OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

*SKRIPTA ZA ZAVRŠNI 2012*

1. Koji ekonomski problemi mogu biti predmet modeliranja koriscenjem metoda linearnog programiranja?

Veliki broj privrednih aktivnosti se ostvaruje u uslovima ograničenog iznosa resursa, koji se na različite načine mogu koristiti za ostvarivanje unapred postavljenog cilja. Iz niza mogućih načina (programa) korišćenja raspoloživih resursa ekonomski subjekti su veoma zainteresovani da odaberu onaj najpovoljniji, onaj za koji će se ostvariti najveća moguća efikasnost ukupnih aktivnosti. Zbog toga optimizacija ekonomskih aktivnosti zauzima centralno mesto u okviru ekonomske analize i matematičkog modeliranja ekonomskih problema. Jedan od matematičkih metoda optimizacije, koji je tokom ovog veka doživeo punu afirmaciju, teorijsku razradu i široku primenu jeste model linearnog programiranja.

Linearno programiranje predstavlja model koji se veoma uspjesno koristi za resavanje velikog broja problema na nivou preduzeca. Tu spadaju:

a) Proizvodno planiranje - U uslovima ograničenog iznosa resursa proizvodno preduzeće može proizvoditi različite količine proizvoda iz sopstvenog asortimana. U namjeri da maksimizira ukupan rezultat svog poslovanja, koji je najčešće izražen visinom ostvarenog profita, preduzeće je veoma zainteresovano da iskoristi resurse sa kojima u određenom periodu raspolaže na najbolji mogući (optimalan) način.S toga je za jedno preuzece veoma vazna uloga linearnog programiranja u kreiranju optimalnog programa proizvodnje koji omogucava sintezu raspolozivih resursa i pozitivnog poslovnog rezultata.

b) Planiranje investicija – Problem planiranja investicija javlja se prije svega na podrucju finansijskih institucija, banaka, investicionih fondova kao i raznih osiguravajucih kompanija. U ovom slucaju polazi se od pretpostavke o ogranicenosti investicionih sredstava. Uloga linearnog programiranja zasniva se na kreiranju optimalnog nivoa ulaganja u pojedine hartije od vrijednosti.

c) Planiranje transporta robe – Cilj svakog uspjesnog preduzeca jeste ne samo da ostvari maksimalan profit vec i da trosak poslovanja svede na minimum. U tom smislu trensport robe je veoma vazan. Naime, u uslovima teritorijalne razdvojenosti potrosaca i proizvodjaca transport robe izaziva znacajan trosak distribucije i prevoza. Metodom linearnog programiranja nastoji se odrediti optimalan vid transporta koji ce omoguciti minimizaciju troskova. Uloga linearnog programiranja u resavanju ovog problema je dvojaka jer ne samo da doprinosi ostvarenju osnovnog cilja preduzeca vec putem smanjenja troskova transporta indirektno utice i na smanjenje cijene proizvoda pa na taj nacin zadovoljava i potrebe potrosaca.

d) Optimalno rasporedjivanje kadrova – Optimalno rasporejivanje kadrova odnosi se na odredjivanje optimalnog rasporeda izvrsilaca za obavljanje razlicitih poslova. Optimalan raspored podrazumijeva takav raspored koji ce omoguciti maksimalnu efikasnost u radu. Pri tome efikasnost moze biti usmjerena na minimizaciju troskova, minimizaciju radnog vremena ili maksimizaciju profita. Optimalan raspored omogucava se posebnim vidom linearnog programiranja – modelom asignacije, odnosno rasporedjivanja.

2. Postupak koriscenja modela operacionih istrazivanja u procesu poslovnog odlucivanja?

Svakog dana ljudi donose veliki broj odluka. Prilikom donosenja odluka oni na raspolaganju imaju veliki broj alternativa a Sustina procesa odlucivanja jeste opredijeliti se za najbolju vodeci pritom racuna o ogranicenjima koja limitiraju slobodu izbora. Pored odluka koje donosimo svakodnevno postoji i posebna kategorija odlucivanja poznata kao poslovno odlucivanje.

Poslovno odlucivanje predstavlja proces selekcije koji obuhvata izvestan broj uzastopnih, medjusobno zavisnih koraka, koji nam pomazu da do resenja problema dodjemo na dosledan, racionalan nacin.

U okviru poslovnog odlucivanja primjenjuju se metode operacionih istrazivanja koje kvantitativnim putem nastoje odrediti najbolju mogucu alternativu, odnosno optimalno resenje. Operaciona istrazivanja predstavljanju skup metoda i tehnika koje se koriste za iznalazenje uslovnog ekstremuma funkcije sa vise promenljivih. Ona se prije svega bave problemima koji su vezani za upravljanje organizacionim , poslovnim, tehnicikim i drugim sistemima a sve u cilju pronalazenja optimalnih resenja koja su neophodna menadzerima za donosenje odluka. Operaciona istrazivanja primjenjuju se u uslovima izvjesnosti tj. u situacijama u kojim je sve unaprijed poznato. Njih karakterisu precizno odredjene alternative kao i jasno definisan cilj koji putem njih treba da se ostvari. Dakle, u procesu poslovnog odlucivanja koristi se kvantitativna analiza. Da bi analiza mogla da se koristi neophodno je da je postavljeni problem kompleksan kompleksan i da postoji veliki broj faktora koji utice na rezultat realizacije donesene odluke. . Zatim, neophodno je da postoji mogucnost obezbjedjenja neophodnih podataka za matematicko i statisticko predstavljanje poslovnog problema. Ukoliko nemamo podatke ne mozemo matematicki modelirati taj

problem pa ne mozemo koristiti kvantitativnu analizu vec se dati problem resava metodama kvalitativne analize.

Takodje vazno je i da se cilj realizacije donesene odluke moze kvantitativno izraziti. I na kraju kraju da bi se primjenjivala kvantitativna analiza neophodno je da postoji mogucnost definisanja odgovarajuceg matematickog modela koji predstavlja dobru aproksimaciju postavljenog problema. Naime, nije dovoljno da mi matematicki postavimo samo funkciju tj.cilj vec je potrebno da predstavimo i alternative i sve to zajedno predstavlja model neke ekonomske situacije koju zelimo da rijesimo. U tom smislu svako poslovno odlucivanje prolazi kroz nekoliko faza kvantitativne analize:

Prva faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje problema. U okviru ove faze neophodno je postaviti problem koji zahtijeva resenje. Recimo, ukoliko je cilj odrediti kolicinu proizvoda koju neko preduzece treba da proizvodi onda je neophodno odrediti strukturu programa proizvodnje, profit koji se zeli ostvariti kao i nivo troskova karakteristican za ovu proizvodnju. Shodno tome, druga faza u kvantitativnoj analizi jeste definisanje modela. U ovoj fazi glavnu ulogu imaju strucnjaci za matematicko i statisticko strukturiranje modela. U njoj se definise cilj i to u vidu neke funkcije (npr. maksimiziranje profita) a matematicki se moraju izraziti i sva ogranjicenja koja postoje u preduzecu. Treca faza predstavlja veoma kompleksan i znacajan posao pripreme podataka, u okviru koga se moraju obezbijediti svi podaci neophodni za resavanje definisanog modela. Dakle, neophodno je kreirati informacionu osnovu. Medjutim, stalne promjene u poslovanju zahtjevaju da prikupljanje podataka bude permanentan proces koji ce omoguciti vremenski uspjesno koriscenje dfinisanog modela. Nakon prikupljanja neophodnih podataka prelazi se u fazu resavanja modela . U ovoj fazi vrsi se verifikacija rethodnih faza kvantitativne analize pri cemu se prevashodno ocjenjuje validnost modela i njegova upotrebljivost za konkretne potrebe. Ukoiko resavanjem konkretnog modela dobijemo moguca resenja koja zadovoljavaju ograničavajuće uslove i matematički izražen cilj realizacije konkretne odluke, onda takva rešenja možemo smatrati optimalnim i koristiti ih kao povoljnu alternativu poslovne odluke. U suprotnom, moramo se vratiti na prethodne faze i izvrsiti prilagodjavanje modela. U poslednjoj fazi dobijena resenja koriste se za donosenje optimalnih poslovnih odluka, u procesu poslovnog odlucivanja.

3. Objasniti opsti model matematickog programiranja.

Matematicko programiranje je oblast matematike ciji je predmet razmatranja teorijski i numerick postupak odredjivanja ekstremne vrijednosti funkcija vise promenljivih, u kojima postoje ogranicenja mogucih vrijednosti promjenljivih.

Matematicko programiranje moze biti:

a) Linearnob) Nelinearno

Opšti oblik modela matematičkog programiranja možemo predstaviti u obliku zahteva za određivanjem vrednosti promenljivih X1 , X2,.....Xn ,koje zadovoljavaju m nejednačina i jednačina oblika:

gi(X1 , X2,.....Xn) {≤, =, ≥} bi i= 1,....,m

I za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije:

Z = f (X1 , X2,.....Xn)

Uslove nazivamo sistemom ograničenja, dok funkcija predstavlja funkciju cilja modela matematičkog programiranja. U ovako predstavljenom modelu pretpostavljamo da su funkcije gi i f poznate, dok vrednosti bi predstavljaju unapred zadata ograničenja. U svakom od ograničenja pojavljuje se ili jednačina ili jedan od dva oblika nejednačina. Ukoliko su u sistemu ograničenja svi uslovi predstavljeni u vidu jednačina, takav oblik problema predstavlja klasičan problem optimizacije i ne predstavlja posebno interesantan slučaj sa aspektra rešavanja zadataka matematičkog programiranja.

Ukoliko sistem ograničenja i odgovarajuću funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku, model matematickog programiranja je:

(max)Z= f( x1,x2,...,xn)

g1(x)=g1(x1,x2,...,xn)≤b1

g2(x)=g2(x1,x2,...,xn)≤b2

.........

gm(x)=gm(x1,x2,...,xn)≤bm

Sve vrijednosti promjenjivih x=(x1,x2,...,xn) za koje su zadovoljene sve nejednacine sistema ogranicenja obrazuju tzv. Skup dopustivih ili mogucih rjesenja modela.

Cilj rjesavanja zadatka matematickog programiranja jeste određivanje one kombinacije vrijednosti promjenjivih iz skupa mogucih rjesenja za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrijednost. Takvo rjesenje koje obiljezavamo sa x*=(x1,x2,...,xn) predstavlja optimalno rjesenje zadatka matematickog programiranja.

Ukoliko je u modelu matematickog programiranja makar jedna funkcija gi ili f nelinearna, takav oblik modela linearnog programiranja predstavlja nelinearno programiranje. Suprotno ukoliko su sve funkcije sistema ogranicenja i funkcija cilja modela linearne (i ukoliko predpostavimo da su promjenjive nenegativne velicine), takav oblik modela predstavlja model linearnog programiranja.

4. Objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja.

Svaki model linearnog programiranja karakterisu odredjene pretpostavke koje se odnose Xna svaki od njih i to:

a) Linearnostb) Izvjesnostc) Djeljivostd) Nenegativnost

Linearnost

Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih zavisnosti između promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su takođe dve osnovne pretpostavke i to: proporcionalnost i aditivnost.

Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu linearnog programiranja između inputa i outputa. Sa druge strane osobina aditivnosti podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ograničenja može dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne elemente modela linearnog programiranja.

Proporcionalnost podrazumijeva da ukoliko je za jednu jedinicu nekog roizvoda potrebno utrositi 5 jedinica odredjenog resursa, za 10 jedinica proizvoda bice potrebno 50 jedinica resursa dok aditivnost podrazumijeva da ukoliko funkcija cilja pokazuje ukupan profit određenog preduzeća koji se

ostvaruje od proizvodnje određenih proizvoda, onda se ukupan profit određuje kao suma profita ostvarenih od pojedinih proizvoda.

Izvjesnost

Svako odlluka moze se donijeti u uslovima izvjesnosti, neizvjesnosti ili rizika. Izvjesnost podrazumijeva da se odluka donosi u poznatim okolnostima dok je u slucaju neizvjesnosti sve nepoznato pa su ove situacije najteze za donosenje odluke. Situacija rizika podrazumijeva odredjenu vjerovatnocu optimalnog resenja i nalazi se izmedju ova dva ekstrema. U slucaju linearnog programiranja svi parametri su unaprijed jednoznacno odredjeni pa se s toga model linearnog programiranja smatra deterministickim modelom.

Djeljivost

Ova pretpostavka podrazumeva da promenljive u modelu linearnog programiranja ne moraju biti celi brojevi. Prema tome, u opštem obliku modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov celobrojnosti resenja. Ukoliko je to, pak, slucaj onda se radi o specijalnom obliku zadatka – modelu cjelobrojnog linearnog programiranja.

Nenegativnost

Uslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Kako promenljive u modelu linearnog programiranja koji se koristi za određene ekonomske analize predstavljaju određene ekonomske veličine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Recimo ukoliko modelom linearnog programiranja zelimo odrediti optimalan obim proizvodnje promenljive modela pokazuju vrednost (količinu) proizvodnje određenih proizvoda, koja ne može biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema ograničenja (predstavljenih u vidu nejednačina i jednačina), predstavlja jedan od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.

5. Koje su karakteristike standardnog problema maximuma?

Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnog programiranja u kome se postavlja zahtjev za određivanjem maksimalne vrijednosti unaprijed poznate linearne funkcije (funkcije cilja), pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejednačina sa znakom ≤.

Ovakav oblik modela linearnog programiranja definiše se u uslovima postojanja ograničenih resursa koje treba na najracionalniji način utrošiti radi ostvarivanja maksimalnih ekonomskih efekata.

Zadatak standardnog problema maximuma predstavlja se na sljedeći način:

(max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXp

a11X1+ a12x2 +... + a1pxp ≤ b1

a21x1+a22x2+...+a2pxp ≤ b2

..............................................

am1x1+am2x2+...+ampxp ≤ bm

x1,x2,....,xp ≥ 0

Svaki problem LP mora da sadrži:

1.funkciju cilja

2.sistem ograničenja

3.uslov nenegativnosti

Funkcija cilja izražava osnovni cilj koji se unaprijed definiše i radi koga se formuliše i rešava odgovarajući model linearnog programiranja(maksimizacija ukupnog profita,maksimizacija deviznih efekata,maksimalni stepen zaposlenosti i sl.). Pri tome radi ostvarivanja cilja predstavljenog funkcijom z u problemu postoji p djelatnosti(u najširem smislu) koje su predstavljene promjenjivima x1,x2,...,xp čiji su pojedinačni efekti izraženi parametrima c1,c2,...,cp

(max)Z= C1X1+ C2X2+...+ CpXp

Sistem ograničenja izražava iznos i način korišćenja ograničenih resursa.

Iznos resursa je izražen slobodnim članovima sistema ograničenja:

b1,b2...,bm.

Način korišćenja resursa izražen je koeficijentima aij (i=1,...,m; j=1,...,p)

Uslov nenegativnosti predstavlja obavezan elemenat modela. On osim metodoloških razloga on mora biti zadovoljen jer nijedna djelatnost ne može biti negativna.

x1,x2,....,xp≥0

Svi elementi modela izuzev promjenjivih x1,x2,....,xp unaprijed su poznati što znači da su koeficijenti u funkciji cilja (cj), koeficijenti u sistemu ograničenja (aij) i slobodni članovi sistema ograničenja(bi) parametri modela.

6. Zašto se u model LP uvode dodatne promenljive i koje je njihovo ekonomsko značenje?

U cilju rješenja problema linearnog programiranja, sistem nejednačina koji sačinjava sistem ograničenja transformišemo u sistem jednačina. Dodatne promjenjive uvodimo u svaku nejednačinu da bismo izjednačili lijevu i desnu stranu, pa je s toga njihova vrijednost jednaka razlici između lijeve i desne strane. Dodatne promjenjive imaju svoje metodološko i ekonomsko značenje. Ekonomsko značenje odnosi se na to da pozitivne vrijednosti dodatnih promjenjivih pokazuju iznos neiskorišćenih resursa u nekom od rješenja. Tako, vrijednosti dodatnih promjenjivih iz optimalnog rješenja pokazuju koliko resursa ostaje neiskorišćeno u situaciji kada su vrijednosti realnih promjenjivih optimalne, tj. kada funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost. Dodatne promjenjive uvode se i u funkciju cilja sa nultim vrijednostima koeficijenata.

7. Koje su osnovne karakteristike skupa mogućih rješenja?

Sve vrijednosti promjenjivih za koje su zadovoljene nejednačine, (jednačine) sistema ograničenja predstavljaju moguća rješenja odnosno obrazuju skup mogućih rješenja.

Skup m.r obrazovan je od tačaka koje zadovoljavaju sve nejednačine(jednačine) sistema ograničenja, odnosno predstavlja presjek skupova tačaka za koje su zadovoljene pojedine nejednačine. Iz linearnog karaktera ograničavajućih uslova proizilazi da tačke koje zadovoljavaju pojedine nejednačine obrazuju konveksan skup tačaka.Dakle, važna osobina skupa mogućih rješenja jeste konveksnost. On je takođe zatvoren skup, a moze biti i prazan skup u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x= (x1,x2,...,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.

8. Dokazati da je skup mogućih rješenja konveksan skup.

Da bi se dokazalo tvrđenje teoreme, potrebno je pokazati da konveksna kombinacija svaka dva moguća rješenja takođe predstavlja moguće rješenje.

Neka su tačke x'=(x1',X2',...,Xn' ) i x"=(X1 ",X2 ",...,Xn") moguća rješenja problema, na osnovu čega je

Ax'= b i Ax"=b

Posmatrajmo sada tačku x koja predstavlja konveksnu kombinaciju tačaka x' i x", odnosno:

x=λx'+ (1-λ)x", 0 ≤ λ ≤1.

Ukoliko sada tačku x uvrstimo u sitem jednačina problema imamo:

Ax= A[λx'+ (1-λ)x"]=λAx'+(1-λ)Ax"

=λAx'+Ax"-λAx"=λb+b-λb=b

Na osnovu ovoga vidimo da tačka x predstavlja moguće rješenje zadatka linearnog programiranja, tj. da sve konveksne kombinacije mogućih rješenja takođe predstavljaju moguća rješenja. Prema tome skup mogućih rješenja je konveksan skup što je trebalo i dokazati.

9. Koje rešenje modela LP predstavlja bazicni a koje optimalno resenje?

Rešenje modela LP moze biti : moguce resenje i optimalno resenje. Sve vrijednosti promjenljivih za koji su zadovoljene nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja predstavljaju tzv. moguca resenja, odnosno obrazuju skup mogucih resenja (moguci skup). Sto se tice standardnog problema maximum u okviru kojeg je sistem ogranicenja dat nejednacinama sa znakom ≤, skup mogucih resenja je ogranicen i zatvoren. Skup mogucih resenja moze biti i prazan skup, u slucaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna tacka x=(x1,x2,….,xn) za koju su zadovoljeni svi uslovi (ogranicenja) zadatka. Skup mogucih rešenja obrazovan je, prema tome, od tacaka koje zadovoljavaju sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja, odnosno predstavlja presek skupova tacaka za koje su zadovoljene pojedine nejednacine (jednacine). Iz linearnog karaktera ogranicavajucih uslova proizilazi da tacke koje zadovoljavaju pojedine nejednacine (jednacine) obrazuju konveksan skup tacaka. Na osnovu toga se izvodi veoma važna osobina skupa mogucih rešenja zadatka linearnog programiranja – konveksnost skupa mogucih rešenja – koja predstavlja osnovu postupka odredivanja optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja. Dakle , skup mogucih resenja je konveksan i ogranicen tj postoji konacan broj ekstremnih tacaka. Osobina konveksnosti skupa mogucih resenja vazi za sve oblike zadatka linearnog programiranja – standardni problem maximuma, mjesoviti problem maksimuma i problem minumuma. Na osnovu osobine konveksnosti skupa mogucih resenja odredjujemo bazicno resenje. Ukoliko takvo resenje zadovoljava i uslov nenegativnosti ono predstavlja bazicno moguce resenje. Osnovni cilj rešavanja zadatka LP predstavlja zahtev za odredivanjem optimalnog

rešenja. Optimalno resenje je resenje koje pored toga sto zadovoljava sistem ogranicenja i uslov nenegativnosti, maximizira (minimizira) i funkciju cilja. Bazicno moguce rešenje, x*= (x1

*,x2*,….,xn

*) na primjeru standardnog problema maximuma, predstavlja optimalno rešenje zadatka ukoliko imamo da je z (x*) ≥ z (x), za bilo koje moguce rešenje 'x . Drugim rijecima, rešenje zadatka standardnog problema maksimuma je optimalno ukoliko je moguce i ukoliko daje maksimalnu vrednost funkcije cilja z .Optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u ekstremnoj tacki konveksnog skupa mogucih rešenja, sto se moze i algebarski dokazati. Optimalno resenje moze biti : jedinstveno i visestruko. Optimalno rešenje problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj tacki (najudaljenijoj od koordinatnog pocetka) konveksnog, ogranicenog i zatvorenog skupa mogucih rešenja. Slicno, samo uz inverzan kriterijum, predstavljali smo uslov za optimalnost rešenja problema minimuma. To je jedinstveno optimalno resenje, gdje postoji samo jedna tacka u SMR koja zadovoljava sve uslove i u kojoj je vrijednost I SK za nebazicne promjenljive <0, u slucaju problema maximuma. Medutim, u nekim slucajevima može se dogoditi da izracunato optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja nije jedinstveno, odnosno da postoji višestruko optimalno rešenje. Ukoliko u okviru nekog moguceg bazicnog resenja postoji makar jedna razlika prvog simpleks kriterijuma (C j-Zj) = 0 za prethodnu nebazicnu promenjivu, dok su vrednosti ovih razlika za ostale nebazicne promenljive negativne, izracunato optimalno rešenje nije jedinstveno. Uvodenjem u bazu promenljive xj u cilju odredivanja novog rešenja, i iskljucivanjem neke od prethodno bazicnih promenljivih na osnovu drugog simpleks kriterijuma, dobili bi takode optimalno rešenje za koje funkcija cilja ima istu vrijednost kao i u slucaju prethodnog rešenja. Usled osobina skupa mogucih rešenja, postojanje dva optimalna rešenja ima za posledicu da sve konveksne kombinacije ova dva rešenja takode predstavljaju optimalna rešenja, zbog cega kažemo da takav zadatak ima višestruko (beskonacno mnogo) optimalno rešenje. Geometrijski, slucaj postojanja višestrukog optimalnog rešenja se javlja kada su koeficijenti pravca prave koja reprezentuje neko od ogranicenja i koeficijent pravca prave funkcije cilja jednaki.

10. Dokazati da se optimalno resenje zadataka standardnog problema maximum nalazi u jednoj od extremnih tacaka skupa mogucih resenja.

Optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u ekstremnoj tacki konveksnog skupa mogucih rešenja.

DokazKako je skup mogucih rešenja konveksan, ogranicen skup postoji konacan broj (pretpostavimo k ) ekstremnih tacaka koje cemo oznaciti sa x1,x2,….,xk.

Neka je x* tacka za koju funkcija cilja ostvaruje maksimum, odnosno za koju

imamo da je z (x*) ≥ z (x), za svako moguce rešenje x . Ako je x* ekstremna tacka konveksnog skupa mogucih rešenja, teorema je dokazana.

Pretpostavimo sada suprotno, tj. da x* nije ekstremna tacka skupa mogucih rešenja. Tada tacku x* možemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa ekstremnih tacaka , tj.

x* = λ1x1 + λ2x2 + … + λkxk

gdje je λi≥0 (i = 1,…,k) i =1.

Kako je funkcija Z linearna, mozemo pisati :

z (x*) = z (λ1x1 + λ2x2 + … + λkxk) = λ1 z(x1) + λ2 z(x2) .

Ukoliko sada u poslednjoj jednacini, od k mogucih rešenja predstavljenih ekstremnim tackama moguceg skupa izaberemo tacku za koju funkcija z ostvaruje maksimalnu vrijednost, na primer xk tada mozemo pisati :

λ1 z(xk) + λ2 z(xk) +… + λk z(xk) ≥ λ1 z(x1) + λ2 z(x2) + … + + λk z(xk) = z (x*).

Obzirom da su koeficijenti λi≥0 i =1 dobijamo

λ1z (xk) + λ2 z(xk) +… + λk z(xk) = (λ1 + λ2 +…+ λk) z (xk) = z (xk) odnosno z (xk) ≥ z (x*), sto je i trebalo dokazati. Na taj nacin pokazano je da tacka x predstavlja optimalno resenje zadatka standardnog problema maximum jedino ukoliko je x* = xk odnosno da se maximalna vrijednost funkcije Z ostvaruje u extremnoj tacki skupa mogucih resenja.

11. Kada se primjenjuje graficki metod odredjivanja resenja u modelu LP i koji je postupak njegove primjene?

Najjednostavniji nacin odredivanja rešenja u zadatku linearnog programiranja predstavlja graficki metod. Medutim, i pored izrazite jednostavnosti i preglednosti, mogucnosti korišcenja ovog metoda u rešavanju prakticnih problema linearnog programiranja su veoma ogranicene. Naime, graficki metod resavanja zadatka linearnog programiranja moze se primjeniti samo u slucaju kada u zadatku postoje dvije realne promjenljive. Zbog toga, razmatranje grafickog metoda ima prevashodno karakter predstavljanja skupa mogucih resenja i postupaka trazenja optimalnog resenja, kao i ukazivanja na osnovni karakter postupka odredjivanja resenja koriscenjem simplex metoda.

Postupak njegove primjene je sledeci :

1. Formulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja;2. Graficko predstavljanje pravih koje reprezentuju nejednacine sistema ogranicenja;3. Identifikacija skupa mogucih rešenja za koja su zadovoljene sve nejednacine sistema ogranicenja i uslov nenegativnosti;4. Nanošenje prave koja reprezentuje funkciju cilja za nulte vrednosti promenljivih (prava funkcije cilja koja prolazi kroz koordinatni pocetak);5. Translacija prave funkcije cilja sleva udesno, (nanošenje paralelnih pravih) sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogucih rešenja ima samo jednu zajednicku tacku;6. Utvrdivanje optimalnih vrednosti promenljivih x1 i x2 u vidu koordinata ekstremne tacke skupa mogucih rešenja najudaljenije od koordinatnog pocetka (identifikacijom sa grafika ili rešavanjem sistema jednacina pravih na cijem preseku se tacka nalazi), i7. Odredivanje vrednosti funkcije cilja za optimalne vrednosti promenljivih.

Na kraju, važno je napomenuti da je postupak primene grafickog metoda odredivanja optimalnog rešenja istovetan sa razmatranim i u slucaju rešavanja problema minimuma, kao i mešovitog problema maksimuma. U slucaju rešavanja problema minimuma, inverzan zahtev definisan odgovarajucom funkcijom cilja, determiniše egzistenciju optimalnog rešenja u tacki skupa mogucih rešenja koja je najbliža koordinatnom pocetku. Kod mešovitog problema maksimuma razlika prilikom utvrdivanja skupa mogucih rešenja u odnosu na razmatrani postupak posledica je modifikacije sistema ogranicavajucih uslova. Medutim, opšti karakter i nacin korišcenja grafickog metoda istovetan je kod rešavanja svih zadataka linearnog programiranja.

12. Simplex metod – objasniti osnovne karakteristike metoda, uporediti ga sa grafickim metodom i objasniti simplex kriterijume za promjenu vektorske baze.

Za razliku od grafickog metoda, koji se može koristiti samo za rešavanje problema u kojima postoje dvije realne promenljive, simpleks metod predstavlja opšti algoritam koji se koristi za rešavanje svih oblika zadatka linearnog programiranja. Simpleks metod predstavlja algoritam u kome se u nizu iteracija (faza) dolazi do optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja. Pri tome, u svakoj od iteracija utvrdjuju se vrijednosti promjenljivih koje odgovaraju ekstremnim tackama skupa mogucih rešenja i ispituje njihova optimalnost. Simpleks metod objezbeduje najkraci put do optimalnog rešenja, što znaci da se u postupku rešavanja zadatka linearnog programiranja ne utvrduju rešenja koja odgovaraju svim ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih rešenja.Model LP se izražava u matričnom obliku na sledeći način:

gdje pojedine kolone matrice koeficijenata sistema ograničenja predstavljaju

Kanonični oblik modela LP, kada koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektora c= (c1,c2,…,cp+m), glasi :

Postupak određivanja optimalnog rešenja primjenom simplex metoda, započinje sa određivanjem početnog bazičnog rešenja. Pocetno bazicno rešenje standardnog problema maksimuma određuje se tako što se pretpostavlja da su realne promjenljive jednake 0, a dodatne promjenljive jednake slobodnim članovima sistema ograničenja, tj.

xj = 0 za j = 1,...,pxp+i = bi za i = 1,…,m .

Funkcija cilja za svako pocetno bazično rešenje jednaka je nuli, Z = 0. Prema tome, slicno kao kod grafickog metoda, rešavanje zadatka standardnog problema maksimuma zapocinjemo iz pocetka m –dimenzionalnog vektorskog prostora. Navedena pretpostavka, prema tome, ima za posledicu da vektorsku bazu na osnovu koje se utvrduje pocetno bazicno rešenje obrazuju

vektori koeficijenata uz dodatne promenljive, dok su vektori koeficijenata uz realne promenljive nebazicni. Vektori koeficijenata uz dodatne promenljive (kojih u našem problemu ima m) obrazuju jedinicnu matricu - cija inverzna matrica je takode jedinicna. Postavlja se pitanje, na koji način se može odrediti rešenje za koje funkcija cilja ima veću vrijednost od 0? Odgovor na to pitanje jeste : izmjenom elemenata (vektora) vektorske baze. Na ovo pitanje nam odgovaraju I i II Dantzingov simpleks kriterijumi, I koji odgovara na pitanje koji vector ulazi u bazu, a II koji vekor napušta bazu. I SK – Kriterijum za uključivanje jednog od prethodno nebazičnih vektora u bazu sastoji se u tome da treba odabrati onaj vector (l-ti) kod koga je zadovoljen uslov Cj-Zj = max ( Cj-Zj )>0. Ovaj uslov predstavlja kriterijum oprimalnosti, odnosno I simplex kriterijum za izmjenu vektorske baze. Ukoliko su za neko od rešenja ove razlike za sve nebazične vektore negativne, tj ( Cj-Zj ) <0, takvo rešenje je optimalno rešenja ukoliko se radi o standardnom problemu maximuma. (obrnuto je za minimum >0).II SK – Kriterijum za izlazak vektora iz baze, odnosno II Dantzingov simplex kriterijum, na osnovu kojeg možemo konstatovati da iz baze treba iskjučiti onaj vektor Ak za koga bude zadovoljen uslov :

Iz baze, prema tome, izlazi onaj vektor Ak za koji ovako određen količnik bude minimalan pozitivan broj (manji od ostalih vrijednosti) u slučaju problema minimuma i maximuma. Nakon smjene vektora u bazi, na osnovu primene navedenih simpleks kriterijuma, izracunava se novo poboljšano rešenje i ispituje da li ono daje optimalnu tj maximalnu/minimalnu vrijednost funkcije cilja.

13. x14. x15. x16. x17. x18. x19. x20. x

21. Kakav je odnos između vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema za njihova optimalna rešenja. Dokazati

Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem,koji takode predstavlja problem linearnog programiranja. Izmedu osnovnog(primarnog) i izvesnog (dualnog) problema linearnog programiranja postoji inverzan odnos u pogledu zahtjeva za odredivanjem ekstremne vrijednosti funkcije cilja. Ukoliko se u pocetnom problemu, koji se naziva primarni problem, postavlja zahtev za maksimizacijom funkcije cilja, u dualnom problemu ce funkcija cilja biti funkcija minimuma, i obrnuto. Osim toga, nejednacine ogranicenja dualnog problema izvode se na osnovu nejednacina ogranicenja primarnog problema. Primarne i dualne promjenljive omogucavaju dobijanje znacajnih informacija o karakteru optimalnog rešenja. Izmedu primarnog i dualnog problema, postoji takav odnos da u dualnom problemu ima tacno onoliko promenljivih koliko u primarnom problemu ima strukturnih ogranicenja, odnosno dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva dualnog problema. Isto tako, u dualnom problem postoji po jedna nejednacina ogranicenja za svaku realnu (glavnu) promenljivu primarnog problema. Ovakva veza, koja postoji izmedu dodatnih promenljivih odredenog problema linearnog programiranja i realnih promenljivih njemu odgovarajuceg dualnog problema, I obrnuto, omogucava dobijanje veoma znacajnih informacija koje se mogu koristiti u postupku donošenja odluka o nacinu optimizacije ekonomskih aktivnosti. S obzirom da odredivanje optimalnog rešenja bilo kog zadatka linearnog programiranja istovremeno znaci odredivanje optimalnog rešenja i njemu odgovarajuceg dualnog problema, moguce je njihovo alterantivno korišcenje za postupak rešavanja zadatka. Ovakva mogucnost dolazi do izražaja u situaciji kada je neki problem linearnog programiranja jednostavnije rešavati korišcenjem njemu odgovarajuceg dualnog problema, što u praksi nije redak slucaj.

Dualni problem odredenog zadatka linearnog programiranja (primarnog problema) formira se na sledeci nacin:

1. Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja dualnog problema ce biti funkcija minimuma, i obrnuto;

2. Menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednacina, i to tako da ukoliko su nejednacine primarnog problema sa znakom ≤, nejednacinedualnog problema postaju nejednacine sa znakom ≥, i obrnuto;

3. Vrši se transponovanje matrice koeficijenata sistema ogranicenja primarnogproblema, na osnovu cega ukoliko u primarnom problemu imamo m nejednacina sa p promenljivih, u dualnom problemu ce biti p nejednacina sa m promenljivih;

4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja dualnog problema jednaki su slobodnim clanovima sistema ogranicenja primarnog problema;

5. Slobodni clanovi sistema nejednacina dualnog problema jednaki su koeficijentima koji se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primarnog problema;

6. Sve promenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog cega je ovaj uslov obavezno prisutan i u dualnom problemu.

Osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

Dualni problem koji odgovara prethodnom problemu , možemo predstaviti u obliku:

Ukoliko problem maksimuma predstavimo u obliku

tada, njemu odgovarajuci dualni problem možemo predstaviti u obliku:

Ocigledno je da izmedu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i medusobna uslovljenost rešenja. Da bi to pokazali, uvedimo u primarni problem dodatne promenljive xp

+1,…xp+m u njemu odgovarajuci dualni problem ym+1,…ym+p , i izrazimo ih u sledecem kanonickom obliku:

Primarni problem - problem maksimuma

Dualni problem - problem minimum

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi p + m . Ova veza, može se izraziti na sledeci nacin: svakoj dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna realna promenljiva

dualnog problema.A svakoj realnoj promjenljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna promjenljiva dualnog problema.

22. Kakav je odnos izmedju optimalnih vrijednosti dodatnih promjenljivih primarnog i realnih promjenljivih dualnog problema i obrnuto. Dokazati i objasniti

Optimalne vrijednosti primarnog problema odredjuje se kao negativna vrijednost razlike prvog simpleks kriterijuma,za dodatne promjenljive iy poslednjeg optimalnog rjesenja dualnog prblema tj.

Gdje m predstavlja br realnih promjenljivih u DP a j index promjenljive cija se vrijednost trazi.

Optimalne vrijednosti realnih promjenljivih dualnog problema odredjuje se kao negativna vrijednost raylike prvog simplex kriterijuma,za dodatne promjenljive,iz poslednjeg optimalnog rjesenja primarnog problema,tj.

Gdje je p br realnih promjenljivih u PP a I index promjenljive cija se vrijednost trazi.

Teorema Za bilo koje moguce rešenje primarnog problema i

bilo koje moguce rešenje dualnog problema vrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti funkcije cilja dualnog problema, tj.

Dokaz Pomnožimo desnu i levu stranu i-te nejednacine sistema ogranicenja primarnog problema sa I y i sumirajmo po indeksu i=1,…, m, na osnovu cega dobijamo

Ukoliko j-tu nejednacinu sistema ogranicenja dualnog problema pomnožimo sa j

x , zatim sumiramo po j=1,…, p, dobijamo

Kako su leve strane nejednacina jednake, konstatujemo da je

sto je trebalo I dokazati.

Teorema Ukoliko su moguca rešenja primarnog i dualnog problema za koje su vrednosti funkcija cilja primarnog i dualnog problema jednake, tj.

Tada predstavljaju optimalna rešenja primarnog i dualnog problema, respektivno.

Dokaz Neka je neko moguce rešenje primarnog problema, na osnovu prethodne teoreme znamo da je

Na osnovu uslova teoreme 1.4 slijedi odnosno

Zakljucak ove teoreme je da je optimalno rjesenje primarnog problema a y* optimalno rjesenje dualnog problema.

Teorema Ukoliko su moguca rešenja primarnog idualnog problema, tada su to i optimalna rešenja ako i samo ako imamo zadovoljene uslove

Zakljucak ove teoreme je da je dualna promenljiva je jednaka nuli kada je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom rešenju primarnog problema, kao i ukoliko je neka realna promenljiva u optimalnom rešenju primarnog problema jednaka nuli onda je njoj odgovarajuca dodatna promenljiva u optimalnom rešenju dualnog problema pozitivna.

23. Ekonomsko tumacenje dualnih promjenljivih. Dokazati i objasniti.

Dualne promenljive, osim znacajnih metodoloških osobina, pružaju mogucnost za dobijanje veoma znacajnih informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao I ispitivanje uticaja promene nivoa korišcenja raspoloživih resursa na vrednost funkcije cilja. Ako imamo problem standardnog maksimuma

(max)z=cx

Ax≤b

x≥0

ciji je odgovarajuci dualni problem

(min)v=b'y

A'y≥c'

y≥0

Ako je optimalno rjesenje PP a optimalno rjesenje DP, Pretpostavimo, sada, da se elementi vektora b (resursi) primarnog problema povecavaju za iznos Δb , koji ne izaziva promenu strukture optimalne baze. povecanje iznosa i-tog resursa za Db uticace na promenu vrednosti

funkcije cilja primarnog problema za iznos od Δz(y*)=y*iΔbi

Dokaz prethodnog, veoma znacajnog tvrdenja proizilazi iz karaktera

bazicnih rešenja i teorema dualnosti I na osnovu teoreme dualnosti možemo pisati:

cx**=y*(b+Δb)

cx*=y*b

Nakon oduzimanja druge jednacine od prve, dobijamo Δz(y*)= y*Δb. Na osnovu ovakvog rezultata, odnosno relacije možemo konstatovati da je:

na osnovu cega možemo konstatovati da vrijednost dualne

promjenljive pokazuje za koliko jedinica ce se povecati(smanjiti)vrijednost funkcije cilja primarnog problema,ukoliko se koriscenje resursa

poveca (smanji) za jednu jedinicu.Dualne promjenljive predstavljaju tzv.obracunske cijene koriscenih resursa,odnosno tzv.cijene u sijenci.

24. Objasniti osnovne karakteristike i znacaj primjene simplex tabele

Dok se graficki metod rešavanja linearnog programiranja moze koristiti samo kod zadataka kod kojih postoje dve glavne promenljive, simpleks metod predstavlja opšti algoritam koji se koristi za rešavanje svih vrsta zadataka linearnog programiranja, bez obzira na broj promenljivih. Osim matricnog nacina, simpleks metod za rešavanje zadataka linearnog programiranja se može veoma efikasno koristiti primenom tzv. simpleks tabele. Simpleks tabela predstavlja tabelaran nacin prikazivanja problema linearnog programiranja, koji je prilagoden za potrebe rešavanja ovih problema korišcenjem simpleks metoda. Slicno kao i kod matricnog nacina primene simpleks metoda, tabelarni postupak omogucava da se u nizu faza, u okviru kojih su rešenja predstavljena odgovarajucim simpleks tabelama, dode do optimalnog rešenja linearnog programiranja. Pocetno bazicno rešenje, koje kod standardnog problema maksimuma graficki odgovara pocetku prostora,

predstavlja se inicijalnom (prvom) simpleks tabelom, koja predstavlja polaznu osnovu za odredivanje optimalnog rešenja. Na osnovu prve simpleks tabele, primenom prethodno predstavljenih simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze, odredivanjem vrednosti promenljivih koje odgovaraju ekstremnim tackama konveksnog skupa mogucih rešenja, preko niza simpleks tabela dolazimo do optimalnog rešenja. U cilju ispitivanja postupka odredivanja optimalnog rešenja problema linearnog programiranja, opšti oblik simpleks tabele predstavicemo na primeru rešavanja zadatka standardnog problema maksimuma.

25. x26. x27. x28. x

29. Na osnovu čega se utvrđuje potojanje višestrukog optimalnog rešenja u zadatku LP (grafički i analitički)

Visestruko optimalno rjesenje se javlja ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji maker jedna razlika I SK (Cj-Zj)=0 za neku nebazicnu promjenljivu Xj, dok su vrijednosti ovih razlika za ostale nebazicne promjenljive negativne, izracunato jersenje nije jedinstveno.

Uvodjenjem u bazu promjenljive Xj u cilju odredjivanja novog rjesenja, i iskljucivanjem neke od prethodno bazicnih promjenljivih na osnovu II SK, dobili bi takodje optimalno rjesenje za koje funkcija cilja ima istu vrijednost.

Usled osobina SKR, postojanje dva optimalna rjesenja ima za posljedicu da sve konveksne kombinacije dva dobijena rjesenja predstavljaju optimalna rjesenja, zbog veka kazemo da takav slucaj ima visestruko optimalno rjesenje.Geometrijski, slucaj postojanja optimalnog rjesenja se javlja kad su koeficijenti pravna prave koja reprezentuje neko od ogranicenja i koeficijenata pravca prave funkcije cilja jednaki.

30. Analitički i grafički objasniti slučaj zadatka LP u kome ne postoje moguća rešenja

Prilikom formulisanja modela LP moze se dogoditi da model bude tako postavljen da ne postoje moguce rjesenja. On se desava ukoliko ne postoje vrijednosti proomjenljivih za koje su zadovoljeni svi ogranicavajuci uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup mogucih rjesenja, odnosno ne moze se naci ni jedna tacka za koju su zadovoljene sve nejednacine (jednacine) sistema ogranicenja modela.Rjesavanjem ovakvog zadatka koriscenjem simpleks metoda nepostojanje mogucih rjesenja mozemo konstatovati u posljednoj simpleks tabeli. U njoj svi elementi vrste (Cj-Zj) pokazace postojanje optimalnog rjesenja, al ice se u optimalnom rjesenju

naci vjestacka promjenljiva, sto je glavni indicator postojanja kontradiktornih uslova u zadatku.

31. Dati analitičku i grafičku interpretaciju zadatka LP u kome ne postoje konačne vrednosti promenljivih i funkcije cilja

Neogranicena vrijednost f-je cilja i promjenljivih se javlja kada je :1) Model formulisan tako da tako da se jedna ili vise promjenljivih mogu

povecati neograniceno, a da to ne bude narusen ni jedan od ogranicenja koji su u ulozi uslova u zadatku, i

2) Funkcija cilja na skupu mogucih rjesenja nema konacnu vrijednost, tj. Skup mogucih rjesenja nije ogranicen skup.

Rjesavanje problema max koriscenjem simpleks metoda, ovaj problem možemo identifikovati prije dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks tabele. Naime, problem mogucnosti postojanja neogranicene vrednosti promenljivih i funkcije cilja konstatovacemo u nekoj iteraciji u postupku odredivanja promjenljive koja treba da izadje iz baze, odnosno prilikom odredivanja vrijednosti kolicnika r . Da bi neka promjenljiva izašla iz baze, potrebno je da u odnosu na ostale vrijednosti ima najmanji pozitivan kolicnik II SK. Medutim, ukoliko svi ovakvi kolicnici budu negativni ili nedefinisani, možemo konstatovati da problem nema konacno rešenje. Nakon dobijene tabele i nakon izracunate vrijednosti kolicnika II SK dobijamo da je beskonacnu vrijednost ili negativna vrijednost promjenljive, nemamo uslova za odredjivanje promjenljive koja treba da izadje iz baze. Ovakav slucaj upucije na cinjenicu da ovaj zadatak LP nema konacno, optimalno rjesenje.

32. Dualni simplex metod

Pronasao ga je Lemke, 1954. Godine, kada je trazio rjesenja primarnog problema, iz optimalnog dualnog problema i dosao do nove metode koju je nazvao dualni simpleks metod.Osnovna karakteristika ovog metoda je što polazi od nekog bazicnog rješenja koje nije nenegativno i uslova da je simpleks kriterijum za nebazicne vektore (Cj-Zj) ≤ 0. Koristimo je kada nam je dat problem min.

Veoma cesto, korišcenje dualnog simpleks metoda, u rešavanju problema optimizacije ima niz prednosti u odnosu na druge algoritme simpleks metoda. Takvi su prije svega problemi minimizacije, kod kojih je potrebno

uvoditi veštacke varijable, zatim problemi postoptimalne analize, celobrojnog programiranja...

Ako nam je dat problem min:(min) Z=cx ___________________ (max)Z=-cxAx>b_________________________ -Ax<-bx>0__________________________ x>oNa osnovu pravila dualnog simpleks metoda, pomnozili smo sve sa (-1) i dobili sada problem maksimizacije. Sada uvodimo dodatne promjenljive i dobijamo (max) Z= -C1x1-C2X2-...-CpXp

-a11x1-a12x2-...-a1pXp<-b1

-a21x1-a22x2-...-a2pXp<-b2

-am1x1-am2x2-...-ampXp<-bm X1;x2;....;Xp>0

Transformacija iz nedjednacine u jednacinu:

(max) Z= -C1x1-C2X2-...-CpXp+0Xp+1+...+0Xp+m -a11x1-a12x2-...-a1pXp+0Xp+1 = -b1 -a21x1-a22x2-...-a2pXp +0Xp+2 = -b2 -am1x1-am2x2-...-ampXp +0Xp+m = -bm X1;x2;....;Xp>0Pocetno bazicno rešenje problema, odreduje se tako što se pretpostavlja da su vrijednosti realnih promenljivih jednake nuli, a vrijednosti dodatnih promjenljivih slobodnim clanovima sistema ogranicenja, tj.x b (i 1,2,...,m).

Cj

A0 Xb -C1 -C2 -Cp 0 0 0

Cb X1 X2 Xp Xp+1 Xp+2 Xp+m0 Xp+1 -b1 -a11 -a12 -a1p 1 0 00 Xp+2 -b2 -a21 -a22 -a1p 0 1 00 Xp+m -bm -am1 -am2 -amp 0 0 0 Zj Zo Z1 Z2 Zp 0 0 0 Cj-Zj C1-Z1 C2-Z2 Cp-Zp 0 0 0

Kriterijumi za promjenu baze:Iz baze izlazi onaj vector Aj kome odgovara najveca, po apsolutnoj vrijednosti, negativna komponenta bazicnog rjesenaj Xo, Xr=max IxI; Xi<0Vektor koji ulazi u bazu, kod dualnog simpleks metoda odredjuje se na osnovu izraza:

Optimalno rjesenje se dobija kada je zadovoljen uslov Xb≥0.

33. Celobrojno programiranje-opšta formulacija zadatka i metodi za rešavanje

U zadacima linearnog programiranja, pored uslova nenegativnosti promenljivih, može da se postavi još i dodatni zahtjev po kome, neke ili sve promenljive moraju uzimati vrijednosti iz skupa cijelih brojeva. Tako na primjer, u problemu optimizacije proizvodnje u fabrici koja proizvodi građevinske mašine (bagere, utovarivače i sl.), pošto promenljive označavaju broj proizvedenih mašina, logično je, po prirodi samog zadataka, da njihova vrijednost mora biti cijeli broj.

Zadaci linearnog programiranja u kojima se postavlja uslov cjelobrojnosti promenljivih, svih ili samo nekih, jesu zadaci cjelobrojnog linearnog programiranja. Problem celobrojnosti promenljivih se može javiti samo u zadacima koji se rešavaju simpleks metodom. Uzrok pojave necelobrojnog rešenja nalazi se u karakterističnom elementu koji se koristi u postupku transformacije bazičnih rešenja. Naime, ako su svi koeficijenti u početnom bazičnom rešenju celi brojevi, optimalno rešenje će biti celobrojno jedino ako je karakteristični elemenat u svakoj iteraciji jednak jedinici. Kako je taj uslov retko ispunjen, često se javljaju rešenja koja nisu celobrojna. U praksi se najčešće, prilikom određivanja optimalnog rešenja zadatka celobrojnog linearnog programiranja, najpre, rešava dati problem kao problem linearnog programiranja, zanemarujući postavljeni uslov celobrojnosti. Zatim se, u dobijenom optimalnom rešenju zadatka linearnog programiranja izvrši zaokruživanje rezultata. Takav postupak može dati rešenja koji nisu daleko od optimalnih, ali zaokruženi rezultati najčešće ne zadovoljavaju jedno ili više datih ograničenja. To je uticalo na pronalaženje algoritma za rešavanje zadataka celobrojnog linearnog programiranja, pa se, od 1958. godine, radovima Gomory-ja, celobrojno linearno programiranje, razvija u posebnu oblast linearnog programiranja.

U zavisnosti od toga kako je postavljen uslov celobrojnosti, razlikuju se dva osnovna tipa celobrojnih problema:

a) Ako je n1 = n , tj. ako sve promenljive u problemu linearnog programiranja moraju biti izražene u celim brojevima, radi se o potpuno celobrojnom programiranju.

b) Ako je n1 < n , tj. ako uslov celobrojnosti važi za samo deo promenljivih, radi se o delimično celobrojnom programiranju.

*Metodi za rešavanje zadataka celobrojnog linearnog programiranja

Svi metodi koje se koriste za rešavanje zadataka celobrojnog linearnog programiranja, mogu se svrstati u tri grupe. To su

- Metodi zaokruživanja. Suština ove grupe metode jeste u zaokruživanju dobijenih rezultata. Naime, najpre se izračuna optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja, zanemarujući uslov celobrojnosti promenljivih, a zatim se izvrši zaokruživanje rezultata, na celobrojna rešenja,zbog čega ovi metodi, najčešće daju rezultate koji su daleko od optimalnih.

- Metodi enumeracije. Osnovni pristup rešavanju zadataka primenom ove grupe metoda sastoji se u tome da se prebroje (implicitno ili eksplicitno) sva moguća celobrojna rešenja. Proces pronalaženja rešenja sastoji se od etapa, tako da se u svakoj narednoj etapi usvaja bolje, od najboljeg rešenja na svim prethodnim etapama. Pošto je potrebno pretražiti veliki broj rešenja, problem je obiman i velika je mogućnost pojave greške.

- Metod odsecajućih ravni (Gomory-jev metod). Ovaj metod se naziva i “metod odsecajućih ravni”, jer je osnovna ideja algoritma u formiranju dodatnog ograničenja koje treba da “odseče” deo konveksnog skupa mogućih rešenja u kome nema celobrojnih rešenja. Ovim “odsecanjem” se ne gubi ni jedno celobrojno rešenje. Prvobitni sistem ograničenja se proširuje sa dodatnim ograničenjem, pa se u konačnom broju iteracija dolazi do optimalnog rešenja.

34. Gomorijevo ograničenje i potpuno celobrojno programiranje

Ovaj metod se naziva i “metod odsecajućih ravni”, jer je osnovna ideja algoritma u formiranju dodatnog ograničenja koje treba da “odseče” deo konveksnog skupa mogućih rešenja u kome nema celobrojnih rešenja. Ovim “odsecanjem” se ne gubi ni jedno celobrojno rešenje. Prvobitni sistem ograničenja se proširuje sa dodatnim ograničenjem, pa se u konačnom broju iteracija dolazi do optimalnog rešenja. Prema Gomory-jevom metodu, prvo se, dati problem rešava simpleks metodom, ne uzimajući u obzir uslov celobrojnosti. Ako dobijeno rešenje zadovoljava i uslov celobrojnosti, rešenje je optimalno. Međutim, ako dobijeno rešenje ne ispunjava i uslov celobrojnosti, tada se formira dodatno ograničenje. Ovo ograničenje se priključuje postojećem sistemu ograničenja, pa se zatim, primenom dualnog simpleks metoda, traži novo optimalno rešenje. Dodatno ograničenje treba da zadovolji sledeće uslove:

- svako dopustivo, celobrojno rešenje, zadatka celobrojnog linearnog programiranja, mora ostati dopustivo rešenje zadataka linearnog programiranja i posle dodavanja novog ograničenja;

- dobijeno rešenje zadatka linearnog programiranja u svim sledećim koracima mora postati nedopustivo, za isti zadatak, posle dodavanja novog ograničenja.

Ukoliko ni ovako dobijeno rešenje ne zadovoljava uslov celobrojnosti promenljivih, opet se formira novo, dodatno ograničenje. Postupak se ponavlja sve dok se, u konačnom broju iteracija, ne nađe rešenje koje zadovoljava uslov celobrojnosti.

Kako se formira dodatno ograničenje?

Dodatno ograničenja se formira na osnovu teorije o ekvivalentnim (kongruentnim) brojevima. Notirajmo sledeće:

a) neki broj a je kongruentan broju b ( a ≡ b ), onda i samo onda ako je njihova razlika ceo broj;

b) razlomljeni deo broja a , tj. f (a) , definiše se kao najmanji ceo broj kongruentan broju a ;

c) ako je a ≡ b , onda je i f (a) ≡ f (b) .

* Potpuno celobrojno programiranje

U zadacima potpunog celobrojnog programiranja, postavlja se uslov da je n1 = n , tj. da sve promenljive u problemu moraju biti izražene u celim brojevima.

Dodatno ograničenje se formira tako što se odabere bazična promenljiva iz optimalnog rešenja linearnog programiranja, koja sadrži najveći razlomljeni deo i obrazuje se jednačina u kojoj je bazična promenljiva xi zražena svojom vrednošću i linearnom funkcijom nebazičnih promenljivih xj , tj.

Moguća su tri slučaja:

odnosno

Nejednačina predstavlja dodatno ograničenje, koje se dodaje početnom sistemu ograničenja i koja obezbeđuje uslov celobrojnosti promenljivih u optimalnom rešenju zadatka celobrojnog linearnog programiranja. Posle formiranja dodatne nejednačine, za dobijanje optimalnog celobrojnog rešenja, najjednostavnije je koristiti dualni simpleks

metod. Zbog toga je potrebno nejednačinu kod koje je znak nejednakosti ≥ , transformisati u nejednačinu sa znakom ≤ , pri čemu i svi koeficijenti ovog ograničenja menjaju znak. Takođe, umesto postojećih koeficijenata aij iz optimalnog rešenja linearnog programiranja, uzimaju se njihovi razlomljeni delovi fij, odnosno fio.

Za određivanje decimalnog (razlomljenog) dela fij nekog broja aij koristi se obrazac o kongruentnim brojevima, prema kome je:

35. Grafički metod  i dokaz teoreme kod celobrojnog linearnog programiranja

Geometrijski, svakom dodatnom ograničenju u n - dimenzionalnom prostoru, odgovara jedna hiperravan, koja, od skupa mogućih rešenja, odseca jedan deo. U odsečenom delu mnogougla nalazi se optimalno, necelobrojno rešenje. Prilikom odsecanja dela mnogougla, sve tačke sa celobrojnim koordinatama, a među njima i tražena optimalna tačka, ostaju u neodsečenom delu mnogougla. Pošto se skup tačaka sa celim koordinatama neodsečenog dela mnogougla, poklapa sa skupom tačaka sa celim koordinatama početnog mnogougla, jasno je da ako optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja na neodsečenom delu zadovoljava uslov celobrojnosti, to će ono biti ujedno i optimalno celobrojno rešenje početnog zadatka.

Kroz nekoliko koraka odsecanja, tražena celobrojna tačka će biti ponovo na granici novog mnogougla i predstavljaće optimalno rešenje zadatka celobrojnog linearnog programiranja. Na primer, u dvodimenzionalnom vektorskom prostoru, ograničenja, u koordinatnom sistemu x1ox2, obrazuju mnogougao K. Funkcija cilja dostiže maksimalnu vrednost u tački x*, ali to rešenje ne zadovoljava uslov celobrojnosti promenljivih. Međutim, unutar mnogougla K , postoji konačan broj tačaka sa celobrojnim koordinatama(na slici su te tačke obeležene zvezdicom).

Na grafiku su prikazane i tri prave l1, l2 i l3 koje odgovaraju dodatnim, linearnim ograničenjima.

Svaka od njih odseca jedan deo od skupa mogućih rešenja K . Tako, posle odsecanja jednog dela skupa K , sa pravom l1 , optimalno rešenje postaje tačka x1. . Ograničenje l2 odseca još jedan deo mnogougla K , a novo rešenje je tačka x2. Na kraju, odsecajući deo mnogougla pravom l3, dobija se optimalno celobrojno rešenje. To je tacka x3.

Teorema 1.8. Nejednačina , na osnovu koje se formira dodatno ograničenje:

1) je linearna

2) odseca nađeno optimalno necelobrojno rešenje zadatka

3) ne odseca niti jedno celobrojno rešenje zadatka.

Dokaz

Neka je x*- optimalno necjelobrojno rijesenje zadatka i neka je u tom rijesenju koordinata xio necjelobrojna. Pokažimo da ovo rešenje ne zadovoljava uslov

. Naime, ukoliko je x* optimalno rešenje, tada je xj*=0, xj* S pa je:

Odnosno,

, što je u suprotnosti sa definicijom razlomljenog dela nekog broja. Prema tome x*- optimalno rijesenje zadatka ne zadovoljava uslov.

Treći uslov je već dokazan prilikom formiranja dodatnog ograničenja. No ipak, pretpostavimo da u zadatku postoji neka tacka xc*, sa cjelobrojnim

koordinatama koja ne zadovoljava uslov nego je

Kako je i za izraz vazi:

što je suprotno pretpostavci da je veličina , za sva rešenja zadatka ceo broj.

Na kraju, treba reći da neki problemi pokazuju sporu konvergenciju ka celobrojnom optimalnom rešenju, pa je potrebno učiniti veći broj iteracija dok se ne dobije optimalno celobrojno rešenje. Pošto se kod primene Gomory-jevog metoda postojeći sistem linearnih nejednačina proširuje uvođenjem dodatne nejednačine, može se desiti da je potrebno uvesti nekoliko dodatnih ograničenja, što znatno povećava model, odnosno broj promenljivih u zadatku. Takođe, posle uvođenja dodatnog ograničenja, zbog zaokruživanja rezultata na celobrojne vrednosti, gubi se značaj dualnih promenljivih.

36. Delimično celobrojno programiranje

Ukoliko se u zadatku celobrojnog linearnog programiranja postavlja zahtev po kome samo neke promenljive moraju uzimati celobrojne vrednosti, radi se o problemima delimično celobrojnog programiranja. U tom slučaju, pored uslova nenegativnosti promenljivih, postavlja se još i dodatni uslov, po kome je:

Dodatno ograničenje, koje kod delimično celobrojnog programiranja treba da obezbedi uslov celobrojnosti promenljivih, formira se na osnovu nejednačine:

pri čemu:

- ako promenljiva xs mora da bude ceo broj tada je:

- ako promenljiva xs ne mora da bude ceo broj tada je:

37. Teorema kod celobrojnog programiranja

Nejednačina fio - ∑fijxj ≤ 0 na osnovu koje se formira dodatno ograničenje je :

1. linearna 2. odsijeca nadjeno optimalno necjelobrojno rešenje3. ne odsijeca ni jedno cjelobrojno rješenje zadatka.

DOKAZ

Linearnost dodatnog ograničenja je očigledna.

Nek je x*- optimalno necjelobrojno rešenje zadatka

n

max(Z)= ∑CjXj , Xj ≥ 0 , (j=1,2,.......n)

j=1

i neka je u tom rešenju koordinata Xio necjelobrojna. Pokažimo da ovo rešenje zadovoljava uslov fio - ∑fijxj ≤ 0

jϵS

Ukoliko je x* optimalno rešenje ,tada je xj* = 0 , xj* ϵ S , pa je ∑fijxj =0 , odnosno fio ≤ 0 , što je u suprotnosti sa definicijom razlomljenog dijela nekog broja .Prema tome x* tj. Optimalno rešenje zadatka

n

(max) Z = ∑CjXj Xj ≥ 0 , (j=1,2,...n)

j=1

ne zadovoljava uslov → fio - ∑fijxj ≤ 0

jϵS

Pretpostavimo da u zadatku

n

max(Z)= ∑CjXj , Xj –cio broj , j=1,2,.......n1 (n1 ≤ n )

j=1

postoji neka tačka Xc* sa cjelobrojnim koordinatama, koje ne zadovoljava uslov

fio - ∑fijxj ≤ 0 nego je fio - ∑fijxj ≥ 0 ,

jϵS jϵS

Kako je ∑fijxj ≥ 0 , i 0 ≤ fio < 1 , to važi 0 ≤ fio - ∑fijxj < 1 što je suprotno

jϵS

pretpostavci da je veličina ( fio - ∑fijxj ) za sva rešenja zadatka

jϵS

max(Z)= ∑CjXj cio broj.

Na kraju , treba reći da neki problemi pokazuju sporu konvergenciju ka cjelobrojnom optimalnom rješenju , pa je potrebno učiniti veći broj iteracija dok se ne dobije optimalno cjelobrojno rješenje .Pošto se kod promjene Gomory-jevog metoda postojeći sistem linernih nejednačina proširuje uvodjenjem dodatne nejednačine ,može se desiti da je potrebno uvesti nekolioko dodatnih ,što znatno povećava model,odnosno br promjenjivih u zadatku.Takođe,posle uvođenja dodatnog ograničenja ,zbog zaokruživanja rezultata na celobrojne vrednosti , gubi se značaj dualnih promjenjivih.

38. Postoptimalna analiza

Ukoliko se u modelu linearnog programiranja,nakon određivanja optimalnog rešenja promjeni neki od uslova zadataka postavlja se pitanje da li nastale promjene dovode do promjene strukture vektorske baze na osnovu koje je određeno optimalno rešenje.Umjesto rešavanja kompletno novog zadatka linearnog programiranja , koje bi formulisali uvođenjem novih (promjenjenih) vrijednosti parametara modela , korišćenjem postupaka postoptimalne analize moguće je ispitati optimalnost prethodno izračunatog rešenja.

Postoptimalna analiza predstavlja postupak koji se koristi za ispitivanje da li će promjena nekog od parametara modela linearnog programiranja uticati na promjenu već izračunatog optimalnog rešenja.Na osnovu primjene metode postoptimalne analize može se doći do jednog sledeća dva zaključka :

1. nastale promjene u vrijednosti parametra modela neće dovesti do promjene vektorske baze ,odnosno rešenje zadatka linearnog programiranja ostaje optimalno i u novim uslovima jer je zadovoljen uslov (Cj – Zj) < O

2. nastale promjene u vrijednosti parametra modela dovode do promjene vektorske baze

3. tj. ,prethodno izračunato optimalno rešenje,usled nastalih promjena više nije optimalno (Cj – Zj ) ≥ O

Upotrebom metoda postoptimalne analize (u uslovima već izračunatog optimalnog rešenja rešenja) moguće je ispitati uticaj vrednosti sledećih parametara :

1. promjena vrijednosti koeficijenta funkcije cilja vektor c2. promjenom slobodnih članova sistema ograničenja vektor b3. promjena koeficijenata aij koji se u sistemu ograničenja nalaze uz

promjenjive matrica A.

Npr. kod optimizacije proizvodnje u nekom preduzeću , nakon određivanja optimalnog programa proizvodnje može se postaviti pitanje :

kako će promjena vrijednosti ostvarenog profita od nekog preduzeća (po jedinici) uticati na već izračunati optimalni proizvodni program? (c)

da li se optimalni proizvodni program mora mjenjati ukoliko se obezbjedi velika količina određene sirovine ili veća uposlenost kapaciteta ? (b)

kako će ušteda materijala,radne snage ,energije i sl. U proizvodnji jednog ili više proizvoda uticati na već određeni optimalni program proizvodnje? (b)

Da li bi bilo ekonomski opravdano uvesti novi proizvod u program proizvodnje preduzeća? (A)

39. Promjena vektora c u postoptimalnoj analizi

Vektor c sadrži koeficijente koje se nalaze uz sve promjenjive zadatka.Nakon određivanja optimalnog rešenja može doći do promjene koeficijenata koji se ne nalaze u optimalnom rešenju kao i promjene koeficijenata koje se nalaze uz bazične promjenjive optimalnog rešenja.Zbog toga,ispitivanje uticaja promjene vrijednosti elementa vektora c realizujemo različito, zavisno :

1. da li se mjenjaju koeficijenti uz nebazične promjenjive optimalnog rešenja;

2. da li se mjenjaju koeficijenti uz bazične promjenjive optimalnog rešenja.

PROMJENA KOEFICIJENATA NEBAZIČNIG PROMJENJIVIH

(Cj se mjenja ,a Zj ostaje nepromjenjeno )

Pretpostavimo da se koeficijent C koji se nalazi uz nebazičnu promjenjivu u f-ji cilja mijenja, pri čemu nastalu promjenu možemo predstaviti oblikom Cj = Cj + ∆Cj

Da bi utvrdili da li u novim uslovima rešenje izračunato na osnovu baze α-opt i dalje ostaje optimalno,neophodno je da provjerimo da li će povećanje vrijednosti koeficijenta Cj dovesti do potrebe za uvođenjem prethodno nebazičnog vektora Aj u bazu , da li je narušen uslov optimalnosti.. U tom cilju primjenjuje se Simpex kriterijum za ulazak u bazu sa novom vrijednošću koeficijenta Cj (vrijednost Zj ostaje nepromjenjena jer je ona izračunata na osnovu koeficijenata bazičnih promjenjivih) ,Odnosno

Cj - Zj =( Cj + ∆Cj) -Zj = (Cj-Zj)+ ∆Cj ...(j=1,...p) .

Da bi rešenje određeno na osnovu baze α-opt ostalo optimalno rešenje neophodno je da konstatujemo da nijedan od nebazičnih vektora ne treba da uđe u bazu ,to će se dogoditi ukoliko je :

Cj - Zj ≤O (j=1,.....p).

Odnosno ukoliko je

(Cj-Zj)+ ∆Cj ≤ O

Ukoliko se koeficijent uz nebazičnu promjenjivu smanjuje tada ne postoji mogućnost da se optimalno rešenje promjeni.Ukoliko se ovaj koeficijent uvećava tj. , ukoliko je ∆Cj > O tada će optimalno rešenje ostati i dalje optimalno ukoliko je zadovoljen uslov:

∆Cj < │Cj-Zj│ (j=1,......p)

Ukoliko je, međutim vrijednost prirastaja koeficijenta koji se u f-ji cilja nalaze uz nebazičnu promjenjivu Xj veći od apsulutne vrijednosti I simplex kriterijuma za vektor Aj , tj. ukoliko je

∆Cj >│Cj-Zj│ (j=1,......p)

Tada rešenje nije više optimalno već se u cilju određivanja poboljšanog rešenja neophodno u bazu uključiti prethodno nebazični vektor Aj.

PROMJENA KOEFICIJENATA BAZIČNIH PROMJENJIVIH

(Cj – Zj )

Da bi ispitali kako promjena vrijednosti koeficijenata koji se u funkciji nalazi uz promjenjjive iz optimalne baze utiče na optimalnost rešenja , treba utvrditi vrijednosti razlika (Cj - Zj) za nebazične vektore.S obzirom da vrijednosti koeficijenta Cj (j=1,...p) za nebazične vektore ostaju neprimjenjene neophodno je izračunati i vrijednosti Zj (j=1,....p) za sve nebazične promjenjive.

Neka je Cb vektor koeficijenta koji se u f-ji cilja nalaze uz bazične promjenjive iz optimalnog rešenja.Pretpostavimo da je došlo do povećanja vrijednosti ovih koeficijenata za iznos ∆Cb .Novi vektor ovih koeficijenata je Cb = Cb+ ∆Cb

Vrijednosti Zj za nebazične vektore bile su određene iz relacije

Zj = Cb j (j=1....p)

Gdje je j vektor koeficijenata linearne kombinacije bazičnih vektora i nebazičnog vektora Aj izračunat u obliku j=α 1־ Aj (j=1....p) ostaje nepromjenjen.

Vrednosti Zj u uslovima promjenjenih koeficijenatavektora Cb odred,đujemo na sledeći način

Zj = Cb j = (Cb+∆Cb) j = Cbj +∆Cbj =Zj+∆Zj (j=1....p)

Uz pretpostavku da se mjenjaju samo koeficijenti bazičnih promjenjivih ,što znači da vrijednosti Cj ostaju nepromjenjene kriterijum optimalnosti rešenja će biti

Cj- Zj+∆Zj =Cj-(Zj+∆Zj) ≤O ukoliko je ∆Zj>(Cj-Zj) (j=1...p)

Tada već izračunato optimalno rešenje ostaje i dalje optimalno ,tj. Vektor Aj ne treba da uđe u bazu. U suprotnom slučaju kada postoji makar jedna pozitivna razlika kriterijuma optimalnosti,izračunato rešenje više nije optimalno rešenje već se u bazu novog rešenja mora uključiti prethodno nebazični vektor Aj za koju je ova razlika maximalno pozitivna.

Kombinacijom ova dva razmatrana slučaja (promjena koef. Nebazičnih i bazičnih ). Možemo odrediti kriterijum optimalnosti u uslovima promjena svih koeficijenata f-je cilja,kada bi imali

Cj*-Zj*=(Cj+∆Cj)- (Zj+∆Zj)=(Cj-Zj)+( ∆Cj-∆Zj)≤O (j=1.....p)

Optimalno rešenje se ne bi mjenjalo .Ukoliko je makar jedna od razlika pozitivna, rešenje bi i dalje bilo moguće ,al ne i optimalno.

40. Promjena vektora ograničenja u postupku postoptimalne analize

Promjene elemenata vektora b (vektora sl.članova sistema ograničenja) možemo označiti sa ∆b , tako da će novi vektor biti b=b+∆b . Vrijednosti bazičnih promjenjivih su određene

relacijom: Xb=α 1־ * b

Na osnovu čega vrijednosti bazičnih promjenjivih u uslovima izmjenjenog vektora b , tj. Vektora b ,određujemo na sl. Način:

Xb = α 1־ * b

Xb = α 1־ *( b+∆b)

Xb = α 1־ *b+α 1־ *∆b

Odakle je

Xb = Xb+α 1־ *∆b

Ukoliko je za novodobijeno rešenje zadovoljen uslov Xb≥O , rešenje i dalje ostaje optimalno.Ukoliko makar jedan od elemenata Xb bude negativan ,prethodno izračunato rešenje više neće biti moguće jer je narušen uslov nenegativnosti promjenjivih.

41. Promjena matrice A u postupku postoptimalne analize

Promjena elemenata matrice A tj.promjena koeficijenata aij u sistemu ograničenja modela linearnog programiranja, može izazvati neophodnost promjene optimalnog rešenja, što se ispituje u postupku postoptimalne analize. U slučaju ovakve promjene u postupku postoptimalne analize optimalnost rešenja u novim uslovima može biti ispitivana za različite promjene I to:

Promjena nebazičnog vektora Promjena bazičnog vektora, Uvodjenje novog vektora aktivnosti (nove promjenljive) Uvodjenje novog ograničenja

a) Promjena nebazičnog vektora Aj Ukoliko nakon odredjivanja optimalnog rešenja modela dodje do promjene elemenata nebazičnog vektora Aj postupak ispitivanja optimalnosti realizujemo korišćenjem kriterijuma optimalnosti.Neka Aj* predstavlja promjenjeni j-ti nebazični vektor. Da bi utvrdili da li taj vektor treba uključiti u bazu, odnosno da li optimalno rešenje treba mijenjati izračunavamo vrijednosti:Xj*= (αopt ¿¿−1 × Aj*

koje su nam neophodne radi odredjivanja vrijednosti Zj*, u obliku

Zj*= CB Xj*nakon čega pretpostavljajući da su koeficijenti u funkciji cilja ostali nepormijenjeni primjenjujemo kriterijum optimalnosti, odnosno izračunavamo razliku Cj-Zj* . Ukoliko je (Cj-Z*j)<=0 , rešenje izračunato na osnovu baze αopt i dalje ostaje optimalno. Ukoliko je, medjutim, (Cj-Zj*)> 0 , zaključak je suprotan –prethodno rešenje neće u novim uslovima biti optimalno, vec se uvodjenjem u bazu vektora Aj*može dobiti poboljšano rešenje.Prikazana analiza uticaja promjene nebazičnog vektora na optimalnost rešenja, realizuje se i u slučaju ispitivanja uticaja uvodjenjem novog vektora aktivnosti (uz poznati koeficijent koji se u funkciji cilja nalazi uz novu promjenljivu).

b) Promjena bazičnog vektora Ai Obilježimo promjenjeni i-ti vektor , koji se nalazi u bazi αopt, sa Ai*, odnosno novu bazu sa α*. Rešenja za novu bazu ce biti:XB*=(α∗¿−1 × bXj*= (α∗¿−1 × AjZ*=CB XB*Zj*= CB Xj*

Ukoliko je XB*≥0 izračunato rešenje je moguće, a ukoliko su za takvo rešenje razlike (Cj-Zj*)<=0. Rešenje XB * je i optimalno, tj.αopt=α*. Ako je rešenje moguće, ali postoji makar jedna pozitivna vrijednost kriterijuma optimalnosti za nebazične vektore, takvo rešenje nije optimalno. Ukoliko, pak, u okviru vektora XB* postoji makar jedna negatitivna vrijednost, prethodno optimalno rešenje u uslovima izmijenjenog bazicnog vektora više nije čak ni moguće rešenje.

c) Uvodjenje dodatnih ograničenjaPretpostavimo da je u sistem jednačina modela dodato jos t jednačina, odnosno u osnovni oblik modela (sa nejednačinama) t nejednačina oblika am+1,1 x1 + ....+ a m+p,p xp ≤bm+1

am+t,1 x1 + …+ am+t, p xp1 ≤ bm+1

Ovakva promjena uticaće na neophodnost proširivanje vektora aktivnosti sa dodatnih t komponenti. Nakon toga, ispitivanje optimalnosti rešenja odredjenog na osnovu baze αopt realizuje se na uobičajeni način. Proširena

matrica baze, koja uključuje prethodnu optimalnu bazu i dodatna ograničenja ima oblik

α∗¿ [αopt 0T I ]

gdje T predstavlja matricu koeficijenata dodatnih ograničenja sa kojima su prošireni bazični vektori iz optimalnog rešenja, I jediničnu matricu, a 0 nula matricu. Na osnovu nove baze dobija seXB*=(α∗¿−1 × bXj*= (α∗¿−1 × Aj

I postupak ispitivanja optimalnosti rešenja realizuje se na dalje uobičajeni način.

42. PARAMETARSKO PROGRAMIRANJE-Formulacija zadatka

U standardnom zadatku linearnog programiranja, sa funkcijom cilja

I ograničenjima

svi koeficijenti koji se pojavlju u modelu (cj, aij, bi) su konstantne veličine. Medjutim, u ekonomskoj stvarnosti postoje I problemi kod kojih koeficijenti modela zavise od jednog ili vise parametara. U zavisnosti od nekog parametra mogu da budu koeficijenti funkcije cilja ili koeficijenti vektora ograničenja, takodje koeficijenti sistema oraničenja ili istovremeno svi ovi koeficijenti. Dio matematičkog programiranja koji se bavi analizom ovakvih problema optimizacije, jeste parametarsko programiranje. Osnovna ideja parametarskog programiranja jeste u odredjivanju interval u kome se mogu mijenjati parametri sistema, ali tako da struktura optimalnog rešenja ostane nepromjenjena. Veličine C1, C2,…Cj (j=1, 2…n) u funkciji cilja su konstantne veličine u datom trenutku I za dati problem. Medjutim, posmatrane u vremenu (ili usled nekih drugih uticaja), one mogu da budu vrlo varijabilne veličine. Tako, npr.u

zadatku optimizacije poljoprivredne proizvodnje, koeficijenti u funkciji cilja mogu da označavaju cijenu po jedinici proizvoda dok veličina xj označava količinu proizvedenih jedinica nekoh proizvoda . Ako cijena proizvoda ima sezonski karakter, onda će ona biti funkcija vremena t. Pošto se cijena svakog proizvoda, koji se proizvodi može mijenjati pod uticajem raznih faktora, označimo ove promjene sa dj. Prema tome, vrijednost proizvodnje odnosno funkcija cilja će se sastojati iz dva dijela- konstantnog (∑cjx j) I promjenljivog ( ∑(djt)xj) koji zavisi od vremena t. Ako pretpostavimo da je zavisnost cijene od vremena linearna, tada će funkcija cilja imati oblik

Gdje su : - cj I dj konstantni vektori -t proizvoljan parametar koji može da uzima vrijednosti iz intervala [td, tg] pri čemu je td-donja a tg-gornja granica posmatranog intervala. Veličine b1, b2..bi (i=1,2..m) koje u zadatku linearnog programiranja izražavaju raspoložive resurse (kapacitete, količine sirovina, raspoloživu radnu snagu i sl.) su relativno konstantne i poznate u nekom momentu planiranja. Ali , ako se radi o planiranju na duži rok, postavljanje ograničenja kao fiksnih velicina veoma je nepouzdano. Ako su resursi izraženi u funkciji vremena t tada zadatak parametarskog programiranja odbija oblik

Uz ograničenja

43. Geometrijska interpretacija i graficko rešenje

Neka je dat zadatak parametarskog programiranja

Sistem ogranicenja obrazuje konveksni skup mogućih rešenja K, koji je na slici predstavljen mnogouglom B B1 B2 B3 B4 B5

Za t=0 i Zt=0 funkcija cilja dobija oblik

tj. predstavlja pravu (MN) koja prolazi kroz koordinantni početak. Ekstremnu vrijednost, funkcija cilja dostiže u tački B, jer je u toj tački prava MN paralelna sa pravom M’N‘. Tačka B će biti ekstremna tačka i za sve vrijednosti parametra t za koje će se grafik funkcije cilja, tj. prava MN nalaziti izmedji pravih M1N1(paralelno sa BB5) i M2N2 (paralelno sa BB1). Ako je za t=t1 grafik funkcije cilja prava M1N1, a za t=t2 grafik funkcije cilja prava M2N2, tada će tačka B biti extremna tačka za sve vrijednosti parametra t u intervalu t2<=t<=t1. Ako parametar t uzima vrijednosti koje

se nalaze izvan intervala t2<=t<=t1,dobija se novo optimalno rešenje, odnosno tačka B više neće biti extremna tačka.

44. Varijabilnost koeficijenata funkcije cilja

Ako u zadatku parametarskog programiranja parametar t, varira u intervalu

zadatak je da se interval podeli na konačan broj manjih intervala, tako da za svaku vrijednost parametra t iz tih intervala, funkcija cilja dostiže maksimalnu vrijednost u jednoj i samo jednoj tački skupa mogućih rešenja K.Alogoritam za rešavanje zadataka parametarskog programiranja sastoji se iz dvije etape:

1. Prvo je potrebno parametru t dodijeliti neku fiksnu vrijednost , najbolje jednaku donjoj granici , tj t=td, ili t=0. Tada ce u funkciji cilja svi koeficijenti postati fiksni, tj dobiće se standardni zadatak linearnog programiranja. Zatim je potrebno naći tačku u kojoj funkciji cilja Z1d, odnosno Zt0 dostiže maksimum.

2. U drugom koraku je potrebno odrediti sve vrijednosti parametra t , z a koje funkcije cilja Z1 dostiže maksimum u nadjenoj tački . Nadjeni interval se isključi iz intervala ( td, tg ) pa se za interval koji je ostao opet rešava zadatak linearnog programiranja tj prelazi se na korak broj jedan. Postupak se ponavlja sve dok se cio interval (td, tg) ne podijeli na konačan broj manjih intervala tj dok gornja granica za parametar t ne bude t=tg.

Ako je t=td , funkcija cilja ( 1.89) dobija oblik

U prvoj simpleks tabeli treba predvidjeti dve vrste za koeficijente funkcije cilja . U jednoj će se upisati koeficijenti c j a u drugoj koeficijenti dj, iz funkcije cilja. Takodje postoji i vrsta Zt koja je jednaka (cj+djtd t d), a koja se koristi kao kriterijum optimalnosti.

Koristeći kriterijume za preračunavanje simpleks tabela, izvršimo sva preračunavanja, uključujući i vrste cj i dj. Koeficijente poslednje dvije vrste, u normalnoj simpleks tabeli , označimo sa αj i βj. U drugoj simpleks tabeli će se pojaviti i slobodni članovi, α0 I β0.

Ako je rešenje optimalno, tada je zadovoljena nejednačina

Sada je potrebno odrediti interval vrijednosti parametra t za koje funkcija Zt dostiže maksimum u nadjenoj tacki. Drugim recima, potrebno je odrediti sve vrijednosti parametra t, za koje je zadovoljena prethodna nejednacina.

Mogući su sledeći slučajevi:1. Svi koeficijenti βj > 0. Iz nejednačine slijedi

Pošto brojeva ( ) ima n, parametar t mora biti manji od svakog od njih. Ako od n količnika odaberemo najmanji, tada su svi uslovi ispunjeni, tj.

Donja granica za parametar t ne postoji, pa se on može umanjivati beskonačno. Interval vrijednosti parametra t, za koji nadjeno rešenje ostaje optimalno je

Znači da je

2. Svi koeficijenti βj < 0. Iz nejednačine sledi

Jer se dijeljenjem sa negativnim brojem smisao nejednačine mijenja. Pošto

brojeva ima m , parametar t mora biti veći od svakog od njih. Ako od m količnika odaberemo najveći, tada su svi uslovi ispunjeni tj.

Gornja granica za parametar t ne postoji, pa se on može povećavati beskonačno. Interval vrijednosti parametra t, za koji nadjeno rešenje ostaje optimalno je

Znaci da je td

3. Ako medju koeficijentima βj ima i pozitivnih i negativnih.Interval vrijednosti parametra t, za koji nadjeno rešenje ostaje optinalno je

Tj. Interval ima i donju i gornju granicu.

4. Ako je β j = 0, tada iz nejednacine slijedi da je αj ≤0 odnosno uslov optimalnosti je ispunjen, pa na kolone kod kojih je βj =0 ne treba obracati pažnju.Prema tome, rešenjem nejednačine dobijaju se granice intervala promene parametra t , tj. donja granica (td) I gornja granica ( tg)u

kojima optimalno resenje ostaje nepromenjeno. Kada se utvrde granice , potrebno je uporediti dobijeni interval [ td1, tg1 ]sa intervalom [td, tg]Ako je tg1≥ tg interval [td, tg] se nalazi unutar intervala [ td1, tg1 ] i zadatak je riješen. Za bilo koju vrijednost t koje pripada [td, tg] funkcija Z dostiže maksimum u jednoj i samo jednoj tački.

Ako je tg1 < tg tada će u intervalu [ td1, tg1 ] funkcija Zt, dostici maksimum u jednoj tacki , a ostali dio intervala [tg1, tg ]treba dalje ispitivati.Ispitujući model parametarskog programiranja sa varijabilnim parametrom u funkciji cilja , došli smo do intervala t koji pripada [td, tg

] u kome može da varira parametar t , tako da dobijeno optimalno rešenje ostaje nepromenjeno. To znači da je moguće odrediti granice variranja parametra tako da odredjena struktura izlaza, tj. proizvoda ostaje nepromenjena. I to je značajno iz dva razloga. Prvo, u mogućnosti smo da odredimo ponašanje sistema ako se parametri C mijenjaju ( u datim granicama), i drugo da odredimo parametre tako da se pri odredjenom optimalnom rešenju postigne što bolji uspjeh. A najčešće, menadzment preduzeća želi da zna u kom intervalu se mogu mijenjati ulazni parametri bez suštinskog odstupanja od nadjenog optimuma i bez značajnog narušavanja strukture optimlanog rešenja.

*Varijabilnost koeficijenta vektora ogranicenja

Ako je vektor ograničenja linearno zavisan od vremena t tada treba maximizirati funkciju cilja

Pri ograničenjima

Koristeći poznatu proceduru za formulisanje dualnog problema parametarski zadatak se transformiše u problem koji glasi

Ovaj problem je problem parametarskog programiranja sa varijabilnim koeficijentom u funkciji cilja.

45. Hiperbolično (RLP) programiranje- opšti oblik zadatka

U planiranju optimalnog obima proizvodnje veliku ulogu imaju relativni pokazatelji, kao što su na primer cijena koštanja, ekonomičnost, rentabilnost i slično. Matematičke funkcije koje se odnose na ove i slične pokazatelje imaju razlomljeno-linearni oblik. Opsti oblik zadatka linearnog programiranja izgleda ovako:

(2.1)

Ako se ovako definisanoj funkciji cilja doda sistem linearnih ograničenja

oblika (2.2)

dobija se standardni zadatak razlomljenog linearnog programiranja.

Imenilac funkcije cilja (2.1.) može se interpretirati kao vrijednost ulaganja neophodna za ostvarenje programa proizvodnje x . Brojilac predstavlja ekonomski efekat tog ulaganja.

Prema tome, problem se sastoji u određivanju programa proizvodnje x koji će obezbediti da odnos efekata i investicija bude, u datim uslovima, što veći. Radi se dakle o problemu maksimizacije efikasnosti investicija. Razlomljeno linearno programiranja ima značajnu ulogu u optimizaciji ekonomskih problema zbog toga što su, po pravilu, relativni pokazatelji važniji od apsolutnih, pa modeli razlomljenog linearnog programiranja ne zaostaju za modelima linearnog programiranja. Za razmatranje ekonomskih problema, potrebno je uvesti još dva ograničenja:

(1)Skup mogućih rešenja zadatka razlomljenog linearnog programiranja nije prazan i ograničen je, što znači da nijedna od ekonomskih aktivnosti koja se pojavljuje u modelu ne može biti neograničena. Inače, skup mogućih rešenja je, kao i kod linearnog programiranja, konveksan, tj. ima konačan broj ekstremnih tačaka. (2)Imenilac funkcije cilja (2.1.) mora biti razlicit od nule, tj. z2 (x) ≠0.Naime, pošto je z2(x) linearna i neprekidna funkcija, ona u zatvorenom konveksnom skupu ne menja znak ( za svako x koje zadovoljava sistem linearnih ograničenja). Ako bi se desilo da je imenilac funkcije cilja negativan, on se može prebaciti u brojilac, pa se zato i uvodi ograničenje da je z2(x) > 0 . Ovo ograničenje omogućava da se isključi mogućnost dobijanja neodređenog programa. Uslov z2(x) ≠ 0 matematički nebitno sužava okvir zadatka a ekonomski ima veliki značaj.

46. Dokazati teoremu o monotonosti funkcije cilja kod hiperboličnog programiranja

Teorema. Na bilo kom pravolinijskom odsečku koji pripada skupu K (K-skup mogućih rešenja), razlomljena linearna funkcija je monotona.

Dokaz

Neka su x′ i x′′ krajnje tačke skupa mogućih rešenja. Tačka x predstavlja konveksnu kombinaciju tačaka x′ i x′′ , odnosno:

x = λx′ + (1 − λ)x′′ , 0 ≤ λ ≤1 .

Pošto se svaka koordinata tačke x može izraziti u vidu konveksne kombinacije tačaka x′ i x′′ , brojilac funkcije cilja (2.1.) će biti :

Analogno se dobija i za imenilac, pa funkcija cilja (2.1.) dobija oblik :

Kako su x′ i x′′ konstantne veličine, u izrazu (2.4.) promenljiva je samo veličina λ pa je z razlomljeno linearna funkcija koja zavisi od parametra λ ( 0 ≤ λ ≤1). Da bi dokazali monotonost funkcije z na datom odsječku tj. za (0 ≤ λ ≤1)

potrebno je utvrditi znak izvoda .

Ako se, u brojiocu prethodnog razlomka, izvrše potrebne računske radnje a imenilac izrazi u obliku [z2 (x) ]2 dobija se:

Brojilac u ovom izrazu ne zavisi od λ , pa je za konstantne veličine x′ i x′′ i on konstantan, dok je imenilac kao kvadrat neke veličine uvijek pozitivan.

Zaključak: Znak izvoda zavisi od znaka brojioca koji će na datom odsječku biti ili pozitivan ili negativan.Pošto izvod ne mijenja znak slijedi da je funkcija

cilja monotono rastuća ili opadajuća , što je trebalo i dokazati.

47. Dokazati da funkcija cilja RLP dostiže ekstremnu vrednost u ekstremnoj tački skupa mogućih rešenja

Teorema. Razlomljena linearna funkcija dostiže ekstremnu vrednost u ekstremnoj tački konveksnog skupa mogućih rešenja.

Dokaz

Opšti oblik modela matematičkog programiranja možemo predstaviti u obliku zahtjeva za određivanjem vrijednosti promenljivih x1, x2, ..., xn koje zadovoljavaju m nejednačina i jednačina oblika:

gi (x1, x2, ..., xn) {≤, =, ≥} bi i=1,..., m

i za koje se ostvaruje maksimalna ili minimalna vrednost funkcije:

z= f (x1, x2, …, xn).

Pretpostavimo da su funkcije gi i f poznate, dok bi predstavljaju unaprijed zadata ograničenja.Ukoliko sistem ograničenja i odgovarajuću funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku, model matematičkog programiranja je:

(max) Z= f (x1, x2, …, xn) g1 (x) = g1 (x1, x2, ..., xn) ≤ b1

g2 (x) = g1 (x1, x2, ..., xn) ≤ b2

……….

gm (x) = gm (x1, x2, ..., xn) ≤ bm

gdje smo pretpostavili određivanje maksimalne vrednosti funkcije cilja z, u uslovima kada su sva ograničenja predstavljena nejednačinama sa znakom ≤ .

Sve vrijednosti promenljivih x=( x1, x2, …, xn) za koje su zadovoljene sve nejednačine sistema ograničenja obrazuju tzv. skup dopustivih ili mogućih rješenja modela. Cilj rješavanja zadatka matematičkog programiranja jeste određivanje one kombinacije vrijednosti promenljivih iz skupa mogućih rješenja za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrijednost. Takvo rješenje, koje obiljeležavamo sa x*

=( x1*, x2

*, …, xn * ) predstavlja optimalno rješenje

zadatka.

48. Grafički metod za rješavanje zadatka kod hiperboličnog programiranja (opšti oblik)

Najjednostavniji način određivanja rješenja u zadatku razlomljenog linearnog programiranja je grafički metod, ali su mogućnosti njegove primene veoma ograničene, jer se on može primijeniti samo u slučaju kada u zadatku postoje dvije realne promjenljive.

Pri rješavanju zadataka razlomljenog linearnog programiranja, grafičkim metodom, mogu nastupiti sledeći slučajevi: 1) Skup mogućih rješenja je ograničen. Funkcija cilja dostiže

maksimalnu vrijednost. Strelica na slici pokazuje pravac kretanja funkcije cilja kako bi funkcija cilja (z) rasla.

2) Skup mogućih rješenja je neograničen. Funkcija cilja dostiže maksimalnu i minimalnu vrednost.

3) Skup mogućih rješenja je neograničen. Funkcija cilja dostiže samo maksimalnu vrednost. Prava x2= kx1 zauzima položaj paralelan jednom ograničenju, pa funkcija cilja ima tkz. asimptotski minimum.

4) Skup mogućih rješenja je neograničen, oba ekstremuma su asimptotska.

Algoritam za dobijanje optimalnog rješenja, tj. ekstremnih tačaka skupa mogućih rešenja, za razlomljenu linearnu funkciju cilja, oblika:

uz postojanje sistema linearnih ograničenja, potrebno je: 1) Grafički predstaviti prave koje reprezentuju nejednačine sistema ograničenja. 2) Identifikovati skup mogućih rešenja (K) tj. konveksni skup. 3) Da bi utvrdili tačke u kojima funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost, potrebno je izraziti funkciju cilja (2.11.) u obliku

x2 = kx1, pri čemu je

Funkcija x2 = kx1, geometrijski predstavlja pravu koja prolazi kroz koordinatni početak i zavisi od veličine z. k= f(x) pa za fiksirano z, koeficient pravca prave x2 = kx1, je konstantan, prava zauzima određeni položaj. Ako se z mijenja, mijenja se I koeficient pravca pa se prava rotira oko koordinatnog pocetka, mijenjajuci samo pravac.

4) Utvrditi karakter zavisnosti koeficijenta pravca prave x2 = kx1 od veličine z preko izvoda, tj.

Imenilac izvoda, kao kvadrat neke veličine, je uvijek pozitivan. Brojilac izvoda ne zavisi od z, pa izvod ima konstantan znak tj. pri

povećanju vrednosti z, k će ili da raste ili da opada, a prava x2=kx1 će se okretati samo u jednu stranu.

Ako je znak izvoda negativan, prava x2=kx1 se okreće u pravcu kazaljke na satu.

Ako je pozitivan u pravcu suprotno kazaljci na satu.

5) Izračunati koordinate ekstremnih tačaka i vrijednost funkcije cilja u tim tačkama.

49. Grafički metod-slučaj funkcionala bez slobodnog člana

Imamo funkciju razlomljenog linearnog programiranja koja nema slobodan član. Funkcija ima samo dve nepoznate promenjive zato što je to ograničenje grafičkog metoda. Ukoliko funkcija razlomljenog programiranja glasi

I ukoliko imamo dat sistem ograničenja koji predstavlja linearne jednačine zadatak, rešavamo zadatak na sledeći način:

1) Graficki predstavljamo prave koje predstavljaju nejednačine sistema ograničenja.

2) Identifikujemo skup mogucih rešenja (K) tj. konveksni skup.3) Da bi utvrdili tacke u kojima funkcija cilja dostiže ekstremnu vrednost,

potrebno je izraziti datu funkciju cilja na sledeci način, tj dobijamo da je X2 jednako

X2= (c1-z*t1)/(z*t2-c2) * x1

X2= K*X1

iz cega sledi da je koeficijent pravca funkcije cilja K jednak

S obzirom da funkcija X2= K*X1 nema slobodan clan ona prolazi kroz koordinatni pocetak i zavisi od velicine Z.

4) Sada trebamo odrediti u kojem pravcu se prava X2= K*X1, da li u pravcu kazaljke na satu ili suprotno od pravca kretanja kazaljke na satu, sto saznajemo preko izvoda dk/dz tj

Imenilac izvoda, kao kvadrat neke velicine, je uvek pozitivan a brojilac izvoda ne zavisi od z (zato sto u brojiocu nemamo z) , pa izvod ima konstantan znak. To znaci da pri povecanju vrednosti Z, k ce ili da

monotono raste ili da opada, a prava x2 = kx1 ce se okretati samo u jednu stranu. Ako je znak izvoda negativan, prava x2 = kx1 se okrece u pravcu kazaljke na satu, a ako je pozitivan u pravcu suprotnom kazaljci na satu.

5) Zatim izracunamo koordinate extremnih tacaka, procitamo ih sa grafika, i izracunamo vrednost FC u njima.

50. Grafički metod-slučaj funkcionala sa slobodnim članom

Ukoliko funkcija razlomljenog linearnog proglramiranja ima sledeci oblik tj ima slobodni clan u FC

Uz dati sistem ogranicenja koje cine linearne nejednacine, da bi resili zadatak potrebno je prvo izvrsiti zamenu promenjivih tako da su

Ovom zamenom dobijamo novu FC oblika

(C1 (α+x 1 )+c2 (β+x2 )+c0t 1 (α+ x1 )+t 2 (β+x2 )+ t 0

= Z

Kada se oslobodimo zagrada dobijamo izraz

Dalje odredimo za 𝛂 i 𝛃 vrednosti koje ce zadovoljiti jednacine

Posle svih zamena, dobija se nova FC i sistem ogranicenja ogranicenja oblika

Ovim smo FC koja je imala slobodni clan sveli na funkciju koja nema slobodni clan. Sledeci korak je graficko unosenje jednacina sistema ogranicenja gde vidimo da sistem ogranicenja u koordinatnom sistemu 𝛂0`𝛃 formira konveksan skup. Geometrijski interpretirano to znaci da je zamena promenjivih dovela samo do pomeranja koordinatnog pocetka iz 0 u 0` (𝛂,). Sto i vidimo sledecoj slici. Na osnovu iste dolazimo do nekoliko zakljucaka a to je da:

- Sistem ogranicenja obrazuje konveksan skup- Zamena promenjivih znaci samo pomeranje koordinatnog pocetka iz 0

u 0`- Pri pomeranju koordinatnog pocetka konveksni skup ne menja svoj

polozaj u ravni jer se sa promenom koordinatnog sistema menjaju i ogranicenja koja ga odredjuju. I upravo radi toga…

- Nije potrebno transformisati ogranicenja, pa samim time ni odredjivati konveksni skup.

Za kraj zakljucujemo da se graficki metod odredjivanja optimalnog rešenja zadatka razlomljenog linearnog programiranja sa slobodnim clanom u FC sastoji od sledecih aktivnosti:1) U koordinatnom sistemu X10X2 graficki predstaviti prave koje reprezentuju nejednacine sistema ogranicenja.2) Identifikovati skup mogucih rešenja (konveksni skup K).3) Nacrtati grafik prave koja predstavlja imenilac funkcije cilja i proveriti da li je zadovoljen uslov da Z2(x) =/ 0 (tj da imenilac funkcije cilja nije jednak nuli)4) Izracunati koordinate novog koordinatnog pocetka, tj. 0` (𝛂,𝛃 ) 5) Utvrditi koordinate ekstremnih tacaka i znak izvoda dk/dz6) Izracunati vrednost funkcije cilja u ekstremnim tackama.

51. Martošev metod za rešavanje problema hiperboličnog programiranja

Linearna ogranicenja u zadacima razlomljenog linearnog programiranja i postojanje optimalnog rešenja zadatka u ekstremnoj tacki konveksnog skupa mogucih rešenja, omogucava primenu simpleks metoda za rešavanje problema razlomljenog linearnog programiranja. Potrebno je jedino definisati kriterijume optimalnosti zadatka razlomljenog linearnog programiranja. Martosev metod predstavlja jedan od nacina resavanja problema razlomljenog linearnog programiranja pomocu simplex metoda. Martos je prilagodio standardnu simplex tabelu tako sto je vrstu Cj razlozio na dve vrsta: Z1 i Z2. U vrsti Z1 upisuju se koeficijenti brojioca funkcije cilja a u vrsti Z2 se upisuju koeficijenti imenioca iste funkcije. Imamo jos jednu razliku a to je vrsta dj.

Zadatak razlomljenog linearnog programiranja cemo predstaviti na sledeci nacin:

Sa ogranicenjima:

Odnosno, nakon sto nejednacine transformisemo u jednacine tako sto uvedemo dodatne promenjive dobijamo funkciju cilja oblika

Dodatne promenljive se uvode i u funkciju cilja (brojilac i imenilac) sa koeficijentom nula tj (cp+1 = cp+2 = ... = cp+m = 0; tp+1 = tp+2 = ... = tp+m = 0).

Vec smo pomenuli da Martosev metod ima i dj vrstu koja nam sluzi kao kriterijum optimalnosti. Dj vrstu izracunavamo na sledeci nacin

Pri cemu C0 i T0 predstavljaju slobodne clanove brojioca i imenioca, a samo dj se resava kao i svaka druga determinanta, formulu vidimo iznad. Samo d0

predstavlja vrednost funkcije cilja i dobija se kao odnos C0 i T0, tj

.U pocetnom bazicnom rešenju datog problema (kao i u modelu linearnog programiranja) , vrednosti realnih promenljivih su jednake nuli, vrednosti dodatnih promenljivih slobodnim clanovima sistema ogranicenja, a vrednost funkcije cilja je

Opsti oblik prve simplex tabele koja odgovara datom problem razlomljenog linearnog programiranja je

Da bi dosli do OR potrebno je izvrsiti nekoliko iteracija prilikom kojih se vrsi promena vektora u bazi. Pretpostavicemo da je odradjeno k iteracija i da u narednoj, k+1 iteraciji, u bazu ulazi neki vektor Xs a bazu napusta neki vektor Xp+r. U tom slucaju karakteristican element je ars. U (k+1)-voj simpleks tabeli umesto C0

(k) nalazice se C0(k+1) ii mace vrednost jednaku

Tj kada skratimo ars dobicemo izraz

Na isti nacin se dobija i T0(k+1). Kada smo izracunali vrednost C0 i T0 u (k+1)-oj

interaciji, mozemo da izracunamo vrednost FC u toj iteraciji kao odnos izmedju C0

(k+1) i T0(k+1) tako da je

br/ars predstavlja drugi simplex kriterijum. Sledeci korak je da nadjemo razliku izmedju vrednosti funkcije cilja u k-toj iteraciji i (k+1)-oj iteraciji tj

odnosno

Ako imenilac razlomka oznacimo sa T0(k) * T0

(k+1) a u brojiocu izdvojimo zajednicki clan –br/ars dobijamo novi izraz

A s obzirom da je izraz postaje

Iz ovog izraza cemo dobiti kriterijum za ulazak promenjive u bazu. Kada ga vise analiziramo vidimo da:

a) Da ne bi izašli iz skupa mogucih rešenja, kolicnik –br/ars mora biti pozitivan i najmanji od svih mogucih, tj.

Zato mora biti da ars>0 jer je po uslovu zadatka br>0. U skladu sa njim i kolicnik –br/ars ce biti uvek negativan.

b) Prema uslovu zadatka razlomljenog linearnog programiranja, imenilac funkcije cilja (u skupu mogucih rešenja to je bilo T0

(k) * T0(k+1) ) mora biti

pozitivan, tj. za ma koje rešenje T0(k)>0 i T0

(k+1).c) Znak razlike z(k+1)-z(k) zavisi od dj na sledeci nacin:- Ako je ds>0 onda je z(k+1)-z(k)>0- Ako je ds<0 onda je z(k+1)-z(k)<0

Drugim recima, ako se za karakteristicnu kolonu odabere kolona sa pozitivnom vrednošcu ds, u narednoj iteraciji ce se smanjiti vrednost funkcije cilja. Ako je ds<0 onda z(k+1)>z(k) tj vrednost funkcije cilja ce se povecati ako se za karakteristicnu kolonu odabere kolona sa negativnom velicinom ds. Vazi i obrnuto. A ako je ds=0 onda z(k+1)=z(k) tj vrednost FC ostaje nepromenjena.

Da zakljucimo: Kriterijum po kome se odreduje vektor koji ulazi u bazu, kod problema minimizacije funkcije cilja je di = max dj > 0, tj od svih pozitivnih vrednosti dj

uzimamo najvecu. Kod problema maksimizacije, odreduje se na osnovu negativne velicine dj, odnosno najvece apsolutne vrednosti dj.Za odredivanje vektora koji napušta bazu koristi se II Dantzigov simpleks kriterijum, tj ρ=min (br/ars) tj (xb/xbs) u zavisnosti da li se zadatak resava preko ST ili matricnog racuna.

52. Čarns-Kuperov metod za rešavanje problema hiperboličnog programiranja

Carns i Kuper su nasli nacin da prevedu problem razlomljenog linearnog programiranja u linearni problem koji kao takav i resavamo pomoci simplex metoda a kasnije, nakon sto dobijemo OR, resenja prebacujemo u resenja razlomljenog linearnog programiranja. Ako nam je dat sledeci problem razlomljenog programiranja:

Razmotricemo slucaj kada je imenilac funkcije cilja X2 > 0, tj.

Uvodimo prvu smenu po kojoj je 1/imenilac funkcije cilja >0, tj.

Tako da funkcija cilja sada ima sledeci oblik

Sada uvodimo drugu smenu po kojoj je

U pocetku smo imali funkciju razlomljenog linearnog programiranja sa promenjivom X a sada imamo funkciju linearnog programiranja sa promenjivom y. Dobijena funkcija cilja dobija oblik

Zatim pomnozimo sistem ogranicenja sa y0 pa dobijamo novi oblik sistema ogranicenja

Tj, kada uzmemo u obzir drugu smenu koju smo uveli i kada slobodne clanove prebacimo na levu stranu , sistem ogranicenja izgleda

Iz uslova prve smene dobijamo novo ogranicenje koje glasi

I koje dodajemo postojecem sistemu ogranicenja.

Na kraju dobijamo novu funkciju cilja linearnog prigramiranja koja je mesoviti problem maksimuma :

Zadatak resavamo kao mesoviti problem maksimizacije kod linearnog programiranja i kada dobijemo optimalno resenje, koristimo smenu sa pocetka da dobijemo resenja razlomljenog linearnog programiranja tj.

X1=Y 1Y 0

X2=Y 2Y 0

... Xp=YpY 0

53. x54. x55. x56. x

57. Dokazati da matrica koeficijenata sistema ograničenja kod TP ima r=m+n-1

Matricu koeficijenata sistema ogranicenja našeg transportnog problema možemo predstaviti u obliku :

1 1 ... 1 0 0 ... 0 .... 0 0 ... 00 0 ... 0 1 1 ... 1 .... 0 0 ... 0

. . .0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 1 1 .... 1

A = 1 0 ... 0 1 0 ... 0 .... 1 0 ... 00 1 ....0 0 1 ... 0 .... 0 1 .... 0

…0 0 ... 1 0 0 ... 1 .... 0 0 ... 1

U matrici A ima ukupno ( m + n ) vrsta, I sve su linearno zavisne. Ukoliko saberemo prvih m vrsta matrice A dobicemo vrstu ciji su svi elementi jedinice - isto takvu vrstu cemo dobiti sabiranjem preostalih n vrsta matrice A, tj.

p1 + p2 +…. + pm = pm+1 + pm+2 +…+ pm+n ( p1 ,…., pm+n = vrste matrice A)

Ovo znaci da svaku vrstu matrice A možemo izraziti u vidu linearne kombinacije ostalih. Na primjer, za prvu vrstu je

p1 = (pm+1 + … + pm+n ) – (p2 +…. + pm )

Isto važi za bilo koju od preostalih vrsta matrice A.

Ukoliko sada iz matrice A iskljucimo poslednju vrstu, i uzmemo minor (m n 1) -og reda koji ukljucuje kolone koeficijenata uz promenljive x1n , … , xmn , x11 , …. , x1n-1 , dobijamo

1 0 ... 0 1 1 ... 10 1 ... 0 0 0 ... 0

..... ….. .…. detM (m+n-1) = 0 0 ... 1 0 0 ... 0 = 1

0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 ..… ..…. ….. 0 0 ... 0 0 0 ... 1

Kako je vrijednost dobijenog minora razlicita od nule, to konstatujemo da je r (A) m n 1, što je trebalo i dokazati.

58. Zašto se u modelu transporta bazično rešenje obrazuje od m+n-1 promenljivih – (nisam sigurna za ovaj odg,jer ne postoji konkretno poglavlje )

Na osnovu poznatih stavova linearnog programiranja, tvrdjenje prethodne dvije teoreme (teorema 3.2.- broj linearno nezavisnih jednacina sistema ogranicenja transportnog problema je m+n-1, i teoreme 3.3. - matrica koeficijenata sistema ograničenja kod t.p. ima rang m+n-1 )ima za posledicu cinjenicu da u bilo kom bazicnom rešenju mora imati tacno m n -1 bazicnih promenljivih.Tabelarno, to znaci da ce u svakoj tabeli koja reprezentuje neko bazicno moguce rešenje biti popunjeno m n 1 polja, dok ce preostali mn (m n 1) polja ostati prazna, odnosno odgovarajuce promenljive ce biti jednake nuli.

59. Koji metodi se koriste za određivanje početnog bazičnog rešenja kod transportnog problema

Od razlicitih metoda koji se mogu koristiti za odredivanje pocetnog bazicnogrešenja razmotricemo tri metoda:

metod sjeverozapadnog ugla metod minimalnih troškova Vogelov aproksimativni metod

1. Metod severozapadnog ugla (dijagonalni metod)

Metod severozapadnog ugla predstavlja takav postupak odredivanja pocetnog bazicnog rešenja u kome rasporedivanje kolicina robe za prevoz preko razlicitih puteva zapocinjemo iz lijevog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele, odnosno polja (1,1). Nakon toga, u m +n - 1 koraka, iduci dijagonalno, rasporedjuju se kolicine robe u razlicita polja tabele koja odgovaraju razlicitim putevima. Postupak se završava nakon iscrpljivanja svih ponudjenih kolicina robe u pojedinim ishodištima, odnosno nakon zadovoljenja ukupne tražnje pojedinih odredišta. Osnovna prednost primjene metoda sjeverozaoadnog ugla ogleda se u izuzetnoj jednostavnosti postupka odredjivanja pocetnog bazicnog rešenja. Znacaj ove osobine posebno dolazi do izražaja kod složenijih problema transporta u kojima imamo veliki broj ishodišta i odredišta.

2. Metod minimalnih troškova

Prilikom rasporedivanja kolicina robe za prevoz ne uzimaju se u obzir iznosi transportnih troškova na pojedinim putevima. Metod minimalnih troškova podrazumijeva prevashodno korišcenje puteva (polja tabele) kojima odgovaraju najmanji troškovi po jedinici prevezene robe. Zbog toga, ovaj metod u opštem slucaju obezbeduje dobijanje pocetnog bazicnog rešenja koje je bliže optimalnom rešenju u odnosu na odgovarajuce rešenje dobijeno metodom severozapadnog ugla. Postupak odredivanja pocetnog bazicnog rešenja zapocinje korišcenjem puta kojem odgovaraju najmanji troškovi, pri cemu u odgovarajuce polje tabele unosimo maksimalno mogucu kolicinu (manji od iznosa ponude i tražnje) za prevoz. Naizmenicnim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima odgovaraju najmanji transportni troškovi, u m +n-1 koraka dolazi se do pocetnog bazicnog rešenja. Odredivanje pocetnog bazicnog rešenja primjenom ovog metoda podrazumijeva prethodnu i sukcesivnu analizu troškova transporta robe, što u problemima vecih dimenzija otežava postupak i povecava mogucnost pogrešnog rasporedivanja. Prednost ovog metoda ogleda se cinjenici da njegova primjena obezbjeduje znacajno skracivanje postupka odredivanja optimalnog rešenja.

3. Vogelov metod ( metod maksimalnih razlika )

Predstavlja najsloženiji postupak odredivanja pocetnog bazicnog rešenja. Suština ovog metoda sastoji se u izracunavanju potencijalnih gubitaka koji ce nastati ukoliko se izmedu dva polja sa minimalnim transportnim troškovima, koja se nalaze u nekoj vrsti (koloni) tabele, koristi ono polje u kome su transportni troškovi veci. Primjena ovoga metoda obezbjeduje pocetno rasporedivanje kolicina robe za prevoz, tj. izracunavanje vrednosti promenljivih bazicnog rešenja koje su najbliže optimalnom rešenju. Zbog toga ovaj metod garantuje najkracu algoritamsku proceduru odredivanja optimalnog programa transporta robe.

I korak : Izracunavanjem vrijednosti razlika izmedu dva minimalna troška za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izracunate razlike pridružujemo vrstama i kolonama tabele, II korak : Odredujemo vrstu, odnosno kolonu kojoj odgovara najveca vrijednost razlike. III korak : Pocetnu kolicinu rasporedujemo u polje sa najnižim troškovima koje odgovara vrsti (koloni) sa najvecom izracunatom razlikom. S obzirom da se u jednom koraku eliminiše ili vrsta ili kolona, nakon svakog rasporedivanja vrši se izracunavanje promijenjenih razlika izmedu dva minimalna elementa (od preostalih). Postupak se, kao i kod drugih metoda za odredivanje pocetnog bazicnog rešenja, završava nakon preraspodeljivanja ukupne ponude na mesta tražnje, tj. nakon popunjavanjam +n-1 polja tabele.

60. Koji je razlog pojavljivanja i kako se manifestuje problem degeneracije kod TP? Kako se on prevazilazi?

Ukoliko u postupku rešavanja transportnog problema odredimo rešenje u kome nema m+n-1 bazicnih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele, konstatujemo da takvo rešenje ne zadovoljava neophodan uslov za primjenu nekog od metoda optimizacije. Takav slucaj predstavlja degeneraciju transportnog problema, dok ovakvo rešenje smatramo degenerativnim. Ovakav slucaj se javlja kad je neka od parcijalnih suma ponude jednaka nekoj od parcijalnihsuma tražnje.Slucaj degeneracije t.p. može se pojaviti:

prilikom odredivanja pocetnog bazicnog rešenja, u postupku poboljšavanja nekog programa transporta u proceduri

optimizacije. Prilikom odredivanja pocetnog rešenja degeneracija se javlja u slucaju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno eliminišemo raspoložive kolicine odgovarajuce vrste i kolone, odnosno istovremeno iscrpimo svu raspoloživu ponudu robe i zadovoljimo ukupnu tražnju koja odgovara tom odredištu. U postupku optimizacije, kada u nekoj od iteracija odredujemo poboljšano rešenje, slucaj degeneracije se javlja kada u jednom koraku iskljucimo iz baze dvije promenljive, a u bazu ukljucimo samo jednu prethodno nebazicnu promenljivu. Tabelarno, ovaj slucaj nastaje kada u jednom koraku dva (ili više) prethodno popunjena polja ostaju prazna, dok popunjavamo samo jedno prethodno prazno polje.

Za primjenu nekog od metoda optimizacije programa transporta neophodno je da u tabeli bude popunjeno tacno n+m-1 polja, odnosno da se toliki broj promenljivih nade u bazi. Zbog toga, slucaj degeneracije se prevazilazi tako što se u neko od praznih polja unosi kolicina od ε jedinica robe, gdje je ε infinitezimalno mali broj, koji ne narušava izražene jednakosti ponude i tražnje. Obicno se ova velicina unosi u prazno polje kome odgovaraju najniži transportni troškovi po jedinici prevezene robe.

61. Stepping stone metod iliti metod skakanja s kamena na kamen

Za određivanje optimalnog rješenja mogu se koristiti:

a) Stepping stone metod (u daljem textu SSM)b) Metod potencijala (Modi metod)

SSM:

-Koristi se za provjeru pocetnog bazicnog rjesenja (u daljem textu PBR) tj. Da bismo mogli da koristimo SSM moramo izracunati PBR. Sustina ovog metoda sastoji se u ispitivanju NEzauzetih polja. Ako imamo u transportnoj tabeli polja preko kojih se vrsi transport zovemo ih zauzeta. Preko tih polja se vise ne moze transportovati a znamo troskove za ta polja i mi pokusavamo da ih snizimo tako sto cemo pokusati transport preko drugih polja, pa je sustina ove metode da se ispituju nezauzeta polja. Znaci, ispitujemo ta nezauzeta polja da vidimo da li ona mogu da se ukljuce u transport da bi troskovi bili nizi u odnosu na pocetne. To nezauzeto polje pokusavamo da ukljucimo u transport robe tako sto ga povezujemo sa zauzetim poljima. To se radi na taj nacin sto se crtaju poligoni (mnogouglovi) za prazna polja. Oni se formiraju tako sto se pocne od praznog polja a ostala tjemena mnogougla nalaze se na zauzetim poljima. To polje ce postati zauzeto a neko od zauzetih(preko kojih smo formirali poligon) ce postati prazno ( kao kod Simplex tabela-kad jedna promjenljiva udje u bazu, neka druga mora da napusti bazu). Kad formiramo poligone, uglovi moraju biti pravi a broj tjemena paran. Najmanji broj tjemena je 4 a najveci m+n. Metod je dobio naziv upravo po tome sto se prelazi (skače) s polja na polje.

-Za nezauzeta polja treba formirati relativne troskove. Relativni troskovi pokazuju za koliko jedinica ce se ukupni troskovi transporta povecati ili smanjiti ukoliko u odgovarajuce polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Ako ti troskovi budu negativni to znaci da cemo koriscenjem tog polja smanjiti ukupne troskove a ako ti troskovi budu pozitivni to znaci da cemo koriscenjem tog polja povecati ukupne troskove. Relativne koeficijente troskova izracunavamo tako sto od transportnog troska koji odgovara pocetnom (praznom) polju naizmjenicno oduzimamo i dodajemo jedinicne

troskove transporta koji se nalaze na tjemenima poligona (znaci prvi oduzmemo, sledeci saberemo itd). Postojanje makar jednog negativnog koeficijenta znaci da PBR nije optimalno!

-Postupak rješavanja odvija se tako što prvo nađemo PBR. Nakon toga, na osnovu praznih polja formiramo poligone. Odredimo koeficijente relativnih troškova za prazna polja ( d ). Kad odredimo te koeficijente gledamo da li je rješenje optimalno tj da li su sve vrijednosti relativnih koeficijenata ( d ) pozitivne. Ukoliko je makar jedna vrijednost negativna znaci da rješenje nije optimalno tj može da se poboljša. Ako ima više negativnih koeficijenta, biramo najveci apsolutni jer cemo korišćenjem tog polja koje ima najveću apsolutnu vrijednost relativnog koeficijenta najviše smanjiti troškove i to polje uključujemo u transport. U to polje treba sad unijeti neku količinu koja će se transportovati, koju obilježavamo sa λ, a neđe drugo moramo oduzeti istu količinu da ne bismo narušili ravnotežu jer ukupna količina robe ostaje ista samo je preraspoređujemo. Na tjeme praznog polja upisujemo λ, na polje pored od postojeće količine oduzimamo λ, na sledeće sabiramo itd (naizmjenično). Izjednačavanjem minimalne razlike sa nulom dobijamo vrijednost λ (npr 50-λ i 150-λ,uzimamo 50-λ=0 jer je minimalna i dobijamo da je λ=50 jer ako bismo uzeli 150-λ=0, λ=150, dobili bismo neđe negativne količine 50-λ=50-150 ) i to je količina koju ćemo transportovati preko polja koje je do sad bilo prazno.

Crtamo novu tabelu i popunjavamo je najprije količinama iz prethodne tabele tj popunjavamo prvo polja koja nijesu bila obuhvaćena poligonom, pa tek onda polja iz poligona. Nakon toga računamo transportne troškove i upoređujemo ih sa sa troškovima koji su odgovarali PBR. Ako su se troškovi snizili to znači da je rješenje dobijeno ovom metodom poboljšano. Razlika nam pokazuje koliko će se troškovi smanjiti ako preko ovog, do sad praznog polja transportujemo neku λ količinu robe. Smanjenje troškova mozemo izračunati i preko formule Δz=xij*dij (xij=λ) koja pokazuje proizvod količine koja će se transportovati preko odabranog polja i relativnog koeficijenta troškova za to polje.

Nakon toga ponovo računamo relativne koeficijente troškova i ponavljamo postupak sve dok sve vrijednosti d ne budu pozitivne što predstavlja optimalan program transporta robe.

62. Metod potencijala – Modi metod(modifikovani simplex metod)

Metod potencijala predstavlja postupak za određivanje optimalnog programa transporta robe na osnovu već određenog početnog programa transporta. Suština ovog metoda sastoji se u ispitivanju mogućnosti poboljšanja već dobijenog programa transporta, koji se u iterativnoj proceduri transformiše u

optimalno rješenje. Postupak primjene metoda potencijala podrazumijeva određivanje po jednog takozvanog množitelja za svaku od jednačina ponude i tražnje sistema ograničenja modela transporta.

Množitelaj ima m+n a bazičnih promjenljivih m+n-1. Jednom od množitelja dodjeljuje se proizvoljna vrijednost, najčešće nula. Preostali množitelji se izračunavaju iz relacije:

Cij=Ui+Vj odnosno Cij-Ui+Vj=0 pri čemu je: i=1,...,m j=1,...n Cij su vrijednosti potencijala a Ui i Vj množitelji i ova relacija važi za zauzeta polja.

Za nezauzeta polja potencijali se izračunavaju iz relacije:

Cij'=Cij-Ui-Vj

Ukoliko za jedno ili više praznih polja dobijemo negativne vrijednosti potencijala (Cij'<0) izračunati program transporta nije optimalan. Za poboljšanje programa se koristi polje kome odgovara negativni potencijal sa najvećom apsolutnom vrijednošću. Za to polje crtamo poligon i balansiramo količine po istom principu kao kod SSM (objašnjeno već kod SSM da ne mlatim istu priču sad). Nenegativne vrijednosti potencijala za prazna polja nekog programa transporta pokazuju da se radi o optimalnom rješenju.

Algoritam Modi metoda:

1) Odrediti početni program transporta robe (PBR)2) Odrediti množitelje Ui i Vj za svaku vrstu i kolonu početnog rješenja3) Izračunati potencijale za svako prazno polje tabele4) Koristeći polje sa najvećom apsolutnom vrijednošću potencijala odrediti

poboljšani program transporta odgovarajućim balansiranjem količine prevezene robe

5) Postupak se ponavlja sve dok svi potencijali ne budu pozitivni.

Optimalno rješenje je isto kao kod SSM.

63. Otvoreni problem transporta i postupak njegovog rješavanja

Kad radimo transportni problem potrebno je da postoji jednakost ponude i tražnje i to znači da se radi o zatvorenom transportnom problemu, u kojem raspodjela robe koja postoji u pojedinim mjestima ponude omogućuje

zadovoljenje cjelokupne tražnje svih potrošača. Pored zatvorenog transportnog problema postoji i otvoreni i to onda kad nije zadovoljen uslov o postojanju jednakosti između ukupne ponude i ukupne tražnje tj kada je Σai ≠ Σbjradi se o otvorenom transportnom problemu.

Postoje dva slučaja otvorenog modela transporta:1) Otvoreni model u kojem je ukupna ponuda veća od ukupne tražnje tj. Σai > Σbj2) Otvoreni model u kojem je ukupna ponuda manja od ukupne tražnje

tj. Σai < Σbj

Da bi problem mogao da se riješi potrebno je da ponuda I tražnja budu jednake jer je algoritam za rješavanje tranansportnog problema takvog oblika pa ih moramo izjednačiti.

1) Slučaj kad je ponuda veća od tražnje: Postupak rješavanja modela sastoji se u definisanju jednog uslovnog (fiktivnog) mjesta tražnje (fiktivna kolona u tabeli) kojem se dodjeljuje iznos za koji je ukupna tražnja manja od ukupne ponude odnosno: bn+1 = Σai - Σbj

2) Slučaj kad je ponuda manja od tražnje: Ako je ukupna ponuda manja od ukupne tražnje uvodi se uslovno(fiktivno) mjesto ponude (fiktivna vrsta u tabeli) čija je ponuda jednaka razlici između ukupne tražnje I ukupne ponude tj: am+1 = Σbj - Σai

Kad dodamo uslovnu ponudu ili tražnju moramo definisati i troškove. Cij=0 jer taj potrošač ne postoji ali upisujemo taj višak u polje uslovnog potrošača I to je višak koji će ostati na skladištu I to polje smatramo zauzetim da bi uslov m+n-1 bio zadovoljen ali na kraju ne možemo komentarisati da smo poslali tu količinu nekom nego kažemo da na nekom skladištu postoji višak ponude (odnosno višak tražnje u obrnutom slučaju).

*Degeneracija

Rješenje u kojem nema m+n-1 bazičnih promjenljivih odnosno popunjenih polja tabele ne zadovoljava neophodan uslov za primjenu nekog od metoda optimizacije. Ovakav slučaj se javlja kada je parcijalna suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih suma tražnje. Takav slučaj se predstavlja degeneraciju transportnog problema a takvo rješenje smatramo degenerativnim.

Degeneracija transportnog problema može da se javi prilikom određivanja : 1) Početnog bazičnog rješenja 2) U postupku poboljšavanja nekog problema transporta u proceduri optimizacije.

1) Prilikom određivanja PBR degeneracija se javlja u slučaju kada popunjavanjem nekog od polja istovremeno eliminišemo raspoložive količine odgovarajuće vrste I kolone, odnosno istovremeno iscrpimo svu raspoloživu ponudu robe I zadovoljimo ukupnu tražnju koja odgovara tom odredištu. To se dešava kad je neka parcijalna suma ponude jednaka parcijalnoj sumi tražnje. Kad popunjavamao neko polje posmatramo količinu koja se nudi I koja se traži I upisujemo manju (xij=min(120,20), biramo 20 I tom iteracijom eliminišemo neku vrstu) ali u slučaju kada je parcijalna ponuda jednaka parcijalnoj tražnji (xij=min(100,100)) takvom iteracijom eliminišemo I jednu vrstu I jednu kolonu (odnosno istovremeno eliminišemo dvije bazične promjenljive) pa ce uslov postojanja m+n-1 bazičnih promjenljivih biti narušen I kažemo da se pojavio problem degeneracije. To možemo I da ne primijetimo ali kad dođemo do kraja provjeravamo koliko imamo punih polja I otklanjamo degeneraciju tako što u neko od susjednih praznih polja (u ono koje ima najniže jedinične troškove) upiše nula. Po pravilu se upisuje epsilon jedinica robe, đe je epsilon infinitezimalno mali broj, koji ne narušava izražene jednakosti ponude I tražnje ali s obzirom da toliko mali broj koji teži nuli jednostavnije je da pišemo nulu I to polje tretiramo kao zauzeto.

2) U postupku optimizacije, degeneracija se javlja kada u nekoj od iteracija u jednom koraku isključujemo iz baze dvije promjenljive, a u bazu uključujemo samo jednu prethodno nebazičnu promjenljivu. Degeneracija postoji kada treba odrediti λ, pri čemu imamo dvije minimalne a iste vrijednosti. Znači ovaj slučaj se vezuje za količinu. Kad pravimo polygon da odredimo nove količine, dobijamo dva prazna polja pa problem degeneracije rješavamo na taj način što u polje sa manjim jediničnim troškom upisujemo nulu(pa to polje tretiramo kao zauzeto) a drugo polje ostaje prazno.

64. Osnovni pojmovi I pretpostavke teorije transportnih mreža

Standardni transportni problem počiva na sledećim pretpostavkama: -da postoji m otpremnih stanica (ishodišta) -da postoji n dopremnih stanica (odredišta) -da su sva ishodišta neposredno povezana sa odredištima -da prevoz od odredišta do ishodišta nije moguć

Često navedene pretpostavke nijesu realne zato što punktovi imaju mogućnost I potrebu da uvoze I izvoze robu tj da se javljaju istovremeno kao odredišta I kao ishodišta, ili da se preko njih vrši samo tranzit robe. Ovakvi, I slični problemi spadaju u grupu problema koji se zovu transportni problemi na mreži.

Transportna mreža se definiše kao skup čvorova (punktova) I skup veza (komunikacija) na kojima se odvija neka transportna djelatnost. Čvorovi (označeni krugovima) mogu biti: gradovi, raskrsnice ulica, aerodrome, željezničke stanice…. Komunikacije(označene linijama) mogu biti: ulice, drumske saobraćajnice, vazdušni putevi, željezničke stanice….. Prilikom kretanja između punktova u nekoj transportnoj mreži, problem se sastoji u određivanju optimalnog puta, pri čemu optimalni put može biti definisan kao najkraći put, najduži put, najjeftiniji, najpouzdaniji…. Grane u mreži su okarakterisane dužinom. Dužina grane može biti: dužina puta, vrijeme putovanja, transportni troškovi, pouzdanost itd. Ako se sa P označi proizvoljan konačan skup elemenata pi, a sa K skup svih (nije obavezno svih) uređenih parova kij=(pi, pj), koji su sastavljeni od različitih elemenata skupa P, tada skupovi P I K posmatrani zajedno definišu transportnu mrežu. Par (P,K), dva skupa P I K, određuje potpuno jednu transportnu mrežu.

Tjemena transportne mreže mogu biti: -tjemena proizvodnje -tjemena potrošnje -tranzitna tjemena

U tjemenima proizvodnje veličina pi je pozitivna, u tjemenima potrošnje je negativna a u tranzitnim tjemenima jednaka je nuli.

Elementi kij=(pi,pj) skupa K, nazivaju se komunikacije transportne mreže. Komunikacija kod koje je jedan te isti punkt I početni I završni naziva se petlja.

Mreža može biti -orjentisana (označen pravac kretanja) -neorjentisana (ne znamo đe se što prevozi) -mješovita

Za svaku komunikaciju su vezana dva broja:

1)Propusna moć (dij) koja pokazuje kolika je maximalna količina robe koja se može prevesti tom komunikacijom (ta vrijednost nije uvijek data)

2)Troškovi prevoza (cij) jedinica robe koja se transportuje iz jednog punkta u drugi komunikacijom (uvijek dati) (ako je na komunikaciji napisan samo jedan br to su uvijek troškovi!)

Transportna mreža se može prikazati I u obliku kvadratne matrice u kojoj svakom punktu transportne mreže odgovara jedna vrsta I jedna kolona. Vrste matrice A pokazuju u koja tjemena mreže je moguć prevoz iz tjemena koja odgovaraju datoj vrsti a kolone pokazuju koje se komunikacije završavaju u dotičnom tjemenu mreže. Na glavnoj dijagonali matrice transportne mreže uvijek se nalaze nule, zato što ne postoje komunikacije koje polaze I završavaju se se u istim tjemenima.

65. x66. x67. x68. x

69. Matrične igre sa mješovitim strategijama.

Strana 317. u knjizi. Ako matrična igra nema sedlastu tačku, tj. Ako pri optimalnim strategijama za igrača A i igrača B, maximin vrijednost (maksimalni minimalan dobitak za igrača A) i minimax vrijednost (minimalni maximalni gubitak igrača B) NISU jednaki onda se ne radi više o prostoj matričnoj igri koja ima sedlastu tačku i čije rješenje se lako nalazi. Ukoliko se igrači ponašaju racionalno , onda u želji da bolje prodju, tj. Da povećaju svoj dobitak odnosno smanje svoj gubitak će u nizu poteza birati više strategija. Vazno je reci da je vrijednost igre uvijek izmedju minimax i maximin vrijednosti, što znači da igrač A može imati dobitak veći od minimalnog a igrač B gubitak manji od maximalnog. Opredjeljivanje za izbor različitih strategija od strane igrača A i B realizuje se slučajnim izborom, odnosno sa određenom vjerovatnoćom pri čemu jedan slučajan izbor različitih strategija predstavlja tzv. Mješovitu strategiju (kombinacija različitih vjerovatnoća sa kojima će igrači u uzastopnom nizu poteza igrati pojedine strategije koje im stoje na raspolaganju.) Za igrača A mješovita strategija predstavlja se vektorom x = (x1,x2,...,xm) čiji elementi pokazuju vjerovatnoće sa kojima igrač A primjenjuje pojedine strategije. Suma svih tih vjerovatnoća je jednaka jedinici. I sansa za svaku strategiju da bude izabrana je veća ili jednaka nuli. Ako je veća od nule onda je to aktivna strategija.

Isto važi i za igrača B čija mješovita strategija je vektor y=(y1,y2,...,yn). Pri svakoj odabranoj strategiji dobitak/gubitak zavise od vjerovatnoća x i y, i od matrice plaćanja, te vrijednost igre možemo predstaviti formulom 5.5 iz knjige tj:

V= f (x,y) = (suma i=1 do m) (suma i=1 do n) aij xi yj

Ili vektorski

V= f (x,y) = xPy’

Primjer u knizi na str 219.

70. Rješavanje mješovitih matričnih igara.

Vrijednost igre ovdje je prosječan dobitak, odnosno gubitak za igrača A/B. Kao i u prethodnom pitanju, svaki igrač ponašajući se racionalno pokušava da svede svoj dobitak na maximalan nivo , tj. Gubitak na minimalan nivo. Različite vrste mješovitih igara, zavisno od vrste i dimenzije matrice plaćanja, rješavaju se na različite načine. Npr. Igre u kojima jedan igrač raspolaže sa 2 strategije, a drugi sa 2 ili više, tj. Sa konačnim brojem strategija se mogu riješiti analitički i grafički. To su matrice reda 2x2, 2xn ili mx2...Ako je m veće od 2 , a takodje i n veće od 2 onda pokušavamo da uprostimo matricu u oblik pogodan za grafičko i analitičko rješavanje, ako ne može onda rješavamo korišćenjem modela LP. Ovo je suština odgovora na ovo pitanje, zbog nepogodnosti pisanja formula savjetujem da ipak pogledate u knjizi, nema tu puno...

71. Rješavanje igre reda 2x2

E sad da rezimiramo. Ako imate neku matricu 2x2 i ako vidite da donja i gornja vrijednost igre nisu jednake onda je to složena matrična igra , tj. Neophodno je da odredimo optimalne strategije za igrače A i B, tj. Vektore vjerovatnoća odredjenih strategija i naravno vrijednost igre što je i cilj samog zadatka. Znači moraju obije strategije i jednog i drugog igrača biti aktivne, tj. Imati vjerovatnoću veću od 0 da se upotrijebe u jednom od nekoliko poteza ovih igrača. Elemeneti matrice su a11,a12,a21 i a22. Svako igrač gleda vrijednost igre ukoliko ovaj drugi izabere neku strategiju... Tako npr igrač A ima vjerovatnoće kao ranije x1 i x2 za svoje 2 strategije. Za njega da bi odredili vrijednost igre praivmo sistem jednačina:

a11x1 + a21x2 = v

a12x1 + a22x2 = v

x1 + x2 = 1

zamjenom npr. X1=1-x2 mozemo naći sve elemente i vrijednost igre. Analogno tome i igrač B gleda svoje vrijednosti na osnovu izbora strategija igrača A, te je njegov sistem:

a11y1 + a12y2= v

a21y1 + a22y2= v

y1 + y2 = 1

Na isti način dolazimo do vrijednosti igre i elemenata y1 i y2.

Grafički način je objasnjen u knjizi na str.323 -330 i lagan je, brzo se prelazi jer su grafici.

72. Rješavanje igre reda (2,n) ili (m,2)

Poenta je da se matrica placanja svede na matricu 2x2, pa da se riješi kao takva. Znači treba uvijek kod igrača koji ima više od 2 mogucih strategija naći aktivne 2 strategije, njih ćemo naći grafičkom metodom koja je odlično objašnjena u knjizi na strani 330 i potkrijepljena primjerom, 2xn je matrica kod koje grafičkim metodom tražimo maximalan dobitak za igrača A. Krive koje određuju omega tačku su aktivne strategije, njih je 2 i na osnovu njih svodimo matricu na 2x2, tj. To su aktivne strategije sa strane igrača B, postupak se nastavlja analitičkim putem, tj. Analitički se rješava matrica 2x2 kao u prethodnom odgovoru, skrećem pažnju da u knjizi nema prazne priče i da je sve bitno i mora se pogledati da bi se razumjelo. Str.330-336, to su samo primjeri, nema teorije. Matrica mx2 se odnosi na igrača B, tj. Grafički tražimo omega minimalno, tj. Minimalan gubitak na osnovu kojih biramo optimalne strategije sa strane igrača A, dobijamo matricu 2x2 i rješavamo analitički.

73. x74. x