Embed Size (px)
Citation preview
Fakultet strojarstva i brodogradnje
Sveučilište u Zagrebu
Poslijediplomska nastava
ANTUN GALOVIĆ
ODABRANA POGLAVLJA IZ KONDUKCIJE
I. Analitičko rješenje nestacionarnog jednodimenzijskog provođenja topline
II. Provođenje topline u polubeskonačnoj krutini
III. Analitičko rješenje temperaturnog polja kod trenutnih, kontinuiranih i pomičnih toplinskih izvora
IV. Nestacionarno provođenje topline s faznom promjenom
Zagreb, 2003.
2
I. Poglavlje; Analitičko rješenje nestacionarnog jednodimenzijskog provođenja topline
- beskonačna ploča - beskonačni cilindar - kugla
I. 1 Analitičko rješenje jednodimenzijskog nestacionarnog rovođenja topline u krutini 1.1 Uvod U okviru dodiplomske nastave iz područja konduktivnog transporta topline tretirani su problemi, glede njihova analitičkog rješenja, jednodimenzijskog stacionarnog provođenja topline za tri osnovna geometrijska oblika krutine: ravne stijenke, cilindrične i sferične stijenke. Kondukcijski transport topline u navedenim oblicima detaljno je prikazan u literaturi [1]. Opća rješenja stacionarnih temperaturnih polja za te tri osnovne geometrije, ravnu stijenku, stijenku cilindra i stijenku kugle su:
( )( )
( )r
CCr
CrCr
CxCx
12
21
21
ln
−=
+=+=
ϑ
ϑϑ
Integracijske konstante C1 i C2 se određuju iz rubnih (graničnih ) uvjeta, i kojih kako znademo, postoje tri vrste; a)- rubni uvjeti 1. vrste, kod kojega je na graničnim (rubnim) površinama tijela (krutine) poznata (propisana) temperatura; b)- rubni uvjet 2. vrste, kod kojega je na graničnim površinama poznata gustoća toplinskog toka; c)- rubni uvjet 3. vrste, koji je opisan Newtonovim iskustvenim stavkom, koji se u literaruri još naziva i Newtonov zakon hlađenja. On govori o toplinskoj interakciji između vanjskih površina krutina i okoliša i izražava se jednadžbom ( )∞−= ϑϑα ssq ,
u kojoj veličina α predstavlja ukupni koeficijent prijelaza topline, a koji u najširem obliku uključuje konvektivnu izmjenu topline i izmjenu topline zračenjem između graničnih površina i okoliša. Kod nestacionarnog provođenja topline u krutini, temperaturno polje, osim o prostornim koordinatama, funkcija je i vremenske varijable, pa je za rješavanje takvih problema, pored poznavanja graničnih uvjeta, potrebno dodatno poznavanje i početnog (inicijalnog) uvjeta. Početni uvjet se odnosi na poznavanje temperaturnog polja u krutini
3
u početnom trenutku odvijanja nestacionarne izmjene topline. Dakako da su za takve probleme analitička rješenja bitno kompliciranija i mogu se pronaći samo za određene jednostavne oblike krutine. Gdje god je to moguće pronalaze se aproksimacijska, ali još uvijek dovoljno točna analitička rješenja, u obliku kontinuirane funkcije, koja se zbog inženjerske aplikacije često prikazuju i grafički u bezdimenzijskom obliku. Kao takva mogu se koristiti za proračun temperaturnog polja u krutini za sve slučajeve koji udovoljavaju kriterijskim bezdimenzijskim varijablama. Razvoj elektroničkih računala omogućio je primjenu numeričkih metoda za rješavanje složenih kondukcijskih problema. U te metode ubrajaju se: metoda konačnih diferencija (MKD), metoda konačnih elemenata (MKE) kao i metoda kontrolnog volumena (MKV) ili energijska bilancna metoda. Svaka od tih metoda ima svoje prednosti i nedostatke. Numeričke metode pored svojih prednosti, imaju i jedan bitni nedostatak, i koji se svodi na činjenicu da one daju približan, dakako i dovoljno točan diskretiziran rezultat, ali samo za dotični promatrani problem. U okviru ovog poglavlja pokazuje se analitički način proračuna jednodimenzijskog nestacionarnog temperaturnog polja temperaturnog u ravnoj stijenci konstantnih fizikalnih svojstava. 2 Ravna stijenka zanemarivih toplinskih otpora na graničnim površinama
Ovakav model prikazuje slika I-1. Ploča ima debljinu δ2 , poznata konstantna fizikalna svojstva λρ ,, c . Os x usmjerena je po debljini, i u smjeru dotične osi dominantno je konduktivno širenje topline. To znači da se zanemaruju temperaturni gradijenti u smjeru druge dvije osi y i z. Neka je dotična ploča u početnom trenutku jednoliko progrijana na temperaturu pϑ , tj;
početni (inicijalni) uvjet je ( )0, =txϑ = pϑ
Nadalje neka se ploči naglo smanji vrijednost površinske temperature na vrijednost sϑ ,
čime se zbog simetričnog širenja topline mogu zapisati rubni (granični) uvjeti na sljedeći način:
;0=x 0=∂∂
x
ϑ (I - 2a)
;δ=x sϑϑ = (I - 2b)
Navedena situacija u praksi je moguća, kada se slabo vodljivi materijal naglo uroni u kapljevinu, pri čemu se između površine uronjene krutine i kapljevine postižu vrlo visoki koeficijenti konvektivnog prijelaza topline, pa se može zanemariti konvektivni toplinski otpor. Za taj slučaj Biotov broj λα /lBi = postaje jako velik, što dopušta vrlo jednostavno bezdimenzijsko rješenje ovog vrlo važnog nestacionarnog problema.
ϑ
ϑp
ϑs ϑs
-δ +δ
2δ
Slika I-1. Ravna stijenka zanemarivih toplinskih otpora na graničnim površinama
4
Parcijalna diferencijalna jednadžba promatranog problema ima oblik
2
2
xa
t ∂∂=
∂∂ ϑϑ
(I - 3)
2.1 Prikaz problema u bezdimenzijskom obliku Prije iznalaženja rješenja naznačene jednadžbe zajedno sa početnim i rubnim uvjetima, prikladno je iste prevesti na bezdimenzijski oblik. Prvo formirajmo bezdimenzijske prostornu, temperaturnu i vremensku varijablu: - bezdimenzijska prostorna varijabla
δ
η x= (I-4)
- bezdimenzijska temperaturna varijabla
( )
sp
s
sp
s,
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑΘ
−−=
−−= tx
(I-5)
Tko definirane bezdimenzijske varijable mijenjaju se od 0 do 1. Koristeći zadnje dvije bezdimenzijske jednadžbe, jednadžbu (I-3) prevodimo na bezdimenzijski oblik sljedećom procedurom: ;δη=x ηδdd =x (a) ( ) ;sp Θϑϑϑ −= ( ) Θϑϑϑ dd sp −= (b)
Uvrštavanjem jednadžbi (a) i (b) u jednadžbu (I-3) dobiva se njezin modificirani oblik
( ) ( )2
2
2
spsp η
Θδ
ϑϑΘϑϑ∂∂−
=∂
∂−a
t (c)
kojeg se lako modificira na bezdimenzijski oblik
( ) 2
2
2/ ηΘ
δΘ
∂∂=
∂∂
at (d)
Uvođenjem bezdimenzijske vremenske varijable u gornju jednadžbu
( )/
t
aξ
δ 2= (I-7)
dobiva se konačni bezdimenzijki oblik jednadžbe (I-3)
5
2
2
ηΘ
ξΘ
∂∂=
∂∂
(I-8)
U jednadžbi (I-7) veličina
pc
aρλ= (I-9)
predstavlja koeficijent temperaturne vodljivosti (toplinska difuzivnost) krutine. Početni i rubni uvjeti u bezdimenzijskom prikazu su sljedeći: ;0=ξ 1=Θ (I-10a)
;0=η 0=∂∂
ηΘ
; (adijabatski uvjet!) (I-10b)
;1=η 0=Θ (I-10c) Bezdimenzijska veličina
2
atFo
δ= (I-11)
naziva se Fourierov broj, i kojeg se formalno može napisati u obliku
c
tFo
t= (I-12)
gdje veličina
a
t2
c
δ= (I-13)
predstavlja karakteristično vrijeme odnosno vremensku konstantu krutine pri jednodimenzijskom nestacionarnom provođenju topline. Bezdimenzijsko rješenje imat će oblik ( ) ( )ηξηΘ ,, 1fFof == (I-14) u kojemu bezdimenzijske varijable Fo, η odnosno ξ predstavljaju varijable sličnosti. Ponašanje samog rješenja u mnogome ovisi o tomu da li je Fo mnogo manji, reda veličine ili puno veći od jedinice.
6
2.1.1 Bezdimenzijsko rješenje temperaturnog polja Jedan od načina postavljenog problema je metoda separacije varijabli. Pretpostavimo da se funkcija (I-14) može prikazati kao produkt samo funkcije varijable ξ , ( )ξZ i
funkcije varijable η , ( )ηH , tj.: ( ) ( ) ( )ηξηξΘ HZf == ,1 (I-15) Supstitucijom u jednadžbu (I-8) dobiva se
2
2
d
d
d
d
ηξH
ZZ
H = (I-16)
pri čemu su totalni diferencijali zamijenili parcijalne, jer je veličina Z zavisna samo od ξ , a H zavisna samo o η . Gornju jednadžbu možemo stoga prevesti na oblik
2
2
d
d1
d
d1
ηξH
H
Z
Z= (I-17)
Kako je svaka strana gornje jednadžbe funkcija jedne nezavisne varijable, jednakost može biti zadovoljena ako su obje strane jednake istoj konstanti. Da bi zadovoljili rubne uvjete, ta konstanta mora biti negativan broj kojeg ćemo označiti s - 2λ , pa se za gornju jednadžbu može napisati
22
2
d
d1
d
d1 ληξ
−== H
H
Z
Z (I-18)
Iz gornje jednadžbe se mogu napisati dvije obične diferencijalne jednadžbe:
0d
d 2 =+ ZZ λξ
(I-19)
0d
d 22
2
=+ HH λ
η (I-20)
Opće rješenje jednadžbe (I-19) je ( )ξλ2
1 exp −= CZ (I-21) a opće rješenje diferencijalne jednadžbe (I-20) je ληλη sincos 32 CCH += (I-22)
Uvrštavajući gornje jednadžbe u jednadžbu (I-15) dobiva se zapis temperaturnog polja u općem bezdimenzijskom obliku
7
( ) ( ) ( )ξλληληηξΘ 2-expsincos, BA += (I-23) pri čemu je uzeto da je 21CCA = i .31CCB =
Primijenivši rubni uvjet (I-10b) i jednadžbu (I-23) slijedi
( ) ( ) 0-expcossin0
2
0
=+−=
∂∂
==
ηη
ξλληλληληΘ
BA (a)
što daje 0=B (I-24) Rubni uvjet (I-10c) i jednadžbe (I-23) i (I-24) daju jednadžbu ( ) ( ) 0expcos, 1
21 =−= == ηη ξλληηξΘ A (b)
koja će biti zadovoljena kada je 0cos =λ (c) odnosno
;2
1 πλ
+= nn ,...3,2,1,0=n (I-24)
Kako su nλ vlastite vrijednosti problema, tada se odgovarajuće n- to rješenje može
napisati u obliku
( ) πηηξΘξπ
+=
+−
2
1cos,
22
2
1
neAn
nn (I-25)
Opće rješenje jednadžbe (I-8) stoga se dobije kao suma pojedinačnih rješenja dobivenih iz (I-25)
( ) πηηξΘξπ
+=∑
∞
=
+−
2
1cos,
0
2
1 22
neAn
n
n (I-26)
Konstante nA određuju se iz gornje jednadžbe i početnog uvjeta (I-10a)
( ) ∑∞
== =
+=
00 1
2
1cos,
nn nA πηηξΘ ξ (d)
8
Stoga konstanta koja proizlazi iz početnog uvjeta mora biti izražena beskonačnim brojem članova funkcije cosinus, a što se svodi na razvoj u Fourierov red. Ili više općenito, ( ) ( )ηηξΘ η f==0, je jedna funkcija od η , pa je tada traženi razvoj
( ) ∑∞
=
+=
0 2
1cos
nn nAf πηη (I-27)
Razvojem u Fourierov red slijedi
( )0
2cos dnA F x nx x
π
π= ∫
pa prema jed. (I-27) slijedi da je x=πη ; d dx π η= , te nadalje uz 0x η= → = 0 i x π η= → =1 pa izraz za nA iz gornje jednadžbe glasi
( )∫
+=
1
0
d2
1cos2 ηπηη nfAn (I-28)
Rješenje gornjega integrala je vrlo jednostavno kako se vidi iz sljedeće procedure
( )∫
+=
1
0
d2
1cos2 ηπηη nfAn =
1
0
12 1cos d
2n π η + ∫ ,
pa se gornji integral rješava uvođenjem supstitucije
1
2u u πη = + ;
1d d
2u n π η = +
10
2 2 1cos d sin
1 1 22 2
nA u u nn n
πηπ π
= = + + +
∫
a što se lako prevodi u oblik
( )
ππη
π
+
−=
+
+
=
2
112
2
1sin
2
12
1
0 nn
nA
n
n (I-29)
Supstitucijom gornje jednadžbe u jednadžbu (I-26) dobiva se partikularno rješenje jednodimenzijskog nestacionarnog temperaturnog polja kroz ravnu stijenku s nametnutim simetričnim temperaturnim rubnim uvjetima
9
( ) ( )∑∞
=
+−
+
+
−=0
2
1
2
1cos
2
112
,2
2
n
nn
nen
πηπ
ηξΘξπ
(I-30)
Gornju jednadžbu možemo izraziti kao ( )tx,ϑ , ako se u nju uvedu poznate jednadžbe
δη x= i Fo= 2δat
( ) ( )∑
∞
=
+−
+
+
−=−
−0
Fo2
1
sp
s
2
1cos
2
112, 2
2
n
nn xne
n
tx
δπ
πϑϑϑϑ π
(I-31)
Gornju funkciju prikazuje dijagram na slici I-2, gdje je na apscisu nanešena varijabla η , a parametarske krivulje su vrijednosti Fourierova broja Fo.
Slika I-2. Bezdimenzijsko jednodimenzijsko nestacionarno temperaturno polje u funkciji bezdimenzijske prostorne koordinate η i bezdimenzijske vremenske parametarske veličine Fo 2.1.2 Gustoća toplinskog toka Od posebnog nam je interesa izvod jednadžbe za gustoću toplinskog toka ostvarenog na graničnim (rubnim) površinama stijenke. Dakako vezu između gustoće temperaturnog polja i gustoće toplinskog toka daje nam Fourierov stavak, te koristeći njega i jednadžbu (I-31), ostvarena gustoća toplinskog toka na δ=x (rubna površina) je
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fo = 0.01
Fo = 0.03Fo = 0.1
Fo = 0.3
Fo = 1.0
Bez
dim
enzi
jska
tem
pera
tura
,s
p
s ϑϑ
ϑϑ
Θ−−
=
Bezdimenzijska duljina,δx
10
( ) ( ) ( )2
21
2p s
0
2 1.
12
nn Fo
x L xn
q ex
n
π
δ
ϑλ λ ϑ ϑ ∞ − +
= ==
−∂= − = − −∂ +
∑
δ
δπ=
+
∂∂
x
xnx
/2
1cos
( ) 21p s 2
0
2 n Fo
n
eπλ ϑ ϑ
δ
∞ − +
=
− −= ∑ (I-32)
ili ako gornju sumu izrazimo u nekoliko prvih članova dobiva se izraz
( ) 2 2 2 2
3 5 7Fop s 2 2 2 2
s
2...
Fo Fo Fo
xq q e e e eπ π π π
δ
λ ϑ ϑδ
− − − −
=
− = = + + + +
iz kojeg se može kvantificirati utjecaj prva četiri člana sume na vrijednost ostvarene gustoće toplinskog toka. Tablica I-1. pokazuje dotično. Tablica I-1. Utjecaj prva četiri člana sume na vrijednost ostvarene gustoće toplinskog toka Fo 2
2Fo
e
π −
23
2Fo
e
π −
25
2Fo
e
π −
27
2Fo
e
π −
0,01 0.9756 0,8008 0,5396 0,2985 0,1 0,7813 0,1085 0,0021 ≈10-5 0,2 0,6105 0,0118 ≈10-6 0,3 0,4770 0,0013 1,0 0,0848 ≈10-10 Tablica pokazuje da suma vrlo brzo konvergira, osim za malene vrijednosti Fourierova broja. Za 0,2Fo ≥ , može se zadržati samo prvi član sume, pa je
( ) 2
p s 2s
2 Fo
q eπλ ϑ ϑ
δ
−
−≅ (I-33)
Načinjena pogreška akceptirajući jednadžbu (I-33) je manja od 2% u odnosu na rezultat dobiven jednadžbom (I-32). Kako je 2at ,Fo δ= tada proizlazi da će usvojena aproksimacija (I-33), za odabrani materijal i debljinu krutini, biti prikladna za duža vremena širenja topline u krutini. Ako bi 0Fo → , (kratka vremena širenja topline), tada se lako dokazuje da je
=∑
∞
=
+−
→2
1
2
10
2
1
0
2
1lim
2
Fo
en
Fon
Fo
π
π
pa supstituirajući ga u (I-32) dobiva se izraz za gustoću toplinskog toka
11
( )( )
( )p s p s
s 1
2
qatat
λ ϑ ϑ λ ϑ ϑππ
− −≅ ≅ (I-34)
Gornji se izraz može koristiti uz ispunjenje uvjeta 0,05Fo ≤ . Promatrajući temperaturno polje, slika I-2, može se zaključiti da se unutar kratkog vremena provođenja topline temperatura mijenja u tankom sloju ispod površine krutine, dok temperatura u unutrašnjosti krutine ostaje praktički nepromijenjena. Stoga debljina ploče za takav kriterij nema praktički nikakvog utjecaja na gustoću toplinskog toka, pa se kao varijabla niti ne pojavljuje u jednadžbi (I-34). Ta činjenica upućuje na dodatnu analizu provođenja topline kroz polubeskonačnu krutinu, a što se obrađuje u poglavlju II. 2.1.3 Nesimetrični rubni uvjeti Tijekom provedene analize nametnuli smo istu temperaturu s obje strane stijenke, što je uvjetovalo simetrično širenje topline. Ta je činjenica dopustila rješenje problema na poludebljini stijenke, δ≤≤ x0 , tako da su se mogli ispuniti rubni uvjeti 1=η i 0=η . Ako sada nametnemo različite izotermne rubne uvjete i to: ( )
sϑδϑ == tx , i ( ) s, ′=−= ϑδϑ tx (I-35a,b)
kako to prikazuje slika I-3.
Ovako definirani problem ne dopušta s jedne strane definiranje bezdimenzijske temperature
0=Θ na obje granice, a i bez homogenih rubnih uvjeta nije moguće tako jednostavno odrediti vlastite vrijednosti problema, kao što je to ranije pokazano tijekom izvođenja jednadžbe (I-24). Da bi izbjegli navedene poteškoće problem reduciramo na superpoziciju stacionarnog i nestacionarnog dijela problema, tj. u matematičkom zapisu ( ) ( ) ( )txxtx ,, 21 ϑϑϑ += u kojem član ( )x1ϑ označuje stacionarni a ( )tx,2ϑ nestacionarni član. Diferencijalna jednadžba stacionarnog člana je
( )
0d
d2
12
=x
xϑ (b)
a pripadajući rubni uvjeti su: ;δ=x sϑϑ = (c1)
;δ−=x s′= ϑϑ (c2)
ϑp = ϑp(x ; t = 0)
ϑs′
ϑs
ϑ
-δ +δ x
Slika I-3. Nesimetrični izotermni rubni uvjeti
12
pa je njezino partikularno rješenje
( )22
ssss1
′′ ++−= ϑϑδ
ϑϑϑ xx (d)
Diferencijalna jednadžba nestacionarnog člana je
( ) ( )
2
22 ,,
x
txa
t
tx
∂∂=
∂∂ϑ
(e)
kojemu su rubni uvjeti: ;δ±=x 02 =ϑ (f1,2) a početni uvjet je ;0=t 1p2 ϑϑϑ −= (g)
te je njezino partikularno rješenje
( ) ∑∞
=
+
+=
0
2
1
2 2
1cos,
22
n
Fon
n
xneAtx
δπϑ
π (h)
Konstante nA određuju se iz jednakosti
∑∞
=
′ −−−=
+
0
ssp 22
1cos
nn
xxnA
δϑϑϑ
δπ
2ss ′+ϑϑ
(I-36)
Desna strana jednadžbe (I-36) označava funkciju f(x), pa se shodno ranije pokazanom postupku razvoja u Fouirerov red, vidi izvod jed. (I-29), može napisati izraz za An
' 's ss s
p
0
2 1 1( )cos cos d
2 2 2 2n
x x xA n n x
π ϑ ϑ ϑ ϑπ πϑπ δ δ δ
+ − = − + − +
∫ (I-36a)
Prikazani princip superpozicije zorno prikazuju dijagrami na slici I-4.
13
Slika I-4. Uz pojašnjenje principa superpozicije Ili ako bi promatrani problem formulirali shodno oznakama na slici I-5, tada se rješenje promatranog nestacionarnog temperaturnog polja temperaturno nesimetričnog rubnog
problema može napisati u obliku
( ) ( ) +−−=δ
ϑϑϑϑ xtx s2s1s1,
( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∞
=
−
−−−−
0s2ps1p sin1
12 2
n
Fonn xn
en δ
πϑϑϑϑπ
π
(I-37) Temperaturno polje u nekoliko vremenskih trenutaka, shodno gornjoj jednadžbi, kvantitativno prikazuje slika I-6, i koja je preuzeta iz [3].
ϑ
ϑp
iliϑ
ϑ0
ϑs1
ϑs2
x = δ x
λ ; ρ ; c
0
-δ +δ -δ +δ -δ +δ
0 0
ϑ1 ϑ2
ϑ1ϑs′
ϑs
= +
x = 0
ϑ2 = ϑp - ϑ1t = 0
ϑs
ϑs′
ϑ p -
ϑ s′
ϑ p -
ϑ s
ϑ
ϑp
ϑs1
ϑs2
ρ, c, λ
x = 0 x = δ x
Slika I-5. Integralni prikaz nesimetričnog kondukcijskog problema
14
ϑ
ϑ0
0 δx
t1t2
ti
t ⇒∞
stacionarnostanje
6 °C
-17,5 °C-20 °C
Svojstva krutine (zida):λ = 0,334 W/(m K)c = 837 J/(kgK)
ρ = 1200 kg/m3
δ = 250 mm
Slika I-6. Kvantitativni prikaz nestacionarnog temperaturnog polja u ravnoj stijenki
Koristeći gornju jednadžbu i Fourierov stavak lako se dolazi do vrijednosti gustoća toplinskih tokova na graničnim plohama 0=x i δ=x .
( ) ( ) −−= s2s1s ,0 ϑϑδλ
tq
( ) ( ) ( )[ ] ( ) Fon
n
n en
n
2
0s2ps1p 1
12 π
δπϑϑϑϑ
πλ −
∞
=
−−−−∑ (I-38)
( ) ( ) −−= s2s1s , ϑϑδλδ tq
( ) ( ) ( )[ ] ( ) Fon
n
n en
n
2
0s2ps1p 1
12 π
δπϑϑϑϑ
πλ −
∞
=
−−−−∑ (I-39)
Ako vrijeme ∞→t tada nestacionarni članovi u gornjim jednadžbama teže nuli, tj., postiže se stacionarno provođenje topline kroz ravnu stijenku, što za sobom povlači iste gustoće toplinskih tokova na graničnim površinama, a koji su opisani prvim sumandima desnih strana gornjih jednadžbi. 3 Temperaturno polje u ravnoj stijenki, cilindru i kugli s nametnutim rubnim
uvjetima 3.vrste
U ovom pasusu promotrimo generalniji problem nestacionarne jednodimenzijske kondukcije za tri opća oblika krutine: beskonačne ploče (ravne stijenke), beskonačnog cilindra (stijenke cijevi) i kugle, čije su rubne površine izložene rubnom uvjetu 3. vrste. Prvo se analizira problem ploče, a rezutati dotične analize se zatim modificiraju na beskonačni cilindar i kuglu.
15
3.1 Analiza ploče (ravne stijenke) U prethodnom poglavlju analiziran je problem nestacionarnog temperaturnog polja u ravnoj stijenki, za slučaj zanemarivanja otpora prijelazu topline s površine krutine na okolišni fluid i obratno. To je bilo zadovoljeno za velike vrijednosti kriterijskog Biotova broja; λαδ=Bi . S druge strane u okviru dodiplomske nastave u predmetu Termodinamika II, [1], obrađen je problem nestacionarne kondukcije uz zanemarenje konduktivnog otpora krutine, a što odgovara malenim vrijednostima kriterijskog Biotova broja. Stoga u ovom pasusu analizirajmo jedan generalniji slučaj kod kojega su otpor provođenja krutine i otpor prijelazu topline po svojim magnitudama međusobno sumjerljive veličine. To znači da je za takav slučaj Biotov broj reda veličine broja jedan,
tj; 1≈Bi . Ploču relevantni koordinatni x,ϑ sustav prikazuje slika I-7. S obje strane ravne stijenke debljine δ2 , nalazi se fluid temperature ∞ϑ . Isti su i koeficijenti prijelaza topline α na obim rubnim stijenkama, tj; ααα δδ == =−= xx .
To znači da je ploča izložena simetričnim rubnim uvjetima 3. vrste. Ponovo definirajmo bezdimenzijsku prostornu i vremensku varijablu kao i u predhodnom pasusu: δη /x= i ξ = at/δ2,
ali bezdimenzijsku temperaturu Θ definirajmo sada u odnosu na temperaturu fluida ∞ϑ
( )
∞
∞
−−=ϑϑ
ϑϑΘp
, tx (I-40)
Analiza je analogna proceduri iz prethodnog pasusa, pa se može pisati
( ) ( ) ξλληληηξΘ2
sincos, −+= eBA (a) Zbog nametnutih simteričnih rubnih uvjeta, i ovdje egzistira adijabatski uvjet u sredini stijenke
00
=
∂∂
=ηηΘ
(b)
tako da gornja jednadžba daje 0=B (c)
ϑ
ϑp
ϑ∞ ϑ∞
fluid fluid
α α
-δ +δ0 x
Slika I-7. Uz analizu nestacionarnog provođenja topline u ravnoj stijenki, za slučaj da je Bi ≈ 1.
16
pa se jednadžba (a) transformira na pojednostavljeni oblik
( ) ληηξΘ ξλ cos,2−= Ae (I-41)
Nadalje rubni uvjet 3. vrste može se povezati s temperaturnim poljem u jednadžbom:
( )∞==
−=
∂∂− ϑϑαϑλ δ
δx
xx (e)
koja se uvođenjem navedenih bezdimenzijskih veličina transformira na oblik
( ) 1
1
==
=
∂∂− η
η
Θαηϑ
δλ
(f)
ili
( ) 1
1
==
=
∂∂− η
η
ΘηΘ
Bi (I-42)
Supstituirajući (I-41) u (I-42) slijedi
λλλ ξλξλ cossin22 −− = BiAeAe (g)
odakle slijedi jedna transcedentna jednadžba
Bi
λλ =ctg (I-43)
koja ima beskonačni broj rješenja ili beskonačni broj vlastitih (svojstvenih) vrijednosti
nλ . Grafički prikaz prva četiri rješenja gornje jednadžbe za zadanu vrijednost Biotova
broja prikazuje slika I-8.
17
Slika I-8. Grafički prikaz prva četiri rješenja transcedentne jednadžbe (I-43) Za svaku vlastitu vrijednost nλ dobiva se vlastita funkcija ηλn i jedna konstanta nA , pa
njihova suma predstavlja generalno rješenje
( ) ∑∞
=
−=1
cos,2
nnn
neA ηληξΘ ξλ (I-44)
Konstante nA se razvijaju iz zadanog početnog uvjeta (I-10a)
( ) ∑∞
=
==1
1cos0,n
nnA ηληΘ (h)
Razvojem gornjeg izraza u Fourierov red, koji se postupak pokazuje umetkom, dobivaju se rješenja za nA
nnn
nnA
λλλλ
cossin
sin2
+= (I-45)
Uvrštavanjem jednadžbe (I-45) u (I-44) dobiva se partikularno bezdimenzijsko rješenje jednodimenzijskog temperaturnog polja u ravnoj stijenci s nametnutim simetričnim rubnim uvjetima 3. vrste
+=
−−= ∑
∞
=
−
∞
∞
δλ
λλλλ
ϑϑϑϑΘ λ
φ
x
ne
nn
n
n
Fonn
1p
coscossin
sin22
(I-46)
λ1 π λ2 λ3 λ42π 3π 4π
Biλctg λ
λ
18
Dijagram na slici I-9 kvantitativno prikazuje gornje rješenje u funkciji bezdimenzijske koordinate δη x= i Fourierova broja za vrijednost Biotova broja 3,0=Bi .
Slika I-9. Bezdimenzijski dijagramski prikaz jednadžbe (I-46) Iz dijagrama se uočava da tangente povučene na bilo kojoj krivulji temperaturnog polja na mjestu 1== δη x , granična površina, pogađaju pol R koji ima koordinate
0 Bi,/11 RR =+= Θη . Umetak: Prikaz načina izvođenja jednadžbe (I-45)
Kako su funkcije
δλ
xkcos i
δλ
xlcos međusobno nezavisne, tada vrijedi i svojstvo normalizacije:
∫−
∫− −
+−=
+
⇒=
δ
δ
δ
δ
δ
δδλ
λδδ
λ
δλ
xxcx
x
cxx
ck
kkkk k2
k
222 2sin22
1d
2
2cos1
1dcos
( )( )
+
=⇒=+=
k
k2
2sin2
112sin
2λλδ
λλ
λδ
δ
k
kk
kk cc
Dakle, ako je
( )( )
+
==
k
k
2sin2
1cos
λλδ
λ
δλ
k
kkk
xcxQ
δλ
xkcos
onda vrijedi
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.333
0.010.06
0.10.3
Fo = 0.6
Bi = 3.0
Bezdimenzijska koordinata, η = x/δ
Bez
dim
enzi
jska
tem
pera
tura
,Θ
= (
ϑ -
ϑ e)/
(ϑ0
-ϑ e
)
R
19
( ) ( )∑∞
==1n
nn xQaxf i ( ) ( )∫−
=δ
δxxQxfa nn d
Kako je u našem slučaju ( ) 1=xf , tada je
( )( ) ( )
∫−
+
=∫−
+
==
δ
δλ
λδ
λλδ
λ
δλ
δ
δ λλδ
λnsin2
2sin2
1cos
2sin2
1d
nnn
nn
nn
nnn
xxxQa
pa se konačno može napisati izraz za nA
( ) ( )n
nn
sin2
2sin2
12sin
2
1λ
λδ
λλδ
λ
λλδ
λ
nn
n
n
nnnn caA
++
==
nnn
n
nnn
n
nn
n
λλλ
λ
λλλ
λ
λλ
λ
sincos
sin2
sincos22
1
sin2
sin22
1
sin2
+=
+=
+=
i koji je naznačen u jednadžbi (I-45)! Često puta nas zanima odnos izmijenjene topline unutar vremenskog intervala t→0 prema izmijenjenoj toplini za slučaj da vrijeme ∞→t . Označivši taj odnos s ψ , može se napisati jednadžbu
( )( )
( )( ) ∞
∞
∞ −−
−=−−
=∞→
→=ϑϑϑϑ
ϑϑρδϑϑρδ
ψpp
p 10
Ac
Ac
tQ
tQ (I-47)
u kojoj veličina ϑ predstavlja prosječnu temperaturu nad cjelokupnim volumenom krutine u vremenskom intervalu od t→0 ;
( )
V
ttVVV
t
t∫ ∫
==d,d
0
ϑϑ (I-48)
Koristeći jednadžbu (I-46) i činjenicu da je δAV = , odnosno da je xAV dd = , lako se rješava jednadžbu (I-48), pa njezinim uvrštavanjem u (I-47) slijedi izraz za traženi odnos toplina
∑∞
=
−
+−=
1
sin21
2
n n
n
nn
nneλ
λλλλ
λψ λ
cossin
sin
n
Fo (I-49)
20
Kvantitativni dijagramski prikaz gornjeg izraza u funkciji Fourierova i Biotova broja prikazuje slika I-10.
Slika I-10. Odnos izmijenjenih toplina u funkciji Fourierova i Biotova broja 3.2 Generalizirani oblik rješenja Prikazani algoritam rješavanja za ploču može se poopćiti na način da se prilagodi rješenju, pored ploče, još i za beskonačni cilindar i kuglu. Shodno slici I-11., može se pisati
( )∑∞
=
−=1n
nnFo
n feA n ηλΘ λ (I-50)
∑∞
=
−=−=0
n
2
1n
nFo BeA nλΘψ (I-51)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.00 2 4 6 8 10
103
1
Bi = 0.3
Ψ
Fourierov broj, Fo = at/δ 2
21
Slika I-11. Shema za generalno rješenja temperaturnog polja, s nametnutim rubnim uvjetom 3. vrste za beskonačnu ploču, beskonačni cilindar i kuglu
Svojstvene (vlastite) vrijednosti nλ određuju se iz sljedećih jednadžbi:
Ploča: 0sin -cos =λλλBi (I-52a)
Cilindar: ( ) ( ) 001 =− λλλ BiJJ (I-52b)
Kugla: ( ) 0sin1cos =−+ λλλ Bi (I-52c) U jednadžbi (I-52b) funkcije ( )λ1J i ( )λ0J su Besselove funkcije prve vrste reda jedan
i reda nula. Ove su vrijednosti određene i tablično prikazane u Prilogu na kraju skripti. Nadalje treba uočiti da su karakteristične linearne dimenzije koje egzistiraju u Biotovu broju: za ploču polovina njezine debljine δ , za cilindar i kuglu polumjer R . No kod razmatranja problema zanemarivanja kondukcije, gdje je linearna dimenzija bila definirana kao AVl = , tj. volumen/površina, za ravnu stijenku je isti broj δ=l , dok je
za cilindar 2Rl = , a za kuglu 3Rl = , što ukazuje na činjenicu da du različite definicije Biotova broja. Tablica I-2 daje ( ) ( )nnnn BA λλ ; i ( )ηλ ,nnf za tri navedene geometrije krutine.
Tablica I-2. ( ) ( )nnnn BA λλ ; i ( )ηλ ,nnf za ploču, cilindar i kuglu
Geometrija ( )nnA λ ( )nnB λ ( )ηλnnf
Ploča nnn
n
λλλ
λ
cossin
sin2
+
n
n
λ
λsin
δλ
xncos
Cilindar ( )
( ) ( )[ ]nnn
n
JJ
J
λλλ
λ21
20
12+
( )
n
nJ
λ
λ12
R
rJ nλ0
Kugla nnn
nnn
λλλ
λλλ
cossin
cossin2
−
−
3
cossin3
n
nnn
λ
λλλ −
R
r
R
r
n
n
λ
λsin
λ
x = L
x
αc λ
αc
Rr
λ
αc
R
r
λδα
δδη c
2 ;; === Biat
Fox
Ploča
λαη R
BiRat
FoRr c
2 ;; ===
Cilindar
λαη R
BiRat
FoRr c
2 ;; ===
Kugla
22
3.2.1Aproksimacijska rješenja za duga vremena U odjeljku 1.3 pokazano je da serija rješenja rapidno konvergira za duga vremena trajanja kondukcijskog širenja topline. Kako je vremenska varijabla sadržana u bezdimenzijskom Fourierovu broju, pokazano je da za Fo > 0,2, uzevši samo prvi član sume odovoljeno je točnosti oko 2%. Često nam je u praksi interesantan odziv za središnju temperaturu tijela ( 0=x ili 0=r ), a koji je i najsporiji. Označivši središnju temperaturu sa cϑ , odnosno njezin bezdimenzijski oblik
∞
∞
−−=
ϑϑϑϑΘ
p
cc (a)
te uzevši samo prvi član jednadžbe (I-50), dobiva se približni oblik jednadžbe bezdimenzijske središnje temperature
;2
11c
FoeA λΘ −= za 0,2>Fo (I-53)
budući da za ( ) 111 =ηλf , za 0=η . Kako pokazuje jednadžba (I-53), uzimanjem samo prvog člana sume jednadžbe (I-50), oblik temperaturne distribucije je nepromjenljiv s vremenom. Stoga se temperaturu na bilo kojem mjestu krutine može jednostavno odrediti prema središnjoj temperaturi ( )ηλΘΘ 11c f= za 0,2>Fo (I-54)
Slično, zadržavši samo prvi član u jednadžbi (I-51), dolazi se do izraza za približnu vrijednost veličine ψ c11 Θψ B−= za 0,2>Fo (I-55)
Vrijednosti 1
21 , Aλ i 1B u funkciji Biotova broja daje tablica I-3.
Tablica I-3. Numeričke vrijednosti prvih članova 1,2
1 Aλ i 1B
u funkciji Biotova broja za ploču, cilindar i kuglu Ploča
Bi 21λ 1A 1B Bi 2
1λ 1A 1B
0,02 0,01989 1,0033 0,9967 2,0 1,160 1,180 0,8176 0,04 0,03948 1,0066 0,9934 4,0 1,600 1,229 0,7540 0,06 0,05881 1,0098 0,9902 6,0 1,821 1,248 0,7229 0,08 0,07790 1,0130 0,9871 8,0 1,954 1,257 0,7047 0,10 0,09678 1,016 0,9839 10 2,042 1,262 0,6928 0,20 0,1873 1,031 0,9691 20 2,238 1,270 0,6665 0,40 0,3519 1,058 0,9424 30 2,311 1,272 0,6570 0,60 0,4972 1,081 0,9192 40 2,321 1,272 0,6521 0,80 0,6257 1,102 0,8989 50 2,371 1,273 0,6490 1,00 0,7401 1,119 0,8811 100 2,419 1,273 0,6429 ∞ 2,467 1,273 0,6366
23
Cilindar Bi
21λ 1A 1B Bi 2
1λ 1A 1B
0,02 0,03980 1,0051 0,9950 2,0 2,558 1,338 0,7125 0,04 0,07919 1,010 0,9806 4,0 3,641 1,470 0,6083 0,06 0,1182 1,015 0,9844 6,0 4,198 1,526 0,5589 0,08 0,1568 1,020 0,9804 8,0 4,531 1,553 0,5306 0,10 0,1951 1,025 0,9749 10 4,250 1,568 0,5125 0,20 0,3807 1,049 0,9526 20 5,235 1,593 0,4736 0,40 0,7552 1,094 0,9112 30 5,411 1,598 0,4598 0,60 1,037 1,135 0,8753 40 5,501 1,600 0,4527 0,80 1,320 1,173 0,8430 50 5,556 1,601 0,4485 1,0 1,577 1,208 0,8147 100 5,669 1,602 0,4401 ∞ 5,784 1,602 0,4317
Kugla Bi
21λ 1A 1B Bi 2
1λ 1A 1B
0,02 0,05978 1,0060 0,9940 2,0 4,116 1,479 0,6445 0,04 0,1190 1,032 0,9881 4,0 6,030 1,720 0,5133 0,06 0,1778 1,018 0,9823 6,0 7,042 1,834 0,4516 0,08 0,2362 1,024 0,9766 8,0 7,647 1,892 0,4170 0,10 0,2941 1,030 0,9710 10 8,045 1,925 0,3952 0,20 0,5765 1,059 0,9435 20 8,914 1,978 0,3500 0,40 1,108 1,116 0,8935 30 9,225 1,990 0,3346 0,60 1,599 1,171 0,8490 40 9,383 1,994 0,3269 0,80 2,051 1,224 0,8094 50 9,479 1,996 0,3223 1,00 2,467 1,273 0,7740 100 9,673 1,999 0,3133 ∞ 9,869 2,000 0,3040 Slika I-12 prikazuje veličinu ψ za u funkciji Bi i 0,2=Fo za sva tri promatrana oblika krutine.
Slika I-12. Veličina Ψ u funkciji Bi i Fo = 0,2 za kuglu, cilindar i ploču
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.010-1 1 10 100
Ψ
Kugla
Cilindar
Ploča
Fo = 0.2
Biotov broj, Bi
24
Aproksimacija rješenja samo s jednim članom sume pokazuje se veoma svrsishodnom, jer je primjenljiva za dugi period ohlađivanja krutina. Veličina ψ za period hlađenja kojeg pokriva navedena aproksimacija se povećava kako opada Biotov broj kao i omjer površina/volumen (kugla - cilindar - ploča). Istu se aproksimaciju koristi i u problemima kod kojih se temperatura fluida sporo mijenja s vremenom. Za takve je slučajeve interesantno definirati tzv. unutrašnji koeficijent prijelaza topline za provođenje topline u krutini, koji kao takav opisuje toplinsko zbivanje cjelokupnog sustava. Tako definirani koeficijent prijelaza topline može se izraziti jednadžbom
∞
=
−
∂∂−
=ϑϑ
ϑλα δxx
(I-56)
u kojoj λ označuje koeficijent vodljivosti topline krutine a derivacija ( ) δϑ =∂∂ xx se dobije
iz temperaturnog polja krutine.
25
II. Poglavlje; Provođenje topline u polubeskonačnoj krutini 1 Općenito U prethodnom poglavlju, vidi pasus 2.1.2, je pokazano da za kratka vremena temperaturna promjena nije penetrirala signifikantno dovoljno daleko od rubne površine stijenke, tako da pri takvim vremenskim kondicijama debljina stijenke nije imala nikakav efekt na proces provođenja topline kroz stijenku. Takve se situacije mogu pojaviti i u praksi, što npr. predstavlja slučaj kaljenja čeličnih alata, koji zahtijeva hlađenje od vrlo visoke početne temperature u vrlo kratkom vremenu, pri čemu je samo dio alata neposredno uz površinu brzo ohlađen i zakaljen. Unutrašnjost alata se hladi sporije, pa nakon hlađenja unutrašnjost alata nije zakaljena. Stoga, tijekom procesa kaljenja promjena temperature podalje od površine (dublje u unutrašnjosti) postaje zanemarivo malena, pa time i debljina alata (stijenke) time postaje irelevantnom. Dakle, za takve je slučajeve proces provođenja ograničen na tanko područje ispod površine unutar kojega je došlo do temperaturne penetracije. Iz navedenih razloga je prikladno imati analitičke izraze (formule) koji daju temperaturnu distribuciju i toplinski tok za različite rubne uvjete, a koji su aplikatibilni i za ovakve penetracijske probleme. Inače se takve krutine, kod kojih iz navedenih razloga otpada utjecaj njihovih debljina, u literaturi nazivaju polubeskonačnim krutinama. 1.1 Matematička formulacija problema Odgovarajući model penetracijskog problema je nestacionarno (tranzijentno) provođenje topline u polubeskonačnoj krutini, kako to prikazuje slika II-1.
Slika II-1. Polubeskonačna krutina Slika II-2. Kvalitativni prikaz temperaturnog polja u polubeskonačnoj krutini
Ako pretpostavimo konstantni koeficijent toplinske vodljivosti krutine, nepostojanje u krutini bilo toplinskog izvora (ponora), te širenje topline samo u smjeru prostorne koordinate x, tada parcijalna diferencijalna jednadžba provođenja topline kroz krutinu ima oblik
krutina
c, ρ, λ
x
ϑs
ϑ (x, t = 0) = ϑp
ϑ (x =0, t) = ϑs
0 x
t1
t2t3
t
ϑ (x, t)
ϑs
ϑp
26
2
2
xa
t ∂∂=
∂∂ ϑϑ
(II-1)
Ako je krutina na početku jednoliko progrijana na temperaturu ϑp, tada se početni (inicijalni) uvjet može zapisati u obliku ;0=t ( ) p0, ϑϑ ==tx (II-2)
Ako temperatura granične površine 0=x , naglo promjeni svoju vrijednost na vremenski konstantnu i jednaku sϑ , tada se rubni (granični) uvjeti mogu zapisati
;0=x ( ) s,0 ϑϑ == tx (II-3a)
;∞→x ( ) p, ϑϑ →∞→ tx (II-3b)
1.2 Bezdimenzijsko rješenje temperaturnog polja Procedura rješavanja temperaturnog polja kod ovog problema, metodom separacije varijabli, kao u prethodnom poglavlju, nije podesna, jer ovdje koordinata ∞→x , nije koordinata granične površine. Stoga se za rješenje postavljenog problema koristi proceduru kako slijedi. Prvo definirajmo bezdimenzijsku temperaturu Θ
ps
p
ϑϑϑϑ
Θ−−
= (II-4)
Ovako uvedenom veličinom, sustav jednadžbi (II-1)-(II-3b) se transformira na oblik
2
2
xa
t ∂∂=
∂∂ ΘΘ
(II-5)
;0=t 0=Θ (II-6) ;0=x 1=Θ (II-7a) ;∞→x 0→Θ (II-7b) I rješenje ovog problema može se svesti na rješenje obične diferencijalne jednadžbe po temperaturi Θ , na način da se formira bezdimenzijsku nezavisnu varijablu, koju nazivamo varijablom sličnosti. Ona je odgovarajuća kombinacija veličina x i t. Jedan od načina formiranja varijable sličnosti se bazira na fizikalnom zaključivanju glede ponašanja problema uz istovremeno dimenzijsko razmatranje, pa tako slika II-2. kvalitativno prikazuje temperaturno polje za tri vremenska trenutka. Možemo u toj krutini proizvoljno definirati neku debljinu δ, za koju su vrijednosti veličine Θ jednake recimo 0,01 odnosno 0,001. Tada je veličina δ očito funkcija vremena t i koeficijenta temperaturne vodljivosti (toplinske difuzivnosti) a krutine; veći a znači i dublju
27
penetraciju topline u danom vremenu. Treba nadalje uočiti da sustav jednadžbi (II-5)-(II-7b) u svojoj strukturi ne sadrži veličine o kojima ovisi veličina δ. Kako vrijeme ima dimenziju sekunda, s, a toplinska difuzivnost m2/s, tada jedina kombinacija ovih dviju
veličina koja će dati zahtijevanu dimenziju metar, m, je ( )2
1
at . Za temperaturni profil koji će biti funkcija samo jedne bezdimenzijske varijable, razmaci u krutini moraju biti mjerilo penetriranja debljine zbog toplinske difuzije u polubeskonačnoj krutini. Stoga se za bezdimenzijsku zavisnu varijablu odabire
( )2
1
4at
x=η (II-8)
pri čemu je u 2
1
4 uveden samo zbog prikladnih daljnjih algebarskih transformacija. Koristeći jednadžbu (II-8) te korištenjem svojstava parcijlnog deriviranja, lako je parcijalnu diferencijalnu jednadžbu (II-5) prevesti na običnu diferencijalnu jednadžbu. Postupak je sljedeći:
( )
−=
∂∂=
∂∂
2
1
42d
d
d
d
att
x
tt t ηΘη
ηΘΘ
(a)
( )
=
∂∂=
∂∂
2
1
4
1
d
d
d
d
atxx x ηΘη
ηΘΘ
(b)
( ) xxatx ∂
∂=∂∂ Θ
ηΘΘ
2
2
2
12
2
d
d
4
1 (c)
Uočimo činjenicu da smo pisali potpunu derivaciju Θ po varijabli η , budući smo pretpostavili da je veličina Θ funkcija samo varijable η . Supstituirajući (a) i (c) u (II-5) dobiva se oblik
( )
2
2
2
1 d
d
4d
d
42 ηΘ
ηΘ
at
a
att
x =− (d)
koji se lako preinačuje na konačni oblik
2
2
d
d
d
d2
ηΘ
ηΘη =− (II-9)
Jednadžba (II-9) je nelinearna diferencijalna jednadžba drugoga reda, koja zahtijeva dakako i dva bezdimenzijska rubna uvjeta. Koristeći jednadžbu (II-8) rubni uvjeti (II-7a) i (II-7b) poprimaju bezdimenzijski oblik
28
;0=η 1=Θ , budući je 0=η za 0=x (II-10a) ;∞→η 0→Θ , budući da ∞→x ili 0→t (II-10b) Vidi se da je uvedena transformacija uspjela, budući da se u strukturi jednadžbe (II-9) i rubnim uvjetima (II-10a) i (II-10b) ne pojavljuju zasebno veličine niti t niti x . Jednadžbu (II-9) rješavamo uvođenjem pomoćne varijable
ηΘ
d
d=p (a)
pa se ista transformira na oblik
η
ηd
d2
pp =− (b)
ili
2dd2d ηηη −=−=p
p (c)
Nakon prve integracije slijedi
2
1d
d η
ηΘ −== eCp , (d)
dok sljedeća integracija daje jednadžbu općeg rješenja bezdimenzijskog temperaturnog polja
2
0
1 d2
CueC u += ∫ −η
Θ , (II-11)
u kojoj varijabla u predstavlja tzv. pomoćnu varijablu tijekom samoga integriranja. Integracijske konstante 21;CC proizlaze iz rubnih uvjeta (II-10a) i (II-10b), kako slijedi: Koristeći gornju jednadžbu i rubni uvjet (II-10a) može se pisati
2
0
0
1 d12
CueC u += ∫ − (a)
iz čega slijedi da je 12 =C (b) jer je vrijednost gornjeg integrala, zbog iste gornje i donje granice, jednaka nuli. Nadalje, koristeći (II-11), (b) i (II-10b) slijedi jednakost
29
1d00
1
2
+= ∫∞
− ueC u (c)
Vrijednost integrala u gornjoj jednadžbi može se naći u tablicama i ona iznosi
2
d2
1
0
2 π=∫∞
− ue u (e)
pa je vrijednost integracijske konstante 1C jednaka
2
11
2
π−=C (f)
Supstituirajući (f) i (b) natrag u jednadžbu (II-11) dobiva se partikularno bezdimenzijsko rješenje temperaturnog polja
ue u d2
10ps
p 2
∫ −−=−−
=η
πϑϑϑϑ
Θ (II-12)
Integral
ηπ
η
erfd2
0
2
=∫ − ue u (II-13)
predstavlja površinu funkcije vjerojatnosti 2ue− , slika II-3, odnosno tako dobivena funkcija poznata je u matematici kao Gaussov integral vjerojatnosti. U anglosaksonskoj literaturi dotična se funkcija naziva error function (funkcija pogreške) pa se zato u literaturi označuje kao erfη . Vrijednosti dotične funkcije prikazuje tablica II-1. u Prilogu. Za naša daljnja razmatranja zgodnije je rabiti komplementarnu funkciju funkcije (II-13). Označuje se kao erfcη i zbog navedenog svojstva komplementarnosti je ηη erf-1erfc = Tako uvedenom funkcijom, temperaturno polje (II-12) može se izraziti
1
e -u2
0 u; (η)
1
erf η
erf η
η Slika II-3. Funkcija vjerojatnosti
3ue− , u funkcija Gaussova integrala vjerojatnosti erf η
30
( ) at
x
at
x
4erfc
4erfcerfc
2
1ps
p ===−−
= ηϑϑϑϑ
Θ (II-15)
Kvantitativni tijek gornje funkcije za vrijednost varijable 20 ≤≤ η prikazuje slika II-4.
Slika II-4. Kvantitativni tijek bezdimenzijske temp. funkcije Θ u ovisnosti o bezdimenzijskoj varijabli η
Zgodno je na ovom mjestu koristeći jednadžbu (II-15) numerički pokazati sljedeći ilustrativni primjer. Primjer II-1. Potrebno je izračunati vremena za koja se za zadane materijale, bakar, željezo, staklo i drvo
i zadane vrijednosti x= 1cm, 1dm i 1m, postižu vrijednosti funkcije Θ = 0.5!
Rješenje. Za bakar, željezo, staklo i drvo koeficijenti temperaturne vodljivosti iznose redom: 107⋅10-6; 16,3⋅10-6; 0,617⋅10-6 i 0,139⋅10-6 m2/s. Nadalje za vrijednost Θ = 0,5 može se očitati iz tablica II-1. ili iz slike II- 4. vrijednost varijable
477,04
==at
xη ,
pa se iz te veličine mogu odrediti tražena vremena. Rezultate izračuna prikazuje tablica II-2. Tablica II-2. Vrijednosti vremena za različite navedene penetracijske dubine i materijale za η = 0,477 i Θ = 0,5. a, m2/s x
Bakar a = 107⋅10-6
Željezo a = 16,3⋅10-6
Staklo a = 0,617⋅10-6
Drvo a = 0,139⋅10-6
x = 1 cm 1,03 s 6,77 s 2,97 min 13,2 min x = 1 dm 1,72 min 11,3 min 4,95 h 22,0 h x = 1 m 2,87 h 18,8 h 20,6 dan 91,6 dan
Tablica II-2 jasno pokazuje kako vrijeme toplinskog penetriranja raste s povećanjem debljine penetracije x, i smanjenjem koeficijenta temperaturne vodljivosti, a, materijala polubeskonačne krutine.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.5 1.0 1.5 2.0
Θ Θ = erfc η( )
ps
p,
ϑϑϑϑ
θ−
−=
tx
at
x
4=η
31
Primjer II-2. Početna temperatura zemlje je 20 °C. Zemlja je kontinuirano izložena konstantnoj površinskoj temperaturi -15 °C u trajanju od 60 dana. Potrebno je odrediti na kojoj će dubini xm, slika II- 5, za tih 60 dana biti postignuta temperatura zemlje 0 °C, ako koeficijent temperaturne vodljivosti zemlje iznosi a = 0,138⋅10-6 m2/s!
Slika II-5. Uz primjer II-2.
Rješenje. Prema zadanim podacima moguće je izračunati bezdimenzijsku veličinu Θ
at
x
4erfc5714,0
2015
200
ps
p ==−−
−=
−
−=
ϑϑ
ϑϑΘ
Za vrijednost Θ = 0,5714 iz tablica II-2 u Prilogu očita se vrijednost argumenta
at
x
4
m40,0 ==η ,
iz koje se, zajedno sa ostalim zadanim podatcima, izračuna vrijednost xm
m677,036002460610138,0440,0440,0m =⋅⋅⋅−⋅⋅== atx
Primjer II-3. Betonska ploča početne temperature 127 °C intenzivno se polijeva mlazom vode temperature 27 °C. Nakon koliko će se vremena lokacija 5 cm ispod površine ploče ohladiti na temperaturu 47 °C? Rješenje. Rješenje postavljenog problema provodi se akceptirajući sljedeće pretpostavke: a) - količina vode kojom se ploča polijeva je dovoljna, da se održava temperature ploče konstantnom i
jednakom 27 °C. b) - ploču se može smatrati polubeskonačnim tijelom Iz zadanih podataka može se odrediti bezdimenzijsku temperaturu Θ
8,012727
12747
ps
p =−
−=
−
−=
ϑϑ
ϑϑΘ
Iz tablice II-1 u Prilogu slijedi da je za Θ = 0,179, 179,0=η
pa je tražena vrijednost t jednaka
Površina zemljeϑs = -15 °C
x m
Zemlja
ϑp = 20 °C
ϑ (x ; 60d) = 0 °C
x = 0
32
7hs4106,22179,061075,04
205,024
2≈⋅=
⋅−⋅⋅==
ηa
xt
1.3 Površinska gustoća toplinskog toka Gustoću toplinskog toka na površini polubeskonačne krutine dobije se dobije se korištenjem (II-15), Fourierova stavka i pravila o lančanom deriviranju
( )00
ps0
s d2
12
=
−
=
−
∂∂−−=
∂∂−= ∫
x
u
x
uexx
qη
πϑϑλϑλ
( )0
ps4
12 2
=
−
−=η
η
πϑϑλ
ate (a)
Nakon sređivanja izraza (a) dobiva se konačni oblik izraza za površinsku gustoću toplinskog toka
( ) ( )at
xqqπ
ϑϑλ pss 0
−=== (II-16)
Gornje je rješenje identično rješenju prema jednadžbi (I-34) a koje se odnosilo za nestacionarni problem u ploči za vrlo malena (kratka) vremena trajanja toplinske difuzije. 1.3.1Konstantna površinska gustoća toplinskog toka Ako u trenutku t = 0, površinu x = 0, naglo izložimo vremenski konstantnoj površinskoj gustoći toplinskog toka qs, npr. zračenjem nekog visoko temperaturnog izvora, tada se početni i rubni uvjeti mogu zapisati ( ) p0, ϑϑ ==tx (II-17)
s0
qx x
=
∂∂−
=
ϑλ (II-18a)
( ) p, ϑϑ =∞→ tx (II-18b)
Prikaz iznalaženja rješenja temperaturnog polja Rubni uvjet (II-18a), može se formalno izraziti u obliku
cx x
−=
∂∂
=0
ϑ (II-18a1)
33
iz čega proizlazi da je
λ
sqc = (II-18a2)
Ako uvedemo novu varijablu
x
cv∂∂+= ϑ
(II-18a3)
možemo formulirati sljedeću diferencijalnu jednadžbu
x
va
t ∂∂=
∂∂ϑ
(II-18a4)
koja diferenciranjem prelazi u oblik
2
2
x
va
t
v
tx ∂∂=
∂∂=
∂∂
∂∂ ϑ
(II-A)
Ova diferencijalna jednadžba zadovoljava zadanui rubni uvjet II. vrste (jed. (II-18a), ako veličina v ima oblik
( )x
cufNv∂∂+== ϑπ
2 (II-B)
pri čemu je veličina N konstanta, a funkcija f(u) definirana je jednadžbom (II-13). Integrirajući jednadžbu (II-B), ista prelazi u oblik
( ) ( )∫=++ xufNtcx d2
πΦϑ (*)
pri čemu je ( )tΦ jedna proizvoljna funkcija. Koristeći svojstvo parcijalne integracije, gornji se integral može napisati u obliku
( ) ( ) ( )∫ ∫
∂∂−= x
x
ufxuxfNxufN d
2d
2
ππ (**)
Parcijalnu derivaciju podintegralne funkcije, rješavamo metodom lančanog deriviranja
( ) ( )
π2
2
12
ate
x
u
u
uf
x
uf u−=∂∂
∂∂=
∂∂
(***)
Tijekom deriviranja u jed. (***), korišteni su funkcijski oblici (II-13) i (II-8), pri čemu je u jednadžbi (II-8) izvršena formalna zamjena veličine η s veličinom u. Nadalje je
34
;2 uatx ⋅= uatx d2d ⋅= pa uvrštavajući dobivene izraze i jed.(***) u jed.( **), ista se transformira na oblik
( )∫ ∫
+= −− 22
0
dd2
uu
u eatuexNxufNπ
(****)
Uvrštavajući jed.(****) u jed. (*) dobiva se
( ) =++ tcx Φϑ
+ −−∫
22
0
d uu
u eatuexN (II-C)
Uvrštavajući u jednadžbu (II-C), zadani početni uvjet (II-17), te uvažavajući činjenicu da za je za t=0, u=∞, a vrijednost integrala je jednaka 2/π , slijedi
( )20p
πΦϑ Nxtcx t =++ =
Kako desna strana gornje jednadžbe ovisi samo o varijabli x, tada to znači da i je
( ) p0 ϑΦ −==tt , pa je
2
πNxcx =
odakle se dobiva izraz za konstantu N
πc
N2=
Supstituirajući gornju veličinu u jed. (II-C) dobiva se
( ) cxeatuexc
t uu
u −
+=+ −−∫
22
d2
0πΦϑ
Uvrstivši u gornju jednadžbu granični uvjet ϑ = ϑp za x→∞, dobiva se identitet
cxxc −
=−
2
2pp
ππ
ϑϑ
odnosno 00 =−= cxcx
35
odakle se vidi da je ( ) pϑΦ −=t za svaku vrijednost varijable t.
Koristeći za konstantu c, izraz dan jednadžbom (II-18a2), jednadžbu (II-C) se može napisati u obliku
−
+=−
−−∫ xeat
uexq
at
xuus 4
2
1
0
p
2
2 4d
2
ππλϑϑ
odnosno koristeći jednadžbu
ueuu
u d2
1erfc0
2
∫ −−=π
dobiva se konačni izraz za temperaturno polje
( )
−
=−
−
2
14
2
1
sp
4erfc
41
at
xxe
atqat
x
πλϑϑ (II-19)
Kvalitativni temperaturni tijek prikazuje slika II-6.
Slika II-6. Kvalitativni temperaturni tijek po polubeskonačnoj krutini s nametnutom konstantnom površinskom gustoćom toplinskog toka
Ako se u jednadžbu (II-19) uvrsti x = 0, dobiva se izraz za površinsku temperaturu u vremenu t
krutina
c, ρ, λ
x
s
qs
ϑ (x, t)
t1
t2
t3
t
ϑp
x = 0 x
t3 > t1 > t2
36
πλ
ϑϑ atqt
4)( s
ps =− (II-19a)
koji pokazuje da je vrijednost površinske temperature izravno proporcionalna t . Pustimo li da vrijeme t→∞, tada iz jednadžbe (II-19) proizlazi da je
xq
tλ
ϑϑ sp)( −=− (II-19b)
Jasno je da se linearni temperaturni pad permanentno postoji, zbog nametnutog rubnog uvjeta II. vrste, na rubu x = 0, širi i u unutrašnjost tijela s porastom vremena toplinske difuzije, i kao takav dominira, kada iščezava vrijednost eksponencijske funkcije u jednadžbi (II-19). 1.4 Površinski energijski puls Ako se energijom E, J/m2, izloži trenutno u vremenu u vremenu t = 0 površina x = 0 polubeskonačnog tijela (npr. ako površinu izložimo laserskom energijskom pulsu), te ako sva energija tijekom vremena penetrira u tijelo, tada se početni i rubni uvjeti mogu napisati kao: ( ) p0, ϑϑ ==tx (II-20)
0,slim
→∆=∆
tt
Etq (II-21a)
( ) p, ϑϑ =∞→ tx (II-21b)
pa rješenje temperaturnog polja za taj slučaj ima oblik
at
x
eatc
E 4p
2
−=−
πρϑϑ (II-22)
Kvalitativni tijek temperaturnog polja, shodno gornjoj jednadžbi, prikazuje slika II-7.
37
Slika II-7. Temperaturno polje u polubeskonačnoj krutini za slučaj djelovanja trenutnog površinskog pulsa
Iz slike se vidi da tijekom vremena površinska temperatura pada i dolazi do rastezanja temperaturnog polja po osi x krutine. 1.5 Periodička varijacija površinske temperature Često puta u inženjerskoj praksi postoje problemi kod kojih postoji periodičko variranje površinske temperature, kao recimo na stijenci cilindra kod motora s unutrašnjim izgaranjem. Stoga pretpostavimo da se bezdimenzijska površinska temperatura polubeskonačne krutine mijenja po zakonu kosinusa:
( )tcos2
cosc
to, ωπΘ Nt
tN =⋅= (II-23)
u kojemu tc označava vrijeme trajanja ciklusa, a veličina
c
2
t
πω = (II-24)
označava kružnu frekvenciju ciklusa. Za zadani temperaturni poremećaj na površini polubeskonačne krutine, jed. (II-23), partikularni integral parcijalne diferencijalne jednadžbe (II-1) ima oblik
tannxee2
=Θ (II-25) Ne realni eksponent druge e funkcije zadovoljava uvjetu prigušenja ne-cikličkih promjena. Samo imaginarni eksponent iωt može udovoljiti zadanom uvjetu cikličkih promjena, pa, pozivajući se na algebru kompleksnih brojeva, može pisati
krutina
c, ρ, λ
x
s
ϑ (x, t)
t1
t2t3
t
0 xϑp
E
38
( ) ( )tite ti ωωω sincos += (II-26) Uspoređujući jednadžbe (II-25) i (II-24) dolazi se do:
a
in
ω=2 ili a
in
ω±= (II-27)
Kako je
2
1 ii
+±=
Ako površinska temperatura varira kao, tada zajedno s (II-27) slijedi da je
( ) ( )mia
in +±=+±= 12
1ω
pri čemu je, zbog jednostavnosti, uvedeno
a
m2
ω= (II-28)
Supstituirajući ove veličine u (II-25) dobiva se rješenje oblika ( ) ( )mxtimxi ee ±+±= ωΘ 1 odnosno ( ) ( )[ ]mxtimxte mx ±+±= ± ωωΘ sincos (II-29) Gornju jednadžbu se može prikazati i na sljedeći način 21 ΘΘΘ += gdje je ( )mxte mx ±= − ωΘ cos1 (II-30) ( )mxte mx ±= − ωΘ sin2 Jednadžbe (II-30) su partikularni integrali parcijalne diferencijalne jednadžbe (II-1), a što su i bilo koje oblici NΘ2 i MΘ2, pri čemu su M i N konstante. No samo jednadžba NΘ1 zadovoljava zadani rubni uvjet, jed. (II-23), što znači da je M = 0. I više od toga, pozitivni predznaci uz veličinu mx stoje u raskoraku s fizikalnim faktima promatranog problema, a što se lako dokazuje sljedećim razmatranjem. Ako se polubeskonačno
39
tijelo, koje je na početku progrijano na temperaturu ϑp, periodički grije ili hladi na način da mu se površinska temperatura mijenja po nametnutom zakonu kosnusa, tada vrijednost temperature Θ u točki krutine, na nekoj udaljenosti x od površine, nikad ne može prijeći vrijednost amplitude ao,Θ na x = 0. Kako za pozitivnu vrijednost veličine m
vrijednost funkcije emx u jed. (II-30), → u ∞, kada x → ∞, tada to zbog navedenog otpada ta solucija. Stoga rješenje jed. (II-29) ima jedinstveni oblik ( ) ( )t-mxmxte x
mx ωΘωΘΘ coscos a,ao, =−= − (II-31)
pri čemu pojedine oznake znače: p
*sao, ϑϑΘ −= → amplituda temperaturne razlike nametnute poremećajne
funkcije ϑs, vrijednost površinske temperature, x = 0 ϑp, vrijednost početne temperature Θx,a → amplituda temperaturne razlike ϑ(x,t)-ϑp ϑ = ϑ(x,t), temperatura krutune na udaljenosti x od površine u vremenu t Iz jednadžbe (II-31) iščitavaju se sljedeće osobitosti dobivenog rješenja temperaturnog polja:
1. Niti se frekvencija, ω/2π, niti kosinusni oblik temperature se ne mijenja s varijablom x, nego se mijenja samo amplituda s porastom x, prema sljedećoj jednadžbi
mx
aoax e−= ,, ΘΘ (II-32)
2. S porastom varijable x, amplituda oscilacija se javlja pri većim vremenima
toplinske difuzije, što se dobije kada vrijednost argumenta funkcije kosinus postaje jednaka nuli
xa
mxt
ωω 2
1== (II-33)
3. Temperatura ima maksimum u vremenu t = 0 i x = 0. Sljedeći maksimum na
x = 0 je u vremenu t = tc. U tom trenutku maksimum postoji i na jestu x = λ, gdje je ωtc = mλ, tj. na razmaku
ω
πωωλ ata
m
t222 c
c === (II-34)
U vremenu t = νtc, postiže se maksimum u točki x = mλ, pri čemu je ν pozitivni cijeli broj. Stoga λ predstavlja “valnu duljinu” temperaturnog vala koji penetrira u polubeskonačno tijelo. Zbog toga što je temperaturni maksimum uvijek potrebno vrijeme tc, da bi val prešao put λ, tada se taj val giba brzinom
40
amt
v ωωλ2
c
=== (II-35)
Slika II-8 prikazuje temperaturnu distribuciju za dva vremenska trenutka t1 i t2, pri čemu je t2 > t1. Puna linija predstavlja temperaturnu distribuciju u vremenu t1, a crtkana u vremenu t2. Linija točka-crta predstavlja funkcije mx
x e−== ao,a, ΘΘΘ i a,xΘΘ −= . Očito
je, da će svaka krivulja t = konst., dodirivati krivulju a,xΘΘ = , kadgod je vrijednost
kosinusa u jednadžbi (II-31) jedinici. To će se desiti kada je vrijednost varijable x = ωt/m - 2νπ/m. Nadalje, svaka će krivulja t = konst. dodirivati liniju a,xΘΘ −= za
vrijednost kosinusa jednake –1, tj., za vrijednost varijable x = ωt/m - (2ν-1)π/m. Sve ostale točke krivulja t = konst.ležat će između tih limitirajućih vrijednosti, pa stoga su funkcije a,xΘΘ ±= njihove anvelope.
Naravno, da maksimumi i minimumi (lokalni ekstremi) krivulja t = konst. leže unutar tih anvelopa. Njihova pozicija (stacionarne točke) proizlaze iz ispunjenja uvjeta
0/ =∂∂ xϑ , pa se nakon derviranja (II-31) po varijabli x dobiva jednadžba ( ) ( )[ ] 0cossinao, =−−−− mxtmxte mx ωωΘ
Θ
Θo,
a
Θo,
1
Θo,
2
Θ2,
a
Θ1,
a
Θx,ax1
x2
xt =t2t =
t1 Θ = -Θx,a
c22t
aωλ =
2
1
a,oa,222
a,oa,111
/
/mx
mx
emtx
emtx−
−
==
==
ΘΘω
ΘΘω
0
Slika II-8. Temperaturno polje u polubeskonačnoj krutini za dva različita vremena, čija se povrinska temperatura mijenja periodički
41
iz koje proizlazi da se maksimum ili minimum javlja ili za x → ∞ (što nam nije interesantno), ili uz ispunjenje uvjeta da je ( ) 1tg =− mrtω iz čega proizlazi da vrijednost varijable x mora biti jednaka
mm
tx
πνω4
)*41(st
+−= (II-36)
U jednadžbi (II-36) ν predstavlja bilo koji cijeli broj, uključujući i nulu. Pozivajući se na jednadžbu (II-32) vidi se da dolazi do opadanja amplitude temperaturnog vala s porastom koordinate x, tj., s porastom dubine njegovog penetriranja u krutinu. Pri tome je “logaritamski dekrement” am 2ω= . To znači da
je smanjenje amplitude veće kod viših frekvencija toplinskog vala, a manje za niže vrijednosti koeficijenta toplinske difuzivnosti. Također se iz jednadžbe (II-32) lako iznalazi debljinu krutine na kojoj se amplituda smanji za µ - ti dio amplitude Θo,a:
µµµ ln564,0ln1
catm
x == (II-37)
Debljina krutine, na kojoj je amplituda samanjena na 1% vrijednosti Θo,a je
cc100/1 60,2100
1ln564,0 atatx ===µ
Stijenka ovakve debljine i čak ponekad i tanja može se smatrati stvarnom beskonačnom debljinom. Primjetno je da vrijednost xµ ovisi o produktu atc. Stoga se ove jednadžbe dobivene za beskonačnu debljinu mogu primjeniti prilično dobro i na cilindričnu stijenku motora s unutrašnjim izgaranjem, jer iako metali imaju velik koeficijent toplinske difuzivnosti a, imaju izrazito kratko vrijeme tc trajanja ciklusa. Pored temperaturne promjene odnosno temperaturnog polja, od interesa nam je i znati iznos toplinskog toka koji ulazi u tijelo ili iz njega izlazi u svakom trenutku, a posebno nas zanima iznos akumulirane topline u krutini unutar polovice vremena trajanja ciklusa, te iznos toplinskog toka koji se preda okolišu u drugoj polovici ciklusa. Toplinski tok koji ulazi u krutinu kroz vanjsku površinu A je
0=
∂∂−=
xxA
ΘλΦ
Koristeći gornju jednadžbu i jed. (II-31)
+=
4tcosao,
πωωΘλΦa
A (II-38)
42
Stoga je amplituda toplinskog toka, λAΘo,a aω veća za više frekvencije, dok se više
topline akumulira u krutini pri nižim frekvencijama, a što se dokazuje na sljedeći način. Vrijednost toplinskog toka Φ je pozitivna unutar graničnih vrijednosti ωt+π/4= - π/, tj., za vrijednost vremenke varijable - 3π/4ω ≤ t ≤ π/4ω. Integrirajući jednadžbu (II-38) unutar ovih graničnih vrijednost, dobiva se izraz za akumuliranu energiju u polovici vremena trajanja ciklusa
∫−
==
+=
ωπ
ωπ
Θω
λρπ
Θλρω
πωωΘλ4
4
3ao,ao,ao,akum
122d
4cos AcActt
aAQ
(II-39) Ako bi rubni uvjet bio zadan funkcijom oblika ( ) ( ) tωϑϑϑϑ sinp
*sps −=− (II-40)
tada bi po prikazanoj proceduri došli do jednadžbe temperaturnog polja oblika
−=
−−
− 2
1
2
p*s
p
2sin
2
1
axte a
x ωωϑϑϑϑ ω
(II-41)
čije rješenje kvalitativno prikazuje slika II-9.
krutina
c, ρ, λ
x
sϑ (x, t1)
ϑ (x, t)
ϑs*
ϑpx
ϑs - ϑp
ϑs* - ϑp= sin (ω t)
Slika II-9. Temperaturno polje u polubeskonačnom tijelu za periodičku varijaciju površinske temperature (ϑ*
s - ϑp) sinωt u vremenu t = t1
43
Iz prikaza prema slici II-9. uočljivo je, a što proizlazi iz (II-41) da amplituda varijacije
temperature opada opada eksponencijski unutar krutine s porastom člana ( ) .2 2
1
ax ω Primjer II-4. Površinu polubeskonačnog čeličnog tijela, poznatih fizikalnih svojstava ρ = 7800 kg/m3, λ = 58 W/(m K) i c = 360 J/(kgK), izložimo cikličkom temperaturnom opterećenju prema jednadžbi N cos ωt, pri čemu veličina N = (ϑs
*- ϑp) predstavlja amplitudu površinske nadtemperature u odnosu na početnu temperaturu krutine. Neka vrijeme ciklusa poremećaja iznosi 10 s i ϑs
*= 120 oC. Za zadane uvjete potrebno je odrediti: a)- temperaturu raspodjelu unutar 50 mm debljine tijela u vremenu t = 22 s. b)- vrijednosti i pozicije lokalnih temperaturnih ekstrema u istom tom vremenskom trenutku c)- pozicije i vrijednosti temperatura , u vremenu t = 22 s, koje odgovaraje anvelopskim vrijednostima d)- ''valnu duljinu'' temperaturnog vala s kojom on penetrira u krutinu e)-dijagramski kvantitativno prikazati i interpretirati temperaturne distribucije za tri različita vremena trajanja procesa širenja topline: 6 s, 10 s i 22 s. Rješenje: Za zadane podatke i jed. (2-24) kružna frekvencija temperaturnog cikličkog poremećaja je
c
2
t
πω = =2⋅3.14/10 = 0,628 s
Koeficijent temperaturne vodljivosti krutine ima vrijednost ( )ca ρλ= = 58/(7800⋅360) = 1,616⋅10-5 m2s
pa neka eksplicitni oblik nametnute cikličke funkcije glasi: ( ) =−= tcosp
*
ss ωϑϑϑ (120-20)cos0,628t =100cos(0,628t) (*)
Prema jednadžbi (II-31), jednadžba temperaturnog polja ima eksplicitni oblik ( ) ( ) ( )mxtemxte mxmx −=−−= −− ωωωϑϑΘ cos100cosp
*
s
Veličinu m računamo prema jednadžbi (II-28)
( ) ( )510616,12628.02 −⋅⋅== am ω = 139,39 1/m,
pa jednadžba temperaturnog pola im svoj konačni oblik Θ = 100 e-139,39x cos(0,628t – 139,39x) (**) Tablica II-3 prikazuje vrijednosti gornje jednadžbe u funkciji varijable x. U istoj su tablici prikazane i envelopske vrijednosti ± e-139,39x, dok dijagram na slici II-10, prikazuje te funkcijske vrijednosti također u funkciji debljine x polubeskonačnog tijela. Tablica II-3. Vrijednosti temperature Θ, i anvelopskih vrijednosti ± e-139,39x funkcije (*) u ovisnosti o debljini x polubeskonačne krutine u vrement t = 22s.
x, m Θ, °C 100e-139,39x -100e-139,39x 0 31,5674 100 -100
0,001 38,6612 86,99039 -86,99039 0,002 42,7228 75,67329 -75,67329 0,003 44,3525 65,82849 -65,82849 0,004 44,0869 57,26446 -57,26446 0,005 42,3959 49,81458 -49,81458
44
0,006 39,6836 43,3339 -43,3339 0,007 36,2899 37,69633 -37,69633 0,008 32,4954 32,79219 -32,79219 0,009 28,5257 28,52605 -28,52605 0,01 24,5578 24,81492 -24,81492 0,011 20,7251 21,5866 -21,5866 0,012 17,1244 18,77827 -18,77827 0,013 13,8209 16,33529 -16,33529 0,014 10,854 14,21013 -14,21013 0,015 8,24199 12,36145 -12,36145 0,016 5,98687 10,75327 -10,75327 0,017 4,07802 9,35432 -9,35432 0,018 2,49571 8,13736 -8,13736 0,019 1,21398 7,07872 -7,07872 0,02 0,20302 6,1578 -6,1578 0,021 -0,56886 5,3567 -5,3567 0,022 -1,13374 4,65981 -4,65981 0,023 -1,52289 4,05359 -4,05359 0,024 -1,76591 3,52623 -3,52623 0,025 -1,89013 3,06748 -3,06748 0,026 -1,92025 2,66842 -2,66842 0,027 -1,87815 2,32127 -2,32127 0,028 -1,78282 2,01928 -2,01928 0,029 -1,65043 1,75658 -1,75658 0,03 -1,49447 1,52805 -1,52805 0,031 -1,32594 1,32926 -1,32926 0,032 -1,1536 1,15633 -1,15633 0,033 -0,9842 1,0059 -1,0059 0,034 -0,82275 0,87503 -0,87503 0,035 -0,67277 0,76119 -0,76119 0,036 -0,53653 0,66217 -0,66217 0,037 -0,41531 0,57602 -0,57602 0,038 -0,30954 0,50108 -0,50108 0,039 -0,21904 0,43589 -0,43589 0,04 -0,14315 0,37919 -0,37919 0,041 -0,08089 0,32986 -0,32986 0,042 -0,03104 0,28694 -0,28694 0,043 0,00774 0,24961 -0,24961 0,044 0,03681 0,21714 -0,21714 0,045 0,05758 0,18889 -0,18889 0,046 0,07134 0,16432 -0,16432 0,047 0,07935 0,14294 -0,14294 0,048 0,08272 0,12434 -0,12434 0,049 0,08248 0,10817 -0,10817
Gornje tablične vrijednosti prikazuje dijagram na slici II - 10.
45
Iz tijeka krivulje Θ vidljivo je da unutar zadane debljine 50 mm polubeskonačnog tijela, postoje tri lokalna ekstrema i to dva maksimuma i jedan minimum. Njihove pozicije se dobiju iz jednažbe II-36, pa je za ν = 4
xst1 = ωt/m-(1+4∗ν)⋅π/(4m) = 0,628⋅22/139,37- (1+4⋅4)π/(139,37⋅4) = 0,00338 m Vrijednost temperature u toj točki je, prema jednadžbi (**) Θmax1(0,00338) = 100⋅e-139,37⋅0,00338 cos(0,628⋅22-139,37⋅0,00338) = 44,45 °C Za ν = 3 dobiva se stacionarna vrijednost xst2 za koju funkcija ima lokalni ekstrem-mimimum xst2 = ωt/m-(1+4⋅ν)⋅π/(4m) = 0,628⋅22/139,37- (1+4⋅3)π/(139,37⋅4) = 0,02591 m, pa je vrijednost temperature u toj točki jednaka Θmin(0,02591) = 100⋅e-139,37⋅0,02591cos (0,628⋅22-139,37⋅0,02591) = - 1,23 °C Treća stacionarna točka, u kojoj se postiže lokalni ekstrem (maksimum), dobije se uvrštavanjem u jed. (II-36) ν = 2, pa slijedi xst3 = ωt/m-(1+4⋅ν)⋅π/(4m) = 0,628⋅22/139,37- (1+4⋅2)π/(139,37⋅4) = 0,04844 m, pa je vrijednost temperature u toj stacionarnoj točki jednaka
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-120
-80
-40
0
40
80
120
x, m
Θ,
°C
-100e-mx
xst1
xst2
Θt = 22 sΘmin(0.02591)
100e-mx
xanv2
λ / 2
xanv1
xst3
Θmax1
Slika II - 10. Temperaturne i anvelopske vrijednosti po debljini polubeskonačnog tijela prema jednadžbi (**) za cikličko temperaturno površinsko opterećenje zadano jednadžbom (*), u vremenu t = 22 s.
46
Θmax2(0,04844) = 100⋅e-139,37⋅0,04844 cos(0,628⋅22-139,37⋅0,04844) = 0,083 °C c) Vrijednost varijable x, za koje su vrijednosti anvelopskih vrijednosti jednake vrijednostima prema
funkciji (**), proizlaze iz iednadžbi naznačenih u tekstu ovoga pasusa xanv = ωt/m - 2νπ/m xanv = ωt/m – (2ν-1)π/m Uvrštavanjem ν = 2 u gornje jednadžbe dobivaju se vrijednosti varijable x za koje su vrijednosti temperature jednake anvelopskim vrijednostima: xanv1 = 0,00901 m; xanv2 = 0,03154 m Vrijednosti temperatura u tim točkama su: Θancv1= 100⋅e-139,37⋅0,00901 = 28,49 °C Θancv2 = -100⋅e-139,37⋅0,03154 = -1,23 °C d) “Valnu duljinu” temperaturnog vala dobijemo iz jednadžbe (II-34) λ = ωtc/m =0,628⋅10/139,37 = 0,0451 m e) Temperaturni tijek za tri različita vremena t = 6, 10, i 22 s prikazuje dijagram na slici II - 11. U isti
su dijagram unešene anvelopske vrijednosti ± e-mx.
47
1.6 Izravni dodir (kontakt) dva polubeskonačna tijela Sada promotrimo dva polubeskonačna tijela (krutine) A i B napravljena od različitih materijala i različitih početnih temperatura ϑA i ϑB, dovedena u međusobni savršeni izravni dodir, kako to prikazuje slika II-9.
Slika II-9. Izravni dodir dva polubeskonačna tijela
ϑB
ϑ
ϑA
x
x = 0
λB ϑ i
B
t = t1
λA
A
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-120
-80
-40
0
40
80
120
x, m
Θ,
°C
Θt = 6 s
Θt = 10 s
Θt = 22 s
100e-mx
-100e-mx
Slika II-11. Temperaturna distribucija u polubeskonačnoj krutini za tri različita vremena t = 6, 10 i 22 s.
48
Rubni uvjeti za promatrani problem su: ( )( ) ( )( ) sBA 00 qxqxq ==== (II-25a)
( )( ) ( )( ) mBA 00 ϑϑϑ ==== xx (II-25b)
Dakako temperaturna raspodjela u krutinama opisana je odgovarajućom funkcijom erfc. No nas u ovom trenutku zanima vrijednost dodirne temperature ϑs. Kako se ovdje radi o izrazito kratkim vremenima toplinske difuzije, tada se vrijednost dotične dodirne temperature ϑs dobije iz naznačenih rubnih uvjeta, s time da se gustoće toplinskog toka izraze jednadžbom (II-16).
( ) ( )
tata B
BsB
A
sAA
πϑϑλ
πϑϑλ −=−
(a)
Iz gornje jednadžbe slijedi izraz za dodirnu temperaturu
( ) ( )
( ) ( )BA
BBAAs cc
cc
λρλρϑλρϑλρϑ
++= (b)
Veličinu (λρc) označujemo sa b i nazivamo koeficijentom toplinskog prodiranja. Ona ima dimenziju Ws0.5/Km2, i dakako isključivo je svojstvo tvari polubeskonačnog tijela. cb λρ= (II-26)
pa se koristeći gornju jednadžbu, jednadžbu (b) može napisati
BA
BBAAs bb
bb
++
=ϑϑϑ (II-27)
Primjer II-4. Temperatura kože ljudske ruke je 30 °C a koeficijent toplinskog prodiranja može se procijeniti na 1000 Ws0.5/(Km2). Potrebno je izračunati dodirnu temperaturu pri doticaju sljedećih materijala temperature 100 °C i poznatih koeficijenata toplinskog prodiranja: bakra, željeza, pješčane stijene, drveta i pjenastog materijala. Rješenje. Primjer se rješava koristeći jednadžbu (II-27), a rezultate izračuna prikazuje tablica II-3. Tablica II-3. Vrijednosti dodirnih temperatura ljudske ruke tijekom kratkotrajnog dodira različitim materijalima temperature 100 °C
Materijal b
Ws0.5/(Km2)
ϑm, °C
Bakar 36000 98 Željezo 15000 96 Pješčana stijena 1860 77 Drvo 370 49 Pjenasti materijal 40 33
49
Tablica II-3 jasno pokazuje da dodirna temperatura leži bliže vrijednosti temperature onoga materijala koji ima veći koeficijent toplinskog prodiranja. Istim načinom možemo potvrditi i zašto osjećamo različitu ‘’hladnoću’’ pri dodiru različitih materijala koji su u zimskim uvjetima izloženi okolišnoj (atmosferskoj) temperaturi. Jednadžbu (II-27) može se napisati i u obliku
BA
B
AB
As
bb
b
+=
−−
ϑϑϑϑ
(II-28)
1.6.1 Polubeskonačno tijelo sa zadanim rubnim uvjetom 3. vrste Ako se površina x= 0, u trenutku t= 0 naglo izloži fluidu konstantne temperature ϑo, te ako je poznat sveukupni koeficijent prijelaza topline uα , slika II-10,
Slika II-12. Temperaturno polje u polubeskonačnom tijelu uz rubni uvjet 3. vrste tada se početni i rubni uvjeti mogu izraziti u obliku ( ) p0, ϑϑ ==tx (II-29)
( )( )tx x
,0ou0
ϑϑαϑλ −=
∂∂−
=
(II-30a)
( ) p, ϑϑ =∞→ tx (II-30b)
Temperaturno polje u tom slučaju ima oblik
krutina
c, ρ, λ
x
s
ϑ (x, t)R ϑ0
t
t1
t2
t3
ϑp
x = 0 x
t1 > t2 > t3
ϑ0
αu
50
+−=−−
+
atat
xe
at
x atx
λα
ϑϑϑϑ λ
αλ
α
u
po
p
4erfc
4erfc
2uu
(II-31)
čiji kvalitativni tijek prikazuje slika II-12. Provedena analiza na modelu polubeskonačnog tijela pokazuje da su dobivena rješenja primjenljiva i za tijela konačne debljine, tako dugo dok je ograničen toplinski utjecaj na ostale rubne (granične) površine. Stoga su ta dobivena rješenja primjenljiva za vrlo mala vremena toplinske difuzije.
51
III.Poglavlje. Analitičko rješenje temperaturnog polja kod trenutnih, kontinuiranih i pomičnih toplinskih izvora
1 Trenutni toplinski izvori Složena analiza temperaturnih polja u krutini kao posljedice djelovanja kontinuiranih i pomičnih toplinskih izvora, polazi od dobivenih rješenja za slučajeve djelovanja trenutnih toplinskih izvora. 1.1 Toplinska eksplozija. (Trenutni točkasti toplinski izvor) Pod toplinskom eksplozijom podrazumijevamo trenutno oslobađanje topline u jednom volumenskom elementu beskonačnog tijela (krutine). Često se takav način oslobađanja topline naziva trenutnim točkastim toplinskim izvorom. Ovakav slučaj toplinskog oslobađanja može nastati tijekom brzih kemijskih reakcija, nuklearnih reakcija, nadalje može potjecati iz električnog luka (npr. pri kratkom spoju), oslobađanjem topline pri faznim promjenama, kao što su npr. nagli kondenzacijski procesi. 1.1.1 Temperaturno polje oko jednog točkastog toplinskog izvora Neka u jednom beskonačnom tijelu u vremenu t = 0, na radijus vektoru (prostornom radijusu) r = 0, trenutni točkasti toplinski izvor oslobodi Q0 , J, (džula) topline, slika III-1.
Slika III-1. Uz pojašnjenje temperaturnog polja oko trenutnog točkastog izvora Nadalje neka je početna temperatura (odnosno nadtemperatura) krutine jednaka ϑ0 = 0 °C te neka je nadalje ispunjena važna pretpostavka konstantnih fizikalnih svojstava (λ, ρ, c) krutine. Uz te pretpostavke može se napisati jedno iskustveno rješenje jednadžbe temperaturnog polja, [5,6]
z
Q0 → t = 0
x
0yr
beskonačno tijelo(ρ, c, λ)
-∞ ≤ x ≤ +∞-∞ ≤ y ≤ +∞-∞ ≤ z ≤ +∞
52
( ) ( ) at
r
etftr 4
2
,−
=ϑ (III-1) Veličinu f(t) dobije se iz uvjeta da oslobođena toplina Q0 mora tijekom širenja kroz beskonačnu krutinu, ostati vremenski konstantna, budući da u promatranom slučaju nema niti dodatnih toplinskih izvora niti toplinske disipacije prema okolišu. Stoga integral
( )∫∞
=0
02 ,4 Qrtrcr dϑρπ (III-2)
mora biti neovisan o vremenu t. Uvrštavanjem izraza (III-1) u (III-2), te uvodeći varijablu
;4at
r=ξ ξdd atr 4= (III-3)
dobiva se izraz
( ) ( ) 0
0
22
3 2
44 Qetfatc =∫∞
− ξξπρ ξ d (a)
iz kojeg slijedi, zbog činjenice da je njegova vrijednost neovisna o vremenu, oblik funkcije f(t)
( )2
3
t
Ctf = (b)
Kako je nadalje poznata vrijednost integrala
4
d0
2 2 πξξ ξ =∫∞
−e (c)
tada iz (c), (b) i (a) slijedi izraz za konstantu C
( )2
30
4atc
QC
ρ= (d)
Uvrštavajući (d) u (III-1) dobiva se traženo rješenje temperaturnog polja
( )( )
at
r
eatc
Qtr 4
2
30
2
4,
−=
πρϑ ; ( )2222 zyxr ++= (III-4)
koje ispunjava sljedeće vremenske i prostorne uvjete:
53
za t= 0 i 0 < r < ∞ je ϑ = 0 (III-5a) za t = 0 i r = 0 je ϑ → ∞ (III-5b) za t → ∞ je ϑ = 0 (III-5c) Da je jednadžba (III-4) jedno od rješenja, može se to neizravno pokazati da ona zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu nestacionarnog provođenja topline napisanu u sfernim koordinatama, pri čemu se uzima postojanje temperaturnog gradijenta jedino u smjeru prostornog radijusa r, [1]:
∂∂+
∂∂=
∂∂
rrra
t
ϑϑϑ 22
2
(III-5)
Derivirajući parcijalno jednadžbu (III-4) po varijabli t dobiva se
( )
−=
∂∂ −
2
3
44
24
2
30
2
at
re
tatc
Q
tat
r
πρ
ϑ (a)
dok su prva i druga parcijalna derivacija po varijabli r
( )
at
r
eatc
Q
at
r
r4
2
30
2
42
−
−=
∂∂
πρ
ϑ (b)
( )
at
r
etac
Q
ta
r
tr4
2
30
2
2
2
22
42
3
4
1 −
−=
∂∂
πρ
ϑ (c)
Vrativši (c), (b) i (a) natrag u (III-5) dobiva se jednakost
( )
−
−
2
3
44
24
2
30
2
at
re
tatc
Qat
r
πρ =
( )
−
−
2
3
44
24
2
30
2
at
re
tatc
Qat
r
πρ (e)
koja dokazuje da je jednadžba (III-4) jedno od rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe (III-5)! Primjer III-1. Jednu debelu ploču koju se može polubeskonačnim tijelom pogodi projektil mase m = 10 g brzinom w = 500 m/s. Poznata su fizikalna svojstva ploče: a =15⋅10-6 m2/s i ρc= 3900 kJ/(Km3). Potrebno je odrediti jednadžbu temperaturnog polja pod pretpostavkom da se dvostruka kinetička energija projektila provođenjem penetrira u ploču! Rješenje. Akceptirajući navedene pretpostavke, problem se može riješiti koristeći jednadžbu (III-4), tretirajući pri tomu da je u poluprostor predana sva kinetička energija projektila, kao energiju trenutnog točkastog izvora, pa je
54
2500250001,02
220 =⋅==
mwQ J,
pa se uvrštavajući posebne vrijednosti u jednadžbu (III-4) dobiva
( )( ) ( )
t
r
at
r
et
e
atc
Qtr
610154
2
2
363
5,14
2
2
30
10154103900
2500
4
,−⋅⋅
−
−
−−
⋅⋅⋅
==
ππρϑ
( ) t
r
ettr610154
2
5.17,247,−⋅⋅
−−=ϑ (*)
Kvantitativni prikaz gornjeg rješenja prikazuje dijagram na slici III-2.
Slika III-2. Temperaturna raspodjela ϑ (r, t) oko jednog trenutnog točkastog izvor shodno primjeru III-1.
Kako se vidi iz dijagramskog prikaza temperaturna raspodjela ima oblik tipične zvonolike krivulje. Za zadani radijus temperatura prolazi maksimum (lokalni ekstrem!) koji se dobije iz uvjeta
( )0
,=
∂
∂
rt
trϑ
07,247 4
2
5,1 =∂
∂
−−
r
at
r
ett
odakle se dobiva vrijednost vremenske stacionarne točke
700
600
500
400
300
200
100
00 0,5 1 1,5 2 2,5 3
ϑ, °
C
t = 0,5 s
t = 1 s
t = 1,5 s
t = 2 s
t = 2,5; 3; 4; 5; 10 s
r, cm
55
a
rt
6
2
m = (**)
Uvrštavanjem (**) u (*) dobiva se izraz za maksimalnu temperaturu u funkciji prostornog radijusa r
3
5
maks
10179,4
r
−⋅=ϑ (***)
i koja pokazuje da maksimalna temperatura opada s trećom potencijom udaljenosti točke krutine od mjesta djelovanja trenutnog točkastog toplinskog izvora. Temperaturno polje u funkciji vremena s prostornim radijusom r kao parametrom, iz primjera III-1. prikazuje slika III-3.
Slika III-3. Temperaturno polje, za zadani prostorni radijus r, u funkciji vremena t, prema primjeru III-1.
Na gornjoj slici se vrlo lijepo vide i lokalni ekstremi za zadani r, koji se javljaju u vremenu tm, jed. (**), kao i maksimalne vrijednosti temperatura određene jednadžbom (***) 1.1.2 Temperaturno polje oko trenutnog linijskog(cilindričnog) izvora Trenutni linijski toplinski izvor se definira kao onaj koji u vremenu t = 0, oslobodi trenutno toplinu izraženu u J/m.
δδ
0QQ = (III-6)
ϑ, °
C
t, s
56
Jasno je, uz pretpostavku da sva oslobođena toplina difundira u krutinu, slika III-4, mora vrijediti
Slika III-4. Uz pojašnjenje cilindričnog trenutnog toplinskog izvora
( ) ( )∫ ∫∞
==V
QrrtrcVtrc0
0d2,d, πδϑρϑρ (III-7)
U gornjoj jednadžbi veličina r označuje ravninski radijus vektor udaljenosti točke od mjesta djelovanja trenutnog cilindričnog izvora. Veličina δ je debljina krutine usmjerena u smjeru treće koordinatne osi. Znači da se temperaturno polje u promatranom slučaju prikazuje u obliku cilindričnih valjaka. Ako se u jednadžbu (III-7) uvrsti jednadžbu (III-1) i koristeći pri tomu (III-3) dobiva se
( ) 0
0
d4422
Qatatetftc =∫∞
− ξξπδρ ξ (a)
koji nakon jednostavnog sređivanja prelazi u oblik
( )δ
ξξπρ ξ 0
0
d82 Q
etfct =−∞
∫ (III-8)
Da bi vrijednost gornjega izraza bila, zbog udovoljavanja akceptiranoj fizikalnosti problema, neovisna vremenskoj varijabli t, mora veličina f(t) biti jednaka
( )t
Ctf = (b)
Lako je pokazati da je vrijednost integrala
beskonačnatanka ploča
x
y
z
d
0
0′r
57
2
1d
0
2
=∫∞
− ξξ ξe (c)
pa se iz (c), (b) i (III-8) dobije vrijednost konstante C
ca
QC
ρπδ
40= (III-9)
Vraćanjem (III-9) u (III-1) dobiva se jednadžbu temperaturnog polja oko trenutnog cilindričnog toplinskog izvora
( ) at
r
ecat
Qtr 40
2
4,
−=
ρπδϑ ; ( )222 yxr += (III-10)
Jednadžba (III-10) udovoljava i uvjete naznačene u (III-5a) do (III-5c), ako se umjesto prostornog radijusa uvrsti ravninski radijus r. Može se pokazati da je (III-10) jedno od rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe nestacionarnog provođenja topline napisane u cilindričnom koordinatnom sustavu
∂∂+
∂∂=
∂∂
rrra
t
ϑϑϑ 12
2
(III-11)
Ako bi uzeli u obzir i odavanje topline s površina prema okolišu temperature ϑ0, tada se i taj efekt lako ugrađuje u strukturu jednadžbe (III-10)
( ) btat
r
ecat
Qtr
−−= 40
2
4,
ρπδϑ (III-12)
pri čemu je
ρδα
cb
2= (III-13)
tzv. faktor temperaturnog prijelaza, koji uzima u obzir sveukupno (konvekcija, zračenje) odavanje topline s površina tijela prema okolišu.
1.1.3 Ravninski trenutni toplinski izvor Za jedan toplinski izvor koji u ravnini površine 2A trenutno oslobodi toplinu Q0, (trenutni ravninski toplinski izvor), slika III-5,
58
Slika III-5. Uz pojašnjenje ravninskog toplinskog izvora može se analogno predhodno pokazanim postupcima, doći do jednadžbe temperaturnog polja
( )( )
−
= at
r
ecat
AQtr
4
2
10
2
4,
ρπϑ ; ( )22 xr = (III-14)
pri čemu veličina Q0/A predstavlja onaj iznos koji od ravninskog izvora difundira u jedan poluprostor krutine, a r, koji ovdje korespondira jednoj od Kartezijevih koordinata, najčešće koordinatu x, predstavlja udaljenost od ravninskog izvora. Ovo rješenje ustvari odgovara rješenju temperaturnog polja u jednoj ploči, pa se lako može pokazati da ono zadovoljava odnosnu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu oblika, [1]:
2
2
2
2
xa
ra
t ∂∂=
∂∂=
∂∂ ϑϑϑ
(III-15)
Uzimajući u obzir i prijelaz topline s površine tijela (štapa) prema okolišu, jednadžba (III-14) se lako transformira na oblik
( )( )
−−
=bt
at
r
ecat
AQtr
4
2
10
2
4,
ρπϑ (III-16)
pri čemu je
Ac
Ob
ρα= (III-17)
x
y
z
0
QA =Q0
2A
-∞ ≤ x ≤ +∞
59
u kojoj O opseg štapa, m, a A, m2, veličinu njegovog poprečnog presjeka. Koeficijent α, W/(m2 K), predstavlja sveukupni koeficijent prijelaza topline. 1.2 Prikaz rješenja u jedinstvenom bezdimenzijskom obliku Dobivena rješenja (III-14), (III-10) i (III-4) mogu se prikazati u jedinstvenom bezdimenzijskom obliku
2
/0
2
1
1ξξϑρπΘ −== e
AQ
cr (beskonačni štap) (III-18)
22
0
2
2 /ξξ
δπϑρΘ −== eQ
cr (beskonačna tanka ploča) (III-19)
23
0
32
3
3ξξϑρπΘ −== e
Q
cr (beskonačno tijelo) (III-20)
u kojem je veličina ξ definirana jednadžbom (III-3). Kvantitativni jedinstveni prikaz gornjih jednadžbi prikazuje dijagram na slici III-6.
Slika III-6. Kvantitativni prikaz jedinstvenog bezdimenzijskog rješenja temperaturnog polja za tri trenutna toplinska izvora: a) točkasti; b) linijski; c) ravninski
Θ1
Θ2
Θ3
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
b. štapb. pločab. tijelo
0 0,5 1 1,5 2 2,5ξ
60
2 Kontinuirani toplinski izvori Iz provedene analize temperaturnog polja zbog djelovanja trenutnih toplinskih izvora, moguće je relativno jednostavno doći do izraza za temperaturno polje zbog djelovanja kontinuiranih toplinskih izvora. Kontinuirani toplinski izvori su oni koji djeluju u određenom vremenskom intervalu. Tijekom vremena izdašnost Φ, W, toplinskog izvora može biti vremenski stalna ili promjenljiva. Poznavajući rješenja temperaturnih polja za trenutne toplinske izvore moguće je metodom vremenske superpozicije iznaći rješenja i za kontinuirane toplinske izvore. Princip superpozicije moguć je kod ovakvih problema zbog svojstva linearnosti parcijalne diferencijalne jednadžbe nestacionarnog povođenja topline (Fourierove jednadžbe). Svojstvo linearnosti se svodi na aditivnost rješenja, na način da se cjelokupno vrijeme djelovanja t kontinuiranog toplinskog izvora podijeli na diferencijalno mala vremena dt′, slika III-7,
Slika III-7. Uz pojašnjenje principa vremenske superpozicije pa je po tom principu temperatura ϑ(r,t) jednaka sumi svih diferencijalnih temperatura dϑ, a koje su posljedica razvijenih toplina u vremenskim intervalima dt′, pa se može pisati
( ) ( )∫ ′−=t
ttrtr0
,d, ϑϑ (III-21)
Rješenje gornjeg integrala izravno je vezano na vrstu kontinuiranog toplinskog izvora. 2.1 Kontinuirani točkasti toplinski izvor U diferencijalu vremena dt´ kontinuirani točkasti izvor izdašnosti Φ(t′) trenutno oslobodi diferencijalni iznos topline ( ) ttQ ′′=δ dΦ (III-22) koji počinje djelovati u vremenu t′, te se u preostalom dijelu vremena t-t′ širi u tijelu, izazivajući u vremenu t elementarno povećanje temperature, koje je opisano jednadžbom (III-4)
Φ Φ = Φ (t)
dQ = Φ (t′)dt′
Φ (
t′)
t′ dt′
t
t - t′t
61
( )( )
)(4
2
3
2
)(4,d tta
r
ettac
Qttr ′−
−
′−
δ=′−πρ
ϑ (III-23)
Uvrštavajući jednadžbu (III-22), u jednadžbu (III-23), te integrirajući (III-23) po vremenu t (princip vremenske superpozicije!), dobiva se
( )( )
( )( )
( ) tett
t
catr
ttta
r
′′−
′= ∫ ′−
−
d4
1,
0
4
2
3
2
32
3
2
Φ
ρπϑ (III-24)
Ako se u gornju jednadžbu uvede supstituciju
( )tta
r
′−=
4ϕ a time je
( )2
3
4
dd
tta
tr
′−
′=ϕ (a)
istu se lako prevodi u oblik
( ) ( )∫∞
−′=atr
et
r
tr42
3 d
2
1,
2
ϕΦλπ
ϑ ϕ (III-25)
Uzevši u daljnje razmatranje slučaj vremenski konstantne izdašnosti toplinskog izvora
( ) konst.=′tΦ , gornja se jednadžba bitno pojednostavnjuje glede mogućnosti rješenja naznačenog integrala
( ) ∫∞
−=atr
e
r
tr42
3 d
2
,2
ϕλπ
Φϑ ϕ (III-26)
U II. poglavlju, vidi izvod jed. (II-15), je pokazano da je rješenje gornjeg integrala jednako
∫∞
−
=atr at
re
4 4erfc
2d
2 πϕϕ (a)
pa je konačni oblik jednadžbe temperaturnog polja, oko jednog kontinuiranog točkastog toplinskog izvora od početka njegova djelovanja
( )
=at
r
rtr
4erfc
4,
πλΦϑ (III-27)
Ako vrijeme ∞→t tada je vrijednost argumenta funkcije jednaka nuli, pa je zbog erfc(0)=1
62
( )r
trπλΦϑ
4, =∞→ (III-28)
Jednadžba (III-28) ustvari predstavlja ustaljeno (stacionarno) temperaturno polje. Iz te jednadžbe može se izračunati toplinski tok, koji je isti na svakom radijusu r. ( )∞→= trr ,4 ϑπλΦ (III-29) Jednadžba (III-29) je ustvari identična jednadžbi toplinskog toka pri stacionarnom provođenju topline kroz stijenku kugle, za slučaj da joj vanjski radijus (odnosno promjer) teži u beskonačnost. To se lako vidi iz izraza koji se može naći u lit. [1]
( )
2221
12
0
1
4
RRR
RR
αλ
ϑϑπΦ
+−
−= (a)
Ako pustimo da R2 → ∞ (beskonačno tijelo), te uzmemo da je R1 = r, a razliku temperatura (ϑ - ϑ0) označimo kao nadtemperaturu ϑ, tada izraz (a) postaje identičan izrazu (III-29). 2.2 Kontinuirani linijski (cilindrični) toplinski izvor Temperaturno polje oko jednog kontinuiranog cilindričnog toplinskog izvora na debljinu δ svedene izdašnosti toplinskog izvora Φ (t′)/δ, dobiva se također primjenom prethodno pojašnjene metode vremenske superpozicije, a što s svodi na integraciju jed. (III-10)
( ) ( ) ( )
( )∫ ′−′′
=
′−
−ttta
r
tt
te
ttr
0
4 d
4
1,
2
δΦ
πλϑ (III-30)
Supstitucijom
( )tta
r′−
=4
2
χ a time i ( )
χχχ dd4d
2=
′−=′−
′r
tta
tt
t (a)
te vremenski konstantnom izdašnosti toplinskog izvora ( ) δΦδΦ =′ /t , dobiva se rješenje
temperaturnog polja oko jednog kontinuiranog cilindričnog toplinskog izvora
( )( )
== ∫
∞−
at
retr
atr4
-Ei4
-d4
,2
42 πλΦχ
πλΦϑ δχδ (III-31)
U gornjoj jednadžbi jednadžbi funkcija
( ) ∫∞
−=−x
u
u
uex
d-Ei (III-32)
63
predstavlja tzv. eksponencijski integral, čije se tablične vrijednosti mogu pronaći u tablici (III-1) u Prilogu. Primjer III-2. Na žicu, koja se koristi kao električni vodič nategnutu unutar izolacijskog materijala (PVC) fizikalnih svojstava λ, ρ i c, u trenutku t = 0, počinje djelovati konstantni toplinski tok Φδ. Na udaljenost r od osi žice (r je bitno veći od promjera žice) mjeri se temperatura pomoću vrlo tankog ugrađenog termoelementa u funkciji vremena t trajanja uključenog električnog izvora. Na osnovu praćenja te temperaturne promjene, iz poznate ρ i c moguće je odrediti koeficijent vodljivosti topline dotičnog (PVC) materijala. Rješenje. Da bi postavljeni eksperiment mogli usporediti s približnom izvedenom teorijom za kontinuirani cilindrični toplinski izvor, jed. (III-31), mora se svedenu temperaturu kao ordinatu
( )δΦ
πλϑ tr
at
r ,4
4-Ei
2
=−
,
prikazati u dijagramu u kojem apscisa predstavlja bezdimenzijsko vrijeme (Fourierov broj, Fo)
( )22 cr
t
r
atFo
ρλ
==
To znači da se jednadžbu (III-27) može prikazati u bezdimenzijskom obliku
−=
Fo4
1-EiΘ
Pomoću tabličnih vrijednosti (III-1) iz Priloga gornju funkciju kvantitativno prikazuje slika III-8.
Slika III-8. Vremenska promjena temperature na udaljenosti r od jednog kontinuiranog linijskog toplinskog izvora
Ako su poznate vrijednosti ρ i c a vrijednost λ nepoznata, tada se ona može izračunati iz izmjerenih vrijednosti parova ti i ϑi i procijenjene vrijednosti λ izračunati bezdimenzijske vrijednosti Θi i Foi i točkasto
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
00 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
Θ
Fo
−−=
FoE
41
iΘ
ϑ
d
Φδ
64
unijeti u dijagram na slici III-8. Fizikalno točne vrijednosti za λ su tada dobro utvrđene kada mjerne vrijednosti po mogućnosti dobro leže na prikazanoj teorijskoj krivulji! 2.3 Kontinuirani ravninski toplinski izvor Temperaturno polje oko jednog ravninskog kontinuiranog toplinskog izvora izdašnosti
( )t′Φ , koji djeluje u ravnini površine 2A , dobiva se dakako također metodom vremenske superpozicije infinitezimalnih temperaturnih promjena, a što se faktički svodi na vremensko integriranje jednadžbe (III-14)
( ) ( ) ( )
( ) 21
4
0
d
4
1,
2
tt
te
A
t
catr
tta
rt
′−′′
=
′−
−
∫Φ
ρπϑ (III-33)
Koristeći ovdje supstituciju
( )tta
r
′−=
4ϕ odnosno ( ) 234
dd
tta
tr
′−′
=ϕ (a)
i za vremenski konstatnu izdašnost toplinskog izvora, dobiva se jednadžbu temperaturnog polja oko jednog ravninskog kontinuiranog toplinskog izvora
( ) ∫∞
−=atr
eA
rtr
42
d
2,
2
ϕϕ
λΦϑ ϕ
−=
−
at
re
r
at
A
r at
r
4erfc
14
24
2
πΦ
λ (III-34)
65
3 Pomični toplinski izvori 3.1 Općenito U pasusima 1 i 2 ovog poglavlja razrađena su temperaturna polja zbog djelovanja trenutnih i kontinuiranih toplinskih izvora. Dotični su modeli, kako je pokazano i na određenim primjerima, imali svakako i svoje određene praktične aplikacije. Također i pomični toplinski izvori nalaze svoju primjenu u čitavom nizu tehnoloških procesa, kao što su npr. obrada metala skidanjem strugotine ili zavarivački (navarivački) procesi. Proračun temperaturnog polja u krutini oko pomičnog toplinskog izvora može se modelirati na način da se krutina giba a toplinski izvor miruje, ili da se toplinski izvor giba a da krutina miruje. Za model naših daljnjih razmatranja uzet će se potonji. I za proračun temperaturnog polja u slučaju pomičnog toplinskog izvora koristit će se princip superpozicije, po kojem temperaturna promjena u bilo kojoj točki krutine dobiva kao suma temperaturnih promjena zbog širenja njegovih elementarnih iznosa topline, uzimajući pri tomu vrijeme i mjesto (poziciju) njegova djelovanja. Budući da toplinski izvor djeluje u vremenu kontinuirano, može se elementarne temperaturne priraste dϑ integrirati kao sumu (integral) djelovanja toplinskog izvora unutar beskonačno malih vremenskih odsječaka, tj.
∫=t
0
dϑϑ (III-35)
Rješenje integrala (III-35) prikazat ćemo za tri esencijalna pomična toplinska izvora: kontinuirani točkasti toplinski izvor koji djeluje na površini jednostrano ograničenog tijela; kontinuirani linijski toplinski izvor koji djeluje u neograničenoj ploči i ravninski toplinski izvor koji djeluje u neograničenom štapu. Ti se slučajevi javljaju i u praktičnim problemima kao što su zagrijavanje određenih komada plamenikom, navarivanje navara na masivna tijela, sučeono (tupo) zavarivanje limova itd. 3.2 Temperaturno polje oko pomičnog točkastog toplinskog izvora Neka se jedan pomični točkasti toplinski tok giba, po površini polubeskonačnog tijela, u smjeru osi x konstantnom brzinom w, kako to kvalitativno prikazuje slika III-8.
z =
Z0
y =Y 0
wt′ wdt′
r
00
X0
0x
Y0 y
Z0 z
A
X0 ; x
wt
0′
R′w (t - t′ )
Slika III-8. Uz pojašnjenje temperaturnog polja oko pomičnog točkastog toplinskog izvora
66
Točka 00 predstavlja ishodište nepomičnog koordinatnog sustava X0, Y0, Z0 i ujedno mjesto početka, t = 0, djelovanja pomičnog točkastog izvora. Os 00X0 predstavlja ujedno i pravac gibanja toplinskog izvora, os 00Y0 leži na gornjoj (rubnoj) površini polubeskonačne krutine, a os 00Z0 je okomita na tu ravninu i usmjerena u krutinu. Pri konstantnoj brzini u vremenskom trenutku t (računatom od početka djelovanja) nalazi se toplinski izvor u točki 0 koja je od koordinatnog ishodišta 00 udaljena za iznos wt. U točki 0, tj. u trenutnom položaju toplinskog izvora leži ishodište pomičnog koordinatnog sustava x,y,z, čije se koordinatne osi 0x, 0y i 0z podudaraju sa smjerovima osi nepomičnog koordinatnog sustava. Toplinski izvor mora se nakon t′ vremena djelovanja naći u točki 0′ s koordinatama (wt′,0,0). U beskonačno malom vremenskom intervalu dt′ oslobodi u točki 0′ elementarni iznos topline Φdt′. Taj iznos oslobođene topline širi se u krutini u vremenu t-t′ i u vremenu t u točki A(x0,y0,z0) izaziva elementarnu temperaturnu promjenu dϑ(t′). Sumiraju li se ove elementarne temperaturne promjene unutar cjelokupnog vremenskog intervala t djelovanja toplinskog izvora, dobiva se stvarnu promjenu temperature ϑ(t) promatrane točke. Tu se temperaturu može izraziti shodno jednadžbi (III-35) u obliku
( ) ( )∫ ′=t
tt0
dϑϑ (III-36)
Elementarnu temperaturnu promjenu dϑ(t′) može se izraziti jednadžbom (III-4) koja opisuje temperaturno polje oko jednog trenutnog točkastog toplinskog izvora. Budući da toplinski izvor u promatranom slučaju ne djeluje u ishodištu koordinatnog sustava, mora se radijus vektor točke A, tj. kvadrat udaljenost 0′A izraziti sljedećom jednadžbom ( ) ( ) 2
020
20
22 zywtxR ++−==′ A0' (III-37)
Trajanje širenja topline od, u točki 0′, trenutnog točkastog izvora iznosi t - t′. Uvrštavanjem ovog vremena, kao i jed. (III-37) u jednadžbu (III-4) dobiva se
( )( )( )
( )( )
′−++′−−
′−
′= tta
zytwx
ettac
ttzyx
4
2
3000
20
20
20
4
d2,,,d
πρ
Φϑ (III-38)
pri čemu je tt ≤′≤0 (Broj 2 u jednadžbi za toplinski tok proizlazi iz činjenice da su jednadžbe za pomični točkasti toplinski izvor izvedene na modelu beskonačnog tijela, a kako promatrano tijelo spada u model polubeskonačnog, potrebno je uvrstiti dvostruku vrijednost toplinskog toka od strane toplinskog izvora koji se giba po gornjoj površini polubeskonačnog tijela.) Uvrštavanjem (III-38) u (III-35) dobiva se jednadžba koja opisuje temperaturno polje oko pomičnog točkastog toplinskog izvora za cjelokupno vrijeme t njegova djelovanja
67
( )( )( )
( )( )
′−++′−−
′−
′= ∫
tta
zytwxt
ettac
ttzyx
4
2
30
000
20
20
20
4
d2,,,
πρ
Φϑ (III-39)
Rješenje se gornjeg integrala bitno pojednostavnjuje ako se jednadžbu prevede na pomični koordinatni sustav zyx ,, , pri čemu se njegovo ishodište 0 podudara s pozicijom djelovanja pomičnog toplinskog izvora, slika III-8. U tom je slučaju jednostavna veza između koordinata pomičnog i koordinata nepomičnog sustava ;0 wtxx −= ;0yy = 0zz = (III-40)
Kvadrat radijus vektora, r2 = (0A)2, u tom slučaju je 2222 zyxr ++= (III-41) Nadalje neka se u gornji integral uvede i pomoćna varijabla ttt ′−=′′ , pa je twxwtx ′′+=− '
0 (a)
Uvođenjem (a), (III-41) i (III-40) u (III-39) slijedi
( )( )
( )
′′++′′+−
∫′′
′′= ta
zytwxt
e
t
t
actzyx
4
0 2
3
2
3
222
d
4
2,,,
πρ
Φϑ (b)
( )( ) ∫
′′
−′′
−−
′′
′′=
tta
r
a
tw
a
wx
e
t
t
actzyx
0
442
2
3
2
3
22
d
4
2,,,
πρ
Φϑ (c)
Izraz (c) se lako transformira na konačni oblik jednadžbe temperaturnog polja u krutini po čijoj se površini giba točkasti toplinski izvor, napisan u pomičnom koordinatnom sustavu
( )( ) ∫ ′′
′′=
′′−
′′−
− t ta
r
a
tw
a
wx
t
t
ee
actzyx
0 2
3
442
2
3 d4
2,,,
22
πρ
Φϑ (III-42)
Ako uvedemo supstituciju
ta
r
′′=
4ϕ , a time je
2
3
4
dd
ta
tr
′′⋅
′′=ϕ (a)
te caρλ = (b)
68
tada se gornju jednadžbu može napisati u obliku
( ) ( ) ϕλπ
Φϑϑ ϕϕ
d
2
,,,,4
162
2
31
22
222
∫∞
−−−
==atr
a
rw
a
wx
ee
r
tzyxtr (III-43)
Sljedeći korak je rješenje integrala u gornjoj jednadžbi za različite vrijednosti veličina koje se javljaju u njezinoj strukturi. Integrali ovakve vrste nisu uvijek rješivi u zatvorenom obliku, pa se mora primijeniti neku od poznatih približnih matematičkih metoda. 3.2.1 Temperaturno polje u kvazistacionarnom stanju Prati li se u temperaturno polje vezano za pomični toplinski izvor, uočit će se da nakon određenog vremena temperaturno polje ostaje vremenski nepromijenjeno. Takvo postignuto toplinsko stanje naziva se graničnim ili kvazistacionarnim toplinskim stanjem. Po postizanju toga toplinskog stanja krutine, odnosno toplinskog zasićenja, njezino temperaturno polje slijedi toplinski izvor bez da se pri tomu ono mijenja. Stoga se toplinsko ponašanje krutine na koju djeluje pomični toplinski izvor može podijeliti u dva vremenska perioda: I. Period postizavanja toplinskog zasićenja unutar kojeg temperature, vezane za
toplinski izvor, se povećavaju. II. Period širenja topline u postignutom graničnom stanju, u kojem temperaturno
polje u krutini ostaje nepromijenjeno. Kvazistacionarno toplinsko stanje (temperaturno polje) teorijski se postiže kada vrijeme t djelovanja pomičnog toplinskog izvora teži u beskonačnost. 3.2.1.1 Pomični točkasti toplinski izvor koji se giba po površini polubeskonačnog tijela Za taj slučaj granice integracije u jednadžbi (III-43) su 0 do ∞, pa se može pisati
( ) ( ) ϕλπ
Φϑϑ ϕϕ
d
2
,,,,0
162
2
31
22
222
∫∞
−−−
=∞→= a
rw
a
wx
ee
r
tzyxtr (a)
Poznato je rješenje određenog integrala oblika
m
m
ee 2
0 2d
2
22
−∞ −−
=∫πϕϕ
ϕ (b)
Iz strukture (a) vidi se da veličina m u konkretnom slučaju ima značenje
a
wrm
4= (c)
69
Iskoristivši (c) i (b) jednadžbu (a) se može napisati u konačnom obliku
( )( )
+++−
+−
++==
xzyxa
wxr
a
w
ezyx
er
zyx222
2
222
2
22,,
πλΦ
πλΦϑ (III-44)
Pomoću bezdimenzijskih veličina
Φ
ϑπλΘw
a2= (a)
a
wx=ξ (b)
a
wy=η (c)
a
wz=ζ (d)
222 ζηγ += (e) jednadžbu (III-44) se može napisati u bezdimenzijskom obliku
( )222
5,0 222
,,ζηξ
ζηξΘξζηξ
++=
+++−
e (III-45)
Bezdimenzijsko temperaturno polje u ravnini (ξ, η) u desno pomičnog toplinskog izvora prikazuje slika (III-9)
Slika III-9. Temperaturno polje u ravnini (ξ,η) u kojoj se u desno točkasti toplinski izvor
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 ξ
η
0,5
1,0
1,5
-0,5
-1,0
-1,5
Θ = 2
Θ = 1 Θ = 0,5
70
Iz slike je vidljivo da do ‘’kompresija’’ izotermi dolazi ispred toplinskog izvora, odnosno ispred toplinskog izvora uspostavljaju se bitno veći temperaturni gradijenti. Primjer III-3 Na površini jednog masivnog nelegiranog čeličnog komada navaruje se navar pomoću jedne obložene elektrode promjera promjera žice 3,25 mm. Jakost istosmjerne struje pri tome iznosi I = 140 A, a napon luka je U = 25 V. Od ukupno razvijene topline neka 80% ulazi u krutinu. Nadalje neka se fizikalna svojstva krutine uzmu za temperaturu 400 oC. Brzina gibanja električnog luka je w = 3,3 mm/s, a širina navara neka iznosi 10 mm. Početna temperatura čeličnog komada je 20 oC. Potrebno je odrediti proračunsku širinu navara kao i zonu strukturne promjene Rješenje: Fizikalna svojstva promatranog nelegiranog čelika su: ρ = 7730 kg/m3; λ = 45 W/(m K); c = 600 J/(kgK); a = 9,6 ⋅10-6 m2/s, a temperatura topljenja mu je ϑs = 1470 oC. Promatra li se električni luk kao pomični toplinski izvor koji se giba po površini polubeskonačnog tijela, tada se za proračun temperaturnog polja mogu koristiti jednadžbe jednadžbe (III-44) i (III-45) na način da se toplinski tok Φ računa prema jednadžbi: 28008,0140258,0 =⋅⋅=⋅= UIΦ W Temperaturno polje na gornjoj površini komada (ravnina ξ, η ), dobije se ako se u jednadžbu (III-45) uvrsti ζ = 0;
( )22
225,0
,ηξ
ηξΘ
ξηξ
+=
++−
e (a)
Sa supstitucijom
22 ηξµ += (b) izraz (a) se transformira na oblik
( )
µΘ
ξµ+−
=5,0e
(c)
koji se lako preinačuje
( )Θµµξ ln2−−= (d)
(Prema gornjoj jednadžbi, za zadani Θ nacrtano je i bezdimenzijsko temperaturno polje na slici III-9.) Bezdimenzijsku temperaturu računamo prema (a), jednadžba iza (III-44)
( ) ( )
426,028000033,0
201470106,94522 6ps =
⋅
−⋅⋅⋅=
−=
−πΦ
ϑϑπλΘ
w
a
Iteracijskim postupkom, za različite ξ iz naznačenog intervala i izračunatog Θ = 0,426, rješavajući jednadžbu (d) dobiva se ηmaks = 1,37 za ξ =0,67, što znači da je µ = 1,525 Kako je
71
maksmaks ya
w=η
iz nje se dobiva računska vrijednost širine navara
003985,00033,0
106,937,1
6
maksmaks =⋅
==−
w
ay η m = 3,985 mm ≈ 4 mm.
Dobivena računska vrijednost je iznenađujuće dobra, u odnosu na eksperimentalno utvrđenu vrijednost širine navara 5 mm. Eksperimentalna širina i mora biti veća zbog lećastog oblika navara! Poznato je da kod nalegiranih ugljičnih čelika do strukturne promjene dolazi pri temperaturama iznad 400 oC, pa se stoga mogu formirati veličine:
( ) ( )
112,028000033,0
20400106,94522 6ps =
⋅
−⋅⋅⋅=
−=
−πΦ
ϑϑπλΘ
w
a
s kojom se također iteracijskim postupkom kao i u prethodnom slučaju odredi ηmaks=3,23 za ξ =3,1, pa je širina toplinski utjecajne zone
010,00033,0
106,923,3
6
maksmaks.zut ≈⋅
==−
w
ay η m = 10 mm
što znači da je širina zone utjecaja topline (ZUT) dva puta veća od širine navara! Primjer III-4 Po površini polubeskonačnog tijela, slika III-10, giba se točkasti toplinski izvor brzinom 0,1 cm/s. Snaga (izdašnost) toplinskog izvora 4,178 kW. Koeficijent temperaturne vodljivosti krutine je 0,1 cm2/s, a koeficijent vodljivosti topline je 41,87 W/(m K). Potrebno je odrediti kvazistacionarno temperaturno polje: a)- u ravnini 0,x,y (ravnini u kojoj se u smjeru osi x giba toplinski izvor) b)- u obliku ϑ = f (x,y) s paramatarskom vrijednosti koordinate y c)- u obliku ϑ = f1(x,w) s parametarskom vrijednosti brzine w gibanja točkastog toplinskog izvora
Rješenje. Zadani problem se rješava prema jednadžbama iz prethodnog pasusa sukscesivno kako slijedi: a) - temperaturno polje u ravnini 0,x,y ako se u
jednadžbu (III-45) uvrsti ζ = 0, pa je
( )22
225,0
,ηξ
ηξΘ
ξηξ
+=
++−
e
(a) u kojoj su veličine ξ i η određene jednadžbama
xx
a
wx===
1,0
1,0ξ (b)
ya
wy==η (c)
Bezdimenzijska temperatura Θ (ξ,η) je također izvedena i računa se prema izrazu
v
0
x
y
z
Slika III-10. Uz pojašnjenje primjera III-4.
72
Φ
ϑπλΘ
w
a2= = ϑ
ϑπ000627,0
418721,0
1,04187,04=
⋅⋅
⋅⋅ (d)
Uvrštavanjem (d), (c) i (b) u (a) dobiva se dimenzijsko temperaturno polje u ravnini 0,x,y u funkciji zadanih fizikalno tehnoloških parametara i dimenzijskih koordinata x i y, u odnosu na poziciju točkastog izvora. Koordinate treba uvrstiti u cm, s time da su pozitivne koordinate x onih točaka koje leže ispred točkastog toplinskog izvora:
( )22
225,0
22
225,0
9,15949,1594,yx
e
yx
eyx
xyxxyx
+
−
=+
=
++
++−
ϑ (e)
Slika 3-11a pokazuje izoterme 1500 - 200 oC koje se zatvaraju unutar naznačenih koordinata ravnine 0,x,y, dok se izoterme 100 i 50 oC ne zatvaraju. U točki djelovanja toplinskog izvora, x = y = 0, temperatura teži u beskonačnost.
-6
-4
-2
0
2
4
6
cm
x
y
100°50°
200°300°
400°600°
800°
1000°
1500°
-12 -8 -4 0 4cmy = 0 cm
3
0 4
x
cm-8-12 -4
1600
1200
800
400
1
2
ϑ
°C
Slika III-11a. Kvazistacionarno temperaturno polje Slika III-11b. Kvazistacionarno temperaturno u ravnini yx,,0 oko točkastog polje u ravnini x,ϑ sa
pomičnog izvora y = 0, 1, 2 i 3 cm Slika jasno pokazuje kako dolazi do velikih temperaturnih gradijenata u krutini ispred toplinskog izvora, što se kvantitativno iščitava iz slike III-11a. Tako se vidi da je temperaturni pad od temperature ∞ do 50 oC ispred (desno od) toplinskog izvora praktički na x = 2,5 cm, dok je apsolutna vrijednost x za isti temperaturni pad, daleko veća iza (lijevo od) toplinskog izvora. Crtkana linija u gornjoj slici povezuje maksimalne vrijednosti koordinata y, koju zahvaća pojedina izoterma. b) Iz jednadžbe (e) lako je napraviti kvantitativni prikaz u ravnini ϑ,x u kojemu se koordinatu y uzima
kao parametarsku veličinu. Tako dijagram na slici III-11b prikazuje temperaturno polje u ravnini ϑ,x pri čemu su za vrijednosti parametra y uzete vrijednosti y = 0, 1, 2 i 3 cm. Dijagram jasno pokazuje također velike temperaturne gradijente ispred toplinskog izvora, ali i znatni temperaturni pad s povećanjem koordinate y. Iz dijagrama se vidi da za određenu vrijednost y vrijednost temperature postiže svoj maksimum (lokalni ekstrem!). Vrijednost koordinate x (stacionarne točke) dobije se iz uvjeta:
73
y
xyx
y yx
e
xx
+⇒=
++−
22
225,0
9,1594d
d0
d
dϑ
odakle se nakon naznačenih operacija dobiva jedna jednadžba oblika
( ) 022222 =++++ xyxyxx (f)
iz koje se za zadanu vrijednost koordinate y pokušavanjem odredi vrijednost apscise mx u stacionarnoj
točki. Za tako određene koordinate stacionarnih točaka odredi se vrijednost maksimalnih temperatura, koje su prikazane crtkanom linijom na slici III –11b. U tom dijagramu ucrtane su maksimalne vrijednosti temperatura za y = 1, 2 i 3 cm. Ucrtana je i temperaturna linija za y = 0. Dakako njezina maksimalna vrijednost teži u ∞ za vrijednost y = 0, a što pokazuje i jednadžba (f), xm → 0. Kako pokazuju dobiveni rezultati vrijednost maksimalne temperature se sve više pomiče u lijevo od mjesta djelovanja toplinskog izvora, s povećanjem koordinate y. c) U ovom se pitanju želi ispitati utjecaj brzine gibanja točkastog toplinskog izvora na temperaturu
točaka krutine koje leže na osi 0,x, tj. osi gibanja toplinskog izvora. Za točku A, koja ima negativnu os x, (x < 0), slika III- 12a e x = -r, pa isčezava suma u eksponentu jednadžbe (III-44),
Slika III-12a. Uz pojašnjenje pozitivne i negativne Slika III-12b. Temperaturno polje po osi x u funkciji vrijednosti koordinate x brzine gibanja toplinskog izvora pa ona prelazi u oblik
( )rrr
r5,1591
4187,02
4187
2=
⋅==
ππλΦ
ϑ (g)
iz kojeg proizlazi da vrijednost temperature točaka krutine koje leže na osi x < 0, ne ovisi o brzini w gibanja toplinskog izvora. Kvantitativne vrijednosti temperatura, za zadane ostale uvjete, prikazuje dijagram na slici III-12b. No točke krutine koje leže na osi x > 0, (točke krutine ispred toplinskog izvora), je vrijednost +x ujedno i radijus vektor dotičnih točaka, tj., x = r, pa iz (III- 44) slijedi relevantna jednadžba temperaturnog polja
A B
x = 0
negativnapoluos
pozitivnapoluos
R = -x R = +xx
y
z
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
τ, °C
-10 -8 -4 -2 0 2 4 6-6
w 0
-0,2
cm
/s
v = 0 cm/s
0,050,10,2
x
74
( ) wra
wr
er
er
xr 105,1591
2
−−===
πλΦ
ϑ (h)
Gornju funkciju (temperaturno polje) za brzine gibanja izvora 0; 0,05; 0,1 i 0,2 cm/s kvantitativno prikazuje dijagram na slici III-12d. Zbog toga što je vrijednost eksponenta u gornjoj jednadžbi uvijek negativna, to ima za posljedicu da s povećanjem brzine gibanja toplinskog izvora dolazi ispred njega do bržeg temperaturnog pada, a time i do mogućnosti manjeg iznosa širenja topline u području materijala ispred toplinskog izvora. Ako bi se radilo o velikoj brzini gibanja toplinskog izvora, tada bi se cjelokupno širenje topline praktički odvijalo u području materijala (krutine) iza toplinskog izvora. 3.2.1.2 Linijski toplinski izvor koji se giba po površini tankog beskonačnog lima Slika III-13 kvalitativno prikazuje jedno kvazistacionarno temperaturno polje u limu debljine δ.
Slika III-13. Uz pojašnjenje kvazistacionarnog temperaturnog polja u ploči (limu) debljine δ po kojoj se giba linijski toplinski izvor
Linijski toplinski izvor konstantnog učina Φδ , W/m, giba se jednoliko brzinom w u ravnini X0,00,Y0 (nepomični koordinatni sustav) u smjeru osi X0. U toj se ravnini ploču smatra dimenzijski neograničenom. Granične (rubne) površine z = 0 i z = δ odaju toplinu prema okolišu temperature ϑ0. Iznos izmijenjene topline proporcionalan je ukupnom koeficijentu prijelaza topline α. Dakako, u promatranom modelu ne postoJi temperaturni gradijent u ploči u smjeru osi z. Za iznalaženje jednadžbe temperaturnog polja u ovako definiranom modelu koristi se analogna procedura kao u 3.2.1.1, tj., princip prostorno-vremenske superpozicije. Temperaturno polje, vezano za pomični koordinatni sustav x,0,y, može se po tom principu izraziti jednadžbom
( ) ∫ ′′′′
=
′′−′′
+−−
δt
ta
rtb
a
w
a
wx
t
teetyx
0
442 d
2,,
22
πλδΦϑ (III-46)
U gornjoj jednadžbi radijus vektor r, se računa dakako u odnosu na pomični koordinatni sustav prema jednadžbi
w t x
A y
X0
00 0r ϕ
δ
Y0 Z0
yz
X0; x
75
222 yxr += (III-47) a veličina b, s-1, naziva se koeficijentom temperaturnog odavanja. Ona ustvari označuje intenzitet odavanja topline s površina, z = 0 i z = δ ploče prema okolišu. Računa se prema jednadžbi, a koja proizlazi iz bilance energije na elementarni volumen ploče
ρδαϑ
cb
2= (III-48)
Analitičko rješenje integrala u jednadžbi (III-46), a time i temperaturnog polja, nije moguće. Rješenje je moguće nekom od numeričkih metoda. Ako bi vrijeme t → ∞, tada bi se radilo o tzv. rješenju kvazistacionarnog temperaturnog polja u ploči po kojoj se giba linijski toplinski izvor.
( ) ∫∞
′′−′′
+−−
δ
′′′′
=∞→0
442 d
2,,
22
t
teetyx
ta
rtb
a
w
a
wx
πλδΦϑ (a)
Lako je pokazati da je za taj slučaj moguće analitičko rješenje gornjeg integrala. Uzevši pomoćne supstitucije oblika:
tba
wv ′′
+=
4
2
⇒ b
a
w
vt
+=′′
4
dd 2 (b)
+=
a
b
a
wru
2
222
4 (c)
Uvrštavanjem (c) i (b) u (a) slijedi prepoznatljivi oblik odnosne jednadžbe
( )v
veeyx
v
uv
a
wx d
2,
0
42
2
∫∞
−−−
δ=πλ
Φϑ (d)
Integral u gornjoj jednadžbi može se prevesti u poznato rješenje
( )uKv
ve
v
uv
0
0
4 2d
2
=∫∞
−−
(e)
Funkcija K0(u) predstavlja tzv. Besselovu funkciju imaginarnog argumenta druge vrste i nultog reda. Njezine su vrijednosti za različite vrijednosti argumenta date u tablici (III-2) u Prilogu. Uvrštavanjem (e), (c) u (d) dobiva se konačni oblik jednadžbe kvazistacionarnog temperaturnog polja u beskonačnoj ravnoj ploči debljine δ po kojoj se giba
76
konstantnom brzinom w, u smjeru osi x, linijski toplinski izvor konstantne snage (izdašnosti) Φδ
( ) ( )
+==
−δ
a
b
a
wrKexryx a
wx
2
2
02
42,,
πλΦϑϑ (III-49)
Ako bi se zanemarilo odavanje topline sa graničnih površina ploče (adijabatske površine), tada u gornju jednadžbu treba uvrstiti b= 0, pa se dobiva
( )
=
−δ
a
rwKexr a
wx
22, 0
2
πλΦϑ (III-50)
a ako bi se radilo o zagrijavanju ploče nepomičnim toplinskim izvorom, tada se stavljajući u (III-49) w = 0, dobiva temperaturno polje ploče za stacionarno stanje
( )
= δ
a
brKr 02πλ
Φϑ (III-51)
U literaturi se može naći i bezdimenzijski oblik jednadžbe (III-50). Definirajući bezdimenzijsku nadtemperaturu Θδ, bezdimenzijske koordinate ξ i η
δ
δ =ΦπλϑΘ 2
(III-52)
a
wx=ξ (f)
a
wy=η (g)
jednadžbu (III-50) lako se prevodi na bezdimenzijski oblik
( ) ( )220
2 K, ηξηξΘξ
+=−
δ e (III-53)
Primjer III-5 Potrebno je odrediti temperaturno polje pri tupom zavarivanju dva lima. Zavarivanje se vrši pomičnim linijskim toplinskim izvorom učina Φ = 4187 W, konstantne brzine gibanja w = 0,1 cm/s. Debljina lima iznosi δ = 1cm, koeficijent temperaturne vodljivosti λ = 0,4187 W/(cm K), koeficijent temperaturne vodljivosti lima je a = 0,1 cm2/s a koeficijent temperaturnog odavanja je b = 28⋅10-4 s-1. Temperaturno polje prikazati sljedećim načinima: a)- u gornjoj ravnini x,0,y b)- u ravninama y = konst. koje su paralelne s ravninom prolaza toplinskog izvora x,0,z c)- u poprečnim ravninama x = konst. Rješenje. Za rješenje traženih oblika temperaturnih polja polazi se od jednadžbe (III-49). Izdašnost toplinskog izvora, svedena na debljinu lima δ je
77
1
4187==δ δ
ΦΦ = 4187 W/cm
a) Temperaturno polje u ravnini x,0,y dobije se uvrštavanjem zadanih fizikalno geometrijskih veličina u
jednadžbu (III-49)
( ) ( )
+==
−δ
a
b
a
wrKexryx a
wx
2
2
02
42,,
πλΦ
ϑϑ =
−⋅
− ⋅+
⋅+
⋅ 1,0
1028
1,04
1,0K
4187,02
4187 4
2
222
01,02
1,0
yxe
x
π
= ( )220
5,0 527,0K5,1591 yxe x +− (a)
Uvrštavanjem koordinata x,y u gornju jednadžbu u cm, te koristeći podatke o Besselovoj funkciji iz Priloga, dobiva se temperaturno polje koje kvantitativno prikazuje slika III-14b s time da slika III-14a prikazuje skicu lima s pozicioniranim koordinatnim sustavom.
Slika III -14a. Pomični koordinatni sustav pri Slika III-14b. Kvazistacionarno temperaturno polje tupom zavarivanju limova u ravnini yx ,0, (Jednadžba (a))
Dakako da je prikazano temperaturno polje isto kako u ravnini z = 0 i ravnini z = δ. To proizlazi iz činjenice da ne postoji temperaturni gradijent u limu u smjeru osi z. U isti dijagram su crtkanom linijom povezane maksimalne vrijednosti y (širine lima) za pojedine temperature. Ta crtkana linija ujedno je i linija razgraničenja smjera širenja topline u limu, kako to pokazuju strelice. Iz dijagrama se lako uočuje da se najveći temperaturni gradijenti postižu u točkama na osi x > 0; tj., po osi x ispred djelovanja pomičnog toplinskog izvora. U tom su području kako se vidi izoterme najjače ‘’komprimirane’’. b) Pomoću jednadžbe (a) lako je kvantitativno nacrtati i temperaturno polje u ravninama yi = konst.
Tako dijagram na slici III-14c prikazuje temperaturno polje u funkciji koordinate x za sljedeće parametrske vrijednosti y: 0; 0,6; 1,2; 2,4 i 3,6 cm.
0
x
y
z
δ
-6
-4
-2
0
2
4
6
cm
-20 -16 -12 -8 -4 0 4
1100 °
800 °500 °
300 ° 250 °
1600 °
cm
78
Slika III-14c. Temperaturno polje u Slika III-14d. Temperaturno polje u ravninama yi = konst. ravninama xi = konst.
Iz dijagrama se vidi da s porastom y vrijednost temperature lima opada. Nadalje sa svaku vrijednost y postiže se maksimalnu vrijednost temperature (lokalni ekstrem!). Vrijednost tog maksimuma opada i pomiče se u lijevo s porastom y. c) Ako se jednadžbu (a) iskoristi za izračunavanje temperaturnog polja u ravninama xi = konst. dobiju
se kvantitativne vrijednosti koje prikazuje dijagram na slici III-14d. U tom su dijagramu temperature prikazane u funkciji y za vrijednosti x: 0; 0,6; 3,6; 6; 12 i - 12 cm. Vidi se se maksimalne vrijednosti postižu na y = 0, i oni opadaju s porastom x. Nadalje za manje pozitivne vrijednosti x dobivene krivulje su strmije.
3.2.1.3 Ravninski pomični toplinski izvor u beskonačnom štapu Ravninski toplinski izvor čiji je toplinski učin jednoliko raspoređen po poprečnom presjeku, 2A, štapa giba se jednolikom brzinom w u smjeru osi x, slika III-15. Štap je u smjeru osi x beskonačan i sa svojih površina prema okolišu temperature ϑ0 = 0, odaje toplinu konvekcijom i zračenjem. Sveukupni koeficijent prijelaza topline je α. Temperatura štapa po njegovu presjeku je konstantna, a temperaturni gradijent postoji samo u smjeru osi 00X0, odnosno 0x.
Slika III-15. Ravninski pomični toplinski izvor Slika III-16. Bezdimenzijsko kvazistacionarno u beskonačnom štapu temperaturno polje u štapu
x
ϑ
y 0 cm 0 0,6 0,6 0
1,2
2,4
3,6
-20 -16 -12 -8 -4 0 cm 4
1600
1200
800
400
°C
y
ϑ
-6 -4 -2 0 2 4 6
1600
1200
800
400
0
°C
cm
x 0 cm 0 +0,6
-3,6
0
6
+1,2
-12
A (x, 0; 0)
00
0
X0
X0; x
w t x
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 1 2 3 4
ΘA
ξ-2-4-6-8
79
Koristeći princip vremensko prostorne superpozicije, temperaturno polje u štapu u odnosu na pomični koordinatni sustav izražava se jednadžbom
( )( ) ( )2
10
442
2
1
d
4,
22
t
tee
aActx
tta
xtb
a
w
a
wx
′′
′′= ∫
′′−′′
+−−
πρ
Φϑ (III-54)
U gornjoj jednadžbi je 0 ≤ t″≤ t, a koeficijent b se računa prema jednadžbi
Ac
Ob
ρα= (III-55)
u kojoj veličina O predstavlja opseg (perimetar) štapa. Ako bi vrijeme t → ∞ tada bi se uspostavilo tzv. kvazistacionarno temperaturno polje u štapu oko pomičnog toplinskog izvora. Za taj slučaj postoji rješenje gornjeg integrala, kojeg se može naći u literaturi [7], s time da se gornji integral svede na oblik za koji se nudi rješenje u naznačenoj literaturi
tt
eI
ta
xtb
a
w
′′′′
= ∫∞
′′−′′
+−
d0
44
22
(a)
Ako u gornji integral uvedemo pomoćne veličine
;4
2
ba
wB +=
a
xC
4
2
= (b)
istoga se može napisati u obliku
tt
eI
t
ctB
′′′′
= ∫∞ ′′
−′′−
d0
(c)
Usvojivši supstituciju
;ut =′′ tt
u ′′′′
= d2
1d → u
t
td2
d =′′′′
(d)
integral (c) može se napisati u obliku
ue u
CBu
d20
22
∫∞ −−
(e)
Rješenje gornjega integrala može se naći u [7] i ono ima oblik
80
ueI u
CBu
d20
22
∫∞ −−
= = BCe
B2
2
12 −⋅ π
(f)
Vraćanjem (f), (b) u jednadžbu (III-54) dobiva se kvazistacionarno temperaturno polje u beskonačnom štapu s pomičnim ravninskim izvorom i nametnutim rubnim uvjetima 3. vrste
( )
++−
+=
abwwa
x
eabwAc
x4
2
2
2
4ρΦϑ (III-56a)
Dobiveno rješenje se odnosi na temperaturno polje za x > 0, tj., za točke štapa koje leže ispred toplinskog izvora. Za točke za koje je x ≤ 0, tj. za točke štapa koje leže iz toplinskog izvora rješenje je
( )abwAc
x42 +
=ρ
Φϑ (III-56b)
Ako bi zanemarili utjecaj odavanja topline prema okolišu, tj. ako bi se radilo o štapu s adijabatskim granicama (α = 0 a time je i b = 0), tada se rješenje temperaturnog polja dobiva na način da se u gornje jednadžbe uvrsti b = 0, pa je:
( )=
cwAx
ρΦϑ ; za ;0≤x (III-57a)
( )
=−
a
wx
ecwA
xρΦϑ ; za 0>x (III-57b)
Gornje se jednadžbe mogu napisati u i bezdimenzijskom obliku, ako se uvede bezdimenzijska temperatura ΘA i bezdimenzijska koordinata ξ
Φ
ϑρΘ cwA=A (III-58)
a
wx=ξ (III-59)
( ) ;1A =ξΘ za 0≤ξ (III-60a)
( ) ;A
ξξΘ −= e za 0>ξ (III-60b)
Kvantitativni prikaz jednadžbi (III-59a) i (III-59b) prikazuje dijagram na slici III-16. Iz dijagrama se vidi da dolazi do snažnih temperaturnih gradijenata u osi x ispred djelovanja pomičnog ravninskog toplinskog izvora. Temperatura osi x
81
kvazistacionarnog stanja na i iza položaja djelovanja izvora ostaje konstantna i jednaka jedinici. 3.3 Toplinsko zasićenje i temperaturno izjednačavanje 3.3.1 Period toplinskog zasićenja U prethodnom pasusu 3.2 obrađeno je temperaturno polje u kvazistacionarnom stanju pri gibanju točkastog toplinskog izvora po površini polubeskonačnog tijela, gibanju linijskog toplinskog izvora po površini tanke beskonačne ploče, te gibanju ravninskog toplinskog izvora u beskonačnom štapu. Jednadžbe su pokazale da u tom kvazistacionarnom stanju temperaturno polje ostaje vremenski nepromijenjeno, ukoliko se ono promatra u odnosu na pomični koordinatni sustav. Pri tome ishodište tog sustava odgovara poziciji djelovanja toplinskog izvora. No to kvazistacionarno temperaturno polje dakako ne nastupa odmah. Na početku djelovanja toplinskog izvora krutina ima najčešće jednoliku početnu temperaturu, koja počinje postepeno rasti, tako da oko toplinskog izvora dimenzije zone zagrijavanja postaju sve veće i veće. Čim se veličina zagrijane zone, oko toplinskog izvora, više ne mijenja iznad određene temperature mϑ , kažemo da je širenje topline u tom području praktički postiglo konstantno granično (kvazistacionarno) stanje. Ovo stanje se uspostavlja utoliko kasnije ukoliko se promatra veća zona zagrijavanja oko toplinskog izvora. Period od početka širenja topline pa do postizanja kvazistacionarnog stanja naziva se periodom toplinskog zasićenja, unutar kojeg se temperatura temperatura ( )tϑ mijenja od
vrijednosti ( ) 00 =ϑ do temperature graničnog stanja ( ) grϑϑ =∞ , koja se teorijski
postiže nakon beskonačno dugog vremena djelovanja toplinskog izvora. Za proračun temperature ( )tϑ krutine za vrijeme trajanja perioda toplinskog zasićenja,
jednostavnosti radi, preporuča se izračunati kao produkt temperature zasićenja grϑ s
faktorom toplinskog zasićenja ( )τρψ , , tj., ( ) ( ) gr, ϑτρψϑ =t (III-61)
Jasno je da se vrijednost faktora toplinskog zasićenja kreće u intervalu ( ) .1,0 ≤≤ τρψ
Ako je ( ) 0, =τρψ , tada je ( ) 00 ==tϑ , a ako je ( ) 1, =τρψ tada je ( ) .grϑϑ =∞→t
Unutar tog intervala vrijednost faktora toplinskog zasićenja ovisi o prethodno pojašnjenim vrstama krutina i njima odgovarajućih toplinskih izvora. 3.3.1.1 Period toplinskog zasićenja u polubeskonačnom tijelu s pomičnim točkastim toplinskim izvorom Vrijednost toplinskog faktora ( )τρψ ,33 , koji opisuje period toplinskog zasićenja pri
gibanju točkastog toplinskog izvora po površini polubeskonačnog tijela, vidi sliku III-8, dobije se očitavanjem ordinate s dijagrama slike III-17, za poznatu vrijednost bezdimenzijskog vremena τ kao apscise i bezdimenzijske prostorne koordinate 3ρ kao
parametarske krivulje. Te se bezdimenzijske koordinate računaju prema jednadžbama:
82
;23 a
wr=ρ a
tw
4
2
=τ (III-62)
Slika III-17 Faktor zasićenja ψ3 za točkasti toplinski izvor u jednom polubeskonačnom tijelu (prostorno temperaturno polje)
Za računanje granične temperature grϑ u zadanoj točki krutine koristimo jednadžbu
(III-45) 3.3.1.2 Period toplinskog zasićenja u beskonačnoj tankoj ploči (limu) s pomičnim linijskim toplinskim izvorom Za računanje temperaturnog polja u periodu toplinskog zasićenja u tankoj beskonačnoj ploči po kojoj se giba linijski toplinski izvor koristimo dakako jednadžbu (III-61), time da prvo odredimo bezdimenzijske prostorno vremenske faktore. To činimo prema sljedećim jednadžbama:
;4 2
2
2 a
b
a
wr +=ρ
+= b
a
wt
4
2
τ (III-63)
Koeficijent b, koji uzima u obzir odavanje topline s površina ploče u okoliš, računa se prema jednadžbi (III-48). Ako su površine ploče adijabatske, tada je dakako b = 0. Iz poznatih vrijednosti ρ2 i τ, iz dijagrama na slici III-18 može se odrediti faktor toplinskog zasićenja ( )τρψ ,22 .
83
Slika III-18. Faktor toplinskog zasićenja ψ2 za linearni toplinski izvor u beskonačnoj ploči (ravninsko temperaturno polje)
Temperaturu graničnog stanja ϑgr u zadanoj točki ploče računamo prema jednadžbi (III-49), ili ako je b = 0, prema jednadžbi (III-50). 3.3.1.3 Period toplinskog zasićenja u beskonačnom štapu s pomičnim ravninskim toplinskim izvorom Bezdimenzijske prostorno vremenske faktore, koji se koriste ovom slučaju za računanje temperature u beskonačnom štapu u periodu postizanja toplinskog zasićenja, računamo prema izrazima:
;4 2
2
1 a
b
a
wx +=ρ
+= b
a
wt
4
2
τ (III-64)
Pomoću poznatih ρ1 i τ lako se iz dijagrama na slici III-19 odredi faktor toplinskog zasićenja ψ1(ρ1,τ)
Slika III-19. Faktor toplinskog zasićenja ψ1 za ravninski toplinski izvor u beskonačnom štapu (linearno temperaturno polje)
84
Temperaturu ϑgr u graničnom (kvazistacionarnom) stanju u zadanoj točki štapa računamo prema jednadžbama (III-56a) ili (III-56b) odnosno uz b = 0, prema jednadžbama (III-57a) ili (III-57b). 3.3.2 Period temperaturnog izjednačavanja Prestane li djelovanje pomičnog toplinskog izvora, tada se i dalje zbog nejednolikog temperaturnog polja širi toplina u krutini. Temperature u krutini teže se spontano izjednačiti i postići jednu konstantnu vrijednost po čitavom volumenu krutine. Taj period upravo i nazivamo periodom temperaturnog izjednačavanja. Cilj ovoga pasusa je razraditi algoritam proračuna temperatura krutine u tom periodu. Shemu načina tog proračuna prikazuje slika III-20a,b,c.
Slika III-20. Shema proračuna temperaturnog izjednačavanja po prestanku djelovanja toplinskog izvora konstantnog učina
+
0
Q
Q
tK
K
t
M
t
+
0
+
-
K M
t
tK t - tK
zamišljeniponor
t
realni izvor zamišljeni izvor
ϑ
0
K′M′
M″
K M
ϑ a(t
) ϑ(t
-t K
)
ϑ(t)
M″
ϑ(t
-t K
)tK
t
t - tk
a)
b)
c)
0K → period toplinskog zasićenja
KM → period temperaturnog izjednačavanja
85
Označimo vremenski trenutak prestanka djelovanja toplinskog izvora s tK, slika III-20a. Nakon tog trenutka počinje period temperaturnog izjednačavanja. Dakle, trajanje djelovanja toplinskog izvora je tK sekundi. Temperaturu u nekoj točki krutine u periodu toplinskog zasićenja računamo prema jednadžbi (III-61), i vremensku promjenu dotične točke u periodu toplinskog zasićenja prikazuje krivulja 0K′, slika III-20c. Proračun širenja topline u krutini u periodu temperaturnog izjednačavanja mora također voditi na objašnjeni način proračuna za period toplinskog zasićenja, na način da se u algoritam proračuna uvede zamišljeni toplinski izvor i toplinski ponor. Akceptirajući takav postupak može se izračunati temperaturu u trenutku M, u periodu temperaturnog izjednačenja, tj. u trenutku t, slika III-20a. Uzme se naime da toplinski izvor djeluje cijeli vremenski interval t, ali u trenutku K tj., u vremenu tK počinje djelovati i zamišljeni toplinski ponor učina Φ jednakim, ali negativnog predznaka, učinu toplinskog izvora. Temperatura ϑa(t) u trenutku M u periodu temperaturnog izjednačenja po prestanku djelovanja toplinskog izvora konstantnog učina, može se stoga odrediti kao algebarska suma temperature ϑ(t) i dalje (zamišljeno) djelujućeg toplinskog izvora učina +Φ i temperature -ϑ(t-tK) od trenutka K (zamišljenog) toplinskog ponora učina -Φ, slika III-20c, pa se može pisati ( ) ( ) ( )Ka tttt −−= ϑϑϑ ; Ktt ≥ (III-65)
Nadalje temperature ϑ(t) i ϑ(t-tK) možemo izraziti pomoću jednadžbe (III-61), pa se gornju jednadžbu može napisati u konačnom obliku ( ) ( ) ( )[ ]Kgr tttta −−= ψψϑϑ (III-66)
Jednadžba (III-66) pokazuje da se temperatura krutine i u periodu temperaturnog izjednačavanja, može izračunati, a što je već naglašeno, analogno izračunu temperature u periodu toplinskog zasićenja. I u strukturi ove jednadžbe postoji granična temperatura (temperatura kvazistacionarnog stanja) i korekcijski faktor zasićenja. Prema tome i za izračun ove temperature koristimo postojeće dijagrame na slikama III-17 do III-19 kao i odgovarajuće jednadžbe temperaturnog polja kvazistacionarnog (graničnog) stanja. Primjer III-6 Na površinu masivnog tijela navaruje se, počevši od točke 00 jedan navar 000K duljine 100 mm, slika III-21. Učin pomičnog točkastog toplinskog izvora je Φ = 4187 W, brzina gibanja izvora je w = 0,1 cm/s. Koeficijent temperaturne vodljivosti masivnog tijela je a = 0,1 cm2/s a koeficijent vodljivosti topline je λ = 0,4187 W/(cm K). Potrebno je odrediti: a)- temperaturu u točki 00, 20 sekundi nakon početka navarivanja b)- temperaturu u točki 0K, 10 sekundi po završetku procesa navarivanja
Rješenje: Slika III-21 prikazuje skicu zadanoga problema. a) Nakon 20 sekundi od početka navarivanja
toplinski je izvor po osi x prešao put cm2201,0 =⋅== wtx pa su koordinate točke 00 u tom trenutku u odnosu na pomični koordinatni sustav: x = -2 cm, y = 0 i z = 0. Temperaturu u kvazistacionarnom
00 0 0K 0m
20100 10
ym
x, xm
zm
Slika III-21 Uz pojašnjenje rješenja primjera III-6
86
stanju u toj točki određujemo prema jednadžbi (III-44) u koju uvrstimo x = y = 0.
( ) C77,79524187,04
41872
40,0, 0 °=
⋅⋅
⋅==
−ee
xx a
wx
ππλΦ
ϑ
(U proračun je uzeto 2Φ zbog modela toplinski nepropusne površine polubeskonačnog tijela) Bezdimenzijska prostorno vremenska koordinata promatrane točke računa se prema jednadžbi (III-62)
;11,02
21,0
23 =
⋅
⋅==
a
wrρ 5,0
1,04
201,0
4
22
=⋅
⋅==
a
twτ
Iz dijagrama na slici III-17 očita se vrijednost faktora zasićenja
( ) ( ) 67,05,0;1, 333 == ψτρψ
Prema jednadžbi (III-61) temperatura u periodu toplinskog zasićenja je
( ) ( ) 16,53377,79567,05,0;120,2 gr3 =⋅==− ϑψϑ oC.
b) Ukupno vrijeme zagrijavanja i hlađenja tijela je
110101,0
101010K =+=+=+=
w
ltt s
U tom vremenu pozicija toplinskog izvora je 111101,0 =⋅== wtx cm, pa je pozicija točke 0K u odnosu na položaj zamišljenog toplinskog izvora
11110m −=−=x cm,
pa je granična temperatura točke (-1;0;0), prema jednadžbi (III-44) je
55,159114187,02
4187gr =
⋅⋅⋅=
πϑ oC
Bezdimenzijske prostorno vremenske koordinate zamišljenog toplinskog izvora i ponora
;5,01,02
11,0
23 =
⋅
⋅==
a
wrρ ;75,2
1,04
1101,0
4
22
=⋅
⋅==
a
twτ
( ) ( )
25,01,04
1001101,0
4
2K
2
=⋅
−=
−=′
a
ttwτ
Pomoću ovi bezdimenzijskih značajki i dijagrama sa slike III-17 mogu se očitati faktori toplinskog
zasićenja ( )τρψ ,33 i ( ) ( )τρψρψ ′=− ,, 33K33 tt , kako slijedi
( ) ;175,2;5,03 ≈ψ ( ) 70,025,0;5,03 =ψ
pa koristeći jednadžbu (III-66) možemo konačno izračunati vrijednost tražene temperature u periodu temperaturnog izjednačavanja
87
( ) ( ) ( ) ( )[ ]25,0;5,075,2;5,0110;1110;1 33gra ψψϑϑ −−=− =
= ( ) 46,47770,0155,1591 =− oC.
3.4 Utjecaj konačnih dimenzija tijela na širenje topline u krutini Tijekom razrade problema širenja topline kod modela polubeskonačnog tijela uzeta je bitna pretpostavka da se sva oslobođena toplina od strane nekog toplinskog izvora isključivo preda krutini (tijelu). Tu se pretpostavku moglo bez veće pogreške uzeti pri kod debelih limova po kojima se giba točkasti toplinski izvor. Nadalje, ako se radilo o limu tanke debljine tada se mogao zanemariti temperaturni gradijent po debljini lima i proračun temperaturnog polja se mogao provesti po modelu linearnog pomičnog toplinskog izvora u beskonačnoj ploči. No često se u praksi može pojaviti i takav slučaj da je debljina lima δ dovoljno velika da se ne može zanemariti temperaturni gradijent po debljini (odnosno osi z), a nedovoljno velika da se može primijeniti model točkastog toplinskog izvora, koji se giba po njegovoj površini. U takvom slučaju treba problem modelirati tako da se uzme i utjecaj rubnih površina, tj., utjecaj ograničenih dimenzija tijela na proces širenja topline. Taj se slučaj također može rješavati prikazanim algoritmom u 4.2 dodatnim uvođenjem u smjeru osi z beskonačnog niza zamišljenih zrcalnih točkastih izvora učina 2Φ stvarnom izvoru u odnosu na ravnine z = 0 i z = δ, kako to shematski prikazuje slika III-22.
Slika III-22. Poredak dopunskih toplinskih izvora 1, 2, 3... kao zrcalnih slika realnom izvoru 0 u odnosu na toplinski nepropusne (adijabatske) granične površine z = 0 i z = δ
Tako je npr. izvor 1 zrcalna slika izvoru 0 na graničnoj plohi z = δ, izvor 2 je zrcalna slika točke 1 u odnosu na gornju plohu z = 0, izvor 3 je zrcalna slika točke 2 u odnosu na donju graničnu površinu z = δ itd. Tim modelom udovoljeno je adijabatskim uvjetima na graničnim površinama z = 0 i z = δ, a što je esencijalna pretpostavka tijekom razrade temperaturnog polja u 3.2. Koristeći pojašnjeni model i spoznaje iz 3.2
y
0x
r -1
r -2
z
δ
r0r+2
2δ2δ
4δ4δ
y
x
1
2
3
4
z
rr+1
88
može se temperaturno polje u limu debljine δ, po čijoj se gornjoj površini giba konstantnom brzinom w točkasti toplinski izvor učina Φ, izraziti jednadžbom napisanom u odnosu na pomični koordinatni sustav
( )tzyx ,,,ϑ = ( )∑ ∫
+∞=
−∞=
′′
−′′
−
−
′′n
n
tta
r
a
tw
a
wx
teeac
n
d4
2
0
442
23
22
πρΦ
(III-67)
U gornjoj jednadžbi prostorni radijus rn se računa prema jednadžbi ( )2222 2 δnzyxrn −+= (III-68)
Kvazistacionarno (granično) toplinsko stanje se dobije ako se u jednadžbu (III-67) uvrsti t → ∞. Tada se temperaturno polje u limu osim točaka koje leže na osi 0z može izraziti produktom temperature dobivene prema jednadžbi (III-50) i faktora m(r,z).
( ) ( ) ( )
==
−δ
a
wrKezrmxryx a
wx
22,,, 0
2
πλΦϑϑ (III- 69)
222 yxr += (Jednadžba (III-50) se odnosi na kvazistacionarno temperaturno polje koje se javlja u tankom limu prema modelu linijskog pomičnog toplinskog izvora.) Faktor m(r,z) za vrijednosti z = 0 i z = δ kvantitativno prikazuje dijagram na slici III-23. Iz slike se vidi da tek na udaljenosti r = 4δ temperature se neznatno razlikuju od vrijednosti temperatura dobivenih jednadžbom (III-50). Za ravninski sloj u smjeru osi 0z mogu se vrijednosti temperatura izraziti produktom korekcijskog faktora k(z) i jednadžbe (III-50) u koju se prethodno uvrsti x = y = 0 i r = z. Tako korigirana jednadžba ima oblik:
( ) ( )
−
= a
wz
ez
zkz 2
20,
πλΦϑ (III-70)
Slika III-23. Vrijednosti faktora m(r,z) za vrijednosti z=0 i z = δ u funkciji veličina r/δ i wδ / (2a)
89
pri čemu se vrijednosti faktora k(z) mogu očitati iz dijagrama sa slike III-24.
Slika III-24. Vrijednosti faktora k(z) u funkciji veličina z/δ i wδ / (2a)
U točki 0 na gornjoj graničnoj površini z = 0 je vrijednost faktora k = 1, slika III-24. To znači da je temperatura na tom mjestu jednaka temperaturi dobivenoj po modelu jednostrano ograničenog tijela i teži prema beskonačnosti, ako koordinata z → 0. S povećavanjem udaljenosti u unutrašnjost tijela raste temperatura ravninskih slojeva brže nego kod modela polubeskonačnog tijela, tako da na vrijednosti z = δ ona može biti dva ili više puta viša nego što daje model polubeskonačnog tijela za udaljenost δ od gornje površine po kojoj se giba toplinski izvor. Primjer III-10. Po 20 mm debelom čeličnom limu giba se toplinski izvor učina 4187 W, brzinom 0,1 cm/s. Poznata su fizikalna svojstva lima: λ = 0,4187 W/(m K); cρ = 4,187 J/(cm3 K) i a = 0,1 cm2/s. Potrebno je izračunati temperature kvazistacionarnog stanja u točkama A i B uzduž x0z koje leže na gornjoj i donjoj graničnoj površini 20 mm iza mjesta djelovanja toplinskog izvora i točki C koja leži na donjoj graničnoj površini ispod toplinskog izvora. Rješenje. Zadane točke u odnosu na pomični koordinatni sustav imaju koordinate: A (-2; 0; 0); B (-2; 0; 2) i točka C (0; 0; 2). Budući da točke A i B leže na istoj okomici povučenoj kroz granične površine, tada one shodno jednadžbi (III-50) imaju jednake temperature:
( )( )
77,7951,02
2,01,0
24187,02
41872;2 0
1,02
21,0
=⋅
⋅
⋅⋅⋅=−
⋅
−⋅−Ke
πϑ e1K0(1)
Iz Priloga se može očitati da je K0(1) = 0,42102, pa je vrijednost gornje temperature jednaka ϑ (2;-2) = 910,8 oC. Za točke A i B korekcijske veličine su
11,02
0,21,0
2=
⋅
⋅=
a
wδ i 1
0,2
0,2==
δr
(*)
90
Za te korekcijske vrijednosti iz dijagrama na slici III-23 očitaju se faktori m(r,z) za točke A i B. Za točku A koordinata z = 0, pa iz dijagrama III-23 je m(1;1) = 1,13, pa je temperatura u točki A, shodno dobivenom m(r,z) i jednadžbi (III-69), jednaka
( ) 2,10298,91013,10;0;2A =⋅=−= ϑϑ oC
Za točku B je z = δ pa iz iz podataka prema (*) i dijagrama na slici III-23 očita se vrijednost korekcijskog faktora mB = 0,89, pa je temperatura u točki B
( ) 61,8108,91089,0,2;0;2 =⋅=−= ϑϑB oC
Vidi se da je razlika ovih dviju temperatura signifikantna i da iznosi 218,59 oC, što znači da je na ovoj poziciji znatan temperaturni gradijent po osi z. Za proračun vrijednosti temperature u točki C koristimo jednadžbu (III-70), s time da korekcijski faktor k(z) na osnovu vrijednosti prema (*) očitamo iz dijagrama na slici (III-24). Iz te slike se očita da je k(z = 2) = 2,1, pa je temperatura u točki C jednaka
( ) 55,6230,24187,02
418713,22;0;0 1,02
0,21,0
=⋅⋅
⋅==
⋅⋅
−eC π
ϑϑ oC.
91
IV. Poglavlje; Nestacionarno provođenje topline s faznom promjenom 1 Općenito Čista tvar kao i eutektička legura mijenja svoje agregatno stanje i alotropsku modifikaciju pri točno određenoj prijetvorbenoj temperaturi. Kod takvih se procesa, ovisno o njihovom smjeru odigravanja, ili oslobađa ili troši tzv. toplina prijetvorbe. (U literaturi se dosta često tu toplinu naziva latentnom toplinom!) U mnogim važnim tehničkim problemima kao i u prirodi javljaju se nestacionarni slučajevi, zbog nametnutih toplinski uvjeta, promjene agregatnog stanja tvari. Pri takvim se pojavama javlja pomična fazna granica na kojoj dolazi do skokovite promjene fizikalnih svojstava tvari: λ, ρ, c, ..., što kod problema tretiranih u prethodnim poglavljima nije bio slučaj. Matematički je opis takvih pojava bitno otežan upravo postojanjem pomične fazne granice, koja ustvari predstavlja jedan nelinearni granični uvjet. Aproksimacijski matematički opis jedne takve pojave pratimo na primjeru skrućivanja kapljevine, pri čemu se različita fizikalna svojstva krute i kapljevite faze oko fazne granice (slobodne površine, fronte skrućivanja) uzimaju temperaturno neovisnima. Nadalje u kapljevitoj fazi se zanemaruje utjecaj konvekcije, što znači da se kroz obje faze odvija samo kondukcijska izmjena topline. Praktični primjeri ovakvih pojava su prodiranje fronte skrućivanja kroz vlažni sloj zemlje, kao i kroz vlažne namirnice (meso, voće, povrće). Rad iz ovakvih problema objavljuje J. Stefan još 1891. godine [8]. U tom svom radu prikazuje stvaranje ledenog sloja u polarnom moru. Problem tretira po modelu polubeskonačnog tijela konstantne površinske temperature (rubni uvjet 1. vrste!), na način da se u vremenu t = 0, kapljevita faza nalazi na temperaturi skrućivanja ϑs. Ako kapljevina u trenutku t = 0, ima na cijelom području temperaturu ϑs, tada za takav slučaj po modelu polubeskonačnog tijela, postoji jedno zatvoreno rješenje, koje je još 1860. u svojim predavanjima iznio, a 1912. i javno objavio F. Neumann [9]. Sve do danas nisu pronađena fizikalno interesantna analitička rješenja, niti za rubne uvjete 2. i 3. vrste niti za druge oblike tijela. U recentnoj literaturi mogu se pronaći numerička rješenja takvih problema, koja uzimaju u obzir konvekciju unutar kapljevine, višedimenzijsko širenje topline i različite oblike tijela. Jedan takav rad rađen je kao disertacija na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu, [10]. 2 Prikaz Stefanovog rješenja Skicu za pojašnjenje Stefanovog rješenja prikazuje slika V-1. Pretpostavke koje u svoj model unosi Stefan su sljedeće: • površinska temperatura ϑ0 je vremenski konstantna tijekom vremena skrućivanja • na faznoj granici x = s, krutina je u dodiru s kapljevinom koja po svojem cjelokupnom volumenu ima upravo temperaturu skrućivanja ϑs • kondukcijsko širenje topline je jednodimenzijsko i korespondira smjeru osi x
92
Slika V-1. Temperaturni profil pri skrućivanju ravne krutine, s je razmak između fazne granice i hlađene površine x = 0
To znači, da se uz takve uvjete, napredovanjem fazne granice ili skrućivanjem sloja debljine ds, oslobođena toplina skrućivanja mora proslijediti mehanizmom provođenja kroz krutinu do površine x= 0. Temperatura krutine ϑ(x,t) mora zadovoljavati, uz tako postavljene uvjete, parcijalnu diferencijalnu jednadžbu nestacionarnog provođenja topline (I-3)
2
2
xa
t ∂∂=
∂∂ ϑϑ
, (I-3)
kojoj su pridruženi sljedeći rubni uvjeti: za x = 0 i t > 0 0ϑϑ = (V-1)
sϑϑ = za x = s i t > 0 (V-2)
Početni (inicijalni) uvjet glasi: 0=s za t = 0, (V-3) i koji kaže da je debljina nastale krutine u vremenu t = 0 jednaka nuli! Na faznoj granici mora biti zadovoljen naglašeni energijski uvjet i koji u matematičkom zapisu ima oblik
ϑ
ϑ0
0x
Skrutnutisloj
t = konst.
ϑs
Kapljevina
s ds
93
sqx sx
ds ρϑλ =
∂∂
=
(V-4)
U jednadžbi (V-4) veličine λ i ρ označuju koeficijent vodljivosti topline i gustoću krutine, a veličina qs označava specifičnu toplinu skrućivanja. Iz gornje jednadžbe može se izraziti brzinu pomaka fazne granice (brzinu skrućivanja, solidifikacije)
sxxqt
s
=
∂∂= ϑ
ρλsd
d (V-5)
Rješenje jednadžbe (I-3) zajedno s početnim i rubnim uvjetima i akceptiranim tretmanom problema, odgovara prikazanom rješenju u II. poglavlju za model polubeskonačne krutine, pa se može pisati
( )
⋅+=at
xCtx
2erf, 0ϑϑ (V-6)
Također gornja jednadžba mora zadovoljiti i rubni uvjet (V-2), pa se udovoljavanjem tom rubnom uvjetu dolazi do sljedeće jednadžbe
⋅+=at
sC
2erf0s ϑϑ (V-7)
Kako su po pretpostavci veličine ϑs i ϑ0 vremenski konstantne, tada iz gornje jednadžbe proizlazi da argument error funkcije ats 2/ , mora također biti vremenski konstantan.
Stoga debljina s skrutnutog sloja mora biti proporcionalna s t .
ats 2γ= (V- 8) Vidljivo je da gornja jednadžba zadovoljava i početni uvjet (V- 3). Koristeći jednadžbu (V-7) u obliku γϑϑ erf0s ⋅=− C ,
zajedno s jednadžbom (V- 6), lako se dolazi do bezdimenzijskog oblika nestacionarnog temperaturnog polja unutar skrutnutog sloja 0 ≤ x ≤ s
( ) ( ) ( )
γγ
γϑϑϑϑΘ
erf
/erf
erf
4/erf
,
0s
0 sxatxtx==
−−
= (V-9)
Iz jednadžbe (V-8) dobiva se brzina pomaka granice skrućivanja
d
d
s a
t tγ= (a)
94
Ako se u jednadžbu (V-5) uvrsti derivaciju ( )/x s
xϑ=
∂ ∂ dobivenu iz (V-9)
s 0d 2 1
d erf 2x s
ex at
γϑ ϑϑγ π
2−
=
− =
(b)
tada se zajedno s jed.(a) dobiva jednadžba oblika
s 0
s
d
d erf
s e a
t q tat
γϑ ϑλ γρ γ π
2−−= = (c)
koja za određivanje konstante γ, prelazi u transcedentnu jednadžbu oblika
( )s 0
s
1erf
ce
q Phγ ϑ ϑ
πγ γ2 −
= = (V-10)
U jednadžbi (V-10) veličina Ph predstavlja bezdimenzijski broj (značajku) fazne transformacije, koji je shodno gornjoj jednadžbi jednak
( )s 0
1sqPh
c Stϑ ϑ= =
− (V-11)
i koji fizikalno predstavlja omjer specifične topline skrućivanja i razlike unutrašnje energije krutine na temperaturama ϑ s i ϑ 0. Isto tako se vidi da je bezdimenzijski broj fazne transformacije jednak recipročnoj vrijednosti Stefanovog broja. Koristeći razvoj u red error funkcije prema literaturi [15,16] može se preurediti lijeva strana jednadžbe (V-10)
( ) 1
0
2 1
1*3*5****(2 1)
n
n n Ph
γ+2∞
=
=+∑ (V-12)
Iz ove jednadžbe može se također razvojem u red doći do sljedećega oblika
1 2 3 41 1 7 79
2 6 90 1890Ph Ph Ph Phγ 2 − − − −= − + − , (V-13)
pa se koristeći gornju jednadžbu i jednadžbu (V-8), dobiva jednadžbu pomoću koje se može izračunati potrebno vrijeme skrućivanja sloja debljine s
( )22
1 2 3s
s 0
1 2 161
4 2 3 45 945
q sst Ph Ph Ph
a
ργ λ ϑ ϑ
− − −2
= = + − + − , (V-14)
iz koje proizlazi da vrijeme skrućivanja (solidifikacije) raste s kvadratom debljine skrutnutog sloja i za niže vrijednosti broja (značajke) fazne transformacije Ph. Ako se zanemari akumulaciju topline unutar krutine, a što odgovara vrijednosti c = 0, tada iz jednadžbe (V-11) slijedi da vrijednost Ph → ∞. To je tzv. kvazistacionarno
95
stanje, za koje iz jednadžbe (V-14), slijedi izraz za vrijeme skrućivanja sloja u tom kvazistacionarnom stanju
( )
2* s
kvazs 02
q st T t
ρλ ϑ ϑ
= = =−
(V-15)
koje je u pravilu premaleno. Relativnu pogrešku se dobije korištenjem jednadžbi (V-14) i (V-15)
( )
22s
*s 0
2
4 2
4
q ss
at t
sta
ργ λ ϑ ϑ
γ
2
2
−−− = ,
koja se, zajedno s jednadžbom (V-13), transformira na oblik
1 2 3kvaz 1 7 791 2 .....
3 45 945
t tPh Ph Ph Ph
tγ 2 − − −− = − = − + − + (V-16)
Ovu funkcijsku vezu prikazuje dijagram na slici V-2.
Slika V-2. Ovisnost relativne pogreške vremena solidifikacije, računatog po egzaktnom i kvazistacionarnom modelu, o broju fazne pretvorbe Ph
Iz dijagrama je jasno vidljivo da je relativna pogreška manja od 5%, za vrijednosti Ph > 6,2. Pogreška postaje signifikantna za male vrijednosti Ph broja.
(t -
t* ) /t
Ph
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00.3 0.5 0.7 1 2 3 5 7 10
96
3 Egzaktno Neumannovo rješenje Izvod egzaktnog Neumannova rješenja pratimo prema skiciranom modelu i oznakama na slici V-3.
Slika V-3. Uz prikaz izvoda egzaktnog Neumannova rješenja
Polubeskonačno tijelo 2, koje ustvari predstavlja kapljevitu fazu ima u vremenu t = 0, jednoliku temperaturu ( )0,22 xϑ = IIϑ , čija je vrijednost veća od pripadajuće temperature
skrućivanja sϑ . Drugo tijelo je tijelo 1, predstavlja krutu fazu, koje tijekom vremena
t > 0 procesa skrućivanja ima konstantnu temperaturu ( )t,01ϑϑ =I , pri čemu je dakako
ispunjeno da je sI ϑϑ < . Granica koja razdvaja kapljevitu od krute faza naziva se
faznom (slobodnom) ili frontalnom granicom skrućivanja. Na gornjoj slici ona je naznačena točka-crta linijom i na njoj upravo vlada temperatura skrućivanja .sϑ
Zbog lakšeg matematičkog opisa naznačenog problema, zgodno je ishodište prostorne koordinate 1x vezati za vanjsku površinu skrutnutog sloja, dok je ishodište koordinate
2x kapljevite faze zgodno postaviti u ravninu, koja se podudara s gornjom površinom
krutine u trenutku t = 0. Označivši sa ( )ts1 i ( )ts2 koordinate fazne granice u vremenu t u odnosu na prethodno naznačena koordinatna ishodišta, može se iz zakona održanja mase, postavljenim za elementarni volumen oko fazne granice, napisati jednadžbu 2211 ss dd ρρ = ; odnosno 2211 ss ρρ = (V-17)
s2
x2
x1
s1
λ1; ρ1; c1
λ2; ρ2; c2
ϑ I
ϑ s
ϑ II
Gornja površina u vremenu t = 0
fazna granica
97
(Ustvari gornja jednadžba kaže da masa nastale krute faze jednaka masi skrutnute kapljevite faze.) Nadalje, iz gornje jednadžbe proizlazi za koordinate točaka ( )tx1′ i ( )tx2′ koje leže u danom vremenu unutar krute ili kapljevite faze mora vrijediti transformacijska jednadžba ( ) ( ) ( ) ( )tststxtx 2121 −=′−′ ; ili kraće 2121 ssxx −=′−′ (V-18) Iz navedene pozicije koordinatnih ishodišta kapljevite i krute faze 1x i 2x proizlazi da niti jedna faza u odnosu na faznu granicu nema pomaka, pa tada svaku fazu mora vrijediti Fourierova parcijalna diferencijalna jednadžba: - za krutu fazu; 110 sx ≤≤
21
12
11
xa
t ∂∂
=∂
∂ ϑϑ (V-19)
- za kapljevitu fazu; ∞≤≤ 22 xs
22
22
22
xa
t ∂∂
=∂
∂ ϑϑ (V-20)
U gornjim jednadžbama veličine 1a = ( )1 1 1/ cλ ρ i ( )2 2 2 2/a cλ ρ= označuju koeficijente
temperaturne vodljivosti krute odnosno kapljevite faze. Prema navedenoj formulaciji početni (inicijalni) uvjeti glase: ;0=t ;01 =s ;02 =s ( ) IIϑϑ =0,22 x (V-21) Isto tako mogu se izravno formulirati tri od potrebita četiri rubna (granična) uvjeta: ;01 =x ( ) Iϑϑ =t,01 (V-22) ;2 ∞→x ( ) IIϑϑ =∞ t,2 (V-23) ;11 sx = odnosno 22 sx = ; ( ) ( ) sϑϑϑ == tsts ,, 21 (V-24)
Četvrti se rubni uvjet dobiva iz energijske bilance na faznu granicu. Naime, kada se granica smrzavanja (slobodna površina) u infinitezimalnom vremenu dt promijeni od 1s
na 11 ss d+ , mora sloj debljine 1sd osloboditi po m2 iznos topline skrućivanja 1 s 1dq sρ ,
pri čemu sq označuje specifičnu toplinu skrućivanja (otapanja). Prema tome, toplinski
tok (odnosno gustoća toplinskog toka) koja se mora kroz faznu površinu predati krutini jednak je toplinskom toku koji se utroši na dovođenje kapljevine na temperaturu skrućivanja i na toplinski tok fazne prijetvorbe. Kako je unutar kapljevine zanemaren
98
konvektivni transport topline, tada energijska bilanca fazne granice, svedena na m2 površine krutine, ima oblik 1 2 sd d d 0q t q t q sρ1− + − = , (a)
koja se dijeljenjem s dt i množenjem s –1 preinačuje u
1 2 s
d0
d
sq q q
tρ1− + = (b)
Kako se kroz krutinu i kapljevinu radi samo o mehanizmu provođenja, tada se koristeći Fourierov stavak, može napisati konačni oblik četvrtog rubnog uvjeta
1 2
1 2 11 2 1 s
1 2
d0
ds s
sq
x x t
ϑ ϑλ λ ρ ∂ ∂− + + = ∂ ∂ (V-25)
Vidi se da je četvrti rubni uvjet nelinearnog oblika. Za bolji pregled razvoja rješavanja postavljenog problema, preporučljivo je problem interpretirati u bezdimenzijskom obliku. U tu svrhu definirajmo sljedeće bezdimenzijske veličine:
;Is
I11 ϑϑ
ϑϑΘ−−= ;
sII
s22 ϑϑ
ϑϑΘ−−= ;
Is
sII
ϑϑϑϑΘ
−−= (V-26)
1,1 2
1
;x
a tFo
x= 2
,2 22
;x
a tFo
x= (V-27)
221
112
1
2
ρλρλα
c
c
a
a== (V-28)
111
222
1
2
ρλρλβ
c
c
b
b== (V-29)
1
2
ρργ = (V-30)
( )
s
1 s I
qPh
c ϑ ϑ=
− (V-31)
(Značajka Ph je ustvari recipročna vrijednost Stefanove značajke, pa će se zbog kratkoće teksta u daljnjem veličinu Ph nazivati Stefanovom značajkom!) Pokušajmo sada problem riješiti, definirajući bezdimenzijske temperaturne funkcije, sljedećim postavkama:
99
( )( )1,1 2/1erf xFoA=Θ (V-32)
( )( )2,2 2/1erfc1 xFoB−=Θ (V-33)
Uvrsti li se u jednadžbu (V-32) rubni uvjet (V-24), i koristeći jednadžbe (V-26) i (V-27), dobiva se
1
1
1 erf2
sA
a t
=
odnosno
=
ta
s
A1
1
2
1erf (a)
Ako se u jednadžbu (V-33) također uvrsti rubni uvjet (V-24), tada zajedno s jednadžbama (V-26) i (V-27) slijedi
2
2
0 1 erfc2
sB
a t
= −
odakle, korištenjem jednadžbi (V-17), (V-28) i (V-30), slijedi jednadžba
1
1
1erfc
2
s
B a tγ α
=
(b)
Jednadžbe (a) i (b) predstavljaju dvije jednadžbe s tri nepoznanice 1,, sBA i vrijeme t kao četvrtom. Ova dva uvjeta mogu biti istovremeno ispunjena ako je koordinata fazne granice 1s
proporcionalna sa t , a što se u bezdimenzijskom obliku može napisati na sljedeći način
ta
s
1
1
2=δ ; ili 1
s,1 21
a tFo
s= (V-34)
Pomoću jednadžbe (V-34) konstante A i B su određene kao funkcije značajke δ ,
odnosno specijalnog oblika Fourierova broja ( )2s,1 1/ 4Fo δ= , kako slijedi
;erf
1δ
=A ( )( )1
erfc /B
δ γ α= (V-35)
Iz nelinearnog graničnog uvjeta fazne granice (V-25), dobiva se po provedenom mukotrpnom proračunu, jedna transcedentna jednadžba za određivanje značajke δ :
100
−=
αγδ
γαδ
Θβδδ
πδerfcexp
erfexp1
22Ph (V-36)
Iz jednadžbe (V-36) može se iteracijskim postupkom odrediti veličinu δ kao funkciju
triju značajki: Ph, Θβ i αγ . Mogu se izvesti sljedeća granična rješenja jednadžbe (V-36):
;1<<δ ( )ΘβπεΘβπε
δ −+≈ 22
1 22 (V-37)
pri čemu je zbog skraćenja uvedeno
απγ
Θβε 231 ++= Ph (V-38)
Na slici V-4 je prikazana δ kao funkcija od Ph s veličinama Θβ i αγ kao parametrima.
Slika V-4. Parametarski prikaz funkcije ( )αγΘβδδ ,,Ph=
101
Za obje temperaturne funkcije prema (V-32) i (V-33) slijedi, nakon uvrštavanja izraza (V-35) i transformacije na koordinatu 1x prema (V-18), konačni oblik
δ
Θerf
2
1erf
1,
1
= xFo (V-39)
−+
−=
αγδ
δγ
γα
Θerfc
1
2
11erfc
11,
2
xFo (V-40)
Primjer V-1. Na palubi jednog ribarskog broda smrzavaju se 3 mm debeli riblji fileti početne
temperature == sII ϑϑ 0 °C. Smrzavanje ribe vrši se freonom 12 temperature -30 °C. Nakon koliko
vremena *t će se sresti obje fronte smrzavanja fileta, tj., kada se uspostavlja granica smrzavanja *2s = 1,5 mm. Kolika je brzina smrzavanja ts d/d 2 u vremenu *t ?
Rješenje. Ovaj proračun daje doista približne rezultate, pogotovo iz razloga što se fizikalna svojstva ribe tretiraju ekvivalentno fizikalnim svojstvima kapljevite vode odnosno leda, vidi tablicu V-1. Fizikalna svojstva:
( ) 919C151 =°−ρ kg/m3; ( )C02 °ρ = 1000 kg/m3;
( ) 1980C151 =°−c J/(kgK); ( ) 4,2C151 =°−λ W/(m K); s 333q = ⋅103 J/kg
Zbog C0s2 °== ϑϑ vrijedi Stefanovo rješenje također i za ploču konačne debljine i to do vremena t* u
kojem dolazi do spajanja fronti smrzavanja. Stefanov broj se računa prema jednadžbi (V-31):
( ) ( )1 s 1
3333 10s 5, 611980 0 ( 30)
qPh
c ϑ ϑ⋅
= = =− − −
Približna jednadžba (V-37) kao egzaktno rješenje, jednadžba (V-36), daju za Ph = 5,61 i Θ = 0 rješenje δ = 0,290. Iz jednadžbi (V-17) i (V-34) dobiva se vrijeme smrzavanja
min10s60028,5
10
919290,0
1000015,0
4
1 62
1
2
1
22* ==
⋅⋅=
=
a
st
δρρ
Brzina smrzavanja u tom trenutku iznosi
=⋅⋅⋅
===−
3600600919
1032,1290,01000
d
d
d
d 6
*1
122
1
22
** t
a
t
s
t
s
tt ρ
δρ
ρρ
0,053 m/h = 5,3 cm/h
Daljnje ohlađivanje fileta na uobičajenu temperaturu -20 °C (u jezgri) odvija se dalje bez fazne promjene, pa se taj proces ohlađivanja dalje može rješavati npr. poznatom Binder - Schmidtovom metodom.
102
Tablica V-1. Fizikalna svojstva kapljevite i krute faze (leda) za vodu pri p = 1 bar. kapljevina ϑ ρ2 c2 λ2
°C kg/m3 J/(kgK) W/(m K)
10 20 30 40 50 60 80 100 1000 1000 998 996 992 988 983 972 958 4220 4190 4180 4180 4180 4180 4180 4200 4220 0,552 0,578 0,598 0,614 0,628 0,641 0,652 0,669 0,682
krutina ϑ ρ1 c1 λ1
°C kg/m3 J/(kgK) W/(m K)
0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -150 -180 917 920 923 925 927 929 931 933 934 2040 1950 1810 1810 1520 1390 1250 1040 820 2,25 2,45 2,70 3,0 3,50 4,0 4,6 5,70 7,20
4 Kvazistacionarno približno rješenje Prikazano egzaktno Neumannovo rješenje je dosta komplicirano, ali se mora naglasiti da prikazani oblik rješenja i danas predstavlja aktualni oblik rješenja. Naime nisu do danas niti nađena drugačiji i širi oblici rješenja za ovakve nestacionarne fazne promjene. Ovdje se želi prikazati jedan jednostavniji oblik rješenja tzv. kvazistacionarno približno rješenje. Polazi se također od Stefanova broja, jed. (V-31)
( )s
1 s I
qPh
c ϑ ϑ=
−
koji ustvari predstavlja odnos topline otapanja i osjetne topline. Ukupna toplina prijetvorbe, odnosno pripadajuća entalpijska pretvorbena razlika, računa se prema izrazu s sH mq= (V-41)
dok se ukupnu osjetnu toplinu nastale krutine računa prema jednadžbi ( )1 s IH mc ϑ ϑ∆ = − (V-42)
Tijekom procesa skrućivanja kapljevinu treba prvo dovesti na temperaturu skrućivanja
sϑ , potom izvršiti faznu prijetvorbu (proces skrućivanja!) i naposljetku tako nastalu
krutinu treba ohladiti na temperaturu sI ϑϑ < .
Kod nestacionarnih faznih promjena nalazi se kruta faza, kako pokazuje slika V-3, na
temperaturi ( ).2
1sIm ϑϑϑ +≥ Stoga se odvedenu osjetnu toplinu može izraziti
jednadžbom (nejednadžbom)
( ) ( )*1 s m 1 s I
1 1
2 2Q mc mc Uϑ ϑ ϑ ϑ= − ≤ − = ∆ (V-43)
pa se, zajedno s (V-41) i (V-31), može napisati odnos
103
( )
s s*
1 s I
22
H qPh
Q c ϑ ϑ≥ =
− (V-44)
U primjeru V-1. iz prethodnog pasusa izračunali smo da je Ph = 5,61. To znači da je u tom primjeru toplina prijetvorbe sH , prema (V-44), najmanje 11 puta veća od topline
*Q . Ako bi se nametnuo nadalje rubni uvjet 3. vrste, a temperatura Iϑ postala jednaka
temperaturi rashladnog medija, tada za temperaturu stijenke Istj ϑϑ > i
( ) 2/sstjm ϑϑϑ +≥ još više raste omjer * ss */
qH Q
q= , pa proces skrućivanja postaje sve
više određen toplinom prijetvorbe (toplinom skrućivanja!) sH .
Prema jednadžbi (V-44), vidi se da se može zanemariti osjetnu toplinu *Q prema toplini
skrućivanja sH , ako broj Ph → ∞, pa se tada uzima u obzir toplinski otpor u
skrutnutom sloju debljine 1s , isto kao kod stacionarnih problema. Za velike, ali konačne vrijednosti broja Ph >> 1, daje ovakav pojednostavljeni model eksplicitne formule, koje su poznate kao kvazistacionarna približna rješenja. Ta su rješenja prvi publicirali R. Plank i K. Nesselmann. Budući da takva rješenja vrijede za Ph >> 1, često su primjenljiva na slučajeve smrzavanja vode i vodenih supstancija, budući da voda ima relativno veliku specifičnu toplinu skrućivanja qs. Izvod jednadžbi za vrijeme skrućivanja (solidifikacije) po takvom kvazistacionarnom aproksimacijskom modelu nadalje se prikazuje za tri esencijalna oblika (geometrije) skrućivanja: skrućivanje ravnog sloja na ravnoj stijenci, skrućivanje cilindričnog sloja vanjske i unutrašnje površine cijevne stijenke i skrućivanje sferičnog sloja oko vanjske i unutrašnje površine stijenle kugle. Takva su rješenja posebno interesantna za cilindrične i sferične oblike, budući da za njih ne postoje egzaktna, Stefanova ili Neumannova, rješenja. 4.1 Kvazistacionarno rješenje pri skrućivanje ravnoga sloja Pratimo proces solidifikacije oko ravne hlađene stijenke, što je kvalitativno prikazano slikom V-5.
104
Slika V-5. Temperaturni profil pri skrućivanju ravnog sloja uz pretpostavku kvazistacionarne aproksimacije
S jedne strane ravne krute stijenke debljine δstj, i koeficijenta vodljivosti topline λstj struji rashladni medij konstantne temperature ϑ0. Koeficijent konvektivnog prijelaza topline s površine stijenke na fluid je α. Na drugoj površini (strani) stijenke razvija se iz kapljevine sloj krutine koji u vremenu t ima debljinu s. Nadalje, temperatura kapljevine u svakom trenutku t odgovara temperaturi skrućivanja ϑs. U diferencijalu vremena dt fazna granica se pomakne za iznos ds i pri tome oslobodi diferencijalni iznos topline skrućivanja sAqQ ds ρ=δ , (a)
i koju se mora proslijediti kroz upravo skrutnuti sloj debljine s i ravnu stijenku prema rashladnom fluidu, shodno dobro poznatom modelu prolaza topline kroz višeslojnu ravnu stijenku, pa se prema [1] može napisati diferencijalnu jednadžbu
( )
ts
AtQ d
1d
stj
stj
0s
λαλδ
ϑϑΦ++
−==δ (b)
Spojivši međusobno diferencijalne jednadžbe a) i b) lako se, separacijom varijabli, dobiva diferencijalna jednadžba oblika
( )
s
s 0
d dq
t s sk
ρ λλ ϑ ϑ
= + − (V-45)
ϑ
0
ϑ0
α
δstj s ds
λstj λ, ρ ϑs
Skrutnutisloj
Kapljevina
x
105
gdje je
stj
stj
1 1
k
δλ α
= + (V-46)
Integracijom jednadžbe (V-45) slijedi
( ) Ck
sq
t +
+
−=
2
2
0s
s
λ
ϑϑλρ
(b)
Konstantu C se određuje iz početnog uvjeta, koji glasi t = 0; s = 0 (V- 47)
( ) 2
2
0s
s
2k
qC
λϑϑλ
ρ−
−= (c)
Uvrštavanjem c) u a) dobiva se izraz za vrijeme t skrućivanja ravnog sloja debljine s
( )
+
−=
sk
sqt
λϑϑλ
ρ21
2 0s
2s (V-48)
Ako bi vrijednost koeficijenta prolaza topline k→ ∞, a što bi bilo ispunjeno ukoliko bi koeficijent prijelaza topline α → ∞, dobio bi se izotermni rubni uvjet ϑ = ϑ0. Taj uvjet predstavlja rubni uvjet u Stefanovom modelu, opisanom u pasusu 2. Ako se u jednadžbu (V-14) uvrsti Ph → ∞, a u gornju jednadžbu uvrsti k → ∞, dobiva se identično rješenje koje je dano jednadžbom (V-15), u kojoj je uzeta oznaka tkvaz = t* = T.
( )0s
2s
kvaz 2 ϑϑλρ
−===∗ sq
tTt (V-15)
Nadalje jednadžba (V-48) pokazuje da, uz postojanje konačne vrijednosti specifičnog toplinskog otpora 1/k, vrijeme skrućivanja t je veće od t*, i ono više ne raste proporcionalno sa s2. Na osnovi jednadžbi (V-48) i (V-15) može se definirati i bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja
βΘ**
21
sT
t
t
t +=== , (V-49)
gdje s* označuje bezdimenzijsku debljinu skrutnute kapljevine
stj
*
δs
s = , (V-50)
106
a faktor β se određuje sljedećim izrazom
stjstj αδ
λλλβ += (V-51)
Slika V-6 dijagramski kvantitativno prikazuje bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja prema jednadžbi (V-49).
Slika V-6. Bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja kapljevine oko ravne stijenke
4.2 Model kvazistacionarnog skrućivanja oko cilindrične cijevi Vrlo često nam je interesantan proces skrućivanja oko (ili unutar) cilindrične cijevne stijenke, pa se stoga u ovom pasusu pokazuje izvođenje kvazistacionarnog modela za takve slučajeve. Skica na slici V-7 kvalitativno prikazuje temperaturno polje u jednom kvazistacionarnom stanju, gdje ϑ0 označuje temperaturu rashladnog fluida koji struji u cijevi. Koeficijent prijelaza topline s cijevi na fluid je α, a debljina stijenke cijevi je ∆R. Oko cijevi nastaje skrutnuti sloj debljine s, pri čemu je krutina u svakom trenutku okružena kapljevinom koja se cjelokupna nalazi na temperaturi skrućivanja ϑs.
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
40
80
120
160
200
240
20
60
100
140
180
220beta = 2beta = 4beta = 6beta = 8beta = 10
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
4
8
12
16
20
2
6
10
14
18beta = 0beta = 0.1beta = 0.2beta = 0.3beta = 0.4beta = 0.5beta = 0.6beta = 0.7beta = 0.8beta = 0.9
β = 0β = 0.1β = 0.2β = 0.3β = 0.4β = 0.5β = 0.6β = 0.7β = 0.8β = 0.9
s* = s / δstj
Θ
β = 2β = 4β = 6β = 8β = 10
s* = s / δstj
Θ
107
Slika V-7. Temperaturno polje kod kvazistacionarnog modela pri procesu skrućivanja oko vanjskog promjera cijevi
Ako definiramo diferencijalnu debljinu skrutnutog sloja sa ds, tada diferencijal oslobođene topline iznosi ( ) sLsRqVqmqQ d2dd sss +===δ πρρ (a)
Tu se toplinu mora odvesti prema rashladnom fluidu, koju se shodno navedenim oznakama i prema modelu stacionarnog stanja [1], može izraziti
( )RRLR
sR
LRR
R
L
tQ
∆−+++
∆−
−==δ
παλπλπ
ϑϑΦ
21
ln2
1ln
21
d
stj
0s (b)
Uvođenjem, zbog kratkoće pisanja, faktora β definiranim kao
( )αλ
λλβ
RRRR
R
∆∆ln
stj −+
−= , (V-52)
diferencijalnu jednadžbu (b), separacijom varijabli, možemo napisati u obliku
( ) ( ) ( ) ssRR
sRsR
sqt dlnd
0s
2s
++++
−= β
ϑϑλρ
(V-53)
Integriranjem gornje jednadžbe, dobiva se opće rješenje u obliku
ϑs
ϑ0
α
R s ds
λstj
λ, ρ
ϑs
∆R
Kapljevina
Skrutnutisloj
ϑ
108
( ) ( ) ( ) ( ) CsRsRR
sRsR
qq +
+++−
++
−= 222
0s
ss 24
1ln
2
1 βϑϑλ
ρ a)
Konstantu C određujemo uvrštavajući u jednadžbu a) početni uvjet, koji glasi t = 0; s = 0 (V-54)
( )
+−
−−= 22
0s
2s
24
1RR
sqC
βϑϑλ
ρ (b)
Uvrštavanjem (b) u (a) dobiva se posebno (partikulatno) rješenje u obliku
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−
−−
+++−
++
−= 22
0s
2s222
0s
ss 24
1
24
1ln
2
1RR
sqsRsR
R
sRsR
βϑϑλ
ρβϑϑλ
ρ
koji se može napisati u zgodnijem obliku:
( ) ( )
−+
++
+−
+++
−= ββ
ϑϑλρ
2
111
2
11ln2
2
22
2222
0s
s
R
sR
R
sR
R
ssRsR
qt
( )
−+
−
+−
+
++
−= ββ
ϑϑλρ
2
1
2
111ln12
2
22
2
22
0s
s
R
sR
R
s
s
R
s
Rs
qt
( )
−++
−−
+
+−
= 1212
11ln
11
2 2
22
2
2
0s
s
R
s
R
sR
R
s
R
ss
qt β
ϑϑλρ
.
Uzevši nadalje da je
R
ss =* , (V-55)
dobiva se traženi konačni oblik jednadžbe
( ) ( )
+
−−+
+
−=
**
*0s
2s 2
12
11ln
11
2 ss
s
sqt β
ϑϑλρ
(V-56)
Ako s Τ označimo veličinu
( )0s
2s
2 ϑϑλρ
−=
sqT (V-57)
možemo jednadžbu (V-56) napisati u bezdimenzijskom obliku
109
( )
+
−−+
+==
**
2
*
21
2
11ln
11
ss
sT
t βΘ , (V-58)
kojeg kvantitativno prikazuje dijagram na slici V-8.
Slika V-8. Bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja kapljevine oko vanjske površine stijenke cijevi
Ukoliko bi se radilo o procesu skrućivanja oko unutrašnje površine stijenke cijevi, kao što je kvalitativno prikazano na slici V-9, došlo bi se po istom postupku do izraza za bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja
( )
−
+−−
−==
**
2
*
21
2
11ln
11
ss
sT
t βΘ (V-59)
gdje se faktor β računa prema jednadžbi
( )RRR
RR
∆∆
lnstj +
++=α
λλλβ (V-60)
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
50
100
150
200
250
25
75
125
175
225beta = 2beta = 4beta = 6beta = 8beta = 10
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
4
8
12
16
20
2
6
10
14
18
beta = 0beta = 0.1beta = 0.2beta = 0.3beta = 0.4beta = 0.5
beta = 0.6beta = 0.7beta = 0.8beta = 0.9
β = 0β = 0.1β = 0.2β = 0.3β = 0.4β = 0.5β = 0.6β = 0.7β = 0.8β = 0.9
s* = s / R
Θ
s* = s / R
Θ
β = 2β = 4β = 6β = 8β = 10
110
Slika V-9. Temperaturno polje pri procesu skrućivanja na unutrašnjoj stijenki cijevi
Slika V-10 Bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja kapljevine oko unutrašnje površine stijenke cijevi
4.3 Model kvazistacionarnog skrućivanja oko sferične stijenke Neka se oko kugle (sfere) vanjskog radijusa R i debljine stijenke ∆R skrućuje sloj trenutne debljine s, kako to kvalitativno prikazuje slika V-11. Oslobođena toplina tijekom skrućivanja predaje se rashladnom fluidu konstantne temperature 0ϑ , koji se
nalazi unutar kugle. Koeficijent vodljivosti topline stijenke cijevi je λstj, koeficijent vodljivosti topline nastale krutine je λ, a koeficijent prijelaza topline s unutrašnje
R ∆R
α
λstj
λρ
s
ϑ 0
ϑ s
Kapljevina Skrutnutisloj
ds
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
40
80
120
160
200
20
60
100
140
180beta = 2beta = 4beta = 6beta = 8beta = 10
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
4
8
12
16
20
2
6
10
14
18beta = 0beta = 0.1beta = 0.2beta = 0.3beta = 0.4beta = 0.5beta = 0.6beta = 0.7beta = 0.8
beta = 0.9
s* = s / R
Θ
β = 0β = 0.1β = 0.2β = 0.3β = 0.4β = 0.5β = 0.6β = 0.7β = 0.8β = 0.9
s* = s / R
Θ
β = 2β = 4β = 6β = 8β = 10
111
površine cijevne stijenke na fluid je α. Temperatura cjelokupne kapljevine u svakom trenutku je na temperaturi skrućivanja ϑs, tako da je shodno opisanom kvalitativno i prikazan kvazistacionarni temperaturni profil u nekom trenutku t.
Slika V-11. Kvazistacionarni temperaturni profil pri procesu skrućivanja oko vanjske površine kugle
Ako se sa ds označi diferencijalna debljina krutine, a sa ρ i qs gustoća nastale krutine i specifična toplina skrućivanja, tada diferencijalni oblik energijske jednadžbe glasi trqmqQ d4dδ 2
ss Φπ === (a)
Veličinu Φ možemo izraziti prema modelu stacionarne (kvazistacionarne) izmjene topline za kuglu [1], pa shodno oznakama na slici V-11, ta jednadžba glasi:
( ) ( ) ( )sR
s
RR
R
RR ++
−+
−
−=
πλπλπα
ϑϑΦ
4∆4
∆∆4
1
stj2
s (b)
Koristeći diferencijalne jednadžbe a) i b), može se separacijom varijabli, doći do diferencijalne jednadžbe oblika
R
Kapljevina
Krutina
λstj
∆R s ds
λρ
α
ϑ
ϑ0
ϑs
112
( ) ( )
( ) ( )s
R
sRssR
RR
R
RR
qt d
43∆4
∆∆4
14d
3
stj2
0s
s
+++
−+
−−=
πλπλπαϑϑρ
,
(c) čiji integralni oblik glasi:
( ) ( )( )
Css
RR
sR
RR
R
RR
qt +
+++
−+
−−=
324
1
3∆4
∆∆4
14 323
stj2
0s
s
πλπλπαϑϑρ
(d) Konstantu C određujemo uvrštavanje u d) uobičajenog početnog uvjeta t = 0; s = 0, (V-61) odakle slijedi da je konstanta C jednaka
( ) ( )
−+
−−−=
3∆4
∆∆4
14 3
stj2
0s
s R
RR
R
RR
qC
πλπαϑϑρ
(e)
Uvrštavanjem (e) u (d), te uvođenjem faktora β
( )( )RRRR
R
RR
R
∆∆∆∆
stj −−+
−=
αλ
λλβ , (V-62)
i bezdimenzijske debljine
R
ss =* , (V-63)
dobiva se konačno rješenje jednadžbe, koja opisuje vrijeme skrućivanja oko vanjske površine kugle
( )( )
++++
−=
31
2
3
21
2
2**
**
0s
2s s
ss
ssq
tβ
ϑϑλρ
(V-64)
Korištenjem jednadžbe (V-57), može se gornju jednadžbu napisati u bezdimenzijskom obliku
( )
++++==
∗∗
∗∗
31
2
3
21
2s
ss
sT
t βΘ (V-65)
čiji je kvantitativni dijagramski prikaz dan slikom V-12.
113
Slika V-12. Bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja kapljevine oko stijenke kugle (sferične stijenke)
Za slučaj da se radi o procesu skrućivanja na unutrašnjoj površini kugle, slika V-13, tada se po formalnoj jednakoj proceduri dolazi do sljedećega oblika bezdimenzijske jednadžbe
( )
+−+−==
31
2
3
21
2**
*** s
ss
sT
tt
β (V-66)
pri čemu je faktor β određen jednadžbom
( )( )RRRR
R
RR
R
∆∆∆∆
stj +++
+=
αλ
λλβ (V-67)
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
4
8
12
16
20
24
2
6
10
14
18
22beta = 0beta = 0.1beta = 0.2beta = 0.3beta = 0.4beta = 0.5beta = 0.6beta = 0.7beta = 0.8beta = 0.9
s* = s / R
Θ
β = 0β = 0.1β = 0.2β = 0.3β = 0.4β = 0.5β = 0.6β = 0.7β = 0.8β = 0.9
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
50
100
150
200
250
25
75
125
175
225beta = 2beta = 4beta = 6beta = 8beta = 10
s* = s / RΘ
β = 2β = 4β = 6β = 8β = 10
114
Slika V-13. Kvazistacionarni temperaturni profil pri procesu skrućivanja oko unutrašnje površine kugle
Slika V-14 Bezdimenzijsko vrijeme skrućivanja kapljevine oko unutrašnje površine kugle
R
∆R
s
ds
λ; ρλstj
Krutina
ϑs
ϑ
ϑc
Kapljevina
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
4
8
12
16
20
2
6
10
14
18beta = 0beta = 0.1beta = 0.2beta = 0.3beta = 0.4beta = 0.5beta = 0.6beta = 0.7beta = 0.8beta = 0.9
s* = s / R
Θ
β = 0β = 0.1β = 0.2β = 0.3β = 0.4β = 0.5β = 0.6β = 0.7β = 0.8β = 0.9
0.2 0.4 0.6 0.8 10.1 0.3 0.5 0.7 0.90
40
80
120
160
200
20
60
100
140
180beta = 2beta = 4beta = 6beta = 8beta = 10
s* = s / R
Θ
β = 2β = 4β = 6β = 8β = 10
115
3.4 Zaključci obzirom na dobivena rješenja Analizirajući izraze (V-49), (V-58), (V-59), (V-65) i (V-66) može se zaključiti da one daju istu vrijednost bezdimenzijskog vremena t*= 1, ako je vrijednost faktora β jednaka nuli i ako bezdimenzijska debljina s* teži k nuli. Tada se dobiva da je vrijeme skrućivanja t jednako
=t ( )0s
2s
2 ϑϑλρΤ
−=
sq
Isti je izraz dan i jednadžbom (V-15), a koja je dobivena iz egzaktnog Stefanovog modela, uz uvjet da vrijednost bezdimenzijskog broja Ph → ∞. To znači da je za takve slučajeve vrijeme skrućivanja (solidifikacije) proporcionalno s kvadratom debljine skrutnutog sloja i neovisno je o obliku krutine (ravna stijenka, stijenka cijevi, stijenka kugle) oko koje se odvija sam proces skrućivanja. Praktički se to rješenje odnosi na procese skrućivanja u samim početcima. Primjer V-2. Izračunati vrijeme stvaranja 10 mm debljine leda (H2O) prema jednadžbama dobivenim za aproksimacijske kvazistacionarne modele i to za: a) skrućivanje leda na ravnoj stijenci debljine stijenke 5 mm. b) skrućivanje leda na vanjskoj i unutrašnjoj površini cijevne stijenke, promjera 30/35 mm c) skrućivanje leda na vanjskoj i unutrašnjoj stijenci kugle (sfere), promjera 30/35 mm. U svim slučajevima stijenka je čelična s poznatim koeficijentom vodljivosti topline λstj = 58 W/(m K), rashladnim fluidom temperature -30 °C uz poznati koeficijent prijelaza topline na rashladni fluid α = 1000 W/(m2K)! Rješenje. Kako je u naznačenim modelima temperatura kapljevine (vode) jednaka temperaturi skrućivanja ϑs = 0 °C, mogu se iz tablice vezane za primjer V-1. očitati fizikalna svojstva leda: ρ = 917 kg/m3 i λ = 2,25 W/(m K). Specifična toplina skrućivanja leda (H2O) je 333⋅103 J/kg. Iz zadanih podataka može se prema jednadžbi (V-15) može se izračunat veličinu T = t*, koja je ista za sve tražene procese skrućivanja.
( ) ( ) 3,33920025,22
01,010333
2
23
0s
2s =
+⋅⋅⋅⋅=
−== ∗
ϑϑλρsq
tT s
a) Za skrućivanje ravnog sloja koristi se jednadžbe (V-49) do (V-51):
264,1264,02
21
21 =⋅+=+= ∗ β
sT
t
25
10
stj
===∗
δs
s
264,001,01000
25,2
58
25,2
stjstj
=⋅
+=+=αδ
λλλβ ,
pa je potrebno vrijeme skrućivanja 9,4283,339264,1 =⋅=t s = 15,7 min
116
b) Za proračun vremena skrućivanja na vanjskoj površini cijevi koriste se jednadžbe (V-52), (V-55) i (V-58), pa prema (V-58) možemo pisati
( )
+
−−+
+= ∗
∗∗ s
ssT
t 21
2
11ln
11
2
β
286,035
10 ===R
ss
( ) 737,1286,0
21081,0
2
1286,01ln
286,0
11
2
=
+
−−+
+=T
t,
( ) 081,01000030,0
250,2
30
35ln
58
25,2ln
stj
=⋅
+=∆−
+∆−
=α
λλλβ
RRRR
R
pa je vrijeme skrućivanja 2,5893,33973,173,1 =⋅== tt s = 82,9 min. Za računanje vremena skrućivanja na unutrašnjoj površini cijevi koristimo jednadžbe (V-50), (V-59) i (V-60)
( )
−
+−−
−= ∗
∗∗ s
ssT
t 21
2
11ln
11
2
β
( ) 23,1333,0
210703,0
2
1333,01ln
333,0
11
2
=
−
+−−
−=T
t
( ) 0703,0035,01000
25,2
30
35ln
58
25,2ln
stj
=⋅
+=∆+
+∆+=RRR
RR
αλ
λλβ
333,030
10 ===∗
R
ss ,
pa vrijeme skrućivanja iznosi 4,4173,33923,123,1 =⋅== Tt s 96,6= min. Omjer vremena smrzavanja na vanjskoj i unutrašnjoj površini cijevi je
41,196,6
82,9 = ,
dok je omjer masa (volumena) skrutnutog leda na odnosnim površinama
6,12030
354522
22
=−−
c) Vrijeme smrzavanja na vanjskoj površini kugle računamo prema jednadžbama (V-62), (V-63) i (V-65)
117
( )053,2
3
286,0286,01
286,0
094,02286,0
3
21
31
2
3
21
22
=
++⋅+⋅+=
++++=
∗∗
∗∗ s
ss
sT
t β
286,035
10 ===∗
R
ss
( )( ) 094,0030,01000
035,025,2
30
5
58
25,22
stj
=⋅⋅+=
∆−∆−+
∆−∆=
RRRR
R
RR
R
αλ
λλβ ,
pa je vrijeme skrućivanja 6973,339053,2053,2 =⋅== Tt s 61,11= min. Vrijeme skrućivanja na unutrašnjoj površini kugle računa se prema jednadžbama (V-63), (V-65) i (V-67)
( )04,1
2
333,0333,01
333,0
0604,02333,0
3
21
31
2
3
21
22
=
+−⋅+⋅−=
+−+−=
∗∗
∗∗ s
ss
sT
t β
( )( ) 0606,0035,01000
030,025,2
35
5
58
25,22
stj
=⋅⋅+=
∆+∆++
∆+∆=
RRRR
R
RR
R
αλ
λλβ
333,030
10 ===∗
R
ss
pa vrijeme skrućivanja 10 mm debljine leda oko unutrašnje površine kugle iznosi 9,3523,33904,104,1 =⋅== Tt s 9,5= min. Omjer vremena skrućivanja leda na vanjskoj i unutrašnjoj površini kugle je
96,19,5
61,11 = ;
dok omjer odgovarajućih masa (volumena) skrutnutog leda iznosi
54,22030
354533
33
=−−
.
V. Poglavlje Prilog Tablica II-1. Funkcija Gaussova integrala vjerojatnosti; erf(x) i komplementarna funkcija erfc(x) x ( )xerf ( )xerfc x ( )xerf ( )xerfc
0,0 0,00000 1,00000 1,6 0,97635 0,02365 0,1 0,11246 0,88754 1,7 0,98379 0,01621 0,2 0,22270 0,77730 1,8 0,98909 0,01091 0,3 0,32863 0,67137 1,9 0,99279 0,00721 0,4 0,42839 0,57161 2,0 0,99532 0,00468 0,5 0,52050 0,47950 2,1 0,99702 0,00298 0,6 0,60386 0,39614 2,2 0,99814 0,00186 0,7 0,67780 0,32220 2,3 0,99886 0,00114 0,8 0,74210 0,25790 2,4 0,99931 0,00069 0,9 0,79691 0,20309 2,5 0,99959 0,00041 1,0 0,84270 0,15730 2,6 0,99976 0,00024 1,1 0,88021 0,11979 2,7 0,99987 0,00013 1,2 0,91031 0,08969 2,8 0,99992 0,00008 1,3 0,93401 0,06599 2,9 0,99996 0,00004 1,4 0,95229 0,04771 3,0 0,99998 0,00002 1,5 0,96611 0,03389 Tablica III-1. Eksponencijalni - Ei(-x) x K0(x) x K0(x) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
+∞ 2,4271 1,7527 1,3724 1,1145 0,9244 0,7775 0,6605 0,5653 0,4867 0,4210 0,3636 0,3185 0,2782 0,2437 0,2138
1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,5 4,0 4,5 5,0
0,18795 0,16550 0,14591 0,12885 0,11389 0,08927 0,07022 0,05540 0,04382 0,03474 0,02759 0,01960 0,01116 0,00640 0,00369
Tablica III-2 Modificirana Besselova funkcija druge vrste i nultog reda K0(x) x K0(x) x K0(x) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
+∞ 2,4271 1,7527 1,3724 1,1145 0,9244 0,7775 0,6605 0,5653 0,4867 0,4210 0,3636 0,3185 0,2782 0,2437 0,2138
1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,5 4,0 4,5 5,0
0,18795 0,16550 0,14591 0,12885 0,11389 0,08927 0,07022 0,05540 0,04382 0,03474 0,02759 0,01960 0,01116 0,00640 0,00369
Tablica III-2 nastavak u 102 K0(u) u 102 K0(u) u 102 K0(u) u 102 K0(u) 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
18,795 16,550 14,593 12,885 11,389 10,078 8,9269 7,9140 7,0217 6,2348 5,5398 4,9255 4,3820 3,9006 3,4740
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5
3,0955 2,7595 2,4611 2,1958 1,9399 1,7500 1,5631 1,3966 1,2482 1,1160 0,9800 0,8928 0,7988 0,7149 0,6340
4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0
0,5730 0,5132 0,4597 0,4119 0,3691 0,3308 0,2966 0,2659 0,2385 0,2139 0,1919 0,1721 0,1544 0,1386 0,1244
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5
0,1117 0,1003 0,0900 0,0803 0,0726 0,0652 0,0586 0,0526 0,0473 0,0425 0,0382 0,0343 0,0308 0,0277 0,0249
![Odabrana Poglavlja Iz Kondukcije[1]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/545a26b7af795998788b5aaf/odabrana-poglavlja-iz-kondukcije1.jpg)
