Option Div

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    05-Jul-2015

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<p>LES OPTIONS ET LE DIVIDENDE Makram BELLALAH et Armand DERHY</p> <p>Rsum Nous prsentons dans cet article les concepts d'une valuation rationnelle des options et nous dveloppons les principaux modles en prsence de distribution de dividendes sur l'actif support. L'valuation des options est fonde sur les principes d'valuation des warrants. Plusieurs auteurs ont tabli des formules analytiques comportant un ou plusieurs termes arbitraires, sans pour autant aboutir une formule finale satisfaisante. De fait, il a fallu attendre l'anne 1973, pour qu'une formule analytique soit mise en oeuvre par Black et Scholes. Un rsultat identique a t avanc par Merton (1973) dans un contexte plus gnral, o le taux d'intrt fluctue d'une faon alatoire. Des rsultats quivalents en temps discret sont proposs par Cox, Ross et Rubinstein (1979). L'quivalence entre ces rsultats et la convergence des prix des options des modles en temps discret vers les modles en temps continu est vrifie par plusieurs auteurs. Ds lors, nous avons assist un foisonnement des recherches sur l'valuation d'autres actifs contingents comme les options exotiques et de seconde gnration en conservant l'esprit la difficult de prendre en considration les dividendes. La question du dividende est considrablement simplifie lorsqu'on considre un taux de rendement la place d'un montant donn lors de la procdure de calcul du prix de l'option. Mais, cette solution n'est pas approprie lors de l'valuation d'une option amricaine sur action. Le problme fondamental dans l'valuation des options sur action mane du profil exact de dtachement des dividendes dans le temps, de sa frquence et de son montant. La connaissance de ce profil n'est pas sans effet sur la probabilit d'un exercice prmatur d'une option et par consquent sur son prix. Au fond, l'une de ses consquences immdiates est que le paiement de l'option et la probabilit d'un exercice prmatur sont affects. L'absence d'un thorme de parit entre les options d'achat et de vente pour les options amricaines, analogue celui des options europennes, conduit une tude spcifique pour chaque type d'option. L'analyse exige dans chaque situation une tude des motivations du porteur de l'option et son attitude face l'exercice de son option. tant donn l'effet du dividende sur les prix des options, cet article analyse les points importants et suggre les solutions appropries pour les options europennes et amricaines. Alors que l'effet du dividende sur les prix des options europennes peut tre nglig, tel n'est pas le cas pour les options amricaines. Pour ces options, l'auteur conclut la prfrence vers les modles en temps discret lorsque la contrainte concernant le temps de calcul est</p> <p>surmonte. Toutefois, il est honnte d'avouer que les modles en temps continu rpondent beaucoup plus aux besoins des oprateurs qui grent des positions importantes en temps rel sur les marchs.</p> <p>I. INTRODUCTION Nous analysons dans cet article les concepts d'une valuation rationnelle des options europennes et amricaines en prsence de dtachement de dividendes. Ces concepts sont mis en oeuvre dans les travaux pionniers de Black et Scholes (1973) et Merton (1973) pour les modles en temps continu et l'article de Cox, Ross et Rubinstein (1979) pour les modles en temps discret. La connaissance de ces concepts est fondamentale pour calculer les prix des options et pour comprendre les fondements de l'approche moderne d'valuation des actifs contingents. Ces concepts couvrent essentiellement les notions de portefeuilles de couverture, d'arbitrage et de duplication. La plupart des options ngociables sur actions, sinon la majorit, sont amricaines, dtachent des dividendes et sont exerces avant la date d'chance. Plus prcismment, les options europennes portent sur des chances relativement longues et sont trs rarement ngocies. Ds lors, il s'impose de prendre en considration ces deux caractristiques dans l'valuation des options. Alors qu'une partie du travail ncessaire est facilement effectue dans le cadre des modles en temps discret, la tche est plus fastidieuse pour les modles en temps continu. En effet, en l'absence de versement de dividendes, le modle de Black et Scholes s'applique l'valuation des options sur action puisqu'il n'existe aucune motivation exercer une option d'achat d'une faon prmature. Dans ce contexte, la valeur d'une option europenne est quivalente celle d'une option amricaine. Tel est galement le cas pour les options europennes avec et sans les dividendes puisque le porteur de l'option ne dispose pas de la possibilit de l'exercer avant sa date d'chance. En prsence d'un dtachement de dividendes en continu, une lgre modification est opre dans la formule analytique d'valuation des options europennes pour calculer le prix de l'option. Cette approximation n'est pas toujours approprie lorsque le dividende est inquitablement rparti au cours du temps. Pour les options amricaines, il s'impose d'tudier sparemment l'effet du dividende sur l'option d'achat et l'option de vente. Cette ncessit est dicte</p> <p>par l'absence d'un thorme de parit entre les options amricaines, analogue celui des options europennes. En rgle gnral, il n'est pas optimal d'exercer une option amricaine d'achat pour laquelle le support ne verse pas de dividendes. En effet, dans ce cas, l'option amricaine d'achat montre plusieurs similarits avec l'option europenne d'achat. En particulier, il est dans l'intrt du porteur de conserver son option jusqu' sa date d'chance pour profiter des variations probables de la valeur du support. Cette rgle n'est pas vrifie pour les options de vente "en jeu" puisque ces options subissent en outre l'effet de la variation des taux d'intrt. En effet, l'exercice d'une option amricaine de vente n'est pas uniquement fonction du profil de dividendes, mais galement des effets des taux d'intrt sur le prix de l'option. Lorsque l'actif support dtache un dividende, l'option d'achat doit tre exerce juste avant la date de dtachement et l'option de vente juste aprs cette date. L'exercice de l'option d'achat est comprhensible puisque le dividende conduit une baisse du prix du support et par consquent un prix plus faible de l'option. Dans ce cas, il est prfrable d'exercer cette option juste avant la date de dtachement de dividendes pour viter la baisse de son prix en prsence d'une seule date de dividende. S'il existe plusieurs dates de dividendes, il convient de conserver l'option jusqu' la dernire date de dtachement pour profiter des variations des cours. La baisse du prix du support conscutive au dtachement du dividende augmente le prix de l'option de vente. En effet, la valeur d'une option de vente est donne par la diffrence espre actualise entre le prix d'exercice et le prix du support. Plus la valeur du support est faible, plus le prix de l'option est lev. Dans la mesure o le prix de cette option est plus important aprs le dtachement du dividende, il est naturel de choisir de l'exercer aprs la date de dtachement. Cet article rpond ces diffrentes proccupations et s'organise de la faon suivante. Dans la section II nous prsentons le modle en temps continu de Black et Scholes (1973), ci-aprs BS, avec et sans les dividendes. La section III dveloppe les extensions du modle de BS (1973) pour valuer des options europennes et amricaines d'achat et de vente sur actions en prsence d'un ou de plusieurs dividendes. D'abord, la problmatique du dividende est analyse et les rsultats des principaux modles sont proposs pour les options amricaines d'achat. Ensuite, une tude similaire est effectue pour les options amricaines de vente. La section IV illustre le modle discret de Cox, Ross et Rubinstein (1979), CRR. Dans un premier temps, nous proposons les extensions du modle pour l'valuation des options europennes et amricaines sur actions en l'absence de distribution de dividendes. Dans un deuxime temps, nous analysons l'effet de dividende sur les prix des options.</p> <p>La section V est rserve aux conclusions. Par souci pdagogique, l'annexe 1 reprend les principales limites du prix d'une option en prsence de dividendes; ce qui permet au lecteur de comprendre sans difficult particulires les principaux dveloppements ultrieurs. L'annexe 2 propose une approximation de la fonction de rpartition de la loi normale pour permettre aux lecteurs de programmer les principaux rsultats dans cet article. II. LE MODELE DE BLACK ET SCHOLES ET LES DIVIDENDES Ce modle conu au dpart pour l'valuation des options europennes sur action prsente des formules analytiques simples et attrayantes. Le modle de BS (1973) et le modle binomial de CRR (1979) sont fonds sur les cinq hypothses suivantes : il n'y a pas d'impt, ni de cot de transaction, les oprations de prt et d'emprunt s'effectuent au taux d'intrt sans risque, les ventes dcouvert sont autorises dans la mesure o un investisseur peut vendre un actif qu'il ne dtient pas dans son portefeuille, l'actif support de l'option ne verse pas de dividendes et les prix suivent une distribution log-normale, l'option est de type europen. En utilisant les notations suivantes, nous dveloppons d'abord le modle de BS en l'absence de dividendes et nous prsentons ensuite les ajustements ncessaires pour les dividendes : S : le prix de l'actif support, c : le prix d'une option europenne d'achat, C : le prix d'une option amricaine d'achat, p : le prix d'une option europenne de vente, P : le prix d'une option amricaine de vente, K : le prix d'exercice de l'option europenne ou amricaine, r : le taux d'intrt sans risque, : la volatilit de l'actif support, T : la date d'chance de l'option, N(.) : la fonction de rpartition de la loi normale. La drivation du modle : L'volution du prix de l'action dans ce modle est donne par le processus de diffusion : dS/S = dt + dz (1)</p> <p>o indique la tendance du mouvement du titre et dz correspond un processus de Wiener standard.</p> <p>Dans ce contexte, il est possible de crer une position couverte en achetant des actions et en vendant des options. L'ajustement de ce portefeuille s'effectue sur chaque intervalle de temps suite aux variations conscutives du prix du support. Le nombre d'actions vendre dans une position couverte est donn par l'inverse de la drive du prix de l'option par rfrence son premier argument, S, que l'on note simplement, cs(S,t). La variation de la valeur de l'actif support d'un faible montant S gnre une variation de l'option de cs(S,t)S et un changement dans le nombre d'options dans la position couverte gal (1/cs(S,t)) S. La variation qui en rsulte pour la position en actions pourrait tre couverte par la quantit (1/cs(S,t)) options. la limite, cette approximation pourrait devenir exacte et le rendement sur la position aurait tendance se comporter indpendamment du changement de la position en actions. Ce raisonnement conduit l'quation fondamentale suivante pour l'valuation des options d'achat et de vente : 1/22S2 (2c/S2) - r S(c/S) + rc - (c/t ) = 0, (2)</p> <p>Le terme 2S2 provient de l'utilisation des proprits de la table des intgrales stochastiques d'It applique au calcul du carr de l'quation de diffusion (1). La valeur d'une option d'achat est dtermine en utilisant la condition suivante qui correspond sa valeur la date d'chance : c(S,T) = Max[0, ST - K ] (3)</p> <p>En utilisant un changement de variables de la forme c(S,t) = f(t) y(u1,u2) o f(t) et y(u1,u2) sont des fonctions inconnues dterminer, l'quation (2) devient :2 y/u2 = 2y/u1</p> <p>(4)</p> <p>C'est l'quation de diffusion de la chaleur sous sa forme la plus simple, qu'il simpose de rsoudre pour obtenir le prix de l'option. La transformation du problme d'valuation de l'option en un problme plus simple de rsolution de l'quation de la chaleur, provient des proprits du processus de diffusion suivi par le cours de l'actif support de l'option. Comme le cours suit une diffusion, le changement de variables utilis conduit une quation de diffusion de la chaleur. Une dmonstration dtaille des tapes de rsolution de cette quation figure dans Bellalah, Bryis et Mai (1997). Dans le contexte de ces hypothses, la solution pour le prix d'une option d'achat s'crit : c = SN(d1) - K exp(-rT) N(d2) avec :</p> <p>d1= (Ln(S/K) + (r + 0.5 2)T )/ T d2 = d1 - T o N(.) dsigne la fonction de rpartition de la loi normale.</p> <p>(5)</p> <p>En utilisant l'quation (2) et la condition suivante pour la valeur de l'option de vente sa date d'chance: p(S,T) = Max[0, K - ST ] le prix d'une option de vente s'crit : p = - SN (-d1) + K exp(-rT) N(-d2) avec : d1= (Ln(S/K) + (r + 0.5 2)T )/ T d2 = d1 - T (6)</p> <p>(7)</p> <p>Les deux formules (5) et (7) concernent les valeurs des options d'achat et de vente en l'absence de dividendes dans le contexte des hypothses numres ci-dessus. Dans la mesure o une option europenne prsente la mme valeur qu'une option amricaine en l'absence de possibilits d'exercice prmatur, le modle de BS s'applique galement pour valuer ces options. Cette situation est vrifie en l'absence d'un dtachement de dividendes. En ralit, la valeur d'une option amricaine est gale la valeur d'une option europenne augmente du droit d'un exercice anticip accord au porteur de l'option. Lorsqu'il n'existe pas de facteurs conduisant un exercice anticip, comme le dividende pour une option d'achat, la valeur du privilge d'exercer chaque moment avant la date d'chance est nulle. Dans ce cas, le prix d'une option europenne est gal au prix d'une option amricaine sur le mme support. Par souci pdagogique, nous rsumons dans l'annexe 1 les conditions d'exercice et les limites des prix des options pour permettre au lecteur de suivre sans difficult particulire les dveloppements ultrieurs. Comme le modle de BS exige des conditions assez restrictives et s'applique fondamentalement aux options europennes en l'absence de dividendes, la question se pose de savoir si ce modle peut tre prolong pour prendre en compte les dividendes lors de l'valuation des options europennes et amricaines. L'ajustement du modle pour les dividendes Le modle de BS peut tre ajust pour la prise en compte d'un dtachement de dividendes lors de l'valuation des options europennes sur actions. En effet, l'ajustement s'effectue en amputant la valeur du support S, de la valeur actualise des dividendes qui se dtachent au cours de la vie de l'option. Cet ajustement s'applique uniquement lorsque l'option est europenne, le montant et la date du</p> <p>dividende sont connus avec certitude. Lorsque l'option est amricaine, des modles plus appropris sont utiliss pour tudier l'impact du dividende sur la probabilit d'un exercice prmatur. En effet, cet ajustement simplifi ignore la possibilit d'un exercice anticip et rpond uniquement aux besoins des oprateurs sur les marchs qui dsirent utiliser une formule analytique simple et attrayante, indpendamment de son degr de prcision. L'exemple suivant illustre l'application du modle de BS dans ce contexte. Exemple : Considrons les donnes suivantes : S = 18, K = 15, r = 10%, T = 0,25, = 15%. Supposons qu'un dividende de 0,2 soit vers dans 45 jours. Dans ce cas, l...</p>