ΠρόχειρεςσηµειώσειςστιςΠιθανότητες...Ο κλασσικός ορισµός της πιθανότητας παρουσιάζει αδυναµίες

Τmicroήmicroα Επιστήmicroης και Τεχνολογίας Υλικών

Πρόχειρες σηmicroειώσεις στις Πιθανότητες

Νίκος Λαζαρίδης

Για το microάθηmicroα lsquoΕφαρmicroοσmicroένα Μαθηmicroατικάrsquo (ΤΕΤΥ 116)

Αναθεώρηση συmicroπληρώσεις Μαρία Καφεσάκη

Κεφάλαιο 1 Η έννοια της πιθανότηταςΠεριεχόmicroενα

Εισαγωγή ndash Πειράmicroατα τύχης και δειγmicroατοχώροι ndash Σύνθετα στοιχειώδη και ασυmicroβίβαστα γεγονόταndash Ορισmicroός της πιθανότητας (κλασσικός στατιστικός και αξιωmicroατικός) ndash Το προσθετικό ϑεώρηmicroαndash ∆εσmicroευmicroένη πιθανότητα ndash Θεώρηmicroα ολικής πιθανότητας ndash Ανεξαρτησία ενδεχοmicroένων ndash Ιστορικάστοιχεία ndash Ασκήσεις ndash Βιβλιογραφία

Εισαγωγή

Η Θεωρία Πιθανοτήτων (ΘΠ) είναι ο κλάδος των microαθηmicroατικών που ασχολείται microε τα τυχαίαϕαινόmicroενα Η microελέτη της κέρδισε πολλούς microαθηmicroατικούς τόσο για το ϑεωρητικό τηςενδιαφέρον όσο και για τις επιτυχηmicroένες εφαρmicroογές της σε πολλές περιοχές των ϕυσικώνϐιολογικών και κοινωνικών επιστηmicroών στη microηχανική και στον επιχειρηmicroατικό κόσmicroο

Πειράmicroατα τύχης και ∆ειγmicroατοχώροι

Πολλά ϕαινόmicroενα έχουν την ιδιότητα η επανειλληmicroένη παρατήρησή τους κάτω από συγκε-κριmicroένες συνθήκες να οδηγεί πάντα στο ίδιο αποτέλεσmicroα Για παράδειγmicroα αν αφήνουmicroεmicroια microπάλα που ήταν αρχικά ακίνητη να πέσει από ύψος d microέτρων microέσα σε έναν κύλινδροχωρίς αέρα ϑα ϕτάνει στο έδαφος πάντα microετά από t =

radic2dg δευτερόλεπτα όπου το

g είναι η σταθερή επιτάχυνση της ϐαρύτητας σε ms2 Αυτά ανήκουν στα λεγόmicroενα αι-τιοκρατικά ϕαινόmicroενα Υπάρχουν όmicroως άλλα ϕαινόmicroενα των οποίων η επανειλληmicroένηπαρατήρηση κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν οδηγεί πάντα στο ίδιο αποτέλεσmicroα Λόγουχάρη αν ϱίξουmicroε ένα νόmicroισmicroα 1000 ϕορές οι εmicroφανίσεις γραmicromicroάτων (Γ) ή κεφαλής (Κ)εναλλάσσονται microε έναν ϕαινοmicroενικά ακανόνιστο και απρόβλεπτο τρόπο Τέτοιου είδουςϕαινόmicroενα τα ϑεωρούmicroε ως τυχαία και ένα πείραmicroα όπως αυτό που microόλις περιγράφτηκε τοονοmicroάζουmicroε πείραmicroα τύχης (ΠΤ) Τα πειράmicroατα τύχης (ΠΤ) ή αλλιώς τυχαία πειράmicroαταείναι λοιπόν εκείνα για τα οποία η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνταιαπλά καθορίζει ένα σύνολο δυνατών αποτελεσmicroάτων για το κάθε πείραmicroα ΄Ενα πιό απλόπαράδειγmicroα είναι η ϱίψη ενός νοmicroίσmicroατος Αν και δεν microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τοαποτέλεσmicroα γνωρίζουmicroε ότι ϑα είναι Κ ή Γ ϑα ανήκει δηλαδή στο σύνολο Κ Γ

Παρόλο που σε πρώτη microατιά ϕαίνεται αδύνατο να διατυπώσουmicroε αξιόλογα συmicroπερά-σmicroατα για τυχαία ϕαινόmicroενα η εmicroπειρία έχει δείξει ότι πολλά από τα ϕαινόmicroενα αυτάπαρουσιάζουν microια στατιστική κανονικότητα που αξίζει να microελετηθεί Πχ αν ϱίξουmicroεένα νόmicroισmicroα microία ϕορά δεν microπορούmicroε να κάνουmicroε κάποια microη τετριmicromicroένη πρόβλεψη γιατο αποτέλεσmicroα Αν ϱίξουmicroε όmicroως το ίδιο νόmicroισmicroα πάρα πολλές ϕορές ϑα δούmicroε ότι ησυχνότητα εmicroφανίσης Κ και Γ είναι περίπου η ίδια και άρα το Κ εmicroφανίζεται περίπου στο50 των ϱίψεων

΄Αλλα απλά παραδείγmicroατα πειραmicroάτων τύχης είναι

α) η ϱίψη ενός Ϲαριού

ϐ) το τράβηγmicroα ενός χαρτιού από microιά συνηθισmicroένη τράπουλα microε 52 χαρτιά

γ) η καταγραφή της διάρκειας Ϲωής microιάς microπαταρίας ή ενός ηλεκτρικού λαmicroπτήρα

δ) η καταγραφή των υψών των ατόmicroων ενός δοθέντος πληθυσmicroού

ε) η επιλογή ενός ϐόλου από ένα δοχείο το οποίο περιέχει s ϐόλους οι οποίοι ϕέρουντους αριθmicroούς 12s αλλά είναι όmicroοιοι κατά τα άλλα

στ) ο χρόνος διάσπασης ισοτόπου κάποιου ϱαδιενεργού στοιχείου κά

Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσmicroάτων ενός πειράmicroατος τύχης λέγεται δειγmicroα-τοχώρος (∆Χ) και συmicroβολίζεται microε Ω και τα στοιχεία του λέγονται δειγmicroατοσηmicroεία ήαπλά σηmicroεία ΄Ετσι το κάθε δυνατό αποτέλεσmicroα ενός πειράmicroατος τύχης είναι ένα σηmicroείοτου Ω

Υπάρχουν ωστόσο πολλοί τρόποι περιγραφής των αποτελεσmicroάτων ενός πειράmicroατοςτύχης ΄Ετσι σε δοθέν ΠΤ αντιστοιχούν περισσότεροι του ενός δειγmicroατοχώροι

Παράδειγmicroα 1 Στο ϱίξιmicroο του Ϲαριού ένας ∆Χ είναι ο Ω = 1 2 3 4 5 6 primeΕναςάλλος είναι ο Ωprime = άρτιος περιττός

Στο Παράδειγmicroα 1 καθώς και στο παράδειγmicroα της ϱίψης ενός νοmicroίσmicroατος (όπου ο ∆Χείναι Ω=ΚΓ) οι δειγmicroατοχώροι έχουν πεπερασmicroένο πλήθος σηmicroείων και λέγονται πεπε-ϱασmicroένοι δειγmicroατοχώροι Εάν τα σηmicroεία του δειγmicroατοχώρου ενός τυχαίου πειράmicroατοςείναι άπειρα αλλά αριθmicroήσιmicroα δηλ microπορούν να αντιστοιχισθούν microε τους ϕυσικούςαριθmicroούς 1234 έναν προς έναν τότε αυτός λέγεται άπειρος αριθmicroήσιmicroος ∆Χ Εάντα άπειρα σηmicroεία του δειγmicroατοχώρου δεν microπορούν να αντιστοιχισθούν microε τους ϕυσικούςαριθmicroούς 1234 έναν προς έναν τότε ο ∆Χ λέγεται άπειρος microη αριθmicroήσιmicroος

΄Ενας πεπερασmicroένος ή άπειρος αριθmicroήσιmicroος ∆Χ λέγεται διακριτός ∆Χ ενώ ένας άπει-ϱος microη αριθmicroήσιmicroος ∆Χ λέγεται συνεχής ∆Χ

Παράδειγmicroα 2 Ο χρόνος που χρειάζεται ένα ισότοπο κάποιου ϱαδιενεργού στοιχείουγια να διασπαστεί microπορεί να είναι οποιοσδήποτε ϑετικός πραγmicroατικός αριθmicroόςΣτην περίπτωση αυτή λοιπόν παίρνουmicroε ως Ω το διάστηmicroα [0infin) στην πραγmicroατικήευθεία

Σύνθετα στοιχειώδη και ασυmicroβίβαστα γεγονότα

Πολλές ϕορές σε ένα πείραmicroα τύχης συmicroβαίνει να microην ενδιαφέρει αυτό καθαυτό το απο-τέλεσmicroα αλλά το αν το αποτέλεσmicroα αυτό ανήκει σε ένα δεδοmicroένο υποσύνολο του Ω έστωA (πχ αν το αποτέλεσmicroα της ϱίψης ενός Ϲαριού είναι άρτιος ή περιττός αριθmicroός) ΄Ενατέτοιο υποσύνολο A του Ω δηλαδή ένα σύνολο δυνατών αποτελεσmicroάτων ενός πειράmicroατοςτύχης λέγεται ενδεχόmicroενο ή γεγονός Εάν το αποτέλεσmicroα ενός πειράmicroατος τύχης είναιστοιχείο του A λέmicroε ότι συνέβη ή πραγmicroατοποιήθηκε το γεγονός A

Παράδειγmicroα 3 Ρίχνουmicroε ένα Ϲάρι microία ϕορά Ο ∆Χ του πειράmicroατος αυτού είναι Ω= 123456 Το γεγονός A = 2 4 6 αντιστοιχεί στην πρόταση lsquoτο αποτέλεσmicroαείναι άρτιοςrsquo Η πρόταση lsquoτο αποτέλεσmicroα διαιρείται ακριβώς microε το 3rsquo αντιστοιχεί στογεγονός B = 3 6

Μια συνήθης γραφική αναπαράσταση των αποτελεσmicroάτων ενός πειράmicroατος τύχης εί-ναι ένα διάγραmicromicroα γνωστό ως διάγραmicromicroα Venn ΄Ενα διάγραmicromicroα Venn (ϐλ Σχ 1)συνήθως συνίσταται από ένα ορθογώνιο το οποίο αναπαριστά τον ∆Χ του πειράmicroατος στο

Σχήmicroα 1 ∆ιάγραmicromicroα Venn για το πείραmicroα τύχης του Παραδείγmicroατος 3

οποίο εmicroπεριέχεται microία ή περισσότερες κλειστές καmicroπύλες Το εσωτερικό κάθε καmicroπύληςαναπαριστά ένα γεγονός

΄Ενα γεγονός το οποίο περιλαmicroβάνει ένα microόνο σηmicroείο του Ω λέγεται απλό ή στοι-χειώδες γεγονός Το ίδιο το Ω είναι ένα γεγονός που λέγεται ϐέβαιο γεγονός επειδήοπωσδήποτε ένα από τα στοιχεία του πραγmicroατοποιείται Το κενό σύνολο empty είναι επίσης έναγεγονός που λέγεται αδύνατο επειδή κανένα στοιχείο του δεν microπορεί να πραγmicroατοποιη-ϑεί ∆ύο γεγονότα τα οποία αποκλείονται αmicroοιβαία αν δηλαδή συmicroβεί το ένα αποκλείεταινα συmicroβεί και το άλλο λέγονται ασυmicroβίβαστα γεγονότα

Επειδή τα γεγονότα είναι σύνολα συmicroπεράσmicroατα που αναφέρονται σε γεγονότα microπο-ϱούν να διατυπωθούν στη γλώσσα της ϑεωρίας συνόλων και αντίστροφα Παρακάτω ϑαυπενθυmicroίσουmicroε κάποιες έννοιες ορισmicroούς και ιδιότητες από τη Θεωρία Συνόλων πουχρησιmicroοποιούνται συχνά στη Θεωρία Πιθανοτήτων

Στοιχεία από τη Θεωρία Συνόλων

΄Ενα σύνολο A είναι microια (καλώς) ορισmicroένη συλλογή διακεκριmicroένων αντικειmicroένων ΄Εστωa ένα από τα αντικείmicroενα αυτά Το γεγονός ότι το a είναι microέλος του A ή στοιχείο του A ήότι ανήκει στο A συmicroβολίζεται microε a isin A Η άρνηση του γεγονότος αυτού συmicroβολίζεται microεa isin A Λέmicroε ότι το σύνολο B είναι υποσύνολο του A ή ότι ανήκει στο A και γράφουmicroεB sube A αν για κάθε a isin B ισχύει a isin A Λέmicroε ότι το B είναι γνήσιο υποσύνολο του Aκαι γράφουmicroε B sub A αν B sube A και υπάρχει a τέτοιο ώστε a isin B Για παράδειγmicroα τοσύνολο a i u είναι γνήσιο υποσύνολο του a e i o u

Σε ότι ακολουθεί ϑα ϑεωρούmicroε ένα ϐασικό σύνολο Ω το οποίο ϑα είναι εν γένει δια-ϕορετικό σε κάθε πρόβληmicroα που συναντάmicroε (ϑα είναι ο δειγmicroατοχώρος του συγκεκριmicroένουπροβλήmicroατος) ΄Ολα τα υπόλοιπα σύνολα ϑα είναι υποσύνολα του Ω ∆ύο υποσύνολα τουΩ A και B λέγονται ίσα και γράφουmicroε A = B αν A sube B και B sube A Οι σηmicroαντικότερεςπράξεις συνόλων είναι οι παρακάτω

1 ΄Ενωση Το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν ή στο A ή στο B ή και στα δύολέγεται ένωση των A και B και συmicroβολίζεται microε A cupB

2 Τοmicroή Το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν και στο A και στο B λέγεταιτοmicroή των A και B και συmicroβολίζεται microε A capB∆ύο σύνολα A και B για τα οποία A capB = empty λέγονται ξένα σύνολα

3 ∆ιαφορά Το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του A που δεν ανήκουν στο Bλέγεται διαφορά των A και B και συmicroβολίζεται microε AminusB

4 Συmicroπλήρωmicroα Εάν B sub A τότε το A minus B λέγεται συmicroπλήρωmicroα του B ως προς τοA και συmicroβολίζεται microε Bc

A Εάν A = Ω το ΩminusB λέγεται απλά συmicroπλήρωmicroα του Bκαι συmicroβολίζεται microε Bc

Παραθέτουmicroε τώρα microερικές ϐασικές ιδιότητες των πράξεων microεταξύ συνόλων

1 Ωc = empty emptyc = Ω (Ac)c = A

2 Ω cup A = Ω empty cup A = A A cup Ac = Ω A cup A = A

3 Ω cap A = A empty cap A = empty A cap Ac = empty A cap A = A

Οι παραπάνω ιδιότητες είναι προφανείς όπως επίσης είναι και η ιδιότητα empty sube A για κάθευποσύνολο Α του Ω Επίσης έχουmicroε

4 τους αντιmicroεταθετικούς νόmicroους

A1 cup A2 = A2 cup A1

A1 cap A2 = A2 cap A1

5 τους προσεταιριστικούς νόmicroους

A1 cup (A2 cup A3) = (A1 cup A2) cup A3

A1 cap (A2 cap A3) = (A1 cap A2) cap A3

6 και τους επιmicroεριστικούς νόmicroους

(A cap Aj)

(A cup Aj)

όπου ⋃nj=1 Aj = A1 cup A2 cup middot middot middot cup An και

⋂nj=1 Aj = A1 cap A2 cap middot middot middot cap An

΄Ετσι εάν A και B είναι δύο γεγονότα τότεA cupB είναι το γεγονός (που αντιστοιχεί στην πρόταση) lsquoή A ή B ή και τα δύοrsquoA capB είναι το γεγονός lsquoκαι A και BrsquoAc είναι το γεγονός lsquoόχι Arsquo καιAminusB είναι το γεγονός lsquoA αλλά όχι και BrsquoΑν τα σύνολα που αντιστοιχούν στα γεγονότα A και B είναι ξένα τότε τα γεγονότα αυτά

είναι ασυmicroβίβασταΜέχρι στιγmicroής περιγράψαmicroε πειράmicroατα τύχης και συζητήσαmicroε τα πιθανά αποτελέ-

σmicroατά τους ή γεγονότα ∆εν αναφέραmicroε τίποτα για τη σχετική συχνότητα ή πιθανότηταεmicroφάνισης κάθε αποτελέσmicroατος πράγmicroα το οποίο ϑα κάνουmicroε στο επόmicroενο εδάφιο Στοεπόmicroενο εδάφιο σε κάθε γεγονός A ϑα αντιστοιχίσουmicroε microια αριθmicroητική ποσότητα P (A)η οποία ϑα κληθεί πιθανότητα του A δηλ πιθανότητα να συmicroβεί το γεγονός A

Ορισmicroός της Πιθανότητας

Πριν προχωρήσουmicroε στον ορισmicroό της πιθανότητας ϑα πρέπει να σηmicroειώσουmicroε ότι ταπερισσότερα από τα πειράmicroατα τύχης δείχνουν κάποια κανονικότητα Με αυτό εννοούmicroεότι η σχετική συχνότητα ενός γεγονότος είναι προσεγγιστικά η ίδια σε κάθε περίπτωση πουπραγmicroατοποιείται ένα σύνολο δοκιmicroών δηλαδή ένα σύνολο επαναλήψεων ενός δεδοmicroένουπειράmicroατος τύχης Η κανονικότητα αυτή είναι ο λόγος που γίνεται δυνατός ο ορισmicroός τηςπιθανότητας

Υπάρχουν δύο αξιοσηmicroείωτες microέθοδοι για τον ορισmicroό (ουσιαστικά την εκτίmicroηση) τηςπιθανότητας ενός γεγονότος Θα τους παρουσιάσουmicroε ξεκινώντας microε ένα παράδειγmicroα

Παράδειγmicroα 4 Ρίψη ενός ϹαριούΣτο πείραmicroα τύχης της ϱίψης ενός Ϲαριού ο ∆Χ είναι το σύνολο των αριθmicroών1 2 3 4 5 6 Αν ορίσουmicroε microε A το γεγονός lsquoτο αποτέλεσmicroα του πειράmicroατος ναείναι αριθmicroός άρτιοςrsquo τότε το γεγονός A ϑα περιλαmicroβάνει τα σηmicroεία 2 4 6΄Εστω ότι επαναλαmicroβάνουmicroε το πείραmicroα ϱίψης Ϲαριού n ϕορές και συmicroβολίζουmicroεmicroε Nn(1) το πλήθος εκείνων από τις n δοκιmicroές στις οποίες το αποτέλεσmicroα της ϱίψηςήταν 1 microε Nn(2) το πλήθος εκείνων όπου το αποτέλεσmicroα ήταν 2 κοκΤο ποσοστό των εmicroφανίσεων των αποτελεσmicroάτων 1 2 6 είναι λοιπόν

Καθώς το πλήθος των δοκιmicroών αυξάνεται ϑα περιmicroέναmicroε τα παραπάνω πηλίκα ταοποία λέγονται και σχετικές συχνότητες των 1 2 6 αντίστοιχα να σταθεροποιούν-ται σε κάποιους αριθmicroούς p1 p2 p6 οι οποίοι σύmicroφωνα microε τη διαίσθησή microας ϑαπρέπει να είναι όλοι ίσοι microε 16 στην περίπτωση αυτή∆εδοmicroένου ότι το γεγονός A περιλαmicroβάνει τα σηmicroεία 2 4 6 microπορεί να γίνει εύκολααντιληπτό ότι η σχετική συχνότητα του γεγονότος A ϑα είναι το άθροισmicroα

n= p2 + p4 + p6 =

Ο απλούστερος ορισmicroός της πιθανότητας P (A) είναι ο γνωστός ως κλασσικός ορι-σmicroός και έχει τις ϱίζες του στα τυχερά παιχνίδια Σύmicroφωνα microε αυτόν η πιθανότητα ενόςγεγονότος A ορίζεται ως

P (A) = (πλήθος σηmicroείων του γεγονότος A) (πλήθος σηmicroείων του Ω)Περιφραστικά η πιθανότητα ενός γεγονότος A είναι το πηλίκο των διαφόρων τρόπων

microε τους οποίους microπορεί να πραγmicroατοποιηθεί το A (των umlευνοικώνuml περιπτώσεων για το A)δια του πλήθους των δειγmicroατοσηmicroείων του Ω

Για να ισχύει όmicroως ο κλασσικός ορισmicroός ϑα πρέπει να υπάρχουν οι εξής προυποθέ-σεις

(1) το πείραmicroα τύχης που microελετάmicroε να έχει πεπερασmicroένο δειγmicroατοχώρο

(2) όλα τα απλά (στοιχειώδη) γεγονότα να έχουν την ίδια ακριβώς δυνατότητα (ευκαιρία)να συmicroβούν

Ο κλασσικός ορισmicroός της πιθανότητας παρουσιάζει αδυναmicroίες Κατ΄ αρχήν χρησιmicroο-ποιεί εκφράσεις όπως lsquoίδιες δυνατότητεςrsquo ή lsquoίδιες ευκαιρίεςrsquo οι οποίες δεν microπορούν ναορισθούν επαρκώς από microαθηmicroατικής πλευράς αλλά επαφίενται στη διαίσθηση Επίσηςσυχνά εmicroφανίζονται στην πράξη δειγmicroατοχώροι Ω microε άπειρο πλήθος στοιχείων οπότε ηπρουπόθεση (1) δεν συντρέχει

Παράδειγmicroα 5 Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει κεφάλι (Κ) σε microιά ϱίψη νοmicroίσmicroατοςΥπάρχουν δύο εξίσου πιθανά αποτελέσmicroατα Κ και Γ και επειδή το ευνοικό αποτέ-λεσmicroα είναι ένα από αυτά (Κ) συmicroπεραίνουmicroε ότι η πιθανότητα να έρθει Κ σε microιάϱίψη είναι 12

Παράδειγmicroα 6 Ρίχνουmicroε ένα νόmicroισmicroα δύο ϕορές Ποια είναι η πιθανότητα να έρθεικεφάλι (Κ) στην πρώτη ϱίψη και γράmicromicroατα (Γ) στη δεύτερηΕδώ Ω =ΚΚΚΓΓΚΓΓ ενώ το σύνολο που αντιστοιχεί στο γεγονός που περιγράφηκεείναι το ΚΓ οπότε P (ΚΓ)=14

Παράδειγmicroα 7 Ρίχνουmicroε ένα Ϲάρι microία ϕορά Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει 4Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει άρτιοςΟ ∆Χ του προβλήmicroατος είναι ο Ω =1 2 3 4 5 6 ΄Εστω A και B τα ενδεχόmicroενα lsquoναέρθει 4rsquo και lsquoνα έρθει άρτιοςrsquo αντίστοιχα Τότε A = 4 και B = 2 4 6 οπότεP (A) = 16 και P (B) = 36 = 12

΄Ενας άλλος ορισmicroός της πιθανότητας ο οποίος δεν ϑέτει περιορισmicroούς στον ∆Χ Ωείναι εκείνος που ϐασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας και ο οποίος ϐασίζεταισε πολλές επαναλήψεις ενός δεδοmicroένου πειράmicroατος τύχης Θεωρήστε έναν οποιονδήποτεδειγmicroατοχώρο Ω ο οποίος αναφέρεται σε ένα συγκεκριmicroένο πείραmicroα τύχης και έστω A έναγεγονός Το εν λόγω πείραmicroα τύχης επαναλαmicroβάνεται n ϕορές και έστω Nn(A) ο αριθmicroόςτων ϕορών που πραγmicroατοποιείται το γεγονός A Ο αριθmicroός Nn(A) λέγεται συχνότητα τουΑ και το πηλίκο Nn(A)n σχετική συχνότητα του A

Θεωρούmicroε την ακολουθία των σχετικών συχνοτήτων του A Nn(A)n microε n ge 1 καιυποθέτουmicroε ότι καθώς n rarrinfin υπάρχει το όριο limnrarrinfin(Nn(A)n) Το όριο αυτό ορίζεταιως η πιθανότητα του A P (A) Ο ορισmicroός αυτός είναι γνωστός ως στατιστικός ορισmicroόςκαι ικανοποιεί την αντίληψη που διαισθητικά έχει κανείς για την έννοια της πιθανότητας

Αδυναmicroίες παρουσιάζει και αυτός ο ορισmicroός που σχετίζονται microε την απαίτηση του πο-λύ microεγάλου n Αποφεύγουmicroε τις αδυναmicroίες των δύο παραπάνω ορισmicroών microε τον αξιωmicroατικόορισmicroό της πιθανότητας (Kolmogorov) ο οποίος είναι προιόν microακροχρόνιων και διαδοχι-κών ϐελτιώσεων προγενέστερών του ορισmicroών Ενσωmicroατώνει και επεκτείνει τις ιδιότητες τουκλασσικού και του στατιστικού ορισmicroού και προσφέρεται για τη σε ϐάθος microαθηmicroατικήmicroελέτη της Θεωρίας Πιθανοτήτων Αν και δεν ϑα αναλύσουmicroε εδώ αυτόν τον ορισmicroό ανα-ϕέρουmicroε επιγραmicromicroατικά τις ιδιότητεςαξιώmicroατα microέσω των οποίων ορίζεται η πιθανότητα

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

(iii) Αν Aj j = 1 2 3 είναι ξένα ανά δύο σύνολα τότε

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Παράδειγmicroα 8 Ρίχνουmicroε ένα Ϲάρι microία ϕορά Θεωρήστε τα γεγονότα A = 1 2B = 4 5 6 και Γ = 3 4 τα οποία είναι υποσύνολα του δειγmicroατοχώρου Ω =1 2 3 4 5 6 του προβλήmicroατος Ποια η πιθανότητα των γεγονότων AcupB και AcupΓΤα A και B είναι ξένα καθώς και τα A και Γ Από το αξίωmicroα (iii) του τελευταίουορισmicroού της πιθανότητας έχουmicroε P (A cup B) = P (A) + P (B) = 26 + 36 = 56και P (A cup Γ) = P (A) + P (Γ) = 26 + 26 = 23

Παράδειγmicroα 9 Βγάζουmicroε στην τύχη microία σφαίρα από ένα κουτί που περιέχει 6 κόκ-κινες 4 άσπρες και 5 microπλέ σφαίρες κατά τα άλλα όmicroοιες Ποια είναι η πιθανότητανα ϐγει σφαίρα α) κόκκινη ϐ) άσπρη γ) microπλε δ) όχι κόκκινη ε) κόκκινη ή άσπρηα) Συmicroβολίζουmicroε microε K A και M τα γεγονότα να ϐγει κόκκινη άσπρη και microπλέσφαίρα αντίστοιχα Ο ∆Χ του πειράmicroατος περιέχει 15 σηmicroεία Εάν το καθένα έχειπιθανότητα 115 έχουmicroε ότι P (K) = 615 επειδή το γεγονός K περιέχει 6 σηmicroείατου ∆Χϐ) Με το ίδιο σκεπτικό P (A) = 415 καιγ) P (M) = 515δ) Η πιθανότητα να microη ϐγει κόκκινη σφαίρα είναι ίση microε την πιθανότητα να ϐγειάσπρη ή microπλε ΄Ετσι P (όχι K) = P (A ή M) = P (A cup M) Επειδή όmicroως ταγεγονότα A και M είναι ασυmicroβίβαστα ϑα έχουmicroε ότι P (A cupM) = P (A) + P (M) =415 + 515 = 35ε) Το γεγονός lsquoK ή Arsquo παριστάνεται από την ένωση των γεγονότων K και A K cup AΑλλά αφού τα K και A είναι ασυmicroβίβαστα τότε P (K cup A) = P (K) + P (A) =615 + 415 = 23

΄Αλλες Ιδιότητες της Πιθανότητας

Θα αποδείξουmicroε τώρα κάποιες επιπλέον ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας P οιοποίες προκύπτουν άmicroεσα από τον ορισmicroό της και χρησιmicroοποιούνται ευρέως στη ΘεωρίαΠιθανοτήτων

1 Το αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα microηδέν δηλαδή P (empty) = 0Απόδειξη Αφού Ω = Ω + empty τότε P (Ω) = P (Ω + empty) = P (Ω) + P (empty) Από τον ορισmicroότης P έχουmicroε όmicroως ότι P (Ω) = 1 και P (empty) ge 0 Οπότε P (empty) = 0

2 Το συmicroπλήρωmicroα Ac ενός γεγονότος A έχει πιθανότητα P (Ac) = 1minus P (A)Απόδειξη Από την ιδιότητα A cup Ac = Ω και την ιδιότητα iii έχουmicroε P (A cup Ac) =P (Ω) rArr P (A) + P (Ac) = 1 rArr P (Ac) = 1minus P (A)

3 Μια οποιαδήποτε συνάρτηση πιθανότητας P είναι microη ϕθίνουσα δηλαδή A1 sube A2

συνεπάγεται P (A1) le P (A2)Απόδειξη Προφανώς A2 = A1 + (A2 minus A1) Από την ιδιότητα iii της P έχουmicroε τότεP (A2) = P (A1 + (A2 minus A1)) = P (A1) + P (A2 minus A1) Επειδή P (A2 minus A1) ge 0προκύπτει ότι P (A1) le P (A2)

4 Για οποιοδήποτε γεγονός ισχύει 0 le P (A) le 1Απόδειξη Πράγmicroατι αφού empty sube A sube Ω από την ιδιότητα 3 ϑα έχουmicroε P (empty) leP (A) le P (Ω) Αλλά P (empty) = 0 και P (Ω) = 1 οπότε παίρνουmicroε 0 le P (A) le 1

Παράδειγmicroα 10 Ρίχνουmicroε δύο Ϲάρια Να ϐρεθεί η πιθανότητα να ϐγει το άθροισmicroατης πρώτης και της δεύτερης ϱίψης διάφορο από 7 και 11Ο δειγmicroατοχώρος του προβλήmicroατος είναι

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

(6 1) (6 2) (6 6)όπου λόγου χάρη το σηmicroείο (52) παριστάνει το γεγονός uml5 το πρώτο Ϲάρι και 2 τοδεύτεροumlΑν A είναι το γεγονός lsquoάθροισmicroα 7 ή 11rsquo τότε υπάρχουν οκτώ ευνοικά αποτελέσmicroαταγια το γεγονός αυτό Αν δεχτούmicroε ότι τα απλά αυτά γεγονότα έχουν ίσες πιθανότητεςτότε καθένα από αυτά έχει πιθανότητα 136 Τότε αφού το A περιέχει 8 τέτοια απλάγεγονότα P (A) = 836 = 29 ΄Αρα η πιθανότητα να microην έχουmicroε άθροισmicroα 7 ή 11είναι P (Ac) = 1minus P (A) = 1minus 29 = 79

Το Προσθετικό Θεώρηmicroα

Το αξίωmicroα (iii) του ορισmicroού της πιθανότητας microας λέει ότι αν τα σύνολα A και B είναι ξένατότε P (A cupB) = P (A) + P (B) Αν τα A και B δεν είναι αναγκαστικά ξένα τότε ισχύει

P (A cupB) = P (A) + P (B)minus P (A capB) (1)Η εξ (1) microπορεί να γίνει εύκολα κατανοητή επικαλούmicroενοι τον κλασικό ορισmicroό της

πιθανότητας και παρατηρώντας ότι το σύνολο A cup B έχει πλήθος στοιχείων το άθροισmicroατων στοιχείων των A και B microείον τα στοιχεία της τοmicroής A cap B τα οποία στο παραπάνωάθροισmicroα καταmicroετρήθηκαν δύο ϕορές

Η γενίκευσή της (1) για οποιοδήποτε πεπερασmicroένο αριθmicroό συνόλων (υποσυνόλων τουΩ) είναι το λεγόmicroενο προσθετικό ϑεώρηmicroα

P (Aj) + (minus1)2+1sum

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (Aj1 cap Aj2 cap Aj3)

+ middot middot middot+ (minus1)n+1P (A1 cap A2 cap middot middot middot cap An) (2)

Η απόδειξη του παραπάνω ϑεωρήmicroατος γίνεται επαγωγικάΓια n = 3 το προσθετικό ϑεώρηmicroα δίνει

P (A cupB cup C) = P (A) + P (B) + P (C)

minus P (A capB)minus P (B cap C)minus P (A cap C)

+ P (A capB cap C) (3)

∆εσmicroευmicroένη Πιθανότητα

Θεωρούmicroε δύο γεγονότα A και B microε P (A) gt 0 και ϑέτουmicroε το εξής ερώτηmicroα Ποιαείναι η πιθανότητα να συmicroβεί το B δεδοmicroένου ότι συνέβη (πραγmicroατοποιήθηκε) το AΓια να απαντήσουmicroε πρέπει πρώτα να δώσουmicroε τον ακριβή ορισmicroό της πιθανότητας ενόςενδεχοmicroένου microε δεδοmicroένο κάποιο άλλο

Ορισmicroός ΄Εστω A και B δύο ενδεχόmicroενα τέτοια ώστε P (A) gt 0 Τότε η δεσmicroευmicroένηπιθανότητα του B microε δεδοmicroένο το A η οποία συmicroβολίζεται microε P (B|A) ορίζεται από τησχέση

P (B|A) =P (B cap A)

P (A) (4)

Αν P (A) = 0 τότε η P (B|A) δεν ορίζεται (Η σχέση (4) γραmicromicroένη ισοδύναmicroα ως P (B capA) = P (B|A)P (A) microπορεί να microεταφραστεί ως lsquoη πιθανότητα να συmicroβεί και το A και το Bείναι ίση microε την πιθανότητα να συmicroβεί το A επί την πιθανότητα να συmicroβεί το B δεδοmicroένουτου ότι συνέβη το Arsquo)

Η P (B|A) λέγεται επίσης και πιθανότητα υπό συνθήκη του B δεδοmicroένου του A Τονόηmicroα της εισαγωγής της δεσmicroευmicroένης πιθανότητας είναι η παροχή δυνατότητας ενσωmicroά-τωσης τυχόν διαθέσιmicroων πληροφοριών κατά τον υπολογισmicroό της πιθανότητας ενός γεγο-νότος

Στην πράξη αν γνωρίζουmicroε ότι το A έχει πραγmicroατοποιηθεί τότε αυτό αντικαθιστά τοΩ στον υπολογισmicroό της πιθανότητας του B δηλαδή η δεσmicroευmicroένη πιθανότητα του BP (B|A) είναι στην ουσία η πιθανότητα του B στον δειγmicroατοχώρο A Αυτό microπορεί ναχρησιmicroοποιηθεί για τον υπολογισmicroό του P (B|A)

Συνοψίζοντας Ο υπολογισmicroός της δεσmicroευmicroένης πιθανότητας P (B|A) microπορεί να γίνειείτε χρησιmicroοποιώντας τον ορισmicroό (4) είτε υπλογίζοντας την πιθανότητα του B στον νέοδειγmicroατοχώρο A

Παράδειγmicroα 11 ∆ιαλέγουmicroε στην τύχη microια οικογένεια microε δύο παιδιά από ένα σύ-νολο τέτοιων οικογενειών Ο ∆Χ αυτού του πειράmicroατος τύχης όσον αφορά το ϕύλοτων παιδιών είναι Ω = ΑΑ ΑΚΚΑΚΚ όπου λόγου χάρη ΑΚ είναι το σηmicroείο πουσηmicroαίνει ότι το πρώτο παιδί είναι αγόρι και το δεύτερο κορίτσι(α) Ποια είναι η πιθανότητα η οικογένεια αυτή να έχει δύο αγόρια(ϐ) Ποια είναι η πιθανότητα η οικογένεια αυτή να έχει δύο αγόρια αν γνωρίζουmicroε ότιένα από τα παιδιά είναι αγόρι΄Εστω B το γεγονός lsquoη οικογένεια έχει δύο αγόριαrsquo και A το γεγονός lsquoένα από ταπαιδιά αγόριrsquo Τότε το B περιέχει το δειγmicroατοσηmicroεία B=ΑΑ και το A τα σηmicroείαA=ΑΑ ΚΑ ΑΚ(α) Λαmicroβάνοντας υπόψη τον κλασικό ορισmicroό της πιθανότητας ϐλέπουmicroε ότι η πιθα-νότητα του B είναι P (B) = 14(ϐ) Με δεδοmicroένο ότι ένα από τα παιδιά είναι αγόρι ο ∆Χ του πειράmicroατος τύχης είναιπλέον ο A = ΑΑ ΑΚ ΚΑ Η πιθανότητα του B στον νέο ∆Χ είναι P (B) = 13σύmicroφωνα και microε τη σχέση (4) (σηmicroειώστε ότι P (B cap A) = P (B) αφού B sub A)

Παράδειγmicroα 12 Υποθέτουmicroε ότι ο πληθυσmicroός κάποιας πόλης είναι 40 άνδρες και60 γυναίκες Υποθέτουmicroε ακόmicroη ότι το 50 των ανδρών και το 30 των γυναικώνείναι καπνιστές Να ϐρεθεί η πιθανότητα ένας καπνιστής να είναι άνδρας

Συmicroβολίζουmicroε microε A (Γ) το ενδεχόmicroενο να επιλέξουmicroε άνδρα (γυναίκα) και K (Λ) τοενδεχόmicroενο να επιλέξουmicroε καπνιστή (microη καπνιστή) Η πληροφορία που microας δόθηκεείναι ότι

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

Το πρόβληmicroα είναι να υπολογιστεί η P (A|K) Από τον ορισmicroό της δεσmicroευmicroένηςπιθανότητας έχουmicroε ότι

P (A|K) =P (A capK)

Για τον υπολογισmicroό του αριθmicroητή παρατηρούmicroε ότι

P (A capK) = P (K cap A) = P (A)P (K|A) = (04)(05) = 02

Για τον υπολογισmicroό του παρονοmicroαστή παρατηρούmicroε ότι το K είναι η ένωση τωνξένων συνόλων K cap A και K cap Γ οπότε

P (K) = P (K cap A) + P (K cap Γ) = P (A)P (K|A) + P (Γ)P (K|Γ)

= 02 + (06)(03) = 038

Εποmicroένως P (A|K) = 02038 053Θα παρατηρήσατε ότι ο ∆Χ δεν αναφέρθηκε ποτέ σαφώς σε αυτό το παράδειγmicroαΩστόσο είναι πολύ εύκολο να κατασκευαστεί

Θεώρηmicroα Ολικής Πιθανότητας

Στενά συνδεδεmicroένα microε την έννοια της δεσmicroευmicroένης πιθανότητας είναι το Θεώρηmicroα ΟλικήςΠιθανότητας

Υποθέτουmicroε ότι A1 A2 An είναι n ξένα ανά δύο ενδεχόmicroενα των οποίων η ένωσηισούται microε το Ω είναι δηλαδή microια διαmicroέριση όπως λέγεται του Ω Υποθέτουmicroε επίσηςότι είναι γνωστές οι πιθανότητες P (B|Ak) και P (Ak) για 1 le k le n Τότε αν Β είναι έναενδεχόmicroενο του Ω ποια είναι η P (B) Για να λύσουmicroε αυτό το πρόβληmicroα παρατηρούmicroεότι αφού τα Ak είναι microια διαmicroέριση του Ω ϑα είναι

B = B cap(

(B cap Ak)

΄Αρα η προσθετική ιδιότητα της πιθανότητας δίνει P (B) =sumn

k=1 P (B cap Ak) primeΟmicroωςP (B cap Ak) = P (B|Ak)P (Ak) οπότε έχουmicroε τελικά

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Η σχέση (5) είναι το Θεώρηmicroα Ολικής Πιθανότητας

Ανεξαρτησία γεγονότων

Για δύο γεγονότα A και B microε P (A) gt 0 ορίσαmicroε τη δεσmicroευmicroένη πιθανότητα του Βδεδοmicroένου του Α P (B|A) Συγκρίνοντας τώρα τις πιθανότητες P (B|A) και P (B) είναιδυνατόν να ισχύει microία από τις τρεις σχέσεις

P (B|A) gt P (B) P (B|A) = P (B) P (B|A) lt P (B)

Το ποια από αυτές ϑα ισχύει καθορίζεται από τις επιλογές των A και BΣτην περίπτωση που είναι P (B|A) = P (B) λέmicroε ότι το γεγονός B είναι ανεξάρτητο1

(στοχαστικά ή στατιστικά ή υπό την έννοια της πιθανότητας) από το γεγονός A ∆ηλαδή ηγνώση του ότι το γεγονός A πραγmicroατοποιήθηκε δεν δίνει καινούριες πληροφορίες για τηνεπανεκτίmicroηση της πιθανότητας του γεγονότος B Αν τώρα υποθέσουmicroε ότι και P (B) gt 0τότε το ότι το B είναι ανεξάρτητο του A συνεπάγεται και το ότι το A είναι ανεξάρτητο τουB

Πράγmicroατι

P (A|B) =P (B cap A)

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

Λόγω της συmicromicroετρίας αυτής λέmicroε ότι τα γεγονότα A και B είναι ανεξάρτητα Από τηνπροηγούmicroενη σχέση παίρνουmicroε P (A cap B) = P (A)P (B) που έχει έννοια ακόmicroα κι ανP (A) = 0 ή P (B) = 0 ΄Ετσι οδηγούmicroαστε στον ακόλουθο ορισmicroό της ανεξαρτησίαςγεγονότων

Ορισmicroός ∆ύο γεγονότα A1 και A2 λέγονται (στοχαστικά ή στατιστικά ή υπό την έννοιατης πιθανότητας) ανεξάρτητα αν P (A1 cap A2) = P (A1)P (A2) Πιο γενικά λέmicroε ότι n ge 3γεγονότα A1 A2 An είναι ανεξάρτητα αν

P (A1 cap A2 cap middot middot middot cap An) = P (A1) middot P (A2) middot middot middotP (An)

και οποιοδήποτε υποσύνολό τους που περιέχει τουλάχιστον δύο αλλά λιγότερα από nενδεχόmicroενα αποτελείται από ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα

Παράδειγmicroα 14 Θεωρούmicroε ένα δοχείο που περιέχει 4 πανοmicroοιότυπους ϐόλουςεκτός του ότι είναι αριθmicroηmicroένοι από το 1 ως το 4 Θέτουmicroε Ω = 1 2 3 4 καιυποθέτουmicroε ότι η πιθανότητα κάθε σηmicroείου του Ω είναι 14 Αποφασίστε για το αντα γεγονότα A και B είναι ανεξάρτητα ότανα) A = 1 2 B = 1 3 καιϐ) A = 1 2 3 B = 1 2 4α) Προφανώς είναι P (A) = 12 P (B) = 12 και P (A cap B) = P (1) = 14Εποmicroένως

P (A)=

2= P (B)

άρα τα A και B είναι ανεξάρτητα1∆εν πρέπει να συγχέονται τα στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα microε τα ασυmicroβίβαστα γεγονότα

ϐ) Προφανώς είναι P (A) = 34 P (B) = 34 και P (A cap B) = P (1 2) = 12Εποmicroένως

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

΄Αρα τα A και B δεν είναι ανεξάρτητα

Τελειώνουmicroε το κεφάλαιο αυτό microε microερικά σχόλια που αφορούν πειράmicroατα τύχης τωνοποίων ο δειγmicroατοχώρος είναι άπειρος Σε τέτοια περίπτωση ο ορισmicroός της πιθανότηταςδιαφόρων ενδεχοmicroένων εξαρτάται από το αν ο ∆Χ είναι αριθmicroήσιmicroος ή όχι Μη αριθmicroή-σιmicroοι δειγmicroατοχώροι απαιτούν εν γένει την εισαγωγή νέων εννοιών Αν όmicroως ο ∆Χ είναιαριθmicroήσιmicroος τότε microπορούmicroε να ορίσουmicroε τη συνάρτηση πιθανότητας σύmicroφωνα microε τοναξιωmicroατικό ορισmicroό που δώσαmicroε αρκεί να microην ορίσουmicroε ίση πιθανότητα για κάθε στοι-χειώδες γεγονός του Ω Ο περιορισmicroός αυτός προκύπτει από την απαίτηση σύγκλισης τουάπειρου αθροίσmicroατος του αξιώmicroατος (iii)

Παράδειγmicroα 15 Πίχνουmicroε ένα νόmicroισmicroα microέχρι να έρθει κεφάλι (Κ) primeΕστω ότι τοαποτέλεσmicroα του πειράmicroατος είναι ο αριθmicroός των ϱίψεων που χρειάστηκαν microεχρι ναέρθει Κ Τότε ο ∆Χ του πειράmicroατος είναι Ω = 1 2 3 4 Η πιθανότητα να έρθειΚ σε microιά ϱίψη είναι 12 Η πιθανότητα να έρθει γράmicromicroατα (Γ) στην πρώτη ϱίψηκαι Κ στη δεύτερη ϱίψη είναι 14 Η πιθανότητα να έρθει Γ στις δύο πρώτες ϱίψειςκαι Κ στην τρίτη είναι 18 κοκ Αυτό microας υποβάλλει την ιδέα να αντιστοιχίσουmicroεπιθανότητα 12n στο στοιχειώδες γεγονός n του ΩΣυmicroβολίζοντας microε An το σηmicroείο n του Ω από το αξίωmicroα (ιιι) έχουmicroε

( infinsum

infinsum

P (An) =1

8+ middot middot middot =

infinsum

Το παραπάνω άθροισmicroα υπολογίζεται microε τη ϐοήθεια της ταυτότητας που δίνει τοάπειρο άθροισmicroα microιάς γεωmicroετρικής σειράς

1 + r + r2 + r3 + middot middot middot = 1

1minus r

Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω ταυτότητα microε r και ϑέτοντας r = 12 παίρνουmicroεP (

suminfinn=1 An) = 1 Αλλά suminfin

n=1 An = Ω οπότε P (suminfin

n=1 An) = P (Ω) = 1 όπως πρέπειγια microιά συνάρτηση πιθανότηταςΠοια είναι η πιθανότητα να έρθει πρώτη ϕορά Κ microετά από άρτιο αριθmicroό ϱίψεων΄Εστω E το γεγονός που περιγράφτηκε Τότε E = 2 4 6 και

P (E) =1

64+ middot middot middot = 14

1minus 14=

Οπότε η πιθανότητα να έρθει πρώτη ϕορά κεφάλι microετά από περιττό αριθmicroό ϱίψεωνείναι 23

Ιστορικά Στοιχεία

Η σοβαρή microελέτη των πιθανοτήτων και ο υπολογισmicroός της πιθανότητας διαφόρων τυχαίωνγεγονότων δεν έγινε παρά microόνο το 16o αιώνα microΧ Τότε τα προβλήmicroατα που σχετίζοντανmicroε τυχερά παιχνίδια έκαναν τους ανθρώπους να σκεφτούν σχετικά microε τις πιθανότητεςΩστόσο το γιατί δεν αναπτύχθηκε νωρίτερα microιά ϑεωρία πιθανοτήτων είναι ένα ενδιαφέρονερώτηmicroα στην ιστορία της επιστήmicroης αφού τέτοιου είδους παιχνίδια είναι τόσο παλιά όσοκαι ο ίδιος ο πολιτισmicroός

Στην αρχαία Αίγυπτο τον καιρό της Πρώτης ∆υναστείας (3500 πΧ) παιζόταν έναπαιχνίδι microε τη ϐοήεια ενός umlζαριούuml τεσσάρων πλευρών Ζάρια εξάπλευρα ϕτιαγmicroένα απόποικιλία υλικών έχουν καταγραφεί από τον 16o αιώνα πΧ Τα τυχερά παιχνίδια ήτανεπίσης διαδεδοmicroένα τόσο στην αρχαία Ελλάδα όσο και στην αρχαία Ρώmicroη Πράγmicroατιστη Ρωmicroαική αυτοκρατορία στάθηκε πολλές ϕορές απαραίτητο να νοmicroοθετήσουν ενάντιαστα τυχερά παιχνίδια Γιατί λοιπόν πήρε τόσο χρόνο για να microελετηθούν οι πιθανότητεςσοβαρά

∆ιάφορες εξηγήσεις έχουν προταθεί γι΄ αυτήν την αργοπορία Η microία είναι ότι τα σχετικάmicroαθηmicroατικά δεν ήταν ανεπτυγmicroένα και δεν ήταν εύκολο να αναπτυχθούν Ο αρχαίοςmicroαθηmicroατικός συmicroβολισmicroός έκανε τους αριθmicroητικούς υπολογισmicroούς πολύ δύσκολους καιο οικείος σε microας αλγεβρικός συmicroβολισmicroός δεν καθιερώθηκε παρά microόνο τον 16o αιώναmicroΧ Ωστόσο πολλές από τις ιδέες της συνδυαστικής απαραίτητες για τον υπολογισmicroότων πιθανοτήτων είχαν συζητηθεί πολύ νωρίτερα Αφού πολλά από τα τυχαία γεγονόταεκείνους τους καιρούς είχαν να κάνουν microε λοταρίες που σχετίζονταν microε ϑρησκευτικάϑέmicroατα έχει προταθεί ότι microπορεί να υπήρχαν ϑρησκευτικοί ϕραγmicroοί στη microελέτη της τύχηςκαι των τυχερών παιχνιδιών Προτάθηκε επίσης ότι υπήρχαν τότε ισχυρότερες ανάγκεςόπως η ανάπτυξη του εmicroπορίου Καmicroία από τις παραπάνω εξηγήσεις δεν είναι πλήρωςικανοποιητική

Ο πρώτος που υπολόγισε πιθανότητες συστηmicroατικά ήταν ο Gerolamo Cardano (GC)(1501-1576) στο ϐιβλίο του lsquolsquoLiber de Ludo Aleaersquorsquo Ο GC ο οποίος είναι επίσης γνωστόςαπό την διαmicroάχη του microε τον Tartaglia για τη λύση της κυβικής εξίσωσης ήταν άνθρω-πος microε ευρύτερα ενδιαφέροντα όπως η ιατρική η αστρολογία και τα microαθηmicroατικά Στοϐιβλίο του ασχολήθηκε microε την ειδική περίπτωση ισοπίθανων γεγονότων όπου κατάλαβεότι η πιθανότητα να συmicroβεί ένα γεγονός είναι ο λόγος του αριθmicroού των ευνοικών αποτε-λεσmicroάτων προς τον ολικό αριθmicroό αποτελεσmicroάτων Πολλά από τα παραδείγmicroατα του GCασχολούνταν microε τη ϱίψη Ϲαριού Εδώ κατάλαβε ότι τα αποτελέσmicroατα δύο ϱίψεων είναι τα36 διατεταγmicroένα Ϲεύγη (i j) και όχι τα 21 microη διατεταγmicroένα Αυτό είναι ένα λεπτό σηmicroείοτο οποίο προκαλούσε προβλήmicroατα σε άλλους συγγραφείς για πιθανότητες ακόmicroα και πολύαργότερα Για παράδειγmicroα τον 18o αιώνα ο διάσηmicroος γάλλος microαθηmicroατικός drsquo Alembertσυγγραφέας αρκετών ϐιβλίων για πιθανότητες ισχυρίστηκε ότι όταν ένα νόmicroισmicroα ϱίχνεταιδύο ϕορές ο αριθmicroός των Κ που εmicroφανίζεται ϑα είναι 012 και έτσι ϑα έπρεπε να απο-δώσουmicroε ίσες πιθανότητες σ΄ αυτά τα τρία δυνατά αποτελέσmicroατα Ο GC διάλεξε το σωστόδειγmicroατοχώρο για τα δικά του προβλήmicroατα microε Ϲάρια και υπολόγισε σωστά τις πιθανότητεςγια microιά ποικιλία ενδεχοmicroένων ΄Εκανε και ο ίδιος λάθη αλλά παρόλα αυτά η δουλειά τουήταν microιά αξιοσηmicroείωτη πρώτη προσπάθεια καταγραφής των νόmicroων της πιθανότητας

΄Οmicroως το έναυσmicroα για microια συστηmicroατική microελέτη του αντικειmicroένου των πιθανοτήτων δενήταν η δουλεια του GC αλλά η αλληλογραφία των Pascal και Fermat Ο Blaise Pascal(1623-1662) υπήρξε παιδί-ϑαύmicroα αφού στα δεκαέξι του δηmicroοσίευσε microιά διατριβή για τις

κωνικές τοmicroές ενώ στα δεκαοκτώ του εφεύρε microια υπολογιστική microηχανή Την εποχή πουαλληλογραφούσε microε τον Fermat η επίδειξή του για το ϐάρος της ατmicroόσφαιρας τον είχεήδη ϑέσει στην πρώτη γραmicromicroή της σύγχρονης ϕυσικής Ο Pierre de Fermat (1601-1665)microελετούσε microαθηmicroατικά στον ελεύθερο χρόνο του και από πολλούς ϑεωρήθηκε ως έναςαπό τους microεγαλύτερους umlκαθαρούςuml microαθηmicroατικούς όλων των εποχών Η αλληλογραφίαmicroεταξύ τους άρχισε από τον Pascal ο οποίος ήθελε να συmicroβουλευτεί τον Fermat σχετικάmicroε προβλήmicroατα που του δόθηκαν από τον Chevalier de Mere έναν ευγενή της αυλής τουΛουδοβίκου του 14ou γνωστό συγγραφέα και παίκτη τυχερών παιχνιδιών

Ασκήσεις

1 ΄Εστω Ω=a b c ο δειγmicroατοχώρος ενός πειράmicroατος τύχης Αν P (a) = 12 P (b) =13 και P (c) = 16 να ϐρείτε τις πιθανότητες όλων των δυνατών υποσυνόλων του Ω

2 Ρίχνουmicroε ένα τίmicroιο Ϲάρι δύο ϕορές Βρείτε την πιθανότητα να έρθει 45 ή 6 στηνπρώτη ϱίψη και 123 ή 4 στη δεύτερη

3 Τραβάmicroε στην τύχη ένα χαρτί από microιά συνηθισmicroένη τράπουλα 52 χαρτιών Να ϐρεθείη πιθανότητα το χαρτί αυτό να είναια) άσσοςϐ) ϐαλές κούπαγ) τρία σπαθί ή έξι καρρόδ) κούπαε) όχι κούπαστ) δέκα ή microπαστούνιϹ) ούτε τέσσερα ούτε σπαθί

4 ΄Εστω δύο ενδεχόmicroενα A και B ενός τυχαίου πειράmicroατοςα) Αν P (A) = 25 P (B) = 25 και P (A cupB) = 12 ϐρείτε την P (A capB)ϐ) Αν P (A) = 13 P (A cupB) = 12 και P (A capB) = 14 ϐρείτε την P (B)γ) Αν P (Ac) = 13 P (B) = 12 και P (A capB) = 14 ϐρείτε την P (A cupB)δ) Αν P (Bc) = 12 και P (A|B) = 12 ϐρείτε την P (A capB)

5 ΄Ενα δοχείο περιέχει r κόκκινους και b microαύρους ϐόλους Επιλέγουmicroε τυχαία έναϐόλο από το δοχείο και στη συνέχεια ένα δεύτερο από αυτούς που είχαν αποmicroείνειστο δοχείο Βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοmicroένωνα) και οι δύο ϐόλοι είναι κόκκινοιϐ) ο πρώτος ϐόλος είναι κόκκινος και ο δεύτερος microαύροςγ) ο πρώτος ϐόλος είναι microαύρος και ο δεύτερος κόκκινοςδ) και οι δύο ϐόλοι είναι microαύροι

6 Ποια είναι η πιθανότητα microιά οικογένεια microε δύο παιδιά να έχεια) δύο αγόρια δεδοmicroένου ότι έχει τουλάχιστον ένα αγόριϐ) δύο αγόρια δεδοmicroένου ότι το πρώτο παιδί είναι αγόρι

7 Σε ένα πανεπιστήmicroιο το 70 είναι άνδρες και 30 είναι γυναίκες Είναι γνωστόότι το 40 των ανδρών και το 60 των γυναικών είναι καπνιστές Ποια είναι ηπιθανότητα ένας ϕοιτητής που καπνίζει να είναι άνδρας

8 Από 10 κάρτες αριθmicroηmicroένες από το ένα ως το 10 επιλέγονται δύο τυχαία και χωρίςεπανατοποθέτηση Ποια είναι η πιθανότητα οι αριθmicroοί που εmicroφανίστηκαν να έχουνάθροισmicroαα) ίσο microε 10ϐ) microικρότερο του 10γ) microεγαλύτερο του 10

9 ∆ύο τίmicroια Ϲάρια ϱίχνονται microία ϕορά Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των γεγονότων A = εmicroφανίζονται ίδιοι αριθmicroοί και στις δύο όψεις B = ο εmicroφανιζόmicroενος αριθmicroός στο ένα Ϲάρι είναι microεγαλύτερος του εmicroφανιζόmicroενουστο άλλο Ϲάρι Γ = το άθροισmicroα των εmicroφανιζόmicroενων αριθmicroών και στα δύο Ϲάρια είναι άρτιος

10 Υποθέστε ότι A και B είναι δύο γεγονότα microε ϑετική πιθανότητα να πραγmicroατοποιη-ϑούν ∆είξτε ότι αν P (A|B) = P (A) τότε P (B|A) = P (B)

11 primeΕνα κουτί περιέχει 6 κόκκινες 4 άσπρες και 5 microπλέ σφαίρες κατά τ΄ άλλα όmicroοιεςΕπιλέγουmicroε διαδοχικά τρεις σφαίρες (α) microε επανατοποθέτηση (ϐ) χωρίς επανατοπο-ϑέτηση Βρείτε την πιθανότητα να ϐγούν οι σφαίρες στη σειρά κόκκινη άσπρη καιmicroπλέ

12 Εάν Aj j = 1 2 n είναι γεγονότα ενός πειράmicroατος τύχης δείξτε ότι

P (A1 cup A2 cup middot middot middot cup An) le P (A1) + P (A2) + middot middot middot+ P (An)

13 Ρίχνουmicroε ένα τίmicroιο Ϲάρι δύο ϕορές και ϑεωρούmicroε τα γεγονότα Aj j = 1 2 3 όπουA1 =umlπεριττός αριθmicroός εmicroφανίζεται στην πρώτη ϱίψηumlA2 =umlπεριττός αριθmicroός εmicroφανίζεται στην δεύτερη ϱίψηumlA3 =umlτο άθροισmicroα των δύο αριθmicroών που εmicroφανίστηκαν είναι περιττός αριθmicroόςumlΝα εξεταστούν τα γεγονότα αυτά από την άποψη ανεξαρτησίας

14 Ρίχνουmicroε ένα νόmicroισmicroα δύο ϕορές Θεωρήστε τα παρακάτω γεγονότα Α=umlκεφάλι στην πρώτη ϱίψηumlΒ=umlκεφάλι στη δεύτερη ϱίψηumlΓ=umlκαι οι δύο ϱίψεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσmicroαumlα) ∆είξτε ότι τα A B και Γ είναι ανά δύο ανεξάρτητα αλλά δεν είναι ανεξάρτηταϐ) ∆είξτε ότι το Γ είναι ανεξάρτητο των A και B αλλά δεν είναι ανεξάρτητο του AcapB

15 Υποθέτουmicroε ότι A B και Γ είναι ανεξάρτητα ενδεχόmicroενα και P (A capB) 6= 0 ∆είξτεότι P (Γ|A capB) = P (Γ)

16 Ρίχνουmicroε τρείς ϕορές ένα αmicroερόληπτο (umlτίmicroιοuml) Ϲάρι Αν ξέρουmicroε ότι το 1 εmicroφανί-στηκε τουλάχιστον microιά ϕορά ποια είναι η πιθανότητα να εmicroφανίστηκε ακριβώς microίαϕορά

17 ∆ύο τίmicroια Ϲάρια ϱίχνονται microία ϕορά ∆εδοmicroένου ότι το άθροισmicroα των εmicroφανισθέν-των αριθmicroών είναι 7 ποια είναι η πιθανότητα σ΄ ένα τουλάχιστον από τα Ϲάρια ναεmicroφανιστεί ένα 3

18 ΄Ενα κουτί περιέχει 4 άσπρες και 2 microαύρες σφαίρες ενώ ένα δεύτερο 3 άσπρες και 5microαύρες Επιλέγουmicroε microιά σφαίρα από κάθε κουτί Ποια είναι η πιθανότητα να είναια) και οι δύο άσπρεςϐ) και οι δύο microαύρεςγ) η microιά άσπρη και η άλλη microαύρη

19 Τραβάmicroε στην τύχη ένα χαρτί από microιά τράπουλα 52 χαρτιών και microετά ένα δεύτερο(α) microε επανατοποθέτηση του πρώτου (ϐ) χωρίς επανατοποθέτηση Ποια είναι ηπιθανότητα να τραβήξουmicroε δύο άσσους

20 ΄Ενα εργοστάσιο έχει δύο microηχανήmicroατα A και B τα οποία κατασκευάζουν το 60και 40 της συνολικής παραγωγής αντίστοιχα Το ποσοστό των ελαττωmicroατικώνκοmicromicroατιών είναι 3 για το microηχάνηmicroα A και 5 για το microηχάνηmicroα B Βρείτε τηνπιθανότητα ένα ελαττωmicroατικό κοmicromicroάτι της παραγωγής να κατασκευάστηκε από τοmicroηχάνηmicroα B

Βιβλιογραφία

bull M R Spiegel Πιθανότητες και Στατιστική (ΕΣΠΙ Αθήνα 1977) Μετάφραση τουProbability and Statistics Schaumrsquos Outline Series Mc Graw-Hill New York1975

bull Φ Κολυβά ndash Μαχαίρα και Ε Μπόρα ndash Σέντα Στατιστική Θεωρία και Εφαρmicroογές(Εκδ Ζήτη Θεσσαλονίκη 1998)

bull Σηmicroειώσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων (ϐασισmicroένες στο ϐιβλίο Introduction to Probabi-lity Theory των Hoel Port και Stone) Πανεπιστήmicroιο Κρήτης Τmicroήmicroα Μαθηmicroατι-κών Φθινόπωρο 1999

bull Θεωρία Πιθανοτήτων Γ Γ Ρούσσα (Εκδ Ζήτη Θεσσαλονίκη 1992)

bull Introduction to Probability Charles M Grinstead and J Laurie Snell ∆ιαθέσιmicroοon-line στη διεύθυνσηhttpwwwdartmouthedu chanceteaching_aidsbooks_articlesprobability_book

Κεφάλαιο 2 ∆ιατάξεις και ΣυνδυασmicroοίΠεριεχόmicroενα

Εισαγωγή ndash Βασική αρχή απαρίθmicroησης ndash ∆ιατάξεις microε και χωρίς επανατοποθέτηση ndash Συνδυασmicroοίndash Ασκήσεις

Εισαγωγή

Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούmicroε πειράmicroατα τύχης των οποίων τα στοι-χειώδη γεγονότα (τα στοιχεία του δειγmicroατοχώρου Ω) είναι ισοπίθανα Τότε αν ο αριθmicroόςτων σηmicroείων του Ω είναι s ένα γεγονός A το οποίο περιλαmicroβάνει j σηmicroεία έχει πιθανότηταjs να πραγmicroατοποιηθεί

Γενικότερα η πιθανότητα να πραγmicroατοποιηθεί ένα γεγονός A είναι P (A) = N(A)sόπου N(A) το πλήθος των σηmicroείων του A Το πρόβληmicroα λοιπόν του υπολογισmicroού τηςP (A) ανάγεται σε πολλές περιπτώσεις σ΄ αυτό του υπολογισmicroού του N(A) ΄Οπως είδαmicroεκαι στα προηγούmicroενα η συνηθισmicroένη διαδικασία για τον υπολογισmicroό της P (A) είναι ναumlmicroετρήσουmicroεuml το πλήθος των σηmicroείων του A N(A) και να διαιρέσουmicroε microε το s Ωστόσο ουπολογισmicroός του N(A) είναι εύκολος microόνο αν το A έχει λίγα σηmicroεία Ακόmicroα και για microέτριοπλήθος σηmicroείων η microέθοδος της ευθείας απαρίθmicroησης είναι πρακτικά ανεφάρmicroοστη ΄Ετσιη ανάγκη για απλούς κανόνες απαρίθmicroησης γίνεται επιτακτική Θα παρουσιάσουmicroεπαρακάτω τεχνικές απαρίθmicroησης που είναι στοιχειώδεις έχουν ευρύ ϕάσmicroα εφαρmicroογώνκαι είναι πολύ χρήσιmicroες στη Θεωρία Πιθανοτήτων

Βασική Αρχή Απαρίθmicroησης

Παράδειγmicroα 1 Πηγαίνετε να γευmicroατίσετε σ΄ ένα εστιατόριο πολυτελείας και ο σερ-ϐιτόρος σας πληροφορεί ότι έχετε α) δύο επιλογές για ορεκτικό (σούπα ή χυmicroό)ϐ) τρείς επιλογές για κύριο πιάτο (κρέας ψάρι και πιάτο λαχανικών)γ) δύο για επιδόρπιο (παγωτό ή γλυκό)Ποιες είναι οι δυνατές επιλογές σας για το πλήρες γεύmicroαΤο microενού αποφασίζεται σε τρία στάδια και στο κάθε στάδιο ο αριθmicroός των δυνατώνεπιλογών σας δεν εξαρτάται από το τι διαλέξατε στο προηγούmicroενο ∆ύο επιλογές γιατο πρώτο στάδιο τρεις για το δεύτερο και δύο για το τρίτο Προφανώς ο συνολικόςαριθmicroός επιλογών είναι το γινόmicroενο του αριθmicroού των επιλογών σε κάθε στάδιο Εδώέχουmicroε 2 middot 3 middot 2 = 12 διαφορετικά microενού για να διαλέξουmicroε

Παράδειγmicroα 2 Σε ένα πείραmicroα τύχης ϱίχνουmicroε ένα νόmicroισmicroα και ένα Ϲάρι Ποιοςείναι ο δειγmicroατοχώρος αυτού του πειράmicroατοςΠροφανώς αυτό είναι ένα πείραmicroα που εκτελείται σε δύο στάδια Ας υποθέσουmicroεότι ϱίχνουmicroε πρώτα το νόmicroισmicroα (Π1) ΄Εχουmicroε δύο δυνατά αποτελέσmicroατα κεφάλι(Κ) ή γράmicromicroατα (Γ) Κατόπιν ϱίχνουmicroε το Ϲάρι (Π2) Γι΄ αυτό έχουmicroε έξι δυνατάαποτελέσmicroατα τα 123456 Τώρα κάθε σηmicroείο του δειγmicroατοχώρου του Π1 microπορείνα συνδυαστεί microε καθένα από τα 6 σηmicroεία του δειγmicroατοχώρου του Π2 για να δώσει

2 middot 6 το πλήθος διατεταγmicroένα Ϲεύγη Ο δειγmicroατοχώρος του σύνθετου πειράmicroατος ϑαείναι λοιπόνΩ = (Κ1) (Κ2)(Κ6)(Γ1)(Γ2)(Γ6) όπου το σηmicroείο (Κ 4) λόγου χάρη σηmicroαίνει lsquoνα έρθει Κ στη ϱίψη του νοmicroίσmicroατοςκαι 4 στη ϱίψη του Ϲαριούrsquo

Θα διατυπωσουmicroε τώρα microιά microάλλον προφανή πρόταση η οποία είναι γνωστή ως ηϐασική αρχή της απαρίθmicroησης

Πρόταση Υποθέτουmicroε ότι ένα έργο (πχ microια εργασία ένα πείραmicroα τύχης κτλ)microπορεί να ολοκληρωθεί σε n στάδια (ή ϐαθmicroίδες ή στοιχειώδη πειράmicroατα τύχης) Υπάρ-χουν m1 τρόποι να εκτελέσουmicroε το πρώτο στάδιο (ή m1 επιλογές για το πρώτο στάδιο ήm1 δειγmicroατοσηmicroεία στον δειγmicroατοχώρο του πρώτου σταδίου) Για καθέναν από αυτούςτους m1 τρόπους υπάρχουν m2 τρόποι να εκτελέσουmicroε το δεύτερο στάδιο Για καθέναναπό αυτούς τους m2 τρόπους υπάρχουν m3 τρόποι να εκτελέσουmicroε το τρίτο στάδιο κοκΤότε ο ολικός αριθmicroός των διαφορετικών τρόπων microε τους οποίους microπορεί να ολοκληρωθείτο έργο αυτό δίνεται από το γινόmicroενο N equiv m1 middotm2 middot middot middotmn

Ας εξειδικεύσουmicroε το παραπάνω σε πειράmicroατα τύχης Θεωρούmicroε n πειράmicroατα τύ-χης (ή n στάδια ενός σύνθετου πειράmicroατος τύχης) Π1 Π2Πn και τους αντίστοιχουςδειγmicroατοχώρους Ω1 Ω2Ωn microε πλήθος δειγmicroατοσηmicroείων N(Ωj) = mj j = 1 2 nΑκολούθως ϑεωρούmicroε το σύνθετο πείραmicroα τύχης Π που συνίσταται στην ταυτόχρονη εκτέ-λεση των n παραπάνω πειραmicroάτων τύχης Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσmicroατα του Π (ήισοδύναmicroα πόσες είναι οι δυνατές nminusάδες που microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε παίρνονταςένα στοιχείο από Ω1 ένα στοιχείο από τον Ω2 κτλ)

Η απάντηση η οποία δίνεται από την προηγούmicroενη πρόταση είναι N(Ω) = m1 middotm2 middot middot middotmn όπου Ω ο δειγmicroατοχώρος του Π Αυτό είναι και το πλήθος των nminusάδων x1 x2 xn

που microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε παίρνοντας ένα στοιχείο x1 από το Ω1 ένα στοιχείο x2

από το Ω2 κτλΜια σηmicroαντική ειδική περίπτωση του παραπάνω παραδείγmicroατος παίρνουmicroε αν ο κα-

ϑένας από τους δειγmicroατοχώρους Ωj είναι το ίδιο πάντα σύνολο έστω S το οποίο έχει sστοιχεία Τότε υπάρχουν sn το πλήθος nminusάδες x1 x2 xn για τις οποίες κάθε xj είναιένα από τα στοιχεία του S Για παράδειγmicroα αν ϱίξουmicroε ένα Ϲάρι τρεις ϕορές οι τριάδες(x1 x2 x3) που microπορούν να σχηmicroατιστούν είναι 63 όπου τα x1 x2 και x3 είναι στοιχείατου συνόλου 1 2 3 4 5 6 Οι τριάδες αυτές είναι τα σηmicroεία του δειγmicroατοχώρου Ω τουπειράmicroατος της ϱίψης τριών Ϲαριών όπου η τριάδα (245) πχ παριστάνει το ενδεχόmicroενοumlνα έρθει 2 το πρώτο Ϲάρι 4 το δεύτερο και 5 το τρίτοuml

∆ιατάξεις

Η παραπάνω περίπτωση microπορεί να ιδωθεί και από άλλη οπτική γωνιά όπως ϕαίνεται στοεξής παράδειγmicroα

Παράδειγmicroα 3 ΄Ενα δοχείο περιέχει s όmicroοιους ϐόλους που ϕέρουν αριθmicroούς από το1 ως το s Επιλέγουmicroε τυχαία ένα ϐόλο από το δοχείο σηmicroειώνουmicroε τον αριθmicroό τουκαι τον ξανατοποθετούmicroε στο δοχείο Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί n ϕορέςποιος είναι ο δειγmicroατοχώρος (σύνολο των δυνατών αποτελεσmicroάτων) του πειράmicroατοςΚάθε microία από τις επιλογές δίνει έναν αριθmicroό από το 1 ως το s Το αποτέλεσmicroα τωνn επιλογών περιγράφεται από τη nminusάδα x1 x2 xn όπου το x1 είναι ο αριθmicroός

πάνω στον πρώτο ϐόλο που επιλέξαmicroε το x2 είναι ο αριθmicroός πάνω στον δεύτερο ϐόλοπου επιλέξαmicroε κτλ Συνολικά υπάρχουν sn δυνατές nminusάδες οι οποίες αποτελούντα σηmicroεία του δειγmicroατοχώρου Ω του πειράmicroατος

Η παραπάνω διαδικασία λέγεται δειγmicroατοληψία microε επανατοποθέτηση από ένανπληθυσmicroό s διακεκριmicroένων αντικειmicroένων Το αποτέλεσmicroα x1 x2 xn λέγεται διατεταγ-microένο δείγmicroα microεγέθους n από έναν πληθυσmicroό microεγέθους s αντικειmicroένων microε επανατοποθέ-τηση ή διάταξη των s αντικειmicroένων ανά n Εδώ ϐέβαια υποθέτουmicroε ότι όλα τα sn δυνατάδείγmicroατα έχουν την ίδια πιθανότητα Για παράδειγmicroα στη ϱίψη των τριών Ϲαριών όπουέχουmicroε 63 = 216 δυνατά αποτελέσmicroατα καθένα από αυτά ϑεωρούmicroε ότι έχει πιθανότητα1216 να ϐγεί

Παράδειγmicroα 4 ΄Εστω τα γράmicromicroατα a b c Πόσα είναι τα δυνατά διατεταγmicroένα Ϲεύγηπου ϑα microπορούσαmicroε να ϕτιάξουmicroε από τα γράmicromicroατα αυτά χρησιmicroοποιώντας δειγ-microατοληψία microε επανατοποθέτησηΣύmicroφωνα microε τα παραπάνω τα διατεταγmicroένα δεύγη (δείγmicroατα microεγέθους 2) που microπο-ϱούmicroε να ϕτιάξουmicroε από πληθυσmicroό τριών αντικειmicroένων (δηλαδή οι διατάξεις τωντριών στοιχείων ανά δύο) είναι 32 = 9 Οι διατάξεις αυτές είναι οι(a a) (a b) (a c) (b a) (b b) (b c) (c a) (c b) (c c)

Ας δούmicroε τώρα microια λίγο διαφορετική διαδικασία ΄Εστω S ένα σύνολο microε s διακεκριmicroέ-να αντικείmicroενα αριθmicroηmicroένα από το 1 ως το s Επιλέγουmicroε ένα από αυτά και σηmicroειώνουmicroετον αριθmicroό του χωρίς να το ξανατοποθετήσουmicroε στο S Αν επαναλάβουmicroε αυτή τη διαδι-κασία ϑα έχουmicroε να επιλέξουmicroε κάποιο από τα υπόλοιπα s minus 1 αντικείmicroενα Γενικά ανεκτελέσουmicroε τη διαδικασία αυτή n ϕορές επιλέγονται συνολικά n αντικείmicroενα από το Sόπου προφανώς n le s (πχ επιλογή 6 χαρτιών από microια τράπουλα) Το αποτέλεσmicroα αυτούτου σύνθετου τυχαίου πειράmicroατος περιγράφεται και πάλι από microιά nminusάδα x1 x2 xnτης οποίας όmicroως οι αριθmicroοί πρέπει να είναι διαφορετικοί αφού δεν έχουmicroε διπλές εmicroφα-νίσεις στο δείγmicroα microας Το πρώτο αντικείmicroενο που επιλέξαmicroε microπορεί να είναι οποιοδήποτεαπό τα s (άρα υπάρχουν s τρόποι για την επιλογή του πρώτου αντικειmicroένου) το δεύτεροοποιοδήποτε από τα υπόλοιπα sminus 1 κοκ ΄Αρα υπάρχουν σύmicroφωνα microε την πρόταση τηςπροηγούmicroενης παραγράφου

(s)n = s(sminus 1)(sminus 2) middot middot middot (sminus n + 1) = s(sminus n)

διαφορετικά δυνατά αποτελέσmicroατα για το πείραmicroα αυτόΗ διαδικασία αυτή ονοmicroάζεται δειγmicroατοληψία n αντικειmicroένων χωρίς επανατοπο-

ϑέτηση αν υποθέσουmicroε ότι όλα τα (s)n αποτελέσmicroατα είναι ισοπίθανα

Παράδειγmicroα 5 ΄Εστω τα γράmicromicroατα a b c Πόσα είναι τα δυνατά διατεταγmicroένα Ϲεύγηπου ϑα microπορούσαmicroε να ϕτιάξουmicroε από τα γράmicromicroατα αυτά χρησιmicroοποιώντας δειγ-microατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση∆ειγmicroατοληψία χωρίς επανατοποθέτηση σηmicroαίνει ότι στο κάθε διατεταγmicroένο Ϲεύγοςένα γράmicromicroα ϑα εmicroφανίζεται microόνο microία ϕορά Σύmicroφωνα microε τα παραπάνω ο αριθmicroόςτέτοιων Ϲευγών είναι (3)2 = 3(3 minus 2) = 6 (Τα διατεταγmicroένα αυτά Ϲεύγη είναι τα(a b) (a c) (b a) (b c) (c a) (c b))

Στην ειδική περίπτωση όπου n = s δηλαδή Ϲητάmicroε τα διατεταγmicroένα δείγmicroατα microεγέθουςs που microπορούmicroε να ϕτιάξουmicroε από πληθυσmicroό s αντικειmicroένων χωρίς επανατοποθέτηση οαριθmicroός των δυνατών αποτελεσmicroάτων ειναι

(s)s = s middot (sminus 1) middot (sminus 2) middot middot middot 2 middot 1 = s

Τα αποτελέσmicroατα αυτά λέγονται microεταθέσεις των s αριθmicroών Λέmicroε λοιπόν ότι το σύνολοτων δυνατών microεταθέσεων s αριθmicroών είναι s

Πχ οι δυνατές microεταθέσεις των τριών γραmicromicroάτων a b c του προηγούmicroενου παραδείγ-microατος είναι 3=6 (είναι οι (a b c) (a c b) (b a c) (b c a) (c a b) (c b a))

Παράδειγmicroα 6 Το περίφηmicroο πρόβληmicroα των γενεθλίωνΠόσους ανθρώπους χρειάζεται να έχουmicroε σε ένα δωmicroάτιο ώστε η πιθανότητα δύοαπό αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια microέρα να είναι ευνοική (∆ηλαδή να είναιmicroεγαλύτερη από 12)Για να το ϐρούmicroε ϑα υπολογίσουmicroε την πιθανότητα P σε ένα δωmicroάτιο microε n ανθρώ-πους να microην υπάρχουν δύο που έχουν γεννηθεί την ίδια ηmicroεροmicroηνία ∆εχόmicroαστεότι ένα έτος έχει 365 ηmicroέρες (αγνοούmicroε τα δίσεκτα έτη) και ότι όλες οι ηmicroέρες ενόςέτους έχουν την ίδια πιθανότητα να είναι ηmicroέρες γενεθλίων Αριθmicroούmicroε τους ανθρώ-πους από το 1 εως το n Τα σηmicroεία του δειγmicroατοχώρου είναι nminusάδες της microορφής(x1 x2 xn) όπου τα xi i = 1 2 n είναι microιά από τις 365 ηmicroέρες του έτους΄Ολες οι δυνατές nminusάδες είναι 365n ενώ αυτές στις οποίες καmicroία ηmicroεροmicroηνία δενεmicroφανίζεται πάνω από microιά ϕορά είναι

365 middot 364 middot 363 middot middot middot (365minus n + 1) = (365)n

Υποθέτοντας ότι κάθε microία από αυτές έχει την ίδια πιθανότητα να εmicroφανιστεί έχουmicroε

P =(365)n

Τότε το n που απαιτείται ώστε η πιθανότητα να έχουν δύο από τους n ανθρώπουςγενέθλια την ίδια ηmicroεροmicroηνία να είναι ευνοική ϐρίσκεται από τη σχέση

2rArr= (365)n lt 365n

Το αποτέλεσmicroα είναι εντυπωσιακό Ακόmicroα και για n = 23 έχουmicroε ότι P lt 12 ενώγια n = 56 έχουmicroε P = 001 ∆ηλαδή σε microιά οmicroάδα 56 ατόmicroων είναι σχεδόν ϐέβαιοότι δύο από αυτούς έχουν γεννηθεί την ίδια ηmicroεροmicroηνία

Είδαmicroε ότι αν έχουmicroε έναν πληθυσmicroό s αντικειmicroένων microπορούmicroε να επιλέξουmicroε sn

δείγmicroατα microεγέθους n microε επανατοποθέτηση και (s)n δείγmicroατα χωρίς επανατοποθέτησηΑν όmicroως το s είναι πολύ microεγάλο σε σχέση microε το n (s Agrave n) τότε η διαφορά microεταξύ των δύοmicroεθόδων τυχαίας δειγmicroατοληψίας είναι πολύ microικρή

Συνδυασmicroοί (microη διατεταγmicroένα δείγmicroατα)

Υπάρχουν περιπτώσεις (πειράmicroατα τύχης) στις οποίες η σειρά των στοιχείων ενός δείγ-microατος δεν ενδιαφέρει Πχ στο πόκερ ΄Ενα χέρι του πόκερ αποτελείται από 5 χαρτιάτα οποία επιλέγονται τυχαία από microια συνηθισmicroένη τράπουλα microε 52 χαρτιά Είδαmicroε ότιγια ένα τέτοιο σύνολο υπάρχουν (52)5 δυνατές διατάξεις (χωρίς επανατοποθέτηση) 5 χαρ-τιών Αν όmicroως κάνουmicroε έτσι τον υπολογισmicroό διαφορετικές διατάξεις των ίδιων 5 χαρτιώνϑεωρούνται διαφορετικά χέρια ΄Οmicroως στο πόκερ η πεντάδα 23456 σπαθιά (microε αυτήτη διάταξη) είναι ίδια microε την πεντάδα 32456 σπαθιά (microε αυτή τη διάταξη) Για τηνακρίβεια όλες οι 5 microεταθέσεις των 5 χαρτιών είναι ισοδύναmicroες στο πόκερ ΄Ετσι από τα(52)5 δυνατά χέρια τα 5 από αυτά είναι απλώς microεταθέσεις αυτών των ίδιων 5 χαρτιών΄Αρα το συνολικό πλήθος των χεριών του πόκερ αν αγνοήσουmicroε τη σειρά microε την οποίαεmicroφανίζονται τα χαρτιά είναι (52)55

Γενικά από ένα σύνολο S που περιέχει s διακεκριmicroένα αντικείmicroενα microπορούmicroε ναεπιλέξουmicroε (s)n διαφορετικά δείγmicroατα microεγέθους n χωρίς επανατοποθέτηση Κάθε δια-κεκριmicroένο υποσύνολο x1 x2 xn από n στοιχεία του S microπορεί να διαταχθεί microε nδιαφορετικούς τρόπους Αν αποφασίσουmicroε να αγνοήσουmicroε τη σειρά microε την οποία τα αν-τικείmicroενα εmicroφανίζονται στο δείγmicroα τότε αυτές οι n αναδιατάξεις ή microεταθέσεις πρέπει ναϑεωρηθούν ταυτόσηmicroες Υπάρχουν λοιπόν (s)nn διαφορετικά δείγmicroατα microεγέθους n πουmicroπορούmicroε να επιλέξουmicroε χωρίς επανατοποθέτηση και χωρίς να microας ενδιαφέρει η διάταξηαπό ένα σύνολο S που περιέχει s διακεκριmicroένα αντικείmicroενα Τα δείγmicroατα αυτά λέγονταισυνδυασmicroοί των s στοιχείων ανά n

Η ποσότητα (s)nn γράφεται συνήθως microε τη ϐοήθεια του συmicroβόλου του λεγόmicroενουδιωνυmicroικού συντελεστή

και microπορούmicroε να δούmicroε ότι ισούται microε s(sminus n)n(

s(sminus 1) middot middot middot (sminus n + 1)

[1 middot 2 middot middot middot (sminus n)][(sminus n + 1) middot middot middot (sminus 1)s]

[1 middot 2 middot middot middot (sminus n)]n=

(sminus n)n

Η ορολογία umlδιωνυmicroικός συντελεστήςuml προέρχεται από microιά εφαρmicroογή της άλγεβρας καισυγκεκριmicroένα το ανάπτυγmicroα του διωνύmicroου

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

)xsminus2y2 + middot middot middot+

όπου το πλήθος των συνδυασmicroών(

)εmicroφανίζεται στους συντελεστές του αναπτύγmicroατος

Οι συντελεστές αυτοί έχουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες όπως για παράδειγmicroα1)

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

)+ middot middot middot+

οι οποίες αποδεικνύονται πολύ εύκολα Σηmicroειώστε ότι το σύmicroβολο(

)είναι καλά

ορισmicroένο για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό a και microη αρνητικό n και ότι τα 0 και (a)0 είναι εξορισmicroού ίσα microε 1

Παράδειγmicroα 7 Πόσα είναι τα δυνατά microη διατεταγmicroένα Ϲεύγη που microπορούmicroε ναϕτιάξουmicroε από τα γράmicromicroατα a b c

Τα Ϲεύγη αυτά είναι οι δυνατοί συνδυασmicroοί των τριών αριθmicroών ανά δύο άρα(

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

Παράδειγmicroα 8 Σύνθεση επιτροπήςΤο τmicroήmicroα Υλικών έχει 3 καθηγητές πρώτης ϐαθmicroίδας 6 αναπληρωτές καθηγητέςκαι 8 επίκουρους καθηγητές Μια τριmicroέλής επιτροπή εκλέγεται τυχαία από ταπαραπάνω microέλη ∆ΕΠ Βρείτε την πιθανότητα όλα τα microέλη της επιτροπής να είναιεπίκουροι καθηγητέςΑν ορίσουmicroε ως A το γεγονός lsquoκαι τα τρία microέλη της επιτροπής είναι επίκουροιrsquo τότεη πιθανότητα του A δίνεται από το πλήθος των στοιχείων του A προς το συνολι-κό πλήθος των δειγmicroατοσηmicroείων του πειράmicroατος (που το πλήθος των δυνατών microηδιατεταγmicroένων τριάδων που microπορούmicroε να ϕτιάξουmicroε από τα υπάρχοντα microέλη ∆ΕΠ)Συνολικά το τmicroήmicroα έχει 17 microέλη ∆ΕΠ Η επιτροπή των τριών microπορεί να εκλεγεί

από τους 17 microε(

)τρόπους Υπάρχουν 8 επίκουροι καθηγητές και οι 3 της

επιτροπής microπορούν να επιλεγούν από αυτούς microε(

)τρόπους primeΑρα η Ϲητούmicroενη

πιθανότητα είναι

) 0082

Σε πολλές περιπτώσεις οδηγούmicroαστε στον υπολογισmicroό παραγοντικών ΄Οταν όmicroως ο αριθ-microός έστω n είναι ακόmicroα και microέτριου microεγέθους (για παράδειγmicroα n = 15) τότε το n είναιπάρα πολύ microεγάλος αριθmicroός Στις περιπτώσεις αυτές microια προσεγγιστική τιmicroή του nδίνεται από τον τύπο του Stirling σύmicroφωνα microε τον οποίο

)nradic2πn

όπου e είναι η ϐάση των νεπέρειων λογαρίθmicroων (σταθερά του Euler) e = 271828Μια τελευταία παρατήρηση που αφορά τον συmicroβολισmicroό Οι ποσότητες (s)n και (s)nnσυmicroβολίζονται επίσης microε sPn (P από το Permutations (microεταθέσεις) ) και sCn (C από τοCombinations (συνδυασmicroοί) ) αντίστοιχα

Ασκήσεις

1 Με πόσους διαφορετικούς τρόπους microπορούν να καθήσουν στη σειρά 10 άνθρωποισε 4 καρέκλες

2 ∆ιαλέγουmicroε τυχαία 5 αριθmicroούς από το σύνολο 1 2 3 15 microε επανατοποθέτησηΠοια είναι η πιθανότηταα) ο microεγαλύτερος να είναι 9ϐ) ο microικρότερος να είναι 3 και ο microεσαίος (σε microέγεθος) να είναι 8γ) οι δύο να είναι άρτιοι και οι τρείς περιττοί

3 primeΕνα δοχείο περιέχει 8 αριθmicroηmicroένους ϐόλους από το 1 ως το 8 Επιλέγουmicroε 4ϐόλους στην τύχη χωρίς επανατοποθέτηση Ποια είναι η πιθανότητα ο microικρότεροςαριθmicroός να είναι το 3

4 ∆έκα χαρτιά επιλέγονται στην τύχη από microιά τράπουλα 52 χαρτιών Σε πόσες περι-πτώσεις περιλαmicroβάνεται τουλάχιστον ένας άσσος Σε πόσες περιπτώσεις περιλαmicroβά-νεται ακριβώς ένας άσσος

5 Τρεις γυναίκες και πέντε άνδρες σχηmicroατίζουν microιά τετραmicroελή οmicroάδα Κατά πόσουςτρόπους microπορεί να συmicroβεί αυτό έτσι ώστε να υπάρχει τουλάχιστον microία γυναίκα στηνοmicroάδα

6 Πόσες διαφορετικές επιτροπές microε 3 άνδρες και 4 γυναίκες microπορούν να σχηmicroατιστούναπό 8 άνδρες και 6 γυναίκες

7 Κατά πόσους τρόπους microπορούν να χωριστούν 10 άνθρωποι σε δύο οmicroάδες από 7 και3 ανθρώπους

8 Υπολογίστε την πιθανότητα να εmicroφανιστούν 3 εξάρια σε 5 ϱίψεις ενός Ϲαριού

9 Παίρνουmicroε τυχαία 3 αριθmicroούς χωρίς επανατοποθέτηση από ένα δοχείο που περιέχειτους αριθmicroούς 1220 Να ϐρεθεί η πιθανότητα των παρακάτω γεγονότων α) το άθροισmicroα τους να είναι 11ϐ) το γινόmicroενό τους είναι άρτιογ) ο microικρότερος είναι 4 ή 5

Κεφάλαιο 3 Τυχαίες microεταβλητές και κατανοmicroές πιθανότηταςΠεριεχόmicroενα

∆ιακριτές τυχαίες microεταβλητές ndash Συνεχείς τυχαίες microεταβλητές ndash Μέση τιmicroή τυχαίων microεταβλητών ndashΡοπές διασπορά και τυπική απόκλιση τυχαίων microεταβλητών ndash Ασκήσεις

∆ιακριτές τυχαίες microεταβλητές

Θεωρούmicroε ένα πείραmicroα τύχης στο οποίο ϱίχνουmicroε ένα νόmicroισmicroα τρείς ϕορές microε πιθανότηταp να εmicroφανιστούν γράmicromicroατα (Γ) σε κάθε ϱίψη (σε ένα lsquoτίmicroιοrsquo νόmicroισmicroα η πιθανότητα αυτήϑα είναι 12) Υποθέστε ότι αν σε microια ϱίψη εmicroφανιστούν Γ κερδίζουmicroε 1 ευρώ ενώαν εmicroφανιστεί κεφάλι (Κ) χάνουmicroε 1 ευρώ Προφανώς η ποσότητα που microας ενδιαφέρειεδώ και την οποία συmicroβολίζουmicroε microε X είναι το συνολικό microας κέρδος Είναι ϕανερόότι η X microπορεί να πάρει microόνο microία από τις τιmicroές 3 1 -3 και -1 Το ποια από αυτέςϑα πάρει εξαρτάται από το αποτέλεσmicroα του τυχαίου πειράmicroατος Αν για παράδειγmicroατο αποτέλεσmicroα είναι ΓΓΓ η X παίρνει την τιmicroή 3 ενώ αν είναι ΓΚΓ η X παίρνει τηντιmicroή 1 Στον παρακάτω πίνακα καταγράφουmicroε τις τιmicroές της X που αντιστοιχούν σταοκτώ δυνατά αποτελέσmicroατα ω του τυχαίου πειράmicroατος καθώς και την πιθανότητα ναεmicroφανιστεί καθένα από τα αποτελέσmicroατα αυτά (σηmicroειώστε ότι ο αριθmicroός των δυνατώναποτελεσmicroάτων είναι ο αριθmicroός των δυνατών τριάδων που microπορούmicroε να ϕτιάξουmicroε από ταδύο στοιχεία Γ Κ οι οποίες σύmicroφωνα microε τη ϑεωρία του προηγούmicroενου κεφαλαίου είναι2times 2times 2)

ω X P (ω)ΓΓΓ 3 p3

ΓΚΓ 1 p2(1minus p)ΓΓΚ 1 p2(1minus p)ΚΓΓ 1 p2(1minus p)ΓΚΚ -1 p(1minus p)2

ΚΓΚ -1 p(1minus p)2

ΚΚΓ -1 p(1minus p)2

ΚΚΚ -3 (1minus p)3

(Στον παραπάνω πίνακα η πιθανότητα του αποτελέσmicroατος ΓΓΓ υπολογίστηκε ως γινόmicroενοτων πιθανοτήτων των τριών ανεξάρτητων ενδεχοmicroένων A =rsquoστην πρώτη ϱίψη Γrsquo B =lsquoστηδεύτερη ϱίψη Γrsquo D =rsquoστην τρίτη ϱίψη Γrsquo λαmicroβάνοντας υπόψη ότι η πιθανότητα της τοmicroήςανεξάρτητων ενδεχοmicroένων ισούται microε το γινόmicroενο των πιθανοτήτων τους Ανάλογα για ταάλλα αποτελέσmicroατα)

Μπορούmicroε να σκεφτόmicroαστε τη X ως microια πραγmicroατική microεταβλητή η οποία για κάθεστοιχειώδες ενδεχόmicroενο ω του Ω παίρνει microια ορισmicroένη τιmicroή (εδώ microια από τις τιmicroές -3-113) Η πιθανότητα η X να πάρει microια ορισmicroένη τιmicroή έστω 1 είναι η πιθανότητα τουγεγονότος A = ω X(ω) = 1 το οποίο περιλαmicroβάνει όλα τα στοιχειώδη ενδεχόmicroενα ωτου Ω που οδηγούν στην τιmicroη X = 1 (στο παράδειγmicroά microας τα ΓΓΚ ΓΚΓ και ΚΓΓ) Από τονπίνακα ϐλέπουmicroε ότι το A έχει πιθανότητα P (A) = 3p2(1minus p) να πραγmicroατοποιηθεί (το Aείναι η ένωση των ανεξάρτητων ενδεχοmicroένων ΓΓΚ ΓΚΓ και ΚΓΓ) Ανάλογα microπορούmicroε να

χειριστούmicroε και τις υπόλοιπες τιmicroές της X ΄Ετσι για κάθε τιmicroή που microπορεί να πάρει η Xέστω xi (που εδώ ϑα είναι κάποιο από τα minus3minus1 1 3) η πιθανότητα microε την οποία παίρνειαυτή την τιmicroή P (X = xi) είναι πλήρως καθορισmicroένη (πχ P (X = 1) = 3p2(1 minus p))Θα δούmicroε ότι η X είναι ένα παράδειγmicroα διακριτής τυχαίας microεταβλητής (ή στοχαστικήςσυνάρτησης όπως επίσης λέγεται)

Ορισmicroός ∆ιακριτή τυχαία microεταβλητή X σε ένα δειγmicroατοχώρο Ω είναι microια microεταβλητήX που ορίζεται για κάθε δυνατό αποτέλεσmicroα ενός τυχαίου πειράmicroατος και για κάθε τέ-τοιο αποτέλεσmicroα παίρνει microια ορισmicroένη τιmicroή από ένα πεπερασmicroένο ή άπειρο αριθmicroήσιmicroουποσύνολο των πραγmicroατικών αριθmicroώνΟρισmicroός Η πραγmicroατική συνάρτηση f που ορίζεται στους πραγmicroατικούς αριθmicroούς απότην f(x) = P (X = x) λέγεται διακριτή συνάρτηση πυκνότητας ή συνάρτηση πι-ϑανότητας ή κατανοmicroή πιθανότητας της X (∆ίνει την πιθανότητα η X να πάρει microιαορισmicroένη τιmicroή από το πεδίο τιmicroών της Πχ για την τυχαία microεταβλητή X που ορίσαmicroεστην αρχή του κεφαλαίου f(1) = P (X = 1) δίνει την πιθανότητα η microεταβλητή X (τοκέρδος) να πάρει την τιmicroή 1 (να είναι 1 ευρώ))

Ας ϑεωρήσουmicroε την τυχαία microεταβλητή X που ορίσαmicroε στην αρχή του κεφαλαίου καιας υποθέσουmicroε ότι p = 05 Τότε η X έχει τη διακριτή συνάρτηση πυκνότητας που ορίζεταιαπό τις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

και f(x) = 0 αν x 6= minus3minus1 1 3 Η συνάρτηση πυκνότητας ή απλά πυκνότητα f microιαςδιακριτής τυχαίας microεταβλητής έχει τις ακόλουθες ιδιότητες

(1) f(x) ge 0 x isin R

(2) Το σύνολο x f(x) 6= 0 (δηλαδή το σύνολο των τιmicroών της Q που έχουν microη microηδενικήπιθανότητα) είναι ένα πεπερασmicroένο ή άπειρο αριθmicroήσιmicroο υποσύνολο του R ΄Εστωx1 x2 αυτό το σύνολο Τότε

(3) sumi f(xi) = 1

Οι ιδιότητες (1) και (2) προκύπτουν άmicroεσα από τον ορισmicroό της f Για να δούmicroε αν ισχύειη (3) παρατηρούmicroε ότι τα ενδεχόmicroενα ω X(ω) = xi (δηλαδή τα ενδεχοmicroενα του Ω πουδίδουν για τη Q την τιmicroή xi) είναι ξένα και η ένωσή τους είναι το Ω ΄Αρα

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

΄Ετσι microπορούmicroε να ορίσουmicroε εναλλακτικά την πυκνότητα f ως εξής Ορισmicroός Μια πραγmicroατική συνάρτηση f ορισmicroένη στο R λέγεται διακριτή συνάρτησηπυκνότητας ή απλά διακριτή πυκνότητα αν ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες (1) ndash (3)

Παράδειγmicroα 1 Ρίχνουmicroε ένα νόmicroισmicroα δύο ϕορές και ορίζουmicroε την τυχαία microεταβλη-τή X ως το πλήθος των Κ που εmicroφανίστηκαν Να υπολογιστεί η πυκνότητα f τηςXΗ αντιστοιχία microεταξύ των δυνατών αποτελεσmicroάτων του πειράmicroατος και των τιmicroώντης διακριτής τυχαίας microεταβλητής X δίνεται στον παρακάτω πίνακα microαζί microε την

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

πιθανότητα των σηmicroείων του δειγmicroατοχώρου Ω του πειράmicroατος Η πυκνότητα πουαντιστοιχεί στη X είναι

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

και f(x) = 0 για x 6= 0 1 2 Προσέξτε ότι f(0) + f(1) + f(2) = 1 Η γραφικήπαράσταση της f δίνεται είτε microε ένα ϱαβδόγραmicromicroα είτε microε ένα ιστόγραmicromicroα Σεένα ϱαβδόγραmicromicroα το άθροισmicroα των τεταγmicroένων είναι 1 ενώ σέ ένα ιστόγραmicromicroατο άθροισmicroα των εmicroβαδών είναι 1 όπως προκύπτεί από την ιδιότητα (3) Σε έναιστόγραmicromicroα microπορούmicroε να ϕανταστούmicroε ότι η τυχαία microεταβλητή X γίνεται συνεχήςλόγου χάρη X = 1 σηmicroαίνει ότι η X είναι microεταξύ 05 και 15

Σηmicroειώστε ότι και άλλες τυχαίες microεταβλητές microπορούν να οριστούν στον ίδιο δειγmicroατοχώροΩ Λόγου χάρη στο προηγούmicroενο παράδειγmicroα ϑα microπορούσαmicroε να ορίσουmicroε microια τυχαίαmicroεταβλητή Y ως το πλήθος των Κ που εmicroφανίζονται microείον το πλήθος των Γ που εmicroφανίζον-ται Τότε οι δυνατές τιmicroές της Y ϑα ήταν -202 ενώ η αντίστοιχη πυκνότητα ϑα έπαιρνετις τιmicroές f(minus2) = 14 f(0) = 12 f(2) = 14 και f(x) = 0 για x 6= minus2 0 2

Κάθε διακριτή συνάρτηση πυκνότητας δηλαδή κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τιςιδιότητες (1) ndash (3) είναι η πυκνότητα κάποιας τυχαίας microεταβλητής X Με άλλα λόγια ανmicroας δοθεί η f microπορούmicroε πάντα να κατασκευάσουmicroε ένα δειγmicroατοχώρο Ω και microια τυχαίαmicroεταβλητή ορισmicroένη στον Ω της οποίας η διακριτή πυκνότητα να είναι f ΄Ετσι microπορούmicroενα χρησιmicroοποιούmicroε εκφράσεις όπως lsquoέστω X microια τυχαία microεταβλητή microε διακριτή πυκνότηταf rsquo χωρίς να διευκρινίζουmicroε τον δειγmicroατοχώρο f στον οποίο ορίζεται η X Για παράδειγmicroαυποθέστε ότι επιλέγουmicroε ένα χαρτί από microια δεσmicroίδα microε n χαρτιά και ϑέτουmicroε X = i ανεπιλεγεί το iminusοστο χαρτί Τότε P (X = i) = 1n άρα microπορούmicroε να περιγράψουmicroε τοπείραmicroα λέγοντας ότι παρατηρούmicroε microια τυχαία microεταβλητή X η οποία παίρνει ακέραιεςτιmicroές 1 2 3 n και έχει πυκνότητα f(x) = 1n αν x = 1 2 3 n και f(x) = 0 αλλιώς

Γενικά κάθε τυχαίο πείραmicroα που έχει πεπερασmicroένα ή άπειρα αριθmicroήσιmicroα το πλήθοςδυνατά αποτελέσmicroατα microπορεί να περιγραφεί ως η παρατήρηση της τιmicroής microιας διακριτήςτυχαίας microεταβλητής X Για την ακρίβεια το πείραmicroα πολλές ϕορές microας δίνεται ήδη micro΄αυτή τη microορφή

Στα δύο επόmicroενα παραδείγmicroατα παρουσιάζονται δύο τυπικές διακριτές πυκνότητες

Παράδειγmicroα 2 Η γεωmicroετρική πυκνότητα΄Εστω 0 lt p lt 1 Τότε η πραγmicroατική συνάρτηση f που ορίζεται στο R από την

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

είναι microια διακριτή πυκνότητα και λέγεται γεωmicroετρική πυκνότητα microε παράmicroετρο p

Για να δούmicroε αν η f είναι πυκνότητα το microόνο που χρειάζεται να ελέγξουmicroε είναι ότιισχύει η ιδιότητα (3) αφού οι (1) και (2) ικανοποιούνται προφανώς ΄Οmicroως

infinsum

f(xi) =infinsum

p(1minus p)i = pinfinsum

(1minus p)i = p middot 1

αφού το άθροισmicroα της γεωmicroετρικής σειράς suminfini=0(1minus p)i είναι ίσο microε 1p

Παράδειγmicroα 3 Η πυκνότητα Poisson΄Εστω λ ένας ϑετικός αριθmicroός Η πυκνότητα Poisson microε παράmicroετρο λ ορίζεται απότη σχέση

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

Η συνάρτηση f προφανώς ικανοποιεί τις (1) και (2) του ορισmicroού της διακριτήςσυνάρτησης πυκνότητας Για να δούmicroε αν ισχύει η (3) ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroε τοανάπτυγmicroα Taylor της εκθετικής συνάρτησης

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

x= eminusλ middot eλ = 1

Η εmicroπειρία δείχνει ότι πολλά τυχαία ϕαινόmicroενα που έχουν σχέση microε το microέτρηmicroαακολουθούν κατά προσέγγιση την κατανοmicroή Poisson όπως για παράδειγmicroα τα εξής

(α) Το πλήθος των ατόmicroων microιας ϱαδιενεργού ουσίας που αποσυντίθενται στη microο-νάδα του χρόνου

(ϐ) Το πλήθος των κλήσεων που δέχεται ένα τηλεφωνικό κέντρο στη microονάδα τουχρόνου (∆ηλαδή η πιθανότητα το πλήθος των κλήσεων που δέχεται το τηλεφω-νικό κέντρο να είναι x = 0 1 2 3 δίνεται από το f(x) = λxeminusλx)

(γ) Το πλήθος των τυπογραφικών λαθών σε microια σελίδα ενός ϐιβλίουκτλ

Η αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής ή απλά συνάρτηση κατανοmicroής για microια τυχαίαmicroεταβλητή X ορίζεται από τη σχέση

F (x) = P (X le x)

όπου x οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός (minusinfin lt x lt infin) Η συνάρτηση κατανοmicroήςmicroπορεί να υπολογιστεί από την πυκνότητα f επειδή

F (x) = P (X le x) =sum

όπου το άθροισmicroα στο δεξιό microέλος νοείται ως προς όλα τα u για τα οποία u le x Αντίστρο-ϕα η πυκνότητα microπορεί να προκύψει από τη συνάρτηση κατανοmicroής όπως ϑα δούmicroε καιστο επόmicroενο παράδειγmicroα

Παράδειγmicroα 4 Προσδιορίστε τη συνάρτηση κατανοmicroής της τυχαίας microεταβλητής Xτου παραδείγmicroατος 1 και δώστε τη γραφική της παράστασηΗ F (x) ϑα είναι

F (x) =

0 minusinfin lt x lt 014 0 le x lt 134 1 le x lt 21 2 le x lt +infin

Για παράδειγmicroα για 1 le x lt 2 η F ϑα είναι F (x) = f(0) + f(1) = 34 Βλέπουmicroεότι η F είναι microη ϕθίνουσα κλιmicroακωτή συνάρτηση και ότι για κάθε ακέραιο x η Fπαρουσιάζει άλmicroα (ασυνέχεια) microεγέθους f(x) στο x ενώ είναι σταθερή στο διάστηmicroα[x x + 1) ΄Ετσι microπορούmicroε να προσδιορίσουmicroε την f από την F και αντιστρόφως

Παράδειγmicroα 5 Θεωρήστε τη συνάρτηση πυκνότητας f(x) = 110 για x = 1 2 10και f(x) = 0 για οποιοδήποτε άλλο x Ποιά είναι η συνάρτηση κατανοmicroής F της f Είναι F (x) = 0 αν x lt 1 F (x) = 1 αν x gt 10 και F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

1 le x le 10Μπορούmicroε να υπολογίσουmicroε την πιθανότητα λόγου χάρη P (3 lt x le 5) είτε microε τηϐοήθεια της f γράφοντας

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

είτε microε τη ϐοήθεια της F

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

Αν ϑέλω να ϐρώ την πιθανότητα P (3 le x le 5) τότε γράφω

P (3 le x le 5) = P (2 lt x le 5) = F (5)minus F (2) =3

κτλ

Γενικά ισχύει η σχέση

P (a lt X le b) = F (b)minus F (a)

η οποία είναι πολύ χρήσιmicroη για τον υπολογισmicroό πιθανοτήτων

Συνεχείς τυχαίες microεταβλητές

Στη ϑεωρία αλλά και στην πράξη εmicroφανίζονται συχνά καταστάσεις στις οποίες οι ϕυ-σιολογικές τυχαίες microεταβλητές που πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε είναι συνεχείς και όχιδιακριτές δηλαδή microπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιmicroή σε ένα δεδοmicroένο διάστηmicroα (ητιmicroή αυτή και εδώ εξαρτάται προφανώς από το αποτέλεσmicroα του τυχαίου πειράmicroατος) Τέ-τοια παραδείγmicroατα είναι η τυχαία microεταβλητή έστω T που παριστάνει το χρόνο διάσπασηςενός ϱαδιενεργού σωmicroατιδίου ή το χρόνο Ϲωής ενός ηλεκτρικολυ λαmicroπτήρα η τυχαία microε-ταβλητή X που παριστάνει τη ϑέση ενός κβαντοmicroηχανικού σωmicroατιδίου παγιδευmicroένου σε

microια περιοχή του χώρου η τυχαία microεταβλητή που παριστάνει το ύψος ενός ατόmicroου απόένα δεδοmicroένο δείγmicroα ατόmicroων κοκ

Γενικά τυχαίες microεταβλητές που αφορούν microετρήσεις ϕυσικών ποσοτήτων όπως οι συν-τεταγmicroένες στο χώρο το ϐάρος ο χρόνος η ϑερmicroοκρασία η τάση του ϱεύmicroατος κτλπεριγράφονται καλύτερα microε συνεχείς τυχαίες microεταβλητές

Στην περίπτωση των συνεχών τυχαίων microεταβλητών η έκφραση lsquoπιθανότητα η microεταβλητήX να πάρει microια ορισmicroένη τιmicroή xrsquo αντικαθίσταται από την lsquoπιθανότητα η microεταβλητή X ναπάρει τιmicroές σε ένα ορισmicroένο απειροστό διάστηmicroα γύρω από το σηmicroείο xrsquo Με ϐάση αυτόη συνάρτηση πυκνότητας για συνεχείς τυχαίες microεταβλητές ορίζεται από τη σχέση

f(x)dx = P (x lt X le x + dx)

Προσέξτε ότι αντίθετα microε ότι συmicroβαίνει για διακριτές τυχαίες microεταβλητές η τιmicroή τηςf(x) για το ενδεχόmicroενο x δεν είναι η πιθανότητα να συmicroβεί το x1 Αυτό που παριστάνειπιθανότητα είναι η το γινόmicroενο f(x)dx

Από τον ορισmicroό της συνάρτησης πυκνότητας για συνεχείς κατανοmicroές γίνεται ϕανερό ότιη πιθανότητα το αποτέλεσmicroα του τυχαίου πειράmicroατος να είναι στο διάστηmicroα [a b] δίνεταιαπό την

P (a le X le b) =int b

af(x)dx

(lsquoάθροισmicroαrsquo των πιθανοτήτων όλων των απειροστών διαστηmicroάτων dx από το a ως το b)δηλαδή από το εmicroβαδόν κάτω από την f στο διάστηmicroα [a b]

Προφανώς η πυκνότητα f ϑα είναι microια microη αρνητική συνάρτηση και ϑα ικανοποιεί τηνint infin

minusinfinf(x)dx = 1

αφού η ολική πιθανότητα ϑα πρέπει να είναι πάντα microονάδα Η προηγούmicroενη σχέσηχρησιmicroοποιείται πολλές ϕορές και ως σχέση ορισmicroού της συνάρτησης πυκνότητας f

Στη συνέχεια ϑα ορίσουmicroε τη συνάρτηση κατανοmicroής για συνεχείς τυχαίες microεταβλητέςη οποία είναι χρήσιmicroη για τον υπολογισmicroό διαφόρων πιθανοτήτων που σχετίζονται microε τηντυχαία microεταβλητή XΟρισmicroός Η συνάρτηση κατανοmicroής F microιας τυχαίας microεταβλητής X είναι η συνάρτηση

F (x) = P (X le x) =int x

minusinfinf(y)dy minusinfin lt x lt infin

Μπορούmicroε εύκολα να δείξουmicroε ότι

P (a lt x le b) = F (b)minus F (a) a le b

Παρατηρούmicroε ότι για να υπολογίσουmicroε την πυκνότητα microιας συνεχούς τυχαίας microετα-ϐλητής αρκεί να παραγωγίσουmicroε την F οπότε

f(x) =d

dxF (x) minusinfin lt x lt infin

Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό x στο οποίο η F είναι συνεχήςΠροφανώς από την απαίτηση να είναι η πιθανότητα microηδέν όταν η τυχαία microεταβλητή

1Σηmicroειώστε ότι για συνεχείς τυχαίες microεταβλητές όπου ο δειγmicroατοχώρος περιλαmicroβάνει άπειρα στο πλήθοςσηmicroεία η πιθανότητα η τυχαία microεταβλητή X να πάρει microια συγκεκριmicromicroένη τιmicroή είναι microηδέν

παίρνει microια συγκεκριmicroένη τιmicroή η F δεν microπορεί να έχει άλmicroατα (ασυνέχειες) άρα ϑαπρέπει να είναι συνεχής Εποmicroένως η X είναι συνεχής τυχαία microεταβλητή αν και microόνο ανη F είναι συνεχής για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό x

Παράδειγmicroα 6 Υποθέστε ότι ϱίχνουmicroε ένα ϐέλος σε ένα στόχο σχήmicroατος κυκλικούδίσκου microε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα R στο επίπεδο Θεωρούmicroεότι ο δειγmicroατοχώρος του πειράmicroατος είναι οmicroοιόmicroορφος δηλαδή η πιθανότητα νακαρφωθεί το ϐέλος σε σηmicroείο microιας περιοχή του στόχου εmicroβαδού Ε ορίζεται απότο κλάσmicroα του Ε προς το συνολικό εmicroβαδόν του στόχου Αν X είναι η τυχαίαmicroεταβλητή που περιγράφει την απόσταση του σηmicroείου που umlεπιλέχθηκεuml από το Οτότε να ϐρεθεί η συνάρτηση κατανοmicroής της΄Εστω ότι το ϐέλος καρφώνεται σε σηmicroείο που απέχει x 0 le x le R από το Ο Τότετο ενδεχόmicroενο A = ω|X(ω) le x (δηλαδή το ενδεχόmicroενο που έχει ως σηmicroεία ταδειγmicroατοσηmicroεία ω του Ω για τα οποία η τυχαία microεταβλητή X παίρνει τιmicroές microικρό-τερες ή ίσες microε x) είναι ένας δίσκος microε κέντρο Ο και ακτίνα x και εmicroβαδόν πx2 Ηπιθανότητα να πραγmicroατοποιηθεί το A ορίζεται από την

P (A) =area of A

target area=

και η F ϑα είναι

F (x) =

0 x lt 0x2R2 0 le x le R1 x gt R

Αν A = ω|a le X le b microε 0 le a le b le R τότε P (a lt X le b) = F (b) minus F (a) =b2minusa2

P (a lt X le b) = 2bminus a

΄Ετσι η πιθανότητα που αποδίδεται στο διάστηmicroα A δεν εξαρτάται microόνο από το microήκοςτου αλλά επίσης και από το πού ϐρίσκεται αφού το (a + b)2 είναι το microέσο τουδιαστήmicroατος [a b] Μιλώντας χονδρικά γεγονότα της microορφής A = ω|a le X le bείναι πιο πιθανά αν είναι microακριά από το κέντρο του στόχου

Παράδειγmicroα 7 Κανονική πυκνότητα (Gauss)΄Εστω η συνάρτηση f(x) = ceminusx22 minusinfin lt x lt infin Υπολογίστε το c ώστε η f ναγίνει πυκνότηταΓια να κάνουmicroε την f πυκνότητα πρέπει να ϐρούmicroε το c έτσι ώστε

intinfinminusinfin f(x)dx = 1

΄Ετσι cintinfinminusinfin eminusx22dx = 1 Το ολοκλήρωmicroα

intinfinminusinfin eminusx22dx υπολογίζεται microε το εξής

τέχνασmicroα Θέτω 1c

=intinfinminusinfin eminusx22dx οπότε

int infin

minusinfineminusx22dx

int infin

minusinfineminusy22dy =

int infin

minusinfin

int infin

minusinfineminus(x2+y2)2dxdy

Πηγαίνοντας σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε1

int infin

int 2π

0eminusr22rdrdθ = 2π

int infin

0eminusr22rdr = minus2π

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

2π και f(x) = 1radic2π

eminusx22 Η f λέγεται τυπική κανονική πυκνότηταΠροφανώς είναι συmicromicroετρική αφού f(x) = f(minusx) για κάθε x

Μέση τιmicroή τυχαίων microεταβλητών

Υποθέστε ότι συmicromicroετέχετε σε ένα τυχερό παιχνίδι Κάθε ϕορά που παίζετε lsquoεισπράτετεrsquoένα ποσό X όπου X είναι microια διακριτή τυχαία microεταβλητή microε πιθανές τιmicroές x1 x2 xrτόσο ϑετικές όσο και αρνητικές Το ερώτηmicroα είναι αν συmicroφέρει να συmicromicroετάσχετε Αςυποθέσουmicroε ότι το παιχνίδι παίζεται N ϕορές και ότι οι διαφορετικές παρτίδες του παι-χνιδιού συνιστούν ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου πειράmicroατος το οποίο παρατηρεί τηmicroεταβλητή X Αν συmicroβολίσουmicroε microε N(xi) το πλήθος των παρτίδων (στις N ) που έδωσανγια τη X την τιmicroή xi τότε η συνολική είσπραξηαπώλεια από το παιχνίδι ϑα είναι

N(x1)x1 + N(x2)x2 + middot middot middot+ N(xr)xr =rsum

xiN(xi)

Το microέσο ποσό που εισπράτετε (ή χάνετε) τότε είναιrsum

xiN(xi)

Ερmicroηνεύοντας την πιθανότητα ως σχετική συχνότητα αν το N είναι αρκετά microεγάλοπεριmicroένουmicroε ότι

N P (X = xi) = f(xi)

Εποmicroένως το microέοο ποσό που εισπράτετε ή χάνετε ϑα πρέπει να είναι περίπου ίσο microεmicro =

sumri=1 xif(xi) Αν το ποσό αυτό είναι ϑετικό ϕαίνεται λογικό να περιmicroένουmicroε καθαρό

κέρδος από το παιχνίδι αν είναι αρνητικό Ϲηmicroία και αν είναι microηδέν ούτε κέρδος ούτεϹηmicroία

Γενικά έστω microια διακριτή τυχαία microεταβλητή X που παίρνει τις πεπερασmicroένες το πλή-ϑος τιmicroές x1 x2 xr Τότε η microέση τιmicroή της X η οποια συmicroβολίζεται microε micro ή E(X) ή Xή lt X gt είναι ο αριθmicroός

E(X) =rsum

xif(xi)

όπου f(x) είναι η πυκνότητα της XΥποθέστε ότι η X έχει την οmicroοιόmicroορφη πυκνότητα f(xi) = P (X = xi) = 1r Τότε

από τον ορισmicroό της microέσης τιmicroής έχουmicroε ότι E(X) = (1r)sumr

i=1 xi = (x1 +x2 + middot middot middot+xr)rδηλαδή στην περίπτωση αυτή η E(X) είναι απλώς ο microέσος όρος των πιθανών τιmicroών τηςX Γενικά όπως ϕαίνεται από τον ορισmicroό της η E(X) είναι ένας umlmicroέσος όροςuml microε ϐάρητων πιθανών τιmicroών της X ΄Οταν το πλήθος των τιmicroών της X είναι άπειρο (αριθmicroήσιmicroο) ηmicroέση τιmicroή έχει νόηmicroα αν το άθροισmicroα suminfin

i=1 xif(xi) είναι καλά ορισmicroένοΓια microια συνεχή τυχαία microεταβλητή microε πυκνότητα f(x) η microέση τιmicroή ορίζεται από τη

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

όπου το άθροισmicroα πάνω σε όλες τις πιθανές τιmicroές της X έχει αντικατασταθεί microε ολοκλή-ϱωmicroα

Παρακάτω δίνονται οι σηmicroαντικότερες ιδιότητες της microέσης τιmicroής που προκύπτουνεύκολα από τον ορισmicroό της Για δύο τυχαίες microεταβλητές X και Y microε πεπερασmicroένη microέσητιmicroή έχουmicroε

α) Αν η Q παίρνει microόνο microία τιmicroή c =σταθερά και P (X = c) = 1 τότε E(X) = cϐ) Αν c =σταθερά τότε η cX έχει πεπερασmicroένη microέση τιmicroή και E(cX) = cE(X)γ) Η X + Y έχει πεπερασmicroένη microέση τιmicroή και E(X + Y ) = E(X) + E(Y )δ) Υποθέστε ότι P (X ge Y ) = 1 Τότε E(X) ge E(Y ) Επιπλέον E(X) = E(Y ) αν

και microόνο αν P (X = Y ) = 1ε) |E(X)| le E(X)στ) E(XY ) = E(X)E(Y ) αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες microεταβλητές

Παράδειγmicroα 8 Υπολογίστε τη microέση τιmicroή microιας τυχαίας microεταβλητής X που ακολουθείτη (διακριτή) πυκνότητα Poisson του Παραδείγmicroατος 3 δηλαδή f(j) = P (X = j) =λj

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

jeminusλ = eminusλ

infinsum

(j minus 1)= λeminusλ

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

= λeminusλinfinsum

(i)= λeminusλeλ = λ

rArr E(X) = λ

όπου χρησιmicroοποιήσαmicroε το ανάπτυγmicroα Taylor της εκθετικής συνάρτησης suminfinj=0

Παράδειγmicroα 9 Υποθέτουmicroε ότι η τυχαία microεταβλητή X ακολουθεί γεωmicroετρική κα-τανοmicroή microε παράmicroετρο p δηλαδή f(j) = P (X = j) = p(1 minus p)j Υπολογίστε τηνE(X)΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

jp(1minus p)j = p(1minus p)infinsum

j(1minus p)jminus1

= minusp(1minus p)infinsum

dp[(1minus p)j] = minusp(1minus p)

infinsum

(1minus p)j

Αλλά suminfinj=0(1minus p)j = 1p οπότε

E(X) = minusp(1minus p)d

dp(1p) = (1minus p)p

Παράδειγmicroα 10 Υποθέτουmicroε ότι η συνεχής τυχαία microεταβλητή X έχει οmicroοιόmicroορφηπυκνότητα στο διάστηmicroα (a b) δηλαδή f(x) = c (c σταθερά) για κάθε x isin (a b) καιf(x) = 0 για x le a και x ge b Τότε

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

Παράδειγmicroα 11 Η πυκνότητα microιας τυχαίας microεταβλητής X είναι

f(x) =

x2 0 lt x lt 20 αλλιώς

Υπολογίστε τη microέση τιmicroή της X΄Εχουmicroε

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

Ροπές διασπορά τυπική απόκλιση τυχαίων microεταβλητών

΄Εστω X microια διακριτή τυχαία microεταβλητή και r ge 0 ακέραιος Ονοmicroάζουmicroε ϱοπή τάξης rτης X τη microέση τιmicroή της microεταβλητής Xr (αν υπάρχει αν δηλαδή είναι πεπερασmicroένη) Αν ηX έχει ϱοπή τάξης r τότε η ϱοπή τάξης r της (Xminusmicro) όπου micro η microέση τιmicroή της X λέγεταικεντρική ϱοπή τάξης r της X ΄Ετσι η ϱοπή τάξης r και η κεντρική ϱοπή τάξης r γιαmicroια διακριτή τυχαία microεταβλητή X δίνονται από τις σχέσεις

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E[(X minus micro)r] =nsum

(xj minus micro)rf(xj)

Σύmicroφωνα microε τις παραπάνω σχέσεις η ϱοπή τάξης r προσδιορίζεται πλήρως από την πυκ-νότητα f της τυχαίας microεταβλητής Μπορούmicroε λοιπόν να microιλάmicroε για τη ϱοπή τάξης r καιτην κεντρική ϱοπή τάξης r της f Για συνεχείς τυχαίες microεταβλητές οι παραπάνω σχέσειςτροποποιούνται ως εξής

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

E[(X minus micro)r] =int infin

minusinfin(xminus micro)rf(x)

Αν η τυχαία microεταβλητή X έχει ϱοπή τάξης r τότε η X έχει ϱοπή κάθε τάξης k microε k le rΓενικά όσο περισσότερες ϱοπές της X γνωρίζουmicroε τόσο περισσότερες πληροφορίες

έχουmicroε αποκτήσει για την πυκνότητα της X Στις εφαρmicroογές το microεγαλύτερο ενδιαφέρονπαρουσιάζουν οι δύο πρώτες ϱοπές Προσέξτε ότι η ϱοπή πρώτης τάξης (r = 1) είναιαπλώς η microέση τιmicroή της X ΄Εστω X microια τυχαία microεταβλητή microε πεπερασmicroένη δεύτερη ϱοπή(r = 2) Τότε η διασπορά ή διακύmicroανση ή microεταβλητότητα της X η οποία συmicroβολίζεταιmicroε Var(X) ή (∆X)2 ή σ2(X) ή απλά σ2 ορίζεται από την

Var(X) = E[(Xminus E(X))2]

Προφανώς η διασπορά είναι microη αρνητικός αριθmicroός και δείχνει πόσο umlαπλωmicroένηuml είναιη κατανοmicroή της πιθανότητας Είναι δηλαδή ένα microέτρο του πόσο διασπαρmicroένες είναι οιτιmicroές της τυχαίας microεταβλητής γύρω από τη microέση τιmicroή της micro Αν οι διάφορες δυνατές τιmicroέςτης X είναι συγκεντρωmicroένες κοντά στη microέση τιmicroή micro τότε η διασπορά σ2(X) είναι microικρήδιαφορετικά είναι microεγάλη Η ϑετική τετραγωνική ϱίζα της διασποράς λέγεται τυπική

απόκλιση και συmicroβολίζεται συχνά microε ∆X ή σ(X) ή σ Σηmicroειώστε ότι αν η X εκφράζεταισε κάποιες ϕυσικές microονάδες τότε η τυπική απόκλιση σ εκφράζεται στις ίδιες microονάδεςΑπό τον ορισmicroό της οι σχέσεις που δίνουν τη διασπορά microιας διακριτής ή συνεχούς τυχαίαςmicroεταβλητής X είναι

σ2(X) =nsum

(xj minus micro)2f(xj)

σ2(X) =int infin

minusinfin(xminus micro)2f(x)

αντίστοιχα

Παράδειγmicroα 12 Υπολογίστε τη διασπορά σ2 και την τυπική απόκλιση σ της πυκνό-τητας

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

Στο προηγούmicroενο παράδειγmicroα ϐρήκαmicroε ότι micro = 43 ΄Ετσι

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Παρακάτω δίνονται οι σηmicroαντικότερες ιδιότητες της διασποράς για δύο τυχαίες microεταβλητέςX και Y

α) σ2 = E[(X minus micro)2] = E(X2)minus micro2

ϐ) Var(cX) = c2Var(X) όπου c =σταθερά

γ) Αν X και Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες microεταβλητές τότε

Var(X plusmn Y ) = Var(X) + Var(Y )

δ) Αν X και Y είναι τυχαίες microεταβλητές τότε

Var(X plusmn Y ) = Var(X) + Var(Y )plusmn 2E[(X minus microX)(Y minus microY )]

όπου microX και microU η microέση τιmicroή της X και Y αντίστοιχα

Η ποσότητα E[(XminusmicroX)(Y minusmicroY )] λέγεται συνδιασπορά ή συνδιακύmicroανση ή συmicromicroε-ταβλητότητα των τυχαίων microεταβλητων X και Y και συmicroβολιζεται microε σXY ή Cov(X Y )∆ηλαδή

Cov(XY ) = σXY = E[(X minus microX)(Y minus microY )]

Αν οι X και Y είναι ανεξάρτητες τότε σXY = 0 Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα ΓιαX και Y δύο τυχαίες microεταβλητές microε πεπερασmicroένες microη microηδενικές διασπορές ο λεγόmicroενοςσυντελεστής συσχέτισης ορίζεται από την

ρ = ρ(XY ) =Cov(XY )radic

Var(X)Var(Y )

Ο συντελεστής συσχέτισης microας δίνει ένα microέτρο για το ϐαθmicroό εξάρτησης ανάmicroεσα στις δύοτυχαίες microεταβλητές Λέmicroε ότι οι δύο τυχαίες microεταβλητές είναι ασυσχέτιστες αν ρ = 0Αφού σXY = 0 όταν οι X και Y είναι ανεξάρτητες ϐλέπουmicroε αmicroέσως ότι δύο ανεξάρτη-τες τυχαίες microεταβλητές είναι πάντα ασυσχέτιστες Είναι δυνατόν όmicroως δύο εξαρτηmicroένεςτυχαίες microεταβλητές να είναι επίσης ασυσχέτιστες Για τις εφαρmicroογές στη Στατιστική είναισηmicroαντικό να ξέρουmicroε ότι ο συντελεστής ρ παίρνει πάντα τιmicroές microεταξύ -1 και 1

Ασκήσεις

1 Να προσδιοριστεί η σταθερά c ώστε η συνάρτηση

f(x) =

cx2 0 lt x lt 20 αλλιώς

να είναι συνάρτηση πυκνότητας Υπολογίστε τη συνάρτηση κατανοmicroής για την τυ-χαία microεταβλητή της οποίας η f είναι συνάρτηση πυκνότητας Κατόπιν υπολογίστετην P (1 lt X lt 2)

2 ΄Ενα νόmicroισmicroα ϱίχνεται τρεις ϕορές Αν η τυχαία microεταβλητή Z παριστάνει το πλήθοςτων αποτελεσmicroάτων Κ τότε ϐρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας και κατανοmicroής της Zκαι παραστήστε τις γραφικά

3 Μια τυχαία microεταβλητή Y έχει συνάρτηση πυκνότητας

f(y) =

cy2 1 le y le 2cy 2 le y le 30 αλλιώς

Να υπολογιστούν α) η σταθερά c ϐ) οι πιθανότητες P (Y gt 2) και P (12

lt Y lt 32)

4 Υποθέστε ότι διαλέγετε τυχαία έναν πραγmicroατικό αριθmicroό X από το διάστηmicroα [210]α) Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας f(x) και την πιθανότητα ενός γεγονότος A γιατο πείραmicroα αυτό όπου A είναι ένα υποδιάστηmicroα [a b] του [210]ϐ) Από το (α) ϐρείτε τις πιθανότητες P (X gt 5) και P (5 lt X lt 7)

5 Υποθέστε ότι διαλέγετε έναν πραγmicroατικό αριθmicroό X από το διάστηmicroα [210] microε microιάσυνάρτηση πυκνότητας της microορφής

f(x) = c x

όπου c είναι microιά σταθεράα) Βρείτε το c ϐ) Βρείτε την P (A) όπου A = [a b] είναι ένα υποδιάστηmicroα του [210]γ) Βρείτε τις P (X gt 5) και P (X lt 7)

6 Λύστε το προηγούmicroενο πρόβληmicroα microε f(x) = cx

7 Υποθέστε ότι παρατηρείτε microια ϱαδιενεργό πηγή η οποία εκπέmicroπει σωmicroάτια microε ϱυθmicroόπου περιγράφεται από την εκθετική συνάρτηση πυκνότητας

f(t) = λeminusλt

όπου λ = 1 έτσι ώστε η πιθανότητα P (0 T ) το σωmicroατίδιο να εmicroφανιστεί στα επόmicroεναT δευτερόλεπτα είναι

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

Βρείτε την πιθανότητα ένα σωmicroατίδιο (όχι απαραίτητα το πρώτο) να εmicroφανιστεία) εντός του επόmicroενου δευτερολέπτουϐ) εντός των επόmicroενων τριών δευτερολέπτωνγ) microεταξύ του τρίτου και τέταρτου δευτερολέπτου από τώραδ) microετά από τέσσερα δευτερόλεπτα από τώρα

8 ∆ιαλέξτε έναν αριθmicroό B τυχαία από το διάστηmicroα [0 1] microε οmicroοιόmicroορφη πυκνότηταΒρείτε την πιθανότηταα) P (13 lt B lt 23) ϐ) P (B lt 14 ή 1minusB lt 14)

9 Μια τυχαία microεταβλητή έχει πυκνότητα

f(x) =c

x2 + 1

όπου minusinfin lt x lt infin (α) Υπολογίστε την τιmicroή της σταθεράς c (ϐ) Υπολογίστε τηνπιθανότητα P (13 lt X2 lt 1) (γ) Προσδιορίστε τη συνάρτηση κατανοmicroής για τηδοσmicroένη f(x)

10 Η συνάρτηση κατανοmicroής microιας τυχαίας microεταβλητής X είναι

F (x) =

1minus eminus2x x ge 00 x lt 0

Βρείτε (α) την πυκνότητα (ϐ) την πιθανότητα P (X gt 2) και (γ) την πιθανότηταP (minus3 lt X le 4)

F (x) =

cx3 0 le x lt 31 x ge 30 x lt 0

Εάν P (X = 3) = 0 να ϐρεθούν (α) η σταθερά c (ϐ) η πυκνότητα (γ) οι πιθανότητεςP (X gt 1) P (1 lt X lt 2)

11 Μπορεί η συνάρτηση

F (x) =

c(1minus x2) 0 le x le 10 αλλιώς

να παριστάνει συνάρτηση κατανοmicroής Γιατί

12 Μια συνεχής τυχαία microεταβλητή έχει πυκνότητα

f(x) =

2eminus2x για x gt 00 για x le 0

Να υπολογιστούνα) η microέση τιmicroή της Xϐ) η microέση τιmicroή της X2 καιγ) η διασπορά και η τυπική απόκλιση της X

Κεφάλαιο 1 Η έννοια της πιθανότηταςΠεριεχόmicroενα

Εισαγωγή ndash Πειράmicroατα τύχης και δειγmicroατοχώροι ndash Σύνθετα στοιχειώδη και ασυmicroβίβαστα γεγονόταndash Ορισmicroός της πιθανότητας (κλασσικός στατιστικός και αξιωmicroατικός) ndash Το προσθετικό ϑεώρηmicroαndash ∆εσmicroευmicroένη πιθανότητα ndash Θεώρηmicroα ολικής πιθανότητας ndash Ανεξαρτησία ενδεχοmicroένων ndash Ιστορικάστοιχεία ndash Ασκήσεις ndash Βιβλιογραφία

Εισαγωγή

Η Θεωρία Πιθανοτήτων (ΘΠ) είναι ο κλάδος των microαθηmicroατικών που ασχολείται microε τα τυχαίαϕαινόmicroενα Η microελέτη της κέρδισε πολλούς microαθηmicroατικούς τόσο για το ϑεωρητικό τηςενδιαφέρον όσο και για τις επιτυχηmicroένες εφαρmicroογές της σε πολλές περιοχές των ϕυσικώνϐιολογικών και κοινωνικών επιστηmicroών στη microηχανική και στον επιχειρηmicroατικό κόσmicroο

Πειράmicroατα τύχης και ∆ειγmicroατοχώροι

Πολλά ϕαινόmicroενα έχουν την ιδιότητα η επανειλληmicroένη παρατήρησή τους κάτω από συγκε-κριmicroένες συνθήκες να οδηγεί πάντα στο ίδιο αποτέλεσmicroα Για παράδειγmicroα αν αφήνουmicroεmicroια microπάλα που ήταν αρχικά ακίνητη να πέσει από ύψος d microέτρων microέσα σε έναν κύλινδροχωρίς αέρα ϑα ϕτάνει στο έδαφος πάντα microετά από t =

radic2dg δευτερόλεπτα όπου το

g είναι η σταθερή επιτάχυνση της ϐαρύτητας σε ms2 Αυτά ανήκουν στα λεγόmicroενα αι-τιοκρατικά ϕαινόmicroενα Υπάρχουν όmicroως άλλα ϕαινόmicroενα των οποίων η επανειλληmicroένηπαρατήρηση κάτω από τις ίδιες συνθήκες δεν οδηγεί πάντα στο ίδιο αποτέλεσmicroα Λόγουχάρη αν ϱίξουmicroε ένα νόmicroισmicroα 1000 ϕορές οι εmicroφανίσεις γραmicromicroάτων (Γ) ή κεφαλής (Κ)εναλλάσσονται microε έναν ϕαινοmicroενικά ακανόνιστο και απρόβλεπτο τρόπο Τέτοιου είδουςϕαινόmicroενα τα ϑεωρούmicroε ως τυχαία και ένα πείραmicroα όπως αυτό που microόλις περιγράφτηκε τοονοmicroάζουmicroε πείραmicroα τύχης (ΠΤ) Τα πειράmicroατα τύχης (ΠΤ) ή αλλιώς τυχαία πειράmicroαταείναι λοιπόν εκείνα για τα οποία η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνταιαπλά καθορίζει ένα σύνολο δυνατών αποτελεσmicroάτων για το κάθε πείραmicroα ΄Ενα πιό απλόπαράδειγmicroα είναι η ϱίψη ενός νοmicroίσmicroατος Αν και δεν microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τοαποτέλεσmicroα γνωρίζουmicroε ότι ϑα είναι Κ ή Γ ϑα ανήκει δηλαδή στο σύνολο Κ Γ

Παρόλο που σε πρώτη microατιά ϕαίνεται αδύνατο να διατυπώσουmicroε αξιόλογα συmicroπερά-σmicroατα για τυχαία ϕαινόmicroενα η εmicroπειρία έχει δείξει ότι πολλά από τα ϕαινόmicroενα αυτάπαρουσιάζουν microια στατιστική κανονικότητα που αξίζει να microελετηθεί Πχ αν ϱίξουmicroεένα νόmicroισmicroα microία ϕορά δεν microπορούmicroε να κάνουmicroε κάποια microη τετριmicromicroένη πρόβλεψη γιατο αποτέλεσmicroα Αν ϱίξουmicroε όmicroως το ίδιο νόmicroισmicroα πάρα πολλές ϕορές ϑα δούmicroε ότι ησυχνότητα εmicroφανίσης Κ και Γ είναι περίπου η ίδια και άρα το Κ εmicroφανίζεται περίπου στο50 των ϱίψεων

΄Αλλα απλά παραδείγmicroατα πειραmicroάτων τύχης είναι

α) η ϱίψη ενός Ϲαριού

ϐ) το τράβηγmicroα ενός χαρτιού από microιά συνηθισmicroένη τράπουλα microε 52 χαρτιά

γ) η καταγραφή της διάρκειας Ϲωής microιάς microπαταρίας ή ενός ηλεκτρικού λαmicroπτήρα

(A cap Aj)

(A cup Aj)

n= p2 + p4 + p6 =

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

(A cap Aj)

(A cup Aj)

n= p2 + p4 + p6 =

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

(A cap Aj)

(A cup Aj)

n= p2 + p4 + p6 =

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

(A cap Aj)

(A cup Aj)

n= p2 + p4 + p6 =

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

n= p2 + p4 + p6 =

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

(i) P (Ω) = 1

(ii) P (A) ge 0

infin⋃

infinsum

P (Aj)

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Ω = (1 1) (1 2) (1 3) (1 6)(2 1) (2 2) (2 3) (2 6)

1lej1ltj2len

P (Aj1 cap Aj2)

+ (minus1)3+1sum

1lej1ltj2ltj3len

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

P (A) (4)

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

P (K|A) = 05 P (K|Γ) = 03 P (A) = 04 amp P (Γ) = 06

P (A|K) =P (A capK)

= 02 + (06)(03) = 038

B = B cap(

(B cap Ak)

P (B) =nsum

P (B|Ak)P (Ak) (5)

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Πράγmicroατι

P (B)=

P (B|A)P (A)

P (B)=

P (B)P (A)

P (B)= P (A)

P (A)=

2= P (B)

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

P (B|A) =P (A capB)

P (A)=

4= P (B)

( infinsum

infinsum

P (An) =1

infinsum

1minus r

P (E) =1

1minus 14=

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Ασκήσεις

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Εισαγωγή

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

∆ιατάξεις

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

P =(365)n

2rArr= (365)n lt 365n

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

(sminus n)n

(x + y)s =ssum

)xsminusnyn = xs +

)xsminus1y +

j minus 1

(nminus 1

(nminus 1j minus 1

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

= 321 = 3 (είναι τα (a b) (a c) (b c))

) 0082

)nradic2πn

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Ασκήσεις

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

f(minus3) = 0125 f(minus1) = 0375 f(1) = 0375 f(3) = 0125

(3) sumi f(xi) = 1

f(xi) =sum

P (X = xi) = P

X = xi)

= P (Ω) = 1

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

ω X P (ω)ΚΚ 2 14ΓΓ 0 14ΚΓ 1 14ΓΚ 1 14

f(0) = P (X = 0) =1

4 f(1) = P (X = 1) =

2 f(2) = P (X = 2) =

f(x) =

p(1minus p)x x = 0 1 2 3 0 x 6= 0 1 2 3

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

infinsum

f(xi) =infinsum

f(x) =

λxeminusλ

x x = 0 1 2

0 x 6= 0 1 2 3

eλ =infinsum

΄Ετσιsumx

f(x) =infinsum

λxeminusλ

x= eminusλ

infinsum

F (x) = P (X le x)

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

F (x) =

sumulex f(u) = [x]

10 αν

P (3 lt x le 5) = f(4) + f(5) =1

P (3 lt x le 5) = F (5)minus F (3) =2

κτλ

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

af(x)dx

f(x) =d

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

P (A) =area of A

target area=

F (x) =

int infin

minusinfin

int infin

int 2π

int infin

[eminusr22

]infin0

΄Αρα c = 1radic

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

xiN(xi)

E(X) =rsum

xif(xi)

σχέσηE(X) =

int infin

minusinfinxf(x)dx

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

jeminusλ

΄Εχουmicroε

E(X) =infinsum

infinsum

λjminus1

(j minus 1)

rArr E(X) = λ

E(X) =infinsum

j(1minus p)jminus1

infinsum

(1minus p)j

E(X) =int b

bminus adx =

bminus a

b2 minus a2

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

E(X) =int infin

minusinfinxf(x)dx =

2xdx =

E(Xr) =nsum

xrjf(xj)

E(Xr) =int infin

minusinfinxrf(x)dx

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

σ2(X) =nsum

σ2(X) =int infin

f(x) =

12x 0 lt x lt 2

0 αλλιώς

σ2 =int infin

minusinfin

(xminus 4

f(x)dx =int 2

(xminus 4

2xdx =

οπότε σ = 23

Var(X)Var(Y )

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Ασκήσεις

f(x) =

f(y) =

lt Y lt 32)

f(x) = c x

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

f(t) = λeminusλt

P ([0 T ]) =int T

0λ eminusλt dt

f(x) =c

x2 + 1

F (x) =

f(x) =

Documents

ΠρόχειρεςσηµειώσειςστιςΠιθανότητες...Ο κλασσικός ορισµός της πιθανότητας παρουσιάζει αδυναµίες