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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL ORIGINES ALGÉBRIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES ET LEUR EXTENSION AUX QUATERNIONS; FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE. MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES PAR LUC POITRAS AOÛT 2007

Origines algébrique et géométrique des nombres complexes et leur

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  • UNIVERSIT DU QUBEC MONTRAL

    ORIGINES ALGBRIQUE ET GOMTRIQUE DES NOMBRES

    COMPLEXES ET LEUR EXTENSION AUX QUATERNIONS;

    FONDEMENTS DE LA GOMTRIE.

    MMOIRE

    PRSENT

    COMME EXIGENCE PARTIELLE

    DE LA MATRISE EN MATHMATIQUES

    PAR

    LUC POITRAS

    AOT 2007

  • ..

    UNIVERSIT DU QUBEC MONTRAL Service des bibliothques

    Avertissement

    La diffusion de ce mmoire se fait dans leq respect des droits de son auteur, qui a sign le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles suprieurs (SDU-522- Rv.01-2006). Cette autorisation stipule que conformment l'article 11 du Rglement no 8 des tudes de cycles suprieurs, [l'auteur] concde l'Universit du Qubec Montral une licence non exclusive d'utilisation et de . publication qe la totalit ou d'une partie importante de [son] travail de recherche pour des fins pdagogiques et non commerciales. Plus prcisment, [l'auteur] autorise l'Universit du Qubec Montral reproduire, diffuser, prter, distribuer ou vendre des . copies de. [son] travail de recherche des fins non commerciales sur quelque support que ce soit, y compris l'Internet. Cette licence et cette autorisation n'entranent pas une renonciation de [la] part [de l'auteur] [ses] droits moraux ni [ses] droits de proprit intellectuelle. Sauf entent contraire, [l'auteur] conserve la libert de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possde un exemplaire.

    ----------------------------------------

  • REMERCIEMENTS

    Je tiens remerCler mes co-directeurs, Messieurs Louis Charbonneau et Denis

    Tanguay, pour leurs gnreux commentaires critiques et leur lecture minutieuse des

    versions successives du prsent mmoire. Et en particulier Monsieur Charbonneau

    pour m'avoir rendu possible l'accs certains corpus historiques.

    Je remercie galement les autres membres du jury, Gilbert Labelle et Stphane Cyr,

    pour leurs commentaires critiques et encouragements.

    J'aimerais aussi en ces pages tmoigner de ma reconnaissance Monsieur Alexandre

    Feimer, qui enseigna au Mont-Saint-Louis de 1964 1982 et que j'ai eu la chance

    d'avoir comme professeur alors que j'tais jeune tudiant (au Mont-Saint-Louis) , pour

    sa passion contagieuse des mathmatiques et la rigueur intellectuelle dont il faisait

    preuve dans son enseignement de la gomtrie.

    Le temps disponible d'un individu tant hlas une ressource finie, je tiens remercier

    mes enfants, Gabrielle V. Poitras et Catherine P. Voyer, ainsi que ma conjointe, Carole

    Martin, pour leur patience et leur soutien.

  • ' TABLE DES MATIERES

    LISTE DES FIGURES .............. ... ..... ..... .......................................... .... ........ v

    RSUM ....... ....................... ........... ............... .. ................ .... .......... ....... .. vii

    INTRODUCTION ... .............. .... ................................................................... 1

    CHAPITRE 1 LES NOMBRES COMPLEXES .............................................................. ....... 6

    1 .1 Antiquit et Moyen-ge .................................................................. 6

    1.2 Cardano, Bombelli, Ferrari ............................................................ 22

    1 .3 Vite, Girard, Descartes ................................................................ 30

    1 .4 Newton, Leibniz, Euler .................................................................. .4 7

    1.5 Wessel, Argand, Gauss, Cauchy .................................................... 59

    1. 6 De Morgan, Hamilton ..................................................................... 69

    1 .7 Enseigner les nombres complexes au collgial. ............................. 78

    CHAPITRE Il LES QUATERNIONS ................................................................................ 8 5

    2.1 L'approche hamiltonnienne des quaternions ... ............................. 86

    2.2 Algbre linaire et quaternions ........................... ................ ......... . 95

    CHAPITRE Ill LES FONDEMENTS DE LA GOMTRIE ................................................ 1 03

    3.1 Hilbert et les fondements de la gomtrie ............................... . 1 09

    3.2 La gomtrie hyperbolique ......................................................... 1 21

    3.3 Axiomatique et intuition du rel physique ............................ 1 26

    CONCLUSION ......................... .............................................................. 1 28

    - - - - - - - - - - - - -------- - - -

  • APPENDICE A

    LES AXIOMES DE HILBERT .......... ......... .... ....... ......... .. ..... . ~ ... .. .............. l 32

    APPENDICE B AXIOMES DE LA GOMTRIE NEUTRE ET DE LA GOMTRIE HYPERBOLIQUE ...................................................... l 35

    APPENDICE C

    RECONSTRUCTION ALGBRIQUE DES QUATERNIONS .......................... 138

    RFRENCES ............... .. ....... ..... .. ....... ................................................. 1 40

  • LISTE DES FIGURES

    Figure

    1.1 La somme a+b et le produit ab ... ....... .. .......... .. ..... .. .... ... .... .................... 6

    1.2 Compltion du carr ........................................ ........ .. ....... ........ ....... ..... ... . 8

    1.3 Nombres polygonaux k+ 1 cts ....... ..... .... ........................................... 10

    1.4 Thorme de Pythagore .... ..... ..... ..... .. ... .... .. ................................... ...... .. . 11

    1.5 Ratio incommensurable p/q ... ............. ..... ............ ....... ... ... ...... ..... .... ....... 12

    1.6 Postulat d'Euclide ........................................................ .................... ..... .. 15

    1. 7 Carr d'une somme ............................................................................... .. 16

    1.8 Racine carre d'un produit. ...... .................... ... ..... .. ............... .. .... ..... ... .. .. 17

    1.9 Mthode d'al-Khwarizmi ............... .... .. ........ ... .. .. ..... .. .. .......................... . 20

    1.10 Mthode d'al-Khayyami ......................................................................... 21

    1.11 Illustrationde (u-v )3 +3uv(u-v )=u3-v3 ................. . ...... ...... . ........ ........... 24

    1.12 Rsolution de x 3- 3b2 x=b2 d ............................ ....................................... 32

    1.13 Produit de nombres rels positifs ...... .. ........ ..... ................ .... .. .. ............... 3 8

    1.14 Extraction de racine deuxime .......... ..... ... ...................... .... ... ..... ............ 39

    1.15 Rsolution de l'quation Z2 =az+ b2 ...... ......... ..... .... ............ ... .. ........ . .... .40

    1.16 Rsolution de l'quation z2 =az-V ......... ....... ................... ... ............ ...... .. 40

    1.17 Rsolution de z3= pz -q .. ...... .... .. .. ... ........ .... .... ..... ......... ....... .......... ..... .. 42

    1.18 L'autre solution positive de Z 3=pz-q ..... .... ..... ........ ..... .... ........ .......... .. .. .42

    1.19 Le plan complexe de Wessel.. ...... .. .......... ............ ... ............. .. ... ........ 60

    1.20 Produit de segments dans le plan complexe de Wessel... ................... 61

    1.21 Lignes diriges d'Argand .................... .. ................. .. .......................... 63

    1.22 Les trois moyennes proportionnelles gomtriques du 3e degr .. ....... 64

    1.23 Le plan complexe reprsent par Gauss .......... .............. .... ..... ............ ..... 65

    1.24 Le plan complexe ................. ................. ...... ...... .... .. .. ... ..... .. .... .... .. ... ..... . 80

  • Vl

    1.25 La somme des nombres complexes .. ............................ ... ...... .... ... .. ......... 80

    1.26 Norme et argument d'un nombre complexe ..................... ........ ................ 81

    1.27 Produit de nombres complexes et similitude des triangles ........ ..... ..... ..... 81

    1.28 Rotation dans le plan complexe .... .. ........ ....... .......... ....... ............ ... ...... ... 82

    1.29 Inverse d'un nombre complexe .. .... .... .......... .... .... ... .... .... ......................... 82

    2. 1 Conjugu d'un quaternion .... ................ .......................... ............ ...... ...... 88

    2.2 Produit de quaternions ...... ...... .... ... ............. .... ......... .. .. ............ ....... ....... 91

    2.3 Quaternions coplanaires ..... ..... ............................... .... ...... ... ....... ........ .. ... 91

    2.4 Projection orthogonale ..... ...................... ..... ....... ..... ...... ........ .... ........ .... .. 93

    2.5 Rotation d'un angle 8 du vecteur v autour du vecteur u ...................... 95

    3.1 Somme segmentaire .............. .......... .... ... .. ........ ..... ..... ........ .. ................. 114

    3 .2 Produit segmentaire ... ......... ...... .... ......................... ........ ....................... 114

    3.3 Existence de l'angle droit... ........... .. ... ....... ............... ... ......... ... .... ...... .. .. 115

    3.4 Unicit de l'angle droit.. .................. ...................................................... 115

    3.5 Existence d'une droite parallle .. ................. .. .......... .............. ................ 117

    3.6 'La' parallle de Legendre ..................................... .. .............................. 118

    3.7 Somme des angles d'un triangle ......................... .. .... : ............ ................ l19

    3.8 Quadrilatre de Saccheri ..... ......................... .............. .. ..... .......... .......... 120

    3.9 Demi-sphre de Poincar ........................... .. ............ .... ......................... 124

  • , , RESUME

    La premire partie de ce mmoire relve les principaux problmes de nature algbrique et gomtrique qu'ont d rsoudre les mathmaticiens avant d'accepter l'existence des nombres complexes; l'une des consquences de cet exercice est de proposer l'esquisse d'une approche plus adquate l'enseignement des nombres complexes au collgial. La deuxime partie prsente l'approche gomtrique des quaternions, tel que formule par leur inventeur (Hamilton), puis dmontre leurs principales proprits gomtriques dans le contexte de l'algbre linaire. Dans la troisime partie, l'axiomatisation de l'intuition gomtrique est aborde dans le contexte des fondements proposs par Hilbert en regard des gomtries non euclidiennes.

    Mots-clefs: Histoire des nombres complexes; quaternions; fondements de la gomtrie.

  • Rapportons ici les moyens par lesquels notre entendement peut s'lever la connaissance sans crainte de se tromper. Or il en existe deux, l'intuition et la dduction. Par intuition j'entends non le tmoignage variable des sens, ni le jugement trompeur de l'imagination naturellement dsordonne, 1nais la conception d'un esprit attentif, si distincte et si claire qu'il ne lui reste aucun doute sur ce qu'il comprend [ ... ]. C'est ainsi que chacun peut voir intuitivement qu'il existe, qu'il pense, qu'un triangle est termin par trois lignes, ni plus ni moins, qu'un globe n'a qu'une surface, et tant d'autres choses [ ... ]. On peut dire que les premires propositions, drives immdiatement des principes, peuvent tre, suivant la manire de les considrer, connues tantt par intuition, tantt par dduction; tandis que les principes eux-mmes ne sont connus que par intuition, et les consquences loignes que par dduction.

    Ren Descartes, Les rgles pour la direction de l'esprit (1629, Rgle troisime).

    [Boyle] m'a confirm dans cette volont qui fut pour moi depuis longtemps, comme j'ai connu, de traiter par les dmonstrations Gomtriques la Science relative la pense.

    Gottfried Wilhelm Leibniz, 4" lettre Matre Oldenburg (1675, p. 11).

    Les deux dernires dcennies ont vu la monte et la chute de plusieurs idologies pseudo-scientifiques de l'apprentissage des mathmatiques. Des spcialistes ont soutenu les pires absurdits: par exemple, que l'on devait d'abord enseigner des choses abstraites parce que, dans le monde moderne, l'abstrait prcde le concret, la thorie prcde la pratique! C'est ainsi que l'on a voulu enseigner les gomtries finies avant la gomtrie, la thorie des groupes avant l'apprentissage des nombres, la topologie avant l'analyse, la logique formelle avant la gomtrie analytique. On a voulu d'abord enseigner la synthse de connaissances que le pauvre tudiant ne possdait pas au pralable! On appelait a des mathmatiques modernes et si personne n'y comprenait rien on en imputait la faute une incapacit d'adaptation rapide au modernisme! [ ... ] Ceux qui croient que la rigueur exige l'limination des figures ( bas Euclide!) devront changer d'avis. La gomtrie des figures , faisant appel l'exprience (ou l'intuition) visuelle, est un outil merveilleux de comprhension et de calcul.

    Andr Joyal (in Labelle, ca. 1975, prface)

    Presqu'invariablement, le remplacement du langage algbrique par le langage gomtrique ~;pporte des simplifications considrables et fait apparatre des proprits insouponnes lorsqu'elles sont enfouies sous un fatras de calculs.

    Jean Dieudonn, Pour l'honneur de l'esprit humain (1987, p. 179)

    ----------~-----

  • INTRODUCTION

    L'apprentissage des mathmatiques est, pour l'lve, une activit teinte d'une

    importance subjective particulire, puisqu'elles entretiennent un rapport la vrit .

    Faire des mathmatiques ne consiste pas seulement recevoir, apprendre et mettre des messages de mathmatiques corrects et pertinents ( appro,rris).

    Enoncer un thorme, ce n'est pas communiquer une information, c'est toujours affirmer que ce que l'on dit est vrai dans un certain systme, c'est se dclarer prt soutenir cette opinion, en donner une dmonstration.

    Il ne s'agit donc pas seulement pour l'enfant de savoir des mathmatiques mais de les utiliser en tant que raisons d'accepter ou de rejeter une proposition (un thorme), une stratgie, un modle, ce qui exige une attitude de preuve. [ ... ]

    En mathmatique le pourquoi ne peut pas tre appris seulement par rfrence l'autorit de l'adulte. La vrit ne peut pas tre la conformit la rgle, la convention sociale comme le beau ou le bon . Elle exige une adhsion, une conviction personnelle, une intriorisation qui par essence ne peut tre reue d'autrui sans perdre justement sa valeur. [ . . . ]

    Le passage de la pense naturelle l'usage d'une pense logique comme celle qui rgit les raisonnements mathmatiques s'accompagne de la construction, du rejet, de la reprise de diffrents moyens de preuve: rhtoriques, pragmatiques, smantiques ou syntaxiques. (Brousseau, 1998, p. 39, 40)

    Enseigne l'enfant ds son plus jeune ge, de pair avec l'apprentissage de sa

    langue, la mathmatique est constitutive de la formation de sa rationalit. Ce

    passage une pense logique n'est donc possible que dans la mesure o pr-existe

    une pense naturelle indpendante de la thorie ou du modle mathmatiques

    analyss. Cette pense mta-mathmatique permettra de concevoir des liens entre

    diffrents modles, de convertir les observations entre diffrents registres

    smiotiques, entre diffrentes disciplines, entre diffrentes cultures. Il s'ensuit que

  • 2

    si les modles mathmatiques sont prsents par les enseignants comme allant de soi,

    sur le mode de l'vidence, plutt que reposant sur un choix thorique fcond issu

    d'une mise en situation didactique, alors cet enseignement risque de heurter la pense

    naturelle de l'tudiant en usurpant l'intuition de celui-ci son articulation originale et

    ncessaire. Combien d'tudiants 'dcrocheront' alors de l'cole en contestant cet

    impratif institutionnel, par manque de conviction personnelle , et refuseront ce

    conformisme idologique au nom de la libe1t de pense, avant que leurs tudes les

    aient amens dcouvrir les remises en question que les mathmaticiens ont eux-

    mmes historiquement traces en inventant de nouveaux modles l'encontre de la

    tradition?

    L'histoire de l'art nous montre, travers l'volution de la perception de la perspective,

    le conformisme aux codes de la reprsentation picturale propre chaque poque;

    pensons au violent rejet qu'a subi le cubisme voil peine un sicle! L'histoire de

    l'astronomie, des modles gocentriques jusqu'aux modles relativistes, fourmille de

    situations o les physiciens ont d se confronter aux croyances institutionnalises,

    quelquefois mme au pril de leur vie. De mme, l'anthropologie s'est heurte, et se

    heurte toujours, aux modles anthropocentriques des croyances religieuses pour faire

    valoir son savoir scientifique; n'oublions pas qu'aux tats-Unis, pays qui domine

    actuellement la plante sur les plans technologique et militaire, plusieurs lobbies

    influents cherchent imposer dans les coles l'enseignement du crationnisme ou du

    dessein intelligent l'encontre de l'enseignement du darwinisme! Tandis que la

    dconfessionnalisation des coles au Qubec n'est que toute rcente et reste encore

    faire dans le secteur priv! Ces remises en question des ides reues (et les

    rsistances auxquelles elles ont donn lieu) sont gnralement connues des gens

    instruits; mais elles le sont beaucoup moins en ce qui a trait l'histoire des ides

    mathmatiques.

  • 3

    titre d'enseignant au collgial pendant quelque vingt-cinq annes, nous avons pu

    observer la rsistance toute particulire de la part des tudiants admettre l'existence

    des nombres complexes. Cette rsistance, on s'en doute, apparat ds que l'on pose

    l'existence d'un nombre i tel que i2=-1 ou, pis encore, lorsqu'on le dfinit par

    i =J=l. Une telle affirmation contredit en effet le savoir que l'tudiant a accumul au sujet des nombres rels et heurte ainsi d'emble l'intuition du nombre qu'il a

    dveloppe au fil des ans.

    Afin de mieux cerner la nature de cet obstacle pistmologique', nous avons cherch

    identifier les principaux concepts qui ont amen les mathmaticiens , non

    seulement 'dcouvrir' les nombres complexes, mais aussi accepter leur 'existence'.

    Nous sommes conscients que la mise en situation didactique n'a pas reproduire les

    conditions historiques dans lesquelles se sont invents les diffrents objets

    mathmatiques; mais connatre la faon par laquelle d'minents mathmaticiens ont

    russi, leur poque, franchir ces obstacles ne pourra qu'instruire notre rflexion

    relative une approche des nombres complexes qui soit mieux adapte un

    enseignement de niveau collgial.

    Le travail du professeur est dans une certaine mesure inverse du chercheur, il doit produire une recontextualisation et une repersonnalisation des connaissances. Elles vont devenir la connaissance d'un lve, c'est--dire une rponse assez naturelle, des conditions relativement particulires, conditions indispensables pour qu'elles aient un sens pour lui. (Brousseau, 1998, p. 50)

    Dans le premier chapitre du prsent mmoire, nous avons donc questionn la nature

    du nombre, soit l'intuition que les mathmaticiens en ont eue, dans le but de cerner

    celle du nombre complexe. Quels y taient les rles respectifs des reprsentations

    algbrique et gomtrique tout au long de ce cheminement historique? Dans quel

    contexte mathmatique les nombres complexes sont-ils apparus? Leur formulation

    l Nous pensons ici la notion d'obstacle pistmologique te lle que l'a expose Gaston Bachelard (1934 et 1938).

  • 4

    actuelle relve-t-elle seulement d'une approche formelle , symbolique? Comment les

    mathmaticiens en sont-ils arrivs finalement reconnatre l'existence des nombres

    complexes? Nous conclurons ce chapitre en proposant une approche des nombres

    complexes dans l'enseignement au collgial, directement influence par la rponse

    ces questions, qui serait mme d'viter l'obstacle pistmologique voqu ci-dessus.

    Dans le chapitre suivant, nous poursuivons le questionnement de Hamilton: alors que

    les rotations des vecteurs du plan peuvent s'exprimer par l'application des nombres

    complexes, comment pourrait-on concevoir une extension de ceux-ci - soit les

    quaternions - qui corresponde aux rotations dans l'espace gomtrique? Nous

    rsumerons la dernire prsentation qu'en a faite l'inventeur des quaternions, puis

    nous montrerons comment ils peuvent tre enseigns dans le cadre d'tm cours

    d'algbre linaire et gomtrie vectorielle .

    Nous aurons observ, au cours de ces deux chapitres, comment la gomtrie

    euclidienne a historiquement fourni une lgitimit aux algorithmes algbriques et, en

    particulier, l'existence des nombres complexes et des quaternions par la

    reprsentation intuitive qu'elle en offre. Nous nous demanderons, au dernier chapitre,

    ce sur quoi se fonde la lgitimit de la gomtrie euclidienne: l'axiomatique qui lui est

    propre doit-elle ncessairement fonder toute gomtrie? La gomtrie euclidienne

    est-elle le seul modle qui puisse correspondre notre intuition du ' rel '? Nous

    examinerons les fondements de la gomtrie euclidienne et, en particulier,

    l'indpendance de l'axiome des parallles (le postulatum) relativement aux autres

    axiomes, puis comparerons son axiomatique celle de la gomtrie hyperbolique.

    Pour le volet historique de cette recherche, nous avons tudi certains des documents

    rdigs par les auteurs suivants: Platon, Vite, Bombelli~ Girard, Descartes, Newton,

    Leibniz, Legendre, Argand, Hamilton, Hilbert et Poincar. Pour plusieurs d'entre eux,

    nous dpendions des traductions franaises ou anglaises de l'original latin, grec,

    franais ancien ou allemand. (Il y a mme un cas, celui de Girard, o n'avons pu

  • 5

    trouver que la traduction anglaise de l'original franais!) Pour nous guider sur ce

    terrain historique, nous nous sommes largement inspirs des travaux des historiens

    Kline, Katz, Boyer et Flament.

    Lors de ce survol historique de l'invention des nombres complexes, des quaternions et

    des gomtries non euclidiennes, nous avons accompagn plusieurs des corpus

    historiques prsents de nos propres ajouts mathmatiques; en particulier, tous les

    dveloppements mathmatiques inspirs des indications de Descartes dans sa

    Gomtrie sont de nous (et clairement indiqus comme tels). De mme, tout le

    dveloppement mathmatique de la section 2.2 (o la rotation d'un vecteur dans

    l'espace est calcule l'aide de la gomtrie vectorielle et exprime sous forme

    quivalente l'aide des quaternions) est de nous, notre seul guide ayant alors t

    d'obtenir la mme quation finale R8 (v)=Q v Q-1que celle obtenue par Dieudonn

    (1968, p. 203) selon un cheminement formel tout autre.

    Finalement, veuillez prendre note que nous avons choisi d'utiliser les notations

    mathmatiques actuelles, sauf pour illustrer certains cas bien prcis, dans le but de

    faciliter la lisibilit et de suivre plus aisment le dveloppement historique d'un mme

    objet mathmatique dont la conception aurait t jalonne l'aide de diverses

    notations.

  • /

    CHAPITRE I

    LES NOMBRES COMPLEXES

    1.1 Antiquit et Moyen-ge

    Nous chercherons en un premier temps retracer les grands pas de l'histoire qui

    ont amen les mathmaticiens inventer les nombres complexes; c'est pourquoi

    nous nous intresserons particulirement au dveloppement de la notion de

    nombre et sa relation intime avec la reprsentation gomtrique qui la sous-

    tendra, sans oublier l'apport de la trigonomtrie dans la reprsentation des

    nombres complexes.

    L'axiomatique propre l'algbre, que nous connaissons de nos jours, n'existait

    videmment pas comme telle dans l'Antiquit. De mme, les symboles

    algbriques que nous utilisons pour codifier les quations ne prendront leur forme

    dfinitive qu'au courant des XVW et XVIW sicles. Les rgles utilises par

    l'arithmtique de l'Antiquit taient alors justifies par rfrence au modle

    gomtrique.

    En particulier, lorsque les nombres reprsentaient des longueurs de segments

    rectilignes, la somme cor-

    respondait la longueur du

    segment rsultant de

    l'adjonction sur une mme

    droite de segments contigus

    et le produit l'aire du

    a b 1 b

    Figure 1.1 : La somme a+b et le produit ab

  • 7

    rectangle ayant ces segments comme cts. Prcisons que la gomtrie, que les

    anciens Babyloniens ont peu dveloppe, n'tait pas tudie pour elle-mme mais

    pour rsoudre des problmes pratiques, le plus souvent des problmes d'arpentage. De

    plus, avant la civilisation Grecque, les figures gomtriques apparaissent touj ours

    lies l'objet matriel dont elles empruntaient la forme; ainsi, le contexte de la notion

    de rectangle est toujours, chez les gyptiens, celui des limites d'un terrain. Il semble

    nanmoins que les Babyloniens et les gyptiens d'alors aient pens le nombre d'une

    faon plus abstraite, plus dtache des objets physiques (Kline, 1972, p. 29) .

    Ce sont, parmi les documents qui nous sont parvenus, surtout ceux des Anciens

    Babyloniens (priode du roi Hammurabi, circa -1730, rgion de la Msopotamie) qui

    contiennent plusieurs problmes portant sur la rsolution de l'quation quadratique.

    On n'utilisait alors ni variables ni paramtres, quoique certains symboles sumriens

    en dsutude pouvaient l'occasion servir reprsenter les inconnues: ce sont plutt

    plusieurs exemples qui montraient l'algorithme suivre2. Il est vraisemblable que,

    dans les problmes couramment de la forme

    x+ y =a et xy=b,

    le scribe ait cherch rsoudre une relation entre l'aire et le primtre d'un rectangle.

    Voici l'algorithme suivi dans l'une des tablettes retrouves (YBC 4663) .

    Le scribe calculait la moiti du nombre donn a, levait le quotient obtenu au carr,

    en soustrayait l'autre nombre donn b, puis extrayait la racine carre de la diffrence

    obtenue: ~(a/2? -b . Ensuite, il ajout~it ou soustrayait la racine obtenue a/2 pour obtenir les valeurs cherches

    x= ( a/2 )+ ~( al2 ? -b et y= ( a/2)- ~(a/2 f -b.

    Une lecture approfondie de cette tablette laisse penser que le scribe avait en tte un

    2 Tout comme le faisait le papyrus gyptien rdig par le scribe Alunes, environ en - 1600, et dcouvert en 1858 par l'antiquaire cossais Henry Rhind.

  • 8

    processus gomtrique (Katz, 1993, p. 32). Ainsi, pour dterminer les longueurs x, y

    des cts d'un rectangle de demi-primtre a et d'aire b donns, donc tels que

    x+ y =a et xy =b, le calcul effectu par le scribe aurait pu s'appuyer sur la mthode

    gomtrique suivante (fig. 1.2).

    x+y x-y Soit x2y>O; pmsque --+--=x et

    2 2

    x+ y x-y 1 1 d -2-- -

    2- = Y, on constrUit e rectang e e

    cts x=~+ x- Y et y=~- x-Y d'o en 2 2 2 2 '

    comparant les aires du rectangle de cts x,

    y et du carr de cts a/2 , il rsulte que

    b=xy=(~f-(x;yr>O. Cette compltion du carr permet mns1 de dterminer la

    a/2

    x

    a/2 ~ 2

    y

    ~ 2

    y ~ 2

    Figure 1.2: Compltion du carr

    x=(al2)+ ~(al2?-b et y=(a/2)- ~(a/2 ) 2 -b.

    Cette mthode quivaut, algbriquement, rsoudre l'quation x2

    - 2 ax + b = 0

    lorsque les constantes a, b et le discriminant sont positifs; il suffit en effet de

    substituer y= 2 a- x dans l'quation xy = b . Pour rsoudre cette quation, les cours

    d'algbre lmentaire actuels utilisent la mthode dite de la compltion du carr

    x2 - 2 ax + b = 0 (x -a )2 = a2- b , sans toutefois ncessairement rfrer au modle gomtrique qui en est l'origine. Remarquons que cette mthode gomtrique

    comporte sa propre dlimitation des cas possibles: on ne peut en effet complter l'aire

    (positive) b du rectangle de cts de longueurs (positives) x, y jusqu' celle du carr

  • 9

    de cts de longueur (positive) a que dans la mesure o a 2 - b est positif3.

    Sous la priode Assyrienne (ca. -VIP s), l'astronomie babylonienne commencera

    inclure une description mathmatique des phnomnes et une compilation

    systmatique des donnes obtenues par l'observation (de sorte tablir un calendrier

    des activits agraires et des clbrations religieuses). C'est dans. ce contexte que

    l'astronomie babylonienne divisera le cercle en 360 degrs; leur numration est

    positionnelle, en base sexagsimale (Kline, 1972, p. 12-13).

    Mais en ce qm concerne une argumentation explicite fonde sur des infrences

    logiques, les documents les plus anciens que nous connaissons aujourd'hui o l'on en

    trouve la trace datent de l'Antiquit grecque4 Alors qu'on attribue au mathmaticien,

    physicien, astronome, gographe et philosophe grec Thals de Milet (ca. -624 - -547)

    certains noncs mathmatiques gnraux, il n'est toutefois pas certain que ceux-ci

    aient t appuys sur tme telle argumentation logique explicite. Nanmoins, ds le

    -IVe sicle, les Grecs reconnatront Thals comme l'initiateur de la tradition

    mathmatique et plus gnralement de l'entreprise scientifique, en particulier de la

    recherche de lois gouvernant les phnomnes physiques (Katz, 1993 , p. 44; Kline,

    1972, p. 28; Dieudonn, 1987, p . 46). Il est gnralement admis que les thormes

    noncs par le philosophe, mathmaticien et astronome 5 grec Pythagore (ca. -580-

    -490), qui aurait reu l'enseignement de Thals, comportaient des dmonstrations

    proprement parler. Pythagore, qui fonda son cole Crotone au sul de l'Italie,

    considre les entits mathmatiques, et en particulier les figures gomtriques,

    comme des abstractions propres l'esprit, distingues en cela des objets physiques,

    sans toutefois en tre dtaches; de plus, le nombre est pens comme l'essence ou la

    3 Les cas o a2-b

  • 10

    structure de l'univers, comme son ultime composant matriel. Il semble en effet que

    l'cole Pythagoricienne des -VIe et -y e sicles conoivent les nombres comme des

    points ou petites sphres gomtriques (Kline, 1972, p. 29). On retrouve aussi cette

    reprsentation gomtrique des nombres avec les nombres triangulaires, carrs et

    autres nombres dits polygonaux (dont la preuve de certaines proprits arithmtiques

    sera conduite l'aide de figures gomtriques). Ainsi, les nombres de la suite 1 , 3,

    2 3 k

    s =1 1

    s =k 2

    s =2k-1 3

    s =3k-2 4

    sn=(n-1)k-(n-2)

    Figure 1.3: Nombres polygonaux k+ 1 cts

    6, 10, 15, ... seront dits triangulaires, ceux de la suite 1, 4, 9, 16, 25, ... seront dits

    carrs, etc. Plus prcisment, on peut reprsenter la suite Sn des nombres polygonaux

    k+ 1 'cts' comme la figure 1.3 , o

    S 1=1 et Sn=Sn_ 1+sn avec sn=(n-l)k-n+2.

    On obtient ainsi la suite n des nombres naturels (k=1), la suite n (n+1)12 des

    nombres triangulq.ires (k=2), la suite n2 des nombres carrs (k=3), la suite

    n (3n -1 )/2 des nombres pentagonaux (k=4) et, en gnral, la suite

    Sn=n ((k-l)(n-1)+2)/2 desnombrespolygonaux k+1 'cts'.

    La proprit que l'on nomme aujourd'hui thorme de Pythagore aurait toutefois t

    bien connue des Anciens Babyloniens et des Chinois. Ainsi, une tablette de nombres

    Babylonienne datant de -1700 (tablette de Plimpton 322) contient une liste de

    nombres vrifiant cette proprit. On retrouve plus explicitement cette proprit dans

    le neuvime chapitre du texte chinois Zhoubi suanjing, texte crit vers le dbut de la

    dynastie des Han (ca. -200), mais dont on admet gnralement qu'il reprend des

    dcouvertes dj connues en Chine depuis le dbut de la dynastie des Zhou (ca.

  • 11

    -1 000). Le quatorzime problme de ce chapitre (Katz, 1993, p. 29-30) donne en

    effet un algorithme permettant de gnrer les triplets vrifiant le thorme dit de

    Pythagore a2+b

    2=c

    2 : dans notre notation, ceci revient aux formules a=xy,

    b= (x2 - / )12 et c=(x 2+ /)12. On y retrouve aussi une illustration gomtrique de

    cette proprit par la construction d'un carr bas sur l'itration d'un triangle-rectangle

    de cts mesurant 3, 4 et 5 units. Le commentaire qui accompagne cette

    construction comporte les tapes cruciales de ce que serait une preuve plus gnrale;

    tant donn l'importance ultrieure du thorme de Pythagore, voici donc la preuve

    que ce commentaire ancien inspire.

    Soit un carr de cts mesurant a +b , o a 2: b . On construit l'intrieur de ce carr

    quatre rectangles de cts a et b dont on trace les diagonales (voir fig. 1.4). Ces

    diagonales ont donc la mme longueur, a b

    . nomme c , et forment les cts d'un carr.

    (Nous verrons qu'une consquence bien b

    connue du se postulat d'Euclide est que la somme des angles aigus d'un triangle-

    rectangle est 90; ceci quivaut affirmer

    l'existence du rectangle et que les deux

    triangles-rectangles qui le subdivisent sont

    congruents) . Il en rsulte que l'aire du grand

    a c

    b

    c c

    c

    a

    +

    carr est gale la somme des aires du carr Figure 1.4. Thorme de Py thagore

    de cts c et des quatre triangles-rectangles extrieurs de cts a, b. Donc

    ( )2 2 1 2 b2 2 a+b =c +4ab 2, c. --d . a+ =c .

    a

    b

    Une des consquences majeures dudit thorme de Pythagore fut la dcouverte des

    grandeurs irrationnelles (les ratios incommensurables, alors dits 'inexpressibles'), que

    l'on attribue au pythagoricien Hippasus de Mtaponte (-V sicle). Cette preuve, qui

    nous fut rapporte par Aristote, constitue le premier exemple connu ce jour d'un

  • 12

    raisonnement par l'absurd. En voici la dmarche.

    Soit un triangle-rectangle isocle et supposons que l'hypotnuse puisse tre mesure

    par une mme unit que l'un de ses cts. En prenant la plus grande unit de mesure

    possible, et en nommant q le nombre entier d'units de son ct et p celui de son

    hypotnuse, il s'ensuit que pet q ne peuvent tre tous deux des entiers pairs (sinon on

    aurait pu doubler cette unit de mesure). Or, par le thorme de Pythagore, on a

    /= 2 q2 ; p 2 serait donc pair, d'o p aussi: soit p = 2 k pour un certain entier k. Il s'ensuit que q2=2e: q2 serait donc pair, d'o

    q aussi; ceci contredit donc l'hypothse d'existence de cette

    commune unit de mesure. Il s'ensuit que le ratio pl q de

    l'hypotnuse (du triangle-rectangle isocle) par son ct est

    incommensurable.

    q~ q

    Figure 1.5: Ratio incommensurable

    p/q

    Or cette dcouverte allait l'encontre de la philosophie pythagoricienne selon laquelle

    toutes les longueurs peuvent tre mesures l'aide d'une commune mesure ;

    autrement dit, il y aurait des grandeurs qui ne sont pas rationnelles. Ainsi, c'est grce

    au rais01mement dductif comme mthode de preuve, ce sur quoi les Grecs sont

    rec01mus comme les premiers avoir insist, que les mathmaticiens ont pu remettre

    en question une thse philosophique ayant trait aux mathmatiques. Et c'est grce la

    gomtrie que l'existence de grandeurs non rati01melles devra tre tenue pour

    ncessaire.

    Alors que l'arithmtique et la gomtrie se rvlent tre indispensables dans la

    conduite des affaires courantes (commerce, mesures agraires, navigation, ... ), leur

    connaissance sera aussi considre par le philosophe grec Platon ( -428 - -34 7)

    comme fondamentale dans la formation intellectuelle du chef d'tat idal et du

    6 Cette mthode de preuve s'avrera tre un outil essentiel de la logique mathmatique. Cettains y voient mme le vritable acte de naissance des mathmatiques; c'est aussi le premier exemple d'une affirm ation d' impossibilit (Dieudonn, 1987, p. 47).

  • 13

    philosophe; disciple de Socrate, il crit, dans son ouvrage La Rpublique, que cette

    formation devrait inclure les cinq disciplines suivantes: l'arithmtique, la gomtrie

    plane, la gomtrie des solides, l'astronomie et la musique (l'harmonie) .

    L'art du calcul et [ ... ] l'arithmtique [ . . . ] paraissent [ ... ] capables de conduire la vrit[ . .. ]; quant au philosophe qui doit s'attacher l'tre en se dgageant du devenir, il doit [ . .. ] les apprendre, ou alors il ne deviendra jamais expert dans l'art du rais01mement. [ ... ]Il serait ds lors appropri[ ... ] de se porter vers l'art du calcul et de s'y appliquer[ .. . ] dans le but d'atteindre la contemplation de la nature des nombres par l'intellection elle-mme [ ... ] , en ayant pour finalit [ ... ] cette conversion naturelle de l'me, qui se dgage du devenir et se tourne vers la vrit et vers l'tre. [ ... ] Cet art force [l'me] dialoguer au sujet des nombres eux-mmes, en n'acceptant en aucun cas, si on dialogue avec elle, de faire intervenir des nombres attachs des corps visibles ou tangibles. [ ... ] Il faut [ ... ] qu'on tudie la gomtrie en vue de la connaissance de ce qui est toujours, et non de ce qui se produit un moment donn puis se corrompt. [ ... ] Elle serait ds lors capable [ ... ] de tirer l'me vers la vrit.

    (Platon, La rpublique, VII, passages 525 a,b,c et 527 b)

    Platon affirme que les concepts mathmatiques sont indpendants de l'exprience et

    ont leur ralit propre (Kline, 1972, p.46). Ce qui, d'aprs le biographe Plutarque (ca.

    4 7-125), l'amena condamner l'illustration mcanique des constructions

    gomtriques employe par l'astronome et philosophe grec Eudoxe de Cnide (-406-

    -355) et le mathmaticien, astronome, homme d'tat et gnral grec Archytas de

    Tarente (-430 - -348). Plus gnralement, cette rpudiation aurait eu pour effet de

    faire ngliger le dveloppement des sciences exprimentales pendant la priode

    Grecque classique.

    En ce qui concerne plus particulirement la notion de nombre, le platonicien Thtte

    d'Athnes (ca.-415- -368) tend celle-ci en y incluant les ' quantits' irrationnelles,

    dans la mesure toutefois o celles-ci s'obtiennent par une construction gomtrique,

    en particulier l'aide du thorme de Pythagore. Nous verrons que cette attitude

    dirions-nous de 'mfi ance' face leur ncessaire existence perdurera pendant deux

    millnaires.

  • 14

    Cette ide d'infrence logique, grce laquelle l'existence de certains objets se dduit

    de certains autres dont on accepte a priori l'existence, sera gnralise par l'illustre

    tudiant de Platon l'Acadmie, le philosophe grec Aristote (-384- -322), qui fonda

    Athnes une cole philosophique et scientifique: le Lyce. Son uvre Organon a

    domin l'histoire de la logique pendant plus d'un millnaire! En particulier, Aristote y

    fait la distinction entre les postulats (nous dirions axiomes propres un modle) et les

    vrits universelles (axiomes logiques de porte gnrale). Ainsi, seuls certains objets

    peuvent tre postuls exister (par exemple, en gomtrie: les lignes, les surfaces, .. . ),

    l'existence des autres devant tre infre par syllogismes. La qute du savoir

    reposerait alors sur une dmonstration logique s'appuyant sur des axiomes vrais; reste

    dterminer la vracit de tels axiomes: peut-on l'induire de l'observation de maints

    exemples perus par nos sens?

    Le chet'militaire grec Alexandre le Grand, ex-tudiane d'Aristote, conquit l'gypte en

    -332 et la Msopotamie en -330, ce qui entrana un dplacement des principaux

    centres de mathmatiques grecs vers la ville d'Alexandrie, en gypte. Par suite, la

    culture grecque dominera la rgion jusqu'au vue sicle.

    Le mathmaticien grec Euclide (-III" sicle), qui a probablement tudi l'Acadmie

    de Platon puis enseign Alexandrie, a crit le chef-d'uvre lments, synthse en

    treize livres de plusieurs sources, probablement grecques, babyloniennes et

    gyptiennes; ce fut le texte scientifique le plus publi et traduit de l'histoire, et

    enseign jusqu' nos jours. Les lments portent sur la gomtrie et la thorie des

    nombres et des proportions entre les grandeurs. Pour la partie concernant la

    gomtrie, les postulats noncs par Euclide prsupposent l'existence d'objets

    introduits par vingt-trois dfinitions (quoique ceux-ci apparaissent souvent comme

    7 Trois annes suffirent Aristote pour enseigner Alexandre ce qu'i l avait savoir de la gomtrie, de la gographie, de la morale, du droit, de la physique, de la mdecine, de l'histoire et de la philosophie (Druon, 1960, p. 79).

  • 15

    termes primitifs8): points, lignes (courbes et droites), surfaces (courbes et planes),

    cercles, parallles, angles (curvilignes et rectilignes), angle droit et leurs inter-

    relations; en particulier, rappelons la formulation de deux importantes dfinitions

    pour la suite de notre recherche, soit les dfinitions 10 et 23:

    Lorsque deux droites se rencontrent en formant deux angles adjacents gaux, on dit qu'elles sont perpendiculaires et que les angles ainsi forms sont droits.

    Deux droites parallles sont des droites qui, situes dans un mme plan et prolonges indfiniment, n'ont aucun point en commun.

    Les dductions seront menes par des constructions selon des notions communes9.

    Les trois premiers postulats concernent la construction ( l'aide d'une rgle et d'un

    compas) des droites, de leur prolongement continu et du cercle; le quatrime nonce

    l'galit de tous les angles droits et le cinquime est le postulat des parallles, que la

    tradition a depuis nomm postulat d'Euclide ainsi que postulatum:

    Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intrieurs et du mme ct plus petits que deux droits, les deux droites, indfiniment prolonges, se rencontrent du ct o sont les angles plus petits que deux droits (Euclide, Les lments; in Voelke, 2005, p. 13). Figure 1.6: Postulat d'Euclide

    Plusieurs gnrations de mathmaticiens ont depuis cherch, en vain, dmontrer ce

    cinquime postulat sur la base des autres axiomes, jusqu' ce que Lobatchevski et

    Bolyai inventent la gomtrie hyperbolique au XIXe sicle (voir chapitre III).

    8 Soit des termes non dfinis techniquement mme si suggestifs (Trudeau, 1987, p. 30, p. 97) .

    9 Selon l'dition de T. L. Heath, ces notions communes sont: 1) Des choses ga les une mme chose sont gales entre elles 2) Si des gaux sont ajouts des gaux, les totalits sont gales 3) Si des gaux sont soustraits des gaux, les restes sont gaux 4) Des choses qui concident l'une l'autre sont gales entre elles 5) Le tout est plus grand que la partie. Cette quatrime notion, qui fut peut-tre ajoute au texte orig inal d'Euclide, devrait plutt apparatre parmi les postulats, puisqu'elle a une porte gomtrique; elle fonde le principe de superposition des figures gomtriques (M. Kline, 1972, p. 59-60).

  • 16

    Contrairement la tradition qui a suivi, selon laquelle ces postulats relveraient de

    'l'vidence' (par exemple chez Adrien-Marie Legendre au XVIII" sicle), Euclide a

    partag la distinction opre par Aristote entre postulats et notions communes, en ce

    que la vrit des postulats n'a pas tre dmontre, mais teste par l'adquation de

    leurs consquences la 'ralit'.

    La construction gomtrique sert alors de preuve des noncs qu'aujourd'hui nous

    reconnmssons d'emble comme algbriques. Ainsi,

    l'nonc (a+b )2= a2 + 2 ab +b2 se lit comme suit la

    proposition 4 du livre II :

    Si un segment de droite est dcoup arbitrairement en deux segments, le carr du tout est gal aux carrs reposant sur ces segments et au double du rectangle les ayant pour cts.

    b

    a

    a b

    ab e a2 ab

    Figure 1. 7: Carr

    d'une somme

    Il est remarquable que cette illustation gomtrique serve encore souvent, de nos

    jours, convaincre l'tudiant en difficults d'apprentissage de la justesse de cette

    identit algbrique et qu'elle marque suffisamment sa comprhension de sorte

    dconstruire la fausse simplification (a+ b? =a2 + b2 .

    Le livre V des Elments porte sur la thorie des proportions entre ratios de

    'grandeurs', que celles-ci soient commensurables ou non, pouvant tout autant

    dsigner des longueurs que des aires, des mesures de poids, etc. La preuve des

    propositions qu'on y retrouve ici n'est en gnral plus gomtrique (sauf titre

    d'illustration) mais verbale, argumente sur la base des notions communes. Ces

    propositions noncent ce que nous qualifierions aujourd'hui de proprits

    arithmtiques portant sur l'galit de quotients; or ces ratios (ou rapports) de

    grandeurs sur l'galit desquels portent les proportions ne sont pas penss par Euclide

    et les Grecs de cette poque comme des nombres, comme des quotients - en

    particulier, le rapport entre deux nombres entiers n'est pas pens comme un nombre

  • 17

    (rationnel). Seule la proportion est ici enjeu (Kline, 1972, p. 68-73) .

    la proposition 13 du livre VI, Euclide illustre comment dterminer la moyenne

    proportionnelle entre deux segments de droite; d'un point-de-vue algbrique, ceci

    revient dterminer la racine carre (positive) du produit de deux nombres positifs. Il

    est remarquable que cette illustration soit reprise telle quelle par Descartes dans sa

    Gomtrie, soit presque deux millnaires plus tard (voir section 1.3)! Voici comment

    cette proposition dcoule de la proposition 4 portant sur la proportion entre les cts

    homologues des triangles semblables (Kline, 1972, p. 74).

    Soient deux nombres positifs a et b ; on construit le diamtre CD subdivis en H de

    sorte que m(DH)=a et m(HC)=b. Soit HE la perpendiculaire au diamtre qui

    intercepte le cercle au pointE et m(HE)=x . On

    sait que l'angle E du triangle DEC est droit, donc

  • 18

    fondateur de l'astronomie de position (systme de coordonnes bases sur l'quateur

    cleste), Hipparque tablit des tables prcises du mouvement de la Lune et du Soleil

    et dcouvrit la prcession des quinoxes. On lui doit incidemment la division du

    degr en minutes et secondes. Le mathmaticien grec Menelas d'Alexandrie (fin du

    le' sicle) dmontrera, dans son ouvrage Sphrica, maints thormes de la

    trigonomtrie sphrique, en particulier ce gue nous nommons aujourd'hui la loi des

    sinus dans un triangle sphrique. L'astronome, mathmaticien et gographe gyptien

    Claudius Ptolme (Alexandrie, ca. 90-168), dans son Almageste (ou Grande

    Syntaxe) prolongeant les travaux de Hipparque et de Menelas, espre mme fonder

    l'astronomie sur la base de l'arithmtique et de la gomtrie. Ptolme dmontrera

    entre autres des formules quivalentes ce gue nous notons sin (a fi) et cos ( a fi).

    Il est le premier dresser une table trigonomtrique de pas 112 degr. Les thormes

    dmontrs par Ptolme ne relvent pas d'une approche systmatique de la

    trigonomtrie sphrique mais sont introduits pour rsoudre des problmes

    d'astronomie10 .

    Jusqu'alors, la logique des oprations arithmtiques tait justifie par des algorithmes

    gomtriques. Le mathmaticien grec Nicomaque de Gerasa (fin du le' s.) a crit le

    livre d'aritluntigue, Introductio Arithmetica, qui est actuellement reconnu comme le

    premier livre o la thorie des nombres est traite indpendamme:qt de la gomtrie

    (Katz, 1993, p. 15 8; Kline, 1972, p. 13 5). Toutefois, il consiste surtout en un

    prambule la comprhension des philosophies de Pythagore et Platon plutt qu'en

    un dveloppement de la thorie des nombres (Boyer, 1968, p. 200-201) . Il s'inscrit

    dans la tradition pythagoricienne en maintenant que l'arithmtique est mre de la

    gomtrie, de la musique et de l'astronomie, donc essentielle toutes les sciences.

    IO Son modle gocentrique de l'Univers dominera l'astronomie jusqu' ce que soit adopt le modle hliocentrique prsent par Nicolas Copernic (1473-1543). C'est en combinant les observations de Ptolme et de Copernic que le mathmaticien et astronome allemand Erasmus Reinhold (15ll-1553) assigna l'anne une longueur de 365 jours 5h 55m 58s, dtermination qui fut adopte pour la rforme du calendrier grgorien (Luminet, 2006, p. 371 ).

  • 1

    19

    Explorant plus avant cette avenue, le mathmaticien grec Diophante (de l'cole

    d'Alexandrie, ca. 325-410) dveloppera, dans son ouvrage L'arithmtique, une

    arithmtique mancipe de son interprtation gomtrique en tudiant, par exemple,

    les puissances suprieures 3 (qui ne reprsenteraient donc pas, sous cette forme, une

    longueur, une aire ou un volume); l'excution des oprations y est strictement

    arithmtique, sans justification gomtrique.

    Ainsi, pour rsoudre une quation qui, dans notre notation, serait de la forme

    ' 2 2 2 c A x~ + B x +C x+ D =y , il effectue la substitution y= 20

    x+ D, ce qui lui permettra

    d'obtenir l'quation simplifie ( Ax + B- 4~2 ) x2=0. Diophante est considr comme le premier introduire tm symbole pour dsigner

    l'inconnue d'une quation; toutefois, les constantes des quations qu'il analyse sont

    toujours des nombres donns (et non des paramtres). Contrairement Euclide, il

    considre que le ratio de deux nombres entiers est un nombre (rationnel). Il ne

    considrera que les racines rationnelles positives des quations quadratiques

    analyses, le cas chant (Kline, 1972, p. 141 -143).

    La dislocation de l'Empire romain en Empire d'Occident et d'Orient rsulta, en 476,

    en l'effondrement de sa partie occidentale, tandis que sa partie orientale sera

    l'origine du futur Empire Byzantin. Celui-ci verra par la suite son territoire tre

    amput, en particulier de l'gypte en 639-642, sous l'invasion des armes Islamiques.

    Les violents affrontements entre partisans des religions polythiste, chrtienne et

    musulmane expliquent en partie les entraves la libre circulation des ides, en

    particulier de la pense mathmatique issue des Grecs. Ce n'est qu'aprs un sicle de

    conqutes militaires que les conditions favorables une reprise de la vie culturelle

    rapparatront peu peu dans le monde arabe.

    Le mathmaticien et astronome Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (ca. 850) fut un

    des membres de la Maison de la sagesse, tablie Bagdad sous le califat d'Al-

  • 20

    Mamum (809-833). Cette institution encouragea la traduction des grandes uvres,

    en particulier grecques et indiennes. Les mathmaticiens arabes d'alors adopteront

    l'attitude indienne consistant considrer comme nombres autant les irrationnels que

    les rationnels; toutefois, ils rejetteront l'existence des nombres ngatifs. Son livre

    Kitib al-jam 'wal tafriq bi hisab al-Hind (Livre sur l'addition et la soustraction

    d'aprs la mthode des Indiens) aida rpandre la numration indie1me, d'o nous

    vient notre numration dite arabe. Son trait Al-kitab al-Muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabalah , dont le mot al-jabr est l'origine du mot ' algbre' , se voulait un

    manuel pratique aidant rsoudre les problmes arithmtiques rencontrs lors des

    calculs d'hritage, d'valuation foncire et autres situations auxquelles taient

    couramment confronts ses contemporains. Malgr cet aspect pratique, al-Khwarizmi

    a toutefois senti le besoin de soutenir ses algorithmes algbriques par des arguments

    gomtriques (Katz, 1993, p. 229).

    Voici comment al-Khwarizmi rsout l'quation

    x2+2ax=p ,o a,p > O.

    L'aire totale A du carr de cts a + x (figure 1.9)

    tant A=x2 +2ax+a2, alors A= p+i ; la solution

    positive (la seule envisage) est donc x=~ p + a2 - a .

    x

    a

    x a

    x2 ax

    ax a2

    Figure 1.9

    Mthode d'al-Khwarizmi

    Dans son texte Algbre (ca. 1 079), le mathmaticien, astronome, pote et philosophe

    Umar al-Khayyam' (Ispahan, ca. 1 048-1123) proposa une construction gomtrique

    l'aide de coniques (Kline, 1972, p. 74; Katz, 1993, p. 224) pour rsoudre l'quation

    3 ' 0 x+ px=q, oup , q > .

    Cette quation nous intresse d'autant plus que son analyse sera l'origine de la

    dcouverte par Cardano des nombres complexes. En voici une reprsentation

    gomtrique actualise dans le plan cartsien (fig. 1.1 0) .

    Soit la parabole d'quation x2 =~ y et le cercle d'quation x2+ /= g_x . Leurs deux p

  • points d'intersection vrifient donc l'qua-

    tion x4+ px2=qx. Ce qui est quivalent

    3 x= 0 ou x + px=q .

    L'abscisse x du point d'intersection qm

    n'est pas l'origine est donc une solution

    relle de cette quation cubique.

    Le Trait sur le quadrilatre de l'homme

    d'tat, mathmaticien et astronome persan

    / ..... "' ---

    Figure 1.10: Mthode d'al-Khayyami (reprsentation cartsienne)

    21

    NasTr al-Din al-Tils' (1201-1274) sera le premter expos systmatique de

    trigonomtrie comme branche particulire des mathmatiques indpendante de

    l'astronomie laquelle elle tait jusqu'alors asservie; on y retrouve l'quivalent des six

    'fonctions' trigonomtriques et des rgles servant rsoudre les triangles plats et

    sphriques, en particulier la loi des sinus pour les triangles plats (Katz, 1993, p. 259).

    Ce dveloppement de la trigonomtrie comme discipline indpendante de l'astrono-

    mie ne fut repris en Europe que deux sicles plus tard par l'astronome et mathmati-

    cien allemand Johann Mller (1436-1476), aussi nomm Regiomontanus; son

    ouvrage De triangulis omnimodis est un relev systmatique des mthodes de

    rsolution de triangles 11

    Mme s1 certains des algorithmes algbriques, comme ceux de Diophante, ont t

    invents indpendamment de la gomtrie, nous avons pu observer, jusqu'ici, que leur

    lgitimit demeure gnralement tributaire de la gomtrie. Voyons maintenant

    comment , sous l'impulsion de l'algbre, ces deux types de reprsentation entreront en

    conflit.

    11 Il fit construire Nuremberg le premier observatoire astronomique d'Europe et y publia de trs nombreuses tables astronomiques; ce qui l'amena signaler les invraisemblances du systme de Ptolme. Son lve Domenico Maria di Novara et pour lve, assistant et collaborateur Nicolas Copernic, de 1496 1500; celui-ci utilisa les observations de l'astronome et mathmaticien Johann Werner (1468-1522), disciple de Regiomontanus. De plus, l'pitom de Regiomontanus aurait influenc Copernic (Luminet, 2006, p . 369-372-376).

  • 1.2 Cardano, Bombe! li, Ferrari

    La demande d'exactitude accrue pour le savOir astronomique, dcoulant de

    l'exploration maritime du XVIe, incitera la cration de tables trigonomtriques plus

    exactes et au dveioppement des techniques de rsolution des . quations. Les

    mathmaticiens europens hriteront de l'intrt des Indiens et des Arabes pour une

    algbre base sur l'arithmtique plutt que sur la gomtrie. Le nombre zro et les

    irrationnels taient alors utiliss dans les calculs, mme si certains mathmaticiens ne

    percevaient pas encore les irrationnels comme de 'vrais ' nombres. Le commentaire

    suivant du mathmaticien allemand Michael Stifel (1487-1567) , dans son texte

    majeur Arithmetica Integra, nous claire sur l'tat d'esprit de l'poque.

    Since, in proving geometrical figures, when rational numbers fail us irrational numbers take their place and prove exactly those things which rational numbers could not prove . .. we are moved and compelled to assert that they truly are numbers, compelled that is, by the results which follow from their use - results which we perceive to be real, certain, and constant. On the other hand, other considerations compel us to deny that irrational numbers are numbers at all. To wit, when we seek to subject them to numeration [decimal representation] . . . we find that they flee away perpetually, so that no one of them can be apprehended precisely in itself.. .. Now that cannot be called a true number which is of such a nature that it lacks precision ... . Therefore, just as an infinite number is not a number, so an irrational number is not a true number, but lies hidden in a kind of cloud of infinity. (Stifel; in Kline, 1972, p. 251)

    Les 'nombres' irrationnels ne sont alors accepts par les scep!iques que lorsqu'i ls

    reprsentent des grandeurs gomtriques, telles celles obtenues par Eudoxe de Cnide.

    De plus, la plupart des mathmaticiens du XVIe sicle n'acceptaient pas l'existence

    des nombres ngatifs, encore moins celle de solutions ngatives aux quations: on les

    nommait alors solutions 'absurdes', 'impossibles', 'fictives', 'fausses'. D'ailleurs on

    retrouvera, mme au XVII" sicle, l'argument suivant l'encontre de l'acceptation de

    l'existence des nombres ngatifs, amen par le thologien, logicien et mathmaticien

  • 23

    Antoine Arnauld (1612-1694) : accepter l'identit -=f=::T reviendrait accepter que le nombre infrieur (-1) est au suprieur (1) dans la mme proportion que le suprieur

    l'est l'infrieur!

    Pourtant, le mathmaticien Nicolas Chuquet ( 1445- 1500), auteur du plus ancien trait

    d'algbre crit par un Franais, Le Triparty en la science des nombres (1484),

    semblait n'prouver aucune rticence traiter les nombres ngatifs:

    Qui adiouste ung moins ung autre nombre ou qui dicellui le soustrayt laddition se diminue et la soustraction croit ainsi comme qui adiouste moins 4 avec 10 l'addicion monte de 6. Et qui de 10 en soustrait moins 4 il reste 14. Et quand lon dit moins 4 cest comme si une personne n'avait rien et quel deust encore 4. (Chuquet ; in Flament, 2003 , p. 13)

    Mais hlas, son manuscrit ne fut imprim qu'en 1880 ...

    En ce dbut du XVIe sicle, donc, Geronimo Cardano (Italie, 1501- 1576), connu

    aussi sous le nom de Jrme Cardan, bachelier-s-arts, devint recteur de la clbre

    universit de Padoue (fonde au XIIIe s.) avant 25 ans 12 et docteur en mdecine

    l'anne suivante. Philosophe, mdecin, mathmaticien et astrologue 13, Geronimo

    12 Selon Lucas-Dubreton, Cardano fut sans doute choisi ce poste pour sa comptence en mathmatiques et en comptabi lit, car ses fo nctions y taient surtout administratives.

    13 Voici l'clairage qu'apporte l'historien Lucas-Du breton (Lucas-Du breton, 1954) sur cette poque. Tout au contraire [de Leonardo da Vinci], la majorit des savants de ce temps [XVIe s.], qu'ils s'appliquent aux mathmatiques, la jurisprudence, la mdecine, l'tude des langues, ont tous des degrs divers un ct de prophte, de magicien, et Cardan est le type accompli de cette sorte d'hommes; c'est mme l'trange confusion chez lui de la rigueur scientifique et la fantasmagorie qui donne sa vie un intrt presque tragique (p. 46-47). Cardan croira fermement que les lignes de la main et des doigts sont rvlatrices, qu'elles sont en rapport avec les plantes (p. 53). Vinci, lui , ne vo it dans la physiognomonie et la chiromancie que des chimres sans fondement scientifique (p. 48). Vers la fin de sa vie, Henri Comelieus Agrippa (Cologne 1486 - Grenob le 1535), docteur en droit et mdecine, crira: Les signes, images, fi gures de l'astrologie n'ont t ports au ciel que par des fables grce auxquelles les astrologues vivent, trompent et gagnent de l'argent, alors que les potes inventeurs de ces fables-l j enent et meurent de faim. Les dnonciations qu'il rdigera des diffrentes formes de prophtie et magie, en feront une des lumires de la Renaissance qui nat (p. 65). Philippe Aurlien Thophraste Bombast von Hohenheim (1494-1541), qui se fit nommer Paracelse, dcouvre l'intoxication par les voies respiratoires, soutient que l'air contient un venin et recommande l'aration des chambres des malad.es; il dcrit l'hystrie dont les symptmes viennent du cerveau et s'lve contre l'opinion que le diable est pour quelque chose dans l'idiotie, la mlancolie, l'pileps ie (p. 72).

  • - ----------

    24

    Cardano utilisera, avec son tudiant Ludovico Ferrari (1522-1565), un procd de

    calcul pour rsoudre les quations des 2", 3e et 4e degrs ( coefficients rels), que l'on

    nommera par la suite les formules de Cardan . Ils ont reconnu au professeur de

    mathmatiques italen Scipione del Ferro (ca. 1465- 1526) l'inspiration de ce procd

    de rsolution et au professeur de sciences italien Niccolo Fontana Tartaglia ( ca.1500-

    1557) l'invention de la formule pour l'quation du 3e degr .

    Cardano commenait par rduire l'quation gnrale du 3 e degr i +a/+ by + c = 0 sous la forme x3 +px+q=O en posant y=x-a/3 , d'o p=b-a213 et

    q = c + 2a3 /27- ab! 3 . Remarquons toutefois que le procd utilis par Cardano ne

    portait pas sur une quation de forme f(x )=0, puisqu' l'poque on ne pose

    l'adquation qu'entre quantits strictement positives; de mme, la tradition ne consi-

    drait que les quations dont

    les coefficients p et q taient

    positifs. Cardano traitait donc

    sparment les trois cas

    suivants :

    x3 +px= q , x3 =px+ q et

    x 3 + q =px , sans analyser le

    cas x 3 +px+ q = 0 (puisque celui-ci n'admet aucune

    solution positive).

    Pour rsoudre l'quation

    x3+ px=q , o p , q>O, Cardano utilise l'identit

    u-v

    v

    v u- v

    u-v

    u- v

    v

    . :

    u . ' ,. . . ... _____ -- - -_;.J'

    v u- v

    (u-v) 3+3uv(u-v)=u3-v3 base sur l'tude du cube de ct v situ l'intrieur du

    cube de ct u (fig. 1.11); il suffit alors de poser x= u-v et p=3 uv pour que

  • 25

    l'quation rsoudre devienne u3 - v3 =q . Ce qui, aprs la substitution v= p !( 3 u) ,

    revient rsoudre l'quation quadratique en u3 : u6 - qu3 - (p 13 ? = 0 ; les deux

    solutions de cette dernire quation sont u3 =ql2 ~(q/2 ) 2 +(p/ 3f Et puisque les coefficients p, q sont positifs, le radical deuxime ci-dessus est rel. Finalement,

    puisque v3=u 3-q et x=u-v, la valeur obtenue pour x est la mme, quel que soit le

    signe retenu devant le radical ci-dessus. Le nombre rel x ainsi dtermin s'exprime

    donc sous la forme

    Pour rsoudre l'quation x3 =px+ q, o p, q > 0, Cardano utilisait le procd

    quivalant l'identit (u+v) 3=3uv(u+v)+u3+v3 ; il suffit de poser x=u+v et

    p=3 uv pour que l'quation rsoudre devienne u3+v3=q. Ce qui, aprs la

    substitution v= p !( 3 u) , revient rsoudre u6 - qu3 + ( p 13 )3 = 0 . Les deux solutions

    de cette quation quadratique sont u 3 =ql2 ~(q/2 ) 2 -(p/3)3 . Finalement, puisque 3 3 v =q-u et x=u+v, alors on a

    Si (q/2) 2?jp/3)3, alors cette solution de l'quation est positive. Mais s1

    (q /2 f

  • 26

    propOs de ces radicaux deuximes de nombres ngatifs, Cardano crira:

    Il [l'auteur] invite le lecteur faire un effort d'imagination pour sortir du monde rel et crer dans sa pense une entit toute idale, qu'il appellera encore carr et laquelle il attribuera l'aire ngative -15 . Le ct de ce carr imaginaire aura justement pour longueur ~-15. (Cardan, Ars Magna; in Flament, 2003, p. 22)

    On voit donc un cart se creuser entre les consquences algbriques qu'engendre le

    dveloppement de la thorie des quations et l'interprtation gomtrique qui

    jusqu'alors fondait l'algbre, ainsi qu'une nouvelle attitude clore face aux procds

    algbriques acceptables. Aucune reprsentation gomtrique du monde rel ne

    correspond en effet un carr d'aire ngative et l'abus de notation H ne correspond aucun nombre (rel). Toutefois, un tel artifice permettra de rsoudre certaines

    quations. Ainsi, en 1572, l'ingnieur italien Raffaele Bombelli ( ca.1526-1573), qui a

    co-traduit cinq des sept livres de Diophante, publie son unique ouvrage, L'Algebra,

    dans lequel il observe que si l'on exprime les solutions de l'quation x3 =px+ q sous

    la forme

    pour des radicaux deuximes non rels, alors interviennent les racines troisimes de

    nombres que nous nommons aujourd'hui complexes conjugus; Bombelli aura alors

    l'intuition que leurs racines seraient elles-mmes conjugues, donc leur somme relle.

    Cette sorte de racine carre contient dans son algorithme de calcul, des oprations diffrentes des autres et a un nom diffrent, parce que, quand le cube du tiers du nombre de Tants est suprieur au carr de la moiti de la Constante'\ la racine carre de leur diffrence ne peut s'appeler ni plus ni moins, c'est pourquoi je l'appellerai plus que moins [piu di me no] quand celle-ci devra tre ajoute et, quand elle devra tre te, je l'appellerai moins que moins. (Bombelli, 1572, p. 26)

    14 Lire (p/3 )3>{q/2f dans l'quation x 3=px+q.

  • 27

    Pour effectuer ses calculs, il nonce dans le Livre Premier de son Algbre les huit

    rgles de multiplication des signes de 1 avec i , de mme que de i avec i

    (lorsque traduites dans notre notation moderne); toutefois, il s'agit pour Bombelli de

    rgles d'oprations sur des signes plutt que sur des nombres (Flament, 2003, p. 26;

    Katz, 1993, p. 336). D'ailleurs, Bombelli prcise aussitt:

    On doit avertir que de telles sortes de racines lies ne peuvent intervenir sans que le binme ne soit accompagn de son rsidu (son expression conjugue], comme cela serait pour R.c.(2.p.dm.R.q.2) dont le rsidu sera

    R.c.(2.m.dm.R.q.2) [ ~ 2+ ~-2 et ~ 2- ~-2 respectivement] ; pour de telles sortes de R.c., il ne m'est jusqu' prsent encore jamais arriv d'avoir travailler sur l'une sans l'autre. (Bombelli, 1572, p. 27)

    En effet, ce que nous concevons aujourd'hui sous la forme de nombre complexe est

    plutt pens, par Bombelli, comme la notation d'un procd sophistiqu

    permettant de calculer la solution relle de l'quation tudie. Quant aux solutions

    ngatives, Bombelli les exclut d'emble de toute considration.

    La mthode suivie par Bombelli dans l'Algebra pour calculer les racines cubiques

    prsentes dans les formules de Cardano porte sur des exemples numriques; son

    commentaire permet de la gnraliser comme suit. Les fonnules de Cardan tant de la

    forme 15 x=1A+Bi+ 1 A-Bi, soit a+bi=~A+Bi : d'o

    donc A=a3-3ab 2 etB=3a2b-b3 ; or (a-b i )3=(a3 -3ab2 )- (3a2 b-b 3)i=A-Bi,

    donc a-bi=~A-Bi et (a+bi )(a- bi)=a2+b2=~A2 +B 2 .

    Pour chaque entier positif a, o a 2 < ~ A 2+ B2 et a3> A, et chaque valeur positive

    de b correspondante b = ~ 1 A2 + B2 - a2 , Bombelli vrifiera si les conditions

    15 Le symbole i pour dsigner .r:: ne sera introduit par Euler qu'en 1777 et publi en 1794, puis adopt par Gauss qui en rpandit l'usage ds 1801. Nous anticipons son utilisation dans le seul but d'allger la lisibilit du texte.

  • ---,-------- -

    28

    A=a3 - 3ab 2 et B=3a2b-b3 sont satisfaites. Lorsqu'un tel entier a n'existe pas,

    c'est beaucoup plus fatigant car alors on cherche ttons trouver ce nombre

    rel a (Bombelli, 1572, p. 28-30).

    Bombelli ne dispose donc pas de mthode gnrale pour dterminer les racines

    troisimes du nombre complexe A+Bi. Mais lorsqu'il obtient des valeurs satisfaisantes

    pour a et b , il sait en dduire la solution relle

    x= ~ A+ Bi+~ A- Bi=(a+b i)+ (a - bi )=2a

    Ainsi par exemple, la solution de l'quation x3 = 15~ + 4 donne par la formule de

    Cardan est x= ~2+ ~-121 + ~2- ~-121 , note par Bombelli R.c.(2.p.dm.R.q.121) p.R.c.(2.m.dm.R.q.121)

    et qu'il nomme la chose . En suivant la mthode expose ci-dessus, il trouve

    ~2+ ~-121 =2 + .J=l et son conjugu ~2-~- 121 = 2 - H qu'il nomme son rsidu, nots 2.p.dm.R.q.l et 2.m.dm.R.q.1, respectivement; d'o x= 4 :

    Bien que ce mode de rsolution soit, vrai dire, plutt sophistiqu, toutefois, dans les oprations, on peut s'en servir sans aucune difficult. [ .. . ] la racine de R.c.(2.p.dm.R.q.121) sera 2.p.dm.R.q.l qui , ajoute son rsidu 2.m.dm.R.q.l donne 4, qui est la valeur de la chose. (Bombelli, L 'Algebra, p. 293, in Flament, 2003, p. 27)

    Quant l'quation du 4e degr x 4 +bx3+cx2+dx+e=O, Ludovico Ferrari (1522-

    1565), lve de Cardano, la rsout d'une faon quivalente la suivante : en ajoutant

    ( bx 12 )2 aux deux membres de l'quation, alors il obtient

    ( 2 )

    2 2 2 x +bx/2 =(b /4 - c) x -dx-e

    puis, en ajoutant (x2 +bx/2 ) y+ i 14 chaque membre, il obtient

    --------------

  • 29

    Pour que le membre de droite soit un carr parfait en x, il suffit de choisir y de sorte

    que le discriminant soit nul: /-c/ +(bd -4e)y+(4ce-d2-b2 e )=O. On obtient

    alors deux quations quadratiques en x rsoudre :

    2x2+bx+y=(x+ /y-2d )~b 2 -4c+4y b -4c+ 4 y '

    dmmant les racines de l'quation initiale.

    Comme l'a dmontr depuis le mathmaticien franais variste Galois (1811-1832),

    il est impossible de rsoudre par radicaux les quations gnrales de degr suprieur

    quatre (Kline, 1972, p. 754; MacLane et Birkhoff, 1971 , t. 2, p. 285-328).

    Ainsi, afin de rsoudre certaines quations, Cardano, Bombelli et Ferrari ont-ils

    invent des procds algbriques sophistiqus utilisant des expressions, tel que

    R, qui n'taient pas reconnues en tant que nombres ni grandeurs et n'taient supportes par aucune reprsentation gomtrique usuelle! La seule justification de

    ces procds est qu'ils permettaient nanmoins de trouver certaines racines relles aux

    quations analyses. On mesure l'audace de cette dmarche lorsqu'on se rappelle que

    pendant des sicles, les algorithmes algbriques taient le plus souvent supports par

    une reprsentation gomtrique! Le XVW sicle apportera une reprsentation

    gomtrique des quations analyses par Cardano et une gnralisation de la thorie

    des quations.

  • 1.3 Vite 1 Girard, Descartes

    Dans son Canon Jvfathematicus (1579), le mathmaticien franais Franois Vite

    (1540-1603), aussi conseiller des rois Henri III et Henri IV, introduit certains rsultats

    de trigonomtrie, notamment la formule pour tan ("a+ ,8 ), l'ensemble des identits

    trigonomtriques portant sur les triangles sphriques droits et la loi du cosinus des

    angles clans un triangle sphrique quelconque. Dans son uvre posthume Sectiones

    Angulares (1615), Vite dveloppera l'expression de sin(ncx) et cos(ncx), o n est

    un nombre naturel, sous forme de sommations de puissances de sin (ex) et cos (ex)

    (Kline, 1972, p. 239-240; Boyer, 1968, p. 339-340), tablissant ainsi un lien qui

    s'avrera fcond entre la trigonomtrie et la thorie des nombres, la trigonomtrie

    tant souvent jusqu'alors, comme nous l'avons dj not, une branche isole elu reste

    des mathmatiques. Mais c'est surtout titre de fondateur de l'algbre littrale16 que

    Vite est reconnu.

    Dans la Zthse, on examine conjointement donnes et inconnues sans faire de distinctions entre elles jusqu' ce qu'on ait trouv une relation qui caractrise les unes quand les autres sont connues. Ainsi. Vite reprsente-t-il de la mme manire par des lettres les nombres dorms et les nombres inconnus (innovation attribue souvent tort Descartes) et il les combine jusqu' obtenir l'quation du problme. (Lebesgue, 1958, p. 10, 13-14)

    Dans son trait ln Artem Analyticam lsagoge publi en ,1591, Vite dfinit en quoi

    consiste l'art analytique qu'il propose:

    C'est pc;ir la zttique que l'on pose une quation ou proportion entre un terme trouver et des termes donns, par la poristique que la validit d'un thorme propos est vrifie l'aide d'une quation ou proportion, et par

    l6 Vite adoptera les symboles + et - roduits en 1489 par le matre de confrences allemand de Leipzig Johann Widmann et utilisera des symboles diffrents pour dsigner les paramtres (consonnes) et les inconnues (voyelles), mais conservera une notation aujourd'hui prime pour dsigner les multiplications, les puissances et l'galit (qu'il notera 'aequalis' puis-). Le symbole d'galit = introduit en 1557 par le mdecin anglais Robert Recorde (151 0-1558) ne sera utilis couramment qu' la fin du XVII' sicle.

  • 31

    l'exgtique que la valeur du terme inconnu dans une quation ou proportion donne est dtermine. C'est pourquoi l'art analytique dans son ensemble, reprenant son compte ces trois mthodes, pourra tre nomm la science de la dcouverte vritable en mathmatiques. [traduction libre] (Vite; in Katz, 1993, p. 339)

    Vite tendra le domaine d'application des mthodes algbriques:

    L'arithmtique traitait des entiers et des combinaisons d'entiers telles que les fractions; elle ne constituait cependant pas une science ferme: l'extraction des racines donne en effet des nombres irrationnels. Les Grecs, s'tant refuss les considrer comme nombres, bien que la gomtrie obligeait le faire (existence de la diagonale d'un carr de ct donn par exemple), ils en firent l'objet d'une sorte de nouvelle arithmtique, l'aritluntique des grandeurs, et cela sans bien s'en rendre compte. Vite resta fidle la conception grecque, mais il explicita qu'il s'agissait d'un calcul. [ ... ]. Or comme on avait toujours admis le caractre universel des mathmatiques, on crut que, par exemple, les consquences prcdentes [commutativit, distributivit] appartenaient aussi tout ce qui ressemblait la multiplication, tout ce qu'on croirait pouvoir dire tre une multiplication [ ... ]; ici il permit Vite, partant des proprits qu'il admettait implicitement, de faire correctement quelques dmonstrations, trs peu nombreuses d'ailleurs. Et ainsi il opre peu prs comme dans une algbre moderne [ ... ]. C'est ainsi que Vite assoit son calcul des grandeurs, calcul parallle au calcul sur les nombres [ ... ] .

    Pour tous, ce qui apparat comme un progrs tangible, pratique et non plus philosophique, c'est la possibilit d'appliquer les mmes calculs aux nombres et aux grandeurs, c'est--dire, puisque les grandeurs considres taient gomtriques, d'appliquer l'algbre la gomtrie. (Lebesgue, 1958, p. 13-14)

    Dans son trait posthume De aequationum recognitione et emendatione, publi en

    1615, Vite reprend l'analyse de l'quation

    3 x= px+q

    Le premier cas est trait au thorme II du chapitre VI (Vite, 1615, p. 14) sous la

    forme de l'quation x3 - 3 B2 x=D 3 : dans ce cas, donc, on a D6>4B

    6. L'analyse de

  • 32

    Vite se fonde alors, selon Katz (1 993, p. 342-343), sur la mme formule que

    Cardano, savoir: (u+v)3=3uv(u+v)+(t?+v

    3); en posant x=u +v et p =3uv, il

    suffit donc de substituer x=u+ tu dans l'quation initiale pour obtenir, comme nous l'avons vu avec Cardano: u 3 =ql2 ~( ql2?-(pl3 ?, o (-r>(fr. Finalement,

    puisque q= u3 +v3 , alors x=~ q 12+ ~(q /2 )2- (p /3 )3 +~ q/2 - ~( q/2f- (p /3 )3 .

    Le deuxime cas, (fr d /2 .

    2b3

    b

    Il suffit de poser, crit-il, que

    dans un triangle-rectangle

    d'hypotnuse b et d'angle aigu

    38, le ct adjacent cet angle

    est d/2 (ce qui est possible

    pmsque b > d 12 ); alors, dans le

    triangle-rectangle d'hypotnuse

    b et d'angle aigu 8 , le ct

    adjacent cet angle sera x/2 .

    3() 3() ~ d/2 x3- 3b2x x/2

    Figure 1.12. Rsolution de x 3- 3b2 x=b2 d

    Vite utilise en effet l'identit17 trigonomtrique 4cos3 ( 8 )- 3cos ( 8) =cos ( 3 8) : d'o

    8b3 cos3 (8)-6b3 cos(8)=2b 3 cos (38 ),

    (2 b cos( e ))3 -3 b2(2 b cos( e ))= 2 b3 cos(3 e) .

    17 En effet, cos(38) = cos(28) cos(8)-sin(28) sin(8) = (2cos2(8) -l) cos(8)- 2sin2(8) cos(8 ) = 4cos\8) -3cos(8) .

  • Puisque b>dl2,soit cos(38)= 2~ ,c'est--dire 2b 3 cos (38)=b2 d;alorsl'quation x

    3- 3 b

    2 x= b

    2 d implique que x

    3- 3 b2 x= 2 b3 cos ( 3 e) 0 l'aide de l'identit trigo-

    nomtrique prcdente, on voit donc que x= 2 b cos ( e) est une solution de

    x 3- 3!} x= b2 d.

    Vite innove donc en ajoutant la trigonomtrie aux mthodes de rsolution des

    quations qui, nous l'avons vu avec Cardano, Bombelli et Ferrari, n'utilisaient alors

    que les radicaux. La mthode de Vite permet ainsi de dterminer une racine relle de

    l'quation, les tables trigonomtriques ayant alors dj atteint une certaine prcision,

    alors que les formules de Cardan introduisaient une expression comportant un radical

    alors impossible calculer.

    On remarque que Vite n'analyse ici que la racine correspondant l'angle aigu e.

    Montrons quel point Vite tait proche, selon notre perspective actuelle, d'une

    rsolution gnrale de cette quation. Si nous reformulons l'quation sous sa forme

    plus gnrale x 3 =px+ q , o p, q > 0, il suffit d'effectuer la substitution x= y 1 rn

    pour que l'quation devienne i = pm2 y+ m3 q . Par analogie avec la mme formule

    cos3 (8)=314cos (8)+114cos(3e ), il suffit de poser: pm2=3!4, donc m=! l2~3/ p,

    cos(38)=4m3 q et cos(e)=y. Cette substitution n'est valide que si - 1~4m3 q~1 ,

    c. --d. -1 ~2.9_ /I~ 1 , d'o 0 'S 27 q32

    'S 1, donc (g_)2

    :::::( 2.)3

    ; ce qui est prcisment le cas 2p f_p 4 p 2 3

    o Cardano et Bombelli rencontraient la racine deuxime d'un nombre ngatif , soit

    ~(q/2 )2 - ( p/3 f . Il s'ensuit que 3 e = 2 krr + arccos (4 m3q) , o kE{O, 1, 2},

    y =cos(2

    3k rr+tarccos (4m

    3q)) ,

    1 ( 2 k 1 3 .) x= -cos -rr+ - arccos(4 m q ) . m 3 3

  • 34

    Puisque

    -cos ( \k TT ++arccos(- z )) =cos ( 3 ~2 k TT -+arccos (- z)) = cos ( 2 ~2 k TT++ arccos ( z )) ,

    alors l'ensemble des valeurs engendres par cos ( 23k TT++ arccos ( z)) est le mme

    ensemble que celui engendr par -cos ( \k TT+~ arccos (- z)) lorsque k E { 0 , 1, 2} .

    Ainsi, pour m=!/2 ~3/p , les solutions de x3=px+q, lorsque (q/2 )2:S(p/3 )3,

    sont relles et sontdonnes par la formule:

    2 r;; ( 2k 1 ( 3q !3)) ' x = v 3 cos 3TT+3arccos IP'Y , ou kE{O, 1, 2} .

    Ces trois solutions sont donc comprises dans l'intervalle [- 2 ) p/3, 2 ~ p/3].

    Revenons maintenant Vite. Pour rsoudre l'quation du quatrime degr

    x4 +bx3+cx2+dx+e=O,

    il effectue la substitution x=t-b/4 (Kline, 1972, p. 269); l'quation rsoudre

    devient

    4 2 t +pt +qt+r=O,

    o

    _ 3 b2 1 b3 d 1 b _ 1 b2c 3 b4 1 bd p-c-8 , q= 8 + - 2 c et r-16 -256 -4 +e.

    Ensuite, en ajoutant 2 t2 / + / chaque membre de l'quation, on obtient

    ( 2 2)2 ( 2 . ) 2 ( 4 ) t +y = 2y - p t - qt + y - r .

    Il suffit ensuite, comme dans la mthode de Ferrari, de poser nul le discriminant du

    membre de droite, ce qui revient rsoudre l'quation cubique en / suivante:

    6 4 2 ( 2) 8y-4py-8ry+4pr-q =0 .

    Les 4 valeurs de t cherches seront donc t=~- y 2(t- 4 y' ~ 2 P )J2l- p

  • ~ -----

    35

    Mais malgr tous ces calculs avancs pour l'poque, Vite rejette pourtant jusqu'

    l'existence mme des nombres ngatifs, suivant en cela une certaine tradition 18 Le

    mathmaticien, astronome et gographe anglais Thomas Harriot (1560-1621) ,

    disciple de Vite, introduisit les symboles < et > pour dsigner les relations d'ordre

    strict. Lorsqu'il rsolvait une quation, un des membres pouvait, transitoirement, tre

    gal au nombre O. Mais Harriot refusait que les racines d'une quation puissent tre

    ngatives et dclarait mme impossible l'existence des quantits ngatives.

    Dterminer la racine troisime de ce que nous nommons nombre complexe est dclar

    impossibilem reducere , sa partie imaginaire tant inexplicable (HaiTiot; in

    Flament, 2003, p. 33-34). Tandis que le mathmaticien, ingnieur militaire et

    physicien flamand Simon Stevin (1548-1620), dit aussi Simon de Bruges, utilisa des

    constantes ngatives pour les quations et en accepta les racines ngatives; il

    considrait aussi que les irrationnels sont de 'vrais' nombres.

    l'instar de Harriot, le franais Albert Girard (1595-1632) utilisait le signe' - ' pour

    l'opration de soustraction et pour dnoter les nombres ngatifs. En 1629, dans son

    Invention nouvelle en algbre, il nonce les relations entre les racines et les

    coefficients d'une quation, acceptant l'existence des racines ngatives au mme titre

    que les racines positives. cet gard, il fait remarquer (Girard, 1629, p. 142) que l

    o Vite n'envisageait dans son livre De aequationum recognitione que deux

    solutions l'quation 124x-x3 = 240, soient 2 et 10, il en observe une troisime, soit -12. Et voici la justification, gomtrique, qu'il donne l'utilisation des nombres

    ngatifs:

    La solution par moins s'explique en Gomtrie en rtrogradant et le moins recule, l o le+ avance. (Girard, 1629, p. 145; in Flament, 2003, p. 38)

    Girard semble tre le premier formuler un nonc trs proche du thorme

    18 Tradition qui se poursuivra entre autres avec le savant Blaise Pascal (1 623 1662) et le logicien des mathmatiques Augustus De Morgan (1806-1871) (Kline, 1972, p. 593).

  • 36

    fondamental de l'algbre:

    Toutes les quations d'algbre reoivent autant de solutions que la dnomination de la plus haute quantit le demonstre, except les incomplettes: et la premire faction des solutions est esgale au nombre du premier mesl, la seconde faction des mesmes, est esgale au nombre du deuxime mesl; la troisime au troisiesme, et toujours ainsi, tellement que la derniere faction est esgale la fermeture, et ce selon les signes qui se peuvent remarquer en l'ordre alternatif. (Girard, 1629, p.139, thorme Il; in Flament, 2003, p. 36)

    Voici un exemple de traitement des quations 'incompltes ' que donne Girard (1629,

    p. 140) et qui nous claire sur le sens attribuer cet nonc. Pour rsoudre

    l'quation 'incomplte' x3 = 167x- 26 , Girard la complte en x3 = Ox2 + 167x-26

    puis regroupe les termes selon la parit de leur puissance (l'ordre alternatif), obtenant

    x3 -167x = Ox2 - 26 : selon cette mthode, ce que Girard nomme les factions des solutions seront les coefficients obtenus partir du degr infrieur au degr de cette

    quation: 0, -167, - 26. La somme des trois solutions doit donc 19 tre gale 0, la

    somme de leurs produits deux deux gal -167, leur produit gal -26. Ayant

    trouv (mais comment? - l est la question!) que l'une des solutions est -13, la

    somme des deux autres solutions est donc 13 et leur produit 2; ce sont donc les

    factions de l'quation du second degr x2 + 2 = 13x , donc de l'quation x2 = 13x-2

    dont les solutions sont ensuite donnes par Girard. Comme dernier exemple de ce

    thorme que, dit-il, il est ncessaire de toujours garder en mmoire, Girard donne :

    Si 1(4) est esgal 4 (1)- 3 , alors les quatre factions seront 0, 0, 4, 3, & partant les quatre solutions seront: 1, 1, -1 +N , -1-H . (Notez que le produit des deux derniers est 3).20 (Girard, 1629, p.141; in Flament, 2003, p. 37)

    19 Le regroupement des puissances de l'inconnue selon leur parit pour dterminer les factions

    tient en ceci : soit p (x}=x1 + a2 x2 +a1x +a0 =(x - x1 }(x- x 2)(x - x1 } , alors a2 = - (x 1 + x2 + x1),

    a1 =x 1 x2+ x 1 x3 + x2 x1 et a0 =-x 1 x2 x1 . .

    20 L'quation dcrite se lit x 4=4 x-3 .

  • 37

    Non seulement donc Girard accepte-t-il l'existence de solutions ngatives, il justifie

    comme suit l'usage des solutions 'enveloppes':

    Ainsi qu'on peut donner trois noms aux solutions, veu qu'il y en a qui sont plus que rien; d'autres moins que rien; & d'autres enveloppes, comme celles qui ont des -Y- , comme .Y-3, ou autres nombres semblables. [ . .. ] On pourrait dire quoy sert ces solutions qui sont impossibles, je respond pour trois choses, pour la certitude de la reigle generale, & qu'il n'y a point d'autres solutions, & pour son utilit. (Girard, 1629, p.141-142; in Flament, 2003, p. 38)

    Ainsi, Girard conoit une relation entre les zros d'un polynme et sa factorisation,

    entre le degr d'un polynme et le nombre de ses zros (compte tenu des

    multiplicits). De plus, il accepte de considrer comme zros du polynme ces

    nombres envelopps et leurs conjugus, mme s'il ne sait quoi correspondent ces

    solutions impossibles . La gnralit de la reprsentation algbrique qu'il avance

    suffit alors justifier leur prsence non seulement en cours de calcul, comme pouvait

    le faire Bombelli, mais titre de solutions. Ce qui est radicalement nouveau.

    Son compatriote, le philosophe et savant franais Ren Descartes (1596- 1650),

    pensait les nombres irrationnels comme des nombres abstraits permettant de

    reprsenter la continuit des grandeurs (Kline, 1972, p. 252) . Quant aux nombres

    ngatifs, il les qualifiait de moindres que rien et nommait fausses la valeur

    absolue des racines ngatives d'une quation et vraies ses racines positives;

    toutefois, il acceptait les racines ngatives parce qu'en effectuant une substitution

    adquate l'inconnue, cela lui permettait de transformer ces racines en racines

    positives de l'quation ainsi transforme. Les diffrentes astuces pour effectuer de

    telles transformations sont abordes dans le troisime livre de La Gomtrie , publi

    en 1637; on y retrouve aussi un nonc proche du thorme fondamental de l'algbre:

    Sachez donc qu'en chaque quation, autant que la quantit inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est--dire de valeurs de cette quantit. (Descartes, 163 7, p. 55)

  • 38

    Cet nonc n'est toutefois pas dmontr dans la Gomtrie; il s'agit plutt d'une

    conjecture illustre par quelques exemples portant sur sa rciproque, savoir que le

    produit de n facteurs linaires engendre un polynme de degr n. C'est aussi dans ce

    texte que Descartes nonce ce que nous nommons depuis la rgle des signes de

    Descartes:

    On connat aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et combien de fausses en chaque quation: savoir il y en peut avoir autant de vraies que les signes + et - s'y trouvent de fois tre changs, et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes - qui s'entre-suivent. (Descartes, 163 7, p. 57)

    La convention actuelle de noter les inconnues par les dernires lettres de l'alphabet (z,

    y, x, ... ) et les constantes par les autres nous vient de Descartes. On lui doit

    l'appellation 'd'imaginaires' aux racines deuximes des nombres rels ngatifs, en ce

    qu'elles ne sont pas relles mais qu'on peut les imaginer :

    Au reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours relles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est--dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j'ai dit dans chaque quation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantit qui corresponde celles qu'on imagine. (Descartes, 1637, p. 63)

    Ds le Livre Premier de La. Gomtrie, Descartes

    montre comment le calcul d'arithmtique se

    rapporte aux oprations de gomtrie . Ainsi la

    multiplication et la division peuvent-elles se

    reprsenter l'aide des proportions et du thorme

    de Thals. Pour multiplier deux nombres positifs

    represents par les longueurs des segments BC et

    BD, il suffit de tracer le segment BA mesurant

    E

    D A 1

    Figure 1.13 Produit de nombres rels p ositifs

    B

    l'unit puis de mener un segment DE parallle AC. Par les proportions des triangles

    semblables, on a

  • donc m(BE)=m (BC) m(BD ) .

    m(BC ) m(BA )

    m(BE ) m(BD) '

    Quant la division de m(BE) par m(BD) , elle est donne par m(BC) .

    39

    Le produit de deux longueurs n'est donc plus reprsent par une aire mais par une

    autre longueur de segment. Descartes se libre ainsi des contraintes poses par Vite

    sur les 'dimensions' des nombres runis dans un mme calcul en faisant remarquer (p.

    3) que l'on peut, lorsque l'unit est dtermine, ramener deux expressions numriques

    la 'dimension requise ' en les multipliant ou divisant par un nombre suffisant

    d'units; Descartes n'a donc aucune rticence considrer l'expressio