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O problema de deflexão de vigas do ponto de vista das equações diferenciais ordinárias: uma visão teórica.
Luis Antonio da S. Vasconcellos
1, Valter Locci
1, Heitor Miranda Bottura
2
¡ Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências – UNESP ¡2Departamento de Engenharia Civil – Faculdade de Engenharia – UNESP
CEP 17033-360, BAURU/SP. E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
.
RESUMO
Os projetos de grandes estruturas que envolvem dados de difícil definição têm utilizado
cada vez mais o recurso de monitoração, durante a sua construção, para tomadas de decisões.
Nesses momentos, as comparações entre resultados da monitoração com os obtidos de modelos
matemáticos têm permitido a continuidade na execução dessas obras com maior controle e
qualidade [4]. A análise estrutural desempenha um papel importante no desenvolvimento do projeto
de grandes estruturas. Modelos matemáticos cada vez mais sofisticados propiciam análises
inimagináveis até alguns anos atrás, fornecendo subsídios para análises paramétricas e permitindo
simulações de etapas construtivas com o nível de detalhamento desejado pelos projetistas [5].
Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimentalmente que
sob a ação de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite, a partir do qual a forma
reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse estado limite é dita crítica, ou carga de
flambagem [1]. No caso em que existe o comportamento elástico linear dos materiais, a mudança da
forma de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico estável. O comportamento é
simétrico porque não importa para que lado ocorra os deslocamentos da barra, e é dito estável
porque a configuração secundária de equilíbrio é estável.
Em princípio, a determinação das flechas da barra ([6] e [7]) exige que se empregue a
expressão exata da equação diferencial da linha elástica, que neste caso, é obtida do cálculo
elementar, através da equação da curvatura de uma curva dada por:
EI
M
dx
dy
dx
yd
r±=
+
=2
32
2
2
1
1 (1)
onde r
1 é a curvatura da barra. O produto E.I é chamado de rigidez flexional. Se a rigidez
flexional varia ao longo da viga, como é o caso de vigas de seção variável, devemos exprimi-la
como uma função de x antes de proceder à integração da equação e M, o momento fletor. Para vigas
suspensas, as condições de contorno são expressas como se segue: y (0) = 0 e y'(0) = 0 isto é, a
derivada da função de deflexão é zero naquele ponto; y''(L) = 0 diz que não há momento de flexão
na extremidade livre do balanço e finalmente; y'''(L) = 0 afirma que não há força de
cisalhamento agindo na extremidade livre da viga. Por conseguinte, a quarta condição de limite já
não é válida e é tipicamente substituída pela condição y'''(L) = -mg, onde g é a aceleração da
gravidade (aproximadamente 8 m/s2).
Se em lugar da equação exata (1), for empregada a equação aproximada (barras esbeltas no
regime elástico):
EI
M
dx
yd
r±=≅
2
21, (2)
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ainda assim, podem ser determinados os valores da carga crítica, embora fiquem indeterminadas as
flechas da configuração fletida [8].Considerando o sinal positivo em (2), chega-se à
Mdx
ydEI
r
EI=≅
2
21� 1
0
)( CdxxMdx
dyEIEI
x
+=≅ ∫θ ou 21
0 0
)( CxCdxxMdxyEI
x x
++= ∫ ∫ ,
onde C1 e C2 são constantes de integração determinadas a partir das condições de contorno para a
viga .
Para este estudo, considere uma viga simplesmente apoiada sobre ação de uma carga
uniformemente distribuída. A equação que controla a deflexão de tal viga é dada por
EIdx
dy
xLqx
dx
yd
21
)(
23
22
2
+
−=
. Considerando 11
23
2
≈
+
dx
dy [5], e que E é o módulo de Young de
elasticidade, I é o 2º momento de área, q é a intensidade do carregamento e L é o comprimento da
barra, chega-se a seguinte solução ([2] e [3])
}2{24
)( 343xLxLx
EI
qxy −−= . (3)
Considerando que em (3) os valores da carga q, de E e de I são positivas e constantes,
pretende-se calcular em que posição ocorre a deflexão. Tendo em vista o intervalo [0 , L], verificou-
se que x = L/2 corresponde ao ponto de mínimo local da solução e que os valores obtidos
concordam com a situação física, tendo em vista que o valor da deflexão máxima é obtida
exatamente neste ponto o que confirma uma forte dependência entre deflexão e tamanho da viga.
Também é importante ressaltar que a análise do problema feita desta forma, exibe de maneira clara
a importância da utilização dos conceitos básicos dos cursos de cálculos para a engenharia pois, há
uma tendência cada vez maior da utilização de softwares que exibem a solução e portanto não há a
preocupação em como foi resolvido.
Palavras-Chave: Teoria de Euler-Bernoulli, Deflexão de vigas, Equações diferenciais ordinárias.
Referências [1] F. P. Beer, J. T. Dewolf, E. R., Johnston, “Resistência dos Materiais”, Ed. McGrawHill -
4ªedição-2010.
[2] W.E. Boyce, R. C. Di Prima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de
Contorno”, 9ª Ed, 2010.
[3] R. L. Burden, J. D. Faires, “Análise Numérica”, Ed. Cengage Learning, 2008.
[4] R.D. Copetti, D. Migotto, D. R. Tolfo, “ Sobre a Resposta Dinâmica de uma Viga com
Amortecimento, Mecânica Computacional”, Vol XXIX, págs. 4247-4254, Argentina, Nov.,
2010.
[5] P.B. Fusco, “Estruturas de Concreto”, Editora Guanabara, 1991.
[6] J. Ginsberg, “Mechanical and Structural Vibrations”, John Wiley, 2002.
[7] D. Gorman, “Free Vibration Analysis of Beams and Shafts”, John Wiley, 1975.
[8] M. Gürgöze, H. Erol “Dynamic response of a viscously damped cantilever with a viscous end
condition”, Journal of Sound and Vibration, 298:132˝U153, 2006.
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