d, dakle za oitani odreujemo armaturu prema (3.11). neutralna os sijee rebro.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

28

b eff bi

hf

A s2 Msd

x

d2

2

s2Neutralna os

c2 * cd-d2 z

0.85 f cd

Fs2 Fc

h d

N sd A s1

d-x

d1

s1

Fs1

1

bwCrte 9 Zamjenjujui "T" presjek

irinu fiktivnog T presjeka bi moemo odrediti iz izraza:bi = b beff

(3.21)

pri emu se koeficijent b moe izraunati iz formule (3.22) ili dovoljno tono oitati iz tablica danih u prilogu 2, to u praksi predstavlja uobiajeni postupak.

b = 1

v v

hf beff 1 d 1 b w

(3.22)

pri emu su: v - koeficijent punoe radnog dijagrama betona za deformaciju c 2 ; v - koeficijent punoe radnog dijagrama betona za deformaciju c ;

Nakon pronalaenja aktivne irine bi zamjenjujueg T presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek poznatih dimenzija bi/d. Dobivene nova vrijednost usporeuje se sa starom, pa nastane li razlika, postupak se ponavlja. Na ovaj nain T presjek je zamijenjen s pravokutnim presjekom pa se mogu koristiti sva pomona sredstva za proraun pravokutnih presjeka (tablice, dijagrami i sl.)Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija prema slici. Element je izraen iz betona klase C 25/30 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=700 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.b eff = 150 h f = 15

materijal: C 25/30 ; fck = 25.0 MPafcd = fck c = 25.0 1.5 = 16.7 MPa

h = 100

d = 95

Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPaA s1d1 = 5 b w = 40

c

optereenjeMsd = 700.0 MPa

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

29

poetni presjek: sd =

beff/d = 150/95:

Msd 700 100 = = 0.031 2 beff d fcd 150 95 2 1.67

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 1.0 ; = 0.968; = 0.091< hf = 15.0 cm neutralna os sijee plou!

x = d = 0.091 95 = 8.65 cm A s1 =

Msd 700 100 = = 17.51 cm2 d fyd 0.968 95 43.48

odabrano 620 (As=18.85 cm2)

Numeriki primjer 2

Zadan je isti betonski presjek kao u prethodnom primjeru, ali optereen raunskim optereenjem Msd=3000 kNm. poetni presjek: sd =

beff/d = 150/95:

Msd 3000 100 = = 0.133 2 b eff d fcd 150 95 2 1.67

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 2.9 ; = 0.910; = 0.225> hf = 15.0 cm

x = d = 0.225 95 = 21.38 cm

neutralna os sijee rebro!

Potrebno je odrediti aktivnu irinu fiktivnog T presjeka. Aktivnu irinu oitavamo iz Tablice u Prilogu 2, prethodno izraunavi parametre:b eff 150 = = 3.75 bw 40

,hf d

hf 15 = = 0.16 d 95

,

= 0.225b eff b

0.550

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

=x d0.550 0.525 0.550 0.500 0.513 0.550 0.475 0.489 0.513 0.550 0.450 0.464 0.487 0.513 0.550 0.425 0.437 0.461 0.487 0.512 0.550 0.400 0.413 0.436 0.460 0.485 0.512 0.550 0.375 0.386 0.409 0.434 0.459 0.485 0.511 0.550 0.350 0.362 0.383 0.407 0.431 0.457 0.483 0.510 0.550 0.325 0.335 0.357 0.379 0.403 0.428 0.454 0.481 0.509 0.550 0.300 0.309 0.330 0.351 0.374 0.399 0.425 0.451 0.479 0.508 0.550 0.275 0.284 0.303 0.323 0.345 0.368 0.394 0.420 0.448 0.477 0.507 0.550 0.250 0.259 0.276 0.295 0.315 0.337 0.362 0.388 0.415 0.444 0.473 0.505 0.550 0.225 0.232 0.249 0.266 0.285 0.306 0.329 0.354 0.381 0.409 0.439 0.469 0.502 0.550 0.200 0.207 0.221 0.237 0.254 0.273 0.295 0.318 0.344 0.372 0.401 0.432 0.464 0.499 0.550 0.175 0.181 0.194 0.208 0.223 0.240 0.260 0.281 0.305 0.331 0.360 0.391 0.423 0.457 0.494 0.550 0.150 0.155 0.166 0.178 0.192 0.207 0.224 0.243 0.265 0.289 0.316 0.345 0.378 0.412 0.448 0.488 0.550 0.125 0.130 0.139 0.149 0.160 0.173 0.188 0.204 0.223 0.244 0.268 0.295 0.326 0.360 0.397 0.435 0.479 0.550 0.100 0.103 0.111 0.119 0.129 0.139 0.151 0.164 0.180 0.198 0.218 0.241 0.268 0.299 0.335 0.374 0.418 0.467 0.550 0.075 0.078 0.083 0.090 0.097 0.105 0.114 0.124 0.136 0.150 0.166 0.184 0.206 0.232 0.262 0.298 0.342 0.392 0.449 0.550 0.050 0.052 0.056 0.060 0.065 0.070 0.076 0.083 0.091 0.101 0.112 0.125 0.140 0.158 0.181 0.208 0.243 0.288 0.347 0.420 0.550 0.025 0.026 0.028 0.030 0.032 0.035 0.038 0.042 0.046 0.051 0.056 0.063 0.071 0.081 0.093 0.108 0.127 0.154 0.192 0.252 0.351 0.550 1.00 1.00 0.99 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.93 0.91 0.90 0.88 0.86 0.84 0.82 0.80 0.78 0.76 0.74 0.72 0.71 0.69 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.94 0.92 0.90 0.87 0.84 0.82 0.79 0.76 0.73 0.70 0.67 0.64 0.62 0.59 0.56 0.53 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.95 0.93 0.90 0.87 0.84 0.81 0.78 0.74 0.71 0.68 0.64 0.60 0.58 0.54 0.50 0.47 0.43 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.94 0.92 0.89 0.86 0.83 0.79 0.75 0.72 0.68 0.64 0.60 0.56 0.53 0.49 0.45 0.41 0.37

b1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.88 0.85 0.81 0.78 0.74 0.70 0.65 0.61 0.57 0.53 0.49 0.45 0.41 0.37 0.33 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.88 0.84 0.80 0.76 0.72 0.68 0.64 0.59 0.55 0.51 0.47 0.42 0.38 0.34 0.29 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.87 0.84 0.80 0.76 0.71 0.67 0.62 0.58 0.53 0.49 0.45 0.40 0.36 0.31 0.27 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.93 0.90 0.87 0.83 0.79 0.75 0.70 0.66 0.61 0.57 0.52 0.48 0.43 0.38 0.34 0.29 0.25

Te iz tablice oitamo b: b = 0.91

Fiktivna irina je:bi = b b eff = 0.91 150 = 136 .5 cm

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

30

Analiziramo novi presjek: sd =

bi/d = 136.5/100

Msd 3000 100 = = 0.146 2 bi d fcd 136.5 95 2 1.67

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 3.2 ; = 0.901; = 0.242

Ponovno je potrebno odrediti aktivnu irinu fiktivnog T presjeka ( = 0.242):hf d0.550 0.525 0.500 0.475 0.450 0.425 0.400 0.375 0.350 0.325 0.300 0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 1.5 2.0 2.5

b eff b3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

=x d0.550 0.525 0.550 0.500 0.513 0.550 0.475 0.489 0.513 0.550 0.450 0.464 0.487 0.513 0.550 0.425 0.437 0.461 0.487 0.512 0.550 0.400 0.413 0.436 0.460 0.485 0.512 0.550 0.375 0.386 0.409 0.434 0.459 0.485 0.511 0.550 0.350 0.362 0.383 0.407 0.431 0.457 0.483 0.510 0.550 0.325 0.335 0.357 0.379 0.403 0.428 0.454 0.481 0.509 0.550 0.300 0.309 0.330 0.351 0.374 0.399 0.425 0.451 0.479 0.508 0.550 0.275 0.284 0.303 0.323 0.345 0.368 0.394 0.420 0.448 0.477 0.507 0.550 0.250 0.259 0.276 0.295 0.315 0.337 0.362 0.388 0.415 0.444 0.473 0.505 0.550 0.225 0.232 0.249 0.266 0.285 0.306 0.329 0.354 0.381 0.409 0.439 0.469 0.502 0.550 0.200 0.207 0.221 0.237 0.254 0.273 0.295 0.318 0.344 0.372 0.401 0.432 0.464 0.499 0.550 0.175 0.181 0.194 0.208 0.223 0.240 0.260 0.281 0.305 0.331 0.360 0.391 0.423 0.457 0.494 0.550 0.150 0.155 0.166 0.178 0.192 0.207 0.224 0.243 0.265 0.289 0.316 0.345 0.378 0.412 0.448 0.488 0.550 0.125 0.130 0.139 0.149 0.160 0.173 0.188 0.204 0.223 0.244 0.268 0.295 0.326 0.360 0.397 0.435 0.479 0.550 0.100 0.103 0.111 0.119 0.129 0.139 0.151 0.164 0.180 0.198 0.218 0.241 0.268 0.299 0.335 0.374 0.418 0.467 0.550 0.075 0.078 0.083 0.090 0.097 0.105 0.114 0.124 0.136 0.150 0.166 0.184 0.206 0.232 0.262 0.298 0.342 0.392 0.449 0.550 0.050 0.052 0.056 0.060 0.065 0.070 0.076 0.083 0.091 0.101 0.112 0.125 0.140 0.158 0.181 0.208 0.243 0.288 0.347 0.420 0.550 0.025 0.026 0.028 0.030 0.032 0.035 0.038 0.042 0.046 0.051 0.056 0.063 0.071 0.081 0.093 0.108 0.127 0.154 0.192 0.252 0.351 0.550 1.00 1.00 0.99 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.93 0.91 0.90 0.88 0.86 0.84 0.82 0.80 0.78 0.76 0.74 0.72 0.71 0.69 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.94 0.92 0.90 0.87 0.84 0.82 0.79 0.76 0.73 0.70 0.67 0.64 0.62 0.59 0.56 0.53 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.95 0.93 0.90 0.87 0.84 0.81 0.78 0.74 0.71 0.68 0.64 0.60 0.58 0.54 0.50 0.47 0.43 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.94 0.92 0.89 0.86 0.83 0.79 0.75 0.72 0.68 0.64 0.60 0.56 0.53 0.49 0.45 0.41 0.37

b1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.88 0.85 0.81 0.78 0.74 0.70 0.65 0.61 0.57 0.53 0.49 0.45 0.41 0.37 0.33 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.88 0.84 0.80 0.76 0.72 0.68 0.64 0.59 0.55 0.51 0.47 0.42 0.38 0.34 0.29 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.87 0.84 0.80 0.76 0.71 0.67 0.62 0.58 0.53 0.49 0.45 0.40 0.36 0.31 0.27 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.93 0.90 0.87 0.83 0.79 0.75 0.70 0.66 0.61 0.57 0.52 0.48 0.43 0.38 0.34 0.29 0.25

Te iz tablice oitamo b:b = 0.88

Fiktivna irina je:bi = b b eff = 0.88 150 = 132 .0 cm

Analiziramo novi presjek: sd =

b/d = 132.0/100

Msd 3000 100 = = 0.151 2 bi d fcd 132 95 2 1.67

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 3.3 ; = 0.898; = 0.248

poto je promjena mala, zadovoljavamo se dobivenim rezultatom.A s1 = Msd 3000 100 = = 80.87 cm2 d fyd 0.898 95 43.48

odabrano 620 (As=18.85 cm2)

Da smo prihvatili da je zadani presjek vitak (beff>5bw):A s1 = Msd 3000 100 = = 78.85 cm2 (d hf 2) fyd (95 15 2) 43.48

Napomena uz primjer 2: Potrebna povrina armature je korektno izraunata danim formulama, meutim postava ove armature u presjek bi bila prilino nezgodna.s = A s1 80.87 = = 0 .5 % Ac 150 100

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

31

Mogua armatura bila bi 836 (As1=81.43 cm2), pa skica armature jasno pokazuje da je potrebno ponoviti proraun s novom vrijednosti d110.0 cm.

Teite armature

3.6 3.5 0.8 5.67

3.6 5.67 40

3.6 5.67

3.6 0.8 3.5

3.5

Kratki elementi optereeni centrinom tlanom silom

Poto je beton materijal koji posjeduje veliku tlanu vrstou, esto nema potrebe za armiranjem kratkih elemenata optereenih centrinom tlanom silom. Kratkim elementima smatramo one elemente kod kojih nema pojave izvijanja. Potrebna armatura u presjeku, uz poznate dimenzije, proraunava se po izrazu:A s,req = Nsd A c 0.85 fcd fyd 0.85 fcd

3.5 0.8 3.6

9.7

3.6

3.6

(3.23)

Ako je vrijednost A s,req negativna, armatura nije potrebna i tada se postavlja minimalna armatura. Vano je napomenuti da bi presjeci optereeni na centrini tlak u svakom sluaju trebali biti minimalno armirani. Pojava armature, posebno vee koliine, u takvim presjecima ukazuje na iscrpljenost betona i nedostatne dimenzije presjeka.

3.6

Kratki elementi optereeni centrinom vlanom silom1. Ako monolitnost betona nije vana i u njemu mogu nastati pukotine, sve sile vlaka preuzima armaturaA s,req = Nsd fyd

Elementi naprezani na centrini vlak mogu se proraunavati na dva naina:

(3.24)

2. Ako treba paziti na trajnu monolitnost betona, to znai da beton konstrukcije ne smije imati pukotina, tada:Nsd NRd = A c fct,m + A s fs 1

(3.25)

pri emu su: Nsd =

Ni

i

- raunska vrijednost utjecaja (raunska uzduna sila);

NRd - raunska nosivost; A c - ukupna povrina betonskog presjeka;

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

32

fct,m - srednja vlana vrstoa betona (tablica u poglavlju 2.4); fs - stvarna vrstoa elika; 1 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina: 1.2-1.5 i ovisi o vanosti konstrukcije;;

Stvarno naprezanje u armaturi nalazi se iz uvjeta da su relativne deformacije betona c i elika s u trenutku nastanka pukotina jednake (uvjet monolitnosti):s = c =

fct,m Ecm

;

fs = Es s

Prema pokusima opasnost od pojave pukotina u betonu nastaje kada relativna deformacija betona dosegne vrijednost c = 0.1. Iz izraza (3.25) moe se odrediti potrebna koliina armature za zadani betonski presjek odnosno potrebna povrina betonskog presjeka za zadani koeficijent armiranja. Ovdje je takoer vano napomenuti da je generalno potrebno izbjegavati armiranog betonske elemente optereene na centrini vlak. Takve elemente je znatno ekonominije izvesti iz elika ili nekog drugog materijala (npr. karbonska vlakna i sl.).

3.7

Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdunu silu

3.7.1 Uzduna vlana sila postupak WuczkowskogKada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzduna vlana sila Nsd govorimo o ekscentrinom vlaku ili savijanju s uzdunom vlanom silom. Primjer takvog sluaja prikazan je na crteu 10.

d2

As2 Msd

x=*d

2

s2

c2

0.85 fcd

Fs2 Fc

Nsd As1

d-x

d1

s1

d-d2 z=*d

Neutralna os

h d

Fs1

1

bCrte 10 Pravokutni presjek optereen momentom savijanja i tlanom silom

Dimenzioniranju presjeka pristupa se tako da se sila prebaci u teite vlane armature, crte 11.d2

As2 Msds

x=*d

2

s2

c2

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-h/2

d-x

As1

d1

s1

d-d2 z=*d

Neutralna os

h d

Fs1

Nsd

1

bCrte 11 Prebacivanje sile u teite vlane armature

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

33

Raunski moment savijanja s obzirom na vlanu armaturu bit e:h Msds = Msd Nsd d 2 MRd,lim = sd,lim bd2 fcd

(3.26)

Moment nosivosti (najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti) je: (3.27)

Pa se potrebna armatura moe dobiti po slijedeim izrazima:A s1 = MRd,lim M MRd,lim Nsd + sd + (d d2 ) fyd fyd lim d fyd A s2 = Msd MRd,lim (d d2 )s2

- ukupna vlana armatura

(3.28)

- tlana armatura

(3.29)

gdje je s2 tlano naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je raunski moment Msd nije vei od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu koliinu armature se reduciraju:A s1 = Msd N + sd fyd d fyd A s2 = 0

- ukupna vlana armatura - tlana armatura

(3.30) (3.31)

3.7.2 Uzduna tlana sila postupak WuczkowskogU sluaju kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzduna tlana sila Nsd govorimo o ekscentrinom tlaku ili savijanju s uzdunom tlanom silom. Primjer takvog sluaja prikazan je na crteu 12.

d2

As2 Msd

x=*d

2

s2

c2

0.85 fcd

Fs2 Fc

Nsd As1

d-x

d1

s1

d-d2 z=*d

Neutralna os

h d

Fs1

1

bCrte 12 Pravokutni presjek optereen momentom savijanja i tlanom silom

Dimenzioniranju presjeka takoer se pristupa tako da se sila prebaci u teite vlane armature, crte 13.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

34

d2

As2 Msds

x=*d

2

s2

c2

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-h/2

d-x

As1

d1

s1

d-d2 z=*d

Neutralna os

h d

Fs1

Nsd

1

bCrte 13 Prebacivanje sile u teite vlane armature

Raunski moment savijanja s obzirom na vlanu armaturu bit e:h Msds = Msd + Nsd d 2 MRd,lim = sd,lim bd2 fcd

(3.32)

Moment nosivosti (najvei moment savijanja koji jednostruko armirani presjek moe preuzeti) je: (3.33)

Pa se potrebna armatura moe dobiti po slijedeim izrazima:A s1 = MRd,lim M MRd,lim Nsd + sd (d d2 ) fyd fyd lim d fyd A s2 = Msd MRd,lim (d d2 )s2

- ukupna vlana armatura

(3.34)

- tlana armatura

(3.35)

gdje je s2 tlano naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je raunski moment Msd nije vei od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu koliinu armature se reduciraju:A s1 = Msd N sd d fyd fyd A s2 = 0

- ukupna vlana armatura - tlana armatura

(3.36) (3.37)

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

35

Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.x = 10.67 x = 11.33

materijal: C 30/37 ; fck = 30.0 MPafcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

h = 60 d = 55

Msd

Nsd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

optereenjeMsd = 260.0 kNm Nsd = 120.0 kN (tlana sila)

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm

Moment s obzirom na teite vlane armatureh 0.60 Msds = Msd + Nsd d = 260.0 + 120.0 0.55 = 290.0 kNm 2 2

Moment nosivosti za s1 = 10.0 ( sd,lim = 0.159 )MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.159 bd2 fcd = 0.159 40 55 2 2.0 = 384.8 kNm > Msds sd = Msds 290 100 = 0.120 = bd2 fcd 40 55 2 2.0

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 2.6 ; = 0.919; = 0.206

x = d = 0.206 55 = 11.33 cm A s1 = Msd N 290 100 120.0 sd = = 13.20 2.76 = 10.44 cm2 d fyd fyd 0.919 55 43.48 43.48 A s1 = 10.44 cm2

A s 2 = 0 .0

odabrano 616 (As=12.06 cm2)

Kao usporedba mogu se navesti rezultati za isto savijanje (djelovanje samog momenta) iz toke 3.2.2. Poloaj neutralne osi: x sav = 10.67 cm < x exc,tl = 11.33 cm Potrebna armatura: A s1,sav = 11.75 cm2 > A s1,exc,tl = 10.44 cm2

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

36

Numeriki primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm i Nsd=120 kN (vlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.x = 9.57 x = 11.33

materijal: C 30/37 ; fck = 30.0 MPafcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

h = 60 d = 55

Msd

Nsd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

optereenjeMsd = 260.0 kNm Nsd = 120.0 kN

b = 40

(vlana sila)

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm

Moment s obzirom na teite vlane armatureh 0.60 Msds = Msd Nsd d = 260.0 120.0 0.55 = 230.0 kNm 2 2

Moment nosivosti za s1 = 10.0 ( sd,lim = 0.159 )MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.159 bd2 fcd = 0.159 40 55 2 2.0 = 384.8 kNm > Msds sd = Msds 230 100 = 0.095 = bd2 fcd 40 55 2 2.0

iz tablica

s1 = 10.0 ; c2 = 2.1 ; = 0.934; = 0.174

x = d = 0.174 55 = 9.57 cm A s1 = Msd N 230 100 120.0 sd = + = 10.30 + 2.76 = 13.06 cm2 d fyd fyd 0.934 55 43.48 43.48 A s1 = 13.06 cm2

A s 2 = 0 .0

odabrano 716 (As=14.07 cm2)

Kao usporedba mogu se navesti rezultati za isto savijanje (djelovanje samog momenta) iz toke 3.2.2. i rezultati iz prethodnog primjera: Poloaj neutralne osi: x exc,vl = 9.57 cm < x sav = 10.67 cm < x exc,tl = 11.33 cm Potrebna armatura: A s1,exc,vl = 13.06 cm2 > A s1,sav = 11.75 cm2 > A s1,exc,tl = 10.44 cm2

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

37

Numeriki primjer 3

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita vlane armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=360 kNm i Nsd=-240 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature. materijal:A s2

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

h = 60 d = 55

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPaMsd Nsd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPac

A s1d1 = 5

optereenjeMsd = 360.0 kNm Nsd = 240.0 kN (tlana sila)

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h d1 = 60 5 = 55 cm

Moment s obzirom na teite vlane armatureh 0.60 Msds = Msd + Nsd d = 360.0 + 240.0 0.55 = 420.0 kNm 2 2

Moment nosivosti za s1 = 10.0 ( sd,lim = 0.159 )MRd,lim = sd,lim bd2 fcd = 0.159 bd2 fcd = 0.159 40 55 2 2.0 = 384.8 kNm < Msds

presjek je dvostruko armiran iz tablicaA s1 =

s1 = 10.0 ; c2 = 3.5 ; = 0.892; = 0.259

MRd,lim M MRd,lim Nsd (420.0 384.8) 100 240.0 384.8 100 + sds = + (d d2 ) fyd fyd 0.892 55 43.48 (55 5) 43.48 lim d fyd 43.48 A s1 = 18.04 + 1.62 5.52 = 14.14 cm2x = 14.25

odabrano 520 (As=15.71 cm2)

c2 = 3.5 d2 = 5

x = lim d = 0.259 55 = 14.25 cm c 2 x d2 14.25 5.0 = s2 s2 = c 2 = 3.5 = 2.27 x x d2 x 14.25 v (B 500 ) = fyd Es = 434.8 1000 () = 2.17 200000

A s2

s2 = 2.27

s2 > v s2 = fydA s1

A s2 =

Msds MRd,lim (420.0 384.8 ) 100 = = 1.62 cm2 (d d2 ) fyd (55 5) 43.48

odabrano 212 (As=2.26 cm2)

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

38

3.7.3 Uzduna tlana/vlana sila dimenzioniranje pomou dijagrama interakcijePravokutni presjeci pri djelovanju momenta savijanja i uzdune tlane ili vlane sile mogu se takoer proraunati pomou dijagrama interakcije. Dijagrami su napravljeni za razliite vrste armature i za razliite omjere d1/h (d2/h) i za razliite omjere As2/As1. Dijagrami za armaturu B500, simetrinu armaturu (As2=As1) i tri odnosa d1/h (d2/h) prikazani su u prilozima 4, 5 i 6. Postupak je vrlo jednostavan. Za proraunate bezdimenzionalne vrijednosti: sd = sd Msd b h2 fcd

Nsd = b h fcd

(3.38)

u dijagramima interakcije se oita mehaniki koeficijent armiranja , te se prorauna potrebna armatura prema izrazimaA s1 = A c A s2 = A s1 fcd f = b h cd fyd fyd

(3.39)

Numeriki primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), simetrino armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature. materijal:d2 = 5

A s2 Msd Nsd A s1

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

h = 60 d = 55

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

optereenjec

Msd = 260.0 kNm Nsd = 120.0 kN (tlana sila)

d1 = 5

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = d2 = 5.0 cm = d1 h = 5 60 = 0.083

Koristimo dijagram: =0.075 (prilog 5) sd = sd = Nsd 120 = = 0.025 bh fcd 40 60 2.0 Msd 260 100 = = 0.090 2 bh fcd 40 60 2 2.0

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka30 25 0. 20 0. 15 0. 10 05 0.

39

B 500 = A s2 A s1 = 1.0

=

0.

= d1 h = d2 h = 0.075sd =Nsd b h fcd

As1 Msdfcd fyd

M sd = 2sd b h fcd A s1 = A s2 = b h

d2Nsd As1

b

1. 0 00 0 .95 0. .90 85 0 0 .8 0 .75 0 0. .70 0. 65 6 0 0 .5 0 0 .5 5 0. .45 0 40

d135 0. 0 3 25 20 0. 0.

d h

Oitano = 0.090

0.

0.

Vidljivo je da je armatura izraunata na ovakav nain znatno vea nego armatura izraunata postupkom Wuczkowskog, iako je sama vlana armatura (As1) neto manja:A sl,tot,dij = A s1 + A s2 = 9.94 + 9.94 = 19.88 cm2 A sl,tot, Wuc = A s1 + A s2 = 10.44 + 0.0 = 10.44 cm2

U sluaju da je moment alternirajui (mijenja smjer), vidljivo je da bi ukupna armatura tada bila manja.

=

15 10 0. 5 0 0.

ArmaturaA s1 = 0.09 40 60 A s2 2 .0 = 9.94 cm2 43.48 = A s1 = 9.94 cm2

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

40

Numeriki primjer 2

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izraen iz betona klase C 30/37 (klasa okolia XC2), simetrino armiran s B 500B. Element je optereen raunskim optereenjem Msd=860 kNm i Nsd=-420 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature. materijal:d2 = 5

A s2 Msd Nsd A s1

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

h = 60 d = 55

fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

optereenjec

Msd = 860.0 kNm Nsd = 420.0 kN (tlana sila)

d1 = 5

b = 40

geometrijab = 40 cm h = 60 cm d1 = d2 = 5.0 cm = d1 h = 5 60 = 0.083

Koristimo dijagram: =0.075 sd = sd = Nsd 420 = = 0.088 bh fcd 40 60 2.0 Msd 860 100 = = 0.300 2 bh fcd 40 60 2 2.00 0 0. .50 0. 45 40

B 500 = A s2 A s1 = 1.0

= d1 h = d2 h = 0.075sd = sd =Nsd b h fcd Msd b h2 fcd fcd fyd

35 0. 0 3 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 05 0.

As1 Msd Nsd As1

d2

=

0.

A s1 = A s2 = b h

b

1. 0 00 0 .9 5 0 .90 0. .85 0 8 0 .75 0 0 .70 0 .65 0 . .6 0 5 0 0 .5 5 0. .45 0 40

d135 0. 30 0. 25 0. 20 0.

d h

Oitano = 0.31

0.

=

15 10 0. 5 0 0.

ArmaturaA s1 = 0.31 40 60 A s2 2 .0 = 34.22 cm2 43.48 = A s1 = 34.22 cm2

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

41

3.8

Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdunom silom

Odreivanje potrebne armature za elemente okruglog presjeka najlake je sprovesti pomou dijagrama interakcije. Na slian nain kao za pravokutne presjeke izraeni su dijagrami za dimenzioniranje krunih presjeka. Dijagrami, izraeni za armaturu B500 simetrino rasporeenu po opsegu, te za odnose = rs r = 0.85 i = rs r = 0.90 , priloeni su u prilozima 7 i 8.

c2

d=2r

Msd Nsd As

rs r

Neutralna os

Crte 14 Kruni presjek optereen momentom savijanja i tlanom silom

Dijagram se koristi na slian nain kao i dijagram za pravokutne presjeke. Dakle, za proraunati odnos: = rs r , proraunaju se bezdimenzionalne vrijednosti: sd = Msd r A c fcd ; sd = Nsd A c fcd

d1

s,max

(3.40)

te se iz dijagrama interakcije oita mehaniki koeficijent armiranja i prorauna ukupna potrebna armatura prema izrazu:As = Ac fcd fyd

(3.41)

Proraunatu armaturu je potrebno jednoliko raspodijeliti po opsegu.Numeriki primjer

Okrugli betonski stup dimenzija d=50 cm (udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1 =4 cm), izraen je iz betona klase C 40/50 (klasa okolia XC2), simetrino armiran s B 500B. Stup je optereen raunskim optereenjem Msd=160 kNm i Nsd=-320 kN (tlana sila). Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature. materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa As Msd fcd = fck c = 40.0 1.5 = 26.7 MPaNsd

B 500B ; fyk = 500.0 MPa f yd = f yk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa optereenje Msd = 160.0 kNm

4

42 50

4

Nsd = 320.0 kN (tlana sila)

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

42

geometrijar = 25 cm rs = r d1 = 21 cm d1 = 4.0 cm = rs r = 21 25 = 0.84

Koristimo dijagram: = 0.85 (prilog 7)A c = r 2 = 25 2 = 1963.5 cm2 sd = sd = Nsd 320 = = 0.061 A c fcd 1963.5 2.67 Msd 160 100 = = 0.122 A c r fcd 1963.5 25 2.67

B 500 = rs r = 0.85

sd = sd =1.0 0.9 0 0.9 5 0.8 0 0.8 5 0.7 0 0.7 5 0.6 0 0.6 5 0.5 0 0.5 5 0 .4 0 0.4 5 0.3 0 0.3 5 0.2 0 0 .2 5 0.1 0 = 0.105 0.0 5

Nsd A c fcd Msd A c r fcd

=fcd fyd

Ac = r 2 A s1 = A s2 = A c

5 0.0 .10 0 .15 0

Oitano = 0.010

Armatura

As = Ac

fcd = fyd 2.67 = 12.1 cm2 43.48

= 0.100 1963.5

Odabrana simetrina armatura: 1212 As=13.57 cm2Msd Nsd

=rs

As 13.57 = = 0 .7 % A c 1963.5

r As

A s =1212

4

42 50

4

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

43

3.9

Dimenzioniranje presjeka na Poprenu silu

3.9.1 OpenitoPoprene sile se proraunavaju prema poboljanoj Mrsch-Ritterovoj analogiji reetke. Po toj metodi pretpostavlja se da jedan dio poprene sile prihvaa beton i uzduna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprene sile se prihvaa vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda). Po drugoj metodi Metodi slobodnog odabira nagiba tlanih tapova, koja se kao alternativa predlae s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, ve se uzima blai kut nagiba tlanih dijagonala od 45, ime se postiu utede na poprenoj armaturi, ali se poveava uzduna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlanih sila prilikom raspodijele armature.F F

Vwd z d h

sw

sw l

sw

VRd1

Vwd

Crte 15 Model Mrsch-Ritterove reetke

3.9.2 PostupakUvjet nosivosti na poprene sile:Vsd VRd

(3.42)

gdje je: Vsd raunska poprena sila VRd raunska nosivost na poprene sile

Raunska armatura za prihvaanje poprenih sila (tj. glavnih kosih vlanih naprezanja) nee biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:Vsd VRd1 = Rd k (1.2 + 40 l ) + 0.15 cp b w d

[

]

(3.43)

gdje je: Rd raunska vrstoa na djelovanje glavnih kosih naprezanjak = 1.6 d 1 - korekcijski faktor (d u metrima)

l koeficijent armiranja uzdunom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%) bw najmanja irina presjeka u vlanoj zoni d statika visina presjeka cp = Nsd/Ac sredinje naprezanje (+ za tlak, - za vlak) Nsd raunska uzduna sila u presjeku Ac povrina betonskog presjeka

Za presjek u kojem je zadovoljen izraz 3.43, raunska poprena armatura nije potrebna, ali je uvijek potrebno postaviti minimalnu (konstruktivnu) poprenu armaturu.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

44

Ako na presjek istovremeno s poprenim silama djeluje i moment torzije, tada se uzima VRd1 = 0.0 , i cjelokupnu poprenu silu preuzima armatura. Nosivost tlanih tapova biti e zadovoljena ako je:Vsd VRd2 = 0.5 fcd b w z 0.5 fcd b w 0.9 d

(3.44)

pri emu je:

= 0 .7

fck 0.5 redukcijski faktor (fck u N/mm2) 200C12/15 12 15 0.18 C16/20 16 20 0.22 C20/25 20 25 0.26 C25/30 25 30 0.30 C30/37 30 37 0.34 C35/45 35 45 0.37 C40/50 40 50 0.41 C45/55 45 55 0.44 C50/60 50 60 0.48

Tablica Karakteristika betona:Karakteristika betona fck vrstoa na (MPa) valjku fc,cub vrstoa na (MPa) kocki Posmina Rd vrstoa (MPa)

Ako u elementu djeluje uzduna tlana sila, potrebno je reducirati nosivost tlanih tapova:cp,eff VRd2,red = 1.67 VRd2 1 f cd VRd2

(3.45)

pri emu je: A s2 cp,eff = Nsd fyk A c - tlano naprezanje u betonu s

Ako nije zadovoljen uvjet Vsd VRd1 potrebno je proraunati raunsku armaturu za prijem poprenih sila.Konstrukcijska poprecna armatura Proracun poprecne armature Nedoputeno podrucje

0

VRd1 Vsd Vwd

VRd2

Vsd

Crte 16 Podruja poprenih sila

3.9.3 Standardna metodaStandardna metoda prorauna presjeka na djelovanje poprenih sila pretpostavlja nagib tlanih tapova u betonu od 45. Poprena armatura (stremenovi, vilice, spone) se proraunava iz uvjeta:Vsd VRd3 = VRd1 + Vwd Vwd = A sw fyw,d m z sw

(3.46)

gdje je: Asw povrina jedne grane spone m reznost spona

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

45

z krak unutranjih sila (z 0.9 d) sw razmak spona fyw,d raunska granica poputanja poprene armatureA sw fyw,d z s

Nosivost kose armature moe se izraunati po izrazu:Vwd = gdje je: s razmak kose armature mjeren uzdu osi elementa kut nagiba kosih ipki prema osi nosaa (crte 17) (1 + ctg ) sin (3.47)

s s

s

Crte 17 Kutovi kod prorauna poprenih sila

3.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlanih tapovaOvaj postupak doputa veu slobodu rasporeda armature od normalnog postupka, to dovodi do racionalnijeg razmjetaja poprene armature, ali moe dovesti do poveanja uzdune vlane armature. Ovaj se postupak preporua kad je element istodobno napregnut poprenim silama i torzijom. Nagib tlanih tapova prema uzdunoj osi () bira se u granicama:

21.8o 68.2o 0.4 tg 2.5 - Kada se glavna uzduna armatura vodi do leaja26.6o 63.4o 0.5 tg 2.0 - Kada se glavna uzduna armatura postupno prekida u poljuKod elemenata s vertikalnom poprenom armaturom (sponama), nosivost na poprene sile dobiva se iz izraza:VRd2 = fcd b w VRd3 = Vwd = z ctg + tg sw sw = A sw A sw m fyw,d 1 fcd ctg ; uz uvjet : b s 2 w w fyw,d z m ctg VSd

A sw fyw,d z m

(3.48)

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

46Nedoputeno podrucje

Proracun poprecne armature

0 Vwd

Vsd

VRd2

Vsd

Kod elemenata s kosom poprenom armaturom, nosivost na poprene sile: VRd2 = fcd b w z VRd3 = Vwd = ctg + ctg 1 + ctg2 (ctg + ctg ) sin (3.49)

A sw fyw,d z s

A sw fyw,d 1 fcd sin uz uvjet : b s 2 1 cos w w Da bi se ustanovila najmanja koliina poprene armature za mala i srednja posmina naprezanja, gornje granice za ctg , bit e u obinom sluaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za vea posmina naprezanja najveu vrijednost za ctg (to odgovara najmanjoj koliini poprene armature) moe se nai izjednaavanjem vrijednosti proraunskih poprenih sila VSd i VRd2. Nakon raspucavanja nosaa, sila u donjem pojasu bit e: Fs = MSd 1 + VSd (ctg ctg ) z 2 (3.50)

te je za drugi lan potrebno poveati uzdunu armaturu u polju.

3.9.5 Minimalna (konstruktivna) armaturaUkupna poprena armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne: A sw,min = Tablica 4.1 - Minimalni postoci armiranjaKlasa betona min C12/15 C16/20 0.0007 C20/25 C25/30 C30/37 0.0011 C35/45 C40/50 C45/55 0.0013 C50/60

min s w b w m

(3.51)

Tablica 4.2 - Maksimalni razmaci sponaBroj 1 2 3 Raunska poprena sila Vsd Vsd 0.2 VRd2 0.2 VRd2 Vsd 0.67 VRd2 Vsd > 0.67 VRd2 Maksimalni razmak spona u smjeru Maksimalni razmak vertikalnih krakova glavne vlane armature sw,max spona u poprenom smjeru sp,max 0.8 d; 30 cm 0.6 d; 30 cm 0.3 d; 20 cm 1.0 d; 80 cm 0.6 d; 30 cm 0.3 d; 20 cm

gdje je: d statika visina presjeka

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

47

s w,max

s w,max

s w,max

s w,max

s w,max

h

d

s p,max

s p,max

s p,max

d1

b

Numeriki primjer

Potrebno je dimenzionirati ab gredu, l=8.0 m, dimenzija 3080 cm, udaljenost teita armatura od ruba presjeka d1 =7 cm. Greda je izraena iz betona klase C 30/37 i armirana s B 500B. Greda je optereena optereenjem prema skici. Potrebno je odrediti potrebnu povrinu armature.G, Q g, q73 80 1.0 8.0 7.0

A s130 7

beton: C 30/37 fck = 30.0 MPa fcd = fck c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Rd = 0.34 MPa Optereenje:

armatura: B 500B fyk = 500.0 MPa fyd = fyk s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

g = 8.0 kN m' ; G = 40.0 kN q = 11.0 kN m' ; Q = 67.0 kN s = g g + q q = 1.35 8.0 + 1.5 11.0 = 27.3 kN m' S = g G + q Q = 1.35 40.0 + 1.5 67.0 = 154.5 kN

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

48

G, Q a c1.0 8.0

g, q b7.0 73 80

d A s1 R b =128.5 kN30

R a =244.4 kN 244.4 Vsd (kN) 217.1 62.6

3.3 M sd (kNm)

128.5

230.8 302.4

Nosa je prvo potrebno dimenzionirati na moment savijanja. sd = Msd 302.40 100 = = 0.095 2 b d fcd 30 73 2 2.0

iz tablicaA s1 =

s1 = 10.0 ; c2 = 2.1 ; = 0.934

Msd 30240 = = 10.20 cm2 d fyd 0.934 73 43.48

Odabrana armatura prikazana je na skici:214 (As2=3.08 cm2)

73

214 (As =3.08 cm2)

516 (As1=10.05 cm2) 7

30

Za proraun nosaa na poprene sile koristi se standardna metoda prorauna.

A = 10.5 + 2 3.08 = 16.21 cm A = 16.21 = 0.00675 =s s l

2

Ac

30 80

7

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

49

Dio poprene sile koju preuzima beton i uzduna armatura:

VRd1 = Rd k (1.2 + 40 l ) + 0.15 cp b w d k = 1.6 d = 1.6 0.73 = 0.87 < 1.0 cp = Nsd A c = 0.0 VRd1 = 109.5 kN Dio poprene sile koju mogu preuzeti tlane dijagonale:VRd2 = 0.5 fcd b w z fck 30 = 0 .7 = 0.55 > 0.5 200 200 = 0.5 0.55 2.0 30 (0.9 73 ) = 1084.1 kN = 0 .7 g, q

[

]

k = 1 .0

VRd1 = [0.034 1.0 (1.2 + 40 0.00675 ) + 0.15 0.0] 30 73

= 0.55

VRd2

G, Q a 1.0 c d 8.0 R a =244.4 kN 244.4 Vsd (kN) 217.1 62.6 7.0

Vsd,max = Vsd,a = 244.4 kN s w,max = min {0.6 d; 30.0 cm} = min = 0.0011 Vsd,max VRd2 = 244.4 1084 .1 0.23 Vsd = 0.23 VRd2 min {0.6 73 = 43.8; 30.0} s w,max = 30.0 cm

Maksimalni razmak spona:sw m A sw 2 A sw = min b w 0.0011 30

3.3 M sd (kNm)

Profil 6 7

Povrina (Asw) (cm2) 0.28 0.38 0.50 0.79

Razmak (sw) (cm) 17.0 23.0 30.3 47.9

230.8 302.4

8 10

Odabrane spone 7/20, B 500Bfyw,d = fyk s ; B 500B

VRd

500 = 434.8 MPa = 43.48 kN cm2 1.15 m A sw fyw,d z = VRd1 + Vwd = VRd1 + sw fyw,d = 109.5 + Vsd,a

2 0.38 43.48 (0.9 73 ) = 109.5 + 108.6 = 218.1 kN 20 > VRd

Odabrane spone zadovoljavaju na cijelom nosau osim kod leaja a.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

50

244.4

VRd =218.1 kN217.1

s w,pot

m A sw fyw,d z Vsd VRd1