ГЕОМЕТРИЯ - ALG's main page at the Bogomolov …gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/1617/lec_total.pdfНеформальноевведение 7 Какустроенэтоткурс.Мыбудемследоватьсхеме,предложеннойв30

А. Л. Городенцев∗

Г Е О М Е Т Р И Я

Это интенсивный годовой курс геометрии для студентов-мате-матиков. Все встречающиеся в тексте упражнения существен-ны для его понимания и обычно используются в дальнейшем. Кнекоторым из них есть комментарии в конце книги.

Москва

2016/17 уч. год

∗ ВШЭ, НМУ, ИТЭФ, e-mail:[email protected] , http://gorod.bogomolov-lab.ru/

e-mail:[email protected]

http://gorod.bogomolov-lab.ru/

Оглавление

Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Неформальное введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§1 Аффинная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1 Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Двумерное векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Площадь ориентированного параллелограмма . . . . . . . . . . . . . 121.4 Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§2 Аффинная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1 Аффинные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Аффинные автоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Сравнение аффинной и линейной групп . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Запись линейных и аффинных преобразований в координатах . . . . 282.5 Преобразования, переводящие прямые в прямые . . . . . . . . . . . 29

§3 Евклидова плоскость = комплексная прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 Расстояния и перпендикулярность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Ортонормальные базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Углы и тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Преобразования подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7 Проективная прямая и круговые преобразования . . . . . . . . . . . 47

§4 Многомерие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 Базисы и размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Двойственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6 Фактор пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 Двойственные линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

§5 Объёмы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1 Объём 𝑛-мерного ориентированного параллелепипеда . . . . . . . . 715.2 Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Комбинаторное отступление: длина и знак перестановки . . . . . . . 765.4 Правила Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5 Объём и барицентрические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6 Алгебраическое отступление: грассмановы многочлены . . . . . . . 84

§6 Евклидова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.1 Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2

Оглавление 3

6.2 Матрицы Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Евклидова двойственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4 Ортогональное проектирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5 Сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§7 Группы ортогональных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.1 Линейная ортогональная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2 Группы отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3 Системы корней и камеры Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4 Графы Кокстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§8 Топологии, метрики, нормы и выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.1 Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2 Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.3 Нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.4 Выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

§9 Выпуклые многогранники и многогранные конусы . . . . . . . . . . . . . 1479.1 Выпуклые многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2 Выпуклые многогранные конусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.3 Линейная оптимизация и двойственность Гейла . . . . . . . . . . . . 1589.4 Симплекс-метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§10 Проективное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.1 Проективное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.2 Задание фигур полиномиальными уравнениями . . . . . . . . . . . . 17510.3 Дополнительные подпространства и проекции . . . . . . . . . . . . . 17910.4 Линейные проективные изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.5 Гомографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18210.6 Двойное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

§11 Проективные квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.1 Квадрики и их уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18911.2 Полярные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.3 Коники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.4 Внутренняя геометрия гладкой коники . . . . . . . . . . . . . . . . . 20011.5 Квадратичные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.6 Подпространства, лежащие на квадриках . . . . . . . . . . . . . . . . 207

§12 Пространства со скалярным произведением . . . . . . . . . . . . . . . . . 20912.1 Скалярные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20912.2 Изотропные и анизотропные подпространства . . . . . . . . . . . . . 21012.3 Изометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21212.4 Вещественные квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.5 Аффинные квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.6 Линейные операторы на пространстве со скалярным произведением 226

§13 Дальнейшие вариации на темы квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23013.1 Квадрика Плюккера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23013.2 Пучки квадрик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4 Оглавление

13.3 Евклидовы коники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243§14 Вещественные неевклидовы геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

14.1 Проективизация пространства со скалярным произведением . . . . . 25214.2 Эллиптическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25714.3 Сферическая форма объёма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26414.4 Гиперболическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26714.5 Гиперболическая форма объёма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27514.6 Конформные модели гиперболического пространства . . . . . . . . . 278

Ответы и указания к некоторым упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Неформальное введение

Аксиомыилиопределения?Есть две точки зренияна то, как долженбытьорганизованкурс геометрии. Восходящий к Евклиду аксиоматический подход лежит в основе боль-шинства школьных учебников, хотя является не самым простым — удовлетворитель-ная с точки зрения математической логики система «аксиом Евклида» была предложе-на Д. Гильбертом только в начале XX века, и лишь спустя ещё несколько десятков летбыла адаптирована А. Н. Колмогоровым так, что вошла в регулярный школьный учеб-ник1 в виде нескольких страниц убористого петита в добавлении, предназначенномдля факультативного изучения. Альтернативный «аналитический» подход вместо ак-сиоматического описания основных геометрических понятий (точек, прямых, их вза-имного расположения и т. п.) даваёт всем используемым объектам явные определения,основанные на известном из алгебры и анализа понятии числа.

Так, вещественную плоскость ℝ можно определить как множество, точками в ко-тором являются пары вещественных чисел 𝑝 = (𝑝 , 𝑝 ), а прямую на такой плоско-сти — как траекторию точки, равномерно движущейся в заданном направлении, т. е.как ГМТ2 вида 𝑝 + 𝑣 ⋅ 𝑡 = (𝑝 , 𝑝 ) + (𝑣 , 𝑣 ) ⋅ 𝑡 = (𝑝 + 𝑣 𝑡, 𝑝 + 𝑣 𝑡), где параметр 𝑡 ∈ ℝиграет роль времени, 𝑝 = (𝑝 ,𝑝 ) ∈ ℝ это произвольным образом выбранная точка,отвечающая нулевому моменту времени, а вектор 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 ) задаёт скорость движе-ния.При такомопределении высказывания о том, что через любые две точкиплоскостипроходит одна и только одна прямая и что через любую точку плоскости, не лежащуюна данной прямой ℓ, проходит ровно одна прямая, не пересекающая ℓ, становятся тео-ремами.

Упражнение 0.1. Докажите эти две теоремы.

Точки и векторы. Вектор 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 ), хотя и записывается формально точно такойже парой чисел, как и точка 𝑝, является объектом совершенно иной геометрическойприроды. Вектор 𝑣 правильно представлять себе как преобразование сдвига3

𝜏 ∶ ℝ → ℝ , 𝑝 ↦ 𝑝 + 𝑣 ,

переводящее каждую точку 𝑝 = (𝑝 , 𝑝 ) в точку 𝜏 (𝑝) = 𝑝 + 𝑣 = (𝑝 + 𝑣 , 𝑝 + 𝑣 ). Коор-динаты (𝑣 , 𝑣 ) вектора 𝑣 суть числа, описывающие этот сдвиг, т. е. разности 𝜏 (𝑝) −𝑝,одинаковые для всех точек 𝑝 ∈ ℝ . При переносе начала координат из нуля в какую-ни-будь другую точку 𝑎 = (𝑎 , 𝑎 ) координаты каждой точки 𝑝 поменяются и станут равны(𝑝 − 𝑎 , 𝑝 − 𝑎 ), тогда как координаты векторов не изменятся.

Группы преобразований. Рассмотрим произвольное множество 𝑋 и обозначим черезEnd(𝑋) множество всех отображений 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋 из𝑋 в себя4. На множестве End(𝑋) име-

1Замечательная книга под редакцией А. Н. Колмогорова, служившая основным официальным посо-бием по геометрии для школ в 70-х – 80-х годах прошлого века.

2Здесь и далее аббревиатура «ГМТ» используется для сокращения фразы «геометрическое место то-чек».

3Или параллельный перенос.4Такие отображения обычно называют эндоморфизмами множества , откуда и обозначение.

5

6 Неформальное введение

ется естественная операция композиции, сопоставляющая упорядоченной паре отобра-жений 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋, 𝑔 ∶ 𝑋 → 𝑋, результат их последовательного выполнения справаналево: 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝑋 → 𝑋, 𝑥 ↦ 𝑓(𝑔(𝑥)) .

Упражнение 0.2. Приведите пример множества и таких трёх отображений , , ∶ → ,что а) ∘ ≠ ∘ б) ∘ = ∘ , но ≠ в) ∘ = ∘ , но ≠ .

Множество отображений 𝐺 ⊂ End(𝑋) называется группой, если все отображения 𝑔 ∈ 𝐺взаимнооднозначны1, и вместе с каждымотображением𝑔 ∈ 𝐺 обратное емуотображе-ние2 𝑔− тоже принадлежит 𝐺, а вместе с каждыми двумя отображениями 𝑔 ,𝑔 ∈ 𝐺в 𝐺 лежит и их композиция 𝑔 ∘ 𝑔 . Отметим, что из этих требований вытекает, чтотождественное отображение Id , переводящее каждую точку в себя, автоматически со-держится в 𝐺, поскольку представимо в виде композиции Id = 𝑔 ∘ 𝑔− = 𝑔− ∘ 𝑔, где𝑔 ∈ 𝐺— любое преобразование из группы.

Группа сдвигов. Параллельные переносы плоскости ℝ на всевозможные векторы об-разуют группу: обратным преобразованием к сдвигу 𝜏 на вектор 𝑣 = (𝑣 , 𝑣 ) являетсясдвиг 𝜏− = 𝜏− на противоположный вектор −𝑣 = (−𝑣 , −𝑣 ), а композиция сдвиговна векторы 𝑢 = (𝑢 , 𝑢 ) и 𝑤 = (𝑤 ,𝑤 ) это сдвиг на вектор

𝑢 + 𝑤 = (𝑢 + 𝑤 , 𝑢 + 𝑤 ) . (0-1)

Подчеркнём, что эта формула является координатной записью для операции компози-ции отображений, которая сама по себе определяется без использования координат. Изформулы (0-1) вытекает, что не смотря на упр. 0.2 композиция сдвигов не зависит оттого, какой сдвиг делается первым, а какой — вторым. Группа, состоящая из попар-но перестановочных друг с другом преобразований3 называется коммутативной илиабелевой. Таким образом, векторы составляют абелеву группу преобразований плоско-сти ℝ .

Отметим, что на множестве точек никакого естественного сложения нет. Скажем,если пытаться определить «сумму точек» складывая их координаты, то одна и та жепара точек будет иметь разные суммы в разных координатных системах, поскольку присдвиге начала координат в точку 𝑎 от координат всех точек отнимаются координатыточки 𝑎, и точки, имевшие в исходной координатной системе координаты

(𝑝 , 𝑝 ) , (𝑞 , 𝑞 ) и (𝑝 + 𝑞 , 𝑝 + 𝑞 )

в сдвинутой координатной системе приобретают координаты

(𝑝 − 𝑎 , 𝑝 − 𝑎 ) , (𝑞 − 𝑎 , 𝑞 − 𝑎 ) и (𝑝 + 𝑞 − 𝑎 , 𝑝 + 𝑞 − 𝑎 )

так что «сумма» первых двух из них оказывается не равна третьей.

1Т. е. у каждой точки ∈ имеется ровно один прообраз ∈ ∶ ( ) = .2Переводящее каждую точку ∈ в её прообраз = − ( ) ∈ ∶ ( ) = .3Т. е. ∘ = ∘ для любых , ∈ .

Неформальное введение 7

Как устроен этот курс.Мы будем следовать схеме, предложенной в 30-х годах XX векаГ. Вейлем. Первичным геометрическим объектом для нас будет векторное простран-ство —абелева группа векторов, которыеможно складывать друг с другом и умножатьна числа по известным из школы правилам. Мы напомним список этих правил в §1 —он гораздо короче и удобнее любого списка аксиом евклидовой геометрии. Далее мысвяжем с векторными пространствами разные точечные пространства, в которыхмож-но будет рисовать фигуры и изучать свойства этих фигур по отношению к различнымгеометрическимпреобразованиям.Подчеркнём, что в конечномитоге все эти свойствабудут выводиться из алгебраических свойств операций с векторами.

Первым делом мы покажем, как вписывается в эту картину школьная планимет-рия — дадим определение вещественной евклидовой плоскости, основанное на свой-ствах векторов, и убедимся в том, что в ней выполняются все постулаты и теоремышкольной планиметрии. Затем это построение будет распространено на пространствалюбых размерностей над любыми полями констант.

О числах. Понятие числа столь же фундаментально для геометрии, сколь и понятиевектора. Чтобыперечислить свойства векторовнеобходимо зафиксироватьмножествоконстант, на которые векторы можно умножать. Для нас будет существенно, что кон-станты образуют поле, т. е. их можно складывать, вычитать, умножать и делить по темже законам, что рациональные числа. Мы всегда обозначаем поле констант через 𝕜 иназываем его основным полем или полем определения рассматриваеой геометрии. Еслиспециально не оговаривается противное, читатель на первых порах может без ущер-ба для понимания происходящего считать, что 𝕜 = ℚ, ℝ, ℂ есть поле рациональных,действительных или комплексных чисел (выбирайте наиболее привычное). Однако, тообстоятельство, что многие из доказываемых ниже теорем справедливы над любым ос-новным полем, следует всё-таки иметь в виду. Скажем, над полем вычетов по простомумодулю 𝑝, которое состоит из 𝑝 чисел, геометрические пространства становятся конеч-нымимножествами, и некоторые всем привычные картинки в этих пространствах пре-вращаются в любопытные комбинаторные утверждения.

§1. Аффинная плоскость

1.1. Векторные пространства. Фиксируем произвольное поле 𝕜, элементы которого будут да-лее именоваться числами. Множество , элементы которого именуются векторами1, называ-ется векторным пространством над полем 𝕜, если на имеются операция сложения векторов,сопоставляющая каждой паре векторов , ∈ их сумму + ∈ , и операция умноже-ния векторов на числа, сопоставляющая каждому вектору ∈ и каждому числу ∈ 𝕜 вектор

⋅ = ⋅ ∈ , так что выполняются следующие аксиомы.

1. Свойства сложения векторов:

(1a) ∀ , ∈ + = + (см. рис. 1⋄1)(1б) ∀ , , ∈ + ( + ) = ( + ) + (см. рис. 1⋄2)(1в) ∃ такой нулевой вектор ∈ , что ∀ ∈ + =(1г) ∀ ∈ ∃ противоположный вектор − ∈ , такой что + (− ) =

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

𝑎+𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐𝑎

𝑏

𝑐

𝑎 + 𝑏 + 𝑐Рис. 1⋄1. Правило параллелограмма. Рис. 1⋄2. Правило четырёхугольника.

2. Свойства умножения векторов на числа:

(2a) ∀ ∈ , ∀ , ∈ 𝕜 ( ) = ( )(2б) ∀ ∈ , ∀ , ∈ 𝕜 ( + ) = +(2в) ∀ , ∈ , ∀ ∈ 𝕜 ( + ) = +(2г) ∀ ∈ ⋅ =

Подмножество векторного пространства называется векторным подпространством, еслидля любых двух векторов , ∈ все их линейные комбинации + с произвольными

, ∈ 𝕜 тоже лежат в . Из предыдущих аксиом формально вытекает ещё несколько интуитив-но ожидаемых свойств операций над векторами.

Лемма 1.1

В каждом векторномпространстве нулевой вектор ∈ единствен. Для любого ∈ проти-воположный к вектор − однозначно определяется по . Кроме того, ⋅ = и (− ) ⋅ = − ,где и − в левых частях равенств суть числа из поля 𝕜, а и − в правых — векторы из про-странства .

1Векторы продуктивно представлять себе как направленные отрезки, рассматриваемые с точностьюдо параллельного переноса.

8

1.1. Векторные пространства 9

Доказательство. Для любых двух нулевых векторов , ∈ по аксиоме (1в) выполняетсяравенство = + = . Если векторы и оба противоположны к , то = + == + ( + ) = ( + ) + = + = . Если к левой и правой частям равенства

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ( + ) ⋅ = ⋅ =

прибавить противоположный к вектор − , мы получим ⋅ = . Вектор (− ) ⋅ противопо-ложен к , поскольку + (− ) ⋅ = ⋅ + (− ) ⋅ = ( − ) ⋅ = ⋅ = . �

Пример 1.1

Тривиальные примеры векторных пространств — это нулевое пространство , состоящее изодного лишьнулевого вектора , такого что + = = − и ⋅ = для всех ∈ 𝕜, а также самополе 𝕜, где сложение векторов и их умножение на числа суть сложение и умножение, которыеимеются в поле 𝕜.

Пример 1.2 ( -мерное координатное пространство 𝕜 )

По определению, векторами пространства 𝕜 являются упорядоченные наборы из чисел1

( , , … , ) , ∈ 𝕜 .

Сложение векторов и их умножение на числа задаются правилами

( , , … , ) + ( , , … , ) ≝ ( + , + , … , + )⋅ ( , , … , ) ≝ ( , , … , ) .

Пример 1.3 (пространство многочленов)

Многочлены c коэффициентами в поле𝕜 образуют векторное пространство над𝕜 относительноопераций сложения многочленов и умножения их на константы. Это пространство обозначает-ся 𝕜[ ]. Многочлены степени не выше образуют в 𝕜[ ] векторное подпространство, котороемы будем обозначать 𝕜[ ]⩽ .

1.1.1. Линейные отображения. Отображение ∶ → из векторного пространства ввекторное пространство называется линейным, если оно перестановочно со сложением век-торовиих умножениемна числа в том смысле, что ( + ) = ( )+ ( ) для всех , ∈и , ∈ 𝕜. Векторные пространства, между которыми имеется взаимно однозначное линейноеотображение, называются изоморфными, а само это отображение называется изоморфизмомвекторных пространств. Изоморфизмы ⥲ пространства с самим собою называются авто-морфизмами. Автоморфизмывекторногопространства образуют группу преобразований2. Этагруппа обозначается GL( ) и называется полной линейной группой векторного пространства .

Пример 1.4

Пространство 𝕜[ ]⩽ многочленов степени не выше изоморфно ( + )-мерному координат-ному пространству 𝕜 + посредством линейного биективного отображения, сопоставляющегомногочлену + − + ⋯ + − + набор его коэффициентов ( , , … , ) ∈ 𝕜 + .

1Для экономии бумаги мы пишем их в строчку, но иногда бывает удобно представлять векторы про-странства 𝕜 и в виде столбцов.

2Cм. стр. 5.

10 §1Аффинная плоскость

Предостережение 1.1. Обратите внимание, что отображение ∶ 𝕜 → 𝕜, заданное формулой( ) = ⋅ + , которое в школе принято называть «линейной функцией», линейно в смысле

n∘ 1.1.1 только при = . Если же ≠ , то ( ) ≠ ( ) и ( + ) ≠ ( ) + ( ) , т. е. неявляется линейным отображением.

Упражнение 1.1.Докажите для любоголинейногоотображения равенства ( ) = и (− ) == − ( ) для всех ∈ .

1.1.2. Пропорциональные векторы и одномерные пространства. Векторы и из век-торного пространства называются пропорциональными, если ⋅ = ⋅ для некоторыхчисел , ∈ 𝕜, не равных одновременно нулю. Таким образом, нулевой вектор пропорциона-лен любому вектору, а пропорциональность ненулевых векторов и означает, что = и

= − для некоторого ненулевого ∈ 𝕜.Векторное пространство называется одномерным, что обозначается как1 dim = , если

в нём есть ненулевые векторы, но все они пропорциональны друг другу. Фиксируя в одномер-ном пространстве какой-нибудь ненулевой вектор , мы можем однозначно записать любойвектор ∈ как = с ∈ 𝕜. Число называется координатой вектора относительнобазисного вектора . Отображение ∶ → 𝕜, переводящее каждый вектор ∈ в его коор-динату ∈ 𝕜 устанавливает изоморфизм между и 𝕜. При выборе другого базисного вектора

′ = координата ′ каждого вектора = ′ ′ = ′ = в новом базисе будет связана состарой координатой соотношением ′ = − .

Линейное отображение ∶ ⥲ одномерного пространства в себя однозначно опреде-ляется тем, куда оно переводит какой-нибудь базисный вектор пространства . Если ( ) == , то для произвольного вектора = получим ( ) = ( ) = . Таким образом,любой линейный эндоморфизм одномерного пространства либо отображает все векторы внуль, либо является гомотетией с ненулевым коэффициентом ∈ 𝕜. В частности, полная ли-нейная группа GL( ) одномерного пространства изоморфна мультипликативной группе 𝕜∗

ненулевых элементов поля 𝕜.1.2. Двумерное векторное пространство. Векторное пространство называется двумерным,что обозначается как dim = , если в нём есть пара непропорциональных векторов , ,и каждый вектор ∈ выражается через них в виде = + , где , ∈ 𝕜. Любаятакая пара векторов , называется базисом пространства . Коэффициенты , разложе-ния вектора по базису однозначно определяются вектором и базисом, поскольку из равен-ства + = + вытекает равенство ( − ) = ( − ) , возможноетолько при ( − ) = ( − ) = в силу того, что векторы и не пропорциональны.Числа , ∈ 𝕜 из разложения = + называются координатами вектора в бази-се = ( , ). Сопоставляя каждому вектору столбец его координат в базисе , мы получаембиективное отображение

∶ ⥲ 𝕜 , = + ↦ ( ) ∈ 𝕜 .

Упражнение 1.2. Проверьте, что это отображение линейно, т. е. при сложении векторов столб-цы их координат складываются, а при умножении на число — умножаются на число поправилам координатного пространства 𝕜 .

1Обозначение dim является сокращениемот dimension (размерность). В полнойобщностимыобсудимэто понятие в n∘ 4.1 на стр. 55 ниже.

1.2. Двумерное векторное пространство 11

Таким образом, всякое двумерное векторное пространство изоморфно координатному про-странству 𝕜 .

1.2.1. Определитель 2 × 2. Пропорциональность векторов = ( ) и = ( ) в про-

странстве 𝕜 равносильна равенству перекрёстных произведений = . Величина

det( , ) ≝ −

называется определителем векторов , ∈ 𝕜 . Очевидно, что

det( , ) = ⟺ и пропорциональны (1-1)

det( , ) = − det( , ) ∀ , ∈ 𝕜 (1-2)

det( , ) = det( , ) = det( , ) ∀ , ∈ 𝕜 и ∀ ∈ 𝕜 (1-3)

det( + , ) = det( , ) + det( , )det( , + ) = det( , ) + det( , )

∀ , , ∈ 𝕜 . (1-4)

Свойство (1-2) называется знакопеременностью, (1-3) — однородностью, (1-4) — аддитивно-стью. Вместе однородность и аддитивность означают, что определитель линеен по каждомуиз двух своих аргументов, т. е. билинеен. Из билинейности вытекает, что для любых векторов

, , , ∈ 𝕜 и констант , , , ∈ 𝕜 выполняется то же самое правило раскрытия скобок1,что и для произведения чисел:

det( + , + ) = det( , ) + det( , ) + det( , ) + det( , ) .

Лемма 1.2

Каждая пара непропорциональных векторов , ∈ 𝕜 является базисом. Коэффициенты раз-ложения произвольного вектора ∈ 𝕜 по этому базису вычисляются по правилу Крамера:

= ⋅ + ⋅ ⟺= det( , )∕det( , )= det( , )∕det( , ) .

(1-5)

Доказательство. Если имеется разложение = ⋅ + ⋅ , то из билинейности и кососиммет-ричности определителя вытекают равенства

det( , ) = det( , ⋅ + ⋅ ) = ⋅ det( , ) + ⋅ det( , ) = ⋅ det( , )det( , ) = det( ⋅ + ⋅ , ) = ⋅ det( , ) + ⋅ det( , ) = ⋅ det( , ) ,

из которых и однозначно выражаются в виде (1-5). Для доказательства существования раз-ложения = ⋅ + ⋅ заметим, что разность − ⋅ det( , )∕det( , ) пропорциональнавектору , т. к. det( � − ⋅ det( , )∕det( , ) , ) � = det( , ) − det( , ) ⋅ det( , )∕det( , ) = .Поэтому = ⋅ det( , )∕det( , ) + ⋅ для некоторого ∈ 𝕜. �

Следствие 1.1

В любом двумерном векторном пространстве любые два непропорциональных вектора образу-ют его базис. �

1Его называют дистрибутивностью или распределительным законом.


Упражнение 1.3. Пусть вектор имеет в базисе ( , ) координаты ( ), а векторы и

, в свою очередь, имеют в некотором другом базисе ( , ) координаты = ( ) и

= ( ). Найдите координаты вектора в базисе ( , ).

1.3. Площадь ориентированного параллелограмма. Функция ∶ × → 𝕜 , сопоставляю-щая каждой упорядоченной паре векторов , двумерного векторного пространства число( , ) ∈ 𝕜 , называется площадью ориентированного параллелограмма, если для любых векто-

ров , ∈ и чисел , ∈ 𝕜 выполняются равенства

( , + ) = ( , ) = ( + , ) (1-6)

( , ) = ( , ) = ( , ) . (1-7)

Первое из них означает, что площадь параллелограмма не меняется при параллельном пере-носе одной из его сторон вдоль самой себя: треугольник, который при этом отрезается, парал-лельно сдвигается и приклеивается с другой стороны, как на рис. 1⋄3.

a

b+λa

λa λa

b

b

a

Рис. 1⋄3. Площадь не меняется.Рис. 1⋄4. Ориентированный

параллелограмм.

Второе свойство (1-7) утверждает, что приизменении однойиз сторон параллелограмма в разплощадь также изменяется в раз. В частности, (− , ) = − ( , ) = ( , − ), т. е. площадьменяет знак при смене знака одного из векторов.

b

a

b

−a

Pис. 1⋄5. Смена ориентации при смене знака.

В школьном курсе геометрии над полем 𝕜 = ℝ принято считать, что площадь положительна и( , ) = ( , ) = | | ⋅ ( , ) . Отказываясь от положительности, мы не просто упраздняем

модуль1, но помимо абсолютной величины площади учитываем также и ориентацию паралле-лограмма. На вещественной координатной плоскости ℝ упорядоченные пары векторов ( , )геометрически отличаются друг от друга тем, в какую сторону происходит кратчайший пово-рот, совмещающий направление первого вектора с направлением второго. Те пары векторов,

1Что значительно упрощает вычисления и делает их осмысленными над любым полем 𝕜.

1.3. Площадь ориентированного параллелограмма 13

для которых такой поворот происходит против часовой стрелки, называются положительноориентированными, а те, для которых по часовой стрелке — отрицательно ориентированны-ми. Равенство (− , ) = − ( , ) означает, что площадь меняет знак при смене ориентациипараллелограмма на противоположную, как на рис. 1⋄5.

Лемма 1.3

Каждая функция площади ∶ × → 𝕜 обращается в нуль на парах пропорциональных век-торов1, знакопеременна: ( , ) = − ( , ) и аддитивна:

( , + ) = ( , ) + ( , ) ∀ , , ∈ 𝕜 . (1-8)

Доказательство. Первые два свойства вытекают прямо из (1-6) и (1-7):

( , ) = ( + , ) = ( , ) = ( ⋅ , ) = ⋅ ( , ) = ,

( , ) = ( , + ) = ( − ( + ), + ) = (− , + ) = − ( , + ) = − ( , ) .

Докажем аддитивность. Если вектор пропорционален и вектору , и вектору , то он пропор-ционален и их сумме + . В этом случае все три площади в (1-8) зануляются. Если вектор непропорционален, скажем, вектору , то и составляют базис, и = + для некоторых

, ∈ 𝕜. В этом случае левая и правая части (1-8) тоже равны друг другу:

( , + ) = ( , + + ) = ( , ( + ) ) = ( + ) ( , ) ,( , ) + ( , ) = ( , ) + ( , + ) = ( , ) + ( , ) =

= ( , ) + ( , ) = ( + ) ( , ) .

�Упражнение 1.4 (кососимметричность и знакопеременность). Функция от двух аргументов

∶ × → 𝕜 называется кососимметричной, если ( , ) = для всех ∈ . Убедитесь,что всякая билинейная кососимметричная функция знакопеременна, а когда ≠ − в поле𝕜, то и наоборот, все знакопеременные функции кососимметричны.

Теорема 1.1

На координатном векторном пространстве𝕜 имеется единственная с точностью до пропорци-ональности ненулевая функция площади. Она имеет вид ( , ) = ⋅ det( , ) , где константа

= ( , ) равна площади стандартного базисного параллелограмма на векторах

= ( ) и = ( ) .

Доказательство. В силу аддитивности, однородности и знакопеременностифункции ( , ) длялюбой пары векторов = + и = + выполняются равенства

( , ) = ( + , + ) = ( − ) ( , ) = det( , ) ⋅ ( , ) . (1-9)

Поэтому все функции площади пропорциональны определителю. С другой стороны, из свойствопределителя (1-1) – (1-4) вытекает, что при любом ∈ 𝕜 функция ( , ) = ⋅ det( , ) удо-влетворяет соотношениям (1-6), (1-7) и при ≠ является ненулевой. �

1В частности, когда один из векторов нулевой или когда два вектора совпадают друг с другом. Свой-ство ( , ) = называют кососимметричностью, см. упр. 1.4 ниже.



На любом двумерном векторном пространстве имеется единственная с точностью до про-порциональности ненулевая функция площади. Если векторы = ( , ) образуют в базис,а векторы = + и = + произвольны, то1

( , )∕ ( , ) = det ( , ) = −

для любой ненулевой функции площади на пространстве . �


Координаты вектора = + в любом базисе ( , ) двумерного векторного пространстваравны отношениям площадей = ( , )∕ ( , ), = ( , )∕ ( , ). �

1.4. Аффинные2 пространства.Множество 𝔸 называется аффинным пространством над век-торным пространством , если каждой упорядоченной паре точек , ∈ 𝔸 сопоставлен вектор ∈ так, что для любой точки ∈ 𝔸 отображение векторизации с центром в

∶ 𝔸 → , ↦ ,

взаимно однозначно, и для любых трёх (не обязательно различных) точек , , ∈ 𝔸 выполня-ется правило треугольника + = .

Иначе можно сказать, что с каждым вектором ∈ связано преобразование сдвига3

∶ 𝔸 → 𝔸 , ↦ + ,

со следующими двумя свойствами: для каждой пары точек , ∈ 𝔸 имеется единственныйтакой вектор ∈ , что + = , и для любых векторов , ∈ выполняется равенство

∘ = + .

Второе описание эквивалентно первому: вектор ∈ со свойством + = , о которомидёт речь во втором определении, это вектор из первого определения, а правило треуголь-ника из первого определения означает равенство ∘ = + во втором.

Упражнение 1.5. Убедитесь в этом и выведите из определений, что: а) = для всех ∈ 𝔸б) = − для всех , ∈ 𝔸 в) = ⇔ = для всех , , , ∈ 𝔸.

Пример 1.5 (аффинная координатная плоскость 𝔸 )

Множество 𝔸 = 𝔸 (𝕜), точками которого являются пары чисел = ( ) из поля 𝕜 и точкам

, сопоставляется вектор = − = (−− ) очевидно удовлетворяет предыдущим

определениям. Оно называется аффинной координатной плоскостью над полем 𝕜.1Здесь и далее мы обозначаем через det ( , ) определитель матрицы, образованной столбцами ко-

ординат векторов , в базисе .1Термин аффинный не должен вызывать «греческих» реминисценций — это банальная калька с ан-

глийского affine (ассоциированный).3Или откладывание вектора от точек ∈ 𝔸.

1.4. Аффинные пространства 15

Пример 1.6 (приведённые квадратные трёхчлены)

Пространство 𝒫 , точками которого являются приведённые квадратные трёхчлены

= + + ∈ 𝕜[ ] ,

не является векторным пространством, поскольку сумма приведённых многочленов и произ-ведение приведённого многочлена на число не являются приведёнными многочленами. Одна-ко разности − = ( − ) + ( − ) приведённых трёхчленов = + + и

= + + образуют векторное пространство = 𝕜[ ]⩽ многочленов степени⩽ , и при

произвольным образом зафиксированном многочлене сопоставление ↦ ≝ (−− )

устанавливает биекциюмежду𝒫 и , удовлетворяющую предыдущим определениям. Поэтомупространство𝒫 является аффинной плоскостью над пространством многочленов степени ⩽ .

1.4.1. Аффинная система координат на аффинной плоскости 𝔸 по определению состо-ит из произвольно взятой точки ∈ 𝔸 и базиса , в векторном пространстве . Тройку( , , ) также называют координатным репером c началом в и базисом , . Каждый ко-ординатный репер устанавливает биекциюмежду точками плоскости𝔸 и парами чисел, сопо-ставляющую точке ∈ 𝔸 координаты вектора в базисе , . Эти координаты называютсяаффинными координатами точки относительно репера ( , , ).

Упражнение 1.6. Убедитесь, что столбец координат вектора в произвольном базисе ,пространства𝕜 равен разности − столбцов координат точек , относительно любогорепера ( , , ) независимо от выбора точки .

Так, в прим. 1.6 коэффициенты , трёхчлена + + ∈ 𝒫 являются его координатамиотносительно репера ( , , ), где = , = это стандартный базис в 𝕜[ ]⩽ .

1.4.2. Барицентры и барицентрические комбинации точек. Для любого набора точек

, , … ,

в аффинномпространстве𝔸илюбыхчисел , , … , ∈ 𝕜 с ненулевой суммой = ∑ ≠существует единственная точка ∈ 𝔸, такая что

+ + ⋯ + = . (1-10)

В самом деле, задавшись произвольной начальной точкой ∈ 𝔸, мы можем для произвольнойточки ∈ 𝔸 записать сумму из левой части (1-10), как

∑ = ∑ ( − ) = − + ∑ .

Поэтому соотношение (1-10) выполняется для единственной точки с радиус вектором

= ∑=

⋅ . (1-11)

Эта точка называется центром тяжести или барицентром точек с весами . Термин при-шёл из механики: если горизонтально расположить аффинную плоскость 𝔸 (ℝ) в трёхмерномпространстве и перпендикулярно ей приложить к каждой точке силу , направленную вниз,если > , и вверх, если < , как на рис. 1⋄6 на стр. 16, то равенство (1-10) будет означать


равенство нулю суммы моментов всех этих сил относительно точки . Если оно выполняется,плоскость останется неподвижной, удерживаемая ровно за одну точку .

Поскольку точка однозначно определяется не зависящим от выбора соотношением(1-10), точка

+ = + ∑=

⋅

не зависит от выбора начальной точки . Поэтому для любого набора точек , , … , илюбых констант , , … , с суммой ∑ = , точка

+ + ⋯ + ≝ + ∑=

⋅ (1-12)

не зависит от выбора начальной точки , что и оправдывает обозначение, использованное в ле-вой части (1-12). Точка (1-12) называется барицентрической комбинацией точек , , … ,с весами , , … , .

Q1

Q2

Q3 Q4

Q5

µ1

µ2

µ3

µ4

µ5

M

Рис. 1⋄6. Моменты сил.

Упражнение 1.7 (группирование масс). Пусть набор точек с весами и набор точекс весами имеют центры тяжести в точках и , причём все три суммы: ∑ , ∑ и∑ + ∑ ненулевые. Покажите, что центр тяжести объединения всех точек1 и сов-падает с центром тяжести точек и , взятых с весами ∑ и ∑ . Выведите из этого, чтолюбая барицентрическая комбинация точек, которые сами являются барицентрическимикомбинациями некоторых точек , также представляет собою барицентрическую комби-нацию точек .

1.5. Прямые. Три точки , , на аффинной плоскости 𝔸 называются коллинеарными, есливекторы и пропорциональны. При ≠ пропорциональность векторов и озна-чает, что при некоторых , ∈ 𝕜, не обращающихся одновременно в нуль, выполняются рав-носильные друг другу равенства

⋅ + ⋅ = ⟺ = + ⋅ + + ⋅ .

1Объединение двух совпадающих точек заключается в сложении их весов.

1.5. Прямые 17

В этом случае говорят, что точка делит в отношении ∶ или, эквивалентно, являетсябарицентрической комбинацией точек и с весами ∕( + ) и ∕( + ) соответственно.Точка

= + + ⋅ + + ⋅ = + + ⋅ = + + ⋅

однозначно определяется отношением ∶ , которое может принимать любые значения, неравные − , ибо = − означает, что = , т. е. = . При этом значения

∶ = ∶ = и ∶ = ∶ = ∞

вполне допустимы и отвечают точкам = и = соответственно. Равновесный барицентр= ( + ) ∕ , делящий в отношении ∶ , называется серединой или центром пары

различных точек , . Множество ( ) ≝ { = + | , ∈ 𝕜 , + = } всех точек∈ 𝔸 , коллинеарных двум заданным различным точкам , ∈ 𝔸 , называется прямой. Иначе

прямую ( ) ⊂ 𝔸( ) можно описать как ГМТ вида = + , где пробегает 𝕜, а ∈ —произвольно зафиксированный ненулевой вектор, пропорциональный вектору . Векторназывается направляющим вектором или вектором скорости прямой ( ).

Предложение 1.1

В аффинных координатах ( ) относительно произвольного репера прямая с направляющим

v =−→AB

O

A

B

v

X=A+vt

x

a

Рис. 1⋄7. Прямая ( ) снаправляющим вектором = .

вектором = ( ), проходящаячерез точку = ( )описывается уравнением

− = − . (1-13)

Наоборот, множество всех решений ( ) любого

(неоднородного) линейного уравнения

+ = ,

в котором коэффициенты , ∈ 𝕜 не обращаются од-новременно в нуль, представляет собою прямую с на-

правляющим вектором (− ).

Доказательство. Обозначим начало координат через и рассмотрим векторы

= = ( ) , = = ( ) .

Равенство (1-13) означает, что det( , ) = det( , ), и описывает геометрическое место кон-цов всех таких векторов , которые образуют вместе с заданным вектором параллелограммс вершиной в начале координат, имеющий заданную площадь = det( , ), см. рис. 1⋄7. ЭтоГМТ представляет собою проходящую через конец вектора прямую с вектором скорости ,поскольку пропорциональность векторов и равносильна равенству

= det( , ) = det( , − ) = det( , ) − det( , ) .


Для доказательства второго утверждения достаточно подобрать пару чисел , так, чтобы+ = , что всегда можно сделать, если или отличен от нуля. Тогда по форму-

ле (1-13) прямая, проходящая через точку = ( ) с вектором скорости = (− ) будет

задаваться уравнением + = . �

Упражнение 1.8. Напишите уравнение прямой, параллельной вектору ( ) и проходящей че-

рез точку (− ) , а также прямой, проходящей через точки (−

) и (− ), и нарисуйте на

клетчатой бумаге прямые, заданные уравнениями + = − и − = .

Пример 1.7 (пересечение прямых)

Если левые части уравнений прямых + = и + = не пропорциональны,то решения , системы

{+ =+ = ,

� (1-14)

суть координаты вектора ( ) ∈ 𝕜 в базисе из векторов ( ) и ( ) координатного про-

странства 𝕜 . По правилу Крамера1 они единственны и равны

= det ( ) ∶ det ( ) , = det ( ) ∶ det ( ) . (1-15)

Такимобразом, прямые (1-14) с непропорциональными скоростямипересекаются в единствен-ной точке с координатами (1-15) . Например, прямые + = − и − = из упр. 1.8пересекаются при = ∕ , = − ∕ .

Если же левые части уравнений (1-14) пропорциональны, скажем = и = , топри ≠ задаваемые этими уравнениями прямые параллельны, а при = они совпадаютдруг с другом.

Проделанные вычисления показывают, что на аффинной плоскости 𝔸 над произвольнымполем 𝕜 выполнены евклидовы аксиомы, описывающие взаимное расположение прямых и то-чек на плоскости.


Через любые две различные точки аффинной плоскости проходит ровно одна прямая. Черезлюбую точку, не лежащую на произвольно заданной прямой ℓ, проходит ровно одна прямая, непересекающая прямую ℓ. �

1.6. Треугольники. Тройка не коллинеарных точек , , называется треугольником. Фикси-руемна𝕜 какую-нибудь ненулевуюфункциюплощади иназовём площадью ориентированно-го треугольника половину площади ориентированного параллелограмма, образованногоупорядоченной парой векторов , :

( ) ≝ ( , )∕ . (1-16)

1См. лем. 1.2 на стр. 11.

1.6. Треугольники 19


Для любого треугольника и любой точки выполняются соотношения:

( ) = ( ) = ( ) = − ( ) = − ( ) = − ( ) (1-17)

( ) = ( ) + ( ) + ( ) . (1-18)

Доказательство. Для доказательства (1-17) достаточно проверить, что

( ) = ( ) и ( ) = − ( ) .

В силу билинейности и кососимметричности площади

( ) = ( , ) = ( + , ) = − ( , ) = ( , ) = ( )( ) = ( , ) = ( , + ) = − ( , ) = − ( ) .

Проверка равенства (1-18) столь же бесхитростна:

( ) = ( , ) = ( + , + ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) == ( , ) + ( , ) + ( , ) = ( � ( ) + ( ) + ( )) � .

�

Пример 1.8 (площади ориентированных многоугольников)

Над полем 𝕜 = ℝ формула (1-17) имеет следующее наглядное описание. Будем называть ориен-тацией треугольника выбор одного из двух возможных направлений обхода его контура. Обходпротив ЧС, при котором треугольник остаётся слева по ходу движения, считается положитель-ным, и площади таких треугольников положительны. Площади треугольников, обходимых поЧС отрицательны. Ориентация треугольников согласована с обсуждавшейся в n∘ 1.3 на стр. 12ориентацией параллелограммов: если выпустить из вершины треугольника два вектора по егосторонам, то ориентация натянутого на них параллелограмма совпадает с той ориентациейконтура треугольника, что задаётся движением от конца первого вектора к концу второго попротиволежащему выбранной вершине основанию, см. рис. 1⋄8.

A

B

C

A

B

C

P

Рис. 1⋄8. ( ) = det( , ).Рис. 1⋄9.

( ) = ( ) + ( ) + ( ).


При таких договорённостях об ориентации, формула (1-18) утверждает, что площадь ори-ентированного треугольника можно вычислять обходя его контур против часовой стрелкии складывая площади опирающихся на его стороны треугольников с вершиной в произвольнозафиксированной точке , при этом исходящие из векторы, используемые для вычисленияплощадей, всегда упорядочиваются по ходу движения. Так на рис. 1⋄9 площадь ▵ войдёт всумму со знаком плюс, а площади ▵ и ▵ — с минусами, что в результате даст площадь▵ . Эта формула очевидным образом обобщается на произвольную, возможно даже самопе-ресекающуюся, как на рис. 1⋄10, замкнутую ломаную … , где мы полагаем = .Обходя контур ломаной против часовой стрелки и складывая площади опирающихся на её зве-нья треугольников с вершиной в произвольно заданной точке , мы получим сумму

−

∑=

( + ) =−

∑=

det( , + )

которая равна сумме ориентированных площадей ограниченных этой ломаной многоугольни-ков, где многоугольники, лежащие слева по ходу движения вдоль ломаной1, надлежит учиты-вать со знаком плюс, а лежащие справа2 — со знаком минус.

Упражнение 1.9. Покажите, ориентированные площади треугольников с общей вершиной иоснованиями на одной прямой относятся как эти ориентированные основания, т. е. длялюбых трёх коллинеарных точек , , и произвольной точки выполняется равенство( ) ∶ ( ) = ∶ , где справа стоит такое число ∈ 𝕜, что ⋅ = (поле𝕜— любое).

Q0 = Q5

Q1

Q2

Q3

Q4

P

++

−A

B

Рис. 1⋄10. ∑=

( + ) = ( ) − ( ) + ( ).

1Их контур обходится против ЧС.2Их контур обходится по ЧС.


1.6.1. Барицентрические координаты. Зафиксируем на плоскости 𝔸 произвольный тре-угольник ▵ и сопоставим каждой тройке чисел , , ∈ 𝕜 с суммой + + = точку

= ⋅ + ⋅ + ⋅ .

Покажем, что это сопоставление устанавливает биекцию между такого рода тройками чисел иточками на 𝔸 . Равенство = ⋅ + ⋅ + ⋅ означает, что = ⋅ + ⋅ , т. е.числа , являются координатами вектора в базисе , . Так как пары координат би-ективно соответствуют векторам, а векторы — точкам , мы имеем биекцию между точка-ми и произвольными парами чисел ( , ). Но такие пары биективно соответствуют тройкам( , , ) = ( − − , , ). Числа , , ∈ 𝕜 с суммой + + = называются барицентриче-скими координатами точки = ⋅ + ⋅ + ⋅ относительно ▵ . Использование тройкичисел , , , связанных соотношением + + = , вместо пары чисел , часто оказываетсяболее удобным, поскольку не привязано к выбору той или иной вершины в треугольнике, чтопозволяет видеть и использовать имеющиеся в задаче симметрии.

Пример 1.9 (барицентрические координаты как отношения площадей)

Согласно правилу Крамера1, разложение произвольного вектора ∈ по базису , име-ет вид

= ( , )( , )

⋅ + ( , )( , )

⋅ = ( )( ) ⋅ + ( )

( ) ⋅ ,

откуда ( )⋅ + ( )⋅ + ( ) = . Подставляя ( ) = ( )+ ( )+ ( )и пользуясь тем, что + = , а + = , получаем соотношение

( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ = , (1-19)

утверждающее, что барицентрическими координатами точки относительно ▵ являютсяотношения площадей = ( )∕ ( ) , = ( )∕ ( ) , = ( )∕ ( ), т. е.

= ( )( ) ⋅ + ( )

( ) ⋅ + ( )( ) ⋅ . (1-20)

Пример 1.10 (центр треугольника)

Pавновесный барицентр вершин ▵

A

B

C

2

2

2

M

Рис. 1⋄11. Центр треугольника.

= ( + + )∕

называется центром треугольника ▵ . Со-гласно упр. 1.7 точка является центром тяже-сти любой из вершин и середины противолежа-щей ей стороны, взятой с весом 2. Такимобразом,

является точкой пересечения медиан ▵ иделит каждую из них в отношении ∶ , считаяот вершины (см. рис. 1⋄11). Из формулы (1-20)вытекает, что центр треугольника однозначно ха-рактеризуется как единственная точка на плоскости, для которой

( ) = ( ) = ( ) .1См. сл. 1.3 на стр. 14.


1.6.2. Двойное отношение и гармоничность. Рассмотрим четыре различные прямые

= ( ) , = ( ) , = ( ) , = ( ) ,

пересекающиеся в точке . Двойное отношение ориентированных площадей треугольников свершиной на рис. 1⋄12

[ , , , ] ≝ ( )( ) ∶ ( )

( ) = ( , )( , )

∶ ( , )( , )

(1-21)

не зависит ни от выбора ненулевой функции площади , ни от выбора точек , , , на одно-имённых прямых , , , , при условии, что все они отличны от .

Упражнение 1.10. Убедитесь в этом, а также в том, что двойное отношение не меняется приодновременной транспозиции любых двух непересекающихся пар прямых, т. е.

[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] .

O

A BC D

ab cd

ℓ

OD = B + δ ·

−−→BC

A B

C

a

bc

d

−→AC =

−−→OB

−−→BC =

−→OA

Рис. 1⋄12.[ , , , ] = ( ∶ ) ∶ ( ∶ ). Рис. 1⋄13. = [ , , , ].

Если выбрать точки , , так, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, т. е. = и = , а в качестве точки ∈ ( ) взять пересечение ( ) ∩ ( ), как нарис. 1⋄13, т. е. положить = + , где = ∶ является аффинной координатой точ-ки на прямой относительно репера с началом в и базисным вектором , то двойноеотношение [ , , , ] окажется равным этой координате :

= ( , )( , )

∶ ( , )( , )

= ( , + )( + , )

∶ ( , + )( + , )

=

= ( , )( , )

∶ ( , )⋅ ( , )

= .

(1-22)

Упражнение 1.11.Убедитесь, что на любой тройке различных, но пересекающихся в одной точ-ке прямых , , всегда можно, причём единственным с точностью до гомотетии с цен-тром в способом, выбрать такие точки ∈ , ∈ и ∈ , что четырёхугольникбудет параллелограммом.


Таким образом, число [ , , , ] однозначно задаёт положение прямой по отношению к пря-мым , , , т. е. при фиксированных , , отображение ↦ [ , , , ] является биекциеймежду множеством всех проходящих через точку = ∩ ∩ прямых и множеством 𝕜 ⊔ ∞.Прямые , и переходят при этой биекции в ∞, и соответственно. Если [ , , , ] = − ,то прямая пересекает любую параллельную прямую в середине отрезка, высекаемого пря-мыми и . Такие четвёрки прямых называют гармоническими.

Если выбрать точки , , , лежащими на одной прямой ℓ, как на рис. 1⋄12, то соглас-но упр. 1.9 на стр. 20 отношения площадей (1-21) переписываются как отношения пропорцио-нальных векторов

[ , , , ] = ( )( ) ∶ ( )

( ) = ∶

≝ [ , , , ] . (1-23)

Эта величинаназывается двойным отношением1 четырёх коллинеарных точек , , , . В част-ности, мы видим, что при фиксированных точках , , , левая часть (1-23), а с нею и (1-21)не зависят от выбора точки при условии, что она не лежит на прямой, содержащей точки ,, , . Четвёрка точек с [ , , , ] = − называется гармонической.

Упражнение 1.12. Покажите, что гармоничность равносильна равенству

[ , , , ] = [ , , , ] .

1По-английски cross-ratio.

§2. Аффинная группа

2.1. Аффинные отображения. Отображение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) между аффинными простран-ствами, ассоциированными с векторными пространствами , , называется аффинным, еслинайдётся такая точка ∈ 𝔸( ), что отображение

∶ → , ↦ ( ) ( ) (2-1)

линейно, т. е. ( + ) = ( ) + ( ) для любых , ∈ 𝕜 и , ∈ 𝔸( ).

Лемма 2.1

Если отображение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) аффинно, то отображение (2-1) линейно для любой точки∈ 𝔸( ) и не зависит от выбора этой точки, т. е. для всех , ∈ 𝔸( ) выполняется равенство( ) = ( ) ( ).

Доказательство. Если отображение (2-1), построенное по некоторой точке ∈ 𝔸( ), линейно,то для любой точки ∈ 𝔸( ) и любого вектора = − ∈ выполняется равенство

( ) = ( ) − ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ) = ( ) ( ) .

Темсамым, для всех , ∈ 𝔸( )отображение переводит вектор ∈ в вектор ( ) ( ) ∈. В частности, оно не зависит от выбора точки . �


Отображение ∶ 𝔸( ) → ( ) аффинно тогда и только тогда, когда оно переводит барицен-трические комбинации точек в барицентрические комбинации их образов с теми же весами,т. е. ( + + ⋯ + ) = ⋅ ( ) + ⋅ ( ) + ⋯ + ⋅ ( ) для любых

, , … , ∈ 𝔸( ) и любых , , … , ∈ 𝕜 с ∑ = .

Доказательство. Если отображение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) аффинно, то при любом выборе началь-ной точки и любых весах , , … , ∈ 𝕜 с ∑ =

( + + ⋯ + ) = ( + + + ⋯ + ) == ( ) + ( + + ⋯ + ) == ( ) + ⋅ ( ) + ⋅ ( ) + ⋯ + ⋅ ( ) == ⋅ ( ( ) + ( )) + ⋯ + ⋅ ( ( ) + ( )) == ⋅ ( ) + ⋅ ( ) + ⋯ + ⋅ ( ) .

Наоборот, если отображение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) сохраняет барицентрические комбинации, топри произвольном выборе начальной точки отображение ∶ → , ↦ ( ) ( ),линейно, поскольку для любых точек , ∈ 𝔸( ) и чисел , ∈ 𝕜 точка

= + ⋅ + ⋅ = ( − − ) + +

перейдёт в точку

( ) = ( − − ) ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ,

24

2.2. Аффинные автоморфизмы 25

а значит, для всех векторов , ∈ и чисел , ∈ 𝕜

( + ) = ( ) = ( ) ( ) == ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) .

�2.1.1. Дифференциал аффинного отображения. Линейное отображение

∶ → , ↦ ( ) ( )

называется дифференциалом аффинного отображения ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ). Если два аффинныхотображения , ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) имеют равные дифференциалы = , то для всех точек

, ∈ 𝔸( ) выполняется равенство ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ), котороепо упр. 1.5 (в) равносильно равенству ( ) ( ) = ( ) ( ). Поэтому вектор = ( ) ( )не зависит от выбора точки ∈ 𝔸( ). Это означает, что = ∘ является композициейотображения с последующим сдвигом ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ), ↦ + , на вектор .


Если отображения ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) и ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) аффинны, то их композиция

∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) , ↦ ( � ( )) � ,

тоже аффинна и имеет дифференциал = ∘ .

Доказательство. Отображение ∶ → , переводящее вектор ∈ в вектор

( ) ( ) = (( ) ( )) = ∘ ( ) ∈ ,

является композицией дифференциалов и . Оно линейно, т. к. для любых , ∈

( + ) = ( � ( + )) � = ( �( ( ) + ( )) � == ∘ ( ) + ∘ ( ) = ( ) + ( ) .

�

2.2. Аффинные автоморфизмы. Взаимно однозначное аффинное отображение

∶ 𝔸( ) → 𝔸( )

называется аффинным автоморфизмом или аффинным преобразованием пространства 𝔸( ).Очевидно, что аффинное отображение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) взаимно однозначно , если и толь-

ко если его дифференциал ∶ ⥲ взаимно однозначен. Из предл. 2.2 вытекает, что аффин-ные автоморфизмы 𝔸( ) → 𝔸( ) образуют группу преобразований1 множества 𝔸( ). Эта груп-па обозначается Aff( ) и называется аффинной группой векторного пространства . Аффиннаягруппа координатного пространства 𝕜 обозначается Aff (𝕜).

Две фигуры в аффинном пространстве 𝔸( ) называются аффинно конгруэнтными, если су-ществует аффинный автоморфизм ∈ Aff( ), переводящий одну их этих фигур в другую.

1См. обсуждение на стр. 5

26 §2Аффинная группа


Для любых двух треугольников и на аффинной плоскости существует един-ственное аффинное преобразование этой плоскости, переводящее в при всех = , , .

Доказательство. Если ( ) = , то переводит аффинный репер ( , , ) в аффин-ный репер ( , , ). Это полностью определяет действие на любую точку : вектор однозначно представляется в виде = + , дифференциал ∶ →переводит его в ( ) = ( ) + ( ) = + , откуда

( ) = ( ) + ( ) = + + .

С другой стороны, если определить отображение этой формулой, то оно будет аффиннымпреобразованием, поскольку заданное правилом + ↦ + отоб-ражение ∶ → , очевидно, линейно. �


Аффинные преобразования плоскости переводят прямые в прямые, сохраняя параллельность.Любые три различные попарно не параллельные и не пересекающиеся в одной точке прямые

, , переводятся в любые три различные попарно не параллельные и не пересекающиеся водной точке прямые ′, ′, ′ единственным аффинным преобразованием. �

Упражнение 2.1. Покажите, что если три различные прямые , , пересекаются в точке ,а три различные прямые ′, ′, ′ пересекаются в точке ′, то аффинное преобразование,переводящее , , в ′, ′, ′ тоже существует и единственно с точностью до композициис гомотетиями относительно точек и ′.


Четвёрка различных, но пересекающихся в одной точке прямых , , , тогда и только тогдапереводится в четвёрку различных пересекающихся в одной точке прямых ′, ′, ′, ′ так, что

↦ ′, ↦ ′, ↦ ′ и ↦ ′, когда [ , , , ] = [ ′, ′, ′, ′].

Доказательство. Обозначим точки пересечения четвёрок прямых через и ′. По упр. 1.11имеются единственные с точностью до гомотетий с центрами в и в ′ тройки точек ∈ ,

∈ , ∈ и ′ ∈ ′, ′ ∈ ′, ′ ∈ ′, такие что четырёхугольники и ′ ′ ′ ′ являют-ся параллелограммами. Далее, имеется единственное аффинное преобразование, переводящеепараллелограмм в параллелограмм ′ ′ ′ ′. Согласно упр. 2.1 это единственное с точ-ностью до гомотетий с центрами в и в ′ аффинное преобразование, переводящее прямые, , в прямые ′, ′, ′. Оно переводит прямую в прямую ′ , если и только если точка= ∩( ) делит отрезок [ , ] в томже отношении, что точка ′ = ′ ∩( ′ ′) делит отрезок

[ ′, ′]. Но какмывидели вформ. (1-22) на стр. 22, эти отношенияравныдвойнымотношениям[ , , , ] и [ ′, ′, ′, ′]. �

2.3. Сравнение аффинной и линейной групп. Аффинная группа Aff( ) содержит подгруппупараллельных переносов (или сдвигов) ⊂ Aff( ), изоморфную аддитивной группе векторовпространства . Вектору ∈ отвечает при этом изоморфизме сдвиг

∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) , ↦ + ,

2.3. Сравнение аффинной и линейной групп 27

а композиции сдвигов отвечает сложение векторов: ∘ = + . Поскольку для любогоаффинного преобразования ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) и произвольной точки ∈ 𝔸( ) выполняютсяравенства

( � ( )) � = ( + ) = ( ) + ( ) = ( )(� ( )) � ,

сдвиги коммутируют с произвольными аффинными автоморфизмами по правилу

∘ = ( ) ∘ или ∘ ∘ − = ( ) . (2-2)

Множество всех аффинных преобразований, оставляющих на месте произвольно выбраннуюточку ∈ 𝔸 , образует в Aff( ) подгруппу, которая называется стабилизатором точки и обо-значается

Stab ≝ { ∈ Aff( ) | ( ) = } .

Из сказанного в начале n∘ 2.1.1 вытекает, что два аффинных преобразования , ∈ Stab сов-падают тогда и только тогда, когда = . Поэтому отображение ∶ Stab → GL( ), пере-водящее аффинное преобразование ∈ Stab в его дифференциал ∶ ⥲ , инъективно.С другой стороны, каждому линейному автоморфизму ∶ ⥲ отвечает оставляющее точкуна месте аффинное преобразование

∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) , ↦ + ( ) (2-3)

с дифференциалом = . Таким образом, отображение ∶ Stab ⥲ GL( ), ↦ ,является изоморфизмом групп.


Пусть ∈ 𝔸( ) — произвольно заданная точка. Для каждого аффинного преобразования ∈Aff( ) существуют единственные вектор ∈ и линейный автоморфизм ∈ GL( ), такие что

= ∘ . При этом для всех , ∈ и всех , ∈ GL( )

( ∘ ) ∘ ( ∘ ) = + ( ) ∘ ( ∘ ) . (2-4)

Доказательство. Пусть ( ) = . Тогда = ∘ , где = и = − ∘ ∈ Stab . Темсамым, = для некоторого ∈ GL( ). Если преобразование имеет два разложения

∘ = = ∘ , то применяя к правой и левой части этого равенства обратный к сдвиг

− , получаем = − ∘ . Так как и , и оставляют на месте точку , то сдвиг −тоже должен переводить в себя, откуда = , − = Id , и = , т. е. = . Формула(2-4) вытекает из (2-2) : ∘ ∘ ∘ = ∘ ∘ ∘ − ∘ ∘ = ∘ ( ) ∘ ∘ . �

Замечание 2.1. (полупрямое произведение) Изпредл. 2.5 вытекает, что какмножество аффин-ная группа Aff( ) может быть отождествлена с прямым произведением множеств × GL( ), ипосле такого отождествления композиция в Aff( ) задаётся правилом

( , ) ∘ ( , ) = ( + ( ), ) .

В таких случаях говорят, что группаAff( ) является полупрямым произведением групп иGL( ),и пишут

Aff( ) = ⋊ GL( ) .


Подчеркнём, однако, что отождествление множеств Aff( ) ≃ × GL( ) требует выбора точки∈ 𝔸( ) и зависит от этого выбора. Два разложения ∘ = = ∘ одного и того

же аффинного преобразования ∈ Aff( ), возникающие при выборе двух разных точек , ∈𝔸( ), имеют один и тот же линейный автоморфизм = = ∈ GL( ), но, вообщеговоря, разные переносы ≠ .

Упражнение 2.2. Убедитесь, что = − + ( ) и отличен от при ( ) ≠ .

2.4. Запись линейных и аффинных преобразований в координатах. Если в векторном про-странстве зафиксирован базис , , всякое линейное отображение ∶ → однозначнозадаётся указанием образов базисных векторов = ( ) и = ( ), поскольку произволь-ный вектор = + обязан переходить в

( ) = ( ⋅ + ⋅ ) = ( ) ⋅ + ( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ . (2-5)

Упражнение 2.3. Убедитесь, что при любом выборе векторов , ∈ формула (2-5) задаётлинейное отображение ∶ → .

Если векторы и имеют в базисе ( , ) координаты ( ) и ( ) , т. е.

= ⋅ + ⋅ и = ⋅ + ⋅ , (2-6)

то по формуле (2-5) действие отображения на произвольный вектор с координатами ( )задаётся правилом

∶ ( ) ↦ ( ) ⋅ + ( ) ⋅ = (++ ) , (2-7)

которое принято сокращённо записывать как ↦ , где

= ( ) , = ( ) и = ( ) ⋅ ( ) ≝ (++ ) .

При этом используются следующие соглашения: произведением строки на столбец , вы-сота которого равна ширине строки, считают один элемент

( , , … , ) ⋅⎛⎜⎜⎜⎝

⋮

⎞⎟⎟⎟⎠

≝ + + ⋯ + , (2-8)

а произведением = таблицы из строк ширины на таблицу из столбцов высотысчитают таблицу из строк и столбцов, в пересечении -той строки и -того столбца которойстоит произведение -той строки из на -тый столбец из , вычисленное по формуле (2-8):

≝ ( , , … , ) ⋅⎛⎜⎜⎜⎝

⋮

⎞⎟⎟⎟⎠

= ∑=

. (2-9)

2.5. Преобразования, переводящие прямые в прямые 29

Таблица из строк и столбцов называется матрицей размера × . Матрица

= ( )называется матрицей линейного отображения в базисе = ( , ), а её определитель

det = det( , ) = −называется определителем отображения и обозначается det .

Упражнение 2.4. Докажите для любых , ∈ равенство ( � ( ), ( )) � = ( , ) ⋅ det ивыведите из него, что а) число det ≝ det ∈ 𝕜 зависит только от , но не от выборабазиса б) ∈ GL( ) ⟺ det ≠ в) det( ) = det( ) ⋅ det( ) для любых × -матрици . Проверьте также, что матрица композиции ∘ в базисе равна произведению

матриц ⋅ (именно в таком порядке).

Если положить ( ) = ( , ), то в матричных обозначениях формулы (2-6) сократятся до( ) = , равенство = + — до = , а вычисление, проделанное в (2-5) и

(2-7) превратится в короткую выкладку ( ) = ( ) = ( ) = , показывающую, чтокоординатами вектора ( ) в базисе является столбец .

Упражнение 2.5. Проверьте, что произведение матриц ассоциативно: ( ) = ( ) всякийраз, когда хоть одна из частей этого равенства определена.

Если на аффинной плоскости 𝔸 = 𝔸( ) задан аффинный координатный репер ( , , ), иаффинное преобразование ∶ 𝔸 → 𝔸 переводит начальную точку ∈ 𝔸 в точку = ( )с координатами ( ), а его дифференциал = имеет в базисе = ( , ) векторного

пространства матрицу = ( ), то действие на произвольную точку ∈ 𝔸 с

координатами = ( ) описывается формулой ↦ + или, в развёрнутом виде,

( ) ↦ ( ) + ( ) ⋅ ( ) = (+ ++ + ) .

Упражнение 2.6. Убедитесь в этом, и выясните, как аффинное преобразование ↦ +изменяет площади ориентированных параллелограммов.

2.5. Преобразования, переводящие прямые в прямые. Биективное отображение аффиннойплоскости в себя называется полуаффинным, если оно переводит прямые в прямые. Полуаф-финные отображения, очевидно, образуют группу. В этом разделе мы покажем, что над по-лями ℚ, ℝ и 𝔽 = ℤ ∕ ( ), где ∈ ℕ — простое, все полуаффинные преобразования в дей-ствительности аффинны, а над произвольным полем 𝕜 каждое полуаффинное преобразование

∶ 𝔸(𝕜 ) → 𝔸(𝕜 ) раскладывается в композицию = Aff аффинного преобразования Aff

и преобразования

∶ ( ) ↦ (( )( ))

вызванного каким-либо автоморфизмом ∶ 𝕜 ⥲ 𝕜 основного поля 𝕜. Над полями ℚ, ℝ и 𝔽таких «скручиваний с автоморфизмами» не возникает по тойпростой причине, что у этих полейнет никаких автоморфизмов кроме тождественного.Мыначнём с небольшого напоминания обавтоморфизмах полей.


2.5.1. Отступление об автоморфизмах полей. Биективное отображение из поля в себя

∶ 𝕜 ⥲ 𝕜 (2-10)

называется автоморфизмом, если оно сохраняет сложение и умножение, т. е. для всех , ∈ 𝕜( + ) = ( ) + ( ) и ( ) = ( ) ⋅ ( ) .

Упражнение 2.7. Убедитесь, что каждое перестановочное со сложением и умножением отоб-ражение (2-10) либо инъективно, либо тождественно равно нулю, и автоматически обла-дает свойствами: ( ) = , ( ) = , ( − ) = ( ) − ( ) и ( ∕ ) = ( )∕ ( ) при

≠ .

Из упр. 2.7 вытекает, что тождественно действует на элементах вида

± ∕ ≝ ±( + + ⋯ + )∕( + + ⋯ + ) ∈ 𝕜(в числителе и знаменателе стоят суммы и единиц поля соответственно), ибо

(± ∕ ) = ± ( )∕ ( ) = ± ( + + ⋯ + )∕ ( + + ⋯ + ) == ± ( ( ) + ( ) + ⋯ + ( ))∕( ( ) + ( ) + ⋯ + ( )) = ± ∕ .

Поскольку в поле ℚ и в полях вычетов 𝔽 никаких других элементов нет, у этих полей нет ни-каких автоморфизмов кроме тождественного. В частности, всякий автоморфизм ∶ ℝ ⥲ ℝтождественно действует на подполе ℚ ⊂ ℝ. Кроме того, является строго монотонной функ-цией, поскольку неравенство < влечёт равенство − = для некоторого ∈ ℝ, откуда

( ) − ( ) = ( − ) = ( ) = ( ) > , и ( ) < ( ).Упражнение 2.8 (по анализу). Пусть строго монотонная функция ∶ ℝ → ℝ такова, что

( ) = при ∈ ℚ. Покажите, что ( ) = при всех ∈ ℝ.Таким образом, поле вещественных чисел ℝ тоже не имеет нетождественных автоморфизмов.Напротив, поле комплексных чисел ℂ имеет нетождественный автоморфизм комплексного со-пряжения = + ↦ = − . Аналогичные автоморфизмы имеются и у других полейалгебраических чисел.

Упражнение 2.9. Покажите что множество чисел ℚ[√ ] = { + √ | , ∈ ℚ} являетсяполем и укажите нетождественный автоморфизм этого поля.

2.5.2. Дифференциал полуаффинного преобразования. В силу своей биективности, каж-дое полуаффинное преобразование ∶ 𝔸 → 𝔸 переводит параллельные прямые в параллель-ные, а стало быть, параллелограммы—впараллелограммы. Поэтому из равенства = вы-текает равенство ( ) ( ) = ( ) ( ). Это равенство верно, даже когда точки , , , кол-линеарны и не образуют параллелограмма: в этом случае надо выбрать вектор = = на параллельной ( ) прямой ( ) ≠ ( ), как на рис. 2⋄1, и использовать параллелограммы

и .

X Y

P QR S

u w

v1v2

v2 + w

Рис. 2⋄1. Корректность определения . Рис. 2⋄2. Аддитивность .

2.5. Преобразования, переводящие прямые в прямые 31

Таким образом, каждое полуаффинное отображение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) корректно задаёт отоб-ражение векторов

∶ → , ↦ ( ) ( ) . (2-11)

Поскольку переводит параллелограмм со сторонами , в параллелограмм со сторонами( ) и ( ), отображение (2-11) аддитивно: ( + ) = ( )+ ( ), причём это равен-

ство справедливо и тогда, когда и пропорциональны (см. рис. 2⋄2): представляя в видесуммы векторов и , каждый из которых не пропорционален , получаем

( + ) = ( + + ) = ( ) + ( + ) == ( ) + ( ) + ( ) = ( + ) + ( ) = ( ) + ( ) .

Преобразование ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) однозначно восстанавливается, как только известен егодифференциал (2-11) и образ ( ) хоть одной точки ∈ 𝔸 . Образ произвольной точки ∈ 𝔸при этом равен ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) .


Дифференциал полуаффинного преобразования ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) полулинеен, т. е.

( + ) = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) (2-12)

для некоторого зависящего лишь от автоморфизма ∶ 𝕜 ⥲ 𝕜 и любых , ∈ , , ∈ 𝕜.

Доказательство. Поскольку переводит прямые в прямые, переводит векторы, пропорци-ональные данному вектору , в векторы, пропорциональные ( ). Поэтому каждый ненуле-вой вектор ∈ задаёт отображение ∶ 𝕜 → 𝕜, определяемое равенством ( ) =

( ) ⋅ ( ). В силу биективности , все отображения биективны. Покажем, что =для любых двух непропорциональных векторов , . Так как пересекающиеся в одной точкепрямые переходят в пересекающиеся в одной точке прямые, векторы ( ) и ( ) не про-порциональны и составляют базис в . Из аддитивности вытекает, что

( ( + )) = + ( ) ⋅ ( + ) = + ( ) ⋅ ( ) + + ( ) ⋅ ( )‖

( + ) = ( ) + ( ) = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) .

Из единственности разложения вектора по базису мы заключаем, что для всех ∈ 𝕜 выполня-ются равенства

( ) = + ( ) = ( ) .

Они выполняются и тогда, когда и пропорциональны, т. к. для любого непропорциональ-ного им вектора справедливы равенства = = . Таким образом, отображениена самом деле не зависит от и может быть обозначено просто через . Из аддитивностивытекает, что перестановочно со сложением и умножением. В самом деле, равенства

( + ) ⋅ ( ) = (( + ) ) = ( + ) = ( ) + ( ) == ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) = ( ( ) + ( )) ⋅ ( )


показывают, что ( + ) = ( ) + ( ), а из равенств

( ) ⋅ ( ) = (( ) ) = ( ( )) = ( ) ⋅ ( ) = ( ) ( ) ⋅ ( )

мы получаем ( ) = ( ) ⋅ ( ). Тем самым, это автоморфизм поля 𝕜. �


Над полями ℚ, ℝ и 𝔽 биективное отображение 𝔸 → 𝔸 аффинно , если и только если онопереводит прямые в прямые. �

§3. Евклидова плоскость = комплексная прямая

Этот параграф посвящён метрической геометрии плоскости. Мы будем обсуждать длины иуглы — величины, по природе своей являющиеся действительными числами и характеризую-щиеся специфическими для поля ℝ понятиями неравенства и близости-удалённости. Поэтомупочти всюду в этом параграфе мы по умолчанию считаем, что основное поле 𝕜 = ℝ. Исключе-ние составляют n∘ 3.5, где обсуждаются комплексные числа, и n∘ 3.7, значительная часть кото-рого имеет смысл над любым полем.

Определение 3.1

Скалярным произведением (или евклидовой структурой) на векторном пространстве над по-лемℝ называется симметричная билинейная положительная функция × → ℝ , сопоставля-ющая каждой паре векторов , ∈ число ( , ) ∈ ℝ. При этом симметричность означает,что ( , ) = ( , ) для всех , ∈ , билинейность — что

( + , + ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( , ) ,

а положительность — что ( , ) > для всех ненулевых векторов ∈ .

Пример 3.1 (стандартная евклидова структура на ℝ )

Скалярное произведение векторов = ( , , … , ) и = ( , , … , ) координатногопространства ℝ , заданное формулой

( , ) ≝ ∑=

= + + ⋯ + ,

называется стандартным.

Упражнение 3.1. Убедитесь, что стандартное скалярное произведение наℝ билинейно, сим-метрично и положительно.

3.1. Расстояния и перпендикулярность. Неотрицательное число | | ≝ √( , ) называется

a

c =b−

ab

Рис. 3⋄1. К теоремеПифагора.

длиной вектора евклидова пространства . Все ненулевые векторыимеют строго положительную длину и

∀ ∈ ℝ | | = | | ⋅ | | .

Скалярное произведение × → ℝ однозначно восстанавливаетсяпо функции длины → ℝ , ↦ | | , как

( , ) = (| + | − | | − | | ) . (3-1)

Для пары точек , аффинной плоскости, ассоциированной с евклидовым пространством1,длина вектора = − называется расстоянием между и . Мы обозначаем длину однимиз двух способов: | − | = | , | ≝ | |. Обратите внимание, что | − | = | − |.

1Мы будем называть такие плоскости евклидовыми.

33

34 §3 Евклидова плоскость = комплексная прямая

Векторы и называются ортогональными или перпендикулярными, если ( , ) = . Дляперпендикулярных векторов , квадрат длины вектора = − , соединяющего их концы,выражается через квадраты длин векторов и по теореме Пифагора (см. рис. 3⋄1):

| | = ( , ) = ( − , − ) = ( , ) + ( , ) = | | + | | . (3-2)


Во всяком евклидовом пространстве для любого ненулевого вектора и произвольного век-тора существует единственная пара таких векторов и ⊥ , что пропорционален , ⊥

перпендикулярен , и = + ⊥ (см. рис. 3⋄2). Эти векторы выражаются через и как

= ( , )( , ) и ⊥ = − ( , )

( , ) , (3-3)

причём ⊥ = , если и только если и пропорциональны, а = , если и только еслиперпендикулярен .

Доказательство. Мы ищем такие векторы = и ⊥ = − , что

( , ⊥) = ( , − ) = ( , ) − ( , ) = .

Поскольку ( , ) ≠ , это равенство выполняется при единственном = ( , )∕( , ), и условие⊥ = при таком означает, что ( , ) ⋅ = ( , ) ⋅ , тогда как = , если и только если

( , ) = . �


Векторы и ⊥ из предл. 3.1, называются соответственно ортогональной проекцией векторана одномерное подпространствоℝ ⋅ , порождённое вектором , и нормальной составляющей

вектора относительно .

ba⊥

ba =(a,b)(a,a)

· aλa

a

b

b−λa

oxq

p

−→oq = (v,

−→op)

(v,v)· v

ℓv

Рис. 3⋄2.Ортогональная проекция на . Рис. 3⋄3. Перпендикуляр к прямой.

Упражнение 3.2. Убедитесь, что векторы и ⊥ не меняются при замене вектора на про-порциональный вектор с ≠ .


Для любых прямой ℓ и точки ∉ ℓ следующие условия на точку ∈ ℓ равносильны друг другу:

1) | − | > | − | для любой точки ∈ ℓ, отличной от точки

3.1. Расстояния и перпендикулярность 35

2) прямая ( , ) перпендикулярна прямой ℓ.Точка ∈ ℓ с такими свойствами существует и единственна.

Доказательство. Пусть прямая ℓ задаётся параметрическим уравнением + , где ∈ ℓ —произвольная точка, а — вектор скорости прямой ℓ. Каждое из условий (1), (2) определяетна прямой ℓ единственную точку, и эти точки совпадают друг с другом. В самом деле, точкаудовлетворяющая (1) очевидно единственна, если существует. Точка ∈ ℓ, такая что пер-пендикулярен , существует и единственна по предл. 3.1, применённому к векторам = и

= , см. рис. 3⋄3. При этом для любой отличной от точки ∈ ℓ по теореме Пифагора| | = | | + | | > | | , откуда | − | > | − |. �

Упражнение 3.3. Покажите, что на евклидовой плоскости через любую точку проходит един-ственная прямая, перпендикулярная произвольно заданной прямой.

Следствие 3.2 (неравенство Коши – Буняковского – Шварца)

Для любых двух векторов , евклидова пространства выполняется неравенство

|( , )| ⩽ | | ⋅ | | , (3-4)

которое обращается в равенство , если и только если векторы и пропорциональны.

Доказательство. Если оба вектора нулевые, обе части неравенства обращаются в нуль. Если≠ , то длина нормальной составляющей вектора относительно вектора неотрицательна

( ⊥ , ⊥) = ( , )−( , ) ∕( , ) ⩾ иобращается внуль , еслии только если пропорционален. Домножая на ( , ), получаем ( , )( , ) ⩾ ( , ) . Извлекая из обеих частей неотрицатель-

ный квадратный корень, приходим к (3-4). �

Следствие 3.3 (неравенство треугольника)

Для любыхдвух векторов , евклидовапространства выполняетсянеравенство треугольника1

| + | ⩽ | | + | |, см. рис. 3⋄4. Оно обращается в равенство , если и только если векторы ипропорциональны и сонаправлены2.

Доказательство. Возводя обе части неравенства | + | ⩽ | | + | | в квадрат, получаем экви-валентное неравенство ( + , + ) ⩽ ( , ) + | | ⋅ | | + ( , ) , которое после раскрытияскобок в левой части и очевидных сокращений превращается в неравенство ( , ) ⩽ | | ⋅ | |,отличающееся от неравенства Коши–Буняковского –Шварца отсутствием модуля в левой ча-сти. При ( , ) < оно заведомо выполняется в строгой форме. При ( , ) ⩾ оно выполняетсяпо сл. 3.2 и превращается в равенство тогда и только тогда, когда = , причём ( , ) ⩾ ⇒

> . �

a+ b

b

a

a−

b

a+ b

a

b

Рис. 3⋄4. Неравенство треугольника. Рис. 3⋄5. Диагонали ромба.

1Чем, собственно, и оправдывается термин «длина».2Т. е. один получается из другого умножением на положительное число.


Упражнение 3.4. Проверьте, что диагонали ромба перпендикулярны, т. е. ( + , − ) =для любых двух векторов , одинаковой длины | | = | | , см. рис. 3⋄5.

Пример 3.2 (отрезок)

Множество положительных барицентрических комбинаций двух точек , на вещественнойплоскости обозначается [ , ] ≝ { + | , ⩾ и + = } и называется отрезком сконцами в точках , . В евклидовом пространстве отрезок также характеризуется как ГМТ ,таких что | − |+| − | = | − |, поскольку в силу неравенства треугольника это соотношениеимеет местотогда и только тогда, когда векторы , и сонаправлены, т. е. = с

⩽ = | − |∕| − | ⩽ .

3.2. Ортонормальныебазисы.Векторыдлины1называются единичными. Базис пространстваℝ , образованный двумя перпендикулярными единичными векторами, называется ортонор-мальным базисом. Если векторы и не пропорциональны друг другу, то векторы = ∕| |и = ⊥ ∕| ⊥| , где ⊥ = − ⋅ ( , )∕( , ) —ортогональная проекция на , составляютортонормальный базис.

Упражнение 3.5. Покажите что каждый единичный вектор включается ровно в два ортонор-мальных базиса ( , ) и ( , − ) различной ориентации.


Координаты вектора = + в ортонормальном базисе , равны его скалярнымпроизведениям с базисными векторами: = ( , ) , = ( , ) , а скалярное произведениевекторов = + и = + имеет стандартный вид из прим. 3.1 на стр. 33:( , ) = + .

Доказательство. Первое утверждение доказывается скалярным умножением обеих частей ра-венства1 = + на векторы и , второе — бесхитростным раскрытием скобок в( + , + ). �

Пример 3.3 (уравнение прямой)

В координатах ( , ) относительно ортонормального

o

xn

ℓ = {x | (x, n) = c}

xn = (n,x)(n,n)

· n

d=|c|: |n|

Рис. 3⋄6. Пямая ( , ) = .

базиса линейное неоднородное уравнение

+ = (3-5)

Задаёт прямую, перпендикулярную вектору

= ( )

и расположенную на расстоянии | | ∕ | | от начала ко-ординат с той же стороны, что вектор , при > и спротивоположной стороны — если < . В самом де-

ле, уравнение (3-5) гласит, что переменный вектор = ( ) имеет фиксированное скаляр-

ное произведение ( , ) = с вектором . Это означает, что прямая (3-5) заметается конца-ми всех векторов , которые ортогонально проектируются на вектор в один и тот же вектор

1Ср. с доказательством лем. 1.2 на стр. 11.

3.2.Ортонормальные базисы 37

= ⋅( , )∕( , ) = ⋅ ∕| | (см. рис. 3⋄6). Длина этой проекции равна√( , ) = | |∕| |,а направление определяется знаком константы : проекция сонаправлена с при > и про-тивоположно направлена при < . При = прямая (3-5) проходит через начало координат.

В частности, срединный перпендикуляр к отрезку [ , ], т. е. прямая перпендикулярная век-тору − и проходящая через точку ( + )∕ , задаётся уравнением

( − , ) = ( − , + )∕ = (| | − | | ) (3-6)

Две прямые, перпендикулярные одному и тому же вектору и заданные уравнениями

( , ) = и ( , ) =

находятся друг от друга на расстоянии | − |∕| |. Поэтому расстояние от точки до прямой( , ) = , равное расстоянию от этой прямой до параллельной ей проходящей через прямой( , ) = ( , ), можно вычислять как | − ( , )|∕| |.

Упражнение 3.6. Покажите, что биссектрисы углов, возникающих при пересечении прямых( , ) = и ( , ) = , задаются уравнениями | | ⋅ ( − ( , )) = ±| | ⋅ ( − ( , ))и перпендикулярны друг другу.

Предложение 3.3 (определитель Грама)

Если , образуют ортонормальный базис, и = + , = + , то

( , )( , ) = det (

( , ) ( , )( , ) ( , ))

(определитель в правой части называется определителем Грама векторов , ).

Доказательство. По сл. 1.2 на стр. 14 ( , ) ∕ ( , ) = det( , ) = − . С другойстороны ( , ) ⋅ ( , ) − ( , ) = ( + )( + ) − ( + ) = ( ) + ( ) −− = ( − ) . �

Упражнение 3.7. Выведите из предл. 3.3 другое доказательство неравенства Коши–Буняков-ского –Шварца (3-4).


Все ортонормальные базисы имеют равные по абсолютной величине площади.

Доказательство. Если векторы , образуют ортонормальный базис, то

det (( , ) ( , )( , ) ( , )) = det ( ) =

откуда по предл. 3.3 ( , ) = ± ( , ) . �


Функция площади на евклидовой плоскости называется евклидовой, если площадь всех поло-

жительно ориентированных ортонормальных базисов1 равна единице. Всюду далее обозначе-ния ( , ) и ( ) по умолчанию подразумевают евклидову площадь параллелограмма и тре-угольника соответственно.

1Второй вектор которых расположен в левой полуплоскости от первой координатной прямой, еслисмотреть вдоль первого базисного вектора.


Упражнение 3.8.Покажите, что абсолютная величина евклидовойплощадипараллелограммаравна произведению длины основания на длину опущенной на него высоты, т. е.

| det( , )| = | | ⋅ | ⊥| .

3.3. Углы и тригонометрия. Коэффициенты , разложения = ⋅ + ⋅ ⊥ единичноговектора по положительно ориентированному ортонормальному базису , ⊥ называются, со-ответственно, косинусом и синусом ориентированного угла1 ∡( , ), так что

= ⋅ cos ∡( , ) + ⊥ ⋅ sin ∡( , ) (3-7)

(см. рис. 3⋄7). Согласно лем. 1.2 на стр. 11 и предл. 3.2

cos ∡( , ) = ( , ) = ( , ⊥) и sin ∡( , ) = ( , ) = ( ⊥, ) . (3-8)

Упражнение 3.9. Пусть вектор ⊥ образует положительный ортонормальный базис с векто-ром . Покажите, что

⊥ = − ⋅ sin ∡( , ) + ⊥ ⋅ cos ∡( , ) . (3-9)

и cos ∡( , ⊥) = sin ∡( , ) , sin ∡( , ⊥) = cos ∡( , ) .Из равенства = ( , ) = + вытекает основное тригонометрическое тождество

e

e⊥

f

ef

sin

ef

cos efРис. 3⋄7.

cos ∡( , ) + sin ∡( , ) = и неравенства − ⩽ cos ∡( , ) ⩽ , − ⩽ sin ∡( , ) ⩽ . Под-ставляя (3-7) и (3-9) в разложение произвольного единичного векто-ра = ⋅ cos(∡( , )) + ⊥ ⋅ sin(∡( , )) по ортонормальному базису, ⊥, получаем2

( , ⊥) ⋅ (cos ∡( , )sin ∡( , )) = = ( , ⊥) ⋅ (

cos ∡( , )sin ∡( , )) =

= ( , ⊥) ⋅ (cos ∡( , ) − sin ∡( , )sin ∡( , ) cos ∡( , ) ) ⋅ (

cos ∡( , )sin ∡( , )) =

= ( , ⊥) ⋅ (cos ∡( , ) ⋅ cos ∡( , ) − sin ∡( , ) ⋅ sin ∡( , )cos ∡( , ) ⋅ sin ∡( , ) + sin ∡( , ) ⋅ cos ∡( , )) ,

т. е. для любой тройки единичных векторов , , справедливы фор-мулы сложения углов:

cos ∡( , ) = cos ∡( , ) ⋅ cos ∡( , ) − sin ∡( , ) ⋅ sin ∡( , )sin ∡( , ) = cos ∡( , ) ⋅ sin ∡( , ) + sin ∡( , ) ⋅ cos ∡( , ) .

(3-10)

Ориентированный угол ∡( , ) между произвольными векторами и равен углу между сона-правленными с ними единичными векторами ∕| | и ∕| |. Поэтому

cos ∡( , ) = ( , )| | ⋅ | | и sin ∡( , ) = ( , )

| | ⋅ | | . (3-11)

1Угол считается с плюсом, если он проходится против ЧС, и с минусом— если по ЧС.2Мы пользуемся матричными обозначениями из n∘ 2.4 на стр. 28.

3.3. Углы и тригонометрия 39

В частности, мы получаем ориентированную версию школьной формулы для площади:

( , ) = | | ⋅ | | ⋅ sin ∡( , ) . (3-12)

Упражнение 3.10. Убедитесь, что для любых векторов , ∈ справедлива евклидова теоре-ма косинусов: | + | = | | + | | + ⋅ | | ⋅ | | ⋅ cos ∡( , ).

Пример 3.4 (окружности)

ГМТ , удалённых от данной точки на заданное расстояние , называется окружностью ра-

o

a

b

r−r

b+r

a+ r

b−r

r

b

b+ r

rr

Рис. 3⋄8. Окружность и углы.

диуса с центром и задаётся урав-нением ( − , − ) = . Поме-стимначало отсчёта в точку и отло-жим от неё векторы ± длины какна рис. 3⋄8. Равенство

( + , − ) = | | − | |

показывает, что точка лежит наокружности , если и только если диа-метр [− , ] виден из точки подпрямым углом. С другой стороны,точка лежит на окружности , еслии только если векторы и состав-ляют ромб, что равносильно равен-ству углов ∡( , ) = ∡( , + )(см. рис. 3⋄8). Отсюда вытекает, что дуга видна из любой не лежащей на ней точки окружностипод вдвое меньшим углом, чем из центра:

∡( , ) = ∡( , ) − ∡( , ) = ( �∡( + , ) − ∡( + , )) � = ∡( + , + ) .

В частности, окружность, последовательно проходящая через точки , , , существует тогдаи только тогда, когда суммапротивоположных углов четырёхугольника равна полуокруж-ности .

Упражнение 3.11. Убедитесь прямым вычислением, что следующие три равенства равносиль-ны друг другу: а) | | = | | б) ( − )⊥( + ) в) cos ∡( , ) = cos ∡( , + ) −(правая часть (в) равна косинусу двойного угла ∡( , + )).

Пример 3.5 (двойное отношение и углы)

Формула (3-12) позволяет переписать двойное отношение четырёх прямых ( ), ( ), ( ),( ) как

[( ), ( ), ( ), ( )] = ( , )( , )

∶ ( , )( , )

= sin ∡sin ∡ ∶ sin ∡

sin ∡ ,

что лишний раз подтверждает его независимость от выбора точек , , , на прямых. Если жеточки , , , и лежат на одной окружности c центром в точке , как на рис. 3⋄9, то в силупредыдущего прим. 3.4 двойное отношение

[( ), ( ), ( ), ( )] = sin ∡ ⋅ sin ∡sin ∡ ⋅ sin ∡


не зависит от выбора точки . Оно называется двойным отношением четырёх точек окружно-сти и обозначается [ , , , ]. Если пары точек , и , диаметрально противоположны, какна рис. 3⋄10, и = ∡ = ∡ = ∡ , то

[ , , , ] = − sincos = − tg ∡ . (3-13)

p

a

bc

d

o

p

a

bc

d

o2φ

φφ π2−φ

Рис. 3⋄9. Двойное отношение наокружности.

Рис. 3⋄10. [ , , , ] = − tg .

3.4. Движения. Отображение ∶ 𝔸 → 𝔸 называется движением или изометрией, если оносохраняет расстояние, т. е. | − | = | ( ) − ( )| для любых двух точек , ∈ 𝔸 . Посколькукаждый отрезок [ , ] является ГМТ , таких что1 | − | + | − | = | − |, каждое движе-ние биективно переводит любой отрезок [ , ] в отрезок [ ( ), ( )] той же длины. Поэтомувсе движения биективны и переводят прямые в прямые. По сл. 2.2 на стр. 32 движения являют-ся аффинными преобразованиями. В частности, каждое движение однозначно определяетсясвоим действием на любой треугольник.

Упражнение 3.12. Докажите школьные признаки конгруэнтности треугольников по трём сто-ронам, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по двум сторонам и углу между ними,т. е. покажите, что в этих трёх случаях единственное аффинное преобразование, переводя-щее вершины одного треугольника в соответствующие вершины другого, является движе-нием.

Движения образуют в аффинной группе Aff( ) подгруппу, которая называется группой движе-ний или группой изометрий евклидова аффинного пространства ( ) и обозначается Isom( ) ⊂Aff( ). Группа параллельных переносов , очевидно, содержится в Isom( ).

3.4.1. Линейные ортогональные преобразования. Если произвольным образом зафикси-ровать начальную точку ∈ 𝔸( ), по предл. 2.5 разложить движение ∶ 𝔸( ) → 𝔸( ) в ком-позицию = ∘ параллельного переноса на вектор = ( ) и оставляющего точкуна месте отображения ∶ ↦ + ( ) , построенного по линейному преобразованию

= ∶ ⥲ векторного пространства , то преобразование = − ∘ тоже будетдвижением. Поэтому линейный автоморфизм ∈ GL( ) сохраняет длины векторов, а значит2,и скалярные произведения:

( � ( ), ( )) � = (| ( + )| − | ( )| − | ( )| )∕ = (| + | − | | − | | )∕ = ( , )1См. прим. 3.2 на стр. 36.2См. 3-1 на стр. 33.

3.4. Движения 41

для всех , ∈ . Такие линейные преобразования евклидова пространства называютсяортогональными или изометрическими. Поскольку ортогональное преобразование переводитортонормальный базис в ортонормальный, оно с точностью до знака сохраняет евклидову пло-щадь, а значит имеет определитель1 ± . Ортогональные преобразования определителя + со-храняют ориентацию и называются собственными или специальными, а преобразования опре-делителя − меняют ориентацию и называются несобственными.

Пример 3.6 (отражения)

Всякий ненулевой вектор ∈ задаёт несобственное ортогональное преобразование, котороеназывается отражением2 относительно проходящей через начальную точку перпендикуляр-но вектору прямой ℓ = ⊥, задаваемой уравнением ( , ) = . Мы будем обозначать этоотражение через ℓ или же , где вектор нормален к прямой3. Отражение ℓ переводит век-тор ∈ в такой вектор ℓ( ), ортогональная составляющая которого относительно вектората же, что и у , а ортогональная проекция на имеет противоположный знак (см. рис. 3⋄11),т. е. ℓ( ) ⊥ = ⊥ , а ℓ( ) = − , или, что то же самое,

( ) = − ( , )( , ) ⋅ . (3-14)

(n,v)

(n,n) · n

ℓ =n⊥

σℓ(v)

e1

e2 f1 = σℓ(e1)

f2 = σℓ(e2)

n

vРис. 3⋄11. Отражение ℓ.

Упражнение 3.13. Проверьте прямым вычислением, что ℓ сохраняет скалярные произведе-ния, и что для пропорциональных векторов = формула (3-14) задаёт одно и то жепреобразование = = ℓ, где ℓ = ⊥ = ⊥.

1См. упр. 2.4 на стр. 29.2В школьном курсе его также называют осевой симметрией.3Если, как в этом примере, отражение понимается как линейное преобразование векторного про-

странства , то второе обозначение обычно удобнее, хотя и не вполне корректно: пользуясь им, сле-дует помнить, что = , когда и пропорциональны. Если отражение рассматривается на аффин-ной евклидовой плоскости, то удобнее первое обозначение ℓ, поскольку аффинная прямая не задаётсяоднозначно своим вектором нормали.


Каждое несобственное ортогональное преобразование является отражением: если пере-водит единичный вектор в вектор , то переводит вектор , дополняющий до по-ложительно ориентированного ортонормального базиса, в вектор , дополняющий до от-рицательно ориентированного базиса, как на рис. 3⋄11. Отражение − относительно тойдиагонали ромба, натянутого на векторы и , что перпендикулярна1 диагонали − , со-единяющей их концы, переводит в , а — в вектор, образующий с отрицательно ори-ентированный ортонормальный базис, то есть — по упр. 3.5 — в . Поэтому − = . Изсказанного также вытекает, что любые два вектора , одинаковой длины переводятся друг вдруга отражением (см. рис. 3⋄11), матрица которого в положительно ориентированном базисе( , ) с сонаправленным вектором имеет вид

(cos sinsin − cos ) , где = ∡( , ) . (3-15)

Пример 3.7 (поворот)

Каждое собственное линейное ортогональное преобразование ∶ → является поворотом:если переводит единичный вектор в , то вектор , дополняющий до положитель-но ориентированного ортонормального базиса, перейдёт в вектор , дополняющий тожедо положительно ориентированного базиса, как на рис. 3⋄12, и именно так действует на и

поворот на ориентированный угол = ∡( , ). Матрица такого поворота в базисе ,имеет вид

(cos − sinsin cos ) , где = ∡( , ) (3-16)

Мы будем обозначать поворот на угол против ЧС через или через , , если важно указатьнеподвижную точку поворота.

ϑ

ϑπ2− ϑ

f1

f2

e1

e2

𝜎 (𝑢 )

𝑢 = 𝜎 (𝑢 )

𝑢𝜎 𝜎 (𝑢 )

𝜎 𝜎 (𝑢 )

Рис. 3⋄12. Поворот. Рис. 3⋄13. Композиция отражений.

Упражнение 3.14.Убедитесьпрямымвычислением, что любая вещественнаяматрицаразмера× , столбцы которой образуют ортонормальный базис в ℝ относительно стандартной

евклидовой структуры2, имеет либо вид (3-15), либо вид (3-16).

Пример 3.8 (композиция отражений)

Из рис. 3⋄13 видно, что последовательное выполнение отражений , — сначала относи-тельно прямой с вектором скорости , а затем — относительно прямой с вектором скорости

1См. упр. 3.4 на стр. 36.2См. прим. 3.1 на стр. 33.

3.4. Движения 43

—приводиткповороту внаправленииот к на удвоенныйуголмежду этимивекторами:если выбрать в качестве базиса в векторы и , то каждыйиз них повернётся на указанныйугол, а поскольку и поворот, и композиция отражений являются линейными преобразованиямипространства , из того, что они одинаково действуют на базис, вытекает, что они одинаководействуют и на любой другой вектор1.

3.4.2. Движения аффинной евклидовой плоскости. Согласно предыдущему, всякое соб-

u

u

ϑ

ϑ

B

O F (O)

C

Рис. 3⋄14. = ∘ , = , .

ственное движение аффинной евклидовой плоскости является композицией = ∘, поворота вокруг некоторой точки

со сдвигом на некий вектор , а всякоенесобственное движение — компози-цией = ∘ ℓ отражения относитель-но некой прямой ℓ со сдвигом на некото-рый вектор .

В первом случае, если поворот ,происходит на ненулевой угол , движе-ние имеет неподвижную точку —конец вектора , отложенного на плос-кости так, чтобы он был виден из точ-ки под нормальным углом2 − , см.рис. 3⋄14. Стало быть, = , является поворотом на угол вокруг , ибо и и , оставля-ют на месте, одинаково действуют на и являются собственными.

Упражнение 3.15. Найдите координаты точки относительно положительно ориентирован-ного ортонормального репера ( , , ), в котором сонаправлен .

Во втором случае, движение = ∘ ℓ является композицией = ℓ ∘ ∕ (ℓ) отраже-

v

n w/2

w/2

wn

wℓ

O

F (O)

ℓ

τw/2(ℓ)

DF (v)

DF (n)

Рис. 3⋄15. = ∘ ℓ = ℓ ∘ ∕ (ℓ).

ния относительно сдвинутой на половину вектора прямой ∕ (ℓ) и коммутирующего с обо-ими отражениями сдвига на ортогональную проекцию

ℓ вектора на прямую ℓ, ибо обе композиции одина-ково действуют на аффинный репер ( , , ), в котором

∈ ℓ — любая точка, а , ∈ — единичные векто-ры скорости и нормали к прямой ℓ, см. рис. 3⋄15. Дви-жение вида ,ℓ ≝ ∘ ℓ = ℓ ∘ , где ||ℓ, называет-ся скользящей симметрией. Представление несобствен-ного движения скользящей симметрией предпочтитель-нее тем, что отражение и сдвиг в нём перестановочныдруг с другом, а само представление единственно: пря-мая ℓ однозначно определяется преобразованием какгеометрическое место середин отрезков [ , ( )], а зна-

чит, и сдвиг = ∘ ℓ = ℓ ∘ тоже однозначно определяется по . Суммируя сказанное, мыполучаем следующее классическое описание движений плоскости.

Теорема 3.1 (теорема Шаля3)

Всякое собственное движениеплоскости является сдвигомилиповоротом, а всякоенесобствен-

1См. n∘ 2.4 на стр. 28.2Т. е. в виде диагонали = ромба с вершиной в и ориентированным углом ∡( , ) = − , где

, = .


ное — скользящей симметрией. �

Упражнение 3.16. Покажите, что композиция отражения относительно прямой ℓ с последую-щимотражениемотносительно параллельной ейпрямой ℓ является сдвигомна удвоенноерасстояние между этими прямыми вдоль вектора их общей нормали, направленного от ℓк ℓ .


Любое собственное движение может быть (многими способами) разложено в композицию двухотражений, а несобственное — трёх. �

3.5. Комплексные числа.На евклидовой плоскости с фиксированным ортонормальным репе-ром имеется структура поля. Это поле обозначается ℂ и называется полем комплексных чисел.Начало координат является нулём поля ℂ и обозначается через . Базисные векторы принятообозначать и , первый из них является единицей поля ℂ. Точки ∈ ℂ отождествляются сих радиус-векторами = , и в разложении такого вектора по базису , единицу обычно непишут. Таким образом, запись

= + = | | ⋅ (cos + sin ) ≝ ⋅ + ⋅

O

S1={(x,y) | x2+y2=1}

={z : |z|=1}

z = x · 1 + y · i

|z|=√

x2+y2

Arg(z)=α+2πk , k∈Z

z−1

i

1

α

−α

x = Re(z)

y = Im(z)

|z−1|=|z|−1 , Arg(z−1)=−α+2πk , k∈Z

Рис. 3⋄16. Комплексное число = + .

означает комплексное число ∈ ℂ с координатами ( , ) относительно раз и навсегда зафикси-рованного ортонормального репера ( , , ). Это числонаходитсяна расстоянии | | = √ +от начала координат и образует ориентированный угол = ∡( , ) с первым базисным векто-ром , см. рис. 3⋄16. Длина | | называется модулем, а ориентированный угол — аргументом

3Michel Floreal Chasles (15.XI.1793 – 18.XII.1880) — выдающийся французский геометр.

3.5. Комплексные числа 45

числа . Аргумент также обозначают Arg( ) ≝ { + | ∈ ℤ} , имея при этом в виду ориен-тированную длину дуги единичной окружности— вещественное число, определённое с точно-стью до целого числа оборотов. Координаты и называют действительнойимнимой частямичисла ∈ ℂ и обозначают через Re( ) = , Im( ) = .

Сложение комплексных чисел определяется как сложение радиус-векторов: + есть точ-ка, радиус вектор которой равен сумме радиус-векторов точек и . В координатах это описы-вается формулой ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) ⋅ . Произведение комплексныхчисел и определяется как число, модуль которого равен произведению модулей, а аргу-мент — сумме аргументов сомножителей:

| | ≝ | | ⋅ | |Arg( ) ≝ Arg( ) + Arg( ) = { + | ∈ Arg( ) , ∈ Arg( )}

По сложению комплексные числа образуют абелеву группу, изоморфную группе векторов ев-клидовой плоскости. Ненулевые комплексные числа образуют абелеву группу по умножению.Нейтральным элементом является первый базисный вектор . Обратным к ненулевому ∈ ℂявляется число с обратныммодулемипротивоположнымаргументом: | − | = | |− ,Arg( − ) == − Arg( ) , см. рис. 3⋄16. Чтобы убедиться в том, что ℂ поле, остаётся проверить дистрибутив-ность, т. е. что ( + ) = + для всех , , ∈ ℂ. На геометрическом языке это означает,что отображение умножения ∶ ℂ → ℂ, ↦ , на фиксированное число ∈ ℂ аддитивно,т. е. ( + ) = ( ) + ( ). Но это отображение— поворотная гомотетия, т. е. композицияповорота на угол Arg( ) вокруг точки и умножения всех векторов евклидовой плоскости навещественное число | |. Поскольку и поворот, и гомотетия линейны, линейно и отображение

. Мы получаем


Комплексные числа образуют поле. �

3.5.1. Алгебраическое представление комплексных чисел. Порождённая первым базис-нымвекторомкоординатнаяпрямаяℝ⋅ ⊂ ℂ составляетподполе, изоморфноеполювеществен-ных чисел: при ограничении на эту прямую правило умножения комплексных чисел превраща-ется в обычное правило умножения вещественных чисел1. Разложение = ⋅ + ⋅ = +вектора ∈ ℂ по базису превращается в равенство в поле ℂ, если понимать в нём числа , ∈ ℝкак точки координатной прямой ℝ ⋅ ⊂ ℂ, а сложение и умножение — как сложение и умно-жение комплексных чисел. Из определения умножения вытекает, что второй базисный векторудовлетворяет соотношению = − . Пользуясь этим соотношением и дистрибутивностью,

можно описать произведение комплексных чисел = + и = + алгебраическойформулой

= ( + )( + ) = ( − ) + ( + ) . (3-17)

Обратное к числу = + число − так же легко выражается через и :

− = + = −( + )( − ) = −

+ = | | − | | , (3-18)

откуда Re ( − ) = Re( )/| | и Im ( − ) = − Im( )/| | . Число ≝ − называется комплексносопряжённым к числу = + . В терминах комплексного сопряжения формулу для обратного

1Т. е. в «минус на минус даёт плюс» и т. п.


числа можно записать в виде − = /| | . Геометрически, комплексное сопряжение ↦представляет собою симметрию комплексной плоскости относительно вещественной оси .С алгебраической точки зрения сопряжение является инволютивным автоморфизмом поля ℂ,т. е. = и + = + , = для всех , , ∈ ℂ.

Упражнение 3.17. Покажите, что следующие свойства автоморфизма ∶ ℂ ⥲ ℂ эквивалент-ны: а) (ℝ) ⊂ ℝ б) является линейным преобразованием двумерного векторногопространства ℂ над полем ℝ в) либо тождественен, либо является комплексным сопря-жением.

3.6. Преобразования подобия.Отображение ∶ 𝔸 → 𝔸 евклидовой аффинной плоскости всебя называется преобразованием подобия или просто подобием, если оно изменяет все длины вфиксированное число раз, т. е. когда существует такая положительная вещественная константа

= ( ), зависящая только от и называемая коэффициентом подобия , что | ( ) − ( )| == | − | для всех точек , ∈ 𝔸 . Подобия образуют группу, которая называется группойподобий. Все движения являются подобиями с коэффициентом 1. Те же аргументы, что и длядвижений1, показывают, что подобия переводят прямые в прямые и, стало быть являются аф-финными преобразованиями.

Упражнение 3.18.Убедитесь в этом, а также в том, что подобияпереводят окружности в окруж-ности.

Подобия, сохраняющие ориентацию, называются собственными, а оборачивающие ориента-цию— несобственными.

Лемма 3.1

Собственные подобия сохраняют ориентированные углы, а несобственные изменяют знак ори-ентированных углов.

Доказательство. Беря композицию подобия с параллельным переносом, мы можем и будемсчитать, что оно сохраняет начало координат, т. е. является линейным преобразованием под-лежащего векторного пространства. Тогда для любых двух векторов ,

( � ( ), ( )) � = |� ( ) + ( )|� − |� ( ) − ( )| � == |� ( + )|� − |� ( − )|� = ( �| + | − | − | ) � = ( , ) , (3-19)

откуда cos ∡( � ( ), ( )) � = ( � ( ), ( )) � ∶ ( �| ( )|⋅| ( )|) � = ( , ) ∶ (| |⋅| |) = cos ∡( , ),т. е. ∡( � ( ), ( )) � = ±∡( , ) . �


Каждое собственное подобие вещественной плоскости ℂ является аффинным преобразовани-ем комплексной аффинной прямой 𝔸 (ℂ), т. е. имеет вид ↦ + для некоторых , ∈ ℂ.Каждое несобственное подобие является полуаффинным преобразованием вида ↦ + .Наоборот, все такие преобразования являются подобиями. В частности, группа собственныхподобий вещественной евклидовой плоскости изоморфна аффинной группе комплексной пря-мой.

1См. n∘ 3.4 на стр. 40.

3.7. Проективная прямая и круговые преобразования 47

Доказательство. Пусть — собственное подобие. Беря композицию со сдвигом, мы можеми будем считать, что оставляет нуль на месте. Поскольку преобразование сохраняет ориен-тированные углы и умножает длины векторов на фиксированное положительное число , оноявляется поворотной гомотетией, т. е. умножением на некоторое комплексное число, что дока-зывает первое утверждение. Если — несобственное подобие, то композиция с отражениемотносительно действительной оси, т. е. преобразование ↦ ( ) является собственным подо-бием и по доказанному имеет вид ↦ + . Поэтому ( ) = + . �


Для любых двух пар различных точек ≠ и ≠ имеется единственное собственное подобиепереводящее в и в .

Доказательство. Система уравнений = + , = + имеет в поле ℂ единственноерешение = −

− , = −− . �


Всякое собственное подобие является либо сдвигом, либо поворотной гомотетией.

Доказательство. Аффинное преобразование ↦ + с нетождественным дифференциалом≠ имеет неподвижную точку = ∕( − ) и, стало быть, является поворотной гомотетией

относительно этой точки. �

3.7. Проективная прямая и круговые преобразования. Рассмотрим двумерное векторное

𝑢

𝑝

𝑢

𝑝

𝑢𝑝

𝑢 𝑝𝑢 𝑝

0

𝑢∞

𝑈

Рис. 3⋄17. Изображения точекпроективной прямой ℙ( ) ваффинной карте ⊂ 𝔸( ).

пространство над произвольным полем 𝕜. Множество одномерных векторных подпро-странств в называется проективной прямой над полем 𝕜 и обозначается ℙ (𝕜) или ℙ( ).Таким образом, точками проективной прямой ℙ( ) являются ненулевые векторы ∈ ,рассматриваемые с точностью до пропорциональности,или, что то же самое, проходящие через начальную точ-ку прямые = { | ∈ 𝕜} на аффинной плоскости𝔸 = 𝔸( ). Иначе точки проективной прямойℙ( )мож-но воспринимать как направления на аффинной плос-кости 𝔸( ). Чтобы наблюдать их в виде «обычных» то-чек, внутрь плоскости 𝔸 следует поместить экран —какую-нибудь не проходящую через начальную точкуаффинную прямую ⊂ 𝔸 , как на рис. 3⋄17, и сопо-ставить проходящей через прямой точку её пересе-чения = ∩ с этим экраном. Всякий такой экран

⊂ 𝔸( ) называют аффинной картой на проективнойпрямой ℙ( ), а точки = ∩ называются изоб-ражениями точек ∈ ℙ в аффинной карте . В лю-бой аффинной карте ⊂ 𝔸( ) изображаются все точ-ки проективной прямой ℙ( ) за исключением одной—направления самой прямой , т. е. одномерного вектор-ного подпространства в , порождённого вектором ско-рости прямой . Эта единственная невидная в карте точка обозначается ∞ и называетсябесконечно удалённой точкой аффинной карты . Таким образом, как множество, проективная


прямая ℙ = 𝔸 ⊔ ∞ является дизъюнктным объединением аффинной прямой 𝔸 и ещё одной,бесконечно удалённой точки ∞.

3.7.1. Однородная и аффинные координаты. Если фиксировать в векторном простран-

(1 ∶ 𝑤)(𝑧 ∶ 1)

𝑒

𝑒

0

𝑤⋅𝑒

𝑧 ⋅ 𝑒

(𝑥 ∶ 𝑥 )𝑈𝑈

Рис. 3⋄18. Склейка аффинных карт↔ = ∕ .

стве какой-нибудь базис , , то точка проективной прямой, изображающая класс пропор-циональности ненулевого вектора = ⋅ + ⋅ , однозначно характеризуется отношениемкоординат ∶ вектора в этом базисе. Это отношение называется однородной координатойточки ∈ ℙ . Оно может принимать любое значение из поля 𝕜, а также значение ∞ ≝ ∶ ,где ≠ , отвечающее классу пропорциональности базисного вектора . Нулевому значениюоднородной координаты = ∶ , где ≠ , отвечает класс пропорциональности базисного

вектора . Аффинная карта

≝ + 𝕜 ⋅ = { + | ∈ 𝕜} ,

которая проходит через конец вектора в направле-нии вектора и задаётся в 𝔸 уравнением = , на-зывается аффинной окрестностью нуля. Каждая точка

= ⋅ + ⋅ с конечной однородной коорди-натой = ∶ ≠ ∞ видна в этой карте в виде точки

+ ⋅ . Отношение = ∶ ∈ 𝕜 называетсяаффинной координатой на ℙ в окрестности нуля. Аф-финная карта

≝ + 𝕜 ⋅ = { + | ∈ 𝕜} ,

которая проходит через конец вектора в направлении вектора и задаётся в𝔸 уравнением

z

w = 1/z

N

S

x

Z

W

∅1

Рис. 3⋄19. ℙ (ℝ) ≃ .

= , называется аффинной окрестностью бесконечности. Каждая точка = ⋅ + ⋅ сненулевой однородной координатой ∶ ≠видна в этой карте в виде точки + ⋅ , где

= ∶ = ∕ ∈ 𝕜. Число называетсяаффинной координатой на ℙ в окрестности беско-нечности. состоит из всех точек вида + ⋅ .Координата ∈ 𝕜 точки такого вида называет-ся аффинной координатой в окрестности нуля. Пе-ресечение карт ∩ состоит из всех ∈ ℙс конечными ненулевыми однородными координа-тами ∶ = ∶ = ∶ . Аффинные коорди-наты и таких точек отличны от нуля и обратныдруг другу: = ∕ , см. рис. 3⋄18.

Таким образом, проективную прямую ℙ мож-но воспринимать как результат склейки двух аффинных прямых𝔸 , на которых зафиксированыаффинные координаты и соответственно. Склейка производится по дополнениям до началкоординат и отождествляет точки с координатами и = ∕ .

Пример 3.9 (окружность ℙ (ℝ))

Если основное поле 𝕜 = ℝ, то результат описанной выше склейки можно представлять себекак окружность диаметра , склеенную из двух диаметрально противоположных касательных


прямых, каждая из которых проектируется на окружность из точки, диаметрально противопо-ложной к точке своего касания, как на рис. 3⋄19. В самом деле, беря точки касания за началакоординат на каждой из касательных, из подобия прямоугольных треугольников ина рис. 3⋄19 мы заключаем, что точка с координатой на верхней касательной и точка скоординатой на нижней проектируются в одну и ту же точку окружности , если и только если

= ∕ . Такое отождествление пополненной числовой прямой ℙ (ℝ) = ℝ ⊔ ∞ c окружностьюхорошо согласуется с тем представлением о бесконечности, которое принято вматематическоманализе: стремление к бесконечности координаты на верхней числовой прямой с рис. 3⋄19означает стремление к нулю координаты = ∕ на нижней, и маленькие -окрестности точкина окружности выглядятна верхнейчисловойпрямойв виде дополненийдо большихотрезков

[− ∕ , ∕ ], которые используются как «окрестности бесконечности» в анализе.

𝑥

𝑧 = 1 ∕ 𝑤

𝑤 = 1 ∕ 𝑧

1

𝒊

1

𝒊

𝑁

𝑆

𝑈 ≃ ℂ

𝑈 ≃ ℂ

Рис. 3⋄20. ℙ (ℂ) ≃ .

Пример 3.10 (сфера Римана ℙ (ℂ))

При 𝕜 = ℂ в результате склейки двух аффинных прямых 𝔸 = ℂ вдоль дополнений до нуля поправилу ↔ ∕ получится сфера, поскольку, как и в предыдущем примере, сфера диаметраявляется результатом склейки друг с другом двух диаметрально противоположных касатель-

ных плоскостей, каждая из которых стереографически проектируется на сферу из точки, диа-метрально противоположной к точке своего касания со сферой, как на рис. 3⋄20. В самом деле,если за начала отсчёта в каждой из плоскостей принять точку касания, а векторы , ∈ ℂ напра-вить так1, как на рис. 3⋄20, то комплексные числа и из разных плоскостей проектируются водну и ту же точку сферы, если и только если2 Arg = − Arg и | | = ∕| |, т. е. когда = ∕в ℂ. По этой причине комплексную проективную прямуюℙ (ℂ) часто называют сферой Римана,а также пополненной комплексной плоскостью.

3.7.2. Дробно линейные преобразования. Группа GL( ) линейных автоморфизмов про-странства переводит одномерные векторные подпространства в одномерные подпростран-ства и таким образом действует на проективной прямой ℙ = ℙ( ). В терминах однородных

1Обратите внимание, что ориентацииплоскостей при этом согласованы в том смысле, что одну из нихможно непрерывным перекатыванием по поверхности сферы совместить с другой так, что ориентациибудут одинаковыми.

2Первое очевидно из рис. 3⋄20, второе — из рассмотрения сечения рис. 3⋄20 плоскостью , кото-рое было представлено на рис. 3⋄19 выше.


координат, линейное отображение ∶ → , действующее на базис , по правилу1

∶ ( , ) ↦ ( , ) ⋅ ( )

переводит точку ∈ ℙ с однородными координатами ∶ в точку

( ) ⋅ ( ) = (++ ) .

В терминах аффинной координаты = ∕ в окрестности нуля, это действие описываетсяформулой ↦ ( + )∕( + ) и называется дробно линейным преобразованием. Два линей-ных отображения , ∶ → задают одно и то же дробно линейное преобразование , еслии только если они пропорциональны, т. е. различаются на гомотетию: = , где ∈ 𝕜 ∖ .Согласно упр. 2.1 любые три различные точки наℙ переводятся в любые три различные точкиединственным дробно линейным преобразованием. Например, дробно линейное преобразова-ние, переводящее три заданных различных точки , , в ∞, , имеет вид

↦ −− ∶ −

− .

Образ точки при таком преобразовании равен двойному отношению2

−− ∶ −

− = −− ∶ −

− = [ , , , ] . (3-20)

Упражнение 3.19. Не опираясь на предл. 2.4 на стр. 26, докажите, что две упорядоченных чет-вёрки точек на ℙ тогда и только тогда переводятся одна в другую дробно линейным пре-образованием, когда их двойные отношения одинаковы.

3.7.3. ГруппаМёбиуса. Дробно линейные преобразования комплексной проективной пря-мой ℙ (ℂ), а также преобразования вида ↦ ( + )∕( + ), которые являются компози-циями дробно линейных преобразований с симметрией ↦ относительно действительнойоси, называются, соответственно, собственными и несобственными мёбиусовыми преобразова-ниями. По упр. 3.19 каждое собственное мёбиусово преобразование сохраняет двойные отно-шения четвёрок различных точек

[ , , , ] = −− ∶ −

−

и однозначно определяется своим действием на любые три различные точки. Несобственныемёбиусовы преобразования комплексно сопрягают двойные отношения.

Упражнение 3.20. Покажите, что четыре различных комплексных числа лежат на одной пря-мой или окружности , если и только если их двойное отношение вещественно.

Поэтому мёбиусовы преобразования переводят прямые и окружности в прямые или окружно-сти.

1Т. е. переводящее векторы и , соответственно, в векторы ⋅ + ⋅ и ⋅ + ⋅ . Разъяснениематричных обозначений см. в n∘ 2.4 на стр. 28.

2См. n∘ 1.6.2 на стр. 22.


3.7.4. Иверсии. Для произвольной окружности ⊂ ℂ радиуса с центром в точке ∈ ℂмёбиусово преобразование ∶ ℙ (ℂ) → ℙ (ℂ), действующее по правилу

∶ ↦ + − = + | − | ⋅ ( − ) , (3-21)

называется инверсией относительно окружности . Инверсия оставляет на месте все точкиокружности , переводит друг в друга центр и ∞, а каждую конечную точку ≠ отображаетв такую точку ′ луча ] , ), что | ′ − | ⋅ | − | = . Например, инверсия относительноединичной окружности с центром в нуле = { ∈ ℂ ∶ | | = } действует по правилу ↦

∕ , сохраняя аргументы и оборачивая модули. Будучи мёбиусовым преобразованием, любаяинверсия переводит прямые и окружности в прямые или окружности.

Упражнение 3.21. Убедитесь, что каждая проходящая через прямая преобразуются инверси-ей в себя, не проходящая через прямая ℓ— в проходящую через окружность с центромна опущенном из перпендикуляре к ℓ, а не проходящая через окружность — в окруж-ность с центром на линии центров и .


Каждая инверсия сохраняет абсолютные величины углов1 между прямымии окружностями,но меняет ориентацию этих углов на противоположную, см. рис. 3⋄21.

Доказательство. Так как через любые три различ-

𝑎𝑏𝑐

𝐶 ℓ

ℓ

Рис. 3⋄21. Инверсия сохраняетабсолютные величины углов и обращает

их ориентацию.

ные неколлинеарные точки проходит единственнаяокружность, каждая окружность, проходящая черезинверсные относительно заданной окружноститочки и ′ = ( ) переводится инверсиейв себя. Для любой проходящей через точку пря-мой ℓ существует единственная проходящая черези ′ окружность, касающаяся прямой ℓ в точке .

Угол между двумя такими окружностями, касающи-мися прямых ℓ и ℓ в точке , равен углу, под ко-торым эти же окружности пересекаются в точке ′,причём эти углы имеют противоположную ориен-тацию, см. рис. 3⋄21. Это доказывает предложениедля углов с вершиной вне окружности . Для угловс вершиной на предложение вытекает из того, чтоинверсия является композицией инверсии отно-сительно окружности вдвоеменьшего радиуса с темже центром и гомотетии с центром в и коэффициентом . �


Точки и тогда и только тогда инверсны относительно окружности , когда все проходящиечерез и окружности, а также прямая ( ) перпендикулярны окружности , см. рис. 3⋄22.

1Под угломмежду пересекающимися окружностями (соотв. прямойи окружностью) понимается уголмежду их касательными (соотв. между прямой и касательной к окружности) в точке их пересечения.


Доказательство.Если точки и инверсны, то любаяпроходящаячерез нихокружность пере-водится инверсией в себя, поскольку через точки , и ∩ проходит единственная окруж-ность. Поскольку инверсия меняет ориентацию окружности на противоположную, уголмежду окружностями и в каждой из точек пересечения ∩ равен смежному с ним углу,т. е. является прямым. Наоборот, путь прямая ( ) и какая-нибудь проходящая через точкии окружность перпендикулярны окружности . Первое означает, что точки , , колли-неарны, а второе — что степень1 центра окружности относительно этой окружности содной стороны равна квадрату радиуса окружности , а с другой стороны — произведению| , | ⋅ | , |, откуда | , | ⋅ | , | = , см. рис. 3⋄23. �

𝑎

𝑏

𝑐𝐶

Рис. 3⋄22. Отражение относительно окружности.

Упражнение 3.22 (теорема о степени точки относительно окружности). Покажите, что длялюбой проходящей через точку прямой, пересекающей окружность радиуса с центром вточке в точках2 и , как на рис. 3⋄23, выполняется равенство | , | ⋅ | , | = | , | − .

𝜚

𝜚 𝜚

𝑟

𝑎

𝑏

𝑝𝑐

𝐶

Рис. 3⋄23. Степень | , | − точки относительно окружности радиуса с центромв точке равна = | , | ⋅ | , |.

1Напомню, что степенью точки относительно окружности радиуса с центром в точке называетсяразность | , | − , см. рис. 3⋄23, а также n∘ 6.5.2 на стр. 101 ниже.

2Если прямая касается окружности в точке , то мы полагаем = = .


Замечание 3.1. Предыдущее сл. 3.8 оправдывает другое общепринятое название для инверсии— «отражение относительно окружности », ибо точки и симметричны относительно

прямой ℓ , если и только если все проходящие через и окружности перпендикулярны ℓ, ср.рис. 3⋄22 и рис. 3⋄24.

𝑎

𝑏

ℓ

Рис. 3⋄24. Отражение относительно прямой.

Упражнение 3.23. Пусть прямая или окружность инверсна прямой или окружности отно-сительно окружности . Покажите, что отражения , и связаны соотношением

= .

Теорема 3.2 (группа круговых преобразований)

Группамёбиусовыхпреобразований комплекснойпроективнойпрямойℙ (ℂ)порождается1 от-ражениямиотносительнопрямыхиокружностей.Приэтомсобственныемёбиусовыпреобразо-вания сохраняют углы и ориентацию, а несобственные сохраняют абсолютные величины углови обращают ориентацию.

Доказательство. Формула (3-21) показывает, что инверсии являются несобственными мёби-усовыми преобразованиями.

Упражнение 3.24.Убедитесь, чтоотраженияотносительнопрямыхтакжеявляютсянесобствен-ными мёбиусовыми преобразованиями.

Поэтому группа, порождённая отражениями относительно прямых и окружностей, лежит в мё-биусовой группе. С другой стороны, собственные дробно линейные преобразования суть ком-позиции преобразований вида ↦ ∕ , ↦ и ↦ + . Первое из них является ком-позицией инверсии с отражением, последнее — композицией двух отражений относительнопараллельных прямых. Поворотная гомотетия ↦ есть композиция поворота, расклады-вающегося в композицию двух отражений, и гомотетии, которая является композицией двухинверсий относительно концентрических окружностей.

Упражнение 3.25. Каков радиус окружности, инверсия относительно которой в композиции споследующей инверсией относительно окружности единичного радиуса с тем же центромявляется гомотетией с коэффициентом относительно этого центра?

1Т. е. любой элемент этой группы является композицией конечного числа отражений относительноокружностей и прямых


Это доказывает первое утверждение. Второе утверждение следует из того, что собственное мё-биусово преобразование является композицией поворотов, гомотетий, параллельных перено-сов и преобразования ↦ ∕ , и все эти преобразования сохраняют углы и ориентацию,а несобственное мёбиусово преобразование является композицией отражения относительнодействительной оси с последующим собственным мёбиусовым преобразованием. �

Упражнение 3.26. Напишите какое-нибудь собственное мёбиусово преобразование, перево-дящее единичный круг | | ⩽ в верхнюю полуплоскость Re( ) ⩾ .

§4. Многомерие

4.1. Базисы и размерность. Рассмотрим произвольное векторное пространство над любымполем 𝕜. Будем говорить, что вектор ∈ линейно выражается через векторы , , … , ,если = + + ⋯ + для некоторых ∈ 𝕜. Правая часть этой формулы на-зывается линейной комбинацией векторов ∈ с коэффициентами ∈ 𝕜. Набор векторов

, , … , ∈ называется порождающим векторное пространство , если каждый вектор∈ линейно через него выражается. Векторное пространство, порождённое конечным на-

бором векторов, называется конечномерным. Порождающий набор векторов , , … , ∈называется базисом векторного пространства , если любой вектор ∈ линейно выражаетсячерез него единственным образом, т. е. если из равенства

+ + ⋯ + = + + ⋯ +

вытекает, что = для всех . Коэффициенты единственного линейного выражения

= + + ⋯ +

называются координатами вектора в базисе , , … , . Например, в координатном вектор-ном пространстве 𝕜 из прим. 1.2 на стр. 9 векторов

= ( , … , , , , … , ) , ⩽ ⩽ , (4-1)

с единицей на -том месте и нулями в остальных местах образуют базис, поскольку произволь-ный вектор ∈ 𝕜 линейно выражается через них единственным способом:

= ( , , … , ) = + + ⋯ + . (4-2)

Базис (4-1) называются стандартным базисомкоординатногопространства𝕜 . Вскоремыубе-димся, что любое конечномерное векторное пространство обладает базисом, причём все ба-зисы в состоят из одинакового числа векторов. Это число называется размерностью вектор-ного пространства и обозначается dim . Таким образом, dim𝕜 = .

4.1.1. Линейная зависимость. Векторы , , … , ∈ называются линейно независи-мыми, если из равенства

+ + ⋯ + = (4-3)

вытекает, что все = . Наоборот, если существует линейная комбинация (4-3), в которойхоть один коэффициент ≠ , то векторы , , … , называются линейно зависимыми. Ес-ли между векторами есть линейная зависимость, то каждый вектор, входящий в неё с ненуле-вым коэффициентом, линейно выражается через остальные векторы. Например, если ≠ влинейной зависимости (4-3), то

= − − − ⋯ − −− .

Наоборот, любое линейное выражение вида = + + ⋯ + − − можно вос-принимать как линейную зависимость + + ⋯ + − − − = . В частности,любой набор векторов, содержащий нулевой вектор, линейно зависим: ⋅ + ⋅ = дляпроизвольного ∈ .

55

56 §4Многомерие

Лемма 4.1

Порождающийвекторное пространство набор векторов { } является базисом тогда и толькотогда, когда он линейно независим.

Доказательство.Если∑ = ине все нулевые, то любой вектор = ∑ допускает дру-гое выражение = ∑( + ) через векторы . Наоборот, любые два различных разложения

= ∑ = ∑ влекут линейную зависимость ∑( − ) = . �

Лемма 4.2 (лемма о замене)

Если векторы , , … , порождают пространство , а , , … , ∈ линейно незави-симы, то ⩾ и векторы можно перенумеровать так, что набор векторов

, , … , , + , + , … , ,

полученный заменой первых из них на векторы , тоже порождает .

Доказательство.Пусть = + +⋯+ . Так как векторы линейнонезависимы,≠ и среди коэффициентов есть хоть один ненулевой. Перенумеруем векторы так,

чтобы ≠ . Поскольку вектор линейно выражается через и , … , :

= − − ⋯ − ,

векторы , , , … , порождают .Далее действуемпоиндукции.Пусть для очередного< векторы , , … , , + , + , … , порождают . Тогда

+ = + + ⋯ + + + + + + + + ⋯ + .

В силу линейнойнезависимости векторов вектор + нельзя линейно выразить только черезвекторы , , … , . Поэтому в предыдущем разложении присутствует с ненулевым коэффи-циентомхоть одиниз оставшихся векторов . Следовательно, > имыможем занумероватьоставшиеся так, чтобы + ≠ . Теперь, как и на первом шагу, вектор + линейно вы-ражается через векторы , , … , + , + , + , … , . Тем самым, эти векторы линейнопорождают , что воспроизводит индуктивное предположение. �

Следствие 4.1 (теорема о базисе)

Все базисы любого конечномерного векторного пространства состоят из одинакового коли-чества векторов, и каждый порождающий набор векторов содержит в себе некоторый базис,а каждый линейно независимый набор векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство. Поскольку векторов в любом линейно независимом наборе не больше, чем влюбомпорождающем, во всех базисах одинаковое число векторов. Если набор векторов порож-дает , то последовательно выкидывая из него векторы, линейно выражающиеся через осталь-ные, мы придём к линейно независимому порождающему набору, т. е. к базису. Если задан ли-нейно независимый набор векторов и в пространстве есть вектор, который линейно не выра-жается через этотнабор, то, добавляя такойвектор кнабору,мыполучимлинейнонезависимыйнабор векторов на единицу большей длины.По лем. 4.2 длины линейно независимыхнаборов вконечномерном векторном пространстве ограничены сверху. Поэтому после конечного числатаких добавлений мы получим порождающий линейно независимый набор, т. е. базис. �

4.2. Линейные отображения 57


В -мерном векторном пространстве всякий линейно независимый набор из векторов, атакже всякий порождающий набор из векторов являются базисами.

Доказательство. По лем. 4.2 при замене любого базиса любыми линейно независимыми век-торами получится порождающий набор, т. е. тоже базис. По сл. 4.1 любой порождающий набориз векторов содержит в себе некоторый базис. Так как этот базис тоже состоит из векторов,он совпадает с исходным набором. �


Всякое -мерное векторное пространство над полем 𝕜 изоморфно координатному простран-ству 𝕜 . Линейные изоморфизмы 𝕜 ⥲ взаимно однозначно соответствуют базисам в .

Доказательство. Если задан линейный изоморфизм ∶ ⥲ 𝕜 , то векторы1 = ( ) обра-зуют базис пространства , и разным линейным отображениям отвечают разные базисы, по-скольку из равенств ( ) = ( ) для всех вытекает, что и для любого вектора = ∑ ∈

( ) = ( �∑ ) � = ∑ ( ) = ∑ ( ) = ( �∑ ) � = ( ) .

Наоборот, для любого базиса , , … , пространства отображение

∶ 𝕜 → , ( , , … , ) ↦ + + ⋯ + ,

линейно, биективно и переводит в для всех . �

Пример 4.1 (пространство функций)

Множество 𝕜 всех функций ∶ → 𝕜 на произвольном множестве со значениями в произ-вольном поле 𝕜 образует векторное пространство, в котором сложение функций и их умноже-ние на числа задаётся обычными правилами:

+ ∶ ↦ ( ) + ( )∶ ↦ ⋅ ( ) .

Для -элементного множества = { , , … , } пространство функций 𝕜 изоморфно отоб-ражается на координатное пространство 𝕜 сопоставлением функции набора её значений

( � ( ), ( ), … , ( )) �. Этому изоморфизму отвечает базис из -функций ∶ → 𝕜:

( ) ={

при =при ≠ .

�

4.2. Линейные отображения ∶ → между двумя векторными пространствами инад полем 𝕜 также образуют векторное пространство, в котором

+ ∶ ↦ ( ) + ( ) и ∶ ↦ ⋅ ( ) .

Оно обозначается Hom( , ) или Hom𝕜( , ), когда надо подчеркнуть, о каком поле речь.

1Здесь и далее , , … , ∈ 𝕜 обозначает стандартный базис в 𝕜 из формулы форм. (4-1) настр. 55.


4.2.1. Матричные обозначения. Если зафиксировать базисы

, , … , ∈ и , , … , ∈ , (4-4)

и для каждого = , , … , разложить ( ) по базису , , … ,

( ) = ∑=

⋅ , (4-5)

то коэффициенты ( ) этих разложений, организованные в прямоугольную таблицу по тем жеправилам1, как и в n∘ 2.4 на стр. 28

( ( ), ( ), … , ( )) =⎛⎜⎜⎜⎝

……

⋮ ⋮ ⋮ ⋮…

⎞⎟⎟⎟⎠

∈ Mat × . (4-6)

называются матрицей оператора в базисах (4-4). Таблица (4-6) сокращённо обозначается2

или ( ). Она полностью описывает действие линейного отображения на любой вектор= ∑ ∈ , поскольку

( ) = (�∑=

)� = ∑=

( ) ⋅ = ∑=

∑=

⋅ . (4-7)

Если обозначить через

= ( , , … , ) , ( ) = ( � ( ), ( ), … , ( )) � , = ( , , … , )

строки из векторов, а через

=⎛⎜⎜⎜⎝

⋮

⎞⎟⎟⎟⎠

и =⎛⎜⎜⎜⎝

⋮

⎞⎟⎟⎟⎠

столбцы координат векторов и ( ) в базисах и соответственно, то связь между нимиможно описать при помощи матричного умножения равенствами

= , ( ) = , ( ) = ,

и вычисление (4-7) сократится до ( ) = ( ) = ( ) = , откуда = .

Упражнение 4.1. Убедитесь, что при сложении линейных отображений и умножении их начисла матрицы этих отображений поэлементно складываются и умножаются на числа.

1Напомню, что координаты вектора ( ) записываются в -тый столбец.2Индексы и в обозначении указывают на зависимость этой матрицы от выбранных базисов.

Для элемента, стоящего в пересечении -той строки и -того столбца матрицы , мы всегда исполь-зуем обозначение , в котором для экономии места уже нет указаний на базисы, в которых написанаматрица.

4.2. Линейные отображения 59


При любом выборе базисов , , … , ∈ и , , … , ∈ отображение

Hom𝕜( , ) → Mat × (𝕜) , ↦ , (4-8)

является линейнымизоморфизмом векторного пространстваHom𝕜( , ) линейных отображе-ний ∶ → с векторным пространством Mat × (𝕜) ≃ 𝕜 матриц размера × . Вчастности, dim Hom( , ) = dim ⋅ dim .

Доказательство. Вычисление (4-7) и упр. 4.1 показывают, что отображение (4-8) линейно иинъективно. Поскольку любая матрица ( ) задаёт по формуле (4-7) линейное отображение

∶ → , отображение (4-8) сюрьективно. �4.2.2. Ядро и образ. С каждым линейным отображением ∶ → связаны векторные

подпространства

im ≝ ( ) = { ∈ | ∃ ∈ ∶ ( ) = } ⊂ (4-9)

ker ≝ − ( ) = { ∈ | ( ) = } ⊂ . (4-10)

соответственно называемые образом и ядром линейного отображения .

Упражнение 4.2. Убедитесь, что оба множества ker и im действительно являются вектор-ными подпространствами.

Поскольку равенства ( ) = ( ) и ( − ) = для линейного отображения эквивалент-ны, два вектора , ∈ тогда и только тогда переводятся отображением в один и тот жевектор = ( ) = ( ) ∈ im , когда − ∈ ker . Иными словами,

− ( � ( )) � = + ker ,

т. е. полный прообраз любого вектора ∈ im является параллельным сдвигом векторногоподпространства ker на произвольный вектор ∈ − ( ). В частности, мы получаем


Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда ker = . �


Если конечномерно, то для любого линейного отображения ∶ →

dim ker + dim im = dim . (4-11)

Доказательство. Выберем базис , , … , ∈ ker , дополним его векторами , , … ,до базиса в и покажем, что векторы ( ), ( ), … , ( ) образуют базис в im . Они по-рождают образ, т. к. для любого вектора = ∑ + ∑ ∈

( ) = ∑ ( ) + ∑ ( ) = ∑ ( ) .

Они линейно независимы, поскольку равенство = ∑ ( ) = (∑ ) означает, что ∑лежит в ker , т. е. является линейной комбинацией векторов , что возможно только когда все

= . �



Следующие свойства линейного отображения ∶ → из пространства в себя эквивалент-ны друг другу: (1) изоморфизм (2) ker = (3) im = .

Доказательство. Свойства (2) и (3) равносильны друг другу по предл. 4.4, а их одновременноевыполнение равносильно (1) по предл. 4.3. �

4.3. Подпространства. Пересечение любого множества подпространств в произвольном век-торном пространстве также является подпространством в .

Упражнение 4.3. Убедитесь в этом.

Пересечение всех подпространств, содержащих данное множество векторов ⊂ , называ-ется линейной оболочкой множества и обозначается span( ). Это наименьшее по включе-нию векторное подпространство в , содержащее . Иначе его можно описать как множествовсех конечных линейных комбинаций векторов из . В самом деле, все такие линейные ком-бинации, очевидно, образуют векторное пространство и содержатся во всех векторных подпро-странствах, содержащих .

Пример 4.2 (гиперплоскости)

Линейная оболочка = span( , , … , − ) произвольных ( − ) линейно независимых век-торов в -мерном векторном пространстве является ( − )-мерным подпространством. Та-киеподпространстваназываются гиперплоскостями в . Если дополнить векторы некоторымвектором до базиса в и обозначить через = ( , , … , ) координаты относительноэтого базиса, гиперплоскость можно описать как ГМТ удовлетворяющих линейному урав-нению = . Наоборот, ядро любого ненулевого линейного отображения ∶ → 𝕜 пред-ставляет собою гиперплоскость, обозначаемую

Ann ≝ ker = { ∈ | ( ) = } .

В самом деле, если ≠ , то dim im = , а значит, dim ker = ( − ) по предл. 4.4. Таким обра-зом, гиперплоскости в это в точности множества решений линейных однородных уравнений

( ) = для ненулевых линейных отображений ∶ → 𝕜.

Упражнение 4.4. Покажите, что никакое векторное пространство над бесконечным полем неявляется объединением конечного числа своих гиперплоскостей.

4.3.1. Сумма подпространств. Объединение векторных подпространств обычно не явля-ется векторным пространством. Например, прямые = и = являются одномернымивекторными подпространствами координатной плоскости 𝕜 , но сумма лежащих в них векто-ров может не лежать в их объединении, например: ( , ) + ( , ) = ( , ).

Упражнение 4.5. Покажите, что объединение двух подпространств является векторным про-странством , если и только если одно из подпространств содержится в другом.

Линейная оболочка объединения произвольного множества подпространств ⊂ называет-ся суммой подпространств и обозначается

∑ ≝ span ⋃ .

4.3. Подпространства 61

Такимобразом, суммаподпространств состоит из всевозможныхконечных суммвекторов, при-надлежащих этим подпространствам. Например,

+ = { + | ∈ , ∈ }+ + = { + + | ∈ , ∈ , ∈ } и т. д.


Подпространства , ⊂ называются трансверсальными, если ∩ = . Сумма транс-версальных подпространств называется прямой и обозначается ⊕ . Трансверсальные под-пространства и с ⊕ = , называются дополнительными.


Подпространства , ⊂ трансверсальны тогда и только тогда, когда каждый вектор ∈+ имеет единственное представление в виде = + c ∈ и ∈ .

Доказательство. Равенство ′ + ′ = ″ + ″, где ′, ″ ∈ , влечёт равенство

′ − ″ = ″ − ′ ,

левая часть которого лежит в , а правая — в . Поэтому ′ − ″ = ″ − ′ ∈ ∩ . Если∩ = , то ′ = ″ и ′ = ″. Если же пересечение ∩ содержит ненулевой вектор ,

то нулевой вектор ∈ + имеет два различных разложения = + = + (− ). �

Определение 4.2 (прямая сумма набора подпространств)

Сумма конечного набора подпространств , , … , ⊂ называется прямой и обозначается⊕ ⊕ ⋯ ⊕ , если каждый вектор ∈ + + ⋯ + имеет единственное представ-

ление в виде = + + ⋯ + с ∈ . Иначе можно сказать, что сумма подпространств, , … , ⊂ является прямой тогда и только тогда, когда любой набор ненулевых векто-

ров , , … , , где ∈ , линейно независим.

Упражнение 4.6. Покажите, что для того, чтобы сумма подпространств была прямой, необ-ходимо и достаточно, чтобы каждое подпространство было трансверсально сумме всехостальных подпространств.

Например, если векторы , , … , образуют базис пространства , то является прямойсуммой одномерных подпространств, порождённых векторами .

4.3.2. Размерность суммыипересечения.Из теоремыобазисе вытекает, что базис любогоподпространства ⊂ можно дополнить до базиса во всём пространстве, откуда, в частности,следует, что любое подпространство в конечномерном пространстве тоже конечномерно,и dim ⩽ dim . Разность codim ≝ dim − dim называется коразмерностью подпростран-ства в .


Для любых конечномерных подпространств , в произвольном1 векторном пространствевыполняется равенство dim( ) + dim( ) = dim( ∩ ) + dim( + ).1Не обязательно конечномерном.


Доказательство.Выберемкакой-нибудь базис , , … , в ∩ идополнимего векторами, , … , и , , … , до базисов в подпространствах и соответственно. Достаточ-

но показать, что векторы , , … , , , , … , , , , … , образуют базис простран-ства + . Ясно, что они его порождают. Допустим, что они линейно зависимы. Посколькукаждый из наборов , … , , , … , и , … , , , … , в отдельности линейно незави-сим, в линейной зависимости

+ + ⋯ + + + + ⋯ + + + + ⋯ + =

присутствуют как векторы , так и векторы . Перенося , , … , , , , … , в однучасть, а , , … , — в другую, получаем равенство между вектором из и вектором из

, означающее, что этот вектор лежит в пересечении ∩ . Но тогда в его разложении побазисам пространств и нет векторов и — противоречие. �


Для любых подпространств , конечномерного векторного пространства

dim( ∩ ) ⩾ dim( ) + dim( ) − dim( ) .

В частности, ∩ ≠ при dim( ) + dim( ) > dim .

Доказательство. Это вытекает из предл. 4.6 и неравенства dim( + ) ⩽ dim . �


Трансверсальные векторные подпространства , конечномерного векторного простран-ства дополнительны тогда и только тогда, когда dim( ) + dim( ) = dim( ).

Доказательство.При ∩ = , равенство dim( )+dim( ) = dim( ) равносильно равенствуdim( + ) = dim , означающему, что + = . �

4.4. Двойственность. Линейные отображения ∶ → 𝕜 называются линейными функциона-лами1 на пространстве . Они образуют векторное пространство, традиционно обозначаемое

∗ ≝ Hom𝕜( ,𝕜)

и называемое двойственным или сопряжённым к .

Пример 4.3 (функционалы вычисления)

Пусть — любое множество, и = 𝕜 — пространство всех функций → 𝕜, как в прим. 4.1на стр. 57. С каждой точкой ∈ связан функционал вычисления2

ev ∶ 𝕜 → 𝕜 , ↦ ( ) ,

переводящий функцию ∶ → 𝕜 в её значение ( ) ∈ 𝕜 в точке .

Упражнение 4.7. Убедитесь, что отображения ev ∶ 𝕜 → 𝕜 линейны и образуют занумеро-ванный точками ∈ базис пространства ∗, двойственного к пространству = 𝕜 .

1А также линейными формами или ковекторами.2Обозначение ev происходит от «evaluation».

4.4. Двойственность 63

4.4.1. Двойственный базис. С каждым базисом , , … , пространства связан наборкоординатных функционалов ∗ ∈ ∗. Функционал ∗ сопоставляет вектору = ∑ ∈значение -той координаты этого вектора:

∗( + + ⋯ + ) = .

В частности, значения функционала ∗ на базисных векторах суть

∗( ) ={

при =при ≠

� (4-12)

Упражнение 4.8. Убедитесь, что все отображения ∗ ∶ → 𝕜 линейны.

Координатные функционалы ∗, ∗, … , ∗ образуют базис пространства ∗, т. к. каждая линей-ная форма ∶ → 𝕜 единственным способом линейно выражается через них — а именно, скоэффициентами, равными значениям ( ) этой формы на базисных векторах пространства. В самом деле, поскольку два линейных отображения ∶ → 𝕜и = ∑ ∗ ∶ → 𝕜 равны

тогда и только тогда, когда равныих значенияна базисных векторах, и поскольку ( ) = , ра-венство = ∑ ∗ равносильноравенствам ( ) = для всех . В частности, dim = dim ∗.


Базисы ( , , … , ) ∈ и ( ∗, ∗, … , ∗ ) ∈ ∗ называются двойственными базисами двой-ственных пространств и ∗.

4.4.2. Канонический изоморфизм 𝑽 ⥲ 𝑽∗∗. Конечномерные пространства и ∗ играютпо отношению друг к другу абсолютно симметричные роли. А именно, каждый вектор ∈может рассматриваться как функционал вычисления

ev ∶ ∗ → 𝕜 , ↦ ( ) .

Поскольку число ( ) ∈ 𝕜 линейно зависит как от , так и от , сопоставление вектору функ-ционала вычисления ev задаёт каноническое1 линейное отображение

ev ∶ → ∗∗ , ↦ ev , (4-13)

которое переводит любой базис , , … , пространства в базис пространства ∗∗, двой-ственный к базису ∗, ∗, … , ∗ пространства ∗. Такое отождествление ⥲ ∗∗ позволяетрассматривать любую линейную форму ∶ ∗ → 𝕜 как функционал вычисления значенийна некотором векторе ∈ , который однозначно определяется по форме , а любой базис

, , … , пространства ∗ — как набор координатных функционалов ∗ для однозначнозадаваемого формами базиса2 , , … , в пространстве . Чтобы подчеркнуть симмет-рию между векторами и ковекторами, мы будем называть число

⟨ , ⟩ ≝ ( ) = ev ( ) ∈ 𝕜 (4-14)

свёрткой ковектора с ветором .

1Т. е. не прибегающее к фиксации каких-либо дополнительных данных (базиса, скалярного произве-дения и т. п.)

2А именно, для двойственного к , , … , базиса в ∗∗ =


4.4.3. Аннуляторы. Каждое множество ковекторов ⊂ ∗ можно воспринимать как си-стему однородных линейных уравнений ( ) = , ∈ , на вектор ∈ . Множество всехрешений этой системы обозначается

Ann( ) = { ∈ | ( ) = ∀ ∈ } ⊂

и называется аннулятором множества ковекторов ⊂ ∗. Будучи пересечением ядер линей-ных отображений ∶ → 𝕜 по всем ∈ , аннулятор произвольного множества ковекторов

⊂ ∗ всегда является векторным подпространством в .Двойственным образом, для любого множества векторов ⊂ положим

Ann( ) = { ∈ ∗ | ( ) = ∀ ∈ } ⊂ ∗ .

Алгебраически, Ann( ) это множество всех линейных уравнений ( ) = , решения которыхсодержат все векторы из . Геометрически — это множество всех проходящих через гипер-плоскостей в . Вместе с тем, как и выше, Ann( ) ⊂ ∗ есть множество решений системы од-нородных уравнений ev ( ) = , ∈ , на ковектор ∈ ∗ или, что то же самое, пересечениегиперплоскостей Ann( ) ⊂ ∗ по всем ∈ . В частности, Ann( ) является векторным подпро-странством в ∗.

Упражнение 4.9. Убедитесь, что аннулятор любого множества совпадает с аннулятором еголинейной оболочки.


dim + dim Ann = dim для любого подпространства ⊂ .

Доказательство. Выберем базис , , … , ∈ и дополним его векторами , , … ,до базиса в (таким образом, dim = + ) и обозначим через

∗, ∗, … , ∗ , ∗, ∗, … , ∗ ∈ ∗

двойственный базис. Тогда ∗, ∗, … , ∗ ∈ Ann , поскольку для любого = ∑ ∈

∗( ) = ∗ ( + + ⋯ + ) = ∑ ⋅ ∗( ) = .

Так как любой ковектор = ∑ ∗ + ∑ ∗ ∈ Ann имеет = ( ) = , базисные ко-векторы ∗, ∗, … , ∗ линейно порождают Ann , а значит, образуют там базис. Тем самым,dim Ann = = dim − dim . �


Ann Ann = для любого подпространства ⊂ .

Доказательство. ⊂ Ann Ann и по предл. 4.7 dim Ann Ann = dim . �

Замечание 4.1. Для любого подпространства ⊂ ∗ также выполняются равенства

dim + dim Ann = dim и Ann Ann = .

Они получаются, если в предл. 4.7 и сл. 4.6 взять в них взять в качестве двойственное про-странство ∗ и воспользоваться каноническим отождествлением ∗∗ с .

4.5. Аффинные пространства 65

Замечание 4.2. На языке линейных уравнений предл. 4.7 означает, что каждое подпростран-ство коразмерности в можно задать системой из линейно независимых линейных урав-нений, и наоборот, множество решений всякой системыиз линейно независимых уравненийна пространстве представляет собою векторное подпространство коразмерности . А сл. 4.6утверждает, что любая линейная форма, зануляющаяся намножестве решений произвольно за-данной системы линейных однородных уравнений линейно выражается через уравнения этойсистемы.

Упражнение 4.10. Покажите, что Ann Ann = span для любого подмножества ⊂ .

Теорема 4.1

Соответствие ↔ Ann задаёт биекцию между подпространствами дополнительных размер-ностей в двойственных пространствах и ∗. Эта биекция оборачивает включения:

⊂ ⟺ Ann ⊃ Ann ,

и переводит суммы подпространств в пересечения, а пересечения — в суммы.

Доказательство. Обозначим через 𝒮( ) множество всех подпространств векторного простран-ства . Равенство Ann Ann = означает, что отображения, сопоставляющие подпростран-ству его аннулятор в двойственном пространстве:

𝒮( )↦Ann

,, 𝒮( ∗)Ann ↤

ll

обратны друг другу, и следовательно, биективны. Импликация ⊂ ⇒ Ann ⊃ Ann оче-видна. Если взять в ней в качестве и , соответственно, подпространства Ann и Ann ивоспользоваться равенствами Ann Ann = и Ann Ann = , получим обратную имплика-цию Ann ⊃ Ann ⇒ ⊂ . Равенство

⋂ Ann = Ann ( �∑ )� (4-15)

очевидно: любая линейная форма, зануляющаяся на каждом из подпространств , зануляетсяи на их линейной оболочке, а форма, зануляющаяся на сумме подпространств, зануляется и накаждом из них в отдельности. Если взять в (4-15) в качестве подпространств пространства

Ann , получаем равенство ⋂ = Ann (�∑ Ann )�. Беря в нём аннуляторы обеих частей,

получаем равенство Ann( �⋂ ) � = ∑ Ann . �

4.5. Аффинные пространства. Пусть множество является аффинным пространством1 надвекторным пространством . Для любой точки ∈ и любого векторного подпространства

⊂ множество точек( , ) = + = { ( ) | ∈ }

называется проходящим через точку аффинным подпространством в с направляющим век-торным подпространством . Размерность аффинного пространства ( , ) по определениюполагается равной размерности dim его направляющего векторного подпространства.

1См. n∘ 1.4 на стр. 14.


Пример 4.4 (прямые и плоскости)

Аффинные подпространства + , где dim = , называются прямыми и плоскостями соот-ветственно. Таким образом, аффинная прямая представляет собою ГМТ вида + , где —некоторая точка, —ненулевой вектор, а пробегает𝕜. Аналогично, аффинная плоскость естьГМТ вида + + , где — некоторая точка, , —пара непропорциональных векторов, а

, независимопробегают𝕜. К таким аффиннымподпространствам в полноймере применимовсё сказанное в §1.


Следующие условия на аффинные подпространства ( , ) и ( , ) с одним и тем же направ-ляющим подпространством ⊂ равносильны друг другу:

1) ∈ 2) ( , ) = ( , )3) ( , ) ∩ ( , ) ≠ ∅ 4) ∈ ( , ) 5) ∈ ( , ) .

Доказательство. Покажем, что из (1) следует (2). Если ∈ , то любая точка вида + с∈ может быть записана в виде + с = + ∈ , и обратно, любая точка вида +

с ∈ может быть записана в виде + с = − ∈ . Тем самым, ( , ) = ( , ).Если выполнено (2), то тем более выполнены (3), (4), (5), а выполнение условий (4) или (5)

автоматически означает выполнение условия (3). Таким образом, для завершения доказатель-ства достаточно проверить, что из (3) вытекает (1).

Пусть точка = + ′ = + ″ ∈ ( , ) ∩ ( , ), где ′ = и ″ = лежат в . Тогдаи = + = ′ − ″ ∈ . �


Следующие условия на + точек , , … , любого аффинного пространства над произ-вольным векторным пространством равносильны друг другу:

1) точки , , … , не содержатся ни в каком ( − )-мерном аффинномподпространстве

2) векторы , , … , линейно независимы

3) через точки , , … , проходит единственное -мерное аффинное подпространство

Доказательство. Покажем, что (1) равносильно (2). Линейная зависимость векторов из (2)равносильна тому, что их линейная оболочка имеет размерность не больше − , что в своюочередь означает, что в найдётся ( − )-мерное векторное подпространство , содержащеевсе векторы . По предл. 4.8 последнее означает, что ( − )-мерное аффинное подпростран-ство + содержит все точки .

Покажем, что (2) равносильно (3). По предл. 4.8 прохождение аффинного пространства+ через все точки означает, что все векторы содержатся в . А линейная незави-

симость этих векторов означает, что они составляют базис в любом содержащем их -мерномподпространстве ⊂ , а значит, любое такое подпространство представляет собою их линей-ную оболочку. �


Аффинные подпространства + и + пересекаются , если и только если ∈ + , ив этом случае их пересечение является аффинным пространством с направляющим векторнымпространством ∩ .

4.6.Фактор пространства 67

Доказательство. Равенство = + равносильно равенству + = − , означающему,что точка = + = − ∈ ( + ) ∩ ( + ). Любая другая лежащая в этом пересеченииточка ′ = + ′ = − ′ отличается от предыдущей на вектор ′ = ′ − = − ′ ∈ ∩ .Наоборот, для любого вектора ∈ ∩ точка + , очевидно, лежит в ( + ) ∩ ( + ). �


Если векторное подпространство ⊂ является множеством решений системы однородныхлинейных уравнений ( ) = , где пробегает некоторое подмножество ⊂ ∗, то аффинноеподпространство ( , ) = + ⊂ 𝔸( ) является множеством решений системы неоднород-ных линейных уравнений вида ( ) = ( ), где пробегает то же самое подмножество ⊂ ∗.Наоборот, всякая система неоднородных линейных уравнений на переменную точку ∈ 𝔸( )вида ( ) = , где пробегает какое-нибудь подмножество ⊂ ∗, а ∈ 𝕜 — некоторыеконстанты, либо несовместна, либо множество её решений представляет собою аффинное под-пространство вида + , где = Ann ⊂ , а — любое фиксированное решение системы1.

Доказательство. В силу линейности функций ∶ → 𝕜 равенства ( ) = ( ) и ( ) =равносильны друг другу. �

4.6. Фактор пространства. Если зафиксировать векторное подпространство ⊂ , то прохо-дящее через точку ∈ 𝔸( ) аффинное подпространство + можно алгебраически трактоватькак класс эквивалентности вектора по модулю сдвигов на векторы из подпространства . Вкурсе алгебры такой класс обычно обозначается через

[ ] = (mod ) = + = { ∈ | − ∈ }

и называется смежным классом вектора по модулю . На множестве всех смежных классов помодулю имеется естественная структура векторного пространства со сложением и умноже-нием на числа по формулам [ ] + [ ] ≝ [ + ] и [ ] ≝ [ ].

Упражнение 4.11. Проверьте, что эти определения корректны и задают на множестве классовструктуру векторного пространства над полем 𝕜.

Пространство смежных классов подпространства обозначается ∕ и называется факторпространством пространства по подпространству . Отображение факторизации ↠ ∕ ,переводящее каждый вектор ∈ в его класс [ ], линейно и сюрьективно.

На геометрическом языке, точками аффинного пространства𝔸( ∕ ) являются всевозмож-ные аффинные подпространства в 𝔸( ) с заданным направляющим подпространством ⊂ .

Пример 4.5 (фактор по ядру)

Каждое линейное отображение ∶ → задаёт изоморфизм ∕ker ⥲ im , сопоставляю-щий классу [ ] ∈ ∕ker вектор ( ) ∈ im . Это переформулировка того, что

( ) = ( ) ⟺ − ∈ ker .

Пример 4.6 (линейная оболочка как фактор)

Линейная оболочка = span( , , … , ) ⊂ любого набора из векторов произволь-ного пространства является образом линейного оператора ∶ 𝕜 → , переводящего стан-дартный базисный вектор ∈ 𝕜 в вектор ∈ . Ядро этого оператора = ker ⊂ 𝕜 пред-ставляет собою пространство линейных соотношений между векторами в в том смысле,

1Т. е. такая точка , что ( ) = для всех ∈ .


что вектор = ( , , … , ) = + + ⋯ + ∈ 𝕜 лежит в тогда и только тогда,когда + + ⋯ + = в . Изоморфизм = im ≃ 𝕜 ∕ из предыдущегоприм. 4.5 означает в этом случае, что векторы ∈ суть классы вычетов линейных комби-наций + + ⋯ + по модулю тех комбинаций, которые являются линейнымизависимостями между векторами .


Если векторы , , … , дополняют некоторый базис , , … , подпространства добазиса во всём пространстве ⊃ , то их классы [ ], [ ], … , [ ] образуют базис факторпространства ∕ . В частности, dim + dim ∕ = dim .

Доказательство. Это частный случай предл. 4.4 на стр. 59 (и её доказательства), относящийсяк отображению факторизации ↠ ∕ . �


Для любого подпространства ⊂ имеются канонические изоморфизмы

( ∕ )∗ ≃ Ann и ∗ ≃ ∗ ∕Ann .

Доказательство. Если форма ∈ Ann , то для любых ∈ и ∈ выполняются равенства( + ) = ( ) + ( ) = ( ). Поэтому правило ([ ]) = ( ) корректно задаёт линейную

форму на факторе ∕ . Отображение Ann → ( ∕ )∗, ↦ , линейно и имеет нуле-вое ядро. Так как размерности пространств одинаковы, это изоморфизм. Для доказательствавторого изоморфизма рассмотрим оператор ∗ → ∗, переводящий линейную форму на веё ограничение на ⊂ . Поскольку ядро этого оператора это Ann , его образ изоморфен

∗ ∕ Ann ⊂ ∗. Так как размерности обоих пространств одинаковы, это вложение являетсяизоморфизмом. �

Пример 4.7 (ранг матрицы)

Столбцы , , … , произвольной матрицы ∈ Mat × (𝕜) являются векторами координат-ного пространства 𝕜 . Размерность порождённого ими подпространства ⊂ 𝕜 называетсярангом матрицы и обозначается rk . Любой максимальный по включению линейно незави-симый набор столбцов является базисом в пространстве и состоит ровно из rk столбцов.

В -той строке матрицы стоят вычисленные на векторах , , … , значения ковекто-ра ∗ из двойственного к стандартному базису , , … , в 𝕜 базиса ∗, ∗, … , ∗ двой-ственного пространства 𝕜 ∗. Согласно предл. 4.13, ограничения функционалов ∗, ∗, … , ∗

на подпространство линейно порождают двойственное к пространство ∗. Поэтому любоймаксимальный по включению линейно независимый набор функционалов ∗| составляет ба-зис в ∗ и тоже состоит из dim ∗ = dim = rk векторов. Но линейная независимость функ-ционалов ∗| , равно как и возможность линейно выразить один из них через другие, равно-сильна линейной независимости значений этих функционалов на порождающих пространство

векторах , , … , и, соответственно, возможности линейно выразить строку значенийодного из функционалов через строки значений других. Иными словами, ограничения ковек-торов ∗ , ∗ , … , ∗

rkна подпространство тогда и только тогда составляют базис в ∗, когда

строки с номерами , , … , rk составляют базис в линейной оболочке строкматрицы впро-странстве 𝕜 . Мы заключаем, что строки любой × матрицы порождают в координатномпространстве 𝕜 подпространство той же размерности, которую имеет подпространство в 𝕜 ,порождённое столбцами матрицы . Этот факт известен как теорема о ранге матрицы.

4.7. Двойственные линейные отображения 69

4.7. Двойственные линейные отображения. С каждым линейным отображением векторныхпространств ∶ → канонически связано двойственное отображение

∗ ∶ ∗ → ∗ , ↦ ∘ , (4-16)

действующее между двойственными пространствами в противоположном к направлении ипереводящее линейную форму ∶ → 𝕜 в линейную форму ∗ ≝ ∘ ∶ → 𝕜, значениекоторой на векторе ∈ равно ∗ ( ) = ( ).

Упражнение 4.12. Убедитесь, что композиция ∘ является линейнойформой на и что отоб-ражение ∗ линейно.

Линейные отображения и ∗ играют по отношению к другу абсолютно симметричные ролии однозначно определяют друг друга при помощи соотношения

∀ ∈ , ∀ ∈ ∗ ⟨ ∗ , ⟩ = ⟨ , ⟩ . (4-17)

Из этого соотношения немедленно вытекают равенства

∗∗ = , ker = Ann im( ∗) , ker( ∗) = Ann im .

Если во второми третьемравенстве перейти к аннуляторамобеих частей, получатся двойствен-ные равенства

im( ∗) = Ann ker и im = Ann ker( ∗) . (4-18)

Сравнивая эти равенства с изоморфизмами из предл. 4.13, мы заключаем, что векторные про-странства im ⊂ и im( ∗) ⊂ ∗ канонически двойственны друг другу, и свёртка вектора

∈ im с ковектором ∗ ∈ im ∗ задаётся формулой

⟨ ∗ , ⟩ ≝ ⟨ ∗ , ⟩ = ⟨ , ⟩ , (4-19)

Упражнение 4.13. Убедитесь, что эта формула корректна, т. е. не зависит от выбора ковектора∈ ∗ и вектора ∈ , использованных для записи элементов из im ∗ и im .

Точно также, подпространство ker ⊂ двойственно фактор пространству ∗ ∕ im( ∗), а под-пространство ker( ∗) ⊂ ∗ двойственно фактор пространству ∕im , и спаривание междувекторами и ковекторами задаются формулами

⟨ + ker ∗ , ⟩ ≝ ⟨ , ⟩ и ⟨ , + ( ) ⟩ ≝ ⟨ , ⟩ ,

где + ker ∗ ∈ ∗ ∕im( ∗), ∈ ker , ∈ ker∗, + ( ) ∈ ∕im .

Упражнение 4.14. Проверьте корректность обеих формул, т. е. независимость правых частейот выбора представителей ∈ ∗ и ∈ в классах + ker ∗ и + ( ).

По этой причинефактор по образу линейного отображения называется коядром отображенияи обозначается coker( ) ≝ ∕im . Тем самым, имеются равенства

(ker )∗ = coker( ∗) и (coker )∗ = ker( ∗) .

Упражнение 4.15. Убедитесь, что матрица ( ) отображения в произвольно выбранных ба-

зисах пространств , и матрица ( ∗ ) двойственного отображения ∗ в двойственных

к выбранным базисах пространств ∗, ∗ транспонированы друг другу, т. е. ∗ = .


Пример 4.8 (ещё раз о ранге матрицы)

Каждая матрица = ( ) ∈ Mat × (𝕜) является матрицей линейного отображения

∶ 𝕜 → 𝕜 ,

и линейная оболочка столбцов матрицы совпадает с образом im отображения . Согласноупр. 4.15, двойственное отображение ∗ ∶ 𝕜 ∗ → 𝕜 ∗ задаётся в двойственных базисах транс-понированной матрицей, столбцы которой суть строки матрицы . Таким образом, линейнаяоболочка строк матрицы совпадает с образом im ∗ отображения ∗. Поскольку

dim im ∗ = − dim ker ∗ = − dim Ann im = dim im ,

мы ещё раз видим, что размерности линейных оболочек строк и столбцов у любой прямоуголь-ной матрицы одинаковы (ср. с прим. 4.7 на стр. 68).

§5. Объёмы и определители

5.1. Объём𝒏-мерногоориентированногопараллелепипеда в -мерномвекторномпростран-стве (или форма объёма на ) это ненулевая функция ∶ × × ⋯ × → 𝕜 со следующимидвумя свойствами1:

1) объём не меняется при добавлений к любому из аргументов произвольной кратностилюбого другого аргумента: ( … , + , … , , …) = ( … , , … , , …)

2) при умножении любого из аргументов на число объём умножается на это число:

( … , , …) = (… , , …) .

На геометрическом языке эти свойства означают, что объём параллелепипеда, натянутого навекторы , , … , , как на рис. 5⋄1, умножается на при умножении любого из рёбер на , ине меняется при сдвиге двух противоположных ( − )-мерных граней друг относительно другав направлении одного из рёбер, параллельных этим граням (двумерная параллельная проекцияпроисходящего на плоскость, порождённую ребром, вдоль которого делается сдвиг, и ребром,соединяющим сдвигаемые грани, вдоль дополнительного ( − )-мерного подпространства, по-рождённого всеми остальными рёбрами, изображена на рис. 5⋄2).

v1

v3

v2 v1

v2

v2+λv1

λv1

Рис. 5⋄1. Параллелепипед. Рис. 5⋄2. Параллельный перекос.

Дословно также, как лем. 1.3 на стр. 13 доказывается

Лемма 5.1

На -мерном векторном пространстве над произвольным полем 𝕜 всякая форма -мерногообъёма автоматически обладает следующими свойствами:

1) если векторы , , … , линейно зависимы, то ( , , … , ) =

2) форма кососимметрична, т. е. обращается в нуль, когда какие-нибудь два аргументасовпадают

3) форма линейна по каждому из своих аргументов при фиксированных остальных:

( … , + , … ) = ( … , , … ) + ( … , , … ) . (5-1)

1Здесь и далеемыобозначаеммноготочиями аргументы, остающиеся неизменными в левой и правойчасти равенства.

71

72 §5Объёмы и определители

4) форма знакопеременна1: (… , , … , , …) = − (… , , … , , …).

Доказательство. Если векторы , , … , линейно зависимы, скажем,

= + ⋯ + ,

то ( , , … , ) = ( + ⋯ + , , … , ) = ( , , … , ) = ( ⋅ , , … , ) == ⋅ ( , , … , ) = . Это доказывает первое свойство. Второе свойство является частнымслучаем первого. Свойство (3) очевидно выполняется, когда оба набора аргументов в правойчасти (5-1) линейно зависимы: в этом случае набор аргументов в левой части тоже линейнозависим, и обе части равенства (5-1) зануляются. Поэтому без ограничения общности можносчитать, что аргументы первого слагаемого правой части образуют базис пространства . То-гда = + , где является линейной комбинацией остальных ( − ) аргументов, и леваячасть (5-1) равна ( … , ( + ) ⋅ + , … ) = ( + ) ⋅ ( … , , … ), а второе слагае-мое правой части переписывается как ( … , + , … ) = ⋅ ( … , , … ). Тем самым,правая часть совпадает с левой. Знакопеременность следует из кососимметричностии аддитив-ности по каждому аргументу: = ( … , ( + ), … , ( + ), … ) = ( … , , … , , … ) ++ ( … , , … , , … ). �

5.1.1. Описание кососимметричных 𝒏-линейных форм. Функция от векторов

× ⋯ × → 𝕜 ,

линейная по каждому из векторов при фиксированных остальных, называется -линейной фор-мой на векторном пространстве .

Упражнение 5.1. Убедитесь, что -линейные формы образуют векторное пространство отно-сительно обычных операций сложения функций и умножения функций на константы.

Покажем, чтопространство -линейныхкососимметричныхформна -мерномвекторномпро-странстве одномерно. Пусть является такой формой. Зафиксируем в пространстве какой-нибудь базис , , … , и выразим значение ( , , … , ) на произвольном наборе век-торов через ( , , … , ). Пусть ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ , где = ( ) —матрицаразмера × , в -том столбце которой стоят координаты вектора в базисе , т. е.

= ∑=

⋅ .

Тогда в силу линейности формы по каждому из аргументов

( , , … , ) = (�∑ , ∑ , … , ∑ )� =

= ∑…

⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋅ ( , , … , ) . (5-2)

Так как при совпадении двух аргументов обращается в нуль, ненулевой вклад в последнююсумму дают только такие ( , , … , ), где каждое из чисел , , … , встречается ровно одинраз, т. е. всевозможные перестановки набора ( , , … , ). Всякую такую перестановку

( , , … , )1Т. е. умножается на − при перестановке любых двух аргументов.

5.1.Объём -мерного ориентированного параллелепипеда 73

можно воспринимать как взаимно однозначное отображение

∶ { , , … , } ⥲ { , , … , } , ↦ .

Таким образом, множество перестановок есть не что иное как группа всех биективных отобра-жений из множества { , , … , } в себя. Эта группа обозначается и называется -той сим-метрической группой. Перестановка, меняющая местами какие-либо два элемента , и остав-ляющая все остальные элементы на месте, обозначается и называется транспозицией -тогои -того элементов.

Упражнение 5.2. Убедитесь, что каждая перестановка ∈ является композицией транспо-зиций.

Поскольку при транспозиции аргументов форма меняет знак, для любой перестановки

( , , … , ) = ± ( , , … , ) .

Перестановка называется чётной, если она представима в виде композиции чётного числатранспозиций, инечётной, если еёможноразложить вкомпозициюнечётногочисла транспози-ций. Обратите внимание, что разложение перестановки в композицию транспозиций не един-ственно: например, транспозицию = ( , , ) ∈ иначе можно записать какили как . Тем не менее чётность количества транспозиций, в композицию которыхраскладывается данная перестановка , не зависит от способа разложения. Мы докажем это вn∘ 5.3 на стр. 76 ниже, а сейчас закончим вычисление (5-2). Определим знак sgn( ) перестанов-ки = ( , , … , ) равенством

sgn( ) ={

+ , если чётна,

− , если нечётна.� (5-3)

Упражнение 5.3. Убедитесь, что sgn( ) = sgn( ) sgn( ), т. е. отображение sgn ∶ → {± }является гомоморфизмом групп.

Из вычисления (5-2) вытекает, что

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ ∑∈

sgn( ) ⋅ ⋯ . (5-4)

Поскольку правая сумма зависит только от матрицы , но не от формы , мы заключаем, чтозначение произвольной кососимметричной -линейной формы на произвольном наборе век-торов однозначно вычисляется, как только задано значение формы на каком-нибудь одномбазисе пространства . В частности, любые две такие формы , пропорциональны, и длявсех наборов векторов , , … , ∈

( , , … , )( , , … , ) = ( , , … , )

( , , … , )где , , … , —любой фиксированный базис пространства . Тем самым, правая часть это-го равенства не зависит от выбора базиса точно также, как левая не зависит от выбора векторов

, , … , . Нам остаётся убедиться, что при любом выборе константы ( , , … , ) ∈ 𝕜формула (5-4) действительно определяет кососимметричную -линейную форму на , т. е. чтосумма, стоящая в правой части этой формулы, является кососимметричной функцией от столб-цов матрицы и линейна по каждому столбцу при фиксированных остальных. Это будет сде-лано в предл. 5.1 ниже.


5.2. Определители. Функция

det ≝ ∑∈

sgn( ) ⋅ ⋯ (5-5)

называется определителем квадратной матрицы = ( ) размера × . Формула (5-5) пред-писывает всеми возможными способами выбирать в матрице по элементов так, чтобы вкаждой строке и в каждом столбце оказалось выбрано ровно по одному элементу. Множествоклеток, в которых стоят выбранные элементы, является графиком биективного отображения

↦ из множества номеров столбцов в множество номеров строк. Выбранные элементовперемножаются, и произведению приписывается знак, равный знаку соответствующей пере-становки ↦ . Полученные таким образом ! произведений со знаками складываются. Так,определители матриц размера × и × имеют вид

det ( ) = − (5-6)

det⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= + + − (5-7)

− − − (5-8)

(во втором равенстве сначала выписаны тождественная и две циклических перестановки, по-том — три транспозиции). Из этого описания вытекает, что определитель не меняется при от-раженииматрицы относительно главной диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый

нижний. Такое отражение называется транспонированием, и матрица = ( ) с ≝ на-

зывается транспонированной к матрице = ( ). При транспонировании строки и столбцыменяются ролями, и равенство

det = det (5-9)

выполняется в силу того, что det является суммой произведений тех же самых -ок элемен-тов, задающих всевозможные биекции ↦ , только каждое произведение берётся теперь сознаком sgn( − ) обратной к биекции из множества строк в множество столбцов.

Упражнение 5.4. Убедитесь, что обратные друг другу перестановки имеют одинаковую чёт-ность.


Определитель линеен по каждому столбцу матрицы и обращается в нуль, если какие-то двастолбца совпадают.

Доказательство.Первое очевидноизформулы (5-5): каждоеиз суммируемыхпроизведений ли-нейно зависит от каждого столбца, а значит, линейна и вся сумма. Если -тый столбец матрицысовпадает с -тым, то в сумме (5-5) слагаемое, отвечающее перестановке сократится со сла-

гаемым, отвечающим перестановке = , поскольку sgn( ) = − sgn( ), а ⋯ == ⋯ ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯ ⋯ = ⋯ . �


Пространство -линейных кососимметричных форм на -мерном векторном пространстве од-номерно.

5.2.Определители 75

Доказательство. Выберем в базис , , … , и для любого набора векторов

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅

положим ( , , … , ) = det . По предл. 5.1 форма кососимметрична и -линейна. Онаненулевая, поскольку ( , , … , ) = . Как мы видели в n∘ 5.1.1 выше, все прочие -линей-ные кососимметричные формы пропорциональны . �


На каждом -мерном векторном пространстве над произвольным полем 𝕜 существует един-ственная с точностью до пропорциональности ненулевая форма -мерного объёма . Если век-торы , , … , образуют базис , а векторы , , … , , линейно выражающихся через ба-зис как ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ , то

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ det (5-10)

для любой формы объёма на .

Доказательство. Из лем. 5.1 на стр. 71 вытекает, что всякая форма объёма -линейна и косо-симметрична. Наоборот, всякая -линейная кососимметричная форма является формой объё-ма: свойства (1), (2) со стр. 71 очевидным образом вытекают из линейности и кососимметрич-ности. �


Определитель × -матрицы является -линейной кососимметричной функцией от её строк.

Доказательство. Это следует из предл. 5.1 и равенства (5-9). �5.2.1. Определительпроизведенияматриц.Напомню, что произведениематриц задаётся

формулами (2-8) и (2-9) на стр. 28.

Упражнение 5.5. Пусть векторы , , … , линейно выражаются через , , … , поформуле ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ , а векторы , , … , линейно выража-ются через векторы , , … , по формуле ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ , гдеи —некоторые матрицы с элементами из поля𝕜 размеров × и × соответственно.Убедитесь, что ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ , и покажите, что умножение матрицассоциативно, т. е. ( ) = ( ) всякий раз когда хотя бы одна из частей этого равенстваопределена.


det( ) = det( )⋅det( ) для любыхквадратныхматриц и одинакового размера. В частности,det( ) = det( ).

Доказательство. Рассмотрим столбцы матрицы как векторы из координатного пространства𝕜 и обозначим их через , , … , . Если они линейно зависимы, то размерность их линей-ной оболочки меньше . Поскольку -тый столбец матрицы является линейной комбина-цией столбцов матрицы с коэффициентами из -того столбца матрицы , все столбцы мат-рицы лежат в линейной оболочке столбцов матрицы . Тем самым, размерность их линей-ной оболочки тоже меньше , и они также линейно зависимы. Стало быть, обе части равенства


det( ) = det( ) ⋅ det( ) в этом случае нулевые. Если векторы линейно независимы, то ониобразуют в 𝕜 базис. Обозначим через , , … , стандартный базис пространства 𝕜 , а че-рез и такие две формы объёма на 𝕜 , что ( , , … , ) = и ( , , … , ) = .По сл. 5.2 эти две формы пропорциональны друг другу. Так как ( , , … , ) = det( ), длялюбых векторов , , … , ∈ 𝕜 выполняется равенство

( , , … , ) = det( ) ⋅ ( , , … , ) . (5-11)

Для векторов ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ = ( , , … , ) ⋅ , на которых наши фор-мы объёма принимают значения ( , , … , ) = det( ) и ( , , … , ) = det( ),формула (5-11) превращается в требуемое равенство det( ) = det( ) ⋅ det( ). �

5.3. Комбинаторное отступление: длина и знак перестановки. В этом разделе мы дадим дру-гое, заведомо корректное определение знака перестановки и покажем, что получающийся в ре-зультате знак совпадает со знаком из форм. (5-3) на стр. 73.

Назовём упорядоченную пару чисел ( , ), в которой ⩽ < ⩽ , инверсной парой пере-становки = ( , , … , ) ∈ , если > . Таким образом, каждая перестановка ∈разбивает множество всех ( − )/ пар ( , ) c ⩽ < ⩽ на два непересекающихся под-множества — инверсные пары и неинверсные пары. Число ℓ( ) инверсных пар перестановкиназывается числом инверсий или длиной перестановки . Число sgn( ) ≝ (− )ℓ( ) называется

знаком перестановки .

Упражнение 5.6. Найдите max ℓ( ) по всем ∈ и укажите все перестановки на которых ондостигается.

Лемма 5.2

sgn( ) = − sgn( ) для любой перестановки = ( , , … , ) и транспозиции .

Доказательство. Перестановки

= ( , … , − , 𝒈 , + , … , − , 𝒈 , + , … , )= ( , … , − , 𝒈 , + , … , − , 𝒈 , + , … , )

(5-12)

отличаются друг от друга транспозицией элементов и , стоящих на -том и -том местахперестановки . В этих двух перестановках пара ( , ), а также ( − − ) пар вида ( , ) и( , ) с произвольным из промежутка < < имеют противоположную инверсность, аинверсность всех остальных пар одинакова. �


Если перестановка является композицией транспозиций, то sgn( ) = (− ) . В частности,чётность числа не зависит от выбора разложения в композицию транспозиций, а знак пе-рестановки совпадает с тем, что использовался в форм. (5-3) на стр. 73. �

5.3.1. Правило ниточек. Чётность числа инверсий может быть определена следующим на-глядным способом, известным как правило ниточек1. Запишем исходные числа и их переста-новку друг под другом, как на рис. 5⋄3, и соединим одинаковые числа нитями так, чтобы ни

1Этот способ не слишком эффективен, когда требуется отыскать знак явно заданной длинной пере-становки— обычно быстрее бывает разложить перестановку в композицию непересекающихся циклови воспользоваться тем, что циклы чётной длины нечётны, а циклы нечётной длины чётны. Тем не менее,он оказывается полезен во многих вычислениях, с которыми мы столкнёмся далее.

5.4. Правила Крамера 77

однаиз нитейне вылезала за пределыпрямоугольника, образованного четырьмя угловымичис-лами, и чтобы все точки пересечения нитей были простыми двойными1. Тогда чётность числаинверсий равна чётности числа точек пересечения нитей.

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

Рис. 5⋄3. sgn( , , , , , , , , ) = + (всего 18 пересечений).

Упражнение 5.7. Докажите это и найдите при помощи правила ниточек чётность тасующейперестановки ( , , … , , , , … , ) , в которой наборы номеров

( , , … , ) и ( , , … , )

не пересекаются, и каждый из них строго возрастает слева направо.

5.4. Правила Крамера. Если воспринимать столбцы × матрицы как векторы координат-ного пространства𝕜 иобозначитьих , , … , ∈ 𝕜 , про определитель det можнодуматькак про -линейную кососимметричную функцию от этих векторов. В этом случае мы пишемdet( , , … , ) вместо det . Непосредственным обобщением лем. 1.2 со стр. 11 является

Предложение 5.3 (первое правило Крамера)

Векторы , , … , образуют базис в 𝕜 , если и только если det( , , … , ) ≠ , и тогда -тая координата произвольного вектора = + + ⋯ + в этом базисе равна

=det ( , … , − , , + , … , )

det( , , … , ) . (5-13)

Доказательство. Если , , … , ∈ не образуют базиса, то они линейно зависимы, и, ска-жем, = + ⋯ + . Тогда det( , , … , ) = det ( + ⋯ + , , … , ) =в силу полилинейности и кососимметричности определителя. Если , , … , ∈ образуютбазис, то каждый вектор ∈ 𝕜 обладает единственным разложением вида

= + + ⋯ + .

Применение к обеим частям этого равенства линейного функционала

→ 𝕜 , ↦ det ( , … , − , , + , … , ) ,

приводит к требуемому равенству

det ( , … , − , , + , … , ) = ⋅ det( , , … , ) .1Т. е. в каждой точке пересечения встречается ровно две нити, причём их касательные в точке пере-

сечения различны.


Остаётся показать, что в этом случае det( , , … , ) ≠ . Пусть базис , , … , и стан-дартный базис , , … , линейно выражаются друг через друга по формулам

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ и ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ .

Тогда ( , , … , ) = ( , , … , )⋅ = ( , , … , )⋅ , и из единственности разложениявекторов по базису вытекает, что

= ≝⎛⎜⎜⎜⎝

⋯⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱⋯

⎞⎟⎟⎟⎠

это единичная матрица, c единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Упражнение 5.8. Убедитесь, что det = и = , = для любых матриц , накоторые возможно умножить матрицу .

По предл. 5.2 на стр. 75 det ⋅ det = det = , откуда det = det( , , … , ) ≠ . �

Пример 5.1 (уравнение гиперплоскости)

Пусть точек , , … , ∈ 𝔸(𝕜 ) аффинного пространства, ассоциированного с -мернымкоординатным векторным пространством , не лежат в одном ( − )-мерном аффинном под-пространстве. Тогда, согласно предл. 4.9 через них проходит единственная гиперплоскость, иточка лежит в этой гиперплоскости тогда и только тогда, когда вектор = − линей-но выражается через − векторов , , … , − , что в свою очередь равносильноравенству det ( − , − , − , … , − − ) = . В силу полилинейности опреде-лителя, это уравнение представляет собою неоднородное линейное уравнение на , котороеможно переписать как

det ( , − , − , … , − − ) = det ( , , , … , − ) .

Например, аффиннаяплоскость + + в координатномпространстве𝕜 (точка и векторы, фиксированы, а параметры , пробегают 𝕜) задаётся неоднородным линейным уравне-

нием det( , , ) = det( , , ) .

5.4.1. Обратная матрица. Квадратная матрица называется обратимой, если существуеттакая матрица − , что − = − = . Матрица − называется обратной к и однозначноопределяется матрицей , поскольку для любых двух обратных к матриц − , − выполня-ются равенства − = − ⋅ = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − = − .


Матрица обратима , если и только если det ≠ , и в этом случае

− = det ⋅ ∨ , (5-14)

где матрица1 ∨ имеет в -той строке и -том столбце число, равное взятому со знаком (− ) +

определителю ( − ) × ( − )-матрицы, которая получается из матрицы удалением -тойстроки и -того столбца2.

1Она называется присоединённой к матрице .2Обратите внимание, что индексы и переставились!


Доказательство. Если матрица обратима, то det ⋅ det − = det ( ⋅ − ) = det = ,откуда det ≠ . Если det ≠ , то по предл. 5.3 столбцы , , … , матрицы образуютбазис координатного пространства 𝕜 . Поскольку

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ = ( , , … , ) ⋅ − = ( , , … , ) ⋅ − ,

в -том столбце матрицы − стоят коэффициенты разложения

= + + ⋯ +

стандартного базисного вектора по базису , , … , . По правилу Крамера коэффициент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы − , равен

det ( , … , − , , + , … , )det( ) .

В числителе стоит определитель матрицы, имеющей в -том столбце ровно один ненулевой эле-мент — единицу, стоящую в -той строке. Делая − транспозиций столбцов и − транспо-зиций строк, переставляем её в верхний левый угол:

det ( , … , − , , + , … , ) = (− ) − det ( , , … , − , + , … , ) =

= (− ) + − det

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

, ⋯ , − , + ⋯ ,, ⋯ , − , + ⋯ ,

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮− , ⋯ − , − − , + ⋯ − ,+ , ⋯ + , − + , + ⋯ + ,

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮, ⋯ , − , + ⋯ ,

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ненулевой вклад в определитель этой матрицы дают только перестановки, оставляющие эле-мент на месте. Сумма произведений матричных элементов, отвечающих таким перестанов-кам, равна определителю ( − ) × ( − )-матрицы, получающейся выкидыванием из напи-санной выше матрицы первой строки и первого столбца, т. е. удалением -той строки и -тогостолбца в матрице . �

Пример 5.2

Матрицы размеров × и × с определителем обращаются по формулам

( )

−= (

−− )

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

−

=⎛⎜⎜⎝

( − ) −( − ) ( − )−( − ) ( − ) −( − )

( − ) −( − ) ( − )

⎞⎟⎟⎠

Для матриц с отличным от единицы определителем все матричные элементы в правых частяхнадо поделить на определитель матрицы из левой части.

Упражнение 5.9. Проверьте прямым перемножением, что в обоих случаях произведение об-ратной матрицы на исходную равно .


5.4.2. Присоединённая матрица. Введённая в предл. 5.4 на стр. 78 матрица ∨ = ( ∨ ) с

элементами ∨ = (− ) + det , где ( − ) × ( − )-матрица

≝

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

, ⋯ , − , + ⋯ ,, ⋯ , − , + ⋯ ,

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮− , ⋯ − , − − , + ⋯ − ,+ , ⋯ + , − + , + ⋯ + ,⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

, ⋯ , − , + ⋯ ,

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

получается выкидыванием -той строки и -того столбца из матрицы , называется присоеди-нённой к матрице = ( ). Из форм. (5-14) на стр. 78 вытекают равенства

⋅ ∨ = ⋅ ∨ = det( ) ⋅ , (5-15)

справедливые для любой1 матрицы , в том числе с det = . Формулы (5-15) являются част-ным случаем соотношений Лапласа, которые в полной общности доказываются в n∘ 5.6.2 ниже.Сравнение ( , )-тых диагональных элементов в матрицах (5-15) приводит к равенствам

∑=

(− ) + det = ∑=

(− ) + det = det( ) , (5-16)

которые называются разложениями определителя по -той строкеи по -тому столбцу соответ-ственно. Например, раскладывая определитель × по первому столбцу, получаем

det⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= ( − ) − ( − ) + ( − )

что согласуется с прямым вычислением со стр. 74.

5.4.3. Однородная система𝒏 линейных уравненийна𝒏+1неизвестных. Решения систе-мы линейно независимых линейных уравнений

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

+ + ⋯ + =+ + ⋯ + =

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯+ + ⋯ + =

� (5-17)

1Убедиться в этом можно, например, так. Приравнивая соответственные матричные элементы в пра-вой и левой части равенства (5-15), мы получаем набор из полиномиальных тождеств в кольце мно-гочленов от переменных с целыми коэффициентами. Чтобы доказать, что данный многочлен сцелыми коэффициентами от переменных нулевой, достаточно убедиться, что он тождественно равеннулю на некотором всюду плотном подмножестве в ℝ . Поскольку вещественные матрицы с ненуле-вым определителем всюду плотны вℝ , и для них равенство (5-15) выполнено, то оно выполнено и какформальное буквенное тождество над кольцом многочленов от независимых переменных с коэффи-циентами в ℤ.


на неизвестные1 ( , , … , ) образуют в координатном пространстве 𝕜 + одномерное век-торноеподпространство—аннулятор -мерногоподпространства в𝕜 + ∗

, порождённого стро-ками × ( + )-матрицы

=⎛⎜⎜⎜⎝

, , ⋯ ,, , ⋯ ,

⋮ ⋯ ⋯ ⋮, , ⋯ ,

⎞⎟⎟⎟⎠

,

составленной из коэффициентов уравнений (5-17). Положим

≝ (− ) det⎛⎜⎜⎜⎝

, ⋯ , − , + ⋯ ,, ⋯ , − , + ⋯ ,

⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮, ⋯ , − , + ⋯ ,

⎞⎟⎟⎟⎠

(5-18)

(матрица в правой части имеет размер × и получается из матрицы выкидыванием столбцас номером ).

Предложение 5.5 (второе правило Крамера)

Уравнения (5-17) линейно независимы , если и только если вектор = ( , , … , ) ≠ , и втаком случае этот вектор является базисным в пространстве решений системы (5-17).

Доказательство. Допишем к матрице сверху ещё одну копию её -той строки. Определительполучившейсяматрицыразмера ( + )×( + ) равеннулю. Раскладывая его по верхней строке,получаем + + ⋯ + = . Тем самым, вектор = ( , , … , ) в любом случаеявляется решением системы (5-17). Если строкиматрицы линейно зависимы, тои строки всехматриц (5-18) линейно зависимыс темиже самымикоэффициентами.Поэтомувсе компонентывектора в таком случае нулевые. Если же ковекторы ( , , , , … , , ) ∈ 𝕜 + ∗

линейнонезависимы, то по леммео замене2 имиможно заменитьнекоторые ковекторов стандартногобазиса в 𝕜 + ∗

. Пусть это будут последние векторов. Коль скоро ковекторы

( , , … , )( , , , , … , , )( , , , , … , , )

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯( , , , , … , , )

образуют базис в 𝕜 + ∗, определитель матрицы, составленной из строк их координат, отличен

от нуля. Раскладывая его по первой строке ( , , … , ), видим, что он равен . Тем самым,≠ . �

Пример 5.3 (пересечение плоскостей в 𝔸(𝕜 ))

Две непараллельных плоскости, заданных в трёхмерном аффинном координатном простран-стве уравнениями

{+ + =+ + =

�

1Обратите внимание, что они нумеруются с нуля, и всего их + .2См. лем. 4.2 на стр. 56.


с непропорциональными левыми частями ( , , ), ( , , ) ∈ 𝕜 ∗, пересекаются по пря-

мой с вектором скорости = ( − , − + , − ), который являетсябазисным решением системы однородных уравнений

{+ + =+ + = .

�

Если, скажем, первая компонента вектора ненулевая, то эта прямая проходит через точку скоординатами ( , , ), где

= −− , = −

−это единственное решение системы неоднородных уравнений

{+ =+ = .

�

5.5. Объём и барицентрические координаты. Пусть в аффинном пространстве 𝔸 = 𝔸( )

Рис. 5⋄4. Барицентрическиекоординаты как отношения

объёмов.

задан набор из + точек , , … , , не лежащих в одной гиперплоскости. Поместим этопространство внутрь ( + )-мерного аффинного простран-ства 𝔸 + = 𝔸(𝕜 ⊕ ) в качестве аффинной гиперплоскости

= ( , ) + , параллельной векторному подпространству⊂ 𝕜 ⊕ и проходящей через точку ( , ) ∈ 𝕜 ⊕ . Рас-

смотрим в 𝔸 + аффинный координатный репер с началом вточке = ( , ) ∈ 𝕜 ⊕ и базисными векторами = ,

= , = , …, = . Гиперплоскость прохо-дит через концы этих базисных векторов и, стало быть, зада-ётся уравнением + + ⋯ + = . Поэтому координаты( , , … , ) точки ∈ можно воспринимать как наборвесов с суммой 1, такой что центр тяжести точек , взятых свесами , оказывается в точке :

+ + ⋯ + = ⋅ ∑ − ∑ = .

Этот набор весов называют барицентрическими координата-ми точки относительно точек , , … , . Мы заключа-ем, что каждая точка ∈ 𝔸 имеет единственные бари-центрические координаты и наоборот, каждый набор весовс суммой 1 однозначно задаёт в𝔸 точку с такими барицентрическими координатами. Коорди-ната вектора в базисе из = вычисляется по правилу Крамера:

= ( , … , − , , + , … , )( , … , )

(5-19)

и представляет собою отношение ( + )-мерных объёмов двух пирамид1 с общей вершинойи основаниями [ , … , − , , + , … , ] и [ , , … , ], лежащими в одной не проходя-

1По определению, ориентированный объём пирамиды (или симплекса) с вершиной и основаниемв концах выпущенных из векторов , , … , полагают равным делённому на ! объёму параллеле-пипеда, натянутого на векторы , , … , . Над полемℝ правильность такого определения объяснетсяв упр. 5.10 на стр. 83.

5.5.Объём и барицентрические координаты 83

щей через гиперплоскости , как на рис. 5⋄4. Из следующей ниже лем. 5.3 вытекает, что этоотношение равно отношению -мерных объёмов оснований этих пирамид.

Упражнение 5.10 (объёмы ступенчатых пирамид). Положим ≝ и далее, по индукции,для каждого ⩾ обозначим через

≝ − + − + ⋯ + −

количество -мерных кубиков в -мерной «ступенчатой пирамиде» высоты , образован-ной ступенчатыми ( − )-мерными пирамидами убывающей высоты, поставленными встопку вдоль -той координатной оси. Например, при = двумерная ступенчатая пира-мида высоты имеет вид

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

�

⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

и состоит из = + + ⋯ + = ( + )∕ квадратиков1. Явно выразите черези и найдите отношение объёма параллелепипеда к объёму симплекса, натянутого на

вершину этого параллелепипеда и все вершины, соединённые с нею ребром.

Лемма 5.3

Для любого -мерного подпространства в -мерном векторном пространстве и таких век-торов , , … , , , , … , ∈ и , , … , − ∈ , что векторы

, , … , − , , , … ,

составляют базис пространства , выполняется равенство

( , , … , − , , , … , )( , , … , − , , , … , ) = ( , , … , )

( , , … , ) , (5-20)

в котором и это любые ненулевые формы -мерного и -мерного объёмов в простран-ствах и соответственно.

Доказательство. Из сделанных предположений вытекает, что векторы , , … , линейнонезависимы и составляют базис в . Согласно предл. 5.3 на стр. 77,

( , , … , − , , , … , ) ≠ и ( , , … , ) ≠ .

Определим на подпространстве ещё одну форму объёма ′ равенством

′( ′ , ′ , … , ′ ) ≝ ( , , … , − , ′ , ′ , … , ′ )

для любых векторов ′ , ′ , … , ′ ∈ .

Упражнение 5.11. Убедитесь, что это действительно ненулевая форма объёма на .

1По этой причине число = ( + ) называется -тым треугольным числом и часто обозначается .


Поскольку ненулевая форма объёма единственна с точностью до пропорциональности и отлич-на от нуля на базисе , , … , ,

( , , … , )( , , … , ) =

′( , , … , )′( , , … , ) = ( , , … , − , , , … , )

( , , … , − , , , … , ) .

�


Барицентрические координаты ( , , … , ) точки ∈ 𝔸 относительно набора не лежащихв одной гиперплоскости точек , , … , ∈ 𝔸 равны отношениям

=det ( , … , − , + , … , )

det ( , … , − , + , … , ), (5-21)

в числителе которых стоит ориентированный объём -мерного параллелепипеда, натянутогона векторы, ведущие из точки во все точки , кроме , а в знаменателе — объём аналогич-ного параллелепипеда на векторах, идущих из во все остальные точки .

Доказательство. Подставим в числитель дроби из формулы (5-19) для каждого ≠

= +

и, пользуясь тем, что объём полилинеен зануляется на линейно зависимых векторах, преобра-зуем числитель к виду ( , … , − , , + , … , ) . Аналогично, подставляя в зна-менатель = + при ≠ , преобразуем его в

( , … , − , , + , … , ) .

Так как отличается от на линейную комбинацию векторов , знаменатель равен

( , … , − , , + , … , ) . Итак,

= ( , … , − , , + , … , )( , … , − , , + , … , )

.

Остаётся применить лем. 5.3 для = , = , = + , = 𝕜 ⊕ , = , = и= , где пробегает отличные от значения от до . �

5.6. Алгебраическое отступление: грассмановы многочлены. Полезным инструментом дляработы с определителями являются грассмановы многочлены. Они определяются точно также,как и обычные многочлены от переменных с коэффициентами в поле 𝕜, c той лишь разни-цей, что грассмановы переменные , , … , не коммутируют, а антикоммутируют друг сдругом, т. е. подчиняются соотношениям1

∀ , ∧ = − ∧ и ∀ ∧ = , (5-22)

1Если char𝕜 ≠ соотношения ∧ = вытекают из соотношений ∧ = − ∧ и могут бытьопущены. Если же char𝕜 = (т. е. − = ), соотношения ∧ = − ∧ означают, что переменные

коммутируют друг с другом, и именно соотношение на квадраты ∧ = отличает в этом случаеграссмановы переменные от обычных.

5.6. Алгебраическое отступление: грассмановы многочлены 85

где символ «∧ » обозначает грассманово умножение, чтобы отличать его от обычного коммута-тивного умножения. Поскольку квадраты переменных равны нулю, все грассмановы мономылинейны по каждой входящей в них переменной и с точностью до знака исчерпываются моно-мами, в которых номера переменных строго возрастают слева направо:

≝ ∧ ∧ ⋯ ∧ , < < ⋯ < , (5-23)

Если переставить переменные посредством биекции ∈ , знак грассманова монома изме-нится по правилу

( ) ∧ ( ) ∧ ⋯ ∧ ( ) = sgn( ) ⋅ ∧ ∧ ⋯ ∧ . (5-24)

Таким образом, алгебра грассмановых многочленов 𝕜 ⧼ , , … , ⧽ представляет собою век-торное пространство размерности над полем 𝕜 с базисом из мономов (5-23), занумерован-ных всевозможными строго возрастающими подмножествами ⊂ { , , … , }. Эти базисныемономы перемножаются по правилу

∧ ={

sgn( , , … , , , , … , ) ⋅ ⊔ при ∩ = ∅при ∩ ≠ ∅

� (5-25)

где знак тасующей перестановки, упорядочивающей по возрастанию индексы

, , … , , , , … , ,

у которых < < ⋯ < и < < ⋯ < , равен1

sgn( , , … , , , , … , ) = (− ) + +⋯+ + ( + )/ .

Единственный моном нулевой степени ∅ ≝ , отвечающий подмножеству = ∅, являетсяединицей грассмановой алгебры. Единственный моном старшей степени

top = ∧ ∧ ⋯ ∧

аннулируется умножением на любой грассманов многочлен с нулевым свободным членом. Од-нородные грассмановы многочлены степени образуют векторное пространство размерности

( ), базис в котором составляют мономы (5-23), занумерованные -элементными подмноже-ствами ⊂ { , , … , }. Произвольные мономы степеней и коммутируют по правилу

( ∧ ∧ ⋯ ∧ ) ∧ ( ∧ ∧ ⋯ ∧ ) == (− ) ( ∧ ∧ ⋯ ∧ ) ∧ ( ∧ ∧ ⋯ ∧ ) ,

поскольку для переноса каждой из переменных через переменных требуется транс-позиций. Тем самым, для любых двух однородных грассмановых многочленов и выполня-ется равенство

∧ = (− )deg deg ∧ . (5-26)

В частности, однородные многочлены чётной степени коммутируют со всеми грассмановымимногочленами.

Упражнение 5.12. Опишите центр2 грассмановой алгебры.

1См. упр. 5.7 на стр. 77.2Т. е. все грассмановы многочлены, перестановочные с каждым элементом грассмановой алгебры


5.6.1. Линейные замены грассмановых переменных. Обозначим через

⊂ 𝕜 ⧼ , , … , ⧽

векторное пространство однородных грассмановых многочленов первой степени, а через

⊂ 𝕜 ⧼ , , … , ⧽

пространство однородныхмногочленов степени . Как векторное пространство над𝕜, грассма-нова алгебра распадается в конечную прямую сумму

𝕜 ⧼ , , … , ⧽ = ⨁=

,

где = , а = 𝕜 ⋅ это одномерное подпространство констант.Если векторы , , … , ℓ ∈ линейно выражаются через векторы , , … , по фор-

муле ( , , … , ℓ) = ( , , … , ) ⋅ , где — произвольная матрица размера × ℓ с эле-ментами из поля 𝕜, то их грассмановы произведения = ∧ ∧ ⋯ ∧ ∈ линейновыражаются через произведения = ∧ ∧ ⋯ ∧ по формулам

= ∧ ∧ ⋯ ∧ = ( �∑ ) � ∧ (�∑ )� ∧ ⋯ ∧ ( �∑ )� =

= ∑⩽ < <⋯< ⩽

∧ ∧ ⋯ ∧ ⋅ ∑∈

sgn( ) ( ) ( ) ⋯ ( ) = ∑ ⋅ ,

где = det обозначает определитель × -подматрицы ⊂ , сосредоточенной в пе-ресечениях столбцов с номерами из и строк с номерами из , а индекс = ( , , … , ) про-бегает все наборы из возрастающих номеров ⩽ < < ⋯ < ⩽ ℓ. Определитель

= det называется -тым минором -того порядка в матрице . Таким образом, -тыйэлемент матрицы, выражающей грассманов моном через грассмановы мономы равен -тому минору -того порядка в матрицы выражающей векторы через векторы . Получаю-щаяся матрица размера ( ) × ( ), у которой в позиции стоит -тый минор ( ) матрицы ,обозначается и называется -той внешней степенью матрицы .

5.6.2. Соотношения Лапласа. Для каждого набора возрастающих индексов

= ( , , … , ) ⊂ { , , … , }

положим deg ≝ , | | ≝ + + ⋯ + и условимся обозначать через

= ( , , … , − ) = { , , … , } ∖

дополнительный к набор возрастающих индексов, так что deg = − . Рассмотрим произ-вольную квадратную матрицу размера × и линейные грассмановы многочлены

= ⋅ + ⋅ + ⋯ + , (5-27)

коэффициентами которых являются столбцы матрицы . Для любых двух наборов , одина-ковой степени deg = deg = грассмановы произведения = ∧ ∧ ⋯ ∧ и


= ∧ ∧ ⋯ ∧ −имеют дополнительные степени и − . Перемножая эти два

произведения по формуле (5-25), получаем

∧ = {(− )| |+ ( + ) ∧ ∧ ⋯ ∧ при =

при ≠ .� (5-28)

Подставляя в это равенство выражения (5-27) векторов через стандартные базисные векторы, в левой части будем иметь

(�∑ )� ∧ ( �∑ ) � = (− ) ( + ) ∧ ∧ ⋯ ∧ ∑(− )| | ,

где пробегает все индексы длины deg = , а в правой— нуль при ≠ и

(− ) ( + ) +| | det ⋅ ∧ ∧ ⋯ ∧

при = . Таким образом, для любых двух наборов , из строк произвольной квадратнойматрицы = ( ) выполняются соотношения Лапласа

∑(− )| |+| | = {det при =

при ≠� (5-29)

где суммирование идёт по всем наборам из = deg строк матрицы . При = соот-ношение (5-29) даёт формулу для вычисления определителя1 через всевозможные минорыпорядка , сосредоточенные в фиксированных столбцах матрицы с номерами , и допол-нительные к ним миноры порядка − , равные определителям матриц, получающихсяиз вычёркиванием всех строк и столбцов, содержащих минор :

det = ∑(− )| |+| | . (5-30)

Произведение (− )| |+| | называется алгебраическим дополнением к минору и обозна-

чается ≝ (− )| |+| | . При ≠ соотношение (5-29) с точностью до знака имеет вид

∑ = (5-31)

и называется теоремой об умножении на чужие алгебраические дополнения, т. к. левая часть в(5-31) отличается от (5-30) тем, что миноры умножаются не на свои алгебраические до-полнения , а на дополнения к минорам , сосредоточенным в тех же строках , но вдругом наборе столбцов ≠ .

Упражнение 5.13. Установите транспонированный вариант соотношений Лапласа

∑ ={

det при =при ≠ .

� (5-32)

1С геометрической точки зрения эта формула вычисляет объём -мерного параллелепипеда черезобъёмы его -мерных и ( − )-мерных граней.


Если согласованно занумеровать все -элементные подмножества и все ( − )-элементныеподмножества в множестве { , , … , } так, чтобы дополнительные подмножества и имелиодинаковые номера, то все соотношения Лапласа можно записать в виде одного равенства наматрицы размера ( ) × ( ):

⋅ − = det ⋅ , (5-33)

где через − обозначена матрица, ( )-тый элемент которой равен

= = (− )| |+| | .

Пример 5.4 (присоединённая матрица)

При = наборы = ( ) и = ( ) содержат по одному элементу, и миноры = этопросто матричные элементы матрицы , так что = . Алгебраическое дополнение

≝ (− ) +

к элементу представляет собою умноженный на (− ) + минор порядка ( − ), равныйопределителюматрицы , которая получается из вычёркиванием -й строки и -го столбца.Таким образом, матрица − = ∨ это в точности присоединённая к матрица из n∘ 5.4.2 настр. 80, а матричное соотношение (5-33) превращается в форм. (5-15) на стр. 80

⋅ ∨ = ∨ ⋅ = det( ) ⋅ =⎛⎜⎜⎜⎝

det( )det( )

⋱det( )

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Формулы (5-30) и (5-32) доставляют разложения определителя по -тому столбцу и по -тойстроке соответственно:

det( ) = ∑=

(− ) + det = ∑=

(− ) + det . (5-34)

Пример 5.5 (определитель пучка матриц)

Линейная оболочка пары непропорциональных квадратных матриц , ∈ Mat × (𝕜) называ-ется пучком матриц и обозначается ( ). Таким образом, всякая матрица из пучка ( ) имеетвид ⋅ + ⋅ , где , ∈ 𝕜, а её определитель det( ⋅ + ⋅ ) является однородным много-членом степени от и . Покажем, что коэффициент этого многочлена при − равен

∑ , (5-35)

где суммирование идёт по всем -элементным подмножествам , ⊂ { , , … , }. Для этогорассмотрим линейные грассмановы многочлены

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ и ( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ .

Они удовлетворяют равенству

( + ) ∧ ( + ) ∧ ⋯ ∧ ( + ) = det( + ) ⋅ ∧ ∧ ⋯ ∧ .


Слагаемые, содержащие − , возникают в левой части при выборе первого слагаемого внекоторых из перемножаемых скобок и второго слагаемого в остальных − скобах. Еслипервое слагаемое выбирается в скобках с номерами , , … , , считая слева направо, то коэф-фициент при − получается равным

sgn( , , … , , , , … , − ) ⋅ ∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ∧ ∧ ⋯ ∧ −=

= (− ) ( + ) +| | ∧ = (− ) ( + ) +| |(∑ )

∧(∑ )

=

= (− ) ( + ) +| |∑ ⋅ ⋅ ∧ =

(∑(− )| |+| | ⋅ )⋅ ∧ ∧ ⋯ ∧

Коэффициент при − в det( + ) получается суммированием этих подобных слагаемыхпо всем наборам из возрастающих номеров, что и даёт формулу (5-35).

Полагая в этой формуле = , = и = , получаем разложение

det( + ) = + ∑=

− ⋅ ∑# =

=

= + − ⋅ ∑ + − ⋅ ∑<

( − ) + ⋯ + ⋅ ∑ + det ,

в котором коэффициент при − равен сумме определителей всех × подматриц матрицы, главная диагональ1 которых содержится в главной диагонали матрицы . Они называют-

ся главными диагональными минорами -того порядка. Коэффициент при − , равный суммеэлементов, стоящих на главной диагонали матрицы , называется следом матрицы и обозна-чается

tr( ) ≝ ∑=

. (5-36)

Упражнение 5.14. Покажите, что tr( + ) = tr( ) + tr( ) и tr( ) = ∑ = tr( ) .

Используя след и обозначения из формулы (5-33), определитель пучка матриц можно записатьв виде

det( ⋅ + ⋅ ) = ∑=

tr ( ⋅ − ) ⋅ − , (5-37)

1Напомню, что главной называется диагональ, идущая из левого верхнего угла квадратной матрицыв правый нижний.

§6. Евклидова геометрия

Всюду в этом параграфе основное поле 𝕜 = ℝ.

6.1. Евклидовы пространства. Напомню1, что векторное над полем вещественных чисел ℝназывается евклидовым, если на нём задано симметричное билинейное скалярное произведе-ние, сопоставляющее паре векторов , ∈ число ( , ) = ( , ) ∈ ℝ так, что скалярныеквадраты всех ненулевых векторов положительны. Ограничение скалярного произведения налюбое подпространство в задаёт евклидову структуру на этом подпространстве. В частности,линейная оболочка любойпарынепропорциональных векторов в любомевклидовомпростран-стве представляет собоюобычную «школьную» евклидову плоскость, подробно обсуждавшуюсянами в §3. В частности, для любых двух векторов каждого евклидова пространства выполняетсянеравенство Коши–Буняковского –Шварца2

( , ) ⋅ ( , ) ⩾ ( , ) , (6-1)

равенство в которомравносильно пропорциональности векторов и , и вытекающее из него3

неравенство треугольника

∀ , √( , ) + √( , ) ⩾ √( + , + ) , (6-2)

равенство в котором равносильно сонаправленности4 векторов и . Это позволяет опреде-лить в каждом евклидовом пространстве длину вектора и угол между двумя векторами:

| | ≝ √( , ) (6-3)

cos ∡( , ) ≝ ( , )| | ⋅ | | . (6-4)

Поскольку | ± | = ( ± , ± ) = ( , )± ( , )+( , ), скалярное произведение × → ℝоднозначно восстанавливается по функции длины → ℝ посредством формул

( , ) = (| + | − | − | )/ = (| + | − | | − | | )/ . (6-5)

Пример 6.1 (стандартная евклидова структура на ℝ )

Напомню5, что в стандартной евклидовой структуре на координатномпространствеℝ скаляр-ное произведение векторов = ( , , … , ) и = ( , , … , ) задаётся формулой

( , ) ≝ + + ⋯ + . (6-6)

Неравенство (6-1) для такого скалярного произведения имеет вид

( + + ⋯ + )( + + ⋯ + ) ⩾ ( + + ⋯ + )

и называется неравенством Коши – Буняковского. Оно справедливо для любых двух наборов ве-щественных чисел , , … , и , , … , и обращается в равенство тогда и только тогда,

1См. опр. 3.1 на стр. 33.2См. сл. 3.2 на стр. 35.3См. сл. 3.3 на стр. 35.4Т. е. пропорциональности с положительным коэффициентом.5См. прим. 3.1 на стр. 33.

90

6.1. Евклидовы пространства 91

когда эти наборы пропорциональны. Длина вектора в ℝ вычисляется по -мерной теоремеПифагора:

|( , , … , )| = √ + + ⋯ + .

Пример 6.2 (пространство непрерывных функций)

Зададим скалярное произведение непрерывных функций на отрезке [ , ] формулой

( , ) = ∫ ( ) ( ) . (6-7)

Упражнение 6.1. Выведите из известных вам свойств интегралов от непрерывных функций,что это произведение билинейно и положительно.

Формула (6-7) является прямым обобщением формулы (6-6), если воспринимать функции как«континуальныенаборыкоординат», номеракоторых суть точкиотрезка. Впространственепре-рывных функций неравенство (6-1) имеет вид

∫ ( ) ⋅ ∫ ( ) ⩾⎛⎜⎜⎝∫ ( ) ( )

⎞⎟⎟⎠

и называется неравенством Шварца. Оно выполняется для любых двух непрерывных функцийи и обращается в равенство тогда и только тогда, когда эти функции отличаются скалярным

множителем. Длина функции вычисляется по «континуальной» теореме Пифагора

| | = ∫ ( ) .

6.1.1. Уравнение гиперплоскости.

Для заданных ненулевого вектора в

𝜑

𝑂

𝑥𝑎

𝑎

|𝑥| ⋅ cos𝜑 = ( , )| | = | |

Рис. 6⋄1. ГМТ ∶ ( , ) = .

евклидовом пространстве и произволь-ного числа ∈ ℝ линейное неоднородноеуравнение на вектор ∈

( , ) = (6-8)

задаёт в аффинном пространстве 𝔸( ) ги-перплоскость, перпендикулярную векторуиудалённуюотнулянарасстояние | |∕| |

в туже сторону, что и конец вектора , если> , и в противоположную сторону, если< (см. рис. 6⋄1). Действительно, век-

тор удовлетворяет (6-8) , еслии только ес-ли его ортогональная проекция1 на векторравна

= ⋅ ( , )( , ) = ⋅ | | = | | ⋅ | | .

1См. формулу (3-3) на стр. 34.

92 §6 Евклидова геометрия

Это фиксированный вектор длины | | = | | ∕ | |, сонаправленный с при > и проти-воположно направленный к при < . В координатном пространстве ℝ уравнение (6-8)выглядит как + + ⋯ + = , где = ( , , … , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ.

Пример 6.3 (срединный перпендикуляр)

Рассмотрим в евклидовом аффинном пространстве 𝔸 произвольную пару различных точек≠ . Покажем, что ГМТ ∈ 𝔸 , равноудалённых от и , представляет собою гипер-

плоскость, перпендикулярную вектору и проходящую через точку ( + )∕ —серединуотрезка [ , ]. Эта гиперплоскость называется срединным перпендикуляром к отрезку [ , ].Равенство длин | , | = | , | равносильно равенству скалярных произведений

( , ) = ( , ) ,

т. е. равенству ( − , − ) = ( − , − ), где буквы , , обозначают радиус-векторысоответствующих точек, выпущенные из произвольно выбранной начальной точки ∈ 𝔸 .После раскрытия скобок и сокращений, получаем ( , ) − ( , ) = ( , ) − ( , ) или

( − , ) = ( , ) − ( , ) . (6-9)

Это уравнение задаёт гиперплоскость, перпендикулярную вектору = − и проходя-щую через точку ( + )∕ , ибо последняя, очевидно, равноудалена от и .

Упражнение 6.2. Убедитесь прямым вычислением, что = ( + )∕ удовлетворяет урав-нению (6-9).

6.1.2. Ортогонализация. Набор векторов евклидова пространства называют ортогональ-ным, если любые два вектора в нём ортогональны друг другу. Любой ортогональный наборненулевых векторов , , … , линейно независим, поскольку скалярно умножая равенство

+ + ⋯ + =

на , получаем ( , ) = , откуда все = . Ортогональный набор векторов называют ор-тонормальным, если все векторы в нём имеют длину 1. По предыдущему, всякий ортонормаль-ный набор векторов , , … , является базисом своей линейной оболочки, и коэффициентыразложения векторов по этому базису равны скалярным произведениям с соответствующимибазисными векторами: если = ∑ , то ( , ) = в силу ортонормальности векторов .Скалярноепроизведение векторов = ∑ и = ∑ , разложенныхпоортонормальномубазису , , … , , равно ( , ) = + + ⋯ + .


В линейной оболочке любых векторов , , … , , не все из которых нулевые, существуеттакой ортонормальный базис , , … , , что каждый вектор лежит в линейной оболочкепервых базисных векторов , , … , .

Доказательство. В качестве первого вектора в искомом базисе возьмём = ∕| |, где —первый слева ненулевой вектор в наборе , , … , . Тогда | | = и порождает то жеодномерное пространство, что и векторы , , … , . Допустим по индукции, что уже постро-ены ортонормальные векторы , , … , , линейная оболочка которых совпадает с линейной

6.2.Матрицы Грама 93

оболочкой векторов , , … , , где ⩾ . Положим

+ = + − ∑=

( + , ) ⋅ (6-10)

(см. рис. 6⋄2). Вектор + ортогонален всем векторам , , … , , поскольку скалярно умно-жая обе части равенства (6-10) на любой вектор с ⩽ ⩽ , получаем

( + , ) = ( + , ) − ( + , )( , ) = .

Если + = , то вектор + лежит в линейной оболочке векторов , , … , и можно пе-реходить к следующему шагу с тем же и + вместо . Если + ≠ , то полагаем + == + ∕| + | и получаем ортонормальный набор векторов , , … , + , линейная оболочкакоторого совпадает с линейной оболочкой векторов , , … , + . �

Замечание 6.1. Описанныйвышепроцесспостроенияортонормальногобазиса в линейнойобо-лочке заданных векторов называется ортогонализацией Грама – Шмидта.


В любом евклидовом пространстве существует ортонормальный базис. �

6.2. МатрицыГрама.Слюбымидвумянаборами

𝑒 = | |

𝑒 = | |

𝑢

𝑢 +𝑤 −( + , )⋅

|( + , )|

Рис. 6⋄2. Второй шаг ортогонализации.

векторов евклидова пространства

= ( , , … , )= ( , , … , )

(6-11)

можно связать таблицу их попарных скалярныхпроизведений, поместив скалярное произведе-ние ( , ) в пересечение -той строки и -тогостолбца. Полученная матрица обозначается

≝ (( , )) ∈ Mat × (ℝ)

и называется матрицей Грама наборов и . Ес-ли воспринимать эти наборы как матрицы, эле-ментамикоторыхявляются векторы, иподпроиз-ведением двух векторов понимать их скалярноепроизведение, т. е. положить ≝ ( , ) ∈ ℝ для любых , ∈ , то матрицу Грама можноописать при помощи умножения матриц равенством

= ,где = ( , , … , ) это строка из векторов, а — столбец из векторов, транспонирован-ный к строке = ( , , … , ). Если наборы векторов и линейно выражаются через ка-кие-то другие наборы векторов = ( , , … , ) и = ( , , … , ) по формулам = ⋅и = ⋅ , где ∈ Mat × (ℝ) и ∈ Mat × (ℝ) некие матрицы, то матрица Грамапересчитывается через матрицу Грама по формуле

= = ( ) = = . (6-12)


При = мы получаем таблицу умножения векторов из одного набора , , … , . В этомслучае обозначение сокращается до ≝ (( , )) ∈ Mat × (ℝ). Определитель этойквадратной матрицы называется определителем Грама векторов , , … , и обозначается

≝ det . Ортонормальность векторов , , … , означает, что их матрица Грама = ,и в этом случае = det = .


Если векторы , , … , образуют базис в подпространстве , а векторы , , … , со-ставляют в том же подпространстве ортонормальный базис, то = det , где — мат-рица, по столбцам которой стоят координаты векторов в базисе , т. е.

( , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ .

Доказательство. По формуле (6-12) имеем = = = . Следователь-но, = det = det ⋅ det = det . �


Определитель Грама любого набора векторов неотрицателен, и его обращение в нуль равно-сильно линейной зависимости этих векторов.

Доказательство. Если векторы , , … , линейно независимы, то они составляют базис всвоей линейной оболочке, и = det > . Если же + + ⋯ + = длянекоторого ненулевого набора констант , то умножая это равенство скалярно на , получаемпри каждом равенство ( , )+ ( , )+ ⋯ + ( , ) = , означающее, что столбцыматрицы Грама = (( , )) линейно зависимы с коэффициентами , , … , . Поэтому

= det = . �


Все ортонормальные базисы -мерного евклидова пространства имеют одинаковый по абсо-лютной величине объём1. Если зафиксировать форму объёма так, чтобы абсолютная величинаобъёма ортогонального базиса равнялась единице, квадрат объёма параллелепипеда, натяну-того на произвольные векторы , , … , будет равен определителюГрама этих векторов.

Доказательство. Зафиксируем какой-нибудь ортонормальный базис = ( , , … , ) и рас-смотрим форму объёма, равную нём единице. Тогда квадрат объёма параллелепипеда, натяну-того на произвольные векторов ( , , … , ) = ( , , … , ) , равен det = . Вчастности, квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на любой ортонормальный базисравен = det = . �

6.2.1. Евклидовобъёмиориентация.Ортонормальные базисыравного объёманазывают-ся коориентированными. Ортонормальные базисы противоположного по знаку объёма называ-ются противоположно ориентированными. Любая нечётная перестановка базисных векторовменяет ориентацию базиса, а любая чётная — не меняет. В каждом евклидовом пространствеимеются ровно две (различающиеся знаком) формы объёма, такие что объёмы всех ортонор-

мальных базисов равны ± . Выбор одной из них в качестве формы объёма называется выбором

1Относительно любой ненулевой формы объёма.

6.3. Евклидова двойственность 95

ориентации на . Ориентация координатного пространстваℝ , принимающая значение + настандартном базисе ( , , … , ), называется стандартной.

Абсолютная величина объёма параллелепипеда, натянутого на произвольно заданные век-торы ( , , … , ), вычисленная относительно одной из двух ориентирующих форм, не зави-сит от выбора ориентации и называется евклидовым объёмом (неориентированного) паралле-лепипеда. Мы будем обозначать евклидов объём через

Vol( , , … , ) = √ = √det ( , ) . (6-13)

6.3. Евклидова двойственность. С каждым вектором евклидова пространства связан ли-нейный функционал скалярного умножения на

∶ → ℝ , ↦ ( , ) .

Сопоставление векторам ∈ линейных функционалов задаёт линейное отображение

∶ → ∗ , ↦ . (6-14)

Упражнение 6.3. Убедитесь в линейности функционала и отображения .

Поскольку ( ) = ( , ) ≠ для любого ≠ , ковектор ненулевой при ненулевом ≠ .Тем самым, отображение (6-14) инъективно, а значит, является изоморфизмом векторных про-странств. Иначе говоря, любой линейный функционал на евклидовом пространстве однознач-но представляется в виде скалярного произведения с некоторым вектором.

Упражнение 6.4. Убедитесь, что матрица отображения в произвольном базисе простран-ства и двойственном ему базисе ∗ пространства ∗ совпадает с матрицей Грама .

6.3.1. Двойственный базис. Для любого базиса = ( , , … , ) пространства , про-образы координатных функционалов ∗, ∗, … , ∗ ∈ ∗, образующих двойственный к базиспространства ∗, обозначаются × = ( ×, ×, … , ×) ∈ и называются евклидово двойствен-ным к базисом пространства . Векторы евклидово двойственного базиса однозначно харак-теризуются соотношениями

( , ×) ={

, при ≠ ,, при = ,

� (6-15)

означающими что взаимная матрица Грама × = × = . Согласно форм. (6-12) на стр. 93матрица × , линейно выражающая базис × через базис по формуле × = × , удовле-творяет равенству = × = × , т. е. обратна к матрице Грама базиса . Тем самым,

( ×, ×, … , ×) = ( , , … , ) ⋅ − . (6-16)

Ортонормальность базиса означает, что он совпадает со своим евклидово двойственным.

Упражнение 6.5. Покажите, что ×× = .

По определению двойственного базиса, коэффициенты разложения произвольного векторапо любому базису , , … , равны скалярным произведениям с соответствующими векто-рами двойственного базиса

= ∑ ⋅ ( , ×) . (6-17)

Убедиться в этом напрямую можно скалярно умножив обе части на × для каждого .


6.3.2. Ортогоналы. Прообраз аннулятора Ann( ) ⊂ ∗ данного подпространства ⊂при изоморфизме (6-14) обозначается через

⊥ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = }

и называется ортогоналом или ортогональным дополнением к . По предл. 4.7 на стр. 64

dim ⊥ = dim Ann = dim − dim

Упражнение 6.6. Убедитесь, что ⊥ ∩ = .

Таким образом, = ⊕ ⊥, т. е. каждый вектор ∈ допускает единственное разложение

= + ⊥ , где ∈ , ⊥ ∈ ⊥ . (6-18)

Компоненты ∈ и ⊥ ∈ ⊥ этого разложения называются ортогональной проекцией век-тора на подпространство и нормальной составляющей вектора ∈ относительно соот-ветственно.

Из сл. 4.6 на стр. 64 и теор. 4.1 на стр. 65 вытекает, что соответствие ↔ ⊥ задаёт обо-рачивающую включения биекциюмежду подпространствами дополнительных размерностей в, и эта биекция переводит суммы подпространств в пересечения, а пересечения — в суммы,

т. е. для любых подпространств , ⊂ выполняются равенства

⊥⊥ = , ( + )⊥ = ⊥ ∩ ⊥ , ( ∩ )⊥ = ⊥ + ⊥ . (6-19)

Упражнение 6.7. Докажите все эти утверждения независимо от сл. 4.6 и теор. 4.1.

6.4. Ортогональное проектирование. Для любого ненулевого подпространства ⊊ линей-ное отображение

∶ = ⊕ ⊥ ↠ , = + ⊥ ↦ ,

называется ортогональным проектированием на .


Ортогональная проекция ∈ произвольного вектора ∈ на подпространство ⊂однозначно характеризуется любым из следующих эквивалентных друг другу свойств:

1) − ∈ ⊥

2) ∀ ∈ ( , ) = ( , )

3) ∀ ∈ ≠ ⇒ | − | > | − |

и может найдена по формуле

= ∑=

⋅ ( , ×) , (6-20)

где , , … , и ×, ×, … , × —произвольные евклидово двойственные базисы в .

6.4.Ортогональное проектирование 97

Доказательство. Свойства (1) и (2) очевидным образом равносильны и утверждают, что векто-ры и − являются компонентами вектора в прямом разложении = ⊕ ⊥. Свойство(3) выполняется для ортогональной проекции вектора на , поскольку для любого вектора

= + ∈ с ненулевым ∈

( − , − ) = ( ⊥ − , ⊥ − ) = ( ⊥ , ⊥) + ( , ) > ( ⊥ , ⊥) .

А так как вектор, обладающий свойством (3), очевидно, единствен, свойство (3) равносильносвойствам (1) и (2). Остаётся проверить, что вектор , заданный по формуле (6-20), обладаетсвойством (2). Поскольку свойство (2) линейно по ∈ , достаточно проверить его для всехвекторов какого-нибудь базиса в . Для базисных векторов × получаем требуемое равенство( , ×) = ∑( , ×) ⋅ ( , ×) = ( , ×). �


В евклидовом аффинномпространстве𝔸( ) для любого непустого аффинного подпространства⊊ 𝔸( ) и любой точки ∉ существует единственная точка ∈ , удовлетворяющая двум

эквивалентным друг другу условиям:

1) вектор перпендикулярен любому вектору с , ∈

2) | | > | | для любой точки ∈ , отличной от .

Доказательство. Поместим начало отсчёта в какую-нибудь точку ∈ и отождествим точки∈ 𝔸( ) с радиус-векторами ∈ . При этом аффинное подпространство превратится в

векторное подпространство ⊂ , а точке ∈ сопоставится её радиус вектор = ∈ .Остаётся применить к ним предл. 6.3. �

Определение 6.1 (расстояние от точки до подпространства)

Точка ∈ из сл. 6.4 называется ортогональной проекцией точки на подпространство .Длина | − | называется расстоянием от точки до подпространства .

Упражнение 6.8. Покажите, что расстояние от точки до гиперплоскости ( , ) = равно| − ( , )|∕| |.


Для произвольного вектора ∉ ⊥ минимум углов ∡( , ) по всем ∈ достигается на един-ственном с точностью до умножения на положительную константу векторе, а именно, на орто-гональной проекции ∈ вектора на подпространство .

Доказательство. Наименьшему значению угла ∡( , ) отвечает наибольшее значение

cos(∡( , )) = ( , )| | ⋅ | | .

Но ( , ) = ( , ) по свойству (2) из предл. 6.3, а в силу неравенства Коши–Буняковского –Шварца1 максимум отношения ( , ) ∕ | | = ( , ∕ | |) достигается тогда и только тогда,когда единичный вектор ∕| | сонаправлен с . �



Определение 6.2 (угол между вектором и подпространством)

Для ∉ ⊥ угол ∡( , ) ≝ ∡( , ) называется углом между вектором и подпространством. Для ∈ ⊥ мы полагаем ∡( , ) ≝ ∕ .

Пример 6.4 (объём через «площадь основания» и «высоту»)

Рассмотрим в евклидовом пространстве линейно независимый набор из + векторов

= ( , , , … , ) (6-21)

и обозначим через линейную оболочку поднабора = ( , , … , ), составленного изпоследних векторов. Тогда вектор единственным образом представляется в виде суммы

= + ⊥ , где ∈ , а ⊥ перпендикулярен . Естественно назвать вектор ⊥ высотойпараллелепипеда ( , , , … , ), поднятой в вершину с основания ( , , … , ). В коор-динатах относительно произвольного ортонормального базиса в линейной оболочке набораориентированный объём параллелепипеда равен

det( , , , … , ) = det( − , , , … , ) = det( ⊥ , , , … , ) ,

поскольку вектор является линейной комбинацией векторов . Единственным ненулевымэлементом первой строки и первого столбца в матрице Грама ( ⊥ , , ,…, ) является квадратдлины | ⊥| , стоящий в левом верхнем углу. Поэтому

Vol ( , , , … , ) = det ( ⊥ , , , … , ) = ( ⊥ , , ,…, ) == | ⊥| ⋅ = | ⊥| ⋅ Vol ( , , … , ) .

Таким образом, неориентированный евклидов объём параллелепипеда равен произведениюевклидова объёма основания на длину опущенной на неё высоты:

Vol( , , , … , ) = | ⊥| ⋅ Vol( , , … , ) . (6-22)

Пример 6.5 (формулы для расстояния и угла между вектором и пространством)

Формула (6-22) позволяет вычислять расстояние ( , ) от конца вектора до подпространства, порождённого линейно независимыми векторами , , … , , как

( , ) = | ⊥| = ∕ . (6-23)

Поскольку | ⊥| = | |⋅sin ∡( , ), где∡( , ) это уголмеждувектором иподпространством1 ,мы заключаем, что

sin ∡( , ) = | ⊥|| | = | | ⋅ . (6-24)

Пример 6.6 (векторные произведения в ℝ )

Зафиксируем в ℝ какой-нибудь ортонормальный базис ( , , ) положительной ориента-ции. Ориентированный объём параллелепипеда, натянутого на векторы

( , , ) = ( , , ) ⋅⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1См. опр. 6.2 на стр. 98.

6.4.Ортогональное проектирование 99

можно записать, раскладывая определитель по первому столбцу, как скалярное произведение

det⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= ⋅ ( − ) + ⋅ (− + ) + ⋅ ( − ) = ( , [ , ])

вектора = ( , , ) с вектором

[ , ] ≝ ( − , − + , − ) =

= (det ( ) − det ( ) , det ( )) ,(6-25)

который называется векторным произведением векторов и . Поскольку

( , [ , ]) = det( , , ) = и (, [ , ]) = det( , , ) = ,

вектор [ , ] перпендикулярен обоим векторам , , а его длина

| �[ , ]| � =( , [ , ])

| | ⋅ cos ∡( , [ , ]) = Vol( , , ) = Vol( , )

равна евклидовой площади параллелограмма, натянутого на векторы , . Если векторы ине пропорциональны, то вектор [ , ] ≠ и направлен так, что базис [ , ], , положителен1.Если и пропорциональны, то [ , ] = . Это даёт однозначное геометрическое описание век-тора [ , ] в терминах векторов , , и показывает, что он не зависит от выбора ортонормаль-ного базиса, использованного для вычисления его координат в формуле (6-25). Иначе можносказать, что вектор [ , ] ∈ является прообразом ковектора

( ∗ , , ) ∶ ℝ → ℝ , ↦ ( , , ) ,

где — стандартная форма ориентированного объёма на ℝ , относительно задаваемого ска-лярным произведением изоморфизма между ℝ и ℝ ∗

из форм. (6-14) на стр. 95.

Пример 6.7 (высшие векторные произведения)

Конструкция из прим. 6.6 переносится в старшие размерности следующим образом. Сопоста-вим каждому упорядоченному набору из ( − ) векторов , , … , − в -мерном ориенти-рованном евклидовом пространстве вектор [ , , … , − ] ∈ , длина которого равна ев-клидову объёму неориентированного ( − )-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы, и буде этот объём ненулевой, направление вектора [ , , … , − ] ∈ перпендикулярно

гиперплоскости, порождённой векторами , и таково, что базис

[ , , … , − ], , , … , −

положительно ориентирован. Иначе говоря, вектор [ , , … , − ] ∈ является прообразомпри изоморфизме ∶ ⥲ ∗ из форм. (6-14) на стр. 95 от ковектора

( ∗ , , , … , − ) ∶ ℝ → ℝ , ↦ ( , , , , … , − ) ,

где — ориентирующая форма объёма на . Таким образом, в ℝ имеются тройные произве-дения [ , , ], в ℝ — четверные произведения [ , , , ] и т. д.

1Т. е. направленный вдоль вектора [ , ] буравчик ввинчивается при повороте от к по кратчайшейдуге.


Упражнение 6.9. Запишем координаты векторов , , … , − по строкам матрицы раз-мера ( − )× и обозначим через взятый со знаком (− ) определитель ( − )×( − )-подматрицы, дополнительной к -тому столбцу, как в n∘ 5.4.3 на стр. 80. Покажите, что

[ , , … , − ] = ( , , … , ) (6-26)

и что векторное произведение [ , , … , − ] кососимметрично и линейно по каждомуиз аргументов.

6.5. Сферы. ГМТ , удалённых от заданной точки на заданное расстояние > , называетсясферой радиуса с центром в и обозначается

( , ) ≝ { | ( , ) = } . (6-27)

ГМТ , удалённых от заданной точки не далее, чем на заданное расстояние > , называетсяшаром радиуса с центром в и обозначается

( , ) ≝ { | ( , ) ⩽ } . (6-28)

Пример 6.8 (описанная сфера симплекса)

Если точки , , … , ∈ ℝ не лежат в одной гиперплоскости, то через них проходит един-ственная сфера, называемая описанной сферой симплекса [ , , … , ]. В самом деле, ГМТ ,равноудалённых от всех точек , является пересечением аффинных гиперплоскостей— сре-динных перпендикуляров к отрезкам [ , ] с ⩽ ⩽ . Это пересечение задаётся системойиз линейных неоднородных уравнений1

( , ) = ( , ) − ( , )

на -мерный вектор . Поскольку векторы линейно независимы, левые части этих уравне-ний линейнонезависимы, ипопредл. 5.3 на стр. 77 такая системаимеет единственное решение, которое и является центром описанной сферы.


Пересечение сферы (соотв. шара) радиуса с центром в с аффинным подпространством ,находящимся от точки на расстоянии , пусто при > , а при ⩽ представляет собоюсферу (соотв. шар) радиуса √ − в подпространстве с центром в ортогональной проек-ции точки на подпространство . При = эта сфера (соотв. шар) вырождается в однуточку .

Доказательство. Пересечение ( , ) ∩ задаётся внутри уравнением, которое получаетсяподстановкой = + в уравнение сферы (6-27) и имеет вид ( , ) = − .�

Упражнение 6.10. Покажите, что сфера с диаметром [ , ] представляет собою ГМТ, из кото-рых отрезок [ , ] виден под прямым углом, т. е.

(( + )∕ , | − |∕ ) = { | ( , ) = }.


6.5. Сферы 101

6.5.1. Касательные.Аффинноеподпространство , пересекающее сферу ( , ) ровно в од-ной точке ∈ ( , ), называется касательным к сфере ( , ) в точке . Наибольшее по вклю-чению из касательных подпространств к ( , ) в заданной точке ∈ ( , ) это гиперплос-кость, проходящая через точку перпендикулярно вектору . Она называется касательнойгиперплоскостью к сфере ( , ) в точке ∈ ( , ) и обозначается

( , ) = { | ( , ) = } = { | ( , ) = } (6-29)

(второе описание получается из первого подстановкой = − ).6.5.2. Степень точки относительно сферы. Число

𝑝

𝑞

𝑝ℓ𝑟 ℓ

Рис. 6⋄3.

deg ( , ) ≝ | | −называется степенью точки относительно сферы ( , ). Обрати-те внимание, что

deg ( , ) < при ∈ ( , ) ∖ ( , ),deg ( , ) = при ∈ ( , ),deg ( , ) > при ∉ ( , ).

В последнем случае степень точки относительно сферы ( , )есть квадрат длины отрезка опущенной на сферу из точки каса-тельной прямой ℓ, заключённого между точкой и точкой касания(см. рис. 6⋄3).Предложение 6.5

Пусть прямая ℓ проходит через точку и пересекает сферу ( , ) в точках и или касаетсяеё в точке = . Тогда deg ( , ) = ( , ) = | | ⋅ | | (см. рис. 6⋄4).

𝑝

𝑞𝑎𝑡 𝑡

ℓ

Рис. 6⋄4. deg ( , ) = | | ⋅ | |.

Доказательство. Обозначим через ортогональную проекцию центра сферы на прямую ℓ.Согласно предл. 6.4 = − . Поэтому ( , ) = (| | + | |) ⋅ (| | − | |) = | | −− | | = | | − | | − | | = | | − | | = deg ( , ) . �

Упражнение 6.11 (радикальная ось). Покажите, что ГМТ, имеющих равные степени относи-тельно двух данных сфер ( , ) и ( , ), представляет собою гиперплоскость, перпен-дикулярную линии центров (т. е. прямой ( , )).


6.5.3. Поляры. Прямая ( , ), проходящая через точку ∈ ( , ) и произвольную точку≠ , касается сферы в точке , если и только если ( , ) = . Подставляя в это равенство

= − , получаем равносильное равенство

( , ) = . (6-30)

Это соотношение, рассматриваемое как линейное неоднородное уравнение на при фиксиро-ванном ∈ ( , ), задаёт касательную гиперплоскость ( , ) из (6-29). Если же воспри-нимать (6-30) как уравнение на при фиксированном ≠ , то оно задаёт гиперплоскость,перпендикулярную вектору и пересекающую прямую ( ) в точке с радиус вектором

= ( , )

иудалённойот на расстояние ∕| | в сторону точки (см. рис. 6⋄5). Эта гиперплоскость на-зывается полярной гиперплоскостью (или полярой) точки относительно сферы ( , ). В своюочередь, точка называется полюсом этой гиперплоскости. Поляра точки ∉ ( , ) можетбыть описана как гиперплоскость, высекающая из сферы ( , ) её видимый из точки кон-тур1 (см. рис. 6⋄5). Точки, лежащие на сфере, характеризуются как точки, лежащие на своихполярах, а отличные от точки внутри шара ( , ) —как точки, поляры которых не пересека-ют сферы.

𝑝𝑎𝑏

Рис. 6⋄5. Полюс и поляра.

Предложение 6.6 (полярная двойственность)

Для любых точек и , отличных от центра сферы, точка лежит на поляре точки тогда итолько тогда, когда точка лежит на поляре точки .

Доказательство. Оба условия записываются одним и тем же уравнением ( , ) = . �

Определение 6.3 (сопряжённые и инверсные точки)

Точки и называются сопряжёнными относительно сферы ( , ), если они удовдлетворяю-щие условиям предл. 6.6, т. е. ( , ) = . Сопряжённые точки и называются инверсны-ми, если прямая ( , ) проходит через центр сферы , т. е. = ∕( , ).

1Т. е. ГМТ касания со сферой всевозможных касательных, проходящих через точку .

6.5. Сферы 103

6.5.4. Инверсия. Отображение, переводящее каждую точку ≠ в инверсную ей точку

, ∶ ℝ ∖ → ℝ ∖ , ↦ + ⋅ ( , )

, (6-31)

называется инверсией относительно сферы ( , ). Инверсия является инволюцией1 на множе-

𝑝𝑎 𝑏

𝑥

𝑥

Рис. 6⋄6. Сфера, инверснаяплоскости.

стве всех точек, отличных от , и сфера ( , ) состоит в точности из неподвижных точек инвер-сии , . Инверсия переводит в себя каждое аффинное подпространство , проходящее через

центр сферы, и действует на нём как инверсия относи-тельно сферы ∩ ( , ).

В силу полярной двойственности каждая отличнаяот центра инверсии точка ≠ лежит на полярахвсех сопряжённых c нею точек. Последние образуют ги-перплоскость, проходящую через инверсную к точ-ку = , ( ) перпендикулярно вектору . Поля-ра любой точки из этой гиперплоскости проходитчерез инверсную к точку ′ = , ( ) и точку ,как на рис. 6⋄6. Таким образом, инверсия , перево-дит гиперплоскость, проходящую через точку перпен-дикулярно вектору , в ГМТ ′, из которых отрезок[ , ] виден под прямым углом, т. е. в сферу с диаметром

[ , ]. Поскольку инверсия обратна самой себе, то и наоборот, проходящая через точку сферас диаметром [ , ] переходит в полярную точке гиперплоскость, перпендикулярную вектору и проходящую через точку = , ( ).

Каждая не проходящая через точку сфера

𝑥 𝑥

𝑥′

𝑥′𝑝

𝑆(𝑝, 𝑟)

𝐶𝜎 , 𝐶

Рис. 6⋄7. Инверсия , переводитсферу в гомотетичную ей относительно

точки сферу.

переводится инверсией , в сферу, гомотетичнуюсфере относительно с коэффициентом ∕ ,где = deg это степень точки относительносферы , см. рис. 6⋄7. Действительно, если прохо-дящая через прямая пересекает в точках , ,то | | ⋅ | | = по предл. 6.5 на стр. 101, и дляточек ′ , ′ , гомотетичных точкам , относи-тельно с коэффициентом ∕ , выполняются ра-венства

| | ⋅ | ′ | = | | ⋅ | | ⋅ ∕ = ,| | ⋅ | ′ | = | | ⋅ | | ⋅ ∕ = ,

означающие, что , ( ) = ′ , а , ( ) = ′ . Об-ратите внимание, что порядок точек поменялся, ичто центр сферы не обязан переводиться инвер-сией , в центр сферы , ( ).

Упражнение 6.12. Пусть радиусы , двух сфер с центрами в точках , связаны равен-ством + = | , | . Покажите, что при инверсии относительно любой из сфер втораясфера переходит в себя, и найдите образ её центра.

1Т. е. обратной самой себе биекцией.


Лемма 6.1

Для произвольных двух инверсий и относительно не проходящих через центры друг другасфер = ( , ) и = ( , ) выполняется равенство = ( ), означающее, чтоинверсия переводит любую пару точек, инверсных относительно сферы , в пару точек,инверсных относительно сферы ( ) (ср. с упр. 3.23 на стр. 53).

Доказательство.Согласно сл. 3.8 на стр. 51инверсность точек , относительно сферы озна-чает, что все проходящие через и окружности и прямая ( ) пересекают сферу под пря-мым углом. Поскольку инверсия биективно переводит эти окружности и прямую в прямуюи окружности, проходящие через точки ( ) и ( ), и сохраняет углы между окружностями ипрямыми1, все проходящие через ( ) и ( ) окружности и прямая перпендикулярны сфере

( ), что означает инверсность точек ( ) и ( ) относительно сферы ( ). �

Пример 6.9 (стереографическая проекция)

Стереографическая проекция ∶ ∖ → сферы = ( , ) из лежащей на ней точки∈ ( , ) на экваториальную гиперплоскость , перпендикулярную вектору , совпадает с

действием на сферу ( , ) инверсии , √ относительно сферы ( , √ ) с центром в точке

, которая проходит через экватор ∩ ( , ) исходной сферы, как на рис. 6⋄8. В частности,любая сфера ′ = ∩ ( , ), высекаемая из сферы ( , ) произвольной не проходящей черезаффинной гиперплоскостью , перейдёт при стереографической проекции в гомотетичную

сфере ′ относительно точки сферу.

𝑧 𝑝

𝑆(𝑝, 𝑟)

𝑆 (𝑧, 𝑟√2)𝐸

𝑑

𝑑

𝑞 𝑝

𝑆(𝑝, 𝑟)𝑆(𝑞,𝑑)

𝛱

𝛱Рис. 6⋄8. Стереографическая проекция

∶ ( , ) ∖ → действует на сферукак инверсия , √ .

Рис. 6⋄9. Инверсия сферы переставляетпары коллинеарных центру инверсии

точек.

Пример 6.10 (инверсия на сфере)

Всякая точка , лежащая снаружи от данной ( − )-мерной сферы = ( , ) ⊂ ℝ , определяетинволютивное2 преобразование ∶ → , которое тождественно действует на точках пере-сечения ∩ сферы с полярной гиперплоскостью точки и переводит каждую точку

∈ ∖ во вторую, отличную от точку пересечения сферы с прямой ( ), как на рис. 6⋄9.1См. предл. 3.6 на стр. 51.2Т. е. обратное самому себе.

6.5. Сферы 105

Эта инволюция называется инверсией сферы с центром в , поскольку совпадает с ограниче-нием на сферу инверсии относительно сферы ′ = ( , ) с центром в и квадратом радиуса

= deg = | , | − , равным степени точки относительно сферы . Сфера ′ пересекаетсферу по той же ( − )-мерной сфере, что и гиперплоскость , см. рис. 6⋄9.

𝑟𝑟

𝑟√2

𝑑

𝑝𝑞

𝑧

𝐻

Рис. 6⋄10. ( √ ) + = + | , | − = | , | + = | , | .

Инверсия , относительно сферы ′ переводит в себя каждую проходящую через точку

𝑝

𝑐

𝑧

𝑎

𝑏

𝑝𝑎 𝑏 𝐸

𝛤

Рис. 6⋄11. | , ′| = | , ′| для = ( ),′ = ( ), ′ = ( ).

гиперплоскость ⊂ ℝ , действуя в ней как инверсия относительно сферы ′ ∩ . Еслигиперплоскость является экваториальнойдля сферы , т. е. проходит через её центр, то действия инверсий , ∶ → ги-

перплоскости и ∶ → сферы пе-реводятся одно в другое стереографическойпроекцией ∶ ∖ → из каждой издвух точек ∈ с ⊥ , как в предыду-щем прим. 6.9. Действительно, проекцияявляется ограничением на сферу инвер-сии , √ ∶ ℝ → ℝ , которая переводит

сферу ′ = ( , ) в себя по упр. 6.12, т. к.

сумма квадратов радиусов сфер ( , √ )и ( , ) равна квадрату рассмояния междуих центрами, см. рис. 6⋄10. Поэтому соглас-но лем. 6.1 во всём пространстве ℝ выпол-нено равенство , √ ∘ , = , ∘ , √ .

Упражнение 6.13. Покажите, что проекция сферы ( , ) из точки ∈ на перпендикулярнуювектору экваториальную гиперплоскость переводит сферу, высекаемую из ( , ) непроходящей через аффинной гиперплоскостью , в сферу с центром в той точке гипер-плоскости , куда проектируется из полюс гиперплоскости , см. рис. 6⋄11.

§7. Группы ортогональных преобразований

Всюду в этом параграфе основное поле 𝕜 = ℝ.

7.1. Линейная ортогональная группа. Линейный эндоморфизм ∶ → евклидова вектор-ного пространства называется ортогональным операторомили изометрией, если он сохраня-ет длины векторов: | | = | | для всех ∈ . Поскольку скалярное произведение однозначновыражается через длины1, каждый ортогональный оператор сохраняет и скалярные произведе-ния: ( , ) = ( , ) для всех , ∈ . Сохранение скалярных произведений влечёт за собоюсохранение углов между векторами и любых других величин, выражающихся через скалярныепроизведения. Например, каждый ортогональный оператор сохраняет евклидов объём парал-лелепипеда, равныйкорнюиз определителя Грама2. Поэтому определитель любого ортогональ-ного оператора равен ± . В частности, все ортогональные операторы обратимы и составляютв полной линейной группе пространства подгруппу, которая обозначается O( ) ⊂ GL( ) иназывается ортогональной группой евклидова пространства . Сохраняющие ориентацию ор-тогональные операторы образуют подгруппу ортогональной группы. Она обозначается

SO( ) ≝ O( ) ∩ SL( ) = { ∈ O( ) | det = }

иназывается специальной ортогональной группойили группой собственных ортогональныхопе-раторов. Ортогональные операторы определителя− , меняющие ориентациюпространства напротивоположную, называются несобственными.

Пример 7.1 (центральная симметрия)

Оператор −Id ∶ ↦ − является ортогональным на любом евклидовом векторном простран-стве . Он собственный, если dim чётна, и несобственный, если dim нечётна.

Упражнение 7.1. Покажите, что ортогональная группа одномерного пространства исчерпыва-ется операторами ±Id.

Пример 7.2 (симметрии)

Как мы видели в n∘ 6.3.2 на стр. 96, с каждым векторным подпространством ⊂ связано раз-ложение в ортогональную прямую сумму = ⊕ ⊥. Обозначим через ∶ → линейноеотображение, тождественно действующее на и умножающее все векторы из ⊥ на − , т. е.переводящее произвольный вектор = + ⊥ ∈ ⊕ ⊥ = в вектор

( ) = − ⊥ = − ⊥ . (7-1)

Так как | ( )| = | − ⊥| = | | + | ⊥| = | + ⊥| = | | , оператор ортогонален. Онназывается симметрией относительно подпространства . При = получается центральнаясимметрия из предыдущего прим. 7.1. В общем случае оператор собственный , если и толькоесли коразмерность подпространства в чётна. Все операторы инволютивны, т. е.

= Id .1См. формулу (6-5) на стр. 90.2См. n∘ 6.2.1 на стр. 94.

106

7.1. Линейная ортогональная группа 107

7.1.1. Отраженияв гиперплоскостях.Важнейшим специальным случаем симметрии явля-

o

σuv v

u−u

u⊥

(u,v)(u,u)

· u

Рис. 7⋄1. Отражение вгиперплоскости ⊥.

ется отражение в гиперплоскости = ⊥, перпендикулярной какому-либо ненулевому вектору∈ . Оно обозначается через и действует по фор-

муле

( ) = − ( , )( , ) ⋅ . (7-2)

в которуюпревращается предыдущаяформула (7-1) при⊥ = ℝ ⋅ . Два отражения и совпадают тогда и

только тогда, когда задающиеихненулевые векторы ипропорциональны. Отражения в гиперплоскостях яв-

ляются несобственными изометриями. Любые два раз-личных ненулевых вектора ≠ одинаковой длины| | = | |, переводятся друг в друга отражением − от-носительно срединного перпендикуляра к отрезку [ , ]в 𝔸( ).

Теорема 7.1

Любой ортогональный оператор на -мерном евклидовом векторном пространстве являетсякомпозицией не более отражений в гиперплоскостях.

Доказательство. Индукция по . Если = или = Id, то доказывать нечего. Если есть вектор≠ ( ), обозначим через отражение, переводящее ( ) в . Тогда = ∘ , где = ∘

оставляет вектор на месте, а значит, переводит в себя ( − )-мерное подпространство ⊥.По индукции, ограничение на ⊥ является композицией не более ( − ) отражений в( − )-мерных гиперплоскостях ⊥ внутри подпространства ⊥. Каждое из этих отраженийявляется ограничениемна ⊥ отражения ∶ → в ( − )-мерной гиперплоскости ⊥ ⊂ ,содержащей вектор . Так как вектор неподвижен при всех этих отражениях, является ихкомпозицией. Поэтому = ∘ это композициея не более отражений. �


Всякий собственный ортогональный оператор является композицией чётного, а всякий несоб-ственный— нечётного числа отражений в гиперплоскостях. �

Пример 7.3 (изометрии евклидовой плоскости)

Согласно сл. 7.1 каждый несобственный ортогональный оператор на двумерном евклидовом

𝜎 (𝑢 )

𝑢 = 𝜎 (𝑢 )

𝑢𝜎 𝜎 (𝑢 )

𝜎 𝜎 (𝑢 )

Рис. 7⋄2. Композиция отражений.

векторном пространстве является отражением относительно прямой, а каждый собственныйортогональный оператор, отличный от тож-дественного, является композицией ∘двух отражений относительно прямых ⊥ и

⊥, ортогональных каким-либо двум непро-порциональным векторам и . Эти двавектора образуют базис, и каждый из них поддействием преобразования ∘ повора-чивается в направлении от к на удво-енный угол между векторами и (см.рис. 7⋄2). Тем самым, это преобразование яв-

ляется поворотом на угол ∡( ), а значит, специальная ортогональная группа двумерного

108 §7 Группы ортогональных преобразований

пространства исчерпывается поворотами, что согласуется с результатами n∘ 3.4.2 на стр. 43.Поворот на угол против часовой стрелки имеет в любом положительно ориентированномортонормальном базисе матрицу

= (cos − sinsin cos ) (7-3)

Пример 7.4 (собственные изометрии трёхмерного пространства)

Как и на плоскости, всякий нетождественный собственный ортогональный оператор в трёх-

u⊥

1

u⊥

2

[u1, u2]

Рис. 7⋄3. Поворот.

мерном евклидовом векторном пространстве является композицией = ∘ двух отра-жений в плоскостях ⊥, ⊥, перпендикулярных некото-рым непропорциональным векторам и . Обозна-чим через плоскость, порождённую этими вектора-ми. Оператор тождественно действует на перпенди-кулярной к ней прямой ⊥ = ⊥ ∩ ⊥ = ℝ ⋅ [ , ],порождённой векторным произведением1 [ , ]. Сле-довательно, переводит ортогональную этой прямойплоскость в себя и согласно предыдущему прим. 7.3действует в ней поворотом на угол ∡( ) по часовойстрелке, если глядеть вдоль вектора [ , ]. Таким об-разом, собственная ортогональная группа трёхмерно-го евклидова пространства исчерпывается поворотамивокруг прямых. Этотфакт известен кактеорема Эйлера.

Лемма 7.1

Для любого линейного эндоморфизма ∶ → конечномерного векторного пространстванад полемℝ найдётся такое одномерное или двумерное подпространство ⊂ , которое пере-водится отображением в себя.

Доказательство. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор ∈ и образуем из него +векторов , , , … , , где = dim и обозначает результат -кратного последо-вательного применения оператора к вектору . Поскольку эти векторы линейно зависимы,найдутся такие , , … , ∈ ℝ, что ( + − + ⋯ + − + ) = . Заключённыйв скобки линейный оператор можно воспринимать как результат подстановки = в много-член ( ) = + − + ⋯ + − + ∈ ℝ[ ]. Всякий такой многочлен раскладываетсяв произведение ( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ⋯ ⋅ ( ) линейных двучленов вида − и квадратныхтрёхчленов вида − − с вещественными коэффициентами. Подставляя в это разложениеи применяя полученный оператор к вектору , мы заключаем, что

( ) ∘ ( ) ∘ ⋯ ∘ ( ) = .

Рассмотрим наименьшее , для которого вектор = + ( ) ∘ ⋯ ∘ ( ) всё ещё отличенот нуля. Тогда ( ) = . Для ( ) = − это значит, что ( ) = , т. е. одномерноеподпространство ℝ ⋅ переводится оператором в себя. Для ( ) = − − имеем

( ( )) = ( ) + , т. е. линейная оболочка векторов и ( ) переводится операторомв себя. �

1См. прим. 6.6 на стр. 98.

7.1. Линейная ортогональная группа 109

Пример 7.5 (несобственные изометрии трёхмерного пространства)

Согласно лем. 7.1 всякая несобственная изометрия трёхмерного пространства переводит всебя некоторую прямую или плоскость, а значит и ортогональное дополнение к ней, т. е. в лю-бом случае = ⊕ , где и ортогональны, dim = , dim = и переводит оба под-пространства в себя. Если тождественно действует на , то на он действует несобственно,т. е. отражением относительно прямой. Тем самым, является отражением в плоскости, натя-нутой на и эту прямую. Если | = −Id , то действует на собственно, т. е. поворотом.Мы заключаем, что всякая несобственная линейная изометрия трёхмерного векторного про-странства является либо отражением в плоскости, либо композицией поворота и отражения вплоскости, перпендикулярной оси поворота.

Теорема 7.2

Для любого ортогонального оператора на конечномерном евклидовом векторном простран-стве существует такое разложение = ⊕ ⊕ ⋯ ⊕ в прямую сумму попарно ор-тогональных друг другу одномерных и двумерных подпространств, что оператор переводитвсе эти подпространства в себя и на двумерных действует поворотами1, а на одномерных —как ∓Id.

Замечание 7.1. Любуюпару одномерныхподпространств, на которых действует как−Id, мож-но объединить в одно двумерное подпространство, на котором действует как поворот на угол. Точно также любую пару одномерных подпространств, на которых действует как Id, можно

объединить в одно двумерное подпространство, на котором действует как поворот на нуле-вой угол. После того, как будут проделаны все эти объединения, одномерных подпространств

в теор. 7.2 останется не более двух. Оператор является собственным , если и только еслиодномерных пространств останется не более одного, и буде оно есть, действует на нём тож-дественно. Оператор является несобственным тогда и только тогда, когда останется одно илидва одномерных пространства, причём ровно на одном из них действует как −Id.

Доказательство теор. 7.2. Индукция по dim . Случаи dim = , уже были разобраны выше вупр. 7.1 и прим. 7.3. Пусть dim ⩾ . Согласно лем. 7.1 оператор ∶ → переводит в себянекоторое одномерное или двумерное подпространство ⊂ . Поскольку сохраняет скаляр-ное произведение, переводит в себя и ортогонал ⊥ к подпространству . Ограничения на

и на ⊥ являются ортогональными операторами в этих меньших подпространствах. По ин-дукции, имеет на каждом из них требуемые разложения. Складывая эти разложения вместе,получаем нужное разложение для = ⊕ ⊥. �

7.1.2. Инвариантнаяхарактеризацияугловповоротов.Дляпроизвольного линейного эн-доморфизма ∶ → и любого числа ∈ ℝ разность между гомотетией с коэффициентоми отображением также является линейным эндоморфизмом векторного пространства :

Id − ∶ → , ↦ − ( ) .

Его определитель, рассматриваемый как функция от , это многочлен с зависящими от коэф-фициентами. Он называется характеристическим многочленом оператора и обозначается

( ) ≝ det( Id − ) ∈ ℝ[ ] .1Углы которых могут быть разными в разных подпространствах .


Чтобывыписать его явно, следует составитьматрицу отображения в каком-нибудь базисепространства и вычислить определитель матрицы − :

( ) = det( Id − ) = det( − ) .

Например, характеристический многочлен оператора гомотетии = Id с коэффициентомна -мерном пространстве равен

Id( ) = det( Id − Id) = det⎛⎜⎜⎜⎝

⎛⎜⎜⎜⎝

⋱

⎞⎟⎟⎟⎠

−⎛⎜⎜⎜⎝

⋱

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

=

= det⎛⎜⎜⎜⎝

−−

⋱−

⎞⎟⎟⎟⎠

= ( − )

А характеристический многочлен оператора поворота (7-3) евклидовой плоскости на уголпротив часовой стрелки равен

( ) = det( Id − ) = det (( ) − (cos − sinsin cos )) =

= det (− cos sin− sin − cos ) = − cos + .

Из теор. 7.2 вытекает, что характеристическиймногочлен любой линейнойизометрии евкли-дова пространства является произведением квадратных трёхчленов вида

( ) = − cos + , где < < , (7-4)

и линейных двучленов вида ± . В самом деле, в базисе пространства , полученнымобъедине-нием каких-нибудь ортонормальных базисов пространств из теор. 7.2, ненулевые элементыматрицыоператора − сосредоточатся внутри расположенныхна главной диагонали блоковразмера × и × вида

(− cos sin− sin − cos ) , ( − ) , ( + ) .

Определитель такойматрицыравенпроизведениюопределителейблоков, т. е. трёхчленов (7-4)и двучленов ± . Таким образом, все корни характеристического многочлена ( ) в поле ℂимеют вид cos ± sin и ± , и каждой паре невещественных комплексно сопряжённых кор-ней cos ± sin биективно соответствует двумерное подпространство из теор. 7.2, где

действует поворотом на угол , а каждому корню ± — одномерное подпространство, гдедействует, соответственно, как ±Id. В частности, в теор. 7.2 неупорядоченный набор углов

поворотов в двумерных подпространствах , а также количества одномерных подпространств, на которых оператор действует как ±Id, не зависят от выбора разложения, удовлетворя-

ющего условиям теоремы, и однозначно задаются корнями характеристического многочлена( ) = det( Id − ). По этой причине ортогональное разложение из теор. 7.2 называется кано-

ническим разложением евклидовой изометрии.

7.2. Группы отражений 111

7.2. Группы отражений. Конечная группа линейных изометрий евклидова пространстваназывается группой отражений, если она порождается отражениями в гиперплоскостях, т. е.имеется такой набор попарно непропорциональных векторов , , … , ∈ , что всякоепреобразование ∈ раскладывается в композицию отражений = в гиперплоско-стях ⊥. Отметим, что для непропорциональных векторов , композиция тождественнодействует на ( − )-мерном пространстве ⊥ ∩ ⊥, а в ортогональной ему двумерной плоско-сти, порождённой векторами , , она действует как поворот на угол ∡( , ), т. е. группа ,не смотря на название, состоит не только из отражений. Она лишь порождается ими.

Лемма 7.2

Для любой изометрии ∶ → и ненулевого вектора ∈ выполняется равенство

∘ = ( ) ∘ . (7-5)

Доказательство. Геометрически очевидно, что всякая изометрия переводит симметричныеотносительно гиперплоскости ⊥ векторы , , в векторы ( ), ( ), симметричные относи-тельно гиперплоскости ( )⊥. Формально, применяя к обеим частям равенства

= − ( , )( , ) ⋅ ,

получаем ( ) = ( ) − ( � ( ), ( )) � ⋅ ( )∕( � ( ), ( )) �. �


Объединение всех зеркал любой группы отражений переводится в себя каждым преобразо-ванием из группы .

Доказательство. Пусть гиперплоскость ⊥ является зеркалом отражения из группы . Длялюбого преобразования ∈ гиперплоскость ( ⊥) = ( )⊥ является в силу равенства (7-5)зеркалом отражения

( ) = − (7-6)

также принадлежащего группе . �

Пример 7.6 (группы диэдров)

Группа отражений двумерного евклидова векторного пространства однозначно с точностью доизоморфизма определяется числом имеющихся в ней отражений. В самом деле, зеркала этихотраженийразбиваютплоскостьна углов, какнарис. 7⋄4на стр. 112. Выберемнаименьшийиз них, пометим его буквой , назовём его стороны ℓ , ℓ , и обозначим отражения в них через

= ℓ , = ℓ . Поскольку отражения группы переводят зеркала в зеркала, все зеркалгруппы получаются последовательными отражениями зеркал ℓ и ℓ друг относительно дру-га, а углы между ними— последовательными отражениями угла относительно его сторон почасовой стрелке или против часовой стрелки, т. е. будут согласно формуле (7-6) иметь вид

( ) ( )(ℓ ) ( ( )) = ( ) (ℓ ) ( ( )) = ( )

(ℓ ) ( ( )) = ( ) (ℓ ) ( ( )) = ( )(ℓ ) ( ( )) = ( ) (ℓ ) ( ( )) = ( )

⋯ ⋯


Надпишем каждый из углов тем преобразованием из правой части предыдущих равенств, кото-

e

σ2

σ2σ1

σ 2σ 1σ 2

σ 2σ 1σ 2σ 1

σ1 σ

2 σ1 σ

2 σ1

σ1σ

2σ1σ

2

σ1σ2σ1

σ 1σ 2

σ 1

ℓ1

σ 2ℓ 1

σ2σ1σ2ℓ1

σ1σ2σ1σ2ℓ1

σ1 σ

2 ℓ1

ℓ 2

σ2σ

1ℓ2

σ2σ1σ2σ1ℓ2

σ1 ℓ2

σ1σ

2σ1ℓ

2

Рис. 7⋄4. Группа диэдра.

рым он получается из угла , как на рис. 7⋄4. В результате каждый угол будет надписан словомвида … и словом вида …,отвечающими двум обходам вокруг нуля,приводящим из начального угла в рассмат-риваемый угол. Поскольку движение плос-кости однозначно определяется своим дей-ствием на угол , мы заключаем, что груп-па порождается двумяотражениями, каж-дый её элемент может быть записан в виде

… или в виде …, и для всех⩽ ⩽ выполняются равенства

…⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ = = …⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟−

, (7-7)

эквивалентные равенству ( ) = Id,вытекающему из того, что композиция от-ражений является поворотом на угол

∕ . Из рис. 7⋄4 и рис. 7⋄5 очевидно, чтогруппа совпадает с группой симметрийправильного -угольника и состоит изотражений и поворотов на углы ∕ . Эту группу традиционно обозначают и назы-вают -той диэдральной группой. Обратите внимание, что при нечётном все оси симмет-рии геометрически одинаковы и составляют одну орбиту группы , тогда как при нечётном

орбиты прямых ℓ и ℓ различны и образуют два геометрически разных набора осей: однипроходят через противоположные вершины многоугольника, а другие — через середины про-тивоположных рёбер (см. рис. 7⋄5).

Рис. 7⋄5. Оси правильных многоугольников.


Определение 7.1 (группа фигуры)

Пусть — евклидово векторное пространство, и ⊂ 𝔸( ) какая-либо фигура в его аффиниза-ции. Группа биективных отображений ⥲ , которые можно получить, ограничивая на фигу-ру всевозможные линейные изометрии ⥲ , переводящие в себя, называется (полной)группой фигуры и обозначается O . Её подгруппа SO ⊂ O , состоящая из биекций ⥲ ,задаваемых собственными1 изометриямипространства , называется собственной группойфи-гуры .

Упражнение 7.2. Убедитесь, что полная и собственная группы любой фигуры действительноявляются группамипреобразований этойфигуры в смысле определения на стр. 5, и что онисовпадают друг с другом, если фигура содержится в некоторой гиперплоскости ⊂ .

Рис. 7⋄6. Тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Пример 7.7 (группы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра)

Обозначим через платоново тело с треугольными граня-

Рис. 7⋄7. Барицентрическоеразбиение тетраэдра

плоскостями симметрии.

ми, т. е. правильный тетраэдр, октаэдр или икосаэдр (см.рис. 7⋄6).Плоскости симметриимногогранника задают ба-рицентрическое разбиение каждой из граней на треуголь-ников с вершинами в вершине , середине примыкающегок этой вершине ребра и центре примыкающей к этому ребруграни (см. рис. 7⋄7). Все эти треугольники конгруэнтны другдругу и сходятся по = штук в центрах граней , по

= штуки в серединах сторон и по штук в вер-шинах , где числа , а также число граней у и общеечисло треугольников = представлены в таблице2

=тетраэдр 3 2 3 4 24октаэдр 3 2 4 8 48

икосаэдр 3 2 5 20 120 .

1Т. е. сохраняющими ориентацию.2Обратите внимание, что помещённый в пространство -угольный диэдр из прим. 7.6, тоже можно

было бы включить в этот список со значениями = , = , = , = и = , еслиусловиться, что плоский диэдр имеет 2 двумерных грани: «верхнюю» и «нижнюю».


Пометим трёхгранный угол с вершиной в нуле, опирающийся на один из треугольников,буквой , назовёмвысекающие егоплоскости симметриибуквами , , так, чтобыдля всехциклических перестановок , , множества индексов , , двугранныйуголмежду плоскостя-ми и равнялся ∕ , и обозначим через отражение в плоскости . Поскольку каждоепреобразование из группыO однозначно определяется своим действием на трёхгранный угол, для каждого из трёхгранных углов существует ровно одно преобразование ∈ O , перево-

дящее угол в рассматриваемый угол. Пометимкаждый угол темпреобразованием ∈ O , ко-торое переводит в него наш начальный угол . Таким образом, каждое преобразование ∈ Oпереводит угол в угол . На рис. 7⋄8 изображена стереографическая проекция картинки,которую трёхгранных угла барицентрического разбиения тетраэдра с рис. 7⋄7 высекают наописанной около этого тетраэдра сфере. На каждом сферическом треугольнике написана ком-позиция отражений , , , переводящая треугольник в этот треугольник.

eσ2

σ2σ3

σ2σ3σ2 σ3σ2

σ3

σ1σ2σ1

σ2σ3σ1

σ2σ3σ2σ1 σ3σ2σ1

σ3σ1

σ1σ2σ2σ1σ2

σ2σ3σ1σ2

σ2σ3σ2σ1σ2 σ3σ2σ1σ2

σ3σ1σ2

σ1σ2σ3σ2σ1σ2σ3

σ2σ3σ1σ2σ3

σ2σ3σ2σ1σ2σ3 σ3σ2σ1σ2σ3

σ3σ1σ2σ30

12

3

Рис. 7⋄8.Триангуляция сферы плоскостями симметрии правильного тетраэдра [ , , , ] встереографической проекции из диаметрально противоположной к вершине [ ] точки сферы

на плоскость, параллельную грани [ , , ].

Чтобы написать такую композицию, приводящую из треугольника в заданный треугольник, выберем внутри трёхгранных углов и векторы и одинаковой длины так, чтобы на-

тянутая на них плоскость не содержала линий пересечения плоскостей симметрии много-гранника . Пройдём из в по дуге окружности, высекаемой плоскостью на описанной


вокруг многогранника сфере. Пусть мы при этом последовательно побываем в трёхгранныхуглах = , , , … , , + = , и при проходе из -го угла в ( + )-й пересчём плос-кость ( ), ∈ { , , }, которая является образом грани начального трёхгранного углапри отображении , переводящем угол в угол . Тогда по форм. (7-6) на стр. 111

== ( ) = ( − ) == ( ) = ( − ) =

⋯= ( ) = ( − ) = ⋯ .

Тем самым, если пометить соответственные грани всех трёхгранных углов цифрами , ,так, чтобы в угле грань, высекаемая плоскостью ( ), получила метку « », то последователь-ность , , … , индексов ∈ { , , } в представлении

= ⋯ (7-8)

будет состоять из выписанных слева направо по порядку номеров граней, которые придётсяпоследовательно пересечь при движении из в по дуге (на рис. 7⋄8 грани , , изобра-жены синим, зелёнымилиловымцветами соответственно). Из сказанного вытекает, что группаO является группой отражений, и более того, она порождается всего тремя отражениями ,

, в гранях одного трёхгранного угла, опирающегося на какой-нибудь из треугольниковбарицентрического разбиения треугольной грани многогранника . Такие отражения называ-ются простыми.

Обратите внимание, что разложение (7-8) элементов ∈ O в композиции простых от-ражений не единственно и зависит от выбора векторов и внутри трёхгранных углов. Приизменении любого из этих векторов последовательность , , … , номеров зеркал, пере-секаемых по дороге от и , не меняется, пока натянутая на эти векторы плоскость нестолнётся с линией пересечения зеркал. При пересечении таких линий, последовательность

, , … , меняется так, как показано на рис. 7⋄9, где изображена центральная проекцияпроисходящего из нуля на какую-нибудь аффинную плоскость, трансверсально пересекающуювсе рассматриваемые зеркала (при этом линии пересечения зекал изображаются точками, асами зеркала — прямыми).

𝑒

𝑔𝜎𝜎𝜎

Рис. 7⋄9. 𝝈 𝝈 𝝈 𝝈 𝝈 = =𝝈 𝝈 𝝈 𝝈 𝝈 .


Разложения, отвечающие верхней и нижней траекториям на рис. 7⋄9 отличаются друг от другатем, что линии пересечения зеркал обходятся в противоположных направлениях. Композициивозникающих при этом отражений удовлетворяют циклическим соотношениям =и = того же самого вида, что соотношения (7-7) в группе диэдра.

В общем случае, при проходе через ось, по которой пересекаются зеркал, являющихсяобразами плоскостей и , фрагмент вида … в разложении (7-8) заменяется равнымему фрагментом вида … согласно соотношению ( ) = Id, вытекающему из того,что композиция отражений в двух соседних плоскостях является поворотом на угол ∕ .В действительности, наши рассуждения показывают, что группа O изоморфна фактору сво-бодной группы с образующими , , по наименьшей нормальной подгруппе1 содержащейслова и ( ) для всех = , , и всех циклических перестановок ( , , ) набора ( , , ).

Упражнение 7.3. Докажите, что группа тетраэдра изоморфна симметрической группе .

Пример 7.8 (система зеркал )

Обозначим через гиперплоскость + +⋯ + = в координатном пространстве2 ℝ + ,а через = − ∶ ℝ + → ℝ + — отражение в гиперплоскости, ортогональной вектору

− ∈ . Это отражение осуществляет транспозицию базисных векторов и , оставляявсе остальные базисные векторы на месте. Таким образом, группа, порождённая отражения-ми , совпадает с симметрической группой + всевозможных перестановок стандартныхбазисных векторов пространства ℝ + . Поскольку все такие перестановки оставляют на местевектор = + + ⋯ + , они переводят в себя подпространство = ⊥, действуя нанём перестановками вершин правильного -мерного симплекса ⊂ с центром в нуле и вер-шинами в ортогональных проекциях векторов , которые мы для простоты будем обозначатьпросто числами , , … , . Таким образом, группа + оказывается изоморфной группе пра-вильного -мерного симплекса.Обозначимчерез [ , , … , ] ⊂ выпуклуюоболочку вершин

, , … , . Это правильный -мерный симплекс, представляющий собою грань симплекса , ивсе грани у имеют такой вид. Также обозначимчерез = ∩( − )⊥ зеркало ограниченияотражения на . Конфигурация из ( + )∕ зеркал называется конфигурацией ти-па . Каждое зеркало проходит через середину ребра [ , ] и содержит противоположнуюэтому ребру ( − )-мерную грань с вершинами в точках { , , … , } ∖ { , }.

Упражнение 7.4. Убедитесь, что все плоскости и с { , } ∩ { , } = ∅ ортогональны,а плоскости и с различными , , пересекаются под углом ∕ .

Гиперплоскости осуществляют барицентрическое разбиение симплекса на !меньших сим-плексов с вершинами в центрах центрах граней симплекса , совершенно аналогичное тому,что мы видели на рис. 7⋄7 на стр. 113. Обозначим через ⟨ … ⟩ центр -мерной грани свершинами в , , … , и сопоставим каждой перестановке = ( , , … , ) ∈ + сим-плекс барицентрического разбиения с вершинами в точках3

[�⟨ ⟩, ⟨ , ⟩, ⟨ , , ⟩, … , ⟨ … − ⟩, ⟨ … ⟩]� . (7-9)

1Точный смысл этих слов и доказательство даются в курсе алгебры, см., например,http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/lec-13.pdf

2Обратите внимание, что координаты нумеруются с нуля.3Первая вершина находится в вершине самого симплекса , вторая — в середине выходящего изребра [ , ], третья — в центре примыкающей к этому ребру треугольной грани [ , , ] и т. д.

Последняя вершина является центром всего симплекса .

http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/lec-13.pdf


Таким образом возникает биекция между симплексами барицентрического разбиения и эле-ментами группы + ≃ O . Как и в предыдущем примере, пометим буквой «начальный»симплекс

[�⟨ ⟩, ⟨ ⟩, ⟨ ⟩, … , ⟨ , , … , − ⟩, ⟨ , , … , ⟩]� , (7-10)

отвечающий тождественнойперестановке, а симплекс (7-9), получающийся из начального пре-образованием ∈ O , задаваемымперестановкой , пометим преобразованием . Обозначимчерез = − , с ⩽ ⩽ проходящие через нуль ( − )-мерные грани начального симплекса(7-10). Они образуют -гранный угол, и отражениям в его гранях отвечают в группе транс-позиции соседних элементов = ( − , ). Как и в предыдущем примере, они называютсяпростыми отражениями. Легко видеть, что транспозиции порождают всю симметрическуюгруппу. Согласно упр. 7.4 они удовлетворяют соотношениям

= ( + ) = и = при | − | ⩾ . (7-11)

Циклическое соотношение соотношение ( + ) = чаще записывают в виде

+ = + +

и называют соотношением треугольника, поскольку простейшим его проявлением является со-отношение между отражениями в медианах правильного треугольника. Геометрически убе-диться в том, что простые отражения порождают группу O , а заодно указать практическийспособ представления произвольного элемента ∈ O в виде

= ⋯ , где все ∈ { , , … , } , (7-12)

можно темже способом, что и в предыдущем примере. А именно, занумеруем грани каждого -гранного угла числами от до так, чтобы грань, высекаемая гиперплоскостью ( ) полу-чила номер « ». Выберем внутри -гранных углов и такие векторы и , что натянутая наних плоскость не пересекается ни с однимиз ( − )-мерных попарных пересечений зеркалконфигурации .

Упражнение 7.5. Убедитесь, что такой выбор возможен.

Пройдём из в по кратчайшей из двух дуг окружности, высекаемой плоскостью из опи-санной сферы симплекса , и запишем подряд (в порядке поступления) номера , , … ,тех зеркал, которые будем пересекать. Тогда для полученной последовательности номеров бу-дет справедлива формула (7-12).


Определение 7.2 (полупространства)

Для ненулевого вектора ∈ положим + ≝ { ∈ | ( , ) > }, − ≝ { ∈ | ( , ) < }и назовём эти множества положительным и отрицательным открытыми полупространства-ми относительно . Также положим ⩾ ≝ + ⊔ ⊥ и ⩽ ≝ − ⊔ ⊥ и назовём их замкну-тыми полупространствами (положительным и отрицательным). Отметьте, что (− )+ = − и(− )⩾ = ⩽ .

Упражнение 7.7.Убедитесь, что = −⊔ ⊥⊔ + ичто следующие условияна векторы , ∈равносильны друг другу: а) и лежат в одном открытом полупространстве б) весь


отрезок [ , ] ≝ { + | , > & + = } лежат водномоткрытомполупространствев) [ , ] ∩ ⊥ = ∅. В частности принадлежность одной открытой гиперплоскости являетсяотношением эквивалентности на множестве векторов, не лежащих в гиперплоскости ⊥.

7.3. Системы корней и камеры Вейля. Пусть в -мерном евклидовом пространстве дей-ствует конечная группа отражений . Запишем зеркала всех различных отражений из в виде

⊥, ⊥, … , ⊥ для некоторых ненулевых векторов , , … , ∈ . Эти векторы определя-ются группой однозначно с точностью до пропорциональности. Отнормируем их так, чтобыони стали единичной длины, и вместе с каждым вектором рассмотрим противоположныйему вектор − . Полученный набор векторов = {± , ± , … , ± } называется системойкорней группы . Согласно сл. 7.2 на стр. 111 все преобразования из группы переводят зер-кала в зеркала и, стало быть, корни — в корни. Обозначим через ≝ ⋃ ⊥ объединение всехзеркал группы . Дополнение до него распадается в дизъюнктное объединение открытых ко-нусов ⊔ ⊔ … ⊔ , которые называются камерами Вейля и являются классами эквива-лентности точек из ∖ по отношению, объявляющему две точки эквивалентными, если онилежат в одном открытом полупространстве относительно всех гиперплоскостей ⊥. Посколькуэто отношение является пересечением эквивалентностей из упр. 7.7, каждая камера вместес любыми двумя точками содержит соединяющий их отрезок, и две точки из тогда и толькотогда лежат в одной камере, когда соединяющий их отрезок не пересекает зеркал.

Обозначим через двумерную плоскость, порождённую корнями , . Ортогональнымдополнением к ней является ( − )-мерное пересечение зеркал ⊥ = ⊥ ∩ ⊥. Все проходящиечерез это пересечение зеркала группы высекают в плоскости двумерную конфигурациюпрямых, являющихся зеркалами отражений некой диэдральной группы из прим. 7.6 настр. 111. Целое число ⩾ однозначно определяется группой и корнями , как числовсех зеркал группы , проходящих через пересечение -того и -того зеркала. При этом наи-меньший из углов между всеми такими зеркалами равен ∕ (см. рис. 7⋄10). Таким образом,в любой группе отражений есть лишь следующие возможности для взаимного расположенияпроизвольно выбранных -того и -того зеркал.

𝑎

𝑎

𝑎𝑎+

𝑎+

𝑎⊥ = (𝑎 + 𝑎 )⊥

(𝑎 ,𝑎 ) < 0

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎+

𝑎+

𝑎⊥ = (𝑎 − 𝑎 )⊥

(𝑎 ,𝑎 ) > 0

Рис. 7⋄10. Соседние и не соседние зеркала.

Лемма 7.3

Если внутри двугранного угла + ∩ + нет других зеркал группы , то ( , ) ⩽ , и равенстворавносильно тому, что = . При ( , ) > в системе имеется корень = −c , > , задающий зеркало проходящее между зеркалами ⊥ и ⊥, и разбивающее двугран-ный угол + ∩ + на два непустых двугранных угла. При ( , ) < в системе есть корень

7.3. Системы корней и камеры Вейля 119

= + с , > , задающий зеркало, относительно которого двугранный угол + ∩ +

расположен в одном полупространстве +. �

Упражнение 7.8. Докажите лемму, пользуясь рис. 7⋄10.

7.3.1. Положительные корни и стенки. Будем называть -той стенкой часть -того зерка-ла, расположенную вне его пересечений с остальными зеркалами, т. е. множество

≝ ⊥ ∖ ⋃⊥ .

Скажем, что зеркало ⊥ примыкает к камере , если существует отрезок [ , ] с ∈ , ∈ ,не пересекающийобъединения зеркал ни в каких других точках кроме . Если выбрать в каж-дой паре противоположных корней ± тот корень, относительно которого камера лежит вположительном полупространстве +, мы получим (зависящее от камеры ) разбиение всейсистемыкорней в дизъюнктное объединение двух центрально симметричных относительно ну-ля подмножеств

+ ≝ { ∈ | ∀ ∈ ( , ) > } и − ≝ { ∈ | ∀ ∈ ( , ) < } ,

элементы которых называются положительными и отрицательными корнями относительнокамеры .

Лемма 7.4

Стенка , отвечающая корню ∈ , тогда и только тогда примыкает к камере , когда най-дётся такая точка ∈ ⊥, что ( , ) > для всех ∈ +. Если , ∈ + задают стенки,примыкающие к камере , то ( , ) ⩽ , и равенство равносильно тому что = .

Доказательство. Пусть отрезок [ , ] имеет ∈ , ∈ и не пересекает ни одной гипер-плоскости ⊥ с отличным от корнем положительным корнем ∈ +. Тогда каждая линейнаяфункция ( ) ≝ ( , ) строго положительна на этом отрезке. В частности, ( , ) > для всех

∈ +, ≠ . Наоборот, если есть такая точка ∈ ⊥, что ( , ) > для всех ∈ +, ≠ , то∈ , и для любой точки ∈ отрезок [ , ] не пересекает ни одного зеркала ⊥ с ≠ , а

зеркало ⊥ пересекает только в точке , поскольку линейная функция ( ) ≝ ( , ) строго по-ложительна на одном конце этого отрезка, зануляется на другом, а значит, строго положитель-на во всех внутренних точках отрезка. Последнее утверждение леммы вытекает из лем. 7.3, таккак в плоскости зеркала ⊥ и ⊥, которые примыкают к одной и той же камере , должнысоседними, т. е. образовывать минимальный двугранный угол. �

Упражнение 7.9. Строго докажите последнее утверждение.

Определение 7.3 (эффективность)

Конечная группа отражений евклидова пространства называется эффективной, если един-ственным неподвижным относительно всей группы вектором в является нулевой вектор.

Упражнение 7.10. Убедитесь, что группа эффективна тогда и только тогда, когда её системакорней линейно порождает пространство .


7.3.2. Простые корни. Зафиксируем какую-нибудь камеру и будем последовательно вы-кидывать из множества положительных корней + те корни, которые являются линейнымикомбинациями остальных с положительными коэффициентами. Оставшееся в результате мно-жество корней обозначается через ⊂ +, и его элементы называются простыми корнями(относительно камеры ), а задаваемые ими отражения— простыми отражениями.

Упражнение 7.11. Убедитесь, что ни один простой корень не является линейной комбинациейникаких других положительных корней с положительными коэффициентами.

Лемма 7.5

Если группа эффективна, множество является базисом в и совпадает с множеством всехтех положительных корней, которые задают примыкающие к камере стенки. В частности,

не зависит от произвола, имеющегося при его построении1.

Доказательство. Каждый непростой корень ∈ + ∖ является положительной линейнойкомбинацией простых. Поэтому в гиперплоскости ⊥ нет таких векторов , что ( , ) > длявсех ∈ . Согласно лем. 7.4 зеркало ⊥ не содержит стенок, примыкающих к камере .

Заметим, что для любых двух различных простых корней , выполняется неравенство( , ) ⩽ , поскольку в противном случае по лем. 7.3 существовал бы положительный кореньвида − с положительными , , и простой корень был бы положительной линейнойкомбинацией положительных корней вопреки упр. 7.11.

Покажем теперь, что простые корни линейно независимы. Пусть между ними есть соотно-шение + + ⋯ + = , все коэффициенты которого ненулевые. Если они одногознака, можно считать их положительными. В таком случае, скалярно умножая левую часть налюбой вектор ∈ , получаем строго положительное число, что невозможно, т. к. в правойчасти нуль. Если среди коэффициентов есть и положительные, и отрицательные, перенеся по-следние направо, получим соотношение

+ + ⋯ + = + + ⋯ + ,

где все коэффициенты положительны. Так как все ( , ) ⩽ , правая и левая части равны нулюпо отдельности в силу идущего ниже упр. 7.12, и мы приходим к уже разобранному случаю.

Упражнение 7.12. Пусть векторы , , … , и , , … , таковы, что ( , ) ⩽ для всех, . Покажите что равенство + + ⋯ + = + + ⋯ + с неот-рицательными коэффициентами , возможно , если и только если обе его части равнынулю по отдельности, и ( , ) всякий раз, когда ≠ .

Поскольку группа эффективна, положительные, а стало быть, и простые корни порожда-ют всё пространство. Тем самым, простые корни ∈ составляют базис в , а двойственныеим линейные формы ( ) = ( , ) образуют базис в ∗. Поэтому в пространстве найдутсявекторы, на которых одна из форм нулевая, а все остальные положительны. По лем. 7.4 этоозначает, что все зеркала ⊥ примыкают к камере . �


КкаждойкамереВейля эффективной группыотраженийпространства примыкаетровноdimзеркал, и их нормали составляют базис в . Отличные от нуля коэффициенты разложения лю-бого корня группы по этому базису либо все положительны, либо все отрицательны. �

1Т. е. порядка, в котором выкидываются лишние корни

7.3. Системы корней и камеры Вейля 121

Теорема 7.3

Каждая группа отражений порождается простыми отражениями ≝ относительно зер-кал ⊥, ⊥, … , ⊥, примыкающих к произвольно выбранной камере Вейля. Элементы группы

взаимно однозначно соответствуют камерам Вейля, и последние могут быть занумерованыэлементами группы так, что ( ) = для любых , ∈ .

Доказательство (по Э. Б. Винбергу). Занумеруем камеры и обозначим через простые кор-ни относительно камеры , а через = — соответствующие им простые отражения. Длякаждой камеры выберем ненулевые векторы ∈ и ∈ единичной длины так, чтобынатянутая на них двумерная плоскость не пересекалась с ( − )-мерными пересечениямизеркал ⊥ = ⊥ ∩ ⊥ группы . Пройдём из в по кратчайшей дуге окружности, высекае-мой плоскостью на единичной сфере с центром в нуле, последовательно отражая камеру

относительно встречаемых стенок и записывая подряд номера , , … , ∈ { , , … , }тех стенок камеры через образы которых мы проходим. Дословно то же рассуждение, чтов предшествующих прим. 7.6, прим. 7.8 и прим. 7.7, показывает, что = … ( ).Таким образом, группа действует на камерах Вейля транзитивно1. Слово … , счи-танное с дуги , зависит от выбора векторов и . Как мы видели на рис. 7⋄9 на стр. 115,при выборе других векторов некоторые фрагменты этого слова будут заменяться симметрич-ными фрагментами согласно соотношениям ( ) = Id, которые выражают тот факт, чтокомпозиция отражений в паре зеркал, примыкающих к одной камере, является поворотом наугол ∕ , ибо примыкающие к одной камере зеркала являются ближайшими в конфигура-ции всех зеркал, проходящих через ( − )-мерное пространство ⊥ . Свяжем с каждой камерой

элемент группы , переводящий камеру в камеру только что описанным способом.По построению, этот элемент разлагается в равные друг другу в группе композиции простыхотражений

= … , (7-13)

преобразующиеся одна в другуюпри помощи замен некоторых -буквенныхфрагментов сто-ящего в правой части слова симметричными относительно пересечения -того и -того зеркалафрагментами:

…⏟⏟⏟⏟⏟ ⟷ …⏟⏟⏟⏟⏟ .

Все элементы ∈ различны, поскольку переводят камеру в различные камеры . Оста-ётся показать, что каждый элемент ∈ совпадает с одним из элементов .

Упражнение 7.13. Убедитесь, что каждое отражение из группы является композицией про-стых отражений, и выведите из этого, что все элементы группы являются композициямипростых отражений.

Запишем элемент в виде композиции простых отражений и проведём индукцию по длинетакого представления. Элементы, длины и суть Id и простые отражения , переводящиекамеру в соседние камеры, имеющие с общую примыкающую стенку. Для них доказыва-емое утверждение тривиально. Пусть оно верно для всех композиций длины ⩽ . Рассмотримпроизвольный элемент ∈ , являющийся такой композицией. Достаточно проверить, чтокаждая композиция имеет вид для подходящего . Пусть ( ) = . Обозначим че-рез = ( )⊥ примыкающее к камере зеркало, в которое переводится преобразованием

1Т. е. позволяет перевести любую камеру в любую другую камеру.


зеркало простого отражения . Если камеры и лежат по одну сторону от зеркала , какна рис. 7⋄11, выберем векторы ∈ и ∈ так, чтобы продолжение дуги дальше заточку уходило из камеры сквозь зеркало . По индукции элемент = записываетсясчитанным с дуги словом … . Следовательно, элемент = … тожезаписывается словом вида (7-13), считанным с продолжения дуги сквозь стенку , а значит,

совпадает с элементом , отвечающим соседней с камере = ( )( ).

𝑢

𝑤𝐻 = 𝑔(𝑎⊥)

𝐶

𝐶 = 𝑔(𝐶 )

𝐶

𝑢

𝑣𝑤

𝐻 = 𝑔(𝑎⊥)

𝐶

𝐶

𝐶 = 𝑔(𝐶 )

Рис. 7⋄11. не разделяет и . Рис. 7⋄12. разделяет и .

Если камеры и лежат по разные стороны от зеркала , как на рис. 7⋄12, выберем векторы∈ и ∈ так, чтобы дуга входила в камеру сквозь зеркало , и обозначим черезкакую-нибудь точку этой дуги, лежащую в предыдущей камере = ( )( ). По индукции,

считанное с дуги слово для = имеет вид … − с последней буквой . По-этому = … − = , ибо слово для элемента , считанное с дуги , как раз иравно … − . �

Замечание 7.2. Из доказательства теор. 7.3 видно, что эффективная группа отражений -мер-ного евклидовапространства являетсяфактором свободной группына образующих понаи-меньшей нормальной подгруппе1, содержащей слова и ( ) для всех ≠ , где этоколичество зеркал, проходящих через пересечение -того и -того зеркала (эквивалентно, ост-рый угол между -тым и -тым зеркалами равен ∕ ). .

7.4. Графы Кокстера. В этом разделе мы дадим полную классификацию групп отражений. На-зовём группу отражений евклидова пространства и её систему корней = разложи-мыми, если пространство раскладывается в ортогональную прямую сумму = ⊕ так,что = ⊔ , где = ∩ . В этом случае группа = × является прямым произ-ведением двух своих подгрупп , ⊂ , действующих каждая на своём подпространстве ,оставляя дополнительное подпространство неподвижным. Очевидно, что каждая группа отра-жений является прямым произведением неразложимых подгрупп, эффективно действующих впопарно ортогональных подпространствах пространства . Поэтому достаточно получить пол-ный список неразложимых групп отражений . Размерность пространства, в котором эффек-тивно действует такая группа называется рангом неразложимой группы . Выше мы видели,что ранг равен числу положительных простых (относительно произвольно зафиксированнойкамеры Вейля) корней , , … , , и группа полностью определяется попарными углами

1Точный смысл сказанного разъясняется в курсе алгебры, см., к примеру, лекциюhttp://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/lec-13.pdf .


7.4. Графы Кокстера 123

между этими корнями или, что то же самое, двугранными углами между стенками камеры Вей-ля. Они однозначно характеризуются целыми числами ⩾ —количествами зеркал группы, проходящих через пересечение -той и -той стенки выбранной камерыВейля. При этом угол

между -той и -той стенками равен ∕ , а угол между простыми положительными корнями

и равен ( − − ).Набор чисел , связанных с зеркалами произвольной группы отражений , принято ко-

дировать неориентированным графом Кокстера, вершины которого биективно соответствуютпростым корням, и -тая вершина соединена с -той ровно ( − )-мя рёбрами. Таким обра-зом, между ортогональными корнями рёбер нет, а паре зеркал, составляющих двугранный угол

∕ , отвечают вершины, соединённые одним ребром, зеркалам с углом ∕ между ними—вер-шины, соединённые двумя рёбрами, и т. д.

Упражнение 7.14. Убедитесь, что система корней неразложима , если и только если её графКокстера связен.

Например, система корней типа из прим. 7.8 на стр. 116, задающая группу правильного -мерного симплекса, имеет согласно упр. 7.4 граф Кокстера

◦ ◦ ⋯ ◦ ◦⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟,

который так и называется графом . Диэдральная группа из прим. 7.6 на стр. 111 имеетранг и граф Кокстера из двух вершин, соединённых ( − ) рёбрами, а группы тетраэдра,октаэдра и икосаэдра из прим. 7.7 на стр. 113 имеют ранг и графы Кокстера

◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ ◦ ,

у которых число рёбер между вершинами и равно числу из таблицы со стр. 113.Поскольку определитель Грама набора простых корней положителен1, связный граф без пе-

тель2 может быть графом Кокстера, только если симметричная матрица c , = и недиаго-нальными элементами = = − cos ( ∕ ) имеет положительный определитель. Крометого, при удалении из графа Кокстера любого набора вершин вместе со всеми приходящимив эти вершины рёбрами оставшийся граф также будет графом Кокстера группы отражений впересечениях оставшихся зеркал с линейной оболочкой оставшихся простых корней.

Упражнение 7.15. Покажите, что в графе Кокстера не может быть подграфов вида

◦ ◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ , ◦ ◦ ◦ ,

указав в них пару векторов с не положительным определителем Грама. Убедитесь, что гра-фов Кокстера, получающихся из нарисованных увеличением кратности имеющегося в нихкратного ребра, тоже не существует.

Лемма 7.6

Среди любых вершин графа Костера рёбрами соединяется не более − пар. В частности,в графе Кокстера нет циклов.

1Ибо они линейно независимы, как мы убедились в доказательстве лем. 7.5 на стр. 120.2Т. е. рёбер, начало которых совпадает с концом.


Доказательство.Выкинув все остальныевершиныипримыкающиекнимрёбра, получаем графКокстера системы из простых корней , , … , . Поскольку ( , ) ⩽ для всех ≠ полем. 7.4 на стр. 119, для скалярного квадрата суммы всех этих корней1 получаем неравенство

< (�∑=

, ∑=

)� = − ∑<

cos ( ∕ ) ⩽ − ,

где равно числу таких пар < , что ⩾ . Тем самым, ⩽ − . �

Лемма 7.7

В графе Кокстера нет подграфов вида

◦

◦ ◦ ◦

◦

,

◦ ◦

◦

◦

, ◦ ◦ ◦ . (7-14)

Доказательство. Выкидывая остальные вершины вместе с примыкающими к ним рёбрами, по-лучаем систему простых корней, в которой все крайние корни образуют ортонормальныйбазис своей линейной оболочки . Поскольку центральный корень ∉ , его ортогональнаяпроекция на имеет длину | | < . В наших трёх случаях координаты проекции

= ∑( , ) ⋅ =⎧⎪⎨⎪⎩

( ∕ , ∕ , ∕ , ∕ ) в базисе , , ,( ∕ , ∕ , √ ∕ ) в базисе , ,(√ ∕ , √ ∕ ) в базисе ,

�

и её длина | | ⩾ . Противоречие. �

Лемма 7.8 (стягивание простых цепочек)

Если граф Кокстера содержит цепочку вида

◦ ◦ ◦ … ◦ ◦ ◦ (7-15)

крайние вершины которой могут быть соединены с какими-то другими вершинами графа, ново внутренние вершины больше не ведёт никаких рёбер, кроме нарисованных, то при заменевсей цепочки на одну вершину, в которую входят все рёбра, ранее входившие в две крайнихвершины цепочки (7-15), также получится граф Кокстера.

Доказательство.Пусть корни , , … , соответствуют вершинамцепочки (7-15). Их суммаимеет скалярный квадрат

( , ) = ∑=

( , ) +−

∑=

( , + ) = − ( − ) = ,

а скалярное произведение с любым не входящим в цепочку корнем равно

( , ) = ∑=

( , ) = ( , ) + ( , ) .

1Которая отлична от нуля поскольку простые корни линейно независимы.


Поскольку в графе Кокстера нет петель, из двух произведений в правой части отлично от нуляможет быть лишь одно. Следовательно, угол образуемый вектором с корнем либо такой же,как у с , либо такой же как у с , т. е. имеет вид ( − − ) для целого ⩾ . Сле-довательно, вектор вместе со всеми остальными корнями , не входящими в цепочку (7-15),образует систему простых корней с графом Кокстера, который получается из исходного графастягиванием цепочки (7-15) в одну точку. �

Следствие 7.4 (отсутствие двух кратных объектов)

В связном графе Кокстера не может быть ни двух вершин валентности ⩾ , ни двух пар кратныхрёбер1, ни вершины валентности ⩾ вместе с кратным ребром (не обязательно идущим в этувершину).

Доказательство. Стягивая цепочку вида (7-15), связывающую друг с другом пару нежелатель-ных нам объектов, мы получаем один из трёх подграфов, запрещённых по лем. 7.7. �

Лемма 7.9 (классификация мерцедесов)

Пусть граф Кокстера имеет трёхвалентную вершину, в которую ведут цепочки из − , − и− последовательных рёбер

−◦ −◦ ⋯ ◦ ◦

◦ ◦ ⋯ −◦ −◦ ◦

◦−

◦−

⋯ ◦ ◦

(7-16)

(так что всего в рассматриваемом подграфе + + − вершин). Тогда тройка чисел ( , , )с точностью до перестановки имеет вид ( , , ), ( , , ), ( , , ) или ( , , ) с любым целым

⩾ .

Доказательство. Обозначим центральный корень через , а остальные — через , и , за-нумеровав их от окраины к центру, как показано на графе (7-16). Положим

≝ + + + ⋯ + ( − ) ⋅ −

≝ + + + ⋯ + ( − ) ⋅ −

≝ + + + ⋯ + ( − ) ⋅ − .

Векторы , , образуют ортогональный базис в своей линейной оболочке и имеют скаляр-ные квадраты ( , ) = ( − )∕ , ( , ) = ( − )∕ , ( , ) = ( − )∕ , поскольку

(�−

∑=

,−

∑=

)� =−

∑=

−−

∑=

( + ) = ( − ) − ( − )( − ) = ( − )

и аналогично для векторов и . Так как вектор ∉ , длина его ортогональной проекции

= ( , )( , ) ⋅ + ( , )

( , ) ⋅ + ( , )( , ) ⋅

1Т. е. пар вершин, соединённых между собою более, чем одним ребром.


на подпространство строго меньше единицы, откуда

> ( , ) = ( , )( , ) + ( , )

( , ) + ( , )( , ) = − + − + − = − − − .

Все решения неравенства − + − + − > в натуральных числах , , > как раз иперечислены в лем. 7.9. �

Упражнение 7.16. Удостоверьтесь в этом.

Теорема 7.4

Полный список связных графов Кокстера таков (нижний индекс равен числу вершин):

графы серии 𝑨𝒏 : ◦ ◦ ◦ … ◦ ◦ ◦ граф 𝑬6 :◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦

графы серии 𝑩𝒏 : ◦ ◦ ◦ … ◦ ◦ ◦ граф 𝑬 :◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

графы серии 𝑫𝒏 :

◦

◦ ◦ ◦ … ◦ ◦

◦

граф 𝑬8 :◦

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

граф𝑯3 : ◦ ◦ ◦ граф 𝑭4 : ◦ ◦ ◦ ◦

граф𝑯4 : ◦ ◦ ◦ ◦ серия графов 𝑰2(𝒎) : ◦ ⋮ ◦ ( − ребра).

Доказательство. Из предыдущих лемм вытекает, что все связные графы Кокстера содержатся вуказанном списке, так что остаётся лишь предъявить соответствующие системы корней. Систе-му мы изучали в прим. 7.8 на стр. 116. Граф отвечает группе икосаэдра из прим. 7.7 настр. 113, а графы ( ) — диедральным группам из прим. 7.6 на стр. 111.

Система корней строится следующим образом. Рассмотрим в ℝ все векторы с целымикоординатами, имеющие длину или , т. е. все векторы вида ± и ± ± , где ⩽ < ⩽ ,а через , , … , , как обычно, обозначен стандартный базис в ℝ . Таким образом мы име-ем всего + ( − ) = зеркал. Отражения независимо меняют знаки координати составляют группу, изоморфную ( �ℤ∕( )) � . Отражения − образуют группу перестановокбазисных векторов1. Отражения + = − выражаются через предыдущие. Так каксимметрическая группа нормализует группу смен знаков координат, т. е. для любой переста-новки базисных векторов ∈ и любых , , … ,

⋯ − = ( ) ( ) ⋯ ( ) ,

рассматриваемые отражения порождают конечную группу, изоморфную полупрямому произ-ведению2 ( �ℤ∕( )) � ⋊ в котором второй сомножитель действует на первом перестановками

1См. прим. 7.8 на стр. 116.2См. зам. 2.1. на стр. 27.


компонент.

Упражнение 7.17. Убедитесь, что построенная группа совпадает с группой стандартного пра-

вильного кокуба1 = {�( , , … , ) | − ⩽ ∑ ⩽ }�, и векторов

− , − , … , − − ,

являются её простыми корнями, а их граф Кокстера это .

Отражения − и + порождают в группе подгруппу индекса , содержащую всевоз-можные перестановки координат и одновременные смены знака лишь у любого чётного числабазисных векторов. Эта группа изоморфна полупрямому произведению ( �ℤ/( )) � − ⋊ и век-торы − , − , … , − − , − + являются её простыми корнями.

Упражнение 7.18. Убедитесь, что их граф Кокстера это .

Система корней строится так. Рассмотрим в ℤ ⊂ ℝ подрешётку , образованную всемивекторами с чётной суммой координат, и обозначим через ⊂ ℝ подрешётку, порождённуюрешёткой и вектором = ∑ , где , , … , —стандартный базис вℝ . Таким образом,решётка состоит из всевозможных целочисленных линейных комбинаций вида + с

∈ и , ∈ ℤ.Упражнение 7.19. Проверьте, что скалярные квадраты всех векторов ∈ являются чётными

целыми числами.

Система корней типа образована всеми векторами из минимально возможной длины√ . Всего имеется таких векторов, а именно двучленные суммы ± ± c ⩽ < ⩽ ивосьмичленные полусуммы ∑ = ± c чётным числом плюсов.

Упражнение 7.20. Убедитесь, что отражения относительно всех этих векторов переводят мно-жество в себя, и выведите отсюда, что эти отражения порождают конечную группу. Убе-

дитесь, что вектор ( � + − ∑ = )�, вектор + и шесть векторов − − − с

⩽ ⩽ являются простыми корнями этой группы и имеют граф Кокстера .

Системы корней и получаются из ограничением на линейную оболочку первых шестии семи простых корней. Граф является графом Кокстера группы октаплекса, а — графомКокстера группы четырёхмерного правильного многогранника с символом Шлефли ( , , ),своего рода «четырёхмерного икосаэдра». Подробнее об этих многогранниках см. в Листке Г7 .Естественнее всего они возникают в рамках двумерной комплексной эрмитовой геометрии, имы отложим их обсуждение до той поры, когда познакомимся с нею поближе. �

1Т. е. выпуклой оболочки концов векторов ± в ℝ .

§8. Топологии, метрики, нормы и выпуклость

8.1. Топологические пространства.Многие определения из анализа сохраняют смысл в оченьшироком контексте, если формулировать их не на языке неравенств между числами, а на язы-ке окрестностей точек и вложенности таковых окрестностей друг в друга. Формализуется этоследующим образом.

Определение 8.1 (топология в терминах открытых множеств)

Топология на множестве это такое множество наречённых открытыми подмножеств в , что

1) несобственные подмножества ∅ и открыты

2) пересечение любых двух открытых подмножеств открыто

3) объединение любого множества открытых подмножеств открыто.

Множество вместе с некоторой зафиксированной на нём топологией называется топологи-ческим пространством. Дополнительные подмножества = ∖ к открытым подмножествам

⊂ называются замкнутыми. Множества всех открытых и всех замкнутых подмножеств то-пологического пространства обозначаются через 𝒰( ) и 𝒵( ) соответственно. Определениетопологии эквивалентным образом формулируется и в терминах замкнутых подмножеств.

Определение 8.2 (топология в терминах замкнутых множеств)

Топология на множестве это такое множество наречённых замкнутыми подмножеств в , что

1) несобственные подмножества ∅ и замкнуты

2) объединение любых двух замкнутых подмножеств замкнуто

3) пересечение любого множества замкнутых подмножеств замкнуто.

Еслипринять второеопределение, то открытымиподмножествамитопологическогопростран-ства следует называть дополнения до замкнутых подмножеств.

Упражнение 8.1. Убедитесь, что опр. 8.2 и опр. 8.1 действительно эквивалентны друг другу.

Предостережение 8.1. Из определения топологии не следует, что одноточечные подмножества∈ в абстрактном топологическом пространстве являются замкнутыми. Соответственно,

дополнения до точек ∖ не обязательно являются открытыми.

Пример 8.1 (дискретная топология)

Если объявить каждое подмножество ⊂ одновременно и открытым и замкнутым, то полу-чится топология, называемая дискретной.

Пример 8.2 (тривиальная топология)

Если объявить открытыми только несобственные подмножества1 ∅ и , то получится тополо-гия, называемая тривиальной или антидискретной.

1Так что они автоматически окажутся и единственными двумя замкнутыми подмножествами.

128

8.1. Топологические пространства 129

Пример 8.3 (финитные и счётно-финитные топологии)

Если объявить замкнутыми ∅, и все конечные (соотв. конечные или счётные) подмножества⊂ , то получится топология, называемая финитной (соотв. счётно-финитной).

Упражнение 8.2. Убедитесь, что это действительно топологии.

Пример 8.4 (топология Зарисского)

Пусть = 𝔸 — аффинное координатное пространство над произвольным полем 𝕜. Назовёмподмножество ⊂ 𝔸 замкнутым, если оно является множеством решений некоторой (воз-можно, бесконечной) системы полиномиальных уравнений.

Упражнение 8.3. Покажите, что пустое множество и всё пространство задаются уравнениями= и = , объединение множеств решений систем уравнений ( ) = и ( ) =

задаётся системой уравнений ( ) ⋅ ( ) = , где каждый из множителей независимопробегает свою систему, а пересечение множеств решений любого множества систем по-линомиальных уравнений задаётся системой уравнений, полученной слиянием всех этихсистем в одну.

Описанная только что топология называется топологией Зарисского. На аффинной прямой 𝔸она совпадает с финитной топологией из прим. 8.3.

Пример 8.5 (стандартная топология на ℝ )

Для произвольного > назовём -кубом с центром в точке = ( , , … , ) ∈ ℝ фигуру

( ) ≝ { = ( , , … , ) ∈ ℝ ∶ ∀ | − | ≤ } , (8-1)

и скажем, что множество ⊂ ℝ открыто, если вместе с каждой точкой ∈ оно содержити некоторый -куб ( ) ⊂ .

Упражнение 8.4. Убедитесь, что это топология.

Эта топология называется стандартной топологией на ℝ , или топологией покоординатнойсходимости1. Легко видеть, что набор𝒰(ℝ ) открытых множеств не зависит от выбора аффин-ной системы координат, используемой для определения -кубов. В самом деле, при выборе дру-гого координатногорепера, неравенства задающие -куб (8-1) подвергнутся аффинномупреоб-разованию и превратятся в другую систему неравенств вида ( ) ⩽ , где ∈ ℝ ∗ —некиелинейные формы наℝ , а ∈ ℝ—какие-то числа. При этом новые координаты = ( ) точ-ки будут решением строгих неравенств ( ) < , поскольку точка удовлетворяет строгойформе задающих -куб неравенств из формулы (8-1).

Упражнение 8.5. Пусть система строгих линейных (неоднородных) неравенств ( ) <имеет решение в аффинном пространстве ℝ . Проверьте, что в множестве решений со-держится и некоторый -куб с центром .

Таким образом, если точка входит в множество вместе с некоторым кубом, определённымпри помощи одной системы аффинных координат, то и в любой другой системе аффинных ко-ординат куб подходящего размера с центром в тоже будет лежать внутри множества .

Пример 8.6 (индуцированная топология)

На любом подмножестве топологического пространства имеется индуцированная с топо-логия, открытыми (соотв. замкнутыми) подмножествами в которой являются пересечения соткрытых (соотв. замкнутых) подмножеств из .

1Этимология последнего названия прояснится ниже в упр. 8.14 и сл. 8.2.

130 §8Топологии, метрики, нормы и выпуклость

Упражнение 8.6. Убедитесь, что это действительно топология.

8.1.1. Сравнение топологий. Говорят, что топология на , заданная набором открытыхмножеств 𝒰 , сильнее или тоньше топологии, заданной набором открытых множеств 𝒰 , ес-ли 𝒰 ⊃ 𝒰 , т. е. каждое открытое подмножество топологии 𝒰 открыто и в топологии 𝒰 . Вэтой ситуации также говорят, что топология 𝒰 слабее или грубее топологии 𝒰 . Отношение«тоньше» задаёт частичный порядок1 на множестве всех топологий на заданном множестве .Дискретная и тривиальная топологии из прим. 8.1 и прим. 8.2 являются при этом абсолютномаксимальным (тончайшим) и минимальным (грубейшим) элементами частично упорядочен-ного множества топологий.

8.1.2. Окрестности. Всякое подмножество топологического пространства , содержа-щее данную точку ∈ вместе с некоторым непустым открытым подмножеством ∋ ,называется окрестностью точки . Из свойств открытых множеств вытекает, что пересечениеконечного числа и объединение любого числа окрестностей данной точки также являются еёокрестностями.


Множество открыто , если и только если вместе с каждой своей точкой оно содержит и некото-рую её окрестность.

Доказательство. Каждое открытое множество само же и является окрестностью всех своихточек. Наоборот, пусть множество вместе с каждой точкой ∈ содержит непустое откры-тое подмножество ∋ . Тогда множество = ⋃ является объединением открытых мно-жеств и, значит, тоже открыто. �

8.1.3. Базы. Любую топологию на множестве можно описывать в духе прим. 8.5, опреде-ляяоткрытыемножества каквсевозможныеобъединениянекоторых базисных открытыхокрест-ностей— аналогов -кубов. А именно, подмножествоℬ ⊂ 𝒰( ) называется базой топологии𝒰,если любое открытоемножество является объединениеммножеств из набораℬ. Это равносиль-но тому, что каждая окрестность любой точки содержит такое подмножество ∈ ℬ, что

∈ ⊂ .

Упражнение 8.7. Убедитесь, что счётное множество открытых -кубов

( ) = { = ( , , … , ) ∈ ℝ ∶ ∀ | − | < } ,

где ∈ ℚ и ∈ ℚ ⊂ ℝ образует базу стандартной топологии на ℝ .


Набор подмножеств ℬ множества тогда и только тогда является базой некоторой топологиина , когда каждая точка ∈ принадлежит некоторому множеству из ℬ и для любых двухмножеств , ∈ ℬ и точки ∈ ∩ найдётся такое множество ∈ ℬ, что ∈ ⊂

∩ .

Доказательство. Еслиℬ—база топологии, то открытое в этой топологии подмножество ∩содержит вместе с каждой своей точкой и некоторое содержащее базовое открытое подмно-жество ∈ ℬ. Наоборот, если набор открытых множеств ℬ удовлетворяет условию леммы, то

1Т. е. является рефлесивным, транзитивным и кососимметричным бинарным отношением.


всевозможные объединениямножеств изℬ составляют топологиюна с базойℬ. В самом деле,открытость пустогомножества1, всего и объединения любогомножества открытыхмножествочевидны. Пересечение ′ ∩ ″ двух открытых множеств вида

′ = ⋃′ , ″ = ⋃

″ , ′ , ″ ∈ ℬ ,

является объединением всевозможных множеств вида ′ ∩ ″, каждое из которых, в свою оче-редь, является объединением подмножеств ∈ ℬ, приходящих по условию предложения извсевозможных точек ∈ ′ ∩ ″. Поэтому ′ ∩ ″ тоже открыто. �

Упражнение 8.8∗. Покажите, что базу топологии Зарисского из прим. 8.4 составляют откры-тые подмножества вида = { ∈ 𝔸 | ( ) ≠ }, где ∈ 𝕜[ , , … , ] — произ-вольный многочлен, причём любое открытое множество ⊂ 𝔸 является объединениемконечного числа базовых.

8.1.4. Непрерывность. Отображение топологических пространств ∶ → называетсянепрерывным, если полный прообраз − ( ) каждого открытого подмножества ⊂ открытв . Это свойство равносильно тому, что прообраз любого замкнутого множества замкнут, иможет быть переформулировано в традиционном для анализа стиле: скажем, что отображение

∶ → непрерывно в точке ∈ , если для любой окрестности ∋ ( ) найдётся такаяокрестность ∋ , что ( ) ⊂ .

Упражнение 8.9. Покажите, что отображение ∶ → непрерывно тогда и только тогда,когда оно непрерывно в каждой точке ∈ .

8.1.5. Топология произведения. На прямом произведении топологических пространств

× × ⋯ × = {( , , … , ) | ∈ для всех }

прямые произведения × × ⋯ × открытых множеств ∈ 𝒰( ) составляют базу топо-логии, поскольку попарные пересечения таких произведений также являются произведениямиоткрытых множеств:

( × × ⋯ × ) ∩ ( × × ⋯ × ) = ( ∩ ) × ( ∩ ) × ⋯ × ( ∩ ) .

Топология на × × ⋯ × , открытыми множествами в которой являются всевозможныеобъединения произведений открытых множеств сомножителей называется произведением то-пологий. Например, стандартная топология наℝ = ℝ ×ℝ × ⋯ ×ℝ является произведениемстандартных топологий на ℝ , где базу составляют -окрестности точек.

Упражнение 8.10. Покажите, что топология Зарисского2 на 𝔸 = 𝔸 × 𝔸 тоньше прямогопроизведения топологий Зарисского на 𝔸 .

Топология произведения является слабейшей топологией на = × × ⋯ × , в которойвсе отображения проектирования ∶ ↠ непрерывны. В самом деле, требование откры-тости прообраза любого открытого множества ⊂ принуждает объявить открытыми всемножества вида × ⋯ × × × × ⋯ × , а значит, и все их конечные пересечения

⋂ × ⋯ × × × × ⋯ × = × × ⋯ × ,

1Т. е. объединения пустого множества подмножеств из ℬ.2См. прим. 8.4 на стр. 129.


которые как раз и составляют базу топологии произведения.В случае бесконечного числа пространств , где пробегает произвольное множество ,

базу слабейшей топологии на произведении1 = ∏ , в которой непрерывна каждая про-екция ∶ → , тоже составляют лишь такие произведения открытых множеств ∏ ,где только конечное число сомножителей отлично от всего , поскольку аксиомы топологиитребуют открытости лишь конечных пересечений открытых множеств.

Топология на бесконечном произведении, базу которой составляют такие произведения от-крытых множеств, где лишь конечное число подмножеств отлично от всего пространства, попрежнему называют топологией произведения или тихоновской топологией.

8.1.6. Зоология точек. Будем называть фигурами в топологическом пространстве про-извольные подмножества ⊂ . Точки фигуры , содержащиеся в вместе с некоторой сво-ею окрестностью, называются внутренними точками фигуры . Множество всех внутреннихточек фигуры обозначается и называется внутренностью фигуры . Согласно предл. 8.1внутренность любой фигуры открыта.

Упражнение 8.11. Покажите, что представляет собою объединение всех открытых подмно-жествпространства , содержащихся в , и является, такимобразом,наибольшимповклю-чению содержащимся в открытым множеством.

Внутренние точки дополнения ∖ называются внешними точкамифигуры .Иными словами,точка ∈ является внешней для , если у неё есть окрестность ∋ , не пересекающаясяс . Мы будем обозначать множество внешних точек фигуры через . Как и внутренность

, внешность любой фигуры открыта. Обратите внимание, что множество внешних точекзамкнутой фигуры ⊂ это открытое дополнение ∖ к этой фигуре.

Упражнение 8.12. Покажите, что внешность любой фигуры ⊂ является объединениемвсех открытых множеств пространства , не пересекающихся с , и таким образом явля-ется наибольшим по включению не пересекающим открытым множеством.

Замкнутое дополнение к открытому множеству внешних точек фигуры ⊂ называется за-мыканием фигуры и обозначается ≝ ∖ . Согласно упр. 8.12 замыкание является наи-

меньшим по включению замкнутым множеством, содержащим фигуру. В частности, =для любой фигуры ⊂ .

Точки, которые не являются для фигуры ни внешними, ни внутренними, называются гра-ничными или собственными граничными, смотря по тому, принадлежат они фигуре или нет.Множество всех граничных точек обозначается и называется границей фигуры . Такимобразом, точка ∈ является граничной для , если любая её окрестность содержит как точкииз , так и точки, не принадлежащие , и = ∪ . Обратите внимание, что пересечение

∩ может быть как пустым, так и нет.Точка ∈ называется предельной точкой фигуры ⊂ , если в любой окрестности точ-

ки имеется отличная от точка фигуры . Точки фигуры , не являющиеся её предельнымиточками, называются изолированными точками фигуры . Иначе говоря, точка ∈ являет-ся изолированной, если у неё есть окрестность, не содержащая никаких точек , кроме самойточки .

Упражнение 8.13. Покажите, что замыкание фигуры является объединением этой фигуры смножеством всех её предельных точек.

1Точки которого можно воспринимать как такие функции ∶ → ⨆ , ↦ , что ∈ длявсех ∈ .


8.1.7. Компактныепространства.Топологическоепространствоназываетсякомпактным,если из любого его покрытия открытымимножествамиможно выбрать конечное подпокрытие.


Если пространство компактно, и отображение ∶ → непрерывно, то пространство( ) ⊂ компактно в индуцированной с топологии.

Доказательство. Рассмотрим произвольное покрытие ( ) = ⋃ ( ( ) ∩ ), где ⊂ от-

крыты. Открытые множества − ( ) ⊂ покрывают пространство . Из них можно выбратьконечное подпокрытие = − ( ) ∪ − ( ) ∪ … ∪ − ( ). Тогда множества ( ) ∩ , где

⩽ ⩽ , образуют конечное покрытие ( ). �


Длякомпактностипространства необходимоидостаточно, чтобылюбойнабор его замкнутыхподмножеств, каждый конечный поднабор в котором имеет непустое пересечение, и сам имелнепустое пересечение.

Доказательство. Пусть компактно, и любой конечный набор в семействе замкнутых под-множеств ⊂ имеет непустое пересечение. Если ∩ = ∅, то открытые подмножества

= ∖ покрывают . Выберем среди них конечное покрытие ∪ ∪ … ∪ = . Тогда∩ ∩ … ∩ = ∅, что невозможно. Наоборот, пусть для любого семейства замкнутых под-

множеств в выполнено условие предложения. Рассмотрим произвольное открытое покрытие= ⋃ . Если никакой конечный набор , , … , элементов этого покрытия не покры-

вает , то в семействе дополнительных замкнутых множеств = ∖ любой конечныйподнабор , , … , имеет непустое пересечение. Поэтому ∩ ≠ ∅, а значит, ⋃ ≠ .�

Предложение 8.5 (лемма Больцано – Вейерштрасса)

Любое бесконечное подмножество компактного пространства имеет в нём хоть одну предель-ную точку.

Доказательство. Если точка ∈ не является предельной для подмножества ⊂ , то у неёесть открытая окрестность , не содержащая никаких точек из , кроме . Если ни одна точ-ка в не является предельной для , открытые множества покрывают . Выбирая из нихконечное покрытие, заключаем, что множество конечно. �

8.1.8. Предостережениянасчёт «сходимости».Напомню, что последовательностью точекпространства называется любое отображение ∶ ℕ → , и значение этого отображения начисле ∈ ℕ традиционно записывается как ≝ ( ). Точка ∈ называется пределом такойпоследовательности, если любая окрестность точки содержит все члены последовательности,начиная с некоторого.

Упражнение 8.14. Покажите, что сходимость последовательности в стандартной топологии1

пространстваℝ означаетпокоординатную сходимость, т. е. последовательность точек ( )1См. прим. 8.5 на стр. 129.


сходится к точке , если и только если для каждого последовательность -тых координатточек последовательности сходится в ℝ к -той координате точки :

= lim→∞

⟺ ∀ = , , … , lim→∞

( ) = ( ) .

Говоря о сходимости, следует иметь в виду, что свойства сходящихся последовательностей су-щественно зависят от используемой топологии и могут быть весьма далеки от известных изначального курса анализа теорем о пределах последовательностей вещественных чисел в стан-дартной топологии на ℝ.

Упражнение 8.15. Убедитесь, что в финитной топологии1 на ℝ последовательность =сходится, причём каждая точка ∈ ℝ является для неё пределом.

Кроме того, последовательность не следует путать с фигурой, образованной значениями после-довательности. Так, точка ∈ называется предельной для последовательности ∶ ℕ → ℝ ,если в любая окрестность точки содержит бесконечно много членов последовательности, аэто совсем не то же самое, что точек из образа последовательности. Например, последователь-ность вещественных чисел = (− ) имеет в стандартной топологии наℝ ровно две предель-ные точки, а множество её значений состоит из двух изолированных точек и предельных точеку него вообще нет. Обратите также внимание, что в произвольном топологическом простран-стве из того, что точка является предельной для последовательности ∶ ℕ → , вообщеговоря, не вытекает, что у последовательности есть подпоследовательность2, для которойявляется пределом.

8.2. Метрические пространства. Имеется важный класс топологических пространств, сходи-мость в которых по своим свойствам очень близка к сходимости в стандартной топологии навещественной прямой.


Множество , на котором задана вещественная функция двух аргументов ∶ × → ℝ,обладающая ∀ , , ∈ свойствами

( , ) = ( , ) (симметричность)

( , ) ⩾ (положительность)

( , ) = ⟺ = (невырожденность)

( , ) ⩽ ( , ) + ( , ) (неравенство треугольника)

называется метрическим пространством, а функция — метрикой или расстоянием на .

8.2.1. Метрическая топология. В метрическом пространстве для любых точки ∈ ивещественного числа > фигуры

( ) = { ∈ | ( , ) ⩽ } (8-2)

( ) = { ∈ | ( , ) < } (8-3)

1См. прим. 8.3 на стр. 129.2Напомною, что подпоследовательностью последовательности ∶ ℕ → называется композицияс любым монотонно возрастающим отображением ∶ ℕ ↪ ℕ, так что члены подпоследовательности∘ имеют вид .

8.2.Метрические пространства 135

называется, соответственно, замкнутым и открытым -шарами с центром в . Открытые -шарысрациональнымирадиусами составляютбазу топологиина , поскольку для любыхчисел

, ∈ ℚи точек , , ∈ , таких что ∈ ( )∩ ( ), -шар ( ) любого рациональ-ного радиуса < min ( − ( , ) , − ( , ) ) содержится в пересечении ( )∩ ( ),так как для всех с ( , ) < выполняются неравенства треугольника

( , ) ⩽ ( , ) + ( , ) < − ( , ) + ( , ) = = , .

Топология с базой из открытыхшаров рационального радиуса называетсяметрической. Откры-тыми в метрической топологии являются такие подмножества ⊂ , которые вместе с каждойсвоей точкой содержат некоторый -шар с центром в этой точке.

Пример 8.7 (евклидова метрика)

С каждым скалярным произведением ( , ) на ℝ связана евклидова метрика, в которой рас-стояние между точками равно евклидовой длине соединяющего точки вектора

euc( , ) ≝ | | = √( − , − ) .

Симметричность, положительность и невырожденность этой метрики следуют из симметрич-ности и положительности скалярного произведения, а неравенство треугольника — из нера-венства Коши–Буняковского –Шварца1. В евклидовой метрике -шары — это обычные шарырадиуса .

Упражнение 8.16. Убедитесь, что метрическая топология стандартной евклидовой метрикина ℝ совпадает со стандартной топологией покоординатной сходимости из прим. 8.5 настр. 129.

Пример 8.8 (sup-метрика в ℝ )

Определим на ℝ расстояние между точками как максимум модулей разностей их координат:

sup( , ) ≝ max⩽ ⩽

| − | . (8-4)

Симметричность, положительностьиневырожденность этойметрикиочевидны, анеравенствотреугольника вытекает из неравенства треугольника для расстояний на евклидовой прямой:так как | − | ⩽ | − | + | − | при каждом ,

sup( , ) = max⩽ ⩽

| − | ⩽ max⩽ ⩽

(| − | + | − |) ⩽

⩽ max⩽ ⩽

| − | + max⩽ ⩽

| − | = sup( , ) + sup( , ) .

Метрика (8-4) называется sup-метрикой.

Упражнение 8.17. Убедитесь, что -шарами sup-метрики являются -кубы из прим. 8.5.

Таким образом, метрическая топология sup-метрики это и есть стандартная топология на ℝ .

1См. сл. 3.3 на стр. 35.


Пример 8.9 (sup-метрика в ([ , ]))

Этот пример является бесконечномерным обобщением предыдущего. Определим в простран-стве ([ , ]) непрерывных функций [ , ] → ℝ на отрезке [ , ] ⊂ ℝ sup-метрику формулой1

sup( , ) = max∈[ , ]

| ( ) − ( )| .

Симметричность, положительность, невырожденность и неравенство треугольника проверя-ются точно также, как в предыдущемпримере. В sup-метрике -шар ( ) состоит из всех функ-ций, график которых удаляется по вертикали от графика функции не более, чем на .

8.2.2. Отделимость.Изнеравенства треугольника вытекает, что любые две различные точ-ки метрического пространства обладают непересекающимися открытыми окрестностями, ибопо неравенству треугольника ( )∩ ( ) = ∅ при < ( , )∕ . Топология с таким свойствомназывается хаусдорфовой. Таким образом, каждое метрическое пространство хаусдорфово.

Упражнение 8.18. Покажите, что в хаусдорфовом пространстве никакая последовательностьне может иметь более одного предела.

Из неравенства треугольника точно также следует, что никакие две точки и метрическо-го пространства не могут одновременно содержаться ни в каком шаре радиуса < ( , )∕ .Поэтому в каждомметрическомпространстве пересечение любой последовательности вложен-ных друг в друга замкнутых шаров исчезающе малого радиуса

( ) ⊃ ( ) ⊃ ( ) ⊃ ⋯ , где lim→∞

= , (8-5)

либо пусто, либо состоит ровно из одной точки. В частности, для лбой точки

⋂∈ℕ

∕ ( ) = .


Метрическое пространство называется полным, если каждая последовательность вложенныхзамкнутых шаров со стремящимися к нулю радиусами имеет в нём непустое пересечение (ав-томатически состоящее из единственной точки).

Упражнение 8.19. Покажите, что пространство ℝ с sup-метрикой из прим. 8.8 полно.

Упражнение 8.20∗ (по анализу). Покажите, что пространство ([ , ]) непрерывных функ-ций [ , ] → ℝ из прим. 8.9 полно.

Теорема 8.1 (свойства метрических компактов)

Следующие свойства фигуры в полном метрическом пространстве эквивалентны:

1) любое покрытие фигуры открытыми множествами содержит конечное подпокрытие

2) любое бесконечное подмножество в имеет в предельную точку

3) замкнута и ∀ > фигуру можно покрыть конечным множеством -шаров.

1Она корректна, поскольку любая непрерывная функция на отрезке ограничена и достигает своегомаксимального значения.

8.2.Метрические пространства 137

Доказательство. В предл. 8.5 мы видели, что импликация ( ) ⇒ ( ) выполняется в любом топо-логическом пространстве. Докажем импликацию ( ) ⇒ ( ). Пусть точка является предельнойдля . Начав с любой точки ∈ , для каждого натурального ⩾ отметим в шаре радиуса

( , − ) ∕ с центром в какую-нибудь отличную от точку ∈ . Таким образом, мыполучаем счётное множество точек = { } ∈ℕ ⊂ .

Упражнение 8.21. Проверьте, что единственной предельной точкой множества во всём объ-емлющем метрическом пространстве является точка .

Следовательно, ∈ по свойству (2), т. е. фигура замкнута. Пусть для какого-то > фи-

𝛷

𝐴 −

𝐷 −

𝐷

𝐴

Рис. 8⋄1. Удвоение шаров.

гура не покрывается конечным числом -шаров. Начав с любой точки ∈ , для каждогонатурального ⩾ отметим какую-нибудь точку ∈ ∖ ( � ( ) ∪ ( ) ∪ … ∪ ( − )) �.Таким образом мы получаем счётное множество точек

= { } ∈ℕ ⊂ ,

в котором ( , ) > для всех ≠ . Поскольку ни в какомшаре радиуса ∕ не содержится более одной точки ∈ ,множество вообще нет предельных точек, что противоречит(2).

Наконец, докажем импликацию ( ) ⇒ ( ). Пусть открытоепокрытие = ⋃ не содержит конечного подпокрытия.Покроем конечным числом шаров радиуса ∕ и обозначимчерез любой такойшар, что пересечение ∩ не содержит-ся ни в каком конечном наборе множеств . Далее для каждо-го натурального ⩾ покрываем конечным числом шароврадиуса ∕ и обозначаем через любой такой шар, что пе-ресечение ∩ ( ∩ − ), как и ранее, не содержится ни в каком конечном наборе множеств

. Обратите внимание, что ∩ − ∩ ≠ ∅, и радиусшара вчетверо меньше, чем у − .Обозначим через шар вдвое большего, чем у радиуса ∕ с тем же центром, что и шар

(см. рис. 8⋄1).Упражнение 8.22. Убедитесь, что ⊃ ⊃ ⊃ ⋯ и радиусы шаров стремятся к нулю

при → ∞.

В силу полноты объемлющего пространства все шары имеют общую точку . Поскольку лю-бой из стягивающихся к шаров имеет непустое пересечение с , точка лежит в = инакрывается некоторым открытым множеством из набора . Но тогда все шары , начи-ная с некоторого, лежат внутри , а значит, ∩ покрывается одним множеством вопрекипроизводившемуся нами выбору шаров . Противоречие. �

Замечание 8.1. Свойство (1) из теор. 8.1 называется компактностью, свойство (2) — секвен-ционной компактностью (или свойством Больцано – Вейерштрасса), а свойство (3) — вполнеограниченностью. Вполне ограниченность влечёт ограниченность в обычном смысле: если фи-гура покрывается конечным набором шаров, то она содержится в некотором шаре достаточнобольшого радиуса. В пространстве ℝ с sup-метрикой из прим. 8.8 верно и обратное: всякаяограниченная фигура вполне ограничена, поскольку если содержится в кубе со стороной ,то деля его координатными гиперплоскостями на кубиков со стороной ∕ < , получаемпокрытие конечным набором -кубов. Однако в более сложных метрических пространствахвстречаются ограниченные, но не вполне ограниченные фигуры.


Упражнение 8.23 (по анализу). Убедитесь, что единичный шар с центром в нуле не вполнеограничен в пространстве ([ , ]) непрерывных функций [ , ] → ℝ из прим. 8.9


Каждая непрерывная функция ∶ → ℝ на компактной фигуре в полном метрическом про-странстве ограничена и достигает своих максимального и минимального значений в некото-рых точках фигуры .

Доказательство.Согласнопредл. 8.3 образ ( ) ⊂ ℝ компактен, а значит, ограничени замкнут.Из ограниченности ( ) вытекает, что у ( ) есть конечные точные верхняя и нижняя грани.Из замкнутости ( ) вытекает, что обе они принадлежат ( ). �

8.3. Нормы. В вещественной аффинной геометрии обычно используют метрики, инвариант-ные относительно параллельных переносов и однородные по отношениюк гомотетиям. Первоеозначает, что расстояние ( , ) = ( ) зависит только от вектора , а не от самих точек и. Второе означает, что для любых вектора и числа выполняется равенство ( ) = | | ( ).


Функция → ℝ, ↦ ‖ ‖, на векторном пространстве над полем ℝ называется нормой, еслидля всех ∈ ℝ и , ∈ выполнены свойства

‖ ‖ ⩾ (положительность)

‖ ‖ = ⟺ = (невырожденность)

‖ ⋅ ‖ = | | ⋅ ‖ ‖ (однородность)

‖ + ‖ ⩽ ‖ ‖ + ‖ ‖ (неравенство треугольника) .

Таким образом, всякая инвариантная относительно сдвигов и однородная относительно гомо-тетий метрика на аффинном пространстве, ассоциированном с векторным пространствомнад полем ℝ, имеет вид ( , ) = ‖ ‖ для некоторой нормы ↦ ‖ ‖ на .

Например, евклидова метрика из прим. 8.7 получается из евклидовой нормы | | = √( , ).а sup-метрика из прим. 8.8 — из sup-нормы

‖( , , … , )‖st ≝ max⩽ ⩽

| | , (8-6)

которую мы в дальнейшем будем называть стандартной нормой на ℝ .

Лемма 8.1

Любая норма ↦ ‖ ‖ на пространстве ℝ непрерывна в стандартной топологии.

Доказательство. Обозначим через ∈ ℝ стандартные базисные векторы и положим

= max ‖ ‖ .

Тогда норма любого вектора ∈ ℝ оценивается сверху как

‖ ‖ = ‖∑ ‖ ⩽ ∑ | | ⋅ ‖ ‖ ⩽ max | | = ⋅ ‖ ‖st .

8.3.Нормы 139

Поэтому для любого > и < ∕ стандартная кубическая -окрестность вектора

( ) = { ∈ ℝ ∶ ‖ − ‖st < }

переводится норменным отображением ↦ ‖ ‖ внутрь -окрестности числа ‖ ‖ в ℝ :

|� ‖ ‖ − ‖ ‖ |� ⩽ ‖ − ‖ < ⋅ ‖ − ‖st < .

�8.3.1. Евклидовы нормы. Норма ↦ ‖ ‖ на вещественном векторном пространстве

называется евклидовой, если ‖ ‖ = √( , ) для некоторой евклидовой структуры ( , ) на .Стандартная норма (8-6) не является евклидовой, поскольку стандартная норма всех сторон ивсех диагоналей квадрата, натянутого на стандартные базисные орты в ℝ , равна 1. Тогда какдля евклидовых норм имеет место тождество параллелограмма1

( + , + ) + ( − , − ) = ( , ) + ( , ) ,

которое на языке норм записывается в виде

‖ + ‖ + ‖ − ‖ = (‖ ‖ + ‖ ‖ ) . (8-7)


Норма ↦ ‖ ‖ евклидова , если и только если для неё выполняется тождество (8-7).

Доказательство. Для евклидова скалярного произведения тождество (8-7) очевидно выполня-ется. Рассмотрим произвольную норму ↦ ‖ ‖ на . Функция × → ℝ, заданная правилом

( , ) ≝ (‖ + ‖ − ‖ − ‖)∕

симметрична, невырождена и положительна. Очевидно также, что

∀ , ∈ (− , ) = −( , ) = ( , − ) .

Упражнение 8.24. Покажите, что если норма удовлетворяет тождеству (8-7), то

( + , ) = ( , ) + ( , ) и ( , + ) = ( , ) + ( , ) .

Согласно упр. 8.24, для всех ∈ ℤ и , ∈ выполняется равенство ( ⋅ , ) = ⋅ ( , ).Полагая в нём = ⋅ , получаем ( ∕ , ) = ( , )∕ и заключаем, что равенство

( , ) = ( , ) = ( , ) (8-8)

выполняется для всех ∈ ℚ. Из лем. 8.1 вытекает, что при фиксированных , ∈ ℝ обе частиравенства (8-8) непрерывны как функции ℝ → ℝ от аргумента ∈ ℝ.


Таккак этинепрерывныефункции совпадаютнаплотномподмножестве2ℚ ⊂ ℝ, они совпадаютвсюду в ℝ. Вместе с аддитивностью из упр. 8.24 это означает билинейность функции ( , ). �

1Утверждающее, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырёхего сторон.

2Подмножество топологического пространства называется плотным, если его замыкание совпадаетсо всем пространством.


8.3.2. Топологическая эквивалентность норм. Будем называть две нормы

↦ ‖ ‖ и ↦ ‖ ‖

на векторном пространстве над полем ℝ топологически эквивалентными, если ассоцииро-ванные с ними метрики ( , ) = ‖ ‖ и ( , ) = ‖ ‖ задают одну и ту же метри-ческую топологию на аффинном пространстве 𝔸( ). Поскольку задаваемая нормой метрикатрансляционно инвариантна, -окрестности любой точки являются параллельными переноса-ми -окрестностей нуля. Таким образом, топологическая эквивалентность норм означает, чтов каждой открытомшаре первой нормы с центром в нуле содержится некоторый открытыйшарвторой нормы с центром в нуле и наоборот.

Теорема 8.2

Любая норма на ℝ топологически эквивалентна стандартной sup-норме (8-6).

Доказательство. Достаточно показать, что для любой нормы ↦ ‖ ‖ наℝ существуют такиевещественныеположительные константы и , что для всех ∈ ℝ выполняются неравенства

⋅ ‖ ‖st ⩽ ‖ ‖ ⩽ ⋅ ‖ ‖st . (8-9)

В этом случае стандартный -куб с центром в произвольной точке ∈ ℝ будет содержатьвнутри себя ∕ -шар рассматриваемой нормы и, наоборот, каждый -шар этой нормы будетсодержать внутри себя стандартный ∕ -куб.Поскольку граница стандартного -куба с центромв нуле ,st( ) = { � ∈ ℝ ∶ ‖ ‖st = } � компактна в стандартной топологии, непрерывная полем. 8.1 функция ↦ ‖ ‖ достигает на ней своих максимального и минимального значений

= sup∈

‖ ‖ и = inf∈

‖ ‖ ,

причём > в силу невырожденности нормы. Таким образом, для всех ∈ мы имеемнеравенства < ⩽ ‖ ‖ ⩽ < ∞. Подставляя в них = ∕‖ ‖st получаем для любого ≠требуемые неравенства (8-9). �


Сходимость вметрической топологии, заданнойнаℝ при помощипроизвольнойнормы, озна-чает покоординатную сходимость в какой-нибудь (а следовательно и в любой) системе аффин-ных координат.

8.4. Выпуклость. В аффинном пространстве𝔸( ) над полемℝ барицентрическая комбинация

a

b

Φ

Рис. 8⋄2. Выпуклоостьвнутренности.

+ + ⋯ + , ∑ = ,

точек ∈ 𝔸 называется выпуклой, если все коэффициенты ⩾ .Фигура называется выпуклой, если она содержит все выпуклые ба-рицентрические комбинации своих точек.

Упражнение 8.26. Покажите, что для выпуклости фигуры необхо-димо и достаточно, чтобы вмести с любыми двумя своими точ-ками , она содержала и соединяющий их отрезок

[ , ] = { + | + = , , > } .

8.4. Выпуклость 141

Очевидно, что пересечение выпуклых фигур выпукло. Пересечение всех выпуклых фигур, со-держащих даннуюфигуру , называется выпуклой оболочкойфигуры иобозначается conv( ).Иначе conv( ) можно описать как множество всех выпуклых барицентрических комбинацийвсевозможных конечных наборов точек фигуры .


Внутренность и замыкание любой выпуклой фигуры выпуклы.

Доказательство. Первое вытекает из того, что если точки и содержатся в выпуклом множе-стве вместе с некоторыми -кубами ( ), ( ) ⊂ , то все точки отрезка [ ] содержатсяв вместе с такими же -кубами (см. рис. 8⋄2). Для доказательства второго заметим, что если

= lim→∞

и = lim→∞

, то при любых фиксированных и

lim→∞

( + ) = lim→∞

+ lim→∞

= + .

Поэтому любая точка отрезка [ , ] является пределом последовательности точек фигуры ,если таковыми были его концы и . �

Упражнение 8.27. Докажите, что замкнутое выпуклое множество с непустой внутренностьюявляется её замыканием, и приведите пример невыпуклого замкнутого множества с непу-стой внутренностью, которое не является её замыканием.

Пример 8.10 (симплексы)

Выпуклая оболочка + точек , , … , , не лежащих ни в какой ( − )-мерной плоскости,называется -мерным симплексом с вершинами в этих точках и обозначается

[ , , … , ] = {�∑=

| � ∑=

= , ⩾ }� . (8-10)

Одномерные, двумерные и трёхмерные симплексы суть отрезки, треугольники и тетраэдры со-ответственно. В аффинных координатах ( , , … , ) с началом в относительно базиса

= , = , , … , , симплекс (8-10) задаётся системой из ( + ) линейных (неодно-родных) неравенств

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⩾⋯⋯⋯

⩾+ + ⋯ + ⩽ .

� (8-11)

т. е. является пересечением ( + ) полупространств. Поскольку в точке с координатами

( , , … , )все эти неравенства выполнены строго, она принадлежит симплексу вместе с некоторым -ку-бом. Таким образом, выпуклая оболочка любых ( + ) не лежащих в одной гиперплоскоститочек пространства ℝ имеет непустую внутренность.

Упражнение 8.28. Проверьте, что граница симплекса [ , , … , ] является объединениемвсевозможных симплексов вида [ , , … , ], где < и ∈ { , , … , }.


8.4.1. Геометрическое описание норм. Поскольку все нормы на ℝ задают одну и ту жетопологию, для любой нормы ↦ ‖ ‖ её единичный шар с центром в нуле

( ) = { ∈ ∶ ‖ ‖ ⩽ } (8-12)

ограничен, замкнут и содержит нуль в качестве внутренней точки. Из однородности нормы вы-текает, что этот шар центрально симметричен относительно нуля, а из неравенства треуголь-ника — что он выпуклый: для любых , ∈ ( ) и неотрицательных , ∈ ℝ с + =выполняется неравенство ‖ + ‖ ⩽ ‖ ‖ + ‖ ‖ ⩽ . Норма ↦ ‖ ‖ однозначно восста-навливается по единичному шару (8-12) как

‖ ‖ = inf(� ∈ ℝ> | � − ∈ ( )) � . (8-13)


Формулы (8-12) и (8-13) устанавливают биекцию между нормами на ℝ и выпуклыми цен-трально симметричными относительно нуля компактами в ℝ , содержащими нуль в качествевнутренней точки.

Доказательство. С учётом сказанного выше, нам остаётся лишь проверить, что построенная полюбому удовлетворяющему условиям предложения выпуклому компакту функция

ℝ → ℝ , ↦ ‖ ‖ ≝ inf( ∈ ℝ> | ∈ )

является нормой наℝ . Положительность, невырожденность и однородность этой функции до-статочно проверить при = , где они очевидны. Неравенство треугольника следует из выпук-лости фигуры . Действительно, для всех , ∈ точка

= +‖ ‖ + ‖ ‖ = ‖ ‖

‖ ‖ + ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ + ‖ ‖‖ ‖ + ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖

является выпуклой барицентрической комбинацией точек ∕‖ ‖ и ∕‖ ‖ , лежащих в .Поэтому ∈ , откуда ‖ ‖ ⩽ , т. е. ‖ + ‖ ⩽ ‖ ‖ + ‖ ‖ . �

8.4.2. Опорные гиперплоскости. Рассмотрим аффинное пространство 𝔸 = 𝔸( ) над -мерным векторным пространством ≃ ℝ . Аффинные отображения ∶ 𝔸 → ℝ называютсяаффинными функционаламина𝔸 . Если зафиксировать какую-нибудьначальнуюточку ∈ 𝔸 ,то всякий аффинный функционал можно записать в виде = + , где число = ( ) ∈ ℝравно значению функционала в точке , а ковектор = ∈ ∗ равен дифференциалуаффинного отображения . Таким образом, действие функционала на произвольную точку

∈ 𝔸 задаётся формулой ( ) = + ( ).Ограничение аффинного функционала на любой отрезок

[ , ] = { + ( − ) | ⩽ ⩽ } ⊂ 𝔸

представляет собою «школьную» линейную функцию вида ↦ + на отрезке [ , ]. Длятакой функции имеются следующие исключающие друг друга возможности: она либо тожде-ственно нулевая, либо нигде не обращается в нуль и имеет на всём отрезке постоянный знак,либо зануляется ровно в одной точке ∈ [ , ]. В последнем случае имеется дальнейшая аль-тернатива: либо точка является одним из концов отрезка, и функционал имеет постоянный


знак на полуинтервале [ , ] ∖ , либо ∈ ( , ), а имеет постоянные и противоположныедруг другу знаки на полуинтервалах [ , ) и ( , ]. Таким образом, каждый непостоянный аф-финныйфункционал ∶ 𝔸 → ℝ задаёт разбиение аффинногопространства𝔸 в дизъюнктноеобъединение аффинной гиперплоскости

≝ { ∈ 𝔸 | ( ) = } ,

и двух выпуклых открытых полупространств

+ = { ∈ ℝ | ( ) > } и − = { ∈ ℝ | ( ) < } . (8-14)

Любой отрезок [ , ] c ∈ + и ∈ − пересекает гиперплоскость в единственной точке,и она является внутренней точкой отрезка [ , ]. Замыкания полупространств (8-14)

+ = + ⊔ = { ∈ ℝ | ( ) ⩾ } и − = + ⊔ = { ∈ ℝ | ( ) ⩽ } (8-15)

имеют общую границу + = − = и называются замкнутыми полупространствамиаффинного функционала ≠ const.Лемма 8.2

В аффинном пространстве 𝔸 размерности ⩾ для любого открытого выпуклого множестваи любой точки ∉ существует проходящая через и не пересекающаяся с прямая.

Доказательство. Обозначим через ⊂ 𝔸 объединение всех пересекающих открытых лучейс началом в , т. е. множеств вида ] , ) ≝ { + ⋅ | > } со всевозможными ∈ . Изрис. 8⋄3 и рис. 8⋄4 очевидно, что является открытой выпуклой фигурой, и ∈ . Из выпук-лости следует, что любая проходящая через прямая ℓ либо вообще не пересекает , либопересекает по одному из лучей ] , ), все точки которого являются внутренними точками ,а все точки дополненения ℓ ∖ [ , ) к замкнутому лучу являются для внешними (см. рис. 8⋄3).В частности, внешние для точки существуют. Пусть —одна из них. Поскольку > , черезможно провести пересекающую прямую, отличную от прямой ( ). На ней есть точка ∈ .Прямая ( ) не пересекает ⊃ , т. к. содержит граничную для точку ≠ . �

p

c ∈ C

u ∈ U

q ∈ C

p

c1 ∈ C

c2 ∈ C

u1 ∈ U

u2 ∈ U

[u1, u2] ⊂ U

Рис. 8⋄3. Открытость и непустота . Рис. 8⋄4. Выпуклость .


Каждое1 аффинное подпространство ⊂ 𝔸 , не пересекающее открытого выпуклого множе-ства ⊂ 𝔸 , содержится в некоторой не пересекающей гиперплоскости2.

1В том числе состоящее из единственной точки, т. е. нульмерное.2Т. е. аффинном подпространстве коразмерности .


Доказательство. Поместим начало координат внутрь и отождествим с векторным подпро-странством ⊂ ℝ (возможно нулевым). Из всех векторных подпространств в ℝ , которыесодержат и не пересекают , выберем какое-нибудь максимальное по включению подпро-странство . Возьмём любое дополнительное к подпространство ′, так что ⊕ ′ = ℝ ,и спроектируем ℝ на ′ вдоль . Поскольку отрезки спроектируются при этом в отрезки, акубы— в кубы, и ∩ = ∅, множество спроектируется в открытое выпуклое подмножество

′, не содержащее нуля. Если dim ′ > , то по лем. 8.2 в нём найдётся одномерное подпро-странство , не пересекающее проекцию . Но тогда подпространство ⊕ ⊂ ℝ содержит, не пересекает и строго больше, чем , что противоречит выбору . Мы заключаем, что

dim ′ = , и значит, является искомой гиперплоскостью. �

Определение 8.6 (опорные гиперплоскости)

Гиперплоскость ⊂ ℝ называется опорной гиперплоскостью фигуры ⊂ ℝ , если

∩ ≠ ∅ и ⊂ + .

Вэтомслучаеполупространство + называется опорным полупространством, а аффинныйфунк-ционал — опорным функционалом фигуры .

Теорема 8.3

Через каждую граничную точку любой выпуклой фигуры можно провести опорную гипер-плоскость (возможно, не единственную).

Доказательство. Если фигура ⊂ ℝ целиком лежит в какой-нибудь гиперплоскости, то этагиперплоскость и будет опорной. Если в есть ( + ) точек, не лежащих в одной гиперплос-кости, то согласно прим. 8.10 внутренность ≠ ∅. Проведём через гиперплоскость , непересекающую . Функционал имеет на постоянный знак, т. к. в противном случае, соеди-нив точки разного знака отрезком, мы получим на этом отрезке нуль функционала, т. е. точкуиз ∩ . Меняя, если нужно, знак у , мы можем считать, что ⊂ +. Поскольку лежит взамыкании , а это замыкание — в замыкании , мы заключаем, что ⊂ +. �

Теорема 8.4

Всякое замкнутое выпуклоемножество ⊂ ℝ является пересечением своих опорных полупро-странств.

Доказательство. Применяя индукцию по размерности наименьшего аффинного подпростран-ства, содержащего , мыможем считать, что не содержится в гиперплоскости, а значит, имеетнепустую внутренность. Покажем, что в этом случае каждая внешняя точка ∉ не лежит хотябы в одном из опорных полупространств множества . Для этого соединим отрезком [ , ] скакой-нибудь внутренней точкой ∈ и проведём опорное полупространство + к в гра-ничной точке ∈ [ , ] ∩ . Поскольку лежит строго внутри [ , ], из ( ) > и ( ) =следует, что ( ) < , т. е. ∉ +. �

8.4.3. Грани и крайние точки. Пересечение замкнутой выпуклой фигуры с любой еёопорной гиперплоскостью называется гранью фигуры . Каждая грань фигуры тоже являет-ся замкнутым выпуклым множеством. Размерностью грани называется размерность наимень-шего аффинного подпространства, содержащего эту грань. Отметим, что размерность любойграни фигуры ⊂ ℝ строго меньше . Нульмерные грани (т. е. грани-точки) называются


вершинами. Под внутренними, внешними и граничными точками грани понимаются таковыеточки в топологии наименьшего аффинного подпространства, содержащего эту грань.

Интуитивное содержание термина «грань», основанное на опыте работы с многогранника-ми, не всегда адекватно при работе с произвольными выпуклыми замкнутыми множествами.Например, у шара имеется континуальное множество граней и все они нульмерны, а у фигу-ры на рис. 8⋄5, где пара отрезков гладко сопрягается с овалами, есть две одномерных грани,нульмерные грани которых не являются гранями самой фигуры. Таким образом, грань гранизамкнутой выпуклой фигуры может не быть гранью самой фигуры .

Точка ∈ называется крайней точкой замкнутой выпуклой фигуры , если она не явля-

Рис. 8⋄5.

ется внутренней точкой никакого отрезка [ , ] ⊂ . Крайняя точка не может быть внутрен-ней точкой никакой замкнутой выпуклой фигуры, отличной от точ-ки. Если же точка является внутренней точкой какого-либо отрез-ка [ , ] ⊂ , то она может оказаться в грани фигуры только есливесь отрезок [ , ] лежит в этой грани, поскольку в противном слу-чае высекающий граньфункционалменял бына концах отрезка знаки не был бы опорным. Таким образом, крайние точки суть нульмерные грани, возникающие извсевозможных цепочек вида: фигура , грань фигуры , грань грани фигуры , грань граниграни фигуры , и т. д.. В частности, все вершины фигуры являются её крайними точками.Обратите внимание, что крайние точки всех граней замкнутой выпуклой фигуры являютсякрайними и для , хотя при этом они могут не быть вершинами фигуры .

Теорема 8.5

Каждая ограниченная замкнутая выпуклая фигура является выпуклой оболочкой своих край-них точек.

Доказательство. Индукция по размерности фигуры. Любая внутренняя точка фигуры являет-ся выпуклой комбинацией концов отрезка, высекаемого из фигуры произвольной проходящейчерез точку прямой. Эти концы лежат на гранях фигуры и по индукции являются выпуклымикомбинациями крайних точек этих граней. Последние являются крайними точками и для са-мой фигуры. �


Через каждую точку любой замкнутой выпуклой фигуры ⊂ 𝔸( ) проходит единственноемаксимальное по включению аффинное подпространство, целиком содержащееся в . Все та-кие подпространства имеют одно и то же направляющее векторное пространство ⊂ . Длялюбого такого векторного подпространства ′ ⊂ , что ⊕ ′ = , замкнутая выпуклая фи-гура ′ = ∩ ( + ′) не содержит аффинных пространств положительной размерности, и

= 𝔸( ) × ′.

Доказательство. Если аффинные подпространства + и + содержатся в , то со-держит и аффинное подпространство + ( + ), т. к. для любых ∈ и ∈точка + + является серединой отрезка с концами в точках + и + . Поэтомуаффинное пространство + , где ⊂ это сумма всех таких подпространств ⊂ , что

+ ⊂ , содержит все лежащие в аффинные подпространства, проходящие через . Если+ это максимальное содержащееся в аффинное подпространство, проходящее через точ-

ку ∉ + , то ⊂ , так как для любого вектора ∈ точка = + является концом


содержащегося в интервала [ , [= {( − ) + | ⩽ < } (см. рис. 8⋄6), ибо

( − ) + ( + ) = ( − ) ( + − ) + ∈ .

По той же причине ⊂ . Это доказывает пер-

𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑝

𝑞

𝑝 + − 𝑢

𝑟 = 𝑞 + 𝑢

𝑢

𝑢

Рис. 8⋄6. ∶ = ∶ ( − ).

вые два утверждения и первую половину третье-го. Прямое разложение = ⊕ ′ задаёт раз-ложение 𝔸( ) = ( + ) × ( + ′), в котором

+ ⊂ . Для любойточки = + + ′ ∈ точ-ка + ′ = − ∈ + лежит в ( + ′)∩ = ′.Наоборот, для любой точки + ′ ∈ ′ ⊂ всёаффинное пространство + ′ + ⊂ . Поэтому

⊂ ( + ) × ′. �

Определение 8.7 (цилиндры)

Замкнутая выпуклая фигура вида = 𝔸( ) × ⊂ 𝔸( ) × 𝔸( ), где dim > , а ⊂ 𝔸( ) этонепустая замкнутая выпуклая фигура, не содержащая аффинных подпространств положитель-ной размерности, называется цилиндром с основанием и образующей 𝔸( ). Если основаниесостоит из одной точки, цилиндр совпадает со своей образующей 𝔸( ) и является аффиннымпространством.


Следующие свойства непустой замкнутой выпуклой фигуры эквивалентны друг другу:

1) является цилиндром

2) не имеет крайних точек

3) содержит аффинное подпространство положительной размерности.

Доказательство. Импликация (1) ⇒ (2). Если цилиндр, то через любую точку ∈ прохо-дит содержащееся в аффинное пространство положительной размерности. Поэтому никакаяточка ∈ не может быть крайней.

Импликация (2)⇒ (3). Еслифигура не совпадает с наименьшимаффиннымподпростран-ством, в котором она содержится, то в этом подпространстве у есть опорная гиперплоскость,а значит, и грань строго меньшей размерности, чем dim . Заменяя на эту грань и повторяярассуждение, мы построим цепочку вида: фигура , грань фигуры , грань грани фигуры ,и т. д., последний элемент в которой совпадает с наименьшим содержащим его аффинным под-пространством. Если это подпространство — точка, то она крайняя. Если нет, то содержитаффинное подпространство положительной размерности.

Импликация (2) ⇒ (3) вытекает из предл. 8.9. �

§9. Выпуклые многогранники и многогранные конусы

Вэтомпараграфемыбудемчастоиметь дело с парамидвойственныхдруг другу конечномерныхвекторных пространств , ∗ над полемℝ. Чтобы подчеркнуть симметрию между векторами иковекторами, мы обозначаем значение (результат вычисления) ковектора ∈ ∗ на векторе

∈ через ⟨ , ⟩ ≝ ( ) = ev ( ). Для аффинного функционала ∶ 𝔸( ) → ℝ мы, как иранее, полагаем = { ∈ 𝔸( ) | ( ) = } и + = { ∈ 𝔸( ) | ( ) ⩾ }.

9.1. Выпуклые многогранники. Конечное пересечение замкнутых полупространств

= + ∩ + ∩ … ∩ + , (9-1)

задаваемых аффинными функционалами ∶ 𝔸( ) → ℝ, называется выпуклым многогран-ником в аффинном пространстве 𝔸( ). Например, выпуклыми многогранниками являются всёпространство 𝔸( ) = +, задаваемое неравенством ⩾ с тождественно равным единицефункционалом , а также пустое множество ∅ = +

− , задаваемое неравенством − ⩾ . Любоеаффинное подпространство + ⊂ , где ∈ и ⊂ суть фиксированные вектор и подпро-странство, тоже является выпуклым многогранником, поскольку задающая его система неод-нородных линейных уравнений ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ на вектор ∈ , где ковекторы ∈ ∗

пробегают какой-нибудь базис в Ann , может быть переписана в виде эквивалентной системынеравенств ⟨ , ⟩ − ⟨ , ⟩ ⩾ и −⟨ , ⟩ + ⟨ , ⟩ ⩾ . Пересечение конечного мно-жества выпуклых многогранников является многогранником. В частности, сечение выпуклогомногогранника любым аффинным подпространством является выпуклым многогранником.

9.1.1. Перечисление граней. Напомню, что гранью замкнутого выпуклого множестваназывается пересечение с любым его опорным полупространством. Каждый непустой вы-пуклый многогранник, отличный от всего пространства, имеет грани, и все они тоже являютсянепустыми выпуклыми многогранниками. Сам многогранник является своей гранью , еслии только если он содержится в некоторой гиперплоскости. В этом случае мы будем называтьсовпадающую с грань несобственной, а все остальные грани ⊊ — собственными. Подразмерностью многогранника мы всегда понимаем размерность наименьшего аффинного под-пространства, в котором он содержится. В частности, размерность каждой собственной гранистрого меньше размерности многогранника. Грани ⊂ размерности dim = dim −называются гипергранями.

Теорема 9.1

Длямногогранника (9-1) и каждого непустого подмножества = { , , … , } ⊂ { , , … , }положим = ⋂ ∈ . Пересечение ≝ ∩ либо пусто, либо является гранью , и всеграни многогранника получаются таким образом. Для каждой непустой грани аффинноеподпространство ⊂ 𝔸( ) является наименьшим содержащим грань аффинным простран-ством. Точка ∈ является внутренней точкой грани1 , если и только если ( ) > длявсех ∉ .

Доказательство. Если многогранник = ∩ не пуст, сумма = ∑ ∈ является опорнымфункционалом2 для и = ∩ . Такимобразом, все непустыемногогранники являются

1В топологии подпространства .2См. опр. 8.6 на стр. 144.

147

148 §9Выпуклые многогранники и многогранные конусы

гранямимногогранника . Покажем, что для каждой такой грани выполнены два последнихутверждения теоремы. Пусть точка ∈ = ∩ такова, что ( ) > для всех ∉ . По-скольку эти строгие неравенства выполняются и на некоторой кубической окрестности точкив аффинном пространстве , точка входит в вместе с этой кубической окрестностью.

Это, во-первых, означает что подпространство является наименьшим аффинным простран-ством, содержащим грань , а во-вторых, что точка является внутренней точкой грани .Напротив, если хоть один функционал зануляется в точке , лежащей в какой-либо грани

′ ⊆ , но при этом положителен в некоторой другой точке той же грани, то точка не мо-жет быть внутренней точкой грани ′, т. к. в противном случае, немного продлив отрезок [ , ]за точку , мы получим в грани ′ точку, где функционал строго отрицателен.

Рассмотрим теперь произвольную грань = ∩ , где — какой-либо опорный функ-ционал многогранника . Обозначим через = ( ) ⊂ { , , … , } множество номеров всехтех задающих функционалов , для которых ⊂ . Поскольку для каждого ∉ найдётсятакая точка ∈ , что ( ) > , все функционалы с ∉ строго положительны в бари-центре всех точек . Если = ∅, то вообще все функционалы строго положительны вточке , а значит, и на некотором кубе с центром в . Тем самым, является внутренней1

точкой многогранника и не лежит ни в какой грани. Мы заключаем, что для любой грани⊆ множество = ( ) непусто и ⊆ ∩ = . В частности, и грань = ∩ , и

аффинное подпространство тоже непусты, а точка является, по уже доказанному, внут-ренней точкой грани . Поэтому для любой точки ∈ отрезок [ , ] можно немного про-длить за точку так, чтобы его новый конец всё ещё лежал в . Из соотношений ( ) ⩾ ,

( ) = , ( ) ⩾ вытекает, что ( ) = ( ) = . Следовательно, каждая точка ∈ лежитв грани , откуда = . �


Любой выпуклыймногогранник имеет конечное множество граней, и каждая грань любой гра-ни является гранью самого многогранника. �


Крайними точками любого выпуклого многогранника являются его вершины и только они. �


Каждый ограниченный выпуклый многогранник имеет конечное множество вершин и совпа-дает с их выпуклой оболочкой. �


Непустой выпуклый многогранник тогда и только тогда является цилиндром2, когда он неимеет вершин. �

9.1.2. Координатное описание. Выпуклый многогранник

= + ∩ + ∩ … ∩ + ⊂ 𝔸( )

является прообразом положительного координатного гипероктанта ℝ⩾ ⊂ ℝ при аффинномотображении ∶ 𝔸( ) → ℝ , ↦ ( � ( ), ( ), … , ( )) �, которое мы будем коротко запи-сывать в виде ↦ + , где точка = ( ) ∈ ℝ является образом какой-либо начальной

1В топологии всего объемлющего пространства.2Cм. опр. 8.7 на стр. 146.Многогранники, которые являются цилиндрами, такженазывают призмами.

9.1. Выпуклые многогранники 149

точки ∈ 𝔸( ), а линейное отображение ∶ → ℝ , ↦ ( ( ), ( ), … , ( )), задаётсядифференциалами = ∈ ∗ аффинных функционалов . Таким образом,

= + ∩ + ∩ … ∩ + = { ∈ | + ⩾ }.

При замене вектора ∈ ℝ вектором ′ = + с произвольным ∈ многогранникпараллельно сдвигается на вектор − , т. к.

′ = { ∈ | ′ + ⩾ } = { ∈ | + ( + ) ⩾ } = { ∈ | + ∈ } .

Иначе говоря, перенос начала координат в аффинном пространстве 𝔸( ) равносилен сдвигувектора ∈ ℝ на вектор из подпространства im ⊂ ℝ .

Упражнение 9.1. Убедитесь, что положительный координатный гипероктантℝ⩾ не содержитаффинных подпространств положительной размерности.


Многогранник = { ∈ | + ⩾ } является цилиндром1 , если и только если ker ≠ , ив этом случае = 𝔸(ker ) × ′, где многогранник ′ не содержит аффинных подпространствположительной размерности и аффинно конгруэнтен многограннику red = ( + im ) ∩ ℝ⩾ ,высекаемому положительным координатным гипероктантом ℝ⩾ из аффинного пространства

+ im ⊂ ℝ ассоциированного с векторным пространством im .

Доказательство. Если многогранник содержит аффинное подпространство + , то

+ ( + ) = + ( ) + ( ) ⊂ ℝ⩾ .

По упр. 9.1 такое возможно лишь при ( ) = , т. е. когда ⊂ ker . С другой стороны, длялюбой точки ∈ аффинное пространство + ker целиком лежит в многограннике , т. к.для всех ∈ ker имеем + ( + ) = + ( ) ⩾ . Пусть подпространство ⊂ таково,что = ker ⊕ . Положим ′ = ∩ 𝔸( ). Тогда

= {( , ) ∈ ker ⊕ | + ⩾ } = 𝔸(ker ) × ′ ,

а ограничение аффинного отображения ↦ + на подпространство задаёт аффинныйизоморфизм между 𝔸( ) и аффинным подпространством + im ⊂ ℝ . Он биективно отоб-ражает многогранник ′ на многогранник red. �

9.1.3. Приведённые многогранники. Не содержащие аффинных подпространств положи-тельной размерности многогранники называются приведёнными. Если многогранник

= { ∈ | + ⩾ }

приведён, то линейное отображение ∶ → ℝ инъективно и позволяет отождествить век-торное пространство с подпространством im ⊂ ℝ . Таким образом, каждое приведённоепересечение полупространств может быть описано как пересечение положительного коор-динатного гипероктанта в ℝ с аффинным подпространством вида + ⊂ ℝ

= ( + ) ∩ ℝ⩾ . (9-2)

1См. опр. 8.7 на стр. 146.


Вектор удобно считать начальной точкой аффинного пространства + . Сдвиг векторана вектор из приводит к параллельному переносу многогранника внутри 𝔸( ). С точно-стью до такого параллельного переноса, приведённый многогранник (9-2) определяется клас-сом [ ] = + ∈ ℝ ∕ вектора ∈ ℝ в фактор пространстве1 ℝ ∕ .

На практике вектор обычно задаётся столбцом своих координат

⎛⎜⎜⎝

⋮⎞⎟⎟⎠

∈ ℝ ,

а подпространство ⊂ ℝ — либо как линейная оболочка столбцов , , … , какой-ни-будь × матрицы , либо как пространство решений системы из линейных уравнений

= на столбец ∈ ℝ . В первом случае многогранник образован всеми такими линей-ными комбинациями∑ столбцов матрицы , коэффициенты ∈ ℝ которых удовлетворя-ют неравенствам + ⩾ . При этом dim ⩽ dim = rk . Во втором случае многогранник

состоит из всех столбцов = + ∈ ℝ , которые лежат в положительном координатномгипероктантеℝ⩾ и удовлетворяют системе из неоднородных линейных уравнений = .При этом dim ⩽ dim = − rk .

9.2. Выпуклые многогранные конусы. Множество всех неотрицательных линейных комби-наций векторов из заданного непустого конечного множества в векторном пространственазывается выпуклым многогранным конусом, порождённым множеством , и обозначается

= { + + ⋯ + ∈ | ∈ ℝ⩾ , ∈ } . (9-3)

Упражнение 9.2. Убедитесь, что является замкнутой выпуклой фигурой в 𝔸( ).Очевидно, что всякий конус не пуст, содержит нулевой вектор ∈ и вместе с каждымненулевым вектором ∈ содержит весь замкнутый луч [ , ) = { | ∈ ℝ⩾ }.

Лемма 9.1

Все опорные гиперплоскости любого выпуклого многогранного конуса проходят через нуль.

Доказательство. Пусть опорная гиперплоскость проходит через ненулевую точку ∈ .Если ( ) > , то ограничение опорногофункционала на луч [ , ) ⊂ должноменять в точкезнак, что невозможно. �

Лемма 9.2 (лемма Фаркаша)

Если вектор ∈ не лежит в многогранном конусе , то существует такой линейный функци-онал ∈ ∗, что ⟨ , ⟩ < и ⟨ , ⟩ ⩾ для всех ∈ .

Доказательство. Согласно теор. 8.4 на стр. 144, любой многогранный конус является пере-сечением своих опорных полупространств. По лем. 9.1 каждое такое полупространство имеетвид + = { ∈ | ⟨ , ⟩ ⩾ } для подходящего ковектора ∈ ∗. Следовательно, для каждого

∉ существует такой линейный функционал ∈ ∗, что ∉ +, а ⊂ +. �

1См. n∘ 4.6 на стр. 67.

9.2. Выпуклые многогранные конусы 151

Теорема 9.2 (теорема Фаркаша – Минковского – Вейля)

Подмножество ⊂ является выпуклым многогранным конусом , если и только если оно яв-ляется пересечением конечного множества векторных полупространств

+ = { ∈ | ⟨ , ⟩ ⩾ } , ∈ ∗ . (9-4)

Соглашение 9.1. Для упрощения формулировок мы разрешаем ковектору в формуле (9-4)приниматьинулевое значение.Соответствующее «полупространство» + = называетсянесоб-ственным.

Доказательство теор. 9.2. Пусть множество векторов ⊂ является пересечением конечно-го числа полупространств (9-4). Тогда является выпуклым многогранником в 𝔸( ), содержитнуль ∈ , и вместе с каждой точкой ≠ содержит весь замкнутый луч [ , ). Пересече-ние многогранника со стандартным единичным кубом ( ) ⊂ 𝔸( ) является ограниченнымвыпуклым многогранником и по сл. 9.3 на стр. 148 совпадает с выпуклой оболочкой своих вер-шин — конечного множества векторов ⊂ . Поэтому для любого ненулевого вектора ∈вектор ∕ ‖ ‖st ∈ ∩ ( ) является выпуклой комбинацией векторов из , а значит, и самвектор это неотрицательная линейная комбинация ненулевых векторов из .

Наоборот, любой многогранный конус ⊂ , будучи замкнутым выпуклым множеством,является пересечением полупространств (9-4) по всем таким ∈ ∗, что ⟨ , ⟩ ⩾ для каж-дого ∈ . Множество этих ковекторов является пересечением конечного числа векторныхполупространств + = { ∈ ∗ | ⟨ , ⟩ ⩾ }, где пробегает множество . По уже доказанно-му, такое пересечение представляет собою выпуклый многогранный конус ∨ ⊂ ∗ для неко-торого конечного множества ковекторов ∨ ⊂ ∗. Так как каждый ковектор ∈ ∨ являетсянеотрицательной линейной комбинацией ковекторов ∈ ∨, все неравенства ⟨ , ⟩ ⩾ ,

∈ ∨ , следуют из конечного набора неравенств ⟨ , ⟩ ⩾ , ∈ ∨, т. е. = ⋂∈ ∨

+. �

Пример 9.1 (проективный конус многогранника)

Рассмотрим векторное пространство = ℝ ⊕ = {( , ) | ∈ ℝ, ∈ } и вложим в негоаффинное пространство 𝔸( ) в качестве аффинной гиперплоскости

( − ) = + = {( , ) ∈ | ∈ } , (9-5)

где = ( , ) ∈ , а ∈ ∗ ∶ ( , ) ↦ . Всякий выпуклый многогранник в 𝔸( )

= { ∈ | + ⩾ } = {( , ) ∈ | + ⩾ }

высекается из гиперплоскости (9-5) выпуклым многогранным конусом

≝ {( , ) ∈ | + ⩾ } ⊂ , (9-6)

который называется проективным конусом многогранника ⊂ 𝔸( ) и представляет собоюпрообраз положительного координатного гипероктанта ℝ⩾ при линейном отображении

→ ℝ , ( , ) ↦ + ,

или, что то же самое, пересечение векторных полупространств + = { ∈ | ⟨ , ⟩ ⩾ },задаваемых ковекторами ∶ → ℝ, ( , ) ↦ + ⟨ , ⟩, которые продолжают дифферен-циалы ∶ → ℝ аффинных функционалов ∶ 𝔸( ) → ℝ до линейных форм на пространстве

= ℝ ⊕ по правилу ⟨ , ⟩ ≝ ( ) = .


Упражнение 9.3.Покажите, чтопроективныйконус ⊂ непустого выпуклогомногогран-ника ⊂ + ⊂ является замыканием объединения всех лучей [ , ), проходящихчерез точки = ( , ) ∈ (см. рис. 9⋄1).

𝑂𝑒

𝑤

𝑝

𝑝

𝑝

𝑀𝑢

𝑡

𝑢

lim→+∞

[0,𝑤 + 𝑥𝑢)

[0,𝑤)

𝐻 = 𝑉 𝐻 − = 𝑒 + 𝑉

Рис. 9⋄1. Предельное положение луча [ , + ) = { ( + ) | ⩾ } при → +∞.

Упражнение 9.4. Убедитесь, что выпуклая оболочка любого конечного множества точек аф-финной гиперплоскости + ⊂ высекается из неё конусом ⊂ .

Теорема 9.3 (теорема Минковского – Вейля)

Выпуклая оболочка любого конечного набора точек является ограниченным выпуклым много-гранником, и наоборот, всякий компактный выпуклый многогранник является выпуклой обо-лочкой конечного множества точек, а именно, своих вершин.

Доказательство. Выпуклая оболочка любого конечного набора точек , , … , ∈ 𝔸( )ограничена, ибо содержится в кубе, содержащем все точки . Чтобы задать её конечным чис-лом линейных неравенств, вложим 𝔸( ) в векторное пространство = ℝ ⊕ в качествеаффинной гиперплоскости + , как в предыдущем прим. 9.1. Согласно упр. 9.4 выпуклая обо-лочка точек = ( , ) является пересечением гиперплоскости + с порождённымвекторами

выпуклым многогранным конусом , ,…, ⊂ , который является выпуклым многогран-ником по теор. 9.2. Это доказывает первое утверждение. Второе утверждение уже было уста-новлено нами в сл. 9.3 на стр. 148. �


9.2.1. Двойственность.Рассмотримвыпуклыймногогранныйконус ⊂ , порождённыйконечным множеством векторов ⊂ . Множество всех его опорных функционалов

∨ ≝ { ∈ ∗ | ∀ ∈ ⟨ , ⟩ ⩾ } = ⋂∈

+ ⊂ ∗

по теор. 9.2 также является выпуклыммногограннымконусом, порождённымнеким конечнымнабором ковекторов ∨ ⊂ ∗. Конус ∨ = ∨ ⊂ ∗ называется двойственным к конусу ⊂ .По лемме Фаркаша1 исходный конус

= { ∈ | ∀ ∈ ∨ ⟨ , ⟩ ⩾ } = ⋂∈ ∨

+ ⊂

двойствен к своему двойственному конусу. Таким образом, для любого выпуклого многогран-ного конуса выполняется равенство ∨∨ = .

Пример 9.2 (двойственные многогранники)

Пусть в аффинных пространствах 𝔸( ) и 𝔸( ∗), ассоциированных с двойственными векторны-ми пространствами и ∗ отмечены точки ∈ 𝔸( ) и ∈ 𝔸( ∗). Вложим 𝔸( ) в качестве аф-финной гиперплоскости + в векторноепространство = ℝ ⊕ , как вприм. 9.1на стр. 151,и точно также вложим𝔸( ∗) в качестве аффинной гиперплоскости + ∗ в векторное простран-ство ∨ = ℝ ⊕ ∗, которое отождествим с ∗, полагая ⟨ + , + ⟩ = + ⟨ , ⟩ длявсех , ∈ ℝ, ∈ ∗, ∈ . Многогранники

= ( + ) ∩ ⊂ 𝔸( ) и ∨ = ( + ∗) ∩ ∨ ⊂ 𝔸( ∗) ,

с двойственными проективными конусами ⊂ и ∨ ⊂ ∗, называются двойственнымиотносительно точек ∈ 𝔸( ) и ∈ 𝔸( ∗). Если точка внутренняя для многогранника , товсе задающие аффинные функционалы имеют строго положительные свободные члены имогут быть умноженына положительные константы2 так, чтобыих свободные члены стали рав-ны единице. Тогда все ковекторы ∈ ∗, задающие проективный конус многогранника, примут вид = + , где ∈ ∗ это дифференциалы перескалированных функционалов. Двойственный конус ∨ = , ,…, ⊂ ∗ пересекает аффинную гиперплоскость + ∗

по выпуклой оболочке точек + .Например, стандартный куб ( ) ⊂ ℝ задаётся неравенствами + ⩾ и − ⩾ , где

⩽ ⩽ . Двойственный к нему относительно нулей в ℝ и ℝ ∗ многогранник представляетсобою выпуклую оболочку стандартных базисных векторов ± ∗ ∈ ℝ ∗, т. е. является стандарт-ным кокубом.

9.2.2. Грани конусов. Удобно считать, что каждый конус ⊂ имеет несобственную грань= + ∩ размерности dim . Рассмотрим пару двойственных конусов

= ∨∨ ⊂ и ∨ = ∨ ⊂ ∗ . (9-7)

Для каждой грани ⊂ обозначим через ⊂ её линейную оболочку и положим

≝ ∩ и ∨ ≝ ∨ ∩ Ann . (9-8)

1См. лем. 9.2 на стр. 150.2При умножении аффинного функционала на положительную константу полупространство + не

меняется.


Первое множество состоит из всех образующих конуса , лежащих в линейной оболочке гра-ни , второе — из всех образующих двойственного конуса, аннулирующих грань .

Лемма 9.3

Для каждой грани любого выпуклого многогранного конуса ⊂ выполняются равенства

= = ∩ ,

и множество векторов линейно порождает линейную оболочку грани .

Доказательство. По теор. 9.1 каждая грань ⊂ имеет вид = ∩ Ann ∨ и содержитнекоторый открытый в пространстве Ann ∨ куб. Поэтому = Ann ∨ и = ∩ . В част-ности, ⊂ . Для доказательства обратного включения достаточно убедиться, что в разло-жении произвольного вектора ∈ в виде неотрицательной линейной комбинации векторовиз ненулевые коэффициенты могут иметь лишь векторы из . Но для каждой образующей

∈ ∖ найдётся такойфункционал ∈ ∨, что ⟨ , ⟩ > , и если бы образующая входилав разложение вектора ∈ с положительным коэффициентом, то значение ⟨ , ⟩ было быположительным, а не нулевым, как это должно быть для ковектора ∈ ∨. �

Упражнение 9.5. Приведите пример, показывающий, что не каждое непустое подмножество⊂ порождает конус, являющийся гранью конуса .

Теорема 9.4

Для любой пары двойственных конусов = ∨∨ , ∨ = ∨ в -мерных пространствах , ∗

при = , , … , dim имеется оборачивающая включения биекция между -мерными гра-нями ⊂ и ( − )-мерными гранями ∨ ⊂ ∨. Она переводит каждую грань в пересечениедвойственного конуса с аннулятором этой грани или, т. е. переводит грань = ⊂ вгрань ∨ ≝ ∨ ⊂ ∨ , где ∨ = ∨ ∩ Ann . В частности, одномерные рёбра любого конусаявляются уравнениями гиперграней двойственного конуса и наоборот.

Доказательство. Для каждой грани = = ∩ Ann ∨ все векторы ∈ являютсяопорными функционалами для двойственного конуса ∨ . Поэтому подпространство Ann == Ann высекает из ∨ грань, которую мы обозначим ∨. По построению, ∨ ⊃ ∨. Линей-ная оболочка множества ∨ совпадает с двойным аннулятором Ann Ann ∨ = Ann = Ann .Следовательно, по лем. 9.3 множество ∨ линейно порождает линейную оболочку грани ∨, и

∨ = ∨ . По построению, Ann ∨ = Ann Ann = . Поэтому ∨∨ = , т. е. отображение↦ ∨ обратно самому себе, а значит, биективно. �

Замечание 9.1. В теор. 9.4 не предполагается равенства dim = dim . Например, одномер-ный конус = { | ⩾ } представляет собою луч, выпущенный из нуля в направлениивектора и имеет две грани — нульмерную грань и одномерную грань, совпадающую с са-мим этим лучом. Соответственно, двойственный ему конус ∨ = + ⊂ ∗ представляет собоюполупространство и тоже имеет две грани: -мерную грань ∨ ∩Ann = + ∩ ∗ = + и ( − )-мерную грань ∩ Ann = .

Упражнение 9.6. Покажите, что для каждой грани = конуса выполняется равенство= ∩ − ∨

∨ , где − ≝ { | − ∈ } обозначает конус, центрально симметричныйконусу относительно начала координат.


9.2.3. Асимптотический конус многогранника. Пусть выпуклый многогранник

= { ∈ | + ⩾ } = + ∩ + ∩ … ∩ + ⊂ 𝔸( ) , (9-9)

задаётся аффинными функционалами = + , где = ( ) ∈ ℝ, = ∈ ∗. Конус

= { ∈ | ⩾ } = + ∩ + ∩ … ∩ + = ∨, ,…, ⊂ ,

двойственный к конусу , ,…, ⊂ ∗, порождённому дифференциалами аффинныхфункци-оналов , называется асимптотическим конусом1 многогранника . Иначе асимптотическийконус можно описать как пересечение = ∩ проективного конуса2

= {( , ) ∈ ℝ ⊕ | + ⩾ }

с векторнымподпространством = {( , ) ∈ ℝ⊕ } ≃ , заданным вℝ⊕ уравнением = ,см. рис. 9⋄2. Обратите внимание, что асимптотический конус определён и не пуст3 для любо-го, в том числе и пустого, многогранника (9-9) и зависит только от линейного отображения

∶ → ℝ , но не от вектора ∈ ℝ .

𝑂𝑒

𝑝

𝑝

𝑝

𝑀

𝑡

𝑣𝑣

𝑣𝑣

𝐻 = Ann 𝑡 𝐻 − = 𝑒 + 𝑉

Рис. 9⋄2. Асимптотический конус и направления рецессии.


Еслимногогранник (9-9) не пуст, то ненулевой вектор ∈ тогдаи только тогда лежит в асимп-тотическомконусе многогранника , когда он обладает следующимиэквивалентнымидругдругу свойствами4:

1Или конусом рецессии.2См. прим. 9.1 на стр. 151.3Ибо по крайней мере содержит нулевой вектор.4Направления таких векторов называют асимптотическими, или направлениями рецессии (по-ан-

глийски: recession directions).


1) целиком содержит какой-нибудь луч [ , ) с направляющим вектором =

2) + ∈ для любой точки ∈ .

Доказательство. Если для вектора ∈ при каком-либо выполнено неравенство ⟨ , ⟩ < ,то для любой точки ∈ 𝔸( ) при всех ≫ справедливо неравенство

( + ) = ( ) + ⋅ ⟨ , ⟩ < ,

а значит ни свойство (1), ни свойство (2) не имеют места. Напротив, если ⟨ , ⟩ ⩾ длявсех , то для любой точки ∈ при всех ⩾ выполняются неравенства

( + ) = ( ) + ⟨ , ⟩ ⩾ ( ) ⩾ ,

т. е. весь луч + , ⩾ , лежит в . �

Теорема 9.5 (разложение Моцкина)

Всякий выпуклый многогранник в аффинном пространстве𝔸( ) является объединением се-мейства своих асимптотических конусов ⊂ , отложенных от точек некоторого компактно-го выпуклогомногогранника ′ ⊂ 𝔸( ). Иначе говоря, существуют такие конечныемножестваточек ⊂ 𝔸( ) и векторов ⊂ , что

= conv( ) + = { + + ⋯ + + + + ⋯ + ℓ ℓ} , (9-10)

где ∈ , ∈ , , ∈ ℝ⩾ и ∑ = .

Доказательство. Вложим𝔸( ) в векторное пространство = ℝ ⊕ в качестве аффинной ги-перплоскости + с уравнением = , как в прим. 9.1 на стр. 151. По теор. 9.2 на стр. 151проективный конус порождается некоторым конечным множеством векторов ⊂ , аасимптотический конус ⊂ является гранью проективного конуса, высекаемой вектор-ным подпространством = Ann ⊂ . По лем. 9.3 на стр. 154 конус = порождает-ся множеством векторов = ∩ Ann , а все остальные образующие ∈ ∖ аффинногоконуса удовлетворяют строгим неравенствам ⟨ , ⟩ > , см. рис. 9⋄2 на стр. 155. Обо-значим через ⊂ + множество всех точек вида = ∕ ⟨ , ⟩, где ∈ ∖ . Тогда

= ⊔ = { + , | ∈ , ∈ }. Луч [ , + ), где ∈ , ∈ , пересекаетаффинную гиперплоскость = , если и только если ≠ , и в этом случае точка пересечения( + ) ∕ ⟨ , + ⟩ = ( + ) ∕ ⟨ , ⟩ является суммой точки ∕⟨ , ⟩ ∈ conv и вектора

∕⟨ , ⟩ ∈ = . �


Следующие свойства непустого многогранника = { ∈ | + ⩾ } эквивалентны:

1) многогранник ограничен

2) асимптотический конус = { ∈ | ⩾ } =

3) двойственный к асимптотическому конус , ,…, = ∗. �



Линейный функционал ∈ ∗ тогда и только тогда достигает на многограннике ∈ 𝔸( )своего минимального значения, когда он является опорным для асимптотического конуса мно-гогранника , т. е. когда ∈ ∨ = , ,…, . В этом случае минимальное значение на

= conv + равно минимальному значению на conv .

Доказательство. Если линейный функционал ∈ ∗ принимает отрицательное значение накаком-нибудь ненулевом векторе из конуса , то он не ограничен снизу на . Таким образом,если ограничен снизу на , то ∈ ∨, и в этом случае минимальное значение на равнонулю и достигается на грани ∩ Ann . Поскольку = conv + и ограничен на компактеconv , ограничен на , если и только если ∈ ∨ , и в этом случае минимальное значениена равно минимальному значению на conv . �9.2.4. Коасимптотический конус многогранника. Пусть выпуклый многогранник

= { ∈ | + ⩾ } = + ∩ + ∩ … ∩ + ⊂ 𝔸( ) (9-11)

задан аффинными функционалами = + , где = ( ) ∈ ℝ и = ∈ ∗. Двой-ственное к линейному отображению1 ∶ → ℝ , ↦ ( �⟨ , ⟩, ⟨ , ⟩, … , ⟨ , ⟩) �,отображение ∗ ∶ ℝ ∗ → ∗, ∗ ↦ , переводит стандартные базисные ковекторы ∗ ∈ ℝ ∗ влинейные функционалы = . Его ядро ker ∗ ⊂ ∗ состоит из всех линейных соотношений2

между образующими , , … , конуса ∨ = , ,…, = ∗( ∗ , ∗ ,…, ∗ ). Пересечениеядра ker ∗ с положительным гипероктантом ℝ⩾

∗ обозначается

≝ ker ∗ ∩ℝ⩾∗

и называется коасимптотическим конусом многогранника . Как и асимптотический конус,он никогда не пуст и зависит только от линейного отображения ∶ → ℝ , но не от векто-ра ∈ ℝ свободных членов функционалов . Как мы уже отмечали, с точностью до парал-лельных переносов многогранник (9-11) зависит только от класса [ ]im = + im в факторпространстве ℝ ∕im , которое канонически двойственно пространству ker ∗, ибо3

(ker ∗)∗ ≃ ℝ ∗∗ ∕Ann ker ∗ = ℝ ∕im .

Таким образом, класс [ ]im может рассматриваться как линейный функционал

[ ]im ∶ ker ∗ → ℝ , ↦ ⟨ , ⟩ .

Лемма 9.4

Двойственный к коасимптотическому конус ∨ ⊂ ℝ ∕im образован всеми такими классами+ im ∈ ℝ ∕im , что многогранник = { ∈ | + ⩾ } не пуст.

Доказательство. Каждый вектор ∈ удовлетворяет неравенствам ⟨ ∗ , + ⟩ ⩾ привсех ⩽ ⩽ . Поэтому для любого ковектора = ∑ ∗ с ⩾ выполняется неравенство

⟨ , + ⟩ = ∑ ⟨ ∗ , + ⟩ ⩾ . (9-12)

1См. n∘ 4.7 на стр. 69.2В том смысле, что строка ( , , … , ) ∈ ℝ ∗ лежит в ker ∗ , если и только если в пространстве

∗ выполняется равенство + + ⋯ + = .3См. предл. 4.13 на стр. 68 и форм. (4-18) на стр. 69.


Если вдобавок ∗ = , то ⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ + ⟨ ∗ , ⟩ = ⟨ , ⟩. Следовательно, при≠ ∅ для всех ∈ справедливо неравенство ⟨ , ⟩ ⩾ , т. е. класс [ ]im лежит в двой-

ственном к коасимптотическому конусе ∨ . Наоборот, если [ ]im ∉ ∨ , то по лемме Фарка-ша1 найдётся такой ковектор ∈ , что ⟨ , ⟩ < , а значит, для всех ∈

⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ < .

Поскольку для каждого вектора ∈ выполняется противоположное неравенство (9-12), мызаключаем, что = ∅. �

9.3. Линейная оптимизацияи двойственность Гейла. Задача линейной оптимизации2 заклю-чается в отыскании тех точек выпуклогомногогранника ⊂ 𝔸( ), где данный линейныйфунк-ционал ∶ → ℝ принимает своё минимальное на многограннике значение. В самом об-щем случае многогранник = { ∈ | + ⩾ } = 𝔸(ker ) × red является цилиндром3

над приведённым4 многогранником red = ( + im ) ∩ ℝ⩾ , который с точностью до сдвигазадаётся классом [ ]im = + im ∈ ℝ ∕ im . Если функционал ограничивается на век-торное подпространство ker ⊂ в ненулевой ковектор на этом подпространстве, т. е. если

∉ Ann ker = im ∗ ⊂ ∗, то не ограничен на = 𝔸(ker ) × red ни сверху, ни снизу.Поэтому задача линейной оптимизации может иметь решение только для функционалов вида

= ∗ , где ∈ ℝ ∗. Такой функционал однозначно определяется классом

[ ]ker ∗ = + ker ∗ ∈ ℝ ∗ ∕ker ∗ = ℝ ∗ ∕Ann im ≃ (im )∗

и имеет нулевое ограничение на векторное подпространство ker ⊂ , а его минимум на ци-линдре = 𝔸(ker ) × red, буде он существует, достигается на цилиндре вида 𝔸(ker ) × ,где ⊂ red это множество тех точек, где достигает своего минимума на многограннике redограничение функционала ∶ ℝ → ℝ на аффинное подпространство + im ⊂ ℝ .

Таким образом, любая претендующая на наличие решения задача линейной оптимизациисводится к задаче оптимизации по приведённому многограннику. Последняя допускает следу-ющую стандартную формулировку. Даны векторное подпространство ⊂ ℝ и классы

[ ] = + ∈ ℝ ∕ и [ ]Ann = + Ann ∈ ℝ ∗ ∕Ann ≃ ∗ . (9-13)

Эти данные определяют приведённый выпуклый многогранник

= ( + ) ∩ℝ⩾ (9-14)

в ассоциированномс векторнымпространством аффинномпространстве + ⊂ ℝ илиней-ный функционал | ∶ → ℝ, ↦ ⟨ , ⟩, на векторном пространстве . Скажем, что точки

, ∈ + удовлетворяют неравенству5 ( ) ⩽ ( ), если ⟨ , ⟩ ⩾ . Задача заключаетсяв том, чтобы описать множество -минимальных точек

= { ∈ | ∀ ∈ ⟨ , ⟩ ⩾ } .1См. лем. 9.2 на стр. 150.2Или линейного программирования.3См. предл. 9.1 на стр. 149 и опр. 8.7 на стр. 146.4См. n∘ 9.1.3 на стр. 149.5Обратите внимание, что сами значения функционала в точках , при этом не определены кор-

ректно.

9.3. Линейная оптимизация и двойственность Гейла 159

Например, если подпространство ⊂ ℝ задано как линейная оболочка столбцов

, , … , ∈ ℝ

какой-нибудь × -матрицы = ( ), вектор ∈ ℝ задан столбцом своих координат, акласс + Ann задан строкой ( , , … , ) значений = ⟨ , ⟩ ковектора на столбцахматрицы , то стандартная задача линейной оптимизации заключается в описании всех техрешений ( , , … , ) неоднородной системы линейных неравенств + ⩾ , т. е. системы

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+ + + ⋯ + ⩾+ + + ⋯ + ⩾+ + + ⋯ + ⩾

⋮ ⋮ ⋮+ + + ⋯ + ⩾ ,

� (9-15)

для которых число = + +⋯+ ∈ ℝ имеет минимальное возможное значение.С векторнымподпространством ⊂ ℝ канонически связано1 векторноеподпространство

Ann ⊂ ℝ ∗, и те же самые классы (9-13)

[ ]Ann = + Ann ∈ ℝ ∗ ∕Ann и [ ] = + ∈ ℝ ∕ = Ann∗

задают лежащий в ассоциированном с Ann аффинном пространстве + Ann ⊂ ℝ ∗ выпук-лый многогранник

× = ( + Ann ) ∩ℝ⩾∗ (9-16)

и линейный функционал |Ann ∶ Ann → ℝ, ↦ ⟨ , ⟩, на векторном пространстве Ann .Многогранник (9-16) называется двойственным по Гейлу к многограннику (9-14), а задача опи-сания множества -минимальных точек многогранника ×, т. е. множества

× = { ∈ × | ∀ ∈ × ⟨ , ⟩ ⩾ } ,

называется двойственной по Гейлу стандартной задачей линейнойоптимизации для векторногоподпространства ⊂ ℝ и классов (9-13) .

Если, как впредыдущемпримере, пространство ⊂ ℝ порождено столбцами × -матри-цы , вектор ∈ ℝ задан столбцом своих координат, а класс + Ann представлен строкойзначений функционала на столбцах матрицы , то двойственная задача линейной оптими-зации заключается в отыскании такого решения = ( , , … , ) неоднородной системылинейных уравнений = , т. е. системы2

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+ + ⋯ + =+ + ⋯ + =+ + ⋯ + =

⋮ ⋮ ⋮+ + ⋯ + = ,

� (9-17)

1См. n∘ 4.4.3 на стр. 64.2Матрица коэффициентом которой транспонирована матрице коэффициентов системы (9-15).


что ⩾ для всех ⩽ ⩽ и число = + + ⋯ + имеет минимальноевозможное значение.


Для каждого непустого подмножества = { , , … , } ⊊ { , , … , } обозначим через

= Ann( ∗ , ∗ , … , ∗ ) = ⨁∉ℝ ⋅ ⊂ ℝ ,

× = Ann( , , … , ) = ⨁∉ℝ ⋅ ∗ ⊂ ℝ ∗ (9-18)

линейные оболочки стандартных базисных векторов ∈ ℝ с ∉ и двойственных им ба-зисных ковекторов ∗ ∈ ℝ ∗ соответственно. Если множество минимальных точек ⊂функционала на многограннике непусто, то для любой точки ∈ аффинный функци-онал ∶ + ↦ ⟨ , ⟩ является опорным для многогранника и не зависит от выбораточки ∈ , поскольку из равенства ⟨ , ⟩ = для всех , ∈ вытекает равенство

( ) = ⟨ , ⟩ = ⟨ , + ⟩ = ⟨ , ⟩ = ( )

для всех ∈ + . Тем самым, множество = ∩ является гранью многогранникаи по теор. 9.1 на стр. 147 имеет вид = ∩ для некоторого непустого подмножества

⊊ { , , … , }.

Теорема 9.6

Многогранник ⊂ 𝔸( ) не пуст тогда и только тогда, когда функционал достигает сво-его минимума на всех непустых двойственных по Гейлу многогранниках × ⊂ 𝔸(Ann ). Вэтом случае каждый функционал , для которого × ≠ ∅, тоже достигает минимума на мно-гограннике , а множества и всех тех координат, что аннулируют грани = ∩ и

× = × ∩ ×, где достигаются минимумы, покрывают всю линейку координат, т. е.

∪ = { , , … , } .

Доказательство. Асимптотический конус многогранника = { ∈ | + ⩾ } высекаетсяиз подпространства ⊂ ℝ положительным гипероктантом:

= { ∈ | ⩾ } = ∩ ℝ⩾ .

Поскольку двойственное к вложению ↪ ℝ линейное отображение представляет собою эпи-морфизм ℝ ∗ ↠ ∗ = ℝ ∗ ∕ Ann с ядром Ann , коасимптотический конус многогранника

совпадает с асимптотическим конусом двойственного по Гейлу многогранника:

= Ann ∩ ℝ⩾∗ = × .

Заменяя здесь на × = { ∈ Ann | + ∈ ℝ⩾∗}, получаем двойственное равенство

= × . Теперь первые два утверждения теоремы следуют из сл. 9.6 на стр. 157 и лем. 9.4

на стр. 157. Если оба множества и × непусты, мы можем выбрать вектор ∈ ℝ внутриграни = ⊂ , а ковектор ∈ ℝ ∗ — внутри грани × = ⊂ ×. Тогда по теор. 9.1 настр. 147

⟨ ∗ , ⟩ ={

при ∈> при ∉

� и ⟨ , ⟩ ={

при ∈> при ∉ ,

�

9.4. Симплекс-метод 161

а значение ⟨ , ⟩ является минимальным как для линейной формы на многограннике ,и для линейной формы на многограннике ×. Если имеется индекс ∉ ∩ , то значение⟨ , ⟩ > , и его можно уменьшить, немного уменьшая -тые координаты вектора и ковек-тора так, чтобы они продолжали оставаться внутри граней × и . �


Стандартная задача (9-15) имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение двой-ственная ей стандартная задача (9-17), причём если -тая координата какого-нибудь решенияодной из этих задач ненулевая, то -тая координата любого решения двойственной задачи ну-левая.

9.4. Симплекс-метод эффективно решает задачу линейной оптимизации в случае, когда аф-финное подпространство + ⊂ ℝ описывается следующим набором данных:

(S ) разбиение { , , … , } = ⊔ на состоящие из # = = dim и # = = −элементов подмножества, такие что ℝ = ⊕ , где1 = ⋂

∈Ann( ∗) ,

(S ) базис пространства , состоящий из векторов = + , где ∈ и ∈ , которыепереводятся в стандартные базисные векторы ∈ проекцией

∶ ℝ = ⊕ ↠ (9-19)

вдоль координатного подпространства ,

(S ) вектор = ∩ ∈ ℝ , являющийся вершиной многогранника = ( + ) ∩ℝ⩾ .

Разбиение (S ) всегда существует, т. к. по лемме о замене2 какие-нибудь = dim стандартныхбазисных векторов пространстваℝ можно заменить векторамипроизвольного выбранногобазиса , , … , пространства так, чтобы оставшиеся векторы вместе с векторамисоставили базис в ℝ . Последнее означает, что ∩ = и ⊕ = ℝ .

Для любого разбиения вида (S ) проекция (9-19) изоморфно отображает подпространство⊂ ℝ на координатную гиперплоскость , порождённую стандартными базисными век-

торами ∈ ℝ с ∈ , и базисные векторы из (S ) суть прообразы векторов при этомизоморфизме. Тем самым, для любого разбиения (S ) базис (S ) существует и единствен.

Ограничения координатных функционалов ∗, ∈ , на подпространство ⊂ ℝ состав-ляют двойственный к (S ) базис пространства ∗. Гиперплоскости Ann ∗ с ∈ суть коорди-натные гиперплоскости пространства относительно базиса (S ). Так как они трансверсальнопересекаются по нулевому вектору, пересечение ∩ либо пусто, либо является вершиноймногогранника по теор. 9.1 на стр. 147. Таким образом, вектор ∈ ℝ тоже однозначноопределяется разбиением (S ), если только существует3.

1См. формулу (9-18) на стр. 160.2См. лем. 4.2 на стр. 56.3Существует он, вообще говоря, не для всякогоразбиения (S ).Однако, любуюзадачу линейнойопти-

мизации можно сравнительно легко переформулировать так, что вектор , удовлетворяющий свойству(S ), тоже будет явно задан (примеры см. в n∘ 9.4.2 на стр. 167).


9.4.1. Симплекс таблица. Данные (S ) – (S ) принято записывать в виде так называемойсимплекс-таблицы = ( ) размера ( + ) × ( + ), первая строка и первый столбец ко-торой выделены и имеют нулевые номера, а все остальные клетки нумеруются по вертикалиэлементами множества = { , , … , }, а по горизонтали — элементами множества ={ , , … , }, причём эти элементы не предполагаются упорядоченными1. В клетки , от-вечающие элементам ∈ ⊔ и ∈ ⊔ , заносятся числа

= ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ (при ∈ )

= ⟨ ∗ , ⟩ (при ∈ ) = ⟨ ∗ , ⟩ (при ∈ , ∈ )(9-20)

В развёрнутом виде симплекс-таблицу принято записывать следующим образом:

=

⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ ⋯ ⟨ , ⟩⟨ ∗ , ⟩ ⟨ ∗ , ⟩ ⟨ ∗ , ⟩ ⋯ ⟨ ∗ , ⟩⟨ ∗ , ⟩ ⟨ ∗ , ⟩ ⟨ ∗ , ⟩ ⋯ ⟨ ∗ , ⟩

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⟨ ∗ , ⟩ ⟨ ∗ , ⟩ ⟨ ∗ , ⟩ ⋯ ⟨ ∗ , ⟩

⋯

. (9-21)

Снизу и справа от таблицы проставлены элементы множеств и , нумерующие соответству-ющие столбцы и строки таблицы2. В левом верхнем углу представлено значение функционалав вершине . Мы собираемся минимизировать его, заменяя при необходимости вершину надругую, соединённую с ребром вершину, где значениефункционала будет строгоменьше. Дляэтого в остальных клетках верхней строки симплекс-таблицы написаны координаты ограниче-ния линейной формы на подпространство ⊂ ℝ в двойственном к , , … , базисепространства ∗. Клетки под горизонтальной чертой симплекс-таблицы суть столбцы -коор-динат векторов и = − с ∈ в стандартном базисе пространства ℝ . Так как все-координаты у векторов и , ∈ , зануляются, симплекс таблица однозначно задаёт век-

тор ∈ ℝ , базисные векторы = + векторного пространства ⊂ ℝ и аффинныйфункционал + ↦ ⟨ , + ⟩ на аффинном пространстве + ⊂ ℝ .

Неотрицательность всех коэффициентов справа от черты в верхней строке таблицы , т. е.неравенства

= ⟨ , ⟩ ⩾ для всех ∈ , (9-22)

означают, что минимум линейного функционала | ∶ → ℝ на конусе , ,…, ⊂ равеннулю и достигается в вершине конуса. Поскольку многогранник лежит в аффинном конусе

+ , ,…, , вершина является -минимальной точкой многогранника , и минимальноезначение ковектора ∈ ℝ на многограннике ( + ) ∩ℝ⩾ равно ⟨ , ⟩ = .

Если при каком-то ∈ выполняется строгое неравенство = ⟨ , ⟩ < , то значениефункционала наконусе , ,…, строго убываетпридвижениивдольребра . Зафиксируемодин из таких элементов ∈ и назовём соответствующий ему столбец таблицы отмечен-ным. Если все стоящие под чертою элементы в этом столбце неотрицательны, т. е.

= ⟨ ∗ , ⟩ ⩾ для всех ∈ , (9-23)

1Т. е. порядковые номера индексов ∈ и ∈ в базисе пространства ℝ никак не коррелируют cположением клетки относительно того или иного угла симплекс-таблицы.

2Подчеркну ещё раз, что порядок, в котором они стоят, произволен.


то луч { + | ⩾ } целиком содержится в многограннике , и функционал не ограниченна снизу. Если же под чертою в отмеченном столбце есть элементы = ⟨ ∗ , ⟩ < , точка

+ лежит в многограннике только при ⩽ ⩽ ∗, где

∗ = min∈ ∶ <

− ∕ = −⟨ ∗ , ⟩∕⟨ ∗ , ⟩ . (9-24)

Зафиксируем элемент ∈ , на котором достигается значение (9-24), и назовём отвечающуюему строку таблицы отмеченной. Пусть все координаты вектора , стоящие в самом левомстолбце таблицы , строго положительны. Тогда в вершине пересекается в точности гипер-граней многогранника1 , и эти гиперграни суть Ann ∗ для ∈ , а исходящие из вершинырёбра многогранника направлены в точности вдоль векторов . Точка

′ ≝ + ∗ = − ⋅ (9-25)

также является вершиной многогранника = ′ и высекается гиперплоскостями Ann ∗ с∈ ∖ и гиперплоскостью Ann ∗ , причём значение функционала в вершине ′ строго

меньше, чем в . Теперь мы можем заменить вершину на вершину ′, пересчитать симплекс-таблицу в новую симплекс-таблицу ′, аккумулирующую данные (S ) – (S ) для вершины ′,и повторить предыдущий анализ.

Новые множества ′ ≝ ∪ ( ∖ ) и ′ ≝ ∪ ( ∖ ) получаются из и перестановкой друг сдругом элементов ∈ и ∈ . Отвечающий новому разбиению { , , … , } = ′ ⊔ ′ базис

′ , ′ , … , ′ пространства состоит из векторов вида ′′ = ′ + ′

′ , где ′ ∈ ′ и ′ ∈ ′ .Очевидно, что таковыми являются векторы

′ = = + + ∑≠ ,

⋅ (при ′ = )

′ = − = − + ∑≠ ,

( − ) ⋅ (при ′ = ≠ , ) .(9-26)

Функционал принимает на них значения

⟨ , ′ ⟩ = ⟨ , ⟩ = (при ′ = )

⟨ , ′ ⟩ = ⟨ , ⟩ − ⟨ , ⟩ = − (при ′ = ≠ , ) .(9-27)

Вершина ′ = − ∕ имеет ′-координаты

⟨ ∗′ , ′ ⟩ =

{− ∕ при ′ =

− ∕ при ′ = ≠ ,� (9-28)

и ⟨ , ′ ⟩ = ⟨ , ⟩ − ⟨ , ⟩∕ = − ∕ > . Таким образом, элементысимплекс таблицы ′ выражаются через элементы симплекс-таблицы по формулам

′ = ′ = − при ≠ ,

′ = при ≠ , ′ = − при , ≠ , .(9-29)

1Такие вершины называются симплициальными. Например, у додекаэдра и куба все вершины сим-плициальны, а у октаэдра и икосаэдра — нет.


Если записать отвечающий элементу ∈ ′ столбец таблицы ′ на место отмеченногостолбца таблицы , а отвечающую элементу ∈ ′ строку таблицы ′ на место отмеченнойстроки таблицы , то правило пересчёта таблицы можно сформулировать так:

◦ элемент в клетке ( , ) заменяется на обратный

◦ все остальные элементы отмеченного столбца делятся на

◦ все остальные элементы отмеченной строки делятся на −

◦ из каждого элемента , расположенного вне отмеченных строки и столбца, вычитаетсяделённое на произведение двух элементов, расположенных в отмеченной строке и вотмеченном столбце на той же вертикали и на той же горизонтали, что и элемент .

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑣𝑣

𝑣

Рис. 9⋄3. Рёбра и симплициального конуса + , , не являются рёбрамипятигранного угла многогранника при вершине .

Если вершина не симплициальная, т. е. в самом левом столбце таблицы под чертоювстречаются элементы = ⟨ ∗ , ⟩ = , то кроме координатных гиперплоскостей Ann ∗ c

∈ через вершину проходят ещё и все те гиперплоскости Ann ∗, для которых = .Если в пересечении отвечающей такому элементу строки с отмеченным столбцом стоит отри-цательное число < , мы получим в (9-24) значение ∗ = . Это говорит о том, что ребро

+ симплициального конуса + , ,…, не является ребром многогранника , как этопроисходит, к примеру, с рёбрами и на рис. 9⋄3, где в вершине сходится сразу пять гра-ней трёхмерного многогранника. В этом случае всё равно следует обменять элемент ∈ содним из тех элементов ∈ , для которых < , а = . При этом в координатном


симплексе при вершине гиперплоскость Ann ∗ заменится на гиперплоскость Ann ∗ , и мыполучим другой набор из трансверсально пересекающихся в вершине гиперграней много-гранника. Поскольку каждое выходящее из вершины ребро многогранника является ребромсимплициального конуса, образованного какими-нибудь трансверсально пересекающимисяв вершине гипергранями многогранника , перебрав все такие конусы, мы либо убедимся,что вдоль всех выходящих из вершины рёбер функционал не убывает, а значит, его значе-ние в вершине минимальное на многограннике , либо отыщем такое ребро, вдоль которого

убывает, и тогда мы либо сможем перейти в другую вершину ′ с ⟨ , ′ ⟩ < ⟨ , ⟩, либоубедимся, что функционал не ограничен снизу на многограннике .

Чтобы избежать зацикливания при переборе координатных симплексов с вершиной в ,введём на множестве строк таблицы лексикографический порядок, при котором строка ′ лек-сикографически меньше строки ″, что записывается как ′ <

lex″, если самый левый из не сов-

падающих элементов этих строк меньше в строке1 ′. Кроме того, помимо условий (S ) – (S )наложим на таблицу дополнительное условие

(S ) каждая стоящая под горизонтальной чертою симплекс-таблицы строка

= ( | , , … , ) , где ∈ ,

лексикографически положительна, т. е. самый левый её ненулевой элемент больше нуля.

Это условие автоматически выполнено в любой симплициальной вершине , поскольку для та-кой вершины = ⟨ ∗ , ⟩ > при всех ∈ .

Упражнение 9.8. Убедитесь, что для произвольных строк , ′, ″ и положительного числа∈ ℝ имеют место импликации

′ ⩽lex

″ ⟺ ′ ⩽lex

″ ⟺ ′ + ⩽lex

″ +′ ⩽

lex″ ⟺ − ′ ⩾

lex− ″ .

Если отмеченный столбец ∈ таблицы уже выбран, в качестве отмеченной строки таблицывыберем ту строку , у которой < и отношение − ∕ лексикографически мини-

мально среди всех отношений

− = (��− | � − , − , … , − ) (9-30)

соответствующих элементам ∈ с < . Обратите внимание, что это делает выбор элемента∈ однозначным.

Лемма 9.5

Если симплекс таблица удовлетворяет условиям (S ) – (S ) и в ней имеются элементы <и < , то преобразованная по указанным выше правилам симплекс-таблица ′ = ( ′ ) тоже

удовлетворяет условиям (S ) – (S ), а её верхняя строка ′ строго лексикографически меньшеверхней строки таблицы .

1Например, ( , , , ) <lex

( , , − , ).


Доказательство. Свойства (S ) – (S ) очевидным образом наследуются при преобразованиисимплекс таблицы. Далее, из формул (9-26) вытекает, что строки ′

′ таблицы ′ выражаютсячерез строки таблицы по правилам

′ = − − + ( − − ) (при ′ = )′ = − − + − , (при ′ = ≠ , ) ,

где через обозначена строка, содержащая в отмеченном столбце и нули во всех остальныхместах. Поскольку < , но при этом >

lexпо свойству (S ), отмеченная строка содержит

положительный элемент, стоящий строго левее отмеченного столбца. Поэтому ′ >lex

, и при

≠ , и ⩾ выполняется неравенство − − + − ⩾lex

, из которого ′ ⩾lex

>lex

.

При ≠ , и < в силу выбора выполняется неравенство − − >lex

− − . Значит,

− − >lex

и самый левый положительный элемент этой разности стоит строго левее от-

меченного столбца. Поэтому при добавлении к этой разности любой кратности строки онаостанется строго положительной. Тем самым, ′

′ >lex

при всех ′ ∈ ′. Поскольку − > и

>lex

, верхняя строка ′ = − − ( − ) >lex

. �

Теорема 9.7

Если начальная таблица удовлетворяет условиям (S ) – (S ), то после конечного числа пре-образований получится либо таблица, в которой все ⩾ , и тогда значение функционаладостигает в вершине своего минимума на многограннике , либо таблица, в которой <и ⩾ для всех ∈ при некотором ∈ , и тогда функционал не ограничен снизу намногограннике .

Доказательство. Поскольку симплекс-таблица однозначно определяется разбиением (S ) и та-ких разбиений конечное число, обеспечиваемый предыдущей леммой перебор симплекс-таб-лиц, удовлетворяющих условиям (S ) – (S ), при котором верхняя строка таблицы строго лек-сикографически убывает, в конце концов приведёт к выполнению одного из двух перечислен-ных в теореме альтернативных условий, запрещающих применение лем. 9.5. �

Замечание 9.2. (о симплициальных многогранниках) Приведённыймногогранник ⊂ 𝔸( )называется симплициальным, если все его вершины симплициальны, т. е. все исходящие из лю-бой вершины рёбра образуют базис векторного пространства . Непустой многогранник

= ( + ) ∩ℝ⩾

симплициален тогда и только тогда, когда класс [ ] ∈ ℝ ∕ не лежит в объединении конечно-го числа координатных гиперплоскостей ( + Ann ∗)∕ ⊂ ℝ ∕ , где пробегает объединениедополнений ко всем таким подмножествам ⊂ { , , … , }, чтоℝ = ⊕ . В самом деле,такой класс [ ] при любом удовлетворяющем условиям (S ) – (S ) разбиении координат про-странства ℝ задаст вершину ∈ , все координаты которой ненулевые. Таким образом, на-толкнуться на несимплициальный многогранник в реальных «производственно-бытовых» за-дачах линейной оптимизации практически невероятно. Поэтому при программировании вы-числений для ускорения работы можно исключить из описанного выше алгоритма лексикогра-фическое сравнение строк при выборе отмеченной строки , заменив его разумным ограниче-нием на число итераций ималымшевелением начальных данных в случае, когда зацикливаниепаче чаяния случится.


9.4.2. Решение стандартной задачи. Опыт показывает, что любая задача линейной оп-тимизации сравнительно легко переформулируется так, что выполняются условия (S ) – (S ).Рассмотрим, к примеру, стандартную задачу (9-17), где для заданного столбца ∈ ℝ требуетсянайти такое решение = ( , , … , ) системы линейных уравнений

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+ + ⋯ + =+ + ⋯ + =+ + ⋯ + =

⋮ ⋮ ⋮+ + ⋯ + = ,

� (9-31)

что все ⩾ и число = + + ⋯ + имеет минимальное возможное зна-чение. Меняя при необходимости знаки в обеих частях уравнений, добьёмся того, чтобы всестроки (− , , , … , ) стали лексикографически положительны. Введём дополнительныепеременные , , … , по формулам

= − + + + ⋯ += − + + + ⋯ += − + + + ⋯ +

⋮ ⋮ ⋮= − + + + ⋯ +

и рассмотрим в пространствеℝ = ℝ + с координатами ( , , … , , , , … , ) подпро-странство ⊂ ℝ , порождённое векторами = + , где ∈ ℝ , ⩽ ⩽ , суть стан-дартные базисные векторы, двойственные ковекторам = ∗, а векторы имеют координаты⟨ , ⟩ = при ⩽ ⩽ и ⟨ ℓ , ⟩ = при ⩽ ℓ ⩽ . Многогранник = (− + ) ∩ ℝ⩾удовлетворяет условиям (S ) – (S ) для разбиения ⊔ , в котором множество нумерует до-полнительные координаты , а множество нумерует исходные координаты . Пересечение

′ = ∩ многогранника с координатной гиперплоскостью = Ann( , , … , ) со-стоит из точек, -координаты которых ( , , … , ) как раз и являются решениями системы(9-31), лежащими в положительном октанте ℝ⩾ . Рассмотрим ковектор

= ⋅ ( �∑ ) � + ∑ ∈ ℝ ∗ , (9-32)

где ≫ это фиксированное очень большое положительное число. Покажем, что задача мини-мизации этого функционала на многограннике , которую можно решить симплекс-методом,эквивалентна исходной задаче (9-31).

Если функционал достигает своего минимума в такой вершине ′, что ( ′) > длякакого-то , то многогранник ′ пуст, поскольку в противном случае для любой точки ∈ ′

при ≫ выполнялось бы неравенство ( ′) > ( ), т. к. все ( ) = . Тем самым, в этомслучае задача (9-31) не имеет решений.

Если функционал достигает минимума в такой вершине ′ ∈ , где все ( ′) = , то′ ∈ ′ и функционал ∑ достигает своего минимума при = ( ′). Эта точка решает

задачу (9-31).


Если функционал не ограничен на снизу, то ковектор (9-32) не принадлежит конусу∨ ⊂ ∗, двойственному к асимптотическому конусу многогранника . Конус ∨ является

выпуклой оболочкой конуса ∨′ , порождённого ограничениями координатных функционалов

на подпространство ⊂ ℝ , и конуса, порождённого ограничениями на функционалов. Так как первое слагаемое в (9-32) принадлежит второму из этих конусов, неограниченность

функционала снизу на многограннике означает, что ∑ ∉ ∨′ . Поэтому при ′ ≠ ∅

форма ∑ не ограничена снизу на ′.Наконец, определить, пустмногогранник ′ илинет,можнонайдяминимумзаведомоогра-

ниченного снизуфункционала ⋅( �∑ ) � ∈ ∨ намногограннике . Если он достигается в вер-шине ′ ∉ Ann( , , … , ), то ′ = ∅. А если в такой вершине ′ ∈ , где все ( ′) = ,то ′ ∈ ′.

Пример 9.3 (принадлежность вектора конусу)

Выясним, лежит ли вектор = ( , , − , − ) в порождённом векторами

= (− , , , ) = ( , , − , − ) = ( , − , , )= ( , , − , − ) = (− , , , ) = ( , , − , − ) ,

конусе ,…, ⊂ ℝ , т. е. имеет ли система уравнений = + + ⋯ + решение( , , … , ) ∈ ℝ⩾ . В развёрнутом виде эта система выглядит как

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

=− + + − += + + − +

− = − − + − −− = − − + −

� (9-33)

Умножим обе части первых двух уравнений на − , чтобы левые части стали отрицательны:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

− = − − + −− =− − − + −

− = − − + − −− = − − + −

�

Теперьперенесёмконстанты слеванаправои заменимнулив левойчастинановыепеременные

= + − − + −= − − − + −= + − − + − −= + − − + −

(9-34)

Уравнения (9-34) задают в ℝ шестимерное аффинное подпространство + ⊂ ℝ , удовле-творяющее условиям (S ) – (S ) для

= { , , , } , = { , , … , } , = ( , … , , , , , ) .

Система (9-33) имеет решение в ℝ⩾ , если и только если для произвольно зафиксированногоочень большого числа ≫ линейный функционал

( , , … , ) = ⋅ ( + + + ) == + − − + + − ,

(9-35)


достигает своего минимума на многограннике = ( + )∩ℝ⩾ в такой вершине ′, у которой= = = = . Равенства (9-34) и (9-35) собираются в симплекс-таблицу

− − −− − −

− − − −− − − −− − −

(9-36)

где в верхней строчкенаписанытолько коэффициентыпри у значений ⟨ , ⟩и ⟨ , ⟩функ-ционала на векторах и , ∈ .

Упражнение 9.9. Покажите, что коэффициент при в каждом столбце симплекс-таблицы ра-вен сумме всех стоящих под чертою элементов этого столбца.

Снизу и справа от таблицы подписаны элементы множеств , соответствующие тем строками столбцам, напротив которых они стоят. Отметим столбец, отвечающей координате « ». Всеэлементы в нём отрицательны, и минимум отношений

− ,

,= , − ,

,= , − ,

,= , − ,

,=

достигается в строке, отвечающей координате « ». Таким образом, мы должны перейти к но-вому разбиению координат на подмножества ′ = { , , , } и ′ = { , , , , , }. Его сим-плекс таблица вычисляется по правилам со стр. 163 и имеет вид

− − −/ / − / − / − // − / / / − − // / / − / − − /

− −

(9-37)

Элемент ( , ) в этой таблице обратен элементу ( , )из предыдущей, отличные от ( , ) элемен-ты столбца « » в (9-37) получаются делением соответствующих элементов столбца « » таблицы(9-36) на её элемент ( , ), тогда как отличные от ( , ) элементы строки « » в (9-37) суть взя-тые с противоположным знаком отношения элементов строки « » таблицы (9-36) к её элементу( , ). Все остальные клетки таблицы (9-37) получаются из клеток таблицы (9-36) по правилупрямоугольника: например, для клетки ( , )

′, = , − , ,

,= − − − ⋅ (− )

− = − + = − .

Отмечаем таблице (9-37) столбец, соответствующий координате « ». В нём два отрицательныхэлемента, и меньшее из отношений − , ∕ , = ∕ , − , ∕ , = ∕ стоит в строке « ».Меняя друг с другом индексы « » и « » по правилам со стр. 163, получаем таблицу

/ − / / − / / − // / / − / − / − // − / − / / / /

/ / / − / − − // / / / − / − /


Отмечаем столбец « ». В нём есть лишь один отрицательный элемент, в строке « ». Меняя эле-менты « » и « », получаем следующую таблицу:

/ / / − / / − / − // − / − / − / − / / − // − / − / / / / // − / − / − / / − / − // − / / / − / / − /

Отмечаем столбец « ». В нём два отрицательных элемента, и меньшее из отношений

− ,

,= и − ,

,=

стоит в строке « ». Меняя « » и « », получаем заключительную таблицу

/ − / − / / − / / − // − / − / − / / / // − / − / − / / − / − // − / / − / − / / − /

которая показывает, что функционал достиг своего минимума в вершине с координатами

= / , = / , = / , = /

и нулевыми остальными координатами. Таким образом,

= + + + .

§10. Проективное пространство

10.1. Проективное пространство. С ( + )-мерным векторным пространством над произ-

O

аффинная карта UξбесконечностьP(A

nnξ)

Рис. 10⋄1. Проективный мир.

вольным полем 𝕜 помимо ( + )-мерного аффинного пространства 𝔸 + = 𝔸( ) связано -мерное проективное пространство ℙ = ℙ( ), точками которого по определению являютсяодномерные векторные подпространства в или, чтото же самое, проходящие через начало координат аф-финные прямые в𝔸( ). Чтобы наблюдать их как «обыч-ные точки», внутрь 𝔸( ) следует поместить экран — несодержащую начала координат аффинную гиперплос-кость ⊂ 𝔸( ), задаваемую неоднородным линейнымуравнением ( ) = , где ∈ ∗ ∖ это ненулевая ли-нейная форма на (см. рис. 10⋄1).

Упражнение 10.1. Убедитесь, что сопоставление

↦

задаёт биекцию между ненулевыми ковекторами∈ ∗ и не проходящими через начало координат

аффинными гиперплоскостями в 𝔸( ).Такие экраны называются аффинными картами наℙ( ). В карте видны все одномерные подпростран-ства, порождённые векторами ∈ с ( ) ≠ . Допол-нениеℙ ∖ состоит из одномерных подпространств, лежащих в -мерном векторном подпро-странстве Ann ⊂ параллельном экрану . Таким образом, невидимые в карте точки -мерного проективного проективного пространства ℙ = ℙ( ) образуют ( − )-мерное проек-тивное пространство ℙ − = ℙ(Ann ). Оно называется бесконечно удалённой гиперплоскостьюкарты . Точки ℙ(Ann ) можно воспринимать как направления в аффинной карте .

Из сказанного вытекает, что -мерное проективное пространство ℙ разбивается в дизъ-юнктное объединение аффинных пространств всех размерностей от до :

ℙ = ⊔ ℙ(Ann ) = 𝔸 ⊔ ℙ − = 𝔸 ⊔ 𝔸 − ⊔ ℙ − = ⋯ = 𝔸 ⊔ 𝔸 − ⊔ … ⊔ 𝔸 ,

где 𝔸 = ℙ это одна точка.

Упражнение 10.2. Какое соотношение на получится, если независимо подсчитать количе-ства точек, из которых состоят левая и правая части этого разбиения над конечным полемиз элементов?

10.1.1. Глобальные однородные координаты. Зафиксируем в координаты , , … ,относительно какого-нибудь базиса , , … , . Два ненулевых вектора

= ( , , … , ) и = ( , , … , )

задают одну и ту же точку ∈ ℙ , если и только если их координаты пропорциональны. По-следнее равносильно равенству отношений1 ∶ = ∶ для всех ⩽ ≠ ⩽ .

1При этом равенства вида ∶ = ∶ и ∶ = ∶ , в которых и либо одновременно отличныот нуля, либо одновременно нулевые, тоже допускаются и считаются истинными.

171

172 §10Проективное пространство

Иначе говоря, с точкой ∈ℙ взаимно однозначно связаны не координаты ненулевого векто-ра, задающего эту точку, а только отношения ( ∶ ∶ … ∶ ) между ними. Эти отношенияназывается однородными координатами точки в базисе , , … , .

10.1.2. Локальные аффинные координаты. Рассмотрим на ℙ = ℙ( ) аффинную карту= {( , , … , ) ∈ 𝔸( ) | ( ) = }, отвечающую какому-нибудь ненулевому ковек-

тору ∈ ∗. Любые ковекторов , , … , ∈ ∗, таких что , , , … , образуют ба-зис в ∗, задают внутри карты локальные аффинные координаты. А именно, пусть векторы

, , … , ∈ составляют двойственный к , , , … , базис пространства . За началоотсчёта аффинной координатной системы в карте принимается точка ∈ , а в качествебазиса векторного пространстваAnn , с которым ассоциировано аффинное пространство ,берутся векторы , , … , . Для вычисления локальных аффинные координат относительнотакого репера у точки ∈ ℙ с однородными координатами ( ∶ ∶ … ∶ ) следует вы-брать в одномерном подпространстве, отвечающем точке , базисный вектор = ∕ ( ) ∈с ( ) = , и вычислить значения линейных форм на этом векторе. Отметим, что получа-ющиеся таким образом значения локальных аффинных координат ( ) = ( ) = ( )∕ ( ),

⩽ ⩽ , зависят от однородных координат точки не линейно, а дробно линейно.

s=p0/p1

t=p1/p0

(1,0)

(0,1)

(p0:p1)=(1:t)=(s:1)

U0:x0=1

U1 : x1=1

O x0

x1

Рис. 10⋄2. Стандартные карты на ℙ .

Пример 10.1 (проективная прямая, ср. с n∘ 3.7 на стр. 47)

Как мы видели в n∘ 3.7 на стр. 47, проективная прямая ℙ = ℙ (𝕜) = ℙ(𝕜 ) покрывается двумяаффинными картами = и = , которые представляют собою аффинные прямые суравнениями = и = , см. рис. 10⋄2. Карта покрывает все точкиℙ кроме вертикаль-ной координатной оси ( ∶ ), единственной бесконечно удалённой точки для карты . Точка

( ∶ ) с ≠ видна в карте как ( ∶ ) и функция = | = ∕ может использо-

ваться в качестве локальной аффинной координаты в этой карте. Карта покрывает все точки

( ∶ ) = ( ∶ ) с ≠ , и функция = | = ∕ годится в качестве локальной

координаты в . Единственной бесконечно удалённой точкой для карты является горизон-тальная координатная ось ( ∶ ). Координаты и одной и той же точки ( ∶ ) ∈ ℙ ,

10.1.Проективное пространство 173

видимой сразу в обеих картах, связаны соотношением = ∕ .


Иначе говоря, проективная прямая ℙ (𝕜) является результатом склейки двух аффинных пря-мых 𝔸 ≃ 𝕜 с координатами и вдоль подмножеств ≠ и ≠ путём отождествленияточки с координатой на одной прямой и точки с координатой = ∕ на другой для всех

, ≠ . В n∘ 3.7 на стр. 47 мы видели, что над полями 𝕜 = ℝ и 𝕜 = ℂ результатами такойсклейки являются, соответственно окружность и сфера (см. рис. 3⋄19 на стр. 48 и рис. 3⋄20 настр. 49), т. к. окружность (соотв. сфера) диаметра точно также склеиваются из двух касатель-ных прямых ℝ (соотв. плоскостей ℂ), проведённых в диаметрально противоположных точкахи проектирующихся на окружность (соотв. сферу) из точки, диаметрально противоположной кточке касания.

Пример 10.2 (вещественная проективная плоскость ℙ (ℝ) = ℙ(ℝ ))

Как топологическое пространство, вещественная проективная плоскость допускает следующеенаглядное описание. Каждая проходящая через начало координат прямая в ℝ пересекает еди-ничную замкнутую полусферу + + = , ⩾ . При этом любая не лежащая в плоско-сти = прямая пересекает полусферу ровно в одной, внутренней точке, а каждая прямая изплоскости = пересекает полусферу в двух диаметрально противоположных точках грани-цы. Таким образом, топологическое пространство ℙ (ℝ) гомеоморфно1 полусфере, у которойсклеены диаметрально противоположные точки границы. Поскольку полусфера гомеоморфнаквадрату, то же пространство получится при склейке противоположных сторон квадрата с об-ращением их ориентации, как на рис. 10⋄3.

𝑎𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

𝑐 𝑑

𝑑

𝑎𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

𝑐 𝑑

𝑑

≃

Рис. 10⋄3. ℙ (ℝ) это квадрат со склеенными противоположными точками границы.

Результат такой склейки иначе можно описать как лету Мёбиуса, к граничной окружности ко-торой приклеен — по своей граничной окружности — диск, см. рис. 10⋄4.

𝑎𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑐

𝑐 𝑑

𝑑

𝑏 𝑏𝑎𝑐

𝑑

𝑏

𝑏

𝑏𝑐 𝑑≃ ∪

Рис. 10⋄4. ℙ (ℝ) это лента Мёбиуса с заклеенной диском границей.

1Биективное отображениемежду топологическимипространстваминазывается гомеоморфизмом, ес-ли и оно, и обратное к нему отображения оба непрерывны.


Обратите внимание, что красный вертикальный и синий горизонтальный отрезки квадратапревращаются при склейке в две петли1 на ℙ (ℝ), которые пересекаются по одной точке, при-чём прималыхшевелениях этих петель они по-прежнему будут пересекаться в одной точке. Этоозначает, что ни одну из них нельзя стянуть в точку непрерывной деформацией внутри ℙ (ℝ).

Упражнение 10.4. Убедитесь, что устойчивое к малым шевелениям количество точек пересе-чения непрерывно стягиваемой в точку петли с любой другой петлёй чётно.

При этом, если петлю , т. е. экватор ленты Мёбиуса, пройти в одном направлении дважды, товозникающая таким образом «удвоенная петля» непрерывно деформируется в границу лентыМёбиуса, а значит, может быть стянута внутри ℙ (ℝ) в точку по приклеенному к границе лен-ты Мёбиуса диску. Таким образом, на ℙ (ℝ) есть нестягиваемая петля, двойной обход которойстягиваем.

Пример 10.3 (вещественное проективное пространство ℙ (ℝ) ≃ SO (ℝ))

В прим. 7.4 на стр. 108 мы видели, что каждая собственная линейная изометрия трёхмерногоевклидова пространстваℝ является поворотом вокруг некоторой прямой. Изобразим поворотвокруг прямой с вектором скорости единичной длины на угол ∈ [ , ], если смотреть вдольвектора , точкой2 ⋅ ∈ ℝ . В результате все повороты на углы, меньшие , изобразятсявнутренними точкамишара радиуса с центром в нуле. Диаметрально противоположным точ-кам ограничивающей этот шар сферы отвечает одна и та же изометрия — поворот на уголвокруг соединяющей эти точки прямой3. Таким образом собственная ортогональная группаSO (ℝ) евклидова пространства ℝ гомеоморфна трёхмерному шару со склеенными диамет-рально противоположными точками ограничивающей этот шар сферы. С другой стороны, кон-струкция из предыдущего прим. 10.2, применённая к пространству ℝ , показывает, что веще-ственноепроективноепространствоℙ (ℝ) = ℙ(ℝ ) допускает точно такоежеописание: каждаяпроходящая через начало координат прямая вℝ пересекает единичную замкнутую полусферу

+ + + = , ⩾ , и все не лежащие в плоскости = прямые пересекают её вединственной внутренней точке, а прямые из плоскости = — по двум диаметрально про-тивоположным точкам граничной трёхмерной сферы + + = . Остаётся заметить, чтополусфера в ℝ гомеоморфна шару в ℝ .

Упражнение 10.5. Убедитесь, что семейство вращений вокруг фиксированной оси в фиксиро-ванном направлении на углы от до в фиксированном направлении тоже образуют впространстве SO (ℝ) ≃ ℙ (ℝ) нестягиваемую петлю, двойной обход которой стягиваем.

Пример 10.4 (стандартное аффинное покрытие ℙ )

Набор из ( + ) аффинных карт = , задаваемых в 𝔸 + уравнениями = , называ-ется стандартным открытым покрытием координатного проективного пространства ℙ =ℙ(𝕜 + ). Для каждого = , , … , в качестве стандартных локальных аффинных координатна берутся линейных форм ( ) = | = ∕ , где ⩽ ⩽ и ≠ . Таким обра-зом, пространствоℙ можно представлять себе как результат склейки ( + ) различных копий

, , … , аффинного пространства 𝔸 по их фактическим пересечениям внутри ℙ . В од-нородных координатах на ℙ пересечение ∩ описывается как множество всех таких , у

1Т. е. в замкнутые кривые, являющиеся непрерывными образами окружности.2Т. е. концом вектора длины ∈ [ , ] ⊂ ℝ, отложенного в направлении единичного вектора .3Он виден как поворот на угол независимо от того направления на оси, вдоль которого Вы его на-

блюдаете.

10.2. Задание фигур полиномиальными уравнениями 175

которых обе координаты и не обращаются в . В локальных аффинных координатах на

и это множество задаётся, соответственно, неравенствами ( ) ≠ и ( ) ≠ . При этом точ-ка ( ) ∈ склеивается с точкой ( ) ∈ , если и только если ( ) = ∕ ( ) и ( ) = ( )∕ ( ) для

≠ , . Правые части этих равенств называются функциями перехода от локальных координат( ) к локальным координатам ( ).

10.2. Заданиефигурполиномиальнымиуравнениями.Если зафиксировать в векторномпро-странстве ∗ базис , , … , , каждому многочлену ∈ 𝕜[ , , … , ] можно сопоставитьфункцию ∶ 𝔸( ) → 𝕜, значение которой в точке = ( , , … , ) равно ( , , … , ),результату подстановки значений координат этой точки вместо переменных вмногочлен . По-лучающиеся таким образом функции 𝔸( ) → 𝕜 называются полиномиальными.

Упражнение 10.6 (по алгебре). Покажите, что: а) полиномиальные функции образуют по-далгебру1 в 𝕜-алгебре всех функций 𝔸( ) → 𝕜 б) эта подалгебра не зависит от выборабазиса в , использованного для её определения в) над любым конечным полем 𝕜 лю-бая функция 𝔸( ) → 𝕜 может быть (многими способами) записана в виде с разными

∈ 𝕜[ , , … , ] г) над любым бесконечным полем существуют неполиномиальныефункции 𝔸( ) → 𝕜, и равенство полиномиальных функций = влечёт равенство задаю-щих их многочленов = в 𝕜[ , , … , ].

Множество нулей многочлена на аффинном пространстве 𝔸( ) обозначается через

( ) = { ∈ 𝔸( ) | ( ) = }

и называется аффинной алгебраической гиперповерхностью, задаваемой многочленом . Пере-сечения аффинных алгебраических гиперповерхностей, т. е. множества решений систем поли-номиальных уравнений на координаты, называются аффинными алгебраическими многообра-зиями. Например, аффинными многообразиями являются аффинные подпространства — онизадаются системами линейных (неоднородных) уравнений.

На проективном пространстве ℙ( ) отличный от константы многочлен от однородных ко-ординат, вообще говоря, не задаёт никакой функции. Тем не менее, для любого однородногомногочлена степени > множество его нулей2

( ) ≝ { ∈ | ( ) = }

является корректно определённым подмножеством в ℙ( ), поскольку

( ) = ⟺ ( ) = ( ) = , .

Иначе говоря, аффинная гиперповерхность ( ) ⊂ 𝔸( ) представляет собой конус, образован-ный проходящими через начало координат прямыми, которые являются точкамипроективногопространства. Множество этих точек называется проективной алгебраической гиперповерхно-стью и тоже обозначается через ( ) ⊂ ℙ( ). Пересечения проективных гиперповерхностей,т. е. множества ненулевых решений3 систем однородных полиномиальных уравнений, называ-ются проективными алгебраическими многообразиями.

1Т. е. подкольцо и одновременно векторное подпространство.2Рассматриваемых с точностью до умножения на ненулевые константы.3Как и выше, рассматриваемых с точностью до умножения на ненулевые константы.


Простейшимипримерамипроективныхмногообразийявляютсяпроективные подпростран-ства ℙ( ) ⊂ ℙ( ), проективизации ненулевых векторных подпространств ⊂ . Они за-даются системами однородных линейных уравнений. Так, через любые две различные точки

, ∈ ℙ( ) проходит проективная прямая ( ), которая представляет собою проективизациюлинейной оболочки векторов , и состоит из всевозможных ненулевых векторов + ,рассматриваемых с точностью до пропорциональности. Она может быть задана системой од-нородных линейных уравнений ( ) = , где пробегает подпространство Ann ∩ Ann иликакой-нибудь базис в этом подпространстве. Отношение ( ∶ ) коэффициентов в разложениявектора = + ∈ ( ) можно использовать в качестве внутренней однородной коорди-наты на проективной прямой ( ).

Упражнение 10.7. Рассмотрим произвольную аффинную карту ⊂ ℙ и произвольное -мерное проективное подпространство ⊂ ℙ . Покажите, что либо ∩ = ∅, либо ∩является -мерным аффинным подпространством в .

Упражнение 10.8. Покажите, что для любых двух проективных подпространств , ⊂ ℙ вы-полняется неравенство1 dim( ∩ ) ⩾ dim + dim − .

Пример 10.5 (аффинные коники)

Посмотрим как выглядит в различных аффинных картах плоская проективная кривая , задан-

Рис. 10⋄5. Конус.

ная в однородных координатах на ℙ = ℙ(ℝ ) уравнением+ = (10-1)

В стандартной карте , где = , в локальныхкоординатах

= | = ∕= | = ∕

уравнение (10-1) превращается в уравнение ги-перболы − = . В стандартной карте ,где = , с локальными координатами

= | = ∕= | = ∕

мы получим уравнение окружности + = . Вкарте + , где + = , в координатах

= | + = ∕( + )= ( − )| + = ( − )∕( + )

мы получим2 уравнение параболы = . Таким образом, аффинные эллипс, гипербола и па-рабола суть изображения одной и той же проективной кривой (10-1) в различных аффинныхкартах. Вид кривой в карте ⊂ ℙ определяется тем, как располагается по отношению кбесконечно удалённая прямая этой карты: эллипс, парабола и гипербола возникают, соответ-ственно, когда эта прямая не пересекается с , касается и пересекается с в двух различныхточках (см. рис. 10⋄5).

1В частности, любые две прямые на ℙ пересекаются.2После переноса из левой части (10-1) в правую и деления обеих частей на + .

10.2. Задание фигур полиномиальными уравнениями 177

10.2.1. Проективное замыкание аффинной гиперповерхности. Пусть аффинная гипер-поверхность ( ) ⊂ 𝔸 в аффинном координатном пространстве 𝔸 = 𝔸(𝕜 ) задаётся (неод-нородным) многочленом степени вида

( , , … , ) = + ( , , … , ) + ( , , … , ) + ⋯ + ( , , … , )

где каждыймногочлен . Вложим𝔸 в проективное координатное пространствоℙ = ℙ(𝕜 + )с однородными координатами ( ∶ ∶ … ∶ ) в качестве стандартной аффинной картыи образуем однородный многочлен

( , , … , ) = ⋅ + ( , , … , ) ⋅ − + ⋯ + ( , , … , ) ,

который получается из умножением каждого монома на такую степень переменной , ко-торая делает степень всего монома равной . Многочлен превращается в , если положить

= . Таким образом, многочлены и однозначно определяются друг по другу. Проектив-ная гиперповерхность ( ) ⊂ ℙ называется проективным замыканием аффинной гиперпо-верхности ( ) ⊂ 𝔸 . Последняя является пересечением проективной гиперповерхности ( )со стандартной аффинной картой . Дополнение ( ) ∖ = ( ) ∩ ℙ(Ann ), т. е. пересече-ние гиперповерхности ( ) с бесконечно удалённой проективной гиперплоскостью аффиннойкарты , задаётся в однородных координатах ( ∶ ∶ ⋯ ∶ ) на этой гиперплоскостиоднородным уравнением ( , , … , ) = , т. е. старшей однородной компонентой много-члена . Точки этой проективной гиперповерхности называются асимптотическими направле-ниями аффинной гиперповерхности ( ).

Например, проективное замыкание аффиннойкубическойкривой = этопроективнаякубическая кривая = , которая имеет ровно одну бесконечно удалённую точку ( ∶

∶ ) и выглядит в стандартной аффинной карте как полукубическая парабола = состриём в этой точке.

10.2.2. Пространство гиперповерхностей. Однородные многочлены фиксированной сте-пени вместе с нулевым многочленом образуют конечномерное векторное подпространство,которое мы будем обозначать через ∗ ⊂ 𝕜[ , , … , ]. Поскольку пропорциональныеуравнения задают одну и ту же гиперповерхность, гиперповерхности степени являются точ-ками проективного пространства ℙ( ∗), которое мы будем называть пространством гипер-поверхностей степени в ℙ( ).

Упражнение 10.9. Найдите размерность пространства ℙ( ∗).Поскольку уравнение ( ) = при фиксированном ∈ ℙ( ) является линейным уравнени-ем на ∈ ∗, гиперповерхности степени , проходящие через заданную точку , образуютпроективную гиперплоскость в пространстве всех гиперповерхностей.

Проективные подпространства в пространстве гиперповерхностей называются линейнымисистемами гиперповерхностей. По определению, всякая гиперповерхность из линейной систе-мы, порождённой гиперповерхностями ( ), ( ), … , ( ) задаётся уравнением вида

+ + ⋯ + = ,

где , , … , ∈ 𝕜—некоторые константы. В частности, любая гиперповерхность из такойсистемы обязательно содержит пересечение ( ) ∩ ( ) ∩ … ∩ ( ).


По старинной традиции, одномерные и двумерные линейные системы частенько называ-ются пучками и связками соответственно. Поскольку любая прямая в проективном простран-стве имеет непустое пересечение с любой гиперплоскостью, всякий пучок гиперповерхностей1

всегда содержит гиперповерхность, проходящую через любую наперёд заданную точку.

Пример 10.6 (наборы точек на ℙ и кривая Веронезе)

Фиксируем двумерное векторное пространство ≃ 𝕜 с координатами , и рассмотримпроективную прямую ℙ = ℙ( ). Всякое конечное множество точек , , … , ∈ ℙ = ℙ( )(среди которых допускаются и совпадающие) является алгебраической гиперповерхностью, аименно, множеством нулей однородного многочлена -той степени

( , ) = ∏=

det( , ) = ∏=

( , − , ) , где = ( , ∶ , ) . (10-2)

По аналогии с (неоднородными) многочленами от одной переменной, задающими конфигура-ции точек на аффинной прямой 𝔸 , мы будем называть точки ∈ ℙ корнями однородногомногочлена от переменных , . В этом смысле разложение (10-2) аналогично разложениюмногочлена от одной переменной на линейные множители, отвечающие корням. В частности,у однородного многочлена степени от двух переменных имеется не более различных кор-ней на ℙ , а если поле 𝕜 алгебраически замкнуто, то таковых корней, с учётом кратностей2,будет ровно . Таким образом, над алгебраически замкнутым полем 𝕜 всевозможные -точеч-ные конфигурации на ℙ взаимно однозначно соответствуют точкам проективного простран-стваℙ = ℙ( ∗), ассоциированного с ( + )-мернымвекторнымпространством однородныхмногочленов степени от , .

Покажем, что над произвольным полем 𝕜, характеристика которого не делит , те конфи-гурации из точек на ℙ , в которых все точек слипаются в одну, образуют алгебраическуюкривую ⊂ ℙ = ℙ( ∗). Эта кривая называется кривой Веронезе степени или рациональ-ной нормальной кривой -той степени и является образом отображения Веронезе

∶ ℙ× = ℙ ( ∗) → ℙ = ℙ ( ∗) , (10-3)

переводящего линейную форму ∈ ∗, задающую одну точку ∈ ℙ( ), в её -ю степень∈ ( ∗), задающую -кратную точку . Условимся записывать ∈ ∗ и ∈ ( ∗) в виде

( ) = + и ( ) = ∑ ⋅ ( ) − ,

где суть частные от деления коэффициентов многочлена на биномиальные коэффициен-ты3 ( ), и используем отношения коэффициентов ( ∶ ) и ( ∶ ∶ … ∶ ) в качествеоднородных координат на ℙ× = ℙ( ∗) и на ℙ = ℙ( ∗) соответственно. В этих обозначенияхкривая Веронезе описывается параметрическим уравнением

( ∶ ) ↦ ( ∶ ∶ … ∶ ) = ( ∶ − ∶ − ∶ ⋯ ∶ ) , (10-4)

1Над любым полем!2Под кратностью корня понимается максимальная степень линейной формы det( , ), на которую

многочлен делится в 𝕜[ , ].3Если char𝕜 = делит , то записать в таком виде невозможно, поскольку некоторые биномиаль-

ные коэффициенты обратятся в нуль. Например, при = весь образ отображения (10-3) лежит напрямой, проходящей через и , поскольку ( + ) = + при char𝕜 = .

10.3. Дополнительные подпространства и проекции 179

из которого вытекает, что кривая состоит из всех таких точек ( ∶ ∶ … ∶ ) ∈ ℙ ,координаты которых составляют геометрическую прогрессию. Это равносильно равенству

rk (… − −… − ) = ,

т. е. системе однородных квадратичных уравнений = + − , ⩽ < ⩽ .Например, коника Веронезе ⊂ ℙ состоит из всех ненулевых квадратных трёхчленов1

+ + ,

являющихся полными квадратами. Она описывается хорошо известным из школы уравнением

∕ = − det ( ) = − = (10-5)

и допускает следующее параметрическое описание:

= , = , = , (10-6)

где ( ∶ ) пробегает ℙ = ℙ(𝕜 ).Пересечение кривой (10-4) с произвольной гиперплоскостью, заданной уравнением

+ + ⋯ + = ,

состоит из Веронезе-образов тех точек ( ∶ ) ∈ ℙ , в которых обращается в нуль однород-ный многочлен ∑ ⋅ − степени . Поскольку таких точек не более , над произвольнымполем 𝕜, характеристика которого не делит , никакие + точек кривой Веронезе не лежатв одной гиперплоскости. Отсюда вытекает, что при ⩽ ⩽ никакие + точек кривой

не лежат в одном ( − )-мерном подпространстве. Над алгебраически замкнутым полем,характеристика которого не делит , пересечение кривой с любой гиперплоскостью состоитв точности из точек2. Именно поэтому мы и говорим, что степень кривой равна .

10.3. Дополнительные подпространства и проекции. Проективные подпространства =ℙ( ) и = ℙ( ) пространства ℙ = ℙ( ) называются дополнительными, если ∩ = ∅ иdim + dim = − . Например, любые две непересекающиеся прямые в ℙ дополнитель-ны. На языке линейной алгебры дополнительность означает, что соответствующие векторныепространства , ⊂ трансверсальны: ∩ = { }, и

dim + dim = dim + + dim + = ( + ) = dim ,

откуда = ⊕ . В этом случае любой вектор ∈ имеет единственное разложение = +с ∈ и ∈ , причём обе компоненты этого разложения отличны от нуля, если не содер-жится ни в , ни в . Это означает, что для любой точки ∉ ⊔ существует единственнаяпрямая ℓ = ( , ), проходящая через и пересекающая каждое из подпространств , . В самомделе, в качестве точек и , задающих такую прямую, можно взять компоненты , разло-жения вектора , задающего точку , и наоборот, если вектор , задающий точку оказался в

1Как обычно, рассматриваемых с точностью до пропорциональности.2Некоторые из которых могут совпадать друг с другом.


двумерной линейной оболочке ненулевых векторов ∈ и ∈ , то одномерные подпро-странства, натянутые на и должны содержать компоненты разложения вектора в силуединственности его разложения по и .

Для каждой пары дополнительных подпространств , ⊂ ℙ определено отображение

∶ (ℙ ∖ ) → , (10-7)

которое тождественно действует на и переводит каждую точку ∈ ℙ ∖ ( ⊔ ) в точку пере-сечения с той единственной прямой, что проходит через и пересекает оба подпространства

и . Отображение (10-7) называется проекцией на из . В согласованных с разложением= ⊕ однородных координатах ( ∶ ∶ … ∶ ) таких, что ( ∶ ∶ … ∶ ) явля-

ются координатами в , а ( + ∶ + ∶ … ∶ ) — в , проекция просто удаляет первые( + ) координат с ⩽ ⩽ .

Пример 10.7 (проекция коники на прямую)

Спроектируем гладкую конику , заданную уравнением + = из прим. 10.5, на прямую

q(t′)

t′

q(t′′)

t′′

p = (1 : 0 : 1)

(0 : 0 : 1) x0

x1

LC

ℓt′

ℓt′′

Рис. 10⋄6. Проектирование коники напрямую.

, заданную уравнением = , из точки = ( ∶ ∶ ) ∈ . В стандартной аффинной карте, где = , эта проекция ∶ → выглядит как на рис. 10⋄6. Она устанавливает бира-

циональную биекцию между прямой и коникой в том смысле, что однородные координатысоответственных точек = ( ∶ ∶ ) ∈ и = ( ∶ ∶ ) = ( ) ∈ суть рациональ-ные алгебраические функции друг друга:

( ∶ ) = ( ∶ ( − ) )( ∶ ∶ ) =

= ( ( − ) ∶ ∶ ( + ) )(10-8)

Упражнение 10.10. Проверьте эти формулы иобратите внимание, что когда ( , ) пробе-гает ℤ × ℤ вторая из них перечисляет все пи-фагоровы тройки1 ( ∶ ∶ ).

а само отображение ∶ → взаимно одно-значно, если доопределить его в точке так, что-бы она переходила в точку пересечения прямойи касательной к в точке прямой =

(на рис. 10⋄6 это пересечение происходит в бес-конечной точке = ( ∶ ∶ )). В самом деле,каждая проходящая через прямая ℓ = ( ), заисключением касательной, пересекает ещё ровно в одной точке = ( ), отличной от , и ко-ординаты этой точки рационально выражаются через коэффициенты уравнения прямой ℓ ,являющиеся рациональными функциями от , и координаты точки .

Отметим, что коника переводится в конику Веронезе = из (10-5) обратимойлинейной заменой координат

⎧⎪⎨⎪⎩

= +== −

�⎧⎪⎨⎪⎩

= ( − )∕== ( + )∕

�

1Т. е. все целые решения уравнения Пифагора + = .

10.4. Линейные проективные изоморфизмы 181

и параметризация (10-6) кривой Веронезе при этой замене коодинат превращается в точностив параметризацию (10-8).

10.4. Линейные проективные изоморфизмы. Всякий линейный изоморфизм векторных про-странств ∶ ⥲ корректно определяет биекцию ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ), которая называетсяпроективным линейным преобразованием или проективным изоморфизмом.

Упражнение 10.11. Рассмотрим две гиперплоскости , ⊂ ℙ = ℙ( ) и точку ∉ ∪ .Убедитесь, что проекция из задаёт проективный изоморфизм ∶ ⥲ .

Теорема 10.1

Для любых двух упорядоченных наборов из ( + ) точек

{ , , … , + } ∈ ℙ( ) , { , , … , + } ∈ ℙ( ) ,

в каждом из которых никакие ( + ) точек не лежат в одной гиперплоскости, существует един-ственный с точностью до пропорциональности линейный изоморфизм ∶ ⥲ , такой что

( ) = при всех .

Доказательство. Зафиксируем некоторые векторы и , представляющие точки и , ивозьмём { , , … , } и { , , … , } в качестве базисов в и . Оператор ∶ →тогда и только тогда переводит точку в точку , когда ( ) = для некоторых ненуле-вых ∈ 𝕜. В частности, для того, чтобы точки , , … , переводились преобразованиемв точки , , … , , необходимо и достаточно, чтобы оператор в выбранных нами базисахимел диагональную матрицу с произвольными ненулевыми константами , , … , по глав-ной диагонали. Заметим теперь, что в разложении + = + +⋯+ все координа-ты отличны от нуля, поскольку в противном случае + точка1 оказались бы в одной гипер-плоскости, заданной условием обращения этой координаты в нуль. Если аналогичным образомразложить вектор + = + +⋯+ и записать равенство ( + ) = + + ввиде системы равенств на координаты, мы получим на константы , , … , + соотношения

= + (при всех ⩽ ⩽ ), из которых

( , , … , ) = −+ ⋅ ( ∕ , ∕ , … , ∕ ) .

Таким образом, матрица оператора определена однозначно с точностью до постоянного мно-жителя −

+ ≠ . �


Две матрицы тогда и только тогда задают одинаковые проективные изоморфизмы, когда онипропорциональны. �

Пример 10.8 (четырёхвершинник и эпиморфизм ↠ )

Любые четыре точки , , , ∈ ℙ , никакие три из которых не коллинеарны, задают конфи-гурацию из трёх пар прямых, соединяющих непересекающиеся пары точек (см. рис. 10⋄7). Этаконфигурацияназывается четырёхвершинником , а парыпрямых, проходящих через непе-ресекающиеся пары точек, называются противоположными сторонами этого четырёхвершин-ника. Точки пересечений пар противоположных сторон

= ( ) ∩ ( ) , = ( ) ∩ ( ) , = ( ) ∩ ( ) (10-9)

1А именно, + и все с номерами, отличными от номера занулившейся координаты вектора + .


и проходящие через них три прямые называют ассоциированным треугольником четы-

a

b

c

d

x

y

z

Рис. 10⋄7. Четырёхвешинник.

рёхвершинника . Согласно теор. 10.1 на стр. 181, каждая перестановка точек , , ,однозначно задаёт линейное проективное преобразова-ние ℙ ⥲ ℙ , переводящее четырёхвершинник всебя, а значит, как-то переставляющее вершины , ,ассоциированного с ним треугольника. Возникающийтаким образом гомоморфизм групп перестановок ∶

↠ сюрьективен, поскольку транспозиция точек, и транспозиция точек , приводят, соответствен-

но, к транспозициям точек , и точек , , которые по-рождают группу треугольника . Ядро гомоморфиз-ма1 состоит из тождественной перестановки и трёхпар непересекающихся транспозиций:

ker = {�( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )} � .

Эта четырёхэлементная группа перестановок называет-ся группой Клейна или группой двуугольника и обознача-ется или .

Определение 10.1 (линейные проективные группы)

Согласно теор. 10.1 линейные проективные автоморфизмы пространства ℙ( ) образуют груп-пу, изоморфную фактор группе полной линейной группы GL( ) по подгруппе гомотетий ={ ⋅ Id | ≠ } ⊂ GL( ). Эта фактор группа обозначается PGL( ) = GL( )∕ и называетсяпроективной линейной группой. Если при помощи выбора базиса отождествить линейную груп-пу GL( ) с группой невырожденных матриц GL + , проективная группа PGL( ) отождествитсяс группой PGL + невырожденных матриц, рассматриваемых с точностью до пропорциональ-ности.

Пример 10.9 (дробно линейные преобразования прямой)

Группа PGL (𝕜) состоит из классов пропорциональности матриц = ( ) с − ≠ .

Она действует на ℙ по правилу

∶ ( ∶ ) ↦ (( + ) ∶ ( + ) ) .

В стандартной аффиннойкарте ≃ 𝔸 с аффиннойкоординатой = ∕ , это действиеимеетвид дробно линейного преобразования ↦ ( + )∕( + ). Единственное дробно линейноепреобразование, переводящее три заданныхразличных точки , , в∞, , , очевидно, таково:

↦ −− ⋅ −

− (10-10)

10.5. Гомографии. Многие геометрические задачи так или иначе связаны с соответствиямимежду точками одной проективной прямой и точками другой проективной прямой, такими чтокоординаты соответственных точек алгебраически выражаются друг через друга. Простейшимитакими соответствиями являются бирациональные2 биекции или гомографии.

1Напомню, что ядром гомоморфизма групп ∶ → называется подгруппа ker ⊂ , состоящаяиз всех элементов группы , отображающихся в единицу группы .

2Соответствиемежду точкаминазывается бирациональным, если координаты соответственных точекявляются рациональными функциями друг друга.

10.5. Гомографии 183

Теорема 10.2

Если над алгебраически замкнутым полем 𝕜 с char𝕜 = имеется биективное отображение

∶ ℙ ∖ {конечное множество} ⥲ ℙ ∖ {конечное множество} ,

которое в некоторой аффинной карте с аффинной координатой может быть задано формулой

↦ ( ) = ( )∕ ( ) , где , ∈ 𝕜[ ] , (10-11)

то является линейным проективным изоморфизмом1.

Доказательство. В однородных координатах ( ∶ ), для которых = ∕ , формулу (10-11)можно переписать2 как ∶ ( ∶ ) ↦ ( � ( , ) ∶ ( , )) �, где и не пропорциональныедруг другу однородныемногочлены от ( , ) одинаковой степени = deg = deg . Если точ-ка = ( ∶ ) ∈ ℙ имеет при отображении ровно один прообраз, то однородный много-член ⋅ ( , )− ⋅ ( , ) имеет наℙ ровно один корень = − ( ). Над алгебраическизамкнутымполем такое возможно, только если этот корень -кратный.Поэтому в пространствеℙ однородныхмногочленов степени от ( , )прямая ( , ) = { + | ( ∶ ) ∈ ℙ }име-ет бесконечно много3 точек пересечения с кривой Веронезе ⊂ ℙ из прим. 10.6 на стр. 178,где мы видели, что при ⩾ никакие три точки кривой не лежат на одной прямой. Поэтому

= и ∈ PGL (𝕜). �

o

q

a

b

ϕ(a)

ϕ(b)

ϕ(x)

x

ℓ1

ℓ2

Рис. 10⋄8. Перспектива.

Пример 10.10 (песпективы)

Важным примером гомографии является центральная проекция прямой ℓ ⊂ ℙ на другуюпрямую ℓ ⊂ ℙ из произвольной точки ∉ ℓ ∪ ℓ (см. рис. 10⋄8). Мы будем называть такуюгомографию перспективой с центром и обозначать ∶ ℓ ⥲ ℓ .

Упражнение 10.12. Убедитесь, что перспектива в самом деле является гомографией (т. е. би-ективна и бирациональна).

Гомография ∶ ℓ ⥲ ℓ является перспективой , если и только если она переводит точку пе-ресечения прямых ℓ ∩ ℓ в себя. В самом деле, беря в качестве точку пересечения прямых( , ( )) и ( , ( )), соединяющих произвольные точки , ∈ ℓ ∖ℓ с их образами ( ), ( ),

1И, в частности, однозначно продолжается на всю прямую.2Конечное множество, где отображение не определено, может при этом поменяться.3Т. к. поле 𝕜 бесконечно, а отображение биективно вне конечного множества точек.


как на рис. 10⋄8, видим, что перспектива ∶ ℓ ⥲ ℓ действует на три точки , и ℓ ∩ ℓтакже, как и , и, стало быть, совпадает с , т. к. дробно линейный изоморфизм однозначноопределяется своим действием на три различных точки.

ℓ1

ℓ2ℓ

q

a1b1

c1

a2 = ϕ(a1)

b2 = ϕ(b1)

c2 = ϕ(c1)

ϕ(q)ϕ−1(q)

Рис. 10⋄9. Перекрёстная ось.


Пусть прямые ℓ , ℓ ⊂ ℙ пересекаются в точке = ℓ ∩ ℓ . Если для некоторой прямой ℓ иточек ∈ ℓ и ∈ ℓ гомография ∶ ℓ ⥲ ℓ раскладывается в композицию перспектив

= ( ∶ ℓ → ℓ ) ∘ ( ∶ ℓ → ℓ) , где ∈ ℓ , ∈ ℓ , (10-12)

(см. рис. 10⋄9), то = ( ), а ℓ проходит через точки ( ) и − ( ). Наоборот, каждую гомо-графию ∶ ℓ ⥲ ℓ можно разложить в композицию (10-12), в которой точку ∈ ℓ можновыбрать произвольно, точка = ( ), а прямая ℓ не зависит от выбора ∈ ℓ .

ℓ1

ℓ2ℓ′ = ℓ

q

a1b1

c1

a2 = ϕ(a1)

b2 = ϕ(b1)

c2 = ϕ(c1)

ϕ(q)ϕ−1(q)

Рис. 10⋄10. Равенство ℓ′ = ℓ.

Доказательство. Первое утверждение очевидно из рис. 10⋄9. Для доказательства второго рас-смотрим произвольные три различных и отличных от = ℓ ∩ ℓ точки , , ∈ ℓ и обо-значим через , , ∈ ℓ их образы относительно . Возьмём в качестве ℓ прямую, проходя-щую через точки пересечения пар «перекрёстных» прямых ( )∩( , ) и ( )∩( , ). Из

10.6. Двойное отношение 185

рис. 10⋄9очевидно, что композицияперспективиз правойчасти (10-12) переводит , , со-ответственно в , , и, стало быть, совпадает с . Чтобы убедиться, что прямая ℓ не зависитот повторим предыдущее рассуждение, заменив в нём тройку , , — тройкой , ,(см. рис. 10⋄10). Получим разложение = ( ∶ ℓ′ → ℓ ) ∘ ( ∶ ℓ′ → ℓ), в котором прямая ℓ′

проходит через точки пересечения пар перекрёстных прямых ( )∩( , ) и ( )∩( , ).Обе прямые ℓ и ℓ′ проходят через точку ( ) ∩ ( , ), а также (согласно первому утвержде-нию предложения) через точки1 ( ) и − ( ). Поэтому ℓ = ℓ′. �

Следствие 10.2 (перекрёстная ось гомографии)

Для любой гомографии ∶ ℓ ⥲ ℓ и точек ≠ , независимо пробегающих прямую ℓ , ГМТпересечений «перекрётных прямых» ( , ( )) ∩ ( , ( )) представляет собою прямую2, прохо-дящую через точки (ℓ ∩ ℓ ) и − (ℓ ∩ ℓ ).

Замечание 10.1. Обратите внимание, что предл. 10.1 и сл. 10.2 справедливы и для перспектив,когда точки (ℓ ∩ ℓ ) и − (ℓ ∩ ℓ ) совпадают друг с другом и с ℓ ∩ ℓ и сами по себе неопределяют перекрёстную ось ℓ однозначно.

Упражнение 10.13. На ℙ даны две прямые ℓ и ℓ . Гомография ∶ ℓ ⥲ ℓ переводит триданные точки , , ∈ ℓ в три данные точки , , ∈ ℓ . Одной линейкой постройтеобраз ( ) произвольно заданной точки ∈ ℓ .

10.6. Двойное отношение. Рассмотрим проективную прямую ℙ = ℙ(𝕜 ) со стандартнымиоднородными координатами ( ∶ ) и аффинной координатой = ∕ . Отметим, чторазность аффинных координат = ∕ и = ∕ любых двух точек = ( ∶ ) и

= ( ∶ ) с точностью до множителя совпадает с определителем их однородных координат:

− = − = − = det( , ) .


Для четырёх различных точек , , , ∈ ℙ величина

[ , , , ] = ( − ) ( − )( − ) ( − )

=det ( , ) ⋅ det ( , )det ( , ) ⋅ det ( , )

. (10-13)

называется двойным отношением3 этих четырёх точек.

Упражнение 10.14. Пусть точки , имеют координаты , в аффинной карте с началом в ,для которой = ∞, т. е. = + , = + . Убедитесь, что [ , , , ] = ∕ .

1Совпадающие друг с другом, если перспектива.2Эта прямая называется перекрёстной осью гомографии (по-английски: cross-axis).3По-английски cross-ratio.


10.6.1. Геометрический смысл двойного отношения. Согласно формуле (10-10) двойноеотношение [ , , , ] ∈ ℙ = ℙ(𝕜 ) представляет собою образ точки при единствен-ном дробно линейном автоморфизме ℙ , переводящем точки , , в точки ∞, , соот-ветственно. Отсюда сразу следует, что двойное отношение четырёх различных точек можетпринимать любые значения кроме ∞, и и что две упорядоченных четвёрки точек тогда итолько тогда переводятся одна в другую дробно линейным преобразованием прямой, когда ихдвойные отношения одинаковы.

Упражнение 10.15. Докажите последнее утверждение.

Поскольку замена однородных координат является именно таким преобразованием, мы заклю-чаем, что правая часть равенства (10-13) не зависит от выбора однородных координат, а сред-няя часть, содержащая разности аффинных координат точек, не зависит ни от выбора аффин-ной карты, ни от выбора локальной аффинной координаты в ней, при условии, что эта картасодержит все четыре точки, т. е. значения , , , конечны.

Упражнение 10.16. Убедитесь в этом а) прямым вычислением б) выведите инвариантностьдвойного отношения из n∘ 1.6.2 на стр. 22.


Биекция ∶ ℙ ⥲ ℙ является линейным проективным изоморфизмом , если и только еслиона сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть переводит точки , и в ∞, и соответственно. Если сохраняетдвойные отношения, то каждая точка ∈ ℙ ∖ { , , } переходит в точку ( ) = [ , , , ] == ( �( − )∕( − )) � ⋅ ( �( − )∕( − )) �, т. е. дробно линейно. �

10.6.2. Общие и специальные четвёрки точек. Из формулы (10-13) очевидно, что одно-временная перестановка двух непересекающихся пар точек не меняет двойного отношения от-ношения:

[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = . (10-14)

где ∈ ℙ = ℙ(𝕜 ) это образ точки при гомографии ∶ ( , , ) ↦ (∞, , ). Двойноеотношение [ , , , ] равно образу точки при гомографии ( , , ) ↦ ( , ∞, ), ко-торая получится, если следом за гомографией применить гомографию (∞, , ) ↦ ( , ∞, ),действующую по правилу ↦ ∕ . Тем самым,

[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = ∕ (10-15)

Аналогично, переводится в [ , , , ] и [ , , , ] гомографиями ( , , ) ↦( , , ∞) и ( , , ) ↦ (∞, , ), композициями с преобразованиями (∞, , ) ↦ ( , , ∞) и(∞, , ) ↦ (∞, , ), задаваемыми формулами ↦ ∕( − ) и ↦ − . Поэтому

[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = ∕( − )[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = − .

(10-16)

Поскольку гомографии ( , , ) ↦ ( , ∞, ) и ( , , ) ↦ ( , , ∞) получаются приме-нением вслед за гомографий (∞, , ) ↦ ( , ∞, ) и (∞, , ) ↦ ( , , ∞), действующих поформулам ↦ ( − )∕ и ↦ ∕( − ), получаем

[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = ( − )∕[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = ∕( − ) .

(10-17)

10.6. Двойное отношение 187

Формулы (10-14)-(10-17) описывают все возможные значения двойного отношения, возника-ющие при перестановках точек , , , . Если ∈ 𝕜 таково, что все шесть значений

, ∕ , ∕( − ) , − , ( − )∕ , ∕( − ) (10-18)

из правых частей формул (10-14)-(10-17) различны, то никакую перестановку точек кромечетырёх перестановок1 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , , ( , , , ) невоз-можно осуществить дробно линейным преобразованием проективной прямой. Такие четвёркиточек называются общими.

При значениях = − , , ∕ , удовлетворяющих равенствам = ∕ , = ∕ ( − ) и

a

b

c

d

x

y

z

x′

x′′

Рис. 10⋄11.

= − соответственно, двойное отношение [ , , , ] = пробегает при перестанов-ках точек всего три различных значения и не меняетсяпритранспозициях2 ( , ), ( , ), ( , ). Еслиже удовле-творят любому из двух эквивалентных друг другу квад-ратных уравнений3 = ( − )∕ или = ∕ ( − ),то двойное отношение точек не меняется при цик-лических перестановках точек , , и может при-нимать всего два различных значения. Четвёрка точекс двойным отношением, равным одному из этих пятиспециальных значений, называется специальной. Такимобразом, при перестановках точек, образующих специ-альную четвёрку, двойное отношение принимает либотри, либо два различных значения, тогда как для общейчетвёрки всешесть значений (10-18) различны. Геомет-рически, специальность четвёрки точек означает суще-ствование гомографии, осуществляющей перестановкуэтих точек, отличную от четырёх клейновских переста-новок.

10.6.3. Гармонические пары точек. Четвёрка точек { , ; , } ∈ ℙ называется гармо-нической, если двойное отношение [ , , , ] = − . Геометрически это условие означает, чтов аффинной карте, для которой точка является бесконечностью, точка является центромтяжести точек и . При его выполнении говорят также, что пары точек { , } и { , } гармо-ничны по отношению друг к другу. Выше мы видели, что гармоничность двух пар точек равно-сильна тому, что их двойное отношение не меняется при перестановке точек в одной из этихпар4. Так как двойное отношение не меняется при перестановке пар между собой как единогоцелого, гармоничность является симметричным бинарным отношением на множестве неупо-рядоченных пар точек на ℙ .

Пример 10.11 (гармонические пары прямых в четырёхвершиннике, продолжение прим. 10.8)

Покажем, что в каждом из трёх пучков прямых с центрами в вершинах , , треугольника, ас-социированного с четырёхвершинником , пара сторон четырёхвершинника гармонична

1Составляющих группу Клейна из прим. 10.8 на стр. 181.2А также остальных восьми перестановках из подгруппы, порождённой такой транспозицией и че-

тырьмя клейновскими перестановками.3Равносильных уравнению − + = , корнями которого являются отличные от − кубические

корни из единицы, лежащие в поле 𝕜.4См. формулу (10-15) на стр. 186.


паре сторон треугольника , см. рис. 10⋄11. Для этого запараметризуем пучок всех проходя-щих через точку прямых точками прямой ( ) и одновременно — точками прямой ( ). Мыдолжны проверить, что прямая ( ) пересекает прямые ( ) и ( ) по таким точкам ′, ″, что[ , , , ′] = [ , , , ″] = − . Поскольку центральные проекции из и из являются дроб-но линейными изоморфизмами между прямыми ( ) и ( ), возникают следующие равенствадвойных отношений соответственных точек: [ , , , ′] = [ , , , ″] = [ , , , ′]. Так какпри перестановке первых двух точек двойное отношение не поменялось, оно равно − .

§11. Проективные квадрики

Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что char(𝕜) ≠ .

11.1. Квадрики и их уравнения. Гиперповерхность второй степени = ( ) ⊂ ℙ( ), задава-емая в проективном пространстве ℙ( ) ненулевым однородным квадратичным многочленом

∈ ∗, называется проективной квадрикой. Проективизация ℙ( ∗) пространства одно-родных многочленов второй степени называется пространством квадрик в ℙ( ). Квадрики наплоскости ℙ называются кониками, в пространстве ℙ — квадратичными поверхностями.

Упражнение 11.1. Убедитесь, что размерность пространства квадрик в ℙ равна ( + )∕ .

В однородныхкоординатах ( ∶ ∶ … ∶ )относительнокакого-нибудьбазиса , , … ,в пространстве любой квадратичный многочлен можно записать в виде

( ) = ∑,

= ,

где обозначает столбец координат, = ( , , … , ) это транспонированная к строкакоординат, а = ( ) это симметричная матрица, имеющая при ≠ в качестве =половину1 коэффициента при в многочлене ( ). Иначе говоря, для любого однородногомногочлена ( ) второй степени существует единственная симметричная билинейная форма

∶ × → 𝕜 , ( , ) ↦ ( , ) ,

такая что ( ) = ( , ). Она называется поляризацией квадратичной формы и выражаетсячерез несколькими эквивалентными способами:

( , ) = ∑,

= = ∑ ( ) = ( � ( + ) − ( ) − ( ))� . (11-1)

Матрица это матрица Грама билинейной формы в базисе , т. е. = ( , ).Упражнение 11.2. Убедитесь, что матрица Грама ′ формы в базисе2 ′ = выражается

через матрицу Грама базиса по формуле ′ = .

11.1.1. Определитель и ранг квадратичнойформы.Из упр. 11.2 вытекает, что при линей-ной замене координат определитель Грама det( ′) = det( ) ⋅ det ( ) умножается на ненуле-вой квадрат. Тем самым, класс определителя Грама по модулю умножения на ненулевые квад-раты из поля 𝕜, не зависит от выбора базиса и является инвариантом квадрики по отноше-нию к линейным заменам координат. Мы будем называть этот класс определителем формыи обозначать det( ). Обратите внимание, что над алгебраически замкнутым полем 𝕜 класс

det ∈ 𝕜∕(𝕜∗) = { , } может принимать всего два значения: и .

Над произвольным полем 𝕜 квадрики с нулевым определителем Грама называются вырож-денными или особыми, а с ненулевым— невырожденными или гладкими.

1Обратите внимание, что при char𝕜 = не все квадратичные формы так представляются.2Здесь = ( , , … , ) и ′ = ( ′, ′, … , ′ ) представляют собою строки из векторов, а = ( )

это квадратная матрица размера ( + ) × ( + ) по столбцам которой стоят координаты векторов избазиса ′ в базисе .

189

190 §11Проективные квадрики

Поскольку для произвольной матрицы и любой обратимой матрицы выполняются ра-венства1 rk = rk = rk , рангматрицыГрамане зависит от выбора базиса. Онназываетсярангом формы и обозначается rk .

11.1.2. Проективная конгруэнтность. Две квадрики называются проективно конгруэнт-ными, если одна переводится в другую линейным проективным автоморфизмом объемлюще-го пространства. Из предыдущего вытекает, что квадрики, имеющие различный ранг rk илиопределитель Грама det ∈ 𝕜∕(𝕜∗) , не могут быть проективно конгруэнтны.

Теорема 11.1 (теорема Лагранжа)

Над произвольным полем 𝕜 с char(𝕜) ≠ для любой квадратичной формы существует базис,в котором её матрица Грама диагональна.

Доказательство. Индукция по dim . При dim ⩽ или = доказывать нечего. Пусть су-ществует вектор ∈ с ( ) = ( , ) ≠ . Обозначим через ⊥ = { ∈ | ( , ) = }ортогональное дополнение к относительно билинейной формы .

Упражнение 11.3. Убедитесь, что = (𝕜 ⋅ ) ⊕ ⊥ при dim ⩾ .

Поиндукциивподпространстве ⊥ есть базис с диагональнойматрицейГрама. Добавляя кнемувектор , получаем искомый базис во всём пространстве. �


Над алгебраически замкнутым полем 𝕜 любая квадрика задаётся в подходящих однородныхкоординатах уравнением + + ⋯ + − = , где = rk . В частности, две квадрикипроективно конгруэнтны , если и только если у них одинаковый ранг.

Доказательство. Ненулевые диагональные элементы матрицы Грама становятся единицамипри замене базисных векторов на ∕√ ( ). �

Пример 11.1 (квадрики на ℙ )

Из теор. 11.1 вытекает, что бинарная2 квадратичная форма над любым полем 𝕜 с char(𝕜) ≠ вподходящем базисе задаётся либо уравнением + = , где ≠ , либо уравнением = .В первом случае класс det( ) помодулю умножения на ненулевые квадраты совпадает с классомкоэффициента , и форма невырождена. Во втором случае det( ) = , и форма вырождена.

Особая квадрика = называется двойной точкой, поскольку её уравнение—это квадратлинейной формы , задающей точку ( ∶ ).

Гладкая квадрика + = либо пуста, либо состоит из двух точек. Первое равносильнотому, что − не является квадратом в 𝕜, и над алгебраически замкнутым полем 𝕜 это невоз-можно. Если же − = , то + = ( − )( + ) имеет на ℙ два разных корня(± ∶ ), т. е. гладкая квадрика состоит в этом случае из двух различных точек

Итак, геометрия квадрики ( ) ⊂ ℙ , задаваемой бинарной квадратичной формой

( ) = + +1Левое (соотв. правое) умножение матрицы на любую матрицу задаёт линейное преобразование

строк (соотв. столбцов) матрицы , что не увеличивает её ранг. Тем самым, при умножении на обрати-мую матрицу ранг вообще не меняется.

2Т. е. от двух переменных.

11.1. Квадрики и их уравнения 191

полностью определяется классом её дискриминанта ∕ ≝ − det( ) = − по модулюумножения на ненулевые квадраты: если он нулевой, то квадрика является двойной точкой,если он единичный, то парой различных точек, если он не квадрат (что невозможно над алгеб-раически замкнутым полем 𝕜), то квадрика пуста.


Квадрика ⊂ ℙ может пересекать прямую ℓ ⊂ ℙ ровно одним из следующих четырёх спосо-бов: либо ℓ ⊂ , либо ℓ ∩ это одна двойная точка, либо ℓ ∩ это две различные точки, либоℓ ∩ = ∅, причём последний случай невозможен над алгебраически замкнутым полем. �

11.1.3. Корреляция, ядро и особые точки. C каждой квадратичной формой ∈ ∗ по-мимо симметричной билинейной формы ∶ × → 𝕜 связан линейный оператор корреляции

∶ → ∗, переводящий вектор ∈ в ковектор ( ) ∶ → 𝕜, ↦ ( , ), действующийна векторы из скалярным умножением на вектор посредством билинейной формы .

Упражнение 11.4. Убедитесь, что матрица оператора корреляции, записанная в двойственныхбазисах и ∗ пространств и ∗, совпадает с матрицей Грама базиса .

В частности, невырожденность квадратичной формы равносильна тому, что корреляция би-ективна. Пространство ker = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = } называется ядром квадратич-ной формы . Его проективизация обозначается Sing ≝ ℙ(ker ) ⊂ ℙ( ) и называется про-странством особых точек или вершинным пространством квадрики . Обратите внимание,что Sing ⊂ . Так как dim ker = dim − rk , мы ещё раз видим, что ранг матрицы Грамаквадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Теорема 11.2

Пересечение особой квадрики с любымдополнительнымкSing проективнымподпростран-ством ⊂ ℙ( ) представляет собою гладкую квадрику ′ = ∩ в подпространстве , и исход-ная квадрика является линейным соединением1 ′ и Sing .

Доказательство. Пусть = ker и = ℙ( ). Тогда = ⊕ . Если вектор ∈ лежит в ядреограничения | , то ( , ′) = для всех ′ ∈ . Записывая произвольный вектор ∈ как

= ′ + ″ с ′ ∈ и ″ ∈ , получаем ( , ) = ( , ″) + ( , ′) = для всех ∈ , откуда∈ ∩ ker = . Таким образом, ограничение | невырождено.

Если прямая ℓ проходит через точку ∈ Sing и не лежит на квадрике , то ограничениеформы на ℓ является ненулевой особой квадратичной формой, а значит, ∩ ℓ — это двой-ная точка . Тем самым, каждая прямая, пересекающая Sing , либо целиком лежит на , либобольше нигде не пересекает квадрику. �

Пример 11.2 (особые коники)

Пространство Sing особых точек негладкой коники ⊂ ℙ это либо точка, либо прямая. ЕслиSing это одна точка ∈ ℙ , то по сл. 11.2 пересечение ∩ ℓ с любой прямой ℓ ∌ являет-ся гладкой квадрикой в ℓ, т. е. либо пусто, либо является парой различных точек , ∈ ℓ. Впервом случае = состоит из единственной точки и такого не бывает над алгебраическизамкнутымполем𝕜. Во втором случае = ( )∪( ) представляет собоюпару пересекающихся

1Т. е. объединением всех прямых вида ( ) с ∈ ′ и ∈ Sing .


прямых. Такую конику называют приводимой или распавшейся. Уравнение распавшейся ко-ники является произведением двух линейных форм, задающих прямые, на которые эта коникараспадается.

Упражнение 11.5. Над полемℝ напишите уравнение особой коники, состоящей из единствен-ной точки.

Если Sing = ℓ это прямая, то rk = и матрица Грама коники является произведениемстолбца и строки, пропорциональных друг другу в силу симметричности матрицы Грама. Темсамым, уравнение коники это квадрат линейной формы, задающей прямую ℓ. Такая кониканазывается двойной прямой.

Упражнение 11.6. Убедитесь, что любая квадратичная форма ранга является квадратом ли-нейной формы.

11.1.4. Касательноепространство к квадрике.Прямая, проходящая через точку квадри-ки , называется касательной к в , если она либо лежит на целиком, либо пересекает подвойной точке . Объединение всех прямых, касающихся в точке , называется касательнымпространством к квадрике в точке ∈ и обозначается .

Лемма 11.1

Прямая ℓ = ( ) касается квадрики = ( ) в точке ∈ , если и только если ( , ) = .

Доказательство. Пусть ℓ = ℙ( ). Матрица Грама ограничения | в базисе , равна

(( , )

( , ) ( , )) .

Поэтому det | = , если и только если ( , ) = ( , ) = . �


Видимый из точки ∉ контур1 квадрики высекается из гиперплоскостью

Ann ( ) = { | ( , ) = } .


Следующие три условия на точку ∈ = ( ) ⊂ ℙ( ) эквиваленты друг другу:

1) точка особа, т. е. ∈ Sing

2) каждая проходящая через прямая касается квадрики в точке , т. е. = ℙ( )

3) все частные производные многочлена зануляются в точке , т. е. ∀ ( ) = . �


Касательное пространство = { ∈ ℙ | ( , ) = } к квадрике ⊂ ℙ( ) в гладкой точке∈ является гиперплоскостью коразмерности в ℙ( ). �


Квадрика, имеющая хоть одну гладкую точку, не содержится в гиперплоскости.

1Т. е. ГМТ пересечения с квадрикой всевозможных касательных, опущенных на неё из точки .

11.2. Полярные преобразования 193

Доказательство. Пусть ⊂ ℙ и точка ∈ неособа. Случай = был разобран в прим. 11.1на стр. 190. Пусть ⩾ . Если квадрика содержится в гиперплоскости , то каждая проходя-щая через точку и не содержащаяся в прямая пересекает ровно в одной точке и, сталобыть, касается в . Поэтомуℙ = ∪ является объединением двух гиперплоскостей, чтоневозможно. �

Упражнение 11.7. Покажите, что проективное пространство над отличным от 𝔽 полем не раз-бивается в объединение двух гиперплоскостей.

11.2. Полярные преобразования. Пространства ℙ = ℙ( ) и ℙ× ≝ ℙ( ∗) называются двой-ственными проективными пространствами. Геометрически, каждое из них есть пространствогиперплоскостей в другом: однородное линейное уравнение ⟨ , ⟩ = на ковектор ∈ ∗ ивектор ∈ задаёт при фиксированном ∈ ℙ× гиперплоскость в ℙ , а при фиксированном

∈ ℙ — гиперплоскость в ℙ×, состоящую из всех гиперплоскостей в ℙ , проходящих черезточку ∈ ℙ . Биекция ⇆ Ann( ) между векторными подпространствами дополнительныхразмерностей в и ∗, которуюмы обсуждали в n∘ 4.4.3 на стр. 64, после перехода к проективи-зациям становится для каждого = , , … , ( − ) обращающей включения биекцией меж-ду -мерными проективными подпространствами вℙ и ( − − )-мерными проективнымиподпространствами в ℙ×, и называется проективной двойственностью. Она переводит проек-тивное подпространство = ℙ( ) ⊂ ℙ в проективное подпространство × = ℙ(Ann( )) ⊂ ℙ×,образованное всеми гиперплоскостями, содержащими , и превращает пересечения подпро-странств в линейные соединения их образов и наоборот. Это позволяет переговаривать геомет-рические утверждения в двойственные геометрические утверждения, подчас довольно сильноотличающиеся от исходных. Например, условие коллинеарности трёх точек двойственно усло-вию наличия у трёх гиперплоскостей общего подпространства коразмерности 2.

11.2.1. Поляритет гладкой квадрики. Поскольку корреляция ∶ ⥲ ∗ невырожденнойквадратичной формы является линейным изоморфизмом, она задаёт биективное проектив-ное преобразование ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ∗), ↦ ℙ (Ann ( )), не меняющееся при умноженииквадратичной формы на ненулевую константу. Оно называется полярным преобразованиемили просто поляритетом относительно гладкой квадрики = ( ) и переводит точку ∈ ℙв гиперплоскость ⊂ ℙ , заданную уравнением ( , ) = . Такие точка и гиперплоскостьназываются, соответственно, полюсом и полярой друг друга относительно квадрики . Геомет-рически, поляра точки ∉ представляет собою гиперплоскость, высекающую видимый източки контур квадрики1 , а поляра точки ∈ это касательная гиперплоскость . Такимобразом, квадрика однозначно восстанавливается по своему полятирету как ГМТ, лежащих насвоих полярах.

Поскольку условие ( , ) = симметричнопо и , точка лежитна поляре точки , еслии только если точка лежит на поляре точки . Такие точки и называются сопряжённымиотносительно квадрики , а предыдущее наблюдение известно как полярная двойственность.

Упражнение 11.8.Постройте2 поляру данной точкииполюсданнойпрямойприполярномпре-образовании евклидовой плоскости ℝ относительно заданной окружности. Особое вни-мание уделите случаям, когда заданная прямая не пересекает окружности, а заданная точ-ка лежит внутри очерчиваемого этой окружностью круга.

1Ср. с сл. 11.3 на стр. 192.2Желающие могут пользоваться линейкой и циркулем, но рис. 11⋄12 на стр. 204 показывает, что по-

следний не нужен.



Пусть , ∉ и прямая ( ) пересекает в двух различных точках , . Точки , тогдаи только тогда сопряжены относительно квадрики , когда они гармоничны по отношению кточкам , .

Доказательство. Обозначим проходящую через точки , , , прямую через ℓ. Сопряжениеотносительно квадрики задаёт на прямой ℓ инволюцию ∶ ℓ → ℓ, ↦ ℓ ∩ ( ), ко-торая переводит точку ∈ ℓ в точку пересечения её поляры с прямой ℓ. Точки и непо-движны относительно инволюции . Если инволюция меняет местами точки и , то[ , , , ] = [ , , , ], откуда [ , , , ] = − . Наоборот, если [ , , , ] = − , то отоб-ражение , ∶ ℓ → ℓ, переводящее точку ∈ ℓ в единственную такую точку ∈ ℓ, что[ , , , ] = − , является инволютивной гомографией.

Упражнение 11.9. Убедитесь в этом, и покажите, что для любых двух точек , ∈ ℓ существуетединственная инволюция , ∶ ℓ → ℓ, для которой точки и являются неподвижными,причём в любой аффинной карте, где = ∞, эта инволюция выглядит как центральнаясимметрия относительно .

Так как гомографии , и одинаково действуют на точки , , , , они совпадают, а зна-чит, точки и сопряжены относительно . �

Упражнение 11.10. Дайте чисто алгебраическое доказательство предл. 11.2.


Для неособой квадрики ⊂ ℙ и произвольной квадрики ⊂ ℙ множество гиперплоскостей,полярных относительно квадрики точкам ∈ , образуют в двойственномпроективномпро-странстве ℙ× квадрику в того же ранга, что и квадрика . Если и имеют в некоторыходнородных координатах на ℙ матрицы Грама и соответственно, то квадрика имеет вдвойственных однородных координатах на ℙ× матрицу − − .

Доказательство. Поляритет ∶ ℙ ⥲ ℙ× гладкой квадрики ⊂ ℙ переводит точку из ℙсо столбцом координат в точку двойственного пространства ℙ× со строкой координат =

и является биекцией. Полярные гиперплоскости точек ∈ задаются в ℙ× уравнением,которое получается подстановкой в задающее квадрику уравнение = точек = − .Это даёт на уравнение − − = . �


Касательные пространства гладкой квадрики ⊂ ℙ образуют вℙ× гладкую квадрику ×. Мат-рицы Грама квадрик и × в двойственных базисах пространств ℙ и ℙ× обратны друг другу.

Доказательство. Положим в предыдущей теореме = и = , и заметим, что гиперплоско-сти, полярные точкам ∈ относительно самой же квадрики — это в точности касательныепространства . �

11.2.2. Поляритеты над незамкнутыми полями.Над алгебраически незамкнутыми поля-миимеются квадратичныеформы , задающие пустые квадрики . Все такиеформыавтомати-чески невырождены, и их поляритеты вполне наблюдаемы геометрически, а пустота квадрикиозначает лишь то, что ни одна точка не лежит на своей поляре.

Упражнение 11.11. Опишите полярное преобразование евклидовой плоскостиℝ относитель-но «мнимой» окружности + = − .

11.3. Коники 195

Из теор. 10.1 на стр. 181 вытекает, что два поляритета , ∶ ℙ( ) → ℙ( ∗) совпадают тогдаи только тогда, когда задающие их квадратичные формы , ∈ ( ∗) пропорциональны.

Теорема 11.3

Две непустые гладкие квадрики над бесконечным полем 𝕜 с char(𝕜) ≠ совпадают , если итолько если их уравнения пропорциональны.

Доказательство. Если ( ) = ( ) в ℙ( ), то поляритеты , ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ∗) совпадаютво всех точках квадрики = ( ) = ( ).

Упражнение 11.12. Покажите, что в условиях теоремы на любой непустой гладкой квадрике вℙ найдутся + точки, никакие ( + ) из которых не лежат в одной гиперплоскости.

Из упр. 11.12 и теор. 10.1 на стр. 181 вытекает, что корреляции , ∶ ⥲ ∗ пропорцио-нальны. Тем самым, формы и имеют пропорциональные матрицы Грама. �

11.3. Коники. Квадрики на плоскости ℙ = ℙ( ) называются кониками. Они образуют пяти-мерное проективное пространство ℙ = ℙ( ∗), называемое пространством коник. Над ал-гебраически замкнутым полем есть ровно три проективно не конгруэнтных коники1:

• двойная прямая = (ранг , все точки особые)

• распавшаяся коника2 + = (ранг , одна особая точка)

• гладкая коника + + = .

11.3.1. Параметризация гладкой коники. Всякая непустая гладкая коника ⊂ ℙ над лю-бым полем 𝕜 с char(𝕜) ≠ допускает квадратичную рациональную параметризацию — вложе-ние

∶ ℙ ↪ ℙ , ( , ) ↦ ( � ( , ) ∶ ( , ) ∶ ( , )) � ,которое задаётся тремя взаимнопростымив совокупностиоднороднымимногочленамивторойстепени , , ∈ 𝕜[ , ] и биективно отображает прямуюℙ на конику . Геометрическитакую параметризацию можно получить проектируя конику из любой точки ∈ на любуюне проходящую через прямую ℓ. Каждая отличная от касательной прямая ( ) с ∈ ℓ пере-секает конику по двум различным точкам, одной из которых является . Если вторая точкапересечения ′ = ′( ) имеет в базисе , на прямой ( ) однородные координаты ( ∶ ),то это отношение является отличным от = ( ∶ ) корнем уравнения

( , ) ⋅ (( , ) ( , )( , ) ( , )) ⋅ ( ) = или ( , ) ⋅ + ( , ) ⋅ =

и равно ( ∶ ) = ( � ( , ) ∶ − ( , )) �. Отображение

ℓ → ℙ , ↦ ( , ) ⋅ − ( , ) ⋅ ∈ (11-2)

и задаёт искомую квадратичную параметризацию коники точками ∈ ℓ.Упражнение 11.13. Убедитесь, что три координаты точки ( , ) ⋅ − ( , ) ⋅ наℙ являют-

ся однородными квадратичными полиномами от пары внутренних однородных координат

1Ср. с прим. 11.1 на стр. 190.2А именно, объединение двух прямых = ± , пересекающихся в особой точке ( ∶ ∶ ).


точки на прямой ℓ в любом базисе этой прямой, и что формула (11-2) корректно сопо-ставляет точке = ∩ ℓ точку ∈ .

Над алгебраически замкнутымполем𝕜 квадратичнуюпараметризацию гладкой коникиможнополучить преобразовав её уравнение линейной заменой координат к виду Веронезе1

det ( ) = − = (11-3)

и воспользовавшись рациональной параметризацией коники Веронезе по формуле2

( ∶ ) ↦ ( ∶ ∶ ) = ( ∶ ∶ ) . (11-4)

Упражнение 11.14. Убедитесь, что проекция коники − = из точки ( ∶ ∶ ) напрямую = , переводит точку ( ∶ ∶ ) в точку ( ∶ ∶ ) .


Гладкая коникаи заданная однороднымуравнением степени кривая наℙ либо пересекаютсяне более, чем по точкам, либо коника целиком содержится в кривой в качестве компоненты.

Доказательство. Запараметризуем конику однородными квадратичными полиномами от =( ∶ ) ∈ ℙ . Значения , при которых коника пересекает кривую с уравнением ( ) = ,являются корнями однородного уравнения ( � ( )) � = , левая часть которого либо тождествен-но равна нулю, либо имеет степень . В первом случае вся коника содержится в кривой, вовтором случае имеется не более различных корней. �


Каждые пять точек в ℙ лежат на некоторой конике. Если никакие четыре из точек не коллине-арны, такая коника единственна, а если никакие три не коллинеарны, то она ещё и гладкая.

Доказательство. Прификсированном ∈ уравнение ( ) = линейно по ∈ ∗. Поэтомуконики, проходящие через ∈ ℙ = ℙ( ) образуют гиперплоскость в ℙ = ℙ( ∗). Посколь-ку любые 5 гиперплоскостей в ℙ имеют непустое пересечение, требуемая коника существует.Если какие-то три из точек коллинеарны, а никакие четыре — нет, коника содержит прямую,проходящуючерез три коллинеарные точки, и стало быть, распадается в объединение этой пря-мой и прямой, проходящей через две оставшиеся точки. Тем самым, такая коника единственна.Если никакие три из точек не коллинеарны, любая проходящая через них коника автоматиче-ски неособа, и значит, единственна по предл. 11.4. �


Каждые пять прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, касаются един-ственной гладкой коники.

Доказательство. Это утверждение проективно двойственно предыдущему: пять точек на ℙ×,двойственные пяти заданным прямым на ℙ , лежат на единственной гладкой конике × ⊂ ℙ×.Двойственная ей коника ⊂ ℙ и является искомой. �

1См. прим. 10.6 на стр. 178.2См. формулу (10-6) на стр. 179.

11.3. Коники 197

Пример 11.3 (геометрическая классификация гомографий между прямыми)

Пусть гомография ∶ ℓ ⥲ ℓ между двумя несовпадающими прямыми ℓ , ℓ ⊂ ℙ переводиттри различные точки , , ∈ ℓ , отличные от точки = ℓ ∩ ℓ , соответственно, в точки

, , ∈ ℓ . Возникают две возможности, представленные на рис. 11⋄1 и рис. 11⋄2: либо со-единяющие соответственные точки три прямые ( , ), ( , ), ( , ) пересекаются в однойточке , либо нет. Как мы видели в прим. 10.10, первое означает, что является перспективойс центром в , и это равносильно равенству ( ) = . Во втором случае пять прямых ℓ , ℓ ,( , ), ( , ), ( , ) удовлетворяют сл. 11.7, т. е. существует единственная гладкая коника, касающаяся всех этих пяти прямых. Преобразование ∶ ℓ ⥲ ℓ , переводящее точку ∈ ℓ

в точку пересечения прямой ℓ с отличной от ℓ касательной, опущенной из на , являетсягомографией ℓ на ℓ , ибо оно биективно и рационально. В самом деле, коэффициенты уравне-ний касательных, опущенных из на , суть точки пересечения двойственной коники × ⊂ ℙ×

с прямой × = Ann( ). Одна из них, задающая прямую ℓ , известна. Поэтому вторая, т. е. наборкоэффициентов уравнения прямой ( , ), рационально через неё выражается. Поскольку иодинаково действуют на , , , гомография ∶ ℓ ⥲ ℓ совпадает . Обратите внимание,что образом и прообразом точки = ℓ ∩ ℓ в этом случае являются точки пересечения ℓ ∩и ℓ ∩ соответственно.

a2 b2 c2

a1

b1

c1

pℓ1

ℓ2

a2

b2

c2

a1

b1

c1ℓ1

ℓ2

Рис. 11⋄1. Перспектива ∶ ℓ → ℓ . Рис. 11⋄2. Гомография ∶ ℓ → ℓ .

Итак, каждая гомография ℓ ⥲ ℓ либо является перспективой, либо высекается семействомкасательных к некоторой гладкой конике. В обоих случаях центр и коника определяются погомографии однозначно. Перспектива может рассматриваться как вырожденный случай гомо-графии ∶ ℓ → ℓ , отвечающий особой конике , распавшейся в объединение двух прямых,пересекающихся в центре перспективы. Однако такие прямые можно выбирать многими спо-собами: годится любая пара прямых, соединяющих соответственные точки гомографии.

Пример 11.4 (геометрическая классификация гомографий между пучками прямых)

Этот пример двойствен предыдущему. Пусть гомография ∶ × ⥲ пучка прямых с цен-тром в точке в пучок прямых с центром в точке ≠ переводит три различные прямыеℓ′ , ℓ′ , ℓ′ ∋ , отличные от прямой ( ), в прямые ℓ″, ℓ″, ℓ″ ∋ . Обозначим три точки пе-ресечения соответственных прямых через = ℓ′ ∩ ℓ″, = , , . Поскольку никакие четыреиз точек , , , , не коллинеарны, через них проходит единственная коника . Онапредставляет собою ГМТ точек пересечений соответственных прямых ℓ ∩ (ℓ) гомографии ,поскольку отображение, переводящее прямую ( ) в прямую ( ) для всех ∈ , тоже за-даёт гомографию × ⥲ , действующую на три прямые ℓ′ точно также, как , см. рис. 11⋄4.


Если коника гладкая, то она переводит касательную прямую в прямую ( ), а пря-мую ( )—вкасательную . Если коника не гладкая, то = ( )∪( ), точки ,

, коллинеарны, и гомография переводит прямую ( ) в себя, т. е. является перспекти-вой, см. рис. 11⋄3. В отличие от предыдущего прим. 11.3 задающая перспективу вырожденнаяконика здесь определяется этой перспективой однозначно.

𝑝 𝑝

𝑞

𝑞

𝑞

ℓ ∩ 𝜑ℓ

𝜑− (𝑝 𝑝 ) 𝜑(𝑝 𝑝 )

𝑝 𝑝

𝑞𝑞

𝑞ℓ ∩ 𝜑ℓ

Рис. 11⋄3. Перспектива ∶ × → ×. Рис. 11⋄4. Гомография ∶ × → ×.

Предложение 11.6 (теорема о вписанно-описанных треугольниках)

Два треугольника и вписаны в одну и ту же гладкую конику ′, если и толькоесли они описаны вокруг одной и той же гладкой коники ″.

Доказательство. Пусть точки , , , , , лежат на конике ′, как на рис. 11⋄5. Рас-смотрим прямые ℓ = ( ), ℓ = ( ) и обозначим через ∶ ℓ ⥲ ′ и ∶ ′ ⥲ ℓпроекцию прямой ℓ из точки на конику ′ и проекцию коники ′ на прямую ℓ из точки

. Композиция этих двух проекций [ ∶ ′ ⥲ ℓ ] ∘ [ ∶ ℓ ⥲ ′] ∶ ℓ ⥲ ℓ переводит↦ , ↦ , ↦ , ↦ и является неперспективой гомографией. Значит, она зада-

ётся семейством касательных к некоторой гладкой конике ″, вписанной в оба треугольника.Обратная импликация проективно двойственна только что доказанной. �

A2

B2

C2

A1

B1

C1

KL

MN

Q′′

Q′

ℓ1

ℓ2

Рис. 11⋄5. Вписанно-описанные треугольники.

Следствие 11.8 (поризм Понселе для треугольников)

Если пара коник ′ и ″ такова, что существует треугольник , одновременно вписанныйв ′ и описанный около ″, то такой же треугольник (одновременно вписанный в иописанный около ′) можно нарисовать стартовав с любой точки ∈ ′ ∖ ″.

11.3. Коники 199

Доказательство. В самом деле, проведём из две касательных ( ) и ( ) к конике ″

до их пересечения с ′ в точках , ∈ ′, как на рис. 11⋄5. По предл. 11.6, треугольникии описанывокругнекоторойконики, а поскольку существует лишьоднаконика,

касающаяся пяти прямых ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), эта коника и есть ″. �

p1 p3

p4p5

c(ℓ)

x1

x2

p

q r

ℓ1 ℓ2

ℓ1ℓ2

ℓℓ

p2

Рис. 11⋄6. Трассировка коники линейкой.

Пример 11.5 (трассировка коники линейкой)

Точки гладкой коники , проходящей через пять данных точек , , … , , никакие 3 из ко-торых не коллинеарны, можно эффективно строить одной линейкой следующим образом. Рас-смотрим прямые ℓ = ( ), ℓ = ( ) и точку = ( ) ∩ ( ), как на рис. 11⋄6. Пер-спектива ∶ ℓ ⥲ ℓ действует на лежащие на прямой ℓ три точки , и = ℓ ∩( ) также, как композиция проекции ∶ ℓ ⥲ прямой ℓ на конику из точки ∈ и проекции

∶ ⥲ ℓ коники на прямую ℓ из точки ∈ . Стало быть, они совпадают. Поэтомудля любой прямой ℓ, проходящей через и пересекающейся с прямыми ℓ и ℓ в точках исоответственно, точка (ℓ) = ( )∩( ) лежит на конике , см. рис. 11⋄6. Если ℓ пробежитпучок прямых с центром в , точка (ℓ) нарисует конику .

p1

p3

p5

p2p4

p6

xy

zℓℓ

Рис. 11⋄7. Гексограмма Паскаля.


Теорема 11.4 (теорема Паскаля)

Шесть точек , , … , , никакие 3 из которых не коллинеарны, тогда и только тогда лежатна одной гладкой конике, когда коллинеарны три точки пересечений

= ( ) ∩ ( ) , = ( ) ∩ ( ) , = ( ) ∩ ( )

пар «противоположных сторон» шестиугольика , , … , , см. рис. 11⋄7 и рис. 11⋄8.

Доказательство. Полагая ℓ = ( ) и ℓ = ( ), как на рис. 11⋄6 на стр. 199, мы видим, чтоусловие ∈ ( ) означает, что переходит в при перспективе

∶ ℓ → ℓ , (11-5)

которая, согласно прим. 11.5, раскладывается в композицию проекций

( ∶ ⥲ ℓ ) ∘ ( ∶ ℓ ⥲ ) (11-6)

где — гладкая коника, проходящая через , , … , . Но тогда = ( ) ∩ ( ) ∈ . На-оборот, если ( ) ∩ ( ) ∈ , то точка ∈ ℓ является образом точки ∈ ℓ при композициипроекций (11-6), а значит, и при перспективе (11-5), откуда ∈ ( ). �

p1

p2p3

p4

p5p6

x

y

z

p1

p2

p3

p4

p5

p6

Рис. 11⋄8. Вписанный шестиугольник. Рис. 11⋄9. Описанный шестиугольник.

Следствие 11.9 (теорема Брианшона)

Шестиугольник , , … , тогда и только тогда описан вокруг некоторой гладкой коники,когда его главные диагонали ( ), ( ), ( ) пересекаются в одной точке (см. рис. 11⋄9).

Доказательство. Эта теорема проективно двойственна к теореме Паскаля. �

11.4. Внутренняя геометрия гладкой коники.Двойственные прямыеℙ = ℙ( ) иℙ = ℙ( ∗)канонически изоморфны друг другу посредством биекции ℙ ⥲ ℙ×, ↦ Ann , которая наязыке координат сопоставляет точке ( ∶ ) ∈ ℙ точку − ∈ ℙ×, координатыкоторой в двойственном базисе на ℙ× суть ( ∶ − ).

В прим. 10.6 на стр. 178мы видели, что над алгебраически замкнутымполем𝕜, char(𝕜) ≠ ,плоскость ℙ = ℙ( ∗) параметризует неупорядоченные пары точек на ℙ = ℙ( ). Точкам

= ( ∶ ), = ( ∶ ) отвечает одномерное пространство в ∗, порождённое квадра-тичной формой , ( ) ≝ det( , ) ⋅ det( , ) = ( , ) ⋅ + ( , ) ⋅ + ( , ) ⋅с коэффициентами ( , ) = , ( , ) = − ( + )∕ , ( , ) = . Допус-кая известную вольность, мы будем обозначать эту точку на ℙ как { , }. Пары совпадающихточек { , } ∈ ℙ изображаются гладкой коникой Веронезе ver , состоящей из всех ненулевых

11.4. Внутренняя геометрия гладкой коники 201

квадратичныхформ от ( , ) с нулевымопределителем или, что тоже самое, из квадратичныхформ вида ( ) ≝ det ( , ), где ∈ ℙ . В развёрнутом виде1

( ) = ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅ , где

( ) = , ( ) = − , ( ) = .(11-7)

Пары { , } ∈ ℙ , в которых точка ∈ ℙ фиксирована, а точка пробегает прямуюℙ , изобра-жаются на плоскости ℙ( ∗) в виде прямой, которая состоит из всех зануляющихся в точкеквадратичных форм на ℙ и задаётся линейным по уравнением ( ) = . Так, касательныек конике Веронезе ver , восстановленные в точках { , } и { , }, суть прямые, состоящие източек вида { , } и { , } соответственно. Они пересекаются в точке { , }.

Упражнение 11.15. Покажите, что прямая на ℙ тогда и только тогда имеет вид { , }, гдефиксирована, а пробегает ℙ , когда она касается коники Веронезе, и опишите, из какихточек { , } ∈ ℙ состоит прямая, соединяющая две различные точки { , }, { , } ∈ ℙ ,в терминах двойных отношений между точками , , , , , .

Над алгебраически замкнутым полем все гладкие коники проективно конгруэнтны друг другу,и произвольную гладкую конику на ℙ можно записать в подходящих однородных коорди-натах ( ∶ ∶ ) уравнением = , после чего воспринимать её как конику Веро-незе, а объемлющую плоскость — как множество неупорядоченных пар точек на проективнойпрямой. Иначе говоря, над алгебраически замкнутым полем характеристики ≠ проективнаяплоскость с заданной на ней гладкой коникой может быть отождествлена с множеством неупо-рядоченных пар точек на ℙ так, что коника будет изображать пары совпадающих точек.

11.4.1. Двойное отношение и внутренние координаты на конике.Назовём двойным от-ношением четырёх точек , , , на гладкой конике двойное отношение проекций этихточек на произвольную прямую ℓ ⊂ ℙ из любой пятой точки ∈ , отличной от всех четырёхи не лежащей на ℓ, или, что то же самое, двойное отношение четырёх прямых ( ), ⩽ ⩽ ,в пучке прямых с центром в .

Упражнение 11.16. Убедитесь, что это двойное отношение не зависит ни от выбора прямойℓ ⊂ ℙ , ни от выбора точки ∈ , и что любая биекция между кониками , ⊂ ℙ ,индуцированная линейным проективным преобразованием ℙ ⥲ ℙ объемлющей плос-кости, сохраняет двойное отношение точек на этих кониках.

На конике Веронезе ver ⊂ ℙ = ℙ( ∗) введённое только что двойное отношение любых че-тырёх точек { , }, ⩽ ⩽ , совпадает с двойным отношением четырёх точек на прямойℙ = ℙ( ), поскольку композиция отображения Веронезе ℙ ⥲ ver , ↦ { , }, и проекцииконики ver из любой её точки на любую не проходящую через эту точку прямую является раци-ональной биекцией между двумя проективными прямыми, а стало быть2, линейна и сохраняетдвойные отношения.

Упражнение 11.17. Убедитесь, что эта композиция и в самом деле рациональна.

Таким образом, любая гладкая коника может быть с сохранением двойного отношения отож-дествлена с проективной прямой, и по предл. 10.2 на стр. 186 любые два таких отождествления

1Обратите внимание что написанная в формуле (11-7) параметризация коники Веронезе отличаетсяот той, что была вформ. (11-4) на стр. 196: параметризация (11-7) является композицией квадратичноговложения Веронезе ℙ( ∗) ↪ ℙ( ∗), ( ) ↦ ( ), из формулы (11-4) и предыдущего изоморфизмадвойственных прямых ℙ( ) ⥲ ℙ( ∗), ( ∶ ) ↦ ( ∶ − ).

2См. теор. 10.2 на стр. 183.


отличаются на гомографию этой прямой. В частности, на гладкой конике имеются внутренниеоднородные координаты, которые переносятся с ℙ при помощи произвольной сохраняющейдвойные отношения биекции ℙ ⥲ , и любые две таких координатных системы получаютсядруг из друга линейным проективным преобразованием.


Гладкая коника , проходящая через пять точек , , … , , никакие три из которых не кол-линеарны, представляет собою ГМТ , таких что в пучке прямых с центром в двойное отно-шение четырёх прямых ( , ), ⩽ ⩽ , равно двойному отношению четырёх прямых ( , ),

⩽ ⩽ , в пучке прямых с центром в точке .

Доказательство. Из упр. 11.16 вытекает, что все точки ∈ обладают этим свойством. Длялюбой другой точки , обладающей этим свойством, обозначим через конику, проходящуючерез точки , , , и . Отображение ∶ × → × из пучка прямых с центром в точкев пучок прямых с центром в , переводящее прямую ( ) в прямую ( ) для всех ∈ , биек-тивно и рационально, а значит является гомографией. Гомография переводит три прямые( ), ⩽ ⩽ , в три прямые ( ), ⩽ ⩽ . Поскольку [( , ), ( , ), ( , ), ( , )] == [( , ), ( , ), ( , ), ( , )], прямая ( ) переходит в прямую ( ), откуда ∈ .Но единственная коника, проходящая через пять точек , , … , , это коника . Поэтому

= и ∈ . �Упражнение 11.18. Пусть никакие три из пяти различных точек , , , , ∈ ℙ не коллине-

арны. Обозначим через ∶ × → × единственную гомографию пучка прямых с центром вв пучок прямых с центром в , переводящую прямые ( ), ( ), ( ) в прямые ( ), ( ),

( ) соответственно. Опишите ГМТ пересечения ℓ ∩ (ℓ) по всем ℓ ∈ ×.

11.4.2. Гомографии на гладкой конике. Биективное преобразование ∶ ⥲ гладкойконики называется гомографией, если оно сохраняет двойные отношения. Это равносильнотому, что во внутренних однородных координатах на преобразование линейно, а такжетому, что при какой-либо (а следовательно, и при любой) сохраняющей двойное отношениебиекции ∶ ⥲ ℙ преобразование − ∶ ℙ ⥲ ℙ является гомографией на ℙ . Потеор. 10.2 любое биективное (всюду или за исключением конечного множества точек) отобра-жение ∶ → , которое во внутренних однородных координатах на конике задаётся рацио-нальнойформулой вида ( ∶ ) = ( � ( ∕ ) ∶ ( ∕ )) �, где , ∈ 𝕜[ ], является гомогра-фией. Для любых двух упорядоченных троек различных точек на гладкой конике существуетединственная гомография ⥲ , переводящая первую тройку точек во вторую с сохранениемпорядка.


Каждая гомография ∶ ⥲ гладкой коники ⊂ ℙ однозначно продолжается до линейногопроективного автоморфизма ∶ ℙ ⥲ ℙ , ограничение которого на совпадает с , и наобо-рот, любой линейный проективный автоморфизм ∶ ℙ ⥲ ℙ , переводящий конику в себя,задаёт на ней гомографию.

Доказательство. Выберем на конике пять точек , , … , , и пусть ( ) = . Существуетединственный линейный проективный автоморфизм ∶ ℙ ⥲ ℙ , такой что ( ) = при

⩽ ⩽ . Поскольку он сохраняет двойные отношения в пучках прямых, двойное отношениечетырёх прямых ( , ), ⩽ ⩽ , в пучке × равно двойному отношению четырёх прямых

11.4. Внутренняя геометрия гладкой коники 203

( , ), ⩽ ⩽ , в пучке ×. Последнее двойное отношение равно двойному отношениючетырёх прямых ( , ), ⩽ ⩽ , из того же пучка, т. к. отображение ∶ ⥲ , ↦ , яв-ляется гомографией и сохраняет определённое в начале n∘ 11.4.1 двойное отношение точек наконике. Таким образом, для любых пяти точек , , … , ∈ двойные отношения прямыхпроходящих через точки , , , в пучках прямых с центрами в точках и ( ) рав-ны другу. По предл. 11.7 ( ) ∈ , что доказывает первое утверждение предложения. Второеутверждение вытекает из упр. 11.16. �

Пример 11.6 (инволюции)

Гомография ∶ → называетсяинволюцией, если она обратна самой себе, т. е. = Id . Тож-

𝑠

𝑝

𝑞

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝜎𝜎

𝐶

Рис. 11⋄10. Инволюция на конике.

дественная инволюция = Id называется тривиальной. Пусть точки , , , на коникеразличны и инволюция ∶ → переставляет одно-

имённые точки ↔ и ↔ как на рис. 11⋄10.Обозначим точку пересечения прямых ( ) и ( )через . Пучок прямых с центром в задаёт биективноепреобразование ∶ ⥲ , переставляющее точки пе-ресечения коники с каждой проходящей через пря-мой.

Упражнение 11.19. Убедитесь, что это преобразованиерационально.

Следовательно, является гомографией, а значит, сов-падает с инволюцией , поскольку действует на четыреточки , , , также, как и . В частности, непо-движными точками инволюции являются две точки,образующие видимый из точки контур коники .

Таким образом, над алгебраически замкнутым по-лем 𝕜 с char(𝕜) ≠ каждая нетривиальная инволюцияна проективной прямой или на гладкой конике имеет ровно две различных неподвижных точ-ки, и для любой пары различных точек существует единственная инволюция оставляющая каж-дую из точек на месте. Геометрически, инволюция ∶ ℙ ⥲ ℙ с неподвижными точками

, ∈ ℙ переставляет друг с другом такие точки , , что точки { , } и { , } коники Веро-незе ver ⊂ ℙ лежат на одной прямой с точкой { , } ∈ ℙ .

Упражнение 11.20. Убедитесь, что ( ) = для точек , ∉ { , } , если и только если[ , , , ] = − , и напишите явную формулу для координат неподвижных точек , инво-люции , если известны координаты точек , , ( ), ( ) и все эти точки различны.

Пример 11.7 (перекрёстная ось гомографии на конике)

Гомография ∶ → , переводящая три различные точки , , ∈ в точки , , ∈является композицией проекций ∶ → ℓ и ∶ ℓ → , где прямая ℓ соединяет точки пе-ресечения ( ) ∩ ( ) и ( ) ∩ ( ) пар перекрёстных прямых на рис. 11⋄11. Посколькунеподвижные точки гомографии суть точки пересечения ℓ∩ , прямая ℓ не зависит от выбораточек , , ∈ , а имеет либо ровно две неподвижные точки, либо ровно одну, и послед-нее означает, что прямая ℓ касается коники в этой неподвижной точке. Таким образом, пря-мая ℓ представляет собой ГМТ пересечения всех перекрёстных прямых ( , ( )) ∩ ( , ( )), где

≠ независимо пробегают конику . Отсюда получается ещё одно доказательство теоремы


Паскаля: три точки пересечений пар противоположных сторон вписанного в шестиугольника, будучи точками пересечений перекрёстных прямых гомографии, которая пере-

водит точки , , в точки , , , лежат на перекрёстной оси ℓ этой гомографии.

a1

a2

c1

c2

b1

b2

x

ϕ(x)

p = ϕ(p)q = ϕ(q)ℓ

Рис. 11⋄11. Перекрёстная ось гомографии на конике.

Перекрёстная ось гомографии ∶ → легко строится одной линейкой, если известно дей-ствие на какие-нибудь три точки. Это позволяет одной линейкой построить образ ( ) любойточки ∈ , а также указать неподвижные точки гомографии . В частности, две касательныек гладкой конике ⊂ ℙ , опущенные из заданной точки ∈ ℙ , тоже можно построить однойлинейкой, найдя неподвижные точки инволюции ∶ → , задаваемой пучком прямых сцентром в , см. рис. 11⋄12. Более простое построение можно извлечь из упр. 11.21.

p

p

ℓ(p)

C

Рис. 11⋄12. Построение касательных. Рис. 11⋄13. Построение поляры.

Упражнение 11.21 (построение Штейнера). Обоснуйте показанное на рис. 11⋄13 построение1

одной линейкой поляры ℓ( ) данной точки относительно данной коники .

Пример 11.8 (пары коммутирующих инволюций)

Две сопряжённые относительно гладкой коники ⊂ ℙ точки , ∈ ℙ ∖ задают на кони-ке коммутирующие друг с другом инволюции , ∶ ⥲ , см. рис. 11⋄14. В самом деле,

1Принадлежащее Якобу Штейнеру (1796 – 1863), см. Я. Штейнер. «Геометрические построения, вы-полняемые с помощьюпрямой линии и неподвижного круга», Харьковская математическая библиотека,Харьков, (или любое другое издание).

11.5. Квадратичные поверхности 205

запараметризуем пучок прямых с центром в точками полярной к прямой ℓ и рассмотримна нём инволюцию ∶ ℓ ⥲ ℓ с неподвижными точками и , отвечающими прямой ( )и полярной к точке прямой ℓ , как на рис. 11⋄14. Точки , ∈ ℓ находятся в инволюции ,если и только если они гармоничны точкам , . Пусть прямая ( ) пересекает конику в точке

′. Тогда на прямой ( ′) точки и ′ = ( ′) ∩ ℓ гармоничны точкам и ′ = ( ) ∩ ( ), по-скольку четвёрка точек , ′, ′, ′ является образом четвёрки точек , , , при перспективе

∶ ℓ ⥲ ( ′). С другой стороны, по предл. 11.2 на стр. 194 сопряжённые друг другу отно-сительно коники точки и ′ прямой ( ′) гармоничны точкам пересечения этой прямой сконикой . Поэтому отличная от ′ точка пересечения прямой ( ′) с коникой совпадает с ′.Таким образом, любые две пары находящихся в инволюции точек коники одновременноявляются и двумя парами точек, находящихся в инволюции , см. рис. 11⋄14.

𝑎 𝑏

𝑝𝑐

𝑑𝑝

𝑑

𝑐

ℓ

ℓ

𝐶

Рис. 11⋄14. Инволюции с центрами в сопряжённых точках перестановочны.

Упражнение 11.22. Убедитесь, что и наоборот, центры , ∈ ℙ любых двух перестановочныхдруг с другом инволюций , ∶ ⥲ гладкой коники ⊂ ℙ сопряжены друг другуотносительно .

11.5. Квадратичные поверхности. Квадрики в ℙ = ℙ( ), где dim = , образуют проектив-ное пространство ℙ = ℙ( ∗). Поэтому любые точек в ℙ лежат на некоторой квадрике.В частности, любые три прямые в ℙ лежат на квадрике, проходящей через три тройки раз-личных точек, выбранных каждая на своей прямой. Над алгебраически замкнутым полем естьровно четыре проективно не конгруэнтных друг другу квадрики:

• двойная плоскость = (ранг )

• распавшаяся квадрика1 + = (ранг )

• простой конус2 + + = (ранг )

1Или объединение двух плоскостей = ± , т. е. линейное соединение особой прямой ( , ) ипары точек ( ∶ ± ∶ ∶ ), образующих гладкую квадрику на дополнительной прямой ( , ), ср. стеор. 11.2 на стр. 191.

2Или линейное соединение одной особой точки с гладкой коникой в дополнительной плоскости.


• гладкая квадрика + + + = (ранг ).

Упражнение 11.23. Покажите, что особая квадрика в ℙ над произвольным полем 𝕜 не можетсодержать трёх попарно не пересекающихся прямых и выведите отсюда, что любые тритакие прямые в ℙ лежат на гладкой квадрике.

11.5.1. Квадрика Сегре. Удобной геометрической моделью гладкой квадрики в ℙ являет-ся квадрика Сегре в проективном пространстве ℙ = ℙ (Mat × (𝕜)), состоящая из ненулевыхматриц ранга и задаваемая квадратным уравнением det( ) = . Она называется квадрикойСегре и обозначается

≝ {�( ) ≠ |� det ( ) = − = ��}� . (11-8)

С каждым ненулевым линейным оператором ∶ → ранга связаны единственный сточностью до пропорциональности вектор ∈ , порождающий одномерный образ опера-тора , и однозначно определяемый оператором и вектором ковектор ∈ ∗, такой что

( ) = ( ) ⋅ для всех ∈ . Ядро оператора совпадает с ядром функционала ∶ → 𝕜,и при умножении вектора на , функционал умножается на − . В этой ситуации мы пи-шем, что = ⊗ , и говорим, что оператор является тензорным произведением вектора иковектора . Любые вектор ∈ и ковектор ∈ ∗ задают линейный оператор ранга на

⊗ ∶ → , ↦ ⋅ ( ) . (11-9)

В ситуации, когда = 𝕜 , а и имеют в стандартных двойственных базисах пространств 𝕜и 𝕜 ∗

координаты = ( ∶ ) и = ( ∶ ), матрица оператора ⊗ имеет вид

( ) ⋅ ( ) = ( ) (11-10)

Сопоставляя паре точек ( , ) ∈ ℙ× ×ℙ = ℙ( ∗)×ℙ( ) одномерное подпространство в End( ),натянутое на оператор (11-9) с матрицей (11-10), мы получаем вложение Сегре

∶ ℙ× × ℙ ↪ ℙ = ℙ(�End ( )) � ,

которое биективно отображает ℙ× × ℙ на квадрику Сегре ⊂ ℙ и переводит два семейства«координатныхпрямых»наℙ××ℙ в два семействапрямыхна , поскольку длякаждого ∈ ℙ×

прямая ×ℙ изобразится на квадрике Сегре проективизацией двумерного пространства мат-риц ранга с фиксированным отношением = ( ∶ ) между столбцами, а для каждого

∈ ℙ прямая ℙ× × изобразится матрицами с фиксированным отношением = ( ∶ )между строками. Все прямые в каждом из этих двух семейств попарно не пересекаются друг сдругом, а любые две прямые из разных семейств пересекаются, причём каждая точка квадрики

является точкой пересечения единственной пары прямых из различных семейств. Никакихдругих прямых на квадрике Сегре нет, т. к. проходящая через произвольную точку ∈ ицеликом лежащая на квадрике прямая содержится в пересечении ∩ , которое пред-ставляет собою плоскую конику, а значит, полностью исчерпывается парой проходящих черезпрямых из описанных выше двух семейств.

11.6. Подпространства, лежащие на квадриках 207


Над алгебраически замкнутым полем1 через любые три попарно не пересекающиеся прямые вℙ проходит единственная, автоматически гладкая квадрика. Она является объединением всехпрямых, пересекающих каждую из трёх заданных.

Доказательство. Поскольку ни на одной из перечисленных в начале n∘ 11.5 особых квадрик надалгебраически замкнутым полем нет трёх попарно не пересекающихся прямых, любая квадри-ка , проходящая через такие прямые, автоматически является гладкой, т. е. проективно кон-груэнтна квадрике Сегре и заметается двумя семействами прямых. Три заданные прямые, бу-дучи попарно не пересекающимися, принадлежат одному из этих семейств, и любая прямая извторого семейства пересекает каждую из них. С другой стороны, любая прямая, пересекающаякаждуюиз трёх данныхимеет три разных точкина квадрике ипоэтому лежитнанейцеликом,т. е. является одной из прямых второго семейства. �

Упражнение 11.24. Покажите, что касательное пространство к квадрике Сегре в точке ⊗состоит из таких линейных операторов ∶ → , что (Ann ) ⊂ 𝕜 ⋅ .

11.6. Подпространства, лежащие на квадриках. Размерность максимального по включениюпроективного пространства, целиком лежащего на квадрике ⊂ ℙ , называется планарно-стью квадрики . Планарность пустой квадрики по определению равна − . Таким образом, -планарные квадрики суть непустые квадрики, не содержащие прямых.

Лемма 11.2

Планарность гладкой квадрики ⊂ ℙ над произвольным полем 𝕜, char𝕜 ≠ , не превышаетполовины размерности квадрики , т. е. не больше целой части [( − )∕ ].

Доказательство. Пусть ℙ = ℙ( ), dim = + , и = ℙ( ) ⊂ = ( ), где ∈ ∗.Поскольку ограничение формы на подпространство ⊂ тождественно нулевое, операторкорреляции ∶ → ∗ переводит подпространство внутрь подпространства Ann( ) ⊂ ∗.В силу невырожденности формы этот оператор инъективен, откуда

dim( ) = dim ( ) ⩽ dim Ann = dim − dim .

Таким образом, dim ⩽ dim , т. е. dim ⩽ − . �

Лемма 11.3

Сечение гладкой квадрики произвольной гиперплоскостью либо является гладкой квадри-кой в гиперплоскости , либо имеет единственную особую точку ∈ ∩ . Последнее равно-сильно тому, что = касается квадрики в точке .

Доказательство. Пусть = ( ) ⊂ ℙ( ) и = ℙ( ). Первое утверждение вытекает из вклю-чения ker | ⊂ − (Ann ) и равенства dim − (Ann ) = dim Ann = dim − dim = .Пусть ker | ≠ порождается ненулевым вектором . Тогда ∈ ∩ и Ann ( ( )) = , отку-да = . Наоборот, если = = ℙ (Ann ( )), то ∈ Ann ( ) лежит в ядре ограниченияоператора на подпространство Ann . �

1Ниже мы увидим, что это условие можно существенно ослабить. Скажем, над полем ℝ предл. 11.9тоже верно.



Над произвольным полем 𝕜 с char𝕜 ≠ проективные подпространства размерности , ле-жащие на -мерной гладкой квадрике ⊂ ℙ + и проходящие через заданную точку ∈ ,биективно соответствуют всевозможным ( − )-мерным проективным подпространствам ′,лежащим на ( − )-мерной гладкой квадрике ′

− = ℙ − ∩ , которую квадрика высекаетиз произвольной не проходящей через точку гиперплоскости ℙ − ⊂ .

Доказательство. Всякая -мерная плоскость ⊂ , проходящая через точку ∈ , лежит в пе-ресечении ∩ . Согласно лем. 11.3 это пересечение является особой квадрикой с единствен-ной особой точкой , а значит, по теор. 11.2 на стр. 191 представляет собою конус с вершинойв точке над гладкой квадрикой ′, которая высекается квадрикой из любой не проходящейчерез гиперплоскости ⊂ . Поэтому ( − )-мерная плоскость ′ = ∩ = ∩ ′ ле-жит на ′. Наоборот, линейное соединение точки с произвольной ( − )-мерной плоскостью

′ ⊂ ′ содержит и лежит в . �


Мощность множества -мерных плоскостей, лежащих на гладкой квадрике и проходящих че-рез заданную точку ∈ , одинакова для всех точек ∈ . В частности, через каждую точкугладкой -планарной квадрики можно провести лежащую на квадрике -мерную плоскость.

Доказательство. Если , ∈ и ∉ , то = ∩ одновременно является не про-ходящей через гиперплоскостью в и не проходящей через гиперплоскостью в . Попредл. 11.10 множество проходящих через точку -мерных плоскостей, лежащих на , и мно-жество проходящих через точку -мерных плоскостей, лежащих на , оба находятся в би-екции с множеством всех ( − )-мерными плоскостей, лежащих на гладкой квадрике ∩в . Тем самым, эти два множества равномощны. Если ∈ , рассмотрим любую точку

∈ ∖ ( ∪ ). По уже доказанному, множество -мерных плоскостей, лежащих на ипроходящих через точку , равномощно и такому же множеству плоскостей, проходящих через, и такому же множеству плоскостей, проходящих через . �


Гладкая -мерная квадрика ⊂ ℙ + над алгебраически замкнутым полем [ ∕ ]-планарна.

Доказательство. Это так при = , , . Поскольку все гладкие -мерные квадрики над алгеб-раически замкнутымполемпроективно конгруэнтны, общий случайполучается из предл. 11.10по индукции. �

§12. Пространства со скалярным произведением

В этом параграфе мы продолжаем по умолчанию считать, что char(𝕜) ≠ .

12.1. Скалярныепроизведения.Будемназывать скалярным произведениемна конечномерномвекторном пространстве над произвольным полем 𝕜 любую невырожденную симметричнуюбилинейную форму ∶ × → 𝕜. Напомню, что невырожденность равносильна выполнениюлюбого из следующих эквивалентных условий:

(1) матрица Грама = ( ( , )) какого-нибудь (а значит, и любого) базиса пространстваневырождена

(2) оператор корреляции ∶ ⥲ ∗, сопоставляющий вектору ∈ функционал скаляр-ного умножения на этот вектор ( )∶ ∗ → 𝕜, ↦ ( , ), является изоморфизмом

(3) оператор сюрьективен, т. е. ∀ ∈ ∗ ∃ ∈ ∶ ( ) = ( , ) для всех ∈

(4) оператор инъективен, т. е. ∀ ненулевого ∈ ∃ ′ ∈ ∶ ( ′, ) ≠ .

Упражнение 12.1. Убедитесь, что эти свойства действительно равносильны друг другу, и длялюбого базиса , , … , в пространстве со скалярным произведением существуетединственный ортогонально двойственный базис ×, ×, … , ×, такой что

( , ×) ={

при =при ≠ ,

� (12-1)

причём разложения любого вектора ∈ по эти базисам имеют вид

= ∑=

( , ×) ⋅ = ∑=

( , ) ⋅ × . (12-2)

Лемма 12.1

Если ограничение ∶ × → 𝕜 симметричной билинейной формы1 ∶ × → 𝕜 наподпространство ⊂ невырождено, то = ⊕ ⊥, где ⊥ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = }.

Доказательство. Поскольку корреляция ∶ ⥲ ∗ биективна, для каждого вектора ∈существует единственный такой вектор ∈ , что ( , ) = ( , ) для всех ∈ , т. е.

− ∈ ⊥. Тем самым, любой вектор ∈ однозначно записывается как = + ⊥ с∈ и ⊥ = − ∈ ⊥. �12.1.1. Ортогональные разложения и ортогональные проекции. Прямое разложение из

лем. 12.1 называется ортогональным разложением. Оно имеется для любого подпространства⊂ , на котороеформа ограничивается невырождено2. Невырожденностьформы на всём

пространстве в этом случае равносильна невырожденности её ограниченияна ⊥. Компонен-ты ∈ и ⊥ ∈ ⊥ произвольного вектора = + ⊥ ∈ называются ортогональными

1Которая не предполагается невырожденной.2Не следует думать, что ограничение скалярного произведения на подпространство невырождено.

Оно может оказаться даже тождественно нулевым, см. прим. 12.1 на стр. 210 ниже.

209

210 §12Пространства со скалярным произведением

проекциями вектора на подпространства и ⊥. Первая из них однозначно характеризуетсятем, что ( , ) = ( , ) для всех ∈ . Если задана пара ортогонально двойственных другдругу базисов , , … , и ×, ×, … , × подпространства , то по формуле (12-2)

= ∑=

( , ×) ⋅ = ∑=

( , ×) ⋅ .

Из любых двух пространств , со скалярными произведениями , можно изготовитьпространство ⊕ и снабдить его таким скалярным произведением, для которого слагае-мые ортогональны друг другу и которое ограничивается на и в и . Это скалярноепроизведение обозначается ∔ и задаётся формулой

[ ∔ ] ( �( , ), ( , )) � ≝ ( , ) + ( , ) .

Его матрица Грама в любом базисе, первые dim векторов которого образуют базис в сматрицей Грама , а последние dim векторов — базис в с матрицей Грама , имеетблочный вид

( ) .

Пространство ⊕ со скалярным произведением ∔ обозначается ∔ и называетсяортогональной прямой суммой пространств и .

12.2. Изотропные и анизотропные подпространства. Ненулевой вектор ∈ называет-ся изотропным, если ( , ) = . Подпространство ⊂ называется анизотропным, если внём нет изотропных векторов. Скалярное произведение называется анизотропным, если ани-зотропно всё пространство . Например, евклидово скалярное произведение на вещественномвекторном пространстве анизотропно. Поскольку для анизотропной формы выполняется усло-вие (4) со стр. 209, она автоматически невырождена. В частности, для любого анизотропногоподпространства ⊂ имеет место ортогональное разложение = ⊕ ⊥ из лем. 12.1.

Упражнение 12.2. Убедитесь, что скалярное произведение с матрицей Грама на двумерномпространстве 𝕜 анизотропно , если и только если − det не квадрат в 𝕜.

Подпространство ⊂ называется изотропным, если ( , ) = для всех ∈ . Поскольку

( , ) = ( + , + ) − ( − , − )

подпространство ⊂ изотропно , если и только если скалярное произведение ограничивает-ся на в тождественно нулевую форму.

Упражнение 12.3. Докажите, что dim ⩽ dim для любого изотропного подпространствав любом пространстве со скалярным произведением.

Следующий ниже пример показывает, что эта оценка является точной.

Пример 12.1 (гиперболическое пространство )

Рассмотрим -мерное векторное пространство и зададим на прямой сумме ≝ ∗ ⊕скалярное произведение формулой

( � ( , ) , ( , ) ) � = ( ) + ( ) . (12-3)

12.2.Изотропные и анизотропные подпространства 211

Иными словами, скалярное произведение вектора ∈ и ковектора ∈ ∗ равно их свёртке⟨ , ⟩ = ( ) = ev ( ), а все скалярные произведения векторов с векторами и ковекторов с ко-векторами нулевые. Последнее означает что прямые слагаемые , ∗ ⊂ являются изотроп-ными подпространствами половинной размерности. Матрица Грама формы в любом базисе( ∗, ), ( ∗, ), … , ( ∗ , ), ( , ), ( , ), … , ( , ) ∈ ∗ ⊕ , составленном из двойственныхдруг другу базисов ∗, ∗, … , ∗ ∈ ∗ и , , … , ∈ имеет блочный вид

= ( ) , (12-4)

где и суть единичная и нулевая матрицы размера × . В частности, форма симметричнаи невырождена. Базисы в с матрицей Грама (12-4) называются гиперболическими. Ортого-нальный базис в гиперболическом пространстве существует только при char(𝕜) ≠ . При-мер такого базиса доставляют векторы = + ∗ и = − ∗ со скалярными квадратами

( , ) = и ( , ) = − .

Упражнение 12.4. Постройте изометрический1 изоморфизм ∔ ⥲ ( + ).


Каждоеизотропноеподпространство впространстве со скалярнымпроизведением содер-жится в некотором гиперболическом подпространстве ⊂ размерности dim = dim .При этом любой базис подпространства можно дополнить до гиперболического базиса про-странства .

Доказательство. Рассмотрим произвольный базис , , … , в , дополним его до базисав и обозначим через ×, ×, … , × первые векторов ортогонально двойственного базиса.Тогда

( , ×) ={

при =при ≠ ,

� (12-5)

и эти соотношения ортогональности не нарушаются при добавлении к любому из векторов ×

любой линейной комбинации векторов . Заменим каждый из векторов × на вектор

= × − ∑ ( ×, ×) ⋅ .

Векторы , , … , по-прежнему удовлетворяют соотношениям (12-5) и вдобавок

( , ) = ( ×, ×) − ( ×, ×) − ( ×, ×) = ,

т. е. векторов , , ⩽ , ⩽ , образуют гиперболический базис своей линейной обо-лочки, которую мы и возьмём в качестве . �

Теорема 12.1

Каждое пространство со скалярным произведением распадается в прямую ортогональнуюсумму = ⊕ ⊥ , второе слагаемое которой = ⊥ анизотропно (при этом = и

= тоже допускаются).

1Т. е. сохраняющий скалярные произведения векторов.


Доказательство. Индукция по dim . Если анизотропно (что так при dim = ), доказыватьнечего. Если есть ненулевой изотропный вектор ∈ , то по предл. 12.1 он лежит в некоторойгиперболической плоскости ⊂ , и по лем. 12.1 = ⊕ ⊥. По индукции, ⊥ = ⊕ ,где = ⊥ анизотропно. Поэтому = + ⊕ . �

Замечание 12.1. В теор. 12.4 на стр. 215 мы увидим, что разложение из теор. 12.1 единственнов следующем смысле: если = ∔ = ∔ , где и анизотропны, то = исуществует изометрический изоморфизм ⥲ .


Всякая квадратичная форма над произвольным полем 𝕜 c char𝕜 ≠ в подходящих координа-тах записывается в виде + + + + ⋯ + + ( + , + … , ), где = rk( ) и

( ) ≠ при ≠ . �


Cледующие свойства пространства со скалярным произведением эквивалентны:

1) изометрически изоморфно гиперболическому пространству

2) является прямой суммой двух изотропных подпространств

3) dim чётна, и в имеется изотропное подпространство половинной размерности.

Доказательство. Импликация (1)⇒(2) очевидна. Пусть выполнено (2). По упр. 12.3 размер-ность каждого из из двух изотропных прямых слагаемых не превышает половины размерно-сти , что возможно только если обе эти размерности равны dim . Тем самым, (2)⇒(3). Попредл. 12.1 на стр. 211 каждое изотропное подпространство размерности dim содержитсяв гиперболическом подпространстве размерности dim , которое таким образом совпадает совсем , что даёт импликацию (3)⇒(1). �

12.3. Изометрии. Линейное отображение ∶ → между пространствами и со ска-лярными произведениями и называется изометрическим, если для всех , ∈ вы-полняется равенство ( , ) = ( � ( ), ( )) �. Изометричность линейного эндоморфизма

∶ → пространства со скалярным произведением означает, что матрица опреатора, записанная в базисе с матрицей Грама , удовлетворят соотношению

⋅ ⋅ = . (12-6)

Поскольку det ≠ , мы заключаем, что и det ≠ . В частности, каждый изометрическийизометрический оператор обратим, причём матрица обратного оператора имеет вид

− = − . (12-7)

Тем самым,изометрические эндоморфизмыпространства со скалярнымпроизведением об-разуют группу. Она называется ортогональной группой или группой изометрий и обозначаетсяO( ) или O ( ), если важно указать, какое именно скалярное произведение имеется в виду.

12.3.Изометрии 213

Пример 12.2 (изометрии вещественной гиперболической плоскости)

Оператор ∶ → , имеющий в стандартном гиперболическом базисе , ∗ ∈ матрицу

= ( ) ,

является изометрическимтогда и только тогда, когда

( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) = ( ) ,

что равносильно уравнениям = = и + = , имеющим два семейства решений:

= ( − ) и = ( − ) , где ∈ 𝕜∗ = 𝕜 ∖ { }. (12-8)

Над полем ℝ оператор является собственным, и при > называется гиперболическим по-воротом, т. к. каждый вектор = ( , ), обе координаты которого ненулевые, движется придействии на него операторов с ∈ ( , ∞) по гиперболе = const. Если положить = иперейти к ортогональному базису из векторов = ( + ∗)∕√ , = ( − ∗)∕√ , операторзапишется в нём матрицей, похожей на матрицу евклидова поворота1:

(∕√ ∕√∕√ − ∕√ )

⋅ ( − ) ⋅(

∕√ ∕√∕√ − ∕√ )

= (ch shsh ch ) ,

где ch ≝ ( + − )∕ и sh ≝ ( − − )∕ называются гиперболическими косинусом и синусомвещественного числа . Оператор с < является композицией гиперболического поворотаи центральной симметрии2. Несобственный оператор является композицией гиперболиче-ского поворота с отражением относительно пересекающей ветви оси гиперболы.

o

σev v

e−e

e⊥

(e,v)(e,e)

· e

O

u v

u+ v

u− v

−v

Рис. 12⋄1. Отражение . Рис. 12⋄2. Отражения в ромбе.

1См. формулу (3-16) на стр. 42.2С проективной точки зрения, при проходе параметра через или через ∞ орбита перескаки-

вает через бесконечно удалённую прямую на другую ветвь той же гиперболы.


Пример 12.3 (отражение в гиперплоскости)

Всякий анизотропный вектор ∈ задаёт разложение пространства в прямую ортогональ-ную сумму = 𝕜 ⋅ ⊕ ⊥. Точно так же, как и в евклидовом случае1 назовём отражением вгиперплоскости ⊥ оператор ∶ → , тождественно действующий на ⊥ и переводящийв − , см. рис. 12⋄1. Произвольный вектор = + ⊥ ∈ переходит при этом2 в

( ) = − + ⊥ = − = − ( , )( , ) ⋅ (12-9)

Упражнение 12.5. Убедитесь, что ∈ O ( ) и = Id , и докажите для любых изометрии∈ O( ) и анизотропного вектора ∈ равенство ∘ ∘ − = ( ).

Лемма 12.2

В каждом пространстве со скалярным произведением для любых двух различных анизо-тропных векторов , с равными скалярными квадратами ( , ) = ( , ) ≠ существуетотражение, переводящее либо в , либо в − .

Доказательство. Если и коллинеарны, то искомым отражением является = . Еслии не коллинеарны, то хотя бы одна из двух диагоналей + , − натянутого на них ромба(см. рис. 12⋄2) анизотропна, поскольку эти диагонали ортогональны:

( + , − ) = ( , ) − ( , ) = ,

и их линейная оболочка содержит анизотропные векторы , . Тем самым, хотя бы одно из от-ражений − , + определено. При этом − ( ) = , а + ( ) = − . �

Упражнение 12.6. Проверьте, последние равенства.

Теорема 12.2

Всякая изометрия -мерного пространства со скалярным произведением является композици-ей не более чем отражений.

Доказательство. Индукция по . Ортогональная группа одномерного пространства состоит изтождественного оператора и отражения − . Пусть > и ∶ → — изометрия. Вы-берем в какой-нибудь анизотропный вектор и обозначим через отражение, переводящее

( ) в или в − . Композиция переводит в ± , а значит, переводит в себя ( − )-мернуюгиперплоскость ⊥. По индукции, действие на ⊥ является композицией не более −отражений в гиперплоскостях внутри ⊥. Продолжим их до отражений всего пространства ,добавив в зеркало каждого отражения вектор . Композиция полученных отражений совпадаетс на гиперплоскости ⊥, а её действие на либо такое же, как у (при ( ) = ), либоотличается от него знаком (при ( ) = − ). Поэтому , как оператор на всём пространстве, есть композиция построенных − отражений и, возможно, ещё одного отражения в ги-

перплоскости ⊥. Следовательно, = это композиция не более отражений. �Упражнение 12.7. Покажите, что в анизотропном пространстве в условиях лем. 12.2 всегда

найдётся отражение, переводящее в точности в , и выведите отсюда, что любая изомет-рия -мерного анизотропного пространства является композицией не более отражений.

1См. n∘ 7.1.1 на стр. 107.2Ср. с форм. (7-2) на стр. 107.

12.3.Изометрии 215

Теорема 12.3 (лемма Витта)

Пусть четыре пространства , , , со скалярными произведениями таковы, что неко-торые два из трёх пространств , ∔ , изометрически изоморфны соответствующейпаре пространств из тройки , ∔ , . Тогда оставшиеся третьи элементы троек тожеизометрически изоморфны.

Доказательство. Если есть изометрические изоморфизмы ∶ ⥲ и ∶ ⥲ , тоих прямая сумма ⊕ ∶ ∔ → ∔ , ( , ) ↦ ( ( ), ( )), является требуемымизометричеким изоморфизмом. Оставшиеся два случая симметричны, и мы разберём один изних. Пусть имеются изометрические изоморфизмы

∶ ⥲ и ∶ ∔ ⥲ ∔ ,

Изометрический изоморфизм ∶ ⥲ строится индукцией по dim = dim . Если про-странство одномерно с базисом , то вектор анизотропен. Поэтому векторы ( ) и ( , )тоже анизотропны и имеют одинаковые скалярные квадраты. Обозначим через отражениепространства ∔ , переводящее ( , ) в ( �± ( ), ) �. Композиция

∶ ∔ ⥲ ∔

изометрично отображает одномерное подпространство первой суммы на одномерное под-пространство второй, а значит, изометрично отображает ортогональное дополнение к впервой сумме на ортогональное дополнение к во второй, что и даёт требуемый изоморфизм

| ∶ ⥲ . Пусть теперь dim > . Выберем в любой анизотропный вектор ирассмотрим ортогональные разложения

∔ = 𝕜 ⋅ ∔ ⊥ ∔ и ∔ = 𝕜 ⋅ ( ) ∔ ( )⊥ ∔ ,

в которых ⊥ ⊂ и ( )⊥ ⊂ означают ортогональные дополнения к анизотропным векто-рам и ( ) внутри и соответственно. Так как пространства𝕜⋅ и𝕜⋅ ( )изометрическиизоморфны, по уже доказанному существуют изометрии

′ ∶ ⊥ ⥲ ( )⊥ и ′ ∶ ⊥ ∔ ⥲ ( )⊥ ∔ ,

к которым применимо индуктивное предположение. �

Теорема 12.4

Построенное в теор. 12.1 разложение пространства со скалярным произведением в прямуюортогональную сумму гиперболического и анизотропного подпространств единственно в томсмысле, что для любых двух таких разложений = ∔ = ∔ имеет место равенство

= и существует изометрический изоморфизм ≃ .

Доказательство. Пусть ⩾ , так что = ∔ ( − ). Тождественное отображениеId ∶ → задаёт изометрический изоморфизм ∔ ⥲ ∔ ( − ) ∔ . По лемме Виттасуществует изометрическийизоморфизм ⥲ ( − )∔ . Так как анизотропно, ( − ) =(иначе в будет ненулевой изотропный вектор), откуда = и ≃ . �


Если скалярное произведение на пространстве невырожденно ограничивается на подпро-странства , ⊂ и существует изометрический изоморфизм ∶ ⥲ , то он продол-жается (неоднозначно) до такого изометрического автоморфизма ∈ O( ), что | = .


Доказательство. Если есть хоть какой-нибудь изометрический изоморфизм ∶ ⊥ ⥲ ⊥, тоизометрия = ⊕ ∶ ⊕ ⊥ ⥲ ⊕ ⊥, ( , ′) ↦ ( � ( ′), ( ′)) � является требуемымавтоморфизмом пространства . В силу сделанных предположений имеются изометрическиеизоморфизмы ∶ ⊕ ⊥ ⥲ , ( , ′) ↦ + ′, и ∶ ⊕ ⊥ ⥲ , ( , ′) ↦ ( ) + ′.Композиция − ∶ ⊕ ⊥ ⥲ ⊕ ⊥ тоже изометрический изоморфизм. Так что по леммеВитта1 ортогоналы ⊥ и ⊥ изометрически изоморфны. �


Для каждого натурального в диапазоне ⩽ ⩽ dim ∕ группа изометрий O( ) транзитивнодействует на -мерных изотропных и -мерных гиперболических подпространствах в .

Доказательство.Утверждениепро гиперболическиеподпространства вытекает непосредствен-но из сл. 12.3, а про изотропные— получается из него применением предл. 12.1. �


Группа линейных проективных автоморфизмовℙ ⥲ ℙ , переводящих в себя гладкую квадри-ку ⊂ ℙ транзитивно действует на лежащих на линейных подпространствах любой фикси-рованной размерности (в частности, на точках квадрики). �


Планарность гладкой проективной квадрики = ( ) ⊂ ℙ на единицу меньше половины раз-мерности гиперболического слагаемого в разложении из теор. 12.1 на стр. 211 для простран-ства со скалярным произведением . �

12.4. Вещественныеквадратичныеформы.Из теоремыЛагранжа2 вытекает, что любая квад-ратичнаяформана вещественномвекторомпространстве в подходящембазисе записываетсяв виде

( ) = + + ⋯ + − + − + − ⋯ − + . (12-10)

Для этого надо перейти к базису с диагональной матрицей Грама и поделить каждый базисныйвектор с ( ) ≠ на √| ( )|. Числа и в представлении (12-10) называются положи-тельным и отрицательным индексами инерции, а упорядоченная пара ( , ) — сигнатуройвещественной квадратичной формы . Сумма + = rk равна рангу формы и не зави-сит от выбора базиса. Форма корректно задаёт невырожденную квадратичную форму red нафактор пространстве = ∕ ker , поскольку ( + , + ) = ( , ) для любых

, ∈ ker . В представлении (12-10) ядро ker совпадает с линейной оболочкой всех ба-зисных векторов с номерами > + , не задействованными в формуле (12-10), классыостальных базисных векторов по модулю ker образуют базис пространства , и в этом бази-се форма red записывается в точности формулой (12-10). Заменяя на , а на red, будемсчитать форму = red невырожденной, а dim = + . Тогда каждая пара отличающихсязнаком квадратов − + в формуле (12-10), где ⩽ ⩽ min( , ), отвечает двумерному под-пространству с базисом , + , которое является гиперболической плоскостью с гиперболиче-

ским базисом ( ± + )∕√ , а всё пространство раскладывается в прямую ортогональнуюсумму min( , ) таких плоскостей и анизотропного подпространства натянутого на остальные

1См. теор. 12.3 на стр. 215.2См. теор. 11.1 на стр. 190.

12.4. Вещественные квадратичные формы 217

базисные векторы,формана которомявляется суммойквадратов координат при > иминуссуммой квадратов координат при < . При = форма (12-10) гиперболическая.

Мы заключаем, что разность − в формуле (12-10) также не зависит от выбора базиса, вкоторомформа имеет такойвид, ипо абсолютнойвеличинеравнаразмерности анизотропнойкомпоненты скалярного произведения , причём при − > эта анизотропная компонентаевклидова (форма на ней положительно определена), а при − < антиевклидова (с орица-тельно определённым скалярным произведением). В частности, для любого ∈ ℕ над полемℝимеются, с точностью до изометрии, ровно два анизотропных -мерных пространства со ска-лярнымпроизведением: евклидово, с положительноопределённымскалярнымпроизведением,и антиевклидово, с отрицательно определённым скалярным произведением. Разность −называется индексом квадратичной формы . Произвольные две вещественные квадратичныеформы тогда и только тогда переводятся друг в друга обратимой линейной заменой координат,когда они имеют одинаковый ранг и индекс или, что то же самое, одинаковые сигнатуры.

12.4.1. Отыскание сигнатуры. Зафиксируем в базис и обозначим через ⊂ линей-ную оболочку первых базисных вектров , , … , , а через их определитель Грама, т. е.главный угловой × минор матрицы Грама выбранного базиса, сосредоточенный в первыхстроках и первых столбцах, и рассматриваемый по модулю умножения на ненулевые поло-

жительные числа (ненулевые квадраты поля ℝ). Если он нулевой, ограничение | особо, и вчастности, обладает изотропными векторами. Если ограничение | неособо, то = (− ) ,где показатель равен отрицательному индексу инерции ограниченной формы | . Если впоследовательность , , … , dim не встречается большого числа следующих подряд нулей,то читая её слева направо, можнопроследить изменение индексаформы | припереходе отк + и/или появление гиперболического слагаемого при переходе от к + , что позволяетэффективно определить индекс.

Например, пусть < , = , > , = , = , < . Поскольку форма |особа, пространство является прямой ортогональной суммой отрицательной анизотропнойпрямой ℝ и изотропной прямой. Поскольку ограничение на неособо, ортогональное до-полнение к внутри тоже неособо и содержит изотропный вектор. Поэтому оно являетсягиперболическойплоскостью, а = ℝ ⊕ . Обратите внимание, что в этом случае обязанотличаться знаком от , что мы и наблюдаем1.

Упражнение 12.8. Пусть − ≠ , = и + ≠ . Покажите, что − + < и + =− ⊕ .

Итак, ограничение | имеет сигнатуру ( , ). Те же аргументы показывают, что ограничениеформы на ⊥ невырождено и содержит изотропный вектор, а значит имеет сигнатуру ( , ) или( , ). Поскольку знаки у и противоположны, имеет место первое, и полная сигнатурана ℝ равна ( , ) + ( , ) = ( , ). Примером такой формы является форма с матрицей Грама

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−

−

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1А квадратичных форм с < , = и < просто не существует!


Если все ≠ , все ограничения | неособы, и соседние миноры , + различаются зна-ком , если и только если отрицательный индекс инерции + = + . Поэтому полный отри-цательный индекс инерции в этом случае равен числу перемен знака в последовательности

, , , … , dim . Это наблюдение обычно называют законом инерции.

12.4.2. Вещественные проективные квадрики. Поскольку над полем ℝ при каждом на-туральном есть единственная с точностью до изометрии и умножения на константу анизо-тропная форма ( , , … , ) = + + ⋯ + , любая гладкая вещественная квадрика вℙ + = ℙ (ℝ + ) в подходящих однородных координатах задаётся уравнением

+ + ⋯ + + = + + + + ⋯ + + , (12-11)

в котором − ⩽ ⩽ ∕ . Мы будем обозначать такую квадрику , и называть -мерной и-планарной. Квадратичная форма (12-11) имеет сигнатуру ( + − , ), индекс + − ,

размерность её гиперболической компоненты равна + , а её максимальные изотропныевекторные подпространства ( + )-мерны. Поэтому гладкая вещественная квадрика опреде-ляется числами , однозначно с точностью до проективной конгруэнтности, и при ⩾ всеквадрики , попарно проективно не конгуэнтны друг другу. Все (− )-планарные квадрики

,− , задаваемые анизотропными уравнениями + + ⋯ + = , пусты. В ортогональномбазисе уравнение квадрики , принимает вид

+ + ⋯ + = + + + + ⋯ + + .

Гиперболические координаты связаны с ортогональными координатами формулами

= + + , + = + − при ⩽ ⩽ и = при + ⩽ ⩽ + .

Квадрики = + + ⋯ + планарности называются эллиптическими. Эллиптическаяквадрика не содержит проективных подпространств положительной размерности. Все квадри-ки планарности и выше принято называть гиперболическими, хотя, в строгом смысле слова,гиперболическими квадратичными формами среди них задаются только квадрики , .

Упражнение 12.9. Покажите, что пересечение гладкой вещественной -планарной квадрики

, с касательной гиперплоскостью является конусом над гладкой квадрикой − , −планарности − .

12.5. Аффинные квадрики.Пусть основное поле 𝕜 бесконечно, и char𝕜 ≠ . Множество точек

= ( ) = { ∈ 𝔸( ) | ( ) = } ,

задаваемое в аффинном пространстве ⊂ 𝔸( ) неоднородным многочленом второй степени

= + + , где ∈ 𝕜 , ∈ ∗ , ∈ ∗ ,

называется аффинной квадрикой. Две аффинных квадрики , ⊂ 𝔸( ) называются аффинноэквивалентными, если они переводятся одна в другую некоторым аффинным автоморфизмом

∶ 𝔸( ) ⥲ 𝔸( ). Рассмотрим векторное пространство = 𝕜 ⊕ размерности + dim иобозначим через = ( , ) ∈ базисный вектор дополнительного одномерного слагаемого.Через ∈ ∗ обозначим такой базисный ковектор в аннуляторе Ann ⊂ ∗, что ( ) = .Вложим 𝔸( ) в ℙ( ) в качестве стандартной аффинной карты = = + ⊂ и

12.5. Аффинные квадрики 219

рассмотрим проективное замыкание1 = = ( ) ⊂ ℙ( ) аффинной квадрики ⊂ ,задаваемое однородным квадратичным многочленом

= = ⋅ + ⋅ + ∈ ∗ . (12-12)

Тогда ( + ) = ( ) для всех ∈ , т. е. ∩ = . Квадратичнаяформа (12-12), рассматрива-емая с точностью до умножения на ненулевую константу, называется расширенной квадратич-ной формой аффинной квадрики . Например, расширенной формой окружности + =является однородная квадратичная форма − + + . Обозначим через

∞ ≝ Ann( ) = ℙ( ) ⊂ ℙ( )

бесконечно удалённую гиперплоскость карты . Проективная квадрика

∞ ≝ ∩ ∞ = ∖ ⊂ ℙ( )

называется асимптотической квадрикой аффинной квадрики of . Она задаётся в ℙ( ) = ∞однородной компонентой второй степени | = ∈ ∗ неоднородного многочлена , за-дающего аффинную квадрику . Изучение аффинных квадрик с точностью до аффинной кон-груэртности равносильно изучению лежащих в проективном пространстве пар «проективнаяквадрика + гиперплоскость , такая что ⊄ и ⊄ » с точностью до их проективнойконгруэнтности.


Пусть непустые аффинные квадрики ′ = ( ′), ″ = ( ″) ⊂ 𝔸( ) имеют проективные за-мыкания ′ = ( ′), ″ = ( ″) ⊂ ℙ( ). Тогда ′ и ″ аффинно конгруэнтны , если и толькоесли существует такой линейный проективный изоморфизм ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ), что ( ′) = ″

и ( ∞) = ∞.

Доказательство. Всякий аффинный автоморфизм ∶ ⥲ имеет вид

+ ↦ ( ) + ∀ ∈ , (12-13)

где ( ) ∈ , а дифференциал2 ∶ ⥲ является линейным изоморфизмом. Тогда ли-нейное отображение ∶ ⥲ , задаваемое в терминах разложения = 𝕜 ⊕ блочнойматрицей

( ( ) ) ∶ ( ) ↦ ( ( ) + ) , (12-14)

где ∈ 𝕜 и ∈ , переводит в себя подпространство ⊂ , гиперплоскость ℙ( ) ⊂ ℙ( )и аффинную карту , причём | = . Наоборот, всякий проективный автоморфизм ∶ℙ( ) ⥲ ℙ( ), задаваемый линейным автоморфизмом ∶ ⥲ и переводящий в себягиперплоскость ℙ( ) ⊂ ℙ( ), действует на = 𝕜⊕ блочной матрицей вида

( ) ,

1См. n∘ 10.2.1 на стр. 177.2См. n∘ 2.1 на стр. 24.


где ∈ 𝕜, , ∈ , ∈ , ∈ End . Поскольку обратим, ≠ и ∈ GL( ). Если, неменяя проективного преобразования , перескалировать линейный изоморфизм так, чтобы

= , получится в точности матрица вида (12-14), отображающая аффинную карту в себя идействующая на ней аффинным автоморфизмом (12-13) с ( ) = . Таким образом, аффинныеавтоморфизмы пространства 𝔸( ) это в точности проективные автоморфизмы пространстваℙ( ), переводящие в себя бесконечно удалённую гиперплоскость ∞ = ℙ( ) ⊂ ℙ( ). Еслитакой проективный автоморфизм ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ) переводит ′ в ″, то его ограничение на

= ℙ( ) ∖ ∞ переводит ′ = ′ ∖ ∞ в ″ = ″ ∖ ∞. Наоборот, если ( ′ ∖ ∞) = ″ ∖ ∞,то проективные квадрики ( ′) и ″ совпадают друг с другом всюду вне гиперплоскости ∞.Идущая ниже лем. 12.3 утверждает, что тогда они совпадают вообще всюду. �

Лемма 12.3

Пусть гиперплоскость ⊂ ℙ и непустая квадрика ⊂ ℙ над бесконечным полем 𝕜 таковы,что ⊄ и ⊄ . Тогда пересечение ∩ однозначно определяется дополнением ∖ .

Доказательство. При = это следует из прим. 11.1 на стр. 190. Пусть ⩾ и = ( ). Еслигладкая, в дополнении ∖ есть + точки, никакие + из которых не лежат в одной

гиперплоскости1. По ним однозначно восстанавливается поляритет2 ∶ ℙ( ) → ℙ( ∗), а темсамым, иматрица Грамаформы с точностью до пропорциональности. Если квадрика особа,но имеет гладкую точку ∈ ∖ , рассмотрим любое дополнительное к Sing проективноеподпространство ∋ . По теор. 11.2 на стр. 191 квадрика является линейным соединениемвершинного подпространства Sing и непустой гладкой квадрики ′ = ∩ ∋ . По уже до-казанному, пересечение ′ ∩ ′ этой квадрики с гиперплоскостью ′ = ∩ в пространствеоднозначно определяется дополнением ′ ∖ ′. Пересечение Sing ∩ также однозначно

восстанавливается по ∖ , поскольку каждая прямая ( , ) с ∈ Sing ∩ лежит на и всеточки этой прямой кроме точки лежат в ∖ . Тем самым, и пересечение ∩ , являющеесялинейным соединением ′∩ cSing ∩ , тоже однозначно восстанавливается по дополнению

∖ . Если же все точки дополнения ∖ особы, то все точки пересечения ∩ тоже особы,т. к. в противном случае точки любой лежащей на прямой ( ), соединяющей гладкую точку

∈ ∩ с особой точкой ∈ ∖ , все кроме являются гладкими и все кроме не лежатв . Тем самым, квадрика = Sing вся особа и является не содержащимся в гиперплоско-сти проективным подпространством. Его собственное проективное подпространство ∩однозначно восстанавливается как линейная оболчка дополнения ∖ . �Аффинные квадрики ⊂ 𝔸( ) разбиваются на четыре класса: гладкие центральные квадрики,параболоиды, простые конусыицилиндры, в соответствии с тем гладкиилинетиз проективныезамыкания = ⊂ ℙ( ) и асимптотические квадрики ∞ = ∩ ∞ = ∖ ⊂ ℙ( ).

12.5.1. Гладкие центральные квадрики. Если обе квадрики и ∞ гладкие, аффиннаяквадрика называется гладкой центральной. В этом случае бесконечно удалённая гиперплос-кость ∞ не касается квадрики и полюс гиперплоскости ∞ относительно находится ваффинной карте и не лежит на квадрике. Он называется центром аффинной квадрики ,ибо квадрика центрально симметрична относительно : на любой проходящей через пря-мой, пересекающей квадрику в точках , , а гиперплоскость ∞ —в точке , по предл. 11.2

1См. упр. 11.12 на стр. 195.2См. n∘ 11.2.1 на стр. 193.


на стр. 194 выполняется равенство [ , , , ] = − , означающее, что точка является центромточек , .

На языке уравнений, квадрика = ( + + ) центральна , если и только если её рас-ширенная квадратичная форма = + + и квадратичная однородная компонента

обе имеют ненулевые определители Грама. Если поместить начало аффинной координатнойсистемы в центр квадрики, а в качестве базиса в взять ортогональный базис формы , ли-нейная форма в многочлене занулится, а свободный член , напротив, будет ненулевым.


Сокращая на , приводим уравнение квадрики к виду

+ + ⋯ + = . (12-15)

Над алгебраически замкнутым полем 𝕜 это уравнение перескалированием переменных упро-щаятся до + + ⋯ + = . Таким образом, над алгебраически замкнутым полем все глад-кие центральные аффинные квадрики аффинно конгруэнтны. Над полем ℝ уравнение (12-15)упрощается до

+ ⋯ + − + − ⋯ − + = ± , где ⩾ , + = (12-16)

где при = = ∕ в правой части всегдаможно поставить1 + . Среди квадрик (12-16) имеет-ся ровно одна пустая. Она задаётся уравнением ∑ = − и называется мнимым эллипсоидом.Также имеется ровно одна непустая квадрика без точек на бесконечности. Она задаётся урав-нением ∑ = , имеет нулевую планарность = и называется эллипсоидом. Все остальныеквадрики имеют непустую асимптотическую квадрику ∞ = ∩ ∞ ≠ ∅ и называются гипер-болоидами. При > и правой части + проективное замыкание квадрики (12-16) имеетсигнатуру ( , + ) и планарность . При > иправой части − квадрика имеет сиг-натуру ( , ) и ( − )-планарна. При = = ∕ квадрика имеет планарность ∕ .Таким образом -планарные квадрики (12-16) исчерпываются эллипсоидом и двуполостнымгиперболоидом + ⋯ + − = − .

Упражнение 12.11. Убедитесь, что двуполостный гиперболоид имеет две компоненты связно-сти, тогда как все остальные квадрики (12-16) связны.

Асимптотическая квадрика ∞ = ∩ ∞ аффинной квадрики (12-16) задаётся в том же базисепространства ∞ = ℙ( ) уравнением

+ ⋯ + − + − ⋯ − + =

и при любом выборе знака в правой части(12-16) является -планарной. Таким образом, всеаффинные квадрики (12-16) попарно аффинно не конгруэнтны.

12.5.2. Параболоиды. Аффинная квадрика = ( ) называется параболоидом, если онаимеет гладкое проективное замыкание , касающееся бесконечно удалённой гиперплоскости

∞ в некоторой точке ∈ ∞ = ∞ ∩ . Последнее означает2, что ∞ = , а асимптоти-ческая квадрика ∞ имеет ровно одну особую точку — точку . На языке уравнений, квадрика

1При = = ∕ смена знака у обоих частей и перенумерация переменных превращает уравнение(12-16) с правой частью − в в уравнение с правой частью + .

2См. лем. 11.3 на стр. 207.


= ( ) является параболоидом , если и только если её расширенная квадратичная форма= + + невырождена, а однородная квадратичная компонента вырождена.Изотропный вектор содержится в некой гиперболической плоскости ⊂ и включается

в гиперболический базис , этой плоскости. Так как ∉ ⊥ = = Ann , значение ( ) ≠ ,и базис , можно перескалировать в гиперболический базис = , = − плоскости

так, чтобы ( ) = . Дополняя векторы , до базиса в векторами , , … , − ,составляющими ортогональный базис ортогонального дополнения ⊥ к плоскости в , мыпреобразуем однородное уравнение квадрики к виду

+ + ⋯ + − − =

Так как ⊥ ⊂ ⊥ = имеет коразмерность в , векторы , , … , составляют базис про-странства . В аффинной системе координат на с таким базисом и началом в точке ∈аффинное уравнение квадрики имеет вид

+ + ⋯ + − − = . (12-17)

Над алгебраически замкнутым полем это упрощается до + + ⋯ + − = , и мы за-ключаем, что все параболоиды над алгебраически замкнут полем аффинно конгруэнтны. Надполем ℝ уравнение (12-17) преобразуется к виду

+ ⋯ + − + − ⋯ − + = , где ⩾ , + = − . (12-18)

Параболоид (12-18) имеет планарность . Поэтому при разных параболоиды (12-18) аффинноне конгруэнтны. Нуль-планарный параболоид + ⋯ + − = называется эллиптическим,а все остальные— гиперболическими.

12.5.3. Простые конусы. Аффинная квадрика = ( ) называется простым конусом, еслиеё проективное замыкание особо, а асимптотическая квадрика ∞ гладкая. На языке уравне-ний это означает что расширенная квадратичная форма имеет нулевой определитель Грама, аоднородная компонента второй степени— ненулевой.

Упражнение 12.12. Убедитесь, что когда проективное замыкание ⊂ ℙ( ) особо, гладкостьквадрики ∞ = ∩ ∞ равносильна тому, что Sing ∩ ∞ = ∅.

Так как ∞ имеет коразмерность вℙ( ), из упр. 12.12 вытекает, что dim Sing = , т. е. квад-рика имеет ровно одну особую точку , и она лежит в аффинной карте . Помещая в неёначало аффинной координатной системы и беря в качестве базиса в ортогональный базис(невырожденной) квадратичной формы , получаем для аффинной квадрики уравнение

+ + ⋯ + = , (12-19)

одновременно являющееся и однородным уравнением асимптотической квадрики ∞ ⊂ ℙ( ).Над алгебраически замкнутым полем уравнение (12-19) приводится к виду

+ + ⋯ + = . (12-20)

Тем самым, все простые конусы над алгебраически замкнутым плем аффинно конгруэнтны.Над полем ℝ уравнение (12-19) приводится к виду

+ ⋯ + = + + ⋯ + + , где ⩾ и + = . (12-21)


Это однородное уравнение задаёт в ℙ( ) поективную квадрику планарности − . Поэтомуаффинный конус (12-21) -планарен. В частности, все конусы (12-21) попарно аффинно неконгруэнтны друг другу. Обратите внимание, что при = аффинный конус (12-21) состоитиз единственной точки— начала координат.

12.5.4. Цилиндры. Афинная квадрика = ( ) называется цилиндром, если и её проек-тивное замыкание и асимптотичесая квадрика ∞ обе особы. Согласно упр. 12.12, это авто-матически означает, что Sing ∩ ∞ ≠ ∅. В терминах уравнений, цилиндры характеризуютсязанулениемопределителейГрамарасширеннойквадратичнойформы иквадратичной состав-ляющей многочлена , задающего аффинную квадрику. Если выбрать в базис , , … ,так, чтобывекторы с > составилибазис в ker ∩ , то уравнение аффиннойквадрикиквад-рики не будет зависеть от последних − координат. Поэтому любой цилиндр является пря-мым произведением аффинного пространства𝔸 − , параллельного последним − базиснымвекторам, и не имеющей особенностей на бесконечности аффинной квадрики в пространстве𝔸 , принадлежащей к одному из уже рассмотренных выше трёх типов.

Пример 12.4 (вещественные аффинные кривые второй степени)

Полный список непустых аффинных «кривых второй степени» в ℝ с точностью до аффиннойконгруэнтности таков:

∘ эллипс + = , гладкая центральная квадрика с пустой асимптотической квадрикойна бесконечно удалённой прямой =

∘ гипербола − = , гладкая с центральная квадрика, асимптотическая проективнаяквадрика которой состоит из двух точек ( ∶ ∶ ), ( ∶ ∶ ) на бесконечно удалённойпрямой =

∘ парабола = , касающаяся бесконечно удалённой прямой = в точке ( ∶ ∶ )

∘ двойная точка + = , простой конус над гладкой пустой квадрикой на бесконечноудалённой прямой =

∘ пара пересекающихся прямых − = , простой конус над гладкойнепустой квадрикойна бесконечно удалённой прямой =

∘ пара параллельных прямых = , цилиндр над гладкой непустой аффинной квадрикойв 𝔸

∘ двойная прямая = , циллиндр над двойной точкой в 𝔸 .

Все три непустые гладкие квадрики: эллипс, гипербола, и парабола, являются различными аф-финными кусками одной и той же гладкой вещественной проективной коники Веронезе сигна-туры ( , ).

Пример 12.5 (вещественные аффинные квадратичные поверхности)

Полный список непустых аффинных «квадратичных поверхностей» в ℝ вдвое длиннее преды-дущего списка кривых. Он состоит из семи цилиндров над всеми предыдущими «кривыми вто-рого порядка». Эти цилиндры задаются ровно теми же уравнениями, но только в простран-стве ℝ с координатами ( , , ), и называются, соответственно, элиптическим, гиперболи-ческим и параболическим цилиндрами, двойной прямой, парой пересекающихся и парой па-раллельных плоскостей и двойной плоскостью.


Кроме семи цилиндров есть три гладких центральных поверхности:

∘ эллипсоид + + = , являющийся изображением -планарной проективной квад-рики сигнатуры ( , ) в аффинной карте, бесконечно удалённая плоскость = кото-рой не пересекается с квадрикой; эллипсоид компактен и -планарен (см. рис. 12⋄4)

∘ двуполостный гиперболоид + = − , изображение той же самой проективнойквадрики сигнатуры ( , ) в аффинной карте, бесконечно удалённая плоскость =которой пересекает квадрику по конике Веронезе; двуполостный гиперболоид -плана-рен и имеет две компоненты связности (см. рис. 12⋄5)

∘ однополостный гиперболоид + = + , аффинное изображение проективной квад-рики Сегре сигнатуры ( , ) в аффинной карте, бесконечно удалённая плоскость =которой пересекает квадрику Сегре по конике Веронезе; однополостный гиперболоидсвязен, -планарен и заметается двумя семействами прямых (см. рис. 12⋄6)

Рис. 12⋄3. Гиперболический цилиндр− = .

Рис. 12⋄4. Эллипсоид + + = .

Рис. 12⋄5. Гиперболоид + = − . Рис. 12⋄6. Гиперболоид + = + .

два параболоида:


∘ эллиптический параболоид + = , изображение -планарнойпроективнойквадри-ки сигнатуры ( , ) в аффинной карте, бесконечно удалённая плоскость = которойкасается квадрики в точке ( ∶ ∶ ∶ ) и больше нигде с ней пересекается; эллиптиче-ский параболоид -планарен (см. рис. 12⋄7)

∘ гиперболический параболоид − = , изображение проективной квадрики Сегресигнатуры ( , ) в аффинной карте, бесконечно удалённая плоскость = которой ка-сается квадрики в точке ( ∶ ∶ ∶ ), высекая из неё пару пересекающихся в точкекасания прямых = ± ; гиперболический параболоид -планарен и заметается двумясемействами прямых (см.рис. 12⋄9)

Рис. 12⋄7. Параболоид + = . Рис. 12⋄8. Конус − = .

и два простых конуса над двумя различными гладкими вещественными проективными коника-ми:

∘ двойная точка + + = , конус над пустой коникой

∘ эллиптический конус − = , конус над кникой Веронезе (см. рис. 12⋄8)

Итого, различных непустых фигур.

Рис. 12⋄9. Гиперболический параболоид − = .


12.6. Линейныеоператорынапространстве со скалярнымпроизведением.Рассмотримвек-торное пространстве над произвольным полем 𝕜, char(𝕜) ≠ , со скалярным произведением,которое обозначим через

( ∗ , ∗ ) ∶ × → 𝕜 , , ↦ ( , ) , (12-22)

и изоморфизмом корреляции ∶ ⥲ ∗, переводящим вектор ∈ в ковектор

( ) ∶ → 𝕜 , ↦ ( , ) .

Каждому линейному оператору ∶ → сопоставим билинейную форму

∶ × → 𝕜 , ( , ) ≝ ( , ) .

Упражнение 12.13. Проверьте, что матрица Грама формы выражается через матрицуоператора и матрицу Грама скалярного произведения (12-22) по формуле = , аоператор корреляции ∶ ↦ (∗ , ) равен композиции = .

Поскольку корреляция и матрица обратимы, сопоставление ↦ устанавливает линей-ный изоморфизммежду векторными пространствами линейных операторов ∶ → и били-нейныхформ × → 𝕜: билинейнаяформа с операторомкорреляции ∶ ⥲ ∗ иматрицейГрама получается из единственного оператора = − ∶ → с матрицей = − . Еслибилинейная форма ∶ × → 𝕜 симметрична, оператор ∶ → удовлетворяет при всех

, ∈ равенствам ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ). Наоборот, если

∀ , ∈ ( , ) = ( , ) , (12-23)

то билинейная форма ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) симметрична. Опе-раторы ∶ → , обладающие свойством (12-23), называются автодуальными или самосо-пряжёнными относительно скалярного произведения (12-22). Матрица такого оператора иматрица Грама скалярного произведения (12-22) связаны соотношением = .

Лемма 12.4

Если автодуальный линейный оператор ∶ → переводит в себя некоторое подпростран-ство ⊂ , то он переводит в себя и его ортогонал ⊥ = { ∈ | ∀ ∈ ( , ) = }.

Доказательство. Пусть ∈ ⊥, т. е. ( , ) = для всех ∈ . Тогда ( , ) = ( , ) = длявсех ∈ , т. к. ∈ . Тем самым, ∈ ⊥. �

Упражнение 12.14.Покажите, что собственные векторы с разными собственными значениямиу автодуального оператора ортогональны друг другу.


Если характеристический многочлен автодуального линейного оператора ∶ → полно-стью раскладывается в поле 𝕜 на линейные множители и все ненулевые собственные векторыоператора анизотропны, то в пространстве имеется ортогональный базис из собственныхвекторов оператора .

12.6. Линейные операторы на пространстве со скалярным произведением 227

Доказательство. Индукция по dim . Если оператор является умножением на скаляр (что такпри dim = ), то подойдёт любой ортогональный базис пространства . Пусть dim > иоператор не скалярен. Поскольку характеристический многочлен det( − ) имеет корни в𝕜, у оператора есть ненулевое собственное подпространство = { ∈ | = } ⊊ .По условию леммы, оно анизотропно, и значит, скалярное произведение ограничивается нанего невырождено. Поэтому = ⊕ ⊥, и ограничение скалярного произведения на ⊥ то-же невырождено. По лем. 12.4 оператор переводит подпространство ⊥ в себя. Тем самым,характеристический многочлен оператора раскладывается в произведение характеристиче-скихмногочленов ограничений | и | ⊥ . Попредположениюлеммыив силу единственностиразложения на множители в𝕜[ ], оба они полностью раскладываются на линейные множителив поле𝕜. По индуктивному предположению в подпространстве ⊥ есть ортогональный базис изсобственных векторов оператора . Добавляя к нему любой ортогональный базис собственногопространства , получаем нужный базис в . �

12.6.1. Автодуальные операторы на евклидовом пространстве. Если основное поле 𝕜 == ℝ, а скалярное произведение на пространстве евклидово, условия предл. 12.3 выполняютсядля любого автодуального оператора.

Лемма 12.5

Характеристическиймногочлен самосопряжённогооператорана евклидовомпространствепол-ностью раскладывается на линейные множители над полем ℝ.

Доказательство. Индукция по dim . Если dim = , доказывать нечего. Если dim = , опе-ратор задаётся в ортонормальном базисе симметричной матрицей

= = ( ) .

Её характеристический многочлен det( − ) = − ( + ) ⋅ + ( − ) имеет неотрицатель-ный дискриминант ( + ) − ( − ) = ( − ) + и вещественные корни. При dim >по лем. 7.1 на стр. 108 в имеется одномерное или двумерное подпространство ⊂ , котороепереводится оператором в себя. По лем. 12.4 его ортогональное дополнение ⊥ также перехо-дит в себя под действием , а значит, = | ⋅ | ⊥ . Первый характеристический многочленполностью раскладывается на линейные множители над ℝ по уже доказанному, второй — попредположению индукции. �

Теорема 12.5 (теорема о нормальном базисе)

Любая квадратичная форма на евклидовом пространстве имеет в подходящем ортонор-мальном базисе пространства диагональную матрицу Грама. Её диагональные элементы сточностью до перестановки не зависят от выбора базиса и равны собственным числам тогоединственного автодуального оператора ∶ → , для которого ( ) = ( , ). Если всеэти собственные числа различны, ортонормальный базис, в котором матрица Грама формыдиагональна, единственен с точностью до перестановки базисных векторов и замены их на-правлений на противоположные.

Доказательство. По предл. 12.3 в есть ортонормальный базис из собственных векторов опе-ратора .Матрица Грамаформы в любомортонормальномбазисе совпадает с матрицей опе-ратора . В ортонормальном базисе из собственных векторов она диагональна, причём на её


диагонали стоят собственные числа оператора , и каждое собственное число присутствуетстолько раз, какова кратность корня в характеристическом многочлене оператора . Поэто-му с точностью до перестановки диагональных элементов такая матрица не зависит от выборанормального базиса. Если все диагональные элементы различны, каждое собственное подпро-странство оператора одномерно, все они ортогональны друг другу по упр. 12.14, и нормаль-ные базисные векторы с точностью до знака задаются как векторы единичной длины, порож-дающие эти подпространства. �

12.6.2. Евклидовы квадрики. В евклидовом пространстве перечисленные в n∘ 12.5 клас-сы аффинно конгруэнтных квадрик расщепляются дальше на классы евклидово конгруэнтныхквадрик. Две квадрикиназываются евклидово конгруэнтными, если онипереводятся одна в дру-гую движением евклидова пространства. По теор. 12.5 любая квадратичная форма на евклидо-вом пространстве в подходящем ортонормальном базисе записывается в виде

( ) = + + ⋯ + , (12-24)

где = rk , а коэффициенты не зависят от выбора ортонормального базиса, в котором фор-ма имеет вид (12-24), и являются таким образом инвариантами формы относительно ев-клидовых изометрий. Они совпадают с собственными числами матрицы − , где и сутьматрицыГрама евклидова скалярного произведения и квадратичнойформы в одноми томжепроизвольном базисе пространства . Ортонормальный базис, в которомформа приобретаетвид (12-24), называется нормальным базисом формы .

Если квадрика = ( ) гладкая центральная, то её уравнение в аффинной системе коор-динат с началом в центре квадрики и таким базисом в , который является нормальным дляасимптотической квадратичной формы , имеет вид1

+ ⋯ + − + − ⋯ − + = ± , (12-25)

где , > , ⩾ , + = , и при = = ∕ в правой части стоит + . Такая квад-рика получается из квадрики (12-16) растяжением вдоль её нормальных осей с коэффициен-тами , , … , , , , … , . Эти коэффициенты называются вещественными и мнимымиполуосями гладкой центральной квадрики. Две аффинно конгруэнтных гладких центральныхквадрики евклидово конгруэнтны , если и только если они имеют одинаковые наборы веще-ственных и мнимых полуосей.

Если квадрика = ( ) является параболоидом2, и её проективное замыкание = каса-ется бесконечно удалённой гиперплоскости ∞ = ℙ( ) в точке , обозначим через ⊂ ℙ( ) по-ляру точки относительно евклидова поляритета на ℙ( ), задаваемого евклидовой корреляци-ей ⥲ ∗. Подпространство имеет коразмерность в ℙ( ). Полярная к нему относительноквадрики = ⊂ ℙ( ) прямая ℓ называется осью параболоида . Кроме бесконечно удалён-ной точки , ось пересекает параболоид ещё одной точке = ℓ∩ , которая лежит в аффиннойчасти и называется вершиной параболоида. Поместим начало аффинной системы координат ввершину параболоида, направим -туюкоординатнуюось вдоль оси параболоида3, а в качествепервых − координатных осей выберемнормальные оси ограничения = | ⊥ квадратичнойформы , задающей квадрику , на евклидово ортогональное дополнение ⊥ ⊂ к вектору

1См. n∘ 12.5.1 на стр. 220.2См. n∘ 12.5.2 на стр. 221.3Т. е. вдоль вектора ∈ .

12.6. Линейные операторы на пространстве со скалярным произведением 229

в пространстве . В этой прямоугольной системе координат уравнение параболоида прини-мает вид

+ ⋯ + − + − ⋯ − + = , (12-26)

где слева стоит представление (12-24) для ограничения квадратичной формы на простран-ство ⊥, числа , > , ⩾ и + = − . Квадрика (12-26) получается растяжениемквадрики (12-18) вдоль её нормальных осей с коэффициентами , . Как и в случае гладкойцентральной квадрики, эти коэффициенты называются полуосями параболоида. Два аффинноконгруэнтных параболоида евклидово конгруэнтнытогда и только тогда, когда у них одинако-вые наборы полуосей.

Полуосями конусов и цилиндров называют полуоси гладких квадрик, служащих их осно-ваниями. Они также доставляют полную систему евклидовых инвариантов соответствующихаффинных квадрик.

§13. Дальнейшие вариации на темы квадрик

13.1. Квадрика Плюккера и прямые в ℙ𝟑. Множество всех векторных подпространств раз-мерности в заданном векторном пространстве называется грассманианом и обозначаетсяGr( , ). Для -мерного координатного пространства = 𝕜 обозначение Gr( ,𝕜 ) сокраща-ется до Gr( , ). Например, двойственные друг другу проективные подпространства ℙ и ℙ×

суть грассманианы Gr( , + ) = ℙ и Gr( , + ) = ℙ×. Простейший грассманиан, не явля-ющийся проективным пространством, это грассманиан Gr( , ) = Gr( , ) двумерных вектор-ных подпространств в четырёхмерном векторном пространстве ≃ 𝕜 или, что то же самое,множество всех прямых в трёхмерном проективном пространстве ℙ = ℙ( ).

13.1.1. Плюккерово вложение. Грассманиан Gr( , ) вкладывается в проективное прост-ранство1 ℙ( ) при помощи отображения Плюккера

𝕡 ∶ Gr( , ) ↪ ℙ( ) , ↦ , (13-1)

переводящего -мерное подпространство ⊂ в одномерное подпространство ⊂ .Если порождается векторами , , … , , то с точностью до пропорциональности

𝕡( ) = ∧ ∧ ⋯ ∧ .

Переход к другому базису подпространства , состоящему из векторов = ∑ , заменяетграссманов моном ∧ ∧ ⋯ ∧ на пропорциональный моном2

∧ ∧ ⋯ ∧ = det ( ) ⋅ ∧ ∧ ⋯ ∧ .

Образ плюккерова вложения состоит из всех однородных грассмановых многочленов -тойстепени ∈ , которые раскладываются в произведение линейных множителей. Та-кие многочлены называются разложимыми. Множество всех разложимых грассмановых мно-гочленов в описывается системой однородных квадратичных соотношений Плюккера3.При = они выглядят особенно просто благодаря следующей кососимметричной версиитеоремы о диагонализации квадратичной формы.

Упражнение 13.1 (теорема Дарбу). Убедитесь, что любой однородный грассманов многочленвторой степени над произвольным полем 𝕜 в подходящем базисе , , … , простран-ства принимает вид ∧ + ∧ + ⋯ + − ∧ .

Лемма 13.1

Грассманова квадратичная форма ∈ разложима в произведение двух линейных форм ,если и только если ∧ = в .

Доказательство. Если = ∧ , то ∧ = ∧ ∧ ∧ = . Пользуясь упр. 13.1,запишем произвольную квадратичную форму ∈ в надлежащем базисе , , … , ввиде = ∧ + ∧ + ⋯ . Если слагаемых больше одного, ∧ = ∧ ∧ ∧ + ⋯ ≠ .Поэтому такая форма не разложима. �

1Здесь и далее = ⨁ = обозначает пространство грассмановых многочленов от векторов, , … , какого-либо базиса в , см. n∘ 5.6 на стр. 84.2См. n∘ 5.6.1 на стр. 86.3См., например, Предложение 2.4 на стр. 29 лекции

http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-3/1415/lec-02.pdf.

230


13.1. Квадрика Плюккера 231

13.1.2. Плюккерова квадрика. Если dim = , то dim = и условие разложимости излем. 13.1 превращается в одно квадратное уравнение на форму ∈ . А именно, зададимбилинейную форму на так, чтобы для всех , ∈ выполнялось равенство

∧ = ( , ) ⋅ ∧ ∧ ∧ , (13-2)

где , , , — произвольный базис в . Разложимые грассмановымногочлены ∈ сутьизотропные векторы этой формы. Они образуют в ℙ = ℙ( ) квадрику квадрику Плюккера

= ( ) = { ∈ | ∧ = } . (13-3)

Упражнение 13.2. Убедитесь, что форма , задаваемая равенством (13-2), билинейна, сим-метрична и невырождена, а при выборе другого базиса в она умножается на ненулевуюконстанту. Напишите её матрицу Грама в базисе из бивекторов = ∧ .

Из упражнения вытекает, что в координатах относительно базиса из бивекторов = ∧условие разложимости бивектора = ∑ принимает вид

− + = . (13-4)

При этом плюккерово вложение (13-1) переводит прямую ( ), порождённую векторами , ,строки координат которых в базисе , , , составляют × матрицу

( ) ,

в бивектор с координатами = det ( ), равными × минорам этой матрицы.

Упражнение 13.3. Убедитесь в этом и выясните, существует ли комплексная × -матрица,шесть × -миноров которой, выписанные в случайном порядке, суть а) { , , , , , }б) { , , , , , } ? Если да, то предъявите такую матрицу явно.

Лемма 13.2

Две прямые ℓ , ℓ ⊂ ℙ пересекаются , если и только если их плюккеровы образы ортогональныотносительно квадратичной формы (13-2).

Доказательство. Если ℓ ∩ ℓ = ∅, то в существует такой базис , , , , что ℓ = ( ),а ℓ = ( ). Тогда 𝕡(ℓ ) ∧ 𝕡(ℓ ) = ∧ ∧ ∧ ≠ . Если ℓ и ℓ пересекаются в точке ,то ℓ = ( ), а ℓ = ( ) для некоторых , ∈ , и 𝕡(ℓ ) ∧ 𝕡(ℓ ) = ∧ ∧ ∧ = . �


Для любой точки = 𝕡(ℓ) ∈ пересечение плюккеровой квадрики (13-3) с касательной плос-костью в точке состоит из плюккеровых образов всех прямых, пересекающих ℓ:

∩ = {𝕡(ℓ′) | ℓ′ ∩ ℓ ≠ ∅}.

232 §13Дальнейшие вариации на темы квадрик

13.1.3. Связки и пучки прямых в ℙ . Множество прямых в ℙ называется связкой, еслиего плюккеров образ является двумерной плоскостью, лежащей на квадрике Плюккера. Каждаятакая плоскость ⊂ линейно порождается тройкой неколлинеарных точек = 𝕡(ℓ ), =

, , . При этом = ∩ ∩ ∩ . По лем. 13.2 и сл. 13.1 соответствующая связкапрямых состоит из всех таких прямых, которые пересекают данные попарно пересекающиесяпрямые ℓ , ℓ , ℓ в ℙ . Три прямых в ℙ попарно пересекаются ровно в двух случаях: когда онилежат в одной плоскости или когда они проходят через одну точку. Таким образом, существуютдва геометрически разных типа связок прямых на ℙ :

-плоскость ( ) ⊂ , состоящая из всех прямых, проходящих через данную точку ∈ ℙ

-плоскость ( ) ⊂ , состоящая из всех прямых, лежащих в данной плоскости ∈ ℙ .

При этом любые две плоскости одного и тогоже типа всегда пересекаются ровно по одной точке

( ) ∩ ( ) = 𝕡 ( ∩ )( ) ∩ ( ) = 𝕡( �( )) � ,

а две плоскости различных типов ( ), ( ) не пересекаются при ∉ и пересекаются попрямой при ∈ . Последняя прямая является плюккеровым образом пучка прямых, лежащихв плоскости и проходящих через точку ∈ .

Упражнение 13.4.Покажите, что всякая прямая, лежащая на квадрикеПлюккера, является пе-ресечением -плоскости с -плоскостью, и тем самым, представляет собою пучок прямых,лежащих в некоторой плоскости и проходящих там через одну точку.

13.1.4. Клеточноеразбиениеплюккеровойквадрики.Зафиксируемкакую-нибудь допол-нительную к точке ∈ трёхмерную гиперплоскость ⊂ в четырёхмерном касательномпространстве к квадрике Плюккера ⊂ ℙ . Особая квадрика = ∩ представляетсобою простой конус с вершиной над неособой квадрикой = ∩ , изоморфной квадри-ке Сегре в ℙ . Это приводит к следующей стратификации плюккеровой квадрики замкнутымиподмножествами:

o�

�� // ∩

-

;;

� q

##

� � //

/�

??

Открытые подмножества этих стратов, дополнительные к объединению стратов меньшей раз-мерности, могут быть бирационально отождествлены с аффинными пространствами, в резуль-тате чего возникает разбиение плюккеровой квадрики дизъюнктное объединение

𝔸 ⊔ 𝔸 ⊔⎛⎜⎜⎝

𝔸⊔𝔸

⎞⎟⎟⎠

⊔ 𝔸 ⊔ 𝔸 ,


где 𝔸 = , 𝔸 = ( ∩ ) ∖ , аффинные плоскости 𝔸 суть дополнения ∖ ( ∩ ) и∖ ( ∩ ). Пространство 𝔸 = 𝔸 × 𝔸 это конус с выколотой вершиной над дополне-

нием ∖ ( ∩ ′ ) до пары пересекающихся образующих на квадрике Сегре. Это дополнениеотождествляется с 𝔸 проекцией из точки пересечения прямых на плоскость.

Упражнение 13.5. Покажите, что проекция гладкой квадрики ⊂ ℙ из любой точки ∈на произвольную гиперплоскость ∌ задаёт бирациональную биекцию между дополне-нием ∖ и аффинным пространством ∖ ≃ 𝔸 − .

По этой же причине ∖ ≃ 𝔸 .

p′

p ∈ H

G ⊂ H

H ≃ P3

πα

πβ

Рис. 13⋄1. Конус = ∩ .

Пример 13.1

Прикинем, сколько прямых пересекает четыре заданные попарно не пересекающиеся прямыеℓ ⊂ ℙ , ⩽ ⩽ . Искомое множество представляет собою пересечение квадрики Плюккераи четырёх её касательных гиперплоскостей в точках = 𝕡(ℓ ) ∈ . При достаточно общемвыборе точек , ∈ пересечение ( , ) = ∩ ∩ является гладкой квадри-кой Сегре в трёхмерном проективном пространстве ∩ . Если передвинуть прямые ℓи ℓ в ℙ так, чтобы они стали пересекаться, квадрика ( , ) выродится в объединение -плоскости ( ) и -плоскости ( ), где = ℓ ∩ ℓ ∈ ℙ , а ⊂ ℙ обозначает плос-кость, порождённую пересекающимися прямыми ℓ , ℓ . Две такие вырожденные квадрики, от-вечающие двум парам пересекающихся прямых ℓ , ℓ и ℓ , ℓ , в общем случае трансверсальнопересекаются по двум точкам: прямой ( ) и прямой ∩ , причём эти точки лежатвне множеств особых точек обеих распавшихся квадрик. Поэтому можно ожидать, что при до-статочно общем выборе прямых ℓ гладкие квадрики ( , ) и ( , ) тоже трансверсально


пересекаются по двум точкам, т. е. что при достаточно общем выборе четырёх заданных попар-но скрещивающихся прямых имеется ровно две прямые, пересекающие все четыре заданных.

Упражнение 13.6. При помощи предл. 11.9 на стр. 207 точно опишите множество прямых, пе-ресекающих данные попарно не пересекающиеся прямые в а) ℙ(ℂ ) б) 𝔸(ℂ ) в) ℙ(ℝ )г) 𝔸(ℝ ) в зависимости от расположения этих четырёх прямых. Укажите все возможныеответы и выясните, какие из них устойчивы кмалымшевелениям четырёх данных прямых.

13.1.5. Прямыевпространстве со скалярнымпроизведением.Допустим, чтона четырёх-мерном пространстве задана невырожденная квадратичная форма . Тогда она индуцируетбилинейную форму на пространстве , значение которой на парах разложимых бивекто-ров равно взаимному определителю Грама соответствующих пар векторов:

( ∧ , ∧ ) ≝ det (( , ) ( , )( , ) ( , )) . (13-5)

Упражнение 13.7. Убедитесь, что билинейная форма (13-5) симметрична и невырождена, инапишите её матрицу Грама в базисе ∧ , построенном по а) ортогональному б) гипер-болическому базису , , , формы .

Из лем. 11.1 на стр. 192 вытекает, что пересечение квадрики = ( ) ⊂ ℙ( ) с квадрикойПлюккера состоит из плюккеровых образов всех прямых ℓ ⊂ ℙ( ), касающихся квадрики

= ( ) ⊂ ℙ( ). Полярное преобразование ∶ ℙ → ℙ× относительно квадрики задаётна множестве прямых вℙ инволюцию Ходжа, которая переводит прямую ℓ = ( ) в полярнуюотносительно квадрики прямую ℓ∗ = ( )∩ ( ), где ( ), ( ) ⊂ ℙ —плоскости, полярныеточкам , . Инволюция Ходжа продолжается по линейности до инволютивного проективногоавтоморфизма ∗ ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ), задаваемого таким линейным оператором

∗ ∶ → , ↦ ∗ , что

∀ , ∈ ∧ ∗ = ( , ) ⋅ ∧ ∧ ∧ .(13-6)

Этот оператор называется звёздочкой Ходжа. Согласно n∘ 12.6 на стр. 226, плюккерово скаляр-ное произведение (13-2) задаёт биекцию между квадратичными формами и самосопряжённы-ми операторами на . Звёздочка Ходжа в этой биекции соответствует квадратичной форме

из (13-5). Действительно, соотношение (13-6) как раз и утверждает, что

( , ) = ( , ∗) (13-7)

Обратите внимание, что и плюккерово скалярное произведение на , и оператор Ходжа за-висят от выбора базиса ∧ ∧ ∧ в одномерном пространстве , но при выборе другогобазиса умножаются на одну и ту же константу, так что соотношение (13-7) имеет место прилюбом выборе базиса.

Упражнение 13.8. Убедитесь, что звёздочка Ходжа задаёт на проективном пространстве ℙ == ℙ( )нетождественнуюинволюцию, действующуюнапрямые ( ) ⊂ ℙ , порождённыевекторамипроизвольного ортогонального базисаформы в , по правилу ( )∗ = ( ℓ),где { , , , ℓ} = { , , , }.


Пример 13.2 (Сегре – Плюккер – Веронезе)

Рассмотрим четырёхмерное пространство = End( ) эндоморфизмов двумерного векторногопространства = 𝕜 и квадратичную форму = det на нём. Изотропные векторы этой квад-ратичной формы образуют в ℙ = ℙ(End( )) квадрику Сегре = { ∶ → | det = },которая заметается двумя семействами прямолинейных образующих1 и бирационально изо-морфна произведению ℙ × ℙ× = ℙ( ) × ℙ( ∗). Поляризация квадратичной формы det задаётна пространстве × матриц гиперболическое скалярное произведение

det( , ) = tr ∨ , где ( )∨

= (−

− ) (13-8)

это присоединённая матрица2 Пусть операторы , , ∗, ∗ ∶ → образуют гиперболиче-ский базис формы det в = End . Согласно упр. 13.7 звёздочка Ходжа действует на составлен-ные из них бивекторы по правилу:

∧ ∗ ↔ ∧ ∗ ,

∧ ↦ ∧ ∧ ∗ ↦ − ∧ ∗ ,∗ ∧ ∗ ↦ ∗ ∧ ∗ ∧ ∗ ↦ − ∧ ∗ .

Такимобразом, звёздочкаХоджаявляется линейнойинволюциейвекторногопространства ,которое распадается в прямую сумму = + ⊕ − двух её трёхмерных собственных подпро-странств ± = { ∈ | ∗ = ± }, отвечающих собственным числам ± и ортогональныхдруг другу относительно формыПлюккера. Проективизации этих собственных подпространствℙ( ±) образуют вℙ пару дополнительных двумерных плоскостей, поточечно неподвижных от-носительно инволюции Ходжа и трансверсально пересекающих квадрику Плюккера по двумгладким коникам, которые являются плюккеровыми образами двух семейств прямолинейныхобразующих квадрики Сегре ⊂ ℙ( ), ибо каждая лежащая на прямая автополярна отно-сительно , и наоборот, любая -автополярная прямая в ℙ = ℙ( ) с необходимостью лежитна квадрике Сегре. Состоящее из всех касательных к прямых пересечение ∩ ( det) явля-ется линейным соединением коник ∩ ℙ( ±). Отождествляя каждую из этих коник с коникойВеронезе, мы можем интерпретировать точки, лежащие в плоскостяхℙ( +) иℙ( −), как неупо-рядоченные пары точек на двойственных прямых ℙ = ℙ( ) и ℙ× = ℙ( ∗) так, что возникаеткоммутативная диаграмма

ℙ =ℙ( ) ��Веронезе

// ℙ( ∗) = ℙ( +)_�

��ℙ × ℙ×

+

OOOO

−��

Сегре

∼// ⊂ ℙEnd( ) Плюккер // ℙ ( End( )) = ℙ ( + ⊕ −)

ℙ× =ℙ( ∗) �� Веронезе // ℙ( ) = ℙ( −) ,

?�

OO

нижняя и верхняя горизонтальные стрелки которой переводят пересекающиеся в точке ⊗прямолинейные образующие ⊗ ℙ× и ℙ × квадрики , соответственно, в одномерные

1См. n∘ 11.5.1 на стр. 206.2Ср. с форм. (5-15) на стр. 80 из n∘ 5.4.2.


подпространства в End( ), натянутые на грассмановы бивекторы

( ⊗ ) ∧ ( ⊗ ) и ( ⊗ ) ∧ ( ⊗ ) ,

где , и , произвольные базисы в и ∗.

Упражнение 13.9. Убедитесь, что эти одномерные подпространства не зависят от выбора ба-зисов в и ∗ и переводятся в себя звёздочкой Ходжа.

13.2. Пучки квадрик. Прямые в пространстве ℙ( ∗) квадрик на ℙ = ℙ( ) называются пуч-ками квадрик. Такой пучок ( ) ⊂ ℙ( ∗) однозначно задаётся любой парой различных ле-жащих в нём квадрик = ( ), = ( ) и состоит из всех квадрик вида

= ( + ) = { ∈ ℙ( ) | ( ) + ( ) = } ,где = ( ∶ ) ∈ ℙ = ℙ(𝕜 ) .

(13-9)

Пересечение базисных квадрик = ∩ называется базисным множеством пучка. Посколь-ку каждая квадрикаиз пучка (13-9) проходит через , базисноемножество не зависит от выборабазисных квадрик , на прямой ( ). Многочлен

( )( , ) ≝ det( + ) ∈ 𝕜[ , ] (13-10)

называется характеристическим многочленом пучка (13-9). Это однородный многочлен степе-ни ( + ) от = ( ∶ ). В отличие от базисного множества, он зависит от выбора базисныхквадрик , , и при переходе к другим двум базисным квадрикам в том же самом пучке пе-ременные ( ∶ ) подвергаются обратимому линейному преобразованию. Поэтому алгебра-ическим инвариантом пучка является не сам многочлен (13-10), а только его класс по модулюобратимой линейной замены переменных. Пучок квадрик называется невырожденным, если внём есть хоть одна гладкая квадрика. Это означает, что характеристический многочлен (13-10)отличен от нуля хотя бы в одной точке на ℙ , и в частности, является ненулевым многочленом.Поэтому в невырожденном пучке квадрик на ℙ содержится не более ( + ) особых квадрик,причём вершинные подпространства никаких двух из них не пересекаются, поскольку вектор,лежащий в ядре сразу двух корреляций , , лежал бы и в ядре любой их линейной комбина-ции + , так что все квадрики пучка оказались бы вырождены.

13.2.1. Спектр невырожденного пучка.Множество вырожденных квадрик в невырожден-ном пучке (13-9) называется спектром этого пучка. Квадратичные формы + , задаю-щие квадрики из спектра, биективно соответствуют корням = ( ∶ ) характеристическогомногочлена (13-10). Под кратностью вырожденной квадрики, отвечающей корню многочле-на (13-10), мы всегда понимаем кратность mult( ) этого корня, т. е. максимальное ∈ ℕ, такоечто многочлен (13-10) делится на det ( , ) = ( − ) в кольце многочленов 𝕜[ , ].Удобно также считать, что все гладкие квадрики пучка имеют в нём кратность нуль. Над ал-гебраически замкнутым полем спектр любого невырожденного пучка квадрик на ℙ состоитровно из ( + ) квадрик с учётом их кратностей. Рассматриваемый как набор из + неупо-рядоченных точек на ℙ с точностью до дробно линейного автоморфизма ℙ , он не зависит отвыбора базиса в пучке.

Лемма 13.3

В невырожденном пучке квадрик кратность mult каждой особой квадрики строго большеразмерности dim Sing пространства её особых точек.

13.2. Пучки квадрик 237

Доказательство. Пусть квадрика ⊂ ℙ неособа, а пространство особых точек Sing квадрики⊂ ℙ имеетразмерностьdim Sing = . Это означает, что задающаяквадрику квадратичная

форма ∈ ∗ имеет ( + )-мерное ядро и rk = − , т. е. все миноры порядка > ( − ) веё матрице Грама нулевые. По формуле для определителя пучка матриц из прим. 5.5 на стр. 88характеристический многочлен пучка ( )

det( + ) =+

∑=

+ − ⋅ ∑# =# =

(13-11)

делится на + . Поэтому кратность задающей точки = ( ∶ ) ∈ ℙ не менее + . �13.2.2. Пример: невырожденные пучки коник. Над алгебраически замкнутым полем 𝕜

невырожденный пучок коник на ℙ = ℙ( ) может содержать , или различных особых ко-ники, а его базисное множество конечно и может состоять из , , или различных точек.Если в пучке есть двойная прямая, то все его базисные точки лежат на этой прямой. Если в пуч-ке есть распавшаяся коника ℓ ∪ℓ , то все базисные точки такого пучка лежат на ℓ ∪ℓ , причёмна каждой из прямых ℓ , ℓ имеется хотя бы одна базисная точка.

Если базисное множество пучка состоит из единственной точки , особой коникой в нёмможет быть лишь двойная прямая, касающаяся любой гладкой коники пучка в точке . Наобо-рот, любая гладкая коника и касающаяся её в произвольной точке ∈ двойная прямаяℓ задают регулярный пучок коник с единственной базисной точкой , и единственной особойконикой — двойной прямой ℓ. Все гладкие коники этого пучка пересекаются друг с другом поединственной точке и имеют в ней общую касательную см. рис. 13⋄2.

ℓ𝑝

ℓ

ℓ

𝑆 = ℓ ∪ ℓ 𝑝

𝑝

Рис. 13⋄2. Пучок с одной базисной точкой( = = = = ).

Рис. 13⋄3. Пучок c двумя базиснымиточками = = = , = и одной

вырожденной коникой .

Если базисное множество пучка состоит из двух точек , , вырожденными кониками внём могут или двойная прямая ℓ = ( ) или такая распавшаяся коника ℓ ∪ ℓ , что ∈ ℓ ,

∈ ℓ и либо обе точки , отличны от особой точки ℓ ∩ ℓ , как на рис. 13⋄4, либо =ℓ ∩ℓ , а ≠ ℓ ∩ℓ , как на рис. 13⋄3. В последнем случае распавшаяся коника ℓ ∩ℓ являетсяединственной особой коникой в пучке, а каждая гладкая коника пучка касается прямой ℓ вточке и проходит через точку , см. рис. 13⋄3. В частности, любые две гладкие коники втаком пучке пересекаются ровно по двум точкам , и имеют в точке общую касательную.


Двойная прямая ℓ = ( ) и распавшаяся ко-

𝑝

𝑝

𝑆 = ℓ ∪ ℓ

𝑆=2ℓ

ℓ

ℓРис. 13⋄4. Пучок с двумя базисными

точками = = , = = и двумявырожденными кониками , .

ника ℓ ∪ ℓ с ∈ ℓ ∖ ℓ , ∈ ℓ ∖ ℓ могут по-явиться в пучке с двумя базисными точками ,только одновременно, ибо множество всех коникна ℙ , которые касаются двух заданных прямыхℓ , ℓ в двух заданных точках ∈ ℓ , ∈ ℓ ,отличных от ℓ ∩ ℓ , автоматически является пуч-ком.

Упражнение 13.10. Докажите это и убедитесь,что такой пучок содержит ровно две вырож-денные коники: двойную прямую ℓ = ( )и распавшуюся конику ℓ ∪ ℓ .

Прямые ℓ и ℓ однозначно восстанавливаются подвойной прямой ℓ и любой гладкой конике изпучка как касательные к в двух точках пересече-ния ∩ ℓ.

Если базисное множество пучка коник состоит из трёх точек , , , то они не коллине-арны1. В частности, такой пучок не содержит двойных прямых. Кроме того, ни одна из точекне может быть особой одновременно для двух распавшихся коник из пучка: иначе все коникипучка были бы особы в этой точке. Распавшаяся коника ℓ ∪ ℓ в таком пучке проходит черезбазисные точки либо так, что = ℓ ∩ ℓ , ∈ ℓ ∖ ℓ , ∈ ℓ ∖ ℓ , либо так, что ∈ ℓ ∖ ℓ ,а , ∈ ℓ ∖ ℓ . На рис. 13⋄5 первое отвечает прямым ℓ′ , ℓ′ , второе — прямым ℓ″, ℓ″.

𝑝

𝑝

𝑝𝑆″ = ℓ″ ∪ ℓ″ 𝑆′ = ℓ″ ∪ ℓ″

ℓ″

ℓ″ℓ′

ℓ′

Рис. 13⋄5. Пучок с тремя базисными точками = = , = , = и двумявырожденными кониками , .

Во втором случае любая гладкая коника из пучка касается прямой ℓ в точке . В первомслучае все гладкие коники пучка имеют в точке общую касательную, поскольку проходящаячерез прямая ℓ, касающаяся фиксированной гладкой коники из пучка в точке ∈ ,соприкасается в точке c каждой коникой пучка, порождённого коникой и распавшейсяконикой ℓ″ ∪ ℓ″, которая тоже касается прямой ℓ в точке = ℓ″ ∩ ℓ″.

Упражнение 13.11.Убедитесь в этомипокажите, чтомножество всех коник ⊂ ℙ , касающих-ся заданной прямой ℓ в заданной точке ∈ ℓ и проходящих через две другие различные

1Иначе содержащая базисные точки прямая пересекала бы любую гладкую конику пучка по трём точ-кам.


заданные точки , ∉ ℓ, составляют пучок, содержащий ровно две вырожденные коники:( ) ∪ ℓ и ( ) ∪ ( ).Пучок коник, спектр которого состоит из трёх разных точек, называется простым. По

𝑎

𝑏

𝑐𝑑

𝑆

𝑆

𝑆Рис. 13⋄6. Три особые коники

простого пучка с базисными точками, , , .

лем. 13.3 все точки спектра простого пучка имеют кратность , и по предыдущему базисноемножество такого пучка состоит из четырёх различных точек , , , , никакие из которых

не коллинеарны.

Упражнение 13.12. Покажите, что множество всех ко-ник, проходящих через различные точки , , ,, никакие из которых не коллинеарны, пред-

ставляет собою простой пучок, три особые коникикоторого суть пары противоположных сторон че-тырёхвершинника , как на рис. 13⋄6.

Таким образом, простой пучок коник однозначно опре-деляется четырьмя своими базисными точками , , ,, и в однородных координатах = ( ∶ ∶ ) на

ℙ уравнения его коник имеют вид

det( , , ) ⋅ det( , , )det( , , ) ⋅ det( , , ) = ,

где = ( ∶ ) пробегаетℙ . Все предыдущие приме-ры являются вырождениями простого пучка и получа-ются из него, когда некоторые из базисных точек сли-паются друг с другом. Аименно, пучок на рис. 13⋄5 воз-

никает при , → , = , = , пучок на рис. 13⋄4 — когда , → , , → , пучокна рис. 13⋄3 — если , , → , = , а на рис. 13⋄2 все четыре базисные точки схлопы-ваются в одну. К какому из перечисленных типов принадлежит заданный пучок коник ( ),геометрически определяется взаимным расположением в пространстве коник ℙ = ℙ( ∗)прямой = ( ) и кубической гиперповерхности особых коник = { ∈ ℙ | det = }.В случае простого пучка прямая трансверсально пересекает эту гиперповерхность в трёх еёгладких точках. Прямая , касающаяся в гладкой точке и трансверсально пересекающая вдругой гладкой точке, задаёт такой пучок, как на рис. 13⋄5, причём точке касания c отве-чает распавшаяся коника с особенностью в базисной точке пучка. Прямая , проходящая черезособую точку гиперповерхности и трансверсально пересекающаяся с в ещё одной гладкойточке, задаёт пучок, показанный на рис. 13⋄4, и в нём особой точке пересечения отвечает двой-ная прямая. Прямая которая пересекает гиперповерхность с кратностью в единственнойгладкой точке, задаёт пучок с рис. 13⋄3. А максимально вырожденный из невырожденных пуч-ков, представленный на рис. 13⋄2, отвечает прямой , которая пересекает гиперповерхностьс кратностью в единственной точке, которая к тому же ещё и особа.

Что такое простые и особые точки проективной гиперповерхности, и что такое кратностьпересечения, объясняется ниже.

13.2.3. Касательное пространство к проективной гиперповерхности. Рассмотрим про-ективную гиперповерхность ( ) ⊂ ℙ , заданную однородным многочленом степени , и нележащую на ней прямую ( ) ⊂ ℙ , проходящую через точку ∈ ( ). Ограничение много-члена на прямую ( ) является ненулевым однородным многочленом степени

( , ) ≝ ( + )


от однородной координаты ( ∶ )на прямой ( ). Точка = ( ∶ ) является его корнем. Крат-ность этого корня называется кратностью пересечения прямой ( ) с гиперповерхностью ( )в точке . Таким образом, над алгебраически замкнутым полем 𝕜 любая прямая либо лежит нагиперповерхности ( ), либо пересекает её ровно по точкам, учитываемым с кратностями,равными кратностям пересечения прямой и гиперповерхности в этих точках.

Прямая ( ) называется касательной к гиперповерхности ( ) в точке , если она лежитна этой гиперповерхности или пересекает её в точке с кратностью ⩾ . Объединение всехпрямых, касающихся гиперповерхности ( ) в точке ∈ ( ), называется касательным про-странством к гиперповерхности в точке и обозначается ( ).

Минимальная из кратностей пересечений гиперповерхности ( ) со всевозможными про-ходящими через точку ∈ ( ) прямыми называется кратностью точки на гиперповерхно-сти ( ). Если она равна единице, точка называется гладкой, если больше единицы— особой.Таким образом, точка ∈ ( ) особа , если и только если ( ) = ℙ .

Упражнение 13.13. Покажите, что точка ∈ ( ) особа тогда и только тогда, когда все част-ные производные от многочлена зануляются в точке , и что касательное пространство

( ) в гладкой точке является проективным подпространством коразмерности и за-даётся однородным линейным уравнением ∑ = ( ) ⋅ = .

13.2.4. Гиперповерхностьособыхквадрик.Множество всех особых квадрикнаℙ = ℙ( )образует в пространстве квадрик ℙ( ∗) алгебраическую гиперповерхности степени ( + )

= (det) = { ∈ ∗ | det( ) = } . (13-12)

Лемма 13.4

Особая квадрика ∈ является гладкой точкой гиперповерхности особых квадрик тогда итолько тогда, когда сама квадрика ⊂ ℙ( ) имеет единственную особую точку, и в этом случаекасательное пространство ⊂ ℙ( ∗) состоит из всех квадрик ⊂ ℙ( ), проходящих черезособую точку квадрики .

Доказательство. Ограничение многочлена det на прямую ( ) ⊂ ℙ( ∗), где точка ∈ от-вечает особой квадрике = ( ) ⊂ ℙ( ), а точка ∈ ℙ( ∗) отвечает произвольной квадрике

= ( ) ⊂ ℙ( ), задаётся в аффинной окрестности точки на прямой ( ) уравнением1

= det( + ) = det( ) + ⋅ ∑∨ + члены, делящиеся на ,

где ∨ означает алгебраическое дополнение к ( )-тому элементу матрицы . Квадрика отве-чает корню = . Он кратный тогда и только тогда, когда , когда

∑∨ = . (13-13)

Это линейное уравнение на нетривиально , если и только если в матрице имеется хоть одинненулевой минор порядка dim − , т. е. когда dim ker = . Поскольку2 ⋅ ∨ = ∨ ⋅ == det( ) ⋅ = , каждый столбец и каждая строка присоединённой матрицы ∨ = ( ∨ ) лежит в

1См. формулу (13-11) на стр. 237.2Ср. с правилом Крамера для отыскания ненулевого решения системы однородных линейных уравне-

ний из предл. 5.5.


ядре матрицы . Поэтому rk ∨ = , и все строки и столбцы симметричной матрицы ∨ пропор-циональны координатам особой точки

= ( ∶ ∶ … ∶ ) = ( ∨ ∶ ∨ ∶ … ∶ ∨ ) = ( ∨ ∶ ∨ ∶ … ∶ ∨ )

квадрики . Условие касания (13-13) превращается в равенство ∑ = ( ) = , как раз и

означающее, что квадрика проходит через особую точку квадрики . �


Прямая ( ) ⊂ ℙ( ∗) касается гиперповерхности особых квадрик в точке ∈ тогда итолько тогда, когда ∩ Sing ≠ ∅, и лежит на , если и только если Sing ∩ Sing ≠ ∅. �

Пример 13.3

При = особыми точками гиперповерхности особых коник ⊂ ℙ являются двойные пря-мые, а распавшиеся коники суть гладкие точки гиперповерхности . Если пучок коник ( )касается в гладкой точке = ℓ ∪ℓ , то он либо больше нигде не пересекает , и в этом случаекратность пересечения с в равна , либо пересекает с кратностью ещё ровно в одной,автоматически гладкой точке. Эти случаиреализуютсяпучками, представленныминарис. 13⋄3и рис. 13⋄5. Для пучка ( ), проходящего через особую точку = ℓ гиперповерхности , име-ется ровно та же альтернатива: если кратность пересечения с в равна , то он большенигде не пересекает и выгладит как на рис. 13⋄2, илиже он имеет с ещё ровно одну гладкуюточку кратности , как на рис. 13⋄4. Все остальные пучки просты, т. е. пересекаются с ровнопо трём точкам с кратностью и выгладят как на рис. 13⋄6.

13.2.5. Регулярные пучки. Невырожденный пучок квадрик ( ) на ℙ называется регу-лярным, если кратность каждой точки его спектра ровно на единицу больше размерности про-странства особых точек отвечающей этой точке особой квадрики, т. е. когда

dim Sing( ) = mult( ) − для всех = ( ∶ ) ∈ ℙ .

Это означает, что ранг матрицы Грама + в каждой точке ∈ ℙ падает в точностина кратность корня = характеристического многочлена , ( , ) = det( + ). Извсех рассмотренных в n∘ 13.2.2 невырожденных пучков коник регулярными являются толькопучки, представленные на рис. 13⋄6 и рис. 13⋄4.

Теорема 13.1

Над алгебраически замкнутым полем 𝕜 для любого регулярного пучка квадрик вℙ( ) найдётсятакой базис пространства , в котором матрицы Грама всех квадрик из пучка одновременнодиагональны.

Доказательство. Пусть пучок порождается квадриками ( ) и ( ), где форма неособа. Сопо-ставим форме автодуальный относительно скалярного произведения на линейный опе-ратор1 = − − ∶ → , однозначно задающийся тем, что ( , ) = −( , ) для всех

, ∈ . Поскольку матрица оператора выражается через матрицы Грама , квадратич-ных форм , по формуле = − − , характеристический многочлен оператора

( ) = det( − ) = det( + − ) = det − det( + ) = ( )( , ) ⋅ det − (13-14)

1Это сопоставление отличается знаком от использовавшегося в n∘ 12.6 на стр. 226.


с точностью до ненулевого постоянногомножителя совпадает с ограничением характеристиче-ского многочлена пучка квадрик1 на аффинную окрестность квадратичной формы , для кото-рой квадратичная форма является бесконечностью. Таким образом, собственные числа опе-ратора совпадают с теми значениями = , для которых квадратичная форма + вы-рождена. А так как ранг матрицы Грама + равен рангу матрицы − = − ( + ) ,размерность собственного подпространства = ker( − ) совпадает с размерностью ядраквадратичной формы + , которая по условию теоремы в точности равна кратности корня

= . Поэтому суммаразмерностейвсех собственныхподпространств оператора равнаdim .Так как по упр. 12.14 на стр. 226 все собственные подпространства самосопряжённого операто-ра ортогональны друг другу относительно формы , пространство является -ортогональнойпрямой суммой собственных подпространств оператора . Выбирая в каждом подпростран-стве ортогональный базис квадратичной формы , мы получаем в базис, где обе формыи имеют диагональные матрицы Грама. Но тогда и все формы + будут диагональны вэтом базисе. �

Теорема 13.2

Два регулярных пучка квадрик вℙ над алгебраически замкнутым полем 𝕜 переводятся один вдругой линейным проективным автоморфизмом2 ℙ , если и только если их спектры, понимае-мые как неупорядоченные множества из не обязательно различных точек на ℙ , переводятсядруг в друга дробно линейным автоморфизмом ℙ .

Доказательство. Выберем в первом пучке гладкую квадрику ( ′) и рассмотрим в базис ′, вкотором все квадрики первого пучка имеют диагональные матрицы Грама, причём нормируемего так, чтобыматрица Грама формы ′ стала единичной . Рассмотрим любую отличную от ′

форму ′ из первого пучка и обозначим через ′ её матрицу Грама в базисе ′. В доказательствепредыдущей теор. 13.1 мы видели, что диагональные элементы матрицы ′ являются корнямимногочлена det( − ′), т. е. составляют в точности спектр первого пучка. Поскольку он сов-падает со спектром второго пучка, во втором пучке квадратичных форм имеется базис из такихформ ″, ″, что корни многочлена ″ ″( , ) совпадают с корнями многочлена det( − ′).Из этого вытекает, что форма ″ невырождена, и в пространстве существует базис ″, в кото-ромматрица Грама формы ″ единичная, а форма ″ имеет диагональнуюматрицу ″ с диаго-нальными элементами, равными корням многочлена det( − ′). Таким образом, матрица ″

в базисе ″ совпадает с матрицей ′ в базисе ′. Проективный изоморфизм ℙ ⥲ ℙ , перево-дящий базис ′ в базис ″, преобразует базисные квадратичные формы ′, ′ первого пучка вбазисные квадратичные формы ″, ″ второго. Следовательно, он преобразует каждую форму

′ + ′ первого пучка в форму ″ + ″ второго. �

Пример 13.4 (простые пучки)

Пучок квадрик на ℙ называется простым, если его спектр состоит из ( + ) различных точекна ℙ . Таким образом, каждая особая квадрика простого пучка имеет ровно одну особую точкуи единичную кратность в спектре. В частности, каждый простой пучок регулярен, и все квадри-ки в нём одновременно диагонализуются в некотором базисе. Два простых пучка переводятся

1См. формулу (13-10) на стр. 236.2Т. е. существует такой линейный проективный автоморфизм ℙ , который биективно отображает

квадрики одного пучка на квадрики второго.

13.3. Евклидовы коники 243

один в другой проективным преобразованием тогда и только тогда, когда + точек наℙ , от-вечающих особым квадрикам первого пучка, переводятся дробно линейным автоморфизмомℙ в + точек, отвечающих особым квадрикам второго.

Теорема 13.3

Пучок квадрик ( ) над алгебраически замкнутым полем прост , если и только если квадрики, пересекаются трансверсально, т. е. codim ∩ = в каждой точке ∈ ∩ .

Доказательство.Рассмотримвпространстве квадрикℙ = ℙ( ∗)наℙ = ℙ( ) гиперповерх-ность особых квадрик1 = (det) ⊂ ℙ . Прямая ( ) ⊂ ℙ пересекает гиперповерхностьменьше, чем по + точкам , если и только если она касается в одной из точек ∈ ( )∩ . Сдругой стороны, нетрансверсальность пересечения каких-либо квадрик , в некоторой точке

∈ ∩ означает, что любые две квадрики пучка ( ) пересекаются в точке не трансвер-сально. В самом деле, если = ( ), = ( ), то ∩ = ℙ (ker ( ) ∩ ker ( )), и усло-вие codim(ker ( ) ∩ ker ( )) ⩾ равносильно пропорциональности ковекторов ( ) и ( ),и тогда все ковекторы ( ) с = + пропорциональны друг другу. В частности, в этомслучае пучок содержит квадрику = ( ) с ( ) = ( ) + ( ) = , т. е. с ∈ Sing . Тогда

∩Sing ≠ ∅ и прямая ( ) касается гиперповерхности в точке по сл. 13.2, а значит, пучокне прост. Наоборот, если прямая ( ) касается гиперповерхности в точке , то ∩ Sing ≠ ∅и пересечение ∩ не трансверсально во всех точках из ∩Sing . Но тогда и пересечение ∩тоже не трансверсально в этих же точках. �

13.3. Евклидовы коники. Рассмотрим евклидову плоскость = ℝ cо стандартными коорди-натами ( , ) как множество вещественных точек двумерного комплексного координатногопространства ℂ = ℂ , вложенного в качестве стандартной аффинной карты = + ℂ вкомплексную проективную плоскостьℙ = ℙ(ℂ ) с однородными координатами ( ∶ ∶ ).Бесконечно удалённую прямую = этой карты обозначим через ℓ∞ и будем называть беско-нечностью. Она естественно отождествляется с проективной прямойℙ( ℂ), и её точки являют-ся направлениями аффинных прямых, лежащих в карте , в том смысле, что проходящая черезточку ∈ вдоль вектора ∈ ℂ аффинная прямая { + | ∈ ℂ} является видимой в карте

аффинной частью проективной прямой ( ) ⊂ ℙ , где ∈ рассматривается как точкабесконечно удалённой прямой ℓ∞ = ℙ( ℂ) ⊂ ℙ(ℂ ).

Евклидово скалярное произведение на , продолженное по ℂ-линейности до комплекснойбилинейной формы ℂ × ℂ → ℂ, задаёт на ℓ∞ = ℙ( ℂ) гладкую квадрику + = , кото-рая называется изотропной квадрикой или абсолютом и состоит из двух различных комплексносопряжённых невещественных точек

+ = ( ∶ − ) и − = ( ∶ − ) , (13-15)

называемых изотропными направлениями2. Сопоставление направлению перпендикулярно-го направления ⊥, и сопоставление точке ∈ ℓ∞ точки ∈ ℓ∞ с [ , , +, −] = − задают напрямой ℓ∞ одну и ту же инволюцию с неподвижными точками ±. Эта инволюция называется

1См. формулу (13-12) на стр. 240.2Здесь и далее слово направление используется как синоним словосочетания «ненулевой вектор из

пространства ℂ, рассматриваемый с точностью до умножения на ненулевые комплексные константы»и означает точку на прямой ℓ∞ = ℙ( ℂ).


перпендикулярностью или евклидовым сопряжением. Таким образом, равенство ( , ) = в ℂравносильно гармоничности направлений , ∈ ℓ∞ изотропным направлениям (13-15).

Упражнение 13.14. Покажите, что «евклидов угол1» между двумя различными неизотропны-ми направлениями , ∈ ℓ∞ выражается через их двойное отношение с изотропныминаправлениями ± по формуле ∡( , ) = ± ln[ , , +, −].

На комплексной проективной плоскости ℙ действует ℂ-антилинейная инволюция комплекс-ного сопряжения ( ∶ ∶ ) ↔ ( ∶ ∶ ). Она переводит прямые в прямые, а ко-ники — в коники, и сохраняет аффинную карту ⊂ ℙ , действуя на ней комплексно полу-аффинными2 веществнно аффинными преобразованиями. Точки, прямые и коники, которыепереводятся комплексным сопряжением в себя, называются вещественными. Например, бес-конечно удалённая прямая и изотропная коника на ней вещественны. Обратите внимание, чтовещественная фигура запросто может не иметь ни одной вещественной точки.

Упражнение 13.15. Покажите, что вещественность прямой или коники на ℙ означает, что ихможно задать уравнением с вещественными коэффициентами.

По классификации из прим. 12.4 на стр. 223, гладкая вещественная коника называется парабо-лой, гиперболой или эллипсом, когда она, соответственно, касается прямой ℓ∞ или пересекаетеё по двум вещественным или двум невещественным комплексно сопряжённым точкам. Точка

∈ ℙ называется фокусом гладкой коники ⊂ ℙ , если обе прямые ( ± ) касаются коники .Поляры фокусов относительно коники называются директрисами этой коники.

Упражнение 13.16. Покажите, что две прямые на ℙ сопряжены3 относительно гладкой кони-китогда и только тогда, когда они гармоничны в порождённом ими пучке прямых4 двумпрямым, касающимся этой коники.

13.3.1. Эллипсы и гиперболы называются центральными кониками. Полюс ∗ прямой ℓ∞относительно такой коники лежит в ℝ и является центром симметрии аффинной части ко-ники, т. к. для любой проходящей через ∗ прямой ( ), пересекающей конику в точках , ,а прямую ℓ∞ в точке , двойное отношение [ , , , ] = − по предл. 11.2 на стр. 194, откуда

∗ является серединой отрезка [ , ]. Полярная бесконечности точка ∗ называется центром, апроходящие через неё прямые— диаметрами коники .

Упражнение 13.17.Покажите, что любой диаметр гладкой центральной коники делит пополамвсе хорды, параллельные5 сопряжённому диаметру.

Центральная коника имеет фокуса, которые принято нумеровать так, чтобы комплексное со-пряжение переставляло прямые ( + ) ↔ ( − ) и прямые ( + ) ↔ ( − ). Таким образом,фокусы , оказываются вещественными, а фокусы , не вещественными и комплексносопряжёнными друг другу, см. рис. 13⋄7.

1Понимаемый как такое комплексное число ∡( , ) ∈ ℂ, что cos ∡( , ) = ( , ) ( , )− ( , )− ,ср. с форм. (3-8) на стр. 38.

2См. n∘ 2.5 на стр. 29.3Две прямые на плоскости называются сопряжёнными относительно гладкой коники, если одна из

них проходит через полюс другой.4Т. е. в пучке прямых с центром в точке пересечения этих двух прямых.5По определению, прямые параллельные данной ℓ ⊂ ℙ суть все прямые из пучка с центром в точке

ℓ ∩ ℓ∞, за исключением самих прямых ℓ и ℓ∞.



Для любой центральной гладкой коники прямые ( ) и ( ), проходящие через два веще-ственных и два невещественных фокуса коники , пересекаются в центре коники и пересекаютбесконечность по точкам ∗ = ℓ∞ ∩ ( ) и ∗ = ℓ∞ ∩ ( ), которые одновременно перпен-дикулярны и сопряжены относительно коники . Кроме того, точка ∗ является пересечениемполяр фокусов и , а точка ∗ —пересечением поляр фокусов и , см. рис. 13⋄7.

ℓ∞

𝑧∗𝑓 𝑓𝑓

𝑓

𝜄+

𝜄−

𝑥∗

𝑦∗

Рис. 13⋄7. Гладкая центральная коника, т. е. эллипс или гипербола.

Доказательство предл. 13.1. Вприм. 10.11мывидели, что сторонычетырёхвершинника + −гармоничны сторонам ассоциированного с ним треугольника ∗ в каждой из вершин это-го треугольника. Поэтому, согласно упр. 13.16, прямая ( ) сопряжена как прямой ( ∗),так и прямой ( ∗). Следовательно, точка ∗ лежит как на поляре точки , так и на поляреточки . Точно такое же рассуждение, применённое к четырёхвершиннику + − и ассоци-ированному с ним треугольнику ∗ , показывает, что ∗ лежит на полярах фокусов и .Из сказанного вытекает, что точка ∗ является полюсом прямой ( ), а точка ∗ — полюсомпрямой ( ). Поэтому пересечение ( ) ∩ ( ) является полюсом прямой ( ∗ ∗) = ℓ∞,т. е. совпадает с точкой ∗. С другой стороны, гармоничность прямых ( ∗) и ( ) = ( ∗)в пучке прямых с центром означает сопряжённость направлений ∗, ∗ относительно кони-ки , а также равенство [ ∗, ∗, +, −] = − , т. е. перпендикулярность направлений ∗ и ∗.�

13.3.2. Главные оси центральных коник. Направления ∗, ∗ ∈ ℓ∞, одновременно пер-пендикулярные и сопряжённые относительно коники, называются главными осями централь-ной коники. Из предл. 13.1 вытекает, что главные оси существуют. Поскольку центр ∗ явля-ется полюсом прямой ( ∗ ∗), точка ∗ сопряжена не только точке ∗, но и точке ∗, а значит,является полюсом прямой ∗ ∗. По той же причине точка ∗ является полюсом прямой ∗ ∗.Таким образом, треугольник ∗ ∗ ∗ автополярен относительно коники . На языке уравненийэто означает, что матрица Грама квадратичной формы, задающей конику , в базисе ∗ ∗ ∗диагональна. Таким образом в аффинной системе координат с центром ∗ и вещественным ор-тонормальным базисом ∗, ∗ в аффинное уравнение коники принимает вид + = ,где > . Такая коника является эллипсом при > и гиперболой при < .

Упражнение 13.18.Покажите, что для любойпарыразличныхинволюцийнапроективнойпря-мой над алгебраически замкнутым полем существует ровно одна пара точек, переводимыхдруг в друга обеими инволюциями.


Поскольку сопряжение диаметров относительно коники и евклидово сопряжение представ-ляют собой пару инволюцийна пучке прямых с центром в ∗, из упр. 13.18 вытекает, что каждаяконика, для которой эти инволюции различны, обладает единственной парой главных осей. Вдоказательстве теор. 12.5 на стр. 227 мы видели, что направления главных осей являются соб-ственными векторами матрицы Грама квадратичной части аффинного уравнения коники впроизвольном ортонормальном базисе евклидовой плоскостиℝ . Поэтому практическое отыс-кание главных осей для заданной явным уравнением коники большого труда не составляет.

13.3.3. Окружности. Неподвижными точками сопряжения относительно коники явля-ются точки пересечения ∩ ℓ∞. Они называются асимптотическими направлениями кони-ки . У каждой центральной коники имеется ровно два асимптотических направления, при-чём у гипербол они вещественны, а у эллипсов не вещественны и комплексно сопряжены. Ко-ника называется (комплексной) окружностью, если асимптотические направления изотропны.Это, с одной стороны, равносильно прохождению коники через изотропные точки ±, а с дру-гой стороны, означает, что сопряжение относительно коники совпадает с евклидовым со-пряжением. В частности, любые два сопряжённых или перпендикулярных диаметра окружно-сти являются её главными осями. Покажем, что это определение окружности согласуется сошкольным1. Евклидова окружность с центром = ( , ) и радиусом задаётся уравнени-ем ( − ) + ( − ) = и пересекает бесконечность в точности по изотропнойквадрике + = . Наоборот, если вещественная непустая2 гладкая коника проходит черезточки ±, то проводя окружность через любые три её вещественныенеколлинеарные точки3, мыполучим ещё одну гладкую конику, проходящую через ±. Поэтому коника совпадает с этойокружностью.Итак, евклидовыокружности это гладкие вещественные коники с непустыммно-жествомвещественных точек, лежащиев трёхмерномкомплексномпроективномпространствевсех коник на ℙ , проходящих через изотропные точки4

±.

Пример 13.5 (директор центральной коники)

Сопряжение относительно коники задаёт гомографию ∶ ×+ ⥲ ×

− между пучками прямыхс центрами в изотропных точках. Она переводит прямую ℓ ∋ + в сопряжённую ей относитель-но прямую (ℓ) ∋ −, см. рис. 13⋄8. В пучке прямых с центром в точке5 = ℓ ∩ (ℓ) парасопряжённых прямых ℓ и (ℓ) гармонична паре касательных, опущенных из точки на кони-ку . Следовательно, эти касательные перпендикулярны. Таким образом, ГМТ перересечениясоответственных прямых ℓ ∩ (ℓ) это в точности ГМТ ∈ ℙ , из которых коника виднапод прямым углом. В прим. 11.4 на стр. 197 мы видели, что ГМТ пересечения соответственныхпрямых гомографии между двумя пучками представляет собою конику, проходящую через цен-тры пучков, как на рис. 13⋄8. Поскольку в нашем случае эти центры суть изотропные точки ±,рассматриваемое нами ГМТ— окружность. Она называется директором коники и обознача-ется . Согласно тому же прим. 11.4, (ℓ∞) = − и ( + ) = ℓ∞. Поэтому обе парыпрямых ℓ∞, + и ℓ∞, − гармоничны касательным, опущенным на конику из изотроп-ных точек. Тем самым, прямая ℓ∞ сопряжена относительно коники с обеими касательными к

1Ср. с прим. 3.4 на стр. 39.2Т. е. имеющая непустое пересечение с ℝ ⊂ ⊂ ℙ или, что то же самое, непустое множество

вещественных точек в карте .3А таковые существуют в силу предл. 11.1 на стр. 192.4Не имеющие вещественных точек гладкие вещественные коники из этого пространства, такие как

коника + = − , иногда называют мнимыми окружностями.5На рис. 13⋄8 показаны три такие точки: , и .


окружности в изотропных точках. Следовательно эти касательные пересекаются в полюсе ∗прямой ℓ∞ относительно коники , т. е. директор имеет тот же центр, что и коника.

𝜄+𝜄−

𝑧∗

𝐷

𝐶

ℓ∞

𝑝𝑝

𝑝

Рис. 13⋄8. Директор гладкой центральной коники.

Упражнение 13.19. Напишите явное уравнение директора в главных осях коники .

Пример 13.6 (конфокальные коники)

Множество всех коник на ℙ , имеющих те же фокусы1, что и данная гладкая центральная ко-ника , это в точности множество всех коник, касающихся четырёх касательных к конике ,опущенных из изотропных точек, см. рис. 13⋄7 на стр. 245. Все эти коники имеют общие центри главные оси, а двойственные им коники в ℙ× образуют простой пучок коник, проходящихчерез четыре директрисы коники . Он порождается гладкой коникой ×, двойственной к ,и распавшейся коникой ×

+ ∪ ×−, объединением двух пучков прямых с центрами в изотропных

точках. Если уравнение коники в главных осях имеет вид + − = , то по сл. 11.6 настр. 194 коника × в двойственных координатах задаётся уравнением −

∗ + −∗ − ∗ = .

Так как базис ∗, ∗ пространства ортонормален относительно евклидова скалярного произ-ведения, распавшаяся коника на ℙ×, образованная всеми прямыми, проходящими через точки

±, имеет уравнение ∗ + ∗ = . Все остальные коники пучка задаются уравнениями

( − + ) ⋅ ∗ + ( − + ) ⋅ ∗ − ∗ = ,

где параметр пробегает ℂ. Двойственные им конфокальные с коники имеют аффинныеуравнения

− + + − + = , где ∈ ℂ .

На пучке прямых с центром в произвольной точке ∈ ℙ имеется инволюция ∶ × ⥲ ×,переставляющая между прямые, касающиеся какой-либо конфокальной с коники.

Упражнение 13.20.Убедитесь, что этоивпрямьлинейнаяинволюция, причём ( ) = ( ).1Обратите внимание, что для этого достаточно, чтобы два вещественных фокуса были общими.


Две неподвижные точки инволюции должны касаться в точке двух разных конфокаль-

ℓ

ℓ

𝑓 𝑓

𝑝

Рис. 13⋄9. Конфокальныецентральные коники.

ных c коник, проходящих через . Поскольку неподвижные точки гармоничны любой парепереставляемых точек, а ( ±) = ∓, эти касательныеперпендикулярны. Таким образом, через любую точку

∈ ℙ проходят ровно две коники ′ и ″ конфокаль-ной системы, причём они пересекаются в точке подпрямым углом, см. рис. 13⋄9. Так как неподвижные от-носительно прямые ℓ′ = ′ и ℓ″ = ″ гармо-ничны паре касательных, опущенных из на любую ко-нику конфокальной системы, перпендикулярные пря-мые ℓ′ , ℓ″ делят пополам углы между этими касатель-ными. По упр. 13.20 проходящие через фокусы прямые( ), ( ) также переставляются друг с другом инво-люцией . Поэтому перпендикулярные касательные ℓ′

и ℓ″ также служат биссектрисами и углов прямые ( ),( ), см. рис. 13⋄9.


Для любых точки и гладкой центральной коники с вещественными фокусами , уголмежду прямой ( ) и опущенной из на касательной равен углу между второй касательнойи прямой ( ). �

Следствие 13.4 (фокальное свойство центральной коники)

Все отражённые гладкой центральной коникой лучи света от точечного источника в её веще-ственном фокусе проходят через другой вещественный фокус. �

Упражнение 13.21. Покажите, что из двух пресекающихся в заданной точке коник конфокаль-ной системы одна является эллипсом, а друга гиперболой.

𝑝𝑧∗

ℓ

ℓ′

ℓ

Рис. 13⋄10. Гипербола Аполлония точки относительно эллипса.

Пример 13.7 (гипербола Аполлония)

Для произвольных точки и гладкой центральной коники с центром в точке ∗ обозначимчерез ∶ ×

∗ ⥲ × гомографию пучка диаметров коники в пучок прямых с центром в ,


переводящую диаметр ℓ ∋ ∗ в опущенный из точки перпендикуляр ℓ на сопряжённый к ℓотносительно коники диаметр ℓ′ ∋ ∗, см. рис. 13⋄10.

Упражнение 13.22. Убедитесь, что это и впрямь гомография.

Согласно прим. 11.4 на стр. 197, ГМТ пересечения соответственных прямых ℓ ∩ ℓ являетсяконикой , проходящей через центр коники и точку . Поскольку гомография переводитглавные направления ( ∗ ∗) и ( ∗ ∗) в прямые ( ∗) и ( ∗) соответственно, коника являет-ся гиперболой, с асимптотическими направлениями, параллельными главным осям коники .Она называется гиперболой Аполлония точки относительно коники и замечательна тем, чтопересекает конику ровно по таким точкам ∈ , для которых прямая ( ) перпендикуляр-на касательной к конике в точке , поскольку сопряжённый к ℓ диаметр ℓ′ параллеленкасательным, восстановленным в концах диаметра ℓ, см. рис. 13⋄10. В качестве следствия мызаключаем, что из произвольной точки на гладкую центральную конику можно опуститьне более четырёх перпендикуляров.

13.3.4. Параболы.Гладкая вещественнаяконика , касающаясябесконечноудалённойпря-мой в точке ∗ = ℓ∞ ∩ , может рассматриваться как вырождение гладкой центральной коники,при котором её центр1 сливается с тремя фокусами , , в одну точку, которую обозначают

∗ ∈ ℓ∞ и называют направлением оси2 параболы. Директрисы этих фокусов совпадают с бес-конечной прямой ℓ∞, см. рис. 13⋄11. Оставшийся конечный фокус тоже веществен, и подфокусом и директрисой параболы всегда понимаются именно фокус и его поляра. Конечнаяточка пересечения параболы с прямой ( ) обозначается через ∗ и называется вершиной па-раболы.

ℓ∞

𝑥∗ = 𝑓 = 𝑓 = 𝑓

𝑦∗

𝑧∗

𝑓

𝜄+

𝜄−Рис. 13⋄11. Парабола.

Точки ∗ и ∗ = ∩ℓ∞ называются главными осями параболы . Они сопряжены относитель-но параболы и перпендикулярны. Первое очевидно из рис. 13⋄11, второе выражает тот факт,что в пучке прямых с центром в сопряжённые относительно коники направления ∗, ∗гармоничны касательным изотропным направлениям. Поскольку анизотропный вектор ∗ со-пряжён относительно обеим точкам ∗, ∗, и обе они изотропны, выбирая на главных осях

1Т. е. полюс бесконечно удалённой прямой ℓ∞, который для вещественной коники автоматически яв-ляется вещественным.

2А также бесконечно удалённым фокусом и/или асимптотическим направлением.


∗, ∗ евклидово ортонормальные векторы получим для параболы однородное уравнение= , где > . В аффинном репере карты с началом в ∗ это уравнение превращается

в неоднородное уравнение = .

Упражнение 13.23. Покажите, что середины хорд, высекаемых из параболы любым пучкомпараллельных прямых, лежат на прямой, параллельной оси параболы.

ℓ∞

𝑥∗

𝑝

𝜏+

𝜏− 𝑓

𝜄+

𝜄−

Рис. 13⋄12. Директор параболы это директриса.

Предложение 13.2 (директор это директриса)

ГМТ , из которых параболу видно под прямым углом, это её директриса. В частности, каса-тельные к параболе, проведённые через концы любой фокальной хорды, пересекаются на ди-ректрисе под прямым углом.

Доказательство. Поскольку полюс любойфокальной хорды сопряжёнфокусу, он лежит на егополяре, т. е. на директрисе (см. рис. 13⋄12). Задаваемая сопряжением прямых относительноконики гомография ∶ ×

+ ⥲ ×− из прим. 13.5 для параболы превращается в перспективу, по-

скольку прямая ℓ∞, соединяющая центры пучков, самосопряжена. В прим. 11.4 на стр. 197 мывидели, что коника, задающая перспективную гомографию пучков, распадается в прямую, со-единяющую центры пучков, и прямую, проходящую через точки пересечений как-нибудь двухпар соответственных прямых из пучков. Таковыми являются точки + и − пересечения пара-болы с фокальными касательными, см. рис. 13⋄12. �

Пример 13.8 (конфокальные параболы)

Параболы называются конфокальными, если у них один и тот же фокус и параллельные оси1 Се-мейство парабол, конфокальных заданной параболе , состоит из всех коник, вписанных в тре-угольник − + и касающихся его стороны ℓ∞ = ( − +) в фиксированной точке ∗. Двойствен-ные им коники образуют в ℙ× пучок с тремя базисными точками — сторонами треугольника

− + и двумя вырожденнымираспавшимися кониками2, одна из которыхимеет особенность вточке, изображающей прямую ℓ∞, состоит из двух пучков прямых ∗

± и задаётся в евклидово ор-тонормальном базисе, направленном вдоль главных осей, уравнением ∗ + ∗ = . Уравнение

1Т. е. один и тот же бесконечно удалённый фокус.2См. рис. 13⋄5 на стр. 238.


гладкой коники × имеет вид ∗ + −∗ ∗ = . Поэтому общая коника пучка имеет уравне-

ние ( + ) ∗ + −∗ ∗ + = . Обращая его матрицу Грама, получаем для конфокальных

парабол однородные уравнения ( + )− − + = и аффинные уравнения

= ( + )( − ) .

Всё сказанное в прим. 13.6 остаётся в силе и для конфокальных парабол: через любую точку∈ ℙ проходят ровно две конфокальные параболы, а касательные к ним в точке прямые

перпендикулярны и являются биссектрисами углов между двумя касательными, опущеннымииз точки на любую параболу конфокальной системы, а также угла между направлением нафокус и направлением, параллельным оси параболы.

ℓ′

ℓ′′

𝑧∗

𝑓𝑝

Рис. 13⋄13. Конфокальные параболы.


Для любых точки и параболы угол между касательной, опущенной из на параболу, и прямой( ), ведущей из в фокус, равен углу между второй касательной и осью параболы. �

Следствие 13.6 (фокальное свойство параболы)

Все отражённые параболой лучи от точечного источника в её фокусе идут параллельно осипараболы. �

Пример 13.9 (перпендикуляры к параболе)

Гипербола Аполлония из прим. 13.7 существует и для параболы (убедитесь в этом!). Отличиеот центральных коник заключается в том, что направление оси параболы ∗ = ℓ∞ ∩ являетсяодной из точек пересечения гиперболы Аполония c параболой. Поэтому в аффинной картенаходится не более трёх точек пересечения параболы с гиперболой Аполлония, т. е. из произ-вольной точки плоскости на параболу можно опустить не более трёх перпендикуляров.

§14. Вещественные неевклидовы геометрии

14.1. Проективизация пространства со скалярнымпроизведением. Рассмотрим веществен-ное векторное пространство ≃ ℝ + с невырожденной симметричной билинейной формойпроизвольной сигнатуры. Мы будем называть эту форму скалярным произведением и обозна-чать скалярное произведение векторов , ∈ через ( , ) ∈ ℝ. Наряду с вещественнымвекторным пространством мы иногда будем рассматривать его комплексификацию — ком-плексное векторное пространство ℂ = ⊕ ≃ ℂ + , состоящее из векторов + , , ∈ .Вещественное подпространство ⊂ ℂ характеризуется как множество всех векторов, инва-риантных относительно комплексного сопряжения = + ↦ ≝ − . Скалярное произ-ведение на естественным образом продолжается до комплекснозначной симметричной ком-плексно билинейной формы ℂ × ℂ → ℂ по правилу

( + , + ) = ( , ) − ( , ) + ( �( , ) + ( , )) � ,

и это комплексное скалярное произведение мы по прежнему обозначаем чрез ( , ).Главным объектом нашего внимания в этом параграфе будет вещественное проективное

пространствоℙ = ℙ( ). Для изучения его геометриимыбудемвремя от времениобращаться ик комплексному проективному пространствуℙℂ = ℙ( ℂ), в котороеℙ вложено как множествовещественных1 точек. Изотропные векторы скалярного произведения образуют в ℙ квадрику

≝ { ∈ ℙ | ( , ) = } ,

которая называется абсолютом. То же квадратное уравнение ( , ) = задаёт гладкую ком-плексую квадрику и в комплексном проективном пространстве ℙℂ . Мы обозначим её через

ℂ ≝ { ∈ ℙℂ | ( , ) = } .

Абсолют = ℙ ∩ ℂ представляет собою множество вещественных точек квадрики ℂ. Ани-зотропные точки пространства ℙ разбиваются на два непересекающихся подмножества

+ ≝ { ∈ ℙ | ( , ) > } и − ≝ { ∈ ℙ | ( , ) < } ,

которые мы будем называть неевклидовыми пространствами.

14.1.1. Касательные векторы. Условимся обозначать одной и той же буквой как точку∈ ℙ( ), так и отвечающее этой точке одномерное векторное подпространство ⊂ . Рас-

смотрим точку ∉ и произвольный ненулевой вектор ∈ . Обозначим через

∗ ∶ → ℝ , ↦ ( , )∕( , ) ,

ковектор, сопоставляющий вектору ∈ координату его ортогональной проекции на подпро-странство ⊂ в базисе этого подпространства.

Упражнение 14.1. Убедитесь, что − ⋅ ( , )∕( , ) ∈ ⊥.

Соответствующая ковектору ∗ аффинная карта2 ∗ = { ∈ | ( , ) = ( , )} = + ⊥

проходит через конец вектора , а её направляющим векторным пространством является

Ann ∗ = ⊥ = { ∈ | ( , ) = } ⊂ .1Т. е. инвариантных относительно комплексного сопряжения ↦ .2См. n∘ 10.1 на стр. 171.

252

14.1.Проективизация пространства со скалярным произведением 253

Все аффинные карты с ∈ состоят из одних и тех же точек ′ ∈ ℙ , т. е. совпадаюткак подмножества в ℙ . Не зависящее от выбора вектора ∈ описание этого подмножестватаково. При параллельном переносе точки ∈ ℙ в пределах аффинной карты , каждыйвектор ∈ параллельно сдвигается на вектор ( ) ∈ ⊥, линейно зависящий от ∈ в томсмысле, что ( ) = ( ) для всех ∈ ℝ, см. рис. 14⋄1.

𝑂 𝑤 𝑤′ = 𝜆𝑤

𝑤 + 𝜏(𝑤)

𝑤′ + 𝜏(𝑤′ )

𝑢=𝜏(𝑤)

𝜆𝑢=𝜏(𝜆𝑤

)

𝑢

𝜆𝑢

𝑝

𝑝 + 𝜏

𝑝⊥ 𝑤 + 𝑝⊥

𝑤′ + 𝑝⊥

Рис. 14⋄1. Сдвиг точки ∈ ℙ( ) на касательный вектор ∶ → ⊥.

Таким образом, лежащие в аффинной карте одномерные подпространства ′ ⊂ являютсяграфиками линейных отображений

∶ → ⊥ (14-1)

и образуют аффинное пространство, ассоциированное с векторнымпространствомHom( , ⊥)всех линейных отображений (14-1). Это векторное пространство обозначается ± и называ-ется касательным пространством к неевклидову пространству ± в точке ∈ ±. Сами линей-ные отображения (14-1) называются касательными векторами к ± в точке .

Скалярное произведение на позволяет ввести скалярное произведение на каждом каса-тельном пространстве ±. По определению, касательные векторы , ∶ ↦ ⊥ в точке

∈ ± скалярно перемножаются по одной из формул

или( , ) ≝ +( � ( ), ( )) �∕( , ) (14-2+)

( , ) ≝ −( � ( ), ( )) �∕( , ) (14-2−)

где ∈ — произвольный ненулевой вектор, а знак «+» или «−» в павой части выбираетсяисходя из того, какую сигнатуру у этого скалярного произведения хочется получить.

Упражнение 14.2. Убедитесь, что правые части формул (14-2) зависят только от точки ∈ ℙи касательных векторов , ∈ ±, но не от выбора вектора ∈ .

254 §14Вещественные неевклидовы геометрии

Если исходное скалярное произведение на пространстве позволяет при помощи подходящеговыбора знака в (14-2) сделать все касательные пространства ± евклидовыми, то получаю-щееся в результате неевклидово пространство ± называется классическим. Есть два типа такихпространств: эллиптический и гиперболический. Мы подробно обсудим их в разделах n∘ 14.2 иn∘ 14.4 ниже.

14.1.2. Геодезические (= прямые).Не лежащие на абсолюте прямые вℙ называются гео-дезическими. Они разбиваются на три непересекающихся класса:

◦ эллиптическая геодезическаянеимеет вещественныхпересечений с абсолютом, а её ком-плексификация пересекает квадрику ℂ в двух невещественных комплексно сопряжён-ных точках; такая геодезическая является проективизацией двумерного анизотропногоподпространства в , на котором скалярное произведение положительно или отрица-тельно определено, что равносильно положительности его определителя Грама

◦ гиперболическая геодезическая пересекает абсолют по двум различным вещественнымточкам и является проективизацией двумерного гиперболического подпространства вc отрицательным определителем Грама

◦ параболическая геодезическаякасается абсолюта, пересекая егоровноводнойвеществен-ной точке с кратностьюдва; она является проективизацией двумерного подпространствав , на которое скалярное произведение ограничивается в вырожденную билинейнуюформу с одномерным ядром и нулевым определителем Грама.

Пусть (комплексная) прямая ( ) проходит через две различные вещественные точки , ,лежащие в одном и том же неевклидовом пространстве ±, и пересекает абсолют по (возмож-но, комплексным или совпадающим) точкам , . Ограничение скалярного произведения напрямую ( ) имеет в координатах относительно любого базиса на этой прямой вид1

( , ) = ( �det( , ) det( , ) + det( , ) det( , )) �

где , ∈ ℂ столбцы координат относительно выбранного базиса, а ∈ ℂ некоторая констан-та. Величина

( , )( , ) ⋅ ( , ) = ( �det( , ) det( , ) + det( , ) det( , )) �

det( , ) det( , ) det( , ) det( , ) =

= (det( , ) det( , )det( , ) det( , ) + + det( , ) det( , )

det( , ) det( , )) =

= ([ , , , ] + + [ , , , ]− ) =

= (+ −

) , где = ln[ , , , ] ,

(14-3)

вещественна, положительна и неменяется при умножении скалярного произведения на любуюненулевую константу.

Параболичность геодезической, т. е. совпадение точек = , равносильна любому из ра-венств: [ , , , ] = , = , ( , ) = ( , ) ⋅ ( , ).

1Ср. с n∘ 11.4 на стр. 200 и указаниями к упр. 11.10 на стр. 194.

14.1.Проективизация пространства со скалярным произведением 255

На эллиптической геодезической, т. е. при ≠ и = , выполняются равенства

[ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ] = [ , , , ]− .

Поэтому двойное отношение [ , , , ] ∈ ℂ лежит на единичной окружности, и величиначисто мнима. Это согласуется с эллиптическим неравенством Коши – Буняковского – Шварца

( , )( , ) ⋅ ( , ) < (при ≠ ) , (14-4)

которое выражает собой положительность определителя Грама анизотропной плоскости:

det (( , ) ( , )( , ) ( , )) = ( , )( , ) − ( , ) > (при ≠ ).

Из неравенства (14-4) вытекает, что на эллиптической геодезической отношение (14-3) явля-ется квадратом косинуса положительного вещественного числа.

На гиперболической геодезической, т. е. при вещественных ≠ , двойное отношение[ , , , ] вещественно и отлично от нуля. Отрицательность определителя Грама гипер-болической плоскости: ( , )( , ) − ( , ) < (при ≠ ) переписывается в видегиперболического неравенства Коши – Буняковского – Шварца

( , )( , ) ⋅ ( , ) > (при ≠ ) , (14-5)

из которого вытекает, что на гиперболической геодезической отношение (14-3) является квад-ратом гиперболического косинуса положительного вещественного числа.

Определение 14.1 (расстояние вдоль геодезической)

Неотрицательное вещественное число | | = | ln[ , , , ]| называется геодезическим рас-стояниеммежду вещественными точками , из одного неевклидова пространства ± и обо-значается | , |. Таким образом, расстояние между точками параболической геодезическойнулевое. Расстояние между точками эллиптической геодезической задаётся равенствами1

cos | , | = |( , )|√( , ) ⋅ ( , )

и | , | = ± ln[ , , , ] . (14-6)

Оно принимает значения на [ , ∕ ]. В прим. 14.1 нижемы увидим, что эллиптическое расстоя-ние равно евклидову углу между прямыми с направляющими векторами , в двумерном ев-клидовом векторном подпространстве, порождённом этими векторами в , см. рис. 14⋄2. Рас-стояние между точками гиперболической геодезической задаётся равенствами2

ch | , | = |( , )|√( , ) ⋅ ( , )

и | , | = ± ln[ , , , ] (14-7)

Оно принимает значения на [ , +∞). В прим. 14.2 ниже мы увидим, что гиперболическое рас-стояние равно длине дуги, высекаемой прямыми с направляющими векторами , из еди-ничной гиперболы ( , ) = , лежащейвпорождённойэтимивекторамигиперболическойплос-кости, см. рис. 14⋄3.

1Какмывидели, в правой части второго равенства стоит ненулевое вещественное число, и знак следу-ет выбрать так, чтобы оно было положительно. Если убрать в левой части модуль, то правая часть будетзадавать ориентированное расстояние, меняющее знак при перестановке точек и .

2Где второе равенство обладает всеми описанными в предыдущей сноске свойствами.


|𝑝 ,𝑝 |

𝑝

𝑝

окружность ( , ) =

|𝑝 ,𝑝 |

𝑝

𝑝

гипербола ( , ) =Рис. 14⋄2. Эллиптическое расстояние. Рис. 14⋄3. Гиперболическое расстояние.

Пример 14.1 (натуральная параметризация эллиптической геодезической)

Пусть геодезическая ( ) эллиптична, т. е. скалярное произведение ограничивается с простран-

𝑒

𝑒

𝑎

𝑏

𝑤(𝑡)

|𝑎, 𝑏|

Рис. 14⋄4. ( ) = ⋅ cos + ⋅ sin .

ства на линейную оболочку одномерных подпространств , ⊂ в положительно или отри-цательно определённуюформу. Выберем в этой линейной оболочке базис , с матрицей Гра-ма ± так, чтобы ∈ и обе координаты векторабыли положительны, как на рис. 14⋄4. Рассмотрим за-висящий от времени ∈ ℝ вектор

( ) = ⋅ cos + ⋅ sin

с постоянным скалярным квадратом ( � ( ), ( )) � = .При = он находится в точке , а при = | , | изформулы (14-6) он попадает в точку . Производная

( ) = ( ) ≝ lim∆ →

( + ∆ ) − ( )∆ =

= − ⋅ sin + ⋅ cos

лежит в ортогонале ⊥( ) и задаёт касательный вектор ( ) к проективному пространствуℙ( )в точке ( ) = ℝ ⋅ ( ) по правилу ( )∶ ℝ ⋅ ( ) → ⊥( ), ↦ ( ). Этот касательныйвектор лежит в одномерном касательном пространстве к геодезической ( ) и вне зависимостиот выбора знака в форм. (14-2) на стр. 253 имеет ( � ( ), ( )) � ( ) = при всех .


Таким образом, точка ( ) = ℝ ⋅ ( ) ∈ ℙ( ) движется по геодезической ( ) с единичнойскоростью, и в промежуток времени [� , | , |]� проходит в точности расстояние | , |, задава-емое формулой (14-2). Иными словами, эллиптическое расстояние между одномерными под-пространствами , равно евклидовой длине кратчайшей из заключённых между и дугединичной окружности в порождённой этими векторами плоскости c евклидовой структурой,индуцированной скалярным произведением1 из .

1Т. е. со скалярным произведением ( , ) = ±( , ), где плюс ставится когда ограничение скаляр-ного произведения с на линейную оболочку векторов , положительно определено, и минус— когдаотрицательно.

14.2. Эллиптическая геометрия 257

Пример 14.2 (натуральная параметризация гиперболической геодезической)

Пусть точки , ∈ + и скалярное произведение ограничивается с на линейную оболоч-

𝑒

𝑒

𝑎

𝑏

𝑤(𝑡)

|𝑎, 𝑏|

Рис. 14⋄5. ( ) = ⋅ ch + ⋅ sh .

ку одномерных подпространств , ⊂ в гиперболическую форму. Выберем в этой линей-

ной оболочке базис , с матрицей Грама ( − )так, чтобы ∈ и обе координаты вектора были по-ложительны, как на рис. 14⋄5. Зависящий от времени

∈ ℝ вектор ( ) = ⋅ ch + ⋅ sh имеет постоян-ный скалярный квадрат ( � ( ), ( )) � = и при =находится в точке , а при = | , | из форм. (14-7) настр. 255 попадает в точку . Как и в предыдущем при-мере, производная ( ) = ⋅ sh + ⋅ ch ∈ ( )⊥

задаёт касательный вектор ( ) ∈ ( )ℙ( ) в точке( ) = ℝ ⋅ ( ) ∈ ℙ( ) по правилу

( )∶ ℝ ⋅ ( ) → ⊥( ) , ↦ ( ) .

Определим скалярные произведения касательных векторов в точке ( ) формулой (14-2−). То-гда при всех скалярный квадрат ( � ( ), ( )) � ( ) = .


Таким образом, точка ( ) = ℝ ⋅ ( ) ∈ ℙ( ) движется по геодезической ( ) с единичнойскоростью, и в промежуток времени [� , | , |]� проходит расстояние | , | из формулы (14-7).Иными словами, гиперболическое расстояниемежду точками , гиперболической геодезиче-ской равно евклидовой длине заключённоймежду одномерными подпространствами и дугигиперболы с уравнением − = в базисе , относительно такой евклидовой структурына линейной оболочке подпространств , , в которой базис , ортонормален.

Упражнение 14.5. Для произвольного гладкого отображения ∶ ℝ → вещественной пря-мой в пространство с симметричной билинейной формой ( ∗ , ∗ )∶ × → ℝ вычислитепроизводную функции ∶ ℝ → ℝ, ( ) = ( � ( ), ( )) �, и выведите из этого, что скалярныйквадрат вектора ( )не зависит от , если и только если векторы ( )и ( ) ортогональныпри всех .

14.2. Эллиптическая геометрия. Рассмотрим пространство ≃ ℝ + с положительно опре-делённым скалярным произведением. Проективное пространство + = ℙ = ℙ( ) называетсяэллиптическим пространством. Абсолют евклидова скалярного произведения не имеет веще-ственных точек и все геодезические в эллиптическом пространстве эллиптические. Эллиптиче-ское расстояние | , | между точками , ∈ ℙ задаётся формулами (14-6)

cos | , | = |( , )|√( , ) ⋅ ( , )

или | , | = ± ln[ , , , ] , (14-8)

где , ∈ ℙℂ суть точки пересечения (комплексной проективной) прямой ( ) с (ком-плексифицированным) абсолютом ℂ ⊂ ℙℂ . Скалярное произведение касательных векторов

, ∶ → ⊥ в точке = ℝ ⋅ задаётся формулой (14-2+):

( , ) = ( � ( ), ( )) �∕( , ) . (14-9)


При ( , ) = , т. е. для векторов ∈ с концами на единичной сфере ⊂ , это скалярноепроизведение совпадает со скалярным произведением векторов = ( ) в пространстве . Вчастности для таких и = ( )

| | = √( , ) и cos ∡( , ) = |( , )|∕√( , )( , ) (14-10)


Геодезическое расстояние (14-8) задаёт на эллиптическом пространстве метрику. Каждая гео-дезическая ( ) находится в изометрической биекции с окружностью длины . ГМТ , для ко-торых выполняется равенство | , |+| , | = | , |, переходит при этой биекции в кратчайшуюиз двух заключённых между точками и дуг этой окружности.

Доказательство. Положительность и симметричность расстояния (14-8) очевидны. Неравен-ство треугольника вытекает из того, что определитель Грама евклидовой формы на линейнойоболочке ненулевых векторов , , неотрицателен и обращается в нуль , если и только еслиэти векторы линейно зависимы, т. е. лежат на одной геодезической. В самом деле, если норми-ровать векторы так, чтобы ( , ) = , и положить = ( , ), мы получим

det⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= + − − − ⩾ . (14-11)

В силу монотонного убывания функции cos на [ , ], неравенство треугольника

| , | + | , | ⩾ | , | (14-12)

равносильно неравенству cos( �| , | + | , |) � ⩽ cos | , |, которое переписывается как

cos | , | ⋅ cos | , | − cos | , | ⩽ sin | , | ⋅ sin | , | .

Посколькуправаячастьнеотрицательна, приотрицательнойлевойчастинеравенство треуголь-ника выполняется строго. Если левая часть неотрицательна, обе части неравенства можно воз-вести в квадрат. Вспоминая, что cos | , | = ( , ) = , получаем

+ − ⩽ ( − )( − ) ,

что превращается в (14-11) после раскрытия скобок и переноса левой части направо. Равенствов (14-12) влечёт равенство в (14-11), а значит, линейную зависимость точек . Это доказываетнеравенство треугольника, а также то, что равенство в нём возможно только при ∈ ( ).

Если точки , , не коллинеарны, то порождённая ими эллиптическая плоскость ℙявляется фактором двумерной единичной сферы = { ∈ ℝ | ( , ) = } в натянутом на век-торы евклидовомпространствеℝ ⊂ по отношениюэквивалентности, отождествляющемудиаметрально противоположные точки сферы. Отображение факторизации

∶ ↠ ℙ , ± ↦ ℝ ⋅ , (14-13)

непрерывно и локально изометрично в том смысле, что если наделить сферу сферическойметрикой, в которой расстоянием между точками , ∈ считается длина кратчайшей издвух дуг окружности, высекаемой из плоскостью, проходящей через , и центр сферы, то


сферический шар ∕ ( ) = { ∈ | | , | ⩽ ∕ } радиуса ∕ с центром в произвольнойточке ∈ изометрически отобразится проекцией (14-13) на эллиптический шар того же ра-диуса ∕ ( � ( )) � = { ∈ ℙ | | ( ), | ⩽ ∕ } с центром в точке ( ) эллиптической плоскостиℙ , см. рис. 14⋄6. Геодезическая ( ) ⊂ ℙ является фактором единичной окружности ,высекаемой из сферы двумерной плоскостью, натянутой на векторы , . Как топологи-ческое пространство, такой фактор гомеоморфен окружности1, и отображение факторизации

↠ ( ) биективно отображает любой полукруг в на эту окружность, причём любая дугаполукруга, длина которой не превышает ∕ , отображается на свой образ изометрически.

Рис. 14⋄6. Факторизация единичной окружности ⊂ ℝ до геодезической( ) ⊂ ℙ изометрически отображает лежащие на дуги длины ⩽ ∕ на их

образы.

Разбивая полуокружность на в объединение двух таких дуг с общим концом, мы заключа-ем, что окружность ( ) имеет длину , и расстояние между точками и равно длинекратчайшей из дух дуг, на которые эта окружность разбивается точками , . Если точка

∈ ( ), то равенство в (14-12) возможно , если и только если точка лежит именно наэтой кратчайшей дуге, см. рис. 14⋄7. �

𝑝𝑝

𝑝

⦰1𝑎 𝑏⦰1

[𝑎, 𝑏]

[𝑎, 𝑏]

Рис. 14⋄7. ГМТ :| , | + | , | = | , |.

Рис. 14⋄8. Два разных геодезическихотрезка между точками и с

| , | = ∕ .

1См. прим. 3.9 на стр. 48.


Определение 14.2 (геодезический отрезок [ , ])

Кратчайшая из двух дуг, на которые геодезическая окружность ( ) в эллиптическом простран-стве разбивается точками , , называется геодезическим отрезком [ , ]. Согласно предыду-щей предл. 14.1, геодезический отрезок [ , ] представляет собою ГМТ таких точек ∈ , что| , | + | , | = | , |. Если | , | < ∕ , то геодезический отрезок [ , ] единствен, как нарис. 14⋄7. Если же | , | = ∕ , то точки и разбивают геодезическую ( ) на два различныхгеодезических отрезка [ , ] и [ , ] одинаковой длины, как на рис. 14⋄8.

14.2.1. Неевклидовы явления в эллиптической геометрии. Как и на евклидовой плоско-

Рис. 14⋄9. Правильныйпрямоугольный треугольник.

сти 𝔸 = 𝔸(ℝ ), через любые две различные точки эллиптической плоскости ℙ = ℙ(ℝ ) про-ходит единственная прямая, и кратчайший путь из одной точкив другую идёт по геодезическому отрезку этой прямой. Одна-ко в отличие от евклидовой плоскости эллиптическая плоскостькомпактна, и геометрия взаимного расположения прямых наней отличается от евклидовой.На эллиптическойплоскостинетпараллельных прямых: любые две прямые пересекаются. Пря-мая не разбивает плоскость на две компоненты: любые две точ-ки не лежащие на прямой ℓможно соединить не пересекающимпрямую ℓ отрезком геодезической. На эллиптической плоско-сти бывают правильные треугольники с прямыми углами1, какна рис. 14⋄9, и т. д., и т. п.

Упражнение 14.6. Убедитесь, что прямые, соединяющие про-тивоположные вершиныикосаэдра с центром в нуле евкли-дова пространства ℝ , образуют на эллиптической плоско-сти ℙ = ℙ(ℝ ) конфигурацию из шести попарно равноудалённых друг от друга точек.

Пример 14.3 (медиаторы)

Равноудалённость точки от двух заданных раз-

Рис. 14⋄10. Медиаторы точек и .

личныхточек , , где все три точкипредставле-ны векторами единичной длины, выражается ра-венством |( , )| = |( , )|, которое выпол-няется в двух случаях: когда ( − , ) =или когда ( + , ) = . Таким образом, ГМТ

∈ ℙ , равноудалённых от двух заданных точек≠ , является объединением двух гиперплос-

костей, которые называются медиаторами точек, и ортогональны векторам − и +

соответственно, см. рис. 14⋄10. Обратите внима-ние, что если точки , представлены вектора-ми одинаковой длины, то точка, представленнаявектором + , лежит на одном медиаторе, а

вектором − —на другом, и эти две точки различны.

Упражнение 14.7. Покажите, что медиаторные гиперплоскости ортогональны друг друг другуи пересекаются по ГМТ ∈ ℙ с | , | = | , | = ∕ .

1Вершины которых суть векторы ортогональных базисов в ℝ .


14.2.2. Изометрии. Для любого вектора ∈ c ( , ) = отражение в гиперплоскости1 ⊥

∶ → , ↦ − ( , ) ⋅

задаёт инволютивный линейный проективный автоморфизм, который мы по-прежнему будемназывать отражением в гиперплоскостиℙ( ⊥) ⊂ ℙ( )иобозначать ∶ ℙ( ) → ℙ( ). Оностав-ляет на месте каждую точку гиперплоскости ℙ( ⊥) и её полюс относительно абсолюта. По-скольку отражение сохраняет скалярное произведение на , оно является изометрическимпре-образованием эллиптического пространства. Для любых двух различных точек , ∈ ℙ( )существуют ровно два отражения, переставляющие эти точки друг с другом, и эти отраженияпроисходят в медиаторах точек , . В самом деле, если точка принадлежит зеркалу такогоотражения, то | , | = | , |, и значит, точка принадлежит медиатору. С другой стороны,отражения ( − )⊥ ∶ → и ( + )⊥ ∶ → переводят вектор ∈ в векторы и −соответственно.

Теорема 14.1

Всякое изометрическое преобразование ∶ ℙ ⥲ ℙ эллиптического пространства ℙ = ℙ( )является линейным проективным автоморфизмом, индуцированным некоторым ортогональ-ным линейным преобразованием ∶ ⥲ , которое определяется по однозначно с точно-стью до знака2. Иначе говоря, группа изометрических преобразований -мерного эллиптиче-ского пространства изоморфна проективной ортогональной группе

ℙO + (ℝ) ≃ ℙO( ) ≝ O( )∕{±Id } .

Доказательство. Очевидно, что все преобразования из группыℙO( ) являются изометрически-ми, и что группа ℙO( ) транзитивно действует на ℙ = ℙ( ). Зафиксируем какой-либо вектор

∈ с ( , ) = . Беря композицию с ортогональным преобразованием, переводящим ( )в , мы без ограничения общности можем и будем считать, что ( ) = . Рассмотрим на ℙаффинную карту = { ∈ | ( , ) = }. Как аффинная гиперплоскость в 𝔸( ) она па-раллельна векторной гиперплоскости ⊥ ⊂ и проходит через конец вектора . Дополнениеℙ ∖ = ℙ( ⊥) представляет собою ГМТ ∈ ℙ , находящихся на расстоянии ∕ от точ-ки . Поэтому преобразование переводит и карту и её бесконечно удалённую гиперплос-кость ⊥ в себя. Поскольку преобразование сохраняет расстояние между точками, оно, в силупредл. 14.1, переводит отрезки геодезических в отрезки геодезических, а значит, проективныепрямые — в проективные прямые. По сл. 2.2 на стр. 32 ограничение | ∶ → являет-ся аффинным преобразованием. В доказательстве предл. 12.2 на стр. 219 мы видели, что такоеаффинное преобразование является ограничением на карту единственного линейного про-ективного автоморфизма ∶ ℙ ⥲ ℙ , причём задающий его линейный оператор ∶ →однозначно с точностью до пропорциональности определяется преобразованием . Посколь-ку оба преобразования , ∶ ℙ → ℙ непрерывны и совпадают на открытом всюду плотномподмножестве компактного метрического пространства ℙ , они совпадают вообще всюдуна ℙ , т. е. = .

Упражнение 14.8. Докажите это.

Умножим оператор на такую ненулевую константу, чтобы ( ) = , и дополним вектордо ортонормального базиса , , , … , пространства . Поскольку оператор сохраняет

1См. n∘ 7.1.1 на стр. 107.2Т. е. с точностью до композиции с центральной симметрией −Id ∶ ↦ − .


углы между одномерными подпространствами, векторы ( ) составляют вместе с векторомортогональный базис пространства .

Упражнение 14.9. Убедитесь, что этот ортогональный базис на самом деле ортонормален, т. е.для каждого выполняется равенство ( � ( ), ( )) � = .

Такимобразом, преобразование ортогонально.Остаётся заметить, что два ортогональныхли-нейных преобразования евклидова векторного пространства пропорциональны тогда и толькотогда, когда коэффициент пропорциональности между ними равен ± . �

Упражнение 14.10. Убедитесь в справедливости последнего утверждения.


Всякое изометрическое преобразование эллиптического пространстваℙ = ℙ (ℝ + ) являетсякомпозицией не более, чем ( + ) отражений в гиперплоскостях.

Доказательство. Это вытекает из теор. 7.1 на стр. 107. �

Предостережение 14.1. В отличие от евклидовой гео-

𝜎

𝑒

𝜎

𝑒

𝜎

𝑒

Id

Рис. 14⋄11. Образы правильногопрямоугольного ▵ приотражениях в его сторонах.

метрии, изометрия эллиптического пространства ℙ == ℙ (ℝ + ) не определяется однозначно своим действи-ем на произвольные ( + ) точек, не лежащих в од-ной гиперплоскости. Например, если эти точки отве-чают ортонормальному базису , , … , простран-ства , то имеется ровно различных преобразова-ний из группы ℙO + (ℝ), оставляющих каждую из то-чек на месте. Все они действуют на базис по правилу

↦ ± с точностью до общего для всех знака. При= эти четыре преобразования суть Id и три отраже-

ния = в сторонах правильного прямоугольного ▵, см. рис. 14⋄11. Они транзитивно действуют на

четырёх связных компонентах дополненияℙ ∖ ⋃≠

( )

к трём координатным прямым ( ) ⊂ ℙ и оставляютна месте каждую из точек1 ∈ ℙ .

Определение 14.3 (дифференциал эллиптической изометрии)

Ортогональный линейный оператор ∶ ⥲ задаёт в каждой точке ∈ ℙ( ) ортогональноелинейное отображение касательных пространств

∶ ℙ( ) ⥲ ( )ℙ( ) , ↦ − , (14-14)

переводящее касательный вектор ∶ ↦ ⊥ в касательный вектор

( )∶ ↦ ⊥ , ↦ ( ) .

Ортогональныйлинейныйоператор (14-14)называется дифференциаломизометрическогопре-образования ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ) в точке ∈ ℙ( ).

1Отражение ∶ ℝ ⥲ ℝ меняет знак у вектора ∈ ℝ и тождественно действует на остальные двабазисных вектора.


14.2.3. Треугольники. Фигура, образованная тремя геодезическими отрезками1

▵ ≝ [ , ] ∪ [ , ] ∪ [ , ]

пересекающихся в неколлинеарных точках , , геодезических ( ), ( ), ( ) эллиптическо-го пространства, называется эллиптическим треугольником. Всякий эллиптический треуголь-ник лежит в эллиптической плоскости, порождённой его вершинами. Имеется два геометриче-ски разных типа треугольников, представленные на рис. 14⋄12 и рис. 14⋄12 ниже.

Рис. 14⋄12. Треугольник первого рода. Рис. 14⋄13. Треугольник второго рода.

Образы лежащих на единичной сфере ⊂ ℝ сферических треугольников с длинами сторон⩽ ∕ при отображении факторизации из форм. (14-13) на стр. 258 называются эллиптиче-скими треугольниками первого рода. Граница такого треугольника разбивает эллиптическуюплоскостьℙ на две связные компоненты, и её можно обойти по кругу так, что треугольник всёвремя находится по левую руку. Кроме того её можно непрерывно стянуть внутри ℙ в точку.

Упражнение 14.11. Постройте такое непрерывное отображение единичного квадрата в ℙ(ℝ )

∶ [ , ] → ℙ , ( , ) ↦ ( , ) ∈ ℙ ,

что кривая ∶ [ , ] → ℙ , ↦ ( , ), является параметризацией границы треугольникапервого рода, а кривая ∶ [ , ] → ℙ , ↦ ( , ), отображает весь отрезок [ , ] в

точку ( + + )∕ ∈ ℙ .

Вершины треугольника первого рода представляются такими векторами , , единичной дли-ны, что = cos | , |⋅ +sin | , |⋅ и = cos | , |⋅ +sin | , |⋅ , где векторы и дополня-ют вектор до ортонормальных базисов в плоскостях и соответственно, см. рис. 14⋄12.Угол ∡( ) при вершине в сферическом ▵ равен евклидову углу между плоскостямии вℝ . Он имеет cos ∡( ) = ( , ). Вычисляя скалярное произведение ( , ) = cos | , |,получаем для эллиптического ▵ первого рода сферическую теорему косинусов2

cos | , | = cos | , | ⋅ cos | , | + sin | , | ⋅ sin | , | ⋅ cos ∡( ) . (14-15)

1См. опр. 14.2 на стр. 260.2Также известную как основная формула сферической тригонометрии.


Эллиптические треугольники, не являющиеся треугольниками первого рода, называютсятреугольниками второго рода. Граница треугольника второго рода поднимается на единичнуюсферу ⊂ ℝ в незамкнутую ломаную, соединяющую диаметрально противоположные точкисферы. Дополнение до границы треугольника второго рода связно: любые две не лежащие награнице точки можно соединить нигде не пересекающим границу треугольника отрезком гео-дезической. Поскольку на ℙ имеются геодезические, трансверсально пересекающие границутреугольника второго рода ровно по одной точке, и такой характер пересечения устойчив к ма-лым шевелениям как геодезической, так и треугольника, границу треугольника второго рода1

нельзя непрерывно продеформировать внутри ℙ в точку.

Упражнение 14.12. Докажите для треугольников второго рода формулу

− cos | , | = cos | , | ⋅ cos | , | + sin | , | ⋅ sin | , | ⋅ cos ∡( ) , (14-16)

левая часть которой отличается от левой части (14-15) знаком.

Таким образом, величина cos | , | ⋅ cos | , | + sin | , | ⋅ sin | , | ⋅ cos ∡( ) положительнадля треугольников первого рода и отрицательна для треугольников второго рода.

14.3. Сферическаяформаобъёма.Если зафиксировать в пространстве ортонормальныйба-зис = ( , , … , ), то с каждым ненулевым вектором ∈ можно связать кососиммет-ричную полилинейную форму ∶ × × ⋯ × → ℝ от = dim − аргументов, значениекоторой на векторах , , … , ∈ определяется равенством

∧ ∧ ∧ ⋯ ∧ = ( , , … , ) ⋅ ∧ ∧ ∧ ⋯ ∧ (14-17)

и равно определителю det матрицы координат2 векторов , , , … , в базисе .

Упражнение 14.13. Покажите, что для любого векторного пространства3 над произвольнымполем 𝕜 и любого целого неотрицательного пространство полилинейных кососиммет-ричных форм от аргументов × ⋯ × → 𝕜 канонически изоморфно пространству ли-нейных форм → 𝕜 на -той внешней степени пространства . Выведите из этого, чтосопоставление ↦ устанавливает линейный изоморфизм векторного пространствас векторным пространством полилинейных кососимметричных форм от = dim − ар-гументов на пространстве .

При выборе другого ортонормального базиса в форма не изменится, если новый базисимеет ту же ориентацию, что и базис , и умножится на − , если ориентация у нового базисапротивоположна. Квадрат значения формы на векторах , , … ,

( , , … , ) = det = det( ) = det , , ,…,

равен определителю Грама векторов , , , … , . Если векторы , , … , ∈ ⊥, то

det , , ,…, = ( , ) ⋅ det , ,…, .

Такимобразом, абсолютная величина значенияформы напараллелепипедеизподпростран-ства ⊥ ⊂ равна -мерному евклидову объёму4 этого параллелепипеда, умноженному на | |,

1Также как и любую геодезическую.2Т. е. такой матрицы , что ( , , , … , ) = ( , , … , ) ⋅ .3В том числе бесконечномерного.4См. n∘ 6.2.1 на стр. 94.

14.3. Сферическая форма объёма 265

и не зависит от выбора ортонормального базиса в . Когда вектор лежит на единичной сфере

= { ∈ | ( , ) = } ⊂ 𝔸( ) ,

векторное подпространство ⊥ является направляющим векторнымпространством аффиннойкасательной гиперплоскости = + ⊥ ⊂ 𝔸( ) к сфере в точке ∈ , и ограничениена него формы | | задаёт в этой гиперплоскости евклидов объём.

В дифференциальном исчислении гладко зависящую от точки ∈ 𝔸( ) линейную форму

( )∶ → ℝ

принято называть дифференциальной -формой и записывать в виде

( ) = ∑=

…… ( ) ⋅ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ , (14-18)

где крышка означает пропуск того, что под ней стоит, а …… ∶ 𝔸( ) → ℝ это гладкая функ-ция, значение которой в точке ∈ 𝔸( ) по определению равно значениюформы ( ) на базис-ном грассмановом мономе ∧ ⋯ ∧ − ∧ + ∧ ⋯ ∧ ∈ . Форма (14-17)

( ) ∶ → ℝ , ( , , … , ) ↦ ( , , … , ) (14-19)

записывается в виде (14-18) следующим образом:

( ) = ∑=

(− ) ⋅ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ , (14-20)


14.3.1. Объёмы фигур. Пусть некоторая область ⊂ единичной сферы ⊂ 𝔸( ) яв-ляется образом области ⊂ ℝ евклидова пространства ℝ при биективном гладком отоб-ражении ∶ → . Тогда в каждой точке ∈ дифференциал отображения линей-но отображает векторное пространство ℝ , воспринимаемое как касательное пространство кобласти в точке , в направляющее векторное пространство ( )⊥ ⊂ аффинной касатель-ной гиперплоскости к сфере в точке ( ). Дифференциал переводит параллелепипеды

⊂ ℝ в параллелепипеды ( ) ⊂ ( )⊥ так, что отношение евклидова объёма паралле-лепипеда ( ) в касательном пространстве к в точке ( ) к евклидову объёму параллеле-пипеда в ℝ одинаково для всех и равно ( ) = |� ( )( � ( ), ( ), … , ( )) �| �, где

, , … , — произвольный ортонормальный базис в ℝ . Таким образом, функция ( ) за-даёт «коэффициент растяжения» евклидова объёма при линейном отображении касательныхпространств ∶ → ( ) в каждой точке ∈ . Интеграл от неё по области естествен-но называть объёмом сферической области = ( ) ⊂ :

Vol( ) ≝ ∫ ( ) … .

Возникающая при этом на области дифференциальная форма

( ) ∶ ℝ → ℝ , ( , , … , ) ↦ ( )( � ( ), ( ), … , ( )) �

называется подъёмом имеющейся на сфере ⊂ 𝔸( ) дифференциальной формы (14-19) отно-сительно гладкого отображения ∶ → и обычно обозначается ∗ .


Пример 14.4 (площадь полусферы)

Пересечение единичной сферы ⊂ ℝ с полупро-

Рис. 14⋄14. Эйлеровы углы.

странством ⩾ является образом квадрата

= {( , ) ∈ ℝ | − ∕ ⩽ , ⩽ ∕ }

из евклидова пространстваℝ с координатами ( , ) приотображении Эйлера ∶ → , ( , ) ↦ ( , , ), где

= cos cos= cos sin= sin .

(14-21)

Дифференцируя эти равенства по и , получаем

= − sin cos − cos sin ∧ = cos cos ∧= − sin sin + cos cos ∧ = − cos sin ∧= cos , ∧ = cos sin ∧ .

Подставляя эти выражения в дифференциальную форму (14-20)

( ) = ∧ − ∧ + ∧ ,

после многочисленных сокращений заключаем, что её подъём со сферы на евклидову плос-кость ℝ с декартовыми координатами ( , ) имеет вид ∗ ( , ) = cos ∧ .

Упражнение 14.15. Убедитесь в этом!

Стало быть, функция ( , ) = cos , и площадь полусферы

( ) = ∫ ( , ) =∕

∫− ∕

∕

∫− ∕

cos = .

Рис. 14⋄15. Площадь сферической лунки суглом равна .

Рис. 14⋄16. Лунки с углами и и двечасти от лунки с углом .

14.4. Гиперболическая геометрия 267

Теорема 14.2

Площадь сферического треугольника с углами , , равна + + − . В частности, суммауглов сферического треугольника всегда строго больше .

Доказательство. Площадь сферической луночки, заключённой между двумя проходящими че-рез центр сферы плоскостями, пропорциональна углу между этими плоскостями и относитсяк площади полусферы как ∶ , см. рис. 14⋄15. Поэтому площадь такой лунки равна . Сфе-рический треугольник на рис. 14⋄16 высекается из полусферы двумя луночками c углами и .Дополнение к этим луночкам и треугольник вместе составляют две части сферической луночкис раствором . Поэтому сумма площадей трёх сферических лунок с углами , , отличается отплощади полусферы тем, что интересующий нас треугольник учтён в ней трижды, т. е. площадьэтого треугольника удовлетворяет равенству + = ( + + ). �14.3.2. Инвариантнаяформаобъёманаэллиптическомпространстве.Сферическаяфор-

ма объёма на касательных пространствах к единичной сфере вℝ + индуцирует форму объёмаVol на касательных пространствах ℙ к эллиптическому пространству ℙ = ℙ(ℝ + ) вовсех его точках ∈ ℙ по правилу

Vol ∶ ℙ → ℝ⩾ , ( , , … , ) ↦ |� ( � ( ), ( ), … , , ( )) �|�| | + . (14-22)

Правая часть этой формулы не зависит от выбора ненулевого представителя ∈ и обладаеттем свойством, что для любого ортогонального линейного оператора ∶ ⥲ выполняетсяравенство

Vol ( )( � ( ), ( ) … , ( )) � = Vol ( , , … , ) ,

где ∶ ℙ( ) → ( )ℙ( ) это дифференциал1 преобразования ∶ ℙ( ) ≃ ℙ( ).Упражнение 14.16. Убедитесь в этом.

При ( , ) = и ( ) = формула (14-22) упрощается до

Vol ( , , … , ) ≝ |� ( , , … , )|� (14-23)

и равна абсолютной величине формы объёма (14-20) на единичной сфере.

14.4. Гиперболическая геометрия. Рассмотрим пространство = ℝ + с лоренцевым скаляр-ным произведением сигнатуры ( , )

( , ) = − ∑=

. (14-24)

Условимсяназывать ортогональныебазисыпространства , в которых скалярноепроизведениезадаётся формулой (14-24), лоренцевыми. Изотропная квадрика = { ∈ ℙ( ) | ( , ) = }непуста и разбивает ℙ = ℙ( ) на два непересекающихся подмножества. В аффинном про-странстве 𝔸( ) множество + = { ∈ | ( , ) > } представляет собою внутренность конуса, а множество + = −{ ∈ | ( , ) < } является его внешностью, см. рис. 14⋄17 на стр. 268.

Проективизация первого множества + = { ∈ ℙ | ( , ) > } называется -мерным про-странством Лобачевского или гиперболическим пространством и обозначается 𝕃 .

1См. опр. 14.3 на стр. 262.


Ограничение скалярного произведения (14-24) на ортогонал ⊥ к любому вектору с по-ложительным квадратом ( , ) > отрицательно определено. Поэтому все геодезические( ), где , ∈ 𝕃 , имеют гиперболический тип1. Гиперболическое расстояние | , | междуточками , ∈ 𝕃 задаётся формулами (14-7) :

ch | , | = |( , )|√( , ) ⋅ ( , )

и | , | = ± ln[ , , , ] , (14-25)

где , ∈ ℙ суть точки пересечения2 проективной прямой ( ) ⊂ с абсолютом ⊂ ℙ .

Рис. 14⋄17. Вектор с ( , ) = , абсолютный конус = { ∈ | ( , ) = } иположительная пола + = ∩ + гиперболоида = { ∈ | ( , ) = }.

Если выбрать векторы + ∈ и + ∈ лежащими на положительной поле

+ ≝ { = ( , , … , ) ∈ ℝ + | ( , ) = & > } ⊂ 𝔸( ) (14-26)

двуполостного гиперболоида векторов единичной длины, то угол между векторами +, + бу-дет острым3, что позволяет избавиться от модуля и знаменателя в первой из формул (14-25):

ch | , | = ( +, +) . (14-27)

Упражнение 14.17. Покажите, что для любых двух ненулевых векторов +, + ∈ с концамина + разность + − + ∉ 𝕃 .

1Любой ненулевой вектор ∈ имеет ( , ) > , а ортогонал к нему пересекает плоскость поодномерному пространству, на котором скалярное произведение отрицательно определено.

2Обратите внимание, что обе они вещественны.3Поскольку лежит внутри евклидова прямого угла, высекаемого плоскостью ( ) ⊂ из конуса

( , ) > .


Скалярное произведение касательных векторов , ∈ 𝕃 в точке = ℝ ⋅ гиперболиче-ского пространства 𝕃 определяется по форм. (14-2−) на стр. 253 :

( , ) ≝ − ( ( ), ( ))∕( , ) . (14-28)

Оно положительно определено. Для вектора ∈ с концом на + аффинная гиперплоскость+ ⊥ ⊂ 𝔸( ) представляет собою аффинное касательное пространство к гиперболоиду + в

точке . Сопоставляя касательному вектору ∶ → ⊥ из 𝕃 вектор = ( ) ∈ ⊥, мыможем отождествить касательное пространство 𝕃 с векторным подпространством ⊥ ⊂ ,состоящим из всех касательных векторов к + в точке . При таком отождествлении длиныкасательных векторв и углы между ними вычисляются по формулам

| | = √−( , ) и cos ∡( , ) = |( , )|∕√( , )( , ) . (14-29)


Геодезическое расстояние (14-25) задаёт на гиперболическом пространстве 𝕃 метрику. Каж-дая геодезическая ( ) ⊂ 𝕃 гомеоморфна вещественной прямой, и отрезок [ , ] этой прямойпредставляет собою ГМТ ∈ 𝕃 , для которых выполняется равенство | , | + | , | = | , |.

Доказательство. Любые три линейно независимых вектора , , с концами на + порож-дают в ℙ( ) плоскость, которая не касается абсолютной квадрики . Поэтому ограничение ло-ренцева скалярного произведения на линейную оболочку этих векторов не вырождено и имеетсигнатуру ( , ). Следовательно, их определитель Грама

= det⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

= + − − − ⩾ , (14-30)

где, как и в форм. (14-11) на стр. 258, мы полагаем = ( , ). В силу монотонного возраста-ния функции ch на [ , ∞), неравенство треугольника для точек , , равносильно нера-венству ch( �| , | + | , |) � ⩾ ch | , |, которое можно переписать как

sh | , | ⋅ sh | , | ⩾ ch | , | − ch | , | ⋅ ch | , | . (14-31)

Поскольку левая часть здесь неотрицательна, при отрицательной правой части неравенствотреугольника выполняется строго. Если же правая часть неотрицательна, возводя обе частинеравенства в квадрат и пользуясь тем, что ch − sh = , получаем

( − )( − ) ⩾ + − ,

что превращается в (14-30) после раскрытия скобок и переноса правой части налево. Равенствов (14-31) влечёт равенство в (14-30) и, тем самым, линейную зависимость точек . При ≠пересечение гиперболоида + с натянутымна , двумерным векторнымподпространством

⊂ представляет собою гиперболу в аффинизации 𝔸( ) этого пространства. Если выбратьв базис , с ∈ и таким , что ( , ) = − , ( , ) = , а вектор имеет неот-рицательные координаты, гипербола ∩ + запишется в нём уравнением − = и будетвыглядеть как на рис. 14⋄5 из прим. 14.2 на стр. 257, где мы видели, что гиперболическое рас-стояние между точками и этой гиперболы равно евклидовой длине заключённой междуними дуги в такой евклидовой структуре на пространстве , для которой базис , ортонор-мален. Таким образом, равенство | , | + | | = | | выполняется в точности для точек

, лежащих на заключённой между точками и дуге гиперболы. �


14.4.1. Неевклидовы эффекты в гиперболической геометрии. Всё гиперболическое про-странство 𝕃 полностью наблюдаемо в стандартной аффинной карте

= {( , , … , ) ∈ ℝ + | = }

проективного пространства ℙ = ℙ(ℝ + ) как внутренность единичного шара

= {( , , , … , ) ∈ | + + ⋯ + ⩽ } = + ∩ .

При этом прямые из 𝕃 видны в в виде прямых, и через любые две различные точки про-

ℓ

ℓевк

𝑒

sh ℓ𝑢

𝑤

𝐺

𝐺

𝐵

𝐵

𝑈

𝑈

𝑒⊥

𝑒⊥

𝑥1 ch ℓ

𝐻+

Рис. 14⋄18. ℓевк ∶ = sh ℓ ∶ ch ℓ.

ходит единственная прямая, а кратчайший путь из од-ной точки в другую идёт по отрезку этой прямой. Таже картина имеет место в евклидовом пространствеc евклидовой структурой, задаваемой взятым с проти-воположным знаком ограничением лоренцева скаляр-ного произведения c на направляющее подпростран-ство Ann карты . Однако и расстояния, и углы в 𝕃отличаются от расстояний и углов в евклидовом про-странстве . Так, точка = ch ℓ ⋅ + sh ℓ ⋅ ∈ 𝕃 ,находящаяся на гиперболическом расстоянии ℓ от точ-ки , видна в аффинной карте = + ⊥ как точка

= + th ℓ ⋅ , см. рис. 14⋄18, удалённая от на ев-клидово расстояние

ℓевк = th ℓ , (14-32)

и когда точка приближается к абсолюту, т. е. приℓевк → , гиперболическое расстояние ℓ → ∞. Плос-кость Лобачевского 𝕃 , как и евклидова плоскость, раз-бивается каждой лежащей в ней прямой на две связныекомпоненты. Однако через любую точку , не лежащуюна произвольно заданной прямой ℓ, проходит контину-альное семейство прямых, не пересекающих прямую ℓ,

см. рис. 14⋄19.

Пример 14.5 (гиперболическая тригонометрия)

Рассмотрим три линейно независимых вектора , , ∈ 𝕃 с кон-

ℓ

𝑎

𝐵

Рис. 14⋄19.

цами на +. Дополним вектор до лоренцева базиса в линейной обо-лочке векторов , вектором так, чтобы вектор имел в этомбазисе положительные координаты, и рассмотрим аналогичный лорен-цев базис , в линейной оболочке векторов , . Тогда уголпри вершине в ▵ имеет cos = −( , ), а векторы ,

выражаются через базисные как1

= ch | , | ⋅ + sh | , | ⋅= ch | , | ⋅ + sh | , | ⋅ .

(14-33)

1Ср. с доказательством форм. (14-15) на стр. 263.


Вычисляя при помощи этих разложений лоренцево произведение ( , ) = ch | , |, полу-чаем гиперболическую теорему косинусов

ch | , | = ch | , | ⋅ ch | , | − sh | , | ⋅ sh | , | ⋅ cos . (14-34)

Из (14-33) вытекает также, что определитель матрицы координат векторов , , в произ-вольно зафиксированном лоренцевом базисе пространства = ℝ равен

det( , , ) = sh | , | sh | , | det( , , ) .

Так как квадрат последнего определителя равен определителю Грама1 векторов , , :

det ( , , ) = , , = det⎛⎜⎜⎝

− − cos− cos −

⎞⎟⎟⎠

= sin ,

в любом ▵ с гиперболическими углами , , и длинами сторон ℓ = | , | длявсех перестановок , , номеров , , выполнена гиперболическая терема синусов

det( , , ) = sh ℓ sh ℓ sin , (14-35)

где векторы , представляющие вершины треугольника, предполагаются лежащими на еди-ничном гиперболоиде +. Из формулы (14-35) вытекает равенство

sh ℓsin = sh ℓ

sin = sh ℓsin , (14-36)

также известное как гиперболическая терема синусов.

𝑏

𝑝ℓ

𝐺

ℓ

ℓ⊥

𝕃𝑝ℓ′

𝑝ℓ′′

𝐺

ℓ′ℓ′′

ℓ⊥

𝕃

Рис. 14⋄20. Перпендикуляр ℓ⊥,опущенный из точки на прямую ℓ.

Рис. 14⋄21. Общий перпендикуляр ℓ⊥ кдвум не пересекающимся прямым ℓ′, ℓ″.

Пример 14.6 (перпендикуляры к прямым)

Прямая ℓ ⊂ ℙ = ℙ(ℝ ) пересекает плоскость Лобачевского 𝕃 ⊂ ℙ , если и только если еёполюс ℓ относительно абсолютной коники ⊂ ℙ не лежит в 𝕃 , см. рис. 14⋄20. Две такиепрямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно , т. е. од-на (а значит, и каждая) из них проходит через полюс другой. В частности, через каждую точку

1Определитель Грама любого набора векторов равен определителю Грама лоренцева базиса в ℝ ,умноженному на квадрат определителя матрицы координат этих векторов в лоренцевом базисе, ср.с предл. 6.2 на стр. 94.


∈ 𝕃 ∖ ℓ проходит единственная прямая, перпендикулярная прямой ℓ, а именно — прямая( ℓ). В точке пересечения = ( ℓ) ∩ ℓ достигается строгий абсолютный минимум гипербо-лического расстояния от точки точек прямой ℓ, поскольку для любой отличной от точки

∈ ℓ в силу формулы (14-15) выполняется неравенство ch | , | = ch | , | ⋅ ch | , | > ch | , |,ибо ch | , | > . В отличие от евклидовой плоскости, у любых двух пересекающих 𝕃 но не пе-ресекающихся внутри 𝕃 прямых ℓ′, ℓ″ ⊂ ℙ имеется единственный общий перпендикуляр, аименно — поляра ℓ⊥ = ( ℓ′ ℓ″) точки ℓ′ ∩ ℓ″ относительно абсолютной коники . При этомточки пересечения ′ = ℓ′ ∩ ℓ⊥ и ″ = ℓ″ ∩ ℓ⊥ образуют единственную пару точек, на которойдостигается строгий абсолютный минимум расстояний между точками прямых ℓ′ и ℓ″ в томсмысле, что | ′, ″| > | ′, ″| для всех ′ ∈ ℓ′ ∖ ′, ″ ∈ ℓ″ ∖ ″.

Пример 14.7 (медиатор)

В гиперболическом пространстве 𝕃 равноудалённость точки от двух заданных различныхточек , , где все три точки представлены векторами с концами на +, выражается равен-ством1 ( , ) = ( , ), означающем, что ∈ ( − )⊥. Таким образом, ГМТ ∈ 𝕃 , рав-ноудалённых от двух заданных точек ≠ , высекается из 𝕃 проективной гиперплоскостью( − )⊥, полярной к точке − , которая лежит вне 𝕃 по упр. 14.17 на стр. 268. Как и вевклидовой геометрии, эта гиперплоскость перпендикулярна прямой ( ) и проходит черезточку ( + )∕ ∈ 𝕃 .


Если ( + ) точек , , … , ∈ 𝕃 не лежат в гиперплоскости, а точки , ∈ 𝕃 таковы, что| , | = | , | для всех ⩽ ⩽ , то = .

Доказательство. Если ≠ , то согласно прим. 14.7 все точки ∈ ( − )⊥. �14.4.2. Группа изометрий. Гиперплоскость ⊥ ⊂ ℙ( ), лоренцево ортогональная вектору

∈ , пересекает гиперболическое пространство 𝕃 , если и только если ( , ) < . Отраже-ние в такой гиперплоскости ∶ → , ↦ − ( , ) ⋅ задаёт линейную проективнуюинволюцию ∶ ℙ( ) → ℙ( ), оставляющую на месте точку и все точки гиперплоскости ⊥.Она переводит в себя абсолютную квадрику ⊂ ℙ( ) и пространство Лобачевского 𝕃 . Воз-никающее таким образом изометрическое преобразование ∶ 𝕃 → 𝕃 отправляет точку

∈ 𝕃 в такую точку ( ) ∈ ( ), что точки и ( ) гармоничны на прямой ( ) точками ∗ = ( )∩ ⊥, вторая из которых сопряжена точке относительно абсолюта. Для любых двухразличных точек , ∈ 𝕃 существует единственная гиперплоскость, отражение в которойпереводит эти точки друг в друга. Это в точности медиаторная гиперплоскость ( + − +)⊥.


Теорема 14.3

Всякое изометрическое преобразование ∶ 𝕃 → 𝕃 задаётся лоренцево ортогональным ли-нейным оператором ∶ ⥲ , который определяется преобразованием однозначно с точ-ностью до умножения на ± . Каждое изометрическое преобразование является композициейне более + отражений в гиперплоскостях. Для любых двух наборов из + не содержащихсяв гиперплоскости точек , , ⩽ ⩽ , таких что | , | = | , | для всех , , существует

1Обратите внимание, что в отличие от прим. 14.3 на стр. 260 в этом равенстве нет модулей, см.форм. (14-27) на стр. 268.


единственное изометрическое преобразование ∶ 𝕃 ≃ 𝕃 , переводящее точку в точкудля каждого .

Доказательство. Представим все точки векторами с концами на +. Тогда равенства | , | == | , | для всех , означают равенство матриц Грама этих наборов векторов. Поэтому суще-ствует линейный лоренцево ортогональный оператор ∶ → , переводящий векторы ввекторы . Согласно предл. 14.3, каждая точка ∈ 𝕃 однозначно определяется своими рас-стояниями как до точек , так и до точек . Поэтому всякое изометрическое преобразование𝕃 → 𝕃 , переводящее точки в точки , совпадает с задаваемым оператором преобразова-нием ∶ 𝕃 → 𝕃 . Это доказывает первое и последнее утверждения теоремы. Единственностьоператора с точностью до знака проверяется той же выкладкой, что и в упр. 14.10 на стр. 262,а его разложение в композицию не более + отражений — теми же рассуждениями, что и втеор. 7.1 на стр. 107, но c использованием упр. 14.18. �

Упражнение 14.19. Аккуратно проделайте все эти рассуждения.


Всякое изометрическое преобразование ∶ 𝕃 → 𝕃 однозначно продолжается на абсолют до

непрерывного преобразования ∶ 𝕃 → 𝕃 , где 𝕃 означает замыкание 𝕃 в ℙ = ℙ( ), иоднозначно восстанавливается по своему действию на абсолюте. �

Пример 14.8 (гиперболические сферы)

Гиперболическая сфера радиуса с центром в точке ∈ 𝕃 определяется как ГМТ ∈ 𝕃 с

𝑝0

𝐺 𝑝⊥

𝕃

Рис. 14⋄22. Пучок окружностей с центромв на плоскости Лобаческского.

| , | = . Это гладкая вещественная проективная квадрика с уравнением1

( , ) − ( , ) ⋅ ( , ) ⋅ ch = . (14-37)

Все такие квадрики лежат в пучке = − ,натянутом на вырожденную квадрику ранга ,которая задаётся квадратичной формой ( ) == ( , ) из первого слагаемого в (14-37) и пред-ставляет собоюдвойнуюполярнуюгиперплоскость

⊥ точки , а также абсолютную квадрику , кото-рая задаётся квадратичной формой ∞( ) = ( , )из второго слагаемого в (14-37). Симметричная би-линейная форма квадрики = − имеет вид ( , ) = ( , )( , ) − ( , ), и полярная линей-ная форма точки относительно неё

( , ) = ( , )( , ) − ( , ) = ( , ) ⋅ ( �( , ) − ) �

тождественно зануляется при = ( , ). Поэтому сфера нулевого радиуса ( , ) = −( , ) ⋅особа в точке .

Упражнение 14.20. Убедитесь, что в комплексном проективном пространстве ℙℂ квадрика

( , ) представляет собою простой конус с вершиной в , образованный всеми (комплекс-ными) касательными прямыми, опущенными из на .

1См. первую из форм. (14-25) на стр. 268.


Группа всех изометрических преобразований 𝕃 → 𝕃 , оставляющих точку на месте, пе-реводит в себя каждую из трёх квадрик ( , ), = , ∞ = , а значит, и каждую квадрикуиз натянутого на них пучка. Поскольку группа транзитивно действует на проходящих черезточку прямых, каждая гиперболическая сфера = − представляет собою одну орбитугруппы . Гиперболический радиус сферы связан с параметром пучка соотношением

= ( , ) ⋅ ch . (14-38)

В частности, множество вещественных точек сферы непусто при ⩾ ( , ), и при = ( , )гиперболическая сфера вырождается в одну двойную точку .

Если отождествить плоскость Лобачевского 𝕃 с единичным кругом в аффинной карте иввести в нём декартовы координаты ( , ) так, чтобы = ( , ), то лоренцев скалярный квадратточки будет равен ( , ) = − , а пучок гиперболических окружностей с центром в будетвыглядеть как пучок эллипсов1 с уравнениями ( − ) − ( + − ) = , см. рис. 14⋄22.

𝑎𝑝

𝐺 𝑎⊥

𝕃 𝑝 𝑎

𝐺 𝑎⊥

𝕃 𝑐 → 𝑎

Рис. 14⋄23. Пучок орициклов с полюсом вточке на абсолюте.

Рис. 14⋄24. Орицикл как пределпроходящих через окружностей

неограниченного радиуса.

Пример 14.9 (орициклы)

Квадрикииз пучка, порождённого абсолютом и двойной касательной плоскостью внеко-торой точке ∈ на абсолюте, называются орициаклами с полюсом . Через любую точку

∈ 𝕃 и любую точку ∈ проходит единственный орицикл с полюсом в , см. рис. 14⋄23.Его можно воспринимать как предел проходящих через точку сфер, центры которых уда-ляются от точки в направлении , а радиусы2 неограниченно возрастают, см. рис. 14⋄24. Вотличие от евклидовой геометрии, в геометрии Лобачевского такие сферы не «уплощаются»в пределе до перпендикулярной к прямой ( ) гиперплоскости, проходящей через точку , астремятся к гладкой квадрике — орициклу с полюсом в .

Определение 14.4 (дифференциал гиперболической изометрии)

Как и в эллиптическом случае, ортогональный оператор ∶ ⥲ задаёт для каждой точки∈ 𝕃 ортогональное линейное отображение касательных пространств

∶ 𝕃 ⥲ ( )𝕃 , ↦ − , (14-39)

1На комплексной проективной плоскости ℙℂ это пучок коник с двумя базисными точками и двумяособыми кониками, как на рис. 13⋄4 на стр. 238.

2Т. е. гиперболические расстояния | , |, где это центр соответствующей сферы.

14.5. Гиперболическая форма объёма 275

переводящее касательный вектор ∶ ↦ ⊥ в касательный вектор

( )∶ ↦ ⊥ , ↦ ( ) .

Ортогональныйлинейныйоператор (14-14)называется дифференциаломизометрическогопре-образования ∶ ℙ( ) ⥲ ℙ( ) в точке ∈ ℙ( ).

14.5. Гиперболическаяформаобъёма.Точно также, каки в n∘ 14.5 на стр. 275, с каждымнену-левым вектором из пространства с лоренцевым скалярным произведением связана косо-симметричная -линейная форма на , значение которой на векторах , , … , ∈ опре-деляется равенством

∧ ∧ ∧ ⋯ ∧ = ( , , … , ) ⋅ ∧ ∧ ∧ ⋯ ∧ , (14-40)

где = ( , , … , ) это лоренцев1 пространства. С точностью до знака, она не зависит отвыбора лоренцева базиса в , и абсолютная величина её значения на параллелепипеде из под-пространства ⊥ ⊂ равна умноженному на | | евклидову -мерному объёму2 этого парал-лелепипеда вне зависимости от выбора лоренцева базиса в . Если вектор лежит на гипербо-лоиде3 + векторное подпространство ⊥ является направляющим векторным пространствомкасательной гиперплоскости + ⊂ 𝔸( ), и ограничение на него формы | | задаёт в этойгиперплоскости евклидов объём. В координатах относительно лоренцева базиса задаваемаяравенством (14-40) дифференциальная форма

( ) ∶ → ℝ , ( , , … , ) ↦ ( , , … , ) (14-41)

записывается в точности также, как и на эллиптическом пространстве4:

( ) = ∑=

(− ) ⋅ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ , (14-42)

Если задана гладкая биекция ∶ → некоторой области ⊂ ℝ евклидова пространстваℝ на область ⊂ +, то подъём ∗ формы с + наℝ в каждой точке ∈ пропорциона-ленформе евклидова объёманаℝ . Абсолютная величина коэффициента пропорциональностиявляется неотрицательной функцией на области

( ) = | � ( )( � ( ), ( ), … , ( )) �|� ,

где , , … , — произвольный ортонормальный базис в ℝ , и интеграл от этой функцииназывается объёмом гиперболической области = ( ) ⊂ +:

Vol( ) ≝ ∫ ( ) … .

Как и в n∘ 14.3.2 на стр. 267, форму (14-42) можно по однородности распространить до инвари-антной формы объёма на касательном пространстве 𝕃 в точке ∈ 𝕃 правилом

Vol ∶ 𝕃 → ℝ⩾ , ( , , … , ) ↦ | � ( � ( ), ( ), … , , ( )) �| �| | + , (14-43)

1См. n∘ 14.4 на стр. 267.2См. n∘ 6.2.1 на стр. 94.3См. формулу (14-27) на стр. 268.4См. формулу (14-20) на стр. 265.


которое не зависит от выбора ненулевого представителя ∈ и при ∈ + и = ( )превращается в форму (14-41)

Vol ( , , … , ) = ( , , … , ) .

Как и в эллиптическом случае, форма (14-43) обладает тем свойством, что для любого лоренце-во ортогонального линейного оператора ∶ ⥲ выполняется равенство

Vol ( )( � ( ), ( ) … , ( )) � = Vol ( , , … , ) ,

где ∶ ℙ( ) → ( )ℙ( ) это дифференциал1 преобразования ∶ ℙ( ) ≃ ℙ( ).

Пример 14.10 (подъём гиперболического объёма на евклидов шар ⊂ )

Обозначимчерез = ∕ стандартные координатыв аффиннойкарте ⊂ ℙ(ℝ + ), которуюмы будем рассматривать как евклидово пространство со скалярным произведением

( , ) ≝ −( , ) = + + ⋯ + ,

противоположным по знаку к ограничению лоренцева скалярного произведения с ℝ + на ⊥.Лежащий на единичном гиперболоиде вектор ( ) ∈ +, который представляет ту же самуюточку пространства 𝕃 , что и вектор ∈ ⊂ , имеет вид ( ) = ⋅ ( + ) и лоренцев

скалярныйквадрат = ( � ( ), ( )) � = ⋅( � +( , )) �, откуда = ( � +( , )) �− . Так как = ,дифференциал = + . Поэтому

∧ ∧ ⋯ ∧ = ∧ ∧ ⋯ ∧ +

+ −∑=

(− ) − ∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ ,

∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ = − ∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ .

Подставляя это в форму объёма (14-42), заключаем, что её подъём с гиперболоида + на евкли-дов шар ⊂ имеет вид

( ) = ∧ ∧ ⋯ ∧ + ∑=

(− ) ∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ =

= + ∧ ∧ ⋯ ∧ +

+ ∑=

(− ) − ∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ +

+ ∑=

(− ) ∧ ∧ ⋯ ∧ ∧ ⋯ ∧ =

= ∧ ∧ ⋯ ∧

( � − ( , ) ) �+ .

Таким образом, коэффициент растяжения гиперболического объёма по отношению к евклидо-ву в точке ∈ зависит только от евклидовой нормы | | = ( , ) вектора и равен

( ) = ( � − | | ) �−+

. (14-44)

1См. опр. 14.4 на стр. 274.

14.5. Гиперболическая форма объёма 277

Пример 14.11 (площадь гиперболического треугольника)

Рассмотрим на плоскости Лобачевского 𝕃 прямоугольный ▵ с прямым углом в вершине

𝛼𝑎

𝑢

𝑤𝑡

𝑡

ℓ

𝐺

𝕃

Рис. 14⋄25. Изображениегиперболического ▵ вкарте = + ⊥, где

ℓ = th | , |.

и гиперболическими углами и в вершинах и . Поместим в вершину начальный век-тор лоренцева базиса вℝ и обозначим через и изображе-ния вершин и в проходящей через конец вектора ∈ ℝстандартной аффинной карте = + ⊥ на ℙ = ℙ(ℝ ),см. рис. 14⋄25. Поскольку прямые ( ) и ( ) сопряжены в ℙотносительно абсолютной коники , их изображения ( ) и( ) в карте перпендикулярны друг другу в евклидовойструктуре на ⊥, а так как гиперболические углы между каса-тельными векторами к ℙ в точке совпадают с евклидовы-ми углами в пространстве ⊥, евклидов угол между прямыми( ) и ( ) равен гиперболическому углу в ▵ . Обозна-чим через ℓ евклидову длину катета [ , ] евклидова ▵ .По форм. (14-32) на стр. 270 она выражается через гипербо-лическую длину | , | соответствующего катета в ▵ какℓ = th | , |. Гиперболическая площадь ▵ равна интегра-лу от функции (14-44) по ▵ :

(▵ ) = ∫▵

( − )− ,

где ( , ) —декартовы координаты в карте , а = + —квадрат евклидова расстояниядо нуля. Переходя к полярным координатам

= cos = cos − sin= sin = sin + cos

∧ = ∧ ,

получаем

(▵ ) = ∫

ℓcos

∫ ( − )− = ∫( �( − ℓ ∕cos )− − ) � =

= ∫cos

√ − ℓ − sin− = arcsin

(sin

√ − ℓ )− .

Упражнение 14.21. Убедитесь, что sin ∕√ − ℓ = cos .

Итак, гиперболическая площадь прямоугольного треугольника с углами , равна

(▵ ) = arcsin(cos ) − = − − .

Разрезая произвольный треугольникна два прямоугольных треугольника высотою, заключаем,что гиперболическая площадь треугольника с углами , , равна − − − . В частности,сумма углов треугольника в гиперболической геометрии всегда строго меньше . Из соображе-ний непрерывности, формула для площади остаётся справедливой и для треугольников с вер-шинами на абсолюте, не имеющих никаких других точек на абсолюте, кроме вершин.


14.6. Конформныемоделигиперболическогопространства.Такназываютизображенияпро-странства Лобачевского точками евклидова пространства, в которых евклидовы углы междугеодезическими равны гиперболическим углам, однако сами геодезические изображаются нев виде евклидовых прямых, как это было в рассмотренной выше линейной модели ⊂ , а ввиде некоторых коник и прямых специального вида. Одна из такихмоделей получается из изоб-ражения пространства Лобачевского 𝕃 ⊂ ℙ(ℝ + ) внутренностью единичного шара ⊂представленнымна рис. 14⋄26 биективным квадратичным преобразованием ∶ → это-го шара в точно такой же единичный шар

≝ {( , , , … , ) ∈ ℝ + | + + ⋯ + = } ⊂ 𝔸( ⊥) , (14-45)

но лежащий в проходящей через нуль гиперплоскости ⊥, параллельной карте .

−𝑒10

𝐵

𝐵

𝐵

𝐵

𝑈

𝑆

𝑥 , … , 𝑥

𝑥

Рис. 14⋄26. Квадратичноепреобразование ∶ → .

Рис. 14⋄27. Вид сбоку на рис. 14⋄26.

Преобразование осуществляется в два шага. Сначала параллельно спроектируем шар внаправлении вектора − на положительную полусферу ⩾ единичной евклидовой сферы

= {( , , … , ) ∈ ℝ + | + + ⋯ + = } . (14-46)

Затем отобразим эту полусферу на параллельную карте экваториальную плоскость 𝔸( ⊥)стереографическойпроекциейиз диаметральнопротивоположнойк точки− ∈ . Напер-вом шаге лежащие в шаре отрезки прямых из переходят в дуги окружностей, пересекаю-щих экваториальнуюплоскость𝔸( ⊥) под прямым углом, как на рис. 14⋄26. Согласно прим. 6.9на стр. 104, следующая далее стереографическая проекция является ограничением на сферуинверсии относительно большей сферы, изображённой на рис. 14⋄27 краснымпунктиром. Онаимеет центр в точке − и пересекает аффинную гиперплоскость𝔸( ⊥) по тойже самой ( − )-мерной единичной сфере с центром в нуле

− = ∩ 𝔸( ⊥) = {( , , , … , ) ∈ ⊥ | + + ⋯ + = } , (14-47)

чтои сфера (14-46).Поскольку стереографическаяпроекция сохраняет углыипереводитокруж-ности в окружности или прямые, геодезические пространства 𝕃 изобразятся в шаре в виде

14.6. Конформные модели гиперболического пространства 279

его диаметров, а также всевозможных дуг окружностей, пересекающих граничную сферу −

под прямым углом. При этом прямыми изобразятся в точности те геодезические, что проходятчерез точку ∈ 𝕃 , которая переводится преобразованием в центр шара .

Упражнение 14.22. Обозначим через и евклидовы расстояния от центров шаров идо точек ∈ и = ( ) ∈ соответственно. Покажите, что они связаны соотноше-ниями = ∕( + ) и = ( � − √ − ) �∕ .

Лемма 14.1

Отражение ∶ 𝕃 → 𝕃 , ↦ − ( , ) ⋅ ∕( , ), в ортогональной гиперплоскости ⊥ ⊂к вектору с концом в карте и отрицательным лоренцевым квадратом ( , ) < действуетв модели как инверсия , ∶ → относительно ( − )-мерной сферы в пространстве𝔸( ⊥), имеющей центр в точке = ( ) = − ( , ) ⋅ , которая является параллельнойпроекцией точки ∈ на 𝔸( ⊥) вдоль вектора − , и радиус = ( ), квадрат которого

= deg − = || || −

равен степени точки относительно единичной ( − )-мерной сферы (14-47).

𝑎

𝑏

𝑤

𝑢

𝑢⊥

𝐺

𝐵

𝑎𝑎′

𝑏𝑏′

𝑤𝑤′

𝑢𝑞

𝐵 ∩ 𝛱𝐵 ∩ 𝛱𝑆 ∩ 𝛱

Рис. 14⋄28. -зеркальные точки ,имеют [ , , , ] = − .

Рис. 14⋄29. Параллельная проекция точек, , , на полуокружность ∩ .

Доказательство. Отражение ∶ ℙ ⥲ ℙ переводит в себя каждую проходящую через точкупрямую ℓ ⊂ ℙ = ℙ(ℝ + ) и действует на ней как линейная инволюция с неподвижными

точками и = ℓ∩ ⊥. Поэтому точки , ∈ переводятся друг друга отражением , еслии только если проективная прямая ( ) проходит через точку и на этой прямой точки , гар-моничны точкам и = ( )∩ ⊥, см. рис. 14⋄28, где изображён вид на аффинную гиперплос-кость вдоль вектора − . Параллельная проекция точек , и на полусферу ⩾ сферы

происходит внутри двумерной аффинной плоскости ⊂ ℝ + , которая проходит через аф-финную прямую ( ) ∩ параллельно вектору − . Плоскость изображена на рис. 14⋄29.Она пересекает сферу по окружности с диаметром ∩ . Инволюция ∶ ( ) ⥲ ( )


задаёт инволюцию на пучке параллельных прямых, перпендикулярных этому диаметру. Непо-движными точками этой инволюции являются прямая ( ) и поляра ( ) точки относитель-но окружности ∩ , а центр1 пучка сопряжён точке относительно окружности ∩ . Вприм. 11.8 на стр. 204 мы видели, что в этом случае любые две находящиеся в инволюции другс другом прямые пучка пересекают полуокружность по точкам, которые состоят друг с другом винволюции, задаваемой на конике ∩ точкой , т. е. лежат с точкой на одной прямой. Та-ким образом, параллельная проекцияшара на положительную полусферу ⩾ единичнойсферы переводит зеркальные относительно ⊥ точки , в точки ′, ′ ∈ , которые пере-водятся друг в друга инверсией сферы с центром в точке . Согласно прим. 6.10 на стр. 104,стереографическая проекция сферы из точки − на экваториальную гиперплоскость𝔸( ⊥)переводит инверсию сферы с центром в точке в инверсию гиперплоскости 𝔸( ⊥) относи-тельно ( − )-мерной сферы с центром в и радиусом, квадрат которого равен степени точкиотносительно единичной сферы . �


Группа изометрических преобразований пространства𝕃 в модели это группа преобразова-ний единичного шара , порождённая всевозможными инверсиями объемлющего евклидовапространства𝔸( ⊥), имеющими центр вне шара и переводящими этот шар в себя. В частно-сти, изометрические преобразования сохраняют евклидовы углы между геодезическими. �


Евклидовы углы между геодезическими в модели равны гиперболическим углам.

Доказательство. Евклидовы углы между проходящими через точку прямыми в карте сов-падают с гиперболическими углами между этими прямыми. Преобразование ∶ → пе-реводит эти прямые в диаметры шара , сохраняя евклидовы углы. Поскольку группа изомет-рийпространства𝕃 позволяет перевести любуюточку с парой отложенных от неё касательныхвекторов единичной длины в любую другую точку с парой отложенных от неё касательных век-торов единичной длины с тем же самым гиперболическим углом между ними, эта группа тран-зитивно действует на парах геодезических, пересекающихся под заданным гиперболическимуглом. Так как группа гиперболических изометрий действует на шаре преобразованиями,сохраняющими евклидовы углымежду геодезическими, и в центрешара гиперболические углысовпадают с евклидовыми, точно такое же совпадение имеет место и в любой другой точке. �

Пример 14.12 (гиперболические сферы в конформной модели )

Гиперболическая сфера2 радиуса с центром в точке = + ∈ , где ∈ ⊥, состоит източек = + ∈ , где ∈ ⊥, удовлетворяющих уравнению3

( , ) − ( , )( , ) ch = ( � − ( , )) � − ( � − || || ) �( � − || || ) � ch = , (14-48)

где || || = −( , ) означает евклидов скалярный квадрат вектора ∈ ⊥. Параллельная про-екция на единичную сферу вдоль вектора − отображает такую точку = + в точку

1Он лежит на бесконечности плоскости в направлении вектора , евклидово перпендикулярногопроходящему через точку диаметру окружности.

2См. прим. 14.8 на стр. 273.3См. формулу (14-37) на стр. 273.

14.6. Конформные модели гиперболического пространства 281

′ = + ⋅ √ + || || , для которой в силу (14-48) выполняется равенство

( − ⋅ √ − || || ch , ′) = ( , ) − √( − || || )( − || || ) ch = .

Таким образом, проекция гиперболической сферы радиуса с центром в точке = + ∈на единичную сферу представляет собою евклидову сферу, которая высекается из гипер-

плоскостью с уравнением( − ⋅ √ − || || ch , ) = . Поскольку стереографическая про-

екция переводит сферы в сферы, семейство гиперболических сфер с центром в данной точке∈ выглядит в модели как пучок евклидовых сфер, натянутый на двойную точку и

абсолютную сферу − .

Пример 14.13 (диск Пуанкаре)

Конформную модель плоскости Лобачесвкого 𝕃 в единичном круге на евклидовой плос-кости обычно называют диском Пуанкаре. Геодезические в этой модели изображаются диамет-рами круга, а также дугами окружностей, пересекающих границу круга под прямым углом. Эторовно те окружности, инверсия относительно которых переводит диск в себя, и такие инверсиикак раз и являются гиперболическими отражениями относительно геодезических. Гиперболи-ческие окружности с центром в точке ∈ 𝕃 изображаются на диске Пуанкаре евклидовымиокружностями из пучка, натянутого на абсолют и двойную точку . Каждая окружность этогопучка перпендикулярна всем проходящим через точку геодезическим, т. е. проходящим че-рез евклидовым окружностям, перпендикулярным абсолюту. Орициклы также видны на дис-ке Пуанкаре как окружности, касающиеся абсолюта. Любой треугольник с нулевыми углами ивершинами на абсолюте имеет площадь , не смотря на то, что его стороны имеют бесконеч-ную длину. Отражения в сторонах такого треугольника замащивают всю плоскость Лобачев-ского счётным множеством треугольников с попарно не пересекающимися внутренностями,конгруэнтных исходному треугольнику.

Ответы и указания к некоторым упражнениям

Упр. 0.1. См. предл. 1.2 на стр. 18.

Упр. 1.1. Равенство ( ) = получается прибавлением вектора − ( ) к левой и правой частиравенства ( ) = ( + ) = ( ) + ( ). Из равенства = ( ) = ( � + (− )) � = ( ) + (− )вытекает, что − ( ) = (− ).

Упр. 1.3. Ответ: = + , где = + , = + .

Упр. 1.4. Первое следует из выкладки = ( + , + ) = ( , )+ ( , ), второе—из выкладки( , ) = − ( , ).

Упр. 1.5. Первое следует из того, что по правилу треугольника + = для любого вектора , второе — из того, что + = = , третье — из того, что при = имеем = + + = − + + = и наоборот.

Упр. 1.9. ( ) ∶ ( ) = ( , ) ∶ ( , ) = ( − , ) ∶ ( , − ) == ( , ) ∶ ( , ) = ( , ) ∶ ( , ) = ∶ .

Упр. 1.10. При замене функции или любого из векторов , , , на пропорциональныес ненулевым коэффициентом, коэффициент пропорциональности сократится. Неизменностьдвойного отношения при одновременной перестановке двух пар прямых также непосредствен-но видна из формулы форм. (1-21) на стр. 22.

Упр. 1.11. Для любой точки ∈ имеется единственная параллельная прямая ′ ∋ . Точка= ′ ∩ однозначно определяется по . Далее, имеется единственная проходящая через

прямая ′, параллельная и = ′ ∩ тоже однозначно определяется. Произвол в выбореточки ∈ отвечает гомотетии с центром в .

Упр. 1.12. Поскольку гармоничность означает, что прямая = ( ) пересекает любую парал-лельную = ( ) прямую в середине отрезка, высекаемого прямыми = ( ) и = ( ),гармоничность равносильна равенству [ , , , ] = [ , , , ]. Но [ , , , ] = [ , , , ],т. к. двойное отношение не меняется при одновременной транспозиции двух пар точек. Име-ется и чисто алгебраическое решение: прямо из определения двойного отношения вытекаетравенство [ , , , ] = [ , , , ]− , из которого всё и следует.

Упр. 2.1. По упр. 1.11 существуют единственные с точностью до гомотетий с центрами в и ′

тройки точек , , и ′, ′, ′ на прямых , , и ′, ′, ′ соответственно, такие что четы-рёхугольники и ′ ′ ′ ′ являются параллелограммами. Первый из них переводится вовторой единственным аффинным преобразованием.

Упр. 2.2. Это следует из равенства + = ( ) = + + ( ) .Упр. 2.4. По теор. 1.1 на стр. 13 ( , ) = ( , ) ⋅ det . Пусть ( , ) = ( , ) ⋅ , где —

матрица размера × , по столбцам которой стоят координаты векторов и . Тогда по той жетеор. 1.1 ( , ) = ( , ) ⋅ det , а ( ( ), ( )) � = ( , ) ⋅ det , поскольку ( � ( ), ( )) � == ( , )⋅ . Отсюда получается первое утверждение и пункт (а). Если det = det( , ) ≠ ,то векторы , не пропорциональны и образуют базис в . Отображение переводит векторс координатами в базисе , в вектор с темиже самыми координатами , но в базисе , .Поэтомуонобиективно. Если det( , ) = , то = , и значит, ( ) = ( ), т. е. не би-ективен. Это доказывает (б). Для доказательства (в) рассмотрите векторы ( , ) = ( , )⋅ ивекторы ( , ) = ( , )⋅ = ( , )⋅ . По теор. 1.1 ( , ) = ( , )⋅det , а ( , ) =

282

Ответы и указания к упражнениям 283

( , ) ⋅ det и одновременно ( , ) = ( , ) ⋅ det( ). Последнее утверждение про мат-рицы проверяется прямым вычислением: ( � ( )) � = ( ⋅ ) = ( ) ⋅ = ⋅ ⋅ .

Упр. 2.5. Это следует из ассоциативности композиции отображений:

∘ ( ∘ ) = ( ∘ ) ∘ ∶ ↦ ( � ( � ( )) �)�

и последнего утверждения предыдущего упр. 2.4.

Упр. 2.6. В первом задании воспользуйтесь разложением = ∘ из предл. 2.5 на стр. 27. Вовтором задании все площади умножаются на det (ср. с упр. 2.4 на стр. 29).

Упр. 2.7. Вычитая ( )из правойи левой части равенства ( ) = ( + ) = ( )+ ( ), получаем= ( ). Поскольку ( ) + (− ) = ( − ) = ( ) = , имеет место равенство (− ) =

− ( ). Поэтому ( − ) = ( ) + (− ) = ( ) − ( ). Мультипликативные версии этихравенств доказываются аналогично. Если ( ) = для какого-либо ≠ , то ( ) = ( ∕ ) =

( ) ( ∕ ) = для всех .

Упр. 2.9. Обратным к + √ числом является − − − √ , нетривиальный автоморфизм

переводит + √ в − √ .

Упр. 3.2. ( , )( , ) ⋅ = ( , )

( , ) ⋅ .

Упр. 3.3. Если заданная точка не лежит на заданной прямой ℓ, утверждение вытекает из сл. 3.1.Если ∈ ℓ, выберите за начало отсчёта, обозначьте через вектор скорости прямой ℓ, возь-мите любой вектор , не пропорциональный ℓ и положите = ⊥ . Тогда ≠ и перпенди-кулярен . Поэтому прямая + перпендикулярна ℓ. Произвольный вектор = +перпендикулярен , если и только если = . Поэтому такая прямая единственна.

Упр. 3.5. Рассмотрим любой ортонормальный базис , ⊥. Если = + ⊥ образует вместе сортонормальный базис, то ( , ) = влечёт = , после чего ( , ) = влечёт = , т. е.= ± ⊥.

Упр. 3.6. Воспользуйтесь тем, что объединение биссектрис это ГМТ, равноудалённых от двух дан-ных прямых.

Упр. 3.7. Неравенство Коши–Буняковского –Шварца равносильно неравенству

( , ) − ( , ) ⋅ ( , ) ⩾ ,

в левой части которого стоит определитель Грама, по предл. 3.3 равный квадрату отношенияплощадей ( , )∕ ( , ), положительному, когда и не пропорциональны, и нулевому—когда пропорциональны.

Упр. 3.8. det ( , ) = det ( , + ⊥) = det ( , ⊥) = ( , ) ⋅ ( ⊥ , ⊥) .Упр. 3.9. Геометрическое решение: на рис. 3⋄7 на стр. 38 при повороте на ∘ против ЧС вектор

перейдет в ⊥, — в ⊥, а ⊥ —в − , т. е. разложение = ⋅ cos ∡( , ) + ⊥ ⋅ sin ∡( , ) повер-нётся в разложение ⊥ = ⊥ ⋅ cos ∡( , ) − ⋅ sin ∡( , ). Алгебраическая проверка: вычислитеdet( , ∗ ) и ( , ∗ ) от − ⋅ sin ∡( , ) + ⊥ ⋅ cos ∡( , ) .

Упр. 3.14. Условие задачи означает, что элементы матрицы ( ) удовлетворяют уравнениям

+ = + = и + = . Кроме того, если столбцы матрицы образуют положи-тельный ортонормальный базис, то − = , а если отрицательный, — то − = − .Из первых двух уравнений вытекает, что можно положить = cos , = sin , = cos ,

284 Ответы и указания к упражнениям

= sin . Из второго уравнения cos( − ) = , и в положительном случае sin( − ) = , а вотрицательном— sin( − ) = , откуда = + ∕ и = − ∕ соответственно.

Упр. 3.15. Ответ: | | ⋅ ( � , ctg( ∕ )) �.Упр. 3.16. Подействуйте композицией на аффинный репер ( , , ), где ∈ ℓ , а , ∈ —

единичные векторы скорости и нормали (одинаковые для обеих прямых).

Упр. 3.17. Импликации (в) ⇒ (б) ⇒ (а) очевидны. В n∘ 2.5.1 на стр. 30 мы видели, что если отобра-жение ∶ ℝ → ℝ перестановочно со сложением и умножением, то оно тождественно. Поэтому(a) ⟺ (б). Так как соотношение ( ) = ( ) = (− ) = − влечёт ( ) = ± , из линейности

над ℝ вытекает, что ( + ) = ( ) + ( ) = ± , т. е. (б) ⇒ (в).

Упр. 3.19. Пусть [ , , , ] = [ , , , ] и дробно линейные автоморфизмы

∶ ℙ ⥲ ℙ и ∶ ℙ ⥲ ℙ

таковы, что прообразами точек ∞, , являются, соответственно, , , и , , . Тогда( ) = ( ) и − ∘ переводит , , , в , , , . Наоборот, если ∶ ℙ ⥲

ℙ переводит , , в ∞, , , а переводит переводит , , , в , , , , то∘ − переводит , , , , соответственно, в ∞, , , [ , , , ], откуда

[ , , , ] = [ , , , ] .

Упр. 3.20. Если аргумент Arg[ , , , ] = ∡ − ∡ равен нулю или , то ориенти-рованные углы и либо нулевые и/или развёрнутые, либо опираются на одну и туже или на дополнительные дуги одной окружности, см. прим. 3.4 на стр. 39.

Упр. 3.21. Первое следует из определения, второе и третье — из того, что образ ограничен, и зна-чит, не может быть прямой.

Упр. 3.22. Если обозначить через и ℓ расстояния от точек и до середины хорды [ , ], а через— половину длины этой хорды, то

| , | − = | , | − − = ℓ − = (ℓ − )(ℓ + ) = | , | ⋅ | , |

(cр. с предл. 6.5 на стр. 101 и рис. 6⋄3 там же).

Упр. 3.23. Соотношение означает, что любые две зеркальные относительно точки , перево-дятся инверсией в точки, зеркальные относительно . Это так, поскольку инверсия отно-сительно переводит проходящие через и окружности и прямую в прямую и окружности,проходящие через ( ) и ( ), сохраняя все углы, и если первые были перпендикулярны к ,то вторые будут перпендикулярны к .

Упр. 3.24. Отражение относительно проходящей через точку ∈ ℂ прямой с вектором скорости∈ ℂ действует по формуле ↦ + ( − ) ⋅ ∕ .

Упр. 3.25. Ответ: √ ∕ .

Упр. 3.26. Годится любое дробно линейное преобразование, переводящее какие-либо три упоря-доченные против ЧС точки единичной окружности в точки ∞, и 1 соответственно. Например,

↦ −− ∶ + , где три точки суть , и − .

Упр. 4.5. Пусть ⊈ два подпространства в . Выберем вектор ∈ ∖ . Если ∪ —подпространство, то ∀ ∈ + ∈ ∪ . Поскольку + ∉ (т. к. ∉ ), + ∈ ,откуда ∈ , т. е. ⊂ .


Упр. 4.6. Индукция по числу подпространств с использованием разобранного перед этим случаядвух подпространств.

Упр. 4.9. Если линейная форма зануляется на неких векторах, то она зануляется и на любой ихлинейной комбинации.

Упр. 4.11. Если = + и = + ′, где , ′ ∈ , то + = ( + ) + ( + ′) и= + . Выполнение аксиом векторного пространства наследуется из .

Упр. 4.15. Пусть матрица ( ) отображения записана в базисах

, , … , ∈ и , , … , ∈ ,

т. е. ( ) = ∑ ⋅ . Число ∗ равно -тойкоординатековектора ∗( ∗) вбазисе ∗, ∗, … , ∗ ,т. е. свёртке ⟨ ∗ ∗ , ⟩ = ⟨ ∗ , ⟩ = ⟨ ∗ , ∑ ⋅ ⟩ = .

Упр. 5.2. Индукция по . Каждая перестановка = ( , , … , ) является композицией =∘ ′ транспозиции , переставляющеймежду собоюэлементы и множества { , , … , },

и перестановки ′ = ∘ , оставляющей на месте элемент . По индукции, ′ раскладываетсяв композицию транспозиций, не затрагивающих элемента .

Упр. 5.4. Если = ⋯ , где = Id для всех , то − = − ⋯ . В частности, этоверно для разложения в композицию транспозиций.

Упр. 5.6. max ℓ( ) = ( − )/ достигается на единственной перестановке ( , − , … , ).Упр. 5.7. При условии, что все точки пересечения двойные и трансверсальные, две нити, идущие

из ииз пересекаютсямежду собоюнечётноечислораз, еслипара ( , )инверсна, ичётноечис-ло раз, если пара не инверсна (в действительности, картинку всегдаможно нарисовать так, что-бы количества точек пересечения в этих двух ситуациях равнялись 1 и 0 соответственно). Знактасующейперестановки ( , , … , , , , … , )равен (− )| |+ ( + ), где вес | | ≝ ∑ . Дей-

ствительно, нити, выходящие из чисел , , … , верхней строчки не пересекаются между со-бою и пересекают, соответственно, − , − , … , − начинающихся левее нитей, выхо-дящих из -точек и тоже между собою не пересекающихся.

Упр. 5.10. Индукция по и суммирование по треугольникуПаскаля показывают, что = ( + − ).Предел отношения ( + − )∕ при фиксированной размерности и → ∞ равен ∕ !.

Упр. 5.12. При чётном центр 𝕜 ⧼ , , … , ⧽ линейно порождается мономами чётных степе-ней, при нечётном — мономами чётных степеней и старшим (имеющим нечётную степень)мономом ∧ ∧ ⋯ ∧ .

Упр. 5.13. Это сразу следует из равенства det = det .

Упр. 6.4. Значение линейной формы на базисном векторе равно ( , ), и значит, столбецкоординат этой формы в двойственном базисе ∗ состоит из произведений ( , ).

Упр. 6.6. Если ∈ ∩ ⊥, то ( , ) = , откуда = .

Упр. 6.9. Для любого вектора выполняется равенство ( , , , … , − ) = ( , ) (ср. со вто-рым правилом Крамера1).

Упр. 6.10. Уравнение ( � − ( + )∕ , − ( + )∕ ) � = ( �( − )∕ , ( − )∕ ) �, задающее сферу

( �( + )∕ , | − |∕ ) �, можно переписать как

( �( − ) + ( − ), ( − ) + ( − )) � = ( �( − ) − ( − ), ( − ) − ( − )) � .1См. предл. 5.5 на стр. 81.


После раскрытия скобок и сокращения скалярных квадратов это превращается в уравнение

( − , − ) = .

Упр. 6.12. Радиус каждой из сфер равен степени её центра относительно другой сферы. Центр каж-дой из сфер перейдёт при инверсии относительно другой сферы в точку пересечения радикаль-ной гиперплоскости1 с линией центров.

Упр. 7.2. Первое следует из того что (собственные) изометрии образуют группу, второе — из то-го, что композиция любого несобственной изометрии из группы фигуры с отражением в со-держащей эту фигуру гиперплоскости является собственной изометрией и задаёт то же самоепреобразование фигуры, что и исходная несобственная изометрия.

Упр. 7.3. Для любой биекции из множества вершин тетраэдра в себя существует единственнаяединственная линейная изометрия, действующая на вершины согласно заданной биекции.

Упр. 7.4. Обозначим через вектор, идущий из центра симплекса в вершину . Вектор =− ортогонален гиперплоскости , поскольку для любого ≠ , скалярное произведение

( , − ( + )∕ ) = ( , )−( , )+( , )∕ −( , )∕ = , т. к. все произведения ( , )с ≠ и все скалярные квадраты ( , ) одинаковы. Аналогичная выкладка показывает, чтопри { , } ∩ { , } = ∅ векторы и ортогональны. Векторы − и − в натянутойна них двумерной плоскости являются сторонами правильного треугольника c вершинами вконцах векторов , и . Поэтому угол между ними равен ∕ .

Упр. 7.5. Выберем вектор произвольно внутри угла . Линейная оболочка вектора и пересече-ния каких-либо двух зеркал конфигурации является гиперплоскостью в , и всего таких гипер-плоскостейимеется конечноечисло.Посколькуобъединениеконечногочисла гиперплоскостейне может совпадать со всем пространством2, возможность для выбора есть.

Упр. 7.8. Минимальный угол между зеркалами не может быть тупым, и прямой он только когдаесть всего два ортогональных зеркала. Если угол ∡( , ) тупой, между этими векторами име-ется зеркало. Нормальный вектор этого зеркала можно выбрать лежащим внутри угла, обра-зуемого векторами и − , т. е. вида − с , > . Если угол ∡( , ) острый, то уголмежду векторами и− тупой, а значит,междунимиесть зеркало снаправляющимвектором,лежащим между векторами , , т. е. вида + с , > .

Упр. 7.9. Пусть точки ∈ ⊥, ∈ ⊥ таковы, что ( , ) > для всех ∈ + с ≠ и ( , ) >для всех ∈ + с ≠ . Тогда их ортогональные проекции на плоскость лежат на сторонах

⊥, ⊥ угла + ∩ +, и проекция отрезка [ , ] не пересекает ни одной прямой ⊥ с ≠ , .

Упр. 7.10. Совпадение линейной оболочки корней со всем пространством равносильно ра-венству ⋂ ⊥ = . С другой стороны, множество неподвижных относительно всей группывекторов пространства тоже является пересечением этих зеркал.

Упр. 7.11. Пусть = ∑<

+ ∑>

, где все ⩽ и некоторые из них строго положительны.

Выражая векторы через векторы с положительнымикоэффициентами, получимравенствовида = ∑

<, в котором все ⩾ и некоторые из них строго положительны. Скалярно

умножая обе части на произвольный вектор ∈ , получим справа строго положительное

1Т. е. ГМТ, имеющих равные степени относительно обеих сфер. В данном случае эта гиперплоскостьлинейно порождается пересечением сфер.

2См. упр. 4.4 на стр. 60.


число. Поэтому ⋅ ( , ) > , и > , так как ( , ) > . Тем самым, вектор линейновыражается с положительными коэффициентами через векторы , , … , − , и мы должныбыли бы его выкинуть.

Упр. 7.12. Скалярный квадрат стоящего в обоих частях вектора

(�∑ , ∑ )� = ∑,

( , ) ⩽

в силу неравенств ( , ) ⩽ . Поэтому и этот вектор, и все слагаемые в предыдущей формуленулевые.

Упр. 7.13. По сл. 7.2 на стр. 111 отражение относительно примыкающей к камере = ( )стенки ( ⊥), где ∈ —произвольный простой корень, равно ( ) = − , а значит,является композицией простых отражений , ибо является такой композицией.

Упр. 7.14. Связныекомпонентыграфакакразиотвечаютвзаимноортогональнымподмножествамкорней.

Упр. 7.15. Выкинем из графов все остальные вершины вместе с приходящими в них рёбрами иобозначим через , , , … корни, отвечающие вершинам оставшегося графа, прочитан-ным слева направо. Для первого графа матрица Грама векторов = + , = +имеет

det (+ ( , ) ( , )

( , ) + ( , )) = det (− cos( )

− cos( ) ) = − cos ( ) <

при1 ⩾ , где − —число рёбер между второй и третьей вершинами. Для остальных трёхграфов нулевой или отрицательный определитель Грама будут иметь векторы

= + = + + ,= = + + + ,= = + .

Упр. 8.5. Возьмите = max ( � − ( )) �∕max′, | � ( )|�, где —стандартные базисные векторы

в ℝ и максимум в знаменателе берётся по всем таким и , что ( ) ≠ .

Упр. 8.8. Поскольку кольцо многочленов 𝕜[ , , … , ] нётерово2, каждая система полиноми-альных уравнений эквивалентна3 своей конечной подсистеме. Поэтому любое замкнутое мно-жество являетсяпересечениемконечногочисла задаваемыходнимуравнениемзамкнутыхмно-жеств вида = { ∈ 𝔸 | ( ) = }. Соответственно, любое открытое множество являетсяобъединениемконечного числа дополнительных к таким замкнутыммножествамподмножеств

= 𝔸 ∖ .

1Напомню, что cos ( ∕ ) = ( + √ )∕ .2Т. е. любое множество элементов в нём порождает тот же идеал, что и некоторое конечное под-

множество в . Подробности см. в http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/lec-05.pdf .3В том смысле, что имеет то же самое множество решений.



Упр. 8.25. Покажите, что при фиксированных ∈ и ∈ ℝ каждая из функций

ℝ → ℝ , ↦ℝ → , ↦

→ , ↦ +→ , ↦ −→ , ↦

(14-49)

непрерывна и разложите функции ↦ ( , ) и ↦ ( , ) в композиции функций (14-49) инорменного отображения ↦ ‖ ‖ из в ℝ.

Упр. 8.27. Пусть ∈ ∖ . Для любой точки ∈ все точки отрезка [ , ] кроме являют-ся внутренними, поскольку лежат внутри конуса с вершиной и основанием в любом -кубе

( ) ⊂ . Объединение замкнутого шара и лежащей вне него точки не является замыканиемсвоей внутренности.

Упр. 9.3. Если = ( , ) ∈ , то ⟨ , ⟩ = + ⟨ , ⟩ = ( ) ⩾ для всех ⩽ ⩽ . Поэтомувсе лучи [ , ) c ∈ лежат в конусе = ⋂ +, а значит и замыкание их объединения тожесодержится в . Наоборот, пусть = ( , ) ∈ . Если ≠ , то вектор ∕ = ( , ∕ ) ∈

∩ − = , т. е. луч [ , ) пересекает многогранник . Если = , то для любых точки= ( , ) ∈ ⊂ и числа ∈ [ , ) точка = ( − ) + = ( � , ( − ) + ) � ∈ по

уже доказанному лежит на пересекающем многогранник луче [ , ), и lim→

= .

Упр. 9.4. Всякая выпуклаякомбинация∑ , где все ∈ , ⩾ и∑ = , лежитвконусе .Наоборот, для любого ненулевого вектора = ∑ ∈ все ⩾ и ⟨ , ⟩ = ∑ > .Поэтому пересечение луча [ , ) с гиперплоскостью = происходит в точке ∕ ⟨ , ⟩ =∑ ⋅ ∕( + ⋯ + ), являющейся выпуклой комбинацией точек .

Упр. 9.5. Четырёхгранный конус в ℝ , порождённый векторами

= + + , = + − , = − − , = − + ,

не имеет двумерной грани, порождённой векторами и .

Упр. 9.6. Конус − ∨∨ = { ∈ | ∀ ∈ ∨ ⟨ , ⟩ ⩽ }. Для любых ∈ и ∈ ∨ неравенство

⟨ , ⟩ ⩽ равносильно равенству ⟨ , ⟩ = . Поэтому ∩ − ∨∨ = ∩ = .

Упр. 9.7. Ковектор = ∗ + ∗ + ⋯ + ∗ ∈ ℝ⩾∗ лежит в аффинном подпространстве

+ Ann ⊂ ℝ ∗ ,

если и только если для каждой образующей векторного подпространства = Ann Ann ⊂ℝ выполняется равенство ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩, правая часть которого равна , а левая часть вразвёрнутом виде выглядит как ∑ = ⋅ ⟨ ∗ , ⟩ = ∑ = и совпадает с -той координатойстроки .

Упр. 10.2. В правой части стоит геометрическая прогрессия + − + ⋯ + + , а слева—коли-чество ненулевых векторов в ( + )-мерном пространстве, делённое на количество ненулевыхвекторов в одномерном пространстве, т. е. ( + − )∕( − ); кто знает, может, именно поэтомуполученная формула называется формулой суммирования геометрической прогрессии

Упр. 10.3. Это следует из соотношения ( ∶ ) = ( ∶ ) = ( ∶ ).


Упр. 10.4. Если стягиваемая петля настолько мала, что почти не отличается от точки, устойчивоек малым шевелениям количество точек её пересечения с любой петлёй равно нулю. При изме-нении размеров петли устойчивые точки пересечения появляются и исчезают по две.

Упр. 10.11. Пусть = ℙ( ), = ℙ( ), = ℙ(𝕜 ⋅ ). Поскольку ∉ , = ⊕ 𝕜 ⋅ . Цен-тральная проекция из индуцирована линейной проекцией на вдоль 𝕜 ⋅ . Так как ∉ ,ограничение этой проекции на подпространство имеет нулевое ядро и, стало быть, являетсялинейным изоморфизмом.

Упр. 10.12. Это частный случай упр. 10.11.

Упр. 10.13. Строим перекрёстную ось ℓ (соединяющую точки ( ) ∩ ( , ) и ( ) ∩ ( , ))и берём в качестве ( ) точку пересечения прямой ℓ с прямой, соединяющей точки и ℓ ∩( , ).

Упр. 10.14. det( , )det( , ) ⋅ ( , )

det( , ) = det( , + )det( , + ) ⋅ ( , + )

det( , + ) = .

Упр. 10.15. Пусть [ , , , ] = [ , , , ] и дробно линейные автоморфизмы

∶ ℙ ⥲ ℙ и ∶ ℙ ⥲ ℙ

таковы, что прообразами точек ∞, , являются, соответственно, , , и , , . Тогда( ) = ( ) и − ∘ переводит , , , в , , , . Наоборот, если ∶ ℙ ⥲

ℙ переводит , , в ∞, , , а переводит переводит , , , в , , , , то∘ − переводит , , , , соответственно, в∞, , , [ , , , ], откуда [ , , , ] =

[ , , , ].Упр. 11.2. Если под произведением векторов , ∈ понимать число ≝ ( , ), то матрицу

Грама базиса = ( , , … , )можно записать как = ⋅ (произведение столбца векторови строки векторов ). Поэтому ′ = ( ′) ⋅ = ( )( ) = ( ) = .

Упр. 11.3. Поскольку ( , ) ≠ , подпространства𝕜 ⋅ и ⊥ трансверсальны. Так как подпростран-ство ⊥ является аннулятором ненулевого линейного функционала ↦ ( , ) на простран-стве , его коразмерность равна единице.

Упр. 11.5. Коника + = наℙ с координатами ( ∶ ∶ ) состоит из единственной точки( ∶ ∶ ), порождающей ядро оператора корреляции.

Упр. 11.6. У матрицы ранга есть ненулевая строка, и все остальные строки ей пропорциональ-ны. Поэтому = для некоторых ненулевых наборов чисел , , … , и , , … , .Так как = для всех ≠ , имеется равенство отношений

( ∶ ∶ … ∶ ) = ( ∶ ∶ … ∶ ) .

Упр. 11.7. Если ℙ( ) = ℙ(Ann ) ∪ ℙ(Ann ) для каких-то ненулевых ковекторов , ∈ ∗, токвадратичная форма ( ) = ( ) ( ) тождественно зануляется на векторном пространстве .Индукцией по dim выведите отсюда, что все коэффициенты многочлена нулевые.

Упр. 11.10. Пересечение квадрики с прямой ( ) задаётся в однородных координатах ( ∶ )относительнобазиса , квадратичнойформой ( ) = det( , )⋅det( , ), поляризациякоторой

( , ) = ( �det( , ) ⋅ det( , ) + det( , ) ⋅ det( , )) � .

Условие сопряжённости ( , ) = означает, что det( , ) ⋅ det( , ) = − det( , ) ⋅ det( , ), т. е.[ , , , ] = − .


Упр. 11.12. С помощью предл. 11.1 на стр. 192 докажите, что непустая гладкая квадрика над бес-конечным полем не может содержаться в объединении конечного числа гиперплоскостей.

Упр. 11.16. Для другой прямой ℓ′ проекция ⥲ ℓ′ из точки является композицией проекции⥲ ℓ из точки с перспективой ∶ ℓ ⥲ ℓ′, которая сохраняет двойные отношения. Ана-

логично, проекция ⥲ ℓ из другой точки ′ ∈ это композиция проекции ⥲ ℓ из сотображением ∶ ℓ → ℓ, возникающем как композиция проекции прямой ℓ на конику източки с последующей проекцией коники на прямую ℓ из точки ′ . Так как отображениебиективно и рационально, оно является гомографией и сохраняет двойные отношения. По тойже причине линейные проективные автоморфизмы плоскости сохраняют двойные отношенияв пучках прямыхина самих прямых, лежащих в этой плоскости, а значит, и двойные отношенияна кониках.

Упр. 11.18. Ответ: гладкая коника, проходящая через пять точек , , , , .

Упр. 11.24. Базисом пространства ⊗ являются операторы ⊗ , ⊗ и ⊗ , где ∈ и∈ ∗ суть любыевекториковектор, непропорциональные и соответственно.Применение

любого из этих операторов к вектору ∈ Ann даёт либо , либо вектор, пропорциональный. Поскольку операторы ∶ → со свойством (Ann ) ⊂ 𝕜 ⋅ тоже составляют трёхмерное

векторное пространство, последнее совпадает с ⊗ .

Упр. 12.1. В двойственных базисах , , … , и ∗, ∗, … , ∗ оператор корреляции имеет мат-рицу = ( ) = ( ( , )), совпадающую с матрицей Грама базиса , , … , . Поэтому(1)�(2). Условия (3) и (4) равносильны условию (2) в силу того, что dim = dim ∗. Равен-ства (12-1) означают, что × = − ( ∗) или, в матричных обозначениях, ( , , … , ) =( , , … , ) ⋅ − . Равенства (12-2) суть это переписанное двумя способами равенство =∑ ∗( ) .

Упр. 12.2. См. прим. 11.1 на стр. 190.

Упр. 12.3. Так как оператор инъективен, dim ( ) = dim для любого подпространства ⊂ .Изотропность означает, что ( ) ⊂ Ann , откуда dim ⩽ dim Ann = dim − dim , ср. сдоказательством лем. 11.2 на стр. 207.

Упр. 12.7. Дословно проходят доказательства ?? и теор. 7.1 на стр. 107.

Упр. 12.9. Пусть ∈ = ( ) ⊂ ℙ( ). Тогда ∩ это конус с вершиной над гладкой квад-рикой ′ ⊂ в дополнительном к точке внутри проективном подпространстве кораз-мерности в и коразмерности в ℙ( ). Пусть = ℙ( ). Поскольку ограничение формына подпространство невырождено, = ⊕ ⊥, где dim ⊥ = , ограничение формы

на ⊥ тоже невырождено, и обладает ненулевым изотропным вектором ∈ ⊥. Поэтому ⊥

это гиперболическая плоскость, а значит оба индекса инерции у ограничения | на единицуменьше, чем у .

Упр. 12.10. Матрица Грама формы в базисе , , , … , пространства = 𝕜 ⊕ , где

составляют ортогональный базис формы в , имеет блочный вид ( ), в котором ∈

𝕜, ∈ ∗, а ∈ ∗ диагональна. Поскольку ∶ ↦ , где ≠ , в этой матрице = ,а ≠ .

Упр. 12.12. Любая точка из пересечения Sing ∩ ∞ является особой точкой асимптотическойквадрики ∞ = ∩ ∞. Наоборот, если Sing ≠ ∅ и Sing ∞ ≠ ∅, то при Sing ⊂ ∞ пере-сечение Sing ∩ ∞, разумеется непусто, а при наличии точки ∈ Sing ∖ ∞, пространство


= 𝕜 ⋅ ⊕ и любой вектор ∈ Sing ∞ ⊂ ℙ( ) ортогонален и подпространству и вектору, а значит, лежит в пересечении Sing ∩ ∞, откуда Sing ∩ ∞ ≠ ∅.

Упр. 12.14. Если = и = , то из равенства ( , ) = ( , ) вытекает равенство( − ) ⋅ ( , ) = .

Упр. 13.1. Перенумеровывая, если необходимо, базисные векторы пространства , запишем мно-гочлен в виде

∧ ( + ⋯ + ) + (члены, не содержащие ) ,

где ≠ , и + ⋯ + тоже не содержит . Перейдём к новому базису { , , … , },в котором = + ⋯ + и = при ≠ . В нём многочлен принимает вид

∧ + ∧ ( + ⋯ + ) + (члены, не содержащие и ) .

В базисе { , , … , } из векторов = − − ⋯ − и = при ≠ многочленпринимает вид

∧ + (члены, не содержащие и ) ,

после чего можно воспользоваться индукцией.

Упр. 13.4. Рассмотрим конус = ∩ . Он имеет вершину в и состоит из всех прямых, про-ходящих через и лежащих на . Фиксируем 3-мерную гиперплоскость ⊂ , которая несодержит . Тогда = ∩ есть невырожденная квадрика на . Таким образом, любая прямая,проходящая через , имеет вид ( ′) = ∩ , где ′ ∈ и плоскости , натянутые наи две прямые, проходящие через ′ в (см. рис. 13⋄1).

Упр. 13.5. Каждая прямая, которая проходит через и не касается , пересекает квадрику ещё ров-но в одной отличной от точке, координаты которой, по теореме Виета, рационально зависятот прямой.

Упр. 13.7. ЕслиматрицаГрама (( , )) диагональна с диагональнымиэлементами = ( , ),то матрица Грама формы в базисе из бивекторов ∧ тоже диагональна с диагональны-ми элементами . Если векторы , , ∗, ∗ образуют гиперболический базис формы , топары бивекторов ∧ , ∗ ∧ ∗ и ∧ ∗, ∗ ∧ образуют гиперболические базисы двух орто-гональных друг другу гиперболических плоскостей, а векторы ∧ ∗, ∧ ∗ имеют скалярныеквадраты − и ортогональны друг другу и обеим гиперболическим плоскостям.

Упр. 13.10. Для заданных точки ∈ ℙ = ℙ( ) и прямой ℓ ⊂ ℙ множество всех таких коник= ( ) ⊂ ℙ , что прямая ℓ служит полярой точки относительно , является проективным

подпространством коразмерности в пространстве коникℙ = ℙ( ∗). В самом деле, ненуле-вой вектор ∈ задаёт сюрьективное линейное отображение

pl ∶ ∗ → ∗ , ↦ ( ) , (14-50)

переводящее квадратичную форму в ковектор ( )∶ → 𝕜, ↦ ( , ). При dim = ядроker pl имеет размерность dim ker pl = dim ∗ − dim ∗ = . Поэтому полный прообраз натя-нутого на ненулевой ковектор = Ann(ℓ) ∈ ∗ одномерного подпространства 𝕜 ⋅ ⊂ ∗ приотображении (14-50) имеет размерность и коразмерность . Стало быть, его проективизациятоже имеет коразмерность . В частности, при ∈ ℓ, коники, касающиеся заданной прямой ℓв заданной точке ∈ ℓ, образуют проективное подпространство коразмерности . Два такихподпространства, отвечающие ∈ ℓ и ∈ ℓ , пересекаются как минимум по прямой. Если


бы пересечение содержало плоскость, то в пространстве коник, касающихся ℓ , и ℓ в точкахи , нашлась бы коника, проходящая через любые две наперёд заданные точки. Но такая кони-ка, проходящая через отличную от , точку прямой ℓ и ещё одну точку вне прямых ℓ, ℓ , ℓ ,распадается в объединение прямой ℓ и отличной от ℓ, ℓ , ℓ прямой ℓ′ и не может пересекатьпрямые ℓ , ℓ с кратностью одновременно и в , и в .

Упр. 13.12. Условие прохождения через точку задаёт в пространстве коник гиперплоскость. Еслиникакие три из четырёх точек не коллинеарны, эти гиперплоскости линейно независимы, т. к.через любые три из точек можно провести распавшуюся конику, не проходящую через четвёр-тую точку. Следовательно, коники проходящие через точки , , , , никакие три из которыхне коллинеарны, образуют пучок. Этот пучок содержит три распавшихся коники, образованныепарами противоположных сторон четырёхвершинника .

Упр. 13.13. По формуле Тейлора ограничение многочлена на прямую ( ) имеет в аффиннойокрестности точки вид

( + ) = ( ) + ⋅ ∑=

( ) ⋅ + члены, делящиеся на .

Точке отвечает корень = . Он кратный тогда и только тогда, когда

∑=

( ) ⋅ = .

Упр. 13.14. Пусть = + + −, = + + −. По упр. 10.14 на стр. 185 [ , , +, −] = ∕ . Так как( +, +) = ( −, −) = , а ( +, −) = ( −, +) = , получаем

cos ∡( , ) = ( , )√( , )( , )

= +√

= √ ∕ + √ ∕ .

Полагая ∕ = [ , , +, −] = , приходим к равенству cos ∡( , ) = cos , откуда ∡( , ) == ± + .

Упр. 13.15. Поскольку линейное (соотв. квадратичное) уравнение прямой (соотв. коники) опреде-ляется этой фигурой однозначно с точностью до умножения на ненулевое комплексное число,вещественность фигуры означает, что все коэффициенты её уравнения удовлетворяют со-отношению = для одного и того же для всех числа ∈ ℂ, имеющего | | = , т. к.| | = | |. Пусть = . Тогда ∈ ℝ.

Упр. 13.16. Это проективно двойственное утверждение к предл. 11.2 на стр. 194 для гладкой кони-ки на плоскости.

Упр. 13.17. Пусть , ∈ ℓ∞ и диаметры ( ), ( ) сопряжены. Тогда точки , сопряжены относи-тельно , т. е. лежит на поляре точки . Поскольку лежит на поляре ∗, точка ∗ тоже лежитна поляре . Следовательно, диаметр ( ) является полярой точки , и любая проходящая че-рез прямая ℓ пересекает прямую ( ) по сопряжённой с точке, которая по предл. 11.2 настр. 194 является серединой отрезка, высекаемого коникой на прямой ℓ.

Упр. 13.18. Вложим прямую ℙ = ℙ( ) в качестве коники Веронезе в плоскость ℙ = ℙ( ∗),образованную неупорядоченными точек { , } ⊂ ℙ , как в прим. 11.6 на стр. 203. Тогда пары


точек, переставляемых друг с другом инволюцией с неподвижными точками , , высека-ются из коники Веронезе пучком прямых с центром в точке { , } ∈ ℙ . Две инволюциии с { , } ≠ { , } одинаково переставляют ровно одну пару (возможно, совпадающих другс другом) точек, а именно, на две точки пересечения коники с прямой, соединяющей точки{ , } и { , } на ℙ .

Упр. 13.20. переставляет две точки прямой × ⊂ ℙ× , если и только если они высекаются изнеё какой-либо коникой из пучка, двойственного к конфокальной системе. Поскольку для лю-бой точки ∈ × в пучке существует единственная проходящая через коника, и вторая точ-ка её пересечения с прямой × рационально выражается через , рассматриваемое отображе-ние является инволютивной рациональной биекцией на прямой ×. коника из двойственногок конфокальной системе пучка, пересекающая прямую × по паре точек ( ), ( ) ∈ ℙ×, этораспавшаяся коника × ∪ ×.

Упр. 13.23. Поляра любой точки ∈ ℓ∞ проходит через полюс ∗ прямой ℓ∞, т. е. параллельнаоси параболы. Эта поляра пересекает любую прямую ℓ ∋ по такой точке , что сопряжённыеотносительно точки , гармоничны точкам пересечения ℓ ∩ , т. е. является серединойхорды ℓ ∩ .

Упр. 14.5. Ответ: ′( ) = ( ( ), ( ).Упр. 14.7. Первое следует из того, что векторы + и − , ортогональные векторным

подпространствам, проективизациями которых являются медиаторы, ортогональны (при усло-вии, что ( , ) = ( , ) = ). Второе — из того, что одновременное выполнение равенств( , ) = ( , ) и ( , ) = −( , ) означает, что ( , ) = ( , ) = .

Упр. 14.8. Пусть ∉ . Выберем последовательность Коши ∶ ℕ → , сходящуюся к . По-скольку сохраняет расстояния, последовательность ∘ = ∘ также является последова-тельностью Коши и сходится в ℙ . В силу непрерывности отображений и получаем ( ) == (lim ) = lim ( ) = lim ( ) = (lim ) = ( ).

Упр. 14.9. Пусть ( ) = , где ( , ) = , и путь = + . Тогда ( ) = + и

cos | , | = ( , ) ∕( , ) = ∕cos | , ( )| = ( , + ) ∕( + , + ) = ∕( + ) .

Поскольку преобразование изометрическое, = . Поэтому ( � ( ), ( )) � = ( , ) = .

Упр. 14.10. Пусть = . Т. к. ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ), коэффициент = ± .

Упр. 14.13. Сопоставьте -линейной форме ∶ × ⋯ × → 𝕜 линейную форму ′ ∶ → 𝕜,значение которой на разложимых грассмановых многочленах задаётся равенством

′( ∧ ∧ ⋯ ∧ ) ≝ ( , , … , ) ,

и убедитесь, что это отображение корректно продолжается по линейности на произвольныелинейные комбинации разложимых грассмановых многочленов. Обратное отображение пере-водит линейную форму ′ ∶ → 𝕜 в полилинейную форму

( , , … , ) ≝ ′( ∧ ∧ ⋯ ∧ ) .

При линейном отображении ↦ базис , , … , пространства переходит в базиспространства ( )∗, двойственный к стандартному базису в из грассмановых мономов

∧ ⋯ ∧ − ∧ + ∧ ⋯ ∧ , ⩽ ⩽ .


Упр. 14.14. Согласно форм. (14-17) на стр. 264 для вектора = + + ⋯ + значение

( , … , , … , ) = (− ) .

Упр. 14.17. Поскольку ( +, +) > , скалярный квадрат ( + + +, + + +) > . Так как векторы+ + +и + − + ортогональны и порождают гиперболическую плоскость ( ), скалярный

квадрат ( + − +, + − +) < .

Упр. 14.18. Если точка принадлежит зеркалу отражения, переставляющего точки и , то| , | = | , |, откуда ∈ ( +− +)⊥. С другой стороны, отражение +− + переводит векторы

+ и + друг в друга.

Упр. 14.20. Квадрика проходит через базисное множество ∩ пучка − , а каждаяпроходящая через особую точку квадрики ( , ) прямая либо больше нигде не пересекает этуквадрику, либо лежит на ней целиком. Поэтому квадрика ( , ) является линейным соединени-ем точки и неособой квадрики ∩ в дополнительной к точке гиперплоскости ⊥ (cр. сдоказательством теор. 11.2 на стр. 191).

Упр. 14.21. Из гиперболической теоремы косинусов1 для прямоугольного ▵ вытекают равен-ства ch | , | = ch | , | ⋅ ch | , | − sh | , | ⋅ sh | , | ⋅ cos и ch | , | = ch | , | ⋅ ch | , |.Подставляя второе из них в первое, заключаем, что ch | , | = cos ⋅ sh | , |∕sh | , |, откуда

sin√ − ℓ

= sin√ − th | , |

= sin ⋅ ch | , | = sin ⋅ cos ⋅ sh | , |sh | , | = cos

(последнее равенство вытекает из теоремы синусов2 для ▵ ).

Упр. 14.22. Если обозначить через ′ параллельную проекцию точки на сферу , а через —угол между единичными векторами ′ и , то = sin , а = tg , откуда сразу следуют обеформулы.

1См. формулу (14-34) на стр. 271.2См. формулу (14-36) на стр. 271.

Documents

ГЕОМЕТРИЯ - ALG's main page at the Bogomolov …gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/1617/lec_total.pdfНеформальноевведение 7 Какустроенэтоткурс.Мыбудемследоватьсхеме,предложеннойв30