ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS - ajax.ehu.es ¢  ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS 1.- OBJETIVOS El objetivo

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  • ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS

    1.- OBJETIVOS

    El objetivo de esta prctica es doble: por un lado aprender cmo se maneja un

    osciloscopio, y por otro, utilizando este aparato, el estudio de las ondas estacionarias

    que se producen en una cuerda sujeta por sus dos extremos.

    2.- FUNDAMENTO TEORICO

    Las ondas estacionarias se producen cuando una onda viajera llega a una

    superficie y se refleja totalmente. Existen varios tipos de ondas estacionarias: podemos

    diferenciar fcilmente aquellas que se producen al pulsar una cuerda tensa, de las que se

    producen al excitar por uno de sus extremos una columna gaseosa. En esta prctica nos

    centraremos nicamente en las ondas producidas en una cuerda tensa.

    Supongamos una onda cualquiera de frecuencia angular y nmero de ondas k,

    que se propaga de izquierda a derecha en la direccin del eje x:

    ( )tkxsen01 = (1) La onda incide perpendicularmente en una pared perfectamente reflectante, de forma

    que da lugar a una onda reflejada que tendr la misma amplitud, la misma frecuencia

    angular y el mismo nmero de ondas que la onda incidente, pero que se propagar de

    derecha a izquierda en la direccin del eje x:

    ( )tkxsen02 += (2) Ambas ondas se superponen dando lugar a lo que se denomina onda estacionaria.

    Veamos las ecuaciones de esta superposicin:

    ( ) ( )[ ] )kxsen()tcos(2tkxsentkxsen 0021 =++=+= (3)

    Como es fcil ver en esta ltima ecuacin, la superposicin de las dos ondas

    viajeras da lugar a una onda que no es del mismo tipo que las que la provocan. Se

    observa que existen puntos en los que la oscilacin resultante es mxima, distantes entre

    s media longitud de onda, que denominaremos vientres o antinodos, que se alternan con

    otros en los que la vibracin es nula, denominados nodos. La distancia entre un vientre

  • y un nodo sucesivos es un cuarto de la longitud de onda de las ondas que se superponen.

    Adems en los vientres la amplitud de vibracin es el doble que la amplitud de las

    ondas originales, por lo que la energa ondulatoria en los vientres es cuatro veces mayor

    que en la onda original. Este aparente contrasentido deja de serlo puesto que en los

    nodos no hay energa puesto que no hay vibracin alguna. Por tanto lo que sucede al

    producirse una onda estacionaria es que la energa se redistribuye, concentrndose en

    los vientres a costa de los nodos.

    Las posiciones donde se producen los nodos son aquellas en las que:

    sen(kx) = 0 kx = 0, , 2, ... (4)

    mientras que los antinodos o vientres se producen en las posiciones intermedias, es

    decir cuando:

    sen(kx) = 1 kx = 0, /2, 3/2, ... (5)

    En una cuerda tensa los dos puntos extremos corresponden con un nodo de la

    onda estacionaria. De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que k=2/ debe

    haber un nmero entero de semilongitudes de onda que ajuste la longitud total de la

    cuerda, es decir:

    L2

    n n = (6)

    de donde se deduce que una onda estacionaria no pude tener una longitud de onda

    cualquiera, sino que estas longitudes de onda posibles quedan delimitadas por la

    longitud de la cuerda:

    nL2

    n = (7)

    y las frecuencias correspondientes:

    1n

    n nL2vnv ==

    = (8)

    denominadas frecuencias naturales o armnicos, siendo el valor ms bajo,

    correspondiente a n = 1, la frecuencia fundamental.

    Teniendo en cuenta la expresin para la velocidad de propagacin de ondas en

    cuerdas, que hemos visto en clase:

  • l

    Tv

    = (9)

    donde T es la tensin a la que est sometida la cuerda y l su densidad lineal (masa por

    unidad de longitud), es fcil demostrar que:

    ( ) TL41

    l2

    21

    = (10)

    3.- MANEJO DEL OSCILOSCOPIO

    A continuacin pasamos a explicar qu es un osciloscopio y como hay que

    utilizarlo.

    3.1.- Generalidades. Fundamento terico:

    El osciloscopio es un aparato que permite visualizar en una pantalla

    movimientos vibratorios elctricos o mecnicos (en cuyo caso se precisar de un

    transductor que los transforme en seales elctricas).

    El elemento principal del osciloscopio es el tubo de rayos catdicos, donde se

    desva un haz electrnico por medio de campos elctricos o magnticos, gobernados por

    la magnitud elctrica a visualizar. Los electrones son emitidos por un ctodo

    incandescente, acelerados por la diferencia de potencial existente entre ste y el nodo,

    e inciden finalmente sobre una pantalla fluorescente. La luminosidad del punto de

    impacto procede de la transformacin de la energa cintica de los electrones en energa

    luminosa. En su camino, el haz de electrones atraviesa dos pares de placas, colocadas

    horizontalmente (Y1,Y2) y verticalmente (X1,X2), a las cuales pueden aplicarse

    potenciales determinados. Si dichas placas estn desconectadas, el haz de electrones

    incide en el centro de la pantalla. Sin embargo, si se aplican potenciales determinados a

    las placas, se producir una desviacin horizontal (debida a X1,X2) y/o vertical (debida

    a Y1,Y2) (ver figura 1). Si las tensiones aplicadas son variables con el tiempo el punto

    de impacto del haz en la pantalla tambin cambiar, y si la frecuencia de la tensin es lo

    suficientemente alta (> 100 Hz) la impresin al ojo humano es la de un trazo continuo

    sobre la pantalla.

  • Si se quiere visualizar la dependencia con el tiempo de una determinada seal

    elctrica, sta se aplica a las placas de desviacin vertical (Y1,Y2). A su vez, un

    dispositivo interno al aparato aplica una tensin que vara linealmente con el tiempo a

    las placas de desviacin horizontal (X1,X2). A este proceso interno se le denomina

    "barrido. De esta forma el haz tiene una velocidad constante en el eje horizontal, y un

    regreso rpido al punto inicial de partida.

    Figura 1

    Si se quiere visualizar la relacin entre dos seales elctricas, bastar aplicar una

    de ellas a las placas de desviacin vertical, y la otra a las de desviacin horizontal

    (funcin XY en nuestro osciloscopio). En esta situacin el barrido interno queda

    automticamente desconectado.

    Otra forma de visualizar la relacin entre dos seales elctricas consiste en

    mantener el barrido interno horizontal y aplicar alternativamente las dos seales a las

    placas de desviacin vertical (Y1,Y2). Si la frecuencia de barrido es lo suficientemente

    alta su visualizacin es aparentemente simultnea al ojo humano (funcin DUAL en

    nuestro osciloscopio).

    El osciloscopio es un instrumento delicado. Los mandos TIME/DIV y

    VOLTS/DIV no son continuos, deben manipularse con cuidado y nunca deben ser

    forzados.

  • 3.2.- Descripcin del aparato:

    En la figura 2 se representa el panel frontal del osciloscopio HM 303-4, que

    utilizaremos en la prctica. A continuacin se describen las funciones realizadas por los

    mandos de control principales del osciloscopio.

    Figura 2: Panel frontal del osciloscopio.

    INTENS (Brillo)

    Este mando permite variar la intensidad del punto luminoso de la pantalla. El brillo

    debe ser el necesario y suficiente para que la imagen sea visible (la presencia de un halo

    luminoso alrededor de la imagen indica un exceso de intensidad y, por lo tanto, se ha de

    evitar).

    FOCUS (Enfoque)

    Este mando permite obtener una imagen ntida sobre la pantalla.

    X-POS

    Este mando permite el desplazamiento del haz en direccin horizontal.

    TIME/DIV

    Este mando permite fijar los coeficientes de tiempo (velocidad de barrido) de la base de

    tiempos de 0.2 s/divisin hasta 0.1 s/div.

    X-Mag.(x10): Expansiona el eje X en un factor 10 (reduce el coeficiente de tiempo por

    el factor 10). Permite por lo tanto una resolucin mxima de 10 ns/div.

  • VOLTS/DIV (Amplificador vertical)

    Este mando permite amplificar o atenuar la seal de entrada por el canal I o II. El factor

    de amplificacin es indicado en torno al mando.

    Y-Mag.(x5): Aumenta la sensibilidad por el factor 5. La resolucin mxima ser por lo

    tanto de 1mV/div.

    Los mandos TIME/DIV y VOLTS/DIV tienen un botn central con una flecha que se

    utiliza para calibrar los coeficientes de tiempo y la amplificacin vertical. Estn

    adecuadamente colocados. No tocarlos.

    Y-POS

    Este mando permite el desplazamiento del haz en direccin vertical.

    INPUT (Canal I o II)

    Entrada por el canal I o II de seales que producen deflexin vertical.

    AC-DC

    En la posicin AC se elimina cualquier componente continua que se encuentre en la

    seal de entrada. En la posicin DC no.

    OVERSCAN

    Indica si el haz o partes de la seal salen de la retcula en direccin vertical. Por la

    posicin del indicador luminoso se reconoce en qu direccin ha salido el haz de la

    pantalla.

    DUAL

    Permite visualizar simultneamente las seales introducidas por los canales I y II,

    produciendo ambas deflexiones verticales.

    XY

    Permite visualizar simultneamente las seales introducidas por los canales I y II. Sin

    embargo, la seal introducida por el canal II es la utilizada para producir la deflexin

    horizontal.

  • TRIGGERING (Sincronizacin)

    Con el fin de obtener una imagen estable, es necesario comenzar el barrido

    sincrnicamente con el ciclo de la seal que se introduce. Por eso el barrido debe ser

    disparado por dicha seal externa, o por alguna otra que m