Embed Size (px)
DESCRIPTION
description necessary my ass
Citation preview
Elementy Analizy Numerycznej - opracowanie pytańegzaminacyjnych
baszmen, entereczek, JG, kubked, MK, PajdziuPaj
Vertyk
WI-INFA
22 września 2012
Spis treści
1 Teoria 11.1 Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest numerycznie stabilny? . . . . . . 11.2 Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange’a i udowodnić jednoznaczność
jego rozwiązania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Sformułowanie zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Twierdzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Dowód - zbędne na egzaminie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4 Wykazanie jednoznaczności rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite’a. Co można o nim powiedzieć? 21.4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powiedzieć? . . 3
1.4.1 Sformułowanie zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Co można o nim powiedzieć? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nim powie-dzieć? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5.1 Sformułowanie zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5.2 Co można o nim powiedzieć? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Opisać algorytm wyznaczania naturalnej funkcji sklejanej stopnia trzeciego.Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwiązać i jaką metodęmożna zastosować do jego rozwiązania? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.2 Algorytm - część ogólna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.3 Algorytm - funkcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Opisać algorytm wyznaczania okresowej funkcji sklejanej stopnia trzeciego.Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwiązać i jaką metodęmożna zastosować do jego rozwiązania? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7.2 Algorytm - część ogólna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7.3 Algorytm - okresowa funkcja sklejana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego. 61.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona?
Jak można zastosować jej rozkład A = LLT do rozwiązania układu równańliniowych Ax = b? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9.1 Definicja macierzy dodatnio określonej: . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9.2 Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwią-
zania układu równań liniowych? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
1.10 W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równańliniowych? Jakie znasz metody i co możesz o nich powiedzieć? . . . . . . . . . 8
1.11 Opisać metodę połowienia służącą do określenia znajdowania pierwiastka rów-nania nieliniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12 Opisać metodę regula-falsi służącą do wyznaczania pierwiastka równania nie-liniowego f(x) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 Opisać metodę Newtona służącą do rozwiązywania układu równań nieliniowchf(x) = 0. W jakim przypadku i jak można ją uprościć? . . . . . . . . . . . . . 10
1.14 Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu. . . . . . . . 111.15 Podać definicję ciągu Sturma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.16 Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A−1 . . . . . . . . . . . 121.17 Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami. W jaki
sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakim przypadku zagad-nienie to jest interpolacją wielomianową? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Dowody 132.1 Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego naturalnego
k jest fl(xk) = xk(1 + ε)k−1, gdzie |ε| < eps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Udowodnić, że jeżeli f(x) = (x−x0)(x−x1) . . . (x−xp), to [x0, x1, . . . , xn; f ] = 0
dla n ¬ p. Jaka jest wartość tego ilorazu, gdy n = p+ 1? . . . . . . . . . . . . 142.3 Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a
funkcja h interpoluje funkcję f w węzłach x1, x2, . . . , xn, to funkcja
g(x) +x0 − xxn − x0
[g(x)− h(x)]
interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x0, x1, . . . , xn (funkcje g i h niemuszą być wielomianami). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w wę-złach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h jest funkcją taką, że h(xi) = δin(0 ¬ i ¬ n),to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktachx0, x1, . . . , xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Zadania 153.1 Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji f zmien-
nej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [−12 ,32 ] pokazać, że rozszerzenia prze-
działowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowejna tym przedziale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z] prawdziwejest zawieranie
[x] · ([y] + [z]) ⊆ [x] · [y] + [x] · [z]
Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależnościprzedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale prawostronnym. . 16
3.3 Dane są dwa różne algorytmy obliczania różnicy kwadratów dwóch liczb:A1(a, b) =a2 − b2 oraz A2(a, b) = (a− b) · (a+ b). Realizacja, którego z tych algorytmówna komputerze jest lepsza i dlaczego? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz z dzielenia wielomianu w(x) przezdwumian x+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz dzielenia wielomianu w(x) przezdwumian x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanychpochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2
3.7 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanychpochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.8 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znormalizo-wanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 1 . . . . . . . . . . . . . 20
3.9 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znormalizo-wanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 2 . . . . . . . . . . . . . 21
3.10 Za pomocą algorytmu Neville’a znaleźć wartość wielomianu interpolacyjnegow punkcie x = 1
2 , który w punktach 0,1,2 przyjmuje wartości odpowiednio 1,1,3. 223.11 Dane są wartości f(0) = −1, f ′(0) = −2, f(1) = 0, f ′(1) = 10, f”(1) = 40.
Znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite’a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.12 Wielomian p(x) interpoluje cztery początkowe punkty z poniższej tablicy. Do-
dając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomian interpolującywszystkie dane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.13 Dla jakich wartości a, b, c funkcja S(x) może być w przedziale [0, 3) naturalnąfunkcją sklejaną stopnia trzeciego? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.14 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego? 263.15 Dla jakich wartości a, b funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego . 283.16 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) może być w przedziale [−1, 1)
naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.17 Znaleźć rozkład A = LLT , jeśli macierz A ma postać: . . . . . . . . . . . . . 29
3.17.1 Rozwiązanie 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.17.2 Rozwiązanie 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.17.3 Wynik: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.18 Dla jakich wartości parametru α macierz A jest dodatnio określona? . . . . . 303.19 Zbadać wpływ zaburzenia wektora b na dokładność rozwiązania x układu rów-
nań liniowych Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.20 Zbadać zbieżność metody Jacobiego dla układu równań liniowych. . . . . . . 323.21 Zbadać zbieżność metody Gaussa-Siedla dla układu równań liniowych. . . . . 323.22 Zbadać zbieżność metod Jacobiego i Gaussa-Siedla dla układu równań linio-
wych z macierzą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.22.1 Metoda Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.22.2 Metoda Gausa–Seidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.23 Wykazać, że dla poniższej macierzy metoda Gaussa–Seidla nie gwarantujezbieżności przy dowolnym wyborze początkowego przybliżenia rozwiązania ukła-du równań liniowych Ax = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.24 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pierwiastkówrzeczywistych wielomianu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.24.1 Wstęp: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.24.2 Rozwiązanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.24.3 Zmiany znaków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.24.4 Liczba pierwiastków w x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.24.5 Liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . 36
3.25 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby pierwiastków rzeczywi-stych wielomianu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.25.1 Rozwiązanie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.25.2 Zmiany znaków: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.25.3 Liczba pierwiastków rzeczywistych: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.26 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby ujemnych pierwiastkówrzeczywistych wielomianu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.26.1 Rozwiązanie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.26.2 Zmiany znaków: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.26.3 Liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych: . . . . . . . . . . . . . . 39
3
3.27 Wykonać pierwszą iterację w metodzie Newtona zastosowanej do rozwiązywa-nia układu równań nieliniowych przyjmując punkt początkowy (0,0,1) . . . . 39
3.28 Wykonać pierwsze dwie iteracje w metodzie Newtona zastosowanej do rozwią-zywania układu równań nieliniowych przyjmując punkt początkowy (0,1) . . 40
3.29 Stosując metodę Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego, wy-znaczyć macierz A−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.30 Znaleźć przybliżenie funkcji F (x) = sin(x) na przedziale [0,π2 ] wielomianemstopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x0 = π
2 ). Jaki jest błąd aproksymacji? 42
4 Zadania z wykładów 434.1 Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange’a, który w punktach -2,1,2,4 przyj-
muje wartości odpowiednio 3,1,-3,8. Jaka jest wartość tego wielomianu w punk-cie x = 0? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Stosując metodę Newtona, znaleźć wielomian interpolacyjny, który w punktach0, 1, 2 przyjmuje wartości odpowiednio 1, 1, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Utworzyć wielomian interpolacyjny Newtona dla funkcji f(x) opisanej poniższątabelą. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Różnice progresywne i wsteczne wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Z jaką dokładnością można obliczyć ln 100, 5 za pomocą wzoru interpolacyjnego
Lagrange’a mając wartości ln 100, ln 101, ln 102, ln 103,? . . . . . . . . . . . . 45
1 Teoria
1.1 Co to znaczy, że algorytm obliczeniowy jest numerycznie stabilny?2006
Algorytm ϕ jest numerycznie stabilny, jeśli dla dowolnie wybranych danych x0 ∈ D istniejetaka dokładność obliczeń δ0, że dla dokładności δ < δ0 mamy x0 ∈ D(δ) oraz
limδ→0
ϕ(x0, δ) = ϕ(x0),
gdzie ϕ oznacza algorytm ϕ zależy od rodzaju arytmetyki komputera.
Innymi słowy powyższa definicja mówi, że algorytm jest numerycznie stabilny wtedy, gdyzwiększając dokładność obliczeń można wyznaczyć (z dowolną dokładnością) dowolne istnie-jące rozwiązania zadania.
1.2 Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange’a i udowodnić jedno-znaczność jego rozwiązania.
2006, 2007,2008, 2009, 2011,2011zp, 2012zp,2012
1.2.1 Sformułowanie zadania
Zadanie interpolacyjne Lagrange’a polega na znalezieniu dla danej funkcji wielomianu stop-nia nie wyższego niż n, którego wartość w n + 1 punktach xi są takie same jak wartościinterpolowanej funkcji
Ln(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n oraz xi 6= xj dla i 6= j
1.2.2 Twierdzenie
Zadanie interpolacyjne Lagrange’a ma dokładnie jedno rozwiązanie
4
1.2.3 Dowód - zbędne na egzaminie
Niech x0, x1, . . . , xn będą węzłami interpolacji funkcji f takie, że znane są wartości f(x0) =y0, f(x1) = y1, . . . , f(xn) = yn Można zdefiniować funkcję li:
li(x)def=
n∏j=0j 6=i
x− xjxi − xj
, i = 0, 1, . . . , n
są to wielomiany stopnia n, takie że δij - symbol Kro-necker’a
li(xj) = δij =
{1 dla i = j
0 dla i 6= j
Stąd wynika, że
Ln(x) =n∑i=0
f(xi)li(xi) =n∑i=0
f(xi)n∏j=0j 6=i
x− xjxi − xj
(1)
jest wielomianem stopnia co najwyżej n przyjmującym w węzłach interpolacyjnych xi war-tości f(xi), co dowodzi istnienia rozwiązania. Wzór (1) nazywamy wzorem interpolacyjnymLagrange’a.
1.2.4 Wykazanie jednoznaczności rozwiązania
Załóżmy, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany L1n(x) i L2n(x) stopnia n, przyj-mujące w węzłach x0, x1, . . . , xn takie same wartości. Niech L3n(x) = L1n(x) − L2n(x) będziewielomianem. Jest on stopnia co najwyżej n (co wynika z własności odejmowania wielomia-nów). (*)
Ponieważ L1n(x) i L2n(x) w węzłach xi : i ∈ 0, 1, . . . , n interpolują tę samą funkcję, toL1n(xi) = L2n(xi), a więc L3n(xi) = 0 (węzły interpolacji są pierwiastkami L4n(x)). Ale każdyniezerowy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z(*) wiadomo, że L3n(x) ma n+1 pierwiastków, to L3n(x) musi być wielomianem tożsamościoworównym zeru. A ponieważ
L3n(x) = L1n(x)− L2n(x) ≡ 0
toL1n(x) ≡ L2n(x)
co jest sprzeczne z założeniem, że L1n(x) i L2n(x) są różne.
1.3 Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite’a. Co można o nim po-wiedzieć?
2006, 2007,2007p, 2008,2008z, 2009,2011, 2011z,2012z, 2012
Zadanie interpolacyjne Hermite’a polega na znalezieniu dla danej funkcji f oraz k+1 węzłówx0, x1, . . . , xk wielomianu Hn stopnia nie większego niż n, takiego że
H(j)n (xi) = f (j)(xi), i = 0, 1, . . . , k; j = 0, 1, . . . ,mi − 1 (2)
czyli że w węzłach interpolacji pochodne rzędu j tego wielomianu są równe pochodnym funkcjiintepolowanej, przy czym
k∑i=0
mi = n+ 1, mi ∈ N
Liczbę mi nazywamy krotnością węzła xi.
Właściwości:
5
• Jeżeli ∀0¬i¬kmi = 1, to interpolacja Hermite’a sprowadza się do interpolacji Lagrange’a.
• Zadanie interpolacyjne Hermite’a (2) ma jednoznaczne rozwiązanie.
1.4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powie-dzieć?
1.4.1 Sformułowanie zadania.2005
Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernejWmn postaci
Wmn(x) =∑mk=0 akx
k∑nk=0 bkx
k,
w której stopień licznika jest równy co najwyżej m, a stopień mianownika - co najwyżej n,spełniającej dla danych węzłów xi i wartości funkcji w tych węzłach f(xi)(i = 0, 1, . . . ,m+n)warunki
Wmn(xi) = f(xi).
1.4.2 Co można o nim powiedzieć?
Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwiązalne.
Prawie każde rozwiązanie powyższego układu jest rozwiązaniem układu
m∑k=0
akxki − f(xi)
n∑k=0
bkxki = 0, i = 0, 1, . . . ,m+ n
1.5 Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nimpowiedzieć?
2006
1.5.1 Sformułowanie zadania.
Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej fo okresie 2π wielomianu trygonometrycznego:
Tn(x) = β0 + β1exi + β2e
2xi...+ βn−1e(n−1)xi, (3)
eαi = cosα+ i sinα (wzór Eulera; i oznacza jednostkę urojoną), takiego że:
Tn(xk) = f(xk), k = 0, 1, ..., n− 1. (4)
Funkcja f jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach zespolonych. Współczynniki βk wogólności mogą być liczbami zespolonymi.
1.5.2 Co można o nim powiedzieć?
Jeżeli dana jest funkcja g o okresie T , tj. g(y + T ) = g(y), to dokonując zmiany zmiennejwedług zależności x = 2π
T y otrzymamy f(x) = g(yT2π ), a więc funkcję okresową o okresie 2π.Bez zmniejszania ogólności możemy zatem rozważać tylko funkcje o okresie 2π.
Istnieje dokładnie jeden wielomian (3) spełniający warunki (4)
6
1.6 Opisać algorytm wyznaczania naturalnej funkcji sklejanej stopnia trze-ciego. Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwią-zać i jaką metodę można zastosować do jego rozwiązania?
2005, 2006,2008p, 2009,2010p, 20111.6.1 Definicja
Funkcję sklejaną S stopnia 2m− 1 z węzłami (∆) nazywamy naturalną funkcją sklejaną, jeśliw przedziałach (−∞, x0) i (xn,+∞) dana jest wielomianami stopnia m− 1.
Sm(∆) - klasa funkcji sklejanych stopnia m z węzłami (∆),N2m−1(∆) - klasa naturalnych funkcji sklejanych stopnia 2m− 1 z węzłami (∆)
1.6.2 Algorytm - część ogólna
Szukaną funkcję sklejaną można przedstawić w każdym z podprzedziałów w postaci
S(x) = ai + bit+ cit2 + dit
3, (5)
gdzie t = x−xi dla x ∈ [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n−1. Ponadto S ∈ N3(∆) lub S ∈ P3(∆) orazS(xi) = f(xi) w węzłach (∆).
Ze wzoru (5) wynika, że należy wyznaczyć 4n współczynników (jeśli przedział [a, b] podzielonyjest na n podprzedziałów). Z definicji (5) oraz jej warunków wynika, że
ai = f(xi), i = 1, 2, . . . , n (6)
gdyż dla x = xi mamy t = 0.
Do wyznaczenia pozostaje zatem 3n współczynników. Ponieważ S, S′ i S′′ mają być ciągłe wwęzłach xi (i = 1, 2, . . . , n−1) otrzymujemy 3n−3 równania. Pozostałe równania uzyskujemyz faktu, że S jest naturalną lub okresową funkcją sklejaną.
Wprowadźmy pomocnicze zmienne hi:
hi = xi+1 − xi, i = 0, 1, . . . , n− 1 (7)
Współczynniki bi i di określone są następująco:
bi =f(xi+1)− f(xi)
hi− hi
3(ci+1 + 2ci), i = 0, 1, . . . , n− 1 (8)
di =ci+1 − ci
3hi, i = 0, 1, . . . , n− 1 (9)
1.6.3 Algorytm - funkcja naturalna
Jeśli funkcja S jest naturalną funkcją sklejaną, to poza przedziałem [a, b] jest ona wielomianemstopnia m − 1, a w przedziale [a, b] - stopnia 2m − 1. W naszym przypadku 2m − 1 = 3, azatem m = 2. Oznacza to, że w przedziałach (−∞, a) i (b,+∞) funkcja S jest wielomianemstopnia pierwszego, a stąd S′′(x) = 0 dla x /∈ [a, b]. Z drugiej strony funkcja S′′ musi byćciągła w punktach x0 = a i xn = b, czyli S′′(x0) = S′′(xn) = 0. Zatem c0 = 0, bo S′′(x) =
7
2c0 + 6d0(x − x0) dla x ∈ [x0, x1) oraz cn = 0 z warunku 2cn = S′′(xn − 0). Znalezieniewspółczynników c sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych:
2 w1 0 · · · · · · · · · · · · 0u2 2 w2 0 · · · · · · · · · 00 u3 2 w3 · · · · · · · · · 0...
......
.... . .
......
...0 · · · · · · · · · · · · un−2 2 wn−20 · · · · · · · · · · · · 0 un−1 2
c1c2c3...
cn−2cn−1
=
v1v2v3...
vn−2vn−1
gdzie
ui =hi−1
hi−1 + hi, i = 2, 3, . . . , n− 1 (10)
wi =hi
hi−1 + hi, i = 1, 2, . . . , n− 2 (11)
vi =3
hi−1 + hi
(f(xi+1)− f(xi)
hi− f(xi)− f(xi−1)
hi−1
), i = 1, 2, . . . , n− 1 (12)
a następnie wyznaczenie pozostałych współczynników szukanej funkcji sklejanej ze wzorów(8) i (9).
Układ równań ma postać macierzy trójdiagonalnej. Istnieje kilka metod rozwiązywania ukła-dów tego typu, m.in metoda Crouta.
1.7 Opisać algorytm wyznaczania okresowej funkcji sklejanej stopnia trze-ciego. Jaka jest postać układu równań liniowych, który trzeba rozwią-zać i jaką metodę można zastosować do jego rozwiązania?
2005, 2006,2008p, 2009,2010p 1.7.1 Definicja
Funkcję sklejaną S stopnia m z węzłami (∆) nazywamy okresową o okresie b−a, jeśli S(i)(a+0) = S(i)(b− 0) dla i = 0, 1, . . . ,m− 1.
Sm(∆) - klasa funkcji sklejanych stopnia m z węzłami (∆),Pm(∆) - klasa okresowych funkcji sklejanych stopnia m z węzłami (∆)
1.7.2 Algorytm - część ogólna
Patrz punkt 1.6.2.
1.7.3 Algorytm - okresowa funkcja sklejana
Jeśli funkcja S jest okresową funkcją sklejaną stopnia trzeciego, to muszą być spełnionewarunki
S(i)(x0 + 0) = S(i)(xn − 0), i = 0, 1, 2
a stąd dla i = 0 otrzymujemyf(x0) = f(xn),
dla i = 1:b0 = bn−1 + 2cn−1hn−1 + 3dn−1h2n−1,
oraz dla i = 2:c0 = cn
8
Znalezienie współczynników sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych:
2 w1 0 · · · · · · · · · 0 u1u2 2 w2 0 · · · · · · · · · 00 u3 2 w3 · · · · · · · · · 0...
......
.... . .
......
...0 · · · · · · · · · · · · un−1 2 wn−1wn 0 · · · · · · · · · 0 un 2
c1c2c3...
cn−1cn
=
v1v2v3...
vn−1vn
gdzie
un =hn−1
hn−1 + h0
wn =h0
hn−1 + h0
vn =3
hn−1 + h0
(f(x1)− f(xn)
h0− f(xn)− f(xn−1)
hn−1
)a pozostałe wielkości ui, wi i vi (i = 1, 2, . . . , n− 1) są określone jak w (10), (11) i (12)
Macierz ta jest macierzą zbliżoną do trójdiagonalnej, różni się od niej jedynie o niezeroweelementy u1 i wn. W celu rozwiązania takiego układu równań, macierz można rozłożyć nailoczyn LU np. metodą eliminacji Gaussa. Chcąc rozwiązać układ równań Ax = d, wystarczyrozwiązać kolejno dwa układy równań Ly = d i Ux = y.
1.8 Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu pod-stawowego.
2005, 2006, 2007,2007p, 2008,2008z, 2011,2011z, 2012z,2012
Algorytm eliminacji Gaussa jest algorytmem rozwiązywania układu n równań z n niewiado-mymi.
Układ równań
a1,1x1 + a1,2x2+ · · ·+ a1,nxn = b1
a2,1x1 + a2,2x2+ · · ·+ a2,nxn = b2
. . .
an,1x1 + am,2x2+ · · ·+ an,nxn = bn
przekształcany jest do postaci A(1)x = b(1)a1,1 . . . a1,n...
......
an,1 . . . an,n
x1...xn
=
b1...bn
Przed wykonaniem algorytmu dla wygody warto kolumny podpisać kolejnymi zmiennymi, awiersze wyrazami wolnymi. Ułatwia to orientację w zmianach w układzie równań podczaszamiany kolumn (zmiana kolejności zmiennych) oraz wierszy (zmiana kolejności wyrazówwolnych). Wyrazy wolne podlegają tym samym operacjom co reszta macierzy.
Algorytm zaczynamy od macierzy W = A;
1. W macierzy W znajdź element s o maksymalnej wartości bezwzględnej.
2. Zamień wiersze macierzy W tak aby s znajdowała się w pierwszym wierszu.
9
3. Zamień kolumny macierzy W tak aby s znajdowała się na pozycji (1, 1).
4. Odejmij od każdego z pozostałych wierszy wiersz pierwszy pomnożony przez wi,1w1,1
, gdziei to numer wiersza.
5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.
6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową → STOP - brak jednoznacznego rozwiązania.
7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierzkwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych.
8. Wróć do punktu 1.
Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci:i1 i2 . . . inq1,1 q1,2 . . . q1,n0 q2,2 . . . q2,n...
.... . .
...0 0 . . . qn,n
=
c1c2...cn
gdzie i1, i2, . . . , in to zapamiętane przez nas indeksy zmiennych w oryginalnej macierzy, ac1, c2, . . . , cn to przekształcone wyrazy wolne. Wartości zmiennych odczytujemy w następu-jący sposób:
1. Z ostatniego wiersza wyznaczamy
xin =cnqn,n
2. W analogiczny sposób, znając już wartości xi+1, xi+2, . . . , xn obliczamy kolejne wartościxi
xia =ca −
∑nk=a+1(xik · qa,k)qa,a
1.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio okre-ślona? Jak można zastosować jej rozkład A = LLT do rozwiązania ukła-du równań liniowych Ax = b?
2006, 2007,2007p, 2008,2008p, 2009,2010p, 2011,2012
1.9.1 Definicja macierzy dodatnio określonej:
Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy:
1. jest macierzą hermitowską, tj. A = AH(AT )
2. xHAx > 0 dla wszystkich wektorów x ∈ Cn, x 6= 0.
Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki:
A ≡ AT ∧ ∀x ∈ Rn : (x 6≡ 0⇒ xTAx > 0)
1.9.2 Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązaniaukładu równań liniowych?
W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkąt-nym. Rozkład rzeczywistej macierzy A na iloczyn LLT wykonujemy na podstawie następu-jących wzorów:
10
lk,k =
√√√√√ak,k − k−1∑j=1
|lk,j |2, k = 1, 2, . . . , n,
li,k =ai,k −
∑k−1j=1 li,j
¯lk,j¯lk,k
, i = k + 1, k + 2, . . . , n.
Dla macierzy rzeczywistej wzory upraszczają się:
lk,k =
√√√√√ak,k − k−1∑j=1
l2k,j , k = 1, 2, . . . , n
li,k =ai,k −
∑k−1j=1 li,jlk,j
lk,ki = k + 1, k + 2, . . . , n
Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z przedstawienia macierzy A jako iloczyn LLT , anastępnie iterowania wierszami po kolejnych elementach macierzy L.
Żeby rozwiązać układ równań Ax = LLTx = b z taką macierzą wystarczy rozwiązać naj-pierw układ równań z macierzą dolnotrójkątną Ly = b, a następnie układ równań z macierzągórnotrójkątną LTx = y (liczby sprzężone zastępujemy odpowiednimi liczbami rzeczywisty-mi).
1.10 W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania ukła-dów równań liniowych? Jakie znasz metody i co możesz o nich po-wiedzieć?
2006, 2007,2007p, 2008,2008p, 2008zp,2009, 2010p,2011, 2011zp,2012zp, 2012
Aby skonstruować metodę iteracyjną do rozwiązywania układów równań liniowych Ax = bwystarczy tak dobrać macierz M , by był spełniony warunek zbieżności %(M) < 1 i warunekzgodności x = Mx + w, gdzie x jest rozwiązaniem układu równań Ax = b. Teoretyczniewystarczy zatem wziąć dowolną macierz M taką, by ρ(M) < 1, a następnie obliczyć wektorw = (I − M)A−1b wynikający z warunku zgodności. Ponieważ wymagałoby to obliczeniawyrażenia A−1b, więc w praktyce postępujemy odwrotnie: przyjmujemy, że wektor w jestrówny Nb, gdzie N jest pewną macierzą kwadratową. Z warunku zgodności mamy wówczasM = I −NA i w ten sposób otrzymujemy rodzinę metod iteracyjnych postaci:
x(i+1) = (I −NA)x(i) +Nb
Znane metody opierają się na równości A = L+D+U , gdzie L jest macierzą dolnotrójkątną,D diagonalną, a U górnotrójkątną.
metoda JacobiegoN = D−1
MJ = −D−1(L+ U)
Dx(i+1) = −(L+ U)x(i) + b, i = 0, 1, 2, . . .
metoda Gaussa–SeidlaN = (D + L)−1
MGS = −(D + L)−1U
Dx(i+1) = −Lx(i+1) − Ux(i) + b, i = 0, 1, 2, . . .
11
1.11 Opisać metodę połowienia służącą do określenia znajdowania pier-wiastka równania nieliniowego
2006
Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek i na któregokońcach funkcja ma przeciwna znaki tj. f(a)f(b) < 0.W celu znalezienia przybliżonej wartościpierwiastka, dzielimy przedział [a, b] na połowy punktem
x(1) =a+ b
2.
Jeżeli f(x(1)) = 0, to punkt x(1) jest szukanym pierwiastkiem. Jeśli natomiast tak nie jest,to z dwóch przedziałów [a, x(1)] i [x(1), b] wybieramy ten, na którego końcach funkcja maprzeciwne znaki. Przedział ten dzielimy na połowy punktem x(2), badamy wartość funkcji wpunkcie x(2) i znaki funkcji na końcach przedziału itd.
Po pewnej liczbie kroków otrzymamy albo pierwiastek dokładny, albo ciąg przedziałów, ta-kich, że:
f(x(i))f(x(i+1)) < 0,
gdzie [x(i), x(i+1)] oznacza tu i-ty przedział, którego długość wynosi:
|x(i+1) − x(i)| = 12i
(b− a)
Można zauważyć, że lewe końce ciągu przedziałów tworzą ciąg niemalejący i ograniczony zgóry, a prawe końce - ciąg nierosnący i ograniczony z dołu, więc wynika z tego, że istnieje ichwspólna granica, która jest szukanym pierwiastkiem
1.12 Opisać metodę regula-falsi służącą do wyznaczania pierwiastka rów-nania nieliniowego f(x) = 0.
2006, 2007,2007p, 2008,2009, 2011, 2012 Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek, a funkcja
f ma na końcach tego przedziału przeciwne znaki. Załóżmy ponadto, że f ∈ C2[a, b] (prze-strzeń funkcji ciągłych wraz z pochodnymi do rzędu drugiego) oraz że pochodne pierwszego idrugiego rzędu funkcji f mają stąły znak w tym przedziale. Przy takich założeniach funkcjamoże mieć jedną z czterech postaci:Pierwsza pochod-
na mówi nam otym, czy funkcjajest rosnąca czymalejąca, drugaczy wklęsła czytez wypukła
1. rosnąca + wklęsła
2. rosnąca + wypukła
3. malejąca + wklęsła
4. malejąca + wypukła
Pokażemy przykład f ′(x), f ′′(x) > 0 (w pozostałych przypadkach jest analogicznie). Przezpunkty A(a, f(a)) oraz B(b, f(b)) poprowadzimy cięciwę o równaniu :
y − f(a) =f(b)− f(a)
b− a(x− a).
Stąd
x(1) = a− f(a)f(b)− f(a)
(b− a).
Teraz musimy przeanalizować wyniki. Jeśli f(x(1)) = 0, to liczba x(1) jest szukanym pier-rzędna - y
wiastkiem. Jeśli natomiast f(x(1)) 6= 0 to przez punkt C(x(1), f(x(1))) oraz ten z punktów Ai B, którego rzędna ma przeciwny znak niż f(x(1)) prowadzimy następną cięciwę itd.
12
1.13 Opisać metodę Newtona służącą do rozwiązywania układu równańnieliniowch f(x) = 0. W jakim przypadku i jak można ją uprościć?
2006, 2007,2008p, 2008zp,2009, 2011,2011zp, 2012zp,2012
Rozwiązanie
f(x) =
f1(x1, x2, · · · , xn)f2(x1, x2, · · · , xn)
· · ·fn(x1, x2, · · · , xn)
= 0
Zakładając, że:
1. punkt ξ jest pierwiastkiem powyższego równania
2. wektor x(0) jest przybliżoną wartością ξ
Przy powyższych założeniach można zapisać wzory, będące uogólnieniem klasycznej metodyNewtona:
0 = f(ξ) ≈ f(x(0)) +Df(x(0))(ξ − x(0))
Df(x(0)) =
∂f1∂x1
∂f1∂x2
· · · ∂f1∂xn
∂f2∂x1
∂f2∂x2
· · · ∂f2∂xn
......
. . ....
∂fn∂xn
∂fn∂x2
· · · ∂fn∂xn
, ξ − x(0) =
ξ1 − x(0)1
...ξn − x(0)n
O ile macierz Df(x(0)) jest nieosobliwa to:
x(i+1) = x(i) − [Df(x(i))]−1f(x(i))
Ze względu na niewygodne obliczenia wynikające z powyższego wzoru w praktyce wzór prze-kształca się do postaci:
Df(x(i))︸ ︷︷ ︸A
x(i+1) = Df(x(i))x(i) − f(x(i))︸ ︷︷ ︸b
Do rozwiązania powyższego układu równań liniowych można zastosować dowolną metodę.Metodę tę można uprościć. Zakładając, że 0 < ω < 2, otrzymujemy następujące wzory TO-CHECK
Czy ω na pewno< 2?
iteracyjne na kolejne elementy rozwiązania x:
x(i+1)1 = x
(i)1 − ω
f1(x(i)1 , x
(i)2 , . . . , x
(i)n )
∂f1∂x1
(x(i)1 , x(i)2 , . . . , x
(i)n )
x(i+1)2 = x
(i)2 − ω
f2(x(i+1)1 , x
(i)2 , . . . , x
(i)n )
∂f2∂x2
(x(i+1)1 , x(i)2 , . . . , x
(i)n )
. . .
x(i+1)n = x(i)n − ωfn(x(i+1)1 , x
(i+1)2 , . . . , x
(i+1)n−1 , x
(i)n )
∂fn∂xn
(x(i+1)1 , x(i+1)2 , . . . , x
(i+1)n−1 , x
(i)n )
13
1.14 Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu.2005, 2007, 2008,2009, 2011, 2012
Metoda Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianu (również zespolonych), polega natym, że pierwiastki wielomianu
x2 − rx− q,
gdzie r i q oznaczają liczby rzeczywiste, są także wtedy i tylko wtedy pierwiastkami danegowielomianu rzeczywistego
p(x) = a0xn + a1x
n−1 + · · ·+ an, a0 6= 0,
gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x2 − rx − q. Wtakim przypadku
p(x) = p1(x)(x2 − rx− q) +Ax+B,
gdzie stopień wielomianu p1(x) jest nie większy niż n− 2, przy czym wyrażenie Ax+B jestresztą powstałą przy dzieleniu przez trójmian x2 − rx− q.
Współczynniki A i B są zależne od r i q, tzn. A = A(r, q) i B = B(r, q). Ponieważ reszta mabyć zerem, należy zatem rozwiązać równania:{
A(r, q) = 0B(r, q) = 0
Stosujemy w tym celu metodę Newtona:
[r(i+1)
q(i+1)
]=
[r(i)
q(i)
]−
∂A∂r ∂A∂q
∂B∂r
∂B∂q
−1r=r(i)q=q(i)
·[A(r(i), q(i))B(r(i), q(i))
]
1.15 Podać definicję ciągu Sturma.2006, 2007, 2008,2012
Ciąg
p(x) = p0(x), p1(x), . . . , pn(x)
wielomianów rzeczywistych nazywamy ciągiem Sturma gdy:
1. wielomian p0(x) stopnia n ma tylko pojedyncze pierwiastki
2. signp1(ξ) = −signp′0(ξ) dla wszystkich rzeczywistych pierwiastków ξ wielomianu p0(x)
3. dla i = 1, 2, . . . , n− 1 mamyTO-CHECKCzy te wielomia-ny to na pewnopi−1 i pi+1?
pi+1(ξ)pi−1(ξ) < 0
gdzie ξ oznacza pierwiastek rzeczywisty wielomianu pi(x)
4. ostatni wielomian pn(x) nie zmienia swojego znaku
Ciąg tworzymy w następujący sposób: Pierwszy wielomian (po(x)) to dana funkcja, drugi(p1(x)) to pochodna pierwszego wielomianu z przeciwnym znakiem (p1(x) = −p′0(x)). Kolej-ne wielomiany pi(x) (i = 2, 3, . . . , n) są resztą z dzielenia wielomianu pi−2(x) przez wielomianpi−1(x), wziętą ze znakiem przeciwnym, ewentualnie przemnożoną przez dowolną stałą do-datnią.
14
1.16 Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A−12007, 2008, 2009,2011, 2012
Do wyznaczania macierzy A−1 stosuje się metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyboremelementu podstawowego. Algorytm składa się z dwóch etapów:
1. wyznaczamy rozkład LU macierzy A (uwzględniając ewentualne przestawienia wierszymacierzy A)
2. rozwiązujemy n razy układ równań
LUx(i) = e(i), i = 1, 2, . . . , n
gdzie e(i) oznacza i-ty wersor w przestrzeni Rn, tj.
e(i) = [0, . . . , 1︸︷︷︸i-ta pozycja
, . . . , 0]T
Rozwiązania x(i) są kolumnami macierzy A−1, przy czym należy ustawić je w kolejnościwynikającej z przestawień wierszy macierzy. Można też równocześnie rozwiązywać n układówrównań z prawymi stronami równymi e(i) (i = 1, 2, . . . , n).
1.17 Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami.W jaki sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakimprzypadku zagadnienie to jest interpolacją wielomianową?
Rozwiązanie: W aproksymacji średniokwadratowej dla funkcji F (x) określonej na przedziale 2007p, 2009,2011, 2012[a,b] minimalizujemy ||F (x)− f(x)||, czyli szukamy minimum całki:
||F (x)− f(x)|| =b∫a
w(x)[F (x)− f(x)]2dx
gdzie: w(x) jest funkcją wagową
F (x) jest funkcją aproksymowaną
f(x) jest funkcją aproksymującą
natomiast dla funkcji F (x) danej na dyskretnym zbiorze argumentów będziemy poszukiwaćminimum sumy:
||F (x)− f(x)|| =m∑i=0
w(xi)[F (xi)− f(xi)]2
przy czym w(xi) 0 dla i = 0, 1, ...,m
Niech:
1. funkcja y = F (x) przyjmuje na pewnym zbiorze X=x0, x1, ..., xm wartości y0, y1, ..., ym
2. ϕi(x), i = 0, 1, ..., n oznacza układ funkcji bazowych podprzestrzeni Xn+1
Poszukujemy takiej funkcji f(x), która będzie najlepszym przybliżeniem średniokwadroto-wym funkcji F (x) na zbiorze X tj. funkcji:
f(x) =m∑i=0
aiϕi(x)
ai są tak określone, by minimalizować
15
Przyjmijmy:
H(a0, a1, ..., an) =m∑j=0
w(xj)[F (xj)−n∑i=0
aiϕi(xj)]2 =m∑j=0
w(xj)R2j
Obliczamy współczynniki ai:
∂H
∂ak= −2
m∑j=0
w(xj)[F (xj)−n∑i=0
aiϕi(xj)]ϕk(xj) = 0
Otrzymaliśmy w ten sposób układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi ai zwany ukła-dem normalnym. Jeżeli jako funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów xi (i = 0, 1, ..., n)to po przekształceniach otrzymamy wówczas układ normalny w postaci:
n∑i=0
αikai = βk
Objaśnienie do powyższych wzorów:w(x) jest ustalona z góry i taka, że w(xj) > 0 dla j = 0, 1, ...,mRj - odchylenie w punkcie xjk = 0, 1, ..., nαik =
∑mj=0 x
i+kj , βk =
∑mj=0 F (xj)xkj
Jeżeli:
1. n ¬ m i punkty x0, x1, ..., xn są różne, to wyznacznik układu jest różny od zera, a więcukład ten ma dokładnie jedno rozwiązanie
2. n = m, to wielomian aproksymacyjny f(x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnymdla punktów x0, x1, ..., xn i wówczas H = 0
2 Dowody
2.1 Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego natu-ralnego k jest fl(xk) = xk(1 + ε)k−1, gdzie |ε| < eps.
2009, 2011
Wstęp:
• fl(α) oznacza wartość wyrażenia α w arytmetyce zmiennopozycyjnej,
• eps oznacza dokładność maszynową.
Dowód indukcyjny.
1. Dla k = 1:wartość wyr. war. zm. dla l.maszynowej to taliczba
fl(x) = x
Dla k = 2 z definicji wynika, że:
fl(x2) = fl(x · x) = (x · x)(1 + ε) = x2(1 + ε)
2. Jeżeli przyjmiemy, że fl(xk−1) = xk−1(1 + ε)k−2 to:
fl(xk) = fl(xk−1 · x) = (fl(xk−1) · x)(1 + ε) = xk−1(1 + ε)k−2x(1 + ε) = xk(1 + ε)k−1
Wniosek: na mocy zasady indukcji matematycznej można stwierdzić, że podane twierdzeniejest prawdziwe.
16
2.2 Udowodnić, że jeżeli f(x) = (x−x0)(x−x1) . . . (x−xp), to [x0, x1, . . . , xn; f ] =0 dla n ¬ p. Jaka jest wartość tego ilorazu, gdy n = p+ 1?
2007, 2008, 2009,2011, 2012
Definicja ilorazu różnicowego:
[xl, xl+1, . . . , xl+k; f ] =l+k∑i=l
f(xi)∏l+kj=lj 6=i
(xi − xj)
Trochę inaczejniż w rozwia-zanie.pdf, ale owiele prościej
Dowód. Z definicji wynika zatem, że przy założeniu n ¬ p, każdy składnik sumy będzie równy0, gdyż ponieważ wartość f(x) w punktach x0, x1, . . . , xn wynosi 0. Zatem wartość całej sumy,a tym samym ilorazu różnicowego wyniesie 0.
Dla n = p + 1, n − 1 pierwszych składników powyższej sumy będzie równych 0, natomiastskładnik n-ty będzie wyglądał następująco (przyjmując p = n− 1):
f(xn)∏pj=0(xn − xj)
=(xn − x0)(xn − x1) . . . (xn − xp)(xn − x0)(xn − x1) . . . (xn − xp)
= 1
Ostatecznie wartość ilorazu różnicowego [x0, x1, . . . , xn; f ] = 0 dla n = p+ 1 to 1.
2.3 Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1,a funkcja h interpoluje funkcję f w węzłach x1, x2, . . . , xn, to funkcja
g(x) +x0 − xxn − x0
[g(x)− h(x)]
interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x0, x1, . . . , xn (funkcje g i hnie muszą być wielomianami).
2007, 2008,2008z, 2011z,2012z, 2012Dowód.
Oznaczmy przez k(x) funkcję:
k(x) = g(x) +x0 − xxn − x0
[g(x)− h(x)]
1. Dla x = x0:
k(x0) = g(x0) +x0 − x0xn − x0
[g(x0)− h(x0)] (13)
= g(x0) + 0 · [g(x0)− h(x0)]
= g(x0)
2. Dla x = xn:
k(xn) = g(xn) +x0 − xnxn − x0
[g(xn)− h(xn)] (14)
= g(xn)− 1 · [g(xn)− h(xn)]
= g(xn)− g(xn) + h(xn)
= h(xn)
17
3. Dla x = xi(i = 1, 2, . . . , n− 1):g(xi) = h(xi),
zatem
k(xi) = g(xi) +x0 − xixn − x0
[g(xi)− h(xi)] (15)
= g(xi)−x0 − xixn − x0
· 0
= g(xi)
Ponieważ funkcja g(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h interpolujefunkcję f w węźle xn, zatem na podstawie równań (13), (14) i (15) funkcja k(x) interpolujefunkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn.
2.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcjęf w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h jest funkcją taką, że h(xi) =δin(0 ¬ i ¬ n), to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpolujefunkcję f w punktach x0, x1, . . . , xn
2007, 2008, 2012
Wstęp:
• Symbol Kronecker’a:
δij =
{1, i = j0, i 6= j
Dowód.Oznaczmy przez k(x) następującą funkcję:
k(xi) = g(xi) + c · h(xi) = g(xi) + c · δinDla i = 0, 1, . . . , n− 1, wartość symbolu Kronecker’a δin wynosi 0, gdyż i 6= n, zatem k(xi) =g(xi), z czego wynika, że dla i = 0, 1, . . . , n−1 funkcja k(x) interpoluje funkcję f w punktachx0, x1, . . . , xn−1.Być może to po-
winno być przeznegację, że takastała nie istnieje idojść do sprzecz-ności..
Dla i = n, wartość symbolu Kronecker’a δin wynosi 1, a więc k(xn) = g(xn) + c. Ponieważfunkcja k(x) ma interpolować funkcję f(x) w węźle xn, zatem k(xn) = f(xn). Znając wartośćfunkcji interpolowanej f(x) i funkcji g(x) w węźle xn, można wyliczyć c na podstawie wzoru:
c = f(xn)− g(xn)
Istnieje zatem taka stała c, dla której funkcja k(x) = g(x) + c · h(x) interpoluje funkcję f wwęzłach x0, x1, . . . , xn.
3 Zadania
3.1 Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcjif zmiennej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [−12 ,
32 ] pokazać, że roz-
szerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartośćfunkcji przedziałowej na tym przedziale?
2007p
f(x) =1
2− x+
12 + x
=4
4− x · x=
44− x2
, |x| < 2
Wstęp:
18
• f[] - oznaczenia rozszerzenia przedziałowego funkcji
• Jeżeli mamy kilka równoważnych zapisów matematycznych, to funkcję przedziałowąnależy wyznaczyć z wyrażenia, w którym x występuję namniejszą liczbę razy
• 〈[x]〉 = min {|x| : x ∈ [x]}
• |[x]| = max {|x| : x ∈ [x]}
• [x]2 =[〈[x]〉2 , |[x]|2
]Rozwiązanie:
f(1)[] ([x]) =
1
2−[−12 ,
32
] +1
2 +[−12 ,
32
] =1[12 ,52
] +1[32 ,72
]=[
25, 2]
+[
27,23
]=[
2430,83
] (16)
f(2)[] ([x]) =
4
4−[−12 ,
32
]·[−12 ,
32
] =4
4−[−34 ,
94
]=
4[74 ,194
] = [4, 4] ·[
419,47
]=[
1619,167
] (17)
f(3)[] ([x]) =
4
4−[−12 ,
32
]2 =4
4−[0, 94
]=
4[74 , 4] = [4, 4] ·
[14,47
]=[1,
167
] (18)
Wartość funkcji przedziałowej odpowiada wartości jej rozszerzenia przedziałowego danegorównaniem (18).
3.2 W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z]prawdziwe jest zawieranie
[x] · ([y] + [z]) ⊆ [x] · [y] + [x] · [z]
Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależ-ności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale pra-wostronnym.
2007p, 2008,2009, 2011Ważne! Końceprzedziałów niemogą być so-bie równe (anijeden)!
Wstęp:[a] = [a, a]
[a] + [b] = [a+ b, a+ b]
[a] · [b] =[min
{a · b, a · b, a · b, a · b
},max
{a · b, a · b, a · b, a · b
}][a]/[b] = [a] ·
[1b,1b
], 0 /∈ [b]
Rozwiązanie:Przyjmując:
[x] =[−1,−1
2
][y] = [1, 2]
19
[z] =[−1,−1
2
]Otrzymujemy:
L =[−1,−1
2
]·(
[1, 2] +[−1,−1
2
])=[−1,−1
2
]·[0,
32
]=[−3
2, 0]
P =[−1,−1
2
]· [1, 2] +
[−1,−1
2
]·[−1,−1
2
]=[−2,−1
2
]+[
14, 1]
=[−7
4,12
]Zatem:
L ⊆ P
3.3 Dane są dwa różne algorytmy obliczania różnicy kwadratów dwóchliczb: A1(a, b) = a2− b2 oraz A2(a, b) = (a− b) · (a+ b). Realizacja, któregoz tych algorytmów na komputerze jest lepsza i dlaczego?
2005, 2009, 2011
Przy realizacji pierwszego z nich w arytmetyce zmiennoprzecinkowej otrzymujemy
fl(a2 − b2) = [(a · a)(1 + ε1)− (b · b)(1 + ε2)] (1 + ε3) =
= (a2 − b2)(
1 +(a2ε1 − b2ε2)
(a2 − b2)
)(1 + ε3) =
= (a2 − b2)(1 + δ1)
gdzie
δ1 =a2ε1 − b2ε2a2 − b2
(1 + ε3) + ε3,
a ε1, ε2, ε3 są błędami wytworzonymi w poszczególnych działaniach arytmetycznych i zgodniez zależnością |εi| 6 2−t (i = 1, 2, 3). Jeśli a2 jest odpowiednio bliskie b2, a ε1 i ε2 mająprzeciwne znaki, to błąd względny δ1 wyniku otrzymanego algorytmem A1 może być dowolnieduży. Nie jest tak w przypadku drugiego algorytmu, gdyż
fl((a− b)(a+ b)) = ((a− b)(1 + ε1)(a+ b)(1 + ε2))(1 + ε3) =
= (a2 − b2)(1 + δ2)
gdzie|δ2| 6 |ε1|+ |ε2|+ |ε3|
i błąd względny δ2 jest zawsze nie większy od 3·2−t. (Oszacowanie δ2 jest podane w pierwszymprzybliżeniu tj. traktuje iloczyny kilku ε jako 0).
Jak widzimy z porównania wartości δ1 i δ2 algorytm drugi jest znacznie lepszy.
3.4 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz z dzielenia wielomianuw(x) przez dwumian x+ 1
2006
w(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 5
Wstęp:
wn = an
wk = wk+1 · x+ an, k = n− 1, n− 2, . . . , 0
w0 = w(k)
20
Iloraz z dzielenia uzyskujemy, wyznaczając kolejne współczynniki wk. Ostatni współczynnik(w0) jest resztą z dzielenia.
v(x) =n∑i=1
wixi−1
Rozwiązanie:
v(x) =w(x)x+ 1
w3 = 1
w2 = 1 · (−1)− 2 = −3
w1 = −3 · (−1)− 5 = −2
w0 = −2 · (−1) + 5 = 7
v(x) = x2 − 3x− 2, r = 7
3.5 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz dzielenia wielomianu w(x)przez dwumian x− 1
2006, 2008zp,2011zp, 2012zp
w(x) = x4 + x3 − 4x2 − 3x+ 3
w4 = 1
w3 = 1 · 1 + 1 = 2
w2 = 2 · 1− 4 = −2
w1 = (−2) · 1− 3 = −5
w0 = (−5) · 1 + 3 = −2
v(x) = x3 + 2x2 − 2x− 5, r = −2
3.6 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormali-zowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 2.
2006, 2007, 2008,2012
w(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 5
Wstęp:
Wyznaczamy kolejne ilorazy z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x − C, gdzie C wprzypadku tego zadania wynosi 2. Wyznaczanie przerywamy, gdy wielomian będzie stały.Kolejne reszty z dzielenia, począwszy od drugiej, wyznaczają znormalizowane pochodne wpunkcie x = C.
Rozwiązanie:
• w1(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 5
w3 = 1
w2 = 1 · 2− 2 = 0
w1 = 0 · 2− 5 = −5
w0 = (−5) · 2 + 5 = −5
21
• w2(x) = x2 − 5
w2 = 1
w1 = 1 · 2 + 0 = 2
w0 = 2 · 2− 5 = −1 =w′(2)
1!
• w3(x) = x+ 2
w1 = 1
w0 = 1 · 2 + 2 = 4 =w′′(2)
2!
• w4(x) = 1
w0 = 1 =w′′′(2)
3!
Ostatecznie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) w punkcie x = 2 to -1, 4 i 1.
3.7 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormali-zowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 1.
2007, 2008, 2012
w(x) = x4 + x3 − 4x2 − 3x+ 3
• w1(x) = x4 + x3 − 4x2 − 3x+ 3
w4 = 1
w3 = 1 · 1 + 1 = 2
w2 = 2 · 1− 4 = −2
w1 = (−2) · 1− 3 = −5
w0 = (−5) · 1 + 3 = −2
• w2(x) = x3 + 2x2 − 2x− 5
w2 = 1
w1 = 1 · 1 + 2 = 3
w1 = 3 · 1− 2 = 1
w0 = 1 · 1 +−5 = −4
• w3(x) = x2 + 3x+ 1
w2 = 1
w1 = 1 · 1 + 3 = 4
w0 = 4 · 1 + 1 = 5
• w4(x) = x+ 4
w1 = 1
w0 = 1 · 1 + 4 = 5
22
• w5(x) = 1
w0 = 1
Ostatecznie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) w punkcie x = 1 to -4, 5, 5 i 1.
3.8 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znor-malizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 1
2007p
w(x) = x4 + x3 − 4x2 − 3x+ 3
Wstęp:
• wyznaczamy m pierwszych znormalizowanych pochodnych wielomianu
• pq = n+ 1, gdzie p, q - liczby naturalne dla p = 1 -minimalna liczbamnożeń• s(j) = (n− j) mod q, j = 0, 1, . . . , n
• r(j) =
{0 dla j mod q 6= 0q dla j mod q = 0
, j = 0, 1, . . . , n
• T−1i = an−i−1xs(i+1), i = 0, 1, . . . , n− 1
• T jj = anxs(0), j = 0, 1, . . . ,m
• T ji = T j−1i−1 + T ji−1xr(i−j), j = 0, 1, . . . ,m; i = j + 1, j + 2, . . . , n
• Okazuje się, że T jn = w(j)(x)j! xj mod q, zatem j-ta znormalizowana pochodna wyraża się
wzorem T jnxj mod q
, j = 1, 2, . . . ,m
Rozwiązanie:
• n = 4
• pq = 5⇒ p = 1, q = 5
• s(j):
j s(j)0 41 32 23 14 0
• r(j):
j r(j)0 51 02 03 04 0
• T ji : Ponieważ x = 1można pomi-nąć liczeniewszystkich potęg23
aaaaai j -1 0 1 2 3 4
0 1 11 -4 2 12 -3 -2 3 13 3 -5 1 4 14 -2 -4 5 5 1
Przykłady:T−10 = 1 · 13 = 1
T 22 = 1 · 14 = 1
T 02 = T−11 + T 01 = −4 + 2 = −2
T 34 = T 23 + T 33 = 4 + 1 = 5
• Znormalizowane pochodne:
rząd wartość1 -42 53 54 1
3.9 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znor-malizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 2
2006
w(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 5
• n = 3
• pq = 4⇒ p = 1, q = 4
• s(j):
j s(j)0 31 22 13 0
• r(j):
j r(j)0 41 02 03 0
• T ji :elementy na prze-kątnej T jj są za-wsze takie same
aaaaai j -1 0 1 2 3
0 −2 · 22 = −8 1 · 23 = 81 −5 · 21 = −10 −8 + 8 · 20 = 0 82 5 · 20 = 5 −10 + 0 · 20 = −10 0 + 8 · 20 = 8 83 5− 10 · 20 = −5 −10 + 8 · 20 = −2 8 + 8 · 20 = 16 8
24
• Znormalizowane pochodne:
rząd wartość
1 −221 = −1
2 1622 = 4
3 823 = 1
3.10 Za pomocą algorytmu Neville’a znaleźć wartość wielomianu interpo-lacyjnego w punkcie x = 12 , który w punktach 0,1,2 przyjmuje wartościodpowiednio 1,1,3.
2006, 2007p
Wstęp:
• Pi0 = f(xi) W mianownikuróżnica mię-dzy skrajnymiwęzłami
•
Pik =(x− xi−k)Pi,k−1 − (x− xi)Pi−1,k−1
xi − xi−k
= Pi,k−1 +Pi,k−1 − Pi−1,k−1
x−xi−kx−xi − 1
, 1 ¬ k ¬ i, i = 0, 1, . . .
Rozwiązanie:
k = 0 k = 1 k = 2i xi Pi0 = f(xi) Pi1 Pi20 0 P00 = 1
> P11 = 11−0 = 1
1 1 P10 = 1 > P22 =322−0 = 3
4> P21 = 0
2−1 = 02 2 P20 = 3
Przykład:
P11 =
(12 − x0
)· P10 −
(12 − x1
)· P00
x1 − x0=12 · 1−
(−12)· 1
1= 1
Ostatecznie L2(12
)= 34
3.11 Dane są wartości f(0) = −1, f ′(0) = −2, f(1) = 0, f ′(1) = 10, f”(1) = 40.Znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite’a.
2005
Wstęp:
• Oznaczenia
– n - stopień wielomianu Hermite’a
– mi - krotność i-tego węzła (i = 0, 1, . . . , n) (czyli ile ma zdefiniowanych pochod-nych)
– k + 1 - ilość węzłów
– zobacz również 1.3
25
• Funkcja pomocniczna s(i) (suma krotności i początkowych węzłów interpolacji):
s(i) =
{0 dla i = 0,
m0 +m1 + · · ·+mi−1 dla i > 0
• Każdą liczbę l = 0, 1, . . . , n można jednoznacznie przestawić w postaci l = s(i) + j,gdzie 0 ¬ i ¬ k oraz 0 ¬ j ¬ mi − 1.
• Wielomian ps(i)+j :ps(0)(x) = 1
ps(i)+j(x) = (x− x0)m0(x− x1)m1 . . . (x− xi)j ,i = 0, 1, . . . , k; j = 1, 2, . . . ,mi − 1
• Szukany wielomian Hn:
Hn(x) =n∑l=0
blpl(x) =k∑i=0
mi−1∑j=0
bs(i)+jps(i)+j(x)
• Uogólnionym ilorazem różnicowym funkcji f nazywamy:
1. dla i-krotnego węzła xl:
[xl, i; f ] =f (i−1)(xl)(i− 1)!
(19)
2. dla różnych węzłów xl, xl+1, . . . , xl+k o krotnościach odpowiednio il, il+1, . . . , il+k
[xl, il;xl+1, il+1; . . . ;xl+k, il+k; f ] = (20)
[xl, il − 1;xl+1, il+1; . . . ;xl+k, il+k; f ]− [xl, il;xl+1, il+1; . . . ;xl+k, il+k − 1; f ]xl+k − xl
• Współczynniki bl wielomianu interpolacyjnego Hermite’a są równe ilorazom różnico-wym interpolowanej funkcji opartym na początkowych węzłach z uwzględnieniem ichkrotności, tzn.
bl = [x0,m0;x1,m1; . . . ;xi−1,mi−1;xi, j + 1; f ]
Rozwiązanie:
• Dane:k = 1
i 0 1xi 0 1mi 2 3f(xi) -1 0f ′(xi) -2 10f ′′(xi) - 40
• Suma krotności węzłów wynosi 5, zatem szukany wielomian będzie stopnia co najwyżejczwartego.
H4(x) =4∑l=0
blpl(x) =2∑i=0
mi−1∑j=0
bs(i)+jps(i)+j(x)
• Funkcja s(i):
26
i s(i)0 01 m0 = 2
• Wartość l:
l i j
0 0 01 0 12 1 03 1 14 1 2
• Wielomian ps(i)+j :
p0(x) = (x− 0)0 = 1
p1(x) = (x− 0)1 = x
p2(x) = (x− 0)2(x− 1)0 = x2
p3(x) = (x− 0)2(x− 1)1 = x2(x− 1)
p4(x) = (x− 0)2(x− 1)2 = x2(x− 1)2
• Współczynniki b:
i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4
x0 = 0 [x0, 1; f ] = −1[x0, 2; f ] = −2
x0 = 0 [x0, 1; f ] = −1 [x0, 2;x1, 1; f ] = 3
[x0, 1;x1, 1; f ] = 1 [x0, 2;x1, 2; f ] = 6
x1 = 1 [x1, 1; f ] = 0 [x0, 1;x1, 2; f ] = 9 [x0, 2;x1, 3; f ] = 5
[x1, 2; f ] = 10 [x0, 1;x1, 3; f ] = 11
x1 = 1 [x1, 1; f ] = 0 [x2, 3; f ] = 20
[x1, 2; f ] = 10
x1 = 1 [x1, 1; f ] = 0
Wyjaśnienie: Komórki powyższej wypełniamy tak, aby utworzony iloraz różnicowy był zgod-ny ze wzorem (19), w przypadku gdy ”lewy górny” i ”lewy dolny” iloraz składa się z jednegowęzła, lub wzorem (20).
Przykłady:
[x2, 3; f ] =402!
= 20
[x0, 1;x1, 1; f ] =0 + 11− 0
= 1
[x0, 2;x1, 2; f ] =9− 31− 0
= 6
• Ostateczny wielomian Hermite’a:Współczynniki bl wielomianu znajdują się na górnej przekątnej tabeli:
H4(x) = b0p0 + b1p1 + · · ·+ bnpn = −1− 2x+ 3x2 + 6x2(x− 1) + 5x2(x− 1)2
27
3.12 Wielomian p(x) interpoluje cztery początkowe punkty z poniższej ta-blicy. Dodając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomianinterpolujący wszystkie dane.
2007, 2008, 2009,2012
p(x) = 2− (x+ 1) + x(x+ 1)− 2x(x+ 1)(x− 1)
x -1 0 1 2 3y 2 1 2 -7 10
Aby wielomian interpolował wszystkie dane zawarte w tabeli, musi być w postaci (wielomianuinterpolacyjnego) Newtona. Postać dotychczasowego wielomianu p(x) wynika z podstawieniawyliczonych ilorazów różnicowych do wzoru interpolacyjnego Newtona dla wielomianu stopniatrzeciego:
p(x) = f(x0) + [x0, x1; f ](x− x0) + [x0, x1, x2; f ](x− x0)(x− x1)+
+[x0, x1, x2, x3; f ](x− x0)(x− x1)(x− x2)Składnik, który musi zostać dodany do wielomianu p(x) ma postać:
q(x) = [x0, x1, x2, x3, x4; f ](x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3) = a(x+ 1)(x− 0)(x− 1)(x− 2)
Wielomian interpolujący wszystkie dane zawarte w tabeli oznaczymy jako r(x) i będzie wy-rażał się wzorem:
r(x) = p(x) + q(x)
Na podstawie tabeli wiemy, że p(3) + q(3) = 10, stąd też możemy wyznaczyć współczynnika:
10 = 2− (3 + 1) + 3(3 + 1)− 2 ∗ 3(3 + 1)(3− 1) + 3a(3 + 1)(3− 1)(3− 2) =
= 2− 4 + 12− 48 + 24a
24a = 48
a = 2
Szukany wielomian jest więc następujący:
r(x) = 2− (x+ 1) + x(x+ 1)− 2x(x+ 1)(x− 1) + 2x(x+ 1)(x− 1)(x− 2)
Alternatywnym sposobem rozwiązania zadania jest konstrukcja tablicy ilorazów różnicowychdla wszystkich danych zawartych w tabeli.
3.13 Dla jakich wartości a, b, c funkcja S(x) może być w przedziale [0, 3)naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?
2007, 2008, 2009,2011, 2012
S(x) =
{x3 x ∈ [0, 1)12(x− 1)3 + a(x− 1)2 + b(x− 1) + c x ∈ [1, 3)
• Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem 2m− 1 = 3⇒ m = 2 (por.definicja naturalnej funkcji sklejanej 1.6.1). W przedziałach (−∞, 0) i [3,+∞) funkcjata będzie stopnia m− 1, czyli funkcją liniową.
• Pełny zapis funkcji:
S(x) =
ex+ f x ∈ (−∞, 0)x3 x ∈ [0, 1)12(x− 1)3 + a(x− 1)2 + b(x− 1) + c x ∈ [1, 3)gx+ h x ∈ [3,+∞)
28
• Pierwsza pochodna:
S′(x) =
e x ∈ (−∞, 0)3x2 x ∈ [0, 1)32(x− 1)2 + 2a(x− 1) + b x ∈ [1, 3)g x ∈ [3,+∞)
• Druga pochodna:
S′′(x) =
0 x ∈ (−∞, 0)6x x ∈ [0, 1)3(x− 1) + 2a x ∈ [1, 3)0 x ∈ [3,+∞)
• Warunki:
– S′′(0+) = S′′(0−)⇒ 0 = 6 · 0
– S′′(1−) = S′′(1+)⇒ 2a = 6⇒ a = 3
– S′′(3−) = S′′(3+)⇒ 6 + 2a = 0⇒ a = −3 sprzeczne z powyższym
Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale[0, 3) naturalną funkcją sklejaną.
3.14 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopniatrzeciego?
2007, 2008,2008z, 2011z,2012z, 2012
S(x) =
1− 2x x ∈ (−∞,−3)a+ bx+ cx2 + dx3 x ∈ [−3, 4)157− 32x x ∈ [4,∞)
• Z definicji funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodnerzędu 1, 2
• Dla podanej funkcji
S(x) =
1− 2x x ∈ (−∞,−3)a+ bx+ cx2 + dx3 x ∈ [−3, 4)157− 32x x ∈ [4,∞)
należy sprawdzić jej ciągłość w węzłach:
S(−3−) = S(−3+)
S(−3−) = 1− 2 · (−3) = 7
S(−3+) = a+ (−3) · b+ 9 · c+ (−27) · d
a− 3b+ 9c− 27d = 7 (21)
S(4−) = S(4+)
S(4−) = a+ 4 · b+ 16 · c+ 64 · d
S(4+) = 157− 32 · (4) = 29
a+ 4b+ 16c+ 64d = 29 (22)
29
• Pierwsza pochodna:
S′(x) =
−2 x ∈ (−∞,−3)b+ 2cx+ 3dx2 x ∈ [−3, 4)32 x ∈ [4,∞)
Co daje nam następujące zależności:
S′(−3−) = S′(−3+)
S′(−3−) = −2
S′(−3+) = b+ 2 · (−3) · c+ 3 · 9 · d
b− 6c+ 27d = −2 (23)
S′(4−) = S′(4+)
S′(4−) = b+ 2 · 4 · c+ 3 · 16 · d
S′(4+) = 32
b+ 8c+ 48d = 32 (24)
• Druga pochodna:
S′(x) =
0 x ∈ (−∞,−3)2c+ 6dx x ∈ [−3, 4)0 x ∈ [4,∞)
I wynikające z niej zależności:
S′′(−3−) = S′′(−3+)
S′′(−3−) = 0
S′′(−3+) = 2c− 18d
2c− 18d = 0 (25)
S′′(4−) = S′′(4+)
S′′(4−) = 2c+ 24d
S′′(4+) = 0
2c+ 24d = 0 (26)
Rozwiązując układ równań (25) i (26) otrzymamy c = 0 i d = 0. Podstawiając te wynikido równania (24) otrzymujemy b = 32, a z równania (23) b = −2. Otrzymujemy tymsamym sprzeczność, a więc nie istnieją takie wartości parametrów a, b, c i d, dla którychfunkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną stopnia trzeciego.
30
3.15 Dla jakich wartości a, b funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopniatrzeciego
2007, 2008, 2012
S(x) =
(x− 2)3 + a(x− 1)2 x ∈ (−∞, 2)(x− 2)3 − (x− 3)2 x ∈ [2, 3)(x− 3)3 + b(x− 2)2 x ∈ [3,∞)
Z definicji wynika, że funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłepochodne rzędu 1, 2. Sprawdzenie ciągłości funkcji S(x) i jej pochodnych:
S(2)− = (2− 2)3 + a(2− 1)2 = a
S(2)+ = (2− 2)3 − (2− 3)2 = −1
a = −1 (27)
S(3)− = (3− 2)3 + (3− 3)2 = 1
S(3)+ = (3− 3)3 + b(3− 2)2 = b
b = 1 (28)
Pierwsza pochodna:
S′(x) =
3(x− 2)2 + 2a(x− 1) x ∈ (−∞, 2)3(x− 2)2 − 2(x− 3) x ∈ [2, 3)3(x− 3)2 + 2b(x− 2) x ∈ [3,+∞)
S(2)− = 3(2− 2)2 + 2a(2− 1) = 2a
S(2)+ = 3(2− 2)2 − 2(2− 3) = −2
a = 1 (29)
Jak widzimy zachodzi sprzeczność, ponieważ z równań 1 i 3 wynika, że
− 1 = a = 1 (30)
co jest oczywistą nieprawdą. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że nie istnieją takie para-metry a i b, dla których funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną trzeciego stopnia.
3.16 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) może być w przedziale[−1, 1) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?
2007, 2008, 2012
S(x) =
{x3 x ∈ [−1, 0)a+ bx+ cx2 + dx3 x ∈ [0, 1)
• Funkcja ma być naturalną funkcją stopnia trzeciego, zatem 2m− 1 = 3⇒ m = 2 (por.definicja naturalnej funkcji sklejanej 1.6.1). W przedziałach (−∞,−1) i [1,+∞) funkcjata będzie stopnia m− 1, czyli funkcją liniową.
• Pełny zapis funkcji:
S(x) =
ex+ f x ∈ (−∞,−1)x3 x ∈ [−1, 0)a+ bx+ cx2 + dx3 x ∈ [0, 1)gx+ h x ∈ [1,+∞)
31
• Pierwsza pochodna:
S′(x) =
e x ∈ (−∞,−1)3x2 x ∈ [−1, 0)b+ 2cx+ 3dx2 x ∈ [0, 1)g x ∈ [1,+∞)
• Druga pochodna:
S′′(x) =
0 x ∈ (−∞,−1)6x x ∈ [−1, 0)2c+ 6dx x ∈ [0, 1)0 x ∈ [1,+∞)
• Warunki:
– S′′(−1−) = S′′(−1+)⇒ 0 = 6 · (−1)⇒ sprzeczność
Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale[−1, 1) naturalną funkcją sklejaną.
3.17 Znaleźć rozkład A = LLT , jeśli macierz A ma postać:2008zp, 2011zp,2012zp
A =
4 2 22 5 32 3 6
3.17.1 Rozwiązanie 1:
Korzystamy ze wzorów:
lkk =
√√√√√akk − k−1∑j=1
|lkj |2 k = 1, 2, . . . , n
lik =aik −
∑k−1j=1 lijlkj
lkki = k + 1, k + 2, . . . , n
Najpierw liczymy wartości z przekątnej macierzy, a następnie korzystając z nich pozostałewartości z danej kolumny.
l11 =√
4− 0 = 2 l21 =2− 0
2= 1 l31 =
2− 02
= 1
l22 =√
5− 12 = 2 l32 =3− 1 · 1
2= 1
l33 =√
6− (12 + 12) = 2
3.17.2 Rozwiązanie 2:
A = LLT
32
4 2 22 5 32 3 6
=
L11 0 0L21 L22 0L31 L32 L33
·L11 L21 L31
0 L22 L320 0 L33
=
L211 L11L21 L11L31L11L12 L221 + L222 L21L31 + L22L32L11L31 L21L31 + L22L32 L231 + L232 + L233
Z czego wynika, że (pamiętając, że elementy macierzy L na głównej przekątnej są dodat-nie):
L211 = 4⇒ L11 = 2
L11L21 = 2⇒ L21 = 1
L11L31 = 2⇒ L31 = 1
L221 + L222 = 5⇒ L22 = 2
L21L31 + L22L32 = 3⇒ 1 + 2L32 = 3⇒ L32 = 1
L231 + L232 + L233 = 6⇒ 1 + 1 + L233 = 6⇒ L33 = 2
3.17.3 Wynik:
Otrzymane macierze:
L =
2 0 01 2 01 1 2
LT =
2 1 10 2 10 0 2
3.18 Dla jakich wartości parametru α macierz A jest dodatnio określo-na?
2009, 2011
A =
1 α αα 1 αα α 1
Sprawdźmy, czy badana macierz jest macierzą hermitowską, czyli czy jest równa swojej ma-cierzy hermitowskiej, tj. macierzy transponowanej, której wszystkie elementy są sprzężone.Liczba sprzężona oznaczana jako a, jak Czytelnik może pamiętać z Algebry Liniowej to liczbaktórej część urojona ma przeciwny znak (w przypadku liczb rzeczywistych to ta sama liczba).Mamy zatem:
A = AH1 α αα 1 αα α 1
=
1 α αα 1 αα α 1
Z powyższego wynika, że α = α, czyli α ∈ R. Uważny czytelnik może zauważyć, że macierzA jest w takim razie rzeczywista oraz elementy na głównej przekątnej są dodatnie. Pozostajezatem sprawdzić, czy wiodące minory główne (tj. wyznaczniki podmacierzy powstałych przezwykreślenie ostatnich wiersz i kolumn) są dodatnie: Kryterium Sylve-
stra
1 > 0
1− α2 > 0⇒ −1 < α < 1
2α3 − 3α2 + 1 > 0
33
Ostatnia nierówność nie jest trywialna, ale możemy ją tymczasowo sprowadzić do równa-nia:
2α3 − 3α2 + 1 = 0
Łatwo zauważyć, że pierwiastkiem tego równania jest 1, więc możemy schematem Hornerapodzielić powyższy wielomian przez α− 1. Oczywiście otrzymamy wówczas:
(α− 1)(2α2 − α− 1) = 0
Uważny czytelnik zauważy, że wielomian 2α2−α−1 również dzieli się bez reszty przez α−1.Ostatecznie:
(α− 1)(2α+ 1)(α− 1) = 0
Tak więc rozwiązaniem nierówności:
(α− 1)(α+
12
)(α− 1) > 0
jest α ∈(−12 , 1
)∪ (1,∞). Oczywiście składając wszystkie warunki otrzymujemy:
α ∈(−1
2, 1)
3.19 Zbadać wpływ zaburzenia wektora b na dokładność rozwiązania xukładu równań liniowych Ax = b
2006, 2007,2008p, 2009,2010p, 2011,2012
Dokładne rozwiązanie x układu równań jest postaci:
Ax = b
Jeśli wektor b będzie zaburzony o wielkość ∆b, otrzymamy:
A(x+ ∆x) = b+ ∆b
Ax+A∆x = b+ ∆b
Ponieważ Ax = b, więc:A∆x = ∆b
∆x = A−1∆b
||∆x|| ¬ ||A−1|| · ||∆b||
||b|| = ||Ax|| ¬ ||A|| · ||x||
||∆x||||x||
¬ ||A−1|| · ||∆b||||b||||A||
= ||A|| · ||A−1|| · ||∆b||||b||
= cond(A) · ||∆b||||b||
Wielkość cond(A) = ||A|| · ||A−1|| jest to wskaźnik uwarunkowania macierzy A - miara wraż-liwości względnego błędu rozwiązania x na zaburzenie b.
1 = ||I|| = ||A ·A−1|| ¬ ||A|| · ||A−1|| = cond(A)
cond(A) 1
gdzie I jest macierzą jednostkową
34
3.20 Zbadać zbieżność metody Jacobiego dla układu równań liniowych.2005
A =
1 1√
31√3
1√3
1 1√3
1√3
1√3
1
Metoda Jacobiego:
MJ = −D−1(L + U)
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, L+ U =
0 1√
31√3
1√3
0 1√3
1√3
1√3
0
−D−1 =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
MJ =
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
·
0 1√3
1√3
1√3
0 1√3
1√3
1√3
0
=
0 −
√33 −
√33
−√33 0 −
√33
−√33 −
√33 0
(MJ − λ · I) =
−λ −
√33 −
√33
−√33 −λ −
√33
−√33 −
√33 −λ
det(MJ − λ · I) = −λ3 + λ− 2
3√
3
−λ3 + λ− 2
3√
3= 0
λ1 =1√3, −λ2 − 1√
3λ+
23
= 0
λ1 =1√3, ∆ =
13− 4 ∗ (−1) ∗ 2
3=
93
= 3
λ1 =1√3, λ2 =
1√3, λ3 = − 2√
3
Otrzymujemy ρ(MJ) = |λ3| > 1, tak więc metoda Jacobiego nie jest zbieżna.
3.21 Zbadać zbieżność metody Gaussa-Siedla dla układu równań linio-wych.
2005
A =
1 1√
31√3
1√3
1 1√3
1√3
1√3
1
Metoda Gaussa-Siedla:
MGS = −(D + L)−1U
35
−(D + L)−1 =
−1 0 0√33 −1 0
√3−13
√33 −1
MGS =
−1 0 0√33 −1 0
√3−13
√33 −1
·
0 1√3
1√3
0 0 1√3
0 0 0
=
0 −
√33 −
√33
0 13 −
√3−13
0 3−√39
6−√39
(MGS − λ · I) =
−λ −
√33 −
√33
0 13 − λ −
√3−13
0 3−√39
6−√39 − λ
det(MJ − λ · I) = −1
9λ(9λ2 + (
√3− 9)λ+
√3)
Teraz trzeba rozwiązać równanie
−19λ(9λ2 + (
√3− 9)λ+
√3) = 0
λ1 = 0, λ2 = 0.403775− 0.171511i, λ3 = 0.403775 + 0.171511i
|λ1| = 0, |λ2| = |λ3| = 0.438692..
Otrzymujemy ρ(MJ) = |λ2| = 0.438692 < 1, tak więc metoda Gaussa-Siedla jest zbieżnaprzy dowolnym wyborze wektora początkowego.
3.22 Zbadać zbieżność metod Jacobiego i Gaussa-Siedla dla układu równańliniowych z macierzą
2006
A =
1 2 −21 1 12 2 1
3.22.1 Metoda Jacobiego
Dla metody Jacobiego macierz M zdefiniowana jest w następujący sposób
MJ = −D−1(L+ U)
gdzie D jest macierzą diagonalną, L dolnotrójkątną, a U macierzą górnotrójkątną. W tymprzypadku:
D =
1 0 00 1 00 0 1
, L =
0 0 01 0 02 2 0
, U =
0 2 −20 0 10 0 0
Następnie należy znaleźć macierz odwrotną do macierzy D i pomnożyć ją przez −1. Ponieważjest to macierz jednostkowa, macierz odwrotna do niej jest taka sama.
D−1 =
1 0 00 1 00 0 1
, −D−1 =
−1 0 00 −1 00 0 −1
36
Podstawienie do wzoru:
MJ =
−1 0 00 −1 00 0 −1
·0 0 0
1 0 02 2 0
+
0 2 −20 0 10 0 0
=
=
−1 0 00 −1 00 0 −1
·0 2 −2
1 0 12 2 0
=
0 −2 2−1 0 −1−2 −2 0
Tworzymy macierz
(MJ − λ · I) =
0 −2 2−1 0 −1−2 −2 0
−λ 0 0
0 λ 00 0 λ
=
−λ −2 2−1 −λ −1−2 −2 −λ
Rozwiązując równanie det(MJ − λ · I) = 0 ⇒ (−λ)3 = 0 otrzymamy ρ(MJ) = λ1,2,3 =0 < 1. Zatem metoda Jacobiego jest zbieżna przy dowolnym wyborze wektora początkowe-go.
3.22.2 Metoda Gausa–Seidla
Dla metody Gausa–Seidla macierz M zdefiniowana jest w następujący sposób:
MGS = −(D + L)−1U
Macierze D, L oraz U pozostają bez zmian.
(D + L) =
1 0 01 1 02 2 1
, (D + L)−1 =
1 0 0−1 1 00 −2 1
,
−(D + L)−1 =
−1 0 01 −1 00 2 −1
MGS =
−1 0 01 −1 00 2 −1
·0 2 −2
0 0 10 0 0
=
0 −2 20 2 −30 0 2
Rozwiązując równanie det(MGS − λ · I) = 0 otrzymujemy ρ(MGS) = λ2,3 = 2 > 1 zatemmetoda Gaussa–Seidla nie gwarantuje zbieżności przy dowolnie wybranym wektorze począt-kowym.
3.23 Wykazać, że dla poniższej macierzy metoda Gaussa–Seidla nie gwa-rantuje zbieżności przy dowolnym wyborze początkowego przybliże-nia rozwiązania układu równań liniowych Ax = b.
2008p, 2010p
A =
1 2 −21 1 12 2 1
Konstruujemy macierz dolnotrójkątną L, diagonalną D i górnotrójkątną U :
L =
0 0 01 0 02 2 0
, D =
1 0 00 1 00 0 1
, U =
0 2 −20 0 10 0 0
37
Następnie korzystamy ze wzoru ma macierz Gausa–Seidla:
MGS = −(D + L)−1U.
D + L =
1 0 01 1 02 2 1
(D + L)−1 =
1 0 0−1 1 00 −2 1
−(D + L)−1 =
−1 0 01 −1 00 2 −1
−(D + L)−1U =
0 −2 20 2 −30 0 2
Odejmujemy od wynikowej macierz macierz λ ∗ I
MGS − λI =
−λ −2 20 2− λ −30 0 2− λ
Wyznaczamy wielomian i jego pierwiastki
MGS − λI =
∣∣∣∣∣∣∣−λ −2 20 2− λ −30 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣∣ = −λ ∗ (2− λ)2
λ = 0 ∨ λ = 2
Stąd widzimy, że ρ(MGS) = 2 > 0, a więc metoda nie gwarantuje zbieżności.
3.24 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pier-wiastków rzeczywistych wielomianu:
2007, 2008,2008p, 2008z,2010p, 2011z,2012z, 2012
w (x) = x3 − 2x2 − 5x+ 5
3.24.1 Wstęp:UWAGA: zwrócićuwagę na nawia-sy! Aby obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych metodą Sturma w przedziale [a, b) należy
postępować wg następujących kroków:
1. p0(x) = p(x)
2. p1(x) = −(p(x))′ [pochodna pierwszego stopnia z p(x) pomnożona przez -1]
3. pi(x) = c · pi−2modpi−1 [reszta z dzielenia dwóch poprzedzających wielomianów przezsiebie, ewentualnie pomnożona przez jakąś dodatnią stałą c]
4. jeśli pi jest równe 0, postępujemy zgodnie z algorytmem pokazanym w zadaniu nr 24.
38
3.24.2 Rozwiązanie
p0(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 5p1(x) = −3x2 + 4x+ 5
− 13x + 29
− 3x2 + 4x+ 5)
x3 − 2x2 − 5x + 5− x3 + 4
3x2 + 5
3x
− 23x2 − 103 x + 5
23x2 − 89x−
109
− 389 x+ 359
p2(x) = 38x− 35
− 338x+ 47
1444
38x− 35)− 3x2 + 4x + 5
3x2 − 10538 x4738x + 5
− 4738x+ 1645144488651444
p3(x) = −1
3.24.3 Zmiany znaków
x 0 infp0(x) + +p1(x) + -p2(x) - +p3(x) - -
3.24.4 Liczba pierwiastków w x = 0
Z uwagi na fakt, że musimy znaleźć liczbę pierwiastków dodatnich, bierzemy pod uwagęprzedział (0, inf). Nie jest to jednak zgodne z treścią zadania, gdyż 0 nie jest dodatnie.Zatem musimy sprawdzić, czy w 0 jest jakiś pierwiastek i ewentualnie odjąć go od końcowegowyniku.
w(0) = 0
5 6= 0
Brak pierwiastków w punkcie 0.
3.24.5 Liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych
|3− 1| − 0 = 2
3.25 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby pierwiastków rze-czywistych wielomianu.
2007, 2008,2008p, 2010p,2012p(x) = x3 + x2 − x− 1
39
3.25.1 Rozwiązanie:
p0(x) = x3 + x2 − x− 1p1(x) = −p′0(x) = −3x2 − 2x+ 1
− 13x−19
− 3x2 − 2x+ 1)
x3 + x2 − x − 1− x3 − 23x
2 + 13x
13x2 − 23x − 1
− 13x2 − 29x+ 1
9
− 89x−89
p2(x) = x+ 1
3x− 1
x+ 1)
3x2 + 2x− 1− 3x2 − 3x
− x− 1x+ 1
0
Resztą z dzielenia wielomianów jest 0 - uważny czytelnik może zatem zaobserwować, iżwielomian początkowy ma co najmniej jeden pierwiastek podwójny. Jest to problem, którymusimy rozwiązać, aby otrzymać wynik metodą Sturma. Będziemy postępować następująco:
• Podzielimy wielomian wejściowy przez ostatnią niezerową resztę z dzielenia wielomia-nów
• Rozpoczniemy liczenie metodą Sturma dla wielomianu będącego wynikiem dzieleniapowyższych wielomianów
• W przypadku, kiedy napotkamy resztę z dzielenia równą 0, wykonujemy dzielenia po-nownie.
• UWAGA: To, iż reszta z dzielenia jest równa 0 nie oznacza jednego pierwiastka podwój-nego. Może być ich więcej, tego nie wiemy.
x2 − 1
x+ 1)
x3 + x2 − x− 1− x3 − x2
− x− 1x+ 1
0
p0(x) = x2 − 1p1(x) = −2x
− 12x− 2x
)x2 − 1− x2
40
Latex tutaj nie ogarnął, dlatego musimy uwierzyć Wolframowi na słowo, że resztą z tegodzielenia jest: −1
p2(x) = 1
3.25.2 Zmiany znaków:
x − inf infp0(x) + +p1(x) + -p2(x) + +
3.25.3 Liczba pierwiastków rzeczywistych:
|2− 0| = 2
w tym co najmniej jeden podwójny
3.26 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby ujemnych pier-wiastków rzeczywistych wielomianu:
2009,2011
p(x) = 12x3 − 16x2 + 7x− 1
3.26.1 Rozwiązanie:
p0(x) = 12x3 − 16x2 + 7x− 1p1(x) = −36x2 + 32x− 7
− 13x+ 427
− 36x2 + 32x− 7)
12x3 − 16x2 + 7x − 1− 12x3 + 32
3 x2 − 73x
− 163 x2 + 14
3 x − 1163 x2 − 12827 x+ 28
27
− 227x+ 1
27
p2(x) = 2x− 1
− 18x+ 7
2x− 1)− 36x2 + 32x− 7
36x2 − 18x
14x− 7− 14x+ 7
0
Otrzymaliśmy resztę z dzielenia równą 0, co oznacza że istnieje przynajmniej jeden pierwiastekpodwójny.
41
6x2 − 5x+ 1
2x− 1)
12x3 − 16x2 + 7x− 1− 12x3 + 6x2
− 10x2 + 7x10x2 − 5x
2x− 1− 2x+ 1
0
Zatem jako nowy wielomian przyjmiemy p0(x) = 6x2 − 5x+ 1.
p0(x) = 6x2 − 5x+ 1p1(x) = −12x+ 5
− 67x+ 57
− 7x)
6x2 − 5x + 1− 6x2
− 5x5x
p2(x) = −1
3.26.2 Zmiany znaków:
x − inf 0p0(x) + +p1(x) + +p2(x) - -
3.26.3 Liczba ujemnych pierwiastków rzeczywistych:
|1− 1| = 0
3.27 Wykonać pierwszą iterację w metodzie Newtona zastosowanej do roz-wiązywania układu równań nieliniowych przyjmując punkt początko-wy (0,0,1)
2009, 2011
xy − z2 = 1
xyz − x2 + y2 = 2
ex − ey + z = 3
Rozwiązanie:
f(x) =
f1(x, y, z) = xy − z2 − 1f2(x, y, z) = xyz − x2 + y2 − 2f3(x, y, z) = ex − ey + z − 3
p(0) =
x(0)y(0)
z(0)
=
001
42
Wyznaczamy macierz Df(x(i)):
Df(x(i)) =
∂f1∂x
∂f1∂y
∂f1∂z
∂f2∂x
∂f2∂y
∂f2∂z
∂f3∂x
∂f3∂y
∂f3∂z
=
y x −2zyz − 2x xz + 2y xyex −ey 1
Wyznaczamy macierz Df(x(0)) poprzez podstawienie odpowiednich wartości punktu począt-kowego:
Df(x(0)) =
y = 0 x = 0 −2z = (−2) · 1 = −2
yz − 2x = 0 · 1− 2 · 0 = 0 xz + 2y = 0 · 1 + 2 · 0 = 0 xy = 0 · 0 = 0
ex = e0 = 1 ey = e0 = 1 1
Macierz Df(x(0)) jest macierzą osobliwą - dla takiego punktu początkowego nie da się otrzy-mać rozwiązania przybliżonego.
3.28 Wykonać pierwsze dwie iteracje w metodzie Newtona zastosowanejdo rozwiązywania układu równań nieliniowych przyjmując punkt po-czątkowy (0,1)
2009, 2011
4x21 − x22 = 0
4x1x22 − x1 = 1
Rozwiązanie:
f(x) =
[f1(x1, x2) = 4x21 − x22
f2(x1, x2) = 4x1x22 − x1 − 1
]
x(0) =
[x(0)1
x(0)2
]=
[01
]
Wyznaczamy macierz Df(x(i)):
Df(x(i)) =
∂f1∂x1∂f1∂x2
∂f2∂x1
∂f2∂x2
=
[8x1 −2x2
4x22 − 1 8x1x2
]
Wyznaczamy macierz Df(x(0)) poprzez podstawienie odpowiednich wartości punktu począt-kowego:
Df(x(0)) =
[8x1 = 8 · 0 = 0 −2x2 = (−2) · 1 = −2
4x22 − 1 = 4 · (1)2 − 1 = 3 8x1x2 = 8 · 0 · 1 = 0
]Macierz Df(x(0)) jest macierzą nieosobliwą, korzystamy ze wzoru:
x(i+1) = x(i) − [Df(x(i))]−1f(x(i)), i = 0, 1, ...
Obliczamy Df(x(0))−1:
Df(x(0))−1 =
[0 −23 0
]−1=
[0 1
3−12 0
]
Obliczamy f(x(0)):
f(x(0)) =
[4x21 − x22 = 4 · (0)2 − (1)2 = −1
4x1x22 − x1 − 1 = 4 · 0 · (1)2 − 0− 1 = −1
]
43
Podstawiamy do wzoru:
x(1) =
[01
]−[
0 13
−12 0
]·[−1−1
]=
[1312
]
Obliczamy Df(x(1)):
Df(x(1)) =
[8x1 = 8 · 13 = 8
3 −2x2 = (−2) · 12 = −1
4x22 − 1 = 4 · (12)2 − 1 = 0 8x1x2 = 8 · 13 ·
12 = 4
3
]
Df(x(1))−1 =
[83 −1
0 43
]−1=
[38
932
0 34
]
Obliczamy f(x(1)):
f(x(1)) =
[4x21 − x22 = 4 · (13)
2 − (12)2 = 7
36
4x1x22 − x1 − 1 = 4 · 13 · (12)2 − 13 − 1 = −1
]
Podstawiamy do wzoru:
x(2) =
[1312
]−[38
932
0 34
]·[736−1
]=
[132454
]
W ten oto sposób wykonaliśmy dwie iteracje w metodzie Newtona.
3.29 Stosując metodę Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawo-wego, wyznaczyć macierz A−1.
2007p
A =
1 0 13 3 00 2 2
Zgodnie z podanym algorytmem w pierwszym etapie rozkładamy macierz A na iloczyn LU .Najpierw wykonujemy przestawienia wierszy (numery wierszy będziemy zapisywać w oddziel-nej kolumnie). Mamy zatem: 1 0 1
3 3 00 2 2
1
23
Po przestawieniu wierszy, tak aby element a11 był największym z pierwszej kolumny, ma-my: 3 3 0
1 0 10 2 2
2
13
Następnie stosujemy metodę eliminacji Gaussa pierwszej zmiennej z drugiego i trzeciego rów-nania za pomocą mnożników l21 = 1
3 i l31 = 03 = 0 otrzymujemy macierz (w miejscu współ-
czynników zmiennych, które eliminujemy zamiast zera wpisujemy mnożnik). Zatem 3 3 01− 13 · 3 0− 13 · 3 1− 13 · 00− 0 · 3 2− 0 · 3 2− 0 · 0
=
3 3 013 −1 10 2 2
2
13
44
Analogicznie dla drugiej zmiennej - zamieniamy wiersze3 3 00 2 213 −1 1
2
31
i odejmujemy drugi wiersz pomnożony przez −123 3 0
0 2 213 −1 + 1
2 · 2 1 + 12 · 2
=
3 3 00 2 213 −
12 2
2
31
Rozbijamy wynikową macierz na macierz dolnotrójkątną L i górnotrójkątną U .
L =
1 0 00 1 013 −
12 1
, U =
3 3 00 2 20 0 2
W drugim etapie rozwiązujemy równania
LUx(i) = e(i), i = 1, 2, 3
Dla i = 1 równania te mają postać1 0 00 1 013 −
12 1
·3 3 0
0 2 20 0 2
· x(1) =
3 3 00 2 21 0 1
· x(1) =
100
Otrzymamy
x(1) =
1616
−16
, x(2) =
−141414
, x(3) =
12
−1212
Numer 1 w wektorze przestawień 2
31
zajmuje trzecią pozycję, więc jako pierwszą kolumnę macierzy A−1 należy przyjąć x(3). Numer2 znajduje się na pierwszej pozycji, więc drugą kolumną macierzy A−1 jest x(1). Wreszcie,numer 3 zajmuje drugą pozycję, zatem trzecią kolumną jest x(2). Ostatecznie otrzymuje-my
A−1 =
12
16 −14
−1216
14
12 −16
14
3.30 Znaleźć przybliżenie funkcji F (x) = sin(x) na przedziale [0,π2 ] wielo-mianem stopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x0 = π
2 ). Jaki jestbłąd aproksymacji?
2007p, 2008,2008p, 2010p
Rozwiazanie:Wzór Taylora
Wn(x) = F (x0) +F′(x0)1!
(x− x0) +F′′(x0)2!
(x− x0)2 + ...+Fn(x0)n!
(x− x0)n
45
W2(x) = sinπ
2+ cos
π
2· (x− π
2)− 1
2sin
π
2· (x− π
2)2 = 1− 1
2· (x− π
2)2 = 1− 1
2x2 +
πx
2− π2
8
Ponieważ |F ′′′(x)| = | − cosx| ¬ 1 dla x ∈ [0, π2 ] i
|F (x)−W2(x)| ¬ 13!
(π
2)3 < 0, 646
Zatem maksymalny błąd aproksymacji jest nie większy od 0,646 .
4 Zadania z wykładów
4.1 Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange’a, który w punktach -2,1,2,4przyjmuje wartości odpowiednio 3,1,-3,8. Jaka jest wartość tego wie-lomianu w punkcie x = 0?
EAN-6
Wstęp:
• Wyznaczamy funkcje pomocnicze:
li(x) =n∏j=0j 6=i
x− xjxi − xj
, i = 0, 1, . . . , n
• Następnie wyznaczamy wielomian Ln:
Ln(x) =n∑i=0
f(xi)li(x)
Rozwiązanie:
• Dane:
i 0 1 2 3xi -2 1 2 4
f(xi) 3 1 -3 8
• Funkcje pomocnicze:
l0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 4)
(−2− 1)(−2− 2)(−2− 4)=
(x− 1)(x− 2)(x− 4)−72
l1(x) =(x+ 2)(x− 2)(x− 4)(1 + 2)(1− 2)(1− 4)
=(x+ 2)(x− 2)(x− 4)
9
l2(x) =(x+ 2)(x− 1)(x− 4)(2 + 2)(2− 1)(2− 4)
=(x+ 2)(x− 1)(x− 4)
−8
l3(x) =(x+ 2)(x− 1)(x− 2)(4 + 2)(4− 1)(4− 2)
=(x+ 2)(x− 1)(x− 2)
36
46
• Wielomian Langrange’a
L3(x) = 3 · (x− 1)(x− 2)(x− 4)−72
+ 1 · (x+ 2)(x− 2)(x− 4)9
− 3 · (x+ 2)(x− 1)(x− 4)−8
+ 8 · (x+ 2)(x− 1)(x− 2)36
=23x3 − 3
2x2 − 25
6x+ 6
• Wartość wielomianu Langrange’a w x = 0:
L3(0) = 6
4.2 Stosując metodę Newtona, znaleźć wielomian interpolacyjny, który wpunktach 0, 1, 2 przyjmuje wartości odpowiednio 1, 1, 3.
EAN-6
Wstęp:
• Wykorzystuje ilorazy różnicowe
• Iloraz różnicowy rzędu zerowego oparty na węźle xl: [xl; f ] = f(xl)
• Wzór rekurencyjny:
[x0, x1, . . . , xk; f ] =[x1, x2, . . . , xk; f ]− [x0, x1, . . . , xk−1; f ]
xk − x0
• Wielomian interpolacyjny Newtona:
Nn(x) = f(x0) + [x0, x1; f ](x− x0) + · · ·+ [x0, . . . , xn; f ](x− x0) . . . (x− xn) (31)
• Współczynniki wielomianu określa się na podstawie tabeli ilorazów różnicowych:
i xi k = 0 k = 1 k = 2 . . .0 x0 f(x0) = [x0; f ]
> [x0, x1; f ]1 x1 f(x1) = [x1; f ] > [x0, x1, x2; f ] . . .
> [x1, x2; f ]...
2 x2 f(x2) = [x2; f ]...
......
...
Współczynniki wielomianu (31) znajdują się w najwyższym ukośnym wierszu.
Rozwiązanie:
i xi k = 0 k = 1 k = 20 0 f(x0) = 1
> [0, 1; f ] = 1−11−0 = 0
1 1 f(x1) = 1 > [0, 1, 2; f ] = 2−02−0 = 1
> [1, 2; f ] = 3−12−1 = 2
2 2 f(x2) = 3
Szukany wielomian Newtona: 1 + 0 · (x− 0) + 1 · (x− 0)(x− 1) = x2 − x+ 1
47
4.3 Utworzyć wielomian interpolacyjny Newtona dla funkcji f(x) opisanejponiższą tabelą.
x 0 2 3 4 6f(x) 1 3 2 5 7
Do utworzenia wielomianu utworzymy tabelę. W pierwszej kolumnie znajduje się licznik i, wdrugiej argumenty xi dla których znamy wartości, które z kolei wpisujemy do trzeciej kolumny(ponieważ [xi; f ] = f(xi)). Począwszy od czwartej kolumny korzystamy ze wzoru
[xl, xl+1, . . . , xl+k; f ] =[xl+1, xl+2, . . . , xl+k; f ]− [xl, xl+1, . . . , xl+k−1; f ]
xl+k − xl
i xi [xi; f ] [xi, xi+1; f ] [xi, . . . , xi+2; f ] [xi, . . . , xi+3; f ] [xi, . . . , xi+4; f ]0 0 11 2 3 12 3 2 −1 −233 4 5 3 2 2
34 6 7 1 −2
3−23 −29
Pogrubione wartości na przekątnej są kolejnymi współczynnikami wielomianu w postaci New-tona. Końcowy wielomian interpolacyjny Newtona:
Nn(x) =[x0; f ] + [x0, x1; f ](x− x0) + [x0, x1, x2; f ](x− x0)(x− x1)++[x0, x1, x2, x3; f ](x− x0)(x− x1)(x− x2)++[x0, x1, x2, x3, x4; f ](x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3)
Nn(x) =1 + 2(x− 0)− 23
(x− 0)(x− 2)+
+23
(x− 0)(x− 2)(x− 3)− 29
(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
4.4 Różnice progresywne i wsteczne wielomianu
W4(x) = x4 − x− 1, h = 1
Różnica progresywna:∆f(x) = f(x+ h)− f(x)
Różnica wsteczna:∇f(x) = f(x)− f(x− h)
Różnice rzędu n oznaczone są z róznic rzędu n− 1:
∆nf(x) = ∆(∆n−1f(x))
4.5 Z jaką dokładnością można obliczyć ln 100, 5 za pomocą wzoru interpo-lacyjnego Lagrange’a mając wartości ln 100, ln 101, ln 102, ln 103,?
x0 = 100, x1 = 101, x2 = 102, x3 = 103,
f(x0) = ln 100, f(x1) = ln 101, f(x2) = ln 102, f(x3) = ln 103,
48
r(x) – funkcja dokładności przybliżenia
r(x) = f(x)− ln(x)
Wiemy, że:1
|r(x)| ¬ |pn+1(x)|(n+ 1)!
supx∈<x0;xn>∣∣∣f (n+1)(x)
∣∣∣Obliczamy teraz pn ze wzoru:
pn+1(x) = (x− x0)(x− x1)...(x− xn)
p4(100, 5) = −1516
Obliczamy kolejne pochodne ln(x):2
f (1)(x) = x−1
f (2)(x) = −x−2
f (3)(x) = 2x−3
f (4)(x) = −6x−4
|f (4)(x)| = 6x−4
supx∈<100;103>6x−4 = 6 · 10−8
I wracamy do wzoru na r(x):
|r(x)| ¬| − 1516 |
24· 6 · 10−8 ≈ 2, 3 · 10−9
1sup to supremum - takie maksimum, ale w przeciwieństwie do maksimum funkcja nie musi osiągać tejwartości, wystarczy, że w granicy dąży do tej wartości2zapis, że to pochodne f(x) został użyty przez niego na labkach, ale powoduje, że wzór na r(x) jest bez
sensu
49
