Oana Constantinescuoanacon/GE/fisiere/cursuri/...Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a ne euclidiene Cilindrul eliptic Cilindrul eliptic este locul geometric

Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne

euclidiene

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene

Elipsoidul

Cadrul de lucru al acestui curs este un spatiu a�n euclidian 3-

dimensional E3 =(E ,−→E ,Φ

). Fie un reper ortonormat R = {O; i , j , k}.

Elipsoidul este locul geometric al punctelor P(x , y , z) ∈ E ale carorcoordonate (in raport cu R) veri�ca ecuatia

(E)x2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0 (1)


Elipsoidul

Observam ca elipsoidul este o �gura marginita, �ind inclusa in sfera

cu centrul in origine si raza egala cu max {a, b, c}.Pentru a studia aceasta cuadrica o vom intersecta cu plane paralele

cu planele de coordonate.

Fie de exemplu planul π : z = k , π ‖ (xOy). Atunci

E ∩ π :

{x2

a2+ y2

b2= 1− k2

c2

z = k .

Daca | k |< c , rezulta ca E ∩ π este o elipsa cu centrul in O,

cu axele de simetrie paralele cu Ox si Oy .

Daca k = c , atunci E ∩ π={C (0, 0, c)}, iar daca k = −c ,E ∩ π={C ′(0, 0,−c)}.Daca | k |> c , rezulta ca E ∩ π = ∅.

Analog, intersectia dintre elipsoid si un plan paralel cu (xOz),respectiv (yOz) este o elipsa, un punct dublu sau multimea vida.

Punctele A(a, 0, 0), A′(−a, 0, 0), B(0, b, 0), B ′(0,−b, 0),C (0, 0, c), C ′(0, 0,−c) se numesc varfurile elipsoidului.

Elipsoidul

Daca de exemplu a = b, intersectia dintre elipsoid si planele

paralele cu (xOy) sunt cercuri si E se obtine prin rotirea elipsei{x2

a2+ z2

c2= 1,

y = 0din planul (xOz) in jurul axei Oz . Analog pentru

a = c sau b = c , obtinem tot elipsoizi de rotatie.

Daca a = b = c elipsoidul este sfera de centruO si raza a.

Mai observam ca elipsoidul are ca plane de simetrie planele de

coordonate, ca axe de simetrie cele trei axe de coordonate si ca

centru de simetrie, originea reperului.

Amintim ca (xOy) e plan de simetrie pentru elipsoid deoarece

∀P(x , y , z) ∈ E , rezulta ca P ′(x , y ,−z) = S(xOy)(P) ∈ E .De asemenea, Ox este axa de simetrie pentru elipsoid deoarece

∀P(x , y , z) ∈ E ⇒ P ′′(x ,−y ,−z) = SOx(P) ∈ E .Iar originea e centru de simetrie pentru elipsoid deoarece

∀P(x , y , z) ∈ E ⇒ P ′′′(−x ,−y ,−z) = SO(P) ∈ E .Analog pentru celelalte doua plane de coordonate si doua axe de

coordonate.

Hiperboloidul cu o panza

Hiperboloidul cu o panza este locul geometric al punctelor

P(x , y , z) ∈ E ale caror coordonate (in raport cu R) veri�ca ecuatia

(H1)x2

a2+y2

b2− z2

c2− 1 = 0 (2)



Studiem mai intai intersectia dintre hiperboloidul cu o panza si un

plan paralel cu (xOy). Daca π : z = k atunci

H1 ∩ π :

{x2

a2+ y2

b2= 1 + k2

c2,

z = k ,deci H1 ∩ π este o elipsa cu axele

de simetrie paralele cu Ox si Oy .

Fie α : y = k un plan paralel cu (xOz). Obtinem

H1 ∩ α :

{x2

a2− z2

c2= 1− k2

b2,

y = k ,deci:

pentru | k |6= b, H1 ∩ α este o hiperbola cu axele paralele cu

Ox ,Oz ; observam ca daca | k |< b, atunci hiperbola H1 ∩ αare axa focala paralela cu Ox , iar daca | k |> b, atunci H1 ∩ αare axa focala paralela cu Oz ;

pentru | k |= b obtinem H1 ∩ α:

{( xa− z

c)( x

a+ z

c) = 0,

y = k ,

deci o pereche de drepte concurente.


Veri�cati ca intersectia dintre hiperboloidul cu o panza si un plan

paralel cu (yOz) este o hiperbola sau o pereche de drepte

concurente.

Varfurile hiperboloidului cu o panza le obtinem intersectand axele

de coordonate cu cuadrica. Bineintele axa Oz nu taie cuadrica, deci

avem doar patru varfuri.

Hiperboloidul cu o panza are planele de coordonate ca plane de

simetrie, axele de coordonate ca axe de simetrie si originea O ca

centru de simetrie.

Daca a = b observam ca H1 se obtine prin rotirea unei hiperbole

din planul (xOz) in jurul axei Oz .

Generatoarele hiperboloidului cu o panza

Hiperboloidul cu o panza este o cuadrica riglata, adica exista

o familie de drepte cu proprietatile:

1 orice dreapta din familie este situata pe cuadrica;2 prin orice punct al cuadricei trece cel putin o dreapta din

familie.

O astfel de familie se numeste sistem de generatoare

rectilinii pentru cuadrica respectiva.

(xa− z

c

) (xa

+ zc

)=(1− y

b

) (1 + y

b

)δλ :

{xa− z

c= λ

(1− y

b

)λ(xa

+ zc

)=(1 + y

b

)δ′λ :

{xa− z

c= λ

(1 + y

b

)λ(xa

+ zc

)=(1− y

b

) λ ∈ R ∪ {∞}


Hiperboloidul cu doua panze

Hiperboloidul cu doua panze este locul geometric al punctelor din E

ale caror coordonate veri�ca ecuatia

(H2)x2

a2− y2

b2− z2

c2− 1 = 0 (3)



Observam ca o conditie necesara ca P(x , y , z) sa apartina

hiperboloidului cu doua panze este ca | x |≥ a. Din acest motiv

rezulta ca H2 nu poate contine drepte, deci nu este o cuadrica

riglata.

Intersectia dintre H2 si un plan π : z = k , paralel cu (xOy), are

ecuatiile

{x2

a2− y2

b2= 1 + k2

c2,

z = k ,deci este o hiperbola cu axele

paralele cu Ox ,Oy .Analog, intersectia dintre H2 si un plan paralel cu (xOz) este tot o

hiperbola, cu axele paralele cu Ox , Oz .


Intersectia dintre H2 si un plan α : x = k , paralel cu (yOz), este

data de ecuatiile

{y2

b2+ z2

c2= k2

a2− 1,

x = k ,deci se obtine

o elipsa cu axele paralele cu Oy ,Oz , pentru | k |> a;

un punct dublu (varfurile A(a, 0, 0), A′(−a, 0, 0)) pentru| k |= a;

multimea vida, pentru | k |< a.

Hiperboloidul cu doua panze are aceleasi elemente de simetrie ca si

cuadricele anterioare. Observam ca pana acum am discutat doar

despre cuadrice cu centru unic de simetrie, cu cate trei plane de

simetrie si trei axe de simetrie.

Paraboloidul eliptic

Paraboloidul eliptic este locul geometric al punctelor din E ale caror

coordonate in raport cu un reper dat veri�ca ecuatia

(Pe)x2

a2+y2

b2− 2z = 0 (4)


Paraboloidul eliptic

O conditie necesara ca M(x , y , z) ∈ Pe este ca z ≥ 0. Deci

paraboloidul eliptic nu poate contine drepte, deci nu este o cuadrica

riglata.

Intersectia dintre Pe si un plan π : z = k > 0 este o elipsa cu axele

paralele cu Ox ,Oy :

{x2

a2+ y2

b2= 2k ,

z = k ,iar Pe ∩ (xOy) = {O} este

un punct dublu.

Intersectia dintre paraboloidul eliptic si un plan α : x = k , paralel

cu (yOz), este o parabola cu axa de simetrie paralela cu Oz :{y2

b2− 2z = −k2

a2,

x = k .

Analog, intersectia paraboloidului eliptic cu un plan paralel cu

(xOz) este tot o parabola cu axa de simetrie paralela cu Oz .

Observam ca Pe are doar doua plane de simetrie, si anume (yOz) si

(xOz), o singura axa de simetrie, axa Oz si nu are centru de

simetrie.

Paraboloidul hiperbolic

Paraboloidul hiperbolic este locul geometric al punctelor din E ale

caror coordonate veri�ca ecuatia

(Ph)x2

a2− y2

b2− 2z = 0 (5)

-2 -1 0 1 2

-1-0.500.51

-1

0

1

2

3

-1-0.5



Intersectia dintre paraboloidul hiperbolic si un plan π : z = k ,

paralel cu (xOy):

{x2

a2− y2

b2= 2k ,

z = k ,este:

o hiperbola cu axele de simetrie paralele cu Ox si Oy , daca

k 6= 0, mai exact

pentru k < 0 se obtine o hiperbola cu axa focala paralela cuOy ,pentru k > 0 se obtine o hiperbola cu axa focala paralela cuOx ,

o pereche de drepte concurente in O, daca k = 0.


Intersectia dintre paraboloidul hiperbolic si planul y = k , paralel cu

(xOz), este

{x2

a2− 2z = k2

b2,

y = k ,adica o parabola cu axa de simetrie

paralela cu Oz , iar intersectia cu planul x = k este{y2

b2+ 2z = k2

a2,

x = k ,deci tot o parabola (cu axa de simetrie paralela

cu Oz).

Paraboloidul hiperbolic are doua plane de simetrie, (yOz) si (xOz),o singura axa de simetrie, axa Oz si nu are centru de simetrie.

Generatoarele paraboloidului hiperbolic

Si paraboloidul hiperbolic este o cuadrica riglata, familiile de

generatoare obtinandu-se astfel:

(xa

+ yb

) (xa− y

b

)= 2z

dλ :

{xa

+ yb

= 2λ

λ(xa− y

b

)= z

λ ∈ R

d ′µ

{xa

+ yb

= µz

µ(xa− y

b

)= 2

µ ∈ R∗ ∪ {∞}


Cilindri patratici

Se considera o conica (γ), reprezentata intr-un reper

ortonormat din spatiu prin{a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0,

z = 0, a211

+ a212

+ a222> 0.

De�nition

Locul geometric al punctelor dreptelor δ din spatiu, paralele cu axa

Oz a reperului considerat, care se sprijina pe conica (γ), senumeste cilindru patratic. Conica (γ) se numeste curba

directoare iar dreptele δ paralele cu Oz se numesc generatoarele

(rectilinii) ale cilindrului.

Ecuatia unui astfel de cilindru patratic este

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 (6)


Cilindrul eliptic

Cilindrul eliptic este locul geometric al punctelor din E ale caror

coordonate veri�ca ecuatia

(Ce)x2

a2+y2

b2− 1 = 0


Cilindrul eliptic

Pentru π : z = k obtinem Ce ∩ π :

{x2

a2+ y2

b2= 1,

z = k,deci o elipsa cu

axele de simetrie paralele cu Ox si Oy .

Pentru α : x = k obtinem Ce ∩ α :

{y2 = b2

a2(a2 − k2),

x = k,deci:

daca | k |< a, Ce ∩ α reprezinta doua drepte paralele, de ecuatii{y = b

a

√a2 − k2,

x = k,si

{y = − b

a

√a2 − k2,

x = k.

daca | k |= a, Ce ∩ α este o dreapta dubla de ecuatii

{y = 0,

x = k.

daca | k |> a, Ce ∩ α = ∅.

Cilindrul eliptic

Analog, intersectia dintre cilindrul eliptic si plane paralele cu (xOz)reprezinta o pereche de drepte paralele, o dreapta dubla sau

multimea vida.

Observam ca cilindrul eliptic are o in�nitate de centre de simetrie,

mai exact orice punct al axei Oz este centru de simetrie.

Plane de simetrie: (xOz), (yOz) si orice plan paralel cu (xOy).Axe de simetrie: Oz , dreptele ce se sprijina pe Oz si sunt paralele

cu Ox , respectiv Oy .


Cilindrul hiperbolic

Cilindrul hiperbolic este locul geometric al punctelor din E ale caror


x2

a2− y2

b2− 1 = 0


Cilindrul hiperbolic

Veri�cati ca in exemplul precedent ca:

intersectia dintre cilindrul hiperbolic si un plan paralel cu

(xOy) este o hiperbola cu axele paralele cu Ox ,Oy , axa focala

�ind paralela cu Ox ;


(yOz) este o pereche de drepte paralele, sau o dreapta dubla,

sau multimea vida;


(xOz) este o pereche de drepte paralele.

Elementele de simetrie sunt identice cu ale cilindrului eliptic.

Cilindrul parabolic

Cilindrul parabolic este locul geometric al punctelor din E ale caror


(Cp) y2 = 2px , p > 0.


Cilindrul parabolic

Intersectia dintre cilindrul parabolic si planul π : z = k este

parabola

{y2 = 2px ,

z = k,cu axa de simetrie paralela cu Ox .

Intersectia dintre cilindrul parabolic si planul α : x = k are ecuatiile{y2 = 2pk,

x = k,deci este:

o pereche de drepte paralele, daca k > 0, de ecuatii{y =

√2pk,

x = k,

{y = −

√2pk,

x = k;

o dreapta dubla (Oz), daca k = 0;multimea vida, daca k < 0.

Intersectia dintre cilindrul parabolic si planul β : y = k are ecuatiile{x = k2

2p,

y = k,deci este o dreapta.

Planele de simetrie: (xOz) si orice plan paralel cu (xOy)Axele de simetrie: orice dreapta paralela cu Ox , care se sprijina de Oz .Cilindrul parabolic nu are centru de simetrie.

Conuri patratice

Se considera o conica (γ), reprezentata intr-un reper

ortonormat din spatiu prin{a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0,

z = k 6= 0.

De�nition

Locul geometric al punctelor dreptelor δ din spatiu, care se sprijina

pe conica (γ) si trec toate prin O, se numeste con patratic (cu

varful in O). Conica (γ) se numeste curba directoare iar dreptele

OM, M ∈ γ se numesc generatoarele (rectilinii) ale conului.

Ecuatia acestui con patratic este

a11k2x2 + a22k

2y2 + a00z2 + 2a12k

2xy + 2a10kxz + 2a20kyz = 0

Observam ca ecuatia unui con patratic este omogena de ordinul 2.Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene

Intr-adevar, �e M(x0, y0, z0) un punct arbitrar al lui γ. Rezulta ca{a11x

2

0+ 2a12x0y0 + a22y

2

0+ 2a10x0 + 2a20y0 + a00 = 0,

z0 = k 6= 0.(7)

Un punct oarecare P(x , y , z) apartine dreptei OM daca si numai

daca exista t ∈ R astfel incat

x = tx0,

y = ty0,

z = tk .

Inlocuind x0 = kxz, y0 = ky

z, in ecuatia (7) obtinem

a11k2x2

z2+ 2a12

k2xy

z2+ a22

k2y2

z2+ 2a10

kx

z+ 2a20

ky

z+ a00 = 0.

Inmultind aceasta ecuatie cu z2 6= 0, obtinem ecuatia conului

patratic.

Un exemplu de con patratic

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 (8)


Intersectia dintre conul patratic de ecuatie (8) si planul (xOy) este

un punct dublu: originea.

Intersectia dintre con si un plan paralel cu (xOy) este o elipsa cu

axele paralele cu Ox si Oy .

Intersectia dintre con si planul (yOz) e o pereche de drepte

concurente in O, iar intersectia dintre con cu un plan paralel cu

(yOz) este o hiperbola cu axele paralele cu Oy ,Oz . Daca k < 0,

axa focala e paralela cu Oy , iar daca k > 0, axa focala e paralela

cu Oz .

Analog, intersectia dintre con si (xOz) este o pereche de drepte

concurente in O, iar intersectia dintre con cu un plan paralel cu

(xOz) este o hiperbola cu axele paralele cu Ox ,Oz .O este centru de simetrie, cele trei plane de coordonate si cele trei

axe de coordonate sunt respectiv plane si axe de simetrie.

Conicele ca sectiuni in conul de rotatie


Concludem ca intersectia dintre un con de rotatie si un plan este

intotdeauna o conica:

daca planul este paralel cu o generatoare a conului si nu trece

prin varful conului, se obtine o parabola (1) ;

daca planul taie o singura panza a conului si nu este paralel cu

nici o generatoare, se obtine o elipsa (sau un cerc) (2);

daca planul taie ambele panze ale conului dar nu trece prin

varful acestuia, se obtine o hiperbola (3);

daca planul trece prin varful conului, se obtine o pereche de

generatoare concurente.

Cuadrice degenerate

O pereche de plane

(ax + by + cz + d)(a′x + b′y + c ′z + d ′

)= 0,

a2 + b2 + c2 > 0, a′2 + b′2 + c ′2 > 0

O dreapta dubla

x2 + y2 = 0

Un punct dublu

x2 + y2 + z2 = 0

O cuadrica vida

x2 + y2 + z2 + 1 = 0


Gaudi






Documents

Oana Constantinescuoanacon/GE/fisiere/cursuri/...Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a ne euclidiene Cilindrul eliptic Cilindrul eliptic este locul geometric