Calculad los lados de un rectngulo de rea mxima inscrito en la elipse de ecuacin:

16 + 9 = 1 Yo he usado el dibujo siguiente:

Por lo tanto tenemos que el punto (x,y) cumplir la ecuacin de la elipse (porque pertenece a la elipse) y nos falta determinar el rea del cuadrado inscrito en la elipse, que no es otra cosa que el doble de x por el doble de y, es decir:

(,) = 2 2 = 4 Ahora hemos de despejar y en la ecuacin de la elipse para poder sustituir y que S(x,y) slo dependa de x. Multiplico la ecuacin de la elipse por 169 a cada lado y tengo: 9 + 16 = 16 9 Despejo: 16 = 144 9

= 144 916 = 9 916 = 9 916

Y ahora, sustituyendo en S(x,y) conseguimos llegar a:

() = 4 9 916 = 4 9 916 Bueno, esto es lo que hemos de derivar e igualar a cero. Lo har como un producto de 4x por el resto, que por comodidad he puesto como una potencia.

x

y

(x, y)

0 = () = 4 (9 916 ) + 4 12 (9 916 ) ( 916 2) Ya s que esto parece un monstruo pero no os preocupis, se arregla bastante, sobre todo si el exponente negativo lo ponemos abajo con exponente positivo. Al simplificar queda:

0 = 4 9 916 94 9 916 Si ahora Pasamos lo que resta al otro lado, tenemos:

4 9 916 = 94 9 916 Ahora, lo que est dividiendo lo paso al otro lado multiplicando y tengo:

16 9 916 = 9 Que es lo mismo que 144 9 = 9 144 = 18

= 14418 = 8 = 8 = 22

Para calcular y no tenemos ms que sustituir:

= 9 9 816 = 92 = 32 = 322 Como que lo que nos piden son los lados del rectngulo y x e y son LA MITAD de los lados tenemos que:

= 2 = 42 = 2 = 2 322 = 32

El rea mxima sera:

= 42 32 = 24

Como comprobacin ltima podramos mirar a ver si el punto (x,y) que hemos encontrado pertenece a la elipse (si no pertenece hemos de revisarlo, est claro). Comprobemos si cumple la ecuacin:

(22)16 + (322 )9 = 816 + 9 29 = 12 + 12 = 1 Por lo tanto, s que pertenece a la elipse y hemos triunfado!!!!!!