1

Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych

o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych

oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ

Etap I

Określenie jednolitych metod obliczenia przepływów maksymalnych

rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia

w zlewniach kontrolowanych

Sfinansowano ze środków Narodowego Funduszu Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej na zlecenie Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej

STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH

ul. Podleśna 61, 01- 673 Warszawa

S P H

2

Spis treści

A. Podstawa opracowania ......................................................................................................... 4

I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia w zlewniach kontrolowanych ..................................................................... 4

1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

– długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych ............................................................ 6

1.1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów

maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) .................................. 7

1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia ..................................................................................................................... 9

1.2.1. Rozkład Pearsona typu III ................................................................................................ 9

1.2.1.1. Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax

i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia ∈ ...................................................... 9

1.2.1.2. Estymacja parametrów α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej

wiarygodności ........................................................................................................... 10

1.2.1.3. Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów

maksymalnych ........................................................................................................... 10

1.2.1.4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa ..................................................... 11

1.2.1.5. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu χ2 Pearsona ......................................................... 11

1.2.1.6. Obliczenie i wykreślenie górnej granicy ,umax pQ β jednostronnego β% przedziału

ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych

rocznych Qmax,p .......................................................................................................... 12

1.2.2. Przykłady obliczeń ......................................................................................................... 14

1.2.3. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla ............................... 23

1.2.3.1. Rozkład logarytmiczno-normalny ............................................................................... 24

1.2.3.2. Rozkład Weibulla ....................................................................................................... 27

2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym –

krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych ............................................................ 29

2.1. Metoda regresyjna ............................................................................................................ 29

3

3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym .......................... 37

3.1. Metoda ekstrapolacyjna .................................................................................................... 37

3.2. Metoda interpolacji .......................................................................................................... 39

4. Literatura ............................................................................................................................. 43

Załącznik A – Tabele

.

4

A. Podstawa opracowania

Podstawą wykonania prac Etapu I - Metodyka obliczania przepływów i opadów maksy-

malnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i

niekontrolowanych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ była umowa

nr 56/09/Wn50/NE-Wu-Tx-/D z dnia 02.03.2009 r. zawarta pomiędzy Narodowym Fundu-

szem Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej i Krajowym Zarządem Gospodarki Wodnej

a Stowarzyszeniem Hydrologów Polskich

Etap I pracy obejmuje:

1. Określenie jednolitych metod obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określo-

nym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych przy uwzględnieniu

następujących przypadków:

a. przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym:

- dla ciągów danych pomiarowych wystarczająco długich,

- dla ciągów danych pomiarowych za krótkich.

b. przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym.

I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia w zlewniach kontrolowanych

Definicje ważniejszych terminów

zlewnia kontrolowana – zlewnia w której znajduje się stacja wodowskazowa i sa prowa-

dzone systematyczne obserwacje hydrometryczne

najwyższy przepływ roczny (przepływ maksymalny roczny) – przepływ kulminacyjny

najwyższego wezbrania w roku

seria czasowa (przepływów maksymalnych rocznych) – seria przepływów maksymalnych

rocznych uporządkowana chronologicznie

jednorodność serii (przepływów maksymalnych rocznych) – własność serii polegająca na

tym, że wszystkie jej elementy pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa i

są one wzajemnie niezależne

prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Qmax,p – przepływ maksymalny roczny o

prawdopodobieństwie przewyższenia p

5

rzeczywisty prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Qmax,p – nieznana poszukiwa-

na wartość przepływu maksymalnego rocznego o prawdopodobieństwie przewyższenia p

prawdziwy rozkład zmiennej Qmax – nieznany poszukiwany rozkład prawdopodobieństwa

zmiennej Qmax

empiryczny rozkład przepływów maksymalnych rocznych Qmax – związek pomiędzy em-

pirycznym prawdopodobieństwem przewyższenia,a kolejnymi wartościami uporządkowa-

nej malejąco serii Qmax,(i);

pearsonowska podziałka prawdopodobieństwa – układ współrzędnych (x,y), gdzie na oś

rzędnych y = Qmax, a oś odciętych x jest proporcjonalna do standaryzowanego kwantyla

tp(λ=4), p jest prawdopodobieństwem przewyższenia, p ∈ (100%; 0,1%)

teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i) – nieznane poszuki-

wane prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i), jakie dałoby się obliczyć, gdy-

by znany był prawdziwy rozkład zmiennej Qmax

jednostronny β% przedział ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów

maksymalnych rocznych Qmax,p – półnieskończny przedział (-∞, ,umax pQ β ) zawierający z praw-

dopodobieństwem β% (zwykle β = 84%) oczekiwaną wartość prawdopodobnego przepływu

maksymalnego rocznego Qmax,p.

6

1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

– długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych

W zlewniach kontrolowanych, gdy przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wo-

dowskazowym i istnieje długa min (30 letnia) seria czasowa przepływów maksymalnych

rocznych, do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodo-

bieństwie przewyższenia stosuje się metody statystyczne.

Rys. 1.1. Zlewnia kontrolowana (przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

W przypadku krótszych serii obserwacyjnych (< 30 lat) należy je uzupełnić wykorzystując

zależności regresyjne jakie występują pomiędzy przepływami maksymalnymi w przekroju

wodowskazowym posiadającym krótki ciąg i przekroju z długim okresem obserwacyjnym.

Jeżeli przekrój obliczeniowy na cieku kontrolowanym nie pokrywa się z przekrojem wodo-

wskazowym do przeniesienia informacji hydrologicznej należy zastosować metodę interpola-

cji lub ekstrapolacji w ramach podobieństwa hydrologicznego.

Przekrój wodowskazowy

Przekrój obliczeniowy

7

1.1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów

maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS)

Test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) [3] [4] [5] jest ciągiem testów weryfikujących

dla kolejnych podserii {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,k}k=2,...,N i {Qmax,k+1, Qmax,2,..., Qmax,N}k=1,...,N-1, N-

elementowej serii przepływów maksymalnych rocznych {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} hipotezę H0

o ich jednorodności, tzn. że przepływy te są niezależne i mają ten sam rozkład prawdopodo-

bieństwa. W przypadku odrzucenia hipotezy H0 dla niektórych k, wykres przebiegu statystyk

testowych w zależności od czasu k pozwala ponadto zbadać postać niestacjonarności, np. w

postaci trendu lub tzw. punktu zmiany, tj. punktu, w którym trend zmienia kierunek.

Dla danej serii czasowej {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} test MKS wykonywany jest w dwu

etapach.

Etap 1. Najpierw oblicza się liczbę ni (i = 2,...,N) wszystkich elementów podserii cza-

sowej {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,i-1} poprzedzających element Qmax,i i jednocześnie mniejszych od

niego:

,1 ,2 , 1 ,liczba elementów podserii { , ,... } mniejszych od i max max max i max in Q Q Q Q−= (1.1)

Następnie liczby ni są sumowane i tworzona jest statystyka tk

2

k

k ii

t n=

= ∑ (1.2)

Rozkład tej statystyki może być dla N ≥ 10 opisany rozkładem normalnym N(µk, σk) z para-

metrami równymi

1 ( 1)4k k kµ = − (1.3)

1 ( 1)(2 5)72k k k kσ = − + (1.4)

Dalej tworzona jest seria znormalizowanych wartości

µσ−

= k kk

k

tu (1.5)

stanowiąca progresywną postać statystyki testu MKS. Jeśli dla danego k i ustalonego poziomu

istotności α testu (zwykle przyjmuje się α = 0,05), absolutna wartość uk, |uk|, spełnia warunek

8

|uk| > ukryt(α), gdzie ukryt (α) jest krytyczną wartością statystyki testowej (np. ukryt(0,05) = 1,96

dla testu dwustronnego), to hipoteza o niezależności od czasu i nieskorelowaniu podserii

{Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,k} jest odrzucana i przyjmuje się, że w okresie od 1 do k istnieje trend

monotoniczny.

Etap 2. Postępowanie jest analogiczne jak w etapie 1, jednak dotyczy teraz serii cza-sowej ustawionej w porządku odwróconym: {Qmax,N, Qmax,N-1,..., Qmax,1}. Obliczana jest teraz tzw. regresywna postać ku′ znormalizowanej statystyki testu MKS:

k kk

k

tu µσ

′ ′−′ =′

(1.6)

gdzie: kt′ jest liczone podobnie do tk we wzorze (1.2):

1N

k ii k

t n−

=

′ ′= ∑ (1.7)

a liczba in′ jest teraz liczbą elementów podserii {Qmax,N, Qmax,N -1,…, Qmax, i+1} mniejszych od

Qmax i: , , 1 , 1 ,liczba elementów podserii { , ,... } mniejszych od i max N max N max i max in Q Q Q Q− −′ = (1.8)

Tak jak poprzednio, statystyka kt′ podlega rozkładowi normalnemu z parametrami:

1 ( )( 1)4k N k N kµ′ = − − − (1.9)

1 ( )( 1)(2( ) 5)72k N k N k N kσ ′ = − − − − + (1.10)

Jeśli seria danych pochodzi z jednej populacji i dane są niezależne od siebie, to wykresy uk i

ku′ powinny oscylować wokół linii zerowej pozostając w obszarze (-ukryt(α), ukryt(α)). Mono-

toniczny trend przepływów maksymalnych rocznych w całym okresie będzie widoczny na wykresie uk i ku′ w postaci dwu równoległych rosnących lub malejących nieregularnych linii

wychodzących poza obszar (-ukryt(α), ukryt(α)), natomiast jeśli wykresy uk i ku′ przecinają się

powyżej ukryt(α) lub poniżej -ukryt(α), to istnieje podstawa do twierdzenia, że w roku (latach) przecięcia nastąpiła zmiana trendu. Możliwe są też inne sytuacje przedstawione w przykła-dach.

9

1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia

1.2.1. Rozkład Pearsona typu III

Maksymalne przepływy roczne Qmax,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p

(p = P(Qmax ≥ Qmax,p)) oblicza się według wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III:

,

( )pmax p

tQ

λ∈

α= + (1.11)

gdzie:

∈ – dolne ograniczenie przepływów Qmax: Qmax ≥ ∈;

α – parametr skali;

λ – parametr kształtu;

tp(λ) – zmienna standaryzowana.

Wartość ∈ jest estymowana metodą graficzną, parametry α, λ są estymowane metodą największej wiarygodności.

1.2.1.1. Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax

i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia ∈

Czasową serię przepływów maksymalnych rocznych {Qmax,1, Qmax,2,..., Qmax,N} należy

uporządkować w porządku malejącym: {Qmax,(1) ≥ Qmax,(2) ≥ ... ≥ Qmax,(N)}. Dla każdej wartości Qmax,(i), i = 1, 2, ..., N, obliczyć empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia pi według wzoru:

, 1, 2,...,1i

ip i NN

= =+

(1.12)

gdzie: i – numer i-tej najwyższej wartości, Qmax,(i), w uporządkowanej malejąco serii {Qmax,1,

Qmax,2,..., Qmax,N}. Uzyskane punkty (Qmax,(i), pi) umieścić na pearsonowskiej podziałce prawdopodobieństwa, wyrównać odręcznie dolną część empirycznej krzywej aż do prawdopodobieństwa przewyż-

szenia p = 100% i dla tego prawdopodobieństwa odczytać wartość ograniczenia dolnego ∈.

10

1.2.1.2. Estymacja parametrów α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej

wiarygodności

Mając już znane ∈, obliczyć pomocniczą wartość Aλ:

( ), ,1 1

1 1ln lnN N

max i max ii i

A Q QN N= =

= − − −

∑ ∑λ ∈ ∈ (1.13)

Obliczyć oszacowanie parametru λ:

41 1 14 3

AA

≈ + +

λ

λ

λ (1.14)

Obliczyć oszacowanie parametru α:

,

1

1 N

max ii

QN =

=−∑

λα∈

(1.15)

Obliczone wartości ∈, λ i α określają jednoznacznie rozkład (1.11) przepływów maksymal-

nych w roku Qmax.

1.2.1.3. Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymal-

nych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p

Sposób 1: Korzystając z wartości tp(λ) podanych w tabeli A1 (załącznik A) obliczyć za

pomocą wzoru (1.11) dla wybranych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p wartości

przepływu prawdopodobnego Qmax,p.

Sposób 2: Wartości przepływu prawdopodobnego Qmax,p można obliczyć, korzystając np.

z funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego MS Excel:

( ), ROZKŁAD.GAMMA.ODW 1 ; ;1/max pQ p= + −∈ λ α (1.16)

gdzie:

p – prawdopodobieństwo przewyższenia przez przepływ maksymalny roczny Qmax war-

tości Qmax,p, wyrażone liczbą niemianowaną.

11

1.2.1.4. Testowanie hipotezy H0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa

Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych przepływów maksymal-

nych rocznych obliczyć wartość Di

( ) ( ),( ) ,( )1max ; , , ; ,

1 1i teor max i teor max ii iD p Q p Q

N N +

= − − + + ∈,α λ ∈,α λ (1.17)

gdzie:

pteor(Qmax,(i)) – teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Qmax,(i): pte-

or(Qmax,(i)) = P(Qmax ≥ Qmax,(i)) ;

Qmax,(i) – i-ta największa wartość uporządkowanej malejąco serii przepływów maksymal-

nych rocznych.

Obliczyć maksymalną wartość Dmax serii Di:

{ }1,...,

maxmax ii ND D

== (1.18)

Obliczyć wartość λKol statystyki testowej testu Kołmogorowa:

Kol maxN Dλ = ⋅ (1.19)

Wielkość Dmax można też odczytać z utworzonych wykresów rozkładu teoretycznego i

rozkładu empirycznego.

Przyjmując poziom istotności testu, αtest = 5%, porównać wartość λKol z wartością kry-

tyczną testu λkryt(αtest=5%) = 1,36. Jeśli λKol < 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia znalezio-

nego rozkładu; w przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu (logarytmicz-

no-normalnego lub Weibulla, (rozdział 1.2.2.).

1.2.1.5. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu χ2 Pearsona

Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie trzeba będzie podzielić przedział (∈,∞) zmienności

zmiennej Qmax. Aby test mógł być przeprowadzony, liczba r musi wynosić co najmniej 4 (r ≥

12

4) i powinna być taka, aby przeciętna liczba elementów serii wynosiła co najmniej 5 (N/r ≥

5). Następnie obliczyć wartości Qχ,i zmiennej Qmax, które spełniają równość

,P( ) , 1, 2,..., 1max iiQ Q i rrχ< = = − (1.20)

i na tej podstawie utworzyć r przedziałów: (0, Qχ,1), [Qχ,1, Qχ,2),...,[Qχ,r-1,∞). W każdym z tych

przedziałów znajduje się odpowiednio mi, i = 1, 2, ..., r, elementów serii czasowej {Qmax,1,

Qmax,2,..., Qmax,N}.

Obliczyć wartość χ2 statystyki testu χ2 Pearsona:

2 2

1( / )

r

ii

r m N rN =

= −∑χ (1.21)

i, korzystając z tabeli 1.1, porównać z wartością krytyczną χ2

kr = χ2(αtest, ν = r–3) dla pozio-

mu istotności testu αtest = 5%.

Tabela 1.1. Kwantyle χ2(α test=5%, ν) rozkładu χ2

ν

(chi-kwadrat); ν – liczba stopni swobody

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

χ2(5%, ν) 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,0

Jeśli χ2 < χ2kr(αtest), nie ma podstaw do odrzucenia znalezionego rozkładu; w przypadku

przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu ((logarytmiczno-normalnego lub Weibulla,

(rozdział 1.2.3).

1.2.1.6. Obliczenie i wykreślenie górnej granicy ,umax pQ β jednostronnego β% przedziału

ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych

rocznych Qmax,p

Wielkość ,

umax pQ β oblicza się ze wzoru

( ), , ,

umax p max p max pQ Q u Q= +β

βσ (1.22) gdzie:

uβ – kwantyl rzędu β w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli 1.2 podane są

niektóre wartości (β oznacza prawdopodobieństwa nieprzewyższenia).

13

Tabela 1.2. Wartości kwantyla uβ dla zadanego poziomu ufności β

β, % 84 90 95 99

uβ 0,994 1,282 1,645 2,326

( ),max pQσ – błąd oszacowania Qmax,p obliczany ze wzoru:

( ),1( , )max pQ p

N=σ ϕ λ

α (1.23)

Wartości funkcji ϕ(p,λ) są podane w tabeli 1.3.

Tabela 1.3. Wartości funkcji ϕ(p,λ) używanej we wzorze (1.23)

λ 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,1%

1,5 0,522 0,670 1,039 1,923 2,734 3,607 4,814 5,754 8,967 1,6 0,571 0,719 1,085 1,976 2,791 3,667 4,876 5,816 9,025 1,7 0,620 0,765 1,130 2,026 2,846 3,725 4,937 5,877 9,084 1,8 0,667 0,811 1,173 2,075 2,900 3,782 4,996 5,938 9,144 1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9,205 2 0,760 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265

2,5 0,977 1,099 1,438 2,377 3,234 4,142 5,383 6,338 9,566 3 1,176 1,280 1,602 2,564 3,443 4,371 5,632 6,600 9,857

3,5 1,361 1,447 1,750 2,734 3,634 4,581 5,864 6,846 10,137 4 1,534 1,601 1,888 2,891 3,812 4,777 6,082 7,078 10,405

4,5 1,697 1,746 2,015 3,038 3,978 4,962 6,288 7,298 10,661 5 1,851 1,882 2,136 3,176 4,135 5,137 6,484 7,507 10,907

5,5 1,998 2,012 2,250 3,307 4,284 5,303 6,670 7,708 11,144 6 2,139 2,136 2,358 3,432 4,426 5,462 6,849 7,900 11,373

6,5 2,273 2,254 2,462 3,551 4,563 5,615 7,021 8,085 11,594 7 2,403 2,368 2,561 3,666 4,694 5,762 7,187 8,264 11,808

7,5 2,529 2,478 2,657 3,776 4,820 5,904 7,347 8,437 12,016 8 2,650 2,584 2,749 3,883 4,943 6,041 7,503 8,604 12,217

8,5 2,768 2,687 2,839 3,986 5,061 6,174 7,653 8,767 12,414 9 2,882 2,787 2,925 4,086 5,176 6,303 7,800 8,925 12,605

9,5 2,993 2,884 3,010 4,183 5,288 6,429 7,942 9,079 12,792 10 3,101 2,978 3,092 4,278 5,396 6,551 8,081 9,230 12,974 11 3,309 3,160 3,249 4,460 5,606 6,787 8,349 9,520 13,327 12 3,509 3,333 3,400 4,634 5,806 7,013 8,606 9,798 13,666 13 3,700 3,500 3,544 4,801 5,998 7,229 8,852 10,065 13,992 14 3,884 3,659 3,682 4,961 6,182 7,438 9,090 10,322 14,307 15 4,061 3,814 3,815 5,116 6,360 7,638 9,319 10,571 14,611 16 4,233 3,963 3,944 5,265 6,532 7,833 9,540 10,812 14,906 17 4,399 4,107 4,069 5,409 6,699 8,021 9,755 11,045 15,192 18 4,561 4,247 4,190 5,550 6,861 8,204 9,964 11,272 15,471 19 4,718 4,383 4,308 5,686 7,018 8,382 10,168 11,493 15,743 20 4,871 4,516 4,422 5,819 7,172 8,556 10,366 11,708 16,007

14

21 5,020 4,645 4,534 5,948 7,321 8,725 10,559 11,918 16,266 22 5,166 4,771 4,643 6,075 7,467 8,890 10,748 12,124 16,519 23 5,308 4,895 4,749 6,198 7,610 9,051 10,932 12,324 16,766 24 5,448 5,016 4,854 6,319 7,749 9,209 11,113 12,521 17,008 25 5,584 5,134 4,955 6,437 7,886 9,364 11,290 12,713 17,246

1.2.2. Przykłady obliczeń

Przykład 1.1 (negatywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka (po-

wierzchnia zlewni: 57,76 km2, N = 41).

1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej

Podana niżej tabela 1.4 zawiera wartości przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr w

przekroju wodowskazowym Bukówka oraz wartości wielkości związanych z testem MKS.

Tabela 1.4. Seria czasowa Qmax i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugim wier-

szu tabeli to numery odpowiednich równań

rok Qmax k tk µk σk uk t′k µ′k σ′k u′k (1.2 (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6)

1965 18,6 1 637 410 44,516 5,099 1966 13,2 2 0 0,5 0,5 -1 607 390 42,915 5,057 1967 22,1 3 2 1,5 0,957 0,522 582 370,5 41,333 5,117 1968 20,4 4 4 3 1,472 0,679 551 351,5 39,771 5,016 1969 23,0 5 8 5 2,041 1,470 522 333 38,230 4,944 1970 10,7 6 8 7,5 2,661 0,188 491 315 36,708 4,795 1971 27,8 7 14 10,5 3,329 1,051 469 297,5 35,208 4,871 1972 14,7 8 16 14 4,041 0,495 439 280,5 33,728 4,699 1973 8,62 9 16 18 4,796 -0,417 414 264 32,270 4,648 1974 15,9 10 20 22,5 5,590 -0,447 397 248 30,833 4,833 1975 22,1 11 27 27,5 6,423 -0,078 373 232,5 29,418 4,776 1976 16,6 12 32 33 7,292 -0,137 347 217,5 28,025 4,621 1977 27,8 13 43 39 8,196 0,488 323 203 26,655 4,502 1978 4,76 14 43 45,5 9,133 -0,274 298 189 25,308 4,307 1979 11,3 15 46 52,5 10,104 -0,643 291 175,5 23,984 4,816 1980 32,3 16 61 60 11,106 0,090 270 162,5 22,684 4,739 1981 32,3 17 76 68 12,138 0,659 247 150 21,409 4,531 1982 33,8 18 93 76,5 13,200 1,250 224 138 20,158 4,266 1983 21,7 19 103 85,5 14,292 1,224 201 126,5 18,932 3,935 1984 9,23 20 105 95 15,411 0,649 179 115,5 17,732 3,581 1985 14,3 21 111 105 16,558 0,362 161 105 16,558 3,382 1986 8,28 22 112 115,5 17,732 -0,197 141 95 15,411 2,985 1987 10,7 23 116 126,5 18,932 -0,555 126 85,5 14,292 2,834 1988 9,16 24 119 138 20,158 -0,943 108 76,5 13,200 2,386 1989 10,3 25 124 150 21,409 -1,214 92 68 12,138 1,977 1990 6,72 26 125 162,5 22,684 -1,653 76 60 11,106 1,441 1991 4,43 27 125 175,5 23,984 -2,106 64 52,5 10,104 1,138 1992 6,72 28 127 189 25,308 -2,450 60 45,5 9,133 1,588

15

1993 3,08 29 127 203 26,655 -2,851 49 39 8,196 1,220 1994 7,26 30 132 217,5 28,025 -3,051 48 33 7,292 2,057 1995 4,7 31 134 232,5 29,418 -3,348 38 27,5 6,423 1,635 1996 6,05 32 138 248 30,833 -3,568 35 22,5 5,590 2,236 1997 8,75 33 148 264 32,270 -3,595 28 18 4,796 2,085 1998 5,24 34 152 280,5 33,728 -3,810 20 14 4,041 1,485 1999 6,59 35 158 297,5 35,208 -3,962 15 10,5 3,329 1,352 2000 4,7 36 160 315 36,708 -4,222 9 7,5 2,661 0,564 2001 4,16 37 161 333 38,230 -4,499 6 5 2,041 0,490 2002 4,97 38 167 351,5 39,771 -4,639 4 3 1,472 0,679 2003 3,25 39 168 370,5 41,333 -4,899 2 1,5 0,957 0,522 2004 5,92 40 177 390 42,915 -4,963 1 0,5 0,5 1 2005 1,9 41 177 410 44,516 -5,234

Z powodu wymogu, że zmienne uk i uk′ podlegają w przybliżeniu rozkładowi normal-

nemu dla liczebności podciągu nie mniejszej niż 10, podane w tablicy wartości uk i uk′ nadają

się do wykorzystania w teście MKS dla k = 10,...,N (zmienna uk) i dla k = 1,...,N–9 (zmienna

uk′). W tabeli 1.4 podano również wartości uk i uk′ dla k spoza podanego wyżej zakresu nie

tylko z powodów ilustracyjnych ale też dlatego, że zwykle tworzony jest wykres dla k =

2,...,N (dla uk) i dla k = 1,...,N–1 (dla uk′). Taki wykres znajduje się na rys. 1.2.

-6

-4

-2

0

2

4

6

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

u'(t)u(t)1,96-1,96Qmax

Rys. 1.2. Wyniki testu MKS (statystyki u i u′ z tab. 1.4) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H0 o jednorodności kolejnych podserii Qmax (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Qmax (skala

wartości Qmax nie podana).

Przebieg wartości statystyki testowej uk na rys. 1.2 pokazuje, że od początku okresu ob-

serwacji do mniej więcej środka dekady 1980–1990 wartości uk oscylują wokół zera, co

wskazuje na jednorodność (niezależność i brak trendu) kolejnych podciągów progresywnych.

W tym samym okresie uk′ podciągów regresywnych wykazuje bardzo wysokie aczkolwiek

16

zmniejszające się z k wartości dodatnie, znacznie wychodzące ponad 1,96, co wskazuje na

silny trend malejący. Z punktu widzenia obszaru akceptacji hipotezy o jednorodności serii

czasowej Qmax, oba ciągi, uk i uk′, przechodzą w dekadzie 1980-1990 na inne pozycje: uk jest

coraz bardziej mniejsze od -1,96 wskazując tym zwiększającą się niejednorodność (coraz sil-

niejszy trend malejący), osiągając maksimum w roku 2005 (o wartości mnie więcej takiej

samej, jak uk′ dla k=1), natomiast uk′ powoli przestaje być istotne (na poziomie istotności 5%).

Wszystko to sugeruje, że mniej więcej w 1985 roku nastąpiła istotna zmiana reżimu przepły-

wu Bobru na wodowskazie Bukówka, co jest też widoczne w dodanym na rys. 1.2. przebiegu

wartości Qmax. Wytłumaczeniem tej sugestii jest fakt, że w 1987 roku oddano do użytku

zbiornik Bukówka.

Powstałe zmiany są jednak tak duże, że należy stwierdzić niemożliwość obliczania prze-

pływów prawdopodobnych Qmax,p. Przykład 1.2 (pozytywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia rzeki Czarny w przekroju wodowskazowym Polana (po-

wierzchnia zlewni: 94,17 km2, N = 34).

1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej

Tabela 1.5 zawiera wartości serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czar-

ny w przekroju wodowskazowym Polana oraz wartości wielkości związanych z testem MKS.

Tabela 1.5. Seria czasowa Qmax w wodowskazie Czarny/Polana i niektóre wielkości testu MKS. Nume-

ry w nawiasach w drugiej linii to numery odpowiednich równań

rok Qmax k tk µk σk uk t′k µ′k σ′k u′k (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6)

1972 10,2 1 237 280,5 33,728 -1,290 1973 9,24 2 0 0,5 0,5 -1 232 264 32,270 -0,992 1974 58,8 3 2 1,5 0,957 0,522 229 248 30,833 -0,616 1975 8,23 4 2 3 1,472 -0,679 202 232,5 29,418 -1,037 1976 16,2 5 5 5 2,041 0,000 201 217,5 28,025 -0,589 1977 4,92 6 5 7,5 2,661 -0,939 195 203 26,655 -0,300 1978 26,8 7 10 10,5 3,329 -0,150 195 189 25,308 0,237 1979 25,1 8 15 14 4,041 0,247 181 175,5 23,984 0,229 1980 97,2 9 23 18 4,796 1,043 169 162,5 22,684 0,287 1981 23,5 10 28 22,5 5,590 0,984 145 150 21,409 -0,234 1982 22,3 11 33 27,5 6,423 0,856 135 138 20,158 -0,149 1983 21,1 12 38 33 7,292 0,686 126 126,5 18,932 -0,026 1984 59,9 13 49 39 8,196 1,220 118 115,5 17,732 0,141 1985 55,1 14 59 45,5 9,133 1,478 99 105 16,558 -0,362 1986 16,2 15 63 52,5 10,104 1,039 82 95 15,411 -0,844 1987 24,6 16 72 60 11,106 1,081 77 85,5 14,292 -0,595 1988 14,8 17 76 68 12,138 0,659 70 76,5 13,200 -0,492 1989 73,8 18 92 76,5 13,200 1,174 66 68 12,138 -0,165

17

1990 28,9 19 105 85,5 14,292 1,364 51 60 11,106 -0,810 1991 18,6 20 112 95 15,411 1,103 44 52,5 10,104 -0,841 1992 18,2 21 119 105 16,558 0,846 39 45,5 9,133 -0,712 1993 25,8 22 133 115,5 17,732 0,987 35 39 8,196 -0,488 1994 14,5 23 137 126,5 18,932 0,555 31 33 7,292 -0,274 1995 11,2 24 141 138 20,158 0,149 28 27,5 6,423 0,078 1996 54,5 25 160 150 21,409 0,467 26 22,5 5,590 0,626 1997 111 26 185 162,5 22,684 0,992 19 18 4,796 0,209 1998 35,1 27 204 175,5 23,984 1,188 11 14 4,041 -0,742 1999 43 28 224 189 25,308 1,383 9 10,5 3,329 -0,451 2000 52 29 245 203 26,655 1,576 7 7,5 2,661 -0,188 2001 45,4 30 266 217,5 28,025 1,731 3 5 2,041 -0,980 2002 8,9 31 268 232,5 29,418 1,207 1 3 1,472 -1,359 2003 9,72 32 272 248 30,833 0,778 1 1,5 0,957 -0,522 2004 57,4 33 299 264 32,270 1,085 1 0,5 0,5 1 2005 50,8 34 323 280,5 33,728 1,260

-3

-2

-1

0

1

2

3

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

u'(t)u(t)1,96-1,96Qmax

Rys. 1.3. Wyniki testu MKS (statystyki u i u′ z tabeli 1.5) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H0 o jednorodności kolejnych podciągów Qmax (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Qmax

(skala wartości Qmax nie podana).

Wszystkie wartości (rys. 1.3) u i u′ zawierają się w przedziale (-1,96, 1,96), co oznacza,

że da żadnego podciągu (progresywnego i regresywnego) serii Qmax nie ma na poziomie istot-

ności 5% podstaw do odrzucenia hipotezy o jednorodności. Można więc przyjąć hipotezę, że

dane Qmax z przekroju Czarny/Polana pochodzą z jednej populacji i są niezależne.

Można więc przystąpić do estymacji parametrów rozkładu Pearsona III typu.

2. Estymacja dolnego ograniczenia ∈ metodą graficzną

18

Stosując wzór (1.12) i podziałkę prawdopodobieństwa (załącznik) sporządzony został

wykres empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia, co ilustruje rys. 1.4.

Rys. 1.4. Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego ograniczenia∈ (linia zielona). Przyjęto przybliżenie ∈ ≈ 0.

Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość ∈ = 0, Wartość

ta będzie stosowana w dalszych obliczeniach.

3. Estymacja parametrów α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej

wiarygodności

Obliczyć pomocniczą wartość Aλ:

( ), ,1 1

1 1ln ln ln(33,9121) - 3,2456 0,2781N N

max i max ii i

A Q QN N= =

= − − − = =

∑ ∑λ ∈ ∈

Obliczyć wartość parametru λ:

41 1 4 0,27811 1 1 1 1,9514 3 4 0,2781 3

AA

×≈ + + = + + ≈ ×

λ

λ

λ

Obliczyć wartość parametru α:

3

,1

1,951 0,05754 [m /s]1 33,9121 0N

max ii

QN =

= = =−−∑

λα∈

19

Obliczyć żądane wartości Qmax,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS

Excel zilustrowane jest na rys. 1.5.

Rys. 1.5. Obliczanie Qmax,p za pomocą funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego

MS Excel. Można też wykorzystać tabelę A1 (załącznik A) na tp(λ), interpolując liniowo tp(λ) dla każde-

go p, gdyż dla λ=1,95 mamy: tp(λ=1,95) = [tp(λ=1,9) + tp(λ=2,0)]/2.

Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Qmax

można teraz nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa, co ilustruje rys. 1.6

Rys 1.6. Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa pteor(Qmax; ∈ = 0; α = 0,0575, λ = 1,95) (linia cią-gła) przewyższenia przepływów Qmax

20

4. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu λ Kołmogorowa

Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Qmax,(i), i =1, 2,..., N =

34, obliczyć wartość Di (wyniki zawiera tab. 1.6):

( ) ( ),( ) ,( )1max ,

1 1i teor max i teor max ii iD p Q p Q

N N +

= − − + +

Obliczyć maksymalną wartość Dmax

{ }

1,...,max 0,1132max ii N

D D=

= =

oraz wartość λKol statystyki testowej testu λ Kołmogorowa:

34 0,1132 0,6603Kol maxN D= ⋅ = ⋅ =λ

Ponieważ wartość statystyki testowej λKol = 0,660 jest mniejsza od 5% wartości krytycz-

nej λkr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodo-

bieństwa przepływów maksymalnych Czarnej w przekroju Polana jest rozkład Pearsona typ

III z parametrami ∈ = 0, α = 0,0575, λ = 1,95.

Tabela 1.6 oraz rys. 1.7 ilustrują liczbowo i graficznie szczegóły obliczeń.

Tabela 1.6. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych Czarna/Polana,

Qmax(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, pteor(Qmax(i)), oraz wartości pomocnicze do obliczania Di(1.27), Dmax oraz λKo l (1.28)

i Qmax(i) pteor(Qmax(i)) i/(N+1) (i+1)/(N+1) |i/(N+1) - pte-

or(Qmax)| |(i+1)/(N+1) -

pteor(Qmax)| Di

1 111 0,0115 0,0286 0,0571 0,01707 0,04564 0,04564 2 97,2 0,0228 0,0571 0,0857 0,03431 0,06288 0,06288 3 73,8 0,0706 0,0857 0,1143 0,01510 0,04367 0,04367 4 59,9 0,1342 0,1143 0,1429 0,01992 0,00865 0,01992 5 58,8 0,1410 0,1429 0,1714 0,00182 0,03039 0,03039 6 57,4 0,1502 0,1714 0,2000 0,02124 0,04981 0,04981 7 55,1 0,1664 0,2000 0,2286 0,03359 0,06217 0,06217 8 54,5 0,1709 0,2286 0,2571 0,05768 0,08625 0,08625 9 52 0,1908 0,2571 0,2857 0,06637 0,09494 0,09494 10 50,8 0,2010 0,2857 0,3143 0,08467 0,11324 0,11324 11 45,4 0,2535 0,3143 0,3429 0,06075 0,08932 0,08932 12 43 0,2804 0,3429 0,3714 0,06241 0,09098 0,09098 13 35,1 0,3865 0,3714 0,4000 0,01503 0,01354 0,01503

21

14 28,9 0,4896 0,4000 0,4286 0,08960 0,06102 0,08960 15 26,8 0,5285 0,4286 0,4571 0,09989 0,07132 0,09989 16 25,8 0,5476 0,4571 0,4857 0,09049 0,06192 0,09049 17 25,1 0,5613 0,4857 0,5143 0,07557 0,04700 0,07557 18 24,6 0,5712 0,5143 0,5429 0,05687 0,02830 0,05687 19 23,5 0,5932 0,5429 0,5714 0,05033 0,02176 0,05033 20 22,3 0,6177 0,5714 0,6000 0,04628 0,01770 0,04628 21 21,1 0,6427 0,6000 0,6286 0,04266 0,01409 0,04266 22 18,6 0,6958 0,6286 0,6571 0,06719 0,03862 0,06719 23 18,2 0,7044 0,6571 0,6857 0,04722 0,01865 0,04722 24 16,2 0,7475 0,6857 0,7143 0,06183 0,03326 0,06183 25 16,2 0,7475 0,7143 0,7429 0,03326 0,00468 0,03326 26 14,8 0,7777 0,7429 0,7714 0,03488 0,00631 0,03488 27 14,5 0,7842 0,7714 0,8000 0,01275 0,01582 0,01582 28 11,2 0,8534 0,8000 0,8286 0,05339 0,02482 0,05339 29 10,2 0,8734 0,8286 0,8571 0,04480 0,01623 0,04480 30 9,72 0,8827 0,8571 0,8857 0,02558 0,00299 0,02558 31 9,24 0,8919 0,8857 0,9143 0,00618 0,02239 0,02239 32 8,9 0,8983 0,9143 0,9429 0,01601 0,04458 0,04458 33 8,23 0,9105 0,9429 0,9714 0,03233 0,06090 0,06090 34 4,92 0,9630 0,9714 1,0000 0,00846 0,03703 0,03703

Dmax = 0,11324

N0.5Dmax = 0,66032

Rys. 1.7. Położenie wartości Dmax na podziałce prawdopodobieństwa

22

5. Testowanie hipotezy H0(prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem

Pearsona typ III) za pomocą testu χ2 Pearsona

Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej loso-

wej Qmax. Ponieważ N = 34, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r ≥ 5, przyjęto r = 4,

Tabela 1.7. Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej χ2

i p, % Qχ,i, [Qχ,i-1, Qχ,i,) mi N/4 1 100 0 2 75 16,086 (0, 16,086) 9 8,5 3 50 28,328 [16,086, 28,328) 11 8,5 4 25 45,731 [28,328, 45,731) 4 8,5 5 0 ∞ [45,731, ∞) 10 8,5

Szczegółowe obliczenia statystyki testowej χ2 wyglądają następująco:

2 2

1

2 2 2 2

( / )

1 (9 8,5) (11 8,5) (4 8,5) (10 8,5)8,53,41

r

ii

r m N rN =

= −

= − + − + − + − +

=

∑χ

Przyjmując poziom istotności testu, αtest = 5% dostajemy z tabeli (1.7) wartość krytyczną

testu χ2kr = χ2(αtest=5%, ν=r–3=1) = 3,84, Wynik ten (3,41 < 3,84) oznacza, że nie ma pod-

staw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów mak-

symalnych rzeki Czarnej w przekroju wodowskazowym Polana jest rozkład Pearsona typ III z

parametrami ∈ = 0, α = 0,0575, λ = 1,95.

6. Obliczenie i wykreślenie górnej granicy ,

umax pQ β jednostronnego β% przedziału ufności

dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p

Obliczenie ,umax pQ β dla przyjętej wartości β = 84% (z tabeli 1.2) mamy uβ = 0,994) wyma-

ga obliczenia wielkości σ(Qmax,p) ze wzoru 1.23) dla przyjętych wartości p prawdopodobień-

stwa przewyższenia a następnie wykorzystanie wzoru (1.22) na ,umax pQ β .

Aby obliczyć σ(Qmax,p) należy skorzystać z tabeli 1.4, gdzie podane są wartości funkcji ϕ(p,λ). Ponieważ znaleziona wartość λ = 1,95, konieczna jest interpolacja wartości funkcji ϕ(p,λ=1,95). Tabela 1.8 zawiera niezbędne szczegóły oraz uzyskane wyniki, rys. 1.8 ilustruje całościowo wykonane zadanie.

23

Tabela 1.8. Interpolacja wartości ϕ(p,λ=1,95) na podstawie danych z tabeli A1 (załącznik 1), obliczo-ne wartości błędu kwantyla σ(Qmax,p) i górna granica ,

umax pQ β 84% przedziału ufności kwantyla

Qmax,p

λ 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,1% 1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9,205 2 0,76 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265

1,95 0,737 0,8765 1,234 2,1445 2,976 3,864 5,0835 6,027 9,235 σ(Qmax,p), m3/s 2,197 2,613 3,678 6,392 8,870 11,517 15,152 17,964 27,526

Qmax,p, m3 8,81 /s 13,76 28,33 50,92 66,34 81,07 99,89 113,79 158,68

,umax pQ β , m3/s 11,00 16,37 32,01 57,31 75,21 92,59 115,04 131,75 186,20

Rys. 1.8. Finalna postać graficzna rozwiązywanego w przykładzie 2 zadania. Linia zielona oznacza górną granicę ,

umax pQ β 84% przedziału ufności kwantyla Qmax,p.

1.2.3. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla

Poniżej podane są podstawowe informacje pozwalające na obliczanie przepływów mak-

symalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia Qmax,p oraz prawdopo-

dobieństwa przewyższenia p w przypadku uzasadnionej konieczności zastosowania innego

rozkładu niż rozkład Pearsona typ III, tj. rozkładu logarytmiczno-normalnego lub rozkładu

Weibulla. Pozostała część opisanej wyżej procedury: testy zgodności λ Kołmogorowa i χ2

Pearsona stosują się również do tych rozkładów.

24

1.2.3.1. Rozkład logarytmiczno-normalny

Maksymalny przepływ prawdopodobny Qmax,p w trójparametrowym rozkładzie logaryt-

miczno-normalnym oblicza się za pomocą wzoru:

max, exp( )p pQ u= + µ + σ⋅∈ (1.24)

gdzie:

∈ – dolne ograniczenie przepływów Qmax: Qmax ≥ ∈; wartość odczytana z wykresu jak w przykładzie 2;

µ – parametr rozkładu obliczany metodą największej wiarygodności za pomocą następu-jącego wzoru:

max,1

1 ln( )N

ii

QN =

= −∑µ ∈ (1.25)

σ – parametr rozkładu (odchylenie standardowe zmiennej ln(Qmax – ∈)), obliczany me-

todą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru:

2

max,1

1 ln(N

ii

QN =

= − − ∑σ ∈) µ (1.26)

up – kwantyl rzędu p (p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia) w rozkładzie standaryzowanym normalnym. Można skorzystać z tabeli 1.9 lub np. funkcji ROZ-KŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel.

Tabela1.9. Wartości kwantyla up w rozkładzie standaryzowanym normalnym; p oznacza prawdopo-dobieństwo przewyższenia. Przykład odczytu: u0,053 = 1,61644. Dla p > 0,5 stosować wzór: up = -u1-p.

Przykład: u0,947 = -u0,053 = -1,61644.

p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0 ∞ 3,09024 2,87815 2,74777 2,65209 2,57583 2,51213 2,45727 2,40892 2,36561

0,01 2,32634 2,29036 2,25713 2,22621 2,19728 2,17009 2,14441 2,12007 2,09693 2,07485 0,02 2,05375 2,03352 2,01409 1,99539 1,97737 1,95996 1,94314 1,92684 1,91103 1,89570 0,03 1,88079 1,86629 1,85218 1,83843 1,82501 1,81191 1,79912 1,78661 1,77438 1,76241 0,04 1,75069 1,73920 1,72793 1,71688 1,70604 1,69540 1,68494 1,67466 1,66456 1,65463 0,05 1,64485 1,63524 1,62576 1,61644 1,60725 1,59819 1,58927 1,58047 1,57179 1,56322 0,06 1,55477 1,54643 1,53820 1,53007 1,52203 1,51410 1,50626 1,49852 1,49085 1,48328 0,07 1,47579 1,46838 1,46106 1,45380 1,44663 1,43953 1,43250 1,42554 1,41865 1,41183 0,08 1,40507 1,39838 1,39175 1,38517 1,37866 1,37220 1,36581 1,35946 1,35317 1,34694 0,09 1,34075 1,33462 1,32854 1,32251 1,31652 1,31058 1,30469 1,29884 1,29303 1,28727 0,10 1,28155 1,27588 1,27024 1,26464 1,25908 1,25357 1,24809 1,24264 1,23724 1,23187 0,11 1,22653 1,22123 1,21596 1,21073 1,20553 1,20036 1,19522 1,19012 1,18504 1,18000 0,12 1,17499 1,17000 1,16505 1,16012 1,15522 1,15035 1,14550 1,14069 1,13590 1,13113 0,13 1,12639 1,12168 1,11699 1,11232 1,10768 1,10306 1,09847 1,09390 1,08935 1,08482 0,14 1,08032 1,07584 1,07138 1,06694 1,06252 1,05812 1,05375 1,04939 1,04505 1,04073 0,15 1,03643 1,03215 1,02789 1,02365 1,01943 1,01522 1,01104 1,00687 1,00271 0,99858

25

0,16 0,99446 0,99036 0,98627 0,98220 0,97815 0,97411 0,97009 0,96609 0,96210 0,95813 0,17 0,95416 0,95022 0,94629 0,94238 0,93848 0,93459 0,93072 0,92686 0,92301 0,91918 0,18 0,91537 0,91156 0,90777 0,90399 0,90023 0,89647 0,89273 0,88901 0,88529 0,88159 0,19 0,87790 0,87422 0,87055 0,86689 0,86325 0,85962 0,85600 0,85239 0,84879 0,84520 0,20 0,84162 0,83805 0,83450 0,83095 0,82742 0,82389 0,82038 0,81687 0,81338 0,80990 0,21 0,80642 0,80296 0,79950 0,79606 0,79262 0,78919 0,78577 0,78237 0,77897 0,77557 0,22 0,77219 0,76882 0,76546 0,76210 0,75875 0,75541 0,75208 0,74876 0,74545 0,74214 0,23 0,73885 0,73556 0,73228 0,72900 0,72574 0,72248 0,71923 0,71599 0,71275 0,70952 0,24 0,70630 0,70309 0,69988 0,69668 0,69349 0,69031 0,68713 0,68396 0,68080 0,67764 0,25 0,67449 0,67135 0,66821 0,66508 0,66196 0,65884 0,65573 0,65262 0,64952 0,64643 0,26 0,64334 0,64027 0,63719 0,63412 0,63106 0,62801 0,62496 0,62191 0,61887 0,61584 0,27 0,61281 0,60979 0,60678 0,60376 0,60076 0,59776 0,59477 0,59178 0,58879 0,58581 0,28 0,58284 0,57987 0,57691 0,57395 0,57100 0,56805 0,56511 0,56217 0,55924 0,55631 0,29 0,55338 0,55046 0,54755 0,54464 0,54174 0,53884 0,53594 0,53305 0,53016 0,52728 0,30 0,52440 0,52153 0,51866 0,51579 0,51293 0,51007 0,50722 0,50437 0,50153 0,49869 0,31 0,49585 0,49302 0,49019 0,48736 0,48454 0,48173 0,47891 0,47610 0,47330 0,47050 0,32 0,46770 0,46490 0,46211 0,45933 0,45654 0,45376 0,45099 0,44821 0,44544 0,44268 0,33 0,43991 0,43715 0,43440 0,43164 0,42889 0,42615 0,42341 0,42066 0,41793 0,41519 0,34 0,41246 0,40974 0,40701 0,40429 0,40157 0,39886 0,39614 0,39343 0,39073 0,38802 0,35 0,38532 0,38262 0,37993 0,37723 0,37454 0,37186 0,36917 0,36649 0,36381 0,36113 0,36 0,35846 0,35579 0,35312 0,35045 0,34779 0,34513 0,34247 0,33981 0,33716 0,33450 0,37 0,33185 0,32921 0,32656 0,32392 0,32128 0,31864 0,31600 0,31337 0,31074 0,30811 0,38 0,30548 0,30285 0,30023 0,29761 0,29499 0,29238 0,28976 0,28715 0,28454 0,28193 0,39 0,27932 0,27671 0,27411 0,27151 0,26891 0,26631 0,26371 0,26112 0,25853 0,25594 0,40 0,25335 0,25076 0,24817 0,24559 0,24301 0,24043 0,23785 0,23527 0,23269 0,23012 0,41 0,22755 0,22497 0,22240 0,21983 0,21727 0,21470 0,21214 0,20957 0,20701 0,20445 0,42 0,20189 0,19934 0,19678 0,19422 0,19167 0,18912 0,18657 0,18402 0,18147 0,17892 0,43 0,17637 0,17383 0,17129 0,16874 0,16620 0,16366 0,16112 0,15858 0,15604 0,15350 0,44 0,15097 0,14843 0,14590 0,14337 0,14084 0,13830 0,13577 0,13324 0,13072 0,12819 0,45 0,12566 0,12314 0,12061 0,11809 0,11556 0,11304 0,11052 0,10799 0,10547 0,10295 0,46 0,10043 0,09791 0,09540 0,09288 0,09036 0,08784 0,08533 0,08281 0,08030 0,07778 0,47 0,07527 0,07276 0,07024 0,06773 0,06522 0,06271 0,06019 0,05768 0,05517 0,05266 0,48 0,05015 0,04764 0,04513 0,04263 0,04012 0,03761 0,03510 0,03259 0,03008 0,02758 0,49 0,02507 0,02256 0,02005 0,01755 0,01504 0,01253 0,01003 0,00752 0,00501 0,00251 0,50 0

Wielkość górnej granicy ,umax pQ β jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p w rozkładzie log-normalnym

z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności oblicza się ze wzoru

[6]:

, ,1exp 12

umax p max p pQ Q u u

N

= +

ββ

σ (1.27)

gdzie:

Qmax,p – kwantyl rzędu p obliczany wzorem (1.24);

uβ – kwantyl rzędu β w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli A3 (załącznik

A) podane są niektóre wartości (β oznacza prawdopodobieństwo nieprzewyższenia);

up – kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym; można skorzystać z

tabeli 1.9. lub np. funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyj-

nego MS Excel.

26

σ – odchylenie standardowe zmiennej ln(Qmax–∈) obliczane wzorem (1.26).

Teoretyczne prawdopodobieństwo P(Qmax ≥ x) przewyższenia wartości x przez przepływ Qmax w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzo-ru:

maxln( )P( ) 1 xQ x − − µ ≥ = − Φ σ

∈ (1.28)

gdzie:

Φ(u) jest dystrybuantą (prawdopodobieństwem nieprzewyższenia) standaryzowanego roz-kładu normalnego; do jej obliczenia można skorzystać np. z arkusza kalkulacyjnego

MS Excel: Φ(u) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(u) lub skorzystać z tabeli 1.10.

Tabela 1.10. Wartości dystrybuanty Φ(u) (prawdopodobieństwa nieprzewyższenia) standaryzowanego rozkładu normalnego dla u ≥ 0. Przykład odczytu: Φ(u=0.43) = 0,33360. Dla u < 0 stosować wzór:

Φ(u)= 1-Φ(-u). Przykład: Φ(u=-0.43) = 1-Φ(u=0.43) = 1-0,333601 = 0.666399.

p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,49601 0,49202 0,48803 0,48405 0,48006 0,47608 0,47210 0,46812 0,46414 0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465 0,2 0,42074 0,41683 0,41294 0,40905 0,40517 0,40129 0,39743 0,39358 0,38974 0,38591 0,3 0,38209 0,37828 0,37448 0,37070 0,36693 0,36317 0,35942 0,35569 0,35197 0,34827 0,4 0,34458 0,34090 0,33724 0,33360 0,32997 0,32636 0,32276 0,31918 0,31561 0,31207 0,5 0,30854 0,30503 0,30153 0,29806 0,29460 0,29116 0,28774 0,28434 0,28096 0,27760 0,6 0,27425 0,27093 0,26763 0,26435 0,26109 0,25785 0,25463 0,25143 0,24825 0,24510 0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476 0,8 0,21186 0,20897 0,20611 0,20327 0,20045 0,19766 0,19489 0,19215 0,18943 0,18673 0,9 0,18406 0,18141 0,17879 0,17619 0,17361 0,17106 0,16853 0,16602 0,16354 0,16109 1,0 0,15866 0,15625 0,15386 0,15151 0,14917 0,14686 0,14457 0,14231 0,14007 0,13786 1,1 0,13567 0,13350 0,13136 0,12924 0,12714 0,12507 0,12302 0,12100 0,11900 0,11702 1,2 0,11507 0,11314 0,11123 0,10935 0,10749 0,10565 0,10383 0,10204 0,10027 0,09853 1,3 0,09680 0,09510 0,09342 0,09176 0,09012 0,08851 0,08692 0,08534 0,08379 0,08226 1,4 0,08076 0,07927 0,07780 0,07636 0,07493 0,07353 0,07215 0,07078 0,06944 0,06811 1,5 0,06681 0,06552 0,06426 0,06301 0,06178 0,06057 0,05938 0,05821 0,05705 0,05592 1,6 0,05480 0,05370 0,05262 0,05155 0,05050 0,04947 0,04846 0,04746 0,04648 0,04551 1,7 0,04457 0,04363 0,04272 0,04182 0,04093 0,04006 0,03920 0,03836 0,03754 0,03673 1,8 0,03593 0,03515 0,03438 0,03362 0,03288 0,03216 0,03144 0,03074 0,03005 0,02938 1,9 0,02872 0,02807 0,02743 0,02680 0,02619 0,02559 0,02500 0,02442 0,02385 0,02330 2,0 0,02275 0,02222 0,02169 0,02118 0,02068 0,02018 0,01970 0,01923 0,01876 0,01831 2,1 0,01786 0,01743 0,01700 0,01659 0,01618 0,01578 0,01539 0,01500 0,01463 0,01426 2,2 0,01390 0,01355 0,01321 0,01287 0,01255 0,01222 0,01191 0,01160 0,01130 0,01101 2,3 0,01072 0,01044 0,01017 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842 2,4 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0,00639 2,5 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480 2,6 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357 2,7 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264 2,8 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193 2,9 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139 3,0 0,00135 0,00131 0,00126 0,00122 0,00118 0,00114 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100 3,1 0,00097 0,00094 0,00090 0,00087 0,00084 0,00082 0,00079 0,00076 0,00074 0,00071 3,2 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050 3,3 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035 3,4 0,00034 0,00032 0,00031 0,00030 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024

27

3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017 3,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011 3,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008

1.2.3.2. Rozkład Weibulla

Maksymalny przepływ prawdopodobny Qmax,p w trójparametrowym rozkładzie We-

ibulla oblicza się za pomocą wzoru:

[ ]1/max,

1 ln( )pQ p β= + −α

∈ (1.30)

gdzie:

∈ – dolne ograniczenie przepływów Qmax: Qmax ≥ ∈; wartość odczytana z wykresu jak w

przykładzie 2;

β – parametr kształtu rozkładu, β > 0; obliczany metodą największej wiarygodności przez

rozwiązania następującego równania (∈ znane):

max, max,

1max,

1max,

1

( ) ln( )1 1 ln( ) 0

( )

N

i iNi

i Ni

ii

Q QQ

N Q

=

=

=

− −+ − − =

−

∑∑

∑

β

β

∈ ∈∈

β ∈ (1.31)

α – parametr skali rozkładu, α > 0; obliczany metodą największej wiarygodności za po-

mocą następującego wzoru (∈ i β znane):

1/

max,1

1 ( )N

ii

QN

−

=

= − ∑

ββα ∈ (1.32)

Prawdopodobieństwo P(Qmax ≥ x) przewyższenia wartości x przez przepływ Qmax w trój-

parametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:

[ ]( )maxP( ) exp ( )Q x x β≥ = − α −∈ (1.33)

Wielkość górnej granicy ,

umax pQ β jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p oblicza się ze wzoru

28

( ), , ,umax p max p max pQ Q u Q= +β

βσ (1.34)

gdzie:

uβ – kwantyl rzędu β w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli A3 (załącznik

A) podane są niektóre wartości.

σ(Qmax,p) – asymptotyczne odchylenie standardowe kwantyla Qmax,p w rozkładzie We-

ibulla z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności [1], ob-

liczane wzorem:

( ) [ ]2,

, 2

(2) ln( ln )1

( / 6)max p

max p

Q pQ

N′Γ − −

= +σπβ

(1.35)

Prawdopodobieństwo P(Qmax ≥ x) przewyższenia wartości x przez przepływ Qmax w trój-

parametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:

[ ]( )maxP( ) exp ( )Q x x β≥ = − α −∈ (1.36)

2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

– krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych

W przypadku krótkich ciągów przepływów maksymalnych rocznych, gdy ich liczebność

jest mniejsza od 30 ciąg należy uzupełnić wykorzystując obserwacje z przekroju wodowska-

zowego położonego w zlewni o podobnych warunkach formowania się odpływów wezbra-

niowych. Do przeniesienia informacji należy zastosować metodę regresyjną.

2.1. Metoda regresyjna

Metoda uzupełniania informacji hydrologicznej powinna być oparta na równaniu regresji

pomiędzy przepływami w przekrojach wodowskazowych o podobnym reżimie hydrologicz-

nym z długą serią obserwacyjną (kontrolowane przez IMGW), a przepływami w przekroju

kontrolowanym posiadającym krótki ciąg obserwacyjny. W oparciu o przepływy synchro-

niczne w obydwu przekrojach należy określić funkcję regresji.

Do określenia funkcji korelacyjnej należy przyjąć kryterium w postaci minimalnej warto-

ści sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami obliczonymi z równania, które najlepiej

opisuje zależność występującą pomiędzy przepływami w dwóch przekrojach w odniesieniu

do wartości pomierzonych:

( )[ ] minQQf2

n

1iiuiw →−∑

=

(2.1)

gdzie ( )iwQf - funkcja regresji,

iwQ - przepływ w przekroju wodowskazowym w m3s-1,

iuQ - przepływ w przekroju niekontrolowanym w m3s-1.

Funkcja regresji powinna odzwierciedlać charakter zależności, jaki występuje między

przepływami w analizowanych przekrojach. W zdecydowanej większości przypadków zaob-

serwowano liniową zależność pomiędzy przepływami, zatem można przyjąć, że regresję opi-

suje równanie liniowe w postaci:

( ) aQbQf ww += (2.2)

gdzie: a, b – współczynniki równania.

30

Na etapie estymacji parametrów równania należy określić w każdym przekroju współ-

czynniki a i b poszukując funkcji aQbQ wu += , a równanie 4.2 przyjmuje postać:

( )[ ] minQaQb2n

1iiuiw →−+∑

=

(2.3)

Ponieważ suma kwadratów odchyleń wartości obliczonych i pomierzonych musi

zgodnie z równaniem (2.3) przyjmować wartości minimalne, to zagadnienie estymacji spro-

wadza się do poszukiwania minimum funkcji względem parametrów a i b, współczynników

regresji liniowej.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia minimum funkcji jest rozwiązanie

układu równań normalnych:

∑∑==

=+⋅n

iiu

n

iiw QQban

11

(2.4)

∑∑∑===

=++n

iiuiw

n

iiw

n

iiw QQQbQa

11

2

1

Rozwiązując układ równań (2.4) otrzymuje się dwa równania, z których oblicza się

współczynniki:

( )∑∑

∑∑∑

==

===

−

−

= n

iiw

n

iiw

n

iiu

n

iiwiu

n

iiw

Qn

Q

QQn

QQb

1

2

1

2

111

1

1

(2.5)

oraz

wu QbQa −= (2.6)

Gdzie uQ - średnia wartość przepływu w przekroju niekontrolowanym w m3s-1, wQ - średnia

wartość przepływu w przekroju wodowskazowym w m3s-1.

Klasyczną miarą zmienności jest wariancja, która utożsamiana jest ze zróżnicowaniem

zbiorowości wokół wartości średniej. Jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń po-

mierzonych wartości przepływów od średniej arytmetycznej, w zbiorze wyrażona wzorem:

31

( )2

1

2 1 ∑=

−=n

iuiuuQ QQ

ns (2.7)

Liczba określająca zależność liniową między przepływami w przekroju niekontrolowa-

nym i w przekroju wodowskazowym cieku analoga jest kowariancja określona wzorem:

−= ∑∑∑

===

n

iiu

n

iiw

n

iiuiwuQwQ QQ

nQQc

111,

1 (2.8)

Przy założeniu liniowej regresji, oblicza się współczynnik korelacji wyrażony wzorem:

22

,,

uQwQ

uQwQuQwQ

ss

cr

⋅= (2.9)

gdzie: uQwQc , - kowariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych,

22 , uQwQ ss - wariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych.

Miarą dopasowania modelu do synchronicznych pomiarów przepływu jest współczynnik

determinacji 2, uQwQr , który przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Adekwatność modelu jest

tym lepsze im większa jest wartość r2.

Dla oceny istotności regresji w zbiorze wartości synchronicznych przepływów pomierzo-

nych w przekroju wodowskazowym cieku analoga Qw i przekroju niekontrolowanym Qu prze-

testowano hipotezy H0 : B = 0 oraz alternatywną H1 : B ≠ 0.

Jeżeli b jest oceną parametru B, równanie populacji ma postać:

AQBQ wu += (2.10)

Dla weryfikacji hipotezy należy obliczyć statystykę t o rozkładzie t-Studenta:

bsBbt −

= (2.11)

Wariancja odchylenia od krzywej regresji ma postać:

2n

sbss uQwQuQ

uQwQ −

⋅−=

2,

22

, (2.12)

32

Błąd współczynnika regresji oblicza się ze wzoru:

2

2,

wQ

uQwQb s

ss = (2.13

Dla liczby stopni swobody określonej wzorem v = n – k – 1 należy obliczyć wartość kry-

tyczną testu na poziomie istotności α = 0,05.

Przykład 2.1. Określić równanie regresji do przeniesienia przepływów maksymalnych rocz-

nych z przekroju wodowskazowego Rajcza na rzece Sole (długi ciąg obserwacyjny) do prze-

kroju wodowskazowego Cięcina na Sole (krótki ciąg obserwacyjny) i obliczyć krzywe praw-

dopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych. Wartości obserwowanych przepły-

wów zestawiono w tabeli.

Tabela 2.1. Przepływy maksymalne roczne

Lp Rok

Przepływ Wod.

Cięcina Qmax [m3/s

Przepływ Wod.

Rajcza Qmax

[m3/s] 1 1995 87,2 57,2 2 1994 81,9 39,8 3 1993 65,8 42,1 4 1992 44,8 25,5 5 1991 96,8 69,6 6 1990 129,0 50,3 7 1989 78,8 69,5 8 1988 50,4 70,7 9 1987 69,3 51,5

10 1986 75,5 50,0 11 1985 131,0 63,5 12 1984 90,0 58,8 13 1983 142,0 51,0 14 1982 196,0 97,5 15 1981 123,0 79,9 16 1980 133,0 17 1979 39,8 18 1978 52,8 19 1977 62,4 20 1976 42,5 21 1975 68,0 22 1974 65,6 23 1973 46,0 24 1972 126,0 25 1971 51,0 26 1970 233,0 27 1969 32,0

33

28 1968 108,0 29 1967 35,6 30 1966 42,3 31 1965 104,0 32 1964 39,7 33 1963 46,9 34 1962 57,8 35 1961 35,0 36 1960 116,0 37 1959 142,0 38 1958 50,0 39 1957 65,6 40 1956 34,9 41 1955 85,6 42 1954 29,8 43 1953 39,5 44 1952 85,6 45 1951 76,0

Obliczenie współczynników a i b równania regresji

( )4067,1

1

1

1

2

1

2

111=

−

−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

iiw

n

iiw

n

iiu

n

iiwiu

n

iiw

Qn

Q

QQn

QQ

b

198,15=−= wu QbQa

Ostatecznie równanie regresji ma postać:

195,154065,1 += wu QQ

Dla synchronicznych obserwacji w przekroju wodwskazowym Rajcza i Cięcina na rzece

Sole krzywą regresji pokazano na rys. 2.1.

34

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0

Przepływy QR [m3/s]

Prze

pływ

y Q

C [m

3 /s]

Qmax obserw.

Qmax oblicz.

Rys. 2.1. Równanie regresji do przeniesienia przepływów z przekroju wodowskazowego

Rajcza do przekroju wodowskazowego Cięcina

Uzupełnione (obliczone równaniem regresji) wartości przepływów maksymalnych rocznych

zestawiono w tabeli 2.2.

Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne obserwowane i uzupełnione

Lp Rok

Przepływ Wod.

Cięcina Qmax [m3/s

Przepływ Wod.

Rajcza Qmax

[m3/s] 1 1995 87,2 57,2 2 1994 81,9 39,8 3 1993 65,8 42,1 4 1992 44,8 25,5 5 1991 96,8 69,6 6 1990 129,0 50,3 7 1989 78,8 69,5 8 1988 50,4 70,7 9 1987 69,3 51,5

10 1986 75,5 50,0 11 1985 131,0 63,5 12 1984 90,0 58,8 13 1983 142,0 51,0 14 1982 196,0 97,5

35

15 1981 123,0 79,9 16 1980 175,8 133,0 17 1979 99,1 39,8 18 1978 109,9 52,8 19 1977 119,5 62,4 20 1976 123,1 42,5 21 1975 121,3 68,0 22 1974 176,7 65,6 23 1973 119,5 46,0 24 1972 279,5 126,0 25 1971 138,1 51,0 26 1970 221,3 233,0 27 1969 83,2 32,0 28 1968 150,1 108,0 29 1967 96,6 35,6 30 1966 101,2 42,3 31 1965 157,0 104,0 32 1964 104,0 39,7 33 1963 118,3 46,9 34 1962 123,1 57,8 35 1961 82,9 35,0 36 1960 211,8 116,0 37 1959 105,1 142,0 38 1958 214,4 50,0 39 1957 165,6 65,6 40 1956 97,0 34,9 41 1955 174,1 85,6 42 1954 73,0 29,8 43 1953 106,8 39,5 44 1952 133,0 85,6 45 1951 112,3 76,0

Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 2.3 porównano na rys.

2.2. z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla

długiego ciągu obserwacyjnego.

Tabela 2.3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla

ciągu obserwowanego i obliczonego metoda regresji

Prawdop. p

[%}

Ciąg obserwow.

Qmaxp% [m3/s]

Górna gr. przedziału

ufności Qmaxp% + σ

[m3/s]

Ciąg obliczony

Qmaxp% [m3/s]

Górna gr. przedziału

ufności Qmaxp% + σ

[m3/s] 0,1 350,275 398,17 358,313 403,31 0,5 289,844 326,11 301,388 335,52 1 263,305 294,63 276,356 305,87 5 199,791 219,92 216,325 235,37 10 171,144 186,68 189,17 203,91 15 153,791 166,76 172,686 185,01

36

20 141,102 152,33 160,611 171,30 25 130,978 140,92 150,961 160,44 30 122,471 131,41 142,839 151,39 35 115,071 123,22 135,765 143,56 40 108,471 115,97 129,444 136,63 45 102,467 109,42 123,685 130,37 50 96,916 103,42 118,351 124,61 55 91,712 113,341 60 86,769 108,573 65 82,015 103,977 70 77,384 99,489 75 72,805 95,039 80 68,197 90,545 85 63,443 85,888 90 58,339 80,858 95 52,384 74,934

100 40,32 62,37

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,1110100

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]

Prze

pływ

Qm

axp%

[m3 /s

]

Qmaxp% - metoda regresyjna

Qmaxp% - wartości obserwowane

Rys. 2.2. Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdo-podobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia czerwona) i ciąg obliczony metodą regresji

(linia niebieska)

37

3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

3.1. Metoda ekstrapolacyjna

Jeżeli przekrój niekontrolowany położony jest powyżej lub poniżej przekroju wodowska-

zowego (rys. 3.1 i 3.2) przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie

przewyższenia w przekroju niekontrolowanym należy obliczyć korzystając ze wzoru ekstra-

polacyjnego: n

W

XWX A

AQkQ

= (3.1)

gdzie: QX - przepływy w przekroju niekontrolowanym w m3/s,

QW - przepływy w przekroju wodowskazowym cieku analoga w m3/s,

AX - powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km2,

AW - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego w km2,

k, n - parametry równania ekstrapolacyjnego.

Rys. 3.1. Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekroju wodowskazowego na tym samym cieku

Przekrój wodowskazowy

W

AX

AW

AX

Przekrój niekontrolowany

38

Rys. 3.2. Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekroju wodowskazowego na innym cieku

We wzorze ekstrapolacyjnym najważniejszą charakterystyką fizjograficzną, kształtującą

przepływ jest powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego AW i niekontrolowanego

AX.

Przy wyborze reprezentatywnych zlewni, z których ostatecznie zostanie wskazana zlewnia

podobna, bierze się pod uwagą czynniki wpływające na kształtowanie się odpływu, wśród

których obok danych klimatycznych, morfologicznych należy uwzględnić również parametry

charakteryzujące budowę geologiczną, która w istotnym stopniu decyduje o odpływie w okre-

sie bezopadowym (niżówkowym). Parametr k obliczony wzorem (2.2) grupuje istotne, często

subiektywnie dobrane wielkości odpowiednie dla określonych przepływów charakterystycz-

nych w zlewni niekontrolowanej i zlewni analoga.

(3.2)

gdzie: bXi – charakterystyki fizjograficzne i klimatyczne w zlewni do przekroju niekontrolo-

wanego,

bWi – charakterystyki fizjograficzne i klimatyczne w zlewni podobnej do przekroju

wodowskazowego,

Przekrój wodowskazowy W

Przekrój niekontrolowany X

A

AX

icr

1i iW

iX

bb

ak ∏=

=

39

a, ci – parametry równania regresji wielokrotnej,

r – liczba przyjętych do analizy wartości.

W praktyce często stosowana jest uproszczona postać równania (3.1) zakładająca, że

czynniki kształtujące odpływ w zlewni niekontrolowanej i kontrolowanej są w przybliżeniu

takie same (k = 1), a wykładnik potęgi n jest zależny od rodzaju przepływu charakterystycz-

nego (dla przepływów maksymalnych n = 2/3).

Równanie (3.1) przy założeniu, że odpływ jednostkowy jest taki sam w obydwu zlew-

niach ma wtedy postać: n

W

XWX A

AQQ

= (3.3)

Objaśnienia jak we wzorze 3.1.

Założenie to nie uwzględnia zmian zagospodarowania przestrzennego, które mogą

wpływać na warunki formowania się odpływu oraz zmienności przepływów w strefie prze-

pływów wysokich, gdy istotną rolę odgrywa nie tylko powierzchnia zasilania cieku, a spadki

terenu i szorstkość terenu.

3.2. Metoda interpolacji

Metodę interpolacyjną stosuje się w przypadku, gdy przekrój niekontrolowany znajduje sie

pomiędzy przekrojami wodowskazowymi położonymi na tym samym cieku (rys. 3.4) powy-

żej (wodowskaz górny WG) i poniżej (wodowskaz dolny WD).

Przepływ maksymalny roczny w przekroju niekontrolowanym oblicza się ze wzoru:

(3.4)

gdzie: QX – przepływ w przekroju niekontrolowanym w m3/s,

QG – przepływ w przekroju wodowskazowym górnym w m3/s,

QD – przepływ w przekroju wodowskazowym dolnym w m3s-1,

AX – powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km2,

AG – powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego górnego w km2,

AD – powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego dolnego w km2.

( )GXGD

GDGX AA

AAQQQQ −

−−

+=

40

Rys. 3.4. Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekrojów wodowskazowych

na tym samym cieku

Przykład 3.1. Stosując uproszczone równanie ekstrapolacji określić przepływy maksymalne

w przekroju Cięcina na Sole (przekrój niekontrolowany) w oparciu o przepływy maksymalne

w przekroju wodowskazowym Rajcza na tej samej rzece.

Wartości niezbędne do obliczenia przepływów są powierzchnie zlewni do przekroju

wodowskazowego Rajcza i Cięcina (tabela 3.3).

Tabela 3.3. Powierzchnie zlewni do przekroju wodowskazowego i niekontrolowanego

Rzeka Wodowskaz Km

Powierzchnia zlewni

A [km2]

Soła Cięcina 58+500 426,9

Soła Rajcza 75+000 254,0

W tabeli 3.4. zestawiono obliczone wzorem ekstrapolacyjnym wartości przepływów maksy-

malnych rocznych w przekroju wodowskazowym Cięcina (przekrój niekontrolowany).

Przekrój wodowskazowy D

Przekrój wodowskazowy G Przekrój

niekontrolowany X

AG

AD

AX

41

Tabela 3.4. Przepływy maksymalne roczne

Lp Rok

Przepływ Wod.

Cięcina Qmax [m3/s

Przepływ Wod.

Rajcza Qmax

[m3/s] 1 1995 87,2 57,2 2 1994 81,9 39,8 3 1993 65,8 42,1 4 1992 44,8 25,5 5 1991 96,8 69,6 6 1990 129 50,3 7 1989 78,8 69,5 8 1988 50,4 70,7 9 1987 69,3 51,5

10 1986 75,5 50,0 11 1985 131 63,5 12 1984 90 58,8 13 1983 142 51,0 14 1982 196 97,5 15 1981 123 79,9 16 1980 222,8 133,0 17 1979 66,7 39,8 18 1978 88,5 52,8 19 1977 104,5 62,4 20 1976 71,2 42,5 21 1975 113,9 68,0 22 1974 109,9 65,6 23 1973 77,1 46,0 24 1972 211,1 126,0 25 1971 85,4 51,0 26 1970 390,4 233,0 27 1969 53,6 32,0 28 1968 180,9 108,0 29 1967 59,6 35,6 30 1966 70,9 42,3 31 1965 174,2 104,0 32 1964 66,5 39,7 33 1963 78,6 46,9 34 1962 96,8 57,8 35 1961 58,6 35,0 36 1960 194,4 116,0 37 1959 237,9 142,0 38 1958 83,8 50,0 39 1957 109,9 65,6 40 1956 58,5 34,9 41 1955 143,4 85,6 42 1954 49,9 29,8 43 1953 66,2 39,5 44 1952 143,4 85,6 45 1951 127,3 76,0

42

Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 3.5 porównano na rys.

3.2. z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia z

przepływami dla długiego ciągu obserwacyjnego.

Tabela 3.5. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla

ciągu obserwowanego i obliczonego metoda analogii hydrologicznej

Prawdop. p

[%}

Ciąg obserwow.

Qmaxp% [m3/s]

Górna gr. przedziału

ufności Qmaxp% + σ

[m3/s]

Ciąg obliczony

Qmaxp% [m3/s]

Górna gr. przedziału

ufności Qmaxp% + σ

[m3/s] 0,1 365,5 420,1 325,6 380,2

1 271,3 306,4 236,1 271,3 2 242,0 271,5 208,7 238,2

10 171,3 188,1 143,6 160,3 20 138,8 150,6 114,4 126,1 50 91,0 97,4 73,0 79,4 80 59,9 64,1 48,2 52,4 90 49,3 52,6 40,6 43,8 95 42,9 36,4 99 35,4 32,1

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

0,1110100

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]

Prze

pływ

Qm

ax p

% [m

3/s]

Rys. 3.2. Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdo-podobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia niebieska) i ci obliczony metodą analogii hy-

drologicznej (linia czerwowna)

43

4. Literatura

[1] Heo, J.H., Kim, K.D. and Salas, J.D., 2001, Estimation of Confidence Intervals of Quan-

tiles for the Weibull Distribution, Jour. of Stoch. Environmental Research and Risk As-

sessment, 15(4), 284-309.

[2] Kaczmarek Z., 1970, Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, Wydawnictwo

Komunikacji i Łączności, Warszawa.

[3] Kendall, M.G., Stuart, A., 1968, The Advanced Theory of Statistics, Volume 3 – Design

and analysis, and time series, Second edition, Griffin, London.

[4] Sneyers, R., 1975, Sur l'analyse statistique des series d'observations. Note Technique No.

143, OMM-No. 415, Geneve, 192 p.

[5] Sneyers, R., H. Tuomenvirta, R. Heino, 1998, Observations inhomogeneities and detec-

tion of climate change. The case of the Oulu (Finland) air temperature series. Geophysi-

ca, 34(3), 159-178,

[6] Stedinger J.R., Vogel R.M., Foufoula-Georgiou E., 1993, Frequency analysis of extreme events,

w: Maidment, D.R. (ed.), Handbook of Hydrology, McGraw-Hill, Inc.

44

Załącznik A

TABELE

45

Tabela A1. Wartości zmiennej standaryzowanej tp(λ)

p λ 90% 80% 50% 40% 30% 25% 20% 10% 5% 3% 2% 1% 0.5% 0.1% 0.01%

1.5 0.5218 0.6704 1.0392 1.2261 1.4963 1.6824 1.9230 2.7342 3.6069 4.2743 4.8145 5.7539 6.7088 8.9668 12.2602 1.6 0.5713 0.7186 1.0853 1.2734 1.5457 1.7333 1.9755 2.7912 3.6669 4.3356 4.8764 5.8161 6.7705 9.0251 12.3099 1.7 0.6198 0.7654 1.1297 1.3188 1.5932 1.7821 2.0261 2.8463 3.7251 4.3954 4.9370 5.8775 6.8319 9.0844 12.3628 1.8 0.6675 0.8108 1.1725 1.3626 1.6389 1.8292 2.0748 2.8996 3.7817 4.4538 4.9964 5.9380 6.8928 9.1444 12.4182 1.9 0.7142 0.8551 1.2139 1.4049 1.6830 1.8746 2.1219 2.9512 3.8369 4.5109 5.0547 5.9977 6.9533 9.2047 12.4753 2.0 0.7601 0.8982 1.2539 1.4458 1.7257 1.9186 2.1675 3.0014 3.8907 4.5667 5.1118 6.0565 7.0131 9.2653 12.5339 2.5 0.9772 1.0991 1.4381 1.6336 1.9218 2.1208 2.3774 3.2340 4.1423 4.8297 5.3825 6.3379 7.3027 9.5659 12.8371 3.0 1.1765 1.2804 1.6018 1.8002 2.0958 2.3004 2.5641 3.4429 4.3706 5.0704 5.6320 6.6003 7.5758 9.8573 13.1433 3.5 1.3612 1.4467 1.7504 1.9514 2.2537 2.4636 2.7341 3.6342 4.5811 5.2936 5.8641 6.8462 7.8336 10.1369 13.4437 4.0 1.5340 1.6011 1.8875 2.0908 2.3994 2.6142 2.8912 3.8116 4.7775 5.5024 6.0820 7.0781 8.0778 10.4045 13.7355 4.5 1.6968 1.7458 2.0154 2.2208 2.5353 2.7547 3.0379 3.9780 4.9621 5.6992 6.2879 7.2980 8.3102 10.6610 14.0180 5.0 1.8511 1.8824 2.1357 2.3430 2.6631 2.8870 3.1760 4.1350 5.1369 5.8860 6.4835 7.5075 8.5321 10.9073 14.2912 5.5 1.9981 2.0121 2.2496 2.4587 2.7842 3.0123 3.3070 4.2841 5.3033 6.0641 6.6703 7.7078 8.7447 11.1443 14.5556 6.0 2.1386 2.1359 2.3580 2.5689 2.8994 3.1316 3.4317 4.4265 5.4623 6.2346 6.8492 7.9001 8.9491 11.3730 14.8118 6.5 2.2735 2.2544 2.4616 2.6742 3.0096 3.2457 3.5511 4.5629 5.6150 6.3983 7.0212 8.0852 9.1462 11.5940 15.0603 7.0 2.4033 2.3684 2.5611 2.7753 3.1154 3.3553 3.6658 4.6940 5.7619 6.5561 7.1870 8.2639 9.3365 11.8080 15.3017 7.5 2.5287 2.4782 2.6569 2.8725 3.2172 3.4609 3.7762 4.8204 5.9037 6.7084 7.3473 8.4367 9.5209 12.0157 15.5365 8.0 2.6499 2.5843 2.7493 2.9664 3.3156 3.5627 3.8828 4.9426 6.0409 6.8560 7.5026 8.6043 9.6997 12.2175 15.7652 8.5 2.7675 2.6871 2.8388 3.0573 3.4107 3.6613 3.9861 5.0610 6.1739 6.9990 7.6532 8.7670 9.8735 12.4139 15.9882 9.0 2.8817 2.7868 2.9255 3.1454 3.5029 3.7570 4.0862 5.1759 6.3031 7.1381 7.7996 8.9252 10.0426 12.6053 16.2059 9.5 2.9927 2.8837 3.0097 3.2309 3.5925 3.8498 4.1835 5.2876 6.4288 7.2734 7.9422 9.0794 10.2075 12.7920 16.4186 10 3.1009 2.9781 3.0916 3.3141 3.6797 3.9402 4.2781 5.3964 6.5512 7.4053 8.0812 9.2298 10.3683 12.9744 16.6266 11 3.3094 3.1598 3.2493 3.4742 3.8475 4.1142 4.4604 5.6059 6.7873 7.6597 8.3494 9.5201 10.6791 13.3273 17.0299 12 3.5087 3.3333 3.3997 3.6270 4.0075 4.2802 4.6344 5.8060 7.0128 7.9029 8.6060 9.7981 10.9769 13.6660 17.4176 13 3.6999 3.4995 3.5437 3.7732 4.1608 4.4392 4.8010 5.9978 7.2292 8.1364 8.8523 10.0651 11.2632 13.9920 17.7914 14 3.8838 3.6594 3.6820 3.9138 4.3081 4.5920 4.9612 6.1824 7.4375 8.3612 9.0896 10.3224 11.5391 14.3066 18.1526 15 4.0612 3.8135 3.8154 4.0492 4.4501 4.7393 5.1156 6.3603 7.6385 8.5782 9.3187 10.5710 11.8058 14.6109 18.5025 16 4.2329 3.9626 3.9443 4.1801 4.5873 4.8816 5.2649 6.5324 7.8329 8.7881 9.5404 10.8117 12.0641 14.9059 18.8421

46

17 4.3992 4.1069 4.0690 4.3068 4.7202 5.0195 5.4095 6.6992 8.0214 8.9917 9.7554 11.0452 12.3148 15.1924 19.1721 18 4.5608 4.2470 4.1901 4.4298 4.8492 5.1533 5.5498 6.8610 8.2044 9.1895 9.9643 11.2721 12.5585 15.4711 19.4935 19 4.7179 4.3833 4.3078 4.5493 4.9745 5.2833 5.6862 7.0184 8.3824 9.3819 10.1676 11.4930 12.7958 15.7425 19.8067 20 4.8709 4.5159 4.4223 4.6657 5.0965 5.4100 5.8190 7.1717 8.5558 9.5693 10.3657 11.7082 13.0270 16.0073 20.1124 21 5.0201 4.6452 4.5340 4.7791 5.2154 5.5334 5.9484 7.3212 8.7249 9.7521 10.5589 11.9183 13.2528 16.2658 20.4112 22 5.1658 4.7715 4.6429 4.8897 5.3315 5.6538 6.0748 7.4671 8.8900 9.9307 10.7477 12.1235 13.4734 16.5186 20.7034 23 5.3082 4.8949 4.7494 4.9979 5.4449 5.7716 6.1983 7.6098 9.0515 10.1053 10.9323 12.3242 13.6892 16.7660 20.9894 24 5.4476 5.0156 4.8535 5.1037 5.5558 5.8867 6.3191 7.7493 9.2095 10.2762 11.1129 12.5207 13.9004 17.0082 21.2698 25 5.5841 5.1338 4.9555 5.2072 5.6644 5.9994 6.4374 7.8860 9.3642 10.4436 11.2899 12.7132 14.1075 17.2457 21.5447

47

Tabela A2. Kwantyle χ2(αtest, ν) rozkładu χ2 (chi-kwadrat), ν - liczba stopni swobody,

αtest

= prawdopodobieństwo przewyższenia

αtest

ν 0.10 0.05 0.025 0.01 ν

1 2.706 3.841 5.024 6.635 1

2 4.605 5.991 7.378 9.210 2

3 6.251 7.815 9.348 11.34 3

4 7.779 9.488 11.14 13.28 4

5 9.236 11.07 12.83 15.09 5

6 10.64 12.59 14.45 16.81 6

7 12.02 14.07 16.01 18.48 7

8 13.36 15.51 17.53 20.09 8

9 14.68 16.92 19.02 21.67 9

10 15.99 18.31 20.48 23.21 10

11 17.28 19.68 21.92 24.73 11

12 18.55 21.03 23.34 26.22 12

13 19.81 22.36 24.74 27.69 13

14 21.06 23.68 26.12 29.14 14

15 22.31 25.00 27.49 30.58 15

Tabela A3. Wartości kwantyla uβ dla zadanego poziomu ufności β

β, % 84 90 95 99

uβ 0.994 1.282 1.645 2.326

48

Tabela A4. Wartości funkcji ϕ(p,λ)

λ 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0.1% 1.5 0.522 0.670 1.039 1.923 2.734 3.607 4.814 5.754 8.967 1.6 0.571 0.719 1.085 1.976 2.791 3.667 4.876 5.816 9.025 1.7 0.620 0.765 1.130 2.026 2.846 3.725 4.937 5.877 9.084 1.8 0.667 0.811 1.173 2.075 2.900 3.782 4.996 5.938 9.144 1.9 0.714 0.855 1.214 2.122 2.951 3.837 5.055 5.998 9.205 2 0.760 0.898 1.254 2.167 3.001 3.891 5.112 6.056 9.265

2.5 0.977 1.099 1.438 2.377 3.234 4.142 5.383 6.338 9.566 3 1.176 1.280 1.602 2.564 3.443 4.371 5.632 6.600 9.857

3.5 1.361 1.447 1.750 2.734 3.634 4.581 5.864 6.846 10.137 4 1.534 1.601 1.888 2.891 3.812 4.777 6.082 7.078 10.405

4.5 1.697 1.746 2.015 3.038 3.978 4.962 6.288 7.298 10.661 5 1.851 1.882 2.136 3.176 4.135 5.137 6.484 7.507 10.907

5.5 1.998 2.012 2.250 3.307 4.284 5.303 6.670 7.708 11.144 6 2.139 2.136 2.358 3.432 4.426 5.462 6.849 7.900 11.373

6.5 2.273 2.254 2.462 3.551 4.563 5.615 7.021 8.085 11.594 7 2.403 2.368 2.561 3.666 4.694 5.762 7.187 8.264 11.808

7.5 2.529 2.478 2.657 3.776 4.820 5.904 7.347 8.437 12.016 8 2.650 2.584 2.749 3.883 4.943 6.041 7.503 8.604 12.217

8.5 2.768 2.687 2.839 3.986 5.061 6.174 7.653 8.767 12.414 9 2.882 2.787 2.925 4.086 5.176 6.303 7.800 8.925 12.605

9.5 2.993 2.884 3.010 4.183 5.288 6.429 7.942 9.079 12.792 10 3.101 2.978 3.092 4.278 5.396 6.551 8.081 9.230 12.974 11 3.309 3.160 3.249 4.460 5.606 6.787 8.349 9.520 13.327 12 3.509 3.333 3.400 4.634 5.806 7.013 8.606 9.798 13.666 13 3.700 3.500 3.544 4.801 5.998 7.229 8.852 10.065 13.992 14 3.884 3.659 3.682 4.961 6.182 7.438 9.090 10.322 14.307 15 4.061 3.814 3.815 5.116 6.360 7.638 9.319 10.571 14.611 16 4.233 3.963 3.944 5.265 6.532 7.833 9.540 10.812 14.906 17 4.399 4.107 4.069 5.409 6.699 8.021 9.755 11.045 15.192 18 4.561 4.247 4.190 5.550 6.861 8.204 9.964 11.272 15.471 19 4.718 4.383 4.308 5.686 7.018 8.382 10.168 11.493 15.743 20 4.871 4.516 4.422 5.819 7.172 8.556 10.366 11.708 16.007 21 5.020 4.645 4.534 5.948 7.321 8.725 10.559 11.918 16.266 22 5.166 4.771 4.643 6.075 7.467 8.890 10.748 12.124 16.519 23 5.308 4.895 4.749 6.198 7.610 9.051 10.932 12.324 16.766 24 5.448 5.016 4.854 6.319 7.749 9.209 11.113 12.521 17.008 25 5.584 5.134 4.955 6.437 7.886 9.364 11.290 12.713 17.246

49

Podziałka pearsonowska

99 95100 90 80 70 60 50 40. 30 20 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0.7 0.5 0.3 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01p,

50