Operasi Hitung Bilangan Pecahan (Operasi hitung dalam matematika bag2)

SD - 1

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

Operasi Hitung Bilangan Pecahan

Operasi Hitung Dalam Matematika (Bagian 2 - SD)

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan :

• Penjumlahan pada bilangan pecahan :

- Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama :

Rumus : ca +

cb =

cba+ ;

ca ;

cb pembilang

Penyebut

Contoh : 75 +

72 =

725+ =

77 = 1

Pembilang dijumlahkan dengan pembilang (5+2) Penyebut tidak dijumlahkan karena nilainya sama (7) - Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang tidak sama :

Rumus : ca +

db =

cxdaxd +

cxdcxb rumus 1

ca +

db =

KPKxacKPK ):)( +

KPKxbdKPK ):( rumus 2

Contoh : 75 +

32 =

3735

xx +

3727

xx =

2115 +

2114 =

2129

Untuk penjumlahan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu dengan dua cara : 1. dengan mengalikan kedua penyebut rumus 1 2. dengan menentukan KPK nya rumus 2 (contoh diatas KPK dari 3 dan 7 adalah 21) Cara 1 : menurut penulis lebih cepat

SD - 2


• Pengurangan pada bilangan pecahan - Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama :

Rumus : ca -

cb =

cba− ; c 0≠

Contoh : 75 -

72 =

725− =

73

Apabila penyebutnya sama, pembilang bisa langsung dikurangkan - Pengurangan pecahan dengan penyebut yang tidak sama :

Rumus : ca -

db =

cxdaxd -

cxdcxb rumus 1

ca -

db =

KPKxacKPK ):)( -

KPKxbdKPK ):( rumus 2

Contoh : 75 -

32 =

3735

xx -

3727

xx =

2115 -

2114 =

211

Untuk pengurangan dengan penyebut yang tidak sama, penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu dengan dua cara sama seperti dengan penjumlahan: 1. dengan mengalikan kedua penyebut rumus 1 2. dengan menentukan KPK nya rumus 2

• Perkalian bilangan pecahan : Dalam perkalian bilangan pecahan : pembilang dikalikan dengan pembilang ; penyebut dikalikan dengan penyebut - Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan bulat :

Rumus : ca x b =

caxb ; c 0≠

Contoh : 75 x 4 =

75 x

14 =

745x =

720 ;

SD - 3


- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan :

Rumus : ca x

db =

cxdaxb ; c dan d 0≠

Contoh : 75 x

54 =

5745

xx =

3520

- Perkalian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan campuran :

Contoh : 2 53 x

32 =

53)25( +x x

32 =

513 x

32 =

35213

xx =

1536 = 2

156

• Pembagian bilangan pecahan : - Pembagian bilangan pecahan dengan bilangan pecahan

Rumus : ca :

db =

ca x

bd =

cxbaxd

Menjadi perkalian dengan bilangan keduanya (pembilang dan penyebutnya ditukar)

Contoh : 75 :

54 =

75 x

45 =

4755

xx =

2825

- Pembagian bilangan pecahan biasa dengan bilangan pecahan campuran

contoh : 3 43 :

52 =

4334 +x x

25 =

415 x

25 =

24515

xx =

875 = 9

83

Bilangan pecahan campuran dibuat dulu menjadi bilangan pecahan biasa - Pembagian bilangan cacah dengan bilangan pecahan :

Contoh : 3 : 52 =

515 x

25 =

215

Bilangan cacah diubah menjadi bilangan pecahan dengan penyebutnya mengikuti penyebut bilangan kedua

SD - 4


Menyederhanakan bentuk pecahan :

Caranya yaitu dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari keduanya :

Contoh : Bentuk sederhana dari 1512 ?

Faktor prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 Faktor prima dari 15 = 3 x 5 FPB dari 12 dan 15 adalah 3 Sehingga bentuk sederhananya dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan 3

1512 =

3:153:12 =

54

Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa :

Rumus : a cb =

cbcxa +)(

Contoh : 3 42 =

42)34( +x =

414

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan persen : Pecahan persen adalah pecahan biasa dengan penyebutnya 100

Contoh :2515 =

425415

xx =

10060 = 60 %

107 =

1010107xx =

10070 = 70 %

SD - 5


Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal : Mengubah penyebut ke bilangan perpangkatan 10 (10,100,1000,…)

Contoh : 54 =

2524

xx =

108 = 0,8

209 =

52059xx =

10045 = 0,45

- Jika bilangan bulat positif dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif yang nilainya sama maka hasilnya adalah 0 (nol) contoh : 6 + (-6) = 0 Sifat-sifat Penjumlahan : 1. Sifat Asosiatif

SD - 6


( a + b ) + c = a + ( b + c ) Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12 2. Sifat Komutatif a + b = b + a Contoh :

7 + 2 = 2 + 7 = 9 3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a Contoh : 6 + 0 = 0 + 6

4. Unsur invers terhadap penjumlahan Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a a + (-a) = (-a) + a contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 5. Bersifat tertutup Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah

bilangan bulat juga. a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat

• Pengurangan Bilangan Bulat a. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif maka:

1. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih kecil maka hasilnya dalah bilangan bulat positif Contoh : 9 – 5 = 4

SD - 7


2. Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih besar maka hasilnya adlah bilangan bulat negatif Contoh : 3 – 6 = -3

b. Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif maka: 1. Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih kecil maka hasilnya adalah bilangan bulat positif

Contoh : -6 - (-8) = -6 + 8 = 2 (ingat - 8 < -6 )

2 Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang lebih besar maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif

Contoh : -5 – (-3) = -5 +3 = -2 ( -3 > -5 )

3. Bilangan bulat negatif yang dikurangi sama dengan bilangan bulat negatif yang mengurangi maka hasilnya adalah 0 (nol)

Contoh : -4 - (-4) = -4 + 4 = 0

c. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya selalu bilangan bulat positif contoh : 8 – (-4) = 8 + 4 = 12 d. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif hasilnya selalu bilangan bulat negatif contoh : -8 – 4 = - 12

SD - 8


e. Pengurangan dilakukan dengan cara bersusun contoh : 212 - 19 = ? Proses perhitungan 212 1. Kurangi 2 dengan 9, karena 2 kurang dari 9 maka pinjam puluhan dari 19 - angka disampingnya, sehingga menjadi 12 dikurang 9 hasilnya 3 193 2. Karena angka 1 (puluhan) pada 212 sudah dipinjam 1 maka sekarang menjadi 0, karena 0 dikurang 1 dari angka 19 tidak bisa maka pinjam 1 angka ratusan dari 2 (ratusan) menjadi 10 kemudian dikurangi 1 hasilnya 9 3. Karena angka 2 (ratusan) pada 212 sudah dipinjam 1, maka sekarang menjadi 1, kemudian dikurangi dengan tidak ada angka dibawahnya (=0) menjadi 1 4. Hasilnya adalah 193

Pengurangan dan Sifat-sifatnya

1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b)

a – (-b) = a + b contoh: 8 – 5 = 8 + (-5) = 3 7 – (-4) = 7 + 4 = 11

2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a – b ≠ b - a

(a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Contoh : 7 – 3 ≠ 3 -7 4 ≠ - 4 (9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 2 ≠ 8

3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a

4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan

hasilnya adalah bilangan bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat contoh :

SD - 9


7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat

• Perkalian Penjumlahan berulang

a. Perkalian Bilangan Cacah 1. Cara mendatar - pekalian dua bilangan dengan 1 angka : 4 x 2 = 4 + 4 = 8 - pekalian bilangan 1 angka dengan bilangan 2 angka : 3 x 13 = puluhan dan satuan dipisahkan : 3 x 13 = 3 x (10 + 3) = (3x10) + (3 x 3 ) = 30 + 9 = 39

- perkalian dua bilangan dengan 2 angka : 14 x 15 = 14 x 15 = 14 x (10+5) = (14x10) + (14x5) 14 x 5 = (10+4) x 5 = (10x5)+(4x5) = 50+20 = 70 = 140 + 70 = 210 - perkalian bilangan kelipatan sepuluh (puluhan, ratusan, ribuan,…) yang dikalikan hanya bilangan yang bukan nol, jumlah puluhannya dijumlahkan dan ditulis di belakang hasilnya : 30 x 60 = (3 x 6) 00 = 1800 2. Cara bersusun 12 x 68 = Proses perhitungan : 12 1. kalikan 8 dan 2 (dari angka12), hasilnya 16: tulis angka 6 dan simpan 1 68 x 2. kalikan 8 dan 1 (dari angka12), hasilnya 8, ditambah angka simpanan 1 96 hasilnya 9 (dibaris pertama hasilnya 96)

SD - 10


72 + 3. kalikan 6 dan 2, hasilnya 12 : tulis angka 2 dan simpan 1 816 (di bawah angka 9 bergeser 1 kolom ke kiri)) 4. Kalikan 6 dan 1, hasilnya 6, ditambah angka simpanan 1 hasilnya 7 5. Ditambahkan hasil (1,2) dan (3,4) = 816

a. Perkalian Bilangan Bulat - hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif (+) x (+) = (+)

Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42 -hasil perkalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif

(+) x (-) = (-) Contoh : 3 x -4 = -12 -hasil perkalian dua bilangan bulat negatif hasilnya adalah bilangan bulat positif

(-) x (-) = (+) Contoh : -4 x -5 = 20

• Perkalian dan Sifat-sifatnya 1. Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24 2. Sifat komutatif a x b = b x a Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20 3. Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24 4 Unsur identitas untuk perkalian - hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol a x 0 = 0 - hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga a x 1 = 1 x a = a 5. Bersifat tertutup Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

SD - 11


• Pembagian

• Pembagian dan Sifat-sifatnya

1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif

(+) : (+) = (+) Contoh : 8 : 2 = 4

2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif (-) : (-) = (+) Contoh : -10 : -5 = 2

3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) (-) : (+) = (-) Contoh : 6 : -2 = -3 -12 : 3 = -4

4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 tidak terdefinisi (~) 0 : a 0 (nol)

Contoh : 05 = ~ (Tidak terdefinisi)

5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

a : b ≠ b : a (a:b):c ≠ a : (b:c)

Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 2 ≠ 21

(8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) 1 ≠ 16

6. Bersifat tidak tertutup Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga contoh : 6 : 2 = 3 bilangan bulat

7 : 2 = 3 21 bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)

• Pemangkatan bilangan bulat

na = a x a x a x … x a

SD - 12


Sejumlah n faktor Contoh : 34 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

• Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat 1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)

a = b ( )a 2 = 2b a = 2b = b x b Contoh : 81 = ? 81 = 29 = 9 x 9 b = 9 20 = ? 20 = 2b b = nilainya tidak bulat 20 = 54x = 4 x 5 = 2 5 Tabel : 1 = 11x = 1 4 = 22x = 2

9 = 33x = 3 16 = 44x = 4 25 = 55x = 5 dan seterusnya 2. Akar kubik (akar pangkat tiga) 3 a = b ( )3 a 3 = 3b = b x b x b Contoh : 3 27 = ? 27 = 33 = 3 x 3 x 3 b = 3 3 54 = ? 3 227x = 3 27 x 3 2 = 3 3 2 Tabel : 3 1 = 3 111 xx = 1 3 8 = 3 222 xx = 2 3 27 = 3 333 xx = 3 3 64 = 3 444 xx = 4 3 125 = 3 555 xx = 5 dan seterusnya

Documents

Operasi Hitung Bilangan Pecahan (Operasi hitung dalam matematika bag2)