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Ordnung im Chaos: Der Satz von Ramsey im Uberabz · PDF file 2009-12-02 · Ordnung im Chaos: Der Satz von Ramsey im Uberabz ahlbaren Stefan Geschke 2. ... mit f unf G asten, so dass

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  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Ordnung im Chaos: Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

    Stefan Geschke

    2. Dezember 2009

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Der Satz von Ramsey

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frank Plumpton Ramsey (1903–1930), britischer Mathematiker, Ökonom und Philosoph.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sich mindestens drei der Gäste untereinander kennen oder sich mindestens drei paarweise nicht kennen?

    Lösung

    Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Party mit fünf Gästen, so dass sich unter je drei Gästen zwei kennen und zwei nicht kennen.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sich mindestens drei der Gäste untereinander kennen oder sich mindestens drei paarweise nicht kennen?

    Lösung

    Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Party mit fünf Gästen, so dass sich unter je drei Gästen zwei kennen und zwei nicht kennen.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Party mit fünf Gästen, so dass unter je drei Gästen sich zwei kennen und sich zwei nicht kennen.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Party mit fünf Gästen, so dass unter je drei Gästen sich zwei kennen und sich zwei nicht kennen.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Definition Für eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigen Teilmengen von X .

    Eine Färbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zwei Farben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → {0, 1}, also eine Abbildung, die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und 1 zuordnet.

    Eine Menge H ⊆ X ist homogen für c (c-homogen), falls c auf [H]2 konstant ist.

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  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Definition Für eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigen Teilmengen von X .

    Eine Färbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zwei Farben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → {0, 1}, also eine Abbildung, die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und 1 zuordnet.

    Eine Menge H ⊆ X ist homogen für c (c-homogen), falls c auf [H]2 konstant ist.

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  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Definition Für eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigen Teilmengen von X .

    Eine Färbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zwei Farben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → {0, 1}, also eine Abbildung, die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und 1 zuordnet.

    Eine Menge H ⊆ X ist homogen für c (c-homogen), falls c auf [H]2 konstant ist.

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  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Satz (Ramsey, endliche Version)

    Für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X der Mächtigkeit Ω(log n).

    Insbesondere gibt es für jede natürliche Zahl m eine natürliche Zahl n, so dass es für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene Menge H ⊆ X der Mächtigkeit m gibt.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

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    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Satz (Ramsey, endliche Version)

    Für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X der Mächtigkeit Ω(log n).

    Insbesondere gibt es für jede natürliche Zahl m eine natürliche Zahl n, so dass es für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene Menge H ⊆ X der Mächtigkeit m gibt.

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von Ramsey bezeugt?

    Lösung

    m = 3 ⇒ n = 6 m = 4 ⇒ n = 18 m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49 m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

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    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von Ramsey bezeugt?

    Lösung

    m = 3 ⇒ n = 6 m = 4 ⇒ n = 18 m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49 m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von Ramsey bezeugt?

    Lösung

    m = 3 ⇒ n = 6 m = 4 ⇒ n = 18 m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49 m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von Ramsey bezeugt?

    Lösung

    m = 3 ⇒ n = 6 m = 4 ⇒ n = 18 m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49 m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Frage

    Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz von Ramsey bezeugt?

    Lösung

    m = 3 ⇒ n = 6 m = 4 ⇒ n = 18 m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49 m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165

    Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Überabzählbaren

  • Der Satz von Ramsey Sierpińskis Beispiel

    Der Satz von Erdős und Rado Stetige Ramseytheorie

    Was ist eine wahre mathematische Aussage? Unabhängigkeitsresultate

    Metrische Räume

    Satz (Ramsey, unendliche Version)

    Für jede Färbung der zweielementigen Teilmengen einer u

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