Odziv sustava primjersis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2004_pr08_9x9.pdf · 2012. 1. 12. · 19 Prisilni odziv sustava Prisilni odziv sustava predstavlja partikularno rješenje

Model sustava s ulazno izlaznim varijablama

Kontinuirani vremenski stalni linearni sustavi

2

� kontinuirani sustav je općenito opisan s više simultanih diferencijalnih jednadžbi.

� često se više simultanih diferencijalnih jednadžbi svodi na jednu jednadžbu višeg reda koja veže jednu izlaznu i jednu ulaznu varijablu.

Kontinuirani sustavi – model s ulazno izlaznim varijablama

( ) ( 1)1 0

( ) ( 1)1 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n nn n

m mm m

a y t a y t a y t f t

b u t b u t b u t

−−

−−

+ +…+ = =

= + …+3


� koeficijenti {ai} i {bi}� konstantni → vremenski stalan linearni

sustav� funkcija vremena → vremenski promjenjivi

linearni sustav� zavise od ulaznih ili izlaznih varijabli i

njihovih derivacija → nelinearni sustav

4


� rješenje diferencijalne jednadžbe

( ) ( 1)1 0

( ) ( 1)1 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n nn n

m mm m

a y t a y t a y t f t

b u t b u t b u t

−−

−−

+ +…+ = =

= + …+

ima dvije komponente:� yh(t) - rješenje homogene jednadžbe� yp(t) - partikularno rješenje

( ) ( ) ( )h py t y t y t= +5

Klasične metode rješavanja

� jednadžba postaje homogena za f(t) = 0:

0 ... 0n

n n

d ya a y

dt+ + =

1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ... ( )h n ny t K y t K y t K y t= + + +

� jednadžba je n - tog reda → ima n linearno nezavisnih rješenja, pa se opće rješenje može prikazati kao linearna kombinacija pojedinačnih rješenja.

6


� pretpostavlja se rješenje oblika: y(t) = ept, p∈C.

� supstitucijom se dobije izraz:

11 1 0( ) 0.n n pt

n na p a p a p a e−−+ +…+ + =

11 1 0 0n n

n na p a p a p a−−+ +…+ + =

� karakteristična jednadžba gornje diferencijalne jednadžbe

7


� opće rješenje uz n različitih karakterističnih korijena

1 21 2

1

( ) n i

np t p tp t p t

h n ii

y t K e K e K e K e=

= + +…+ =∑

� opće rješenje uz k jednakih od ukupno nkorijena

1 1 1

1

11 2

1

( )

k n

p t p t p tkh k

p t p tk n

y t K e K te K t e

K e K e+

−

+

= + +…+

+ +…+8

Vremenski stalni sustavi

'1

1 1

( )i

i

mnp t j

h iji j

y t e K t −

= =

=∑ ∑

� opće rješenje uz korijene višestrukosti m1, m2, ...,mn

'

1

n

ii

m n=

=∑gdje je

9

Vremenski stalni sustavi� rješenje homogene jednadžbe −

komplementarno rješenje ili slobodni odziv sustava,� postoji i kada nema pobude za Ki ≠ 0,

� naziva se i vlastito gibanje ili titranje sustava jer opisuje titranje energije u sustavu bez vanjskog poticaja.

� komponente slobodnog odziva titraju isključivo karakterističnim frekvencijama sustava pi, koje zavise od strukture i parametara sustava, a ne od pobude.

� komplementarno rješenje prisutno je u općem rješenju nehomogene jednadžbe.

10

Amplitude vlastitog titranja sustava

� opće rješenje diferencijalne jednadžbe za slučaj nejednakih korijena je:

1

( ) ( )i

np t

i pi

y t K e y t=

= +∑

� konstante Ki određuju se iz početnih uvjeta danih preko vrijednosti funkcije i njenih derivacija u t = 0.

� uzastopnom derivacijom izraza za y(t) u t=0dobiva se sustav linearnih algebarskih jednadžbi. 11


1 2

1 1 2 2

( 1) ( 1) 1 1 11 1 2 2

(0) (0)

(0) (0)

(0) (0)

p n

p n n

n n n n np n n

y y K K K

y y p K p K p K

y y p K p K p K− − − − −

− = + +…+

− = + +…

− = + +…+

� �

�

� Van der Mondova determinanta sustava sastavljena od potencija korijena pi , pi

n − 1.

12


� uz konstantnu ili periodičku pobudu partikularno rješenje se naziva stacionarno stanje.

� komplementarno rješenje iščezava s vremenom pa se naziva prijelazno ili prolazno stanje.

13


� Prijelazno stanje sastoji se od titranja vlastitim frekvencijama pi sustava.

� Amplitude titranja u prijelaznom stanju određene su razlikom početnog stanja {y(i)(0)} i iznosa partikularnog rješenja {yp

(i)(0)} u trenutku t = 0.

14


� Prvi specijalni slučaj: početni uvjeti jednaki partikularnom rješenju u t = 0

( ) ( )p(0) (0) 0, 0,1, 2, , .1i iy y i n− = = −…

� trivijalno rješenje, Ki = 0.

� prijelaznog procesa nema, već stacionarno stanje kreće odmah i ima frekvenciju pobude.

15


( 1)(0) 0, (0) 0, ) 0., (0ny y y −= = =� …

� drugi specijalni slučaj: početni uvjeti jednaki 0

� sustav je bez početne energije - miran sustav

� označimo s Kpi konstante koje slijede iz početnih uvjeta kada je sustav miran

16


� Treći specijalni slučaj: f(t) = 0 − nepobuđen sustav

( 1)p p p( ) 0, ( ) 0 , ( ) 0., ny t y t y t−= = =� …

( )p ( .0) 0iy =

� označimo s K0i konstante koje slijede iz početnih uvjeta

17


� ukupno rješenje prikazano pomoću K0i i Kpi:

01 1

( ) ( )i i

n np t p t

i pi pi i

y t K e K e y t= =

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

� dio s vlastitim titranjem frekvencijom pi u zagradi te prisilno titranje yp(t) frekvencijom pobude.

18


� ukupno rješenje prikazano pomoću K0i i Kpi

može biti prikazano i ovako

odziv nepobuđenog odziv mirnog sustava sust

01

a

1

va

( ) ( )i i

n np t p t

i pi pi i

y t K e K e y t= =

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑��

� odziv nepobuđenog sustava koji titra s pi

� u zagradi je odziv mirnog sustava koji titra s pi i frekvencijom pobude.

19

Prisilni odziv sustava

� Prisilni odziv sustava predstavlja partikularno rješenje nehomogene jednadžbe.� Općenito se može dobiti Lagrangeovom metodom varijacije

parametara.

� Za pobudu eksponencijalnom funkcijom računanje odziva je jednostavno jer se yp(t) može predstaviti eksponencijalom (deriviranjem se mijenja samo kompleksna amplituda eksponencijale).

� Određivanje kompleksne amplitude temelji se na metodi neodređenih koeficijenata.

20

Odziv sustava primjer

� naći odziv sustava opisanog diferencijalnom jednadžbom

( ) 0, 2 ( ) 0,16 ( ) ( )

( ) 0,64 ( ) (0) 3; (uz 0) 1i

y t y t y t u t

u t s t y y

+ + == = − = −

��

�

� karakteristična jednadžba i karakteristične frekvencije su

21,20,2 0,16 0 0,1 0,3873p p p j+ + = ⇒ = − ±

21


� pa je rješenje homogene jednadžbe

( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,3873)1 2( ) j t j t

hy t K e K e− + − −= +

� partikularno rješenje je oblika

( ) 0, ( ) 0

0,16 0,

z

6

a

4 4

p py t y t

A A

= = ⇒/= ⇒ =

��

( ) ( )py t As t=

� uvrštenjem u polaznu jednadžbu i

4 ( )s t=

22


� totalno rješenje je

( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,3873)1 2( ) 4 ( )j t j ty t K e K e s t− + − −= + +

� konstante K1 i K2 određuju se iz početnih vrijednosti

� rješenje i njegova derivacija su1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

( ) 4 ( )

( )

p t p t

p t p t

y t K e K e s t

y t p K e p K e

= + +

= +�

23


� za t = 0

1 2

1 1 2 2

2,58151

2,58152

(0) 4

(0)

3,5 2,1947 4,1312

3,5 2,1947 4,1312

j

j

y K K

y p K p K

K j e

K j e−

= + + ⎫⇒⎬= + ⎭

= − + == − − =

�

� konačno totalno rješenje je2,5815 0,1 0,3873 2,5815 0,1 0,3873( ) 4,1312 4,1312 4 ( )j t j t j t j ty t e e e e e e s t− − − −= + +

0,1( ) 8, 2624 cos(0,3873 2,5815) 4 ( )ty t e t s t−= + +24


0 10 20 30 40 50 60 70 80-4

-2

0

2

4

6

8odziv sustava

vrijeme

ampl

ituda

25

Odziv nepobuđenog sustava primjer

� totalno rješenje možemo naći i kao zbroj nepobuđenog i odziv mirnog sustava

( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,3873)01 02( ) j t j t

nepy t K e K e− + − −= +

� konstante K01 i K02 određuju se iz početnih vrijednosti


1 2

01 02

1 01 2 02

( )

( )

p t p tnep

p t p tnep

y t K e K e

y t p K e p K e

= +

= +�

� odziv nepobuđenog sustava je

26


� za t = 0

01 02

1 01 02 2

2,300201

2,300202

(0)

(0)

1,5 1,6783 2, 2509

1,5 1,6783 2,2509

nep

nep

j

j

y K K

y p K p K

K j e

K j e−

= + ⎫⇒⎬= + ⎭

= − + == − − =

�

� konačno, rješenje nepobuđenog sustava je2,3002 0,1 0,3873 2,3002 0,1 0,3873( ) 2, 2509 2,2509j t j t j t j t

nepy t e e e e e e− − − −= +

0,1( ) 4,5018 cos(0,3873 2,3002)tnepy t e t−= +

27


0 10 20 30 40 50 60 70 80-4

-2

0

2

4

6

8odziv sustava

vrijeme

ampl

ituda

28

Odziv mirnog sustava primjer

( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,3873)1 2( ) 4 ( )j t j t

mirn p py t K e K e s t− + − −= + +

� konstante Kp1 i Kp2 određuju se iz početnih vrijednosti


1 2

1 2

1 1 2 2

( ) 4

( )

p t p tmirn p p

p t p tmirn p p

y t K e K e

y t p K e p K e

= + +

= +�

� odziv mirnog sustava je

29


� za t = 0

1 2

1 1 2 2

2,88891

2,88892

(0) 4

(0)

2 0,5164 2,0656

2 0,5164 2,0656

mirn p p

mirn p p

jp

jp

y K K

y p K p K

K j e

K j e−

= + + ⎫⇒⎬= + ⎭

= − + == − − =

�

� konačno, rješenje mirnog sustava je2,8889 0,1 0,3873 2,8889 0,1 0,3873( ) 2,0656 2,0656 4 ( )j t j t j t j t

mirny t e e e e e e s t− − − −= + +

0,1( ) 4,1312 cos(0,3873 2,8889) 4 ( )tmirny t e t s t−= + +

30


0 10 20 30 40 50 60 70 80-4

-2

0

2

4

6

8odziv mirnog sustava

vrijeme

ampl

ituda

31

Odziv nepobuđenog sustava primjer

� totalno rješenje možemo naći i kao zbroj nepobuđenog i odziv mirnog sustava

( ) ( ) ( )nep mirny t y t y t= +( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,3873)

( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,3873)

( 0,1 0,3873) ( 0,1 0,

( ) ( 1,5 1,6783 ) ( 1,5 1,6783 )

( 2,0 0,5164 ) ( 2,0 0,5164 ) 4 ( )

( ) ( 3,5 2,1947 ) ( 3,5 2,1947 )

j t j t

j t j t

j t j

y t j e j e

j e j e s t

y t j e j e

− + − −

− + − −

− + − −

= − + + − −+ − + + − − += − + + − − 3873) 4 ( )t s t+

0,1

0,1

0,1

( ) 4,5018 cos(0,3873 2,3002)

4,1312 cos(0,3873 2,8889) 4 ( )

( ) 8, 2624 cos(0,3873 2,5815) 4 ( )

t

t

t

y t e t

e t s t

y t e t s t

−

−

−

= + ++ + += + + 32


0 10 20 30 40 50 60 70 80-4

-2

0

2

4

6

8odziv sustava

vrijeme

ampl

ituda

Signali i sustavi

Sustavi drugog reda

34

Vladanje i svojstva kontinuiranih sustava drugog reda

� linearni vremenski stalan sustav drugog reda s jednim ulazom i jednim izlazom opisan je s

[ ]

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

11 2

2

x a a x bu

x a a x b

xy c c du

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

�

�

� jednadžba stanja se može transformirati u diferencijalnu jednadžbu drugog reda:

1 1 1

2 2 2

iliT ( )

T ( ).

x x x w t

x x x v t

− + ∆ =− + ∆ =

��

��

35

Vladanje i svojstva kontinuiranih sustava drugog reda

� pri tom su:

11 22 trag matric eT a a A= +11 22 12 21 determinanta d∆ oa a a a A= −

22 1 12 2 1

11 2 21 1 2

( )

( )

w t a b u a b u b u

v t a b u a b u b u

= − + += − + +

�

�

� Ako su obje konstante a12 = a21 = 0 (matrica A je dijagonalna) sustav je opisan s dvije razvezane jednadžbe prvog reda.

36

Vladanje i svojstva sustava drugog reda

20 0,2y y yα ω+ + =��

2α = − T, α je faktor prigušenja,

ω0 je frekvencija neprigušenog titranja.

20 ,ω = ∆

� uobičajeno je jednadžbu drugog reda nepobuđenog sustava pisati u obliku:

� analizirajmo odziv ovog sustava

37


� karakteristična jednadžba je:2 2

02 0p αp ω ,+ + =

� njezina rješenja su karakteristične ili prirodne frekvencije sustava drugog reda.

2 20 0

2 212 0 0

2 20 0

0

za

za

z

0a

0

α α ω

p α α ω α α ω

α j α ω

α ω

ω α

⎧− ± − > >⎪⎪= − ± − = − = >⎨⎪

− ± − < <⎪⎩ 38


� rješenje se može napisati u obliku:

1 22 1

2 1 2 1

(0) (0) (0) (0)( ) .p t p ty p y y y p

y t e ep p p p

− −= +− −

� �

.(0)y�� proizvoljne konstante određuju početni

uvjeti y(0) i

1 21 2( ) p t p ty t Y e Y e= +� rješenje je oblika:

39


� zavisno od veličina α i ω0 postoji tzv.� nadkritično prigušenje α > ω0,

� kritično prigušenje α = ω0,

� podkritično prigušenje α < ω0,

� neprigušeni slučaj α = 0.

400 10 20 30 40 50 60 70 80

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

vrijeme

nadkriticno prigusenje


� za: 0

2 20 1,2 0

0,75; 0, 4

0,75 0,6344

0,1156

1,3844

p α

α ω

α ω α ω

= =

> ⇒ = − ± − = − ±= −= −

2α−

∫ ∫

y

y�� y� +

20ω−

41

0 10 20 30 40 50 60 70 80-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

vrijeme

kriticno prigusenje


� za:0 1,20, 4 0, 4pα ω α= = ⇒ = − = −

420 10 20 30 40 50 60 70 80

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

vrijeme

podkriticno prigusenje


� za:

2 20 1,2 0 0,1 0.3873p α j jα ω ω α< ⇒ = − ± − = − ±

00,1; 0,4α ω= =

43

0 10 20 30 40 50 60 70 80-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

vrijeme

nepriguseni slucaj


� za: 20 1,2 00; 0, 4 0,4p jα ω ω= = ⇒ = ± = ±

44


0 10 20 30 40 50 60 70 80-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

vrijeme

nestabilan sustav

� za:

2 20 1,2 0 0,1 0.3873p α j jα ω ω α< ⇒ = − ± − = ±

00,1; 0, 4α ω= − =

45


SIMULINK primjer

46

� rješenje homogene jednadžbe stanja može se dobiti pretpostavkom da eksponencijalne funkcije x1 =X1e

pt , x2 = X2ept zadovoljavaju

skup od dvije jednadžbe:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

x a x a x

x a x a x

= += +

�

�


47

11 1 12 2

21 1 22 2

( ) 0

( ) 0

a p X a X

a X a p X

− + =+ − =

� dobije se sustav karakterističnih algebarskih jednadžbi:


1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

pX a X a X

pX a X a X

= += +

( )( )

1 1

2 21 11 1 12 2 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2 2 21 1 22 2

pt

ptx X e pt ptx X e

pt pt

x a x a x pX e a X a X e

x a x a x pX e a X a X e

=== + = +

⎯⎯⎯⎯→= + = +

�

�

48

� da bi sustav karakterističnih jednadžbi dao rješenja za amplitude X1, X2 različite od nule, mora determinanta sustava biti jednaka nuli,

11 12

21 22

( )0

(.

)

a p a

a a p

−=

−

2 0.Tp p− + ∆ =

� to daje polinom drugog stupnja:


49

� odakle slijede prirodne frekvencije p1 i p2 za koje ept zadovoljava jednadžbu.

� rješenje se može napisati u obliku:

1 2

1 2

1 11 12

2 21 22

( ) ,

( ) .

p t p t

p t p t

x t X e X e

x t X e X e

= +

= +


50


� druge dvije konstante proizlaze iz prvih uvrštenjem u jednadžbe stanja za t = 0.

11 2 1 12 211

1 2

( ) (0) (0)a p x a xX

p p

− +=−

1 11 1 12 212

1 2

( ) (0) (0)p a x a xX

p p

− −=−

21 1 22 2 221

1 2

(0) ( ) (0)a x a p xX

p p

+ −=−

21 1 1 22 222

1 2

(0) ( ) (0)a x p a xX

p p

− + −=−

� nezavisne su samo dvije konstante i one se odrede iz dva početna uvjeta.

51

1 1

2 21 22 2

0 1x x

x a a x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�

�

Vladanje i svojstva sustava drugog reda - primjeri

2α−

20ω−

∫ ∫x2 x1

a21

2dx

dt1dx

dt+

a22

52

1 1 1202 21 22 2 2

0 10 1

2

x x x

x a a x xω α⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

�

�


2 2 20 0

karakteristična jednadžba2

2 0

T

p p

αω α ω

= − ⎫⇒⎬∆ = + + =⎭

� za 2 2

0 1,2 0

d

p α j

ω

α ω ω α< ⇒ = − ± −��

53

1

2

d

d

p j

p j

α ωα ω

= − += − −


� neka je x2(0) = 0, za zadani primjer slijedi

12 1 211

1 2

11 11 1 212

1 2

( ) (0)(0) (0)

2

( ) (0)( ) (0) (0)

2

d

d

d

d

j xp x xX

p p j

j xp a x xX

p p j

α ωωα ω

ω

+− += =−

− +− −= =−

54


� pa je( ) ( )1 1

1

( ) (0) ( ) (0)( )

2 2d dj t j td d

d d

j x j xx t e e

j jα ω α ωα ω α ω

ω ω− + − −+ − += +

1 1

1 1( ) (0)

2 2 2 2d d d dj t j t j t j tt

d d

x t x e e e e ej j

ω ω ω ωα α αω ω

− −− ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1( ) sin( ) cos( ) (0)td d

d

x t e t t xα α ω ωω

− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

55


� kako je 2 1( ) ( )x t x t= ⇒�

2

2 1 1( ) sin( ) (0) sin( ) (0)t td d d

d

x t e t x e t xα αα ω ω ωω

− −= − −

1 1( ) cos( ) (0)tdx t e t xα ω−=

� za 1d

αω

�

2 1( ) sin( ) (0)td dx t e t xαω ω−= −

56


11 1

1

( )( ) cos( ) (0) cos( )

(0)t

d d t

x tx t e t x t

x eα

αω ω−−= ⇒ =

� pa je

22 1

1

( )( ) sin( ) (0) sin( )

(0)t

d d d td

x tx t e t x t

e xα

αω ω ωω

−−= − ⇒ =

−

22

1 2

1 1

( ) ( )1

(0) (0)t td

x t x t

e x e xα αω− −

⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

57


� za 0

1 2

0,1; 0, 4; 0,3873;

(0) 3; (0) 0;d

x x

α ω ω= − = ⇒ == =

0

Im

Re -α

-jωd

jωd

-2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

x1(t)

x2(t

)

58


� za

1 2

0,1; 0, 4; 0,3873;

(0) 3; (0) 1;d d

x x

α ω ω= − = ⇒ == − = −

0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

vrijeme

x1

-4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

59

1 1

2 21 22 2

0 1x x

x a a x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�

�


2α−

∫ ∫

x2 w1

a21

2dx

dt 1dx

dt +

a22

20ω−

60

1 1 1202 21 22 2 2

0 10 1

2

x x x

x a a x xω α⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

�

�


2 2 20 0

karakteristična jednadžba2

2 0

T

p p

αω α ω

= − ⎫⇒⎬∆ = + + =⎭

� za 2 20 1,2 0p αα ω α ω> ⇒ = − ± −

61


0

Im

Rep2 p1

0

x2

x1

stabilni čvor

� slučaj realnih i različitih p1 i p2,

a) p1, p2 < 0

62


0 1 2

2 20 1,2 0

1

2

0,75; 0, 4; (0) 3; (0) 1;

0,75 0,6344

0,1156

1,3844

x x

p α

p

p

α ω

α ω α ω

= = = − = −

> ⇒ = − ± − = − ±= −= −

0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

vrijeme

x1

-4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

63


0 1,2

1 2

0, 4 0, 4

(0) 3; (0) 1;

p

x x

α ω α= = ⇒ = − = −= − = −

0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

vrijeme

x1

-4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

64


0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

Time (second)

0 1,2

1 2

0, 4 0, 4

(0) 1; (0) 1;

p

x x

α ω α= = ⇒ = − = −= =

-4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

65


0

Im

Re p1 p2

0

w2

w1

nestabilni čvor

� slučaj realnih i različitih p1 i p2

b) p1, p2 > 0

66


0 20 40 60 80 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

Time (second)

1 1

1 2

0,1; 0, 2;

(0) 0.01; (0) 0.01;

p p

x x

= == =

-4 -3 -2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

67


12

21

dxx

dtdx

axdt

=

=

11 121 1

21 222 2

0 10 1

00

0

a ax x

a a ax xa

T a

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

= ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ∆ = −

�

�

∫ ∫

x2 x1

a

2dx

dt 1dx

dt

68


210

pp a

a p

−= − =

−

1 1

2 2

sh( )( ) (0)ch( )

( ) (0)sh( ) ch( )

tx t xαt

x t xαt t

αα

α α

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

za 0a >12p a α= ± = ±

� karakteristična jednadžba je

. . .

� x(t) = Φ(t)x0 , gdje je Φ(t) − prijelazna matrica.69


2 2

1 2

1 1

1(0) (0)

.x x

x xα⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� Veza između x1(t) i x2(t).

� Jednadžbu krivulje F(x1, x2) = 0 možemo dobiti eliminacijom vremena.

� Uzmimo početno stanje x1(0), (x2(0) = 0):

70


0

Im

Re α -α

w1 0

w2

w10

1

2

za

za

x t

x t

→ ∞ → ∞→ ∞ → ∞

� Nestabilan sustav. Ravnoteža x = 0 se ne dosegne − sedlo

71

22

1 2

1 0 1

1(0) (0)

x x

x xω⎛ ⎞⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

Im

Re

-jωd

jωd

0

x2

x1

� Zatvorena krivulja − periodičanproces. Trajektorija obilazi okotočke ravnoteže − fokus.

212 0 0za 0 a p jω ω< = ± − = ±� Primjer:


72

212 0

1 2

0 0,4

(0) 0.8; (0) 0.7

;

za a p j

x x

ω< = ± − = ±= − = −

� Primjer:


0 20 40 60 80 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time (second)-2 -1 0 1 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

73

0 10

20 30

0 1

2 3

4

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5

t x1

x2

74

0 10

20 30

0 1

2 3

-0.5

0

0.5

1

t x1

x2

75

0 10

20 30

0 1

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t x1

x2

76

SIMULINK primjer

Documents

Odziv sustava primjersis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2004_pr08_9x9.pdf · 2012. 1. 12. · 19 Prisilni odziv sustava Prisilni odziv sustava predstavlja partikularno rješenje