Operaciones aritméticas

Las 7 operaciones básicas de la Aritmética son:

Suma o adición

Resta o sustracción

Multiplicación o producto

División o cociente

Potenciación

Radicación

Logaritmación

Suma

La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

3. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

4.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a − a = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

La suma de números naturales no cumple esta propiedad.

Resta

La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

No es Conmutativa:

a − b ≠ b − a

Multiplicación

Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

(a · b) · c = a · (b · c)

2. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

3. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

4. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División

La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número.

D : d = c

Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Tipos de divisiones

1. División exacta:

Cuando el resto es cero.

D = d · c

2. División entera:

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d · c + r

Propiedades de la división

1. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

2. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : a = 0

3. No se puede dividir por 0.

Potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales.

a · a · a · ... = an

Base

Es el número que multiplicamos por sí mismo.

Exponente

Indica el número de veces que multiplicamos la base.

Propiedades de la potencias

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am · a n = am+n

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am · n  

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an · b n = (a · b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : bn = (a : b)n

Radicación

Es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso no se pondría. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

Raíz cuadrada exacta

Radicando = (Raíz exacta)2

Raíz cuadrada entera

Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

Logaritmación

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Propiedades de los logaritmos

FraccionesUnidad fraccionaria

La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad en n partes iguales.

Concepto de fracción

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.

a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.

Representación de fracciones

La fracción como partes de la unidad

Un todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.

Un depósito contiene 2/3 de gasolina.

El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador.

2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

La fracción como cociente

Repartir 4 € entre 5 amigos.

La fracción como operador

Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.

Calcular los 2/3 de 60 €.

2 · 60= 120

120 : 3 = 40 €

La fracción como razón y proporción

Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.

Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.

Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).

Ejercicios de fracciones1. Calcula qué fracción de la unidad representa:

1La mitad de la mitad.

2La mitad de la tercera parte.

3La tercera parte de la mitad.

4La mitad de la cuarta parte.

2.De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante?

3.Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo?

4.Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto?

5.Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad.¿Cuánto le queda?

6.Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?

7.Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?

8. Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:

Clases de fracciones

Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor comprendido entre cero y uno

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.

Clasifica las siguientes fracciones en propias o impropias:

Fracción unidad

Las fracciones unitarias tienen el numerador igual al denominador. El valor numérico es igual a 1.

Fracciones unitarias

Las fracciones unitarias tienen de numerador la unidad.

Fracciones decimales

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

a y d son los extremos; b y c, los medios.

Calcula si son equivalentes las fracciones:

4 · 12 = 6 · 8               48 = 48          Sí

 Halla los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas:

Amplificar y simplificar fracciones

Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.

Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar fracciones.

Al segundo caso le llamamos simplificar fracciones.

Fracciones irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, .

Número mixto

El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.

Pasar de número mixto a fracción impropia

1. Se deja el mismo denominador

2.El numerador es la suma de la multiplicación del entero por el denominador más el numerador del número mixto.

Pasar una fracción impropia a número mixto

1. Se divide el numerador por el denominador.

2. El cociente es el entero del número mixto.

3. El resto es el numerador de la fracción.

4. El denominador es el mismo de la fracción impropia.

Operaciones con números mixtos

Para operar con números mixtos se transforman éstos en fracciones impropias y posteriormente se realizan las operaciones indicadas con las fracciones.

Simplificación de fraccionesSimplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.

Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.

Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.

Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.

m.c.d.(8, 36) = 4

Ejercicios de simplificación de fracciones

Simplificar las fracciones:

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

m.c.m.(4, 6) = 12

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fraccionesEl cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

.

.

Ejercicios de operaciones con fraccionesUna caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.

1 ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?

2¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos

Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de litro de zumo.

5 limonadas de 1/4 de litro.

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

Calcula las siguientes operaciones con fracciones:

1

2

3

4

Efectúa las divisiones de fracciones:

1

2

3

Realiza las operaciones con fracciones:

1

2

Efectúa las operaciones con fracciones:

Potencias de fraccionesPara elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente.

Potencias de exponente negativo

Propiedades de las potencias de fracciones

1.

2.

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Ejercicios de potencias de fraccionesRealiza las siguientes operaciones con potencias de fracciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Halla las operaciones de fracciones con potencias:

Comparación de fraccionesFracciones con igual denominador

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

Fracciones con igual numerador

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

Con numeradores y denominadores distintos

En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.

Es menor la que tiene menor numerador.

Ejercicios de comparar fraccionesEscribe el signo > o <, donde corresponda.

Compara las siguientes fracciones:

Ordenar de menor o mayor las siguientes fracciones::

Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?

El segundo automóvil va primero.

Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.

¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor

Fracción generatrizUn número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.