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Organizzazione del corso di Fisica e Laboratorio di Fisica
AA 2010/2011
Modulo di FisicaDocente E-PA Prof. Paris Matteo
6 CFU
Modulo di Laboratorio di FisicaDocente E-PA Prof. Veronese Ivan
3 CFU
CONTATTI E RICEVIMENTO: lun. 14.30-15.30 (Dipartimento di Fisica, V Piano – Edificio LITA)[email protected] N.B. UTILIZZARE IL VOSTRO INDIRIZZO EMAIL DI UNIMI
Modulo di Laboratorio di Fisica
Lezioni in Aula (gen - feb):- Elementi di Statistica Applicata
Esperienza di Laboratorio (marzo-giugno, 3 pomeriggi):
- Applicazione degli strumenti di teoria degli errori tramite esperimenti di elettrolisi
Lezioni in Aula (2° semestre):- corrente e circuiti a corrente continua; onde meccaniche
e elettromagnetiche; ottica; cenni di fisica moderna
Lezioni in Aula di gen-feb (orario):
Data Ora Aula
Mar 25/01/2011 12.30-14.30 208
Ven 28/01/2011 8.30-10.30 V1
Mar 01/02/2010 12.30-14.30 208
Ven 04/01/2010 8.30-10.30 V1
Lezioni in Aula di gen-feb (programma):
• Il concetto di errore di una misura• Media, deviazione standard e deviazione standard della media• Media pesata• Le cifre significative• La propagazione degli errori• La distribuzione normale (gaussiana) e compatibilità
ESEMPI ED ESERCIZI
Richiami ai concetti già introdotti nel Modulo di Laboratorio di Metodi Matematici e Statistici
(Prof. Giacomo Aletti)
Ammissione al laboratorio:
COMPITO DI AMMISSIONE AL COMPITO DI AMMISSIONE AL LABORATORIOLABORATORIO
17 Febbraio 2011 (MATTINA)17 Febbraio 2011 (MATTINA)
28 Febbraio 2011 (MATTINA)28 Febbraio 2011 (MATTINA)
Iscrizione presso i terminali SIFA (dal 17/01/2011 al 30/01/2011)
per gli studenti del primo anno avviso
Per gli studenti degli anni precedenti contattare il docente una volta pubblicizzato il calendario con i turni
INFORMAZIONI PRATICHE:
• TESTI CONSIGLIATI:
Analisi degli errori sperimentali di laboratorioAutori: Miramonti, Perini, Veronese; Editore: EDISES
Introduzione all’analisi degli errori Autore: John R. Taylor; Editore: Zanichelli
Principi di fisicaAutori: Serway Raymond A. - Jewett John W.; Editore: EDISES
• CALCOLATRICE SCIENTIFICA
INFORMAZIONI PRATICHE:
SITI DI RIFERIMENTO:http://users.unimi.it/veronese/didattica.htm
http://ariel.unimi.it
INFORMAZIONI PRATICHE:
MODALITA’ DI ESAME (modulo di LABORATORIO DI FISICA):
- Compito di ammissione al laboratorio- Svolgimento del laboratorio (scheda)- Compito scritto conclusivo
Esercizi/domande sugli argomenti di teoria della misura (svolgendo bene il laboratorio e compilando bene la scheda di laboratorio gli esercizi saranno immediati….) Esercizi/domande sugli argomenti di fisica trattati alla fine del secondo semestre (correnti e ottica)
ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE:
Il risultato di una qualsiasi misura sperimentale è costituito da un valore numerico x (con la rispettiva unità di misura) ed un errore (incertezza) x, che indica il “grado di confidenza” che abbiamo sul risultato trovato.
Scriveremo quindi il risultato come: x± x
La procedura per stimare x dipende da come si è ricavato/misurato x.
L’incertezza di una misura si può esprimere anche in termini di:
errore relativo: x
x errore percentuale:
x
x100
ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE:
Diametro di una cellula: (15±3) mErrore relativo: 3/15 =0.2 (senza unità di misura)Errore percentuale: 100 * 3/15= 20% (senza unità di misura)
Esempi:
Temperatura corporea: (36.4±0.4) °CErrore relativo: 0.4/36.4 ≈ 0.01 (senza unità di misura)Errore percentuale: 100 * 0.4/36.4 ≈ 1% (senza unità di misura)
Massa di una cellula: (1.0±0.1) ngErrore relativo: Errore percentuale:
0.110%
CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI:
Sono gli errori inevitabili nelle misure, effetto di fluttuazioni casuali che determinano una dispersione simmetrica del valore misurato attorno al valore vero. E’ ciò di cui ci occuperemo.
ERRORI STATISTICI (o CASUALI)
ERRORI SISTEMATICI
Dagli errori casuali dipende la PRECISIONE della misura
Sono gli errori che modificano il risultato della misura sistematicamente in una direzione. Possono derivare da una cattiva taratura dello strumento, o dall’effetto di qualche variabile esterna (tipo temperatura, pressione, condizione di utilizzo dello strumento).
Dagli errori sistematici dipende la ACCURATEZZA della misura
PRECISIONE E ACCURATEZZA:
Valore vero
Dati molto “sparpagliati” ma in modo simmetrico rispetto al valore vero
MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA
Singole misure effettuate
Dati poco dispersi e simmetrici rispetto al valore vero
MISURA PRECISA ED ACCURATA
Dati poco dispersi ma “lontani” rispetto al valore vero
MISURA PRECISA MA
NON ACCURATA
PRECISIONE E ACCURATEZZA:
xxxxx
x
x
x
xx x
xxxx
MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA
MISURA PRECISA ED ACCURATA
MISURA PRECISA MA
NON ACCURATA
PRECISIONE E ACCURATEZZA:
Misura della costante di Faraday da parte di quattro gruppi di studenti. Vediamo chi è preciso e accuratoEsempio:
Valore vero: F=96485 C/mol
Gruppo Valore misurato
1 130000±4000
2 96000±9000
3 96500±300
4 125800±200
Il gruppo 3 è l’unico ad essere sia accurato che preciso, il gruppo 2 è accurato ma poco preciso, il gruppo 1 invece non è né accurato né preciso. Infine il gruppo 4 è preciso ma non accurato.
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Spesso la misura di una grandezza viene ripetuta più volte, ottenendo valori anche tra loro diversi.
N misure che danno i seguenti valori: x1, x2, x3, ….xN
La grandezza che meglio esprime il risultato trovato è la MEDIA ARITMETICA:
Media aritmetica:
N
iiN
N
x
N
xxxxx
1321 ...
Esempio: Otto misure di un intervallo di tempo. Risultati: 3.1 s ; 3.0 s; 2.8 s; 3.1 s; 2.7 s; 3.2 s; 2.8 s; 2.9 s
sx
xi
i 95.28
6.23
8
9.28.22.37.21.38.20.31.3
8
8
1
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Oltre al valore medio è importante avere una grandezza che mi esprima quanto i vari dati sono diversi tra loro e fornisca quindi una indicazione sulla precisione della misura.
Tale grandezza è la DEVIAZIONE STANDARD:
Deviazione standard:
)1(
)(1
2
N
xxS
N
ii
x
17728.0
7
95.29.295.28.295.22.395.27.295.21.395.28.295.20.395.21.3
)1(
)( 222222221
2
x
N
ii
x
S
N
xxS
Esempio:
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Deviazione standard della media: N
S
NN
xxS x
N
ii
x
)1(
)(1
2
La deviazione standard fornisce l’incertezza associata alla singola misura xi. Il fatto di ripetere la misura più volte permette di ridurre l’incertezza sul risultato finale (cioè sulla MEDIA).
L’incertezza associata alla media è la DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA:
06268.08
17728.0
)1(
)(1
2
N
S
NN
xxS x
N
ii
xEsempio:
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Esempio: Dodici misure di una grandezza. Risultati: 3.0; 3.2; 2.9; 3.1; 3.3; 2.9; 3.0; 3.0; 3.1; 3.1; 3.0; 3.0
05.312
6.361
N
ii
N
xx
117.00136.011
15.0
)1(
)(1
2
N
xxS
N
ii
x
034.012
117.0
)1(
)(1
2
N
S
NN
xxS x
N
ii
x
Attenzione:
Facendo i conti con la calcolatrice evitare le approssimazioni intermedie che possono falsare il risultato finale.
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
CALCOLATRICE:
La quasi totalità delle calcolatrici scientifiche (ora economiche) ha già impostate delle funzioni che permettono il calcolo della media e della deviazione standard una volta introdotti i singoli valori.
In genere non effettuano il calcolo della deviazione standard della media ma, una volta ottenuta la deviazione standard questo calcolo è banale (basta dividere per la radice quadrata del numero di misure)
Si tratta solo di imparare ad usarle bene, possibilmente studiando il libretto delle istruzioni. Così facendo si riducono i tempi per i calcoli e la correttezza del risultato è assai più probabile!
Anche comuni software (es. Excell) permettono facilmente questi calcoli
LE MEDIE PESATE:
Spesso una grandezza può essere misurata con metodi differenti (aventi precisioni diverse), oppure da diversi sperimentatori mediante misure ripetute. Si avranno pertanto a disposizione vari risultati nella forma:
NNx
x
x
x
...
...33
22
11Si può dimostrare che la miglior stima della grandezza si ricava considerando tutte queste determinazioni come:
Errore della media pesata:
N
i i
N
i i
i
best
x
X
12
12
1
N
i i
X best
12
11
Media pesata:
compatibili
LE MEDIE PESATE:
Esplicitiamo la formula della media pesata:
223
22
21
223
322
221
1
12
12
1....
111
....
1
N
N
N
N
i
N
i
i
best
xxxxx
X
i
i
Esplicitiamo la formula dell’errore della media pesata:
223
22
21
1.....
111
1
N
X best
LE MEDIE PESATE:
Il valore della media pesata (così come quello della media aritmetica) è sempre compreso tra il minimo e il massimo delle misure considerate
Osservazioni:
L’errore della media pesata è sempre minore del più piccolo degli errori delle misure considerate
La formula della media pesata si riduce a quella della media aritmetica nel caso in cui gli errori sono tutti uguali tra loro
LE MEDIE PESATE:
Quattro gruppi di studenti misurano con quattro differenti metodi la massa di rame depositata sul catodo in seguito ad una elettrolisi con solfato di rame, e trovano i seguenti valori, espressi in mg:
Esempio:
Calcoliamo la miglior stima della massa e la sua incertezza
xi i
10.3 0.3 11.11 114.433
9.8 0.1 100 980
10.5 0.5 4 42
9.9 0.4 6.25 6.1875
121.36 1198.308
4.09.95.05.101.08.93.03.10
N
i i
N
i i
i
best
x
X
12
12
1
N
i i
X best
12
11
2
1
i2i
ix
N
i 1
874.936.121
308.1198bestX 091.0
36.121
1
bestX
09.087.9 Tenendo conto delle cifre significative:
LE MEDIE PESATE:
Esempio:
Media pesata:4.09.95.05.101.08.93.03.10 Se si trascurano gli errori e si calcola la media aritmetica e la deviazione standard della media:
09.087.9
i xi
1 10.3 0.030625
2 9.8 0.105625
3 10.5 0.140625
4 9.9 0.050625
40.5 0.3275
2)( xxi
N
i 1
Applicando le formule della media: 125.104
5.40x
165.034
3275.0
xS
La deviazione standard della media:
Media pesata
Media aritmetica
Media aritmetica: 2.01.10
CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore.Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso.
Esempio:
Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato:
12459 ± 6740Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate. Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore 12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000. Presenteremo allora il risultato nella forma:
12000 ± 7000
CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Esempi:
112859 ± 6240 113000 ± 6000
731 ± 23 730 ± 20
1096 ± 364 1100 ± 400
7.853 ± 0.482 7.9 ± 0.5
2.95 ± 0.06268 2.95 ± 0.06
3.05 ± 0.034 3.05 ± 0.03
3.05 ± 0.0034 3.050 ± 0.003
96456.87 ± 503.02
0.457 ± 0.073
23.11 ± 2.3
0.00459 ±0.00077
4.15 ± 0.0482
1304 ± 38
44.568 ± 0.022
Esercizio
Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative
96456.87 ± 503.02 96500 ± 500
0.457 ± 0.073 0.46 ± 0.07
23.11 ± 2.3 23 ± 2
0.00459 ±0.00077 0.0046 ± 0.0008
4.15 ± 0.0482 4.15 ± 0.05
1304 ± 38 1300 ± 40
44.568 ± 0.022 44.57 ± 0.02
Esercizio
Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative
RIASSUMENDO
Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale
Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come MEDIA, a cui è associato come errore la DEVIAZIONE STANDARD della MEDIA. L’errore sulla singola misura, che fornisce anche la stima della PRECISIONE della misura stessa, è data dalla DEVIAZIONE STANDARD.
E’ importante rappresentare il risultato finale con il corretto numero di CIFRE SIGNIFICATIVE
Le approssimazioni vanno però fatte solo alla fine mentre è bene considerare tutte (o molte) cifre durante lo svolgimento dei calcoli, altrimenti si può arrivare ad un risultato finale falsato. Per questo è importante sapere usare bene la calcolatrice
Quando si hanno a disposizione varie misure di una stessa grandezza, ognuna con una sua incertezza, è bene esprimere il risultato finale come MEDIA PESATA
