12
Letopis nauènih radova Godina 28 (2004), broj 1, strana 74–84 UDK: 672.534:531.01 Originalni nauèni rad Original scientific paper OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE GREDE PREMA KRITERIJUMU MINIMALNE TEŸINE Radomiroviæ, D., Srðeviæ Zorica REZIME Predmet prouèavanja u ovom radu je statièki neodreðena greda na tri oslonca. Odreðene su lokacije oslonaca u uzduÿnom pravcu i u uzduÿnom i popreènom pravcu. Kriterijum optimalnosti je minimum maksimalnog momenta, merodavnog za dimenzionisanje. Analizirani nosaèi su greda s prepustima, greda na tri oslonca i greda sa ukleštenjem i osloncem. Grede su optereæene ili ravnomernim kontinualnim optereæenjem ili sa dve koncentrisane sile. Rezultati pokazuju da se optimalnim izborom lokacija oslonaca merodavni napadni moment znaèajno smanjuju. Kljuène reèi: optimizacija, greda, moment savijanja, lokacija oslonca UVOD Problem što boljeg oslanjanja greda je uvek aktuelan kako sa stanovišta ekonomiènosti tako i funkcionalnosti. Što se ekonomiènosti tièe, cilj je da nosaè bude što lakši, èime bi zbog uštede materijala bio i jeftiniji. Po pitanju funkcio- nalnosti nosaè optereæen statièkim optereæenjem pre svega treba da zadovolji naponski kriterijum ali i uslove koji se tièu deformacija, frekvencija slobodnih oscilacija, stabilnosti i montaÿe. Brojni radovi iz oblasti optimalnog pozicioniranja oslonaca su potvrda aktuelnosti teme. U ovom radu je akcenat na naponskom kriterijumu prema kome apsolutna vrednost maksimalnog normalnog napona na gredi definiše velièinu popreènog preseka. Prema naponskom kriterijumu karakteristièna dimenzija koja definiše popreèni presek (na primer, preènik d) direktno je proporcionalna treæem korenu 74 Dr Dragi Radomiroviæ, vanr. prof., Poljoprivredni fakultet, Novi Sad, [email protected] Mr Zorica Srðeviæ, asistent, Poljoprivredni fakultet, Novi Sad, [email protected]

OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

  • Upload
    others

  • View
    11

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Letopis nauènih radovaGodina 28 (2004), broj 1, strana 74–84

UDK: 672.534:531.01 Originalni nauèni radOriginal scientific paper

OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKIOPTEREÆENE GREDE PREMA KRITERIJUMU

MINIMALNE TEŸINE

Radomiroviæ, D., Srðeviæ Zorica

REZIME

Predmet prouèavanja u ovom radu je statièki neodreðena greda na tri oslonca.Odreðene su lokacije oslonaca u uzduÿnom pravcu i u uzduÿnom i popreènompravcu. Kriterijum optimalnosti je minimum maksimalnog momenta,merodavnog za dimenzionisanje. Analizirani nosaèi su greda s prepustima,greda na tri oslonca i greda sa ukleštenjem i osloncem. Grede su optereæene iliravnomernim kontinualnim optereæenjem ili sa dve koncentrisane sile.Rezultati pokazuju da se optimalnim izborom lokacija oslonaca merodavninapadni moment znaèajno smanjuju.

Kljuène reèi: optimizacija, greda, moment savijanja, lokacija oslonca

UVOD

Problem što boljeg oslanjanja greda je uvek aktuelan kako sa stanovištaekonomiènosti tako i funkcionalnosti. Što se ekonomiènosti tièe, cilj je da nosaèbude što lakši, èime bi zbog uštede materijala bio i jeftiniji. Po pitanju funkcio-nalnosti nosaè optereæen statièkim optereæenjem pre svega treba da zadovoljinaponski kriterijum ali i uslove koji se tièu deformacija, frekvencija slobodnihoscilacija, stabilnosti i montaÿe. Brojni radovi iz oblasti optimalnog pozicioniranjaoslonaca su potvrda aktuelnosti teme.

U ovom radu je akcenat na naponskom kriterijumu prema kome apsolutnavrednost maksimalnog normalnog napona na gredi definiše velièinu popreènogpreseka. Prema naponskom kriterijumu karakteristièna dimenzija koja definišepopreèni presek (na primer, preènik d) direktno je proporcionalna treæem korenu

74

Dr Dragi Radomiroviæ, vanr. prof., Poljoprivredni fakultet, Novi Sad, [email protected] Zorica Srðeviæ, asistent, Poljoprivredni fakultet, Novi Sad, [email protected]

Page 2: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

maksimalne apsolutne vrednost napadnog momenta na nosaèu. To znaèi da uko-liko bi se maksimalni napadni moment na gredi smanjio osam puta, dimenzija kojadefiniše popreèni presek smanjila bi se dva puta, velièina popreènog preseka bi sesmanjila èetiri puta i isto toliko puta bi se smanjila teÿina grede. Prema tome,pitanje minimizacije teÿine grede ekvivalentno je pitanju minimizacije maksimalneapsolutne vrednosti napadnog momenta koji se javlja u nekom od kritiènih presekagrede.

Cilj ovog rada je da se optimalnim postavljanjem oslonaca, ili dodavanjemnovih na optimalnim lokacijama izvrši minimiziranje maksimalne apsolutne vre-dnosti napadnog momenta i samim tim postigne niÿa cena koštanja grede. Predmetprouèavanja u ovom radu su statièki neodreðene grede kao što su: greda na trioslonca i greda sa ukleštenjem i osloncem, ali i statièki odreðena greda sa dvaoslonca i prepustima. Optereæenja analiziranih greda, èesto sretana u praksi, su iliravnomerno kontinualno optereæenje ili dve nesimetriène koncentrisane sile. Zna-èajno je pomenuti da se, osim odreðivanja pozicije oslonca duÿ grede, u smislu štokvalitetnije optimizacije, odreðuje i njegova lokacija u popreènom pravcu. Na slici1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim optereæenjemza koju je kritièan presek na sredini (mestu C), pošto je napadni moment na tommestu maksimalan i samim tim merodavan za dimenzionisanje.

75

Slika 1. Prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim optereæenjem i dijagramnapadnog momentaFigure 1. Simply-supported beam with the uniformly distributed load and bending momentdiagram

Page 3: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Kako æe u radu biti pokazano, prelociranjem oslonaca i dodavanjem još jednogoslonca, za istu duÿinu i aktivno optereæenje, moÿe se postiæi mnogo na planusmanjenja maksimalne apsolutne vrednosti napadnog momenta.

OPTIMALNE DUŸINE PREPUSTA GREDA OPTEREÆENIHRAVNOMERNIM KONTINUALNIM OPTEREÆENJEM

Statièki odreðena greda

Za gredu duÿine 2l, sa prepustima istih duÿina x, izloÿenu ravnomernomkontinualnom optereæenju q (slika 2), apsolutne vrednosti maksimalnih napadnihmomenata na mestu oslonca A (a takoðe i B) i sredine grede C su:

Mqx

2M q

qA

2

C� � � �, ( )l l x

l2

2(1)

Izjednaèavanjem ovih momenata dobija se kvadratna jednaèina po x, èijepozitivno rešenje

x 1 2 1 0 4142� � �( ) .l l, (2)

odreðuje optimalnu lokaciju oslonaca (odnosno, optimalnu duÿinu prepusta), zakoju æe maksimalni momenti na gredi dostiæi svoj minimum koji iznosi

Mq

max.� 017156

2

2l. (3)

76

Slika 2. Optimalne lokacije oslonaca statièki odreðene gredeFigure 2. Optimal supports positions for the statically determinate beam

Page 4: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Na slici 2 je takoðe prikazan dijagram napadnog momenta u istoj razmeri ukojoj je prikazan napadni moment na slici 1.

Rezultat dobijen korišæenjem teoreme o minimumu deformacijskog rada

U(x)1

2EIqz

2dz q z

q(x z)2

2x 2

��

���

��� �

��

���2 2

0

2

0

ll �

����

��

���

��

x

dz2

posmatranog kao funkciju duÿine prepusta x, je x1 = 0.44949 l. Odgovarajuæi ma-ksimalni napadni moment, merodavan za dimenzionisanje bio bi

M 0.20204ql2max

2

� što je za 17.8% veæe od maksimalnog momenta dobijenog

naponskim kriterijumom.

Statièki neodreðena greda sa osloncima u jednoj liniji

Za simetriènu gredu na tri oslonca (Slika 3), prvo se, uzimanjem da je reakcija�

FC srednjeg oslonca C statièki prekobrojna, odreðuje njena vrednost u funkciji

prepusta x:

Fq

xx xC

2��

� �4

5 102

( )( )

ll l , (4)

nakon èega se iz statièkih uslova ravnoteÿe, takoðe u funkciji prepusta x, odreðujureakcije preostalih oslonaca, pa je

Fq

xx xA

2��

8

3 22

( )( )

ll l . (5)

Lokalne maksimume napadnih momenata kod oslonaca A i C, za koje jemoguæe da imaju istu vrednost, odredimo takoðe u funkciji prepusta x:

Mqx

2M

qF x

q q8

x +xA

2

C A2� � � � � � , ( ) ( )

ll

ll l

2 22

2 23 2 (6)

Izjednaèavanjem ovih momenata dobija se kvadratna jednaèina po x, èijepozitivno rešenje

x 2

6 15

0 2899��

�l l. , (7)

odreðuje optimalnu lokaciju oslonaca A i B (odnosno, optimalnu duÿinu prepusta),za koju æe maksimalni momenti na gredi dostiæi svoj minimum koji iznosi

77

Page 5: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Ml

max.� 0 084042

2

2q. (8)

Gornje izjednaèavanje napadnih momenata je bilo opravdano iz razloga što jevrednost lokalnog maksimuma na segmentu izmeðu A i C (a takoðe, izmeðu C i B)u odnosu na njih manja.

Dijagram napadnog momenta, prikazan na slici 3, takoðe je prikazan u istojrazmeri u kojoj su prikazani napadni momenti na prethodnim slikama.

Dobijeni rezultati vaÿe i za statièki neodreðenu ukleštenu gredu sa osloncem,prikazanu na slici 4, èiji oblik odgovara polovini grede prikazane na slici 3.

78

Slika 3. Optimalne lokacije oslonaca statièki neodreðene gredeFigure 3. Optimal supports positions for the statically indeterminate beam

Slika 4. Rezultati optimizacije vaÿe i za gredu sa ukleštenjem

Page 6: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Uzduÿna i popreèna optimalna lokacija oslonaca statièki neodreðene grede

Još bolji rezultati optimizacije u odnosu na prethodni sluèaj dobijaju se pome-ranjem srednjeg oslonca po vertikali. Reakcija na mestu tog oslonca tada ima takvuvrednost da su svi lokalni maksimumi napadnih momenata isti (Slika 5). Ovde sereakcije i duÿina prepusta x moraju traÿiti istovremeno.

Prvo preko FA, x i zadatih velièina izrazimo ekstremne napadne momente namestima A, C i D. Napadne momente na mestima A, C tretiramo kao funkcijepromenljivih FA i x:

Mqx

2M

qF x

A

2

C A� � � �, ( )l

l2

2. (9)

Presek D, u kojem se takoðe nalazi lokalni maksimum napadnog momenta,udaljen je od levog kraja grede za vrednost

zFqDA� , (10)

koja je dobijena iz uslova da je na tom mestu tranverzalna sila jednaka nuli.S obzirom na (10), napadni moment na mestu D je

M FFq

xq2

Fq

F2q

F xD A

A A

2

A2

A� ��

���

��� �

���

��� � � . (11)

Ako je x3 duÿina prepusta u sluèaju kada vaÿi da je M M MA B C

� � . Reak-ciju FA, iz M M

A C� , odreðuje izraz

Fq2

xA � ( )l 3 . (12)

Uvrštavanjem izraza (12) u jednakost M MA D

� , dobijenu na osnovu (9) i(11), dobija se da je duÿina prepusta

x 3

2 2 17

0 2612��

�l l. . (13)

Za naðenu optimalnu lokaciju perifernih oslonaca (13), reakcija FA, prema(12), postaje:

F3 2

7q qA �

�l l0 6306. . (14)

Na osnovu uslova ravnoteÿe o sumi sila u vertikalnom pravcu, reakcija srednjegoslonca je:

79

Page 7: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

F q qC ��

�24 2

70 7388l l. . (15)

Za naðene velièine�

FC i x3, ugib (� na mestu srednjeg oslonca C, dobijen

sumiranjem ugiba usled�

FC i q, odreðuje formula

� � � �� �

��

��

���

���

5 2 2

42

24 3

q x

384EI

F x

8EIqx

23 C 3 3

2( ) ( ) (l l l� ���

x

16EIqEI

3 )

( )

3

4

42

3 1 2 2

l

u kojoj su: E – modul elastiènosti i I – moment inercije popreènog preseka zaneutralnu osu. Ugib � definiše popreèno lociranje srednjeg oslonca, èime je i ovaoptimizacija završena.

Za nas najznaèajniji rezultat nalaÿenja parametara za optimalno lociranjeoslonaca je taj da merodavni napadni moment, u skladu sa, na primer, formulom(9), ima vrednost

Mq

max.� 0 068225

2

2l. (16)

Dijagram napadnog momenta na slici 5 je prikazan u istoj razmeri u kojoj suprikazani napadni momenti na prethodnim slikama.

80

Slika 5. Optimalne lokacije oslonaca statièki neodreðene grede kada se vrši i uzduÿno ipopreèno pozicioniranjeFigure 5. Longitudinally and transversally optimal supports positions for statically indeter-minate beam

Page 8: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Dobijeni rezultati vaÿe i za statièki neodreðenu ukleštenu gredu sa osloncem,prikazanu na slici 6, èiji oblik odgovara polovine grede prikazane na slici 5.

U ovom sluèaju montaÿa oslonca po vertikali podrazumeva naprezanje i defor-maciju grede i pre dejstva kontinualnog optereæenja. Meðutim, sila kojom bioslonac dejstvovao na gredu pre dejstva kontinualnog optereæenja iznosila bi0.02387ql što ne bi trebalo da prouzrokuje negativne posledice. Odgovarajuæi mo-ment u ukleštenju 0.017057ql2, izazvan montaÿom oslonca, iznosio bi tek èetvrtideo momenta M

max, merodavnog za dimenzionisanje.

UZDUŸNA I POPREÈNA OPTIMALNA LOKACIJA SREDNJEGOSLONCA STATIÈKI NEODREÐENE GREDE OPTEREÆENE

SA DVE KONCENTRISANE SILE

U cilju prouèavanja optimalne lokacije srednjeg oslonca statièki neodreðenegrede na tri oslonca, na koju dejstvuju dve popreène koncentrisane sile (Slika 7),zamislimo prostu gredu na koju, umesto srednjeg oslonca, dejstvuje odgovarajuæasila

FC koju bi trebao da proizvede oslonac C. Reakcije te proste grede u zavisnosti

nepoznatih (FC i x) i poznatih (P, Q, l, a i b) su:

F Pa

Qb

Fx

F Pa

Qb

A C B� ��

��

�� � �

��

�� � �

��

��1 1 1

l l l l l, � F

xC l

. (17)

Jednakosti ekstremnih napadnih momenata u taèkama 1, 2 i C

M M F a F b 01 A B� � � �

2, (18)

81

Slika 6. Rezultati optimizacije vaÿe i za gredu sa ukleštenjem

Page 9: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

� �M M F a F x – P(x – a) 01 C A A� � � , (19)

predstavljaju sistem nelinearnih algebarskih jednaèina po FC i x, koji u velikombroju praktiènih sluèajeva ima traÿeno rešenje.

Nakon odreðivanja nepoznatih FC i x, ugib � na mestu C odreðen je izrazom

� ��

���

��

�� �

��

��

��

��

��

P6EI

a x a x x al ll l

ll l l

3 2 2 3

1���

���

���

��

���

��

��

��

�� �

��

��

���

���

�Q6EI

b x b x F3EI

xCll l l l

ll

3 2 2 3

1�

��

��

��

��

��

2 2l

lx

.

Vrednost � pokazuje koliko treba da bude spušten srednji oslonac u odnosu napravac AB da bi greda nakon deformacije imala za dimenzionisanje najpogodnijufunkciju napadnog momenta.

Primer:Greda prikazana na slici 7 optereæena je silama P = 1000 N i Q = 500 N.

Duÿina grede je l = 1 m, a mesta dejstvovanja sila P i Q su a = 0.2 m i b = 0.3 m.Za zadat modul elastiènosti E = 210 GPa i moment inercije I = 0.3 cm4, opisanimpostupkom se dobija da je x = 0.35197 m i � = 0.84 mm. Dijagram napadnogmomenta, za ovako odreðen poloÿaj srednjeg oslonca, prikazan je na slici 8.

Optimalnim lociranjem srednjeg oslonca, merodavan napadni moment(M Nm

max.� 551 ) postaje èak 3.45 puta manji od vrednosti maksimalnog na-

padnog momenta u odnosu na sluèaj proste grede bez srednjeg oslonca.

82

Slika 7. Statièki neodreðena greda sa dve zadate koncentrisane sileFigure 7. Statically indeterminate beam with two given concentrated loads

Page 10: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

ZAKLJUÈAK

Rezultati istraÿivanja pokazuju da se, ukoliko to dozvoljavaju drugi uslovi,optimizacijom lokacija oslonaca prema kriterijumu minimalne teÿine (odnosno,naponskom kriterijumu) mogu znatno olakšati grede a samim tim i pojeftiniti.Optimizacija se sprovodi minimiziranjem maksimalne apsolutne vrednosti napad-nog momenta, odnosno postizanjem da što veæi broj lokalnih ekstrema apsolutnihvrednosti napadnih momenata ima iste vrednosti.

U sluèaju zamene proste grede optereæene ravnomernim kontinualnim optere-æenjem gredom sa prepustima, dobijeno je da ako prepusti iznose 20.71% odduÿine grede, merodavni (tj. maksimalni) napadni moment se smanjuje 5.83 puta,a teÿina se moÿe smanjiti i do 69.1% u odnosu na teÿinu proste grede. Takoðe jepokazano da bi u sluèaju korišæenja kriterijuma o minimumu deformacijskog rada,rezultati, sa stanovišta uštede u materijalu, bili nešto nepovoljniji. Naime, teÿina bise mogla smanjiti do 65.6%.

Dalje je pokazano da ukoliko bi se dodao još jedan oslonac (na sredini, zbogsimetrije), prepust bi se smanjio na 14.5% od duÿine grede dok bi se teÿina moglasmanjiti i do 80.8%. Najbolji rezultati bi se postigli ako bi se taj srednji oslonacdislocirao i u popreènom (vertikalnom) pravcu za taèno odreðenu vrednost. Tadabi se, u odnosu na prostu gredu, merodavni napadni moment smanjio èak 14.7puta, prepust bi se smanjio na 13.1% od duÿine grede, dok bi se teÿina moglasmanjiti i do maksimalnih 83.3%. Pokazano je i to da rezultati dobijeni zaanaliziranu gredu na tri oslonca mogu de se preslikaju na odgovarajuæu gredu sauklještenjem.

Na kraju je analizirana prosta greda sa dve nesimetriène koncentrisane sile, zakoju se predlaÿe dodavanje treæeg oslonca, koji bi bio optimalno lociran i uuzduÿnom i u popreènom pravcu. U priloÿenom numerièkom primeru postiglo se

83

Slika 8. Dijagram napadnog momentaFigure 8. Bending moment diagram

Page 11: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

smanjenje merodavnog napadnog momenta 3.45 puta što ima za posledicu sma-njenje teÿine do 56.2% u odnosu na teÿinu proste grede.

Izradu ovog rada finansijski je pomoglo Ministarstvo za nauku, tehnologiju irazvoj Republike Srbije u okviru projekta br. 1874 i BTR 5.01.0419.B

LITERATURA

1. Olhof, N., Taylor, J. E.: Designing continuous columns for minimum total cost of mate-rial and interior supports, Journal of Structural Mechnanics 6(4), 367–382.

2. Wang, D.: Optimization of support position to minimize the maximal deflection ofstructures, International Journal of Solids and Structures 41, 7445–7458, 2004.

3. Wang, C. M., Xiang, Y. and Kitipornchai, S.: Optimal locations of point supports inlaminated rectangular plates for maximum fundamental frequency, Structural Engineer-ing and mechanics, Vol. 5, No. 6, 691–703, 1997.

4. Xiang, Y., Wang, C. M. and Kitipornchai, S.: Optimal locations of point supports inplates for maximum fundamental frequency, Structural Optimization 11, 170–177, 1996.

5. Narita, Y.: Optimal design of support location for vibration of structure and its compo-nents, Current Topics in Structural Mechanics, ASME PVP–179, 169–173.

OPTIMAL SUPPORT POSITIONS FOR STATICALLYINDETERMINE CONTINUOUS BEAM FOR MINIMAL

WEIGHT

byRadomiroviæ, D., Srdjeviæ Zorica

SUMMARY

The paper focuses on the supports position for statically indetermined continu-ous beam. Positions are determined first in longitudinal and then in longitudinaland lateral directions, while minimizing maximal bending moment. Beams ana-lyzed here are: beam with overhangings, beam on three supports and beam withone end clamped and the other pinned. They are loaded either with distributedload or with two concentrated forces. Results proved that the optimal supports lo-cation significantly reduces maximal bending moment.

Keywords: optimization, beam, bending moment, support position

84

Page 12: OPTIMALNE LOKACIJE OSLONACA STATIÈKI OPTEREÆENE …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0546-8264/2004/0546-82640401074R.pdf · 1 je prikazana prosta greda optereæena ravnometnim kontinualnim

Primljeno: 15. 03. 2005.Prihvaæeno: 22. 03. 2005.Recenzent: Prof. dr Janko Coniæ

85