Optimal Control Moaveni

1

ی عا ه یسبا عا ه سبا

سيستم هاي كنترل بهينه سيستم هاي كنترل بهينه

بيژن معاوني [email protected]

1387بهمن

2

رئوس مطالب مقدمه، تعاريف•تابع معيار و ارزشيابي عملكرد•برنامه ريزي پويا•حساب تغييرات•روش تغييراتي در مسائل كنترل بهينه•

2

3

نحوه ارزيابي دوره تمرين•

) نمره5( نمره1هر تمرين •پروژه•

نمره3•امتحان پايان ترم•

نمره12•

4

مراجع•D.E. Kirk ،ترجه دكتر نيكروش، انتشارات ، مقدمه اي بر تئوري كنترل بهينه :

.دانشگاه صنعتي اميركبير • Anderson, B., and Moore, J., Optimal Control: Linear-Quadratic

Methods, Prentice Hall, 1990.

• Hull, D. Optimal Control Theory for Applications, Springer-Verlag,

2003.

• Kwakernaak, H., and Sivan, R., Linear Optimal Control Systems, Wiley, 1972.

• F. Lewis, V.L. Syrmos, Applied Optimal Control and Estimation: Digital

Design & Implementation , Prentice Hall, 1992.

3

5

مقدمه:فصل اول: تعريف عام سيستم كنترل بهينه •

محدوديت ها يا قيود بطوري كه در تعيين سيگنال كنترل را حداقل و يا معيار معيني صدق كرده و در ضمن فيزيكي

.حداكثر نمايد

:آماده سازي يك مساله كنترل بهينه •.ديناميكي آن مدل سازي سيستم بصورت مشخص نمودن معادالت. 1.مشخص نمودن و تعريف رياضي محدوديت هاي فيزيكي . 2).مشخص نمودن تابع هزينه ( تعيين معيار عملكرد سيستم . 3

6

مدل سازي سيستم : مدل سازي سيستم •

خروجي سيستم به ساده -توصيف ديناميك و نحوه ارتباط ورودي در اين درس مدلسازي به توصيف سيستم با . (ترين صورت ممكن

معادالت ديفرانسيل معمولي محدود مي شود، به عبارت ديگر بحث خواهد LTIاصلي توصيف سيستم به صورت معادالت فضاي حالت

)بود

•u(t) : سابقه مقادير سيگنال كنترل .•x(t) : سابقه مقادير وضعيت يا حالت .

)()()(

)()()())(),(()(

tDutCxty

tButAxtxtutxatx

4

7

مدل سازي سيستم )1-1(4شكل ص : 1.1-1مثال •

)()(

)(11

00)(

00

10)()()(

)()()(

2

1

tdtx

ttttdtx

tttd

BrakeAccelerate

uxx

8

محدوديت ها و قيود فيزيكي در كنترل بهينه الزم است محدوديتهاي فيزيكي بر روي حالت ها •

. و كنترل ها تعريف گردد : 1.1-2مثال •

:محدوديت روي حالت–: متوقف شودe شروع كند و در نقطه Oاگر اتومبيل از حالت سكون در نقطه •

1 0

10

2 0

2

( ) 01

( ) 0( ) , ( )

0 0( ) 02

( ) 0

ff

f

x t

x t e et t

x t

x t

x x

5

9

محدوديت ها و قيود فيزيكي :1.1-2ادامه مثال •

:اگر اتومبيل هرگز عقب نرود•

: محدوديت هاي ورودي –

: محدوديت سوخت •

)(0

)(03

2

1

tx

etx

SystemBrakeonDependtuM

PowerMotoronDependMtu

0)(

)(04

22

11

ft

t

Gdttxktuk0

)()(5 2211

10

محدوديت ها و قيود فيزيكي 8ص)1-3(شكل : 1.1-2ادامه مثال •

6

11

محدوديت ها و قيود فيزيكي ):Admissible Control(تعريف كنترل قابل قبول •

سيگنال كنترلي كه در تمام زمان مورد نظر در محدوديت هاي ورودي .صدق نمايد) كنترل(

):Admissible Trajectory(منحني مسير قابل قبول •منحني مسير متغير وضعيت كه در تمام زمان مورد نظر در محدوديت هاي

.حالت صدق نمايد

12

ارزيابي عملكرد عملكرد يك سيستم، طراح بايد نحوه كمي به منظور ارزيابي •

و در يك انتخاب نموده را )هزينه (تابع معيار ارزيابي عملكرد يا . نمايد حداقليا / وحداكثر آن را سيستم كنترل بهينه

Performance: عملكرد•

Cost Function: تابع هزينه•

در مورد مثال اتومبيل اگر بخواهيم فاصله دو نقطه را در : 1.1-3مثال–يا به عبارت ديگر با ماكزيمم سرعت طي /كمترين زمان ممكن و: نماييم آنگاه تابع هزينه

0ttJ f

7

13

مسأله كنترل بهينهمسأله اي كه در اين درس به دنبال حل آن هستيم عبارت •

: است از

كه باعث مي شود سيستم*uكنترل قابل قبول : را تعقيب نموده و تابع هزينه زير را حداقل نمايد *xمسير قابل قبول

u* :كنترل بهينهx* :منحني مسير بهينه

)),(),(()( tttat uxx

ft

t

ff dttttgtthJ0

)),(),(()),(( uxx

14

) چند نكته(مسأله كنترل بهينه

: باشد كه مسأله وجود نداشته براي جوابي ممكن است . 1 .قابل قبول باشد•.مسير مطلوبي را طي نمايد•

الزم به ذكر است كه پيدا نمودن جواب معموال ساده تر از اثبات .يا عدم وجود جواب است /وجود و

. وجود نداشته باشد جواب منحصر به فردي امكان دارد . 2ترهاي طراح مي تواند يكي از جواب ها را انتخاب نمايد و يا با تعريف پارام •

... و اضافي كه در تابع هزينه در نظر گرفته نشده اند مانند قيمت، اندازه .انتخاب خود را انجام دهد

8

15


حداقل مطلق ما به دنبال پاسخي هستيم كه تابع هزينه را به . 3 . برساند

: باعث حداقل شدن تابع معيار مي شود*uبه عبارت ديگر اگر •

X : مجموعه مسير ها و يا حاالت قابل قبولU : مجموعه ورودي هاي قابل قبول

Uu

Xx

uxxuxx

:

)),(),(()),(()),(),(()),((00

****

where

dttttgtthdttttgtthJff t

t

ff

t

t

ff

16


14ص )1-5(شكل

) 15ص( 1.1-5مثال

9

17

)Optimal Policy( سياست بهينه

: اگر يك رابطه تابعي به صورت: تعريف

ت بتوان براي كنترل بهينه بدست آورد آن را قانون كنترل بهينه يا سياس . بهينه مي نامند

)),(()(* ttft xu

18

يادآوري

:نمايش سيستم ها در فضاي حالت . مزاياي اين نوع توصيف در درس كنترل مدرن نشان داده شد

سيستم غيرخطي و متغير با زمان –

متغير با زمان ناسيستم غيرخطي و –

سيستم خطي و متغير با زمان –

)LTI( سيستم خطي و نا متغير با زمان –

)),(),(( ttt uxax

))(),(( tt uxax

)()()()( ttBttA uxx

)()( tBtA uxx

10

19

يادآوري

:نمايش سيستم ها در فضاي حالت : معادالت خروجي

سيستم غيرخطي و متغير با زمان –

)LTI( سيستم خطي و نا متغير با زمان –

.در اين درس كليه خروجي ها در دسترس و قابل اندازه گيري مي باشند

)),(),(()( tttt uxcy

)()()( tDtCt uxy

20

يادآوري

حل معادالت حالت:LTIبراي سيستم

ft

t

dButtxtttx0

)(),()(),()( 00

)()()0()()( 111 sBAsIAsIt uxx _

11

21

يادآوري

:LTIشرط كنترل پذيري حالت براي سيستم

:LTIشرط رؤيت پذيري حالت براي سيستم

rNonsingulaBABAABB nc ],,,,[ 12

rNonsingulaCACACAC TnTTTTTTo

],,,,[

12

1

1

تابع معيار يا ارزشيابي عملكرد :فصل دوم مقدمه

:آماده سازي يك مساله كنترل بهينه •.ديناميكي آن مدل سازي سيستم بصورت مشخص نمودن معادالت. 1.مشخص نمودن و تعريف رياضي محدوديت هاي فيزيكي . 2).مشخص نمودن تابع هزينه ( تعيين معيار عملكرد سيستم . 3

SISO و LTIمعيارهاي متعارف براي سيستم هاي

…

2

تابع معيار يا ارزشيابي عملكرد :فصل دوم مقدمه

SISO و LTIمعيارهاي متعارف براي سيستم هاي •

حوزه فركانس ) پاسخ پله و شيب(حوزه زمان)Phase Margin ( حد فاز-1)Rise Time( زمان صعود-1

خطاي حالت ماندگار-4(steady state Error)

پهناي باند-4

ماكزيمم دامنه -Overshoot(3( در صد فراجهش-3

)Gain Margin( حد بهره -2)Settling Time (زمان نشست -2

2

3

تابع معيار براي مسائل كنترل بهينه يادآوري

به طوري كه باعث شود سيستم *uهدف يافتن كنترل بهينه

را كه باعث حداقل شدن تابع هزينه زير مي گردد *xمسير قابل قبول : را تعقيب نمايد

)),(),(()( tttat uxx

ft

t

ff dttttgtthJ0

)),(),(()),(( uxx

4

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها مسأله حداقل زمان -1

انتقال سيستمي از شرايط اوليه دلخواهي به يك مجموعه هدف در حداقل زمان

: مثالاتومبيل در فصل اول •موشك ضد هواپيما •چرخش رادار •

.مسائلي كه زمان رسيدن به حالت نهايي داراي اهميت است

ft

t

f dtttJ0

0

3

5

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) خطاي حالت ماندگار حداقل( مسأله كنترل وضعيت نهايي -2

حداقل كردن انحراف وضعيت نهايي سيستم از مقدار مطلوب آن : يك تابع معيار مناسب عبارت است از .

چرا از توان دو خطا براي تعريف تابع معيار استفاده شده است؟چرا از توان دو خطا براي تعريف تابع معيار استفاده شده است؟••آيا مي توان از قدرمطلق خطا براي تعريف تابع معيار استفاده نمود؟آيا مي توان از قدرمطلق خطا براي تعريف تابع معيار استفاده نمود؟••

n

ififi trtxJ

1

2)]()([

)( ftr

6


بازنويسي تابع معيار

تابع نرم براي يك بردار عبارت است از مجموع توان ).مشخص كننده توان و اندازه بردار( دوي عناصر آن بردار

)]()([)]()([ ffT

ff ttttJ rxrx

2)()( ff ttJ rx

2

4

7


تابع معيارWeightingوزن دهي يا

نيمه معين/متقارن، حقيقي و مثبت معين : Hخصوصيات ماتريس

بوسيله اين ماتريس امكان ارزش گزاري و تمايز در اهميت ما بين بوسيله اين ماتريس امكان ارزش گزاري و تمايز در اهميت ما بين ––همچنين امكان نرماليزه نمودن پارامترها همچنين امكان نرماليزه نمودن پارامترها . . حالت ها وجود خواهد داشتحالت ها وجود خواهد داشت

. . نيز وجود خواهد داشتنيز وجود خواهد داشت

2)()()]()([)]()([

HrxrxHrx ffff

Tff ttttttJ

8

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) 41شكل ص(وزن دهي تابع معيار مسأله كنترل وضعيت نهايي و -2

)(

5000)(

0

0])(5000)([

)]([]5000)([

22

11

222

211

f

fff

ff

t

tl

h

httl

thtlhJ

5

9

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها وزن دهي تابع معيار مسأله كنترل وضعيت نهايي و -2

اهميت يكسان در انحراف برد و سمت نرماليزه بودن متغيرهاي زاويه سمت و برد نسبت به هم

1122

112

22

22

11

222

211

)01.0

50(

)(

5000)(

0

0])(5000)([

)]([]5000)([

hh

hh

t

tl

h

httl

thtlhJ

f

fff

ff

10

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها )Minimum Control Effort( مساله حداقل تالش كنترلي -3

براي مداري با منبع ولتاژ و عناصر غير ذخيره كننده انرژي، فرض كنيدu(t) ،منبع ولتاژ باشد و هدف كنترل با حداقل انرژي تلف شده باشد

براي حداقل نمودن u(t)آنگاه با توجه به ارتباط مستقيم جريان منبع با : انرژي تابع معيار عبارت خواهد بود از

:در صورت داشتن چند منبع ورودي با ارزش گذاري متفاوتft

t

dttuJ0

)(2

ff

PDMatrixWeighting

t

tR

t

t

T dttdtttJ00 )(

2)()()( uuRu

6

11

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) Tracking( مساله تعقيب -4

و وضعيت x(t)يا حالت /دست يافتن به حداقل فاصله ما بين وضعيت و : تا در محدوده زمان r(t)مطلوب 0t

f

PSDMatrixWeighting

t

tt

dtttJ0

)(

2

)()()(

Qrx

ft

رابطه ( ) اگر محدوديت روي سيگنال كنترل وجود داشته باشد فوق كافي است، وليكن در صورت عدم وجود محدوديت رابطه فوق موجب حاصل شدن ورودي هايي غير عملي به صورت ضربه يا مشتقات

به منظور جلوگيري از اين اتفاق مي توان از تابع معيار . آن خواهد شد:زير سود جست

ft

tttdttttJ

0

2

)(

2

)()()()(

RQurx

)(tui

12

مسائل متعارف كنترل بهينه و توابع معيار آنها ) Regulators( مساله تنطيم كننده ها -5

له در صورتي كه در مسأله تعقيب باشد مساله تعقيب به مسا. تنظيم كننده تبديل مي گردد

ft

t

dttxJ0

2)(

0)( tr

7

13

انتخاب تابع معيار :هدف از انتخاب تابع معيار

ارائه يك تابع رياضي به صورتي كه حداقل شدن مقدار آن تابع نشان .دهنده آن باشد كه سيستم در مطلوب ترين وضعيت عمل مي نمايد

:53ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي(مثال

زاويه حمله زاويه اوج

.) بسيار كوچك فرض شده است( زاويه مسير پرواز :h ارتفاع سطح پرواز از عرشه كشتي

:

:

:

14

: 53ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي ( مثال

: معاالت حاكم بر سيستم • 230��/�� يا 160 ��سرعت ثابت

) 2-8(شكل

4444342

2322

4321

0

0

0

;

0

1000

00

0010

,,,

)()()(

b

b

aaa

aaA

xxhxhx

ttt

buAxx

8

15

:56ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي ( مثال

: مسير فرود متعارف • ثانيه مدت زمان فرود به طول 30 فوتي از كشتي در نتيحه حدود 7050 فوتي و فاصله 450ارتفاع

.خواهد انجاميد درجه5: زاويه اوج مطلوب •

16

:56ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي(مثال

9

17

:58و 57ص ) فرود هواپيما بر روي عرشه كشتي(مثال

1

1

برنامه ريزي پويا :فصل سوم مقدمه

تعيين پس از تعيين تابع معيار براي يك سيستم نوبت به •. نمايد حداقل مي رسد كه كه اين تابع را تابع كنترل

دو روش حداقل يابي –)استفاده از كامپيوتر ديجيتال در حل مساله ( برنامه ريزي پوياي بلمن •اصل حداقل يابي پونترياگين•

2

اصل بهينگي )بهينه يابي(اصل بهينگي

يا تصميم /يك سياست بهينه داراي اين خاصيت است كه شرايط اوليه وتصميم گيري باقي مانده نيز بايد يك سياست , گيري اوليه هرچه باشد

.بهينه را با توجه به حالت ايجاد شده از تصميم گيري بسازد: به عنوان مثال –

2

3

)67 ص 3-2شكل(كاربرد اصل بهينگي در تصميم گيري

يك روش محاسباتي است كه با تصميمات متوالي برنامه ريزي پويا يك سياست و مسير بهينه را معين مي كند

4

برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه

. از هر حالت اوليه h رسيدن به نقطه :هدف. فقط امكان حركت در يك جهت •هر تقاطع : وضعيت•انتخاب جهت : تصميم •

8

2

3

3

2

3

8

5

9

5

a

b C

d e

f g

h

3

5

برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه C شرايط اوليه :فرض

8

2

3

3

2

3

8

5

9

5

a

b C

d e

f g

h

15105** dhcdcdh JJC

853** fhcfcfh JJC8}8,15min{},min{ *** cfhcdhch CCJ

. خواهد بود f رفتن به cدر نتيجه تصميم بهينه در

6

برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه يافتن يا :لذا مساله جديد

8

2

3

3

2

3

8

5

9

5

a

b C

d e

f g

h

523** ghfgfh JJJ

]}[,min{ **

fhefeheh JJJJ

.به سمت نقطه شروع حركت كنيم) مقصد (در نتيجه الزم است از انتها

*fhJ*

dhJ

4

7

روش كلي :برنامه ريزي پويا و مساله مسير بهينه : قراردادها

)تقاطع(وضعيت فعلي : •,در وضعيت ) كنترل(تصميم مجاز : •.مجاور با اعمال ) تقاطع(وضعيت : •.وضعيت نهايي : •

مقدار تابع هزينه براي حركت از به : •حداقل هزينه براي رسيدن به حالت نهايي از : •حداقل هزينه براي رفتن از به از طريق : •حداقل هزينه براي رفتن از به از هر مسير مجاز : •.در ) كنترل(تصميم بهينه : •

iu

WSEN

i

4,3,2,1

ix

iu

h

ixixJ

ix *hxi

Jhix *

hxiC

*hJ

h )(* u

8

حل مساله مسير بهينه با استفاده از برنامه ريزي پويا

5

9

سيستم كنترل بهينه -3-5

)()()(: tbutaxtxsys

1)(1

5.1)(0:.

tu

txCons

T

dttuTxJfunctionCost0

22 )()(:

Q1: How can solve the Differential Equation

using D.P.?

10


)()()(: tbutaxtxsys

Q1: How can solve the Differential Equation

using D.P.?

R1: Change Differential Eq.

to Difference Eq.

)()()()(

:Eq. Difference tbutaxt

txttx

6

11


)()()()(

???:Eq. Difference

tbutaxt

txttx

12


)(..)()..1()(

??? :Eq. Difference

tutbtxtattx

Nktkutbtkxtatkx

tkt

,...,1,0 ),(..).().1()].1([

: then . :if

Nkkutbkxtakx ,...,1,0 ),(..)().1()1( Nkkutbkxtakx ,...,1,0 ),(..)().1()1(

7

13


tN

tN

t

t

t

dttNudttudtutNxJ)1(

22

2

0

22 ))1(()()0()(

14


)1()1()0(.)( 2222 NuuuttNxJ

1

0

22 )(.)(N

k

kutNxJ

8

15


1,01)(1

2,1,05.1)(0

)1(2)0(2)2(

1,0)()()1(

2

1

1

0

)()()(

222

kku

kkx

uuxJ

kkukxkx

T

t

b

a

tbutaxtx : مثال•

:كوانتيزه نمودن مقادير ورودي و حالت ها

1,5.0,0,5.0,1)(

5.1,0.1,5.0,0)(

ku

kx

16

سيستم كنترل بهينه -3-5: مثال•

9

17

سيستم كنترل بهينه -3-5: مثال•

18

ميان يابـي -3-6ل به در صورتي كه مقادير حالت سيستم در هر مرحله توسط مقادير قانون كنتر•

عددي مقادير كوانتيزه شده حالت منجر نگردد به منظور دست يافتن به مقدار )3-4شكل (. خواهيم بودميان يابيتابع هزينه در مقدار حالت جديد نيازمند

6875.0)25.0(275.0))1((

75.0)25.0(1)1()1()2(22*

12 xJ

uxx

10

19

)3-4جدول -ادامه( ميان يابـي -3-6

09375.1]6875.05.1[2

16875.0)25.1(*

12 J

4375.0]1875.06875.0[2

11875.0)75.0(*

12 J

20

)بازنويسي روابط در حالت كلي( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7

: با گسسته سازي•Uwhere

ttgthJ

tttft

f

u

uxx

uxax

,

))(),(())((

))(),(()(

0

)57.3())(),((.)()1(

))(),((.)()(

kktkk

tttttt

uxaxx

uxaxx

)67.3())(),(()1(

kkk D uxax

11

21

)بازنوسي روابط در حالت كلي( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7

:تاثير گسسته سازي بر تابع هزينه Uwhere

ttgthJ

tttft

f

u

uxx

uxax

,

))(),(())((

))(),(()(

0

)77.3())(())(),(())(()1(

2

00

tN

tN

t

t

tt

f gdtgdtgdtNhttgthJf

xuxx

: در صورتي كه دوره تناوب نمونه برداري به اندازه كافي كوچك باشد

1

0

))(),(())((N

k

kukxgtNhJ x

1

0

))(),(())((N

kD kkgNhJ uxx

22

)نحوه تعيين قانون كنترل( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7

: مراحل تعيين قانون كنترل

)87.3())(),(())((1

0

akkgNhJN

kD

uxx

)67.3())(),(()1(

kkk D uxax

))(())((:0. , NxhNJS NN

x

))((

,1

,

))(())1(),1(())1(),1((:1.NJ

DNN

NN

NxhNNgNNJSx

uxux

)))1(),1((a())1(),1(())1(),1(( ,,1

NNJNNgNNJ DNNDNN uxuxux

12

23

)نحوه تعيين قانون كنترل( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7: در نتيجه هزينه بهينه عبارت است از

)))1(),1((a())1(),1((min))1(( ,)1(

*,1

NNJNNgNJ DNNDNu

NN uxuxx

)1),1(( :Control Optimal * NNxu

:2.S

))1(),1(())2(),2((

))(())1(),1(())2(),2((

))1(),2(),2((

,1

,2

NNJNNg

NhNNgNNg

NNNJ

NND

DD

NN

uxux

xuxux

uux

)))1(),1((a())2(),2((min))2(( ,1)1(),2(

*,2

NNJNNgNJ DNNDNuNu

NN uxuxx

: با توجه به اصل بهينگي

))1(())2(),2((min))2((

))2(),2((a

*

)2(

*,2 ,1

NUnX

DNu

NN

D

NNNJNNgNJ xuxx

24

)نحوه تعيين قانون كنترل( رابطه توالي برنامه ريزي پويا -3-7

: مرحله اي kلذا براي پروسه

)))1((())(),((min))2((

))(),((a

*

)(

*, ),1(

kNUknX

DkNu

NkN

D

NkNkNJkNkNgNJ xuxx

موده و براي يك پروسه چند مرحله اي ابتدا با يك پروسه صفر مرحله اي اغاز ن.خواهيم رسيد.... دو مرحله اي و , سپس به پروسه يك مرحله اي

13

25

جمع بندي ( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8

) حل مساله بر اساس روش برنامه ريزي پويا: مدل گسسته سيستم مشخص گردد-1

)))1((())(),((min))2((

))(),((a

*

)(

*, ),1(

kNUkNX

DkNu

NkN

D

NkNkNJkNkNgNJ xuxx

:قانون كنترل بهينه محاسبه گردد ) توالي ( با استفاده از برنامه ريزي پويا و معادله برگشتي -3

1,,1,0 ));(),((a)1( Nkkukxk D x

هدف يافتن قانون كنترلي است كه اين تابع هزينه را مينيمم ( تابع معيار مشخص گردد -2):نمايد

)28.3())(),(())((1

0

N

kD kkgNhJ uxx

: قانون كنترل بهينه -41,,1,0 );),((* NkkNkN xu

26

) ادامه( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8

:تنها نكته باقيمانده به تعداد محدودي مقادير كوانتيزه است مقادير وضعيت ها و كنترل ها نحوه تقسيم بندي

.بر اساس محدوديت هاي آنها

nrx

xxs

r

rrr ,,2,11min max

integer

):وضعيت( متغير حالت nبه عنوان مثال براي يك سيستم با

tkfor t ... 21 nsssS

: ورودي يا قانون كنترل mهمچنين براي يك سيستم با

m

q

qqq

cccC

mqu

uuC

...

,,2,11

21

min max

integer

14

27

)ادامه( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8:روشن كننده ويژگي مسأله خواهد بود) 3-5(براي يك سيستم مرتبه دوم شكل زير

28

)ادامه( روش محاسباتي براي حل مسأله كنترل بهينه-3-8.نحوه برنامه نويسي مطالعه گردد

1k

1i )( kNi x

Cj ,,2,1 )( kNj u

)1(),( kNjix )1(),(*

)1( kNxJ jikN

ionInterpolat

)(),( )()(*, kNkNC iiNkN ux

1 ii

1 kk

15

29

برنامه ريزي پويا پاسخ مشخصات -3-9چرا كه از جستجوي مستقيم , مي گردد)Global Minimum(منجر به حداقل مطلق •

در اين راه جستجو بر اساس تمامي كنترل ها صورت نمي پذيرد بلكه . استفاده مي گردد).3-7شكل (بر اساس استفاده از اصل بهينگي انجام مي پذيرد

30

برنامه ريزي پويا پاسخ مشخصات -3-9.حضور محدوديت ها موجب ساده تر شدن حل مسأله مي گردد•

.كنترل حاصل از پاسخ برنامه ريزي پويا يك كنترل حلقه بسته است •

يك سيستم : مثال( حجم محاسبات به نسبت عدد گذاري مستقيم كاهش يافته است•).)3-5(جدول مقدار در كنترل 4 مقدار كوانتيزه شده در وضعيت و 10مرتبه اول با

.مشكل ابعاد و افزايش نياز به حافطه در مسائل با ابعاد بزرگ•

)),(f(* ttxu

16

31

تنظيم كننده خطي- نتايج تحليلي-3-10

(There is no constraint on states and controls))()()1( kkk BuAxx

:FunctionCost

1

0

)]()()()([2

1)()(

2

1 N

k

TTT kkkkNN J RuuQxxHxx

P.D. Symmetric, :

P.S.D Symmetric, :

R

Q H,

:0 Step )()( 2

1 NNJ T

NN Hxx

:1 Step

)1()1(2

1)1()1(

2

1

)()0()( 2

1))1(),1((,1

NNNN

NNNN J

TT

TNN

RuuQxx

xPxux

32

)ادامه(تنظيم كننده خطي - نتايج تحليلي-3-10

:با توجه به نبود محدوديت روي كنترل ها الزم است مشتق گرفته شود

)1()1(2

1)1()1(

2

1

)()0()( 2

1))1(),1((,1

NNNN

NNNN J

TT

TNN

RuuQxx

xPxux

0)1(

)1(

)1(

)1(

,1

,1

2

,1

1

,1

N

J

Nu

J

Nu

J Nu

J

NN

m

NN

NN

NN

u

) نوع اكسترمم(الزم است به منظور تحليل پاسخ . مشتق دوم بررسي و تحليل گردد, اين معادله

8)-(3.10

0)]1()1()[0()1( NNN T BuAxPBRu

17

33


)1(

)1()1()1()1()1(

)1()1()1()1()1(

)1()1()1()1()1(

2

,12

2,1

2

2

,1

1

,1

2

,1

22

,12

12

,12

1

,1

21

,1

21

,12

N

J

Nu

J

NuNu

J

NuNu

J

NuNu

J

Nu

J

NuNu

J NuNu

J

NuNu

J

Nu

J

NN

m

NN

m

NN

m

NN

m

NNNNNN

m

NNNNNN

u

:مينيمم مطلق تابع هزينه متناظر خواهد بود) 3.10-8(در نتيجه پاسخ معادله

P.D.N

J TNN : )0()1(2

,12

BPBRu

10)-(3.10 )1()1( )1()0())0(()1( 1* N-N-NN TT xFAxPBBPBRu

34



:همچنين در صوت برگشت به يك مرحله قبل

:در نتيجه

QRFFBFAPBFAP

xPx

xQRFF

BFAPBFAx

)1()1()]1()[0()]1([)1(

)1()1()1(2

1

)1(})1()1(

)]1()[0()]1(){[1(2

1))1((*

,1

NNNN

NN

NNN

NNNNxJ

TT

T

T

TTNN


18

35


16)-(3.10 )()(

)()()1()(

)]()1()()([)( 1*

N-kN-k

kNkNkkN

kNkkNkNkNT

T

xF

xAPB

BPBRu

ه در حالت كلي براي يك سيستم خطي متغير با زمان گسسته و براي كنترل ب :صورت تنظيم كننده خطي

يادآور فيدبك حالت

36


19)-(3.10 )()1()(

)]()1()()([)( 1

kNkkN

kNkkNkNkNT

T

APB

BPBRF

20)-(3.10 )()()()(

)]()()([

)1()]1()()([)(

kNkNkNkN

kNkNkN

kNkNkNk

T

T

QFRF

FBA

PFBAP

17)-(3.10 )()()(2

1

)()}()()()(

)]()()()[1(

)]1()()(){[(2

1))1((*

,

kNkkN

kNkNkNkNkN

kNkNkNk

NkNkNkNNxJ

T

T

TTNkN

xPx

xQFRF

FBAP

FBAx

:در نتيجه به منظور پياده سازي كامپيوتري

19

37


)(0539.0

0013.0)(

1591.11078.0

0539.09974.0)1( kkk uxx

):3.10-1(مثال

1

0

222

21 )](05.0)(05.0)(25.0[

2

1 :FunctionCost

N

k

kukxkxJ

05.005.00

025.00

RQH

38


)(0539.0

0013.0)(

1591.11078.0

0539.09974.0)1( kkk uxx

):3.10-1(مثال

20

39


)(0539.0

0013.0)(

1591.11078.0

0539.09974.0)1( kkk uxx

):3.10-1(مثال

40

) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11

)),(),(()( tttt uxax :صورت مسئله قبل از گسسته سازي

ft

t

ff dgtthJ0

)),(),(()),(( uxx

): imbedding principle(بر اساس اصل شمول

3)-(3.11 )),(),(()),(())(,),(( f

t

t

fftt

ttdgtthuttxJf

f

uxx

:هدف همچنان يافتن قانون كنترلي است كه تابع هزينه را مي نيمم نمايد

4)-(3.11 )),(()),(),((min)),(()(

*fff

t

tu

tttthdgttxJf

ftt

xux

21

41

) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11: با تقسيم محدوده زماني به دو قسمت

5)-(3.11 )),((min)),(()(

*fff

t

tt

tt

tu

tttthgdgdttxJf

ftt

x

:با استفاده از اصل بهينگي

6)-(3.11 )),((min)),((

)),((min)),((

*

)(

*

)),((

)(

*

*

ttttxJgdttxJ

tthgdgdttxJ

tt

tu

ttttxJ

ff

t

tt

tt

tu

ftt

f

ftt

x

42

) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11:با استفاده از تقريب بسط تيلور حول

:در صورتي كه به اندازه كافي كوچك باشد

H.O.T} )()()(

)),((

)),(()),(({min)),((

*

**

)(

*

txttxtx

ttxJ

tt

ttxJttxJgdttxJ

T

tt

tu

ftt

)),(( ttx

t

8)-(3.11 })()]),(),(()[),((

)),(()),(()),(),(({min)),((

*

**

)(

*

tOttttttJ

tttJttJttttgttxJ tu

ftt

uxax

xxux

x

22

43

) H.J.B(بلمن-ژاكوبي- معادله هاميلتون-3-11:با خارج نمودن جمالتي كه به وابسته نيستند

:با تقسيم بر و ميل دادن آن به سمت صفر

)(tu

t

9)-(3.11 0})()]),(),(()[),((

)),(),(({min)),((

*

)(

*

tOttttttJ

ttttgtttJftt

ut

uxax

uxx

x

)),(()),((

10)-(3.11 0})]),(),(()[),(()),(),(({min)),((

*

*

)(

*

ffff

ut

tthttJ

tttttJtttgttJ

xx

uxaxuxx x

: H ,هاميلتونينبا تعريف 12)-(3.11 )]),(),(()[),(()),(),(( ),),(),(( ** tttttJtttgtJtt uxaxuxux xx H

44


10a)-(3.11 0,),,),((),()),(( **** tJtJttttJt xxxuxx H

):H.J.B( بلمن -ژاكوبي-هاميلتوندر نتيجه معادله

),),(),((min,),,),((),( *

)(

*** tJtttJtJttt

xu

xx uxxux HH

) 3.11-1(مثال

T

dttuTxJ

tutxtx

0

22 )(4

1)(

2

1

)()()(

23

45


):3.11-1(مثال

T

dttuTxJ

tutxtx

0

22 )(4

1)(

4

1

)()()(

16)-(3.11 )]()()[),(()(4

1),),(),(( *2* ttttJtutJtt uxxux xx H

?)},),(),((min{),),),(),((),(( *** tJtttJttutxt

quation:he H.J.B eto solve t

xx uxux HH

)),((2)(

05.0

0)(5.0**

2

2

*

ttxJtu

u

Jtuu

x

x

H

H

46


0)]([][ 0]2)([]2[4

1 *2****2** txJJJJtxJJJ

tion:H.J.B equa

xxtxxxt

: فوقH.J.Bشرايط حدي براي حل معادله ديفرانسيل

)(4

1)),(( 2* TxTTxJ

).113-112ص (راه حل مسئله مي تواند حدس زدن پاسخ معادله باشد

24

47

تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12): Quadratic(سيستمي با ديناميك خطي و تابع معيار مجذوري

)()()()()( ttttt uBxAx

:.H.J.Bتشكيل هاميلتونين به منظور استفاده از معادله P.D. & Symmetric :

P.S.D. & Symmetric :

)]()()()()()([2

1)()(

2

1

0

R

QH

uRuxQxHxx

,

dtttttttttJ T

t

t

Tff

Tf

)]()()()()[),((

)()()(2

1)()()(

2

1),),(),((

*

*

ttttttJ

tttttttJtt

T

TT

uBxAx

uRuxQxux

x

x

H

48

تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12

10a)-(3.11 0,),,),((),()),(( **** tJtJttttJt xxxuxx H

:.H.J.Bبا توجه به معادله

)),(()()()(

P.D. :)(

0)),(()()()(*1*

2

2

*

ttJttt

t

ttJttt

xT

xT

xBRu

Ru

xBuRu

H

H

AxBBRQxx

BBRAxBBRQxxux

xxx

xxxxxx

TTTT

TTTTTT

JJtJ

JJJJtJtJtt

**1*

*1***1***

)(2

1

2

1

)(2

1

2

1),),(),((

H

25

49

تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12: براي تنظيم كننده خطي عبارت خواهد بود از.H.J.Bدر نتيجه معادله

0)(2

1

2

1 **1** AxBBRQxx xxxTTTT

t JJtJJ

)()(2

1)),(( :Condition Marginal *

ffT

ff ttttJ Hxxx

)()()( )(: .P.D. & Symm:شكل پاسخ 2

1)),((* ttttttJ T KxKxx

02

1

2

1

2

1 1 KAxxKxBKBRxQxxxKx TTTTT

50

تنظيم كننده خطي پيوسته-3-12ر بازنويسي با توجه به اسكالر بودن عناصر معادله فوق مي توان آن را به صورت زي

:نمود0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 KxAxKAxxKxBKBRxQxxxKx TTTTTTT

)( :Condition Marginal

4)-(3.12

0)()()()()()()()()()()( 1

HK

KAAKKBRBKQK

f

TT

t

ttttttttttt

معادله ريكاتي)Riccati (

26

51

.H.J.B جمع بندي معادله -3-13

. يك شرط الزم و كافي براي تابع هزينه مي نيمم است.H.J.Bمعادله • .H.J.Bدر بيشتر مواقع الزم است از حل عددي براي حل معادله حاصل از •

.استفاده نماييم. پلي ما بين برنامه ريزي پويا و روشهاي تغييراتي است.H.J.Bمعادله •

1

1


سيستم هاي كنترل بهينه سيستم هاي كنترل بهينه

:فصل چهارم حساب تغييرات

2

حساب تغييرات:فصل چهام مقدمه

و مسأله يافتن شكل هندسي با ماكزيمم Dido( مسأله بهينه يابي •)مساحت و محيط يكسان و برابر

نيوتن و مسأله تعيين شكل جسم متحرك با : ميالدي1700 اوايل •. كمترين مقاومت در مقابل خود

روشهاي پيشنهادي ): Brachistochrone (مسأله بارچيستوچرون •. ، نيوتن و هوپيتال)جان و جاكوب(براداران برنولي

:)4-1شكل (

A

B

2

3

حساب تغييرات:فصل چهام :شكل مساله بارچيستوچرون•

4

: مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1

عضو دامنه، ، را به يك نقطه منحصر به قانوني كه هر: 4-1تعريف •. نسبت مي دهد) Range( فرد برد

) فاصله از مبدا : ( مثال

يك تابعي، ، قانوني است كه به هر تابع، ، يك عدد حقيقي : 4-2تعريف •. نسبت مي دهد

: مثال

q

222

21)( nqqqf q q

ft

t

dttJ0

)x((x)

Jx

3

5

): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1

خطي بودن توابع : 4-3تعريف •

138ص ) 4.1-3(مثال شرط خطي بودن يك تابعي: 4-4 تعريف •

139ص ) 4.1-4(مثال

)(.)().()()()(

)(.).(2121

2121

qqqqqqqq

qqfff

fff

ff

)(x.)(x)x.(x)(x)(x)x(x

(x).x).()2()1()2()1(

)2()1()2()1(JJJ

JJJ

JJ

6


؛ قاعده اي كه به هر نقطه يك عدد نسبت )norm(تعريف نرم : 4-5تعريف •نرم ها الزم است كه در شرايط زير . .. . ) . توان و , معياري از اندازه(مي دهد

:صدق نمايند

141ص ) 4.1-5(مثال •

)2()1()2()1( .3

.. .2

00

0 .1

qqqq

qq

qq

q

||||

),(

211

22

212

21

qqqq

qq

qq

q

4

7


نرم تابع؛ قاعده اي كه به هر تابع، ، در فاصله زماني : 4-6تعريف •نرم تابع نيز الزم است كه در شرايط زير . يك عدد حقيقي نسبت مي دهد

:صدق نمايند

142ص ) 4.1-6(مثال )2()1()2()1( xxxx .3

x.x. .2

0x0x

0x .1

|}x(t){|max x0 fttt

xfttt 0

8

): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1 نمو يك تابع؛ اگر و عناصري باشند كه براي آنها: 4-7تعريف •

كه به صورت نشان داده مي شود نمو تابع مقدار داشته باشد، آنگاه :عبارت است از

143ص ) 4.1-7(مثال

ffqqq

)()( qqq fff

ا نمو يك تابعي؛ اگر و عناصري باشند كه براي آنه: 4-8تعريف • كه به صورت نشان داده مي شود نمو تابع مقدار داشته باشد، آنگاه

:عبارت است از

144ص ) 4.1-8(مثال

xxx JJ

(x)x)(x JJJ

5

9

): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1 مشتق يك تابع؛ اگر نمو يك تابع را بتوان به صورت زير : 4-9تعريف •

از است يك تابع خطي نوشت كه در آن

. ديفرانسيل پذير گويندو باشد، آنگاه را برحسب ديفرانسيل تابع

مشتق تابع

)4-3شكل (

dff

ttfttdf ).(),(

qqqqqqq ).,(),(),( gdff0),(lim

0

qq

qg

),( qq df

fq

q

10

): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1 اگر نمو يك تابعي را بتوان به صورت زير نوشت كه در آن : 4-10تعريف •

از استيك تابع خطي

. ديفرانسيل پذير گويندو باشد، آنگاه را برحسب 147ص ) 4.1-9( مثال

xx).(x,x)(x,x)(x, gJJ

0x)(x,lim0x

g

J

Jx

x

حداقل و حداكثر نسبي :4-11تعريف •

Maximum Local:)( 0)()(

Minimum Local :)( 0)()( ;0 if

**

***

qqq

qqqqq

ffff

ffffε-ε

6

11

): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1)ادامه(حداقل و حداكثر نسبي :4-11تعريف •

بع صفر شرط الزم براي وجود يك نقطه اكسترمم آن است كه در اين نقاط مشتق تا.مي شود

)4-4(شكل ) 4.1-10(مثال

12

): ادامه( مفاهيم اوليه در حساب تغييرات -4-1حداقل و حداكثر نسبي يك تابعي :4-12تعريف •

Maximum Local:)(x 0)(x(x)

Minimum Local :)(x 0)(x(x)xx ;0 if

**

***

JJJJ

JJJJε-ε

قضيه اساسي حساب تغييرات •باشد، تغييرات روي ) اكسترمم ( اگر يك منحني نهايت ) با استفاده از برهان خلف -اثبات در كتاب : (بايد صفر شود، به عبارت ديگر

*xJ*x

0x),(x* J

7

13

: تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2كه تابعي هايي معيار را كه وابسته ) يك تابع(يافتن منحني : هدف•

.به يك تابع هستند را بهينه نمايد

حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 1مسأله • داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد، و ثابت و و

0t).4-6شكل (مشخص باشند J*x

)x( 0t

g

ft)x( ft

dttttgJft

t0

)),(x),(x(

definedctetxtxtt ff & )(),(,, 00

14

:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2: استفاده از نمو تابعي

dttttgtttttgJ

dttttg

dttttttgJ

f

f

f

t

t

t

t

t

t

0

0

0

)),(x),(x()),(x)(x),x()(x(x)(x,

)),(x),(x(

)),(x)(x),x()(x(x)(x,

8

15

:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:با كمك جستن از بسط تيلور

dttttgTOHggg

ggtttgJ

ft

t

)]),(x),(x(}..xxxx

xx

xx

xx

xx

)),(x),(x([{x)(x,

22

2

22

2

2

0

:با توجه به تعريف ديفرانسيل و ديفرانسيل پذيري

dtg

dt

dgg

dtg

dt

ddt

ggdt

ggJ

f

f

ff

f

f

t

t

tt

t

t

t

t

tt

t

t

x]xx

[xx

)xx

(]xx

[xx

]xx

xx

[x)(x,

0

0

00

0

0

16

:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2عبور كليه منحني ها (با توجه به مشخص بودن نقاط ابتدايي و انتهايي

):از نقاط مشخص شده

0)x(

0)x( 0

ft

t

:با توجه به قضيه اساسي بهينه سازي الزم است

dtg

dt

dgJ

ft

t

x]xx

[x)(x,0

0x]xx

[x)(x,.

.0

dtg

dt

dgJ

Cont

t

t

Cont

f

0

xx

:Eq.Euler

g

dt

dg

.) استxمعادله اولر شرط الزم براي يافتن تابع (

9

17

:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2نهايت تابعي؟: 4.2-1مثال

?

1)2

(

0)0(

)]()([)(

*

2

0

22

x

x

x

dttxtxxJ

:معادله اولر متناظر

0)](2[)(2- 0xx

txdt

dtx

g

dt

dg 0)()( txtx

01 :Polynomial Char. 2 s

ttxtctctx sin)(cossin)( *Conditions marginal21

18

:1 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2x*يا مي نييمم بودن /بررسي ماكزيمم و : 4.2-1ادامه مثال

1)2

(

0)0()2sin(sin)( *

x

xxxtttx

0)()( 04

3)( **2*

xJxxJxxJ

. يك ماكزيمم نيست : نتيجه قطعي

آيا يك مينيمم است؟ : سوال

*x

*x

10

19

: تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2

حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 2مسأله •).4-9شكل (داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد

J*xg

freetx

definedctetxtt

f

f

:)(

& )(,, 00

dttttgJft

t0

)),(x),(x(

20

:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2، از نمو تابعي استفاده مي شود و ديفرانسيل تابعي 1مشابه حل مسأله

:مجددا با استفاده از انتگرال جزء به جزء داريم . محاسبه مي گردد

Arbitrary )x(

0)x( 0

ft

t

) 4-10شكل (براي حل مسأله .راه گشاست

dtg

dt

dggJ

f

f

t

t

tt x]

xx[x

xx)(x,

0

0

نشان مي دهد كه ) 4-10شكل ( 2اگر نقطه انتهايي مساله

باشد، آنگاه پاسخ يك مساله لذا الزم است در . نيز است1

.معادله اولر صدق نمايد

11

21

:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:با توجه به آنچه گفته شد

0x]xx

[xx

x)(x,0

0

dtg

dt

dggJ

f

f

t

t

tt

0xx

0)),(x),((xx

**

g

dt

dg

tttg

fff

0x]xx

[

0)x(.x

xx

0

0

dtg

dt

dg

tgg

f

f

f

t

t

fttt

:شرط حدي طبيعي

22

:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2

222 1 )()( xdt

dJdtdxdJ

ترين طول منحني همواري كه نقطه را به خط با كم: 4.2-2مثال . متصل مي نمايد بيابيد

1)0( x5t

dJ

dtdx

x(t)

t

dtxdtxJg

5

0

212

5

0

2 ]1[1

12

23

:2 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2)ادامه: (4.2-2مثال

0)(1

)(-0 0

xx 2

tx

tx

dt

dg

dt

dg

0)( tx

21)( ctctx 1 10)0( 221 cccx

1)( 1 tctx

0x

g

0)(1

)(2

tx

tx

01 c 1)(* tx

24


free :)2(

1)0(

)](4)()(2)([)(2

0

22

x

x

txtxtxtxxJ

: 4.2-3مثال

tt ecectx 22

21

* )( 0)(4)( 0

xx

txtxg

dt

dg

1)0( 21* ccx

0)(2)(2 0x

txtxg 022 2

22

12

22

1 tttt ecececec

03 42

41 ecec

444

4

2

44

4

1

1011.13

9999.03

3

ee

ec

ee

ec

13

25


حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 3مسأله •).4-11شكل (داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد

J*xg

freet

definedctetxtxt

f

f

:

& )(),(, 00

dttttgJft

t0

)),(x),(x(

26

:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2، با توجه به اينكه زمان نهايي مشخص نگشته 3به منظور حل مسأله

به صورتيكه اگر . است، لذا متد و روش حل متفاوت خواهد بود ت به ختم گردد مطابق شكل زير منحني را به ازاي تغييرا

در اين حالت نمو را به . زمان نهايي در نظر مي گيريم .)4-12شكل (صورت زير تشكيل مي دهيم

*x),( ff xt

),( fff xtt

14

27


فقط قابل تعريف است مقدار در فاصله : تذكر. نيست زيرا براي قابل تعريف

)]()([)( * txtxtx fttt 0

)(* txfff tttt

:در اين حالت نمو را به صورت زير تشكيل مي دهيم

dttttgdttttgtttttg

dttttgdttttgtttg

dttttgdttttgJ

ff

f

f

ff

f

f

fff

tt

t

t

t

tt

t

t

t

t

t

tt

t

)),(x),(x()),(x),((x)),(x)(x),x()((x

)),(x),(x()),(x),((x)),(x),(x(

)),(x),((x)),(x),(x(x)(x,

0

0

00

****

**

**

28

:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:با استفاده از بسط تيلور حول و داريم )(* tx)(* tx

(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)]),(x),(x([)().),(x),((x

)()]),(x),(x([),(}{

)),(x),(x(

),()}),(x),((x)),(x),((x{

0

0

0

****

**

****

odttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttttgtxtttx

g

tottttgxxodtxx

gx

x

g

dttttg

xxodttttgxx

gx

x

gtttgJ

f

f

ff

f

f

t

t

ffffffff

fffff

t

t

tt

t

t

t

15

29


(.))(x)]),(x),((xx

[

)x()]),(x),((xx

[

)),(x),((x)]),(x),(x(

**

**

**

ottttg

ttttg

tttgtttg

ffff

ffff

ffffff

)),(x),(x( fff tttg داريمحال با بسط تيلور حول : )),(x),((x ** tttg ff

:با جايگزاري از باال در رابطه نمو تابعي داريم

(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)]),(x),((x[)().),(x),((x

0

****

****

odttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttttgtxtttx

gJ

ft

t

ffffffff

30

:3 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2)),(x),(x( fff tttg داريمحال با بسط تيلور حول : )),(x),((x ** tttg ff

:تقريب خطي استفاده مي شود ،4-12با توجه به شكل

(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)]),(x),((x[))().(),(x),((x

0

****

*****

odttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttttgttxtttx

gJ

ft

t

fffffffff

uncertain

0:)x( ft fff ttft offunction a as : )()x(

0)()( * fff ttxtx ))()( *fff ttxtx

uncertain

0:)x( ft fff ttft offunction a as : )()x(

uncertain

0:)x( ft

16

31


:با توجه به مسائل قبلي

ft

t

ffffffff

dttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttttgtxtttx

gxxJ

0

)(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)),(x),((x)()),(x),((x),(

****

******

0)(

0)()),(x),((x)),(x),((x *****

x

g

dt

d

x

g

txtttx

gtttg fffffff

:شرايط حدي الزم

32


ft

f

f dttxtxJ

t

tx

x

1

2 )](5.0)(2[ ,

1

4)(

4)1(

.منحني نهايت يا اكسترممي كه تابعي زير را مي نيمم نمايد: 4.2-4مثال

0)( )1

x

g

dt

d

x

g

2)( tx21

2)( ctcttx

0)()),(x),((x)),(x),((x )2 *****

fffffff txtttx

gtttg

0)()(5.0)(2 22 fff txtxtx

0)(5.0)(2 2 ff txtx

17

33


4)1( x

:4.2-4ادامه مثال

5

9

6

2

1

ft

c

c

5

96)( 2

ft

tttx

41)1( 21 ccx

0)(5.0)(2 2 ff txtx

4)( ftx 4)( 212 ctcttx fff

05.02 212 cc

34


حل مساله بهينه سازي تابعي و يافتن به صورتي كه : 4مسأله •. داراي مشتقات مرتبه اول و دوم باشد

J*xg

freetxt

definedctetxt

ff :)(,

& )(, 00 dttttgJ

ft

t0

)),(x),(x(

تفاوت تعريف ( قابل توجه خواهد بود 4-13،شكل 4به منظور حل مسأله .)4-13شكل (. و fx )( ftx

18

35

:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:شروع حل اين مسأله مشابه مسأله قبل است تا رسيدن به اين معادله

(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)]),(x),((x[)().),(x),((x

0

****

****

odttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttttgtxtttx

gJ

ft

t

ffffffff

fff ttft offunction a as : )()x(

uncertain

0:)x( ft

:تقريب خطي استفاده مي شود ،4-13با توجه به شكل

)()( *ffff ttxtxx )()( *

ffff ttxxtx

36

:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:در نتيجه

(.))(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)()]),(x),((x[)),(x),((x

.)),(x),((x

0

****

*****

**

odttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttxtttx

gtttg

xtttx

gJ

ft

t

ffffffff

ffff

): معادله كلي(لذا

ft

t

ffffffff

ffff

dttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttxtttx

gtttg

xtttx

gxxJ

0

)(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)()]),(x),((x[)),(x),((x

.)),(x),((x),(

****

*****

***

19

37

:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2:در دوحالت حل مساله بررسي مي شود

ft

t

ffffffff

ffff

dttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttxtttx

gtttg

xtttx

gxxJ

0

)(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)()]),(x),((x[)),(x),((x

.)),(x),((x),(

****

*****

***

):و مستقل و مرتبط نيستند( حالت اول ft)( ftx

0)(

0)),(x),((x

0)()]),(x),((x[)),(x),((x

0)),(x),((x**

*****

**

x

g

dt

d

x

g

tttg

txtttx

gtttg

tttx

g

fff

fffffff

fff

38

:4 مسأله - تابعي هاي وابسته به يك تابع -4-2): و مرتبط هستند( حالت دوم )( ftx

0)(

0)()()]),(x),((x[)),(x),((x *****

x

g

dt

d

x

g

txtt

tttx

gtttg ffffffff

)()( ff ttx fff ttt

x )(

ft

t

fffffffffffff

dttxtttx

g

dt

dttt

x

g

ttxtttx

gtttgtt

tttt

x

gxxJ

0

)(.)]),(x),((x[)),(x),((x

)()]),(x),((x[)),(x),((x)(.)),(x),((x),(

****

********

ft

)شرط تقاطع(

20

39


155)(

0)(

0

)](1[ 0

0

5.02

0 tt

tx

t

dttxJft

t


0)( )1

x

g

dt

d

x

g

0)(1

)(2

tx

tx

dt

d

0)( tx

21)( ctctx

0)()()]),(x),((x[)),(x),((x )2 *****

ffffffff txtt

tttx

gtttg

0)0( 0 tx 02 c tctx 1)(

40

21

41


0)()()]),(x),((x[)),(x),((x )2 *****

ffffffff txtt

tttx

gtttg

):4-15شكل ( 4.2-5ادامه مثال

0)(5)(1

)()(1

2

2

f

f

ff tx

tx

txtx

0)(5)()(1 2 fff txtxtx 01)(5 ftx

015 1 c 2.01 c ttx 2.0)(

ffff ttttx 2.0155)()(* 88.2ft

42


5.0]5[5.0)(

0)(

0

)](1[2

0

0

5.02

0 tt

tx

t

dttxJft

t


0)( )1

x

g

dt

d

x

g

0)(1

)(2

tx

tx

dt

d

0)( tx

21)( ctctx

0)0( 0 tx 02 c tctx 1)(

22

43


0)()()]),(x),((x[)),(x),((x )2 *****

ffffffff txtt

tttx

gtttg

:4.2-6ادامه مثال

0)(5)(1

)()(1

2

2

ff

f

ff txt

tx

txtx

0)(5)()(1 2 ffff txttxtx 01)()5( ff txt

01)5(1 ftc

5.0)5(5.0)()( 21

* ffff ttcttx 3

5.01

ft

cttx 5.0)(*

44

: تابعي هايي كه شامل چندين تابع مستقل باشند-4-3

با بهينه سازي توابعي كه فقط شامل يك تابع هستند 2-4در بخش در اين بخش تابعي ها به چندين تابع مستقل و . آشنا گرديديم

به عبارت ديگر در اين (مشتقات مرتبه اول آنها پيوسته هستند مورد 2-4فصل فرم ماتريسي مباحث مطرح شده در بخش

).بررسي قرار خواهد گرفت

23

45

: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3:نقطه انتهايي ثابت – الف 1مساله

dttxxxxxxgxxxJft

t

nnn 0

),,,,,,,,(),,,( 212121

iffiii

iiii

i

i

xtxxtx

t

g

x

g

x

g

t

g

x

g

x

g

x

x

)( ,)(

:and

Known & Continuous : , ,, , ,

continuous

functionst independen

:Where

00

2

2

2

2

2

2

46

: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3

dttxxxxg

txxxxxxxxgJ

nn

t

t

nnnn

f

)},,,,,,(

),,,,,,({

11

1111

0

:نقطه انتهايي ثابت – الف 1مساله .هدف يافتن كه تابعي را مي نيمم نمايد J )(* txi

: استفاده از قضيه اساسي و نمو تابع

:با استفاده از بسط تيلور

dtTOHdtxtxxxxx

g

xtxxxxx

gJ

inn

n

i i

i

t

t

nn

n

i i

f

...}),,,,,,(

),,,,,,(

111

111

0

24

47

: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3

:با توجه به اينكه

dtxtxxxxx

g

dt

dtxxxx

x

g

xtxxxxx

gJ

i

t

t

n

inn

inn

i

tt

n

iinn

i

f

f

0

0

11111

111

),,,,,,(),,,,,,(

),,,,,,(

0)( ,0)( 0 fii txtx . جمالت خارج انتگرال صفر است

با توجه به اينكه فقط به جمالت خطي وابسته است و استفاده از : انتگرال جزء به جزء

J

48

: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: در نتيجه

dtxtxxxxx

g

dt

dtxxxx

x

gJ i

t

t

nni

nni

f

0

),,,,,,(),,,,,,(0 1111

: ذا با توجه به اينكه الزم است براي هر زمان معادله فوق برقرار باشد، ل

0),,,,,,(),,,,,,( **1

*2

*1

**1

*2

*1

ni

ni

xxxxx

g

dt

dtxxxx

x

g

0)),(),(()),(),((

tttg

dt

dttt

gxx

xxx

x

25

49

: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3:هدف يافتن معادله اولر براي تابعي زير : 4.3-1مثال

ft

t

dttxtxtxttxtxJ0

)]()()()()([ 122

21

22

21

0)),(),(()),(),((

tttg

dt

dttt

gxx

xxx

x

0)()(2

)()(2

)(

)()(2*1

*2

2*2

*1

2

2*1

*2

*1

txtx

txtxt

dt

d

tx

txtx

0)()(2)()(2)(

0)()(2)(2)(4)()(2*1

*2

*1

*2

2*1

*2

*2

*1

2*1

*2

*1

txtxtxtxtx

txtxtxttxttxtx

50

: الف1 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: مطلوبست محاسبه منحني اكسترمم براي : 4.3-2مثال

0

1)(

1

0)0( )]()()(4)([ 4

0

2122

21

4

xxdttxtxtxtxJ

0)),(),(()),(),((

tttg

dt

dttt

gxx

xxx

x

0)(

)(

)(8

)(2*1

*2

*2

*1

tx

tx

dt

d

tx

tx

0)()(8

0)()(2*1

*2

*2

*1

txtx

txtx

tctcecectx

tctcecectxtt

tt

2sin2cos)(

2sin2cos)(

421

3212

2212

121*

2

432

22

1*1

26

51

: الف4 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: نقطه انتهايي آزاد و غيرمعين –الف -4مساله

dttgJft

t0

),,()( xxx

:4الف و مشابه مساله -4با شرايطي مشابه

dtttttg

dt

dttt

g

tttttg

tttg

tttg

J

ft

t

T

ffffff

ff

T

ffffff

f

T

fff

0

)()),(),(()),(),((

)()),(),(()),(),((

)),(),((0),(

****

*****

***

xxxx

xxx

xxxx

xx

xxxx

xx

52

: الف4 مسأله - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: نقطه انتهايي آزاد و غيرمعين –الف -4مساله

:در نتيجه خواهيم داشت

18)-(4.3 0)()),(),(()),(),((

)),(),((

*****

**

ff

T

ffffff

f

T

fff

tttttg

tttg

tttg

xxxx

xx

xxxx

17)-(4.3 0)),(),(()),(),(( ****

ffffff tttg

dt

dttt

gxx

xxx

x

27

53

جمع بندي - تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3):188ص ( 4-1جدول

54

:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3: مطلوبست محاسبه منحني اكسترمم براي : 4.3-3مثال

freedttxtxtxtxJ

2)(

5.1

1)0( )]()()()([ 4

0

2221

21

4

xx

0)),(),(()),(),((

tttg

dt

dttt

gxx

xxx

x

0)()(2

0)()(2*1

*2

*2

*1

txtx

txtx

0)(4)( *1

*1 txtx

4322*2

21*1

2sin2cos)(

2sin2cos)(21 ctctttx

tctctxcc

0)),(),(( 2**

2

f

T

fff xtttx

g xx 02)(2)( 34

*24

*1 cxx

28

55

:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3): ادامه ( 4.3-3مثال

25.15.02

)0(

2c)(

1)0(

4441

2

241

11

cccc

x

x

cx

4322*2

21*1

2sin2cos)(

2sin2cos)(21 ctctttx

tctctxcc

22sin2cos)(

2sin22cos)(

21*

2

*1

tttx

tttx

56


4

1)(

1

2)0(

)]()()()(2)()([4

0

22121

21

31

ft

dttxtxtxtxtxtxJ

xx

0)),(),(()),(),((

tttg

dt

dttt

gxx

xxx

x

0)(2)()(2

0)(2)()(2)(3*1

*2

*1

*2

2*2

*1

2*1

txtxtx

txtxtxtx

0)()),(),(()),(),(( *****

f

T

ffffff ttttg

tttg xxxx

xx

0)()()()(2)()( 2*2

*1

*2

*1

2*1

3*1 ff txtxtxtxtxtx

29

57


ft

dttxtxtJ0

2 )]()([

0)),(),(()),(),((

ttxtxx

g

dt

dttxtx

x

g

0)(21 tx

212

41* )( ctctt x

58

:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3):ادامه ( 4.3-5مثال

ft

dttxtxtJ0

2 )]()([

212

41* )( ctcttx

: حالت الف

75.2)1(

1

1)0(

x

t

x

f

2 75.2125.0)1(

1)0(

11*

2*

ccx

cx

12)( 241* tttx

30

59


ft

dttxtxtJ0

2 )]()([ 21

241* )( ctctt x

:حالت ب

freex

t

x

f

)2(

2

1)0( 1)0( 2* cx

1)( 241* ttx

0)),(),(( **

fff ttxtxx

g

0)(2 ff txt

0225.0 112 cctt ff

01 c

60


ft

dttxtxtJ0

2 )]()([ 21

241* )( ctcttx

:حالت ج

5)(

1)0(

f

f

tx

freet

x 1)0( 2* cx

12)( 241* tttx4 21 ftc

0)()),(),(()),(),(( *****

f

T

ffffff txttxtxx

gttxtxg

0)())(2()()( **2** ffffff txtxttxtxt 0)(* ftx

0)( 121* cttx ff

51)( 12

41* fff tcttx

212

41* )( ctcttx

31

61

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4در بخش هاي گذشته منحني ها به گونه اي در نظر گرفته مي شدند

اين در حاليست كه . كه خود و مشتق مرتبه اولشان پيوسته باشند كنترل : مثال (در كنترل لزوما اين فرض همواره برقرار نخواهد بود

on-off ( يا چند /و اين امر موجب مي گردد كه داراي يك و. ناپيوستگي گردد

در اين فصل منحني هايي را در نظر مي گيريم كه داراي مشتقات به عبارت ديگر درفاصله . باشند پيوسته مقطعي مرتبه اول

. زماني محدود به تعداد محدودي ناپيوستگي داشته باشد

)(tx

)(tx

در زمانهايي كه ناپيوسته است، مي گوييم كه داراي : تعريف•. است) corner(كرانه

)(tx)(tx

62

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4

),( 01 fttt

به منظور بررسي مساله و ارائه روش ابتدا تابعي هايي كه فقط شامل يك تابع هستند را در نظر مي گيريم و فرض مي كنيم در

.تابع ناپيوستگي دارد )(tx

dtttxtxgxJft

t0

)),(),(()(

)()( 2

1

1

1

0

)),(),(()),(),(()(

xJ

t

t

xJ

t

t

dtttxtxgdtttxtxgxJf

مم اگر يك منحني اكسترمم براي باشد، آنگاه يك منحني اكستر:توجه. مي باشدبراي در و يك منحني اكسترمم براي در

)(* txJ1J2J ),( 10 ttt),( 1 fttt

32

63

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4):4-16(با توجه به قضيه اساسي بهينه سازي و با توجه به شكل

ft

t

t

t

dttxttxtxx

g

dt

dttxtx

x

g

ttxttxtxx

gttxtxgxttxtx

x

g

dttxttxtxx

g

dt

dttxtx

x

g

ttxttxtxx

gttxtxgxttxtx

x

gxxJ

1

1

0

)(.)]),(),(([)),(),((

)()]),(),(([)),(),((.)),(),((

)(.)]),(),(([)),(),((

)()]),(),(([)),(),((.)),(),((),(

****

11*

11*

1*

11*

1*

111*

1*

****

11*

11*

1*

11*

1*

111*

1**

64

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4 برقرار با توجه به اينكه يك اكسترمم است و الزم است

:باشد، آنگاه )(* tx0),( * xxJ

0)]),(),(([)),(),(( :Eq.Euler )1 ****

ttxtxx

g

dt

dttxtx

x

g

0)()]),(),(([)),(),((

)()]),(),(([)),(),((

.)),(),(()),(),((

:Condition Marginally )2

11*

11*

1*

11*

1*

1*

11*

1*

11*

1*

111*

1*

11*

1*

ttxttxtxx

gttxtxg

txttxtxx

gttxtxg

xttxtxx

gttxtx

x

g

33

65

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4در نتيجه شرايط مرزي را مي توان به صورت زير بازنوسي نمود، كه به

.معروف است Erdmann و Weierstassشرايط كرانه اي

)()]),(),(([)),(),((

)()]),(),(([)),(),(( 2.2.

)),(),(()),(),(( 2.1.

:t]independen :)(,[ conditionsCorner Erdmann & ss Weierstra)2

1*

11*

1*

11*

1*

1*

11*

1*

11*

1*

11*

1*

11*

1*

11

txttxtxx

gttxtxg

txttxtxx

gttxtxg

ttxtxx

gttxtx

x

g

txt

ايط در صورتي كه منحني مسير در لحظات مختلف داراي كرانه باشد، آنگاه شر: توجه.فوق الزم است در تمامي لحظات قطع صدق نمايد

)()]),(),(([)),(),((

)()]),(),(([)),(),(( 2.2.

)),(),(()),(),(( 2.1.


1*

11*

1*

11*

1*

1*

11*

1*

11*

1*

11*

1*

11*

1*

11

txttxtxx

gttxtxg

txttxtxx

gttxtxg

ttxtxx

gttxtx

x

g

txt

66

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4 اگر و مستقل نباشند و داراي رابطه اي به صورت

: باشند، آنگاه

)),(),(()()()),(),((

)),(),(()()()),(),((

:])()()([ conditionsCorner Erdmann & ss Weierstra)2

11*

1*

1*

111*

1*

11*

1*

1*

111*

1*

11111

ttxtxgtxtt

ttxtxx

g

ttxtxgtxtt

ttxtxx

g

ttt

xttx

)( 1tx 1t)()( 11 ttx

34

67

) Piecewise-Smooth( منحني هاي اكسترمم هموار مقطعي -4-4: در حالت برداري Erdmann و Weierstassشرايط كرانه اي

)()]),(),(([)),(),((

)()]),(),(([)),(),(( 2.2.

)),(),(()),(),(( 2.1.


1*

11*

1*

11*

1*

1*

11*

1*

11*

1*

11*

1*

11*

1*

11

ttttx

gtttg

ttttx

gtttg

tttx

gttt

x

g

tt

xxxxx

xxxxx

xxxx

x

68

:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3مطلوبست محاسبه يك منحني اكسترمم هموار مقطعي : 4.3-5مثال

:براي مي نييمم نمودن تابعي زير و با نقطه ابتدا و انتهاي ارائه شده

1)2(

0)0( )](1)[(

2

0

22

x

xdttxtxJ

0)),(),(()),(),((

ttxtxx

g

dt

dttxtx

x

g

0))(2)(6)(4( 23 txtxtxdt

d

ttx 5.0)( continuse : x(t)If *

21* )( ctctx

5.012)2(

0)0(

11

2

ccx

cx

125.0J

35

69

:)چند مثال ( تابعي هاي وابسته به چندتابع -4-3): ادامه (4.3-5مثال

1)2(

0)0( )](1)[(

2

0

22

x

xdttxtxJ

21* )( ctctx

)),(),(()),(),(( W.E.2.1. 11*

1*

11*

1* ttxtx

x

gttxtx

x

g

)(21)(1)(2)(21)(1)(2 1*

1*

1*

1*

1*

1* txtxtxtxtxtx

1,5.0,0)(

1,5.0,0)(

1*

1*

tx

tx

70


1)2(

0)0( )](1)[(

2

0

22

x

xdttxtxJ

21* )( ctctx

)()),(),(()),(),((

)()),(),(()),(),(( W.E.2.2.

1*

11*

1*

11*

1*

1*

11*

1*

11*

1*

txttxtxx

gttxtxg

txttxtxx

gttxtxg

1)(3)(1)(1)(3)(1)( 1*

1*

12*

1*

1*

12* txtxtxtxtxtx

1,,0)(

1,,0)(

31

1*

31

1*

tx

tx

0)(& 1)(

1)(& 0)(

Conditions W.E.

1*

1*

1*

1*

txtx

txtx

36

71


1)2(

0)0( )](1)[(

2

0

22

x

xdttxtxJ

21* )( ctctx

0)(& 1)(

1)(& 0)(

Conditions W.E.

1*

1*

1*

1*

txtx

txtx

):4-17(شكل

1

1


سيستم هاي كنترل بهينه سيستم هاي كنترل بهينه :فصل پنجم

روش تغييراتي در مسائل كنترل بهينه

2

روش تغييراتي در مسائل كنترل بهينه :فصل پنجم

مقدمه استفاده از روشهاي حساب تغييرات در حل مسائل •

كنترل بهينه و اعمال آن به تابع معيارهايي كه در فصل .سوم گفته شد

2

3

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1هدف يا مسأله

يافتن قانون كنترل كه موجب مي گردد سيستم •

مسير قابل قبول را طي نمايد و در طي آن تابعي معيار سيستم . را كه به صورت زير است حداقل نمايد

*u

)),(),(()( ttutxtx a

*x

2)-(5.1 )),(),(()),(()(0

ft

t

ff dttttgtthJ uxxu

defined :)(, 000 xx tt

4

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1با توابع معيار مفروض در ) 5.1-2(تنها تفاوت مابين تابع معيار

فصل چهارم وجود عبارت وضعيت نهايي است كه به منظور :حل اين مشكل مي توان به صورت زير عمل نمود

2)-(5.1 )),(),(()),(()(0

ft

t

ff dttttgtthJ uxxu

defined :)(, 000 xx tt

)),(()]),(([)),(),(()(0

00

ft

t

ttxhdtttxhdt

dtttgJ uxu

3

5

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1در نتيجه عبارت شامل مقادير اوليه در بهينه سازي تاثير ندارد،

:همچنين با استفاده از قاعده زنجيره اي مشتق گيري

)),(()),((

)),(),(()(0

ft

t

T

dtt

tthtthtttgJ

xx

x

xuxu

اما در تابعي هاي فصل چهارم محدوديتي به صورت معادالت ديفرانسيل . نبود لذا تابعي فوق را به صورت زير تصحيح مي نماييم

dtttttt

t

tthtthtttgJ

T

t

t

T

a

f

)]()),(),(()[(

)),(()),((

)),(),(()(0

xuxaP

xx

x

xuxu

ضرايب الگرانژ

6

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1: در نتيجه مساله فرم جديدي به خود گرفت

)),(),(),(),(()(0

ft

t

aa dttttttgJ Puxxu

)),(()),((

)]()),(),(()[()),(),(()),(),(),(),((

ttt

htt

h

ttttttttgtttttgT

Ta

xxxx

xuxaPuxPuxx

4

7

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1: خواهيم داشت ) 4.3-16(با توجه به

dtttttttg

ttttttg

ttttttg

dt

d

tttttg

tttttttg

tttttg

tttttg

J

T

a

T

a

Ta

t

t

Ta

ffT

fffffa

fffffa

fT

fffffa

a

f

)()),(),(),(),((

)()),(),(),(),((

)()]),(),(),(),(([

)]),(),(),(),(([

)()]),(),(),(),(([

)),(),(),(),((

)]),(),(),(),(([0)(

****

****

****

****

*****

****

*****

0

ppuxxp

upuxxu

xpuxxx

puxxx

xpuxxx

puxx

xpuxxx

u

8

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1ابتدا جمالتي را كه داخل انتگرال و شامل تابع هستند بررسي

:نماييم

)),((

*****

*

)()),(()),(()()),((

tth

dt

d

TT

ttth

dt

dtt

t

httt

h

xx

xxxx

xxxxx

h

0)),(()()),(()),(()()),(( *2

**2

2*

2**

2

2

ttt

httt

htt

t

httt

hx

xxx

xx

xxx

x

:لذا جمالت داخل انتگرال به صورت زير در خواهند آمد

5

9

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1

dtttttt

ttttttttg

ttdt

dttttttt

g

T

TT

T

t

t

TTf

)()()),(),((

)()),(),(()()),(),((

)()]([)]),(),(()[()]),(),(([

***

*****

******

0

pxuxa

uuxu

apux

u

xpuxx

apux

x

:لذا جمالت داخل انتگرال به صورت زير در خواهند آمد

به منظور دست يافتن به هر منحني اكسترمم به صورت زير، الزم است .اين انتگرال صفر گردد

)),(),(()( *** tttt uxax 14a)-(5.1

Equations State

10

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1با توجه به اينكه ضريب در اين معادله همان معادله منحني اكسترمم است در نتيجه جمله آخر حذف خواهد شد و در نتيجه ضرايب الگرانژ اختياري خواهند بود و ميتوان از آنها به منظور

: در نتيجه. صفر نمودن ضرايب استفاده كرد

dtttttt

ttttttttg

ttdt

dttttttt

g

T

TT

T

t

t

TTf

)()()),(),((

)()),(),(()()),(),((

)()]([)]),(),(()[()]),(),(([

***

*****

******

0

pxuxa

uuxx

apux

u

xpuxx

apux

x

0

?

Arbitrary

)(tp

)(tx

Arbitrary

0

0?

6

11


)),(),(()()),(),(()( ****** tttg

tttttT

T uxx

puxx

ap

: لذا براي محاسبه ضرايب الگرانژ خواهيم داشت equations costate :

: همچنين در مورد ضرايب در جمالت داخل انتگرال داريم

0)()),(),(()),(),(( *****

tttttttg

T

puxu

aux

u

14b)-(5.1

14c)-(5.1

12


0)]),(),(()[()),(()),(),((

)()),((

******

**

fffffT

fffff

f

T

fff

tttttttt

htttg

ttth

uxapxux

xpxx

: اما در مورد جمالت خارج انتگرال

15)-(5.1

)()]),(),(),(),(([)),(),(),(),((

)]),(),(),(),(([0)(

*********

*****

ffT

fffffa

fffffa

fT

fffffa

a

tttttttg

tttttg

tttttg

J

xpuxxx

puxx

xpuxxx

u

:خواهيم داشت

7

13


)]),(),(()[()),(),(()),(),(),(( tttttttgtttt T uxapuxpux H

را به ) 5.1-15(و ) 5.1-14(در نتيجه با تعريف تابع هاميلتونين ميتوان معادالت :صورت زير بارنويسي نمود

17)-(5.1

:خواهيم داشت

0)),(()),(),(),(()()),(( ******

ffffffff

T

fff tttt

httttttt

h xpuxxpxx

H

0)),(),(),((

)),(),(),(()(

)),(),(),(()(

***

***

***

tttt

ttttt

ttttt

puxu

puxx

p

puxp

x

H

H

H

18)-(5.1

14

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):1(شرايط حدي مختلف

. مثالي كه در ادامه مي آيد راهگشا خواهد بود

defined & cte: 1 ft

defined & cte:)( 1.1 ftx

0

0

f

f

t

xff xt )()181.5( *x

undefinedor free:)( 2.1 ftx 0)()),(( )181.5( **

fff ttth

pxx

curve specific on the :)( 3.1 ftx 0))(m( tx

8

15

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):1-ادامه ( شرايط حدي مختلف

)5-1(شكل


04)4)(()3)(())(m( 22

21 txtxtx

: بر عمود باشدmالزم است گراديان

)4)((2

)3)((2))((

m*2

*1*

f

ff tx

txtx

x

)( ftx

0)()4)((2

)3)((2)())((

m*2

*1*

f

T

f

ff

T

f ttx

txtt xxx

x

16


18)-(5.1 0)),(()),(),(),(()()),(( ******

ffff

T

ff tttt

httttttt

h xpuxxpxx

H

):1-ادامه ( شرايط حدي مختلف

:به اين صورت خواهد بود) 5.1-18(درنتيجه در اين مثال معادله

0)(

)()4)((2)3)((2)(

)4)((2

)3)((2

2

1*2

*1*

2

*1

f

ffff

T

f

f

t

ttxtxt

tx

tx

x

xx

)()4)((

)3)(()( 1*

2

*1

2 ff

ff t

tx

txt xx

0)4)((

)3)((1

)())((*2

*1

**

f

f

T

ff

tx

txtth

pxx

04)4)(()3)(())(m( 22

21 txtxtx

04)4)(()3)(())(m( 2*2

2*1

* fff txtxtx

9

17


0)())((m *

f

T

f tt xxx

):1-ادامه ( شرايط حدي مختلف :نكته جالب توجه از مقايسه دو معادله روبرو حاصل خواهد شد

0)()())(( **

f

T

f ttth

xpxx

: 5.1-18(معادله(

شرط عمود بودن :گراديان

11 ))((m

][)())(( *1

**

nktddtth

fkff xx

pxx

0))(m( * ftx

18

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):1(شرايط حدي مختلف

defined & cte: 1 ft


0

0

f

f

t

xff xt )()181.5( *x

undefinedor free:)( 2.1 ftx 0)()),(( )181.5( **

fff ttth

pxx


11 ))((m

][)())(( *1

**

nktddtth

fkff xx

pxx

0))(m( * ftx

10

19


0)),(()),(),(),(( ****

ffffff ttt

htttt xpuxH

): 2( شرايط حدي مختلف 2 : free or undefinedft


0fx

undefinedor free:)( 2.2 ftx

0)),(()),(),(),((

)),(()(

****

**

ff

fff

ttt

htttt

tth

t

xpux

xx

p

H

20

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف

undefinedor free: 2 ft

)()( 3.2 ff tt x

0))(m( :)( 4.2 tt f xx

0)),(()),(),(),(()()()),(( ******

fff

T

fff ttt

httttt

tttt

hxpuxpx

xH

fff ttt

)(

x

)()(*ff tt x

. مثالي كه در ادامه مي آيد راهگشا خواهد بود

11

21

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف

)5-2(شكل

surface specific on the :)( 4.2 ftx 0))(m( tx

04)4)(()3)(())(m( 22

21 txtxtx

با تقريب مرتبه اول بر سطح استوانه .مماس است

)( ftx

0)()4)((2

)3)((2)())((

m*2

*1*

f

T

f

ff

T

f ttx

txtt xxx

x

مستقل از است در نتيجه ضريب صفر .بايد باشد

)( ftxftft

22


0)())((m *

f

T

f tt xxx

0)),(()),(),(),(( ****

ffffff ttt

htttt xpuxH

): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف 2 : free or undefinedft

0))(m( :)( 4.2 tt f xx

11 ))((m

][)())(( *1

**

nktddtth

fkf xx

pxx

0))(m( * ftx

12

23


* * * * *1

m( ( ), ( ), ( ), ) ( ( ), ) [ ] ( ( )) 1 1f f f f f f k f

ht t t t t t d d t k n

t t

x u p x xH

): 2-ادامه ( شرايط حدي مختلف 2 : free or undefinedft

0)),(m( surface varient timeon the :)( 5.2 ttt f xx

11 ))((m

][)())(( *1

**

nktddtth

fkf xx

pxx

0)),(m( * ff ttx

كتاب253و 252 در صفحه 5-1خالصه مطالب در جدول

24


)()()()()()()())(),(),(( 222212

21 tutptxtptxtptuttt puxH

:5.1-1مثال

)()()(

)()(

22

21

tutxtx

txtx

ft

t

tuJ0

)(221

)()()(

0)(

*2

*1

2

*2

1

*1

tptpx

tp

xtp

H

H

17b)-(5.1

17c)-(5.1)()(0 *

2* tptu

u

H

13

25

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):ادامه ( 5.1-1مثال

ft

t

tuJtutxtx

txtx

0

)( )()()(

)()( 221

22

21

tt ecectpctptp

ctptp

43*23

*2

*2

3*1

*1

)1( )( )()(

)( 0)(

)()(0 *2

* tptuu

H

)()()(

0)(

*2

*1

2

*2

1

*1

tptpx

tp

xtp

H

H

)()()(

)()(*222

21

tptxtx

txtx

ecectxtx tt4322 )1()()(

26

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1):ادامه ( 5.1-1مثال

ft

t

tuJtutxtx

txtx

0

)( )()()(

)()( 221

22

21

)()( 21 txtx

ecectxtx tt4322 )1()()(

eeceecectx ttttt )()1()( 21

21

421

21

322

eeceetcecctx ttttt )1()()1()( 21

21

421

21

3211

14

27

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): ادامه ( 5.1-1مثال

ft

t

tuJtutxtx

txtx

0

)( )()()(

)()( 221

22

21

2

5)2( ,0)0( xx

tt eettx 593.0696.6103.6289.7)(1

: حالت الف

0)0( x 021 cc

2

5)2(x

tt eettx 593.0696.6289.7)(2

28

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1): ادامه ( 5.1-1مثال

)()()(

)()(

22

21

tutxtx

txtx

freexx :)2( ,0)0( :حالت ب

2)2()2(

5)2()2(*2

*2

*1

*1

xtp

xtp

ft

t

tuxxJ0

)(2)2(5)2( : func.cost New 2212

2212

121

)),(()( 2.1 **fff tt

ht x

xp

0)0( x 021 cc

422.2

697.2

4

3

c

c

tt eettx 137.05606.2422.2697.2)(1

tt eettx 137.0560.2697.2)(2

15

29


xpx

x

m

dttth

fff )()),(( 3.1 **

): ادامه ( 5.1-1مثال

)()()(

)()(

22

21

tutxtx

txtx

15)(5)( :)2( ,0)0( 21 txtxxx :حالت ج

dp

dp

5)2(

)2(*2

*1

ft

t

tuJ0

)( : func.cost New 221

0)0( x 021 cc

379.1

894.0

4

3

c

c15)2(5)2( *

2*1 xx0))(m( * ftx

30

شرايط الزم براي كنترل بهينه :5-1. بررسي و معادالت بدست آمده مجددا محاسبه گردد 5.1-2مثال

16

31

تنظيم كننده خطي :5-2

بررسي مساله تنظيم كننده خطي در سيستم هاي خطي متغير با •زمان

LTIبررسي حالت خاص براي سيستم هاي •

بر اساس روشهاي پيشنهادي كالمن •

32


)()()()()( ttBttAt uxx

ft

t

TTff

T dttttttttt J0

)]()()()()()([2

1)()(

2

1uRuxQxHxx

خطي متغير با زمان : مدل سيستم •

: تابع هزينه براي تنظيم كننده خطي •

: در نتيجه هاميلتونين عبارت خواهد بود از

)()()()()()()()()()()()()),(),(),(( 21

21 ttBtttAttttttttttt TTTT upxpuRuxQxpux H

17

33


)()()()()( *** ttBttAt uxx

: شرايط الزم بهينگي •)()()()()()()()()()()()()),(),(),(( 2

121 ttBtttAttttttttttt TTTT upxpuRuxQxpux H

)()()()()( *** ttAttt T pxQx

p

H

0)()()()( **

ttBtt T puRu

H )()()()( *1* ttBtt T pRu

)()()()()()()( *1** ttBttBttAt T pRxx

34

تنظيم كننده خطي :5-2): جمع بندي ( شرايط الزم بهينگي •

)(

)(

)()(

)()()()(

)(

)(*

*1

*

*

t

t

tAt

tBttBtA

t

t

aA

T

T

p

x

Q

R

p

x

:پاسخ اين معادله به شكل زير است •

)(

)(),(

)(

)(*

*

*

*

t

ttt

t

tf

f

f

p

x

p

x

)(

)(),(),(

),(),(

)(

)(*

*

2221

1211

*

*

t

ttttt

tttt

t

t

ff

ff

f

f

p

x

p

x

matrices : nnij

10)-(5.2

10a)-(5.2

18

35

تنظيم كننده خطي :5-2: در نتيجه

: با جايگزيني در معادله روبرو

)(),(),(),(),()( *

)(

21111

1222* tttttttttt

t

ffff xHHp

K

)()()( ** ttt xKp

)()()()( *1* ttBtt pRu

)()()()()( *

)(

1* tttBtt

t

xKRu

F

)()()( ** ttt xFu

همانگنه كه مشخص است قانون كنترل بهينه قانوني است خطي، . متغير بازمان و تركيبي از وضعيت هاي سيستم

36


)()()()()( *** ttBttAt uxx

: در نتيجه

)()()( ** ttt xFu

A

BF)(tx)(* tu )(tx

Plant

19

37

تنظيم كننده خطي :5-2نحوه محاسبه ماتريس

),(),(),(),()( 21111

1222 ttttttttt ffff HHK

)(tK

محاسبه ماتريس انتقال حالت : روش اول •

حل معادله ريكاتي : روش دوم •)()()()()()()()()()()( 1 ttBtRtBttQttAtAtt TT KKKKK

1

1

)(

aA

T

T

AQ

BBRAsIt 1-L )(),( ttttt ff

38

تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-1( مثال

)()()( tutaxtx

as

as

asAsIt a 0

2

)(

1)(

22

1 1-1- LL

a

a

AQ

BBRAA

T

T

a 0

21

T

dttuTHxuJ0

2412

21 )()()(

free :)(

P.D. :

defined :

Tx

H

T

at

ata

ata

at

e

eeet

0)(

11

2.0a

20

39


),(),(),(),()( 21111

1222 ttttttttt ffff HHK

):ادامه (5.2-1مثال

)(1)()()( )()( tTatTatTaaHtTa HeeeetK

)()()()()( *

)(

1* tttBtt

t

xKRu

F

)()(2)(* ttKt xu

40

تنظيم كننده خطي :5-2):ادامه (5.2-1مثال

)a7-5(شكل

21

41


)b7-5(شكل

)c7-5(شكل

42

تنظيم كننده خطي :5-2اگر باشد يا به عبارت ديگر سيستم ناپايدار ): ادامه (5.2-1مثال

. باشد

)a8-5(شكل

2.0a

22

43


)b8-5(شكل

2.0a

)c8-5(شكل

44


)()()(2)(

)()(

212

21

tutxtxtx

txtx

1 110

20 0 2

20 12

00 1 0 1

T

T

aAQ

BBRAA

T

dttutxtxuJ0

2412

2212

1 )()()()(free :)(

P.D. :

defined :

Tx

H

T

12

10A

1

0B

10

02Q

2

1R

23

45

تنظيم كننده خطي :5-2): ادامه) (5.2-2( مثال

)()()(2)(

)()(

212

21

tutxtxtx

txtx

T

dttutxtxuJ0

2412

2212

1 )()()()(

)a9-5(شكل

46


)b9-5(شكل هاي

24

47

تنظيم كننده خطي :5-2:شرايط طراحي فيدبك حالت بهينه يا حل معادله ريكاتي

. سيستم كنترل پذير باشد • در صورت وجود زمان K(t)شرايطي كه موجب مي گردد ماتريس

: كافي به يك ماتريس ثابت ميل نمايد . سيستم كنترل پذير باشد

H=0ماتريس •

. ثابت باشندA, B, R, Qماتريس هاي •

:در اين حالت معادله ريكاتي به صورت زير خواهد بود

0)()()()()()()()()()( 1 ttBtRtBttQttAtAt TT KKKK

48


0)()()()()()()()()()( 1 ttBtRtBttQttAtAt TT KKKK

2788.14142.2

4142.20313.6ssK

25

49


50

تعقيب كننده هاي خطي :5-3

)()()()()( ttBttAt uxx

ft

t

TTff

Tff dtttttrtttrttrttrt J

0

)]()()()]()()[()]()([2

1)]()([)]()([

2

1uRuxQxxHx

خطي متغير با زمان : مدل سيستم •

: تابع هزينه براي تعقيب كننده خطي •

: در نتيجه هاميلتونين عبارت خواهد بود از

)()()()()()()()()()),(),(),((2

)(212

)(21 ttBtttAtttrttttt TT

tRtQupxpuxpux H

26

51


)()()()()( *** ttBttAt uxx

: شرايط الزم بهينگي •

)()()()()()()( *** trtQttAttt T

pxQx

pH

0)()()()( **

ttBtt T puRu

H )()()()( *1* ttBtt T pRu

)()()()()()()( *1** ttBttBttAt T pRxx

)()()()()()()()()()),(),(),((2

)(212

)(21 ttBtttAtttrttttt TT

tRtQupxpuxpux H

52

تعقيب كننده هاي خطي :5-3): جمع بندي ( شرايط الزم بهينگي •

)()(

0

)(

)(

)()(

)()()()(

)(

)(*

*1

*

*

trtQt

t

tAt

tBttBtA

t

t

aA

T

T

p

x

Q

R

p

x

:پاسخ اين معادله به شكل زير است •

ft

t

fff

f drQ

tt

ttt

t

t

)()(

0),(

)(

)(),(

)(

)(*

*

*

*

p

x

p

x

)(

)(

)(

)(),(),(

),(),(

)(

)(

2

1

*

*

2221

1211

*

*

tf

tf

t

ttttt

tttt

t

t

ff

ff

f

f

p

x

p

x

35)-(5.2

34)-(5.2

36)-(5.2

27

53

تعقيب كننده هاي خطي :5-3: از طرفي با توجه به شرايط حدي •

:داريم )5.2-36(با جايگزيني در معادله •

)()()( **fff ttt HrHxp

)()(),()(),()()(

)()(),()(),()(

2*

22*

21*

1*

12*

11*

tftttttttt

tfttttttt

ffff

fff

pxHrHx

pxx

)()(),()(),()()()(),()(),( 2*

22*

211*

12*

11 tfttttttttftttttt ffffff pxHrpxH

)()()(),(),(

)(),(),(),(),()(

211

1222

*2111

11222

*

tfttftttt

tttttttttt

fff

ffff

HrHH

xHHp

54


:در نتيجه قانون كنترل بهينه عبارت است از •

)()()( )()()(),(),(

)(),(),(),(),()(

*21

11222

*2111

11222

*

ttttfttftttt

tttttttttt

fff

ffff

sxKHrHH

xHHp

)()()()()()()()()()()( 1*1* tttttBttttBtt TT vxFsRxKRu

A

BF

)(tx)(* tu )(tx

Plant

)(tr

)(tv

28

55


)()()()()()()()()(

)()()()()()()()()()()(

1

1

ttQttBtRtBttAt

ttBtRtBttQttAtAtt

TT

TT

rsKs

KKKKK

: همچنين معادله ريكاتي عبارت خواهد بود از •

)()()()()()( ***ffffff tttttt sxKHrHxp

)()(

)(

ff

f

tt

t

Hrs

HK

56


)(

211

1222

*

)(

21111

1222*

)()()(),(),(

)(),(),(),(),()(

t

fff

tK

ffff

tfttftttt

tttttttttt

s

HrHH

xHHp

):5.2-3( مثال

ff t

t

f

t

t

f dtdrQ

ttf

0

2

0

0

),()()(

0),()(

0

2

0

0

),(* fs tTff

29

57


)a11-5(شكل هاي

58


)b11-5(شكل هاي

)c11-5(شكل هاي

30

59


)()()()()()()(

0)()()()()()(

11

1

ttQtBtRtBttA

tBtRtBtQtAtA

sS

TT

ssT

ssssT

ss

rKs

KKKK

: همچنين معادله ريكاتي در حالت ماندگار •

0286.01105.0

1105.06875.0ssK

00995.0

06690.0sS

):5.2-3( مثال

60

تعقيب كننده هاي خطي :5-3:مقايسه پاسخ ها در دو حالت طراحي • ):5.2-3( مثال

31

61

تنظيم كننده خطي :5-2):5.2-4(مثال

)()()(2)(

)()(

212

21

tutxtxtx

txtx

1 10 0

20 0 2

200 12

00 1 0 1

T

T

aAQ

BBRAA

T

dttuttxuJ0

22

1 )(025.02.0)()( free :)(

defined :

Tx

T

12

10A

1

0B

00

02Q 05.0R

00

00H

62


T

dttuttxuJ0

22

1 )(025.02.0)()(


32

63



64


)b12-5(شكل هاي )c12-5(شكل هاي

33

65

تعقيب كننده هاي خطي :5-3: همچنين معادله ريكاتي در حالت ماندگار •

1637.04317.0

4317.05175.1ssK

03015.0

02886.1sS

):5.2-4(مثال

66

تعقيب كننده هاي خطي :5-3:مقايسه پاسخ ها در دو حالت طراحي • ):5.2-4(مثال

Documents

Optimal Control Moaveni