opory przep‚yw³w

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of opory przep‚yw³w

  • 8/18/2019 opory przepływów

    1/23

    8. PRZEPŁYW PŁYNÓW W PRZEWODACH POD CIŚNIENIEM

    8.2. Równanie ustalonego ruchu pł  ynu nieś ci ś liwego

    Przepływy w  przewodach pod ci śnieniem (w przewodach zamknię tych) omawianych w

    dalszych częściach tego rozdziału bę dziemy traktować  jako jednowymiarowe i ustalone

     przepływy płynu lepkiego i nieściśliwego.

    Do określenia takiego przepływu wystarczają  dwie podstawowe zależności:

    a) równanie cią głości w postaci qV   = v  A = const, 

     b) równanie określają ce przemiany energetyczne w płynie, uwzglę dniają ce dodatkowe

    rozpraszanie energii spowodowane lepko ś ci ą    oraz zmienno

    ść   pr 

    ę  dko

    ś ci w poprzecznym

     przekroju przewodu. Równanie to nosi nazwę  równania Bernoulliego dla pł  ynu rzeczywistego

    lub uogólnionego równania Bernoulliego.

    Równanie Bernoulliego, odnoszą ce się   do płynu nielepkiego i nieściśliwego,

    charakteryzuje się  tym, że wartość energii całkowitej wzdłuż dowolnej linii pr ą du jest stał a.

    Wysokość  pr ę dkości v  2/2 g   jest miar ą   energii kinetycznej w odpowiednich przekrojach, co

     przy założeniu równomiernego rozk ładu pr ę dkości jest jednoznaczne z jednakową warto ścią 

    energii kinetycznej wszystkich elementów pł  ynu w danym przekroju.

    Podczas przepływu płynu lepkiego pr ę dkość  w przekroju poprzecznym zmienia się .

    Dlatego też  w dalszych rozważaniach jako  pr ędkość   przepł  ywu jednowymiarowego

     przyjmujemy pr ędkość  ś redni ą określoną  zależnością  

    ∫=ρ== A mV

    śr   dAA

    1  

    A

    q  

    A

    q   v v  .

    Energia kinetyczna płynu śr k  E   obliczona dla pr ę dkości średniej jest jednak na ogół  różna

    od energii kinetycznej rzeczywistej rzk  E  . Energia kinetyczna masy qm ∆ t  poruszają cej się   z

     pr ę dkością  v śr

    t 2

    A 2

    tqE 3 śr 

    2 śr 

    m śr  k    ∆ρ=∆=

      v v 

    ,

    gdzie ∆ t to czas.

  • 8/18/2019 opory przepływów

    2/23

    Energia kinetyczna rzeczywista:

    dA 2

    tE A

    3 rz k    ∫ρ∆=

      v 

    .

    Stosunek

    3 śr 

    A

     3

    śr  k 

    rz k 

    dA

      A

    1  

    E

    E

    v ∫ ==α  

    nazywany jest współ czynnikiem Coriolisa.

    Dla przepływu laminarnego przez przewody o kołowym przekroju, dla których rozk ład

     pr ę dkości w przekroju poprzecznym jest paraboliczny

    2r dr R 

    r   1

    16  

    r dr 2 R 

    r   1

      R 

     8  

    3 R 

    0

    2

    23 śr 

    0

    32

    2

    2 śr  =

      

         

        

        

     −=

    π   

         

        

        

     −

    π =α ∫

    ∫ v 

     

    W przypadku ruchu turbulentnego, o profilu pr ę dkości określonym wzorem potę gowym

    Prandtla:

    ( ) ( )( ) ( )  3n23nn4 1n21n r dr 2R r  1 R  1  4 33R 

    0

    n

    33

    śr 

    max 2 ++ ++=π 

          −

       

       π=α ∫v  v 

    .

    Można zatem stwierdzić, że w przepływach turbulentnych warto ść  α   maleje wraz ze

     zwiększeniem n, a więc ze wzrostem liczby Reynoldsa.

    Wartości współczynnika α   mieszczą   się   w przedziale 1,1÷1,3, przy czym dla w pełni

    uformowanego profilu pr ę dkości przepływu turbulentnego α   nie przekracza wartości 1,1.

     Najczęściej przyjmowanej wartości n = 7 odpowiada α  = 1,06.

  • 8/18/2019 opory przepływów

    3/23

    Rzeczywistą   energię   kinetyczną   w przekrojach przepływowych możemy zatem określić 

    nastę  pują co

    śr  k 

    rz k   EE   α= ,

    a jej wysokość wyrażeniem .22śr   g v α   

    Podczas przepływu płynu lepkiego w wyniku działania sił tarcia (wywołanych lepkością )

    nastę  puje nieodwracalna przemiana części energii mechanicznej w ciepło,

    a zatem zgodnie z rysunkiem1) 

    >++=   2 1

    1 2 1śr 1

    1  z   g 

     p

     g   H 

     ρ 

    α  v  22

    2 2 2śr 2  

    2  H  z 

     g 

     p

     g  =++

     ρ 

    α   v  ,

    gdzie H 1, H 2 – odpowiednie wysokości rozporzą dzalne.

    v1śr  2g

    2 α1

     p1ρg

    z1

    H 1

     p2 ρg

    z2

    v2śr  2g

    2 α2

    ∆h s

     p ρg

     b

     p ρg

     b

     p

    ρg n2

     p

    ρg n1

    2

    1

     poziom odniesienia

    H 2

     

    Przebiegi linii energii i ciśnień w ustalonym przepływie cieczy lepkiej

    1) Przyjmujemy zawsze kierunek przepływu od przekroju 1. do przekroju 2.

  • 8/18/2019 opory przepływów

    4/23

    Wysokość  strat ciśnienia  sh12∆ , bę dą ca różnicą   lewej i prawej strony nierówności,

    nazywamy wysoko ścią  strat  hydraulicznych (energetycznych) w przepływie od przekroju 1.

    do przekroju 2. Po dodaniu  sh12∆   do prawej strony nierówności otrzymamy uogólnione

    równanie Bernoulliego w postaci 

    =+ ρ

    + α

     z g

     p  

    g2 1 1

    2 1śś1v  s

    122 2

    2 2śś2 hz

    g

     p  

    g2   ∆++

    ρ +

    α   v  .

    Wysokość strat ciśnienia

    sm 12

    sl 12

    s 12s

    12 h h g

     p  h   ∆+∆= ρ ∆

    =∆  

     jest sumą  wysokości strat ci śnienia wywoł anych tarciem na d ł ugo ści –  sl h12∆  i strat wskutek

    oporów miejscowych –  smh12∆ . Spadek hydrauliczny  (średni) określimy jako stosunek straconej wysokości ciśnienia do

    długości l  przewodu

    l

    h  I

    s 12∆= .

    Gdy energia kinetyczna przepływają cego płynu jest mała w porównaniu ze stratami

    energii przepływu (szczególnie w przypadku długich przewodów) z wystarczają cą  w praktyce dok ładnością  – możemy założyć:

    α  = 1.

  • 8/18/2019 opory przepływów

    5/23

    8.2. Straty hydrauliczne wywoł ane tarciem

    8.2.1. Opory liniowe podczas przepływu płynów

    .

    Wartość  strat energii wywołanych tarciem (liniowych strat energii) określa zależność 

    (ponieważ  w zagadnieniach, w których przepływ jest traktowany jako jednowymiarowy,

    wystę  puje tylko pr ę dkość średnia, w dalszej części bę dziemy pomijali indeks „śr”):

    ρλ=∆ 2d

    l   p

    2 sl   v  ,

    któr ą  można również przedstawić w postaci

    g2d lh 2sl

      v λ=∆ ,

    znanej pod nazwą  wzoru Darcy’ego–Weisbacha, w której: l   – długość przewodu, d   – średnica przewodu, v  – średnia pr ę dkość przepływu, λ  – współczynnik oporu liniowego (strat tarcia).

    Współczynnik oporu liniowego jest w ogólnym przypadku funkcją  liczby Reynoldsa Re i

    chropowatości wzglę dnej k /d   (k –   średnia wysokość  nierówności na ścianie rury). Wartość 

    tego współczynnika bywa najczęściej wyznaczana z wykresów doświadczalnych albo formuł 

    empirycznych lub półempirycznych. Jedynie w przypadku przepływu laminarnego można

    teoretycznie wyznaczyć  zależność  mię dzy λ   i Re: λ=64/Re. Wynika stą d, że w przepł  ywie

    laminarnym przez przewody o przekroju koł owym współ czynnik oporu liniowego jest

    odwrotnie proporcjonalny do liczby Reynoldsa. Zależność  ta została potwierdzona licznymi

    wynikami doświadczalnymi. Zależność  określają cą   współczynnik oporu liniowego w przypadku przepływu

    turbulentnego można wyznaczyć, jeżeli znane jest prawo rozk ładu pr ę dkości. W przypadku

    ustalonego przepływu przez przewód prostoliniowy o stałym przekroju siła pochodzą ca od

    różnicy ciśnienia jest równoważona siłą  tarcia na ścianie

    dl 4

    d  p 0

    2

    πτ= π

    ∆   ⇒  d

    l 4 p 0τ=∆  

    Pamię tają c, że 20 /   ∗=ρτ   v  , otrzymamy

  • 8/18/2019 opory przepływów

    6/23

      22

    λ =∗

    ,

    gdzie v  jest pr ę dkością  średnią . Porównują c ze wzorem Darcy’ego–Weisbacha, otrzymamy po przekształceniach

    ( ) 9,0Relg21 −λ= λ

     

     Na podstawie wyników badań  doświadczalnych zależność  ta została skorygowana i

    wynosi

    ( ) 8,0Relg21 −λ= λ

     

    Jest to poszukiwana zależność λ  = f  (Re), z tym że ze wzglę du na uwik łaną  postać nie zawsze dogodna w zastosowaniach.

    Dlatego równolegl