Organizador didáctico APRENDO MATEMÁTICA 6 · 2018-12-06 · APRENDO MATEMÁTICA 6 3 Planificación anual sugerida Período Objetivos y propósitos Contenidos curriculares Secuencia

6APRENDO MATEMÁTICA

Organizador didáctico

Gerente general Claudio De Simony

Directora editorialAlina Baruj

AutorasLiliana Kurzrok

Jefa de arteEugenia EscamezCoordinación de arte y diseño gráficoYésica VázquezDiagramaciónLucía Antonietti

Jefa de preprensa y fotografía Andrea BalbiSelección de imágenes Leandro Ramírez

IlustradoresAndrea Cingolani

Asistente editorialCarolina Pizze

Producción editorialRicardo de las Barreras

Marketing editorialMariela Inés Gomez

© Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad de Buenos Aires

Planificación anual sugerida .................... 3Tabla de contenidos .................................. 61. Los sistemas de numeración ................. 82. Operaciones con números naturales .....103. Los triángulos ...................................... 174. Divisibilidad ......................................... 245. Los cuadriláteros ................................. 26 6. Los números racionales fraccionarios ...337. Los polígonos ....................................... 37

8. Operaciones con números racionales fraccionarios .......................... 409. Los números racionales decimales ..... 4510. Ubicaciones en el plano ................... 4911. Las relaciones de proporcionalidad 5212. Las unidades de medida ................... 5613. Perímetros y áreas ............................ 5914. Los cuerpos geométricos ................. 62

ÍNDICE

3APRENDO MATEMÁTICA 6

Planificación anual sugeridaPe

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Objetivos y propósitos Contenidos curricularesSecuencia didáctica

sugeridaSituaciones didácticas en el libro

y en el cuaderno de escritura

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Reconocer y usar números naturales.Explicar las características del sistema decimal de numeración en situaciones problemáticas.Explicar las propiedades de los números naturales en situaciones problemáticas.

Resolver problemas que exijan componer y descomponer números en forma aditiva y multiplicativa analizando el valor posicional y las relaciones con la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros.

Lectura y escritura de números naturales grandes. Comparación y orden de números naturales grandes. Valor posicional de las cifras.Descomposición polinómica. Ubicación en la recta numérica. Sistemas de numeración.

Capítulo 1: Los sistemas de numeración El sistema solar (Pág. 5)Eras geológicas (Pág. 6 y 7)El censo del año 2010 (Pág. 8)Ubicar números en la recta (Pág.10)Los números en Babilonia (Pág.11)

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Reconocer y usar operaciones entre números naturales.Resolver problemas que implican:• determinar la cantidad que resulta de combinar y permutar elementos;• reconocer y usar el cociente y el resto de una división;• analizar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.

Reconocer, producir y analizar figuras geométricas a partir de sus características.Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez.

Resolver problemas y cálculos de suma y resta.Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa y organizaciones rectangulares.

Analizar el lugar geométrico de circunferencias y círculos.Construir triángulos a partir de las medidas de sus lados y sus ángulos para recordar sus propiedades.

Estimación de resultados. Problemas con más de una operación. Uso de paréntesis. Los sentidos de la multiplicación.Problemas de conteo. Estrategias para multiplicar. Problemas de reparto. Cálculo mental de divisiones. Algoritmo de división. Análisis del resto. Problemas con las cuatro operaciones.

Uso del compás. Circunferencia y círculo Construcción y copiado de segmentos y ángulos. Construcción de triángulos dados los lados. Construcción de triángulos dados los ángulos. Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Alturas de triángulos. Mediatriz de un segmento.

Capítulo 2: Operaciones con números naturales La librería de Julio (Pág. 13)El negocio para mascotas (Pág. 14 y 15)La venta de libros (Pág. 16 y 17)Un día en la estancia (Pág. 18 y 19)Formas de multiplicar (Pág. 20 y 21)El casamiento (Pág. 22 y 23)Dividir más fácil (Pág.24 y 25)Cuentas para dividir (Pág. 26 y 27)Remodelar la casa (Pág. 28 y 29)

Capítulo 3: Los triángulos Cuidar al rey (Pág. 31)Usar el compás (Pág. 32 y 33)Los lados de los triángulos (Pág. 34 y 35)Construir con ángulos (Pág. 36 y 37)Sumar ángulos (Pág. 38 y 39)Las alturas (Pág. 40)Puntos a igual distancia (Pág. 41)

May

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Reconocer múltiplos y divisores y sus propiedades. Analizar la validez de los criterios de divisibilidad.

Resolver problemas que implican:• el uso de múltiplos y divisores, y múltiplos y divisores comunes entre varios números;• el uso de criterios de divisibilidad para establecer relaciones numéricas y anticipar resultados.

Escalas. Múltiplos y divisores. Análisis del resto. Divisor común mayor. Múltiplo común menor. Descomposiciones multiplicativas y aditivas.

Capítulo 4: Divisibilidad Jugar con múltiplos (Pág. 43)La visita al teatro (Pág. 44 y 45)Club Los del Barrio (Pág.46 y 47)Formas de encontrarse (Pág. 48 y 49)Usar diferentes escrituras (Pág. 50 y 51)

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Reconocer figuras geométricas.Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas.Describir, comparar y clasificar cuadriláteros sobre la base de saberes previos acerca de sus propiedades.Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras, y argumentar sobre su validez.

Reconocer y usar números fraccionarios en situaciones problemáticas.Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número.Comparar fracciones y expresiones decimales a través de distintos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones entre otros números.

Construir cuadrados, rectángulos y rombos para identificar propiedades relativas a sus lados y sus ángulos.Construir paralelogramos como medio para estudiar algunas de sus propiedades. Elaborar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de paralelogramos.

Establecer relaciones entre fracciones y el cociente de números naturales.Resolver problemas de medida.Resolver problemas que demandan comparar fracciones y encontrar fracciones entre números dados usando la recta numérica.

Clasificación de cuadriláteros. Construcción de paralelogramos. Propiedades de las diagonales. Propiedades de los trapecios. Construir figuras.

Uso social de los números fraccionarios. Los números fraccionarios para medir y repartir. Partes de todo y todo de partes. Ubicación en la recta numérica.Números fraccionarios equivalentes. Fracciones equivalentes. Orden y densidad de los números racionales.

Capítulo 5: Los cuadriláteros La visita al museo (Pág. 53)Copiar y construir (Pág. 54 y 55)Partes de los cuadriláteros (Pág. 56 y 57)Los trapecios (Pág. 58)Datos para construir (Pág. 59)

Capítulo 6: Los números racionales fraccionarios La venta de café (Pág. 61)El café y los paquetes (Pág. 62 y 63)Contar golosinas (Pág. 64 y 65)Ubicar en la recta (Pág. 66 y 67)Distintos paquetes, igual cantidad (Pág. 68 y 69)Ordenar paquetes (Pág. 70 y 71)

Julio

Reconocer figuras geométricas.Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas.Describir, comparar y clasificar polígonos.Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras, y argumentar sobre su validez.

Construir polígonos para identificar propiedades relativas a sus lados y sus ángulos.Elaborar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de polígonos.

Polígonos cóncavos y convexos.Clasificación, construcción y copiado de polígonos. Suma de los ángulos interiores de un polígono.Calcular ángulos sin medir. Construcción de polígonos.

Capítulo 7: Los polígonos Los geoplanos (Pág. 73)Armar figuras (Pág. 74 y 75)Sumar ángulos (Pág. 76 y 77)Calcular ángulos (Pág. 78)Construcción de polígonos (Pág. 79)

Ago

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Reconocer y usar números fraccionarios y explicar sus características en situaciones problemáticas.Identificar y utilizar las operaciones matemáticas entre números fraccionarios.

Resolver problemas que demandan realizar sumas y restas entre fracciones utilizando diferentes recursos de cálculo.Resolver problemas que involucran la multiplicación entre una fracción y un entero y la multiplicación entre fracciones.Resolver problemas que involucran la división entre una fracción y un entero.Utilizar recursos de cálculo mental y algorítmico, exacto y aproximado para sumar, restar y multiplicar números fraccionarios entre sí y con números naturales.

Suma y resta de números fraccionarios de uso cotidiano.Suma y resta de números fraccionarios.Estrategias de cálculo mental.Multiplicación de números fraccionarios por números naturales. Multiplicación de números fraccionarios.Estrategias de multiplicación de números fraccionarios.División de números fraccionarios por números naturales.Estrategias de división entre números fraccionarios en casos particulares. Estrategias de cálculo mental.

Capítulo 8: Operaciones con números racionales fraccionarios Comprar y repartir (Pág. 81)El viaje de Juan (Pág. 82 y 83)Calcular con facilidad (Pág. 84 y 85)Muchos paquetes iguales (Pág. 86)Partir lo que hay (Pág. 87)¿Cómo se multiplica? (Pág. 88 y 89)Repartir el queso (Pág. 90 y 91)Envasar la mercadería (Pág. 92 y 93)Cuentas que se piensan (Pág. 94 y 95)

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Reconocer y utilizar números decimales.Identificar la organización del sistema decimal de numeración y explicar sus características en situaciones problemáticas.Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian los números naturales de las fracciones y expresiones decimales.Comparar expresiones decimales a través de diversos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones decimales entre otros números.

Identificar puntos en el plano y en tablas.

Resolver problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales.Identificar que entre dos expresiones decimales siempre es posible encontrar otra expresión decimal o una fracción usando la recta numérica.Utilizar recursos de cálculo mental y algorítmico, exacto y aproximado para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre sí y con números naturales.

Analizar gráficos y planos y ubicación de puntos en el plano.

Uso social de los números decimales. Expresiones decimales de las fracciones decimales. Valor posicional de las cifras. Problemas con sumas y restas.Estrategias para sumar y restar. Estrategias para multiplicar. Estrategias para dividir. Estrategias de cálculo mental. Ubicación en la recta numérica.Orden y densidad de los números decimales.

Ubicación en planos. Sistemas de referencia. Ubicación en mapas. Ubicación en el plano. Sistemas de referencia.

Capítulo 9: Los números racionales decimales Comprar y pagar (Pág. 97)Escribir de manera equivalente (Pág. 98 y 99)Salir de compras (Pág. 100 y 101)Distintas maneras de sumar y restar (Pág. 102 y 103)Comprar varios productos (Pág. 104 y 105)Cortar las cintas (Pág. 106 y 107)Facilitar las cuentas (Pág. 108 y 109)Escribir ordenado (Pág. 110 y 111)

Capítulo 10: Ubicaciones en el plano Los planos (Pág. 113)Recorrer Bahía Blanca (Pág. 114 y 115)Jugar al Go (Pág. 116 y 117)

Oct

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Reconocer y utilizar las operaciones entre números naturales, fracciones y expresiones decimales, y explicar sus procedimientos en situaciones problemáticas.Explicar las características de las relaciones de proporcionalidad directa.Analizar las relaciones entre cantidades y números para determinar y describir regularidades en el caso de la proporcionalidad.

Distinguir la pertinencia o no de recurrir al modelo proporcional para resolver problemas.Resolver problemas que involucran el análisis de relaciones entre números racionales y porcentajes.Resolver problemas que involucren la interpretación y producción de gráficos.

Análisis de relaciones de proporcionalidad. La relación de proporcionalidad directa. Análisis de las relaciones de proporcionalidad directa y de las que no lo son. Porcentaje.Cálculo de porcentajes. La relación de proporcionalidad inversa. Representaciones gráficas.Problemas de proporcionalidad.

Capítulo 11: Las relaciones de proporcionalidad Comprar en la verdulería (Pág. 119)Compras en el mercado (Pág. 120 y 121)El corralón de materiales (Pág. 122 y 123)Comprar ropa (Pág. 124 y 125)Aumentos y descuentos (Pág. 126 y 127)Otros tipos de relaciones (Pág. 128 y 129)Los gráficos circulares (Pág. 130)Tomar decisiones (Pág. 131)

Nov

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Comprender el proceso de la medición en situaciones problemáticas utilizando diferentes expresiones para una misma cantidad.Analizar y usar reflexivamente distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas.

Elaborar y comparar distintos procedimientos para calcular áreas de polígonos, estableciendo equivalencias entre figuras de diferente forma.Analizar la variación del perímetro y el área de una figura ante una variación en la longitud de sus lados.

Resolver problemas que implican profundizar las equivalencias entre unidades del SIMELA para longitud, capacidad y peso.Comparar la organización del SIMELA y el sistema sexagesimal.

Analizar la variación del perímetro y del área de un rectángulo en función de la medida de sus lados.Analizar fórmulas para calcular el área del rectángulo, el cuadrado, el triángulo y el rombo.

Sistemas de medición.Medidas de longitud. Medidas de capacidad. Medidas de peso. El sistema sexagesimal.Medidas de tiempo.

Diferencias entre áreas y perímetros. Cálculo de perímetros.Cálculo de áreas de cuadriláteros y triángulos.Unidades de medida de área. Áreas y perímetros de figuras combinadas. Variación de áreas y perímetros.

Capítulo 12: Las unidades de medida Comparar unidades (Pág.133)Medir distancias (Pág. 134 y 135)Los líquidos (Pág. 136 y 137)Los pesos (Pág. 138 y 139)Medir tiempos y ángulos (Pág. 140 y 141)

Capítulo 13: Perímetros y áreas Renovar una cancha de fútbol (Pág. 143)Bordear las canchas (Pág. 144 y 145)Medir áreas (Pág. 146 y 147)Cambiar unidades (Pág. 148 y 149)Combinar figuras (Pág.150 y 151)Variar los lados (Pág. 152 y 153)

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Reconocer cuerpos geométricos.Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando su pertinencia.

Analizar desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides para profundizar en el estudio de sus propiedades.

Clasificación de los cuerpos geométricos. Relaciones entre caras, aristas y vértices. Desarrollos planos de cuerpos geométricos.

Capítulo 14: Los cuerpos geométricos La maqueta de Jerusalén (Pág. 155)Las partes de los cuerpos geométricos(Pág. 156 y 157)Armar cuerpos geométricos (Pág. 158 y 159)

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Tabla de contenidos

Capítulo Contenidos

1. Los sistemas de numeración

Lectura y escritura de números naturales grandes Comparación y orden de números naturales grandes Valor posicional de las cifras.Descomposición polinómica Ubicación en la recta numérica Sistemas de numeración

2. Operaciones con números naturales

Estimación de resultados / Problemas con más de una operación. Uso de paréntesis Los sentidos de la multiplicaciónProblemas de conteo / Estrategias para multiplicar Problemas de reparto / Cálculo mental de divisiones Algoritmo de división. Análisis del resto Problemas con las cuatro operaciones

3. Los triángulos

Uso del compás. Circunferencia y círculo Construcción y copiado de segmentos y ángulos Construcción de triángulos dados los lados Construcción de triángulos dados los ángulos Suma de los ángulos interiores de un triángulo Alturas de triángulos Mediatriz de un segmento

4. Divisibilidad

Escalas Múltiplos y divisores. Análisis del resto Divisor común mayor Múltiplo común menor Descomposiciones multiplicativas y aditivas

5. Los cuadriláteros

Clasificación de cuadriláteros Construcción de paralelogramos Propiedades de las diagonales Propiedades de los trapecios Construir figuras

6. Los números racionales fraccionarios

Uso social de los números fraccionariosLos números fraccionarios para medir y repartir Partes de todo y todo de partes Ubicación en la recta numérica.Números fraccionarios equivalentes / Fracciones equivalentes Orden y densidad de los números racionales

7. Los polígonos

Polígonos cóncavos y convexosClasificación, construcción y copiado de polígonos Suma de los ángulos interiores de un polígonoCalcular ángulos sin medir Construcción de polígonos

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Tabla de contenidos

Capítulo Contenidos

8. Operaciones con números racionalesfraccionarios

Suma y resta de números fraccionarios de uso cotidiano Suma y resta de números fraccionarios Estrategias de cálculo mental Multiplicación de números fraccionarios por números naturales Multiplicación de números fraccionarios Estrategias de multiplicación de números fraccionarios División de números fraccionarios por números naturales Estrategias de división entre números fraccionarios en casos particulares Estrategias de cálculo mental

9. Los números racionales decimales

Uso social de los números decimales Expresiones decimales de las fracciones decimales. Valor posicional de las cifras Problemas con sumas y restasEstrategias para sumar y restar / Estrategias para multiplicar Estrategias para dividir / Estrategias de cálculo mental Ubicación en la recta numéricaOrden y densidad de los números decimales

10. Ubicaciones en el plano

Ubicación en planos. Sistemas de referencia Ubicación en mapas Ubicación en el plano. Sistemas de referencia

11. Las relaciones de proporcionalidad

Análisis de relaciones de proporcionalidad La relación de proporcionalidad directa Análisis de las relaciones de proporcionalidad directa y de las que no lo son Porcentaje. Cálculo de porcentajes La relación de proporcionalidad inversa Representaciones gráficasProblemas de proporcionalidad

12. Las unidades de medida

Sistemas de mediciónMedidas de longitud.Medidas de capacidad Medidas de peso El sistema sexagesimal. Medidas de tiempo

13. Perímetros y áreas

Diferencias entre áreas y perímetros Cálculo de perímetrosCálculo de áreas de cuadriláteros y triángulosUnidades de medida de área Áreas y perímetros de figuras combinadas Variación de áreas y perímetros

14. Los cuerpos geométricos

Clasificación de los cuerpos geométricos Relaciones entre caras, aristas y vértices Desarrollos planos de cuerpos geométricos

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1 Los sistemas de numeración

El sistema solar

Pensemos entre todos Porque a veces, para una rápida lectura es preferible que los números se escriban con palabras. Muchas veces usan esta nomenclatura en los diarios. Cuando los números son chicos o cuando hay que operar es conveniente que estén escritos con números. Cuando los números tienen muchos ceros es preferible escribirlos con palabras. La coma significa que el 1 es mil millones, el 4 es cien millones y el 3 es 10 millones. Todos con números o con las mismas palabras.

Mercurio 25.000.000Venus 108.000.000Tierra 150.000.000Marte 228.000.000Ceres 413.800.000

Júpiter 780.000.000Saturno 1.430.000.000Urano 2.870.000.000

Neptuno 4.500.000.000Plutón 5.913.520.000

Haumea 6.482.000.000.000Makemake 6.850.000.000.000

Eris 16.000.000.000Sedna 135.000.000.000

Eras geológicas

1. a. Era Cenozoica – Período Terciario. b. Era Cenozoica – Período Terciario.c. Era Precámbrica. d. Era Precámbrica.2. e. d. a. b. c.

3.Pensemos entre todos No es correcto lo que dice Brenda porque para comparar los números tienen que estar escritos en la misma unidad. Nunca alcanza con comparar los números. Para poder hacerlo, las palabras tienen que ser las mismas. Lo que dice Pablo es correcto porque para saber de qué número se trata hay que multiplicar a 1,5 por 1.000.000.000 y a 3.470 por 1.000.000. Es más grande 3.470 millones porque es equivalente a 3,47 mil millones y 3,47 es mayor que 1,5.

4. a. > b. < c. > d. =

El censo del año 2010

1. b. c. d. e.

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Lectura y escritura de nú-meros naturales grandes.

p. 6 y 7

Comparación y orden de números naturales grandes.

p. 8 y 9

Valor posicional de las cifras. Descomposición polinómica.


2.Pensemos entre todos Si es correcto porque al hacer la suma el resultado da 15.625.084. 107 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000.000105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100.000 Porque en el lugar que ocupan los cienes en el número hay un cero. Las escrituras son las mismas. Lo que hizo Miriam es usar la potencia para escribir menos ceros.

3. a. 86.950 b. 95.040.601 c. 2.070.900.230 d. 2.515.027

Uso de la calculadora1. a. Tiene que restar 20.000. b. Tiene que restar 132.900.2. Para convertirlo en 4.692.501 hay que sumar 2.200.200. Para convertirlo en 2.593.303 hay que sumar 101.002. 3. Por ejemplo:a. 100.000 + 100.000 + 10.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1b. 10.000.000 + 1.000.000 + 1.000.000 + 1.000.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1c. 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 100.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 10.000.000 + 1.000.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 14. a. Por ejemplo:20.000.000 + 22.000.000 + 2.200.000 + 222.000 + 22.000 + 100 + 321 + 23b. Hay muchas maneras de escribir sumas que den el resultado pedido.c. 40.000.000 + 4.000.000 + 400.000 + 40.000 + 4.000 + 400 + 40 + 4d. Si solo se pueden usar las teclas pedidas y se pueden hacer 8 sumas hay una sola posibilidad.e. Lo que dice Lucía es incorrecto porque el valor de las cifras depende del lugar que ocupa en el número. No vale lo mismo el primer 9 que el segundo o el tercero, etc.5. a. 2 veces. b. 20 veces. c. 2.000 veces.

Ubicar en la recta numérica

1. a.

150.000 1.050.000300.000 450.000 750.000 900.000600.000

b.5.000.000 22.500.0007.500.000 10.000.000 12.500.000 17.500.000 20.000.00015.000.000

c.0 200.000

400.000 800.000

1.000.000 1.600.000

d.0 1.000.000 2.000.000

500.000 3.000.000

2. a. 0

500.000 5.000.000

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Ubicación en la recta numérica.


b.0 30.000.000 90.000.000

45.000.000

Los números en Babilonia

1. a. 11.665 b. 43.814

Pensemos entre todos El 1 y el 60 se escriben con el mismo símbolo pero ubicado en otro lugar. Posiblemente los babilónicos ponían una rayita a la izquierda para escribir el 60. Nosotros ponemos los ceros para decir que en esa posición no hay símbolo. El sistema babilonio es base 60. Porque los símbolos cambian de valor según su posición. 3.600 = 60 × 60 = 4.000 = 3.600 + 360 + 40 = 60 × 60 + 6 × 60 + 40 = Porque al tener solo 10 símbolos y que su valor cambie de acuerdo a la posición en que se encuentran resulta más sencillo calcular con ellos.

Integrar lo aprendido

1. Por ejemplo: 6.850.000.000 = 6.850 millones = 6,85 mil millones.2. b. a. e. d. c.3. a. Verdadero porque al sumar el resultado es correcto.b. Es falso. El resultado correcto es 86.002.003.740.c. 2 × 106 + 9 × 105 + 8 × 103 + 5 × 10 = 2.000.000 + 900.000 + 8.000 + 50 = 2.908.050. Es falso. Para que sea correcto deberíamos escribir, por ejemplo: 2 × 105 + 9 × 104 + 8 × 102 + 5 4.

0 20.000.000

15.000.000 50.000.000

5.Cien mil menos Uno menos Número Mil mas Un millón más

807.000 906.999 907.000 908.000 1.907.0001.939.000 2.038.999 2.039.000 2.040.000 3.039.00010.700.008 10.800.007 10.800.008 10.801.008 11.800.008

9.499.900.000 9.499.999.999 9.500.000.000 9.500.001.000 9.501.000.000

La librería de Julio

Pensemos entre todos Lo que dice la señora es correcto. Como ella compra 999 cajas, está segura que compra menos que 1.000 cajas. Como la cuenta 23 × 1.000 = 23.000, entonces si se suma 1.000 veces el 23, se obtiene 23.000. Por lo tanto, si se suma 999 veces el 23, la cuenta debe dar menos que 23.000. Cada caja trae 2.000 clips. Por lo tanto la señora compra más de 20.000 clips porque 2.000 × 10 = 20.000. Cada resma trae 500 hojas. En 1.002 resmas de hojas hay más que en 1.000 resmas. Pero en 1.000 resmas hay 1.000 × 500 = 500.000 hojas. Por lo tanto compra más hojas.

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p. 11

Sistemas de numeración.

p. 12

2 Operaciones con números naturales

p. 13

Estimación de resultados.


Si pone 10 lápices en 250 cajas, usa 250 × 10 = 2.500 lápices. Pero a cada caja le faltan 2 lápices. Entonces con 2.500 lápices puede llenar menos que 250 cajas. Menos porque para poner 100 bandas elásticas en 40 bolsas, necesita 40 × 100 = 4.000 bandas elásticas.

El negocio de las mascotas

1. Debe pagar $251. 2. Debe pagar $431.

3.Pensemos entre todos Karina hace primero cuentas separadas de lo que pagará por cada producto y luego suma los resultados. Mateo hace lo mismo pero escribe todo en un solo cálculo horizontal. Producción personal. Problema 1: 28 × 2 + 75 + 9 × 3 + 37Problema 2: 15 × 25 + 9 + 18 + 2 × 37 – 45

4. a. 18 × 2 + 37; 2 × 18 + 37 b. (9 + 28) × 3; 9 × 3 + 28 × 35. No es correcto porque en la cuenta que hace solo divide por 3 al costo del alimento para perros. El cálculo correcto es: (24 + 37 + 5 × 30) : 3

La venta de libros

1. 4 libros infantiles cuestan 35 × 4 = $140. 8 libros infantiles cuestan 35 × 8 = $280.

2.

3. Cantidad de cajas 2 3 5 8 16 17 50 55 160Cantidad de libros 24 36 60 96 192 204 600 660 1.920

4.

Revisamos los problemas Es verdadero porque si se compran 12 libros se pueden pagar por un lado 4 y por el otro 8. El gasto será la suma de los gastos. Es verdadero porque 40 = 4 × 10. Falso porque si en 5 cajas iguales hay 60 libros, cada caja tendrá 12 libros. Por lo tanto en 15 cajas habrá 15 × 12 = 180 libros. Es verdadero porque 64 son los moños que se usan en 4 días.

5. a. 15 × 5 + 3 × 5b. Los cálculos correctos son ii. iii. v. porque:

4 días 20 días 22 díasPapel de regalo (metros) 120 600 660

Moños 64 320 352Bolsas 200 1.000 1.100

Rollos de cinta adhesiva 16 80 88

Cantidad de señaladores 2 4 5 7 10 13 20 25 75Precio ($) 12 24 30 42 60 78 120 150 450

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p. 14 y 15

Problemas con más de una operación. Uso de paréntesis.

p. 16 y 17

Los sentidos de la multiplica-ción.


30

4 × 2

10 × 154 × 8

5 × 4

10 × 6

15 × 4

4 × 46 × 6

Taller de Problemas 54 libros. 78 libros. Si porque si ponen la misma cantidad de libros por fila y hacen el doble de filas, tendrán el doble de libros. No, es la cuarta parte.

Un día en la estancia

1. a. 96 menúes.b. No, por cada menú hay 3 opciones de postre por lo tanto hay 96 × 3 = 288 opciones.2. 15 partidos. 3. 10 canciones.4. 24 formas.5. a. Hay 24 combinaciones posibles.b. Si, la cantidad sería 6 × 5 × 4 = 120 combinaciones posibles.c. La cantidad de combinaciones sería 4 × 4 × 4 = 64 opciones.d. La cantidad de combinaciones sería 10 × 10 × 10 = 1.000. Por eso es difícil descubrirla.

Revisamos los problemas Producción personal. 1. a. 4 × 4 × 2 × 3 b. 4 × 4 × 2 × 3 × 32. (6 × 5) : 2 o 5 + 4 + 3 + 2 + 1 3. (5 × 4) : 2 4. 4 × 3 × 2 × 15. a. 4 × 3 × 2 b. 6 × 5 × 4 c. 4 × 4 × 4 d. 10 × 10 × 10 × 10

Formas de multiplicar

1. Cuenta Entre 0 y 10 Entre 10 y 100

Ente 100 y 1.000

Entre 1.000 y 10.000

Ente 10.000 y 100.000

98 × 125 X15 × 46 X255 × 4 X11 × 9 X

2. a. 1.592 b. 43935 c. 32.745

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p. 18 y 19

Problemas de conteo.

p. 20 y 21

Estrategias para multipli-car.


3.Pensemos entre todos Nicolás descompone 12 como 10 + 2 y Franco como 6 × 2. Para resolver 152 × 2 Pamela suma 100 × 2 + 50 × 2 + 2 × 2. Multiplicar 152 × 12 es lo mismo que sumar 12 veces 152. Lo que hace Nicolás es sumar 10 veces el 152 y luego 2 veces más. Por eso escribe 2 veces el 152. Franco descompone 12 como 2 × 6. Primero multiplica por 2 y luego por 6. Pamela descompone el 12 como 10 + 2 y el 152 como 100 + 50 + 2.

4. Patricio descompone 56 como 7 × 8 y 15 como 3 × 5. Los escribe así para agrupar convenientemente los números y que la multiplicación sea más sencilla de resolver.5. a. Carla dibuja un rectángulo que tiene 13 cuadraditos de alto y 15 de largo. La cantidad de cuadraditos que cubren el rectángulo es el resultado de la cuenta que quiere resolver.b. Para calcular la cantidad de cuadraditos dividió el rectángulo en otros rectángulos más chicos en los que le resulta más fácil calcular la cantidad de cuadraditos. c. Para encontrar el resultado de la cuenta Carla tiene que resolver el cálculo: 5 × 3 + 10 × 3 + 10 × 10 + 10 × 5.

Uso de la calculadora1. Por ejemplo: 125 × 23 + 125. 2. Por ejemplo: 66 × 30 + 66 + 66 × 30 + 66.3. a. 489 × 14 = 489 × 7 × 2 b. 490 × 7 = 489 × 7 + 489c. 489 × 6 = 489 × 7 – 489 d. 480 × 7 = 489 × 7 – 9 × 7e. 489 × 35 = 489 × 7 × 5 f. 4.890 × 7 = 489 × 7 × 10

El casamiento

1. 9 bancos.2. a. 15 mesas. b. No quedan todas completas. Sobran 3 lugares.3. a. Le pueden dar la misma cantidad a cada invitado. Por ejemplo, podrían darle 3 objetos a cada invitado.b. Cada invitado puede recibir como máximo 5 objetos.4. Había 370 serpentinas. 5. Había 23 chicos.

Taller de problemas Por ejemplo podría haber 329 fotos. No hay una sola respuesta. Para calcular el número de fotos que había hay que multiplicar por 65 a la cantidad de fotos que se le da a cada amigo y luego sumar 4. Por ejemplo, había 100 bombones y sobraron 4. No hay una sola respuesta al problema. Tiene que haber más de 96 bombones pero no dice cuántos bombones sobraron.

Dividir más fácil

1. 1.332 : 2 : 3 Porque es la única que divide por 2 y también por 3 que equivale a dividir por 6.

2. Pensemos entre todos Porque buscó números que sean divisibles por 12 y sean fáciles de dividir. Por ejemplo: 1.584 = 1.200 + 120 + 120 + 120 + 12 + 12.

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p. 22 y 23

Problemas de reparto.

p. 24 y 25

Cálculo mental de divisiones.


3. a. 3.207 b. 18

4.

5. a.

b. Producción personal.

6. Pensemos entre todos Piensa que 63 entra más que 100 y menos que 1.000 veces en 8.064. Entonces el cociente es más grande que 100 y más chico que 1.000; es un número de 3 cifras. Más cerca de 100 porque 8.064 está mucho más cerca de 6.300 que de 63.000. No, porque 6.293 es menor que 6.300. Faltaría hacer 63 × 10. Lo mismo ocurre para saber las cifras del cociente de la división entre 542 y 63.

7. División El cociente tiene…1 cifra 2 cifras 3 cifras 4 cifras

2.345 y 5 X20.892 y 12 X

372 y 31 X405 y 45 X

Cuentas para dividir

1. a. <. Porque 36 × 10 = 360 que es mayor que 355.b. =. Porque 360 × 10 = 360 y solo sobran 6 que no permiten que el 36 entre una vez más.c. =. Porque 36 × 100 = 3.600 y solo sobran 78 que no permiten que el 360 entre una vez más.d. <. Porque 360 × 100 = 3.600 que es mayor que 3.499.

Dividendo Divisor Cociente Resto Como usé la cuenta23.540 10 2.354 0 Usé que al multiplicar 2.354 × 10 = 23.540

23.548 10 2.354 8 Use que 23.548 = 23.540 + 8 Entonces dividí 23.540 por 10 usando el dato y sobran 8.

23.521 10 2.352 123.521 = 23.540 – 10 – 9 = 23.540 – 10 – 10 + 1. Al dividir cada término usando el dato me queda

que el cociente es 2.354 – 1 – 1 y sobra 1.

Dividendo Divisor Cociente Resto7.840 10 784 0

42.200 100 422 04.587 10 458 7

236.122 100 2.361 22

15.345 72

-14.400 200paquetes

945 +

-720 10paquetes

225

-216 3paquetes

9sobran

213paquetes

2. Pensemos entre todos Camila suma dos veces 100 paquetes que coincide con los 200 paquetes de Pedro. Pedro usa 200 × 72, 10 × 72 y 2 × 72. Camila usa 100 × 72 y 10 × 72.

Por ejemplo:

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p. 26 y 27

Algoritmo de división. Análi-sis del resto.


3. a. i. ii.

b. Las cuentas están resueltas de manera similar, solo que en la segunda se agruparon algunos renglones de la primera.c. Sí, hay muchas maneras de hacer la cuenta. Algunas usan multiplicaciones más sencillas y otras más complicadas.

Uso de calculadora1. No porque tendría que haberle quedado un resultado entero.2. Dividendo Divisor Cociente Resto ¿Cómo lo pensaste?

2.457 54 45 27 Hice la cuenta 2.457 : 54 = 45,5. 45 es el cociente.Después hice 2.457 – 54 × 45 para calcular el resto.

9.900 80 123 60 Hice la cuenta 9.900 : 80 = 123,75. 123 es el cociente. Después hice 9.900 – 80 × 123 para calcular el resto.



Remodelar la casa

1. Gastaron $1.138. 2. Cada uno debe pagar $2.970. 3. Le quedan 58 m de cable.

Revisamos los problemas Se usaron sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. 1. 45 × 20 + 3 × 39 + 2 × 26 + 3 × 51 – 3 × (20 + 3 + 2 + 3)

2. (9 × 180 × 3 + 180 × 2 × 3) : 23. 150 – (18 × 3 + 11 + 23 + 2 × 2)

Sí, se usa paréntesis para marcar qué cuentas se hacen primero.

4. a. No es correcto porque lo que paga en cuotas es la mitad, no el total.b. Primero calcula lo que gastó, luego divide por 2 para calcular lo que pagará en cuotas. Luego divide por 6 para calcular el valor de cada cuota.

13.062 31

– 3.100 100

9.962 + 100

– 3.100 100

6.862 100

– 3.100 10

3.762 10

– 3.100 1

662 421

– 310

352

– 310

42

– 31

11

13.062 31

– 12.400 400

662 + 20

– 620 1

42 421

– 31

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p. 28 y 29

Problemas con las cuatro operaciones.


c. No es correcto porque al no poner los paréntesis lo único que queda dividido 2 y dividido 6 es 250.d. Es correcto porque en este caso divide directamente por 12 que es equivalente a dividir por 2 y luego por 6.5. Por ejemplo: (8 × 2 + 8 × 10 + 8 × 7) × 2 = 8 × (2 + 16 + 7) × 2 = 8 × 2 × 2 + 8 × 16 × 2 + 8 × 7 × 2.6. Producción personal.


1. a. 28 partidos. b. 56 partidos.2. a. 720 combinaciones. b. 46.652 combinaciones.3. a. Puede tener 400, 425, 450, 475 o 500 estampillas. b. Flor tiene 120 chupetines.4. (60 + 4) × 9 + 375. a. 123 × 11 = 123 × 10 + 123 = 1.230 + 123 = 1.353b. 1.230 : 123 = 10 porque 10 × 123 = 1.230.c. 123 × 9 = 123 × 10 – 123 = 1.230 – 123 = 1.107d. 1.230 : 5 = (1.230 : 10) × 2 = 123 × 2 = 246e. 123 × 20 = 123 × 10 × 2 = 1.230 × 2 = 2.460f. 1.230 : 246 = 1.230 : 123 : 2 = 10 : 2 = 5.

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Cuidar al rey

Plaqueta pensemos entre todos Producción personal. Hay infinitos puntos que están a 5 cm del rey por lo que deberíamos poner infinitos guardias. Una regla para marcar 5 cm y un compás.

Usar el compás

1. a. Producción personal.b. Hay que abrir el compás con la medida del segmento y después trasladar esa medida sobre otra recta.2.

A

135°75°

A

3. a. Producción personal.b. Al superponerlos y mirarlos a trasluz tienen que verse iguales.4. a. Producción personal. b. Suman 180°.5. a.

Â = 120° ; b.

^B = 135°

3 Los triángulos

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p. 31

Uso del com-pás. Circunfe-rencia y círculo.

p. 32 y 33

Construcción y copiado de segmentos y ángulos.

REy 5 cm


Los lados de los triángulos

1. a. Hay un único triángulo posible. Se puede construir de diferentes maneras. Por ejemplo:

A B

C

7 cm

4 cm

6 cm

b. Hay un único triángulo posible. Se puede construir de diferentes maneras. Por ejemplo:

A B

C

5 cm

4 cm4 cm

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p. 34 y 35

Construcción de triángulos dados los lados.

1. Trazar un segmento AB de 7 cm.2. Trazar una circunferencia de 4 cm de radio una con centro A.3. Trazar una circunferencia de 6 cm de radio con centro en B.4. Llamar C a uno de los puntos en el que se intersecan las circunferencias.5. Unir C con A y C con B.


1. Trazar un segmento AB de 5 cm.2. Trazar dos circunferencias de 4 cm de radio una con centro A y otra con centro en B.3. Llamar C al punto de intersección de las circunferencias.4. Unir C con A y C con B.

c. No se puede construir ningún triángulo porque las circunferencias no se intersecan.

d. No se puede construir porque las circunferencias se intersecan sobre el segmento de 6 cm.

2. Se pueden construir infinitos triángulos con los lados dados. Basta elegir cualquier punto sobre la circunferencia.

A B7 cm

2 cm 4 cm

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A B

2 cm

6 cm

4 cm


3. a. No siempre se puede construir. Por ejemplo en el problema 1. b. daban la medida de 3 lados pero no se podía construir.b. Para que se pueda construir el triángulo, la suma de las medidas de dos de los lados tiene que ser mayor que la medida del tercero y la resta de la medida de dos de las medidas tiene que ser menor que el tercero.4. a. Hay que agregar un lado de 8 cm.b. Se puede agregar un lado de 7 cm o uno de 10 cm.c. Hay muchas opciones posibles. Hay que elegir el tercer lado de medida mayor que 3 cm y menor que 13 cm.

Construir con ángulos

1. a.

1. Trazar una recta cualquiera.2. Con el compás tomar la medida del segmento AB y trasladarla sobre la recta. Llamar S y T a los extremos del segmento dibujado.3. Elegir un radio y trazar, sobre el ángulo con vértice A una circunferencia con ese radio y centro en A. Llamar M y N a los puntos donde la circunferencia cruza los lados del ángulo.4. Trazar una circunferencia con el mismo radio anterior y centro en S. Llamar R al punto donde la circunferencia corta al segmento ST.4. Trazar una circunferencia con centro en R y radio igual a la distancia de M a N.Llamar W a uno de los puntos donde se cortan las dos circunferencias.5. Trazar la semirrecta de origen en S que pasa por W y llamarla SW.6. Elegir un radio y trazar, sobre el ángulo con vértice B una circunferencia con ese radio y centro en B. Llamar K y L a los puntos donde la circunferencia cruza los lados del ángulo.7. Trazar una circunferencia con el mismo radio anterior y centro en T. Llamar U al punto donde la circunferencia corta al segmento ST.8. Trazar una circunferencia con centro en U y radio igual a la distancia de K a L.Llamar V a uno de los puntos donde se cortan las dos circunferencias.9. Trazar la semirrecta de origen en T que pasa por V y llamarla TV.10. Llamar C al punto donde se cortan las semirrectas SW y TV. 11. Unir C con S y C con T.

1. Trazar un segmento AB de 7 cm.2. Trazar una circunferencia de 4 cm de radio con centro A.3. Elegir un punto en la circunferencia.4. Unir el punto elegido con A y con B.©

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Ley

11.

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p. 36 y 37

Construcción de triángulos dados los ángulos.

A B

C

D

E

7 cm

4 cm


b. Al seguir las mismas instrucciones que en a. Las semirrectas no se cortan y por lo tanto no se puede construir el triángulo.2. a. No. Para que se pueda construir, las semirrectas tienen que poder intersecarse.b. No, porque las semirrectas no se cortarían.c. 2 ángulos obtusos no se puede porque no se intersecan las semirrectas. Dos ángulos agudos si.

3. a. b.

c. d.

e. f.

Se puede construir un único triángulo.

Se pueden construir infinitos triángulos con estos datos. Se puede agregar la medida del ángulo

^B o la medida de

un lado.

Se pueden construir infinitos triángulos con estos datos. Se puede agregar la medida del de un lado para que la construcción sea única.

No se puede construir ningún triángulo porque las semirrectas no se intersecan.

Se pueden construir infinitos triángulos con estos datos. Se puede agregar la medida del de un lado para que la construcción sea única.

No se puede construir ningún triángulo con esos datos porque al marcar dos de los ángulos, el tercero queda marcado y no mide lo pedido.

80°

A B

E

D

F

20° 100°A B

C

95° 100°

A B

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75°40°A B

C

60° 40°

80°

A B

C

30°75°

75°

A

B

C


Revisamos los problemas Si siempre, basta elegir un tercer lado de modo que sea mayor que la resta y menor que la suma de los lados dados. No siempre, para que se pueda construir cada lado debe ser sea mayor que la resta y menor que la suma de los otros. No, si los ángulos son los dos obtusos, los dos rectos o uno obtuso y uno recto, las semirrectas no se cruzan y no se puede construir.

Sumar ángulos

1. Pensemos entre todos El triángulo ABD es igual al triángulo AEB porque ADBE es un rectángulo y AB es su diagonal. Por lo tanto los triángulos ABD y AEB tienen los mismos ángulos. Pero entre todos suman 360°. Entonces los del ABD suman la mitad (180°). Como la suma de los ángulos de ABD es la mitad que la suma de los ángulos del rectángulo ADBE, entonces la suma de los ángulos de ABD es 180°. Pero esa suma es

Â +

^B +

^D y

^D = 90°.

Luego Â +

^B = 90°.

Realizando la misma deducción que en el caso anterior pero en el rectángulo DBFC podemos determinar que la suma de los ángulos interiores del triángulo CBD es 180°. Realizando la misma deducción que en el caso anterior podemos decir que

^C +

^B = 90°.

Los ángulos interiores del triángulo ABC son Â ,

^C y la suma de los ángulos que llamamos

^B en

los triángulos ADB y DBC. Entonces la suma de todos da 180°.

2. 60°. Porque son todos iguales y entre todos suman 180°.3. Si porque AC = CB, CD es lado de los dos triángulos y C

^DA = C

^DB = 90°. Por lo tanto los dos

triángulos tienen 2 lados iguales y un ángulo igual. Son iguales.b. Como los triángulos ADC y BDC son iguales, entonces los ángulos que tienen lados de la misma medida deben ser iguales. Por lo tanto

Â =

^B .

4. a. ^D = 70° b.

Ê =20° c.

^M =70° d.

Â =80°;

^B = 21°

e. ^M =55° ;

^R =145° ;

^S =15° ;

^ W =75° ;

^T =15° f. A =70°; B = 80° ;

^C =30°

5. a. Â +43° = 180° porque sus lados son semirrectas opuestas.

Â = 137°

b. ^C +43° = 180° porque sus lados son semirrectas opuestas.

^C = 137°. Luego

^C =

Â.

c. Si porque los lados de Â y

^B son semirrectas opuestas, entonces

Â +

^B = 180°. Por lo tanto

^B = 43°.

Las alturas

1. a. b.

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p. 38 y 39

Suma de los ángulos inte-riores de un triángulo.

p. 40

Alturas de triángulos.


2.

b. Se pueden construir infinitos triángulos variando el lugar de C.c. Todos tienen un lado de 5 cm y la altura correspondiente a ese lado de 3 cm.

Puntos a igual distancia

1. Producción personal.2. a. Producción personal. b. Producción personal.c. Se usa la herramienta Mediatriz. d. Se usa la herramienta Mediatriz.e. La intersección de las mediatrices verifica los dos pedidos.f. La intersección de las mediatrices es el centro de la circunferencia.


1. Producción personal.2. a. 1. Trazar un segmento AB de 6 cm.2. Trazar una circunferencia de 4 cm de radio con centro A.3. Elegir un punto en la circunferencia.4. Unir el punto elegido con A y con B.b. Se puede agregar la medida de un lado o de un ángulo.

3. a. Instrucciones1. Trazar un segmento AB de cualquier medida.2. Trazar un ángulo de 45° con vértice en A y que tenga por lado a la semirrecta AB.2. Trazar un ángulo de 75° con vértice en B y que tenga por lado a la semirrecta BA.3. Llamar C al punto de intersección de las otras semirrectas de los ángulos.4. Unir el punto elegido con A y con B.b. El ángulo que falta mide 60° porque la suma de los tres ángulos debe ser 180°.4. a. Falso porque la suma de los tres ángulos es 180°.b. Si porque todos miden 60°.c. Con un lado de 5 cm y dos ángulos de 30° se pueden construir dos triángulos distintos. El que tiene dos lados de 5 cm y los ángulos de 30°, 30° y 120° o el que tiene un lado desigual de 5 cm y los ángulos que se apoyan sobre él de 30° cada uno.

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p. 41

Mediatriz de un segmento.

p. 42

A B

CM N

S

5 cm

3 cm 3 cm


Jugar con múltiplos

Pensemos entre todos 91, 105, 285. 287.

Si, por ejemplo: 35, 70, etc. porque son múltiplos de 35 que es múltiplo de 5 y de 7.

La visita al teatro

1. a. Necesitarán 7 micros.b. Un micro no va lleno. Pueden viajar 20 alumnos más.2. Hay varias posibilidades: 120, 150 o 180 personas.3. Se pueden armar 127 filas pero no todas van a estar completas. Hay que agregar 4 filas más.

4. Pensemos entre todos No porque el concepto de múltiplo es útil solo con números naturales. Por ejemplo, si multiplicara 124 × 1 __ 2 obtendría 62 que no es múltiplo de 124. Porque como 11 × 124 = 1.364, el 11 entra una cantidad entera de veces en 1.364. Multiplicaría al 8 por un número para que el resultado sea mayor que 2.000. Por ejemplo: 8 × 200 = 1.600. Multiplicaría a 7 por un número menor que 100 porque 7 × 100 = 700. Por ejemplo: 7 × 90 = 630.

5. a. 1.130 = 1.125 + 5. Como 1.125 es múltiplo de 15, el resto es 5.b. 1.235 = 1.125 + 90 + 20 = 1.125 + 90 + 15 + 5. Como 1.125, 90 y 15 son múltiplos de 15, el resto es 5.c. 1.120 = 1.125 – 5 + 15 – 15 = 1.125 – 15 + 10. Como 1.125 y 15 son múltiplos de 15, el resto es 10.6. Por ejemplo: 16 filas de 63 sillas cada una o 7 filas de 144 sillas cada una o 24 filas de 126 butacas, etc.

Club Los del Barrio

1.

a. Cantidad de nenas por taller 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48b. Cantidad de talleres que se arman 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1

2.

a. Cantidad de varones por taller 1 2 4 7 8 14 28 56b. Cantidad de talleres que se arman 56 28 14 8 7 4 2 1

3.Cantidad de chicos por taller 1 2 4 8Cantidad de talleres de nenas que se arman 48 24 12 6Cantidad de talleres de varones que se arman 56 28 14 7

4. a. En cada sobre puede poner: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 o 30 figuritas.b. Usa la menor cantidad de sobres si pone 30 figuritas en cada uno.

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p. 43

Escalas.

p. 44 y 45

Múltiplos y di-visores. Análisis del resto.

p. 46 y 47

Divisor común mayor.

4 Divisibilidad


5. a. Puede poner 1, 2, 3, 6, 7, 14, 24 o 42 anillos o pulseritas en cada bolsita.b. Si pone 42 en cada bolsita.6. a. No, no puede. b. Si puede.

c.Cantidad de bolsitas que arma 45 15 9 3

Cantidad de aros que pone en cada una 1 3 5 15Cantidad de anillos que pone en cada una 1 3 5 15

d. 45 bolsitas.

Formas de encontrarse

1. a. Cada 175 minutos. b. A las 22 horas 35 minutos.2. a. Cada 90 minutos. b. 10 barritas.3. Puede tener 108, 120, 132 o 144 estampillas.4. Puede tener 540 figuritas. 5. Dentro de 60 días.6. Tiene que poner 6 figuritas en cada sobre. Va a armar 20 sobres de figuritas princesas y 27 sobres de figuritas de autos.

Revisamos los problemas 1, 2, 3, 4, 6 y 12. 12 Hay que buscar todos los divisores comunes a los dos números y tomar el más grande.

Por ejemplo:48, 96, 144. 48 Hay que hacer una lista de múltiplos de cada uno y ver cuál es el común más chico.

Usar diferentes escrituras

1. a. Porque 105 = 15 × 7.b. Porque puede pensar que 105 = 15 × 7 = 5 × 3 × 7 = 5 × 21.c. Si, por ejemplo: 105 = 15 × 7 = 5 × 3 × 7 = 3 × 35. Entonces 3 y 35 son divisores de 105.2. a. 180 = 15 × 12 = 5 × 3 × 2 × 2 × 3. Los divisores de 180 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.b. Por ejemplo: 180 = 10 × 18.c. 180 = 5 × 3² × 2²

4. Pensemos entre todos Porque 400 = 8 × 50 y 48 = 8 × 6. 448 : 8 = (400 + 48) : 8 = 400 : 8 + 48 : 8 = 50 + 6 = 56 Porque 300 = 100 × 3 y 36 = 12 × 6. 346 = 300 + 36 + 10. Como 3 entra 100 veces en 300 y 12 veces en 36, entonces 3 entra 100 + 12 = 112 veces en 346 y sobran 3. El cociente de la división es 112 y el resto es 3.

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p. 48 y 49

Múltiplo co-mún menor.

p. 50 y 51

Descomposicio-nes multiplica-tivas y aditivas.


5. a. Verdadero. 450 = 45 × 10 = 3 × 15 × 10, es múltiplo de 15.b. Falso. 342 = 240 + 102 = 240 + 48 + 48 + 6. 240 y 48 son múltiplos de 12 entonces la suma no lo es. Sobran 6.c. Verdadero. 1.008 = 1.000 + 8. Como 1.000 y 8 son múltiplos de 8, entonces 1.008 también lo es.d. Verdadero. 7.749 = 7.000 + 700 + 49 Como 7.000, 700 y 49 son múltiplos de 7, 7.749 también lo es.6. a. Verdadero. Como 35 es múltiplo de 7, entonces 35 × 15 es múltiplo de 7. Como además 42 es múltiplo de 7 entonces 567 es múltiplo de 7.b. Verdadero. Como 15 es múltiplo de 3, entonces 35 × 15 es múltiplo de 3. Como además 42 es múltiplo de 3 entonces 567 es múltiplo de 3.c. Falso. 35 × 15 es la multiplicación de dos números impares. Por lo tanto da un número impar. Como 42 es par, la suma da un número impar. No puede ser múltiplo de 2.d. Falso. 35 × 15 = 7 × 5 × 5 × 3 = 25 × 3 × 7. El resultado de la multiplicación es múltiplo de 25. Cómo 42 no es múltiplo de 25 entonces la suma puede ser múltiplo de 25.


1. Cantidad de libros que pone en cada estante 1 5 7 35 49 245

Cantidad de estantes que usa 245 49 35 7 5 1

2. Solo puede haber 110 caramelos en la bolsa. Puede darle 10 caramelos a 11 chicos u 11 caramelos a 10 chicos.3. a. No es posible. Hay que agregar 10 sillas.b. Si, se pueden poner 10 sillas por fila.4. 1.003, 1.020, 1.037, 1.054, 1.071, 1.088, 1.105, 1.122, 1.139, 1.156, 1.173 y 1.190.

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p. 52

5 Los cuadriláteros

La visita al museo

Pensemos entre todos Los paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados. Los trapecios. Los rombos y los cuadrados. Los rectángulos y los cuadrados. Los cuadrados.

Los trapecios isósceles. Los trapecios rectángulos.

p. 53

Clasificación de cuadriláteros.


Copiar y construir

1. a. Se puede construir un solo paralelogramo con estos datos.

A

D

B

C

6 cm

8 cm4 cm

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p. 54 y 55

Construcción de paralelogramos.


b. Se puede construir un solo paralelogramo con estos datos.

c. Hay infinitos paralelogramos que se pueden construir con estos datos.

A

H C I D F E G

B5 cm

3 cm

A

C

B

D

6 cm

4 cm

45°

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5 cm5 cm

9 cm

A

B

C

D

d. Se puede construir un solo rombo con estos datos.

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e. Se pueden construir infinitos paralelogramos con estos datos.

2. a. Producción personal. b. Producción personal.c. Como ABCD es un paralelogramo entonces AB = DC ; AD = BC. Además BD es un lado de los dos triángulos. Entonces los dos triángulos tienen los mismos lados, por lo tanto, son iguales.

d.

e. Â +

^B =

Â + A

^BD + C

^BD=

Â + A

^BD + A

^DB = 180° porque es la suma de los ángulos interiores de

un triángulo.3. a. Suman 180° por lo mismo que en el problema anterior.b. Si porque se puede usar el mismo razonamiento usando la diagonal AC.4. a. Suman 180°. b. Son iguales.5. Producción personal.

Partes de los cuadriláteros

1. a. b. Como ABCD es un paralelogramo entonces AB = DC ; AD = BC. Además es un lado de los dos triángulos. Entonces los dos triángulos tienen los mismos lados, por lo tanto, son iguales.

c. d.

e.

B

DC

E

A

F

5 cm

3 cm

BA

D C

C

A B

DC

BA

CD

A B

CD

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p. 56 y 57

Propiedades de las diagonales.


f. Los triángulos AOD y BOC son iguales porque tienen 2 ángulos iguales y un lado igual (AD = BC ).g. Como los triángulos son iguales entonces sus lados son iguales, por lo tanto AO = OC y DO = OB.h. No, no es necesario que las diagonales sean iguales.i. Por lo visto en el ítem g. las diagonales del paralelogramo se cortan en el punto medio.2. a.

b. Si porque AB = BC , BO es común a los dos y los ángulos son iguales.c. Como los triángulos son iguales, los ángulos A

^BO y O

^BC son iguales, por lo tanto el ángulo

^B del rombo quedo dividido en 2 partes iguales.d. 90° porque los ángulos A

ÔB y C

ÔB son iguales y juntos suman 180°.

Revisamos los problemas Si es cierto por todo lo que ya escribimos en el problema 1. Las diagonales de cuadrados, rectángulos y rombos se cortan en el punto medio porque son paralelogramos. No. Para que las diagonales sean perpendiculares, la figura tiene que tener los lados iguales. Si por lo analizado en el problema 2. Si es cierto porque las diagonales son iguales como las de cualquier rectángulo, se cortan en el punto medio como las de cualquier paralelogramo y son perpendiculares como en cualquier rombo.

Los trapecios

1. a. Se pueden construir dos trapecios distintos con esos datos: ABED y ABGF.

A B

F C D E G

5 cm

3 cm3 cm2

cm

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p. 58

Propiedades de los trapecios.

D

B

A CO


d. Se pueden construir infinitos trapecios con estos datos.

2. a. DM = NC porque son alturas del trapecio. AD = BC porque la figura es un trapecio isósceles. D

^MA = C

^NB = 90° porque los lados son alturas. Entonces los triángulos tienen 2 lados iguales y

un ángulo igual, son iguales.b. Como los triángulos son iguales, entonces los ángulos que tienen por lados, segmentos iguales, son iguales. Por lo tanto

Â =

^B .

c. Esto no ocurriría si el trapecio fuera isósceles.

Datos para construir

1. a. Producción personal. b. Producción personal.2. a. Producción personal. b. Producción personal.3. a. Producción personal. b. Producción personal.c. Se pueden construir infinitos paralelogramos con esos datos.d. Se podría agregar la medida de un ángulo, una altura o una diagonal.

b. Se pueden construir infinitos trapecios con estos datos.

c. Se pueden construir infinitos trapecios con estos datos.

A B

C D

3 cm

2 cm

35°6 cm

4 cm

A B

C D

A B

C D

4 cm

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p. 59

Construir figuras.



1. Cuadrilátero

Las diagonales se cortan en el punto medio.

Las diagonales son iguales.

Las diagonales son

perpendiculares.

Los ángulos que están apoyados sobre el

mismo lado suman 180°.Rectángulo X X X

Rombo X X XParalelogramo X X

Cuadrado X X X X

2. Producción personal.3. a. Producción personal.b. Se pueden construir infinitos rectángulos con esos datos. Hay que dibujar una circunferencia de 4 cm de diámetro. Marcar un diámetro y un punto en la misma. Quedará así un triángulo rectángulo que hay que transportar del otro lado.

Tipo de paquete Cantidad de paquetes que hay que comprar

¿Se puede comprar justo o sobra? Si sobra, ¿cuál es la cantidad mínima de paquetes que tiene que comprar?

7 Se puede comprar justo.

4 Al comprar 4 paquetes, sobra 1 __ 4 kg

6 Al comprar 4 paquetes, sobra 1 __ 4 kg.

14 Se puede comprar justo.

PESO NETO

1 

__ 3  kg

PESO NETO

1 

__ 2  kg

PESO NETO

1 

__ 4  kg

PESO NETO

1 

__ 8  kg

1 __2  kg

PESO NETO

1 __4  kg

PESO NETO

1 __3  kg

PESO NETO

1 __8  kg

PESO NETO

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p. 60

6 Los números racionales fraccionarios

La venta de café

Pensemos entre todos La señora lleva 1 1 __ 8 kg de café Brasil y 1 1 __ 8 kg de café Colombia.

No, tiene que llevar 5 paquetes y le sobra café.

Por ejemplo: 2 paquetes de 1 __ 2 y uno de 1 __ 8 . El señor lleva 3 __ 4 kg de café Santos, 3 __ 8 kg de Moka y 3 __ 8 kg de Barista.

De café Santos puede llevar un paquete de 1 __ 2 kg y uno de 1 __ 4 kg o 3 de 1 __ 4 kg, etc.

De los otros también hay varias opciones. Podría ser 3 de 1 __ 8 kg o uno de 1 __ 4 kg y uno de 1 __ 8 kg.

El café y los paquetes

1.

p. 61

Uso social de los números fraccionarios.

p. 62 y 63

Los números fraccionarios para medir y repartir.


2. a. Para 18 tazas. b. Se necesitan 3 litros de agua.

3.Cantidad de café que ponen en una bolsa (kg) 1 1 __ 2 1 __ 4 1 __ 8 1 __ 3 1 __ 6

Cantidad de bolsas necesarias 10 20 40 80 30 60

4. a. 19 paquetes.b. No es posible. Si se mandan 15 paquetes se mandan 5 kg y por lo tanto sobra 1 __ 4 kg. c. No es posible. Si se mandan 10 paquetes se mandan 5 kg y por lo tanto sobra 1 __ 4 kg.

Revisamos los problemas 4 bolsas de 1 __ 2 kg y 8 bolsas de 1 __ 4 kg. 3 cajas de 1 __ 2 kg y 5 cajas de 1 __ 3 kg y sobra arroz. Hay que comprar 7 bolsas y sobra 1 ___ 12 kg de café.

Contar golosinas

1. a. Daniel se lleva 80 chupetines. Brenda y Lucía se llevan 40 chupetines cada una.b. No es cierto lo que dice Lucía porque no se reparte en partes iguales.c. Daniel se lleva 1 __ 2 de la bosa. Lucía y Brenda se llevan 1 __ 4 de la bosa cada una.2. 8 chicles. 3. Había 24 caramelos.

4.

5. Hay varias maneras. Por ejemplo:a.

b. c.

Pensemos entre todos No es necesario que los enteros tengan la misma forma. Hay muchas maneras distintas de armar los enteros.

Ubicar en la recta

1.0 1 2 1 __ 2 3 __ 2

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p. 64 y 65

Partes de todo y todo de partes.

p. 66 y 67

Ubicación en la recta numé-rica. Números fraccionarios equivalentes.


2.0 1 1 __ 2 1 __ 4

3.0 1 1 __ 2 1 __ 3 3 __ 2 5 __ 6

4. J = 2 __ 3 ; E = 5 __ 3 ; G = 5 __ 2 ; F = 3; I = 19 ___ 6 ; H = 10 ___ 3 .

5. La recta no respeta la escala porque entre 1 y 2 hay 4 cm y entre 2 y 3 hay 2 cm.6.

0 2 3 __ 12

6 __ 24

2 __ 3 5 __ 6 1 15 __ 12

30 __ 24

7. a. No es cierto. Entre 1 y 6 hay 5 cm, entonces cada centímetro representa 1. Por lo tanto la letra que representa al 2 es M.

b. L = 0; K = 3 __ 2 ; Q = 7

c. Los dos tienen razón porque 17 ___ 2 y 34 ___ 4 son equivalentes. P = 7 __ 4 = 14 ___ 8 .

8. a. Con 10 paquetes. b. 5 __ 2 = 10 ___ 4

Distintos paquetes, igual cantidad

1.

Cantidad de harina necesaria

en cada receta (kg)

Cantidad de harina que hay en cada

paquete (kg)

Cantidad de paquetes que

hay que usar

Número fraccionario que representa (kg)

¿Es posible comprar la

cantidad justa?

5 __ 4 1 __ 8 10 10 ___ 8 Sí

10 ___ 3 1 __ 9 30 30 ___ 9 Sí

7 __ 3 1 __ 6 2 2 __ 6 Sí

3 __ 2 1 __ 3 5 5 __ 3 No

10 ___ 14 1 __ 7 5 5 __ 7 Sí

2. Pensemos entre todos Porque los números naturales involucrados son más grandes o más chicos. Se puede pensar que si se toman 3 partes de un entero dividido en 4 partes iguales, y cada parte se la divide en 2, entonces quedan 6 partes de 1 __ 8 .

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p. 68 y 69

Fracciones equivalentes.


3. 7 ___ 14 = 8 ___ 16 = 5 ___ 10 = 1 __ 5 4. a. 15 b. No es posible porque 9 : 3 = 3 y 5 no es múltiplo de 3.c. 18 d. 2 e. No es posible porque 5 : 5 = 1 y 7 no es múltiplo de 5. f. 4 g. 20 h. 3i. 4 j. No es posible porque 4 : 2 = 2 y 7 no es múltiplo de 2.k. 8 l. 205. Por ejemplo:

a. 4 __ 10 ; 18 __ 30 ; 20 __ 50 b. 14 __ 12 ; 21 __ 18 ; 28 __ 24 c. 2 __ 3 ; 8 __ 12 ; 36 __ 54 d. 3 ; 27 __ 9 ; 30 __ 10 e. 6 __ 5 ; 30 __ 25 ; 12 __ 10 f. 10 __ 8 ; 25 __ 20 ; 40 __ 32

6. Producción personal.

Ordenar paquetes

1. Entre 0 y 1 kg Entre 1 kg y 2 kg Entre 2 kg y 3 kg

3 __ 5 ; 4 __ 9 ; 4 __ 6 ; 8 ___ 14 ; 5 __ 7 5 __ 3 ; 14 ___ 8 ; 7 __ 5 11 __ 4 ; 19 ___ 8

2. a. b. i. 5; 6 ii. 7; 8 iii. 3; 4; 5 iv. 7; 8; 9v. 3, 4, 5, 6, 7, 8 vi. 5 vii. 19 viii. 4 ix. 4, 5

3. a. 2 __ 7 ; 2 __ 5 ; 6 __ 7 ; 8 __ 9 ; 9 __ 10 ; 9 __ 8 ; 6 __ 5 ; 8 __ 9 . b. Ente 2 __ 7 y 2 __ 5 .

4. Hay muchas posibilidades. Por ejemplo: 3 __ 8 .

5. Pensemos entre todos Porque está buscando uno que tenga el mismo denominador que los dados y no hay. Por ejemplo, podría escribir los números con denominador 12.

Transformaría las fracciones en otras equivalentes con denominador mayor.

Por ejemplo: 2 __ 9 = 6 __ 27 y 3 __ 9 = 9 ___ 27 entonces entre ellos podemos encontrar los números 7 __ 27 u 8 __ 27 . Si, siempre se pueden transformar las fracciones con denominadores mayores.

Por ejemplo: 25 __ 30 ; 37 __ 30 ; 49 __ 50


1. Se pueden llenar 6 vasos. 2. Hacen falta 20 paquetes. 3. 8 flores.

4.

5.

6. Por ejemplo: 3 ___ 16 7. 1 __ 3 ; 3 __ 7 ; 1 __ 2 ; 3 __ 4 ; 4 __ 5 ; 8 __ 7 ; 5 __ 3

1 __ 4

6 __ 8

1 _ 4 1 3 __ 2 7 __ 4 1 __ 8

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p. 70 y 71

Orden y densidad de los números racionales.

p. 72


A B

D

EF

G

3 cm

3 cm

3 cm

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7 Los polígonos

Los geoplanos

Pensemos entre todos Lucía. 30 lados. Son todos rectos. Producción personal. Los ángulos marcados miden más que 180°.

Se puede en la de Pablo, Brenda y Lucía. Por ejemplo:

Armar figuras

1. Producción personal.2. a.

p. 73

Polígonos cóncavos y convexos.

p. 74 y 75

Clasificación, construcción y copiado de polígonos.


b. Si es cierto porque la circunferencia con centro en G que pasa por C también pasa por A.c. El polígono tiene 6 lados iguales. d. 120°e. Si porque todos los vértices están a 3 cm de C.3. a.

Hay que trazar un triángulo isósceles cuyo lado desigual mida 5 cm y el ángulo opuesto a ese lado mida 72°. Luego copiar el triángulo.b. Todos hicieron el mismo. Se puede observar superponiendo las figuras.4. Producción personal.

Sumar ángulos

1. a. 7 triángulos. b. 5 triángulos.

2. a. Producción personal. b. 4 diagonales.3. Lo que dice Lucia es correcto porque si elegimos un vértice podemos trazar n – 1 segmentos con extremo en ese vértice y que terminen en los otros vértices. Dos de esos segmentos son lados del polígono entonces quedan n – 3 diagonales. Si miramos los problemas anteriores vemos que quedan n – 2 triángulos.

4. Pensemos entre todos Al triángulo ECD. No. Está dividido en dos triángulos

^C = D

^CE + E

^CB.

Porque cada ángulo interior pertenece a un triángulo o está dividido en dos triángulos. Suma de ángulos interiores de un hexágono: 180° × 4 = 720°. Suma de ángulos interiores de un heptágono = 180° × 5 = 900°.

BA

C

DF

G

E

K

J

L

I

M

H

N

35°72°

72°

72°

72°

72°

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p. 76 y 77

Suma de los ángulos inte-riores de un polígono.


Calcular ángulos

1. 360° porque se puede cubrir con 2 triángulos.

2.

3. 90°

Revisamos los problemas 5 triángulos. 180° × 5 180° × (n – 2) Si porque se multiplica un número por 180.

Construcción de polígonos

1. Producción personal.2. Se construye un hexágono regular.

3.

Polígono Suma de los ángulos interioresPentágono 540°Hexágono 720°Heptágono 900°Octógono 1.080°

Dodecágono (12 lados) 1.800°

3 cm

B

C

D

E

F

A

O

95°

135°

150°

100°

D

C

A

F

E

B

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p. 78

Calcular ángu-los sin medir.

p. 79

Construcción de polígonos.


b. 60° c. Los ángulos no se modifican.


1. (1.440 : 180) + 2 = 10 lados 2. 8 lados.3. 120° porque son 6 ángulos iguales y entre todos suman 720.4. 135° porque son 8 ángulos iguales y entre todos suman 1.080.5.

^D = 120°

6.

A

F G

E

H

CD

B

I

64°

116° 64°

64°64°116°

90°90°90°

90°90° 135° 135°

90°

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p. 80

8 Operaciones con números racionales fraccionarios

Comprar y repartir

Pensemos entre todos Le quedan 1 __ 4 de los caramelos. Lucía le da a Daniel 1 __ 2 de las figuritas. A los chicos le quedan por recorrer 5 __ 6 del camino. No podemos decir cuántas cuadras caminarán porque no sabemos cuántas cuadras son. A Brenda le sobra 1 __ 8 del paquete. No sabemos cuántas galletitas son porque necesitaríamos saber cuántas galletitas hay en el paquete.

El viaje de Juan

1. Tiene que recorrer 5 ___ 24 del camino.

2. a. Sobra 7 ___ 24 de la tarta de espinaca y 1 ___ 10 de la tarta de cebolla. b. Menos.

4. No porque 5 __ 8 es mayor que 4 __ 8 = 1 __ 2 . Entonces el primer micro tiene más de la mitad de los

pasajes vendidos.

5. 19 ___ 30 kg de manzanas.

Pensemos entre todos Cuando los números tienen los mismos denominadores. Producción personal. Hay que buscar números fraccionarios equivalentes. Por ejemplo: 1 __ 3 = 2 __ 6 . Entonces 1 __ 6 + 2 __ 6 = 3 __ 6 . Hay que buscar un número que sea múltiplo de 15 y de 12. Por ejemplo 60. Entonces: 5 ___ 12 + 4 ___ 15 = 25 ___ 60 + 16 ___ 60 = 41 ___ 60 .

p. 81

Suma y resta de números fraccionarios de uso coti-diano.

p. 82 y 83

Suma y resta de números fraccionarios.


7. a. 3 __ 8 b. 53 ___ 35 c. 2 __ 5 d. 23 ___ 36 e. 13 ___ 10 f. 3 __ 2 g. 8 __ 7

h. 12 ___ 5 i. 13 ___ 9 j. 1 __ 3 k. 26 ___ 9 l. 2 ___ 21

Calcular con facilidad

1. Pensemos entre todos 4 __ 4 8 __ 8

Si porque cada entero es 4 __ 4 . Entonces 2 enteros son 4 __ 4 + 4 __ 4 = 8 __ 4 .

10 ___ 5

2. a.

b. Si el numerador es mayor que el denominador, el número fraccionario es mayor que 1. Si el numerador es menor que el denominador, el número es menor que 1.3. Por ejemplo:

a. 8 b. 7 c. 8 d. 13 e. 7 f. 29

4. a. 7 __ 4 b. 4 __ 5 c. 13 ___ 6 d. 6 __ 5 e. 13 ___ 10 f. 23 ___ 9

5. a. Verdadero porque 3 __ 4 es mayor que 1 __ 2 . b. Verdadero porque 8 __ 3 es mayor que 2.

c. Falso porque 15 ___ 7 es menor que 3. d. Verdadero porque 9 __ 3 = 3.

6. a. 5 __ 4 b. 1 __ 8 c. 13 ___ 15 d. 3 __ 8 e. 9 ___ 10 f. 1 ___ 10

g. 2 __ 6 h. 1 __ 8 i. 5 ___ 16

7. Por ejemplo: a. 1 __ 8 b. 1 __ 6 c. 1 __ 9 d. 1 ___ 11

Muchos paquetes iguales

1. Menos porque 8 paquetes son 4 kg.2. Compró 6 1 __ 2 kg.

3.

4. a. 6 __ 5 b. 15 ___ 8 c. 28 ___ 6 = 14 ___ 3 d. 40 ___ 3 e. 14 ___ 9 f. 12 ___ 5

g. 56 ___ 4 = 14 h. 35 ___ 10 = 7 __ 2 i. 30 ___ 3 = 10

Número fraccionario 3 __ 5 8 __ 7 7 __ 4 6 __ 11 15 ___ 2 7 ___ 16 18 ___ 5 2 __ 9 9 __ 5

Falta 2 __ 5 5 __ 11 9 ___ 16 7 __ 9

Sobra 1 __ 7 3 __ 4 13 ___ 2 13 ___ 5 4 __ 5

Peso del paquete (kg) 1 1 __ 4 4 __ 5 2 __ 7 1 __ 8

Cantidad de paquetes que se necesitan para armar 4 kg 4 16 5 14 32

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p. 84 y 85

Estrategias de cálculo mental.

p. 86

Multiplicación de números fraccionarios por números naturales.


Partir lo que hay

1. a. Por ejemplo:

b. 6 ___ 30 c. 3 __ 4 × 2 __ 5 d. 6 ___ 20

2. Comió 3 __ 8 de la tarta.

3. a.

b. Medida del segmento original × 3 __ 4 = medida del segmento reducido

4. a.

b. Cantidad de agua × 1 __ 8 = cantidad de jugo concentrado

¿Cómo se multiplica?

1. a.

b. El numerador de la fracción es la cantidad de cuadraditos sombreados y el denominador es la cantidad total de cuadraditos.c. 2 __ 6

2. a. i. 8 ___ 15 ii. 9 ___ 24 iii. 6 ___ 15

b. i. 2 __ 3 × 4 __ 5 ii. 3 __ 6 × 3 __ 4 iii. 3 __ 5 × 2 __ 3

3. a. Producción personal.b. Si se cumple porque la multiplicación de los numeradores permite calcular la cantidad de

Medida del segmento original (cm) 1 4 1 __ 2 1 __ 4

Medida del segmento reducido (cm) 3 __ 4 3 3 __ 8 3 ___ 16

Cantidad de agua (litros) 1 1 __ 2 2 1 1 __ 2

Cantidad de jugo concentrado (litros) 1 __ 8 1 ___ 16 1 __ 4 3 ___ 16

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p. 87

Multiplicación de números fraccionarios.

p. 88 y 89

Estrategias de multiplicación de números fraccionarios.

2 __ 3 3 __ 4

2 __ 3

4 __ 5 3 __ 6 3 __ 5


cuadraditos sombreados y la multiplicación de los denominadores permite calcular la cantidad total de cuadraditos.

4. a. i. 6 ___ 35 ii. 8 ___ 27 iii. 4 ___ 21

b. ii. Da un resultado mayor que el primer número y las otras dan menor.

5. Pensemos entre todos Daniel piensa los números fraccionarios como si fueran naturales. Esa propiedad, sin embargo, no se verifica en este caso porque multiplicar por 1 __ 4 es calcular la cuarta parte. En la organización rectangular, cada vez que se multiplica por números menores que 1 queda una parte del rectángulo que es menor que la unidad. Por ejemplo: 2 __ 7 × 2 = 4 __ 7 y 2 __ 7 × 3 __ 4 = 6 ___ 28 . La multiplicación da 4 __ 7 + 6 ___ 28 = 16 ___ 28 + 6 ___ 28 = 22 ___ 28 . Si se multiplican dos números menores que 1, el resultado es menor que cada factor. Si se multiplican dos números mayores que 1, el resultado es mayor que cada factor.

Taller de problemas Susana come 1 __ 4 de la pizza.

3 __ 4 × 1 __ 3

Verde: 1 __ 3 de la torre. Azul: 1 __ 3 de la torre. Rojo: 1 ___ 12 de la torre.

Queda sin pintar 1 __ 4 de la torre. 60 m

Repartir el queso

1. 1 __ 4 2. 1 __ 8 3. a. Daniel elige un entero que primero divide en 10 partes iguales y sombrea una parte. Esa parte es 1 ___ 10 del entero. Después divide cada parte en 4 partes iguales. Quedan sombreadas 4 partes. Es decir que 1 ___ 10 = 4 ___ 40 . Finalmente divide por 4 y lo que le queda es 1 ___ 40 . b. Daniel resuelve 9 ___ 10 : 4 = 9 ___ 10 × 1 __ 4 .4. a. 4 __ 3 : 2b. Si porque 4 __ 3 es 4 partes de 1 __ 3 ; entonces si dividimos 4 por 2 nos quedamos con 2 partes.c. Habría que escribir la fracción de manera equivalente con un numerador que sea múltiplo del divisor. Por ejemplo: 5 __ 3 : 2 = 10 ___ 6 : 2 = 5 __ 6 .

5. Pensemos entre todos Brenda está pensando que si toma un número fraccionario como 10 ___ 13 lo que tiene es 10 partes de 1 ___ 13 . Entonces al dividirlo por 5 se queda con la quinta parte de las partes. 3 __ 5 son 3 de 1 __ 5 . Si cada quinto se divide en 4 partes iguales, el entero queda dividido en 20 partes y cada quinto tiene 4 partes. Quedan sombreadas 12 ___ 20 .

Si, es cierto. Si por ejemplo analizamos el ejemplo anterior; el entero queda dividido en tantas partes como la multiplicación del divisor por el denominador de la fracción. Por lo tanto, lo que dice Lucía es correcto.

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p. 90 y 91

División de números fraccionarios por números naturales.


6. a. 3 __ 28 b. 3 __ 8 c. 12 __ 25 d. 4 __ 15 e. 2 __ 9 f. 7 __ 8

g. 5 __ 12 h. 15 __ 32

Envasar la mercadería

1. 5 botellas.

2.

3. a. 18 vasos. b. 2 1 __ 4 : 1 __ 8

4. Pensemos entre todos Por ejemplo el problema 1. Porque como las partes son iguales solo alcanza con dividir las cantidades de partes.

5. Armará 15 paquetes todos completos.6. Va a completar 6 paquetes.7. a. Arman 16 paquetes completos y sobran 2 __ 3 kg.b. Completan 16 paquetes. Para armar uno más falta 1 __ 3 kg de café.8. a. Se arman 5 bolsitas enteras. b. Sobra 3 __ 5 kg.

Cuentas que se piensan

1. a. b. c. d.

2. a. 7 __ 4 b. 4 __ 3 c. 3 __ 4 d. 13 ___ 7 e. 6 __ 7 f. 10 ___ 3

3. a.

b. Para calcular el doble de un número hay que calcular el doble del numerador. Para calcular la mitad de un número hay que calcular el doble del denominador.4. 5 × 1 __ 5 = 1 porque 5 partes de 1 __ 5 forman el entero. Por la misma razón 9 × 1 __ 9 = 1.3 × 4 __ 3 = 4 porque 4 __ 3 es 4 partes de 1 __ 3 . Por lo tanto al multiplicar por 3 quedan 12 partes de 1 __ 3 . Como cada 3 partes se arma el entero, queda 4.Por la misma razón 7 × 5 __ 7 = 5.

5. a. 3 __ 5 b. 1 c. 9 __ 8 d. 2 e. 15 f. 28

g. 1 __ 9 h. 1 i. 1 j. 21 k. 2 l. 7

6. a. 10 ___ 3 b. 2 × 10 ___ 3 × 7 __ 9 = 2 × 70 ___ 27 = 140 ____ 27 c. 10 ___ 3 × 7 __ 9 × 3 = 70 ___ 27 × 3 = 70 ___ 9

d. 7 __ 9 e. 70 ___ 27 : 10 ___ 3 : 2 = 7 __ 9 : 2 = 7 ___ 18 f. 10 ___ 3 × 2 × 7 __ 9 × 1 __ 2 = 10 ___ 3 × 7 __ 9 × 2 × 1 __ 2 = 70 ___ 27 × 1 = 70 ___ 27

Cantidad de jugo (litros) 3 7 __ 4 9 __ 2 7 __ 2 6

Cantidad de botellas 12 7 18 14 24

Número 4 __ 3 7 ___ 10 8 __ 3 15 ___ 8 16 ___ 3 3 __ 4

Doble 8 __ 3 14 ___ 10 16 ___ 3 30 ___ 8 32 ___ 3 6 __ 4

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p. 92 y 93

Estrategias de división entre números fraccionarios en casos parti-culares.

p. 94 y 95


Número 3 __ 2 4 __ 7 15 ___ 4 16 ___ 5 9 __ 7 8 ___ 15

Mitad 3 __ 4 2 __ 7 15 ___ 8 8 __ 5 9 ___ 14 4 ___ 15


7. 45 ___ 28 : 9 __ 4 = 5 __ 7 y 45 ___ 28 : 5 __ 7 = 9 __ 4

8. Con rojo: a. c. e. h. Con verde: b. d. f. g.


1. No puede porque la compra pesa 5 kg.2.

3.

4. a. 3 __ 7 b. 3 × 15 ___ 7 = 45 ___ 7 c. 15 ___ 7 : 2 = 15 ___ 14 d. 3 __ 7 × 2 = 6 __ 7

e. 2 × 15 ___ 7 × 4 × 1 __ 5 = 2 × 4 × 15 ___ 7 × 1 __ 5 = 8 × 3 __ 7 = 24 ___ 7 f. 10 × 3 __ 7 : 1 __ 5 = 10 × 15 ___ 7 = 150 ____ 7

5. a. Para 20 paquetes. b. Sobran 2 __ 3 kg. c. 1 __ 3 kg.

Cantidad de invitados 5 10 15 20 25

Cantidad de torta (kg) 7 ___ 10 7 ___ 20 7 ___ 30 7 ___ 40 7 ___ 50

Cantidad de invitados 1 2 4 6 7 10

Cantidad de asado (kg) 3 __ 4 3 __ 2 3 9 __ 2 21 ___ 4 15 ___ 2

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3 p. 96

9 Los números racionales decimales

Comprar y pagar

Pensemos entre todos Porque así puede hacer grupos de monedas de menor valor para darle 50 centavos a cada uno. Puede cambiar las 8 monedas de 10 centavos por todas monedas de 1 centavos. En total le quedan 80 monedas. Le da a cada uno 16 monedas. Es decir, 16 centavos. También podría haberle dado una moneda de 10 centavos a cada uno y cambiar las 3 que quedaban. En el primer diálogo a Brenda le faltan $1 con 55 centavos. En el segundo caso le faltan $2 con 95 centavos.

Escribir de manera equivalente

1. a. 4 b. No es posible porque 3 no es divisor de 10. c. 75d. 1.375 e. 24 f. 820

2. a. Pensemos entre todos Pensó que 25 ____ 100 son 25 partes de 1 ____ 100 y las separó en dos grupos. En el primero puso 20 partecitas y en el segundo las 5 restantes. El número fraccionario 20 ____ 100 es equivalente a 2 ___ 10 , se obtiene dividiendo numerador y denominador por 10. Pensó que 1 ___ 10 = 0,1 y entonces 2 ___ 10 = 0,2. Además 1 ____ 100 = 0,01 entonces 5 ____ 100 es 0,05.

b. i. 0,48 ii. 1,85

3. Por ejemplo: a. 35 ___ 10 ; 350 ____ 100 ; 7 __ 2 b. 132 ____ 100 ; 33 ___ 25 ; 1.320 _____ 1.000

p. 97

Uso social de los números decimales.

p. 98 y 99

Expresiones decimales de las fracciones decimales. Valor posi-cional de las cifras.


4. Por ejemplo:

a. 5 + 2 ___ 10 + 8 ____ 100 b. 4 + 12 ___ 10 + 8 ____ 100 c. 5 + 22 ___ 10 + 12 ____ 100 d. 7 + 1 ___ 10 + 22 ____ 100

5. 10 6. 10 7. 100

Taller de problemas 9 __ 5 = 180 ____ 100 ;

7 __ 4 = 175 ____ 100 ; 15 ___ 12 = 5 __ 4 = 125 ____ 100 ; 7 __ 8 = 875 _____ 1.000 . 2 __ 7 no se puede porque es un número fraccionario que no se puede simplificar más y 7 no es divisor ni múltiplo de una potencia de 10. 10 ___ 15 = 2 __ 3 no se puede porque 2 __ 3 es un número fraccionario que no se puede simplificar más y 3 no es divisor ni múltiplo de una potencia de 10.

Los números que no se pudieron escribir como fracciones decimales si se los escribe de manera equivalente como una fracción irreducible tienen denominadores que no son divisores de ninguna potencia de 10.

Salir de compras

1. a. Pudo haber comprado un alfajor y un paquete de pastillas. b. Gastó $19,25. c. Menos porque cada caja cuesta menos de $1.2. No le alcanzan $200. Le faltan 40 centavos. 3. Gasta $278,75.4. Por ejemplo: un billete de $10, 4 monedas de $1 y 6 monedas de 10 centavos; o dos billetes de $5, dos billetes de $2, una moneda de 50 centavos y una moneda de 10 centavos.5. Más porque 600 g son más de 1 __ 2 kg. 6. Si puede. La compra pesa 6,55 kg.7. a.

b. El vuelto es $92.

Distintas maneras de sumar y restar

1. Pensemos entre todos El número 18 ____ 100 Jimena lo escribe como 0,1 + 0,08. El número 73 ____ 100 Jimena lo escribe como 0,7 + 0,03. El número 91 ____ 100 aparece como 0,9 y 0,01. Para poder descomponer el número en décimos y centésimos. Leandro resuelve una cuenta de números fraccionarios. El resultado es el mismo escrito de manera equivalente. Ivan resuelve la cuenta de manera similar a la de Jimena. Primero resuelve 8 centésimos más3 centésimos. Lo escribe como 11 centésimos que descompone en 1 décimo y 1 centésimo.

Unidades Detalle Precio unitario Total

2 Rollos de cable $35,25

5 Enchufes $7,50

Total de la compra

Ferretería Julio Factura - N° 012987

$70,50

$37,50

$108

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p. 100 y 101

Problemas con sumas y restas.

p. 102 y 103

Estrategias para sumar y restar.

Agustina

43,18 = + _______ 100 –

27,73 = + _______ 100

+ _______ 100 =

42 118

73

45 15,45

27

15

Leandro

43,18 – 27,73 = _______ 100 – _______ 100 = _______ 100 4.318 2.773 1.545


Luego suma el décimo que quedó con el décimo de 43,18 y con los 7 décimos de 27,73. Finalmente suma los enteros. El 1 rojo representa 1 décimo. Aparece en la cuenta de Jimena. Es el 0,1 de la cuenta 0,1 + 0,01. El 1 verde representan 10 enteros. No es lo mismo que el rojo.

2. a. 8,69 b. 97,39 c. 99,98

3. Pensemos entre todos Porque le quiere restar 27 a 43 y es más fácil restárselo a 30. Hace 1 – 0.3. Porque descompone los números y primero resta partes de las descomposiciones. Andrea descompone 43,18 como 30 + 12 + 1,1 + 0,08. El 1 rojo representa el entero de 1,1. El 1 violeta y el 2 verde son el 12. Andrea descompone el número 43,18 como 30 + 12 + 1,1 + 0,08. Primero resta 0,08 – 0,03 = 0,05 y pone el 5 en el lugar de los centésimos. Luego resta 1,1 – 0,7 = 0,4 y pone el 4 en el lugar de los centésimos. Posteriormente resta 12 – 7 = 5 y finalmente 30 – 20 = 10.

4.

Comprar varios productos

1. a.

b. 5 × 3,5c. Si porque multiplicar por 10 un número decimal es correr la coma un lugar a la derecha. Multiplicar por 100 es correr la coma dos lugares, etc.d. En la verdulería B.2. 12,75 + 12,75 + 12,75 + 6 × 6,85; 12,75 + 6,85 × 6; (12,75 + 6,85) × 3 + 6,85 × 3

3. Pensemos entre todos Lo que piensa Micaela es que 12,75 son 12 enteros y 75 centésimos, o sea 1.275 centésimos. Florencia descompone 12,75 como 12 + 0,75. Primero multiplica 12 × 3 = 36 y después 0,75 × 3 = 2,25. Finalmente suma los resultados. Porque así solo tiene que resolver una cuenta de números naturales.

4. 90 centavos.

Verdulería A

Verdulería B

Verdulería C

Verdulería D

Verdulería E

Cantidad de kilogramos de naranjas 5 4 10 100 1.000

Precio por kilogramo 3,5 2,5 5,85 4,75 2,531

Precio por el total 17,5 10 58,5 475 2.531

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p. 104 y 105

Estrategias para multipli-car.


5. Pensemos entre todos Para convertirlo en un número natural. Porque si lo multiplicaba por 10 quedaba 67,5 y no era un número entero. Si porque el primer número seguiría siendo entero. Porque los números se multiplicaron por 10 y por 100, para obtener el resultado original hay que dividir entonces por 10 y por 100. Eso equivale a dividir por 1.000. Tiene que pagar $180,90.

Cortar las cintas

1. a. Juan piensa que dividir por 6 es equivalente a multiplicar por 1 __ 6 .b. Para escribir 147 ____ 20 divide numerador y denominador por 3. Luego multiplica numerador y denominador por 5.c. Lo que Juan piensa es que cada tira mide 735 ____ 100 , es decir 735 centímetros; o sea, 7,35 m.d. Paula descompone 44,1 m en 42 m + 2,1 m. Luego escribe 2,1 m = 210 cm. 2. a. 54,25 : 2,5b. El resultado de la cuenta es un número entre 10 y 100 entonces tiene 2 cifras enteras.c. Porque es fácil dado que solo corre la coma o agrega ceros.3. a. 2 cifras. b. 1 cifra.

4. Pensemos entre todos Para convertirlos en números naturales. No cambia el resultado porque es como armar fracciones equivalentes. Lo convierte en décimos. Porque multiplicó el numerador y el denominador. Si es cierto. Si lo pensamos en números naturales es como dividir en más partes y tomar más. O sea que equivale a encontrar fracciones equivalentes.

5. a. 5,2 b. 1,3

Facilitar las cuentas

1. a. i. 4,24 ii. 5,07 iii. 15,64b. Producción personal.c. Porque sumar 1 es más fácil. Resta 0,01 porque es lo que sumó de más.d. i. 4,26 ii. 5,09 iii. 15,66e. Hay que sumar 1 y luego sumar 0,01.2. a. i. 2,26 ii. 3,09 iii. 13,66b. Tiene que sumar 0,01.3. a. 1,22 b. 1,544 c. 0,984. a. 3,2 × 10 × 4,25 = 3,2 × 4,25 × 10 = 13,6 × 10 = 136b. 3,2 × 10 × 4,25 × 100 = 3,2 × 4,25 × 10 × 100 = 13,6 × 10 × 100 = 13.600c. (32 : 10) × 4,25 × 100 = (32 × 4,25 × 100) : 10 = 13,6 × 100 : 10 = 13,6 × 10 = 136d. 3,2 × 4,25 : 100 = 13,6 : 100 = 0,1365. Todas las cuentas tienen el mismo resultado porque:58,6 × 0,225 = 5,86 × 10 × 2,25 : 10 = 5,86 × 2,25 × 10 : 10 = 5,86 × 2,250,586 × 22,5 = (5,86 : 10) × 2,25 × 10 = 5,86 × 2,25 : 10 × 10 = 5,86 × 2,25586 × 0,225 = 5,86 × 10 × 2,25 : 10 = 5,86 × 2,25 × 10 : 10 = 5,86 × 2,25

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p. 106 y 107

Estrategias para dividir.

p. 108 y 109



Uso de la calculadora

1. Por ejemplo:a. 1 + 1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01b. 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 c. 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01d. 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,012. Puede restar 0,8.3. Tiene que dividir por 10.

Escribir ordenado

1.0 0,5 1,5 2,51 2

2. a. Los números de las rayitas en orden de aparición son: 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 y 0,9.b. Producción personal. c. Producción personal.d. Como el conjunto de los números racionales es denso, siempre se pueden seguir encontrando números.3. a.

0,15 0,180,1 0,2

b. 0,18 es más grande porque está ubicado más a la derecha en la recta numérica.4. Por ejemplo: a. 2,78 b. 3,11 c. 3,985. a. Verdadero, porque la cifra tiene valor en función de la ubicación en el número.b. Falso. Por ejemplo 2,356897 es menor que 4,1.6. a. Lucía tiene razón porque $8,4 es $8 con 40 centavos. b. No. 6,80 = 6,8.7. Producción personal. Se puede seguir encontrando números porque entre dos números racionales siempre hay un número racional.


1. a. $5,26 b. 409 centavos2. a. Por ejemplo: 3 monedas de $1, 5 de 10 centavos y una de 1 centavo; o, 34 monedas de 10 centavos y 11 monedas de 1 centavo.b. La menor cantidad de monedas es 9. Porque se usa lo máximo que se puede de cada valor.3. Paga $173,25.4. Puede armar 5 tiras y sobran 5,8 cm.

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p. 110 y 111

Ubicación en la recta numé-rica. Orden y densidad de los números decimales.

p. 112

10 Ubicaciones en el plano

Los planos

Pensemos entre todos Hay dos lugares posibles.

p. 113

Ubicación en planos. Sistemas de referencia.


Juan tiene 4 lugares distintos para sentarse. Todos los de la última fila.

Biblioteca

Pizarrón

Ventana

Puerta

Lucía

Brenda

Daniel

No es lo mismo porque las filas se ven diferente.

Biblioteca

Pizarrón

Ventana

Puerta

Lucía

Laura

Brenda

Daniel

Recorrer Bahía Blanca

1. Por ejemplo: Zapiola, Alvarado y De Abril.2. E2, F2, G2 y H2.3. Producción personal. A4, B4, C4, C5, D5.4. Se encuentran en los sectores A6, B6, C6 y D6. Son paralelas.5. Brown está en los sectores E6, F6, G6 y la avenida Falucho está en el sector H6. No son paralelas porque si se las continúa, se cruzan.6. No son perpendiculares porque se cruzan formando un ángulo que no es de 90°.7. a. b. Producción personal.c. En los dos casos las calles se cruzan pero en a. forman un ángulo de 90° (son perpendiculares) y en b., no.8. Producción personal.9. Por ejemplo Capitán Bermúdez.10. Por ejemplo Vieytes que cambia de nombre y se convierte en Brown.11. Para que sea más fácil buscar referencias para ubicarse.

Jugar algo

1. En C10.

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p. 114 y 115

Ubicación en mapas.

p. 116 y 117

Ubicación en el plano. Sistemas de referencia.


2. a.

b. J103. A1, B2, C3, D4, E5, F6, G7, H8, I9, J10, K11, L12, M13, N14, Ñ15, O16,P17, Q18, R19. R1, Q2, P3, O4, Ñ5, N6, M7, L8, K9, J10, I11, H12, G13, F14, E15, D16,C17, B18, A19.


1. a. b.

c. Están ubicados en una misma fila.d. Todos tienen la misma letra de departamento.2. a. Anaranjado: B3 , B4 Violeta: A9, B9, B10 Amarillo: D1, D2, D3, D4, E1 Rosado: C7, D7, F7 Verde G3, G4, G5 Celeste: G8, G9, F9, F10

b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

C

D

E

F

G

H

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19A

B

C

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F

G

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11 Las relaciones de proporcionalidad

Comprar en la verdulería

Pensemos entre todos Si es correcto porque 2 kg cuestan $20. Hay dos respuestas posibles. Puede ser que le cobren $25 + $15 = $40 o que cobren $12,50 cada kilogramo por comprar más que 2 kg. Lucía piensa que si compra más cantidad entonces siempre es oferta. Pero hay que tener cuidado. Si 1 __ 2 kg cuestan $8, es más barato. Es mejor lo que dice Pablo.

Ahorran $10.

Compras en el mercado

1. a.

b.

c.

2. a.

b.

3. Convienen cajas de 1 kg.4. a. Precio a pagar = Cantidad de paquetes × 10b. Usando los valores de la tabla podríamos duplicar el precio de 4 paquetes o cuadruplicar el precio de 2 paquetes.5. No es cierto porque hay una oferta de polenta y, si compra el doble no tiene por qué pagar el doble.6. a. Si porque en la harina no hay ofertas. El lunes compró 4 paquetes y el martes 2. Si los hubiera pagado todos juntos hubiera pagado por 6 paquetes.b. No pasa lo mismo con las botellas de puré de tomate porque hay una oferta.

El corralón de materiales

1. a.

p. 119

Análisis de relaciones de pro-porcionalidad.

p. 120 y 121

La relación de proporcionalidad directa.

p. 122 y 123

Análisis de las relaciones de proporcionalidad directa y de las que no lo son.

Cantidad de paquetes de polenta 1 2 4 6 12 15

Precio a pagar ($) 8 15 30 45 90 Hay dos formas de completar. Puede dar $113 o $112,5.

Cantidad de botellas de puré de tomates 1 2 4 6 12 15

Precio a pagar ($) 8 16 32 42 84 Hay dos formas de completar. Puede dar $108 o $105.

Cantidad de paquetes de harina leudante 1 2 4 6 12 15

Precio a pagar ($) 10 20 40 60 120 150

Cantidad de paquetes de arroz de 1 __ 2 kg 1 2 4 6 12 15

Precio a pagar ($) 18 36 72 108 216 270

Cantidad de cajas de arroz de 1 kg 1 2 4 6 12 15

Precio a pagar ($) 32 64 128 192 384 480

Cantidad de bolsas de cemento 1 2 4 5 10 15

Precio a pagar ($) 53 106 212 265 530 795


b. Si es cierto. Por ejemplo si compra 10 bolsas paga el doble que su compra 5.c. Si es cierto porque podría comprar 4 bosas, pagar y después comprar la que quedaba y terminaría pagando lo mismo que por 5 bolsas.d. La relación es de proporcionalidad directa porque al doble de bolsas le corresponde el doble de precio, al triple de bolsas le corresponde el triple de precio; a la suma de dos compras le corresponde la suma de los precios.e. Precio a pagar = 53 × cantidad de bolsas compradas2. a. Paga $55. b. Paga $80.3. a. La relación entre la cantidad de ladrillos y lo que se paga no es directamente proporcional porque al doble de ladrillos no paga el doble.b. Precio a pagar = Cantidad de ladrillos × 0,25 + 30

Cantidad de bolsas 1 2 4 6 10

Precio a pagar con traslado ($) 530 980 1.880 2.780 4.580

b. No es cierto. Si compra 2 bolsas no paga el doble que si comprara una bolsa.c. Precio a pagar = Cantidad de bolsas × 450 + 805.

Cantidad de bolsas de cal (kg) 1 2 3 4 5 10

Precio a pagar 35 60 Hay dos formas35 + 60 o 30 × 3 120 Hay dos formas 300

b. No es directamente proporcional porque hay una oferta.c. Tiene que comprar 4 bolsas y pagará $120. Le va a sobrar cal.

Comprar ropa

1. a. i. Le descuentan $65. ii. Paga $585.b. Precio del artículo ($) 250 340 500 600 750 1.000

Descuento ($) 25 34 50 60 75 100Precio a pagar ($) 225 306 450 540 675 900

c. La relación entre el precio del artículo es directamente proporcional porque al doble de precio le corresponde el doble de precio; al triple, el triple, etcétera.d. Descuento = 0,1 × Precio del artículo

2. Pensemos entre todos Porque calcular el 20% es dividir el entero en 100 partecitas y tomar 20. Eso es equivalente a considerar 20 ____ 100 del número. Porque su entero es 170 y quiere calcular cuánta plata representa cada partecita si divide el entero en 100 partes iguales. Porque le resulta fácil calcular el 1% y eso es equivalente a 1 ____ 100 .

3. a. Porque calcular el 10% es lo mismo que calcular 10 ____ 100 = 1 ___ 10 .

b. Lo que dice Daniel es falso porque calcular el 20% es lo mismo que calcular 20 ____ 100 = 1 __ 5 .

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p. 124 y 125

Porcentaje.


4. a. i. Porque 25 ____ 100 = 1 __ 4 . iii. Porque calcula 25 ____ 100 .

b. i. Porque 75 ____ 100 = 3 __ 4 . ii. Porque 120 × 75 : 100 = 120 × 75 ____ 100 .

iv. Porque calcula el 25% y se lo resta al total.

Aumentos y descuentos

1. a.

b. Si.c. La relación entre el precio original y el nuevo precio es una relación directamente proporcional.d. Aumento = Precio original × 5 ____ 100 e. Precio nuevo = Precio original × 5 ____ 100 + Precio originalf. $5002. a. $200 b. $600 3. a. $170 b. 80% c. Producción personal.4. a. $364,50 b. No es cierto. 5. a. No es cierto. Paga $297 b. Le hacen un descuento de 1%.

Otro tipo de relaciones

1. Largo del rectángulo (cm) 1 2 4 6 12 48Ancho del rectángulo (cm) 24 12 6 4 2 0,5

a. No es falso. Al duplicar un lado el otro se reduce a la mitad.b. No es falso. Al tomar la la mitad de un lado el otro se duplica.c. Por lo dicho en a. y b. la relación entre el largo y el ancho del rectángulo es inversamente proporcional.2.

a. No. Por ejemplo si el largo pasa de medir 1 cm a medir 2 cm, el ancho no pasa de medir 11 cm a medir 22 cm.b. No. Por ejemplo si el largo pasa de medir 2 cm a medir 4 cm, el ancho no pasa de medir 10 cm a medir 5 cm.c. La relación entre el largo y el ancho no es proporcional por lo analizado en los puntos a. y b.3. a.

b. La relación entre la capacidad de las botellas y la cantidad de botellas necesarias es inversamente proporcional porque al doble de capacidad se necesita la mitad de las botellas, al triple de capacidad, la tercera parte de las botellas, etc.4. a.

b. La relación entre la cantidad de amigos y la cantidad de caramelos que recibe cada uno es inversamente proporcional porque al doble de amigos cada uno recibe la mitad de caramelos, al triple de amigos, la tercera parte de las caramelos, etc.

Precio original ($) 25 36 50 75 100 150Aumento ($) 1,25 1,8 2,5 3,75 5 7,5

Precio nuevo ($) 26,25 37,8 52,5 78,75 105 157,5

Capacidad de las botellas (litros) 1 __ 2 2 4 5 10 20

Cantidad de botellas 1.000 250 125 100 50 25

Cantidad de amigos 4 6 12 24 36Cantidad de caramelos

que recibe cada uno 36 24 12 6 4

Largo del rectángulo (cm) 1 2 4 6Ancho del rectángulo (cm) 11 10 8 6

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p. 126 y 127

Cálculo de porcentajes.

p. 128 y 129

La relación de proporcionali-dad inversa.


Revisamos los problemas En los problemas 1. 3. y 4.. Si porque al duplicar uno el otro se reduce a la mitad, al triplicar el primero el otro se reduce a la tercera parte, etcétera. Si porque al duplicar uno el otro se duplica y entonces la división entre ambos no cambia.

Los gráficos circulares

1. Aproximadamente

2. a. b.

Tomar decisiones

1. a. i.

Cantidad de bolsones de arena 1 2 3 4 6 8Precio a pagar ($) 280 560 840 1.120 1.680 2.240

La relación es directamente proporcional porque al doble de bosas le corresponde el doble de precio; al triple, el triple; a la mitad, la mitad, etcétera.

ii. Arena necesaria 1.000 1.500 2.000 4.000 6.000 8.000Cantidad de bolsones

a comprar 1 1 2 3 4 6

No es proporcional porque al mirar la tabla podemos observar que si se necesitan 6.000 kg de arena no hay que comprar lo mismo que si se compran primero 2.000 kg y después 4.000 kg.

b. Velocidad constante a la que recorren el camino (km/h) 25 50 100Tiempo que tardan (horas) 40 20 10

Es inversamente proporcional porque al doble de velocidad tarda la mitad del tiemplo; al triple, el triple, etc.

3 libros

2 libros1 libros

3 libros

5 o más libros

4 libros

100.8°

61.2° 50.4°

28.8°

79.2°39.6°

Cantidad de libros Ángulo del sector circular del gráfico (en grados)

0 28,81 50,42 61,23 100,84 39,6

5 o más 79,2

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p. 130

Representacio-nes gráficas.

p. 131

Problemas de proporciona-lidad.

Color de cabello Cantidad de chicosRubio 28

Castaño Claro 44Pelirrojo 25

Castaño oscuro 53Negro 50


c. Longitud recorrida (km) 10 15 20 30 45Precio a pagar ($) 65 90 115 165 240

No es proporcional porque, por ejemplo, para 20 kilómetros recorridos no paga el doble ni la mitad que para 10 km recorridos.d.

Tiempo desde que comienza el experimento (horas) 1 2 3 4 5Cantidad de gramos de bacterias 5 10 20 40 80

No es proporcional porque, por ejemplo, a las 4 horas no hay el doble ni la mitad que a las 2 horas de comenzar el experimento.


1. Precio original ($) 50 100 150 200 300 400Precio por liquidación ($) 45 90 135 180 270 360

Precio por pago con tarjeta ($) 49,5 99 148,5 198 297 396

2. a. Si paga con la tarjeta del banco HHCC paga $420.b. Le descuentan un 44%.3. a. 67,5 b. 104. a.

b. No es proporcional porque, por ejemplo, si el empelado ganaba $4.800, con el aumento no va a cobrar ni el doble ni la mitad del que antes del aumento ganaba $2.400.c. El que ganaba $2.400 recibe un aumento del 62,5%. En que ganaba $4.800 recibe un aumento de 31,25%.

Sueldo ($) 2.400 3.600 4.800 7.200 9.600Sueldo con aumento ($) 3.900 5.100 6.300 8.700 11.100

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12 Las unidades de medida

Comparar unidades

Pensemos entre todos Para saber cuántos kilómetros equivalen a 178,30 millas hay que resolver 178,30 × 1,6093 = 286,93819 km. Luego el de Liverpool viaja más. El que vive en La Rioja tiene una temperatura de 43 × 1,8 + 32 = 109,4 grados Fahrenheit así que allí hace más calor. En Estados Unidos la leche viene en envases más grandes porque 1 galón son más de 3 litros. El anillo más pesado es el de Inglaterra porque 1 onza de Troy pesa más de 31 gramos.

Medir distancias

1. a. 1.000 b. 102. Kilómetros Hectómetros Decámetros Metros Decímetros Centímetros Milímetros

8 : 1.000 8 : 100 8 : 10 8 8 × 10 8 × 100 8 × 1.000

p. 133

Sistemas de medición.

p. 134 y 135

Medidas de longitud.


3. a.

b. Si es cierto porque al doble de kilómetros le corresponde el doble de metros; al triple, el triple; etcétera.c. Si es cierto porque al doble de metros le corresponde el doble de centímetros; al triple, el triple; etcétera.

4. a.

b. Si es cierto porque al doble de kilómetros le corresponde el doble de centímetros; al triple, el triple; etcétera.c. Si es cierto porque al doble de milímetros le corresponde el doble de hectómetros; al triple, el triple; etcétera.5. a. Hay que multiplicar por 100. b. Hay que dividir por 100.6. a. 100 o 0,01. b. 1.000 o 0,001. c. 10 o 0,1. d. 100 o 0,01.

Los líquidos

1. a. Le conviene comprar 3 envases de 350 cm³.b. Como 1 l = 1.000 cm³ entonces 1 cm³ = 0,001 l = 1 ml.2. a. hl b. l c. ml3. Kilolitros 5 : 1.000.000

Hectolitros 5 : 100.000Decalitros 5 : 10.000Litros 5 : 1.000Decilitros 5 : 100Centilitros 5 : 10Mililitros 5

4. a. Si puede usar 56 botellitas de 125 cm³.b. Hay varias maneras. Por ejemplo, 11 botellas de 1 __ 2 l, 5 botellas de 250 ml y 2 botellas de 125 cm³.c. Por ejemplo 11 botellas de 1 __ 2 l, 5 botellas de 250 ml y 2 botellas de 125 cm³.5. 20 litros.

Los pesos

1. a. Kilogramo b. Miligramo c. Gramos d. Miligramos2. a. 1247,5 g b. 5,55 g3. Compra 8,25 kilogramos. Así que no llega a 10 kg.4. Mas porque 120,65 g × 10 da mas de 1.000 g.

Medida en metros 258 0,01268 1.574 0,08 16,25Cuenta que hacés 258 × 100 1,268 : 100 1.574 × 100 8 : 100 16,25 × 100

Medida en centímetros 25.800 1,268 157.400 8 1.625

Medida en milímetros 45,25 2.678.000 124 9.800.000 12,25

Cuenta que hacés 45,25 : 100.000 26,78 × 100.000 124 : 100.000 98 × 100.000 12,25 : 100.000

Medida en hectómetros 0,0004525 26,78 0,00124 98 0,0001225

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p. 136 y 137

Medidas de capacidad.

p. 138 y 139

Medidas de peso.


5. Kilogramos 46 : 100.000Hectogramos 46 : 10.000Decagramos 46 : 1.000Gramos 46 : 100Decigramos 46 : 10Centigramos 46Miligramos 46 × 10

6. Si le alcanza porque cada pote pesa 1 __ 4 kg.7. Necesita 3,4 kg de harina y 2 kg de azúcar.

Revisamos los problemas Si es cierto porque al doble de kilómetros le corresponde el doble de miligramos; al triple, el triple; etcétera. Si es cierto porque al doble de centigramos le corresponde el doble de gramos; al triple, el triple; etcétera. Si porque las equivalencias de unidades de medida son con contantes de proporcionalidad que tienen un 1 seguido de ceros.

Medir tiempos y ángulos

1. 168 horas.2. a. 60 b. 603. 5 minutos4. Pablo tiene razón porque un medio = 0,5.5. a. 3,8 × 60 b. 3,8 × 3.600 c. 3,8 × 606. a. La relación es directamente proporcional porque al doble de horas le corresponde el doble de minutos; al triple, el triple, etc. Las constantes de proporcionalidad son 60 o 1 ___ 60 .b. La relación es directamente proporcional porque al doble de horas le corresponde el doble de segundos; al triple, el triple, etc. Las constantes de proporcionalidad son 3.600 o 1 _____ 3.600 .c. La relación es directamente proporcional porque al doble de segundos le corresponde el doble de minutos; al triple, el triple, etc. Las constantes de proporcionalidad son 60 o 1 ___ 60 .7. a. 258,75° b. 144,05°8. a. 132,5° b. 129° 15´


1. a. Con la botella de 2 l se llenan 8 tazas y con la de 500 cm³ se llenan 2 tazas.b. 20 botellas2. 5.740 pasos. 3. 7.511 g 4. 21 horas 35 minutos.5. a. 30 b. 45 c. 30 d. 45 e. 15 f. 12

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El sistema sexagesimal. Medidas de tiempo.

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13 Perímetros y áreas

Renovar la cancha de fútbol

Pensemos entre todos Cuánto miden los bordes y por lo tanto el perímetro de la cancha. Hay que tomar el área del rectángulo. Hay que calcular el borde de la cancha. En un caso hay que medir el borde (el perímetro) y en el otro, el área.

Bordear las canchas

1. Si la cal se compra por litro, hay que comprar 33 litros y sobran 0,2 litros.2. a. 81 m b. 9 × 4 c. 9 × 2 + 18 × 2d. No porque el perímetro es solo el borde y la cantidad de cinta incluye las divisiones intermedias.3. a. 15 cm b. 15,04 cm c. 8,14 cm d. 20 cm4. 2 cm cada uno. 5. 3 cm

Pensemos entre todos Hay que sumar los lados. También se podría calcular 2 × la medida de un lado + 2 × la medida del otro lado. Perímetro del rombo : 4 Perímetro del hexágono regular : 6

Medir áreas

1. a. 15 cuadraditos b. 4 cuadraditos

2. Pensemos entre todos Pablo construye dos segmentos iguales a

___ DC y perpendiculares a

___ AB . Uno con extremo en A y

otro con extremo en B. Luego une los otros extremos de los segmentos. La construcción se puede hacer con cualquier triángulo marcado primero una altura. Porque lo que queda marcado es una diagonal del rectángulo.

Hay que calcular lado × altura correspondiente a ese lado

__________________________________ 2

3. Al hacer la transformación pedida, el paralelogramo pasa a ser un rectángulo que tiene un lado igual al lado del paralelogramo y el otro lado igual a la altura del paralelogramo. Por lo tanto para calcular la cantidad de cuadraditos hay que hacer lado × altura.

4. Pensemos entre todos

p. 143

Diferencias entre áreas y perímetros.

p. 144 y 145

Cálculo de perímetros.

p. 146 y 147

Cálculo de áreas de cuadriláteros y triángulos.


El lado que está horizontal en el paralelogramo es la suma de las medidas de los lados paralelos del trapecio. El área del paralelogramo es (suma de las medidas de los lados paralelos de las bases) × altura del trapecio Hay que dividir el área del paralelogramo por 2. Por lo tanto:

Área del trapecio = (Base mayor + base menor) × altura

______________________________ 2

Revisemos los problemas

Cuadrilátero Cálculo del áreaRectángulo

b × h

Triángulo

(b×h) _____ 2

Paralelogramo b × h

Trapecio

(B+b)× altura

___________ 2

h

b

b

h

h

b

h

B

b

Cambiar unidades

1. Pensemos entre todos Lucía lo que hace es dibujar un cuadrado de 1 dm de lado y analizar cuántos cuadraditos de 1 cm de lado entran el él. 1.000 × 1.000 = 1.000.000 de cuadraditos. 1 m² = 1.000.000 mm²

2. 30.000 piezas de madera. 3. Cada lado de la pared mide 4 m.4. 1,25 m²5. a. Medida en metros

cuadrados (m²) 253 1.263.000 1.574 3.000.000 16,25

Cuenta que hacés 253 : 1.000.000 1,265 × 1.000.000 253 : 1.000.000 3 × 1.000.000 253 : 1.000.000

Medida en kilómetros cuadrados (km²) 0,000253 1,263 0,001574 3 0,00001625

Medida en metros cuadrados (m²) 253 126.300 1.574 300.000 16,25

Cuenta que hacés 253 : 100.000 1,265 × 100.000 253 : 100.000 3 × 100.000 253 : 100.000

Medida en hectáreas (ha) 0,00253 1,263 0,01574 3 0,0001625

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p. 148 y 149

Unidades de medida de áreas.


b. Si es cierto porque al doble de kilómetros cuadrados se tiene el doble de metros cuadrados, etc. La constante de proporcionalidad es 1.000.000 o 1 _________ 1.000.000 .c. Si es cierto porque al doble de hectáreas se tiene el doble de metros cuadrados, etc. La constante de proporcionalidad es 100.000 o 1 _______ 100.000 .

Combinar figuras

1. La figura que queda es un rectángulo con lados iguales a las diagonales del rombo. Además el rombo es la mitad del rectángulo. Por lo tanto, Área del rombo =

Diagonal × diagonal __________________ 2

2. Tiene que comprar 227 rollos (sobra algo de alambre).3. 216.000.000 panes de pasto.4. a. Perímetro = 24 cm Área = 23,4 cm² b. Perímetro = 16,24 cm Área = 11,25 cm²

Variar los lados

1. a. Los lados del rectángulo pueden ser de 1 cm y 5 cm con 5 cm² de área o de 2 cm y 4 cm con 8 cm² de área, etcétera.b. Producción personal.2. a. No es cierto porque solo dos lados se duplicaron.b. Si es cierto porque es como poner un rectángulo al lado del otro y entonces se necesitan el doble de cuadraditos para cubrirlo.3. a. Es cierto porque el perímetro del nuevo rectángulo es 3 × 7 + 3 × 7 + 3 × 9 + 3 × 9 = 3 × (7 + 7 + 9 + 9)b. No es cierto porque pusimos el rectángulo 9 veces.4. a.

b. La relación es directamente proporcional con constante 4.5. a.

b. En la figura podemos ver que el área del cuadrado de 6 cm de lado mide más que la suma de las áreas de los cuadrados de 2 cm de lado y 4 cm de lado.

c. La relación entre el área de un cuadrado y su lado no es una relación directamente proporcional por lo analizado en el dibujo de b.

Lado del cuadrado (cm) 2 4 6 7,8 20 180 400Perímetro del cuadrado (cm) 8 16 24 31,2 80 720 1.600

Lado del cuadrado (cm) 2 4 6 7,8 20 180 400Área del cuadrado (cm²) 4 16 36 60,84 400 32.400 160.000

6 cm

4 cm

2 cm

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Áreas y períme-tros de figuras combinadas.

p. 152 y 153

Variación de áreas y períme-tros.



1. a. 250 ha b. 500.000 plantas.c. Para la soja necesita 110 hm de alambre y para el trigo 210 hm de alambre.2. Medida del largo del rectángulo (cm) 5 15 50 9 15,38

Medida del ancho del rectángulo (cm) 7 28 10 9 12,25Perímetro del rectángulo (cm) 24 86 120 36 55,26

Área del rectángulo (cm²) 35 420 500 81 188,405

3. a.

b. La relación no es directamente proporcional. Por ejemplo, al doble del largo no corresponde el doble de perímetro porque el alto no cambia.

Medida del largo del rectángulo (cm) 8 5 15,3 8,3 54,25Medida del perímetro (cm) 26 20 40,6 26,6 118,5

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p. 154

14 Los cuerpos geométricos

Renovar la cancha de fútbol

Pensemos entre todos Hay prismas y cilindros. No. Algunas son prismas de base cuadrada y otras son prismas de bases hexagonales. Los cilindros se usan como columnas para sostener la construcción.

Las partes de los cuerpos geométricos

1. Pirámides: a. e. f. i Prismas: c. d. h. j. l. Cuerpos redondos: b. g. k.2. a. Pirámide de base hexagonal. b. Cono. c. Prisma de base hexagonal. d. Prisma de base rectangular. e. Pirámide de base cuadrada. f. Pirámide de base triangular. g. Esfera. h. Prisma de base pentagonal.i. Pirámide de base pentagonal. j. Prisma de base cuadrada.k. Cilindro. l. Prisma de base triangular.3. a. 12 aristas.b. Si tienen porque ser todas iguales. Hay 8 que son los lados de las bases que son iguales y otras 4 que pueden ser diferentes a las primeras pero que son iguales entre sí.c. 8 vértices.4. a. 12 aristas. b. No tienen por qué ser iguales. c. 7 vértices.5. a. 2 aristas. Son las curvas que unen las bases con el cuerpo principal.6. La pirámide de base triangular. 7. La esfera y el cilindro. 8. Si, la esfera.

Taller de problemas Se es cierto porque la cantidad de vértices de un prisma es el doble de la cantidad de vértices que tiene la figura de la base. No pasa lo mismo con las pirámides porque la cantidad de vértices de la pirámide es uno más que la cantidad de vértices de la figura de la base. Si la base tiene un número impar de vértices, la pirámide tiene un número par; y si la base tiene un número par de vértices, la pirámide tiene un número impar de vértices.

p. 155

Clasificación de los cuerpos geométricos.

p. 156 y 157

Relaciones entre caras, aristas y vér-tices.


Cantidad de aristas = 3 × cantidad de lados de la baseCantidad de vértices = cantidad de lados de la base × 2 Cantidad de aristas = 2 × cantidad de lados de la baseCantidad de vértices = cantidad de lados de la base + 1

Armar cuerpos geométricos

1. Que la medida del borde del sector circular coincida con la medida del borde de la circunferencia.2. El que se puede construir es el a.3. a. ii.b. El borde de la circunferencia tiene que tener la misma medida que el lado del rectángulo.4. Por ejemplo:

a. b.

5. Por ejemplo:

a. b.


1. Necesita 4 palitos y 3 bolitas más.2. a. Si puede construir un prisma de base rectangular.b. Si quiere construir una pirámide con 12 palitos la base tiene que ser un hexágono. En ese caso necesita 7 bolitas y le sobra una. No se puede construir lo que quiere usando todo.3. Si porque el cuerpo principal del cilindro es un rectángulo que luego se gira.4. Por ejemplo:

5.Cuerpo geométrico Cantidad de caras Cantidad de aristas Cantidad de vértices

Prisma de base octogonal 10 24 16

Pirámide de base octogonal 9 16 9

Pirámide de base triangular 4 6 4

Prisma de base triangular 5 9 6

Cono 2 1 1

Cilindro 3 2 0

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p. 158 y 159

Desarrollos pla-nos de cuerpos geométricos.

p. 160

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Organizador didáctico APRENDO MATEMÁTICA 6 · 2018-12-06 · APRENDO MATEMÁTICA 6 3 Planificación anual sugerida Período Objetivos y propósitos Contenidos curriculares Secuencia