oBAvESrBN.ra pRETpLATNTcTMA MATEvreuCKoc LrsTA

l. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale ditaoceda Satju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke,zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih.takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osimudenidkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom ma5inom, s proredom. Rukopisise ne vradaiu.

2. 'Matematiiki /ls/ namenj"n jt svim utenicima IV-VIII ras. osnovne Skole.List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to 1.X, 15. XI, 1. I, 15. U, 1. IV i 25. V.

3. Gqdi5nia pretplata(zt svih 6 broieva) iznosi 44 dinara. Narudiocima za vi5eod 10 kompleta odobravamo rabat (20y", 15y", loy"), zavisno od roka do kojeg seisplati celokupna pretplata (1. XII, l . UI, t. VI). Nikakvi drugi odbici ne uva-Zavaju se.

NarudZbine se mogu vr5iti samo pismenim putem i {alju se samo neposrednona adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na iiro-raiun Dru5tva matema-tiEara, fiziiara i astronoma SR Srbije broj 60806-678-10766, Knez Mihailova 35/IV,sa naznakom ,,2? Matematiiki list'5. Pri tome treba obavezno navesti tainu adresuna koju list treba dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZina odnosnouplata odnosi.

NarudZbine na manje od 10 primerakapretplati. Ostale narudZbine treba da buduprijemu prve isporudene po5iljke.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona redakcije, br. 011-638-263.4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1965169. god. (br. III l-5),

" Sk. 1969170.god. (br. IV, 1-5),5k. l970l7L god. (br. V,3 i 4),5k. 1971172. god.(br. VI, 1-5), Sk. 1972173. god. (br. VII, l-5), Sk. 1973174. god. (br. VIII, 1-5),Sk. l974l75.god. (br. IX, 1-6), Sk. 1975176.god.(br. X, 1-6),5k. 1976177. god.(br. XI, 1-6), Sk. 1977 178. god. (br. XII, 1-6) i Sk. 1978179. god. (br. XIII, l-6).

5. Mole se povereniei Matematiikog lista da izmire sva zaostala dugovanja.6. Sve priloge, primedbe i narudZbine slati iskljaiivo na adresu:MatematiEki list, Knez Mihailova 35lIV, p.p. 728, 11001 Beograd

SADRZAJODABRANI ZADACI SA REPUBLIEKIH TAKMIEENJA

A) Zadaci za udenike VII i VIII razreda (1967.-1974.)..........B1 Zadaci za udenike VIII razreda (1967.-1974.).. . o .. .. . . .. .. ..V) Zadaci za udenike VII i VIU razreda (1975.-1978.)... o .. .. ..G) Zadaci za udenike VIII razreda (1975.-1973.) ..........

RESENJA ODABRANIH ZADATAKA SA REPUBLIEKIH TAKMIEENJAA) Zadaci za udenikeB) Zadaci za udenikeV) Zad,aci ra, udenikeG) Zadaci za udenike

lista isporuduju se samo po izvr5enojispladene najkasnije na 90 dana po

1930

VII i VIII razredaWIII razreda

I9

1317

3644

47Z,ADACT SA SAVEZNIH TAKMIEENJA O' O' " " " " . . " . . . . . . . . . .

RESEN JA ZADATAKA SA SAVEZNIH TAKMIEENJA. . O' O' "' O'' " 59

sAvnz DRUsrAvA rnr"H6[it$f;r'rzrCARA r AsrRoNoMA

MATEMaTTCn LIST

zu udenike osnoYne Skole

ODABRANI ZADACI SA MATETTIEUEKIH TAKMTCEruTE

TzDAJE onuSrvo MATEvra,rrC{BA, nrzrCnn^l I AsrRoNoMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p. p. 728.

Urednici:

Platon Dimit i Miroslav Zivkovii

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (LjubUana), dr Zeljko pauie (zagreb),Kosto Miiatovrc (SarajeVo), Danilo Scepanovic (Titograd),

Duiko Kova(ev (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad),Vladimir Stojanovr'i (Beograd)

- Pri premio

VLADIMIR STOIANOVIC

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadrlevaDruStvo matematidara, fiziEara i astronoma SR Srbijo

rlobodeno plaianja poreza na promet na osnovu re5enja Rcpublidkq rckrehr[rtrr-a kulturu SR Srbije br. 413-18G03 od 11.,1. 1973. godlne

OAAEPAHI{ 3AAAIIn CA PEnyEnnqKnX TAKMHTTETbA3A YTIEHI,IKE VII 14 VUI PA3PEAA OCHOBHE IIIKOJIE

Otnaxe E, M, C, CJI, l{f,X, B y satpagaMa sHaqega je sa-gafrax 6uo gam na peuyfiauvrcou dtaxuuverby C P Eocne u Xepqeio-euue, ognocno CP Maxeg,ouuje, CP Cp6uje, CP Caoeeuuje, CP 'IlpotFape, CP Xp,eafrcxe u/tu An' goiqoguue.Epoj u3a osnaxi yilyhyje uaioguuy y xojaj je sagafrax 6uo uacfrasrbe.n.

3eetgu4a ucfipeg eagawxa sHaqu ga je sa peuanafte nga$trcagosotbHo u swabe xojuu pacilottalry yvewuqa YI pa?pega ocHoaHewKoile.

A) 3AAAqn 3A yr.IEHI{KE VIM VIII PA3PEAA(1967.- I 9i7'4.)

'e 1. flnrarn npoAaBrra jabyra KoJrr{Ko }rMa jabyra y Kopnr.OH je oAroBopno: ,,AKo Hx Spojuvr no AB€, nJtu ro rptr, yrilyt.

no rlernpu, vtltn no rreT, r4nrr4 rro luecr, yBgK Mr{ je4na npererHr(ocrane). Aro ux 6pojur"r no ceAaM, He ocraje Mr.r Hu jegHa".

Koluro je 6Hlo ja6yxa y Kopun? OgpeAraur najuamu 6pojjabyra roju 3aAoBorbaBa HaBeAeHe yciloBe. (C-68)

* 2. HaR ceBepnr{M noJroM rrcroBpeMeHo cy rpu 3eMJbHHacarerrura. flpnn o6ufe 3evrny 3a 90 min, Apyrfi 3a 105 min, 14

vr rpehn sa 2 qa0a. Konnxo nyra he npBrr careJlr{T o6nhn 3ervrrryAo rpeHyrKa KaAa ilpBr{ nyr cqa rpr{ 6yay roHoBo HaA ceBepnr{Mnorovr? Gn-7 3)

* 3. 35tap je4Hor ABoIIu$peHor H jegnor rporlnSpeHor 6pojaje qerBopcqnQpenu 6poj. Csaru oA ra rpl{ 6poja je4Haro ce qnra,KaKo cJIeBa yAecuo, TaKo 14 3AecHa yJIeBo, Tj. v y cabnpunMa 14 ype?yxrary qn$pe cy clrMerpuqno pacnopefene. Hahu re 6pojene.(c-70)

* 4. ,{oxas aru Aa ce nrnae$y 6uto rojnx I I rprpoAHr{x bpojenayBeK Mory usabparn rarBa ABa 6poja, Aa IrHxoBa pa3JlrrKa 6ygeAerbHBa ca 10. (C-7 I)

* 5' Oapea wrtr KorIr{Ko nyra ce ,qo6nja nehu 6poj oA je4HorAaror ABour{$penor 6pc,ja xaAa ce ca AecHe crpaHe Aaror 6pojaAonnlrre caM raj 6poj. (C-7 4)

'li

Iil

,

/

I!

t

rmpa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvodo Mllt& U, l?

* 6. Epojy 1972 Aonncarlr 3AecHa rrerlrpr qn$pe raKo AagoSnjeHr.r ocvroqn$pena 6poj 6yAe Aenrn ca 7,5 u 72. (C-72)

* 7. flpourBoA ABa snoqu$peHa 6poja je 6poj xoju je sauu-caH caMo qerBopKaMa (alu ue 3HaMo (oJIKKo qerBopxn urvra). Kojucy rr.r 6pojenn2 (C-70)

* 8. Heru 4noqra$peH 6poj 4errr,ra je ca 3. Aro ce rov 6po-jy Aoaa 27, lobuhe ce 6poj Hanr.rcaH r.rcrnM qu$parrla, anu y o6p-HyroM pe.qocrreAy. Koju je raj 6poj? Ilocroje gaa 4oorln$peua 6po-ja ca rorvr oco6unou. (M-74)

9. ,(oxararu ga je ra a>l csaxu 6poj oEmlxa aa+4 cxo-xea. (C-72)

10. ,{orararu 4a sbrap 6trro rojux ner y3acronHr4x npnpo,q-uux Epojera He Moxe 6urn npocr 6poj. (E-7a)

11. .{oxa:arv A he npon:nog 6ulo xoja rpu^y3acronnarpr{poAua 6poja, yoehau 3a Apyru oA rux 6pojera, 6nrn je4narryby ror rpyror 6poja. (E-74)

12. .(oxaxn ga je patnnKa KBaApara gnajy ysacronHr{x He-napulrx bpojena 4jernna ca 8 y onheu cayuajy, a 3arr,rM HaBeAnHyMepuqKI,I npr.najep! (X-7 3)

13. Parrrura xBaApara ABa y3acrorrHa HenapHa 6poja je 48.Kojn cy ru 6pojeru? (E-69)

* 14. 3eunnurre je rpunpeMJbeHo 3a cerBy za 3 Aaua. flpnor4ana je [prnpeMJbeHo 3/10 3eMJbr.rrura, Apyror AaHa 315 ocrarxa,a rpeher .{aHa ocraJlo. Kolura je nonprunHa ror 3eMJbr,rrura, axo jerpeher 4ana obpafeuo ll,2 xeKTapa Marbe Hero lpyror Aaua?Kolnxo je obpaleno cBar(or aaua'! (X-69)

* 15. fler paAHr{Ka je ypagulo HeKr.r nocao, HanJrar}rrntr 1aycJryry l0 500 ArH. Hosaq cy noAeJruJrr,r raro .qa cy npBH

'r Apyrr

eajegHo Ao6ulu 215 og yKyrrHor AeJra ocraJre rpojnqe. [lpnn 71racy cnoj Aeo roAeJIHJra y pa3Mepr,r 2:3, a Apyra rpn y pntMepr.{3:4:5. Korrnro je gobuo cBaxr,t oA wnx? (CJI-73)

* 16. Haron o4pefenor 6poja paAHr.rx AaHa, npx ntr pu/llbuHeKor l,IHAycrpr.rjcxor nocrpojen h, 6pnraga je norera paAnl u y/lap-HHqKlr, re je cnaxa 3 Eaua nocJra crparr{Jla Ha 2 geHc, Axo je qs6rtocao 3aBpluen :a 70 yr',rjecro 90 gaua, xolluxo ee AcHs pu/tr.{Jroygapuuvrn? (X-74)

)

17. Hexa po6a, roja craje 455 Arau., nraheua je ca 23 nos-{aHr4qe, vuje cy BpeAHocrr.r olt5 AlrH, l0 Aun., u 50 AuH.6poj non.raun-qa oA 5 4r.rn. je uajt'aarru. Ca xornxo HoBqaHuqa o4 5 gnn., l0 .qrH.r.r 50 Aran. je nlahena ona po6a? (M-74)

18. VAaresocr nruely Mecra A n B je 55 km, fleruar jeKpeHyo lr3 Mecra I y uecro .B bpruHol'r 5 km/h. flna cara racnujerouao My je y cycper r.r: .B 4pyru uetrrax 6psnuou 4 km/h. floclercoJluxo he ce qaiona neruaqu cpecrr,r, pa.ryHajyhn oA floJracra npnor?Ha xojoj he yganenocrlr oA A aohu go cycpera? (C-73)

19. Bos ce xpehe 6pruHou 60 km/h r{3 Mecra A y uecro B.3arnopen clrHaJI npr.rcnmr rnraruuuooofy Aa 3ayc'laBu Bo3 Ha npy3u.Ty ce no: 3aApxao 3 tnrnuyra. 3aruu je uacranno Boxrby Spruuou75 km/h r{ y Mecro .B cturao rarrHo no peAy Boxrbe. Konuxo kmrcnpeA uecra ,B croju nouenyrr.r {urHanfl (CJI-74)

20. Moroqnrrrncr je ,[ourrio ]r3 Mecra I y vecro B, rge6n rpebaro .qa crr{rHe y o4pefeuo BpeMe. Axo 6y.qe uuao 6p:nnouo.u 35 km/h, :aracsvrhe 2 cara. Axo, nax, 6yge uurao bpsunoM oA50 km/h, cruhnhe I car pauuje.

Ogpe4raru yAarbeHocr n:r"tefy Mecra A u B. (E-72)

" 21. Hayhn oA cerla ,4 npeua ayroEycxoj craHHqH neruax je,npelraBur4 npBor qaca 3 km, ynpguo- .qa he 3axacHurn na ayro6yc30 min axo 6yqe HacraBr{o Aa rr.qe oBoM 6psr.rnou. 36or rora jelpeocraJrr,r Aeo nyra flpeJla3r.ro bper,rnou o.q 4 km/h r.r raxo je crr-rao Ha craHlrqy 40 min npe noJlacxa ayrobyca. OApeAnru KoJllrroje y4arreHa ayroEycra craHr{qa oA ceJra A. (C-74)

22. la npefe nyr r.rstrrefy ABa Mecra A n B ayro6yc jeyrporuno r{3BecHo BpeMe. Jeguy uernprrrHy ror BpeMeHa on je nurao6p:nnot',t 45km/h, a npeocrarlo BpeMe 6prnnotrr 75 km/h.

Hahn cpeany (npoceuHy) 6p:Hny ror ayrobyca Ha IIeJIoM ryryAB. (C-70)

23. Ilnjena uere po6e yMarbeHa je za 4/,.3a rolnr6 npo-IIeHara rpe6a noneharr.r HoBy qujeHy pa 6u ce .uo6ula npnoburHaqujeua? (E-69)

24. ,{pyro r,I3Aarbe je4ne xrrnre, rocJle npepaAe, npo.qajece uo ueHr{ xoja urnocu 120% ueue npno6urnor u3Aa}r,a. I{eHa rpe-her ugAana cMarseHa je za 20/o ueue Apyror r.r3Aarba. OApeAnru

Aa nw je ora Krbr{ra 6r.ua jeQrnHnja y npror"r um y rpeheM rnAarbyu 3a KoJnrKo je upoueuara 6ura jeSruHnja. (C-T4l

25. Mopcxa BoAa ca.upxw Sof conu, Ko.rmo rnrapa qrrcreBoAe MopaMo novjeniaru ca 40 xuTapa MopcKe BoAe Aa 6ucr,ro

* 32. lara je xpyxuraqa k. Hexa je AB rbeu npeqHux. I{en-Tap r(pyxHuqe ur{e o3HaqeH. Llr .qare ta,rxe M cnycrr,rrr.r HopMaJryHa npaBy lB ropucrehn ce cauo jegHnu Jlerbr{poM, Pastuorpuru c.ny-vajeae: a) xa4a je ra,rxa M sale- .qare xpyxHr,rqe u 6) raaa je rav-xa M y .qaroj xpyxHul{r.r. (C-72)

* 33. Koucrpyucarr,r rpoyrao ABC axo je Aaro: cpeAururecrpaHr{Ile AC (uexa je ro ravra ifl). cpeguurre crpaHHIIe BC (ueraje ro rauxa D) n nognoxje rucune r{3 TeMeHa A ua ctpauuuy BC(nexa je ro raqxa H). (C-73)

* 34. Koncrpycarri rpoyrao ABC axo je garo: ra.rxa E-noA-uoxje nucnHe rtr TeMeya A sa crpaHHIIy BC, ravxa ^F-uo4uoxje'Br.rcr{He r.r3 TeMeHa .B xa crpaHw\y AC H ABe ra\xe M u N-npou:-BoJbHe rarrxe Ha crpaHr{rl[ AB. (C-73)

* 35. 3aaana je crpanuqa npaBoryrHur(a D: l0cm ll sbpoj(r6up) 4njaroxare n .qpyre crpaHrlle: a-d: l5cm. Haupraj raj.rrpaBoxyrHnxl (X-73)

* 36. 3a.{au je npanaq p u annje rorrKe D n M, og xojnx DnpnrraAa 4paBuy p, a M He npllnaAa. KoHcrpynparr,I Kpyxur,rqy xojanpona3H roqKoM M u aoawpyje upaBaII p y sagauoj rorrKu D. (X-69)

* 37. 3aaana je xpyxuu\a k n 4nrje rouxe E w M, oA rojux,E lpunaga xpyxnr.rqfi, a M xe npunaAa. KoHcrpynparr{ reyxHr{uyxoja 4ogupyje sagany xpyxHr.ruy k y saaairoj roqru .E u npo.naell3aAaHoM rorrKoM M. (X-69)

* 38. [al je pov6 ABCD ca ourpr.{M yrnoM 60". flpana MNoAcerla Ha crpanr.{uaua AB u BC ogceuxe MB u NB uuju je e6npjegnax crpaHr,rqu pou6a. .{orararn 4a je rpoyrao MDy'l je4naxo-crpaHr.rqaH. (C-72)

* 39. y je4uarorparoM rpoyrJly yrao npfl apxy ulr,ta 108".

Aoxaxn ga je rrcuna xoja oAroBapa ocHoeltiwr y oBoM rpoyrnyJeAHaXa noJroBr.rHr{ AyxuHe clrMeTpaJle yrila Ha ocHoBr.rI{H, parlyHa-jyhn gyxnuy cr.rMerpaJle yrJla oA reMeHa Ao npecexa ca r{acnpaM-HoM crpaHuvou. (C-74)

* 40. y napeJreJlorpauy ABCD crpaHHIIa AB je aya nyra.AyxaoA crpaHr.rqe BC. Flexa je ravra M cpe4nurre crpaHr.rue AB. [oxaxnaa je ayx CM uopuanHa Ha syx DM. (E-74\

Ao6u;tr pacrBop ca l/o co.nr? (E-73)

26. y nocyAr.r je 6uno 420 g asateceronporleHrHor pacrBopacoJln y. nogu. flooruje urrecuor BpeMeHa, ycJI[jeA hcnapaBarba, Ko-rnqnna pacrBopa ce cMarbrdJla Ha 300 g.

Kolnrn je y onorrr crryvajy rporleur coJllr y noAu? (E-72)

27. Tex obopeuo cra6no Mepr{Jro je 2,25 rona il caAp-xry9 le 641 noge. flocne HeAeJby ,qana ro cra6;ro je cagpxalo46% sone. 3a romlro ce cMarblrJla rexrHa cradla 3a Ty ne.qenyslaua? (c-70)

28. IIpe HeAeJby .qaHa y 100 rona rer( HcxonaHor raMeHoryrna 6n;ro je 2% uare (oose). Ao naHac je raj yrar ynno y ce6eJoru r{cBecHy ronnqnHy uare (noge), raro .qa caAa caApxu l2,S%BJrare. Kolnro roHa carya Mepll raj yran (gaje.qno ca rnarorrr)i(c-70)

29. KynreHe cy ABe cnehe pasmlqr.rre Ayxlue n ge6nuueAyxa cseha 6t,t cacBr.lM caropeJla aa 3,5 {4coBa; a rpaha sa 5 qacosa.Cnehe cy 3anaJbene r{croBpeMeso, floruro cy roperre 2 uaaa,.uyxr{Hecy r.rM nocraJle je4uare.

3a ronnro je nporleHara.jeana cneha (oua neha-Ayxa) ynotrerKy 6nla gyxa oA oHe Apyre cnehe? (C-71)

30. Jeaua Jrerypa quHxa n cpe6pa, rerrrKa 3,5 kp, caApxn76/" cpe6pa. Kag cy oBy rrerypy cronrrJrn c ApyroM'JrerypoM rllrHra

,n cpe6pa, 4obujeHa je nona (rpeha) Jrgrypa, retuxa 10,5 kp, rojaje ca.qpxasana 84Y.cpe6pa. Kolnru je 6uo npo(enar cpebira y Apy-roj nerypn? (C-73)

* 31. KoncrpyHcarlr Tpoyrao axo cy Aarr{ Br.tcr.rHa r.r rexr{rlHannnuja roje ogronapajy ucroj crpaHr{qn n nonynpeqHur( orrrcaHexpyxHllqe oKo ror rltoyrJla. (C-71)

4

* 41. Je4au yrao rpoyrna je sa 2O/o uaww oA npyrora, a 3aI

33 - % sehu oA rpehera. I4spavyuarn yrrroBe ror rpoyrJra. (C-6S)J

* 42. klt rauxe M, roja 4ujeru crpaHuuy l.B je4aaxocrpa-Hr,rqHor rpoyrJra ABC sa 4ujenone o.u 6cm u 2cm noByqeHe cyHopMaJre Ha Apyre 4nuje crpautltle rpoyrna. Kolnra je yAa*esocrraqxe C oA orrlx Hopvala? (E-72)

43. [yxraHa je4He ocuoBt{ue rapanera je 5,1 cmn a .qpyreI

4--cm. .(yxuHa jeanor xpaxa je 4crn. Ko.nnro ce Mopa npo.qyxr.rrlr4

raj xpax Aa 6u ce AoruJro ,qo npeceKa ca npoAyxerbeM Apyrorxpaxa? (E-69)

44. Mexujaua (rexnurHa nunraja) xoja ogronapa xnroreHy3t4LrMa ruyxnHy 20 cm. Hr cpe4uura xunoreny3e noAurHyra je nop-MaJIa Ha xH[oTeHy3y AO npecexa ca KaTeToM. flyxuxa oBe HopMaJreH3Hocr{ 15cm. Hrpa.ryHarl Ayxr4ne Karera (C-74)

45. Bprur'ra o6rtnx npaBoyraoHnKaca-reMeHr.rMa A, B, C u D.V npry pacre ja6.rrau rojr.r je o4 reueua A ygaueu 7 m, o4 reMeHaB 2 m u oE C 6 m; Konuxo je ja6nan yAaJbeH oA reMeHa D? (CJI-74)

46. Axo cy Kpau[ rpane3a lrefyco6Ho HopManHH (oxour,rrra),AoKaxr4 aa je s6up xBa,4para lberoBrx 4ujarouala je4nax :6rpyrBaApara ocHoBr4ua ror rpare3a. (E-74)

47. VspauyHarrr rroBprxnHy rfanesa vnju je jegau xpar 8 cm,a pacrojarre cpeAr4ura Apyror Kpaxa oA Aaror xpara je 6cm. (C-73)

48. .(ujaroHale rpare3a cy 25cm u 26cm, a nncuua uy je24cm. Ko.tura-je nonprunHa ror rpane:a? (E-69)

49. IIIra he 6raru ca noBprxltHoM npaBoyraoHr.rxa aro cejegna meroBa crpaHuua noneha za l0/o, a Apyra ce cMattn n fifi?flpoveHy noBptrrHe H3pa3r.rrr,t y npeqernnma, (M-74)

50. .{re crpaHllqe rpoyrJra jenuare cy a n D, a yrao nrue-fy rrnx r{3uocu 120". Hahn (nspa3uru noMoiy a n b): Ayxr.rHyoAcerr(a crlMerpaJle ror yrJla xojn je y rpoyrxy, a raxofe H no-Bprrrr{Hy rpoyrrra. (C-7 1)

51. y neroyrny ABCDE je AB*2BC-2DE:2AE:6cmu4 A: + B : { E: 120". llrpauynarr noopluxny neroyrrra. (M-74)

6

52. y KpyxHr4uy pagwjyca r: 3 cm yrnurn rpoxyr (rpoyrao)xojr uua ABa yHyrpalllrla xyra (yua) no 45". Kornro npolleHararoBprrruHe Kpyra 3ay3uMa noBprrrltua ror rporyra? (X-67)

53. Hepauyuaj nonpuuny ocjeHveuor gr.rjenar(Ba.{para crpaHnlle a:6cln, Ha cJI. l. (E-74',)

54. y KBaApar ABCD crpaHulle a ynucana jeKpyxHLrKa k, oxo rjeuena A u B oullcaue cy Kpyx-nraqe /<, n k, nolynperlHnxa r:a12.

Vltpatw noBprrr{Hy rfurype opraHurleHe I(pyxHtIIIaMa k, k, u k,novohy crpaHr.rqe a. (Pujev je o ouor'r gujeny noBpllrr KBaAparaxojra je yHyrap KpyxHnue &, a neran Kpyxnrlqa k, n kr). (E-73)

55. y AaroM xpyry Haupraj Ana uefy cobotl HopManHaupeqHn(a AB n CD. Haupraj Kpyr ca IIeHrpoM I n nolynpeqHuKaAC.

Vuope4u nonpulaHy' rpoyrxa ACD n r[nrype xojy orpauuua-aajy iraamu xyx CD neher xpyra u nyx CBD (ClI-73)

56. LIs xpajmnx rarlaxa A s B rpeqH[Ka AB:2r AarorroJlyr(pyra onucaHe cy KpyxHlrrle noJlynpeqHHKa r.

ZspavyHaj xojn gno roBprrru rroJlyrpyra 3ay3LIMa xpyr roju,qo4upyje o6agnuje HarlpraHe l(pyxHr{qe I{ JryK Aaror noJryxpyra.Hspa:u ro y npoueHrr{Ma. (E-73)

57. Paaaujerlr{ nonyKpyxHlrqy uag gnja*rerpou AB:l2cmHa rpr{ je4uaxa 4ujera: fr,6 , 6b, na rnpaqyHaj noapruuny

nroxe (uonpuru) otuefeue JIyKoM 6 ^ ,"t^"aua AC u AD, Paty-

Harr{ Ha .qBe Aellr.rMaxe! (X-67)

58. .{yx AB nvra Ayxr{Hy 4crh. Vls rpajrrux rauara An Bre Ayxr,r onucaHe cy KpyxHrIIe norynpequurou lB. Hexa j,e Mje4ua o4 rsrrxoBr.rx npeceqHux raqaxa. V raxo 4o6njenn ,.Kp[BoJIrt-unicxn rpoyrao ABM yrficana je xpyxnrqa. OApeAnrr noJrynpeq-HfiK re ynncaHe xpyxuuue.( C-67)

59. Taqxa M nujeltu crpaHliuy a jegnaxocrpaHutlHor rpoy-rla y oiujepy (pasrvrepu) 3: l.

a) l4zpazu nouohy crpaHr.rqe a je4naxocrpaHllqHor rpoyrxaAyxr.rHe HopMaJIa noByqeHr.rx r{3 raqxe M na gpyre .qnlije crpallxqerpoyrJra.

oCa. I

. 6) llspauyraj ovjepe y rojuua re HopMaJre gujele ApyreABr.rJe crpaxlrrle rpoyfJra, (E-7 3)

60. Texrune I_rpoyrla ABC je na rpyxunrlx r(oxcrpyn-c319J.IaA_^cTpaHLItIQM AB:c l(ao HaA [peqHHKoM, npu .revy-;e4:.TAB:30".

a) Koncrpyucarr.r rpoyrao ABC aro je, c: 8 cm.6) Hapasr.rrr roBprutrHy rpoyrJra ABC y rfynrqlrjn oA Ayxur{e

c crpaHr{qe AB, a 3arr{M r.r3paqyr{arr{ Ty [oBpru[Hy 3a c:gcm.(c-6e)

61. Vrao xoA npxa A rpaBoyulor rpoyrJra ABC nvra 30..a) Koauxnje4:BSC, r4e je S Ueurap xpyxHgrle onscaHe oxo

rpoyrla? (.{oxaxu!)6) 3a xolnro je gyxuua obnua ror Kpyra reha og o6uva

rpoyrJra ABC, axo je gyxnua Mar6e r(arere 5 cm? (E-69)

62. a). Koncrpyncarn poud ABCD.rnja je crpaur.rua a= 4cm,a yHyrparrrlbu yrao ror. pou6a KoA reMeHa A je 60.; nooyht rray4njaronale AC u BD ri H3 rrl,txoBe npeceqne ra.me Sonrcaiu rpyx.au4l k xoja npolasu r(po3 B n D.

6) [oxasarlr Aa KpyxHu1a k npoJra3r rpo3 cpeArirrrre cBarecrpanr,rqe pou6a ABCD.

n) I4:pauylrarr,r noBprulrHy oHor AeJra Kpyra xojr ce HaJra3r{rau poruba ABCD. (Perynrar rpe6a 4a 6yae r:paxen y cm2 n us-parrynarr 6ap ua jeaxy .qeqrMary raqHo): G-ZA

63. Ilpaae a n b cujery ce y rayxr A nor yrnoM og 30".Ha npaaoj b ytera je rauxa .B raro rc je AB:Acm.

a) Koncrpyuurn KpyxHuqy Koja npoJra3rr rpo3 raqry B, a npa-By a Ao4vpyje y rauxu A.

6) llepauyuaj o6nv r noBprulrny reyra xojer oapeDyje KoHc-rpyr{caHa rpyxHr{qa. (E-72)

{1. qq tyxn AB Aare cy raure .ilf, N, P n e raxo sa jeAM:MN:NP=Pe:eB. I".{waA AyxH ,{B xoucrpyncaxo je nernoJryl(pyroBa tnju cy npeqHnrlr{ Ayxr{: AM, AN, Ap,- Ae, AB.-l/rcnanlyxn AB r(oHcrpyr{caHo je raro$e ner noJlyrpyroaa .lnju cy rrpeq-Hr{rlr{.AyxE: AB, MB, NB, pB, eB. Ha onqi Hoqrn je reauxr rpyrtnju je npeqHr.rK AB no4er"leH Ha ngr norpuru. ,(orirarn:

8

q Ia cy ILl{xoBe noBpIrrI,IHe je4HaXe uefyco6uo [r cBaKa [3Hoc]lueTHHy noBpllrrHe BeJILIKOT Kpyra;

6) ga cy obuun go6ujennx ronpluu uely co6or'l jegllaxn N

yjeguo jegnarn obruy BeJIrrKor rpyra. (C-74)

E) 3AAArIr{ 3A yrrEHnKE Vrrr PA3PEAA(t967,- 197 4.>

65" Hahn ,qsa Spoja a(o ce 3Ha Aa nvr je s6poj (s6np) 168,a aajeguuvra vjepa 241 (X-73)

66. 6poj A uzuocn 92fl 6poja B. flosehaMo rtN 6poj B sa

700, raga he ou nocrarll sehx oA A za 9fi caoje nore rpuje4uocru.Kojn cy ro 6pojenn? (X-73)

57. Haful Ano[l.r$peu 6poj xojll no.qeJbeH coojou quQpor"r

jegnnr.rqa gaje rao KomtqHLIK ry qn$py je4nHnqa, a ocrarar je rre-rona qnQpa Aecerllqa (C-73)

68. Hahu cxyr ABoIIHQpeHux Epojeaa rojn cy :a l0 sehno,q rpocrpyxor s6npa cnojux qr.r$apa. (E'69)

69. 3at*lscluo caM rpoqnSpeHu 6poj. Axo oA lLeroBllx qu-

$apa cacrauilMo cBe r'roryhe Arour.rQpene 6pojere, na llx ca6epeMo'ouga he rpehnua oBe cyMe 6uru jeguara npaodtaruo 3aNrfiIlJbeHoM

rpouu$peuov 6pojy. Kojr.r cav 6poj satuncluo? (E'721

70. flocroje ABa rpouu$pena 6poja ca oBoM oco6I4I{pM: axoce sehe\4 3AecHa AonI4IIre rrlarru 6poj, go6nje ce urecroqn$penn6poj :a 499 500 nehu o,{ 6poja xojn 6n ce 4o6i'ro xaA 6n ce Ma}beM

:aeina Aonl4cao nehn; aro ce MarBI4 ruecroun$penu 6poj 6poj noae-

ru sehnM rpoun$peHnr'4, go6uje ce KoJIIIIIHHx 20 l.Kojra cy ru rpouuQperur 6pojenu2 (C-71)

71. Hahn [o3rITLIBaH npaBll pa3JIoMaK vnja he ce Bpe,qHocr

noneharn 3 nyra axo lberoB 6pojnlaq xy6upalto lI I{MeHlIoqy Ao-

Aauo 3. (C-71)

72. Koje roAI4He XX nexa je pofen tIoBeK rojr'r je y 1969'

roAI,rHr{ HaBplullo oHoJII{Ko roAI{Ha I(orI'tKo ll:nocn :6up ln$apalberoBe roAIIHe pofena? (C-69)

73. Ha nrrcMeHoM wcnr4ry rpe6ano je pr.rjeruuru 20 zagara-xa. 3a cnain pnjeureHr.r 3a.{araK yyeH,lrK ao6nja- 4 6o.4a, a 3a cBaKr.ruepujeurenu ou ry6u 3 5oaa. Axo je na rpajy yqeHHK nuao 3g6ogona, Korrnro je ra4arara pujeruuo? Korrnrr,t, je nocroraK (upo-qeuar) pujeueuux satarana? lX-67)

74. y Tprr nocyAe Haila3v ce BoAa. Axo uo;toul,tHy BoAe u3npBor cyAa flpecueMo y Apyry nocyAy, 3arr.rM rpehllny raxo Ao6n_BeHe KoJrr4qHHe npecneMo n3 Apyror cyAa y rpehy rrocy.qy, u uajta4,r{erBpruny BoAe r.r3 rpehe nocyAe [pecfleMo y npBy [ocyAy, TaAace y cnaxoj nocy.qr HaJra3r{ no 6 turapa BoAe.

- Korrnro je 6r.rlo

BoAe y craxoj uocyAr{ npe npecflrarcal (E-74)

75. Llrr,ravo 4nraje crv{ece 3Jrara u cpe6pa. V npnoj crvljecuKorr4qt,tHe oBr{x MeraJra ce oAHoce xao 2:3; a y gpyroj xio 3:7.

Koluro rpe6a y3err.r o.q cBar(e cMjece ga 6u ce go6rro g kpqgBg cvjece y xojoj he 3rraro u cpe6po 6urn y oujepy 5: I li(8.72)

. 76. 3a je4nuu ayroruro6u.rrorrr, rojn je KpeHyo u: rujecral, xpetre HaKoH [oJIa cara ,upyr[ ayronrobnn u - crllrue ra HaKoH

2,5 caru Boxrbe. ftpoayxyjVhr.r Boxrby o6a sosura y ucrolt cuje-py,,yorreHo je .qa je 6pxn ayrotvrobur 6uo, HaKoH jegHor r,r rro cara,24 km.yglpeA cnopujer. O4peguru cpeArbe bprnne oBnx ayroMo_6una. (X-72)

77. Axo ce Ayxlrna KBaApa noneha za 25/", ur[pr{Ha noneha:a caojy jeguy rpehuHy r.r Br.rcr.rHa cMarbr.r za 10"/", sa xbruro he cenpolreHara noneharn 3arpeMr,rna ror rna4pa? (E-69)

_ 78. lur.aenaraje r(BaApa cy: . 3, 4 u 12 cm. OApc/U.l oclrorlur.r6p[4 (rannuy) rarae xoqre Aa ce orJrourja (nonprunlc) r.rx r.uje-JIa oAHoce Kao rbnxoBu nolytrleuu! (X-7 2\

_ -_79. I,bpavynaj BonyMeH ycnpaBHe npr.tjMc ro"ioj jc 6ara rpauer

ABCD c 4njaronalaua AC:17 cm n BD llJcrn, ,.e sncnnorvrTpa[e3a 15cm, axo je Br.rcnua npr.rtMe 5cnr. 1,y-l.11

80. KouaA neAa roju Hua ublrurc Klt{tltl)il /lilMeH3r.rja 0,6 m,0,6 m u 0,4 m cranren je y rlnJrHlutpu,nlr r.yi l nperrHnxa 90 cm.

l0

Korura he 6nrH BHcl.IHa cloja aoge y roM cy1ly noluro ce JIeA

ncronu? Cnequr[n.rna rexr{Ha neaa je'0,92'glcm3. (C'67)

81. flocy,qa obluxa je4naxocrpaHor BaJbKa, rojn nva npeu-unr l0cm, Hanyrbeua je nogoM go llll2 BI'IcI{He. Koluxtl je noly-npeqHr.IK uajeehe lonre xoja ce Moxe nororrllrll y BoAy Aa He Ao-

be ao nperunana? (E-69)

82. Boga, roja ce HaJIa3u y croxacroj (xynacroj) noayAu

Ao Bncr{He 0, l8 m u npor'ajepa (npevnnxa) 6aze 0,24 m, npecnnace y BaJbKacry nocy.qy npotr,rjepa 6a:e O, I m. .{o xoje he ce BI'rcI'IHe

HaJIa3r,rrH Bo.qa y rarxacroj nocygn? (X'73)

83. Ouoraq npaBe ryre, paranjen y paBHH, gaje rpyxHurc€qaK c rIeHrpaJIHr.tM yrJtoM oa 36' lI noBpIuI'IHE I l0 n cm2. LI:pa-uynaj norpur.rHy rI 3a[peMuHy re Kyne. G-73)

84. Ourosa (6a:a) Kyne LIMa noBplutlHy 7 r cm2. KaAa ce

parnr.rje oMoraq re Kyrre, gobnje ce ocMI'IHa Kpyra. LlrpauyuarurroBprrlnHy r 3anpeMl{Hy re ryne. (C-69)

85. Ha 3eMJbrllrry oblnxa xBa.4para ca crpaunqoM 12 mKona ce BaJbracra jaua npeuunxa 8 m. HcronaHa 3eMJba ce paBHo-

Mepuo pacutra no npeocraxoM Aexy 3eMJbI'IIrrra u jaxo ce ca6uje(yra6a). Korrxo 4y6oro MopaMo Konarl{ Aa 6r'r jar"ra 6ula 3 mAy6oKa? (Cn-73)

86. Panau HopMaJIHa Ha ocHoBy rlpaBor BaJbKa o.q,ceua Ha

ocHoBrr rerr,IBy ,qyxlrue 6 cm. Onoj TerI.tBI'I o.qroBapa qeHTpaJIHr{

yrao o.q 120" HspavyHarr 3anpeMlrHy Malf,er AeJIa ror BaJbKa,

[oAeJbeHor oBoM paBHI,t, aKO Je BI',tC[Ha BaJbKa JeAHaKa [perIHIrKyocr{oBe. (C-74)

87. Porrlb ca 4njaroualava 8 cm u 6 cm porl4pa oxo je4uecnoje crpaun[e. Vlzpauyuart noBpIuHHy ]r 3aIIpeMI{Hy go6ujenorporaur.roHor rexa. (M-74)

88. ,(ara je upana je4Ha'rnuovt 3x+4y:10. Oapeau:

a) 4yxr.rny o4cjevra MN re rpaBe n3Mely xoopAuuarnl{x oca;6) yaanenocr KoopAltHarnor noqerxa O oA Aare npaBe;

r) aanpevuny roja uacraje poraqrajorra rpoyrJla MNO oxocrpaHnrle MN. (E-74)

ll

89. flapalelno ca ocoM npaBor BaJbKa nocraB,"beHa je panaHroja ocxo-ay^ (6a:y) BaJbKa ceqe no rerHBH xojoj o4ronapa ueHrpamrnyrao o4 90'

a) Ogpegurlr rarraH oAnoc y KoMe croje ranpeMr{He AeJIoBaua roje je nanar noAeJbeu ToM paBHlr.

6) Ko.rrnro nporleHara (npn6rruxno) urxocu 3anpeMHHa cBar(oro.q rlrx .qeJIoBa y o,qHocy Ha 3anpeMr.rHy uenor nanra? (C-70)

90. .{ara je ayx MN:2a.. a) Koucrpyucarr4 nonyrpyxHr{qy rojoj je npeqHnK MN n sa

rboJ oApeAnrr.r rarrKy P xoja ry roxyKpyxHr{qy ,qeJrn y pa:r"repu I :2.6) H:parnru o6uu u rroBprrrr{Hy rpoyrna MNp y $ynxqujx o4 a.

n) Oape4rrr.r roBprulrHy r{ 3anpeMr{Hy reJra xoje Hacraje o6p-rarbeM rpoyura MNP oxo crpanuqe Mlf.

r) Oaqeanru pa3Mepy 3a.npeMr{Ha rela xoja nacrajy o6prarreurpoyrrra MNP oxo crpaHlilIa MN u Mp. (C-62)

91. Tpoyrao je orpaHn.reH ancqrcHoM ocoM n nparava urjncy.aHarr.IrHqKH rlrpa3n: 5xf l2y:60 u 3x-l4y:lZ. OApeAnrr:

a) xoop.unare rjeueua ror rpoyura;6) nonpunxy oBor rpoyrxa;n) o6nrvr rpoyura;

r) ranpeunny rujena roje Hacraje poraqnjgu ror rpoyrJra oKoancqrcHe oce. (t-7J)

- '92. -t{urpa ce cacrojr oA rroJryno[re ]r xpyxHor KoHyca (xyne),rojn nuajy saje4nrrry 6asy (xpyr). Ilonyupevrinu norrylonrq 1d iani,a Br.lcr{Ha KoHyca je y qenrnueTpnMa r.npaxeHo peluelLe je4uavnne:

*- I 2x+!i----1+.x+ lo:0.

r- I r- I4'5

Llrpa.rynaj noBpntllxy (na 2 geqnMare rarrgo r{3paxeHy y dm2)H 3anpeMlrHy uurpe! (CJI-74)

t2

B) 3AAAIII4 3A VIIEHI4KE YII I1t vIIl PA3PEAA

(r97s.-1e78.)

*93. .{eumrlponaru jegtrarocr (sawjexu:rr cnona quQparraa)'

aV:brb. (E--:77)

*94. Mely npBffx rncyhy rpupo.Fllx 6pojena KoJIr{Ko uMa or{n(roju nucy Ajennnr ru. ca 4, sm ca 6'! (X-78)

*95. y HeKoM Meceqy rpu cy6ore cy trtl"ne Ha napalr 4aryrvr. Kojnje .qan HeAerbe (ce.qN,rqe) 6no 25. AaIr ror ueceqa? (B-76)

*96. Ha rr3nery cy 6unl 4 Aeqara r 4 genojuqe. flo:naro je4a je cnaru 4erax 6par no je4ne .q,eBoj.Inqe, rj. ,qa nrurartro 4 uapa6par-cecrpa us 4 paeue nopoAHIIe, rl tro3uara cy lrMena genojxnqarr rrpesr{Melra neqara. flnrm cy nuvryl{aAy u norII4IIH yKylmo 32 same.

,{enojvuqe cy [otrr{Jre: Map4ja jemry qaury, Joeaurca ABe llarre, IftouaTpx qaue u Aua qerupr uaruei. ,{e.raqu cy ilonunu: Xopeatu je4raroKao rberoBa cecrpa, Mapxoeuh ABa rryTa Brrure o.u, croje cecrpe, Ilerupo-euh rpu rryTa Bnrue o4 cnoje cecrpe u lfaarroeuh qeruplr nyra Bl{rle oAcroje cecrpe. Karo nrace rIMeHa II npe3rlMeua genoj.uula? (B-77)

*97. y pu6rary ce I{aJIa3e 25 rnaryux llrry(a. Je,qra ruryr<a, gp6n ce :acnrnla, Mopa ga noje4e rpr{ ruryKe (6nno xarne-nra,ure rurtrcrre). Korlrro je najenme uoryhe Aa ocralte Irrryra y pn6lrary, a gacBe rrrryre xoje ocrany 6y,qy crre? (Af-77)

*98. C.q 6 no BenE.ililrll je4larux KyrnErla je.rgra nervra ncry MacyKao ocraJre. Karo ce ca najvrannu lnojerur Mepelba na rdpaenja_rvra 6e:TeroBa Moxe oApe.qrlrl{ Kyrnliltra roja rnvra pa3rrqlrry vracy? (M-77)

*99. ,(oraxr{Te: aKo cy y luecroqu$penovr npupo.quor'r SpojyrlpBa rI qerBpra uur[pa je.qHaKe, .qpyra u nera je.4raxe, a rarofe n rpeharr ruecra jegnare, raj 6poj je 4e.rrua ca 7, 1l u 13. (B-77)

*100. 6pojy 623 torrucarrl 3AecHa (uga nocleAlbe qr$pe) TpEqu$pe, raro Aa ce go6uje 6poj rojn uvra cneAehe oco6une: axo Myo.qyivreruro 7, go6uhevro 6poj aerun ca 7, aro My oAy3MeMo 8, Ao6u-hervro 6poj AeJbnB ca 8 n aKo My o,qy3MeMo 9, go6nher'ro 6poj Aerrreca 9. (C-75)

*101. flpna qu$pa urecroquifpeuor uptrpotpror 6poja je 9. AxoTy II[Opy npeMecrl{Mo c upBor Ha 3aAlbe Mecro, Ao6uher'ro 6poj roju

13

le rrgrlrpg nyra Marbr{ o4 npno6urnor 6poja. Ogpe.duSu npno6urnn6poj. (CJI*7s)

_ *1A2. flpozanog 6poja 2l n je.4ror vernopoqrarppeuor 6poja jery6 nexor npupoAnor 6poja. Hahu raj npnpo.grn O^pb:. (C-Zjl -

*103. O4pe4larr EBa 6poja (pa:nn.rr,rrar o.q nyne), ur,rju npon:oo4,KoJrr{lrHrlK E pa3lrvKa [vajy je.quaxe npnjegno cru. (E -7 7)

*104. Hexa cy a, b n c rpr4 paquouaJrHa 6poja, og rojlrx je je4anrIo3r{Tr{BaH, je4an xerarr4aan, a jegaH jeruraK HyJrr,r. Oapealrrra-rojn jeo.q rr,rx 6pojena Eo3r.rrrrBan, rojra neraruBaH, a roju je4nar HyJrr{, aKo

. atu-b\Bpr.rJeAH -:>0. (E-77)

b

- *105. .{ar je Hr,r3 oA fler rleJrr{x 6pojena. Hanumy rr4i ce cBr4 rrloryhu

:9"q9"1_o4 ro ABa,6poja onor nuza, 4o6ntre ce Hu3: 0,2,4,4,6, g, g; ll,13, 15. Hahu one 6pojene. (8-76)

*106. 9ersopuqa 6uquuncra rpehy ce ro KppKHr.rM cra3avrar(oJe cy rocraBrreue raKo .qa urvlajy uo jegHy eajegunuxy rarrKy. lyxunacBaKe. cra3e je rpehuna^rr.rJroMerpa. Fuqurnucrr.r r{croBpeMerro KpeHyrr3 3aJeAHr.rrrKe raqKe y 12 tacona r{ cBaKr{ aorr,r caojolr craiovr cneAehnvr

9gt""1yu,jpu.r 6 kmlh, apyrn gkmf h, rpehn t2kmlh n yerBpru15 kml h. flocae KoJrlrKo BpeMeHa he cnra sajegno durr,r upnn nyr ynorasHoj sajeguuvroj ra.rxu ? (C-77)

*107' floa nJrr{Baqa ce r{aJra3e Ha cynporHrrM r.rBr4qaMa 6azena,Ayraqror 50 uerapa. Ha ftarn 3HaK OHrlr rrcroBpeMeHo [oqurby .4a nJr]r-najy g. jegnor rpaja 6aaena npeMa ApyroM xpajy. Taro HerpeKr{AHon:lnnaiy 15 rvrnnyra. Crasa cnaxor uruanaqa y jlanov cMepy 16 SO rrae-rapa. Konr,rxo ce rryra onra vravorafy aKo ce 3Ha .4a jegan cianuo nJrr,rBaI vrerap y ceKyHArr, a apyruo,g Merapa y ceKyHArr. (floA r"rurnlollJraxelbeMrrorpa3yMeBaMo MoMeHar KaA ce nrr{Baqu cycpehy r.rJrr.r cycrrrxy. Bpeuenpr,r orperarby ce ue pavyua). (C-77)

*108. JegaH paAnur Moxe Aa 3aBpru[ HeKr{ rrocao sa l0 4aHa, aApyru. paAHr.rK raj ucrw [ocao Moxe Aa 3aBpru[ sa 15 gaHa. AHo cenpBoM lr ApyroM pagnr,rxy npr,rApyxlr rpehu paAHrrK, cna rpojurla :a_je4uo saapurr.rhe raj nocao ea 5 aaua. 3i roje 6u npelte tp"h" pa/tHr.rKcaM 3aBpul{o oeaj nocao? (C-76)

*109. Cnexe_ rpoxlie caApxr{ 80\ noge, a cyBo cagpxn lZ\roge. Kolnxo,rpe6a Kr,rJrorpaMa cBexer rpoxfa aa 6u ce ao6luro l6 kgcyoor rpoxla ? (C-78)

t4

*110. Ter nocje'reno cra6no ca.4pxaBaJlo je 6A% Bo.lle oA yKyrure

uace roja je uanocr,ua 2,25 roua. Haron-cylrelba Maca jercUarrena,

jep je rala BJIaxHocr cra6na rl3HocI{JIa 50% 9l HoBe Mace' Kolma je6iia vaca ror cra6na ItaKoH cyruelra? (E-:77)

111. Ja ca,4 I{MaM qerl'Ipl4 nyra BI'rIue ro.4l'ma Hero Iuro je nualarvroja cecrpa raAa jd 6ura Esa nyra vurala o.u MeI{e. Konlffo rolllnauiaw ja,^u uonu*ol cecrpa, aro he".o xpos 15 roALIIta lt*u'tu sajegno

100 rogrun? (B-78)ll2. Asa ryrlrr{Ka cy ncroBpeMer{o nolura uz r'rriecra-A y ujecro

,8. JeAan oa r""" je nolonuny y(yru{or BpeMeHa lurao.6p:unov o4

5 kmih, a 3arI4M je r'luao 6psruovr .og 4 km/h. Apyrn je npny nolo-

"""y oytu npeurao 6p:ranovr oA 4kmlh, a Apyry noJroBlruy-nyllipq:

;;;;5 km/h. rojn oa nyrHlma je npnu crrlrao y vrjecro B2 QIr-78)113. Pacrojane uauely trrecra A ra -B soe je npeuao sa 23 taca,

rr ro: noJroBrlHy rryTa 6p:unon'l 80 km/h, rpehlruy nyra 6paIaHovr 60

km/h, a o.tari* nyra 6pauuoru 40 km/h. O.npeguru pacrojame usue-

$y vrecra A u B. (C-76')

114. Vaarenocr Mecra A u B je 38 km. Vlz A y 'B y 10 qacona lr 13

Mr4uyra rrortrao je jeaan 6zqrmnucra rpehyhu ce 6psrmovr 8 km na qac'

Creaeher rcuu y i3 qu"ouu on je r<penyo o6pHyrnu cMepoM (wz B y A)6p:uuotu 10 krn Ha qac. I'I upnor r{ Apyror AaHa oH je nperuao npeKo

'nao"tu xojra ce HaJra3r{o Ha roM [yry y llcro BpeMe' O4pegn.lpeuenpe.nacra"6uqrrKJrl{cre npeKo Mocra. O6paanoxI'ITH pelue*'e' (B-75)

115. Bos je yurao y rylel aa 12 ceryugu. ,{or je nocnegrru naron

u3aruao rr3 TyHeJra, npourno je jour IroJIa MI{Hyre. Koruma j9 xYxnua no:a

u rojotrr 6p:lrHorul c" rot op"iuo aro je AyxIrHa ryHeJra 300 m ? (E -7 5')

*116. Ha npaeoj XY yzeru HeKy rarlKy M (M je n:rntefy X u Y)

rr noA [polr3BoJbHI4M yruroM HaIIprarI{ [poI{3BoJbHy nonynpany MN'Ha curreipaJl'r yrJla XMN yaeru iaury P, a Ha cI{MerpaJrLI yrta NMVyr.r" tun*y Q,-raxo ga je npara PQrraparctHa ca rpaBoM XV' flotty-npaBa MN ce\e Ayx. PQ Y ravru S.

a) Konraru je yrao PMQ? O6pa:loxnru.6j goxararn ga je rauxi S cpeglrrure syxu PQ. @-75)

*117. CnrueTpaJre yHyTpaurblrx yrnoBa [apaJleJlorpaua ABCDcery ce y raalKaMa P, Q, R, S. [ora:arlr:

a) ga je qerBopoyrao PQRS rpaBoyraoHl,K;6) la-je 4ujaronala qerBopoyfna PQRS jeguara pa3JIHqI{ cy-

ceAIrI{x crpaHnqa napaneJlorp atvra A B C D. (B-7 7)

l5

*118.. Ha crpanvrllt 4!_\uop*a ABCD oga6paru rpor.r3Borbr{yravry .E CnMerpaJra yrta CDE ceye crpaHr.ruy BCy rbqru rt florasarnsa je AE* KC- DE. (C-75)

119. Aare cy ABe ueje4uare Kpyxcrrqe roje ce ,qoAr{pyjy cnoJba yrasnn A. 3aje.ryrrura cloJbarrrrra raHreHra goaupyje

""ny *py*"rrry

y raqKn B, a v.awy y TqI{ C ra ceqe npaBy olpiiiny q"od;lru ,r{*Kpyxur.rua y raqKr.r S. V raqru S rorcrpyncaHa je HopMana Eararrreury BC.llpana 81-ce1e ry HopMaJry y ia.rrn M,inpaia AC ceqeI{cry rropMary y raqKr.r ly'. [oraaaru 4a je SM:Si[. (C_j6)

120' Texuulrerur 7 rpoyrna ABCnory.renaje npaBa p napaJreJrrraca crpaHr.rrlou BC. O4peguru o6uvr 4o6nneHor rpa[e3a, aKo cy try_)r(xxe crpaunrla rpoyr.lra AB:IZ cm, BC:8 cm u AC:IS cm. (B_7i)

l2l. Hal AaroM Eyxu AB:a Kao rperrHr{KoM onucaH je nony-Kpyr ca IIeHrpoM O u yuyrap ror [onyKpyra onrrcaHa cy HaA Oe u OnKao rraA npeyHr{qrrMa joru 4aa Marba [oJryKpyra. Haqpraru rpyr xojugo4r'rpyje nehu nonyrpyr r,r3Hyrpa, a Marbe rroJryr(pyroBe crroJba n uspa-qyHaru [oJryrpeqHr,rK Tor Kpyra aro je a:l2cm. (B_75)

- l?2, fiora:arr.r 4a je s6np KBa.qpara gnjarouana rapaJreJrorpaMaje4nar z6upy KBaIpara rberoBnx crpaur.rqa.' (E-76)123. y rlpaBoyrnoM Tpoyrny ABC, c npaBr.rM yruroM y rervreuy C,

ryxurr^e rexr{rrrHnx Ayxs,I cy to, t6, vr /". .{orasarH .qa Ba)r(r{ jegnarocr:toz + tb2:5 t"2. (CJI--76)

l?-4. }Jahu o6uvr u rroBprfir,rny rrapaJreJrorpaua tnja cy ABa reMeuarawe A (6,3), B (2,3), a roop4ftlraruu noverax je uenrip cl.rrraerpuje rorrraparrerrorpava. (I{ f-7 7)

125. floragarra 4a je noBprrrrrHa -rpoynra tuju cy Meprm 6pojenucrpaur.{qa 13, 14 u 15 qeo 6poj. (,8-78)

126. lara je nyT 4B:o cm. KoHcrpy:acaru rauxy C roja 4elu,qary.uyx y pa3Mepr, 2:1, zarurvr Koucrpyucarr raqKe b u Eia ucrecrpaHe npave AB, raKBe Aa cy rpoynrorz ACD a BEC je4naxocrpa-IIUIIHI,I.

. a)..{ora:aru Aa cy ratrKe D n E u cpeAr,rrxre M gyxn AC reueaaJel[{or Je,qHaKocTpaHr4qHor TpoyHra.

6) Vnopennrn noBprur{Hy p rpoyma ACD ca norprurnou p,qerBopoyrra MCED.

Itl. ffttottrrura rpor(yra ABC je 6 cm2. Texnumuqe 4nje're rpo-ryr Ha 6 .4rjenona. Konuxa je unourruna cDaror ruljena?. (X-76)

128. .{ar je nparoymn rpoyrao ABC taxan ga je C reMe rlpaBorynra, a KarEre cy BC:I cm m AC:3 cm.

a) Koucrpyrrrll KBa.qpar CPQR 'ruje je reue PEa Karer[ AC, revre R ra xarerv BC, revre Q na

xnnorenysn l-8.6) Kojn Aeo [oBpIrrI{He rpoyrura nprrlaAa KBa-

spary? @-76)129. Ocjenrenl{ Atro KBa,qpara crpaHn{e a:10

go6njen je clajarreu rjer'rena ftBaApara ca cpe.4l{-

EaMa crpa^Erarla (cr. I a). Cn la

s) OApeaurz(c-7s)

l6

Llrparynaj' troBpIImHy ocjeuvenor'qrjera! (E-76)130. fllourrrna je,4raxoKpaKor rpafie3a rr3nocrl 36 cm2.,{yrrrura

je4ne ocnornle jeAnara je 4nocrpyroj AyJbrilrlr Apyre ocnoBllrqe' a

,ryJbr{Ha BI{cruIe je 4 cm.

a) I4spaxynaj orcer ror rpane3a; 6) roncrpyupaj raj rpatreo'(x-77)

131. Oro erBaropa je xonqenrprlqHo lrocraBJbelr o6py'r, xojnje sa I Merap Ayxr{ oA einaropa. Moxe Jrr{ ce JIaKo r'ruur nponyhu?"oo.q tot o8py"a? (V:eru 4a le rerurrra r'ortryHa nonra!) (CJI-:16)

r) 3AAAIII4 3A y[IEHI4KE VIII PA3PEAA

(197 5.-1978.)

132. Axo usvrely 3HaMeIraKa ,4Bo3uaMelrracror 6poja ynnuleMo

EyJry, raAa je .uo6I,IBeH rpo3lraMeuKacru 6poj xoju je gener nyra nehu

o.[ Tor ABo3rraMeHKacroi 6poja. O4pe4n raj .4nosnarurenracru 6poj!(x-77\

133. y Htr3y oA Irrecr nptrpo,qnrx 6pojena, rpehn rr cBaKrI cluje4e-hu je je.ryar s6upy ,qBajy ilperxo,qurD(.

llrparynaj s6up rnx ruecr 6pojena, aro je ilefru jegnax 7'

(E-76)134. Oapearrll o.4roc 6uno roja gna,6poja, TaKBa Aa KaAa cBaKrI

oA IIID( yMalbr{Mo 3a noJroBEHy Maber 6poja, jegna o4 go6ujennx

pa3nffia je rpn nyra neha oA Apyre. (C-77\135. OApeArIrtr cBe trpnpo4re 6pojene uuja je pa3nrlxa xBaApara

jelsaxa 455. (8-76)l7

pa3Mepy rroBprrlrua rpoynrona MED x BEC.

tl6. Ca_rp-r qurlpe pa3nuqr.rre oA Hyrre o6pa:yjre cne rvroryherporyrrfpene qpojese ca pa3rrrrrruu unrlpanna. 36np ,qBa najneha-o41ry lpojena je l4M. Koje cy ro qutbF? O6pasaoxure ub"rynax.(E-7s)

137. nrqs I rperalo ce qaMueM Hr.r3Bo,qgo no pHjerlra npe-rasehu nyr x3 ujecra A y rrajecro B za lO qacoBa. paz1amnsauruefy A w B r.r3Hocr.r 20 km. Hahn 6p:nHy ror(a pajere KaAa cesra Aaje sa ncro nprajeve tw\e A [peJra3trJro 2 km ysoo4uo, a 3 kmHn3BoAHo. (4f-78)

138. Tpu oMJraArlrHcKe Epurage rpe6a 4a rpa.u: ryr oApebeueAyxr{He rrpeMa yrnpfeuovr nJraHy. .{yxune Aeonr,rua rr,rx 6pura4alponoprluonaJrne cy 6pojeourraa 6, 5 u 4. Melyrrv, npeA rroqeraKpaAoBa AoH Ta je o4nyra,qa ce Aeonnqe oBrrx 6puraga oAnoce Kaol:5:4. Vcne.q rora AeoHlqa je4ne 6pura4e 6prhe ga 9km rpaha ogupno6urgo urianupane Ayxr,rHe. I{epa.ryuaru IyxnHy ror rryra. (C-78)

139. Aro je s6poj leajy qlrjerrx 6pojena sehu oA rbrrxoBanpoAyrTa rr Malbu o.u rbr.rxoBe pa3nrrKe, Tap:a cy ra Er,a 6poja cy-nporHrrx ilpeA3uaxa. .{orasaru.

. Hera je S: {(x, y):xQZ, yeZ}. O4pe4r.rrn roAcxyr pcryna SKoJer qI,IHe cBu oHrr napoBr.r sa roje npr,rjegu ua je s6poj rrr4xoBr{xKoM[oHenara sehu oA rrpo,qyKTa xoMrroHeHara pI Marbn oA pa3JIr{KenpBe rr .qpyre KoMrroHeure. (X-78)

l40. lar je rpyxnll ucjevar ASB uujuje noayupevuur l2cm.Taj xpyxuu ucjeuax npecjeveu je npanorra q ilaparelrlo ca rerr{BoMAB u osa upana cujeue norylpeqr{r4Ke y raqxaMa C n D raKo ,qaje o6rarra rpoyrua C,SD je.quar o6uruy $llrype xoja je ouefena Ayxr.r-ua C D, AC, BD r,r JtyKoM I : A B. OApeAr.rru Ayxuuy 4yxu CS. (,5' - 78)

I4l. y Kpyry norynpequuKa r:2 cm yr[c:rn je je4Haxorparr.rTparle3 [oBprurrHe p:20cm2. I{:pa.rynaru Ayx[He crparruUa rpa-nesa. (CJI-78)

_ 142. Aar je upaBoynrn KBaAap ABCDAPTCTD, (ABCD so*,a6asa) ca 4r.rvrenrnjava: AB:3cm, BC:4cm, CC,-5cm. Koncr-pyr{carr{ Ha m^roooj noBprrrr aajrpahy rurnujy roju crr:r.ia BpxoBeB u Dt. O4pegnru Ayxlrny ooe nnuuj: rr oAqoc o4cjevurt Ha xojeona gujenr IrBHrIy KBaApa. (4f -76\

143. Cyl o6nnra BaJbKa, ilorynperrHuKa oclrouc l0 cm u gy6uue25cm, HarryrbeH je no4ovr. Konuxo he soAe oclrl'nt y't'oM cyAy aKo ceoH HarHe raKo Aa rberoBa ocHoBa o6paayje co cnojuur rrpro6raruulrnonoxajeu yrao o,4 3O'? (C-77)

PEIUEItrA OAAEPAHI'IX 3AAATAKA CA PENYEJIUqKI/IX TAKMI'IqEIf,A3A YqEHI4KE VII U VNI PA3PEAA OCHOBHE IIIKOJIE

A) 3AAAUI4 3A yIIEHIIKE Vtt !t vul PA3PEAA

l. Hajrraarrn rajeAaurrn cnrpxanaq ra 6pojere: 2,1'lt1,6 je 6poj 60'3uavu, rpaxeilu 6poj nr'ra obnnr 60 k't- I x aerru je

.ca J. Haj-uarr-1 or cBrlx

6pojesa xojn sa.uoBonauajy uocranneue ycnoBe je 6poj 301 (sa /r:5)'

2. Hajrraaruu saje.qurqmn caApxanaq sa 90, 105 I 120 je^ 2520,nahe ce

c'a rp,n care.int.* nahn na,q ceBepgr{M noroM rrp'r{ nyr IIocJre 2 520 min. 3a ronpeve he npnn o6uhn 3eumy 2520:90:28 nyra.

3. gerropouuspeHu 6poj noqnlse lr 3anplrraBa ce qu$poN{ l, aor cy tt'ty

nDeocraJre Aus qn0pe-jeAuare wehycobno. TpoUn0peHr ca6upar I{Ma IIpBy n

nbcn"a*"y uurlpy 9. 3Ha'ln, rbnp uua oblur: *'+9*9: l**l '

Cana jc o{urneAHo aa je npnn ca6upax 6poi 22, na je npyrn ca6upax

9?9 u:6np l00l'4. MeSy 6r.uo rojNx I I np'xpo4Hux 6pojera uura 6ap aoa 6poja roju

<x raupuratajy'ficroM qnop,ru (jep uroapa r{Ma cBera l0), na ce pa3n}rKa TI{x

6pojcra 3aBprlrana HynoM, rj. [ersxaa jc ca I0.

5. Axo ja ab rtarn Asoqnrlrpesu 6poj (a u b cy un$pe)' oHAa ce ,qont-

crBarr,eM ror ltcror 6poja ao$nja 6poj abab. .{,ere*er'r ,uo6ujarr.ro: abab:ab: lol,

.rj. abab=-ab.l0l.

6. /IoSnjcHu octrrouutbputn 6poj vopa ^6uru Ae$us ca 7 '5'72: I 520'

Kax<r je-leiZOOOO::SZO -.7 825 ca oirarrou 1000, cne.qyje-.qa_heNao.AoAasarsev

6"oi"'iSiO -t000. t5206pcrjy t9720000 ,qobu'rq (>poj 1972t1520, rojn je_Aenna

.iiJiO.-ilo""ft*ajyhr oi'aibpoj ra jour 2520, :arxr'r ga 5040, 1r4., Ag6nheuo

"""ol".,r"OpeHcbpir;eocca"rpaxeuonioco6nuov:1972,1520,19724040'19726560r.r 19729080.

7.flponruo4jc6pojMarbuoAl00.l00-..10000,asehfloAl0.l0-100.To rrroxe 6nlru 4444-unn'444. Kaxo cs pacTaBJbalbeM Ha npocre ququoqe ao6uja:ii+,t-,Z.Z.Il.l0l ,,.,44.l0l,rarnyryjcMoAa yorov cnyrajy He Aobnjauo_perue'*.. VOyr"r, li+-Z,Z.l.'37-. 1241, na rax.rsyvyjervro Aa cy rpaxeHn 6pojeau

12 n t7.g. Hcra .ie rpaxefln 6poj loa + b.r4t ycnoBa AerbllBocrl| ca 3 .qo-6rjarvro:

" + b =.1-i,-iia*,ie je l<k<6, i"p "v

g,r b urOpe pa3nrqrre oA Hvrle' H3 Apv'ioi"v""o"l ao6tjutot l0a+6i27:tob+a, oAarne-je: b:a13' oAanre gar'

*t"Ji"to na ie' a<7' 3avesolvr oBe BpeAHocra b y npnu ycnon ao6ujalu^o;

;;-:T'i'-{-"riu*n" aoonju*o aa je k:3- unu k:5, na je rpaxenn 6poj 36

unu 69.

9. aa + 4 =. aa +' 4 a2 t' 4 * 4 a2 :' (a2 + 2)2 - (2 a)" : (a' + 2 -2 a) (a2 + 2 + 2 a)' 3a

a>l utpa:ru (a'z+2a) a (a2-2a) yBeK cy rlo3trrqBHrl (cewr m a:Z,-t<a!.a Je Apy-

ii,rp"ije.q'ix Hyrs), nu "y'*rinnoqu

i pacrasy uspata aa+4 sehr oA 1

L9

1

- 10. 36-rp uer y3acronxrx 6pojena, o4 xojnx je n najnaarur, je: z+(z+ l)+(n+2)+.(n+ 3)+(z+4):52+10:5(n+2), a xaro je (n+2\>l ea csars irpnpoa-xx 6poj z, ro je Ao6rjegn npou3Bo,rt cnoxen 6poj.

. -ll. OsH4rrEMo rpf,.y3acronHa nprpoAra 6poja ca (n-I), n s (z+l), r,qeje r>1. Ta.qa je: (n-l).i.(n+l)+n:n3, ruro ce n rBpArno.

_ ,l?. lleKa 9y- Qn-l) u (2n+ l) .qaa y:acronua HerrapHa 6poja. Tala je:(2n+l)2-(2n-l\t:4n2+4.n+l-4n2+4n-l:8n, a Bn je aerxso ca g.

13. Vgacronnu Herrapurn 6pojesfi pautryjy ce ta 2, rra sMaMo jegnarnny:{x+2)2-x2:48; oAaxle je r: ll. C.neAehr 6poj je 13.

14. rlpBor Aana je npunpeMrbeuo1."rrr*", apyror o*"].fr, ,.i.

1 ."rr"o*".. ocrarax t. t -(* - ,}): # . *"r"r*a doBprr'rse o6oaheue rpeher50

u noBprurdue o6paiese Apyror gana je1, u ro.1" npeMa ),cnoBy ll,2 xexrapa.

O,qarne raxry.ryjeuo ga je ne4eceut Aeo 3eMrbHuna ll,2:.7:1,6 xexrapa,na jeqena noBprrtnxa 1,6 ha.50:80 xerrapa. HenocpeAxunr n3paqyuaBarre]r .(o6ujaMo

naKo Aa je npaor AaHa npurpeMlrelro 24 n"(la* to n"),,qpyrorAaHa33,6ha

n rpeher nasa22,4ha.15. Axo Aeo roju .qoEujajy rpehr, uernprx u nerfi paAnn( raje4no orua-

qrfMo car,AoOHheMo jeAHa.rHHy: ,-1 ,:10500, o4axne je .x:7500 AuH. OBaj)n3noc.qene rpr.r paAnHXa y pa3Mepr.r 3:4:5. MoxeMo rrperrrocrannrlr 4a rpehuAg6ujal k anlr.,, 'r€rBprr.r 4k gv*. u nerr 5& gnx. Oopnar.rpaMo HoBy je4nawny:3 k-+ ! ( + 5 &: 7500. .{obnjarrro peurerbe k - 625 aur. ,[pyra rpojnui paAHrrxa

4oqyl1Ey pe,uqra,gre4ehe H3uoce: 3.625 nar.: li875 AuH.; 4.625 nus.:2500aun.;5.625 tun.:3125 aux.

Ha rcrn Haqrg noAerr.tuo 3000 Ar.tH. Ha npBa ABa paAHHKa,

16. I{eo nocao cBputex je 20.qaHa paruje raxnanyjyhn yaapnraqroM paAy.4ourro je cnaruu o.q oBnx 2O gaua cxpahen Ha ADa Aana nocao xojr.r je rpe-6ano pa4nru 3 4ana, To r43na3[ Aa ce yMecro 60 4ana paAuno ygaprn.tru

-40

4ara. flpeua roMe, rrperxogxo je noprr,ranxrrM TeM[oM pabeuo 30 aalra.

17. Jlaro ce MoxeMo yBepr{rr Aa Mopa 6lar:a 6 finu 7 Hosqaur.lqa og 50Ar.rn. Axo je 4ar9 7 uorraruqa,no -50 gnr., orga (axo ca x o3naqnr"ro 6pojHoBqannqa o,q 10 .qus., a ca y 6poj rtorraxaqa oA 5 4uH.) HMaMp ycnoBe:l0.r+5y:105 u x+y:.23. OAanAe jg r:5 n y:ll,Onaperuerra Ee Hcrylba-aajy yc.non ,qa je 6poj HoBqafiHrla oA 5 Aur. xajnarrn. Axo je garo 6 uonraunqano 50 4nr,, ox4a go6r.rjauo .r: 14 H y:3.

^. lE. Hexa_ce Ao rperryrKa cycpera npBH nerrlar Kperao.l .tac()Ba a, Apyrn(t-2) 'racona. O6a neuraxa :ajegxo npeuJnr cy Ao rpenyrxa cycpcr.a 55im,Oryga uuauo je4rarnny: 5l+4(t-2):55, oAaxne je t-7 qacoga.'.I{ocycperaje goruno Ha yAilreuocrn og1.5km:35km o4 nrecra,4.

20

19. Hera yAaJberrocr curxana oA Mecra I urnocu r xm. ,{a je ror xac-rapuo Boxrby 6ee sagpxanaga 6prunou oA 60 kq/tf, crnrao 6n y uecro .B no

xlpeAy Boxrre ga-qacoga. flocne gaApxaBalba oA 3 rvrnn.:-uaca, aor je uo-

pao saAoxrlaAnra r:ry6Dexo BpeMe. Crora je HacraBrro Boxlby 6p:rnou og

75 km/h. Ha oclroay oBI{x noAarara MoxeMo cacraBltrl{ jeAnaqnsy: #:*.+,

Ogasge go6ujarvro: .x: 15 km.

20. Orraqr.n"ro ca t qacoBa BpeMe 3a xoje uoroqurnncr rpe6a Aa crxrney Mecro B. VAarseuocr oA A Ao B MoxeMo H3pa3xrn Ha ABa HarIHHa, upeMaAarHM ycnoBr.rv^a: AB : 35 (t + 2) u AB : 5O (r- l). O.qasae je: 50 (r- l)- 35 (t + 2) ::0. Pemuuo ony jegHaruny n 4o6lrjaruo /:8 cacoBa, Ca4a usparyxauo AB::50(8-r):350km.

21. Ogxaqnvo ca, qacoBa apeve xojo fleruaKa, nocre 3 npelena runo-Merpa, Aenu o.q [onacxa ayro6yca. Ilper'ra Aarr.rM ycnoBuua 4o6ujaruo je4xa-

rnuy: 3(t.+):t(,-i), ,"o jo 30 *uu. :|"^"o ' 40 uu'.:1"""u. oru'-25 I 1\

.qe je r:f raca. 04 cera ,{ ao ayro6ycKe crannue uva 3+3lt+7/ km, a

ro je 17 km.

22. Aro je r yryurro yrpouerlo BpeMe, oHAa npBH Aeo nyra xoju je ay-

ro6yc u.urao 6poraxou o.u 45km/h, ll3nocu +S.ltm. .{pynr 4eo nyra rr3lrocu4

3t 45t 225t 27oZ5.7km. I{eo nyr orAgoBie: n + O

: 4 t. Karo je AyxuHa upefexor

nyra npousnog 6pune u BpeMeEa, aaxryryjevo ga je npocevxa 6psuua ayro-270

6yca ; km/h:67,5 km/h.4

23. flpernocraBuMo ,qa je rlena uajnpe nsnocula 100 a 4ux. floc.no cxtl-xe6a oHa fi3goclr 96 a aulg' flosehaEe oA 4 a rr1^x., Lr3paxeHo y flpoIIeHTr{Ma

oA cunxeue rlerre 6rhe: 4a:0,96t:!-:qJtoou.nutu.'66

24. Hexa je c qena npBor fl3.[a[ba rnurd. TaAa je qesa .qpyror l{3Aarbac. l2O 1.2 c.80tr* :1,2c, a qesa rpehen H3Aarsa j. ,*

:0'96c' Irlro l{3xoc}l 96:z ol'

npao6urxe qeue, ,[axle, rpehe ur4arre je jeQruxuje oA lrpBor ta 4l-25. Aro je xoluruna pacrBopa 5 nyra neha, ca ucroM KoruqnuoM conn

rojy ca.qpxn Aarr.r nerrrpoqeHTHu pacrBop, oll.qa he Eosn pacrBop caApxarl{5 uyra uane npoqertara conr, rj. ca4pxahe lo/o conu. .{a 6uo'lo Aobunlr 5

nyra nehy xo.quwuy pacrBopa, ne uerrajyhn Koruqr.rHy conn y rseruy, rpebaAonr{Tr{ jour 160 ntrrapa qncre BoAe.

2T

26. 4mg ABarec?npoqenrxor pacrBopa caApxr{ 849 c.-rnr. flocne ucna-paBarba xortlqsxa co4r! !e nnjc npomern.na na je xornqurfft conrr rnpaxeEa ynpoqernuMa: 8423:28ft.

27. Ilorrryso cyBo ApBo, 6ee noge, Mepsno 6n 2,25.0,36:0,81 roxa.Osa rexutra nocae regdry AaEa r€Eocn 54% op. yryrue r€xuue cra6aa, na jerexf,Ha cra6na 0,81:0,54:1,5 roxa.

28. y 100 roxa rer Hcxolranor yr.lba rMa g8}( uacror (cyror yrra),ruro r{3xoc[ 98 rosa. flocae yuujarra Elraro osnx 98 ToHa qrm 87,5o1 oxyryn-rre rexrne, ua je'ra HQBa rexxsa: 98:0,875-ll2 rona.

729. Beha creha,]gyxune a, rr3ropeJra 6n raTraca, a ra jegan qac x3.

72ropehe ort:n a AyxuHo crehe. Marra cpeha, Ayxrue 6, nrropehe qera sa 5

qacoBa, a ra je4ax uac nrropeheS*r*rr" csehe. nocxe 2taca ognpre caehe).3 13

ocraiej-a, aoA ApYF, !. Ilourro cy oa€ ABo Ayxuxe jeAnaxe, Ao6sjauo

337je4naxocr:7:70, PAaxne

je a: S

b:1,&6. 3xarn, rpra creha je gyxa rato% on Apyre caehe.,

3ll. V nproj nprypr 6nno je 3,5.0,76kp-2,66kp cpe6pa. V rpehoj ae-rypx 6nno je 1Q5.0,84kp:8,82kp cpe6pa. Ilpnoj nerypu je noAaro 10,5.-3,5::7kp nerype, roja Je c4Apxana caera 8,82-2,66:6,l6kp cpe6pa. Apyra ne.rypa je ca.qpxirna 6,16:0,07:88% cp6pa.

31. Hera cy .darn h", t" u nonynpernar r omcalte xpyxurqe (cl. 2).Koxcrpyrureuo najnpo npaBoyrrrr rpoyrao CDf,. (Ilpro rox-rpyrureMo npanyrao xo,4 D,3atuM yarory.C!:h", rra y npecery rpyxgrrle nony[pcqgnxa tc,ca qerlrpoM C, r nflare xojoj npunaga crparmqa -.{B 4o6njauo rarry E ) IIo-rnro je .E cpeanurre;crpanrrle AB, ro he xopvana y raqrn E 6xrx cr{Merpanacrpaunqo AB. Ha otoj nopua;m oApe.qxMo rasry,S raro Aa je CS:r. TarxaS je qexrap onncaxb xpyxxurle rpoyrna ABC. Axo ro[crpyrueMo oBy xpyrn-unqy, go6rheuo rerkena A u B.

32. Aro rogcrpynneMo Ayxrt MAu MB (cn. 3), go6nhevo rpoyrao ADM(ra,ua je M aan gare xpyxmrue). Tarqe C n D, y.xojuua Adra- rpyxxt{ua c€qeiyxtr BM u AM, npogctarnajy doAgo5ja BIrctrEa rpoyrlw ABM (jep je uepxDeprj'cKn yrao aaA llperrrrnroM xpyra upar). Tarra .Ef, y rojoj ce coxy I/x.u AC t'8D, je oproqearap rpoyrna, tra je MH rpaxena EopMarla.

Aro je ra\ra. M y rpyxtruqf,, oIIAa rarlre M u E Menajy ylore.

33. Ha cn. 4 yornuo y npof,3BortxoM Tpoyrny ABC aarc ra'sira D, F u H.tlera je .E cpegrrure crpannl4ie AB. Ayx EF je uaparreaua crparqur XC n nortorngncuny AH. Cana je roncrplrrquja ounrnegra. Kpoe rarxy .EI xorlcrtt_y_uIu_eMo trpapyropMaruy na rpaBy D.EI; a xpos F npary napdletury rpqBoj ,f/. V npeccryxo6njarrro raxxy G roja je cpeArrurre Btrcf,He' na naKg 4oprjaMo ratlry A. Aareje AB naparcrya \yxs. DF, a npecer r4taBux AF u DH je reue C.

HDCrr. 4

M BN E

Cn 5 CrI. 6

34. IIo ycJroBy cy yrrroBtr AEB a AFB npaeu, tra xpyxurlrll ruju je nper'Hf,r ,qyx AB capgxu,qare raqro E u F (cn. 5). Ilomro le MN unqlq rojacaApxl crpantruy AB, ro he _npecer oBe rrpaBe a crMerpaJle Ayxn EF garrrqerrrap rroMeryro rpyxllrrle. Koncrpynmerrao oBy xpyxMlly u IIa npaaoj Miv,qo6rjaluo raqxe I n B. Tewe C je npecex npalrx AF n BE.

35. flpcrnocrannMo Aa ie ABCD Aara trpaioyraotrEr (ert. 6). Hera joBC:locm. IlpoAyxnrvro crparlrdly l8 npero A n,tr trpoAyxefiy oApoAnMorayry E, raxai,qa je AE=AC. flpervra ycnoBy3aAarxa ayx BEjelara(lScm).Ca,qa je rprureua xorcrpyrqxja oqrrneAxa. Hajnpe Kollcrltyf,moMo lrp-aooyrn[rpoyrio BtE ca xareraMa -BC- 10cm n BE:l5cm. flornro je rarra ,ll uodeg'niro yAarena og C t E, roncrpyncaheuo cnuorpatry ,qyx[ CE u y IseEoMtrpec€xy ca EB xobuia'tlro rallxy ,{. Koncrpymre jom, raqry D.

36: I{errap .S rpyxmue rrarra3r ce y trpocexy HopMane y ravxn D ranpa$y p r crMerpare nyxu MD. Panrjyc je lyx sD.

37. Ogna.rnvro ca O qenrap Aa.tg rpyxulrqe. IIeHrap ^S tpaxerre xpyx-xuqe je npecer npare OE t cnvletpate Ayxu.EM. Panujyc je ,qyx SM.

38. Tpoyrnoa,^ ABD n BDC (cn.7) cy je,uuarocrp€sxqnrr,-na.j2 AD:BD.Crora cy poyurorr ADM n BDN norytnap\4 (4D,-BD, 4Y-:nl!!--yrnoBrKoA revetri A y B no 6O'). Cnelyje xzieDM:DN $ {ADM:4-B-DN.Aarcje: 4 MDN : 4 MDB + 4 BDN - 4 MDB+ 4 ADM : 4 ADB : 60". Kaxo ov rCl.2

22

Crt. 3

23

ynroBn rpoyrna MND xoa reMeHa M n N je4uaxn (rao ymonn uacnpar'a jegra-rcux crpatrtlqa;, cneayje Aa cy cBlr yrJroBu rpoyrna MND "to 60". Trrvre' jeAora3arro.,(a je rpoyrao MND jerurarocrpaHr.rrraH.

39. Hexa je yrao r(oA reMena C je4uar t08'(cn.8). Brcuna CD jeyje4uolr crrMerp,ua yrna rcoA C n cmvrerpana crpaHt{qe AB. Herca je AE cuuerpatayrura d:36o R nera jd O npecequa ratrxa pyxn CD u AE. [o6ujaMo Aa je

I4AEC: 180'-18'-108':54", rra KaKo jen 4OCE:T 4ACB:54", cneAyjeAa

je rpoyrao OCE jeasilcoxpaKr r{ rc ja OC:OE.. KorcrpynnrMo Ayx DFll Bc.,(o6ujauo rpoyrao OFD xojuje rarofe jegna-

roipar (uua je4nare olroaapajyhe yrrroBe ca rpoyrnoM OCE), na je OD:OF.Cneayje ga je CD - EF. Mehyrnrvr, y rpoyrny ABE je tyx DF cpeArba nnnnja,na ja AE:2EF, onatcne aax;ryvyjeuo la je AE;2CD, ruro ce r rBp,{uro.

40. Hera je N cpe.quure crpanrrqe CD (cn.9). Taaa je. MN:.CN, narpyxHrrqa rojoj je pyx CD nperrurx cd,upxn ratry M. Karo je uepu0eprjcxuyrao r{aA npetrn[xoM [paB, To je u yrao CMD tpan, na je .{yx CM nopuatuaHa Ayx DM, mro ce r.r rBpAuno,

oAHocHo AE:25cm. flpanoyrlu rpoyrnoBr{ ABC u ADE uvajy sajegnu'rKn ollrrap

"."o ,i. "" cv cJrn.lHH. OryAa uuarnro flpofiopunjy: I E: AD : AB: AC, oanocno 25 : 20 :

':4Ot)4. ia je AC:32cm. 3aruv, ut'AE:OE-AA:nC ao6njar'ro BC:24cm'

MBCr. l0

45. Ha cn. 13 jabnau je o:nauen cJroBoM J. Ilpnueirylyhu llnraroprrny reo-peMy Ha npaBoyrne TpoyrnoBe xojlr cy oceHrregr{-Ha cnnqu, Ao6}rjarvro creAehu je,uxa-

iocin xr:atidr, ir:36-rr,d2:49-b2 a c2:4-b2. flonasehr o.q npae je.qra-

xocru Ao6njavo: x2: 36-c2 +49-b2:36+49-4+ b2-b2:81, na je x:9m-Ja6ran je oa rer"rena D yAarsen 9 m'

46. Vlt rpaBoyrnnx rpoyrnoBa ACE tc' BDE ^(cn, 14) aoEnjarvro: lC2:: AEz + CE2 vr'BD' : BE + DE, na je ACz + BDz : AE2 + CE2 + BE2 + DE2 : AE2 ++BE2+CEz+DE2:AB2+CD2 (AB. n CD cy xunoregy3e [paBoyrnru( TpoyrnoBaABE u CDE).

Ctr. 7

D

Ca. 8

M

Cn. 9BA A c,r. 14C,.!. l3

APC.n. l5

41. Aro yrnoBe o3uaqr{Mo ca d., p n y,4o6nheuo jeAtarocr[ n:80q:100

4453: ;9 n il= ^'f, oaHocuo: 0: . cr n y:--cr. Karojer6up yHyrpaurbuxyrJro-5' 3" 4 4

Ba y rpoyrny l80",4o6njarvro je4narocr: n*1n*1,,:180o, na je cr=60".Cne-44ayje aa je I : 75" u y:45",

42. Hera cy N r P no.qxoxja HopMrula ns M ua crpar{xqe AC u BC(cr. l0). Tpoyrnoru AMN u MBP uuajy ynyrparurbe yilroBe o4 90o,60o u 30",rra lpe.qcraBJbajy nonoruxe o4iouapajyhrx jegnarocrpaHr{qxr{x rpoyrJroBa, crpa-suqa 6 cm u 2 cm, AN u, BP cy [onoBr{He oBux crpafiuqa, rra je ,4N: 3 cm,a BP:l cm, oAnocuo CN:5cm a Cp:7cm.

43. Hera je E ravxa y xojoj ce ceKy npoayxeqr KpaKoBa AD u BC (cn. ll).Tpoyrnoun ABE u CDE ctrl4uuu cy. Orxaunrrao ca x: DE rpaxeHo rrpoAyxeEexpaxa A D : 4 cm. lls cru4quocrr.r rpoyrnoBa ao6njarrao npo nop\ujy A B : C D : A E : D E,oArrocxo: 5,1 : 4,25 : (.r + 4) : x, o4axle je x : 20cm.

44, florxaro je aa je cpeAr.rrure D xllnorenyle rIeHTap onncaHe Kpyxnlrqerpoyrna ABC, na je AD:CD:2OIn (cn.l2). Ory.qa je AE2:2Oz +l1z:625,

24

.41. Hexaje roa rpanera ABCD crpauulr\a AD:8 cm lr nera je M cpe4nrurexpara -BC 1cn. iS;. Hera je llarle, PQI:AC (Q npunaAa npaaoj CD) ir HeKa

j6 UN HopMana cnyrxreHa u3 TaiIKe M wa npaYy AD.'IIarco je Aorasarfi Aa cy

ipoy.no"r' PBM n CMQ noryrcpgr, ra cne,qyje Aa je nogollrrHa rpaneta ABCDj&"anu noBpruflHg naparlenorpaMa APQD. flo xoxcrpyrqr.rjr je ayx MN BttcrlgaoBoF napa;rerorpaMa, na je nosprufiHa qerBopoyrna APQD, a caMuM TtrM I{rpane3a ABCD, jeaxara 8'6 cm2 : 48 cm2. ^ .

B A FB E

Cn. 16

48, Ha npoAyxerKy ocHoBltqe AB onpelurn ravry f, TaKBy Aa ie BE::CD (ctr. 16) Taaa je AE:AB+CD. Hera je CF sajeann'rra- Brcrua rpoyrnaAEC w'Aaror rparre3a. {erropoyrao BECD je no xoucrpyrqllju uapanenorpaM'

25

na ie CE:BD, H: npaaoyrnux rpoyuoBa AFC tt BCE uzpatynajuo ,qyxxneAF u FE. AF2:AC2-CF2=625-576:49, na je AF:7cm. EF2:CEz-CFz::676-576:100, na je EF:l0cm. Oryaa AobujaMo: AF+FE:AE: l7cm, rj.

A B + c D :l 7 cm. florpuurHa rparre3a i"t p : A B lc D . n :l]. z+ : 2M cm2.

49. Aro cy A[MeH3[je npaBoyraoxr{r(a a t b, oHAa je perona [oBp[ruHaP:ab. Axo ce a uoseha sa l0l, a b eual*,tr, sa 10y", HoBu rrpaBoyraonnx herMaru .unMeHsuje l,l a n 0,9 b, na he rrerosa noBprrlnra 6urn Pr:l,l a.0,9 b::0,99ab, Ilrro r{3nocr 99%, oa rroFprunge .qaror npaBoyraoHrr(a .

50. Hexa je C,S rpaxentr oAcerraK cr{Merpane yrna oA 120' (cn. l7).flpogyxuuo crpaHrrqy AC npexo reMeHa C sa 4yx CD:BC:a. Yrao BCD jeoA 60", na je rpoyrao BCD jepxaxocrparrqax, Kaxo je 4BDC:60':4SCA,cne4yje Aa cy rpoyrnoafi ABD u ASC cJrl{rrHr (uvajy :ajealuqK[ yrao KoA re-lzeua A). Vs cmusocrn oBrrx rpoyrnoaa go6ujarrro nponopqujy: SC:,BD: AC:AD,

aboAHocHo: SC:a: b:(a+b), oAaKne .ie SC:rr.

,{a 6ncrvro r.{3paqyuarfi nolprrrruy P rpoyrna lBC, nahuherrao najnpe nu-cwry BE, Osa ayx flpeAcraBra ncroBpeMero n r.tllca*y jegnaxocrpaxtnsor rpo-

na je noBpmnrsrpowl.n ABC jilc8ra 12. OFoc oEG noBpl[urr€ tr nonprtrtrHe rpyra

Fi i,-: i;i:-r : " * i : i, r + * b,i 5. noipurra ;ww n AB e

",sglocu ripliEilDlffio 32yo

. 51. Hera je F cpegnmre crpaHilqe AB (cn. l8). Tala cy AFE, FBC u ADETpr{ JeAHaKOKpaKa Tpoymai r{oAyAapHa uefyco6no, ca Kpaur{Ma oA 3 cm r.r ocHo-guqarka ayxuHe 3 y'i cm. (Ceaxx oa oBHx rpoyrnoBa paceqa*eM rro cr{Merpanflocnogxqe pa3Jraxe ce Ha aBe noJroBt{He je4uaxocrpaunquor rpoyrna crpaHxrle3cm). Caaa rarruy.ryjevq.Aa.je rpoyrao EFC raxo\e jeAnaxorparn ucrrqaH caAFE,na je EC: EFV| :3/i' ./ j:9cm. 3arnyryjevo 4a je yernopoyrao ABCE

rpane3 ca ocHoBnrlaMa 6cm u 9cm usucnuouAG:11!cm. Tpoyrao CDE 11wa

Bxcrlxy DG : AG, ga . je norprur{Ha treroyua ABC DE: p : passB + pcpB:

(AB+CE)'AG CE.DG' -- : ::.::: u-,i_:,- lE ./j-cm'.

52. Hera je ABC rpaxeHr{ Tpoyrao, ca yrnoBuMa oA 45. roa rervrelrra Au B (cn l9). Vrao xoA r,eMeHa C je npan, na je AB nperrgr,rK Kpyxnfiqe, a rpo-yrao ABC rroJloBr{Ha y[HcaHor KBaapara. Iloepuuxa ynflcaHor rea,qpara je irr,

26

:rcc,I.20

53. KBaApar OMBN nMa crpasllry al2(cn.2ll' frn n@qra AMO u NCO

*t" t"jimo uona rpyrmrqe' Tpaxef,y nonpmry Ao6nbelrro raAa oA qsrtp,Im€

xpyxnf,rle uonytrpeqFma /{B oAyrrr,reuo 9B8 ry3 rlaetlxa ft-scoceEtlgEr 4€o plA-

;;; ;; ;;'- ; - + - + (+\" " -, [( r. )' - * ( ; I " ] : ] " t i -' ) ^,

10,26 cm2 (sa a:6 crn).

54. Kpymrrua /c nonrpyje crpalrf,rle xql4parzl y ratrraMa M' N' P t' Q'xoie noe.ucranrajy cp€AEra crpatrmtrr (cl. 21). Tpaxexa trolpIuf,ra Je'uFaraj"-i"ilil;;'i;iwil{artio. iaroa, xbvmrr o,rcctrlE nan 4'rurrra rvrP ni -ia-iows"prr b ocerseuM oAc€lrlluMa BaA -4y[1ya MN n M9,'-2rppc-TaJrrr Aeo troBplIIf, Je 3aJ€AIIFTTE A@ rBaApara MNPQ f, Aare rpsBonm'rljcxe

;;ilfi-. I4; ip"],f , ittia- irpi.trq,to ;.pa"wry MQ: MQ2: AM'+ AQ2.ott*

"r" r uQ=$,Ea jerp*etra tory"o.sa, l-{'

Ctt. 2l Cn' 2L

55. Tpoyrao ACD ie rpaBoyrnf, jeAnarorparn (an'22)' Crora, aro je uo'

,ryrpelrnrr Maror xpyra r, oBAa je uo:ryrpernnr E€her xpra ry'T' Irorpurna

lrerBprrrre ACD geher rpyra je ryt-+ r jeAnara je norpmrrn norto'

IJ/IfIe cBD Mar6er rpyra. oAyrUrtlajyttn oBIIM uoBplEnua saje4rxrxr .qeo (oAF

'ra( Bener *pyra "".i-n "tffi-CDi'noonnouo

jelxare troBpluf,H€' a ro cy 6sEI

oo"p*t"i ilje "pOa

ytrop€flurf,: troBprlrlr'a rpoyrtra ACD t ItoBpTHIa- orpalr''

*."" o o*16 , Cfr, Aawrc, oE€ ABe noBpmr ur'aajy jeruare troBpume'

oA noBprurE€ rpyra'c

Cn. 19

allyrna BCD, na je BE --

2B

t aby'T. CaAa uvauo: P:= AC.BE:2a 4

l7Cr.F

Cr. 18

Ct. 2l

27

mrura ymcage xpJxurrue r!3uocr{ t2,57. ot, oA rroBprrrrrxe Aarof nony(pyra.

oCn. 24

. 56. Hera je C cpegnmrc npeqnuxa AB t S qeuTap xpyxglqe xoja ,qo.qr-pyje rpx Aare KpyxHr{qe. (cn. 23). Ognaqr.rpro ca x He[o3narn nonynpevnnr. Ta-Aa crpaHlrre rpaBoyrnor rpoyrna .BSC ruajy Ayxrxe: r, (r + x) I (r-x), nanpI4MeIroM fltraroptne reop€Me AobnjaMo: (r + x)2-(r-x)2: 12. O.{anAe' je:

4rx:r2, oAHocHo *:+, Ilorpriruua xpyxnf,rlr r. 4 e nonyupeenrra 7

je: pr:rzt r2'r: t6 , "

rroBprrrrrHa Aaror noiyKp$a je P:-, na je \:O,iZSp, rj. uorp-

6) Tavra P1e cge4uryre ayxr{ BL-- i , na je BP: f oau*r,. ,u**y-ryjerrao ,ua je AP:PB:7: l. Auanorxuu raxrrlvnnatreM aorait{Mo .uo npo[opq[jeAQ:QC:5:3.

60. a) Ha cn. 27 xoHcrpyruuja je r{3BprrreHa ca 4 n:yra MabuM atMeH3I{-jarvra. Hajnpe je xoncrpyncan rronyKpyr naA crparruqow AB, zarurvr yrao oa 30'il tronyupaBa oA cpeAnrrrra s ,qyxtr AB xpot rexr{rtrre Z. Taqra C oapebyje ceHa ocrroBy ocooune rexfirtrTa, TaKo ,qa je 7:C:25?:,

6) Tpoyrao ABT je upaBoyrnt na ie ST:c12, o.${ocgo SC-3 cl2. Axo ie

CD srtcnua rpoyrna ABC, ograje yrao CSD oa 60', na le Cn:|, ry:

+, aroBprulrHa rpoyrna ,*nc: n:| t-F:1!P. 3ac:8cm EMa-

ly,o P:A/T cm".

Cn. 28

61. a) Yrao .BSC ur"ra 60" jep je C'S-SI, na je {,{SC:120'.' 6) BC:5 cm, AC:S VT cm n AB: l0 cm (xunoreuyra). O6ur"r rpoyrnaABC uuaAyxngy (tS+S /f )cmx23,66cm, a o6IrM rpyra je 10ncmar3l,42 cm'3navu, o6nlr (pyra nMa rehy ayxrny 3a 7,76cm upu6.nuxno.

62. a) Koncrpyruuja pona6a ABQD je reoua je4nocraana, iep cy rpoyr-no8,u ABD n BCD'jeAnarocrpanx'lur (cl. 28).

6) Hera ie M cpenutnra crparrrrle,{8. Kaxo ie'BD:AB, ro je I SB:MB,na je rpoyrao SMI jetnaxocrpaxu.rafi n SM:SB, rj. cpe4nmre M crpanqeAB- npnnirc xorrcrpyf,caxoj I(pyxHuIIE, Ha ncrr Earmrr ce Aoraryje Aa cpe.qrrmraocranma crpaHurla por"r6a rarobe upuna4ajy oaoj rpyxxuqu.

r) Tpaxexa noBprrrfiHa np€AcraBJba s6rp uoupdnna qerup[ o,qcerlKa ca

qe'rparrHtrM yrnoM oA 60': P:f,r'tc-^'+. Kaxo t" ,:l:zcm, ro je

rpaxeua uoBpmrrna: r : | *-l y'T^r1.45 cm2.3

63. a) Ilomro xpyxHnqa AoArpyje npaBy a y raqrcrr.,{, sarrryry;'euo Aaje uexrap oirc rpyxxnqe Ha npaBoj .2, xoja caApxx ratry A r nopuanna je nanpauy a (cn. 29\. lyx AB je rerraa ucre KpyxErIIe' tra crrMerpaJra s oBe re-Tr{Be qrApxrr IIeHTap xpyxunue. ,{ar.ne, roncrpymrrrMo upaBe n rr .t n y l6rxo-rov upecexy ,qo6rjaMo ueETap s tpaxexe xpyxEnqe' /c. Koucrpyrmnuo oryrpyxrrf,rly (nonynperrnr 3e gyx ,S/)

_ 57. XoncrpytrEeMo rernae AD n OC u ErrxoBy rtpeoeqxy raqry o3xaqnMoca -E(cr. 24). Tpoyrnoan QEc t ADE nolruap*n cy nriDycooiro (ndb.qciaBraivrIoJIoBlrHe rro.qyAapnsx. J€Auaxocrparrnqs[x rpoyrrooa),. ua je pngr:prra-

I:-72v-(n91112.

6

58. Hera je O uenrap ynrcane xpyxxntde (cn. 25) ,{o4upna ra{ra D oserpyxil.nqe r nyKa BM wopa npurlaAarlr npatoj AO. Hexa je N 4o4upua ra.rxajnucare rpyxHr{qe x Aare ,uyxn. Tpoyrao ANO je nparoyran, ca xarlraua r nAB* - 2 cm n xunorexy3olu OA: AB*r:4-r. flpur"renrur.ro flxraroprrHy reopeMy:2'(4=r)'-r2:22 o!lar.4e je r:1,5 cm.

59. Hera je xa Crpanrur. BC je.gnarocrpaunrrHor rpoyrna ABC lara13{Ka.i}4,_Iqla qa ie QIu{.MC: l:3 (cn.26). fiaxrc, BM:a14, a MC:3.a14Hera ie MNIIAB n LMIIAC n xexa ie MPI AB n MA ) AC.'

A S BDCtr. 27

ANBAC:n. 25

a) MP je rrcuna jegnarocrpaxfirrHor rpoyrna BML, na jeBM V3 AVT:- . Ilx MQ je nncnna jeAnarocrpaurqnor rpoyrna

L PBCt. 26

MP:CNM,

na ie MQ: Y9+I:

28

Cn. 23

Cn.29

3 "/T29

30Crr.

nruelly rpaBrx a t b je 30', ua je {518:90o-30o:60o.Bonynperrilra V " *S4 oregyje .ua je yrpo_yrny SAB t yrao

ABS oA 60o, na je rpoyrao ..{8S jeggarocrpatnar.Oryna sarrryryjenro,qa je r-4cm, na je o6nu rpyra0:2rrc:8 rCm u lroBprrrrna p:72 6 -16 rscm2.

61. a) Kpyr Dpeqf,nra l8 noAeren je Ha tr€rnoBpmf,, oA xojf,x je P, unrerpnlna ca Pr, a P, gturrpf,wla @ Pt f oAuocy Ha qetrrap xpyra (crr. 30). CroraAa 6trqvro ,qoxa3aJrr Aa cy Mepnr{ 6pojesn cBrx ola:(troBrrrr jeAraxr Pls (P je norpurrna rpyra opesnf,ra /8),AoEorbIIo je Aoragarn Aa je P.:P;:P|S, floxaxnrao gacy oBf, yoroBrr !Icr0/r6€EE.

6t. Tpaxenn ,[Bolu$pexx 6pojesr (lOx+y) raAosoJbasajy' rpeMa AaroM

ycrroBy, jelnavnxy: lOx+/: 3 x + 3 y +10, osarne.je r, :";to. opa jeAnaqr-z

na Aaje peuerba n x€12,4]. Oarorapajyhe BpeAHocrI{ 3a y cy 2 t 9, na je

tpu*en"-c*yn 6pojesa .dsoqnaHn cxyn: {22, 49}.

69. Axo cy wr$pe oaor rpouni[penor 6poja x, y tr .z (laro ce MoxeMoyB€pnrn Aa os€ irn$pe r"ropaj.v- 6nrn pasmrnre or Hyne I{ ,pasluvnre' ue$ycoGiro't- onaa ce oa rrii voriaobnrra cneAehn ABoqHOpeHn 6pojpsu: l0x+x' l0/+-:1: 1;;-; io "*' 1o u+r- lox+z- lOz+x- lOv+zu lOz+ v. fSnxos g6rt+i. lOr+t. lO.r+/, l0y+x, lOx+2, l0z+x, l0je-i3(x+y+z), na je rpaxeuu rpouu$p€Hr 6poj:

-

lOx+2, l0 z+x, lOy+z n l0 z+y. lLnxor r6nprpoqu0peuu 6poj: ll{x+y+z). 36xp qpQapaie 33(x+y+z). rla Je rpaxesll TpoquQpeuu opoJ: tr\x+y+z). JtrP \trqrupa'x, y i z vropi 6urr sehu oa l_1 n . Ma,ryIl orA 24. flpoaepou .qona3rMo Ao

jeanncraeiror pemelra'rpaxeHr 6poj je 198. -

70. Hexa cy x tr / rpoquQpeun 6pojesn xoju rrrlajy 'qare-oco6nne'Ha.ocnosy rxx ocoEuxa Ao6xjavo jeAxa'Iuxe: 1000x+/:499 500+ 1000y+xr1 1000 y+x:2ol x, oAaxne nocle cpe$nra15a ao6tjarr.ro cr{creMrIqHsapgflx

jeaHa,ruHa c,rr Heno3'arlr,u x u y lrrtlr* ,f,l.ioo], oou*n. ao6rjar"ro: x:625

u y:125.

71. Aro je rpaxeau pa3noMax I, o*ausaxr jeAnaro.t, -1'=:r1,- y y+J y3v +9

orarne je x2:l'--1-. flocleArsa jeAnarocr norasyje Aa / Moxe 6nrr 1,3v

nnn 9. flpoaepou hervro yrBpAl{rn Aa ce qeo 6poj x,qo6nja caMo 3a )'=9. Ta-

'.ua je x : 2, na je rpaxeun pa3JroMax t .

12. Hexa je roalna poberra oBor qoBexa 1900+ 10r+/. flpervla Aaruuycrrornri ,qo6njaMo je,qHarriryi 6l-1to x+l): I + 9+x+y,oAarne je ll x+2y=':'5i, K"*o

"y-x Lt i qnSpe,-4ara jeAnaquna.qaje cauo jegan nap^raAoBorba'

"a.iyho* pe..*ut x:5 u-y:2. foanna pobera oBor rloBexa je 1952.

?3. Axo ca .r o3Haq[Mo 6poj raaalara roje je y'renur peuluo, on.qa .r"ry je

ocrano (20-x) H€petueurx 3aAarKa. flpeua ycloay MoxeMo cacraBltr[ JeAHa-tnuy: 4jl-l t2O-il=38, o.qarre je x- 14, rj. y'reuux je raYuo u:paauo 14

3aAaraKa; oAHocHo 7O\ tocrawrcHrrx 3aAaraxa.

?4. OcNaquMo ca a, b ll c xoJll{qlrne BoAe rrpe ilpecnnarra. Ilocrre npror

npecuna*a rMaMo y rrpBa ABa cyAa: t " (u - t) "urapa. flocne Apyror npecuual'a

2l a\y ApyroM cyAy trMaMo;

[, - ; )

mrana, rrrro npeMa vcnoBv Aaie je.aHaxocr:

2l a\;(r- ;)

:6, o4axre je:2b+a:18. Karo je vrvnua KorrtrnHa soae a+b+c:: l'8 nurapa, crtelyje: b: c. npeMa roMe, y rpehervr cy,Ay nuauo xaj[pe

Hera je AB:lOk. Tana je AM:2k, MB:8k, AP:6k, AQ:8k, PB-4k n QB:2k florpmrxa Aaror xpyra :", t:(!\'r:25kzrcarerogo6rnr\2tie; o:tok,c. nat'- i", p,-t (ry)"".+(+)'"-+(ff)'"-f,0,".

lIPP+ ^ 25k'tr--=l6k2tt-5k2n:-=. 36or ctrMErpFruocrs je Pr: P1 :-.2 2 5 ----

5

3aruv, na rcrn rraqsg rnpa{yrraMo P.:. Pr:Skzrt:Pl5 36or qrrvrerpnv-nOcrn je u P1-P2:P15. Carr,rxu rm,r je n Pr:s k2:P15.

6) O6au 6uno roje oA oBrx rroBprurr np€AcraBrra a6up gyxuua rprr rrnrqsmprr trony(pyra, Taxo, na [puMep, oEuM gpyre roBpIlrr (&) je:

llllO.:: AMtt+- MBr +- NBtt+- ANzt:ktc +4ktt+3kr +2kt: l0&zr-0.'2222HeuocpeAunv f,3palryrraBarbeM yrepuheruo @ Aa crrrx ner noapmr nvajy

ncrn o6ru rao Eennrf, rpyr.

B) 3AAATII4 34 yrrEHrrKE Vrrr pA3pEAA

65. Tpaxenn 6pojesr cy x:24m \ y:Arr, rAe cy m n n npupoutu6pojean, npr lreMy je x+y-168, ognocno m+n:7. Axo ca {m,z} orrarurvropenerse roje ragonoraBa ycnoBe 3aAarar(a, Ao6rheuo rplr pa3n[quTa penersa:{1,6}, {2,5} n {3,4}' O,qrosapajyhn rpax€Hu 6pojesr cy. U a 144. gpirn.ra 48u l2O n xajsan 72 a, 96.

6. Vs trpBor ycnoBa Ao6njaMo: A-0,92 B, a n3 apyror: A:O,gl (A+ 700).3auenuuo ,{ ur npre y Apyroj jeAxaquuu. lluauo: 0,928-0,91(A+700), oAasreie B : 637O0. Caga rspavyxanawo: A : 0,92. 63700 : 58604.

67. Axo je rpaxeun 6poj 10r+y, oHAa vopa 6rrx rqryrres ycnoB:l0x+y-y.y+16:y2+x. OAasAe Ao6rjaMo: 9x:y(y-l), na je y:9 rr x:8.Tpaxexr 6poj je 89.

30 31

r

u - +(, - a) ,n ,ro"n" rperrr{Barba y rpBrr cyA, sooujauo: * [,. + (, - +)]: ,,

oAaKrre je: 8D+c:48. JeAnaqrne 2b+a:18 n 8b+a:48 rciy peruera: a:8u b:'5:c.,{aue, y npaona cyay je 6uno 8 nnrapa BoAe, a yApyra ABano5 tllrrapa.

75. Hexa cy x u / Konr{qr{He Aarnx cMeca, roje uemarrev Aajy 8 kp nose23

cMece: x+/:8. Y npnoj cMecn r{Ma-x 3rrara, y Apyroj;!xnar\ayrpehoj,

aorogo6njenoj cuecn, rpe6a aa 6yae: -lr't: t,t kp elara. Ory.qa nobujaMo Apyry

.23je.uua,{[Hy: - x+- y:2,5. Aobujeur cucreM jegnavuna Aaje pemerra: .r: I kp' 5 l0'

tt y:7 kp..{axne, rpe6a noueurarn Ikp npne x 7kp gpyre cuece.

76. Ornaqunao 6prrny npBor ayroMobuna ca .rkm/h, a apyror ca ykrn/h.flprr yc.noa laje jeanaqnny: 3 x :2,5 y, a rpyrLti 1,5 x + 24 : 1,5 y. Peruerra oBorc[creMa je4uaruna cy: x:80 u y:96.

?7. Aro cy a, b n c guvreu:uje Aaror KBaapa, guuenuje HoBor KBaapa,446xhe: 1,25 a,-b n 0,9c, na je nona 3anpeMnHa: Vr:1,25a.;b'0,9c:1,5 abcJ3:t,SV.3navu, nona 3anpeMr{Ha neha je n 507" oA 3a[peMr{He Aaror KBaApa,

78. 3a aarn KBaAap u3paqyHaMo: P:l92cm2 v V:144cm3, a 3a roqxyuB;rqe a, I{MaMo: Pr:6a' \ Yr:st. Wanrty a xoqKe rBpa.qyraheuo u3 npouop-\uje: 6a2:a3 :192:144. Oaas.qe je a - 4,5 cm.

79. flonpruuna ocsoBe rparre3a je 900cm2 (BuAr poruerbe saaarxa 48),na je sanpeunta rrpu3Me y-900.5:4500cm3.

80. Texnna re.qa ce r{3paqynaBa Tar(o rtrTo ce 3anpeMrrHa noMuo)Krr cacnequQuqnon rexr{HoM: f :(0,6'0,6.0,4).0,92:132480 9,. Karo je cneuuQr.rHaTexI{Ha BOAo s: I g/cm3, creIyje Aa TexuHa neAa npeAcTaBJba 3a[peMr.rHy BoAeIKtcJIe roflJbersa. 3navn, ay6nna BoAe y qsarrHAphrIxoM cyay (rncuna BarbKa) jetH : T:r2r.:132480:6358 5 av 20,84 cm (y3exu cvo rc nv 3,14).

81. Bucuna je4naxocrpauor BaJbKa jeauara je npevnnry, na je oucuHal0

Helrcnyrlegor .qena [ocyAe -, cm. 3anpevuHa norolJr,€He Jlorrre uoxe 6urr jeA-

nara najaurue 3arrpeMrrur rreucnyneHor aena nocyAe. I,Ir ror ycroBa H3paqyna-

heuo nonyupeq'ilK rorre: !^ n*:s,,r.L oraKrre 1".r:l?5, ua je r:1.*.3 t2' - 8 " z

82. I4sparuheuo Asuenruje y cm. 3anperur{Ha BoAe y xynacroj nocyau je:

V: ^.122.18:864ncmr. Aro ca I orxaquuo BrrcnHy Ao Koje he cruhu soAa3

y aarrxacroj [ocyAu, ni'lahenao jeqnaxocr: 52rh:864tr,oAaKrle je h:34,56cm.

32

83. I4r o6pacqa 3a fi3paqyHaBalle noBprrrnHe xpyxHor uce'{ra Ao6ujaLto:36ns2l":"-:1102. oaarne je s:10y'1T. xaxo je nvr 2n pn 31) ieanar o6rury

.160

ocHoEe xyne (c.rr. 32), nr,,rar"ro: ,r"- to'"rtd3''u , oAaxrle Ao6ujarvro: r-

: l,'ll- Caaa rrMaMo noBplurrHy ryne: ?:-llzr+ 1lOrc :l2lrcm? Bucuuy xyneurpauynahevo xopucrehrl no3iary eezy: h2:s2-r'z:1089. OAasAe je ft:33cm'

J

na je sanpenruna: Y: ! r'rh: 121tcm3.)

C.n. 31 Ctr. 32

l2m

Cn. 33

8m

Cr. 34

84. BEAtr peruerre nperxoAqorga.qarka. kls r2n:7tt 4o6rljar,lo: r:lT cm"'

Kaa ce oMoraq parnuje.ao6uje ce rpyxHll xceqax ryKa 2r:r N: nonynperlHuKa s

(cr. 3l s 32). Ilper'aa 4aroM ycrloBy rMaMo: g "tt- Tt'l - s'2rx, oaaKne

jE s: 8 r:8 / l. vlzpatyuajMo Br'IclrHy Kyne: lt2 - (8 V I Y-</-71' : l+t' na je

h:2lcm. CaAa nenbcp-eAno .[3paqyHaBaMo noBpul{sy P:63n cm2 u sanper"ruxy

V:49rcmt.,

85. Ilorprur.rua 3eMJbutura no I(oMe ce pacuna ilcKonaHa seluba je (144-

-16r)m' (cr.^33). Axo ca !xm o3Haqr{Mo aybuny (onarLa'oHAa he Ae6DnHacloja Hi6rj'ene gett"e 6r.rru (3-x)m(ua c:r. 34 rupa$upaHo)-.3anpevnua ca6u-jeui aeu.ri jeauara je 3anpeMI'IHIr llc(onaHe 3oMJbo' na I'IMaMo jegnaunny: l6tx--:(144-16;\ (3-xj, baarne ao6Njar"ro: 144x:432*48rE. Axo ony jesuaxocr

no.qe,"IrtMo ca 144 Aobuher'lo: *:3_ --. 3a :tev3,l4, oAHocHoI-o'1,05, ao6u-3J

javo xrl,95m" Tonnxo 4y6oxo rpeSa xonaru ga 6u jarraa 6una ay6ora 3m'

86. Ha cl. 36 npnxalan je npecex Aare paBHI{ ca 6asoN{ saJbra' BUAItI\'ro

ga je nncnna jeAuaxocrpannqHor rpoyrna oAC lryxtwe3 cm. I4g ':ry-

Ao6u-

jauo: r:21/ 3, na je Bucl'IHa BaJbKa ,:2r:aV 3. TpaxeHa ranpewuHa je I/:':p"n, rai je'Po rorpuruHa Kpyxlior oAceqKa oce'qeHor Ha cJl' 65' flourro je

p, : + u " -':F : @ r - 3y'J) cm', ao6uj awo: V : (t6 rs V t * 36) cmr ry 5I cm 3.

J-l

87. flomlo cy gnjarouane pov6a uoprraaxe uelyco6xo rr rronoB€ cG, TorpaBoyrnor rpoyura ABO (cn. 37 ) rrparyxaBa crpaHnqa ponrSa: a - 5 cm.

wCn. 36

Poraquoxo reno npeAgraBJba EaJLaK rojn je c jeAre crpaue ns.ryEreuftyT9M, a c,qpyre crpane My je ra ucra KJma nprrAo.qara. npeMa roMev:yv::h2na:ll5,2ncm3, florpmxxy o6paryjy oMoralr Barbr(a rr ABa oMoraqa rcytre:P:Mu*2Mp:96rcrrf .

88. Oapelrrrro rpecerce npaBe oa (oopAnnarrM oc{rMa.3a r:0 ao6lrjanro:4 y - l0,na jey: Si2npecerca y-ocou. 3a y - 0ao6njarvro npecer ca.r-ocoM: x :10/3.flouohy oAceqaxa xa4prajuo npary (crr. 38). .{o6njarvro npaBoyrnl rqyrao OMN.

a) MN2:OMz+ON2:9, oo"*rr" i" AN:2j:4]tp"*."" oAceqa(.36- - 6 66) Tpoyrao OMN nwa rroBprrrr{Hy: P:2516. Mefyrnu, axo noBprurry

Tpoyrna rrrp43uMo npeKo xnnoreHyre n rrqi o4rorapajyhe Bacr{He, Ao6nhevo:

Cr. 39 Cn. 4O

ce u3 flpaBoyrnor Tpoyrna A.gu \ctt. 37 ) rBpaqrraBa cTpaHr{qa pflorpruaxa pov6a je P:dr.dzl2:ah, oAarore je i:4,8cm.

D

1 t25 25

- IvtN-OP-- P, ognocno: -. - OP: - r oanrur€ je OP- 2 rpaxeno oAcrojase.2 2 6 6'n) Poraqujona rpoyrna OMN oxo MN no6njavro ABe r(yle ca 3ajeAgrrrroM

6arou nonyupeqsrxa r:OP:2 (cl. 39), na ie: V:l rrnhr+! r2trhr:55

I 25, t 25 50zs- - r2rc(hr+ir). Kaxo je hr+hr: MN::;, 6rhe: V:-:.4r..11 :--." .J 6' 3 6 9E9. a) O6a Aerra Barbxa nvajy saje4nu.rKy Br{crxy (rncnny rarra), na ce

rsrxoBo 3arrpeMuHe oauoc€ xao rroBprrrtrHe AenoBa xpyra xojn .tuxe 6a3e osfixrena. Behn oAceqa4 rpyra je s6up uoapuuua 314 xpyraull2xnaaparacrpaHnqe3lrr: Pr:, r27s + : rz: . t2(3r+2)

-c.n.40. Manr Aeo rpyra je: Pr:rz r-pr-1'424:; 12 (n-2). flpeva rorue: Vr:Vr:Pr:Pr:(3r+2):Qt-2).4

34

I61 V, t V : I 12 (3 rc + 2) : 12 rr : (3 zr + 2): 4r x ll,42z l2'56es0,91' 3naxx, mn-

peuuuaZrnlxocnr'pvEtruxll'o 9lY"o,q 3anpeMEffe Ba-nxa,aV"ienpn6'nrrcro9f o.4san-peMarre BaJbKa.

90. a) Te'.iurraMP je.qnaxaje uonyupe.rxrxYrpyxrrue (uu,ur Ct- 42. Cn. 43

ia 41).'6) KoucrpyutuuMo nonynpeqsnr OA Tpoyrao OMF ie jeangSocrpaxurar'

na rpoyrao MNP uvra Bllcrrv n:aV1lZ r r.Io?p-Tryry P:a2l/3l'4.C;rpan'wreiiivlil uxp cy MN :2a, tutp: a n, nomro je I4NP npanoyurx rpoyrao (vrao

*"nnp""tu*oru je npar), gobnjauo NP2:4d-a2:3a2, ti' 'NP:ay'T'OAsIv.rpoyrna MNP je 0:a(3 +/ 3>.

n),{o6ujeno reno je ,Aoocrpyra Kyua ronyrpequuri?i 4{Tl2,oucnne2a'.ca n3BoAHoUa",a a v a/7. VlgpaqynajrvrO uorprnlrHy ',

3a'p€MtrHy oBOr TeJIa.

,, -+. o, n+.*, o ts :!d t + r; v : +(+)- ".:" :T1; O6ptu*"t oKo MP ,uo6uja c€ (yua nonynpetlHrxa 'NP:al/tsn Bscrse

MP:a. flperrra ror"re: I/r : Qtn, na je V:Vr-!ttt" : !'

91. a) Jelno reMo oBor rpoyrna je y-npecery lpaBe 3t+4y:12 Y

x-oce (cr. 42}.foje raura l(t'0) (91 /:-0.uo6ujan'ro x:.4)',{pyro.r-eue tpo'irrla ji npece'IFa ra'rxa upaue

'5 x'+ l2i * 6O-N 'x-oce' To je ravra .B (12'0)' Tpe-

ife rere ji upeceve11a-1oq1a AaTlx IIpaBIT..KoqpAunare oBe aaq(e [pe1craBipJy

;;r;'"o"rlru je4uauura, rora quge jeAua'Iuse Aarux npaBlrx. To je ra'ftac (-6, 7,5).'6; -d"uoutua

rpoyrrra je AB:8, a BrcI{Ha je opAuuara CD:7,5 raqre Cna je noBprurra rPoYrna P:30'-

n; -Crpanu:qi

AB ,r BC rpoyrna nlpavyxahevo rr3 npaBoyrnux rpoyrnoBa

ACD tr BcD.Taxo je AC =2512 n BC:39l2.Ilpeua rove, o6uu rpoyrna ABC ie 40.

r) Porauujor"r rpoyrna ABC oxo x-oce .qo6rja ce rerro :Tju tTplYlTnpeAcraBrba pa3firKy 3aIrpeMI{Ha ABejy rpaBnx xpyxHltx *tno'

?.ri{iry 3aJeA-

xn,rry 6ary ronynpeqgnKa r:cD. Tpaxexa 3arrpeMltHa ie: lt:3'(T)r'no-

-+ EY" ^":l (!:)'" @D-AD):+ (:)'" ^.8:,50r92. Peurerre Aare jeAna'rure je x: 50 cm: 5 dm. Zsso.qulruy xyrIe u3pa-qy-

"u"uro tnt, s2:12 + x2:ig, na je s=S,le dm. Ca.qa RMaMo: P:2rr21175' 'v 5 9

dm'z (sbrp noBplrluse nonytronre rr noBplrluue oMoraqa xyne)' ,[are je:

',- 2r3r , "::: l2rcdm3 (nnan crr. 43).33

B co. 35 Ct. 37 Cr. 4l

35

. B) 3AAAIII4 34 YIIEHI4KE VII I4 VIII PA3PEAA

93. .(a 6u a& 6wo rpoqr.r$pen 6poj, rvropa 6nru a:2, a Aa 6n 6poj Zbz uvraonpry n rpehy rlr46py , r'ropa 6nru b:6. 3aucra e62--676.

94. flpfixasaher*ro uorrrohy Benosfix 4ujarpar'ra cxylloBe 6pojera AeJbHBrrxca 4 u Aer;unux ca 6. flpecex oBI4x cKynoBa cy 6pojenx AeJbLTBLI ca 12. (NZS za4u 6 ie l2)..4o xrraAe u:lr.a 250 6pojena 4erlunux ca 4,166 6pojesa Aerbr.IBnx ca 6 u 83 6poja 4eruea ca 12.

.{arne, urraa yKyrrHo 250+166-83, rj. lrvra 333 6pojaAeJrr.rBa 6wto ca 4, 6uno ca 6. (Ogy:uuarvro 6pojeeeAerEuBe ca12, jep cy orlr y :6npy 250+166 paqyHaru4ea rryra). [ar.ue, 667 6pojena rasrrely rrpBr.rx xr{rbaAyrrrrcy Aerbr{Br{ tu ca 4, nr ca 6 (cr. 44).

95. O:naquuo ca r AaryM npne cy6ore (xje uapan 6poj). Cneaeha rapua cy-6ora 6rhe reK Kpo3 ABe HeAer6e. Taj aaryu 6uhe x*14. [aryv rpehe fiapHe cy-6ore je x*28. Kaxo Meceq HeMa Br{rre oA 3l aana, To x Moxe 6rrr caruo 2. flpelraro*re, 25. AaH oBor Meceqa 6lro je uouegersar.

96. Hexa je AeBoj.rfirla rojarce [pe3r{Ba Xopeaw fiofinJra a .uarta, Mapxoeuh b'ravra, neapoeuh c \afia v Ifaeaoeuh d \aira. Xopaaw (aevar) lr rberoBa cecrpaflofir.rJrrr cy aaje4no 2a uarta, Mapxoeuh rr rberoBa cecrpa 3b valra (cecrpa b u 6pat.{Ba nyra nraue, rj. 2 b), nrt. Taxo .qo6sjar\.ro ycrroB: 2 a-13 b*4 c*5 d-32, a, b,c u d cy dprrpoAnr.r dpojerrn Marbu oA 5. 36zp 6pojeea na neroj crpauu rroxe 6urx 32(uapan 6poj),caMo y je4norrr og cryvajeea: b:l u d:3, b:3 u d-*1, b-2 u d:4,b:4 tr d:2 (b u d cy o6a napnu lrnn o6a Herrapsrr 6pojeru). Ha npurrep, za b:l td:3 to6sjarvro 2a + 4c:14, oAHocHo al2c:7, rAe je a, c € (2, 4), a oea jeAuaqutaHeMa perre*a y cKyrry {2, 4}. IlfiorepoM ocrarrux cnyvajeaa yrnpgaheuo Aa je pe-urerre: a:3, b:4, c:1, d:2. [av.r;e, Ha r{3Jrery cy 6ate: Mapuja lletupoeuh, fosauxaIfaetoeuh, H.toua Xopearu u Aua Maproeuh.

97. Vronruo Marle mryKa 6yge nojegeno, Bnme he rax ocraru. Crora heuajnurue mryra [peocrarri aro ce re rrlTo rrpaocrauy 3acnre caMo rJIaAHr.rM rury-r€Ma r{Jrr{, axo je ro reuoryh:, rrrryKaMa xoje cy nperxo.qHo nojene rrro rr,ra*eurTyKa. 3aro ce ro y .qaroM cnyvajy lroxe nocrr,rhpr na cneAehr,r nauru. Axo Hajnpejegna r:ragna urryra noje4e je,quy rrryry, ocrahe yrynuo jolr 24 utryxe. Aro cag6 najjawx urryxa nojegy cBa(a rro 3 cna6tje urryre (vefy rbr{Ma r ouy Koja je Behnojerta je4ny urryry), onAa he ore 6r.rrn cBe cr{Te u Eehe sfirtte HanaAaru jeAua Apyry.flpevra roMe, y 6aseuy uoxe ocrarr{ najenrue 6 urryra.

98. Kyrnuqe ce Aere Ea 3 rpyre ogno 2 Kyrrruqe, xoje ce rvrefy co6ou ynope-!yjy. Taro ce rrocre iqBa Meperra rua y rojoj rpyur je rpaxeua Kyilrrqa, Kao fi rann je oua Jrarrrla r{Jrr{ Texa. y crre4eherra, rpeherr Mepeby, yrsp.quheMo roja je rpa-xeHa r(yfJlruIa,

99. Epoj ca om{cauoM oco6nnou uvra o1tuxibcabc, r1e cy a, b t c rlu6pe.Osaj 6poj je aerrs ca abc, rj. abcabc:abc' I C/il:ab-c' 7 ' ll'13, jep je I 00t::7'll ' 13. Tzrvre je rspfelre Aor(a3aHo.

36

100. 14: oco6nHa aeJbr.{Bocrl{ pa3Jrlr(e bpojena Sarryqyjer"ro ,qa Aorrficl{BabeMrpe6a ,qa 4o6ajervro 6poj 4erulre ca 7, 8 u 9, rj. 6poj geDun ca 7' 8 ' 9:504' Oc-

tii.* ai*"*u"6poja 623000 ca 504je 56, na rpe6a AorucaTr (a949Tt)6poj 448

nnu 448*5}4:rjSi. tl" raj nauru ao6ajauo 6pojese 623 448 u 623 952, Koju cy

Aerbr4Br.t ca 7, 8 Lt 9.

101. Tpaxeut 6poj je o6nuru 9.-__:,. flocle uper*errrarla npee qu6pe

4o6ujarrro 6noj a,= 9:10-n*9. Ao6rjJruo je4navuuv: 900 000*x:4' (10x*9)'x

Tpaxeuu 6poj je x:923 476.

1O2, Ia6acuo Ao6r.{JIr ry6 npupoanor 6poja rpe6a 6poj 2l uorrftroxnrr.rcan:212k3:'441 k3. floutro je nqersopoqn$per6poj, :affiyvyjenao aa je 6poj /<3

""n, oA 2 t ,"at+u oA 23. Lliruefy 2 n 23 nociois. cauo jeAan xy6,upr.Ipo4rior 6poja.

fo le it:8, na je k:2. Caaa ,qo6rjaNao: 2ln:213 pt:(21 '2)3:423' TpaxennuprrpoAr{r{ 6poj je 6poj 42.

a103. I,Is ab:|,.qo6ajaN1o abz:a, ri. bz:l' Aaxne, D:l vttru b:-7' 3a

b,I

b:1, uz b-a:ab rMaMo l-4:4' oAaKJre je a:;. (He Iraoxe 'lflrn

a-l:a, jep

o,qaBAer.I3rra3r{ .qa je -1

:0, ruro xnje uoryhe). 3a b:-1, ulvrarvro -1-c : * a, "li,

I-1:0, rtrTo raKobe ulrje rvroryhe. flpeva roMe, r{MaMo peurerbe: - u l'

104. oarvrax Br.rAr{Mo Aa je a+o v b*o, rj. c:0. ,{aJbe je jacno Aa Mopa 6I{rIIa :netarfiBatt, a b rro3rlTllBan 6Poj.

105.362p cnux uoryhux l0 e6nporaje 12.Fylyhu Aa c€ cBaKr'r oA 5-6pojeBa

Eerro3'aror Hp{3a Harra3l{ i q ,6^pu, ro 3e r6rap rpaxe'r'Ix 6pojena: 72 : 4:18' 36'par"

"uj""na 6poja je 15, i a6rap,q"i

"ujra*u-6poja je O,T1,j: cp_eArbI'I 6poj(rpehn

no renr,rvr.rnra) 6poj 3 (18-15-0). y ntlly:6apona ApyM (Z)Je 39t4! trpBor (HaJMa-

r6er r rpeher 6pbji f:1, ua je nper' o.q rpaxeurax 6pojeaa: 2-3:-l' OryAa Aob 4JaMo

g-pr" tiilj,Oj<-il-f . btt""tro 4o6zjarvro qerBprrr Ir rlerlr 6poj (5 u l0)' ,(axre'rpaxenr.r 6pojeru cy: -1, l, 3, 5, I0.

106. Ep:una Apyror 6lrqrrKrlrcre je I,5 nyra neha o,4 6p3fiEe npeor, rpehn je 2rryra 6pxr.r o,q npsor x verepru je 2,5 rtyra 6pxu o-A-npsor' 3naYr'r, AoI( rIpBI'I Eaqr{Hrl

jeaan ipyr, apyrl4 HarruHH 1,5, rpeha 2 u uetspln 2,5 rpyra' a Kaa npBr't ot{uxKnr'Icra

3aBpul[ Apyrl{ Kpyr, ncroBp;M;Ho he .qpyrf 6zquxnracra 3aBpfiIrTrr rpehr'r rpyr'rpehn he

^si"pfiui"- 'rerBp;[ xpyr n tet"pr" he sanpu1'arr' rlerr'r Kpyr' ilazhe cE

csfi Hahu y saje,qnnKou noJra3HoM rroJloxajy. 3a ro apeue je npau fipetuao - km'

a KaKo My ga I km rpe6a 10 Mrilryra, sarry'ryjerr'ro ,qa.!e ,qo oBor cycpera rrporrlno

6 lruuyra n 40 cerynAu.

107. y 15 MuHyTa urla 900 ceKyrrAa r{ 3a TO BpeMe IIpBI{ IUIIIBaq npeIIIIrBa 900

MeTapa'aApyrE[peroIIIBa900.0,9:810MeTapa.,(axle,n-palrIIJIIIBaqJIpe[JIItBa6ug"" tir"o l-8 nyti (9OO : 50: l8), a ,qpyru npennxaa 6a3eg 16 ryra n jour l0 t'rerapa(810: 50:16 ca ocrarxoM l0).

Ctr. 44

37

,{or cnopr.rjr rrJruBaq flpeullrBa jeany Ayxuny 6arena, ,qpyru npenrtna jeasy

4yxuuy l.r jour 5,55 m. Ilpeua roue, clrrypuo je Aa he ce y roKy cBa(lrx 1-6 npemura-

"i*a 6at"*ra oA crpaHe Cnopujer oBI,I rrrlt{Bailn cycpecrl{ no jeaaurryr. ocraje Aa cejour yrnp4rl aa nu he ce oHr{ cpecru r.r Ha cra3r.r o.q l0 m, na rojoj cnopr.rjr.r rrrr}rBarr

3aBpllaBa crOje nar.rna6e. V csaxONt HenapHOM nO peAy [peIIJII'lBaBaI6y IIJII{Baq

ce rpehe y cMepy y rojev je rano'reo rrJrr'IBarbe, a y flapHoM ce epaha Ha rroqernycTpaHy. ,{arne, cnopuju rrJl.rBaq ce xpehe y floqeTgoM cuepy (ceAaru,saecTo IIpSIIJII{Ba-

Ba-me), a 6pxr ce npaha ra trorlerHoM nonoxajy' Onrl ra,qa nrueajy y ucroM cMepyu jour cy upta roue Ha cylporlrlrM crpaHaMa 6arena (cnopujfi 3arroqnme' a 6pxfi3aBprrlaBa rperrJrr.rBaBar6e). flarne, osAe Hnje 6uno cycperalba, fia cy ce cycpeJll4yrynno l6 ryra. cervr rora, y MoMeHTy ra4a cnopnjr firfiBarr 3aBprIIaBa,qeBeTo rrpe-

IrJrr{BaBarse, Ha CaMoM rpajy ra cycTl,Ixe 6pxu (:arpufana cnoje AeceTO l1peffI}rBa-sarbe), na ce y roM MoMeHTy jour jeanorvr MI{Mor'Ila3e. Euno je yKyrrHo 17 uuuor-Jraxerba.

1l108. 3a jeAan Aan rrpnlr paAHr{r( ypa,qilo 6u - nocla, Apyrrr

15 ' a cBa rprl

1paArrnra ypaAe 3aje,qno 3a jeAau ,uan i nocna. 3na'rrl, rpehu paAnux 6r ga je.qan

1111rraH vDarrr4o .-: ^- nocra. oryAa larruy'ryjevo aa 6ra rpehu paAHr'rK

5 10 15 30

3a 30 AaHa caM 3aBpfiI{o oraj uocao.

109. y 16 kg cynor rpoxla ltMa887, cyoe lrarepuje (6eg noae), rf,ro r{3uocrr

16 ' 0,8S kg, orurocrro 14,08 kg. Oso qunr,I 2O)( ot yryrHe Korrr{rmHe cBexer rpoxba..{arne, ceexer rpoxba je norpe6uo 5 ' 14,08 kg, urro l{3rrocr 70'4 kg.

110. Cyea uarepnj a .lril:nvt 4Oi( oA Mace [oceqenor cra6ra, a ro ie 0,4'2'25,o,qEocHo 0,9 rona. Haron cyrrerra BJraxHocr I{3lroc[ 5O/", t:tto 3naqll Aaje ronztnui soAe je.quera Korrtlvttnr{ cyee uarepnje. CneAlr Aa je Maca cra6laHaKOH Cyllerba }t3uocI,IJIa 1,8 rona.

111. Orna.rlrNao ca x ro$vna crapocr cecrpe r{ ca 2x Mojy crapocr' y EpeMe

KaAa caM 6no oA cecrpe ABa rryra crapl{jl{. Cala ia r'IMaM 4x ro.ql'rHa' a uoja cecrpa3x roAr*ra. Kpos 15 roAI,IHa nvralny 4x*15 roAr'IHa, a cecrpa 3x*15 ro.uusa. Taaaherro uuarr iaje4no 7x*30 roAr{Ha, urro je jeAuaro 100 roAuna. Taro .qo6r.rjalroje4naur.my 7x+30:100, oAaKne je x:10.,{axne, ueura je 40 ro,ulrua, a cecrpr 30ro,qrrHa.

112. flyrnrr rojr je rlorra BpeMerra urnao 6p:unou oA 5 km/h npelrao je5_4I nyru Behou 6pruuoM, ? = nyra MarboM 6psltxou. Apyrra je rehom 6pruuor*9'9

rpe[rao rrorroBl{Hy rryra. Aarae, npeu je sehn Aeo rryra rlpeulao nehou 6p:rauov,ua je g6or rora crr{rao y Mecro .B upe 4pyror rryrul4xa.

113. Axo ca x km osuau{vo pacrojarre u:rrefy wecra A ll B, ,qo6rheMo

jesxarr.rny: f : AO + f : oo + | : +O : Zl, roja .qaje perreee r: 1440 km.

38

114. Axo ca t qacoBa o3HaqI{Mo BpeMe 3a roje je 6uqr'rrnucra crr'Irao r43 MecraB Ha rtocr, onAa je rrpBor AaHa 6aqurnucra crr{rao Ha Mocr 3a (t+2,5) qacosa. HaocHoBy rora cacraBr4Mo jeAuaqnuy: 8 (t+2,5)+10 l:38, oAaxne ,qo6rjavo r:l.rac. B{unxruicra je npeurao npero Mocra y 14 vacooa.

115. Aro je 6psr.rna sosa v, oHAa je 30v:300, na je v: l0 m/sec. flpelra roltre,Bo3 ce Kperao 6p:ruon o,q 36km/h. Ayxrua nora je d:10'15:150m.

lll116. a) +PMQ-- 4PMS+ 4SMQ:Z 4XMS+1 {sMY : - 180":e0".

6) Kaxo je PQ tl XY, cneayje rc ie 4SPM:4PMX (nalrsrvrenu.tru yruoer).flonynpaea MP je cnue'rparra yrrra XMS, na ie 4SMP: 4PMX..{arne r'r 4SPM::4SMP, na je rpoyrao,SPM je4uarorparu u SP:SM (cn. 45). Ha rcrlr naqusAorasyjevo .qa je rpoyrao SMO je.qHarorparu r.r Aa je SQ:SM. OryAa garrsy'ryjeNro

aa je SP=SO, ra je raqKa S cpe,qraurre ayxu PQ.

C:l'. 45 Cn.46

ttl.a) V rpoyrny ABP te 4ABP+ 4BAP:+ (4ABC+ 4BApl:l.rao':-22:90" (4ABC u 4BAD cynnev.enrur.r cy, iep cy ro cyce,qHli ynroBu napalenorpaua),na je 4ABP:90" (u. 46). Cnrvuo ce .qoxasyje Aa cy il yilroBr.r xoA TeMeHa Q, R u Supanlr. flarrte, qerBopoyrao PQRS je npaBoyraonltr(.

6) Hera je M npeceqHa rarrKa cr4Merpare yry.a D r{ crparffqe AB (cn. 46).Karo je AB Il CD,6uhre 4AMD-4CDM (nauzueul{qHr.r yrronr), na jeu 4AMD::4ADM.,{axre, rpoyrao ADM ie jextaxorpar u AM:AD, a raqKa O je cpeaaurreocHoBr{qe DM (nucuna rroJroBr{ ocHoBLIqy jeguarorparor rpoyrna). Cnuuro je ScpeAr.rrrlre ayxu CN. Karo je BN:BC, sarryuyjeuo Aa je MN:AB-AD-BC,oAHocHo MN:a--2b. (Vnenu cMo o3Hare AB:CD:a u BC-AD:b). Kaxo jeQS cpearra Apr( rparle3a CDMI{, cneAlr Aa je

llOS : t (C D + M N) : - (a* a-2 b) : a- b.

118. Ha npolyxerxy crpaur,rqe AB, uta A, oypeguuo rauxy d raxay ga jeAF=RC (ctr. 47\. flourro je AD:CD, cnegyje Aa cy npaBoyrnr{ TpoyrnoBltADF u CDK fiolynapnra, na je ADF=4CDK. Axo yne4eno o3gaKy: 4ADE:8,

Ino6rjar',ro 4CDK== (90'-8).

,r.

39

llgpaqFrajvo yrtore EDF n EFD:

r84 EDF=8 +, (90'-8;-45. a- .

IIs npaaoyrnor rpoyrna ADF walao:.

r84AFD:90' -7 (90"-8):a5" +, .

3naw, yrnonu EDF w EFD fio4yp:aplrra cy ue$yco6no, na je rpoyrao EDFjegnaxorparra u DE=EF. flomro je EF=AE*AF=AE*KC, cne.wr .qa je DE=*AE*KC.

I21. Hera je rarrra ,S rleHrap I{ r rorryrrpelrHlrK Kpyra roju ao,4lrpyje rpr{ Aaranony(pyra Ha orr[caur{ Harr{rr r{ nera je ra.rra C IIeFTap jegnor oA yrrrcanr.tx [ony-KpyroBa, Tana je SC:r*3 u O5:6-r. flpmrernuo fluraroprany reopeMy EarrpaBoyrnr rpoyrao COS (cn. 50). Ao6rjauo jeAna.{rury: (r*\z:32*(6-r)2.Penterre ose jeAuaqrue je r:2. pC

c3 o 4 xE

Cn. 50 Cn. 51

122. Ha rpoyrao ACF (vngeru cn. 51) upnr"reur{Mo [uraropl'IHy reopeMy:drz:(ajx)zth2. Vlz rpoyrta BCF je h2:bz-26,2, tra 3aMeHoM Ao5ujallo: drz:-(a+ x)2 + b2-x2, o.qrrocuo /t: sz + bz !2ax (l).

Xr rpoyrna BDE uvrav'o: d2z:(a-x)21h2,fia KaKo je hz:fi2-az, .4obl{-iauo: dr2 :az + bz--2ax (2).

Ca6uparreru jeAnaxocrra (l) u (2) Ao6ujaMo: dr2ldrz:4zab2+a2+b2, rtroce Il TBpAr{rro.

123. tlacn. 52 rrurarrro : CO:1 , CE:L u c:2tc. V npaaoyrnorr rpoyrny

ta\z 2' 2

tb\,ADC uwarr'o: t"z:fz+\r) r y rpoyrny BCE je: tb'z:oz+\t) , na aobt'tjeno:

1555t a2 + t b2

: a2 + b2 + - (a2 + b2) : O

* : n(2

t ), : V. 4 t c2. Taxo ao6ujauo jeana-

KOCTa taz+tb2:5tc2.

fr

{

A

Ctt. 47

119. Vs xoncrpyxqrjy omrcarry y rexcry 3aAarKa rpe6a xoncrpyucalfr fi 3a-je.qnn.rry rarrreHry AD \arux xpyroBa (ADLOtOr, cn. 48). Jlaxo je yrBpAl{rr.r Aacy rrpaBoyilrn rpoyrJroBr.r OyAD u OyBD nolyaapnn uefy co6oM, oAaKJre cfieAyjena je AD:BD. Ha ucru Haqr{H, rr3 rro,qy,qapuocrrr rpoyilroBa O.AD u O,CD, yr-rpguherro aa je AD:CD, tra cy rpoyilroBu ABD u ACD jenuaroKpaKa. AaKrre,Kpyr rpequuxa BC ca4pxu rav.ry A, na je 4BAC:90'.

flocvrarpajrrro ca.q rpoyilrooe ABD u ASN. Karo je ADLAS v ANLAB,crreAr{ Aa je {N,4S:dBAD. Ha r4crr{ Haquu je pr 4ANS:4ABD, na raro je4BAD:4ABD, ro J'e N {NlS: {lNS. Cavr.rv rrau je ra IS:SN. VnopebyjyhuyrtoBe rpoyrnosa ACD u AMS.qorra3r.rMo ,qo 3axJbyqKa rc je AS:SM, sa je AS::SN:SM, rrrro ce rr rBpAr.rJro,

120. 3nauo Aa rexrrmre TAenu rexumny AyxAM y pazwepu2:1,'rj. AT:TM:2:1. Karo je r;lparra puapaJrerura ca BC, To Ha ocHoBy Tanecose reopeMeI{MaMo Aa je raxofe AB1:B1B:2:l u AC;C1C:2:1.(cn. 49). CreAu ,qa je B1B:4 u C1C:6. Cen rora,lr3 crl[rrurrx rpoyrnoBa ABC s. ABtCr AobrjaMo

2BC 16 'BC : BtCr:AB: ABt:3 :2, na je B1C1:-:-.

33CneAu Aa je o6ur'a rparre3a BCC$I ieguax 8*4*

16 I-t.--]-6:23 -cm.'3

3

40

t,lls

Ctr. 52 Cn. 53

124. Haqprajrvro raqKe C u D cuvre'rprl.rue ca.qarrM TaqKaMa An By oAHocyHa (oopA[Harrrr4 loqeraK (cl. 53) n no4noxje E nopvane uz A sa rtpasy CD. Bu-AnMo Aa je h:A-E:6 u nj:CO-q. Karo je -DE:8, ro je ADz:g2+g2:100,na je AD:10. Taxofe je u SC:LO. Iaxne O:2AB+2BC:28 n P:AB-. h:24.

Cr. 48

. _ !21 Hexa je 14 vepnu 6poj crpannqe AB,. a 13 rraepuz 6poj crpaauge AC(cr. 54). Koncrpyu'uvo Brrcrr'y cD u *,eu rrrepnl.r 6poj ognaqrMo ia i. tlexa je x,gyxxua ry\y AD. flpuuexmro Tluraroplruy reopeMy Ha rrpaBoyrne rpoyrnoBeACD u BCD: hz:132-x2. u h2-152-(14-x)2. OAae.qe ab6"ii*o je.qniqrny:132*x2:152-(14-x)2, vuje pelrerre je ;r:5. Ca4a rarpavyuu*o. 7rz..1i3z_j2::144, rj. h:12, na j" p:!.U.n:aq.

2

126. a) Tpoyrnosu CDE a CDM (ctr.55) noay,qapnu cy, jep nrvrajy je.qny sajea-

Hxqxy crpaHr.ruy (crpanr.rqy CD) r.r no jeaHy roayaapHy crpaHr.rqy ( Cu=C*=!\.--'\----' :3l'a gaxsahenr.r yrrroBr{ (xog_reuena C) cy 60". Ory.qa cre,qr.r rc ie in=Opt ,r Aa je4CDM:4CDE:30". 3naur,r, yrao MDE uzaocn 2.30., oAnocno 60o. WzrroAy.qapxocrr{ lyxu DE u DM cne4u Aa cy noAy,qapur,r yilroBr.r DEM uDME. Kaxo je yrao MDE oL 60o, cneAr Ia cy n yrrrovn- DEM u DME no 60".Cavnu rlrM, Tpoyrao DEM uopa 6Nru jeguarocrpaHuqau.

6) Tpoyrao CDM je ronoBr{Ha rpoyrrra ACD. VIz rroAyAaprrocrr4 rpoyrnoBa

CDE u CDM urcayje ra je: p1:2.!:p.z

r) Tpoyrnoeu MNC tr ENC iloqy1apnrr cy rorroBr.rnr.r rpoyrrra BCE, narpoyuoBr{ CEM v BCE uuajy jeauaxe noBprnr{He. Tpoyrao ACD uia 2 nyra yehecrpaurrqe oA TpoyrJra BEC, na ulr:a 4 nyra nehy nonprurauy. Cne4yje, Ha ocnoByyrBpbeHor rroA 6), Aa qerBopoyrao MCED r.rua 4 nyra nehy nonpurrny-oA rpoyrnaBEC, na rpoyrao MED uvra rroBprrrnny 3 uyra aehy o,q roBpuftHe ipoyrni EnC"

.. ln. Tpoyrao ABT (cn. 56) no,qenen je ua 4na rpoyrra jeAuare noBprrruse(ie,qnaxe ocrroBxrle AP:PB u sajegn'yra rucnna ZSn: rervrena-T). lP.op.*aiaMN

fegnara je rrorroBrrHn Bncr4He CD, rj. MN : + h". (Ayx MN je cpex+anlrnuja rpo-2

V:lg-4CO.LDrycr.*ry TSrpoyrta ABTwzpatynaheuo Ha ocr{oBycrrr{quocrr4 rpoyrrroBaAA\ " l7S (rpoyrnoBr.r ca napa.nennnu o4roaapajyhur,l crpaur.rqaua): AM': AT::MN:7S. Kaxo je, ua ocnory oco6una rexr.lunr.rx 1yxu AM: AT:3:2, go6n-

Ctr. 54

I3:2: _ l":7S, oaarne je2

llr

Cr. 55

ITS:t hc. .(arae, nonprunHa rpoyura ABT je:jawo:

P':;c. "

hr:; P,qac. Ha ucrr.l naur.ru goblrjaMo ,qa cy rroBprrlrue rpoyrJroBaZJJ

42

IBCT a ACT jeauaxe

= Plpc. Kaxo je rloBplruna cBaKor oA oBltx rpoyrnoBa5

trpenoJroBJborra Texr{rrlEuM,qyxrrMa, fr3fia3il EaABC ua 6 aeroea, oA xojvx cBaKx rrMa noBpIrJI4Hy

Cr. 56

t'exrurre Ayxrr AeJre rpoyraoI cm.

'N-I=N/-x Fr,r,i+.Jtr \Fffi#rt \re;

Cn. 57

128. a) flourro +PCR:90' [peAcraBrba yrao KBaIpara, ro crrMerpaJra scoBor yrJla ca.qpxa 4njaronany rpaxeHor KBa,qpara. Oryga npecewra rarlxa crrMe-TpaJre .rc rr x[rloreHy3e AB npe\crasna rertrc Q rpar(euor KBaApara (ffi. 57). Kort-crpyr{rrrrMo pyxu QP LAC il QRIBC, Taxo go6r.rjauo rpaxeHr{ KBa,qpar.

6) llgpaqyuajMo crpar{}rqy KBaApara (osnauNruo je ca x). Tpoyrtovn ABCtr QBRcy cnn'ruur (+C:<R:90" u d.B je gajeAuraqxu), na je BC:CA-BR:RQ,oAHocEo 7 13:(7-x): x. O.qasAe je 7x:21-3x, na je x:2,L flospgnga rsaA-

para je xz:4,41,a rloBprrruna rpoyura. i"!-rc,5.,{a4ne, norpururra KBa,qpara^/.

rpe,qcraBrba .4,41 : 10,5:0,42, oauocyo 427" ol, rroBptrIrrHe rpoyrna.

129. 9ernopoyrao KLMN oqfirre.qno rrpeAcraBrba rrapiuenorpaM, jep jeAQ ll CH u BG ll DE (Moxe ce Aora3arr.r 4a je .rernopoyrao KLMN xna.qpar)..[onynuvo crrr{Ky rpoyrnovnua BEP, CFQ, DGR u AHS (PB ll KL, CQ ll LM,urA., cJr. 58). Onn rpoyrJroBr,r rloAyAapr+{ cy uefyco6no u fio,qy.qapur{ cy carpoyrnoBl{Ma AEK, BFL, CGMtr DI1N. O.qar.qe sarny.ryjeuo aa je :6up uoep-trilrHa qerBopoyrnoaa KLMN, KLBP, LMCQ, MNDR u NKAS je4nar uonprmlnuAaror KBaApara. Karo cy oBr.r qerBopoyrnoBrr [o,qyAapur{ rr.lefy co6orra, cnenyje

ttIa je P*tr*:= P,csco:- - 702:2O.5 ""-- 5

P'Cr. 58 Cr. 59

43

130. a) I,Is noBpr',{He p:!A+q,crvre*yjyh' a:2b, p:i6uh:4,to6n-z

javo je4navuny: 36:6b, o,qaxne je 6:6. Aaxne, a:!2 cm. v nparoyrnov rpoyrnyl!.D (cn. 59) nprmeuumo fllararo,pnxy reopeMy n Ao$ujavo c:l/9+16:5 cm.Obuu rpanera je O:aib+2c:28 cni.

6) .(a oucrrro Ko'crpyr{cann rpanes ABCD rpe6a uajnpe (orrcrpyr{car[rrpaBoyraonux CDEF, a 3arrrM rrpaBoyrne rpoyrnoBe-AED fi'ECF.

131. I,Ir 2zrr*l:2r (r*r) go$rjev ot n:!:0,t5915 verapa, rru npu6-'2rnuxno 16 cm. Muul he ce naro uporyhu EcnoA o6py.ra.

r) 3AAArtrr.r 3A yrrEHrrKE vrrr pA3pEAA

132. Axo cy x fi.y qu$pe 3aAaror 6poja, uoxeuo cacraBurr{ jeanarrry:I00x*y:9(10x*r), oAaKne je l0x:8y, oArrocHo *:1 ,. flpeua roue, x:4)./:5. Tpaxenr.r snoqu(lpeur 6poj je 45.

^ 133. VIz Aa'rnx ycnoBax as:'l crelv: aa*ar:J, na je (arfar)*(ar+ar1:7.OAasae 4obujevo (a2+a)+za2+at:7, rj. Sariza't:T-. ' ' ' z' ' \-'z t.

flocaegr*a jegxarrrrna, y3 rrperrrocraBKy Aa cy at v, az npr{poArrr{ 6pojear, sa_Aoeorrerra je caMo 3a a1:2, ar:1. Vcneg rora iei ar':3,'an:,i, a):7,

"-ifu*"""s6np je 28.

. I34..Hexa cy a u b nBa 6poja, a>b, xoju rcnyrranajy rocraBrb€Hu ycnoB:bb"- Z:3.t. OAas,qe,4o6zjavo a:2b, o1gLocuo a:b:2;1.

135. Aro Ee[o3[are 6pojere o3uaqnMo ca tn v n 4o6uhenro ycnoa:mz;-yz;=4!5@>"). Oraj ycnoa MoxeMo rrarrrcarr y o6nury: (m_n) (m'*n):: I ' 5 '7 ' 13 . vrmvrajyha cse xor"r6z'arluje uNru'raqa

''a .qec'oj cipanr.r j"i"irocr" u

soAehn payy'a ga je m-n>o (iep ie m> n),4o6uhervro cneaehe ""ct"*e n""i.p""*je4ua.runa, vuja peurerra cy rpaieur 6pojeru:

137. Axo 6pruny TOKa pe(e o3rraqr.rMo Ca x, A 6pruny rcojy qaNlaq [ocTI.Ixe6er yruuaja ro*a pexe o3HaqfiMo ca v, ongaje v*x:2'jepje 6prura xperarba qaMlra

ntrguoAuOrr3r{OCI{JIa 2 kmlh. Ocav rora, 6p:uue KpeTarba naMIIa y3BOAHO l't H1I3-

v-x 2BoAHo croje y pa3Mepr{ 2;3, naF ;n.:i.

Peuraeajyhn 4o6rjeuu cncreu je,u-

IHar{ilHa Hara3nMo rc ie x: , kmlh.

138. Aro je .4yxuna rryTa x km, olr.qa npema npao6rarlloM _[JIaI{y Ayxlrse

Aeonr{qa rpujy 6puri,qa croje y rpoAy)r(euoj pa3Meprr xao 6 : 5 : 4' .(arle, upoa654

6pnraaarpe6ana je,qarpaauit*'apYra 15xkmu

rpeha - xkm nyra'

flperrra n:uerregoM rrJrauy AyxI{He rnrpabenl{x .qeonrrqa crajahe y paslrepr.l : 5 : 4'

3'a.rri .qa he npna 6prraAa rgrp"o"tt "1U t km, Apvra * x km u tnena fr t tm

rryra. flo HoBoM nnal{y caMo upBa 6pNraAa je lo6rla Mar$y AeoHr{qy, a trpeMa

ycJroBy 3aAarKa ro je sa 9 km tvrarre. OAas.qe ,uo6ujarvro jeAnaxocr - r:- x * 9'

Peruerre je,{na.rfiHe je gyxr,rna nyra'Kojr'I ce rpaA}r' a ro je x:30 km.

139. Hena je xy<x+y<x-y.lIz x+y<x-y Ao6rjaMo y<O.VIt xylx*!fr3na3v x (t-y)>-i. Xaro je npeua nperxoAHoM 3aKrbyqxy -y>O,-utelu la ier 1-y>0, u iuurlol-t"nn je x>0.-Crm'rIrb, aro je xy<x-ll<y-x, go6iljal'l.o Aa je

.x<0 r.r y>0.Tpaxenu rroAcKyrr P upegcrannen je y roop4uxariroj paonu [tpa$Npanou

noBprrrr{HoM (cn. 60).

v

i:tlijii

Cr.

'AgM EBCtr. 62

#i|ltott (taje: m:228, n:227),

ni:='u, haie: m:36, n:20)

nii,=;t (mie:, m:48, n:43),

" f,ipl| (rcie: m:24, n:tt1136. Hera je ggjneha lF.r!pa^a. Tala je 100a* 106 + c + t0|a*t0c*b:1444,

oguocuo:-20.Oa+ll (b.+c):1444. .Ory je.qraxocr MoxeMo Harrxcarrr y crregehervrobnfiKy: ll (b{c)-Q!:2OO (7-a). floruro je neea crpaua jeluarocrr Aerusa ca11, cneayje Aa je r ,qecua crpaHa AerbuBa ca t 1. To je rrro.vni iaro- iio F-l _o:0,o,qHocuo axo je a:7. Ca.qa ao6rnjarrao Aa je b*c:4, na ie b:3,, ":{.44

60 Ct.6l

rn6O140. Ayxuna :Ilyra AB rr3Hocr t:1* :h, HerajeHerlo3HaraAyxI{Irat'

,[,aru ycnon MoxeMo oBar(o 3arrrcaru:2x:24-2x*/ (cn.61). O.qaB,ue je x:6+tt,rrrro r43Hocl,{ npnEnuxno 9,14 cm'

a*bl4l. Bucn:rra rparle3a je h:2r:4 cm. lle rloBprrruHe o: , ft ao6ujevo

2oa+b:T:tO. flpasoyrfir rpoyrrroBrr AMS u ISP noAyaapru cy, rrlTo ce naKo

h

45

lWl

rrpoBepaBa (c.:lr. 62), na je A4:AM:4. Co"""o ao6ujevo Za je pD:DX:b .2'2'.[axne, xpax rparre3a n ":t*X:+:t cm. r.rg npaBoyrnor rpoyr,,a BCE

novohy flnraropure reopeMe r.r3paqyuaBaMo, B E :+ : / g, - h, : y' 25 - 16 : 3,na je a-b:6. Kaxo je aIb:10, crreArr Aa je a:g E b:2.

.l4l..Tpaxe'd.a tnuuja uoxe 6rrr r,r3JroMJberra nu.f'uja BB1D1,[Jr[ r{gJroMJberrarruuzja xoja rp€ceqa rer.rqy .81C1 ptru rtB't.4' gCr. Aa 0"""'o io"'""" ;;j;p-rhy

".-roNrrleHy.rnuujy, naqpraheruo Mpexy KBaApa, jep na Mpexrr oBe "rrrovr"e""

,rni"";e-nocrajy" ayxu. Ha cn. 64..1rpoyrll B-81i1;,rusrrNro rc je nDr;2nir^i'nrot..(axne, rpaxeua tnnuja jZllt yl !41'. xopucreRu nuraioprrrry r""p-"i"v v "pu-BoynrLM rpoyrrroBr{Ma BC D 1' u B D D t tofl;g'iawo i (B D { )z : 42i S, : SO, <h b ryl _:72+52:74._larryryjeruo aa je :rpaxena nnnrja Ayxrue BD=y'7+. lzlg cnulrrrilxTpoy'rroBa BQC', n C', C,DJ [3paqy'aMo ra ie ns."Ri cc1 .noM n"""j0tnr no.qlr"exay o/qHocy: CC' : C' Ct: BC: CtD r:4:3.

ZADACI SA SAVEZNIH TAKMIEENJA TZ MATE]VIATIKEZA UEENIKE VII I VIU RAZREDA OSNOVNIH SKOLA

I SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd, 14. VI 1970.)

Yil I VIII RAZRED

1. Desifrovatijednakost ;6;d: (5c*l)2, tj. naii takav detvoro-

cifreni broj ibcd, koji je jednak kvadratu broja (5c* l). Slova a, b, c, doznadavaj.u nepoznate cifre. Postupak obrazloZiti.

2. Avion je leteo iz A u ts i to prvo brzinom 180 km na sat, a kadamu je jo5 preostalo da preleti 320 km manje nego Sto je ve6 bio preleteo,povedaq je brzinu na 250 km na sat. Na taj nadin je srednja (prosedna)

brzina aviona na celom putu AB bila 200 km na sat. Odrediti duZinu(duljinu) puta 0d A do B.

3. Milan je nacrtao paralelogram ABCD, zatim je oznadio tadkomM sredi5te stranice BC, a taEkom N sredi5te stranice CD, pa je ondaiza5ao iz sobe. Tada je njegova sestra Nada pri5la stolu i na crteZu iz-brisala sve osim tadaka A, M i i{. Pomozite Milanu da rekonstrui5eceo crteZ, tj. da nade i tadke B, C i D.

4. Kraci trapeza su 39 mm i 45 mm, a dijagonala koja je normalna(okomita) na duZem kraku ima duZinu (duljinu) 60 mm.

Konstruisati taj lrapez, pa mu izradunati obim (opseg) i povr5inu.

5. Povr5ina (oplo5je) pravilne detvorostrane piramide je Saz, gdeje a duZina osnovne ivice (brida) piramide.

a) lzraziti zapreminu (volumen) te piramide u funkciji od a.

b) Izradunati tu zapreminu za a:6 dm.

II SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd. 13. VI 1971.)

VII RAZRED

1. U sobi se nalazi nekoliko ljudi koji znaju bar jedan od tri jezika.

Sestorica od njih zn4ju engleski, Sestorica nemadki, sedmorica francuski,detvorica znaju engleski i nemadki, trojica znaju nemadki i francuski,dvojica francuski i engleski, a jedan zna sva tri pomenuta jezika' Kolikoljudi ima u sobi? Koliko njih zna samo engleski?

Cn. 63

I s 4 g 1p 4 yC;r.64 Cr. 65

143. n6gra Harr{Ibar;a rl flpocrrrrarLa soAa he 3ay3err{ xoplr3orrr:urag noaoxajC'D" ( c;r.65). Kono'q\'na rrpocyre re.rnocrr jegnara je uononran" ,uopa',"rr"-ruo*uurrju je ocull flpecert fipzrBoyraour{K c'D'D" c" na cn. 65. osaj r .qarn rarar rar,aajyJeAHaKe ocHoBe, a BilcfrHy HOBOr BrIJbKa uapauynaherrlo r{3 rlpaBoyrJror rpoyrnaC'D' D". Vnyrpamn'n yr.aoBrr oBor rpoyraa cy 30;, 60" n' 90", uale 16 norro"o"aj"n_

EaKocrpanrlqHor. rpoyrna. Crora je C,D,,:Z D,D,, u C,D,:C,D,,E:O,r,, n,

flpeua roue, ,,ucn*aHoBor Barbxa :" ,'o":9?:r'o, f:ro/J, u"uroo

rvrrna je Vr:n rz , : ,oo.'o {3 rc. Vrrnrajyhu nprbnuxme BpeArrocrtr y' l:t,zs nn:3,74,.qo6njaMo: Vt:3 621,5 cm3.

3anpevuna.qaror cy4a je V:10O,25.r:7g50 cm3, na je npeocraJra KoJrE-

qr{rra retrrocru y cyryy:v-! vr:6039cm3.

46 ,'. tf ?t, ltu w\'-'lto

47

-

2. Dvocifreni broi, sabran sa brojem napisanim istim ciframa aliu obrnutom redosledu, daje broj koji jikvadrat nekog prir"a".g u-i".

Naii sve takve dvocifrene brojeve?'3. Nastavnik dade udeniku da poderi jedan broj drugim. udenikdobije.kolidnik 74 i ostatak 22. ond,i izvr5i probu (d.;;fit;-;JmnoZi

kolid'ik deliocem (divizo.rom) i- dobijenom'proizvoilu. ao6u -*tutut,

pa.trko dobije 30214. -frje se srozilo. uienik je pri ovom -"oz.nj.i(prilikom.kontrole) u deliocu (divizoru) na mesti air.ri"u :.onu sesticuproditao kao nulu.Koliki su deljenik i delilac (divizor)?

4. P?t jy detvorougao ABCD. Konstruisan je paralelogra m DBCM.

Dokazati da je povr5ina trougra ACM jednaka ponisini aiiog-e"iuoro-ugla ABCD.

5-. Dgt je trougao lBC. Konstruisati pravu p paralelnu srraniciAB, tako da bude AD*EB:DE, gde je D 61ka pr.r6h t.alerre'pravep^:a 4q a ,E presedna tadka ptave p sa stranicoh BC datog trolugla.ObrazloZiti!

VIII RAZRED

1. Sest udenika (nazovimo ih A, B, C, D, E,/p) re5avali su nekizadatak-Zadatak su resila dvojica. Na pitanje:'*i p'r"iii, oni su oalipet odgovora, izjaviv5i da su zadatak reSili:

t)AiC; 2)BiF; 3)FiA; 4)BiE; s)DiA.u detiri od ovih pet odg,ovorajedan deoje tadan, a drugi netaian,

dok su u jednom odgovoru oUa Oeti netadna.Koji su udenici rebili zadatak?

ud-enik je zamislio jedan broj, s desna mu je dopisao 2 i takodobijeno-m. broju doda.o je 14. Broju loji je tako iobijen dopisao jes desna 3 i onom Sto je dobio-.go9uq je_ SZ. faaa j" tato OoUi:-"ni Urir:podelio sa 60, dobio je.kao.koriinik b-j ia 6 ve6i od zamisrjenot uroia,a kao ostatak - dvocifreni broj napisan jednakim ciframa"i to"takvimda je broj desetica bio jednak upravo ,"riri5["no* b-d:- - -

Nadi zami5ljeni broj.

. .3r-Vllina jednakokrakog trapeza jednaka je h, anjegova povr5inaiznosi h2. Pod kojim uglom se seku dijagonale iogiu;;;i

4E

4. U Cetvorougllu ABCD neka su M i N sredi5ta suprotnih stra-nica AB i DC; zati;m, neka se duZi MD.i AN seku u tadki P, a MC i BNu taEki Q. Dol<az.ati da je povr5ina Cetvorougla MQNPjednaka zbirupovrSina trouglova APD i BCQ.

5. Osnova (baa) prave prizme je pravougaonik sa stranicama 5 cmi 8 cm, a povr5ina omotaEa ove prizme iznosi 408,2 cm2.'NaCi povr5inuomotada onog valjka diji poluprednik osnove (bue) iznosi 4 cm, akozapremina tog valjka Eini 64/.zapremine date prizme.

III SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd, 18. VI l9?2.)

YII RAZRED

l. Chnovi matematidke sekcije u jednoj Skoli dogovorili su seda za vrijeme praznika svaki od njih napi5e po jednu razglednicu ostalimClanovima. Koliko je svega bilo Elanova u toj sekciji ako je bilo napisanoukupno 342 razglednie?

2. Prilikom pismenog radaiz matematike l2/"uEenita, u razredunije rije5ilo zadatak, 32%vilenitaje djelimidno rije5ilo, a ostatak od 14uEenika zadatzkje tadno rijelilo. Koliko je uCenika bifo u razredu?

3. Primenjujudi odgovarajude formule, uprosti (pojednostavi) iztaz:' ,e:I(4 d+5 b)212-14 a-5 bY',J2-168 ab (4 a-5 bY.Izvr5i proveravanje (pokus) ?z a=-1, b=-2.

4. 7-adanaje prava (pravac) MN i tailke A i B (sa iste strane teprave). Na zadanoj pravoj naCi taEku P tako da ugao (kut) MPA bude 2puta vedi od ugla IYPB.

5. U kvadrat straniae a upisan je drugi kvadrat Eiji vrhovi (temena)lein na stranicanp pnog, ali tako da stranice zadanog i upisanog kvad-rata Eine uglove od 30'e. Koji dio povriine datog kvadra.ta Cini povr$inaupisanog kvadrata? lzrazi taj odnoS i'u procentima (/).

5

6

2

YIII RAZRED

1. Popuniti prazna polja ove tab-lice tako da suma (zbir) brojeva a svakatri susedna polja - kako horizontalno,tako i vertikalno - bude 12.

49

q

2' Poletevsi istovremeno, helikopter i avion lete u susret jed,andrugom. u trenutku.susreta helikopter je preleteo 100 km *"np oaaviona i na mjgsto polijetanja aviona itigao je: sata poslije susreta. Avionje stigao na uzletiSte helikoptera I sat I 20 minuta porl'ij" rurr"iu. Naiibrzinu aviona i helikoptera i udaljenost izmedu njihoviir uzletiSta"

3. Konveksni Sestougao (izbodeni iesterokut) ABjDEF sastavljenje*$_j.eA.na59-trqt<9c Vawza. ACDF i dva jednakoti"ta i"iili ,qaCi FDE jednakih visina V:tz cm). stranice tog.ninogougla (mnJgokuta)su: lB:15 cm, AF:25 cm i FE:20 cm. Konstr,risite (konstirirajteiga u razmeri: I : 5 i izradunajte mu povrlinu (u dm).

.. 4. Brigada traktorista treba da poore dve njive, pri demu je je{nanjiva 99 povrsili dva puta veia od druge. ceo.prvi-dan svi triktoristisu.orali prvu njivu, a onda su se podelifi, pa je drugoga dana polovinabrigade dovrsila oranje prve (ve6ej njive, a itrtiga pot,oviria brigade oralaje drugu njivu (koja !., 19 zaboravite, dva puui riranja od f,rve). Ovadruga polovina. brigade nije mogla da dovr3i oranje druge njivej pa je. da bi dovrsio ostatak manje njive - jedan tra-ktoristi morao bratljos dva dana. Koliko je bilo traktorista u brigadi? (pretpostavlja se dasvi traktoristi rade pod istim uslovima i imaju istu produktivnost).

5. Z,adana je prava pravilna jednakoividna fiednakobridna) tro-stiana prizma Eija baza ima povr5inu 6,25 V 3 cmz.

a) Izradunaj osnovnu ivicu (brid) tog tijela.

. b) Qdredi omjer--(odnos) volumena (zapremina) zadanoj prizmiopisanog i upisanog valjka. (s istog visinom kao prizma). Da li taj:omjervaii za svaku pravu jednakoividnu trostranu prizmu?

IV SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd, t7. yI tg73.)

VII RAZRED

^-- - l. Odred_i..najma.nji prirodan broj kojim trbba pomnoZiti broj8316 da se dobije broj koji je kvadrat jednog prirodndg broja. Kojegbroja?

2. Posle sniZenja cena za 20f, za iznos od 240 dinara moZe sekupiti 1 _r_nelar platna vi5e nego sto se pre snfZenja moglo kupiti za 270dinara. Kolika je bila cena tog platna pre sniZenja?

50

3. Iz gradova A i B, Eija je udaljenost 250 km, istovremeno su jedan

drugom u susret krenula dva motociklista. Brsina jednog od njih je za10 [m/h veia od brzine drugog. Posle dva sata putovanja ostalo imje jo5 30 km do susreta. Kolika je brzina svakog motocikliste?

4. Ujednakokrakom trapezu srednja linija (srednjica)je s, a dija-gonala je dva puta duZa od srednje linije. Kolika je povr5ina tog trapeza?

5. 7-adana je kruZnica r centrom O i preinikom (dijametrom)AB:4cm.

a) Konstrui5i tri tangente te kruZnice, od kojih dve u tadkama ,4

i,B, i tieiu tako da joj deo (odsedak) CD izmeclu prve dve tangente budedugadak 5 cm.

b) Koliki je ugao (kut) COD2

c) Izradunaj povr5inu ograniienu svirn tangentama i kruZnicom'

VIII RAZRED

1. Uzeta su dva proizvoljna prirodna broja, pa su sastavljeni nji-hova suma, razlika i proizvod-(proaut0. Dokazati da je bar jedan od

ova tri nova broja deljiv sa 3.

2. Posle sniZenja cena za 20/" za iznos 240 dinai'a moZe se kupitiI m platna vise nego sto se pre sniZenja moglo kupiti za 270 dinata.

Kolifa je bila cena tog platna pre sniZenja?

3. U ravni (ravnini) pravouglog (pravokutnog) koordinatnog sis-

tema XOY konstruiSi pravougaonik (pravokutnik) ABCD,.alry 9-u po1-

nate toordinate triju njegovihiemena (vrhova) : A (-3, -l), B (5, -1)'C (5, 3). Odredi

a) koordinate detvrtog vrha D tog pravougaonika;

b) koordinate presedne tadke duZi AC i BD;

c) jednadine pravih (pravaca) kojima pripadaju stranice

i dijagonale tog Pravokutnika.4. Osnovice AB i cD trawza ABCD produzene su na obe strane.

Simetrale spolja5njih uglova (vanjskih kutova) trapeza-kod temena Ii D seku r. u t"en lz. a-simetrale spoljasnjih uglova kod temena B i cseku se u tadki N. Naii obim (opseg) trapeza ABCD, ako je 114p:2 k'

5. Vrh prave kupe (uspravnog sto5ca) je u c.entru jedne baze (os-

nove) valjka. Druga biza valjka i baza kupe (stoica) IeZe u istol ravnt

(ravnini) i imaj., is'ti centar. Volumeni (zapiemine) ove kup.e i valjka su

il;;i;:p"i"i*r"it (radijus) baze valjka ie r, a visina valjkaft'

5r

a) Koliki je poluprednik baze kupe (izraZen pomodu r)?b) Koliki je volumen onog dela valjka koji je u kupi

v SAVEZNO TAKMICENJE (Tuzla,9. yt 1974.)

VII RAZRED

d,ati (zadani) trocifreni Urojf Naiedi'ivJ -sludajeve.

,^ -- 1:._?gljenjem nekog broja brojem 72 dobijase koli.nik n i ostataki8. Koliki ce biti koridnil i osiatak "u[o r" irti ti: u-ip"o"iiur";i", z+r2. Dat je trocifien (troznamenkasr) broj. preme5tanjem njegovihcifar a ( znarnena ka) dobi Ii sm o r u. rurt idii Jt;"ii*r. ;;;j""J".pi r'",i.,i.

"^,:?T:::2i{ {:!':ll :yi| o{h p'ojevaje rsgs. ro:irn.itr;;;l;;p,,u"

. . 1. z,bi (zbroj) dva broja je 135. Koji su tobrojevi, ako je 359l jednog ilOnato sa 2gl drugog2

..4. Datje paralelogram ABCD. Neka je taEka IuIsredi5te stranice AB i talka lf sredi5te siianice CO.DokaLi $.plung (pravci) DM i BN a"f.-ii;ugo"utuAC na tri jednake duZi (duZine).

5. Izradunati oolr5inu.osendenog dela kvadrata (vidi sliku l).Centri krugova ru tuek" A i B.

VIII RAZRED1. Orsnova (baza) prave (uspravne) ietvorostrane prizme je romb

povrsrne -:- kz' Manji dijagonarni presek prizmeje kvadrat povrsine rt2.

,rr.".i)ol?X?,laj. povrsinu (oplosje) i zapreminu (votumen) prizme iz-

,n.U, ?f;jko je k ako su merni brojevi povriine i zapremine jednaki

2. U kruinici ie upisan jednakostranidan trougao (trokut) l,BC.Proizvoljna taEka rt priiuau ru[" iEl;* ne pripada tadka r. Do-kazati da je: BM+jM=;M-'-- "v ^vJv

3. Na kruZnoj stazi dugoj I 650 m kreiu se dva motociklista kon-stantnim brzinama' Ako se itoto"ii*Ji t."eu u suprotnim smerovimasusre6u se svake minute; a.lo s-e p"[l-."er " istom smeru, morociklista

f :ji"'ffi "",""""T_ffi;:,,urti;*;d;&;;;itr,ieaana.st,ii,u,l."6a,.oi4. Nacrtai u nravouglom (pravokutnom) koordinatnom sistemu(jedinidnog poo.otu: r J-j p[ui'i;;;") pr i pzdije su jednadine

52

AOBst. I

fiednadZbe): p, : y:x-4 i pr: y-2x+2:0. Izradunati

-,-- _ul poursinu figure (lika) koju zatvaruiu pruu" p, i p, sa koordinat-

nlm osama;

- b) zapreminu (volumen) rotacionog tela koje nastaje kad trougao

omeden prayama pr i p, i ordinatnom osom rotiri oko te"orainaine ose.

5. ReSi jednadinu (jednadZbu) i izvr5i proveru (pokus):(0,8x-0,5)2 + (0,6 x - t,3)2: 4 (0,5 x-0,7) (0,5.r + 0,7) -6 (0,1 5 x+ 0,0g).

VI SAVEZNO TAKMIeENfe (Loznica,8. VI 1975.)

YII RAZRED

.. .1..7b1r (zbroj) sest uzastopnih prirodnih brojeva, od kojih ni jedannije deljiv sa 7, deljiv je sa 21, a nije deljiv sa 42. tSokazaii.

Odrediti Sest takvih broieva, tako da njihov zbir bude detvorocifren(detvoroznamenkast) broj i da predstavlja kvadrat nekog pii-anogbroja.

2. odrediti onaj. dvocifreni (dvoznamenkast) broj koji je jednakzbiru kuba vrednosti cifre (znamenke) desetice i tv-adraia vrionoJti cirrejedinice tog dvocifrenog broja.

. . 3. Pet duZi (duZina) konstruisane su iz zajednidke tadke A. z,atimje iz nekih od slobodnih krajeva ovih duZi (ne L tadke l) konstruisanopet novihduzi i tako je ponovljeno vide puta. Na kraju je'neko izbrojaoslotodne.krajeve i naSao da ih ima 700. Utvrditi i obrazloziti aa f ;eu brojanju nadinjena gre5ka.

4. Datje romb ABCD sa uglom (kutom) 4BAD:60". Simetraleuglova izmedu dijagonala seku stranice romba'u tadkama M, N, p i e., - _a) Kojoj klasi detvoroggloy? (detverokutova) pripada detvorougaoMNPQ2 Zakljudak obrazloZiti (dokazati).

c) Naii. razmeru (omjer) onih odsedaka ve6e i manje dijagonaleromba, koji leZe van detvorougla MNpe.

5. DUZ AC:asvojom unutra5njom tadkom B podeljene je u od_nosu 3 :2. Nad duZima AB i BC, sa raznih strana u odnosu na duZlc, konstruisani su kvadrati ABDE i 2BFG. Neka su o i ot presecidrjagonala ovih kvadrata. U kojoj razmeri stoje povrsina litostinaldetvorougla ooPD i povrsina kvadrata kome le stranica dui, AC?

53

{

VIIT RAZRED

1. Elementi trodlan^og skupal:{a,6, c} su ma koji stepeni nekih(ma kojih) prostih dvocifrenih brojeva ittuttjitt'oa 20. D;f;;;ir-Ja -"au9.fem91!ima sflna I postoje.dva

-broja, takva da je zbir (rUro;j ifi ,--lika (diferencija) ta dva bioja deljivi ia 5.

2. Odrediti brojeve x, y i z za koje je

4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y _gz+ 3 : 0

,,-_ - 3. Pri izradi jgdnog metalnog klina otpaci Eine l2,5ol od upotreb-

I.;enog materijala. Nltai Tu9!n,.99

jednos kgmada -rfuiJnadin]eno jetadno 100000 komada takvih klinova. s-vi douijeni otpuri-ru-riooouoizliveni-u jedan komad i odnjega su na isti nadin izra<rini poipi"o istitakvi.klinovi. _gyuj postupak-sJponavlja sve dotle aot jJ-Jgue" oaotpadaka izraditi bar jedin klin.

Koliko je ukupno dobijeno klinova (radunaju6i i prvih 100 000klinova)?

4. Posmatrad vidi stijenu (duZ - duZinu) AB iz dvije tadke c i D,T:dy lgiqa je rastojanje 300 m, pod uglovim",alO;]pr"".i(irave)AD i BC okomiti (normalni) su medusobno.

Izradunati duljinu (duZinu) stijene l.B.5. Osnovne ivice (bridovt) \yq{ru (pravouglog paralelepipeda) od-

f9f se kao 4 : 3, dijagonale bodnih stiana odioi i" ."e,ir6Unl tuol/20.:l/13, a povrSina.drjagonalno_g preseka odnosi se prema zapre-mini (volumenu) kvadra kao 2 : l. ^

Izradunati povr5inu (oplo5je) i zapreminu ovog kvadra.

VII SAVEZNO TAKMICENJE (Kumrovec, 6. VI 1976.)

YII RAZRED

1. Morska voda- sadrZi 5l soli. Koliko kilograma obidne vodetreba pomijedati sa 40 kg morske iode, pa da dobiv.iu -.i.suuinuiuorzi2/" soli?

^ ?.-odredi najmanji razromak sa kojim treba podijeriti razlomke8 t2.2015

, 35

t n, tako da u sva tri sludaja kolidnik (kvocijent) bude

prirodan broj.

54

3. KruZnice \ i k2 dodiruju se spolja (lzvana) u tadki A. Ptava(pravac) koja sadrZitadku I sede kruZnicu k, jo5 u tadki M i kruZnicuk, jo5 u tadki i[. Dokazati da su tangente tt i t2 datih kruZnica, za koiesu M i N dodirne tadke (dirali5ta), medusobno paralelne.

4. Dokazati da svi kvadri (pravougli paralelepipedi), kojima suplo5tina (povr5ina) (u cm2) i volumen (zapremina) (u cm3) izraZeni istimbrojem, imaju isti zbroj (zbir) reciprodnih duljina (duZina) triju bridova(ivica) iz istog vrha.

5. Odabran je bilo koji broj sa 2000 cifara (znamenki) koji je dje'ljiv sa 9. Zbir (zbroj) njegovih cifara oznalimo sa a, zbir cifara broja asa b, zbir cifara broja b sa c. Koliki je broj c?

YIII RAZRED

1. Bilo koji prirodni broj n uve6an je za svoju detvorostruku reci-prodnu vrednost i taj zbir (zbroj) je kvadriran. Ako se dobijeni rezultatumanji za kvadrat detvorostruke reciprodne vrednosti datog prirodnogbroja n, dobija se prirodan broj koji nije del.iiv sa 5. Dokazati!

2. Neki avion preletio je prvih 385 km brzinom od 220 kmlh.Preostali dio puta preletio je brzinom od 330 km/h. Srednjabtzinatelana cijelom putu je bila 250 km/h. Koliki je put preletio avion?

3. Ravnina (ravan) presijeca kocku tako da tri brida (ivice) kockesa zajednidkim vrhom sijede u tadkama koje te bridove dijele u omje-rima (razmerama) 2: l, 3 : I i 4: l, radunaju6i od zajednidkog vrha.

Kako se odnose volumeni (zapfemine) tijela, na koje ta ravninadijeli kocku?

4.Datje pravougli trougao (pravokutni) trokut) ABC. Iz temena(vrha) I pravog ugla (kuta) konstruisana je teZi5na duZ (tezi5nica') AM.Visina AD trougla ACM polovi (raspolavlja) naspramnu stranicu.

a) Izradunati uglove trougla ABC.b) Izradunati povrSinu i zapreminu (plo5tinu i volumen) tela, koje

nastaje obrtanjem trougla ABC oko stranice AB, ako duZina (duljina)duZi (duZine) AD iznosi ky'T.

5. U trapezu ABCD paralela sa osnovicom AB sijele duZine (duZi)AC i BC redom u todkama M i N.

Dokazati da su plo5tine trokuta (povr5ine trouglova) DAM i DNBjednake.

55

r"

Da li je ovakvom promjenom mjesta moguie da udenik koji stojina jednom kraju reda dospije na drugi tru.li----Odgovor obrazloliti!

. ^ . .?. Proizvod (produkt) detiri uzastopna parna prirodna broja je13 440. Odrediti te brojeve!

3. Radnici: Andrija, Boris i Cene urad,e-zajedno neki posao zaI sat' Poznato je da biivaki od njih uruaio tal posao zaceo broi sati.osim toga, zna se da Boris radi brZe oa .eniirii,-" qp"iti" "i'dln"ro.za koliko sati bi taj isti posao uradio tuuii .ia'n:iifr"?.ei;";?

4. DuZina (duljina) visine trapeza jednaka je 6 cm, a duZina jedne9119vjce je 4 cm. Unutrasnji ugrovi (kriteuiy trapeza na toj osnovici su120'i 135..

a) Konstruisati taj trapez.b) Izradunati obim (opseg) i povr5inu (plo5tinu) tog trapeza.5. Dat je trougao (trokut) stranica 3, 4 i 5.

.. Postoji li tadka unutar tog trougla koja je od svake stranice uda-ljena manje od I fiedan)? '- !' ---J'

VIII RAZRED

1' Da li je mogu6e^bridove (ivice) kocke. oznaditi (numerisati)razliLitim brojevima t;-2, ?,. . ., I t) n,iat<oOa:" iurnu-fr;;i'il":eu"pridruZenih trima bridouiTl_ koji rrrzllze<< rz rstog vrha (temena), zasve vrhove kocke jednaka? ObrazloZiti odgovor!2. Dato je 5 proizvoljnih (bilo kojih) cijetih brojeva.a) Dokazati da medu njima postoje dva broja dlja razlika (dife_rencija) je djeliiva sa 3;b) Dokazati da medu njima postoje tri broja diji zbir (zbroj) jedjeljiv sa 3!

56

VIII SAVEZNo TAKMIdENJE (Sutomore, 6. Vi lg77).

YII RAZRED

miesta u redu zamiil ; Y"i:tx, # :^ *:j'^.', 99"0^:::::I": ?:::l-"1,. j ".

da svoj arJene samo oni udenici (tiici (tj. parovi udenika) koji imajuzajednidkog susjeda.

3. Prava (pravac) l:ax*b prolazi kroz tadku T(0,6), s koordi-natnim osama gradi trougao (trokut) povr5ine (plo5tine) 24 i ne prolazikroz tre6i lvadrant.

a)OdreditiaiD.b) Odrediti zapreminu (volumen) tijela koje nastaje rotiradem

trougla cko najduZe stranice spomenutog trougla.

4. Data je kocka ABCDAIBP.D, kod koje su duZine (duljine)stranica jednake a. Sjeci5te (presjeQ drjagonala osnove ABCD je tadkaM. Dfii (duljine) Dh i MDt sijeku se u taEki K.

Odrediti povrBinu (plo3tinu) trouglova (trokuta) KDM i KBrDt

5. Dat je pravougaonik (pravokutnik) ABCD dija je stranica l.8dva puta duZa od stranice ,BC. Na stranici CD izabram je taEka Mtalcva da je ugao (kat) AMD j.ednak luglu AMB.

a) IzraCunati ugao AMB.

b) Ako je d. Z na duli (duljina dui;ine) DM jednaka l, kolika jepovr3ina (plo5tina) pravougaoniak AB C D?

IX SAVEZNO TAKMICENJE @ortoroa, 4. VI 1978.)

YII RAZRED

1. Dokazati da je Jromo-l djeljivo sa 10.

2. Nad stranicama AB i BC paralelograma ABCD konstruisani sulyadrati AEFB i BGHC.

Dokazati da je duZ (duZ'na) GF podudarna (sukladna) jednoj oddijagonala paralelograma ABCD.

3. Dvostruka plodtina (povr5ina) pravilnog Sesterokuta (Sestougla)jednaka je trostrukrj plo5tini jednakostranidnog trokuta (trougla). Od-rediti omjer opsega (razmeru obima) Sesterokuta i trokuta.

4. U raznostranom trouglu (trokutu) ABC duLina (duljina) visinespuStene iz tjemena (vrha) C na stranicu AB iednaka je zbiru (zbroju)duZ.na drugih dveju visina.

57

F

lzraziti duZinu stranice rg u funkciji od duzina drugih dvejustranica. Zatim, dokazari $a-1e postoje trouglovi k;jil;d;fGu datiuslov (uvjet), a.kojima je duzina stranice ccleoouk" o i'auiinetrugin

dveju stranica izraiavalu se prirodnim brojevima

5. (zaYlr i vfiI.razred). u kvadratnoj mrezi 100 puta 100 upisanoje bilo kojih deset hiljada biojeva.

,,^, _9rludimo sa a, zbir (1pro) brojeva prve vrste (retka), za a, zbirDroJeva druge vrste, sa a, zbir brojeva tre6e vrste, itd., sa aiio zbir" bro-jeva stote vrste.

Dalje, oznadiml sa b, zbir.brojeva prve kolone (stupca), a D,zbir brojeva druge kolone, s Dr zbir brojeva tt.e" i"rori", iiJ]"ru aroozbir brojeva stote kolone.

Odrediti brojnu vrednost izraza:

RESENJA ZADATAKA .SA SAV.EZNIH TAKMICENJA

r SAVEZNO tO"trar*r'VII I VIII razred

l. Prema uslovu zadatka treba da bude 1000a-lIMb*l0cl'd:25cz*l0c*l,odakle je 25(40a*4b-cz1:t-d' Leva strana jednakosti je deljiva sa 25, pa morabiti deljivo sa 25 i (1--d), a to je mogude samo ako je l--d:O,ti. ako je d:1. Tada je4}a+4b--c2:o,tj.4(loa-lb)=a2,3to znadi da je cz deljivo sa 4, a po5to su a,6 ic cilre (al\), to odmah sleduje da je c2 : 64 i 10a * b : 16, tj. c : 8' 6 : 6, a: I . Prema

tome, traZeni broi ie abcrt--$tt.2. Na sl. 2 put od A do B oznaden je pomoiu duii AB. Sa D je oznadena tadka

(momenat) kada jL avion povedao brzinu. Vreme potrebno da se prede put ,4D -iex *320a#t, gde je sa x oznaden.deo puta koji je avion prelcteb brzinom od 250 km/h.

Dakle, da bi preleteo put DB avion je leteo x/250 dasova. Kako je prosedna brzi.naaviona duZ celog puta AB iznosila 200 km/h, dobijamo jednakost: 2x'1320:

- zoo (11-310 + ";lo), ooane se dobija x : 2100. nakre, duzina puta rB je r r 20 km.

oNc

(ar-br)+(a"-br)*(at-Dr)+ . . . *(aroo-D,oJ.

YIII RAZRED

.. 1: loqudl je napunjena stopostotnim alkoholom. Odlijemo 2litre alkohola i dolijemo isto tolilio destilovane vode. ovaj p6stupakpono'vimo jos jednom, tj. odlijemo 2 litre mjesavine i-aofijd"ie 2 1;6"destilovane vode. Na taj nadin u posudi dobivimo Eez

"tiiiiiG*rnor)alkohola.

Koliko litara otopine sadrZi ova posuda?

2. Neki trocifreni (troznamenkasti) broj 33 puta je veii od zbira(rutqq) svojih cifara (znamenaka). oo(azaii" a" i" 6j-troi^ jJr:iu ,u9. Zatim, odrediti taj trocifreni bioj.

. 3: lr.kruga duZine poluprednika_ (duljine polumjera) r izrezan jeupisani jednakostranidni

.lrougao. (trokut). -po*ieu-"'irtiti'lovrsi""

i.zapreminu (optoije i vorumei) tijita tojl nastaje totu"ijo,o piostatogdijela kruga oko jedne svoje ose simetii;e.

4. Zadane su dvije. kruInice, obje, duljine polumjera (duZine polu-qp!*kp) r-koj9 se dodiruju inana.- Konsiruiiaj p.iu"" ipr"""j r.riigrje!9. gbje kruznice tako da ove kruZnice ou n;"ririoar"cui'u iiiiuao"(duZi) jednake duljine. Konstrukciju obrazloZiti.

5. Videti 5. zadatak za yll razred,.

58

@Ar- C ,D- F--\r-

t80 km6 2s0 km6

si. 2A sr.3

3. SrediSte E duLi MN pripada dijagonali AC (vidi sl. 3) i duZ EC je detvrtinadijagonale z{C. Ako je ,S presedna tadka dijagonala i F srediSte duZi lS, onda je dija-g6nata lC tadkama E, S i F podeljbna na detiri jednaka dela. Tadka E se neposrednoiroie konstruisati, pa kako je i'A data tadka, moiemo lako konstruisati tadke C i S'U trouglu,BCD je MNsrednja linija pa je dijagonala BD paralelna sa MN i dva putaduZa od MN.

4. Neka je ,{C dijagonala normalna na krak BC.Tada moZemo konstruisatipravougli trou gao ABC (date katete). Zatim iz temena C konstruisemo-pravu paralelnu

iravol 7a: frqsek ove prave i kruZnice sa centrom ,4, poluprednika 39 mm daje tadkuD (vidi sl. 4).

Qbim i povriina. lz pravouglog trougla ABC, po Pitagorinoj teoremi dobijamo:AB2:AC2+Bc2:602+452:5625, pa je AB-75 mm. Visina trapeza je istovremeno

i visina pravouglog trougla ABC,paie izradunamo iz povr5ine ovog trougla: , :

1:i- 00.+S, qdakle je i:36 mm. Projekcije krakova na osnovicu AB iztaEsnatemo2

E

S

59

7

iz pravorr-glih trouglova AFD i BCE. Tako imamo: x2:AD2_h2:225, tj..y:15 6pi 4z 7.8!z7hz-:729, tj. y:27 mm. N"poin"tu o.novicu 6-dobija

^o-irli'i * iy:')',odakle je 6:33 mm.Obim trapeza je O:a*b*c*d:192 mm.povrsina ttapeza * ,:+ k-.b) h:l9w mmz.

2. Neka su x i y cifre traZenog broja. Tada je (l0x+y)*(lOy]-x):lsz, 94" i"k prirodan broj. Sretlivanjem dobijamo jednadinu: ll (r-ty):kz,Sto je moguie samoako je x*y:ll.

TraZeni brojevi su: 29, 38,47, 56, 65,74,83 i 92.

3. Udenik je delio dva prirodna broja, recimo a sa b. Ispravna kontrola daje:a :7 4b *22. UCenik je pogrelio i dobio umesto a broj 30214, koji je za 60' 7 4 : 4440manji od a (jer je 6 desetica zamenio nulom). ZnaEi da je a:30214*4440:34654.Sada imamo: b :(34654-22\ : 74:468.

4. Neka je F presedna tadka visine AE trougla ACM i dijagonale .BD Cetvoro-uela ABCD(AELCM i AELBD, sl. 7). DuZEF jednakajevisinitrougla8QD,koja

odgovara stranici BD. Prema tome : PAsg, : PA6p + Ppgp : | "o. n, * |"O' "o:ll:

Z BD (AF+E\:T CM. AE:Pecu. @D:CM - naspramne stranice paralelo-

II SAVEZNO TAKMICENJE

VII RAZRED

ljll*:f. :""::!y"p ]jygt.koji.znaju engleski je_zik, sa N skup tjudi kojiznaju nemadki jezik i sa i'sliup ljudi {oji

grama).

st. 7

5. Neka je.DEtrai.ena prava (sl. 8). Ako je O tadka duLi DE, takva da jeDO:AD, onda je OE:BE. U trouglu AOD jedmki su uglovi AOD i DAO (naspramjednakih stranica). Ugao OAB jednak je uglu DOA (naizmenidni uglovi), pa je4DAO:4BAO,tj.prava,4O jesimetrala uglaB,{C. Na isti naCin se dokazuje da je BOsimetrala :ugla ABC, pa je O centar upisane kruinice" Odavde neposredno izvladimozakljudak kako treba izvrSiti traZenu konstrukciju.i proizvoljnom trouglu lBC.

KonitruiSemo centar O upisane kruZnice @resek dve simetrale runutraSnjihuglova) ikroz O konstrui5emo pravu paralelnu sa AB. To je traZena prava.

VIII RAZRED

l. Oznadicemo sa l: 0 dinjenicu da ,4 nije reSio zadatak, a sa ,4:l da je AreSio zadatak,

Pretpostavimo da su u prvom odgovoru oba podatka netaCna, tj. da ni ,{ niC nisu re5ili zadatak : A :O i C :O. Tada u svim ostalim odgovorima mora biti jedantadan i jedan netadan podatak, pa dobijamo: 3) F:l (jer je l:0); 2) A:0 Cer jeF:l); 4) E:l (ier je A:0; 5) D:l (ier je l:0). Ali tada dobijamo da su zadatakre5ili D, E i 4 tj. 3 udenika, Sto[e,odgovarapietpostavci da su zadatak reiila samo 2udenika. Z,bog,toga podetna pretpostavka otpada kao nemoguda.

z'aJu nemacKl JezrK r sa ,rk skup.Jiudi koji govore francuski jezik. predstavimo oveskupove pomoiu o.iler-venovih'dijacrami -i .r. k. ivioetieL'nai--u rurili-i'nu ,tr.-/-'-\-

39). Jedan od orisutnih p.u..i "r" tti iczitq i "L,,^ r^ n^ .,ljl-.JE1l" od prisutnih govori. sva tri jezika i skup Enlrnt/ima I elemenat. Upisim; u dijagram

""oJ,r.opu r'Jlr,iJr[tlSarno engleski i francuski jezil lovori rak-od;:i;d prisuiniii!0r9.ma uslovu.: 2-1)- Samo engleski i nemadki jezik govo-\Hre..rr4 uJ,uyu..-.)jrt:.rarno englesKl I nemaeKl Jeztk govor€trojrca. prisutnih{4-1r.

"r.-a tome, samo engleski jezlk zna

sl. 4

5. a) Povr5inu izradunavamo- p-omocu formule:^ p:-az*2ah (vidi sl. 5).Kako je p:5a2 imamo: 4az:2ih, ooutte-j" n:zi. i trougiu'idn irr^_EXa-l5a2dunaiemo visinu Il piramide, koriste6i pitagorinu teoremu: nt:nr-( !-\' :15!'. \zl c'

paie H:-a .-=V15. Prema tome, traZena zapremina je: y:J- szII::- at /lj .

I I

b) Za a:6dm je z:1 6, /tS:Se /tS O,nr, odnosno Vx139,427 dmt

3lsvega jedan (6-l-l-3). Na isti nadin utvrdimo di nemadkir,trancusKrJezrk znaju dvojica (J. l), samo francuski trojica\t-t-t-z), (lok samo nemadki jezik ne govori ni jedan-odprisutnih (6-l-3-2).

Ima ukupno 1l osoba (vidi dijagram na sl. 6).sl. 6

60 6l

-i

["-

_ _ . pretpostavimo sada da su netaCna oba podat

t""",;i,f is,;Tai[?T#f :Jrnd:';t*-#*ig*i#,1ij-*?#*{

Sve druge pretoostavke dovode do protivrednosti, pa ostaje zakrjudak da suzadatak re5ili samo udenici oznaCeni sa 7 ib:-"*

ii,"l?t?j,",:":'^,:$lid*::li,:1."_^dT_"i.iednaka_zami$ljenom broju, ondaj:i:[f !;l'"','"?;io;trffi ;*ilfl:f :,r*it$liT.-l"4$ji3t",il":'I3i?"",131""Y:g:::-.bl:,-"y:tip;-+|i:d;i;f if .t:b;Ttlll?;j,t*i;*'j*? j,'.l:ro+s+ jio,Li"i'J"r:""jJffi :iiilil,"t#l,i".,il:13. 'tt#ii,1',:fl*l$lr ,1i.,'+

z + i6: io?ili; 5#(yj?if'il'r"'i"'iTi:"li;r:5. Udenik je-zamistio Ui"il.g. t p:o!! i, prema datom uslovu nr:-'Jh. Odavde

rrr sAvEzNo rarlarCnNrs

VII RAZRED

1. Ako je u matematidkoj sekciji bilo z udenika, onda je svaki poslao po (z-l)razglednicu,Stoiznosiukupno: n(n-l):342.Kakojel9.18:342,sledujedajez:19.

Matematidka sekcija je imala 19 dlanova.

2. Preostalih l4 udenika tini 56fl od ukupnog broja udenika u razredu. prematome, ukupan broj udenika u razredu je: 14 :0,56:1400 :56+25.

3. 1 : [(4a * 5 b)z -(4a-5 b)zl. I@a + S t)z + (4a-5 b)?l-t 6Dab (4a-S b)2 :: (4 a * 5 b

-4a * 5 b) (4 a -l s b * 4a- 5 b) l(4a + 5 b)z + (4a-5 b)21*l 60a b (4a-5 b)2 :: I 0b. 8a tea + S b)2 + (4a_5 b\zl_l @ab (4a_S b)2 :

: SOab (4a * Sb)z-gUt (k-5b12 :99o6 I@a + 5b)2-44a-5b)21:

- SOab (4a * 5 b-4a + 5 b) (4a.+ S h + 4a-5 b) : SOab . lilb - gs : 640oa2 92.

Za a:-l i b:-2 datiizraz,4 ima vrednost:

l(-4- t Olz1z-(-4 + t O)zlz-l 60. (- I ) (-2) (--4 + I 0) 2 : ls62-3 62-320. 36 :: ( l 96-3 6) ( l 96 + 3 6)-320. 3 6 : t 60. 232-320. 3 6 : 320 (l I 6-36) : 320. 80 : 25600.

lstu vrednost ima i izraz 64AAa2b2. Zaista, ako zamenimo a:-l i b---2,dobiiemo: 6400 (-l)2(-2)2:6400 . 4:25600.

4. Neka je data prava zr kojoj pripradaju tatke Mi N.Zasadanecemo utvrditipoloZaje talaka M i N. Konstru5imo tadku.B'simetridnu sa I u odnosu na pravu m.Neka je O sredi5te duli BB' . Konstru5imo kruinice oko B i B' sa poluprednicima BO iB'O. Neka su to kruZnice k i k' . Zatim konstrui5emo tangente iz talke I na kruZnicuk i njene preseEne tadke sa pravom m oznadimo sa P1 i P2 i tangente iz talke A nakruinicu k'i njene presedne tadke sa pravom m oznadimo sa P. i P. - vidi sl. Il.

U zavisnosti od poloZaja ta[aka M i Nimamo razlidita rESenja. Na primer, akosu tadke M i N rasporedene kao na sl. I l, onda su reSenja talke .Pr i P". Ako je tadka

dobijamo: a*b:2 h. Neka je na produZetku du'i A! i4\rana taika i tatva Oa je4F=9?=Q-vidi st. e. r"d" ji, e!i""r,iiii-alta'

i;-15,"""*:"ttn*l;w'r":rrni#;*:?#rl??T.f**l,tr#ft ,:

a+b

iz?lrana taika F takva da je

peza jednakesumedusohno,t".l;-.,1"";_;Jirdi;aiirfffi i jffiff#%.$,ff;

ff"i:"';:o*:-Urt,*y.-1tiiz1;-i{:-T;:;,"ri"kurn":45o:{Ei'corrraoffi ii"T:i'".,:"lyrf:::?:*iili,i=ri-1:;J:TTATi:;,B1i';iZ,:dfiil:sredujeda jeugaoACF'p;;;:2";ti,ili"ii,"ii'ri1f _1,;ffi;:-ffi f 1

EBst. 9 AyB

sl. l0

4. Oznadimo sa h, \ i i2 redom visine trouglova ABN, AMD i MBC. yisina/r je srednja linija trapeza kome su lr, i rr;;r;;;" (vidi st. t0), pa je hr*hz:2h.Neka je AB : a. Otuda iztazi da je p,aTqpl FxaBs :

I e u. n, * * r" h, : I oh, +

.* i to, : t <nr + nl : t. 2h : pt^x, odnosno : p,ayp* p

15aBs: paux. Ako ovimjednakim povrlinama oduzmemo zajednidke delove.povr5i (trouglove AMp i MBe),preostati delovi takode imaju jeonaie iilirs-t,ii"pl":;-i;;;;;;;;:t;;.;.

5. omotad orizme je^(2. l+2.g).HD__.40g.,2, gde je.Ho visina prizme.Odavde izradunamo: H-:.408',2 ,1ili,l. '#*#,,nu

pnzme Je Vp:S. g . 15,7:: 628. Zapremina vati{a -je d/" -oi rd;;.T:' I1r.9 : v, : e,64 : V, :0,64 . 628.

::",'t varjka je u,:zi"i,i;;ffiffi;;,iU*f .,.. vv:rzrHv.gidimo da je

Mu:1Py.Fosto je r:4 cm, dobijamo, t4:?:o!-6a:zoo,socmz.

62

rvevuJa !.&^v r I ! r lr n^v Jw r4!MM izmedu Pz i N(vidi tadku M'na sl. 11), onda su re5enja tadkePr iP2,itd. proveriispravnost ovih zakliudaka! Isoitai reSenia za sve razlidite rasoorede tnteke M i Nispravnost ovih zakljudaka! Ispitaj re3enja za sve rasporedetatakaMiNna ptavoJ m.

E

sl. 12sl. ll

63

7

l3sl.

J. Neka su E 4 G i 11temena kvadrata upisanog u kvadrat ABCD naopisani

nadin. Ako je x duZina stranice dvadrata EFcT,onda je UF:+ i Cf :{ . {frou-glovi EBF i FCG su polovine jednakostranidnog trougla, ier imaju unutrasnjeuglove od 30o, 60o i 90'). Ako je a stranica kvadrata ABCD, imamo jednakost:.

x/3 x .- -2a Vl-tz *2.:o, odakte iztazi: x:rOffi:a</t_t).

Povr5ina kvadrata EFGH je p:x2:a20/ 3-l)2:a2(4-2/ 3) * a2 (4--2.1,731:9,54a2. Povr5ina kvadrata EFGH iznosi pribliZno 541 od povr5inekvadrata ABCD.

Odavdedobijamo:4(.r+50)2:9(t-50)2, odnosno:2(x*50)=3(r-:50).(Nedolaziu obzir jednakost 2 (x*50):-3 (x-50), jer su obe duiine puta (x*50) i (x-50) pozi-tivne velidine). Re5imo jednadinu i dobijemo x:250 km. Sada izradunamo traZenepodatke: b'rzina aviona je 150 km/h, brzina helikoptera je 100 km/h, a udaljenostuzleti5ta je 500 km.

3. Jednakokrake trouglove ABC i DEF (sl, 15) moZerno konstruisatina osnovu datih elemenata. Najpre iemo na pomodnom crteiu konstruisati trougaoABC. (Za dalju konstrukciju neophodna je duZ AC).To 6emo.udiniti na sledeci nadin.Na proizvoljnoj pravoj odredimo tadku .If1 i konstrui5emo normalu na tu pravu,duZine ll1.B:li im. Olo tadke.B opi3emo kruZnicu poluprednika 15 cm i u presekusa datom pravom dobijamo tadke A, i Cr.

Sada konstruiSemo na isti nadin trougao DEF. Zatim na duZi DF odredimotadku G, takvu da je DG:AC. Dalje, konstrui5emo jednakokra(i trougao lFG,kome su kraci 25 cm, pa konstrui5emo lC paralelno sa D4 itd.

Da bismo izradunali povr3inu trapeza, najpre demo, Ekoristeci Pitagorinu teoremu, izradunati osnovice trapezaACDF,a zatim visinu trapeza. lmamo: AIIrz:tt'-t '::81; Fa je AC-- 2AHt:19" ;FHz2:202-122:256,paje DF: 2 FHz:32 cm (vidi sliku l5). Visinu i tra-

VIII RAZRED

1. Ako su a, 6, c i d tetiri uzastopna broja jedne vrste ili kolone, onda naosnovu uslova a*6*c:b*ctd dobijamo a:d.Dakle,svaki treii broj u bilo kojojvrsti ili bilo kojoj koloni ponavlja se. Iskoristiiemo tu dinjenicu i popuniti ona poljana kojima se ponavljaju dati brojevi. Dobijamo tablicu na sl. 13.

Sada iskoristimo uslov da je zbir svaka tri susedna broja 12 i, kombinujuiidobijene zakljudke, lako pronalazirno preostale brojeve - vidi sl. 14.

2. oznadimo udaljenost izmedu uzletista aviona i helikoptera sa 2.r. u tre-nutku susreta avion je bio preleteo ("r*50) km, a helikopter (x-50) km. posto je

posle susrera avion preleteo (-r-50) km za l das i zo -in (,-f- ear") , to je njegova

brzina: (x-50)t+: lg2 km/h. Na isti nadin izradunamo da je brzina helikop-'34x*50

tera

-

km/h. lzraiunajmo koliko dugo su leteli do susreta. Avion je leteo

(x * 50) :'3;t9 - 31P,urouu, a helikopter (.y-50) : I1 50 : L(x-So) dasova.4 3(x-50) 3 x+ 5o3 (x- 50)

x+50Posto su poleteli istovremeno, rnoZemo uspostaviti jednakost:#H:

64

F

peza AC DE izradunavamo iz jednakokrakog trougla IGF:IDF_AC\zh2:252-l : | :252-72:576, pa je h:24 cm.\21

Povrlina $estougla ie: p :!ec, Bnt+| Qqc+ on n *2 2'I

+ ^ DF.EH2:900 cm2:9 dm2.-2

4. Neka svaki traktor za jedan dan uzore deo njiveCija je povr5ina a hektara. Broj traktora u brigadi nekaje x" Prema datim uslovima prva njiva ima povr5inut ar\

, (!! , ro\ hektara. Kako je\t** ,) hektara. a drugi

, Z tprva njiva dva puta veia od druge, moZemo napisati

jednakost: or*T:z(!!*zo\, odakle je ax:8a, pa je x:8.- 2 \2 l. arV3

5. a) dko je ivica prizme a cm, onda imamo jednakost: j-:6 ,25 V 3,oda-

kle ja az:25, odnosno a:5 cm.

b) Poluprednik upisanog valjka je, :+, ^

poluprednik opisanog valjka je

hR:2 i :2 r: (Sa hje oznadena visina osnove prizme, tj. visina jednakostranidnog

trougla). Zapremina upisanog valjka je Vu:v2na, a zaptemina opisanog valjkaVo:(2 r)z n a:4 12 zt a. Prema tome Vo:Yu:472 r a:12 r a:4:1, bez obzira na di-

menzije jednakoividne trostrane prizme.

B

sl. r5

sl. 14

65

J

IIr' SAVEZNO TAKMIEENJE

VII RAZRED

. _ . 1. Kukq je 8316:22 .?, .7 '11, najmanji prirodni broj sa kr:jim treba pom_qoir.ti dali broj da se dobije kvadrat prirodnog broja je 3 .7 .tl:2i1. Tako ie sedobiti : 8316; 3 :'i -7t :22 .

1o . J, . Jt2 -(2 . 9 . 1 . lty :13862. Zanimljivo je da je

8316:13862 i da se oba prirodna broja pi5u istim ciframa.

2. Ako je c cena pre sniZenja tada, se za 2?0 din. ntoglo kupiti 11 metara plat-c

na. Posle sniZenja cena je *:=1 c, pa se za 240 din.moglo kupiti zqo,!:3}ot005)cmetara platna. Prema uslovu dobijamo jednadinu:

9_119:,,cc

pa je c:30. Cena je pre sniienja iznosila 30 din.

-3. Neka je brzina prvog motocikliste v km/h. Tada se drugi od njih krece brzi-nom (v-I0) km/h. Usled toga imamo:

2v*2(y-lo):220, odakle je u:60 km/h.

Brzina drugog motocikliste je 50 km/h.4. Neka je ABCD dati trapez i neka su M i N krajnje tadke njegove srednje

linije (sl, 16). Znamo da je srednja linija jednaka poluzbiru osnovica: *tw-L!!: r.2

visina trapeza je cE:/ AC,-A 'Er.Kako je AC:2 s i aB:o-":!:ol6:",to.,e22

visina trapeza CE:1/4sz-sz:s/ S.povr5ina trapeza je: p-MN.CE:s2l/ 3.

sl. 16

naki medusobno. Prema tome, OC i OD su simetrale dvaju uporednih uglova, pa

zahvataju ugao od 90'. TraZeni ugao COD je prav.

c) TraZena povr5ina je razlika povrSine ftapez:- ABCD i polukruga date kruZ-

nice. Povr5ina trapeza je rr--!!-L!o'nr. *"uurim' iz podudarnosti trouglova"2AOC i COS sleduje da je AC:SC, a iz podudarnosti trouglova BOD i DOS sledujeda je BD:DS, ba je AC+BD:CS+SD:CD:5cm. Otuda dobijamo: P1 :

sl- - .4: l0cm2. Traiena povr5ina je P:10-; 4tt:l0-2tt.

2z

VIII RAZRED

l. Svaki prirodni broj moZe se predstaviti u jednom od sledecih oblika:3&'3 k+t, 3 k+2 (k:t, 2, 3, . . .).

Ako se pretpostavi da je makar jedan od brojeva a i b oblika 3 k, onda je njihovproizvod siguino deljiv sa 3. Ako su oba oblika 3k+1, ili oblika ?k+?, onda jeirlitova razlika deljivl sa 3, a ako je jedan oblika 3 k+1, a drugi oblika 3 kl2,ondaje njihov zbir deljiv sa 3.

2. Vidi reSenje zad' br. 2 za VII razred.

3. a) Koordinate detvrtog temena su: D (-3, 3) - vidi sl' 18'

b) Preqedna tadka duZi AC i BD ie S (1, l)'c) Jednadine pravih kojima pripadaju stranice pravougaonika su: x:--3,

x:5, y:-l i Y:3.prava kbja sadrii dijagonalu, recimo AC,ie prava dija jejednadina predstav-

lierra formulom- v:ax*b liniarne funkcije. Odredicemo a i b tako da tadke A (-3,j-fj i b (5, 3) pripadaju grafiku ove funkcije. Stoga iemo koordinate taEaka A i Czameniti u linearnoj funkciji umesto x i y:

Za tatkv A (-3, -1) dobijamo: *l:-3 a-fb'Za talkv A(5, 3) dobijamo: 3:5a*b.

IRelavajuii ovaj sistem jednadina po nepoznatim a i b dobijamo: a:- i b:

I ., I I.r,puje jednadina Ptave AC: Y: Z

x+-'l3

Na isti nadin dobijamo jednadinu prave BDi y:-Z x+ z

ty DC. - .5. a) Tangente tr i 12 konstruisacemo tako Sto 6emo u tadkama A i B datekllintge postaviti ptave t1i 12 normalno.na prednik AB (sl. l7). olo p.oiroori".tadkePtangenterl opisemo luk poluprednika 5 cm do presika gsapravo.ili2.zatimiz centra o date kruznice konstruisemo normaiu oR ni pravu Fg i u preseerio3 taeti,s ove normale sa datom kruznicom konstruisemo pravu r, noriralnu nu os.-ro l.treia traZena tangenta, koja preseca t1i t2 u tadkaha C i'D.. - , - !) rz podudarnosti trouglova Aoc i cos (proveri!) sleduje da su uglovi lcoi oc,s jednaki medusobno. Na isti nadin zakljudujemo da-su ugl,ovi oos i icio :ea-

66

c (s.3 )

sl. 19

67

moZemo dokazati da je gN:!AC, pa je MN:Mp+pe+eN:2lr

4. Po5to se tadka M nalazi istovremeno i na simetrali spotja5njeg uela kod ,4i na.simetrati spoljasnjeg ugra kodD, ona,je podjednato uaarjef,a 6d'iiirii'in i co.N-a- isti nadin je. tacka N podednako udaljena oi pravih ,qb'i Ci.-]dsi""a'ffiu- p.uuuMN sadrl.i ste-dru,u liniju Pe datog trapeza Gl. l9).

uglovi kod.r i kod' M u trougru ApM medusobno su jedn'aki (proveri!), pa jeAP:MP. Kako je P srediste kraka AD sreduje da je ur:!,en Na isti nadin mo-

2

Prema tome, dati broj moZe biti zapisan ziframa: l, 2 i 6:ili l' 3 i 5'

ili 2,3i4."' -' bi ALo dati trocifreni broj ima samo.dve, razlidite cifre, recimo x^i y, onda zbir

brojeva:'iOOr+fOx*y, 1Nx.'10/*x i 100y*l0x*x iznosi 1998, osnosno:

ziriti-y:isss, odui.r"l.:2x*y:t8. zna6, dati broj moze biti zapisan cif-

rama: 5, 5 i 8, ili 7,7 i 4, ili 8' 8 i 2. 35a 28(135_a)

3, Neka je jeclan broj a'Drugije 135-a' Prema uslovu jt' ,O -ffOdavde ie q:60, Pa je drugi broj 75.

4. Neka su E, O i Fredom prese6ne tadke duZi DM, BD i Bly'.sa dijagonalom

AC tsl. zti- posto'j" lnto paritetogram, 1o je-.tadka o srediste drjagonala lc i

iii. iilm-l'. ,y-rr.aist" Ju?i,lb, tt.oui" da je tidka ,' tezi5te tro-ugla ,48D. Na isti

""el,ili'r,r'ti'.aiste sttanice?p,b"i. F teZiite tropgla BCD' Na osnovu osobine

teZi5ta trougla mora biti: nU:; AO i CF:;OC, pa je: AE:CF' Kako je

rlOE::- AE i OF::: FC to je: EO+OF:.AE =FC, dto je i trebalo dokazati'

1)

I AB+CD-AD+ __ _ +",t.L

+ T BC :-- O, gdeje O traleniobirn trapeza. Otuda imamo: O :Z MN:4 k.

5. Neka je poluprednik osnove kupe, R. Kak Io ie Vh:V,, to je

, Rznh::r2 n h, odakle dobijamo: R:r y' 3.

. Neka je trougao Spe osni presek kupe sa nekomravnr upravnom na ravan osnove (sl. 20). Neka su A i Btatke preseka- d fii PQ i kruga osnove valjka. Oznadimo duZAN s1f1. lz^slidno-sti pravouglih trouglova.BNg i OSe ima_mo: BN : BQ-OS : Oe, tj. h: (R_r):h: R OOaide je

hr:R-' .n:/3-l n.o ltsl.20E

M

sl. 2l

cl

sl. 22

22) dobiiemo kad od detvrtine povr5ine

enM Ga uglom od 60') i odsedak nad

Deo valjka koji je u kupi sastoji se od valjka

poluprednikarivisine11 ikupepoluprednika r i visine h-hr:h-/S*t r- nTraienazapreminaje: /J /3'

v -r2zr hv!1*J. ,,* != ,,, h(V:.:._l_\ :12tc h?-rJ]/3 t lZ \ /: 3/jl s

V SAVEZNO TAKMICENJE

VII RAZRED1. Dati broj moZe se pretlstaviti u obliku: 72n*6g. otuda: (72n*68):24

daje kolidnik 3n-12 i ostatak 20.

. 2. Qlti broj moze imati sve tri cifre razriEite, ili dve jednake, a treiu razliditu(sve su razlidite od nule).a)akosucifre razlidite,.reciTg: a,,^b, c, onda dobijamo da zbir brojeva:l00z*lol*c, t00a*10c* b, - tW b+to ;+;, tN b+t0 iia.--rOO

"+-ioo+ai l00c*106*a iznosi 1998, odnosno dobijan:ro jednakost:

odakle je:

68

222 a*222 b-1222 c:1998,

5. Polovinu osendene 'povriine (sl.kruga poluprednika a oduzmemo isedaktetivom, .BM istog kruga:

, :,1+ -+ -ff -o!.)): *' u'r- "

VIII RAZRED

l. Iz povrSine manjeg dijagonalnog presgkir (sl' 23) zakljudyjelg.{a manja di-

iaeonaL.o-bu i visina priime iilaju dulihu k. lz povr5ine rombadobijamo nepoz-

nutu oijugonuw, U:f,*' . a:|t. Stranicu romba izradunamo iz pravoug-

rog trougla osendenog na sl. 24' .:(+)" "(?)' * ':|o'Sada izradunamo: ^ .

u> v -l*'. r : 1 o" r :z'f,*' + t' l r'* :'] o'.a*b*c:9.

69

7

Re5enjealdnosno

bijamo identitet : 3,86:3,86.

35. Reier{e jednaCine je x:3. Zamenom ove vrednosti uidentitet: 3-86:3-85.

' ot:t4 k, 1 k:7.33

x

5

st. 27

VI SAVEZNO TAKMICENJE

VII RAZRED

BR: Zf . oouiiutno razm€ru AS:BR : i,l:ltt.

2. Na duii,{Mkonstrrri5emo tadku N, takvu sa je MN:CM (s1.25). Kako jeugao ,{MC konstruisan nad-stranicom AC, qn ^oiu

biti jednak'uet"''i)nC::_60' (uglovi nad istom tetivo.m),. pa je trougao cirzrrr jidnaidit*nli# i-ruiii,n timCN:CM. Sada moZemo

-zaktjuditl $a s.u*1ioryf9vi,CAN i Cr,rr p"a-"O"ini, ,.e. :.AC:BC iz jednakostranidnog troueta ABC. C7i:Ci t z-i)rtj-1i;;M"_ "^^

AC-8,9 iz jednakostranidnog trougla ,4^BC, cM i +cAN:4CBM -kaoperiferijski uglovi nad istom tetivom ..C.M. rz poouaarnoii o"itt trJ"gG"i.l.o":ida je AN:BM. Kako je po konstrukciiii MN:EM. to iet AM+NM:pMJ_r.^,!:^i:!!=!{.:Kako je po konstruliijil

^ii:VM:;'j;:.";^;'+';r"M":";;{";t7;.Sto se i tvrdilo.

3. Neka brzi motocikrista prerazi x metara u niinutu, a sporiji y metara uminutu. Iz prvog uslova imamo: .r+),:1650, a iz drugog: "-r:1650:15g.

qst. 24

il,l:1:,.:^::-9.11d1"1 {a_je: x1e!0.m u. minutu i y:750 m u-minutu,prvi se kretao brzinom od 54 km/h, a Oiugl .iS t.lt.4. a'| P4Bpg : Pq/t6- Psgp : I sr1'z

- vidi sl. 26.

b) TraZena zapremina je razlikazapremina dvqiu konusa sa vrhovima Di B - vidi sl. 27.

v:vr-Yz:T:!-l:''z:!!

je n:94. TraZeni brojevi su: 659, 660, 661, 662' 663 i 6@.

2. Neka je trazeni brojii @*o). Tada je l'oa+b:a3+&2i odakle do'brjamo: lO a- a3 : b2 -b, odnosno: a.(l0 -a2) - b (b- t). QClgleln_o je 4€ { 1, _2, 3}.ZL a:l dobijamo: 9:b(b-l)iza h:3 dobijamo: 3:r(r-1). Kako je D.(6-l)proizvod dva uzastopna prirodna broja, a 9 i 3 to ne mogu biti, zakljudrtjemoda je afl i a*3.2a a:2 dobijamo: 12-b(b-l), 5to je moguie jedino zzb:4. Trai:eni broj je A.

3. Neka je iz bilo kojeg slobodnog kraja konstrui-sano novih 5 duZi (duZina) (sl. 28).Tada umesto jednogslobodnog kiaja dobijamo 5 novih slobodnih krajeva,pa se broj slobodnih krajeva poveiao za 4. Svakim no'vim konstruisanjem duZi iz nekoliko slobodnih krajeva(nije bitno koliko),,troj slobodnih krajeva pov.ecava scz.a- 4 k (k je prirodan broj). Dakle, ukupan broj slotod'nih krajbva iznosice 4n+5, a to ne moZe biti 700 niza jedan prirodan broj z. Prema tome, u brojanju jenadinjena greika.

4, a) *z podudarnosti (sukladnosti, kongruent-nosti), troiglovi (trokuta) OBM i OBN sleduje da jeOM:ON, a iz podudarnosti trougl<iva OAM i OAQsleduje da je OM: OQ Gl. 29). Na isti nadin je

-iOQ: OP.Na osnovu toga zakljudujemo da ie MP: NQi po5to je ugao (kut) MON prav (2'45"), sleduje.daje detvorougao (Cetverokut) MNPQ kvadrat (ima jed-nake dijagonale, koje se polove pod pravim uglom)'

b) Trougao (trokut) AMQ je jednakostraniEan,Oanaiimo stranicu AM tog trougla, (a ujedno i stra'nicu kvadrata) sa r. Tada trougao ARM, koji pred-stavlja polovinu jednakostranidno€ trougla, ima visinu

/3

23SI.

sl. 29

. x vy3MR =i,f,-. otuou ie: MR:MB?,o" ako stavimo MB:?'dobidemo: ,-t-r-,2 ,- 2t" :u *-:y /-{ Prema tome je:'AM:MB:x:y:y/T:y:Vl:t.

c) Iz tro'ugla AMQ je: n, -* lr3

-t- :-Y t r' .

-- 3y y ^'::v /.t. +:+,^ tE:y,a iz trougla BRM JC

l.-TraZeni brojevi- su: -7 z+ l, 7 n+2, 7 n+3, 7 n+4, 7 n+5 i 7 n+6.Njihov zbir (zbroi) s:42n+21-2li2n+D bdsledn6 ie deriiv s^ ti ) nri rraNJrhov zbir (zbroj) ^S: 42 n + 2l - 2l (2 n + tlljenju sa 42 daje ostarak 21, tj. nije deljiv irodnog broja, mora biti 2n+I-Zi*r.iae i

rymov zDrr (zbroJ) S:4zn1Zt-?t(?rtt t) odiglodno je deljiv sa 21, a pri de-ljegu sq 42 daje ostatak 2r, tj. qije_leriiy iz cr. oa t6i ;bil uioTiaerlt pri-Igdnos broja, mora biti 2n+I:,2ikz,6Ce je f neparan Uioj. oa lii-o""j iUi,uqrJu :r:r q. sale osraraK rr, q. n-ue_deulv 8a 42. Da bi zbir bio kvadrat pri-Igdnos broja, mora biti 2n+I:,2ikz,6ce je rc neparan uioj. oa lii-o"ij iui,91" F^,"."^t.:iflen (detvoroznamcnkasq

-UiJj,- --o1u Uiti *, n""i oO Z l- -^ni" oOzr. ro Je moguce jedino ako je k2=9. Sada dobijamo: 2n+ l:2lkz: lEi, pa

5. f-etvorougao OO.CD sastavljen je od tripravougla (pravokutaa) trougla, od kojih su OBD iO, BC Eetvrtine odgovarajudih kvadrata (sl. 30).Tra'

l/3 \2 l12 \2 l3a2azena povrsina je r-7(ra) .ZFrl *o'T:

9a2 4az 6az I .:-,+-+-:-a., a to je Eetvrtina povr3inc100 100 50 4

kvadra stranice AC:a, Traiena raztmeraje l:4.

]33u datoj jednadini rjednadini do-

7A

b) v:P =)

st. 28

sl. 30pa

7I

VIII RAZRED

.1. E,Jemgnti skupa I su neki .stepeni prostih brojeva ll, 13, 17 i 19. Svistepeni ovih brojeva zavrsavaju,se.jednom 'od cifara-1zna,n"i,riii i, l, i ili s.{ost9 sq skup.r sastoji od tri _broji, onda se medu ovim uro:"ii,nu'nirazebar^d;3-!:.ii,.i_iil:i .!gjljo^ cifrom, ili su sva tri brojasa ;ililtd-i<lajnjimcrlrama. !.nryom sludaju .razlika _

(diferencija), a u drugom zbir lzbroj)- ivaodgovarajuia broja (3 + 7 ili I + 9). zavrsava'se nulom, "a to l" ol-rii"",i ,u s.

. - .2: .2+:".jednakost moZemo dovesti na sledeii oblik: 4x2_4x+l +9y2_-o / + I + 16 zt -B z + I - 0, .odnosno: (2 x - l)z + (3J_ l), + (4 z _l\2

== O. poSto sukvadrati u.vek pozitivni brojevi, zakljuiujemdaa je ovij rbii ioi"uf nrt] ,u,n.ako su svi sabirci nule. Tako dobijamo: -2 x- I : 0, : y-i 1 : g ii-;:iJd' oAat-ttl

le Je: .r: 2, y:T i ,:7.

3. od otpadaka dobijenih posre izrade prvih 100000 klinova (-18

ukupno potrebnog materijala) izracluju se novi klinovi sve dotle dok je mogu6-eod otpadaka izraditi har jedan nov klin. stoga se moze smatrati <ia ioo ooo7

klinova predstavljaju - od ukupnog broja klinova (sa korekturom za neisko-E

ri5deni ostatak materijala). Prema tome, ukupan broj klinova je: I00OOO,1:1

:8fr)000:?:I14285 (sa ostatkom A klinu,Sto predsravlja l.u,".ijutu p.,-rebnog za izradu jednog klina).

. -_ .4. Neka je O presedna tadka pravih AD i BC (sl.3l).Pravougli trougloviACO I BOD predstavljaju polovine odgovarajuiih jednakostranidnih trouglova(imaju unutraSnje uglove od 30',60' i 90e). Ako uvedemo oznake OA:x iOB:y, dobiiemo: OC:x/T i OO:y/1. l, pravouglogtrouglaCDOimamo:(t/5)' +(y /5)'::oo2 odnosno: 3x2+3y2:)Q000, odakle izlazi: x2+yr::30000. Meclutim, iz pravouglog trougla AOB je x2+y2:npz, pa je AB:-V7+7- /:oooo: too/r

sl. 3l sl. 32

5. Neka su a i 6 osnov_ne ivice, d, i d, odgovarajuce dijagonale bodnihstrana, d dijagonara osnove i i visina kudd.u ('l. lz-1. rz oatitr o'iri.ru-Joii:urno

72

proporcije: a: b : 4t 3, dr: dr : Yfr : l/TS i dht abh: 2 : 1. Odavde ie d'2 t dr2 = 2A : 13,

odnosno (a2 + h2\:(b2 + h2).:20 13 i d:ab:2.1, odalcle dobijamo 1/V1lb':ab::2:1 ili (a2+b2):a2 b2:4t1. Osnovne ivice dobijamo iz prve i poslednje pro-porcije, koje posle sretlivanja daju jednadine:4b:3a i a2+b2:4'a2 62. SmQnju-

- 9d :21 . posleskradivanjasa az dobijamo: o': ?,judi b dobijamo: a2+ -U 4 an]a sa rt" ooouamo: o": 36

odnosno o: j. surnirn tim je b= f,' suo" iz (u2 + h2):(b2 + h') :2o:t3 dobijamo:6

{ft +nl:1ffi +n'>:zo:13, odakle ie h.: fi-, oono*n" h: }.Sada izradunamo: p:zab+2ah+2bh- ffi iv:om:'#.

VII SAVEZNO TAKMIEENJE

VII RAZRED

1. U 40 kg morske vode ima 40.0,05 ke:Z ke soli. Ako dolijemo 60 kgdiste vode, ima6emo lO0 kg me5avine sa 2 kg soli, odnosno sa 2/o soli.

2. Oznadimo traZeni razlom* ,u 1. Tada moraju biti celi brojevi sledeiib

8 b 12b 20bproizvodi (produkti): - r.

- , -. i --.--. To ce biti ispunjeno ako je 6:1052,' 15 a'35 a 2l ajer je 105 najmanji zajednidki sadrialac za brojeve I 5,

35i2l.Dabi razlomat l Uio najmanji, treba dab

bude a:l (najmanji prirodan broi), a b:l0i ntreba da bude najve6i prirodan broj. Po$to najveciprirodan broj ne postoji, tp ne postoji ni najmanji

alrazlomak b lOSn

3. Trouglovi(troktti) OIAM i O.AN su jed-nakokraki, pa ie 4AMOt: jMAOr i 4ANOz::4NAOz (s1.33). Kako je 4MAOr:4NAOz(kao unakrsni) , to ie i 4 AMO r: 4ANOz. Kako je I

taCka prave (pravca)l!{N,sleduje da su uglovi (kutovi)lMOliAMO2nrirmeniini,pa iz njihove jednakosti zakljuCu.iemo da je Ogll,OzN. Pomatojpda jetangentiuprayna na dodirnom poluprecniku (rndijusu), pd ie \LAvM i tzlozff. Gudasleduje da .ia tr ll 12.

4. Frimer{ujuii lbrmule za pnvr$inu i zgpreminu kvadra, dobijamo: 2aD*.l2ac*2bc=abc. .{ko ovu jednakost podelimo sa Zabc, dobidemo:Zab 2 ac 2 bc phc

|ob,- 2ob,-Tub":T"b"'

13

7

odakle ie: l. t , l- tc h u I'Stoseitvrdilo'

.5. Zbn cifare datog hroia Jeljiv je sa 9 i nije veii 2000 . 9 : I g0m, tj. a< 18000.zbir cifara broja a je derjiv.sa.9.i nije.veci od io, rj.6<J6 1ui:iiit'1"b-:zL.Prema tome, zbir cifara broja b je 9, tj. c:e.

VIII MZRED

. t_ ( .r1)'-(*l :n2+B-(j-l-- ftf :n2+8. Dobijeni broj je pri-

l",$. 1, D.;t |i:n biodetjiv sa 5, morao bi imaii na mestu jedinica cifru (znamenku)

Lr rrr 5'.Medutim, kako se broj n2 mo2e zavrsavati samo ciframa kojd pripadajtiskupu {0, 1,4,5,6,9}, to posbdnja cifra broja n2*g ne moZe bitini 0,iri 5.

*

2. Prvi deo puta avion je preleteo ^t#:3,j dasova. Osrali deo puta (x km)

avion je preleteo za t dasova.-Na osnovu toga dobijamo jednacine: x:330 t i 3g5+-1-v:(3,5fr).250, odnosno 385+r:875+1SOl. Ato zamenimo I i" prve u Orugu

4 ACB :60", i ABC : 3O' i, prema pretpostavci, 4.BAC :90'.ACy'T

b) Kako je AD:kV3, iz AD:; dobijamo da je Aa:2k. Dalje je

BC:4 k i AB:zls /f . nobijeno teto je konus polupreiinka (radijusa) lC, visineAB i ianodrttce.BC. Prema tome:

p:(AC)2 n*AC.BC r:t2 kz tc i V :1 UClr. nBn:8- 1r' n.33

sl. 36 s1.37

5. Trouglovi (trokuti) ACD i BCD imaju zajednidku stranicu CD, a visine kojeodgovaraju ovim stranicama jednake su visini h datog trape?a (sl.3Z).Dakle;

cD.hPrrco:- ^ -:PgCO.z

Trouglovi MCD i NCD imaju zajednidku stranicu CD, a odgovarajude visiaesu im jednake normalnom rastojanju d izmedu paralelnih pravih (pravaca) CD i p.

cD.dPrema tome: pucp:i:pxco. PoSto je ptun:p.ecp-puco i

PsNo:Pacp-Pnc,p, sleduje zakljudak: PilwD-PnNo, Sto se i tvrdilo.

VIII SAVEZNO TAKMICENJE

VII R,AZRED

1. Brojevima od I do I 000 oznadimo sva mesta na kojima stoje udenici.Prema uslovu mesta mogu da zamene sariro uCenici diji se broj mesta razlikuje 7a 2.Dakle, udenik Ciji je broj neparan moZe da zameni mesto samo sa udenikom diji jcbroj takotle neparan. Prema tome, prvi (broj mesta l) nikad ne moZe doci na mestoposlednjeg (broj mesta 1000).

2. Neka su dati uzastopni parni brojevi: 2n, 2n*.2, 2n+! i 2n+6'-T-ada ie2 n(2 ni2) (2 ni1) (2 n+6):13 44O odakle dobijamo: 2 n'-2 (n+l)'.2 (n+2\': Z i" i :l: f j ++0, odriosno :' 16 (n4 + 6 n3 + l1 nz i 6 n\' = l3 440. Skraiivanjem sa I 6

avron Je

u druguI r\ 250;jecnadinu (r:"0/, dobidemo jednadinu po r: 385*x:8?5+;;;, odakte .je

33 .490x:

-

:2921,25. Dakle, avion je preleteo

put od 2406,2j km (st.34).

I l! Ix km s1.34 385 km

. 3 Neka je a ivica (brid), a v:at zapremina (vorumen) kocke. odsedeno teroje piramida SMNP (sl. 35).Zapreminu Vr ove piramide i-ulu"oC"--o uamAiueipravougli trougao (pravokutni trokut) SMII za bazu, a dui (duZinu) Sf:1 avisinu. hema tome: lz! *l a a a I

nina v^ nmrotna ^^r^

n

a.tT.T:nat. Zapremina ,/2 preostalog dela kocke

je V2:v-vr:!)at, pa je V2 : y1:71 . 1.

. -.- 1- .") Poznato je da je u pravougrom. trougru (pravorutnom trokutu) tezilna duz(teZisnica) podudarna rsuqqqal poroirnirripotTiuie:.AM:cM.<ri.l6llilr.il, utote o ry :

9 r._O D : A D i 4 A D M : 4 A De rftti ;i;a;j; U,. ;J"X;;; ffi ['i".ouon'I9-Lql."i ADM i AoC, p1j9.AM.:4c. oarcr!" irougao AMC im;;oduJu'.r," .u"stranrce' pa su mu unutrasnji ugrovi (kutovi) po 6o;.otuaa ra[[u-cij-#J'ou j",

?4

st. 35

75

dgbicemo : n4 + 6 nt + I I n2 + 6 n:84. Dakb na < 84t), pa kako je 5a : 625 i 6t : 1296,sledi da,je n<6. Proverom dobijemo da je a:4. Daii-uza.topni parni brojevi su: gi10, 12 i 14. (Taista je 8 . 10 . t2. t4:t3 44f't

3. Pretpostavimo da bi Andrija sam uradio ceo posao za a sati, Boris za D

sati i Cene za c sati. Tada bi za jedan sat uradili redom: 1-ti Oeo poul", 1- ti deoalt

-llllposla, *-ti'deoposla. Po5to zajedno zavr5eposaoza I sat,sledi daje l+ . +- :c-abc-1. Kakosua,D i cprirodni brojevi i c<b<a; dobijaino: o:6 sati, D:3 satai c:2 sata.

4. a) 7-a trapu, na sl. 38 uzete.su upola manje dirnenzije (CD:Z cm i DF=3cm). N{nre g konstu{3e duZ (duZina) CD, a zatim uglovi ({C:135":90"*45! i4D:12O" :2. @"). 7-atim odredimo normalu (okomicu) DF prave (pravca) CD,

tako da tadka-F leti u uglu gd 120" i da:jeDF:6cm, Prava kroz 4 paralelna sa CD, sedekrake konstruisanih uglova u temenima (who-vima) I i B traZeoog. trawza.

b) Trougao (trokut)ACE je pravougli (pra-vokutni) jednakokraki (48:4BCE:45"), paprimenom Pi&rgorine teoreme iz BE:CE:6 do-bijamo da je BC:6 /2. havoueili trougao ADFima oStre uglove od 30" i 60", pa predstavljapolovinu jednakostranidnog trougla sa visinom

DF:6. z-mrno da ie or:428, odnosno

ADVT6t:::-:--. Odavde dobijamo da je AD: /T.

(tr,, l, i i, smo.zarn:nili ve6im brojem l)' Kako je P36p+P'a6p+Ptsp-PAsg'

t -f,.t.|'o*l'S:e,izlazi da te P;glc<6' 5to nije mogude' let ie P'ai6:6'

p"ir", p.itp*air.a aa postoji opisana tatka P je pogresna, tj. ne postoji takva

talka P.

l. Ako bi predlozeno oanadavanje bilo-rnogucno, onda bi zbir svih-osam zbi-

-"a prioruiJ',td i;;'# il*]q'g'-'"'pt ,-qj!f ':,-'^'

"+ rr+r2)' Na sr'140

Ijf#ttr l"# jj';m$"lot"""l r,iGlff T::iii /4* "

VIII RAZRED

predloleno oznaiavanje ivica nije.moguino'

.ilf,ffi;'";;" t"*"t* M N" isii nacin, sv-aki od bro.tgva

i:i-:::.'it;i""i6" se po <iva puta u ukupnom zbiru'

iirii;,' tbii-o!.i" jednatitr prirodnit' brojeva (zbir kod

;;i;i' i"t ""JJ-piii"o*

br'oj)- imosio bi 2 ' 78 : 156' pa

.is *";i od njih jednat tso : vf,,sto je nemosuce' Dakle,

ISem toga je AF:-AD:Z /f SaOa znamo straoice trapeza: CD:4, BC:6/\AD:al/T i AB:AF*FE+BE:t}+21/T ger EF:CD;4).

_ Obim trapeza O:AB*BC-ICD+DA:(14+IVT+A/TI, a povr5ina jeIP- T(AB+CD)'h:(42+e

'/T) cmz.

5. Kako je 32f./+z:Jz, sledi da je dati trougao

ABC pravougli (sl.) i njegova povr$ina je P =1. 3. 4 : 6.2

Pretpostavimo da postoji tadka p u trouglu IBCla su njena odstojanja od stranica BC. aA i ABtakva da su njena odstojanja od stranica BC,

redo,ml1, h2ih3 i da je i1 <1,h2<l i h3redom 11, hzi h i da je i1 <1, hz<l i hi<t. TadaJe -zbrr (zbroj) povr Sina trouglova BCp, ACp i ABpjednak povrgioi trougla ABC,ij.zbir ovitr powsiaa je 6.

sa 3J, 3 z*l (pri deljenju sa 3 rmaJu ostataK l, r. rptz (prr

;;tffij.;; i i'"jr-*'t t r 6, gOe iu m, n i p celi biojevi. Ove tri.grupe obuhvataju

sve cele brojeve."'- % i;A;5 brojeva makar l moraju pripadati istoj klasi i njihova.rall^ika je

deliiva *L -il-

A ; t-i ;; : 3 ( m r-m),- (inr * !F*(3 nz * r) : 3 (n t-n), (3 p L++iHi pz+2)=3(Pr-P)-t -' ;l'iri"'*

" iiio Lojo: grupi nala'e. 3 od datih 5 brojeva. njiho_1 zb.ir je deljiv

." l. Niipri*ir, "rr*1 Uli,iii tredoj.klasi,-ondaje: (3pr *2)-p(rprf z){(l pt*2):

11i', + p)+ piio, a bvaj broj je oeljiv sa'3. Ako ne postoje 3 broja iz jedne klase,

",l"aA iift'"'ti."sa ima Uai jeariog predstavnika,.paje zbir P9

je.d.nog predstavnika iz

#ftffi;ii.;+tiliit piz:3 (mtn*p)*3, a ovaj broj je deljiv sa 3'

3. Trougao (trokut) OSr Cl? je pravougli (pra

vokutni), pa je sjegova povrSi o^ P :;OT' OS' Zameno-rn

P:24 i 0T:6 dobijamo:' 24:3 Qs, oQllg je OS=8'b"[-1..-ora"" sa0rii iadke f (0, 6] i .E (8' 0)i Zamenjsjuci

".o-,joii* i i ylu formuli y:ax+'b ko6rdinatama tatke

'i "-:zriii i koordinatama tadke S, dobidemo i€ilnadine

pf otpo-"ti- a i b: 6:b i 0:8 c*0. Tako nalazimo:-3

b:5 i a:7.

2. Skup brojera moZe se podeliti.u-tri gru-pe brojeva(ronem-o ii"ii"**irl, ci.ii su pieaitawici obliki.: j rz (deljivi sl' 40

I iii "+r--ip"

d"lj;tj" sa 3 ima5u ostatak 1) i. 3p+2.(pri

b) Rotacijom oko najduZe stranic-e trogao o-brazuje dvoslruku kupu polupred-

nika (konus oolumiera) OIl i visine S7. Najpre izradunamo 52' (Pitagorina. teorema):-T';s+br,*'g;lo;:r00, pa je s?:i0. Koristeii formulu zatrovrSinu trousla

r:leC.On (oH ie hipotenuzina visina), izraiunaiemo OH:;:;:4$'2

je zbirjednak

BCP, ACP i ABP. zbir ovih pow5iaa je 6.

Medutim, ako je atna pretpostavka da su odstojanja i,, h, i h, manja od, l,dobriamo: Ps6p* pKsp+ rn"":Il.n,n L.4.h,n f,.r.or.l t - * o-].t

F

sl. 4ts1.39

76

71

r

_ Zapremina (0r"." forrnuti v:|*n)iznosi: V:loilz

- jou,(.srr+rrr):3 oTz.57, jer je sH+HT:^ir. Dakte,:76,8r. Za n:3,14 imamo: p:211,00g i V:241,152.

":".3?ltilif:'1[rlY5":1?;se. od dva omotada i (prema rormuri M-zr rs):

:su+|on,.nr

v=|. +,t". ro:

4. Trouglovi.l(D M i BrDrK pripadaju pravougaonlku (pravokutniku) BDDTB,

f1?'l'r:B:lt-?,,u.t;;J^"2::L1.9*s"31'tu,"i,^,""iaiiffi ;ffi ;;; j:cue su stranice BB,:a i BD:a/l-Gijagonala kvadrata_ABCD stranice "1.

X"tijDM '.B.DD zakljuiujemo oa sJ ird,e-iil;'ii6lrt- i?,o,xslidni (s1,43).p a.je h : h,:-DM : D,B;:r : z (Jer te nnt:| O,o,).

Oat<le, h:T h' p& kako je h.yhr:Bgr:a, sledi da 1e h:;a i nr:ia.t 2

Sada izradunavams: ,** _i', o* o:l{.+"-!E- iz2232 ary'T

x sAvEZNo TAKN4IeENJE

VII RAZRED

l. Proizvod (produkt) dva broja koji se zavr5avaju cifrom (znamenkom)I opetje broj kojise zavrSava cifrom l. Ovosledi iz dinjenice daje (10 a*l) (10,+t)::100ab+10(a--6).1-l. Kako ie 7'7'7'1:49'49:2401, to je 7roo00--:2401 '2401 "'2401,'gde se 2401 javlja 2500 puta. Kako se ovaj proizvod zavr5avajedinicom. to se 710 000-l zavrsava nulom, Sto znadi da je deljivo sa 10.

2. Uodrmo trouglove (trokute) BFG i ABD (sl.45).Dokazaiemo da ovi trougloviimaju jednake po dve slranice i zahvaieni ugao (kut), tj. dokazacemo da su oni po-dudirni (sukladni). Z^ista, AB-=BI (stranice jednog kvadrata) i BG='AD (jer jeBC:,4Di BG=BC). Kakosu uglori lBFi C.BG pravi,to je d.4BC tiFBG.= 180'' (uglc'rvi paralclograma). sledida ie .I}?6=.+BAD. Otuda sledi da je GF-'BD,gde je ,BD dijagonala datog paralelograma.

3. Ako je a duZina (duljina) stranice Sestougla, Aa2 l/3

a b duZina stianice trougla, tada je 2' 6--'4*

b2 t/T:3.----, pa je 4 a2:b2. Kako su a i D pozitivne4

velidine, izlazi da je 2 a:b, tj.6 a:3 b, Bto pokazuje.dasu obimi ovih figura jednaki.

' 4. Neka su duZine stranica AB, BC, Cl redom c, e, b, a duiine odgovarajuiih

visina 1", ho, h6, Kako je povr5ina (plo5tina) trougla f :l on":l tnu-z2I 2P 2P 2P

-; ch, to imamo: hr: + , ht::; , h": =.

Iz uslova h": ho+-ht dobijamoza-b-c2P2PZPlllab

, odnosno -:- +--. Odavde je c: - .c a b c a b - a+b

Ako je a:6, onda imamo: "- ! b

-6 b-lsd--le :q i'-'9- ,'u, :6+b 6+b 6+b 6+b36 36:6-;-;. Dakle, treba da bu.de c prirodan broj i c:6-- :. Ovo je prema6+b ' 6;-b '

usloru mogude za b:6,,c:3, ili 6:3, c:2,ili b:12. c:4, ili 6:30, c:5. Medutim,prvi sludaj otpada, jer je neophodno da trougao bude raznostran (dakle, ne moiebiti a:6 i 6:6). Ostali sludajevi takode otpadaju, ier ne zadovoljavaju uslove iznejednakosti trougla.

5. Dati izraz moZe da se napiSe u obliku(a r* a z* a t*"' *arooF-(6r * b z* b yf. . . *6roo),

a tojejednako nuli,jerje zbir u prvoj zagradi (zbir vrsta)jednak zbiru svih 10000upisanih brojeva, a takode i zbir u drugoj zagradi (zbir kolona).

tI h,,

!t

PBTDTK:7 BrDr.h,*; t /,.; "-+

EFst.45

st. 42

M

sl- 43 9.44

1,:l.1hg #l cZ ):-Inly=+.eu\ $eo aaiznenicoi uelixi), ps nrX11t$1g,1#p:.tly:,.,1.9i{ri."*a,rii:+}iii*r j?+iffi;,t"tff"{3Y^f_i33$-.-gg-4t1iea(ae.sidr"zi",iii1...^Cdliiuiil.'liliffi '"cimng,:p'*glig:p"{g,y.t!.g",i-r,ips6"i#ff j"l;ffi ;il;L;.tffi*ffi f rym:: J11 B!;"i.: ? i;:A!; ffi .$ ;riie:,ffi ;",ff,iff iTy"f ^Si*Tf :g.t:h..lg'E;.y-E''ti*"c=fif ti"HT'-#tr"i+ 4AMD:tSoo, odnosno-4 AME: ihiit:it;.'

D) Neka je,BC:b; tada je eD:2 b, Kako je CD:CM + D:M, a DM:l iC M : b |/ 3 (izraCunava se iz pravouglog trougla gCM u kome ie gC:6 i BM : 2 b),dobiiemo formulu 2b:bV 3 *l.Odavde jeZb_bV l:t,odnosno b(2_Vt:1,pa je ,: I

. proliruiudi sa 2+V-! dobicemo: b: I =.2: E:r--;;"2-/ 3

2-v 3 2+v 3Sada je powlina pravougaoiika p-2 b2-Z.e+/ 3)z:2(7 + 4 y*r.

7879

VIII RAZRED

1" Kada od x litara alkohola odlijemo 2 ritra i dotijemo 2 titra l,ode u rastvoruie biti (.r-2) litara distog arkohora, tj. dobiiemo rastvor od tIjL100 procenata

xalkohola. Ukupna kolidina iistog alkohola posle drugog.presiparla biee x_,r_2.x-2

-----===:]-.--=_-_-'=_.-

-

-...-..-....-_...-...-

^:hIitara, a to je prema uslovu 0,36x. Tako dobijemo jednadinu *_2_2(14) _

:0,3^6-".^P-ople- n_rloZenja sa. x rlsbijamo: x(x---2)-2(x-2):9,36"r, Jrrorno(.r-2)z==6,3612. Kako su.x_i x_2 pozitivne uifiein!, Uiie "_12:'6,0i,'oloin".;.x:5. Dakle, posuda sadrii 5 litara iastvoia,

-^ - 2. "Neka

je r00ai'r0D*c traieni trocifreni broj. Tada je l00al-IO6*c:':33 (g t-.t *c)' Kako je desna srrana jednakosti oetjivir'sa-i to':" i l'06 i jlro t-r",tj. trazeni broi' deljiv sa 3. Zbog toga ji zbir cifa"a:onbe broja derjiv sa i, pa je a*b*'r.":? .*. Ako ovo smenimo

.u.noqe1n9J jednakoiti, ciuil.i"" l6ii i\ib"ti1lgg *,pa zakljudujemo da je rraZeni^broi d"^tii: s1.9,_Sto!1je ;l!+;;i', iri riii":re,iti

^ a 4 b r c :27..

. Kako jg ll . g :zi, + tt <z +{ib, - ti. i8 :3ba:3i is +g++ti 33.27:891 +33 (8+9+7), iztazi da je traieni broj'Sga.3. oznadimo sa R i r/ duline poruprednikii i visine konusa koji nastaje rota-

cijom isedenog jednakostranidnog trougla i izrazimo ihrli:-2 (videti osendeni trougao na s!.46).

Zapremina tcla. je razlika (diferencija) zapreminclopte poluprednika r i navedenog konusa:

y:! ,r r-.J 21

3 , R2ftH:-r3rc.

Povr5ina tela jednaka je zbiru povr5ina lopte ikonusa, tj. P:4r|-^*R27'*Rn.2 p:

OTrrn.

preko r: I/:1 r i n:2

Neka su Nr^i Nz podnoZja visina iz c€ntarax oznacrmo duZine.ovih odsedaka, onda duZini

>-FGG

--

-

@st.46

4. lzvr5imo analizu za:datka.kruZnica na traZene odsedke. Ako sa

A rN l i A2N 2 iznosc oo -1t-'2 dakle A1N1:treNe. Kako

'"'..-,ifl tL,i;(;{gi'i',i:l$|"l)1#jr.,1'&llx}:itJl,ff e:ni). Otuda izlazi da ie S,N1 :lrlryi'na je eglllrllr...Sr Szty':Nr -pravougionii, ?..ki:,

"Uie"'i,,nrr I)1, p"kako j3 A1N1:al):nzNz, dobijarno Z x:i'iojnornox:r. Jaoa se_moZe jednostavno izvrsiti konstrukcija:trolgao AglT je jednakostraniian i prava. Gauac)A$r je pgralelna sa S1S2,

5. Videti re5enje 5. zadatka za udenike VII razreda.

-i:]@il:%

st. 47 Matematidar - kako su ga nekad zami3ljali