O07 Physikalisches Praktikum

Michelson Interferometer Brechzahlbestimmung

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In diesem Versuch wird zunächst ein Michelson-Interferometer aufgebaut und mit diesem die Wellen-

länge des verwendeten Laserlichtes gemessen. Das aufgebaute Interferometer wird dann zur Bestim-

mung der Brechzahl von Luft genutzt.

1. Theoretische Grundlagen

1.1 Interferenz von Licht Treffen zwei Wellen gleicher Frequenz bzw. Wellenlänge 𝜆 und (bei Transversalwellen) gleicher Polari-

sationsebene in einem Raumpunkt aufeinander, so addieren sich ihre Elongationen. Die Intensität der

Überlagerungswelle in diesem Raumpunkt hängt vom dem Gangunterschied Δ𝑠 der beiden Teilwellen

ab. Für

Δ𝑠 = 𝑘 · 𝜆, 𝑘 = 1, 2, 3,... (1)

ergibt sich maximale Verstärkung (konstruktive In-

terferenz, Bild 1a), für

Δ𝑠 =2𝑘+1

2· 𝜆 𝑘 = 1, 2, 3,... (2)

maximale Abschwächung (destruktive Interfe-

renz). Bei gleicher Amplitude der Teilwellen tritt im

Bild 1b vollständige Auslöschung ein. Das Auftre-

ten solcher Interferenzerscheinungen auch bei

Licht ist neben der Polarisierbarkeit der entschei-

dende experimentelle Hinweis für die Annahme ei-

ner Wellennatur des Lichtes.

1.2 Kohärenz von Licht Zeitlich stabile Interferenzmuster können nur beobachtet werden, wenn die Phasendifferenz zwischen

beiden Teilwellen in jedem Raumpunkt zeitlich konstant ist. In diesem Fall werden die Teilwellen als

räumlich kohärent bezeichnet.

Ist die Phasendifferenz in je zwei verschiedenen Raumpunkten, die von einer Welle getroffen werden,

zeitlich konstant, so heißt die Welle zeitlich kohärent. Zeitliche Kohärenz liegt vor bei einem kontinu-

ierlichen, unendlich langen Wellenzug mit konstanter Frequenz.

Eine zeitlich und räumlich annähernd kohärente Lichtquelle ist ein Laser, der praktisch kontinuierliche

Lichtwellen aussendet (stimulierte Emission). Thermisch erzeugtes Licht von der Sonne oder einer Glüh-

lampe hingegen, ist sowohl zeitlich als auch räumlich inkohärent. Das von den verschiedenen Atomen

solcher Lichtquellen in statistisch verteilter Weise ausgesandte Licht besteht aus einzelnen Wellenzü-

gen endlicher Länge sowie ohne fester Phasenbeziehung untereinander (spontane Emission). Ihre ty-

pische Dauer ist von der Größenordnung 10-8 Sekunden.

Bild 1a: konstruktive Interferenz

Bild 1b: destruktive Interferenz

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Aus der Größe der Lichtgeschwindigkeit erhält man als typische Länge eines solchen Wellenzuges 3m

(Kohärenzlänge). Bei natürlichem Licht können deshalb nur dann Interferenzerscheinungen beobach-

tet werden, wenn jeder einzelne Wellenzug z. B. durch teilweise Reflexion aufgespalten wird und nach

verschiedenen Laufstrecken die entstandenen Teilstrahlen wieder überlagert werden.

Ein Interferenzmuster entsteht, wenn der Wegunterschied Δ𝑠 der Teilstrahlen klein gegenüber der Ko-

härenzlänge ist. Der Kontrast in dem Interferenzmuster wird kleiner, je größer der Wegunterschied ist.

1.3 Interferometer Interferometrie ist eine Methode zur Messung von Längenänderungen oder Brechungsindizes. Sie wird

angewendet, wenn die herkömmlichen mechanischen oder optischen Messmittel nicht mehr ausrei-

chen, um den Anforderungen an Genauigkeit und Empfindlichkeit gerecht zu werden.

Interferometrische Messungen beruhen auf folgendem Prinzip:

Der von einer Lichtquelle kommende Strahl wird

durch einen Strahlenteiler (halbdurchlässiger Spie-

gel) in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Bei einem

dieser Teilstrahlen wird nun die optische Weglänge,

d. h. das Produkt aus Brechzahl und geometrischem

Weg geändert. Er erfährt dabei eine Phasenver-

schiebung gegenüber dem ungestörten Strahl, mit

dem er schließlich wieder überlagert wird. Aus die-

ser Phasenverschiebung folgt eine Änderung des In-

terferenzbildes, aus der sich dann eine der beiden

Größen, die Brechzahl oder der geometrische Weg

ermitteln lässt, wenn jeweils die andere Größe be-

kannt ist. Wird z. B. die Brechzahl konstant gehal-

ten, so sind Differenzen des geometrischen Weges

bestimmbar, z. B. die Ausdehnung von Materialien,

die Krümmung von Oberflächen, die Dicke von Schichten usw. Messungen dieser Art werden vornehm-

lich mit dem Michelson-Interferometer vorgenommen. Wird der geometrische Weg konstant gehalten,

so sind Brechungsindizes oder aber auch Größen und Einflüsse, die den Brechungsindex verändern, zu

ermitteln, z. B. Druck, Temperatur sowie Dichteänderung.

Bild 2 zeigt den Strahlengang bei einem Michelson-Interferometer. Der Strahlenteiler spaltet den ein-

fallenden Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen auf. Nach der Reflexion der Teilstrahlen an

den Spiegeln 𝑆1 bzw. 𝑆2 treffen beide wieder auf den Strahlenteiler und werden von diesem (teilweise)

auf eine Projektionswand reflektiert. Der Gangunterschied Δ𝑠 zwischen den beiden auf die Projekti-

onswand treffenden Teilstrahlen hängt von den Abständen der beiden Spiegel zum Strahlteiler ab:

Δ𝑠 = 2 · (𝑙2 − 𝑙1) (3)

Der Faktor2 kommt hinzu, weil jeder Weg doppelt durchlaufen wird.

Bild 2: Strahlengang Michelson-Interferometer

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Bei einer ebenen einfallenden Welle und vollkommen senkrecht zueinander justierten Spiegeln erwar-

tet man auf der Projektionswand je nach Phasendifferenz gleichmäßig Helligkeit oder Dunkelheit. Tat-

sächlich beobachtet man ein Streifensystem oder ein System konzentrischer Ringe. Die Erklärung hier-

für folgt im Abschnitt 1.4.

Bei der Verschiebung eines Spiegels um ein Viertel der Wellenlänge ändert sich der Gangunterschied

um 𝜆/2, aus maximaler Dunkelheit auf dem Schirm wird maximale Helligkeit bzw. umgekehrt. Wird der

Spiegel 𝑆2 verschiebbar auf einen Feinstelltrieb montiert und damit über eine Strecke von mehreren

Wellenlängen bewegt, so kann aus der Verschiebungsstrecke Δ𝑙 und der Anzahl 𝑍 der auf der Projek-

tionswand auftretenden Helligkeitsmaxima (oder –minima) die Wellenlänge bestimmt werden:

𝑍 · 𝜆 = 2 · 𝛥𝑙 (4)

1.4 Interferenzstreifen und –ringe Bei den bisherigen Betrachtungen gingen wir von ideal ebenen Wellen und ideal justierten optischen

Komponenten aus. In der Praxis ist dies jedoch nicht realisierbar.

Zwei Teilstrahlen, die auf dem Schirm (𝑥𝑦 - Ebene) in Bild 3 interferieren, mögen in der 𝑥𝑧-Ebene je-

weils unter dem gleichen Winkel 𝛼 gegen die 𝑧-Achse verlaufen.

Beide Wellen haben die gleiche Feldstärkenam-

plitude 𝐸0, die gleiche Wellenlänge, die gleiche Po-

larisation und eine Phasendifferenz Δ𝜑.

Die Beträge der zugehörigen Wellenvektoren 𝑘𝑖

(𝑖=1, 2) sind:

|𝑘𝑖⃗⃗ ⃗| =

2𝜋

𝜆 (5)

In einem beliebigen Raumpunkt mit Ortsvektor 𝑟

lauten die Beträge der elektrischen Feldstärke

𝐸1 = 𝐸0 · sin(𝜔𝑡 − �⃗� 1 · 𝑟 )

𝐸2 = 𝐸0 · sin(𝜔𝑡 − �⃗� 2 · 𝑟 + Δ𝜑) (6)

(𝜔 : Kreisfrequenz der Welle)

Die Intensität 𝐼 auf dem Schirm ist die auftreffende Energie je Flächen- bzw. Zeiteinheit. Mit Gleichung

(6) gilt dann:

𝐼(𝑟 ) = 𝑐 · 𝜀0 · 𝐸2 = 𝑐 · 𝜀0 · (𝐸1 + 𝐸2)2

𝐼(𝑟 ) = 𝑐 · 𝜀0 · 2𝐸02 · sin (𝜔𝑡 −

�⃗� 1+�⃗� 2

2· 𝑟 +

Δ𝜑

2) · cos (

�⃗� 2−�⃗� 1

2· 𝑟 −

Δ𝜑

2) (7)

(𝜀0 : elektrische Feldkonstante, 𝑐 : Lichtgeschwindigkeit)

Der Differenzvektor 𝛥�⃗� = �⃗� 2 − �⃗� 1 ist parallel zur 𝑥-Achse. Bei kleinem 𝛼 ist

|Δ�⃗� | = 2|�⃗� 1| · 𝛼 (8)

Bild 3: Zur Entstehung der Interferenzstreifen

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Außerdem beobachtet man auf der Prokektionswand nur einen zeitlichen Mittelwert der Intensität. Da

der sin-Term in Gleichung (7) im zeitlichen Mittel den Wert ½ besitzt, erhält man

𝐼(𝑥) = 𝑐 · 𝜀0 · 𝐸02 · cos (

𝛥𝑘

2· 𝑥 −

𝛥𝜑

2). (9)

Längs der 𝑥-Achse ist wegen des cos-Faktors die Intensität periodisch moduliert. Auf dem Schirm beo-

bachtet man ein Streifenmuster. Handelt es sich bei den beiden Teilwellen nicht um ebene Wellen,

sondern um Kugelwellen, so entsteht auf dem Schirm ein Muster aus konzentrischen Interferenz-

ringen.

1.5 Brechung des Lichtes Die Brechung des Lichtes an Grenzflächen ist erklärbar mit der Wellentheorie von Huygens. Bild 4 zeigt

eine ebene Welle, die auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien zuläuft. Die Phasengeschwindigkeit

im oberen Medium beträgt 𝑐, im unteren 𝑐´ mit

𝑐´<𝑐. Die Schnittpunkte der ebenen Wellenflächen

mit der Grenzfläche sind Zentren Huygensscher Ele-

mentarwellen, deren Einhüllende die neue Lauf-

richtung ergibt. Rechts sind die wesentlichen

Punkte und Strecken ohne die Wellenfläche noch

einmal gezeichnet. Trifft eine Wellenfront im Punkt

𝐶 auf die Grenzfläche, so vergeht noch die Zeit 𝑡 =

𝐴𝐵/𝑐, bis auch das rechte Ende der Wellenfront am

Punkt 𝐵 die Grenzfläche trifft. Inzwischen hat die

Kugelwelle, die von 𝐶 ausging, den Weg 𝐶𝐷 = 𝑐´ · 𝑡

zurückgelegt.

Für die Dreiecke ABC und BCD gilt

sin 𝜀 =𝐴𝐵

𝐶𝐵=

𝑐·𝑡

𝐶𝐵 sin 𝜀′ =

𝐶𝐷

𝐶𝐵=

𝑐′·𝑡

𝐶𝐵

Damit ergibt sich

sin 𝜀

sin 𝜀′=

𝑐

𝑐′ (10)

Der Quotient zwischen der Lichtgeschwindigkeit 𝑐0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit 𝑐 in Ma-

terie wird üblicherweise als Brechzahl oder Brechungsindex 𝑛 des betreffenden Materials bezeichnet:

𝑛 =𝑐0

𝑐 (11)

Mit Hilfe des Brechungsindex nimmt die Gleichung (10) die Form des Snelliusschen Brechungsgesetzes

an:

sin 𝜀

sin 𝜀′=

𝑛

𝑛′= konst. (12)

Bild 4: Brechung einer ebenen Welle an einer

Grenzfläche

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Messung des Brechungsindex

Um den Brechungsindex 𝑛 der Luft zu messen, wird eine evakuierbare Kammer mit planparalleler Be-

grenzung aus Glas in den Strahlengang des Interferometers gebracht.

Der Brechungsindex 𝑛 eines Gases ist näherungsweise linear vom Druck 𝑝 abhängig. Bei Druck 𝑝=0 liegt

absolutes Vakuum vor, so dass 𝑛=1 ist. Man kann daher schreiben:

𝑛(𝑝) = 𝑛(𝑝 = 0) +𝛥𝑛

𝛥𝑝· 𝑝 mit 𝑛(𝑝 = 0) = 1 (13)

Im Folgenden wird zunächst die Bestimmung des Differenzenquotienten

Δ𝑛

Δ𝑝=

𝑛(𝑝+Δ𝑝)−𝑛(𝑝)

Δ𝑝 (14)

aus den Messdaten beschrieben.

Die optische Weglänge 𝑑 in der evakuierbaren Kammer ist das Produkt aus der geometrischen Länge 𝑠

der Kammer und des druckabhängigen Brechungsindex 𝑛(𝑝) der Luft in der Kammer

𝑑 = 𝑛(𝑝) · 𝑠. (15)

Zu beachten ist, dass der Weg durch die Reflexion an dem Spiegel zweimal vom Licht durchlaufen wird.

Somit wird durch Variation des Drucks in der Kammer um den Wert Δ𝑝 die optische Weglänge um Δ𝑑

geändert:

Δ𝑑 = 𝑛(𝑝 + Δ𝑝) · 𝑠 − 𝑛(𝑝) · 𝑠. (16)

Auf einer Projektionsfläche beobachtet man die Änderung des Ringmusters mit der Änderung des

Drucks (die Mitte des Interferenzringmusters zeigt abwechselnd maximale und minimale Intensitäten).

Vom Anfangsdruck 𝑝0 in der evakuierten Kammer ausgehend beobachtet man bei langsamer Erhöhung

des Drucks 𝑍-mal die Wiedereinstellung der Ausgangsposition des Interferenzmusters bis zum Errei-

chen des Enddruckes (Luftdruck) 𝑝𝐿. Eine Wiederholung der Maxima (bzw. Minima) entspricht einer

Änderung der optischen Weglänge um 𝜆. Zwischen dem Druck 𝑝 und 𝑝 + 𝑝 ändert sich daher die

optische Weglänge um

Δ𝑑 = (𝑍(𝑝 + Δ𝑝) − 𝑍(𝑝)) · 𝜆. (17)

Aus den Gleichungen (16) und (17) und unter Berücksichtigung, dass die Kammer zweimal vom Licht

durchlaufen wird, folgt:

𝑛(𝑝 + Δ𝑝) = (𝑍(𝑝 + Δ𝑝) − 𝑍(𝑝)) ·𝜆

2𝑠

und mit Gleichung (14) ergibt sich

Δ𝑛

Δ𝑝=

Δ𝑍

Δ𝑝·

𝜆

2𝑠 (18)

Gemessen wird der Druck nach jeweils einer Verschiebung der Maxima, die erhaltenen Messwerte

werden als Funktion 𝑍 = 𝑓(𝑝) dargestellt, es ergibt sich eine lineare Kurve mit dem Anstieg Δ𝑍/Δ𝑝.

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Der Brechungsindex kann dann unter Verwendung des Anstiegs Δ𝑍/Δ𝑝 sowie des Luftdruckes 𝑝𝐿 nach

Gleichung (13) bestimmt werden:

𝑛(𝑝) = 1 +𝛥𝑍

𝛥𝑝·

𝜆

2𝑠· 𝑝𝐿 . (19)

2. Versuch

2.1 Vorbetrachtung Aufgabe 1: Beschreiben Sie kurz wie Sie mit einem Michelson-Interferometer die Wellenlänge eines

Lasers bestimmen können.

Aufgabe 2: Welche Wellenlänge 𝜆 erhalten Sie, wenn der Gangunterschied an der Mikrometer-

schraube 5µm und die Anzahl der Umdrehungen dieser Schraube 𝑍 = 16 beträgt.

2.2 Versuchsdurchführung 2.2.1 Verwendete Geräte

Interferometer-Grundplatte, He-Ne-Laser mit =632,8 nm, Sockel (Linsenfüße), Irisblenden, Maßstab,

Haftmagnet-Füße, Oberflächen-Planspiegel, Strahlenteiler, Linse 𝒇=50 mm, Vakuumpumpe, evakuier-

bare Kammer mit 𝒔=(50,00,5) mm, Druckmessgerät

2.2.2 Versuchshinweise

Aufgabe 1: Aufbau und Justierung eines Michelson-Interferometers

Alle zur Durchführung der Versuche notwendigen Arbeitsschritte sind in der am Praktikumsplatz

liegenden Justieranleitung enthalten.

Aufgabe 2: Bestimmung der Wellenlänge des verwendeten Lasers

• Führen Sie die Messungen zur Wellenlängenbestimmung 10-mal entsprechend der Justieranlei-

tung durch.

Aufgabe 3: Bestimmung der Brechzahl von Luft (beim Luftdruck 𝑝𝐿)

• Führen Sie die Versuchsaufgabe entsprechend des Abschnitts 1.5 durch.

• Wiederholen Sie die Messung mindestens 2-mal.

2.3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Aufbau und Justierung eines Michelson-Interferometers

• Erläutern Sie aus der Durchführung der Aufgabe 1 gewonnene Erkenntnisse zu Einflüssen der Stel-

lungen von Spiegel, Strahlenteiler und Linsen auf das Interferenzbild.

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Aufgabe 2: Bestimmung der Wellenlänge des verwendeten Lasers

• Bestimmen Sie die Wellenlänge entsprechend dem Abschnitt 1.3.

• Ermitteln Sie die Messunsicherheit für die Wellenlänge unter Verwendung der Standardabwei-

chung für die gezählten Änderungen des Ringsystems.

Aufgabe 3: Bestimmung der Brechzahl von Luft (beim Luftdruck 𝑝𝐿)

• Stellen Sie in einem Diagramm die erhaltenen Messwerte als Funktion 𝒁 = 𝒇(𝒑) graphisch dar

und ermitteln Sie aus der linearen Regression den Anstieg.

• Bestimmen Sie die Brechzahl von Luft mit Hilfe des Anstieges der Geraden.

• Tragen Sie die Fehlerbalken an und schätzen Sie die Messunsicherheit aus dem Diagramm ab.

3. Ergänzungen

3.1 Vertiefende Fragen Welche Interferenzerscheinungen zeigen sich an einer planparallelen und an einer keilförmigen Glas-

platte?

Wie kann man damit die Dicke von dünnen Schichten bestimmen?

3.2 Ergänzende Bemerkungen Der Versuch von Michelson und Morley ist eine der frühen experimentellen Stützen der speziellen Re-

lativitätstheorie. Er widerlegte die Existenz eines „Lichtäthers“ als materieller Träger der Lichtwellen.

Wegen der Bewegung der Erde durch den vermuteten Äther sollten nämlich in den verschiedenen Teil-

wegen eines Michelson-Interferometers richtungsabhängige Laufzeiten auftreten. (Als Vergleich be-

trachte man die Geschwindigkeit eines Bootes, das in strömendem Wasser mit oder gegen diese Strö-

mung fährt!). Durch Drehung des Interferometers müsste sich dann eine Veränderung des Interferenz-

musters ergeben. Diese konnte jedoch im Experiment nicht nachgewiesen werden. Deshalb musste

man die Äthertheorie fallen lassen.

Eine experimentelle Alternative zu dem Feinstelltrieb bei der Wellenlängenbestimmung mit dem Mi-

chelson-Interferometer ist die Verwendung eines Piezo-Kristalls. Durch Anlegen einer Spannung an ei-

nen solchen Kristall kann dessen Länge geändert werden, so dass die Verschiebung des Spiegels beim

Michelson-Interferometer auf elektrischem Weg erfolgen kann.