Der Satz von Ramsey
Sierpińskis Beispiel
Der Satz von Erdős und Rado
Stetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Ordnung im Chaos:
Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren
Stefan Geschke
2. Dezember 2009
Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren
Der Satz von Ramsey
Sierpińskis Beispiel
Der Satz von Erdős und Rado
Stetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Der Satz von Ramsey
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Der Satz von Ramsey
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Frank Plumpton Ramsey (1903–1930), britischer Mathematiker,
Ökonom und Philosoph.
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Der Satz von Ramsey
Sierpińskis Beispiel
Der Satz von Erdős und Rado
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Frage
Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sich
mindestens drei der Gäste untereinander kennen oder sich
mindestens drei paarweise nicht kennen?
Lösung
Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Party
mit fünf Gästen, so dass sich unter je drei Gästen zwei kennen und
zwei nicht kennen.
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Frage
Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sich
mindestens drei der Gäste untereinander kennen oder sich
mindestens drei paarweise nicht kennen?
Lösung
Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Party
mit fünf Gästen, so dass sich unter je drei Gästen zwei kennen und
zwei nicht kennen.
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Stetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Party mit fünf Gästen, so dass unter je drei Gästen sich zwei
kennen und sich zwei nicht kennen.
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Der Satz von Ramsey
Sierpińskis Beispiel
Der Satz von Erdős und Rado
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Party mit fünf Gästen, so dass unter je drei Gästen sich zwei
kennen und sich zwei nicht kennen.
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Der Satz von Ramsey
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Der Satz von Erdős und Rado
Stetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unabhängigkeitsresultate
Metrische Räume
Definition
Für eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigen
Teilmengen von X .
Eine Färbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zwei
Farben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → {0, 1}, also eine Abbildung,
die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und
1 zuordnet.
Eine Menge H ⊆ X ist homogen für c (c-homogen), falls c auf
[H]2 konstant ist.
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Definition
Für eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigen
Teilmengen von X .
Eine Färbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zwei
Farben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → {0, 1}, also eine Abbildung,
die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und
1 zuordnet.
Eine Menge H ⊆ X ist homogen für c (c-homogen), falls c auf
[H]2 konstant ist.
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Definition
Für eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigen
Teilmengen von X .
Eine Färbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zwei
Farben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → {0, 1}, also eine Abbildung,
die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und
1 zuordnet.
Eine Menge H ⊆ X ist homogen für c (c-homogen), falls c auf
[H]2 konstant ist.
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Satz (Ramsey, endliche Version)
Für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer
n-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X der
Mächtigkeit Ω(log n).
Insbesondere gibt es für jede natürliche Zahl m eine natürliche
Zahl n, so dass es für jede Färbung der zweielementigen
Teilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene Menge
H ⊆ X der Mächtigkeit m gibt.
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Satz (Ramsey, endliche Version)
Für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer
n-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X der
Mächtigkeit Ω(log n).
Insbesondere gibt es für jede natürliche Zahl m eine natürliche
Zahl n, so dass es für jede Färbung der zweielementigen
Teilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene Menge
H ⊆ X der Mächtigkeit m gibt.
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Metrische Räume
Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von
Ramsey bezeugt?
Lösung
m = 3 ⇒ n = 6
m = 4 ⇒ n = 18
m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49
m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von
Ramsey bezeugt?
Lösung
m = 3 ⇒ n = 6
m = 4 ⇒ n = 18
m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49
m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von
Ramsey bezeugt?
Lösung
m = 3 ⇒ n = 6
m = 4 ⇒ n = 18
m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49
m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von
Ramsey bezeugt?
Lösung
m = 3 ⇒ n = 6
m = 4 ⇒ n = 18
m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49
m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von
Ramsey bezeugt?
Lösung
m = 3 ⇒ n = 6
m = 4 ⇒ n = 18
m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49
m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Satz (Ramsey, unendliche Version)
Für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer
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