Oppgave 1: TerningsutfallPå en kubisk terning er det 1/6 sannsynlighet for hver type utfall fra 1 til 6. Ved to

terninger, er utfallene antatt uavhengig.a) Hva er sannsynligheten for å få et spesifikt utfall på to terninger, f.eks. sannsynligheten for å

få 5 på første terning og 2 på andre?

Uavhengige utfall: P(femmer på første og toer på andre terning) = P(femmer på første)*P(toer på andre) = 1/6*1/6 = 1/36

b) Hva blir da sannsynligheten for å få sum=2 på de to terningene? Gjenta for sum=3, sum=4, sum=5, sum=6 , sum=7, sum=8.

Sum=2. En måte å få til det på; 1-1. Altså P(sum=2)=1/36Sum=3. To måter å få til det på; 1-2, 2-1. Altså P(sum=3)=P(1-2)+P(2-1)=2/36=1/18Sum=4. Tre måter å få til det på; 1-3, 2-2, 3-1. Altså, P(sum=4)=1/36+1/36+1/36=3/36=1/12Sum=5. Fire måter å få til det på; 1-4, 2-3, 3-2, 4-1. Altså, P(sum=5)=4/36=1/9Sum=6. Fem måter; 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1. P(sum=6)=5/36Sum=7. Seks måter; 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1. P(sum=7)=6/36=1/6Sum=8. Fem måter; 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2. P(sum=8)=5/36

Oppgave 1: TerningsutfallPå en kubisk terning er det 1/6 sannsynlighet for

hver type utfall fra 1 til 6. Ved to terninger, er utfallene antatt uavhengig.c) Hva er sannsynligheten for å få sum<=4?

P(sum<=4) = P(sum=2 eller sum=3 eller sum=4) = P(sum=2)+P(sum=3)+P(sum=4) = 1/36+2/36+3/36=6/36=1/6

d) Hva er sannsynligheten for to like?Seks ulike utfall med to like: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6P(to like)=P(1-1)+P(2-2)+…+P(6-6)=6/36=1/6

Oppgave 1: TerningsutfallPå en kubisk terning er det 1/6 sannsynlighet for hver type utfall

fra 1 til 6. Ved to terninger, er utfallene antatt uavhengig.e) Hva er sannsynligheten for å få to like og sum<=4?

P(to like og sum<=4) = P(1-1)+P(2-2)=2/36=1/18

f) Hva er sannsynligheten for enten å få sum<=4 eller to like terninger? Du kan bruke svaret fra c, d og e.

1). P(to like eller sum<=4) = P(to like)+P(sum<=4)-P(to like og sum<=4) = 1/6+1/6-1/18 = 5/182). P(to like eller sum<=4)= P(1-1)+P(1-2)+P(2-1)+P(2-2)+P(1-3)+P(3-1)+P(3-3)+P(4-4)+ P(5-5)+P(6-6)=10/36=5/18

Oppgave 1: TerningsutfallPå en kubisk terning er det 1/6 sannsynlighet for hver type utfall fra 1 til

6. Ved to terninger, er utfallene antatt uavhengig.g) Både fra regelen for betinget sannsynlighet og fra listen av utfall der sum<=4,

hva blir sannsynligheten for to like gitt sum<=4?

1). P(to like | sum<=4)= P(to like og sum<=4)/P(sum<=4)= (1/18) / (1/6) = 1/32). Liste av utfall der sum<=4: 1-1, 1-2, 1-3, 2-1, 2-2, 3-1 Hvert utfall har lik sannsynlighet, 1/6. To utfall med to like, 1-1 og 2-2. Derfor P(to like | sum<=4)=2/6=1/3

h) Regn ut sannsynligheten for sum<=4 gitt to like, både fra liste av mulige utfall og fra Bayes formel.

1). Liste over utfall med to like: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6. Seks utfall med like stor sannsynlighet. To av disse har sum<=4. Ergo P(sum<=4 | to like)=1/32). Bayes formel: 3/1

6/1)6/1(*)3/1(

like) P(to4)4)P(sumsum|like P(tolike) to|4sum(

P

Oppgave 2 – betingete sannsynligheter

Hobbitun-rådet har avgjort at man skal ekspandere hobbit-landen vestover. Dessverre viser det seg at landene vestover er infisert av drager!

Av de 10kmx10km arealene som er studert så langt, var 70% av dem drage-infisert.

En standard-protokoll for område-undersøkelse ble lagt. Et standardisert testområde av mindre størrelse, inne i området man undersøker, blir finkjemmet av feltbiologer. Hobbitun biologiske avdeling har funnet at sannsynligheten for å finne drager i et testområde hvis området det er i er infisert av drager, er 50%

Hvis det ikke er noen drage i området, blir det selvfølgelig ingen deteksjon i testområdet.

?

Here be dragonsNo dragons

?

Dragon Hobbit

Hva er (marginal) sannsynlighet for å finne en drage, hvis du ikke vet om området er infisert eller ikke?

(Hint: Loven om total sannsynlighet)

eller

Modell: Områdets drage-status (L) Sanns. for drage detektert i testområde (D)

Oppgave 2 forts.

Loven om total sannsynlighet:P(finne drage)=P(finne drage | drageinfisert område)*P(drageinfisert område) + P(finne drage | ikke drageinfisert område)*P(ikke drageinfisert område) =50%*70%+0%*30% = 35%

Vis med Bayes formel at sannsynligheten for å at et område er infisert av drager, gitt at du fant en drage i testområdet, er 100%.

Finn sannsynligheten for at det er drager i området gitt at du ikke fant noen. Kunne du forvente at sannsynligheten minsket fra originalsannsynligheten (70%) selv uten å vite deteksjons-sannsynligheten?

Drager i områdetDrager funnet

Drager

Drager i områdetDrager funnet

Drager i området

Ingen drager

Ingen dragerIngen

drager

Oppgave 2 forts.

100%70%/35%*50%drage)P(fant

område)isert P(drageinf*område)ert drageinfis | drageP(fant drage)fant |områdeisert P(drageinf

%85.5313/7%65/%35%)351/(%70*%50drage) ikkeP(fant

område)isert P(drageinf*område)ert drageinfis|drage ikkeP(fant drage) ikkefant |områdeisert P(drageinf

Siste spm, hint: Se grafisk eller bruk evidens-reglene.

Oppgave 3:På Blindern er det slik at det er 33.9% sjanse for at det

regner en dag, hvis det regnet gårsdagen, og 12.9% sjanse for at det regner en dag hvis det ikke regnet gårsdagen. PS: Antar stasjonaritet, altså at alle sannsynligheter er de samme uavhengig av tidspunkt, under de samme forutsetningene.

a) Hva er sannsynligheten for at det regner en tilfeldig dag? (I.e. hva er marginalsannsynligheten for regn?) Tips…

P(regn i dag)=P(regn i dag og regn i går)+P(regn i dag men ikke i går)=P(regn i dag|regn i går)*P(regn i går) + P(regn i dag | ikke regn i går)=33.9%*P(regn i går)+12.9%*(1-P(regn i går)= (stasjonaritet)33.9%*P(regn i dag)+12.9%*(1-P(regn i dag)P(regn i dag)*(100%-33.9%+12.9%)=12.9%P(regn i dag)=12.9%/79%=16.3%

Oppgave 3 forts.På Blindern er det slik at det er 33.9% sjanse for at det

regner en dag, hvis det regnet gårsdagen, og 12.9% sjanse for at det regner en dag hvis det ikke regnet gårsdagen. PS: Antar stasjonaritet, altså at alle sannsynligheter er de samme uavhengig av tidspunkt, under de samme forutsetningene.

b) Hvorfor er sjansen for at det regnet i går gitt at det regner i dag også 33.9%? (Tips: Bayes formel)

33.9%går) iregn | dag iP(regn dag) iP(regn

dag) iP(regn *går) iregn | dag iP(regn

dag) iP(regn

går) iP(regn *går) iregn | dag iP(regn dag) iregn |går iP(regn

(stasjonaritet)

Ekstraoppgave 1Skal teste store talls lov og sentralgrenseteoremet a) Trekk n=10000 ganger fra Poisson-fordelingen med forventingsverdi =0.3.

Beregn så gjennomsnittet og se hvor mye eller lite det avviker fra forventningsverdien og gjenta et par ganger. Hvorfor blir resultatene som de blir?

Får rundt 0.3+/-0.005. Rimelig at resultatene varierer rundt forventingen, siden forventingen til snittet er forventningen til enkeltvariabelene. Rimelig at variasjonen er lav siden variansen til et snitt er 1/n*variasjonen til enkelt-variansene.

b) Se på histogrammet og sammenlign med sannsynlighetsfordelingen.

Teoretiske sannsynligheter matcher trekningene ganske bra.Ser ikke så veldig normalfordelt ut, btw.

Ekstraoppgave 1 forts.c) Skal nå se på fordelingen til snittet av n=10000 trekninger fra Poisson-fordelingen.

Trekk N=1000 slike snitt. Se på histogram og sammenlign med normal- fordelingen som er det sentralgrense-teoremet sier snittfordelingen skal begynne å ligne på.

)/,( nN

Ser bra ut

Ekstraoppgave 1 forts.d) Sjekk også kumulativt histogram vs kumulativ fordeling.

e) Sjekk QQ-plott.

Ekstraoppgave 1 forts.f) Hva skjer hvis snittet er over et fåtall trekninger, n=10. Øk N til 100000. Er det da en

merkbar forskjell på snittet og normalfordelingen?

Merkbart, ja. Minst på kumulativt histogram, mest antageligvis på QQ-plott.

Oppgave 4: Utfør R-koden på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen1.R

Denne koden skal gi svar på følgende:a) Ta en titt på årsvannføringer (snitt) fra Hølen.

b) Se på histogram sammen med en normalfordeling med samme snitt (forventing) og varians som data. Se om dataene ser noenlunde normalfordelt ut.

Ser ok ut.

Oppgave 4: forts. c) Se på histogram sammen med en normalfordeling med

samme snitt (forventing) og varians som data. Se om dataene ser noenlunde normalfordelt ut.

Ser ok ut.

Oppgave 4: forts. d) Gjør det samme som i b og d, men bruk lognormalfordelingen i stedet, der

log-snitt og log-varians er den samme fordelingen som i data.

Ser også ok ut, men kanskje ikke like bra for lave verdier (det finnes noen verdier som er ekstremt lave ifølge lognormal-fordelingen).

e) Gjenta b-d for døgnvannføring også (finnes på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/TrendDognHoelen.txt). Hvis konklusjonene blir litt ulike, hva er grunnen?

Ekstremt dårlig!

Bedre, men ikke bra.

Oppgave 5: Forventingsverdien til årsvannføringer fra Hølen.

http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen2.Ra) Estimer forventningsverdien. 11.67041

b) Sjekk om forventingen er 10m3/s ved en t-test (tar hensyn til usikkerheten i estimert varians). Bruk gjerne 5% signifikansnivå (konfidens 95%).

t = 5.4363, df = 84, p-value = 5.233e-07alternative hypothesis: true mean is not equal to 10 95 percent confidence interval: 11.05937 12.28145 sample estimates:mean of x 11.67041

95% konf. Int. fra 11.06 til 12.28, omslutter ikke 10, altså kan vi forkaste forventing=10. p-verdi=0.5ppm, så dermed kunne vi tatt i med mye mer konfidens enn som så, også.

Oppgave 5 forts.c) Vis data sammen med konfidensintervallet.

Er det en bekymring at såpass masse års-snitt ligger utenfor konfidensintervallet? Nei. Dette konfidensbåndet antyder vår usikkerhet angående forventingen

(langtids-snittet), ikke angående enkelt-utfall. Er det 95% sannsynlighet for at egentlig forventingsverdi ligger innefor det

spesifikke konfidensintervallet?

Nei. Et 95% konfidensintervall kan anses som en metode som før data har 95% sannsynlighet for å omslutte egentlig verdi, hva nå enn den verdien er. Plugger man inn data, har man ingenting å ta sannsynlighet over lenger. Frekventistisk metodikk har ikke noe konsept om sannsynlighet for parameter verdier. Den har sannsynligheter for estimatorer, som er funksjoner av de data man får. Men plugger man i data i en estimator, har man dermed sikekrhet angående estimatoren.

Oppgave 5 forts.d) Kunne vi gjort a-c for døgndata også?

5a kan gjøres trivielt og vil uansett være et estimat på forventingsverdien.Analysen i oppgave 5b og 5c avhenger av uavhengigshetsantagelser, som

slettes ikke kan stemme for døgndata!

e) Skal nå foreta samme analyse der vi bruker lognormal-fordelingen hellers enn normalfordelingen. Kjør en bootstrap-analyse som angir 95% konfidensintervall. Hva sier dette om antagelsen forventing=10m3/s?

Anslått 95% konfidensintervall omslutter ikke 10. (Det må sies at bootstrap-estimatet av 95% konfidensintervall er litt naivt her, for å holde ting enkelt.) Konfidensintervallet er ganske like du får med t-testen (under normalfordelingsantagelser). Konklusjon: forventing=10m3/s stemmer nok ikke.

Oppgave 6: Forveningsverdien til årsvannføringer fra Hølen – Bayesiansk analyse

http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen3.RAntar at data er normalfordelt. Har en vag men informativ prior for

vannførings-forventningen, 0==10, se slide 17-18. Antar vi kjenner =2.83.

a) Hvordan blir a’ posteriorifordelingen i dette tilfelle? Estimer vannførings-forventningen fra dette. Er dette veldig forskjellig fra det du fikk i oppgave 5a?

11.669 nå og 11.670 tidligere. Ikke akkurat en kjempeforskjell.

b) Lag et 95% troverdighetsintervall for vannførings-forventningen (Tips: 95% av sannsynlighetsmassen befinner seg innenfor +/-1.96 standardavvik fra forventningsverdien i en normalfordeling). Ble dette mye forskjellig fra 5b? Kan du fra dette konkludere noe angående antagelsen vannførings-forventning=10m3/s?

Nå, 11.07-12.27, før 11.06-12.28. ingen stor forskjell. (Det at intervallet var litt bredere for t-testen skyldes nok at man ikke kjørte noen antagelser om støy-størrelsen.)

Kan strengt tatt ikke konkludere noe angående vannførings-forventning=10m3/s. Det er ikke noe en-til-en-forhold mellom Bayesianske troverdighetsintervall og modell-testing.

mu.D[1] 11.66884tau.D[1] 0.3068121

c(mu.D-1.96*tau.D,mu.D+1.96*tau.D)[1] 11.06749 12.27019

Oppgave 6 – forts.c) Skal nå teste antagelsen vannførings-forventning=10m3/s Bayesiansk.

Sammenlign marginalsannsynlighetstettheten for de data vi fikk vs sannsynlighetstettheten når =10. Hva antyder dette?

d1 = marginalsannsynlighet under vår førantagelsed0 = marginalsannsynlighet d1>>d0 antyder at vi har fått evidens for vår førkunnskaps-modell hellers enn

antagelsen mu=10.

> d1=dnorm(mean(Q),mu.0,sqrt(tau^2+sigma^2/n))> d1[1] 0.03932351> > # Sannsynlighetstetthet hvis vi vet mu=10> d0=dnorm(mean(Q),10,sigma/sqrt(n))> d0[1] 4.822864e-07

Oppgave 6 – forts.d) Skal nå bruke resultatet fra c til å regne på modellsannsynligheter. Modell 0 har =10 mens modell 1 er slik som spesifisert ovenfor. Bruk

og anta at a’ priori-sannsynligheten for hver modell er 50%. Hva blir konklusjonen?

99.9988% sannsynlighet for modell 1 (førkunnskapsmodellen) vs modell 0 (mu=10). Veldig sannsynlig at mu10, med andre ord.

)'Pr()'|()Pr()|()|Pr(MMDfMMDfDM

> p0.D=d0*p0/(d0*p0+d1*p1)> p1.D=d1*p1/(d0*p0+d1*p1)> c(p0.D,p1.D)[1] 1.226443e-05 9.999877e-01

Oppgave 6 – forts.

e) Lag et plott over marginalfordelingen gitt ulike utfall og sammenlign med sannsynlighetstettheten nå =10 (likelihood under modell 0). Hva sier dette om hvilke utfall som ville være evidens for modell 0 og 1?

Hvis vi fikk utfall (gjennomsnitt) mellom 9.19 og 10.81, er marginalsannsynligheten større for modell 0 enn for modell 1. Altså ville et slikt utfall være evidens for modell null (mu=10), ellers for modell 1.

> c(min(x[d0>d1]),max(x[d0>d1]))[1] 9.19 10.81

Oppgave 7: Bayesiansk gjentaksanalyse for bestemt nivå i kontinuerlig tid.

Skal se på faren for å overgå en spesifikk vannførings-verdi. Antar slike hendelser foregår uavhengig i tid. Altså at antall hendelser innefor en tidsperiode er Poisson-fordelt. Bruker gjentaks-intervall, T, som parameter i denne fordelingen. Da får vi

Antar invers-gamma-fordeling (siden det er matematisk behagelig å gjøre det) for gjentaksintervallet

Får da at marginalfordelingen blir:

(dette er den såkalte negativ binomiske fordelingen).

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser (

TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

Oppgave 7 (forts.): Kode finnes på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/gryta_ekstrem.R

Stasjonen Gryta har hatt vannføring>1.5m3/s y=27 ganger i løpet av t=44 år.a) Plott a’ priori-fordeling og marginalfordeling hvis du bruker ==1 som førkunnskap.

Ser at a’prior’en topper seg rundt T=1, men er ganske vid. Derfor svært vid marginalfordeling også. y=27 ikke spesielt oppsiktsvekkende

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser ( TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

Oppgave 7 (forts.): Kode finnes på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/gryta_ekstrem.R

Stasjonen Gryta har hatt vannføring>1.5m3/s y=27 ganger i løpet av t=44 år.b) Hva blir det generelle uttrykket for a’ posteriori-fordelingen til T?

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser ( TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

)*,*(~)(

)(

)1(1

)(!)/(

)()()|()|(

/)(1

/1/

tyeTy

t

ppyy

eTeyTt

yfTfTyfyTf

Ttyy

y

TTty

Oppgave 7 (forts.): Kode finnes på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/gryta_ekstrem.R

Stasjonen Gryta har hatt vannføring>1.5m3/s y=27 ganger i løpet av t=44 år.b) Hva blir det generelle uttrykket for a’ posteriori-fordelingen til T? Plott den for Gryta for ==1 sammen med a’ priori-fordelingen. Forsøk også ==0.5 og til og med ==0 (ikke-informativt) . Ble det noen stor forskjell i a’ posteriori-fordelingen? Sammenlign med klassisk estimat: TML=t/y=1.63 år.

Topper seg (modus-estimat) forholdsvis nære ML-estimatet. Forventings- eller medians-estimat kan forventes å ha litt høyere verdi.

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser ( TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

)*,*(~| tyyT

Posterior med prior

Posterior med ulike priorer

Innzoomet versjon

Oppgave 7 (forts.):

c) Kan du finne prediksjons-fordelingen til antall nye flommer på Gryta de neste hundre år? Plott i så tilfelle denne. Sammenlign med Poisson-fordeling hvis man tar ML-parameteren for gitt. Hvorfor er sistnevnte fordeling skarpere enn den Bayesianske prediksjonsfordelingen?

Siden a’ posteriorifordelingen kommer fra samme fordelingsfamilie som a’ priorifordelingen, kan vi bare bytte ut med * og med * i marginalfordelingen.

Poisson med gitt parameter skarpere enn marginal-fordelingen siden førstnevnte ikke tar hensyn til parameter-usikkerheten.

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser ( TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

*der )1(

1*) tidavløpet ihendelser (

ny

y

ny

ny

ttppp

yy

tyP

Oppgave 7 (forts.)

d) Kjør en enkel MCMC-algoritme fra a’ posteriori-fordelingen. Se etter når trekningen stabiliserer seg (burn-in) og hvor mange trekninger som trenges før du få en trekning som er ca. uavhengig (spacing).

Burnin=20-40, spacing=10

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser ( TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

Oppgave 7 (forts.)

e) Hent 1000 uavhengige trekninger etter burn-in. Sammenlign med teoretisk a’ posteriori-fordeling (histogram og qq-plott).

Ser bra ut på min trekning.

f) Foreta ny MCMC-trekning men bruk nå a’ priori som er f(T)=lognormal(=0,=2). (Dette kan ikke løses analytisk). Sammenlign med de trekningene du fikk i d.

Tty

eyTtTtyP /

!)/()| tidavløpet ihendelser ( TeTTf /1

)()(

ttppp

yy

tyP y der )1(1

) tidavløpet ihendelser (

Forholdsvis uavhengig

Ganske likt, men kanskje noen forskjeller helt ute i øvre hale.

Det er helt ok…

Oppgave 8: Ekstremverdi-analyse på Bulken (rundt 120 år med data).Kode: http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/bulken_ekstrem.RData: : http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/bulken_max.txtSkal bruke Gumbel-fordelingen som fordelings-kandidat her:

a) Foreta et ekstremplott, det vil si sorter vannføringene og plott dem mot estimert gjentakintervall der n er antall år og i er en løpe-indeks fra n til 1.

b) Foreta en ekstremverditilpasning via første to l-momenter, 1 og 2. Sammenlign med det du får fra DAGUT. Parameterne forholder seg til l-momentene som = 2/log(29, = 1-0.57721. Estimater for 1 og 2 fås som

DAGUT: God overenstemmelse med beta…

44.012.0

inti

/)(/)(1),|(xexexf

)(1

21

1 ))()1(()1(

1ˆ ,1ˆj

n

j

n

jj xjnj

nnxx

n

Sorterte data

> c(mu.lmom, beta.lmom)[1] 305.22055 67.96247

Oppgave 8 –forts.

c) Plott flomstørrelse som funksjon av gjentaksintervall gitt l-moment-estimatene sammen med data (a).

Ser ok ut.

d) Foreta ML-estimering av parameterne.

e) Plott flomstørrelse som funksjon av gjentaksintervall gitt ML-estimatene.

Ganske like l-moment-estimatet forsmå verdier. Litt uenighet for storegjentaksintervall.

/)(/)(1),|(xexexf

> c(mu.ml, beta.ml)[1] 304.49483 74.13713

Oppgave 8 – forts.

f) (Obs: hvis dette blir for mystisk, slutt her.) Foreta Bayesiansk analyse med flat prior. Foreta 1000 MCMC-trekninger (burnin=1000, spacing=1000). Sammenlign.

Topper seg rundt mu=305, beta=75 (modus-estimat). Ikke ulik andre estimater.

g) Bruk også prediksjonsfordelingen (altså der du tar parameterusikkerheten med i betraktningen) til å foreta samme plott som i a, c og e.

Ganske likt ML-resultatet.

/)(/)(1),|(xexexf

# Forventings-estimat:> c(mean(mu.mcmc),mean(beta.mcmc))[1] 304.81509 74.86763# Median-estimat:> c(median(mu.mcmc),median(beta.mcmc))[1] 305.16144 74.93275

Oppgave 9: Sjekk om årsmiddel-data for stasjon Hølen har en lineær tidstrend.Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/hoelen_detrend.Ra) Tilpass en lineær regresjon til årsmiddel-dataene og tolk resultatet.

Beste estimat: Q(h)=-49.7734 + 0.03125*tFormelen lar seg ikke ekstrapolere til år 0 (eller 1), i hvert fall. Q(0)=-49.7734.Antyder en økning på 31l/s i snittvannføring per år. P-verdi=1.17% er under et 5%

signifikansnivå. Tids-avhengigheten er dermed ikke null med 95% konfidens (men ikke 99%). Med bare en parameter, blir resultatet fra F-testen det samme.

Merk at vi får signifikant tidsavhengighet her selv om goodness-of-fit=R2=7.4%.

> summary(fit)

Call:lm(formula = Q ~ t)

Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -6.5630 -1.6384 0.1355 1.5524 6.5040

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -49.77338 23.83462 -2.088 0.0398 *t 0.03125 0.01212 2.578 0.0117 *---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.742 on 83 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.07414, Adjusted R-squared: 0.06299 F-statistic: 6.647 on 1 and 83 DF, p-value: 0.0117

Oppgave 9- forts.b) Plott data og tilpasning. Ser det rimelig ut?

Ja…

c) De-trend data’ene, d.v.s. fjern den lineære trenden.

d) Se på residualene, og vurder om forutsetningene for regresjonen var tilfredstilte.

Residular mot tid Residualer mot vannf. Residualer mot teoretiske kvantiler

Oppgave 9- forts.

e) Ekstra: Se på samme tilpasning når vi ser på log-vannføring hellers enn vannføring.

Litt forskjell i tilpasningen, men det skalbare mangle når man har en annen funksjon og avvik i log(vannføringer) erutslagsgivende hellers enn absolutt-verdier.

Det er her ikke en nødvendighet at ekstrapolasjonen bryter sammen, så slik sett er det en bedre modell.

QQ-plott dog noe dårligere.

Oppgave 10: Sjekk om døgnmiddel-data for stasjon Hølen har en sesong-trend.Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/hoelen_sesong.Ra) Tilpass en multilineær regresjon av døgnmiddel-dataene mot tid pluss 4 sett

trigonometriske funksjoner (sinus og cosinus) og tolk resultatet.

Alt ser signifikant ut. Mendet skal vise seg at residualenehar stor avhengighet, så p-verdiene må tas med en storklype salt.

Q(t) = -42.67 +0.0276*t-2.91*sin(2t)-12.82*cos(2t)-2.30*sin(4t)+6.47*cos(4t)+…

R2=60%. Mye bedre enn for årsverdier.

Definitivt sesongvariasjon her, men det ses på plottet også.

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -42.666671 4.140744 -10.30 <2e-16 ***t 0.027606 0.002104 13.12 <2e-16 ***sint -2.916632 0.074742 -39.02 <2e-16 ***cost -12.824844 0.074739 -171.59 <2e-16 ***sin2t -2.302746 0.074740 -30.81 <2e-16 ***cos2t 6.469062 0.074739 86.56 <2e-16 ***sin3t 4.065130 0.074739 54.39 <2e-16 ***cos3t -4.211345 0.074739 -56.35 <2e-16 ***sin4t -2.489911 0.074739 -33.31 <2e-16 ***cos4t 2.026632 0.074739 27.12 <2e-16 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 9.421 on 31767 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.5996, Adjusted R-squared: 0.5995 F-statistic: 5286 on 9 and 31767 DF, p-value: < 2.2e-16

Oppgave 10 – forts.b) Plott data og tilpasning. Ser det rimelig ut?

Tilpasningsplott ser ok ut.

Oppgave 10-forts.c) Se på residualene, og vurder om forutsetningene for regresjonen var tilfredstilte.

Residual mot tid antyder sterk tidstrend! QQ-plott ser heller ikke bra ut!

Alt for mange høye verdier. Tunge haler.

Oppgave 10 – forts.d) Gjenta etter log-transform av vannføringene. Ble det bedre?

Tilpasning ser omtrent like bra ut. Residaler har

fremdeles sterk tidstrend.

Definitivt mer normalfordelt enn for absolutt-vannføringer.

Oppgave 11: Skal kjøre power-law-regresjon av vannstand mot vannføring for

vannføringsmålinger på Gryta (altså lineær regresjon på log-skala).

Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/gryta.Ra) Plott data, både på original-skala og log-skala

Ser noenlunde lineært utSer ut til å krumme oppover

Oppgave 11- fortsb) Kjør en lineær regresjon av log-vannføring mot log-vannstand. Fortolk

resultatet. Er det en signifikant sammenheng?

Vannstand er signifikant. R2=99.54%. God tilpasning. c) Hva blir formelen for vannføring vs vannstand?

Q(h)=exp(0.937)*h2.536 Plott dette:

Ser bra ut.

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.93691 0.03870 24.21 2.74e-16 ***lh 2.53572 0.03841 66.03 < 2e-16 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.0492 on 20 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.9954, Adjusted R-squared: 0.9952 F-statistic: 4359 on 1 and 20 DF, p-value: < 2.2e-16

Oppgave 11 – forts.d) Sjekk om det er noe galt med residualene (trend eller ikke normalfordelt)

Ingen synelig trend. Antydning til tung øvre hale, men det er alt.e) Ekstra: Gjør lineærtilpasning på original-skala og se hvordan denne tilpasningen

er også. (PS: R-kode ikke lagd).

Ingen stor suksess…

Oppgave 12: Skal kjøre power-law-regresjon av vannstand mot vannføring for vannføringsmålinger

på Gryta (altså lineær regresjon på log-skala), men nå med ukjent bunnvannstand, h0.

Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/gryta2.Ra) Kjør en lineær regresjon for et sett av kandidat-verdier for h0. Se på likelihood

som en funksjon av kandidatverdiene. Hva blir beste estimat for h0?

b) Ekstra (kode ikke med): En test kalt likelihood-ratio-testen sier at en null-hypotese blir forkastet med 95% konfidens når (lfull-l0)>1.92 (NB: for en parameter). Test om h0=0.

Får at lfull=39.89, l0=36.04, l=3.85>1.92. Altså forkastes h0=0.

> c(C.ml, b.ml, h0.ml, sigma.ml)[1] 0.8456408 0.6182650 0.0800000 0.2143720

Oppgave 13:Skal nå kjøre ARMA-tilpasning av døgndata fra Hølen.Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/hoelen_arima.Ra) Plott data

b) De-trend (fjern lineær tids-trend og sesonvariasjon).

Oppgave 13- forts.c) Se på autokorrelsjon (og partiell autokorrelasjon).

d) Tilpass en AR(1)-modell (PS: pacf antyder at AR(2) er bedre). Se om estimert parameter er lik noe du så i 13c.

AR(1)-koeffisient=0.9472, ganske liktstørste verdi i pacf-plottet.

ACF PACF

Coefficients: ar1 intercept 0.9472 0.0000s.e. 0.0018 0.0252

Oppgave 13- forts.e) Lag analytiske plott av residualene. Hva sier de?

Antyder at veldig mye av tidsavhengigheten er forklart allerede, men at noe fremdeles ikke er med i modellen.

f) Forsøk så med en ARMA(1,1)-modell. Se igjen på residualene. Hva sier de nå?

At dette begynner å se bra ut?