Optimiranje nosilnih konstrukcij - lab.fs.uni-lj.silab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_LASOK/ONK_P_1... · Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer-Verlag,

1

Univerza v Ljubljani - Fakulteta za strojništvo

KKTS - LASOK

Optimiranje nosilnih konstrukcij

doc. dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• [email protected] (Tema/Subject: ONK - ...)

Soavtor gradiva: i.prof.dr. Janez Kramar, univ.dipl.inž.str.

KKTS – Katedra za konstruiranje in transportne sistemeLASOK – Laboratorij za transportne naprave in sisteme ter nosilne strojne konstrukcije

Obseg predmeta (5 ECTS):

• predavanja: 30 ur;

• seminar: 0 ur;

• vaje: 30 ur.

Obveznosti:

• teorija: izpit/kolokvij (pozitivno > 50%);

• vaje: delo na vajah/domače delo/seminarska naloga (po skupinah).

Vsak se mora sam prijaviti/odjaviti na/z izpit/a.


KKTS - LASOK


2

2

Gradivo za študente (prosojnice s predavanj):� http://www.fs.uni-lj.si/lasok/

� Gradivo FS� Optimiranje nosilnih konstrukcij (RR).


KKTS - LASOK


3

Gradivo se odpira brez gesla.

LITERATURA

1. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; Second edition;

Elsevier Academic Press, Amsterdam, ... , 2004.

2. Jasbir S. Arora: Introduction to OPTIMUM DESIGN; McGraw-Hill Book

Company, New York, ... , 1989.

3. Singiresu S. Rao: Engineering Optimization, Theory and Practise; John

Wiley & Sons, New York, ... , 1996.

4. Jozsef Farkas, Karoly Jarmai: Analysis and Optimum Design of Metal

Structures; Balkema, Rotterdam; 1997.


KKTS - LASOK


4

3

LITERATURA

5. Y.M. Xie and G.P. Steven: Evolutionary Structural Optimization;

Springer-Verlag 1997.

6. A.A. Seireg, J. Rodriguez: Optimizing the Shape of Mechanical

Elements and Structures; Marcel Dekker; 1997.

7. Helical Springs; Engineering Design Guides; prepared by The Spring

Research Association; Oxford University Press, 1974.

8. Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer-

Verlag, 1986.


KKTS - LASOK


5


KKTS - LASOK

Optimiranje nosilnih konstrukcij.

Osnovni cilj predmeta: približati metode optimiranja inženirski praksi.

Obravnavani so praktični primeri: - ki jih je mogoče matematično korektno popisati - in je njihovo reševanje relativno enostavno.

V teoretskem smislu je snov naslonjena na literaturo :Jasbir S. Arora: Introduction to optimum desig [1],

obseg pa prilagojen razpoložljivemu številu ur.

Predstavljeni so tudi ustrezni pripadajoči postopki konstruiranja.

6

4

7

Uvod

Strojništvo (samostojno ali interdisciplinarno) pokriva široko paleto izdelkov kot so:• orodja, stroji, naprave (tudi transportne),• vozila: cestna, tirnična, • plovila: vodna, zračna, vesoljska,• medicinski aparati in naprave, inštrumenti,• gradbeni elementi,• procesna oprema,• pretvorniki energije,• elementi informatike,• ...

V želji po konkurenčnejših izdelkih (↑kvaliteta, ↓cena, ↓masa, ...) se stalno razvija tudi

inženirska optimizacija izdelkov - iskanje najboljšega rezultata ob danih okoliščinah.

Pri snovanju, izdelavi in vzdrževanju inženirskega izdelka ali tehniškega sistema se je potrebno neprestano odločati o:• tehniških vidikih;• estetskih vidikih;• ekonomskih vidikih; • ergonomskih vidikih; • varnostnih vidikih.

8

5

Skrajni cilj takih odločitev je:

• PRI OBIČAJNIH TEHIŠKIH PROBLEMIH:• minimizirati nastopajoče stroške ali

• maksimirati dobiček,

• V POSEBNIH PRIMERIH:• minimizirati tveganje ali

• maksimirati zanesljivost;

• minimizirati maso.

Večina odločitev je vezanih na merljive veličine (zvezne ali diskretne – npr. velikost preseka nosilca ali število nosilcev), katerih učinek je možno izraziti v matematični obliki.

9

https://en.wikipedia.org/wiki/Apollo_15

Razvoj novega izdelka

Niz aktivnosti pri razvoju novega izdelka:

Razvojne naloge v podjetju se razlikujejo, če se razvija:• nov serijski izdelek (glej (1) v nadaljevanju) ali• nov individualni izdelek (glej (2) v nadaljevanju).

Postopek nedvoumno vsebuje tudi elemente optimiranja.

10

6

(1): Razvoj novega serijskega izdelka

Niz prepletenih aktivnosti:• zasnova, razne analize, (sprememba zasnove), (ponovne analize), • konstruiranje, • izdelava prototipa, preskušanje, • sprememba detajlov ali sprememba zasnove, ponovne analize, • popravek prototipa ali nov prototip, ponovno preskušanje, • ...

ki vsebuje tudi elemente optimiranja.

11

(1b) Razvoj nove generacije obstoječega serijskega izdelka

Nove generacije izdelkov:• morajo imeti vedno boljše funkcionalne lastnosti, • ob hkratnih poenostavitvah (pocenitvah).

Spet je potrebno optimiranje.

(2): Razvoj individualnega izdelka

Individualno snovanje:• izdelek za znanega kupca (naročilo),• brez prototipa.

V tekmi s konkurenco se tudi tu uporablja optimizacijske postopke.

12

7

Vrste optimiranja pri snovanju izdelka:

• klasično snovanje: k optimumu po intuiciji – postopoma;

• matematično podprto optimalno snovanje:k optimumu z analitičnimi in numeričnimi matematičnimi

sredstvi – iterativno;

• interaktivno optimalno snovanje: k optimumu izmenično intuitivno in z matematičnimi sredstvi

13

14

Osnovni izrazi in značilni primeri

Cenilna (ciljna) funkcija (angl.: cost function)

V procesu razvoja je potrebno izdelek presojati:• po tehničnih kriterijih;• lahko tudi po ekonomskih in drugih kriterijih.

Presoja se lahko vrši s tehtanjem:• enega

• ali večihmerljivih parametrov.

8

15



Primeri merljivih parametrov:• izpolnjevanje funkcionalnih zahtev;• količina vgrajenega gradiva (maso);• lastna cena izdelka (cena gradiva, energije, dela, ...);• stroški izdelka v življenjski dobi (nabavna cena + cena

obratovanja + cena vzdrževanja);• raba energije (npr. pogonske enote);• izguba toplote skozi stene;• torne izgube;• izkoristek; ...

16



je matematični izraz, ki zajame vse upoštevane (merljive) parametre optimizacijskega probleme z ustreznimi utežmi(ponderji), glede na njihovo pomembnost za določen cilj.

Tudi upoštevani parametri morajo biti zapisani z ustreznimi matematičnimi izrazi.

Cenilno funkcijo se zapiše z namenom presoje oz. optimiranja

izdelka. Optimiranje naj poteka v procesu razvoja izdelka.

9

17


Nosilne konstrukcije

predstavljajo skupino izdelkov, ki so že tradicionalno podvženirazličnim načinom optimiranja ter različnim ciljem optimiranja.

Nosilne konstrukcije se optimira predvsem glede na:• funkcionalnost, • maso, • lastno ceno, • stroške v življenjski dobi.

18


Konstrukcijske spremenljivke (design variables)

Vsaka konstrukcija vsebuje eno ali več komponent.

Vsaka komponenta je lahko popisana z več spremenljivkami, ki enoznačno določajo njeno obliko.

Poleg popisa oblike so lahko oz. morajo biti vključene tudi druge spremenljivke, npr.:• vrsta in lastnosti gradiva, • vrsta polizdelka, ki je vgrajen v konstrukcijo.

10

19



Spremenljivke so lahko: • zvezne spremenljivke (geometrijske mere); • nezvezne (diskretne) spremenljivke:

− število ojačitvenih reber, − vrsta gradiva, − način izdelave, − ... .

Spremenljivke, ki enoznačno popišejo upoštevane (potrebne) lastnosti konstrukcije v procesu optimiranja, imenujemo konstrukcijske spremenljivke.

20



Isto komponento lahko enoznačno popišemo z različnimi nizi konstrukcijskih spremenljivk.

Primer: Opredelitev oblike prečnega preseka pravokotne cevi:a) s spremenljivkami b, d in t, b) s spremenljivkami bsr, dsr in t.

a) b)

� = � ∙ � − (� − 2) ∙ (� − 2) � = 2 ∙ �� ∙ �� ∙

11

21


Konstrukcijske spremenljivke (design variables).

Za popolno opredelitev konstrukcijske komponente (škatlastega nosilca) je potrebno podati še npr.:• dolžino nosilca,• število, položaj in obliko prečnih reber ,• število, položaj in obliko vzdolžnih reber,• material nosilca,• robne pogoje (podpore, obremenitve, ...).

I-nosilci z različnim številom, položajem in obliko prečnih reber.

22


Konstrukcijske omejitve in zahteve (design constraints)

Vsak izdelek mora izpolniti niz zahtev in se podvreči mnogim omejitvam.

Konstrukcijske omejitve (KO) morajo biti funkcija vsaj ene ali večih KS, da bodo imele ustrezen vpliv.

Vsaka KO lahko močno vpliva na položaj in velikost optimuma, zato je potrebno njeno uporabo dobro pretehtati in utemeljiti.

12

23



Omejitve se uvršča v več skupin glede na:I) matematično formo, II) linearnost, III) eksplicitnost

I) Glede na matematično formo poznamo:

• Enakostne pogoje/omejitve - ena ali več konstrukcijskih spremenljivk (KS), povezanih v enakostni pogoj/omejitev (=).

• Neenakostne omejitve - ena ali več KS, povezanih v neenakostno omejitev (<, ≤) (večina inženirskih nalog ima po več neenakostnih omejitev).

KO se torej zapiše v obliki enačb ali neenačb.

24



II) Glede na linearnost:

• Linearne omejitve - KS nastopajo v linearni povezavi.

• Nelinearne omejitve - KS nastopajo v nelinearni povezavi.

III) Glede na eksplicitnost:

• Eksplicitna omejitev - posamezna KS v omejitvenem smislu ni funkcijsko povezana z drugimi.

• Implicitna omejitev – KS so v omejitvenem smislu funkcijsko implicitno povezane.

13

25


Sprejemljiva izvedba (feasible design).

je tista izvedba nekega izdelka, konstrukcije ali sistema, ki izpolnjuje vse postavljene zahteve in omejitve.

Če izvedba ne izpolnjuje ene ali večih zahtev oz. omejitev je to nesprejemljiva izvedba (unfeasible design).

26


Dovoljeno območje (feasible region)

Dovoljeno območje:• je območje konstrukcijskih rešitev, ki obsega vse nabore KS,

za katere so izpolnjene vse zahteve in vse omejitve.

• Je toliko dimenzionalno, kolikor je neodvisnih KS,• je omejeno z enakostnimi pogoji in neenakostnimi

omejitvami.

14

27


Primer dovoljenega območja, določenega z eno neenakostnoomejitvijo implicitne oblike:

ki je določena s pomočjo dveh KS (x1 in x2).

Dovoljeno območje (feasible region)

Neenakostna omejitev določa dovoljeno območje kot krog -obod/krožnico in ploščino kroga - s polmerom:

= 9 = 3

Opomba: šrafira se tista stran, ki ni vsebovana v dovoljenem območju

28


Primer dovoljenega območja (DO), določenega eksplicitno:A) z enakostnim pogojem (x1 = x2) – DO je premica; B) z neenakostno omejitvijo (x1 ≤ x2) – DO je premica in

površina nad premico.A) B)

Dovoljeno območje (feasible region).

Dovoljeno območje je v primeru (B) bistveno večje.

Opomba: šrafira se tista stran, ki ni vsebovana v dovoljenem območju.

15

29


Opredelitev optimizacijske naloge (formulation of an

optimizing problem).

• ima zelo pomembno mesto v optimizacijskem procesu;

• potrebna je jasna in celovita besedilna opredelitev;

• potrebna je prevedba v matematično govorico:• cenilna funkcija,• enakostni pogoji,• neenakostne omejitve.

30


Primer 1: Izolacija kroglastega rezervoarja

Besedilna opredelitev:Izbrati je potrebno optimalno debelino izolacije, ki bo minimizirala stroške vzdrževanja znižane temperature v rezervoarju kroglaste oblike. Stroški so sestavljeni iz stroškov namestitve izolacije ter stroškov obratovanja hladilne naprave. Upošteva naj se čas obratovanja 10 let in 5 % letno obrestno mero za vložena finančna sredstva.

http://www.chinatanksandvessel.com/lpg-spherical-tanks.html.

Primer kroglastega rezervoarja

16

31


Matematična opredelitev:

r .................. poznan polmer kroglastega rezervoarja [m].

� = 4� � ... površina kroglastega rezervoarja;t .................. debelina izolacije (išče se optimalna vrednost)t << r .......... realna predpostavka (→ �.�� ≈ �.�� ≈ �.�� ≈ )c1 (€/m3) ..... cena na enoto volumna nameščene izolacije

Prvi strošek je strošek namestitve izolacije:

�� = �� ! ∙ "� = � ∙ ∙ "� = 4� ∙ �∙ ∙ "�

32

Osnovni izrazi in značilni primeriDrugi strošek so toplotne izgube skozi izolacijo:

∆ΘΘΘΘ [K] .......... temperaturna razlika

λ$

%&.......... toplotna prevodnost

t [m] ............. debelina izolacijec2 [€/kW h] ... cena za enoto energije (1 kW h = 3,6 MJ)T [h] .............. življenjska doba rezervoarja

Toplotni tok skozi steno ob predpostavki t << r je:

[W]

Celotni strošek zaradi toplotnih izgub:

[€] �� =€∙$∙(

)$(=

€∙$∙(

�***$∙(=

€

�***

17

33


Tretji strošek je obratovalni strošek hladilne naprave:• izgube energije zaradi izkoristka hladilne naprave,• amortizacija ter • strošek vzdrževanja hladilne naprave.

c3 [€/kWh] ... dodaten strošek na kW h* nadoknadenih toplotnih izgub.

* ... (kWh = 3,6 MJ)

34


T =10 let = 87.600 h ... celotna življenjska doba rezervoarja.(10 let·365 dni/leto·24 h/dan=87.600 h)

o = 0 ... obrestna mera - zaradi enostavnosti je časovni vpliv

na vrednost denarja zanemarjen.

CF (celoten strošek obratovanja):

a =1. const b =2. const

... poenostavljen zapis CF s konstantama a in b.

18

35


Obstaja tudi omejitev – neenakostna omejitev debeline izolacije:

• debelina izolacije: t ≥ 0; • oziroma: Ker brez izolacije ohladitev vsebine rezervoarja na

želeno temperaturo sploh ni možna, je realna omejitev: t > 0;• oziroma: Ker zelo tenkih izolativnih slojev ni mogoče

izdelovati in nameščati, je dejanska omejitev: t ≥ tmin.

Zaradi prostorske stiske se pogosto pojavlja tudi omejitev debeline izolacije navzgor, kar ima običajno velik vpliv na lego optimalne točke. Tedaj obstaja še dodatna omejitev: t ≤ tmax.

Vrsta izolacije je predpostavljena v naprej, lahko bi bilo več možnosti (različna izolativnost, cena, ...).

36


Rešitev je pri konkretnih podatkih enostavna:

� � ∙ = . ∙ � + �� . ∙ � − � ∙ + � = 0

�,� =� ± �� − 4.�

2.

oziroma:

� =34 3567 8

� in � =

36 3567 8

�

pri pogoju: �,� ≥ %�� in po potrebi: �,�≤% 9

19

37


Podatki:

r = 5 m ............... polmer kroglastega rezervoarja

c1 = 500 €/m3 ..... cena na enoto volumna nameščene izolacije

c2 = 0,2 €/kW h . cena za enoto energije (1 kW h = 3,6 MJ)

c3 = 0,04 €/kWh dodaten strošek na kW h (druge izgube).

%��= 100 mm ... minimalna tehnično možna debelina

% 9 = 1000 mm maksimalna debelina∆Θ = 120 K ....... največja potrebna temperaturna razlika

λ = 0,045$

%&.... toplotna prevodnost

T = 87.600 h ....... celotna življenjska doba rezervoarja.

38


; = <= ∙ >? ∙ @A = BCC ∙ >? ∙ BA =157080 €/m

D = <A + <E ∙ F ∙ GH ∙ >? ∙ @A

=CCC∙ I =

= C, A + C, C> ∙ C, C>B ∙ =AC∙>?∙BA

=CCC∙ 157080 = EBJJJ € m

�,� =� ± �� − 4.�

2.

20

39

Osnovni izrazi in značilni primeriIzrišemo graf CF: „debelina izolacije t - celotna strošek obratovanja S (oz. CF)“ (dve rešitvi za t: � = �(�) (polna črta) in � = �(�) (črtkano):

Stroški S naraščajo, če debelina izolacije t od optimalne točke narašča (t1) ali pada (t2). (Prevladajo stroški izolacije ali stroški toplotnih izgub.)

�

�

�,� =� ± �� − 4.�

2.

Celoten strošek obratovanja S [€]

deb

elin

a i

zola

cije

t [

mm

]

40


Opazujemo eno od rešitev kvadratne enačbe:

� =� + �� − 4.�

2.

Debelina bo najmanjša/cena najnižja, ko bo diskriminanta:

D = �� − 4.� = 0 →

→ � = 2 .� = 2 157080€/O ∙ 35666€O = 149699€

%�� =3

� =

�7QRQQ

�∙�ST*U*= 0,4765O = 476,5OO

kar predstavlja optimalno rešitev, znotraj meja tmin in tmax.

21

41


Primer 1b: Izolacija kroglastega rezervoarja

Podano inženirsko nalogo je mogoče obravnavati tudi v zahtevnejši obliki, ki je uporabna tudi za večje debeline izolacije, kjer ne velja več predpostavka: t << r

Strošek namestitve izolacije se lahko zapiše s točnejšim zapisom volumna izolacije:

�� = "� ∙ �

42


Toplotne izgube se zapiše z obrazcem, ki upošteva debelostenskost izolacije in oba prestopnostna koeficienta:

α� ... koeficient prestopa toplote z medija na steno posode,α� ... koeficient prestopa toplote z izolacije na okoliški zrak,λ ... koeficient toplotne prevodnosti izolacije,�� ... notranji premer izolacije = zunanji prem. rezervoarja = const.,�� ... zunanji premer izolacije = spremenljivka, ki se jo išče.

Prej enostavnejše:

22

43


Primer 2: Pločevinka za pivo prostornine 400 cm3

Besedilna opredelitev:Optimirati je potrebno dimenzije pločevinke valjaste oblike glede na porabo pločevine.

Dimezije so zaradi uporabnosti omejene na:

44


Globoki vlek – drago orodje � Potrebne velike serije �Cena orodja se lahko pri optimiranju zanemari �O rentabilnosti odloča predvsem poraba pločevine �Optimira naj se poraba pločevine – debelina pločevine je znana � poraba premo sorazmerna s površino pločevinke.


Dve KS:• višina pločevinke h [mm],• premer pločevinke d [mm].

Cenilna funkcija (površina valja):

23

45


Neenakostne omejitve:(tudi standardni zapis)

Enakostni pogoj:

Enakostni pogoj (poznan V) povezuje KS h in d, ki tako nista medsebojno neodvisni:

� poenostavitev cenilne funkcije �

� ≤ 80OO → d– 80≤ 0

� ≥ 35OO → 35– d≤ 0

ℎ ≤ 180OO → h– 180≤ 0

ℎ ≥ 30OO → 30– h≤ 0

46


Cenilna funkcija po poenostavitvi vsebuje le še eno KS:

(Prej: )

Kandidatne točko za optimum se dobi s 1. odvodom:

��Z − 4� = 0 → � = 7[\

]

24

47


Iz odvoda sledi:

ter iz enačbe za višino:

Kandidatna točka je tik ob meji, vendar znotraj dovoljenega področja KS:

48

Osnovni izrazi in značilni primeriPrimer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave

Besedilna opredelitev:• Izdeluje se N=100 izdelkov/dan. • Sestavljajo se iz:

• ZA=8 komponent A, • ZB=5 komponent B in • ZC=15 komponent C.

• Št. potrebnih vijakov ali kovic:• za komp. A � 5 vijakov ali kovic, • za komp. B � 6 vijakov ali kovic in • za komp. C � 3 vijaki ali kovice.

• �

25

49


Besedilna opredelitev:•

• Cena enega vijaka, skupaj z vgradnjo: • pri komp. A VA=0,70 €, • pri komp. B VB=1,0 € in • pri komp. C VC=0,60 €.

• Cena ene kovice, skupaj z vgradnjo: • pri komp. A KA=0,60 €, • pri komp. B KB=0,80 € in • pri komp. C KC=1,0 €.

• �

50


Besedilna opredelitev:•

• Zmogljivost delavnice je:• največ NV=6000 vgrajenih vijakov in hkrati

• največ NK=8000 vgrajenih kovic na dan.

Koliko komponent naj bo vijačenih in koliko kovičenih, da so stroški najmanjši?

26

51


Primer 3: Iskanje minimalnih stroškov izdelave


Konstrukcijske spremenljivke:x1 število vijačenih komponent A na danx2 število kovičenih komponent A na danx3 število vijačenih komponent B na danx4 število kovičenih komponent B na danx5 število vijačenih komponent C na danx6 število kovičenih komponent C na dan

52




Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):

(Št. potrebnih vijakov ali kovic za A, B, C: 5, 6, 3)

Omejitve glede na dnevno potrebo po komponentah:Vi ... cena za 1 vijakKi ... cena za 1 kovicoN ... št. izdelkov na danZi ... št. komp./izdelekxi ... i-ta KS-št.vijač/kovič.komp.

27

53




Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:

... največ vgrajenih vijakov/dan

... največ vgrajenih kovic/dan


Vse konstrukcijske spremenljivke morajo biti nenegativne:

54


Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave -

- pristop z drugega zornega kota:

Pojavi se estetska omejitev, ker kupce motijo mešane vijačenein kovičene komponente v istem izdelku. �

� Nova zahteva, da so komponente samo kovičene ali samo vijačene. V takem primeru zadostujeta samo dve KS:

x1 število izdelkov na dan z vijačenimi komponentami;x2 število izdelkov na dan s kovičenimi komponentami.

28

55


Primer 3b: Iskanje minimalnih stroškov izdelave

Cenilna funkcija (cena izdelave komponent na dan):

Enakostna omejitev:

Omejitvi, ki izvirata iz zmogljivosti za vijačenje in kovičenje:

Vi ... cena za 1 vijakN ... št. izdelkov na danZi ... št. komp./izdelek


56



oziroma:

in

Obe konstrukcijski spremenljivki morata biti nenegativni:

kar drži.Kaj pa enakostna omejitev?

29

57



Kaj pa enakostni pogoj (omejitev)?

52,17 + 69,57 = 121,74 ≠ 100

Enakostno omejitev ni izpolnjena, zato dobljena rešitev ne leži v dovoljenem območju.

Enakostno omejitev se uporabi za iskanje drugih kandidatnih točk za optimum: za izračun pripadajoče druge konstrukcijske spremenljivke ob znani prvi (zaokroženi navzdol):

_� = 52 → _� = 48

_� = 69 → _� = 31

58



Optimum je na eni od mej ali pa imamo lahko izjemoma isto rešitev povsod v intervalu:

Optimum je na gornji meji vijačenih izdelkov:

_� = 52 < 52,17;_� = 48 < 69,57.

30

59


Primer 4: Steber iz cevi okroglega preseka

Besedilna opredelitev:

Dimenzionirati je potrebno steber višine h iz krožne valjaste cevi polmerov rn in rz, ki je v tla vpet momentno skoraj popolnoma togo, in obremenjen s tlačno silo F na vrhu stebra.

Kriterij je najmanjšo porabo gradiva. Gradivo ima dopustno napetost sdop in gostoto r.

60



Opombe:• uklonska dolžina za momentno popolnoma togo (konzolno)

vpetje bi bila: a� = 2a;• uklonska dolžina za obravnavani primer je: a� = 2,2a;• kadar se za dimenzioniranje uporabi neposredno Eulerjev

obrazec* in se pričakuje relativna vitkost več kot 1, mora biti faktor varnosti najmanj 2,5 (Krautov strojniški priročnik)

bc ≥ 2,5,zato se pri optimiranju uporabi npr.:

bc = 2,5.

* ... kontrolo je potrebno izvesti po enačbah iz veljavnih SIST hEN.

31

61




Konstrukcijski spremenljivki: - notranji (rn) in zunanji (rz) polmer cevi.

Pomembni statični vrednosti sta:

- prerez cevi:

- upogibni vztrajnostni moment:

62



Cenilna funkcija: masa cevi. Brez upoštevanja gradiva za vpetišče se CF zapiše:

Neenakostne omejitve:- geometrijska zahteva:

- kriterij za čisto tlačno trdnost:

- ...

32

63



Neenakostne omejitve:- ...

- (enostaven) kriterijza uklonsko trdnost:

- kriterij za lokalno izbočitveno trdnost:

Enakostnih pogojev v tem primeru ni. �� =

� + �

2; t = � − �

Documents

Optimiranje nosilnih konstrukcij - lab.fs.uni-lj.silab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_LASOK/ONK_P_1... · Dubbel Taschenbuch fiir den Maschinenbau, 15. Auflage; Springer-Verlag,