Física para Arquitectura

Oscilaciones amortiguadas y

forzadas. Resonancia

Oscilaciones amortiguadas. Oscilaciones forzadas.

Resonancia. Caso Puente Tacoma

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Oscilaciones amortiguadas• Los sistemas reales tienen siempre

fuerzas disipadoras como el rozamiento, por lo que las oscilaciones cesan con el tiempo.

• La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada.

• Cuando colgamos un bloque del resorte, éste se deforma hasta llegar a su posición de equilibrio; x = 0. Alrededor de dicho punto, el bloque realizará un movimiento armónico simple si no hay fricción.

• Si el medio en el que está el bloque es viscoso, se debe agregar al modelo del oscilador armónico la componente de la fuerza de amortiguación, la cual es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante.

x xF kx bv

Posición de equilibrio

Ver animación de la oscilación amortiguada

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Amortiguador de autos

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Puente Franjo Tudjman (Duvrobnik)

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Oscilaciones amortiguadas• De acuerdo con la segunda

ley de Newton, se tiene la expresión:

• De donde se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución para valores de b pequeños es la expresión

• La frecuencia angular de la oscilación ´está dada por:

(b/ 2m)tx Ae cos( 't )

2k b' ( )

m 2m

x xkx bv ma

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• Si hacemos que ’ sea nula, tendremos la expresión de la derecha;

• En estos casos, el sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar, entonces se dice que se tiene una amortiguación critica.

• Si se cumple que b > , se dice que la oscilación es sobreamortiguada. Los sistemas de amortiguación de un auto deben estar críticamente amortiguados o un poco sub amortiguados.

2k b' ( ) 0

m 2m

2k b( ) 0

m 2m

b 2 km

Oscilaciones crítica

2 km

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Gráfica de (b/ 2m)tx Ae cos( 't )

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Movimiento amortiguado

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Ejercicios• Problema. Un ratón de 0,300

kg se mueve en el extremo de un resorte con k = 2,50 N/m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fx=-bvx . A) Si b = 0,900 kg/s, ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? B) ¿Con qué valor de b la amortiguación será crítica?

• Solución• A) De la ecuación

• De donde,

• B)

• Problema. Un objeto de 50,0 g se mueve en el extremo de un resorte con k=25,0 N/m . Su desplazamiento inicial es de 0,300 m . Una fuerza amortiguadora actúa sobre el objeto y la amplitud del movimiento disminuye a 0,100 m en 5,00 s . Calcule al constante de amortiguación.

• Solución• Resolviendo b de

2

2

2,50 N m 0,900 kg s ω 2,47 rad s

0,300 kg 4 0,300 kg

0,393 Hz2

ωf

π

b 2 km 2 2,50 N m 0,300 kg 1,73kg s

b2mt

2 1A A e

1

2

2m Ab ln 0,0220 kg s

t A

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max dF(t) F cos( t)

Oscilaciones forzadas y resonancia

• Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de moverse tarde o temprano, pero podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódicamente, con un periodo definido.

• La solución de la ecuación es la expresión:

• Donde la amplitud se expresa a través de la frecuencia angular y las constantes k y m.

• La amplitud es máxima cuando

max dF kx bv F cos( t)

dx A sen( t )

max

2 2 2 2d d

FA

(k m ) b

d k/ m

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La frecuencia angular para la que la amplitud es máxima se llama frecuencia de resonancia.

Oscilaciones forzadas y resonancia

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Caso: Puente Tacoma Narrow

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Ejercicios• Problema. Una fuerza

impulsora que varía senoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m . Si la constante de amortiguación tiene el valor b1, la amplitud es A1 cuando la frecuencia angular impulsora es (k/m)1/2. En términos de A1, ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora Fmáx si la constante de amortiguación es 3b ?

• Solución• Cuando tiene lugar la

resonancia,

• Problema. Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocarán a bordo de la estación espacial actúa como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza 2,10 x 106 N/m y masa 108 kg . Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35,0 Hz, ¿satisface el paquete tal requisito? Es decir, ¿tiene frecuencias naturales coincidentes?

• Solución• La frecuencia resonante es:

• De acuerdo con el resultado, el paquete no cumple con el requisito solicitado.

max

d

FA

b

1AA

3

6k m (2,10 10 N m) 108kg) 139rad s

f 22,2Hz