1. Metode istraivanja u fizici

Fizika kao eksperimentalna znanost osniva se na promatranju prirodnih pojava, izvoenju eksperimenta i mjerenju. Ponekad je lake doi do fizikalnog zakona teorijski i zatim ga eksperimentalno provjeriti pa ako eksperiment potvrdi teorijsku pretpostavku,ona se prihvaa kao prirodni zakon

Pri istraivanju u fizici prvo moramo uoiti nerijeen problem koji je od znanstvenog interesa; zatim precizno mjerimo, mjerenje ponavljamo nekoliko puta da bismo to vie smanjili pogreke mjerenja; rezultate unosimo u tablice, predoujemo ih grafiki ili ih pohranjujemo u kompjutor; slijedi analiza eksperimentalnih podataka, fizikalno objanjenje eksperimenta i pronalaenje fizikalnog zakona.

2. Fizikalne veliine i mjerne jedinice. Meunarodni sustav SI

Fizikalna veliina je mjerljivo svojstvo (parametar) fizikalnog stanja, procesa ili tijela; omoguuje definiranje fizikalne pojave i njezino opisivanje u matematikom obliku, pomou odgovarajuih jednadbi (npr. put, vrijeme, masa, rad, energija, temperatura...). Oznaavaju se malim i velikim slovima latinske abecede i grkog alfabeta; znakovi fizikalnih veliina meunarodno su dogovoreni. Fizikalni se zakoni mogu precizno izraziti pomou fizikalnih jednadbi (formula). Svaka se fizikalna veliina izraava pomou brojane vrijednosti i mjerne jedinice:

A = {A} [A] gdje je {A} brojana vrijednost, a [A] mjerna jedinica fizike veliine Na XI. zasjedanju Generalne konferencije za utege i mjere, u listopadu 1960., prihvaen je Meunarodni sustav mjernih jedinica, tzv. SI (Systm International d'Units).

Fizikalna veliina Znak Mjerna jedinica Znak

duljina l metar m

masa m kilogram kg

vrijeme t sekunda s

termodinamika temperatura T kelvin K

elektrina struja I amper A

jakost svijetlosti I kandela cd mnoina (koliina tvari)

n

mol

mol

Izvedene jedinice izvode se iz osnovnih pomou algebarskih izraza, metematikim operacijama.

U zakonite mjerne jedinice pripadaju jedinice SI, decimalne jedinice koje nastaju iz jedinica

SI i decimalnih predmetaka, mjeovite jedinice koje se tvore iz svih zakonitih jedinica te jedinice koje nisu SI, ali zakon doputa njihovu uporabu(npr. morska milja, vor, hektar, litra, Celzijev stupanj, bar, minuta,...)

3. Vektorske veliine, operacije s vektorima, jedinini vektori

Fizikalne veliine veinom su skalari ili vektori. Za odreivanje vektora moramo poznavati pravac nosilac, smjer vektora i iznos (brojana vrijednost izraena u odgovarajuim

www.

kodm

ehon

je.tk

jedinicama); iznos (modul) vektora uvijek je pozitivan neke vektorske veliine su: brzina, akceleracija, sila, koliina gibanja, moment sile, kutna brzina itd. Vektor oznaavamo strelicom ija duljina daje iznos vektora,a smjer strelice pokazuje smjer vektora; vektore moemo obiljeavati malim (v) i velikim slovima (AB) koja oznauju poetak i kraj vektora Zbrajanje Zbroj dvaju vektora je vektor. Grafiki zbrajamo tako da poetak drugog vektora paralelnom translacijom dovedemo na kraj prvoga; rezultanta je vektor koji ide od poetka prvog do kraja drugog vektora(slika 1.). Ako imamo vie vektora, grafiki ih zbrajamo na isti nain. Drugi nain zbrajanja dvaju vektora je metodom paralelograma. Poetke vektora dovedemo u istu toku i nacrtamo odgovarajui paralelogram kojem su ti vektori stranice. Dijagonala paralelograma je rezultantni vektor(slika 2.). Iznos rezultante moemo izraunati pomou kosinusova pouka

2 2 2 cosc a b ab

Slika 1. Slika 2.

Oduzimanje Ova operacija svodi se na zbrajanje vektora. tj. a b je vektor c koji nastaje zbrajanjm a i (- b) . Negativni -b po

iznosu je jednak vektoru b, kolinearan je s njim,

ali suprotnog smjera. Da bismo vektor b oduzeli

od vektora a , poetak oba vektora dovedemo u istu toku, a razlika je vektor koji ide od kraja vektora b do kraja vektora a (slika 3.). Slika 3.

Smjer u prostoru najee definiramo jedininim vektorom (ortom) kojem je iznos jednak jedinici; najee se upotrebljava koordinatni sustav sa tri meusobno okomita jedinina vektora, i, j, k, tzv. Kartezijev koordinatni sustav u kojem se vektor v rastavlja:

x y zv v i v j v k

gdje su vx, vy i vz skalarne komponente vektora. Kako su osi x,y i z okomite vrijedi:

2 2 2x y zv v v v

4. Skalarni i vektorski produkt, primjeri skalarnog i vektorskog produkta u fizici

Skalarni produkt jednak je umnoku obaju vektora i kosinusa kuta meu njima:

cosa b ab Ako su vektori zadani pomou svojih komponenata npr. a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk tada je skalarni produkt: a b = axbx + ayby + azbz Vektorski produkt rezultat vektorskog produkta opet je vektor, a jednak je umnoku vektora

i sinusa kuta meu njima: | | sina b ab

Vektor a b okomit je na vektore a i b,anjegov smjer odreuje se pravilom desne ruke. Ako su a i b paralelni vektorski umnoak im je 0. Zadamo li vektore pomou komponenata kao prije,tada je: a b = (aybz azby)i + (azbx axbz)j + (axby aybx)k

www.

kodm

ehon

je.tk

5. Definicija materijalne toke, vektora poloaja i vektora pomaka

Ponekad se pri prouavanju gibanja mogu zanemariti dimenzije tijela, i itavo tijelo predoiti jednom tokom mase m. Takva aproksimacija zove se materijalna toka(m.t.), estica, odnosno sitno tijelo.

Najee emo poloaj m.t. odreivati pomou njezinih pravocrtnih koordinata u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu. Tako je poloaj m.t. odreen sa tri broja, tj. udaljenostima x, y i z od koordinatnih ravnina. Umjesto sa x, y i z poloaj toke moemo odrediti i radijusvektorom r koji spaja ishodite k.s. s m.t. Vektor r zove se vektor poloaja materijelne toke.

Ako se m.t. giba, njezine se koordinate mijenjaju u vremenu pa ona u prostoru opisuje neku

krivulju ija je jednadba: r(t) = x(t)i + x(t)j + z(t)k

Putanja je skup svih toaka kroz koje prolazi m.t. koja se giba, a dio putanje koji m.t. prijee u odreenom vremenu zove se put. Na slici je put s jednak dijelu putanje AB. Vektor r = rB - rA zove se vektor pomaka materijalne toke. Pomak je promjena vektora poloaja. Pri pravocrtnom gibanju, uvijek u istom smjeru, pomak je jednak prijeenom putu.

6. Akceleracija, brzina, poloaj i put kod jednolikog i jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja

Jednoliko pravocrtno gibanje

v = s/t [v]=[m]/[t] v-brzina

s = v t s-put

t-vrijeme

X=X0+v t ----poloaj materijalne toke

Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje

s= v0 t + a/2 t^2

v= v0+a t 2

02v as v

7.Prosjena i prava brzina pri krivocrtnom gibanju

Prosjena brzina (srednja) v= rb - ra/t2 t1 = dr/dt

Prava brzina (trenutna) je granina vrijednost srednje brzine

0lim lim

t

r drv v r

dtt

www.

kodm

ehon

je.tk

8. Prosjena i prava akceleracija pri krivocrtnom gibanju

Prosjena akceleracija (srednja) a=dv/dt

Prava akceleracija (trenutna)

2

20limt

v dv d ra

t dt dt

9. Slobodni pad, vertikalni hitac

Slobodni pad je gibanje s konstantnim ubrzanjem

v= g t

s= h = g/2 t^2 s = v t/2

2v gh

10. Kosi hitac, jednadba staze, visina, domet

Kosi hitac je krivocrtno gibanje u ravnini s konst. akceleracijom

Skica

2

2

2

2

0

2

0

0 0

0 0

0 0

2 2

0 0

2

2 2

0

0

2

cos

sin

cos

sin2 2

tan2 cos

x

y

x

y

x

y

d xx

dt

d yy g

dt

v v g t

gr v t t

v v v

v v gt v gt

x v t v t

g gy v t t v t t

gxy x

v

Visina

2 2 2 2

2 0 0 00 0 2

sin sin sin1sin sin

2 2 2H H

v v vgH v t gt v

g g g

www.

kodm

ehon

je.tk

Domet

2

2 2

0

2

tan 02 cos

sin 2

gx x

v

vx

g

11. Horizontalni hitac; jednadba staze i domet

-jednadba staze: y = x tan - ___gx2_______ 2v0

2cos

2

-horizontalni domet (X) je horizontalna udaljenost izmeu polazne i udarne toke, raunamo ga iz jednadbe:

X = ___v2sin2__

g

12. Centripetalna, tangencijalna i ukupna akceleracija pri krivocrtnom gibanju

centripetalna

-materijalna toka se u trenutku t1 nalazi u toki A t2 B

-pri tome se mijenja smjer brzine za v = v2 v1 -a cp ima smjer prema sreditu krunice ako je -r0 jedinini radijevektor premas reditu krunice, slijedi: acp = -r2r0 x v tangencijalna

-nastaje zbog promjene iznosa obodne brzine

-jedinica je radijan u sekundi na kvadrat (rad/s2)

at = x r = kutna akceleracija -ako je = 0 tada je i at = 0 -pri nejednolikom krunom gibanju postoje i acp i at -radijalna ima smjer prema sreditu krunice a tangencijalna u smjeru tangente i one su okomite jedna na drugu

ukupna akceleracija

-dobiva se zbrajanjem acp i at

a = |a| = 2 2cp ta a

13. Veza izmeu kutne i obodne brzine pri krunom gibanju

-za vrijeme delta t materijalna toka, gibajui se po krunici prevali put delta s, odnosno kut delta 1 rad = 180/ = 57.3 stupnja pri tom je obodna brzina:

v = r x - kutna brzina tijela (rad/s) -to je vektor kojem je smjer odreen pravilom desne ruke ( ako prsti slijede materijalnu toku, palac pokazuje smjer w)

- vektorski produkt iznosi: c = a x b sin

www.

kodm

ehon

je.tk

- obodna brzina je okomita na r i - dakle kut iznosi pi/2, tj sinus kuta je 1 pa relaciju piemo kao: - v = x r (!! Paziti na redoslijed jer je x r = - r x )

14. Rastavljanje sila na komponente, primjeri kod kosine i njihala

-vektori su kolinearni ako su pravci nosioci paralelni

-tada ih moemo translatirati -zbrajamo ih po pravilu trokuta ili paralelograma

Kosina:

15. Prvi Newtonov zakon

- zove se jo i princip ustrajnosti, tromosti ili inercije - uzrok promjene gibanja je djelovanje sile na tijelo

- poloaj tijela s obzirom na neko drugo tijelo odreujemo izborom REFERENTNOG SUSTAVA

- oni sustavi u kojima vrijedi ovaj zakon su INERCIJALNI sustavi

- primjer je heliocentrini sustav vezan za Sunce pri emu zemlja predstavlja materijalnu toku

Svako tijelo [tonije: materijalna toka] ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok ga vanjska sila ne prinudi da to stanje promijeni.

www.

kodm

ehon

je.tk

16. Drugi Newtonov zakon

Drugi Newtonow zakon opisuje ponaanje tijela kad na nj djeluje odreena vanjska sila F.

Poznato je da je akceleracija tijela razmjerna sili i ima smjer sile. Konstanta

proporcionalnosti izmeu sile i akceleracije jest masa tijela m.

F m a

Dakle, to je masa tijela vea, to je za isto ubrzanje potrebna vea sila, a masa koja se u pojavljuje u ovoj formuli naziva se tromom masom tijela.

Jedinicu sile izvodimo ovako:

2/F m a kg m s N Njutn (N) je sila koja tijelu mase 1kg daje akceleraciju od 1m/s

2

Preko Atwoodova padostroja (slika...) ispitujemo djelovanje stalne sile na gibanje tijela. Preko kolotura

prebacimo tanku elinu icu na ijim krajevima vise dva jednaka utega jednakih masa. Gornji dio jednog od utega je razrezan u tanke, ploaste krike, te se prebacivanjem kriki s jednog utega na drugi moe poveati masa jednog od njih, a smanjiti drugome. Kada su mase utega jednake, sistem naravno, miruje, a kad su

razliite, sistem se gba pod djelovanjem teine pretega (m2 m1)g. (masa kolotura i trenja su zanemarene) Iz rezultata mjerenja vidljivo je da je gibanje jednoliko ubrzano, opisano izrazom s = at

2/2. Stalna sila izaziva

gibanje sa stalnom akceleracijom.

Stoga, ako mijenjamo silu(teinu pretega), uz jednaku masu, mijenjat e se akceleracija.

Akceleracija je proporcionalna sili koja djeluje na sistem: 2 1a m m g Mogli bismo pokazati i da je akceleracija obrnuto razmjerna masi, mijenjajui masu sistema

m1+m2, uz stalnu silu. 2 11/a m m Drugi Newtonov zakon moemo izrei i ovako: Brzina promjene koliine gibanja proporcionalna je sili i zbiva se u pravcu te sile:

d pF

dt

Ako je p m v ,gornja jednadba prelazi u jednadbu:

d mv dvF m m a

dt dt

Dakle, drugi Newtonov zakon moe se izraziti u dva oblika: u openitom obliku d p

Fdt

,

koji vrijedi i u Newtonovoj i u relativistikoj mehanici, i u nerelativistikom obliku F m a , koji vrijedi samo u Newtonovoj mehanici.

17. Masa i teina

Na svako tijelo koje se nalazi na Zemljinoj povrini djeluje sila koju nazivamo teina ili sila tea, a ona je razmjerna masi tijela i moe se pisati kao:

G m g

Vektor g nazivamo akceleracijom sile tee. Iako teina uglavmom potjee od gravitacijske sile kojom Zemlja privlai tijelo, nije joj sasvim jednaka,ve je nju osim gravitacijskog

www.

kodm

ehon

je.tk

privlaenja uraunata i mala popravka zbog neinercijalne centrifugalne sile, koju uzrokuje vrtnja Zemlje oko vlastite osi.

Takoer, mjereni iznos g akceleracije mijenja se ovisno i o geografskoj irini, nadmorskoj visini i sastavu Zemljine unutranjosti, te na geografskoj irini od 45 , iznosi priblino

29,81g ms

Masa i teina su dvije razliite veliine: masa je osobina tijela i iskazuje se u kilogramima, a teina je sila i njezina mjerna jedinica je N. Masom tijela (naziva se jo i teka masa, za razliku od trome mase) odreena je teina tijela. Teka i troma masa su jednake (nakon kraenja u jednadbi gibanja):

m a m g

Masa tijela ovisi o njegovu volumenu V i o materijalu od kojeg je tijelo napravljeno.

Kvocijent mase i volmena tijela jest gustoa tijela:

m

V

Ako tijelo nije homogeno, gustoa u pojedinoj toki tijela definira se pomou derivacije:

0limV

m dm

V dV

18. Trei Newtonov zakon

Govori o interakciji odreenog tijela i njegove okoline. Ako tijelo A djeluje na tijelo B silom

ABF , tada i tijelo B djeluje na tijelo jednako velikom silom po iznosu, ali suprotnog smjera

BAF :

AB BAF F Prvu silu moemo zvati akcija, a drugu reakcija, te pisati:

sila akcije sila reakcijeAB BAF F

Stoga, trei Newtonov zakon glasi: Svakom djelovanju (akciji) uvijek je suprotno i jednako protudjelovanje (reakcija). Djelovanja

dvaju tijela jednoga na drugo uvijek su jednaka i protivnog smjera.

Primjeri za trei Newtonov zakon:

Uteg mase m koji miruje na horizontalnoj podlozi stola. Na uteg djeluju dvije sile: sila tea GF , kojom

ga Zemlja privlai, i sila NF , kojom podlogadjeluje na uteg prema gore. Uteg miruje (a=0), te prema

drugom Newtonovm zakonu ukupna sila na uteg iezava, te je G NF F . Uteg djeluje na stol svojom

teinom G ,koja je, prema treem Newtonovom zakonu, jednaka po iznosu, a suprotna po smjeru sili

NF , kojom podloga stola djeluje na uteg:, a iz toga je vidljivo da je teina utega, jednaka sili tei.

GG F m g

Sila akcije G djeluje na podlogu stola, dok sila reakcije NF djeluje na uteg. Ako promatramo

interakciju utega i Zemlje, sila akcije je sila GF kojom Zemlja privlai uteg, dok silom reakcije uteg

privlai Zemlju. Sile GF i NF , nisu akcija i reakcije, iako su suprotne po smjeru, a jednake po iznosu, jer djeluju na isto tijelo, dok sile akcije i reakcije uvijek djeluje na razliita tijela.

Dva klizaa na ledu dre se za ue , okrenuti jedanprema drugome. Ako samo jedan od njih vue ue, nastojei privui k sebi onog drugog, oba e se klizaa pomaknuti s mjesta i pribliavati jedan drugoem jer se uz silu akcije, kojom prvi kliza djeluje na drugoga, javlja i sila reakcija, kojom drugi djeluje na prvoga.

www.

kodm

ehon

je.tk

Pokus s topom. Metalnu cijev, zatvorenu na jednom kraju i privrenu na kolica, do polovice napunimo vodom i zatvorimo gumenim epom, a vodu grijemo. Kad tlak pare bude dovoljno velik, ep e odletjeti na jednu, a top na drugu stranu. Sila kojom top djeluje na ep jednaka je i suprotna sili kojom ep djeluje na top, a zbog vee mase topa, njegova je akceleracija je manja.

t tm a m a

Ostali primjeri: iskakanje iz amca, reaktivno gibanje (mlazni avioni, raketa), sudari...

19. Koliina gibanja i impuls sile

Koliina gibanja materijalne toke definirana je kao umnoak mase i brzine:

p m v

Iz iskustvsa znamo da je tee zaustaviti tijelo s veom koliinom gibanja nego ono s manjom, te da je za svaku promjenu koliine gibanja potrebno da na tijelo neko vrijeme djeluje sila. to je vea sila koja pri tom djeluje, odnosno to je dui vremenski interval djelovanja, bit e i vea promjena koliine gibanja. Da bismo opisali djelovanje slo na tijelo, definiramo impuls sile:

I F t Ako na tijelo djeluje stalna stila F u odreenom vremenskom intervalu delta T, kaemo da je pri tome tijelo dobilo impuls sile F delta t. Impuls sile je, dakle, umnoak sile i vremenskog intervala u kojemu je djeluje ta sila. Jedinica impulsa je njutnseknuda (N s). Impuls sileI je

vekotorska veliina i ima smjer sile. F-ti dijagram (slika 3.5) impuls sile je brojano jednak povrini ispod krivulje F(t). Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls naenmo tako da vremenski interval podijelimo u mnogo malenih intervala. U svakom intervalu impuls je priblino jednak umnoku siile i vremenskog intervala. Ukupni impuls jednak je zbroju svih tih impulsa. Tonu vrijednost impulsa sila dobivamo tako da uzmemo granine vrijednosti tog izraza:

2

1

0lim

t

i it

i t

I F t F t dt

Impuls sile jednak je intergralu sile po vremenu u kojemu djeluje ta sila.

Prema drugom Newtonovom zakonu, sila je jednaka brzini promjene koliine gibanja:

d p dF mvdtdt

Za infinitezimalno vrijeme dt tijelo e dobiti impuls sile:

Fdt d p

dok e u vremenskom intervalu izmeu t1 i t2 primljeni impuls sile biti jednak:

2 2

1 1

2 1 2 1

t p

t p

Fdt d p p p m v v

Ova relacija daje vezu izmeu impulsa sile i koliine gibanja: impuls sile jednak je promjeni koliine gibanja tijela na koje djeluje ta sila. Ako je tijelo prije djelovanja sile mirovalo, tada je impuls sile jednak koliini gibanja koju tijelo ima nakon djelovanja sile. Takoer, gornja je relacija, uz mjerenje promjene koliine gibanja, jedini nain odreivanja impulsa sile, u sluaju danam vremenska ovisnost sile nije poznata.

www.

kodm

ehon

je.tk

20. Zakon ouvanja koliine gibanja

-Ukupna koliina gibanja zatvorenog sistema konstantna je bez obzira na to kakvi se procesi i meudjelovanja dogaaju u sistemu. Vrijedi za sve zatvorene sisteme, a proizlazi iz injenice da sve toke prostora imaju iste osobine, te da su prirodni zakoni isti u svakoj toki prostora.

Ako promatramo sistem od dvije ili vie estica mase m1, m2, m3, zakljuujemo da unutar sistema mogu djelovati jedna na drugu tzv. unutranjim silama, a tijela izvan sistema mogu djelovati na sistem tzv. vanjskim silama. Ukoliko nema vanjskih sila (ili se meusobno ponitavaju, tj. rezultanta im je 0), kaemo da je sistem izoliran ili zatvoren. Za izolirani sistem vrijedi zakon o ouvanju koliine gibanja (slika 3.7). Sistem od dvije materijalne toke mase m1 i m2, koje se centralno i elastino sudare.

Brzine estica priije sudara oznaimo sa 1v i 2v , a nakon sudara sa ,

1v i ,

2v . U vrlo kratko

vrijeme sudara, estica djeluju jedna na drugu silama. Po treem Newtonovom zakonu, sila kojom prva estica djeluje na drugu (F12), jednaka je po iznosu, a suprotna po smjeru sili F21 kojom druga estica djeluje na prvu:

12 21F F

Koliina gibanja prve estice prije sudara jest 1 1m v , a nakon sudara ,

1 1m v . Nastala promjena

koliine gibanja jednaa je primljenom impulsu sile 1I : ,

1 1 1 1 1I m v m v

Slino rijedi i za drugu esticu. ,

2 2 2 2 2I m v m v

Prema treem Newtonovom zakonu 12 21F F , i primljeni impulsi sile su jednaki po iznosu,

a suprotnog smjera: 1 2I I . Dakle,dobivamo slijedei izraz:

, ,1 1 1 1 2 2 2 2m v m v m v m v

odnosno: , ,1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v

Na lijevoj je strani druge jednadbe ukupnakoliina gibanja sistema prije sudara, a na desnoj strani ukupna koliina gibanja nakon sudara. Pri sudaru se koiina gibanja tog zatvorenog sistema od dvije estice nije promijenila. Iz drugog Newtonova zakona za izolirani sistem od n estica vrijedi:

1 2 3 ...n uu nu vd pd

F F F p p p pdt dt

Budui da je 0vF , a unutranje sile se, po treem Newtonovom zakonu, u parovima

ponitavaju, slijedi: ud p

dt

odnosno:

.

n

u i i

i

p m v konst

www.

kodm

ehon

je.tk

Pokus sa topom: Top i tane ine zatvoreni sistem. Prije eksplozije ukupna koliina gibanja je

nula (top i tane miruju), a nakon eksplozije ukupna koliina gibanja t t m u m u mora biti

nula, zbog ega top ode na jednu stranu, ep na drugu, brzinama koje su obrnuto razmjerne njihovim masama.

26. Kinetika i potencijalna energija; zakon o ouvanju energije (4.2)(4.3)(4.4)(4.5)

Energija-sposobnost tijela ili sistema da obavljaju rad. Kad tijelo obavlja rad energija mu se

smanjuje i obratno.

Kinetiku energiju uzrokuje gibanje tijela nekom brzinom,a potencijalnu poloaj tijela unutar sistema. Potencijalna i kinetika energ. mogu se pretvarati jedna u drugu. Svi ostali oblici energije mogu se svesti na potencijalnu i kinetiku.

KINETIKA ENERGIJA Sposobnost tijela da mogu izvriti rad zbog toga to imaju odreenu brzinu. Rad potreban da bi sila F ubrzala tijelo na nekom putu iz mirovanja (v=0) do brzine v:

W= F*ds= ma ds = m dv/dt ds =m dv/dt v dt =mv dv =1/2mv2

Ek =mv2/2 >kin energija tijela mase m i brzine v Ako imamo poetnu brzinu Ek = mv12/2 mv22/2

Promjena kin. Energ jednaka izvrenom radu W=Ek2-Ek1

W 0 kin energ se poveava

Pouak o radu i kin.energ relacija koja povezuje rad i promjenu Ek

Pri translaciji krutog tijela sve njegove toke imaju jednaku brzinu koja je jednaka brzini centra mase tog tijela. Tad je Ek =1/2 mv^2cm,gdje je m ukupna masa tijela a vcm brzina

centra mase.

POTENCIJALNA ENERGIJA

Tijelo moe imati i potencijalnu energiju,koja dolazi zbog njegiva poloaja prema drugim tijelima. Tijelo mase m podignuto na visinu h iznad Zemlje ima odreenu potenc. Energ i sposobno je sputajui se s te visine izvriti rad W. Ovisno o sili koja djeluje na tijelo razlikujemo gravitacijsku,elastinu, elektrostatsku, magnetsku.

Ep=mgh

Potencijalna energija moe biti i pozitivna i negativna.

ZAKON O OUVANJU ENERGIJE Energija se moe pretvarati iz jednog oblika u drugi,pri emu je u izoliranom sistemu zbroj energija konstantan.

Promatrajmo ukupnu meh. Energiju tj. Potencijalnu i kin. Energiju pri slobodnom padu.

Skica

www.

kodm

ehon

je.tk

U po. Je tijelo mase m na visini h i miruje Ep =mgh, Ek=0, E=Ek +Ep. Kada tijelo slobodno padajui prevali put s Ep=mg(h-s) a Ek=1/2mv^2 =1/2(2gs)2 E=1/2m*2gs+mg(h-s)=mgh

Kada tijelo padne na pod Ep=0, brzina tijela v=2gh, Ek=mv^2/2=mgh. U svakoj toki putanje slobodnog pada zbroj kin. i pot. Energije je konstantan tj ukupna mehanika energija je sauvana Ep+Ek=konst

Dio mehanike energije esto se zbog trenja pretvara u druge, nemehanike oblike. Npr. Vuemo li uz kosinu tijelo nekom vanjskom silom F tada je rad vanjske sile W=Ek - Ep- Wtr =E2 E1 Wtr Wtr- rad sile trenja

E2 i E1 ukupna mehanika energija u poloaju 1 i 2. Zakon o ouvanju energije vrijedi onda kad su sile trenja(dispativne sile) i rad vanjskih (nekonzervativnih) sila jednak nuli,tj. Kad su sve sile koje djeluju na sistem konzervativne.

Kad na vrsto tijelo djeluje osim konzervativnih i sila trenja i neke druge sile tada je ukupni rad svih sila jednak promjeni kinetike energije

Wk+Wtr+W'=Ek

Wk- rad konzervativnih sila

Wtr- rad sile trenja

W'- rad nekih drugih nekonzervativnih sila

Ako zamijenimo rad konzervativne sile promjenom pot.energije (Wk= - Ep) Ek+Ep=Wtr +W' Ukupna energija ne moe se unititi niti iz nieg stvoriti,ona se moe samo pretvarati iz jednog u drugi oblik.

27. Konzervativne sile; veza izmeu sile i potencijalne energije (4.4)(KL 11.2)

Sila kojoj rad ne ovisi o putu ve samo o poetnoj i konanoj toki zove se kozervativna sila. Takve su gravitacijska,elastina i Coulombova sila. Ovise samo o poloaju tijela na koje djeluju.

Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli.

0kF ds Krui oznaava da je put kojim integriramo zatvoren. Ako rad ne ovisi o putu,tada emo kao 1 put odabrati put koji se vraa u polaznu toku,dakle zatvoreni put: drugi put neka bude nula jer i on povezuje toku sa samim sobom.rad po drugom putu je nula te je i rad po prvom,bilo kojem zatvorenom putu jednak nuli.

Npr. Tijelo mase m podignuto na visinu h,rad sile tee je mgh,a kada doe u polaznu toku iznosi mgh,

Kada na tijelo djeluje konzervativna sila tada svakom poloaju tijela moemo pridijeliti odreenu potencijalnu energiju. Potencijalna energija se moe definirati samo za konzervativne sile.

Rad svake konzervativne sile moemo izraziti razlikom potencijalnih energija

0kF ds WAB =Fk*dr =Ep(ra)-Ep(ra)= - [ Ep(ra)-Ep(rb)] strelice knjiga 68

www.

kodm

ehon

je.tk

28. Potencijalna energija gravitacijske sile u blizini Zemlje (4.4)(KL 11.2)

Za izraunavanje gravitacijske potencijalne energije tijela u gravitacijskom polju na Zemljinoj povrini,prtpostavimo da se estica mase m pomie u homogenom polju sile tee ( priblino isto gravitacijskom polju Zemlje )od toke A do toke B. Pomakne li se estica za diferencijal puta ds,rad sile tee je

dW=Fg*ds=Fg*dr

Fg = mg

Rad sile tee na putu od A do B skica W = Fg*dr =mg dr = mg(rb-ra) Fg=mg= - mgj i j *(rb-ra)=yb-ya

Znai W=-(mgvb-mgya) Rad sile tee jednak razlici dviju funkcija poloaja.funkcija mgy zove se gravitacijska potencijalna energija tijela na visini y

Ep=mgy

Razlika potencijalne energije poetne i konane toke jednaka je radu sile tee W=Ep1-Ep1=-Ep Pretpostavili smo da je za y=0 Ep=0,

29. Potencijalna energija harmonijske sile (4.4)(KL11.2)(KL 11.3)

Rad vanjske sile pri rastezanju opruge za elongaciju s

W=1/2ks^2

Pri tom je vanjska sila bila jednaka po iznosu,a suprotna po smjeru sili opruge,pa je rad sile

opruge jednak radu vanjske sile s negativnim predznakom

Wop=-1/2ks^2

Rad sile opruge pri pomaku tijela iz poloaja s1 u poloaj s2 Wop= F ds=1/2ks1^2 1/2ks2^2 Slino kao za gravitaciju,potencijalna energija elastine sile opruge definira se izrazom Wop=1/2ks1^2-1/2ks2^2

Dogovoreno je da uzmemo da je u poloaju ravnotee Ep=o,tada je Ep elastine sile opruge Ep(s)=1/2ks^2

s-elongacija tj.pomak iz poloaja ravnotee

30. Centralni elastini sudar (4.7)(4.7.1)

Do sudara dolazi kada dvije estice(ili dva sistema estica) pribliavajui se jedna drugoj meusobno djeluju i time promijene svoje gibanje. Centralni sudar- estice se prije i poslije sudara gibaju po istom pravcu. Ako prtpostavimo da je sistem izoliran(nema vanjskih sila) estice za vrijeme sudara jedna na drugu djeluju unutarnjim silama F12=-F21,vrijedi zakon o ouvanju koliine gibanja,ukupna koliina gibanja prije sudara bit e jednaka ukupnoj koliini gibanja poslije sudara p1+p2=p1'+p2'

savreno elastian sudar-tijela se nakon sudara vraaju u prvobitni oblik,Ep elastine deformacije nastala prilikom sudara opet prelazi u Ek i tijela se razilaze tako da im je ukupna

Ek nakon sudara jednaka Ek prije sudara. Za savreno elastian sudar tijela moraju biti savreno kruta,da ne doive nikakvu deformaciju,ili savreno elastina,tad je Ep(prije sudara)=Ep (nakon sudara).

www.

kodm

ehon

je.tk

Skica

m1v1+m2v2 = m 1 v 1'+ m 2 v2'

Ek(prije)=Ek(poslije)

m1v1^2/2+ m2v2^2/2=m1v1'^2+m2v2'^2

m1(v1^2-v1'^2)=m2(v2^2-v2'^2)

m1(v1-v1')= - m2(v2-v2')

dobijemo

(v1-v1')(v1+v1'-v2-v2')=0 VEKTORI

Taj uvijet je ispunjen samo ako je jedan od faktora jednak 0.ako je to prvi brzine se nisu

mijenjale te se nije ni dogodio sudar pa to ne uzimamo u obzir.

Znai mora isezavati dugi faktor a to daje V1- v2= - (v1'-v2')

Brzina primicanja kuglica prije sudara po iznosu jednaka, po smjeru suprotna brzini

odmicanja kuglica poslije sudara.v1 ne smije biti jednako v1',tada bi v1 bili jednako v2,prije

sudara bi se gibale jednakom brzinom a tad ne bi ni dolo do sudara. Brzine poslije sudara

V1'=(m1-m2)v1+2m2v2/m1+m2 KJIGA 75 STR VEKTORI

V2=(m2-m1)v2+2m1v1/m1+m2

Posebni sluajevi 1. m1=m2=m u tom sl. estice zamijene brzine v1'=v2 i v2'=v1.

Ako je v2=o onda je v1'=0 a v2'=v1,prva stane a druga se giba brzinom prve

2. m1m2 v2=0 savreno elastina kugla udara u veliku kuglu ili elastian zid, tada je v1'= - v1.osbija se brzinom kojom je dola 3.m1m2 v2=0 v1'v1 v2'2v1.velika kugla udari u kuglicu koja miruje brzina joj se vrlo malo promijeni,a lagana kuglica odleti dva puta veom brzinom od brzine upadne kugle

31. NEELASTIAN SUDAR

Do sudara dolazi kada se dvije estice pribliavaju jedna drugoj i meusobno djelujui promijene svoj smijer.Pri takvom sudaru ne mora uvijk doi do dodira meu tijelima (npr. Kada se elektron pribliava jezgri,Coulombove odbojne sile mijenjaju mu putanju i proton se otkloni prije nego to dotakne jezgru.Poseban primjer sudara jest centralni sudar pri emu estice meusobno djeluju unutranjim silama za koje,prema treem Newtonovom zakonu vrijedi F12 = -F21 .Sudar moe biti savreno elastian i neelastian.Pri savreno elastinom sudaru kruta tijela se vraaju u prvobitan oblik tj. ukupna kinetika energija prije i poslije sudara je jednaka.

Kod savreno NEELASTINOG sudara ne nastaje potencijalna energija deformacije,ve se tijela nakon sudara slijepljena gibaju zajedno brzinom v'1=v'2=v' .Tako se kinetika energija djelomino ili potpuno pretvara u unutranju te se tijela zagriju.. Brzina nakon sudara iznosi:

v'=(m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)

a kinetika energija prije sudara: Ek = m1v1

2 + m2v22

I poslije sudara:

E'k = (m1 + m2) v'2 = (m1v1 + m2v2)

2 / 2 (m1 + m2)

Razlika izmeu konane ipoetne kinetike energije je:

www.

kodm

ehon

je.tk

Q = E'k Ek = ( m1v'12 + m2v'2

2) ( m1v1

2 + m2v22)

Pri savreno neelastinom sudaru Q < 0 i iznosi: Q = (m1 + m2) v'

2 - ( m1v1

2 + m2v22) = - m1m2 (v1 v2)

2 / 2 (m1 + m2)

Veliina Q je promjena unutranje energije sistema i pri neelastinom sudaru je pozitivna veliina.

Posebni sluajevi

1. m1 = m2 = m v' = (v1 + v2) Kada se dvije kuglice (npr. od mekane gline) jednakemase sudare , brzina nakon sudara bit

e jednaka polovici vekorskog zbroja brzina prije sudara. Ako je prije sudara jedna kuglica na miru, tada oboje kuglice priljubljene zajedno nastave gibanje brzinom v' = v1 .Ako su se prije sudara kuglice gibale jedna prema drugoj brzinom (v1 = -v2 ), tada nakon sudara

obje kuglice stanu, tj. v' = 0.

2. m1

Sila kinetikog trenja takoer ne ovisi o veliini dodirnih ploha, ve samo o njihovim osobinama, i proporcionalna je normalnoj komponenti sile FN :

Oba faktora trenja (s, k) ovise o materijalu, hrapavosti i istoi dodirnih ploha, Kinetiki faktor trenja ovisi i o relativnoj brzini dodirnih ploha (zanemarivo).

Ako se tijelo po podlozi kotrlja trenje je mnogo manje nego pri klizanju i faktor trenja je

samim tim manji.

Ovo je samo odgovor na 'trenje',ona druga dva pitanja NEMAM POJMA ta su

33.GIBANJE KRUTOG TIJELA;TEITE KRUTOG TIJELA

Kada sve toke djeluju u istoj toki tijela (konkurentne sile), svodi se na djelovanje sila na materijalnu toku, njihova rezultanta jednaka je njihovom vektorskom zbroju i ima hvatite u toj toki.

Kada na kruto tijelo djeluju dvije sile s razliitim hvatitem, koje lee na istom pravcu djelovanja, kruto tijelo je u ravnotei ako su te sile jednake po iznosu, a suprotnog smjera.Znai hvatite sile koja djeluje na kruto tijelo moe pomicati du pravca nosioca a da se pri tom njezino djelovanje na kruto tijelo ne promijeni.

Crtei str.81

Sile koje djeluju u razliitim tokama moemo svesti na sile to djeluju u jednoj toki i zamijeniti njihovim vektorskim zbrojem koji djelujeu toki gdje se sijeku pravci djelovanja tih sila.

Teite Kao primjer promatramo silu teu na tijelo.Pri djelovanju Zemljine sile na neko vrlo malo tijelo ukupna sila tea na tijelo rezultanta je paralelnih sila (sila tea na svaku pojedinu esticu tijela).Kada tijelo miruje ili se giba jednoliko, teina je jednaka sili tei pa vrijedi:(5.11)

Takvo hvatite zove se teite. Poloaj teita i centra mase su jedan te isti. Da bi se odredilo teite, tijelo treba podijeliti na velik broj alih volumena i na njih primjeniti izraz (5.10) te prijei na integriranje, pa dobijemo:

Eksperimentalno ga odreujemo tako da tijelo zaveemo i pustimo da se uravnotei.Teite je na vertikali kroz objesite.Zatim ponovimo pokus objesivi ga u drugoj toki pa mu opet naemo vertikalu,i sjecite tih dviju vertikala je teite.

Fale neke male sliice i formule

Ftr = k FN

www.

kodm

ehon

je.tk

34.DJELOVANJE KONKURENTNIH I NEKONKURENTNIH SILA NA KRUTO

TIJELO

......sve isto ko u prethodnom pitanju, plus ovo.....

Znai,konkurentne sile imaju zajedniko hvatite i sve se svodi na djelovanje sila na materijalnu toku.Nekonkurentne sile se ne sijeku i istoj toki tijela i one se mogu zamijeniti svojim vektorskim zbrojem.Ako su pravci djelovanja paralelni(istog smjera!), njihov vektorki

zbroj je(5.7)

Izraunamo li moment svake od sila dobivene momente vektorski zbrojimo, dobivamo:(5.8)

Rezultantni moment okomit je na jedinini vektor i na rezultantnu silu.Da bi on bio jednak momentu rezultante, rezltanta mora djelovati u toki C odreenoj vektorom tako da je:(5.9) (5.10)

Spomenuti moment sile slui za opisivanje utjecaja sile na rotaciju pri emu pravac sile ne prolazi kroz toku oko koje rotia.Njezin iznos je jednak umnoku sile i kraka sile:(5.3)(5.4)(5.5)

I njezina jedinica je njutn-metar.

Smjer mmenta sile odreujemo pravilom desne ruke: ako prsima idemo od r prema F (kraim putem) palac pokazuje smjer M.Moment sile je u tom sluaju vektor koji se na navedeni nain odreuju smjer i iznos a pravac mu moe biti bilo gdje,no obino se uzima da lei na osi rotacije.

Zbroj momenata sila (5.6)-nije nuno

Fale neke formule....

35.MOMENT SILE;MOMENT PARA SILA

Moment sile -slui za opisivanje utjecaja sile na rotaciju pri emu pravac sile ne prolazi kroz toku oko koje rotia.Njezin iznos je jednak umnoku sile i kraka sile:(5.3)(5.4)(5.5) I njezina jedinica je njutn-metar.

Smjer mmenta sile odreujemo pravilom desne ruke: ako prsima idemo od r prema F (kraim putem) palac pokazuje smjer M.Moment sile je u tom sluaju vektor koji se na navedeni nain odreuju smjer i iznos a pravac mu moe biti bilo gdje,no obino se uzima da lei na osi rotacije.

Zbroj momenata sila (5.6)-nije nuno

Moment para sila

Kada na kruto tijelo djeluje vie paralelnih sila iji je vektorski zbroj jednak nuli, one se mogu zamijeniti dvjema paralelnim silama istog iznosa a suprotnog smjera.Rezultanta dviju takvih

sila je znai nula,a rezultantni moment:(5.13)

www.

kodm

ehon

je.tk

Moment para sila okomit je na ravninu u kojoj lee sile, po iznosu jednak umnoku jedne od sila i udaljenosti pravaca djelovanja sila,i ne ovisi o izboru toke sobzirom na koju smo raunali momente sile.

36.Uvjeti za ravnoteu materijalne toke i krutog tijela (5.1)(5.2)(5.7)

Tijelo je u ravnotei kada se ne ubrzava.Pri tom tijelo moe mirovati,gibati se jednoliko po pravcu ili se jednoliko vrtjeti oko osi koja prolazi kroz centar mase.

Ravnotea materijalne toke Sile koje djeluju u istoj toki zovu se konkurentne sile.Njihova rezultanta je njihov vektorski zbroj.estica je u ravnotei kad joj je akceleracija nula (a=0),kako slijedi iz 2.Newtonovog zakona,kada iezava rezultanta svih sila koje djeluju na nju.

R= Fi = 0 Moemo zakljuiti da je estica u ravnotei kad je zatvoren vektorski poligon sila koje djeluju na nju.

Ravnotea krutog tijela Djelovanje sila na kruto tijelo moe proizvesti translacijsko i rotacijsko gibanje.Kruto tijelo je u ravnotei ako su linearna akceleracija njegova centra mase i njegova kutna akceleracija oko bilo koje nepomine osi jednake nuli. Translacijsko gibanje krutog tijela macm = F

Rotacijsko gibanje krutog tijela Mi = 0 Kada su ispunjena oba uvjeta tijelo je u ravnotei.

37.Moment tromosti. Momenti tromosti simetrinih krutih tijela (6.4)

Moment tromosti je veliina karakteristina za svako tijelo koje rotira oko izabrane osi.Tijela s velikim momentom tromosti tee je zarotirati nego ona s malim;moment tromosti tijela mjera je tromosti tijela pri rotaciji.

I = lim mir2

i = r2dm

x i=1

Integral po masi prevodimo u integral po volumenu(-gustoa)

I = r2dV v

tijelo moment tromosti poloaj osi

tanak prsten

okrugla ploa

puni valjak

tanak,uplji valjak

kugla

tanka,uplja kugla

tanak tap duljine l

mr2

(mr2)/2

(mr2)/2

mr2

(2mr2 )/5

(2mr2 )/3

(ml2 )/12

okomito ravninu prstena

okomito na ravninu ploe

uzduna os valjka

uzduna os valjka

kroz sredite kugle

kroz sredite kugle

okomito kroz sredite tapa

www.

kodm

ehon

je.tk

38.Steinerov pouak o momentu tromosti (6.4)

Moment tromosti ovisi o osi oko koje rotira.Steinerov pouak o paralelnim osima omoguuje raunanje momenta tromosti za bilo koju paralelnu os ako je poznat moment tromosti s obzirom na os kroz centar mase.

Moment tromosti oko paralelne osi I = Icm + md2

Moment tromosti s obzirom na neku os jednak je momentu tromosti s obzirom na paralelnu os

kroz centar mase,uveanom za umnoak mase tijela i kvadrata udaljenosti tih dviju osi. I>Icm tj. najmanji moment tromosti je onaj s obzirom na os kroz centar mase.

39.Kutna koliina gibanja materijalne toke i krutog tijela (6.5)

Moment koliine gibanja L materijalne toke mase m I koliine gibanja p=mv s obzirom na referentnu toku O definira se kao vektorski produkt radijusvektora r i koliine gibanja (L,r,p,v su vektorske veliine)

L = r p = r x mv

Slika:Moment koliine gibanja estice mase m koja se giba po krunici

Jedinica momenta koliine gibanja je (kgm2)/s ,a smjer odreujemo pomou pravila desne ruke.

Kruto tijelo

Podijelimo kruto tijelo na materijalne toke mase mi i brzine vi, udaljenost toke od osi rotacije je ri

dok je ri radijusvektor od toke O,koja se nalazi na osi rotacije.Moment koliine gibanja s obzirom na toku O je Li = ri x mivi . Projekcija vektora L na os rotacije Lzi = rimivi = rimi= Iz Vezu izmeu vektora M i L za tijelo koje rotira oko nepomine osi moemo odrediti derivirajui izraz za moment koliine gibanja jedne od materijalnih toaka tijela .

dL/dt=dr/dt x p + r x dp/dt= r x F = M

jer je dr/dt x p= v x mv =0 i dp/dt= F

M = dL/dt

M = dL/dt = d/dt(Iz) = Iz (d/dt) = Iz

40.Zakon ouvanja kutne koliine gibanja; pokusi sa Prandtlovim stoliem (6.6)

M = dL/dt

Openito moemo rei da je vremenska promjena ukupnog momenta koliine gibanja sistema estica s obzirom na neku toku jednaka ukupnom momentu vanjskih sila s obzirom na tu istu toku.Unutranje sile ne mogu promijeniti moment koliine gibanja sistema.To mogu uiniti samo vanjske sile ako im je moment razliit od nule.U zatvorenom sistemu moment koliine gibanja je ouvan.

www.

kodm

ehon

je.tk

(pogledati izgled Prandtlova stolia) To je stoli koji se moe vrtjeti oko vertikalne osi z.ovjek koji sjedi na stoliu

predstavlja dobro izoliran sustav(moment vanjskih sila s obzirom na z os=0,moment koliine gibanja je ouvan).

Prije poetka gibanja sistema moment koliine gibanja =0,te ukupni L mora biti jednak 0 i za vrijeme vrtnje.Zbog toga se ovjek vrti u suprotnom smjeru od kotaa da bi se moment koliine gibanja kotaa ponitio s momentom ovjeka na stoliu:

Lukupni = L + Lk = 0

Na stoliu sjedi ovjek koji ima utege na rukama da bi poveao masu ruku,ako se vrti ruku priljubljenih uz tijelo,pa ruke naglo isprui,njegova se kutna brzina smanji.Ako ruke ponovno priljubi uz tijelo kutna brzina mu se povea.Ako je Iz1 moment inercije ovjeka s utezima priljubljenim uz tijelo,a Iz2 moment inercije kada su ruke ispruene,tada vrijedi

Iz11 = Iz2 2

41. JEDNADBA GIBANJA (2. NEWTONOV ZAKON) ZA ROTACIJU KRUTOG TIJELA OKO VRSTE OSI

Promatramo li djelovanje sile na neko tijelo, moemo uoiti dva uinka: promjenu oblika tijela (deformaciju) i promjenu stanja gibanja tijela. Ako tijelo pod utjecajem sile

ne mijenja svoj oblik, kaemo da je kruto. Razlikujemo dvije vrste gibanja krutog tijela: translacija i rotacija. Translatorno gibanje svodi se na gibanje jedne toke centra mase (itava masa tijela je u toj toki). Kada kruto tijelo rotira, sve njegove estice gibaju se istom kutnom brzinom po krunicama ija sredita lee na pravcu (os rotacije koja prolazi kroz centar mase). Os moe biti nepomina ili tokom gibanja mijenjati svoj poloaj prema tijelu.

Pri rotaciji krutog tijela oko nepomine osi sve toke tijela izvode gibanje po krunicama ija sredita lee na osi rotacije. Kada na kruto tijelo ija je os rotacije nepomina, djeluje neka vanjska sila F1, tada na rotaciju utjee samo komponenta te sile koja lei u ravnini okomitoj na os rotacije (silu F1 moemo rastaviti na komponentu okomitu na os rotacije i komponentu paralelnu osi rotacije koja ne utjee na rotaciju oko osi). Na rotaciju oko nepomine osi utjee samo moment okomite sile. Moment sile F1 s obzirom na os rotacije z jednak je umnoku sile i kraka sile (to je skalarna veliina, moe biti +/-).

Tijelo podijelimo na n dijelova (materijalnih toaka), od kojih svaki dio ima masu mi i udaljen je od osi rotacije za ri (udb., str. 90., sl. 6.1.).

Moment sile i-te estice s obzirom na toku O jest Mi = ri2 x Fi

3, gdje je Fi

3 rezultanta

svih (vanjskih i unutranjih) sila koje djeluju na tijelo mase mi a ri2 vektor poloaja s

obzirom na tu toku. Na kruenje tijela elementarne mase mi utjee samo tangencijalna

komponenta sile Fti, odnosno komponenta momenta sile u smjeru osi z, tj.:

Mzi = riFti = rimiati = mi ri2

Zbrajajui po svim elementarnim masama mi, na koje smo tijelo podijelili, iz jednadbe izlazi:

Mz = Mzi = miri2 = Iz

i

i

www.

kodm

ehon

je.tk

gdje je zbroj umnoaka elementarnih masa i njihovih udaljenosti od neke osi z moment tromosti tijela s obzirom na os z:

Iz = miri2

i

Jednadba

Mz = Iz gdje je Mz rezultantni moment svih vanjskih sila s obzirom na os rotacije, Iz moment

tromosti s obzirom na tu istu os, a kutna akceleracija tijela, osnovna je jednadba (drugi Newtonov zakon) za rotaciju krutog tijela oko nepomine osi. Ona je analogna drugom Newtonovu zakonu za materijalnu toku (F = ma) u tom smislu da sili odgovara moment sile, masi moment tromosti, a linearna akceleracija kutnoj akceleraciji. Ako je rezultantni

moment vanjskih sila M4 = 0, tada je 5 = 0, te e tijelo ili mirovati ili se jednoliko vrtjeti.

Ako je Mz = konst., tijelo e se vrtjeti oko nepomine osi konstantnom kutnom akceleracijom.

1 F

2 ri

3 Fi

4 M

5

42. VEZA IZMEU MOMENTA SILE I KUTNE KOLIINE GIBANJA

Rotaciju krutog tijela moemo opisati pomou momenta koliine gibanja. Moment koliine gibanjna L6 materijalne toke mase m i koliine gibanja p7 = mv8 s obzirom na referentnu toku O (npr. sredite krunice udb., str. 95., sl. 6.6.)

definira se kao vektorski produkt radijusvektora r9 i koliine gibanja:

L6 = r

9 x p

7 = r

9 x mv

8

Znak jedinice momenta koliine gibanja jest kg m2/s. Smjer momenta koliine gibanja odreujemo pomou pravila desne ruke.

Kruto tijelo koje se rotira oko nepomine osi podijelimo na materijalne toke mase mi i brzine vi (udb., str. 97., sl. 6.7.).

www.

kodm

ehon

je.tk

Udaljenost materijalne toke od osi rotacije jest ri dok je ri10

radijusvektor od toke O,

koja se nalazi na osi rotacije. Moment koliine gibanja s obzirom na toku O jest Li11

=

ri10

x mivi12

. Projekcija je vektora Li11

na os rotacije Lzt = mirivi = miri2, jer je vi =

ri. Projekcija ukupnog momenta koliine gibanja krutog tijela na os z dobije se zbrajanjem momenata svih estica tijela:

Lz = Lzi = miri2 = Iz

i

i

Ako homogeno tijelo rotira oko svoje osi simetrije, tada ukupni moment koliine

gibanja L6 ima smjer kutne brzine 13, te osim relacije Lz = Lzi = miri

2 = Iz

vrijedi i L6 = I13 tj. L6 i 13 imaju isti smjer i lee na osi

i

i

rotacije. Za nesimetrino tijelo relacija i L6 = I13 ne vrijedi. Jednadbu rotacije krutog tijela napisat emo pomou momenta sile i momenta koliine

gibanja. Vezu izmeu vektora M14 i L6 za tijelo koje rotira oko nepomine osi moemo odrediti derivirajui izraz za moment koliine gibanja krutog tijela. Neka je Li

11 = ri

10x pi

15

moment koliine gibanja jedne od materijalnih toaka tijela s obzirom na neku vrstu toku O koja lei na osi rotacije. Deriviravi taj izraz po vremenu dobivamo (udb., str. 97., relacija 6.23). Zbrajanjem ukupnog

momenta svih estica tijela dobivamo relaciju (udb., str. 97., relacija 6.24.).

6 L

7 p

8 v

9 r

10 ri

11 Li

12 vi

13

14 M

15 pi

43. KINETIKA ENERGIJA ROTACIJE KRUTOG TIJELA

Kinetiku energiju tijela koje rotira oko nepomine osi moemo odrediti tako da uzmemo u obzir da se rad

W = Mzd pretvara u rotacionu kinetiku energiju:

0

www.

kodm

ehon

je.tk

dEk = dW = Mzd = Izdt = Iz(d)/(dt)dt = Izd odnosno

Ek = Izd = Iz

2

0

Taj izraz moemo dobiti i tako da izraunamo kinetiku energiju materijalne toke tijela

mi i zbrojimo po svim tokama na koje smo tijelo podijelili. Kada se tijelo vrti oko

nepomine osi, brzina bilo koje njegove toke jest vi = ri, gdje je kutna brzina rotacije,

a ri udaljenost toke osi rotacije, te je kinetika energija te toke Eki = miri22.

Kinetika energija krutog tijela jednaka je zbroju kinetikih energija svih toaka:

Ek = Eki = miri22 = 2(miri

2) = Iz2

i

i

jer je (miri2) moment tromosti tijela s obzirom na os z.

i

Kinetika energija tijela koje rotira kutnom brzinom oko nepomine osi z iznosi:

Ek = Iz2

44. GIBANJE ZVRKA; PRECESIJA

Zvrk je rotaciono simetrino tijelo koje se vrlo brzo vrti oko svoje osi simetrije, pri emu je stalno uvreno u jednoj toki koja lei na toj osi (udb., str. 100., sl. 6.9.).

Slobodni zvrk uvren je u svom teitu (udb., str. 100., sl. 6.10.). Ako je sila tea jedina vanjska sila koja djeluje na zvrk, tada je ukupni moment vanjskih sila jednak nuli

(MA16

= 0), i kaemo da je zvrk slobodan.

Gibanje zvrka opisujemo jednadbom MA

16 = (dLA

17)/dt

Gdje je MA16

rezultantni moment vanjskih sila, a LA ukupni moment koliine gibanja zvrka, oba s obzirom na toku A u kojoj je zvrk uvren. Budui da je za slobodno zvrk MA

16 = 0 iz jednadbe izlazi:

dL18

/dt = 0 ili L18

= konst.

Smjer i iznos momenta koliine gibanja konstantni su jer nema vanjskog momenta sile. Moment koliine gibanja usmjeren je u ovom sluaju u pravcu osi rotacije, tj. ima smjer

vektora i iznosi:

L18

= Iz,

Gdje je Iz moment tromosti s obzirom na os zvrka, a kutna brzina rotacije zvrka oko osi simetrije. Ako je zvrk slobodan, L

18 = konst., te i os zvrka ostaje stalna u prostoru.

www.

kodm

ehon

je.tk

Ako zvrk nije uvren u teitu, nego u nekoj drugoj toki A tada e na os zvrka stalno djelovati moment sile tee, i zvrk e izvoditi gibanje koje se zove precesija (udb., str.101., sl. 6.12.).

Na zvrk djeluje moment sile koji nastaje zbog njegove teine G19 = mg20: MA

16 = rA

21 x G

19

i koji je okomit na vektore rA21

i G19

, tj. na os rotacije i smjer sile G19

. Iznos je vektora M:

M = GrAsin

gdje je kut izmeu vektora r22 i G19.

Os zvrka u vremenu dt opie kut te je kutna brzina precesije: (udb., str. 102., relacija 6.33.).

16 MA

17 LA

18 L

19 G

20 g

21 rA

22 r

45. OSNOVNE SILE U PRIRODI; OPI NEWTONOV ZAKON GRAVITACIJE

Prouavanjem gibanja nebeskih tijela otkriveno je da meu tijelima postoji privlana sila, nazvana gravitacija, koja je uzrok gibanja nebeskih tijela i Zemljine sile tee. Slobodni pad uzrokuje gravitacijsko privlaenje mase tijela i mase Zemlje, a i centripetalnu silu potrebnu za gibanje Mjeseca oko Zemlje, uzrokuje gravitacijska sila

izmeu Mjeseca i Zemlje. Gravitacijska sila razmjerna je masi tijela. Sila kojom jedno tijelo privlai drugo tijelo jednaka je po iznosu sili kojom drugo tijelo privlai prvo tijelo to znai da gravitacijska sila mora biti razmjerna umnoku masa obaju tijela. Sila ovisi i o udaljenosti meu tijelima.

Izraz za gravitacijsku silu kojom tijelo mase m1 djeluje na tijelo mase m2 (udb., str. 119., sl. 8.1.a)

www.

kodm

ehon

je.tk

F12 = - G (m1m2)/(r2)r0

Gdje je G = 6,67*10-11

m3/kgs

2 gravitacijska konstanta.

Sila kojom materijalna toka mase mi prvog tijela djeluje na materijalnu toku mase

mj drugog tijela (udb., str. 119., sl. 8.1.b)

jest:

Fij25

= - G (mimj)/(rij2)r0ij26

gdje je rij udaljenost elementarnih masa, a roij26 jedinini vektor usmjeren od mase mi

prema mj. Newtonov zakon gravitacije jedan je od osnovnih zakona mehanike.

Gravitacijska konstanta:

G = (6,6720+0,004)*10-11

Nm2/kg

2.

23 F12

24 r0

25 Fij

26 roij

46. KEPLEROVI ZAKONI, SUNEV PLANETNI SUSTAV, SVOJSTVA ELIPTINIH STAZA

U 16. stoljeu poljski astronom Nikola Kopernik (1473.- 1543.) postavio je teoriju heliocentrinog sustava, pretpostavivi da Zemlja nije sredite svemira, kako je to tumaio Ptolomejev geocentrini sustav, ve se s ostalim planetima okree oko Sunca. J. Kepler (1571- 1630), njemaki astronom, pronaao je tri zakona gibanja planeta oko Sunca iz kojih je Newton kasnije izveo opi zakon gravitacije. 1. Svi planeti kreu se po elipsama u ijem se jednom aritu nalazi Sunce. 2. Radijusvektor (tj. vektor koji ide od sredita Sunca do sredita planeta) u jednakim vremenskim intervalima opisuje jednake povrine. 3. Kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca odnose se kao kubovi velikih poluosi

njihovih eliptinih putanja : T12 : T2

2 = a13 : a2

3

Oni se mogu izvesti iz Newtonovih zakona i zakona gravitacije.

(tablica 8.1. Neke karakteristine veliine planeta > str. 122)

47. POTENCIJALNA ENERGIJA I RAD GRAVITACIJSKE SILE

Pretpostavljeno je da je potencijalna energija na nekoj visini : Ep= m*g*h, i takoer je pretpostavljeno da je Ep= 0 na Zemljinoj povrini i da je g konstantno. Ta formula vrijedi za

www.

kodm

ehon

je.tk

visine dosta manje od polumjera Zemlje, jer u protivnom treba uzeti u obzir mijenjanje

gravitacijske sile s udaljenou. Da bismo dobili najopenitiju formulu , pretpostavimo da smo masu m2 iz poloaja r1

dovoljno sporo doveli u poloaj r2 u gravitacijskom polju mase m1. Pri tom je sila F kojom

se tijelo stalno podie, u ravnotei s gravitacijskom silom F G , tj. F = - F G.

Rad obavljen pri premjetanju tijela jednak je:

W=

2 2

1 1

1* 2 1 1* * * 1* 2

^ 2 1 2

r r

r r

m mF dr G dr G m m

r r r

W= 1 1

( 2) ( 1) * 1* 2*1 2

Ep r Ep r G m mr r

Obino se uzima da je potencijalna energija 0 kada su tijela beskonano daleko, jer je tada i sila jednaka nuli.

Ep(r)= 1* 2

*m m

Gr

Ona je uvijek negativna, i raste kada se poveava udaljenost r. Skica str. 127

48. Gravitacijsko polje Zemlje, akceleracija Zemljine sile tee

2cF mv Jakost gravitacijskog polja:

12 1 2 0 102 2

2 2

mm r mFG G r

m m r r

Ukupna sila na materijalnu toku mase m u nekoj toki prostora T bit e:

1 2 1 2... ( ... )n nF m m m m

Na tijelo na povrini Zemlje e djelovati inercijalna centrifugalna sila: 2 2

0coscf ZF m r m R r

G cfG F F

U nekoj toki gravitacijsko polje iznosi:

0

2

ZZ

Z

Rg

R h

49. Inercijski i neinercijski sustavi; inercijske sile u ubrzanim sustavima. Galilejeve

transformacije

Inercijalni sustavi su oni sustavi koji se jedan prema drugome gibaju jednoliko po pravcu. A

neinercijski sustavi su oni koji se gibaju ubrzano s obzirom na neki inercijski sustav.

Galilejeve transformacije:

x= x' + v0*t vx= vx'+v0

y=y' vy= vy '

z=z' vz =vz'

t=t'

www.

kodm

ehon

je.tk

F'= m' a' = m a = F

Inercijske sile u ubrzanim sustavima:

Fi = - m a0

ma'= F+ Fi

G'= mg + m a0

50. Centrifugalna i Coriolisova sila, centrifugalna korekcija akceleraciji Zemljine sile

tee

2

cfF m r

2 2 ' sin( ', )cF mv mv v

Korekcija?

51. Lorentzove transformacije za poloaj i vrijeme

Cijela pria je da vrijeme, poloaj te masa i oblik tijela ovise o njegovoj brzini u odnosu na promatraa. to je brzina vea, vea je i masa, a sve ljaka pod pretpostavkom da je brzina svjetlosti konstantna i da nije mogue prijei tu granicu. U sluaju da ona bude prijeena, prema pretpostavljenom raunu dobivamo beskonaan lan u brojniku te sve pada u vodu.

to se tie poloaja i vremena, tu se stvari dalje kompliciraju, pogotovo zato jer je nepojmljivo zamisliti 4 dimenzije. Mogue je predoiti osakaenu sliku kao projekciju na 3-D, ali nije vidljiv vremenski pomak kao najvaniji faktor o kome ovise toke u dva susjedna 3-D sustava. Pametno je potraiti tzv. the twins paradox, mada vie za razumijevanje relativnih brzina te kako vremenski ovise. Za one koji prate Zvjezdane staze, Lor.

transformacije su isto to i njihov fazni pomak, pomak po etvrtoj, vremenskoj osi koja se gubi kod projekcije 4-D na 3-D, no i dalje ju primjeujemo kod crtanja odvojenih 3-D sustava kao razmak izmeu njih. U prilogu se nalazi jedan zanimljiv programi koji predoava, upravo po Lorentzovim transformacijama, ponaanje tijela u odnosu na nas, kao promatraa, a varijabla koja se mijenja jest relativna brzina tijela te kree li se tijelo prema ili od nas. Tako emo vidjeti kontrakciju/elongaciju duine te tri zanimljiva efekta, pomak ka crvenom, pomak ka ljubiastom i efekt reflektora. U sva tri efekta glavni krivac je Dopplerov efekt koji, kod valne teorije svjetlosti, dolazi do izraaja tek kod relativistikih brzina. Pomak ka crvenom vidjet emo kad se tijelo kree od nas, a prema ljubiastom kad tijelo ide prema nama. Ako prijeemo cca 0,1 c, objekt e posivjeti, a to znai da je svjetlosno zraenje objekta izalo iz vidljivog dijela EM spektra. Efekt reflektora uzrokuje suenje svjetlosnog snopa kako se brzina poveava. No, vratimo se natrag. Vano je napomenuti da je jedina razlika izmeu Galilejevih i Lorentzovih transformacija u Lorentzovom sluaju uvodi se tzv. korekcija na rel. brzinu:

Galilejeve jednadbe vrijede u mehanici i openito gdje god je relativna brzina zanemariva u usporedbi s brzinom svjetlosti, no u elektrotehnici gdje se prouavaju EM valovi koji se kreu daleko veim brzinama, postojee jednadbe zahtjevale su korekciju. Tako su nastale Lorentzove transformacije koje sad mi, studenti KEMIJE, jadni moramo

uiti...

www.

kodm

ehon

je.tk

Takoer, ako je brzina u prvom od dva sustava, a koji se gibaju razliitim brzinama, c, u drugom sustavu bi, prema Galileju, brzina bila v' = c + v, a to kri postulat o konstantnoj brzini svjetlosti i rui Michelsonov eksperiment. Ako su poetna vremena dva sustava jednaka, tj.oba se nalaze na istom mjestu u isto vrijeme, dakle t = t' = 0, iz ishodita poalje svjetlosni signal, koji stigne u toku T za razdoblje t. Promatra u sustavu S' zabiljeit e vrijeme dolaska estice t'. Poto je brzina svjetlosti u oba sustava konstantna, vrijedi:

Poto se transformacija odvija samo po x-osi, vrijede koordinatni odnosi:

pri emu je a omjer konstanti gdje su C i D faktori

Povezavi izraze, dobivamo:

,

Iz svega slijede Lorentzove transformacije:

Pri emu smo supstituirali .

Takoer, vrijedi i analogno, iz S -> S'.

Kontrakcija duine:

Slijedi izravno iz Lor. transformacija:

Dilatacija vremena:

Neki proces koji se odvija u sustavu S' koji se giba brzinom v u odnosu na vlastiti sustav S

koji miruje, promatramo iz sustava S. Zbog relativne brzine sustava, ini nam se da proces traje znatno krae nego to to zaista biljei promatra u sustavu S'. Iz transformacija slijedi:

52. Relativistiko slaganje brzina

U Galilejevim transformacijama brzine se zbrajaju kao vektori, no ovdje to nije sluaj. Ako brzinu materijalne toke u sustavu S rastavimo na komponente:

U sustavu S' brzina e biti zadana prvim derivacijama koordinata x', y' i z' po vremenu t'.

www.

kodm

ehon

je.tk

Konane Lorentzove transformacije za pretvaranje brzina su:

P.S.: Brzina c u relativistikoj fizici jednaka je beskonanoj brzini u klasinoj fizici. Takoer, ako bilo koju brzinu dodamo brzini svjetlosti, njezin iznos ostat e nepromjenjen:

53. Energija mirovanja; relativistiki izrazi za energiju i koliinu gibanja

Energija mirovanja definira se kao , pri emu je masa tijela u

mirovanju. Stvarna masa tijela se zapravo ne mijenja, ali mijenja se relativna masa:

Koliina gibanja se u obliku ne moe primijeniti u relativistici, ve se

pie:

Brzina svjetlosti je granina za svako gibanje, stoga ako kaemo da je v = c, inercijska masa postaje beskonana.

54. Ukupna energija estice u specijalnoj teoriji relativnosti

Specijalna teorija relativnosti ignorira utjecaj gravitacije, stoga su jedine preostaje

varijable masa, brzina tijela i brzina svjetlosti. Ukupna energija definira se kao:

Ako kaemo da je , slijedi:

55. Kinetika energija estice u specijalnoj teoriji relativnosti

Mogu je izraz preko koliine gibanja

Takoer, moemo ii po definiciji (ukupna energija je zbroj kinetike i energije gibanja)

www.

kodm

ehon

je.tk

Napomene: Ako pretpostavimo da se radi o masi mirovanja, formuje za koliinu gibanja, masu i energije se simplificiraju sve do klasine fizike. Za estice bez mase mirovanja(npr. Fotone), relacije poprimaju jednostavniji oblik:

U tom sluaju estica se UVIJEK giba brzinom svjetlosti.

56. Statika fluida, Pascalov zakon, Hidrostatski tlak

Statika fluida ili hidrostatika je dio hidromehanike (mehanike fluida) koji prouava fluide u mirovanju. Tvari mogu postojati u tri agregatna stanja: vrstom (ima stalan oblik i volumen), tekuem (stalan volumen, ali nestalan oblik) i plinovitom (nemaju niti stalan oblik, niti volumen zbog toga to se lako tlae). Tekuine i plinove jednim imenom zovemo fluidima. Oni openito lako mijenjaju oblik i mogu tei. Da bismo fluidu promijenili volumen, na njega je potrebno djelovati silom. Sila po jedinici povrine predstavlja tlak, skalarnu veliinu osnovnom mjernom jedinicom barom. Stlaivost tekuina je bitno manja od stlaivosti plinova. Stlaivost fluida definira se izrazom (1).

Pascalov zakon se jo naziva i hidrauliki. On kae da je u svakoj toki nestlaivog, mirnog fluida, njegov tlak jednak. Na principu Pascalovog zakona rade mnogi hidrauliki ureaji u kojima se pomoi manje sile dobiva vea sila, budui da je tlak (omjer sile i povrine) konstantan. (2)

Hidrostatski tlak je tlak uzrokovan teinom samog fluida budui da sila tea djeluje na sve estice unutar fluida koji miruje (zato je sila tea volumna sila). Izraz za hidrostatski tlak je (3), a izraz za ukupni tlak u bilo kojem dijelu tekuine je zbor atmosferskog i hidrostatskog tlaka (4).

57. Atmosferski tlak je tlak nastao zbog teine zranog stupca iznad Zemljine povrine nastalog uslijed djelovanja Zemljine sile tee. Torricelli je talijanski matematiar i fiziar koji je otkrio ivin barometar. Na temelju jednog od njegovih pokusa moemo izraunati tlak zraka. Torricelli je staklenu cijev zatvorenu s jedne strane, duljine priblino 1 m ispunio ivom, zatvorio ju, i preokrenutu stavio

www.

kodm

ehon

je.tk

u posudu sa ivom. Na osnovi injenice da je prostor u cijevi iznad ive sada sadravao samo neto ivih para, zakljuio je da je tlak u tom prostoru priblino jednak nuli, dok na povrinu ive u posudi djeluje atmosferski tlak. Iz toga slijedi (5). Na osnovi podataka o normiranom atmosferskom tlaku, visini ive u cijevi i gustoi ive pri 0C, Torricelli dobiva pomou izraza (6), iznos normiranog tlaka zraka, 101325 Pa (1 atm).

58. Barometarska formula pokazuje promjenu tlaka s nadmorskom visinom. Ako odreenoj nadmorskoj visini h odgovara tlak p, onda nekoj drugoj visini h+dh odgovara tlak p+dp.

Promjena tlaka (dp) nastaje zbog teine stupca zraka i visinske razlike, pa moemo izvesti izraz (7). Stoga poveanje visine (dh>0), tlak zraka pada (dp

59. Sila uzgona je rezultantna sila koja ima smjer prema povrini fluida, a javlja se kad je neko tijelo uronjeno u fluid. Na tijelo uronjeno u fluid, djeluju sile sa svih strana. One s lijeve

i desne strane se ponitavaju budui da su jednake po veliini, a suprotnih smjerova, no sila s donje baze tijela je zbog veeg hidrostatskog tlaka vea od sile s gornje strane tijela koja je i suprotnog smjera u odnosu na prvu. Ako zamislimo da na donju bazu tijela djeluje ukupni tlak

(12), a na gornju (13), jasno je zato je rezultantna sila usmjerena prema gore, budui da je se donja baza nalazi na veoj dubini od gornje (h1>h2), pa je samim time i F1>F2 (14). Do iste se sile moe doi ako zamislimo da fluid miruje. Tada on na podlogu djeluje svojom teinom, a budui da je u ravnotei, mora postojati neka sila koja tu teinu uravnoteuje, to je sila uzgona koja je po iznosu jednaka teini fluida, ali je suprotnog smjera! (15) Arhimed je starogrki prirodoslovac zasluan za mnoga otkria na polju fizike i matematike. Teorija da je uzgon sila koja djeluje vertikalno prema gore, a da joj je iznos

jednak iznosu teine fluida, naziva se Arhimedov princip. Drugim rijeima, teina uronjenog tijela jednaka je teini dijela fluida koji je pri tom inu istisnut iz posude. Ukoliko je teina tijela u ravnotei s uzgonom, tijelo u fluidu pliva (uvjet lebdjenja) (16), ako je uzgon vei od teine, ono pliva, a ako je teina vea od uzgona, tijelo se ubrzano giba prema dolje, tone. Kod tijela koje pliva karakteristino je to da je uzgon na volumen dijela tijela uronjenog u fluid biti jednak ukupnoj teini tijela (uvjet plivanja) (17).

www.

kodm

ehon

je.tk

60. Idealni fluid je fluid kod kojega je unutranje trenje uzrokovano meumolekularnim kohezivnim silama zanemarivo. Gibanje tekuine ili plina naziva se strujanjem. Ono nastaje zbog teine samog fluida ili zbog razlike u tlakovima. Fluid struji u slojevima razliitih brzina. Meu tim se slojevima javljaju sile unutranjeg trenja (viskoznosti). Slojevi se tijekom strujanja mogu mijeati (turbulentno strujanje), a ukoliko brzina fluida ne dostie tzv. kritinu vrijednost, slojevi se ne mijeaju, te je tada najbri onaj sloj koji je najblii sili koja djeluje na fluid (laminarno strujanje).

Jednadba kontinuiteta ili zakon o neunitivosti tvari kae da je masa fluida koja u odreenom vremenu protekne kroz bilo koji presjek konstantna, ukoliko je fluid nestlaiv, tj. ako je gustoa fluida takoer konstantna(18). Tada je konstantan i volumni protok, tj omjer volumena tvari koja protekne za odreeno vrijeme t i tog vremena(19).

www.

kodm

ehon

je.tk

61. Bernoullijeva jednadba za protjecanje idealnog fluida

Bernoulli je postavio zakon o raspodjeli plinova unutar strujne cijevi, danas poznat kao

Bernoullijeva jednadba. Pokus pokazuje da je na mjestu gdje je brzina vea tlak manji nego tamo gdje je brzina manja.

V = S1 v1 t = S2 v2 t = m -rad tlane sile jest: - rad koji izvri fluid mase m pri izlasku kroz presjek S2 jest:

W1 = F1s1 = p1 S1 v1 t = p1 m W2 = -p2 S2 v2 t = -p2 m -ukupni rad izvren nad sistemom: W = W1 - W2 = (p1 p2) m -promjena energije itavog volumena jednaka je razlici kinetike i potencijalne energije: E = Ek2 Ek1 + Ep2 Ep1 = 1 m v2

2 1 m v1

2 + mgh2 mgh1

2 2

-kada izjednaimo rad W i promjenu energije E i sredimo,dobivamo: p1 + g h1 + 1 v1

2 = p2 + g h2 + 1 v2

2

2 2

to je Bernoullijeva jednadba za stacionarno strujanje nestlaivog idealnog fluida,a esto ju piemo u obliku: p + g h + 1 v2 = konst. 2

Ako je cijev horizontalna, ili ako je gustoa fluida malena te je tlak g (h2 h1) zanmariv, jednadba poprima oblik: p1 + 1 v1

2 = p2 + 1 v2

2 = konst.

2 2

Kad fluid miruje (v1 = v2 = 0) jednadba prelazi u: p1 p2 = g (h2 h1)

62. Primjene Bernoullijeve jednadbe; Venturijeva i Pitot Prandtlova cijev; Torricellijev zakon

Istjecanje tekuine kroz mali otvor. Neka se na stjenci otvorene iroke posude nalazi mali otvor na dubini h tekuine. Kolika je brzina i protok tekuine kroz taj otvor? Na presjeku S1 tlak p1 jednak je atmosferskom, a brzina vrlo malena, zanemariva. Na

presjeku S2 tlak je takoer pa, a brzina v2, te je:

www.

kodm

ehon

je.tk

p1 + g h1 + 1 v12 = p2 + g h2 + 1 v2

2

2 2

odnosno: pa + g h1 = pa + g h2 + v22

2

odatle je: v2 = 2 g (h1 h2) = 2 g h To je Torricellijev zakon istjecanja tekuine kroz mali otvor. Brzina tekuine ista je kao kad tekuina slobodno pada s iste visine. Formula vrijedi samo za idealne tekuine.

Venturijeva cijev. Ta cijev, sa suenjem u sredini, slui za mjerenje brzine i protoka fluida. p1 + v1

2 = p2 + v2

2 , v1 S1 = v2 S2

2 2

brzina fluida je: v1 = 2p . [ (S1 / S2)

2 1]

odnosno protok: qv = S1 v1 = S1 S2 2p . (S1

2 - S2

2)

Pitot Prandtlova cijev. U toj cijevi mijenjanjem dinamikog tlaka moemo odrediti brzinu strujanja plina. Jedan njegov otvor je u smjeru strujanja fluida, a u njemu se fluid zaustavlja

te je brzina v2 = 0.

p1 + v12 = p2

2

odnosno: v12 = p2 p1 = p

2

odatle je: v1 = 2 p Ta cijev moe posluiti za mjerenje brzine aviona. Ona je pogodnija za mjerenje veih brzina, a za mjerenje manjih brzina pogodnija je Venturijev cijev.

63. Molekularne sile u tekuinama; povrinska napetost, kapilarnost

U tekuem stanju molekule nisu vezane kao u vrstom stanju, ali nisu ni slobodne kao u plinu. U tekuini su molekule relativno blizu jedan drugoj, te su privlane meumolekularne sile dosta jake sve do odreene udaljenosti, koju moemo nazvati radijus molekularnog djelovanja, a zatim naglo padnu na nulu. Svaka molekula djeluje na sve ostale koje se nalaze

unutar kugle s radijusom molekularnog djelovanja. Meumolekularne sile meu istoimenim molekulama esto se zovu kohezione sile, a sile meu molekulama razliitih tvari adhezione sile.

Zbog meumolekularnih sila dolazi do pojve napetosti povrine (pojava da se tekuina ponaa kao neka rastegnuta, napeta opna). Koeficijent povrinske napetosti jednak je: = W / S gdje je W rad potreban z apoveenje povrine S. Zamijenimo li W = F x i S = 2l x to je: = F / 2l [N/m = J/m2] U unutranjosti tekuine molekula je sa svih strana okruena susjednim molekulama te je rezultantna sila 0. U povrinskom sloju molekula nije sa svih strana okruena jednakim brojem molekula jer je unutar kugle radijusa R s donje strane vei broj molekula nego s gornje. Zato e na molekule na povrini djelovati rezultantna sila F usmjerena prema unutranjosti tekuine.

www.

kodm

ehon

je.tk

Kapilarnost. Ako usku cjevicu (kapilaru) uronimo u posudu s vodom, opazit emo da e se voda u njoj podii do neke visine h (meniskus vode je konkavan). Slino vrijedi i za ostale tekuine. Visina stupca tekuine pri tom ovisi i o vrsti tekuine i o polumjeru kapilare. Naprotiv, razina ive u staklenoj kapilari nia je od razine u irokoj posudi (meniskus je konveksan). Obje pojave (koje se zovu kapilarn elevacija i kapilarna depresija) posljedica su

napetosti povrine. p = g h p = 2 / R, odnosno p = 2 cos / r gdje je r = R cos polumjer kapilare, okrajnji kut, a povrinska napetost, slijedi: h = 2 cos g r

64. Sila viskoznog trenja, koeficijent viskoznosti

Sila viskoznog trenja:

tr

dvF S

dz

Viskoznost:

v

Tabilca na strani 170.

65. Brzina i protok pri strujanju realnog fluida kroz cijev; otpor sredstva

Brzina: Re Re

2

k kkv

D r

Protok: 41 2

8v

p pVq R

t L

Sila otpora sredstva: 21

2ot otF c v S

(66.-70. pitanje poseban dokument)

76. Dva njihala, uzajamno povezana elastinom vezom, ne titraju neovisno jedno o drugome. Zatitramo li jedno njihalo, amplituda njegovog titranja postepeno se smanjuje, dok se drugo

njihalo poelo gibati. Energija titranja prvog njihala preko elastine se veze prenosi na drugo njihalo. Ako su duljine dvaju njihala jednake i njihova su vlastita titrajna vremena jednaka, a

tada je prijenos energije najvei. Na tom se principu temelji nastajanje vala u elastinom sredstvu. Elastino sredstvo moe biti napeta ica, elastina opruga ili bilo koja tvar u tekuem, vrstom ili plinovitom stanju. Mehaniki val nastaje kad se u elastinom sredstvu

jedna estica pobudi na titranje, te se ta pojava iri du elastinog sredstva. Izvor vala je mjesto na kojem nastaje titranje. Pojavu vala karakteriziraju dvije brzine: prva je brzina

irenja vala v, a druga je stvarna brzina estice tj. brzina kojom estica titra (smjerovi im ne moraju biti jednaki). Ako se titranje odvija na pravcu koji je okomit na smjer irenja vala, govorimo o transverzalnom valu. Ako se titranje odvija na istom onom pravcu DU kojeg se val

iri, tada govorimo o longitudinalnom valu. Primjer transverzalnog vala je val na napetoj ici

(koja poprima oblik sinusoide) pa slijedi: udaljenost dvaju susjednih mjesta na ici koja imaju

www.

kodm

ehon

je.tk

istu elongaciju i istu fazu je valna duljina , a vrijeme potrebno za jedan cijeli titraj je period vala T te je brzina odreena

v = T

Interferencija valova javlja se kad na isto mjesto na elastinom sredstvu stiu dva vala ili vie

njih iz razliitih izvora. Tada dolazi do superpozicije- zbrajanja pojedinanih valova. Ako se na istom mjestu nau valova elongacija jednakih po predznaku, rezultat superpozicije bit e pojaanje vala, a ako se nau valovi suprotnih elongacija, oni e se ponititi djelomino ili potpuno.

77. Jednadba vala opisuje elongaciju s toke elastinog sredstva koja se nalazi na udaljenosti

x od izvora vala u ovisnosti o vremenu. Izraz je:

s (x,t) = Asin 2 ( t - x )

T

Moe se napisati jo i kao: s(x,t) = Asin ( t x ) tj. s(x,t)= A sin (t kx) v

Pojavljuje se simbol k koji se naziva valni broj;

k = 2 =

v

78. Jednadba vala zapravo je rjeenje diferencijalne jednadbe:

2 s 1 2 s = 0

x2 v2 t2

Jednadbu za irenje vala na napetoj ici, koja kad ne titra lei du osi x moemo prikazati i kao

Fs = F sin ' F sin F tg ( d) - tg

79. Za transvezalni val na ici brzina je

v = F moemo zapisati i kao v = F

S

Za longitudinalne valove u vrstom elastinom sredstvu brzina irenja vala je

v = E gdje je E Youngov modul elastinosti, a gustoa.

Za longitudinalne valove u plinu (npr. zvuk), brzina je

v = p = RT

M

www.

kodm

ehon

je.tk

pri emu je p tlak, M molarna masa, a adijabatski koeficijent plina.

80. Refleksija i transmisija valova na granici sredstava- ovisno o linearnoj gustoi, brzina u sredstvu bit e vea ili manja od brzine irenja vala u prvom sredstvu. Izdvajam dva specijalna sluaja. U prvom jesluaju drugo sredstvo praktiki bez mase, govorimo o slobodnom kraju. U drugom sluaju drugo sluaju sredstvo ima beskonanu linearnu gustou mase- govorimo o vrstom kraju ili o vrstom zidu. Neka deformacija ice koja ima oblik brijega reflektira na svakom od takvih krajeva, te da se istim sredstvom

vraa u suprotnom smjeru. Valovi se u dva sluaja razlikuju, u sluaju slobodnog kraja, brijeg se nakon refleksije vraa kao brijeg, a u sluaju vrstog kraja brijeg se vraa kao dol. Ako je brijeg sinusoidalnog oblika pri refleksiji na slobodnom kraju

nema promjene faze, pri refleksiji na vrstom kraju dolazi do skoka u fazi za .

81. STOJNI VALOVI;POKUSI SA STOJNIM VALOVIMA:

Stojni valovi nastaju kad na omeenom sredstvu interferiraju dva vala:UPADNI I REFLEKTIRANI.

Stojni ili stacionarni val suprotnost je putujuem valu. Kod stojnog vala uspostavlja se stanje pri kojem svaka toka (odreena poloajem x) titra sa svojom vlastitom amplitudom. Toke koje imaju maksimalnu amplitudu zovu se TRBUSI VALA, a druge karakteristine toke su VOROVI VALA,njima je amplituda jednaka nula, pa uope ne titraju.Ako zbrojimo upadni val koji putuje desno: s(vektor sa strelicom desno)=A*sin*(omega*t-k*x), i val koji putuje

ulijevo, a nastao je refleksijom na vrstom kraju u toki x=0: s(vektor sa strelicom u lijevo)=-A*sin*(omega*t-k*x), dobivamo: s(vektor u desno) + s (vektor u lijevo)=-

2Asinkx*cos*omega*t

Rezultantna je elongacija produkt dvaju faktora: jedan ovisi samo o poloaju, a drugi samo o vremenu. Dio koji ovisi o poloaju predstavlja amplitudu za odeeni x.

Amplituda je MAX tamo gdje je sin kx=1, tj za:

X=(2n+1)*pi pola/k=(2n+1)*pi pola/2pi pola kroz lambda=(n+1/2)*lambda pola (n je cijeli

bro) -to su trbusi stojnog vala

Za kx=n*pi amplituda je jednaka nuli te se za x=n*pi/k=n*pi/2pi kroz lambda=n*lambda

pola, dobivaju vorovi stojnog vala.

Mogua su sva ona titranja pri kojima su na oba kraja vorovi. Za najveu moguu valnu duljinu duljina ice odgovara polovici valne duljine. Postoje i titranja s manjim valnim duljinama-tzv. Vii harmonici. Za njih vrijedi:

L=n*lambda pola ili lambda=2L/n.

Pri tome moe biti n=0,1,2,3,..., te su mogue valne duljine lambda=2L, lambda=L, lambda=2L/3,...

www.

kodm

ehon

je.tk

Budui da je veza frekvencije i brzine irenja vala f=v/lambda, mogue su frekvencije f=v/2L, f=v/L, f=3v/2L,...

Na slici se vidi rezultat zbrajanja osnovnog vala i vala sa dvostruko veom frekvencijom.

Rezultat je periodina f-ja neobina oblika.zbrajanje veeg broja valova rezultira jo neobinijim periodinim f-jama.

82. ENERGIJA I INTENZITET VALA:

Zbog titrajnog gibanja estica elastinog sredstva i valno gibanje ima energiju. U putujuem valu energija se pernosi s jednog mjesta na drugo.

Stojni valovi pruaju mogunost da se energija uskladiti u malom dijelu prostora.

Energiju putujueg vala na nekom sredstvu izraunat emo tako da u mislima razdjelimo sredstvo na sasvim male djelie. Uzmemo li kao primjer napetu icu, ti djelii imaju oblik visine dx i presjeka S, te mase dm. Energija takvog djelia je:

dE=1/2*dm*omega na kvadrat*A^2, a energija po jedinici volumena (gustoa energije):

W=dE/dV=1/2*dm/dV*omega na kvadrat*A^2.

Energija koja se u jedinici vremena prenese kroz presjek ice povrine S jednaka je snazi:

P=dE/dt=(dE/dV)(dV/dt)=W*Sdx/dt=WSv

Uvrstimo li gornji izraz za gustou energije, moemo pisati:

P=1/2*gustoa(ro)*omega na kvadrat*A^2*Sv

Omjer snage i povrine presjeka naziva se INTENZITETOM VALA,''I '' i moe se izraziti kao:

I=dP/dS=1/2*gustoa*omega na kvadrat*A^2*V

Mjerna jedinica intenziteta je W/m^2.

83. ZVUK;BRZINA IRENJA I GLASNOA ZVUKA:

Valovi zvuka su mehaniki periodini poremeaji gustoe sredstva, malih amplituda u usporedbi sa valnom duljinom. Frekvencije koje zamjeuje ljudsko uho su u intervalu od 16Hz do 20 000Hz.

Najee zvuk povezujemo sa irenjem vala gustoe kroz zrak. U plinovima i etkuinama zvuni su valovi LONGITUDINALNI, a u vrstim tijelima mogu biti I LONGITUDINALNI I TRANSVERZALNI.

BRZINA ZVUKA ovisi o gustoi sredstva i njegovom modulu elastinosti.

www.

kodm

ehon

je.tk

Jakost zvuka moe se mjeriti apsolutno ,tako da se mjeri intenzitet zvuka I u jedinicama W/m^2, ili relativno, u omjeru prema nekom odreenom intenzitetu(drugi je nain korisniji).

Kao vrijednost za usporedbu uzima se I=10^-12, najmanji intenzitet koji ljudsko uho jo moe razaznati. Stvarni intenziteti zvukova su vei i do nekoliko stotina tisua puta, pa se pogodna skala dobije tako da se uzme logaritam omjera stvarnog i minimalnog intenziteta. Jedinica

dobivena na takav nain je bel (B)-(obino se intenzitet zvuka izraava u decibelima).

Intenzitet (jakost) zvuka izraen u dB je:

I/dB=10*log I/I0

Zvukovi intenziteta od 120 i vie dB opasni su za zdravlje i mogu izazvati slabljenje ili trajni gubitak sluha.

84. RAVNOTENA I NERAVNOTENA STANJA; STATIKO TUMAENJE PROCESA PREMA RAVNOTEI:

-e za ovo stvarno ne znam ta da napiem............

85. KOLIINA TOPLINE, SPECIFINI I MOLARNI TOPLINSKI KAPACITET; DULONG-PETITOV ZAKON:

TOPLINA je energija koja prelazi s jednog tijela na drugo tijelo zbog njihove temperaturne

razlike.

Toplinski kapacitet nekog tijel definira se kao omjer topline Q, koju je potrebno dovesti tijelu

da bi mu se povisila temp za delta T, i temperaturne razlike delta T:

Ct=Q/delta T

Toplinski kapacitet ovisi o materijalu od kojeg je napravljeno tijelo, a esto i o temp tijela.

Da bi se dobila veliina karakteristina za odreeni materijal, koji ne ovisi o masi tijela,definira se specifini toplinski kapacitet c tako da se toplinski kapacitet podjeli s masom:

c=Ct/m c=1/m*Q/delta T

Toplina Q koju dovodimo nekom tijelu ili je odvodimo od njega jest:

Q=mc delta T

Openito je specifini toplinski kapacitet funkcija temperature, te se jednadbe c=C(t)/m i c=1/m*Q/delta T piu u obliku:

C=1/m*dQ/dT, Q=m* integral od T1 do T2*cdT.

Molarni toplinski kapacitet C jest omjer toplinskog kapaciteta i mnoine tvari, te je:

www.

kodm

ehon

je.tk

C=1/n*dQ/dT=Mc

(M je molarna masa, a c je specifini toplinski kapacitet).

Koliina topline Q potrebna da se tijelu povisi temp za delta T ovisi o nainu na koji tijelo zagrijavamo.

DULONG-PETITIOV ZAKON:

Pokazuje vrlo vanu injenicu da toplina potrebna da se neki materijal zagrije ovisi samo o broju molekula, a ne o njihovoj veliini i masi. Za vrsta tijela potreban je isti iznos topline po molekuli da im se povisi temp za 1 kelvin, bez obzira na masu molekule. Vanost je tog empirijskog zakona u tome to je jedno makroskopsko svojstvo tvari direktno vezano za njezinu atomistiku strukturu.

86. Toplinsko rastezanje vrstih tijela i tekuina

Gotovo se sva tijela zagrijavanjem rasteu, tj. poveava im se volumen. Iako je rastezanje svakog tijela uvijek trodimenzionalno, kod tijela ije su dvije dimenzije znatno manje od tree(npr.ipke,cijevi) razmatramo samo linearno irenje, a za tijela ija je debljina zanemariva(npr.ploe) povrinsko irenje.

Linearno rastezanje- eksperimentalno je utvreno da se duina nekog tijela, zagrijanoga od poetne temp. T0 do konane temp. T,pravilno mijenja:

l = l0 (1+ T) l0(lnula)-poetna duina tijela prema temp. T(to je obino 0 C)

l-duina tijela na temp. T tj.nakon porasta temp. Za T=T-T0 a koeficjent linearnog rastezanja

Volumno rastezanje- Zakon za volumno rastezanje moe se iz zakona z alinearno rastezanje dobiti ovako:

V=l0(1+ T)*l0(1+ T)*l0(1+ T)=l0(1+3 T)+3( T)+( T) V=V0(1+3 T)=V0(1+ T)

Zakon volumnog irenja vrstih tijela piemo u obliku: V=V0(1+ T)

V0-poetni volumen tijela V-volumen tijela kada smo ga zagrijali za T -koeficjent toplinskog irenja definiran: =1/V0*V/T=3

Pri raunaju toplinskog irenja tekuina u obzir uzimamo i irenje posude- Toplinsko irenje tek. ovisi o temp.te se zato uzimaju malene temp.promjene T. Veliku nepravilnost pri toplinskom irenju pokazuje voda. Obujam vode se s poveanjem temp.u intervalu od 0 do 4

www.

kodm

ehon

je.tk

C smanjuje(koeficjent toplinskog irenja je negativan),zatim se zagrijavanjem iznad 4 stupna volumen poveava( je pozitivan).

87. Jednadba stanja idealnog plina

Postoje tri zakona prema kojima emo odrediti jednadbu stanja idealnog plina. To su Boyle-Mariotteov zakon, Gay-Lussacov zakon i Avogadrov zakon.

Ovisnost volumena plina o tlaku uz konst. Temp. I koliinu plina dana je upravo Boyle-Mariotteovim zakonom PV=konst.

Ovisnost volumena plina o temp. Uz konst.tlak i koliinu plina dana je Gay-Lussacovim zakonom gdje se plin zagrijava uz stalan tlak te mu se volumen linearno poveava s temperaturom. V=V0+V0*1/273 C ; P=P0+P0*1/273 C

Avogadrov zakon kae da jednaki volumeni svih plinova pri istoj temp. i tlaku imaju jednak broj estica. n=N/Na gdje je Na=6,02*10mol to je Avogadrova konst. Iz avogadrova zakona slijedi da je koliina tvari 1mol bilo kojeg plina u istim uvjetima ima jednak volumen koji se zove molarni volumen plina Vm koji iznosi 22,4dm Kako bi dobili jednadbu stanja idealnog plina odreenu koliinu plina iz poetog stanja odreenog volumena V0 prevodimo na T0=273,15K i tlaku P=101325 Pa u konano stanje, odreeno tlakom volumenom i temp. Jednadba stanja idealnog plina glasi: PV/T=P0V0/T0

88.Unutranja energija plina

Ne ovisi o tlaku i volumenu ve samo o njegovoj temperaturi. Ona je proporcionalna apsolutnoj temp.plina.

U=i/2*nRT

i-broj stupnjeva slobode

Dovodimo li plinu odreenu koliinu topline Q unutranja energija poveat e se za U i plin e obaviti rad W. Prvi zakon termodinamike Q= U + W

89. Izvod plinske jednadbe pomou molekularno-kinetike teorije plinova

Izraz za tlak:

www.

kodm

ehon

je.tk

P= Nmmv2

x/ V

Molekule se gibaju u svim smjerovima v2=v

2x+v

2y+v

2z tj. v

2x=1/3*v

2

Dobivamo relaciju izmeu tlaka i volumena za idealni plin

PV=1/3Nm mv2

ili PV=2/3 N Ek

Moramo uvesti srednju kvadrstinu (efektivnu) vrijednost vef= v2

Tada jednadba poprima oblik:

PV=1/3 Nmmv2

ef

PV=1/3 mv2

ef gdje je m= N mm masa plina

To je osnovna jednadba kinetike teorije plinova : tlak je izraen pomou brzine molekula. Tlak u kojim molekule plina djeluju na stijenke posude ovisi samo o broju molekula u jedinici

volumena i o prosjenoj kinetikoj energiji molekule.

90. Maxwellova i Maxwell-Boltzmannova razdioba molekula u plinu

Iz Maxwellove raspodjele mogu se izraunati tri vrste karakteristinih brzina molekula. Najvjerojatnija brzina vm je ona koju ima najvei broj molekula Nv , za vm Maxwellova raspodjela ima max : dNv/dv=0 vm= 2 k T / mm

Iz raspodjele molekularnih brzina moemo dobiti energetsku raspodjelu molekula plina. Energetska razdioba ne ovisi o masi molekule, ista je za bilo koji idealni plin na odreenoj temp. i da je funkcij samo temperature. Funkcija je produkt dvaju faktora od kojih je jedna

parabola tj. Rastua funkcija energije a drugi eksponencijalna funkcija koja pada s energijom. Razdioba ovisi samo o temp.

91.