Primos gemelos Hay algunos nmeros primos particularmente interesantes. Por ejemplo, 2 y 3 son los nicos primos seguidos. Pero hay un gran nmero de pares de nmeros primos que difieren en dos unidades, por ejemplo:3 y 55 y 711 y 13etc.Cuando dos nmeros primos se diferencian en dos unidades, como los anteriores, se dice que son "primos gemelos". En esta actividad vamos a buscar alguno ms y descubrir algunas interesantes propiedades de estos nmeros.

Preguntas1. Busca todas las parejas de primos gemelos comprendidas entre 1 y 100. Para ayudarte un poco puedes hacer clic sobre la casilla de verificacin de "Primos". Utiliza la herramienta "Tapa primos" para ir sealando los nmeros primos gemelos. Cuando los tengas todos, comprueba tus resultados haciendo clic sobre la casilla de verificacin. 2. Completa la siguiente tabla con los resultados que has encontrado en el apartado anterior. ParejaSumaProducto

3 y 5815

5 y 71235

11 y 1324143

3. Observa los resultados que has obtenido al sumar las parejas de primos gemelos. Dejando a un lado la primera pareja, encuentras alguna relacin entre las sumas restantes? Explcala con tus palabras.4. Observa ahora los productos. Encuentras alguna relacin? Una pequea pista: suma una unidad a cada producto; al hacerlo obtienes: 16,36,144... que, a su vez, son cuadrados de otros nmeros:42,62,122... Compara estos nmeros con las sumas, ves ahora alguna relacin? Cmo la expresaras?

124. LOS NMEROS AMIGOS

ndice del artculo

124. LOS NMEROS AMIGOS

Pgina 2: Solucin

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Comprueba que 2.620; 2.924 y 17.296; 18.416 son parejas de nmeros amigos. ( Como curiosidad se sabe que la ltima pareja fue descubierta por el jurista y matemtico francs P. Fermat)

Desde muy antiguo los matemticos se han preocupado por los distintos nmeros y sus propiedades; as hay nmeros pares, impares, primos, amigos, abundantes, poligonales, etc.El filsofo griego Jmblico atribuye el descubrimiento de los nmeros amigos al propio Pitgoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente ancdota: Siendo preguntado Pitgoras qu es un amigo?, contest Alter ego. Por analoga aplic el trmino amigos a dos nmeros cuya suma de partes alcuotas es igual al otroDos nmeros amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo nmero).

Un ejemplo de nmeros amigos es el par (220, 284), ya que:

* los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284 * los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220

Para los antiguos griegos( los pitagricoS) los nmeros amigos tenan muchas propiedades intrigantes. Alrededor del ao 850,el filsofo rabe Tabit ibn Qurra descubri una frmula con la que podan se podan hallar nmeros amigos:

Deca el sabio rabe que si se cumplan las condiciones siguientes:

p = 3 2n-1 - 1, q = 3 2n - 1, r = 9 22n-1 - 1,donde n > 1 es entero y p, q, y r son nmeros primos, entonces 2npq y 2nr son un par de nmeros amigos.

Esta frmula genera los pares (220, 284), (1.184, 1.210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). Mientras que el par de nmeros amigos (6.232, 6.368) no se puede hallar por la frmula anterior. Hay que sealar que : no todos los nmeros amigos se obtienen con el procedimiento de Tabit, pero si son amigos todos los nmeros que se obtienen con dicho procedimiento.Por otra parte hay que saber que la pareja de nmeros amigos ( 220 y 284) ya era conocido por los griegos. El siguiente par de nmeros amigos fue descubierto en el siglo XIII y redescubierto por Fermat en 1636 (los nmeros 17.296 y 18.416). El filsofo francs R. Descartes descubri el siguiente par: 9.363.584 y 9.437.056. Hay que resear que estos grandes pensadores se saltaron el par de nmeros amigos 1.184-1.210 que fue descubierto por un nio italiano de 16 aos llamado Niccol Paganini.Para finalizar esbre breve resumen no hay que olvidar al gran L. Euler, puesto que l trabajo incansablemente tratando de encontrar frmulas para encontrar nmeros amigos. Los nmeros sociables son una generalizacin de los nmeros amigos. Tres o ms nmeros se dice que son sociables si la suma de los divisores del primero da el segundo, los del segundo, el tercero, y los del ltimo el primero.Respecto al problema que nos ocupa tenemos que calcular nicamente los divisores de cada nmero y ver qu ocurre.- El nmero 2.620 tiene exactamente 11 divisores( si excluimos el 2.620), los divisores son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 131, 262, 524, 655 y 1.310

La suma de dichos divisores es igual a 2.924

- El nmero 2.924 tiene tambin 11 divisores ( si excluimos el 2.924), los divisores son:1, 2, 4, 17, 34, 43, 68, 86, 172, 731 y 1.462

La suma de dichos divisores es igual a 2.620

Luego efectivamente 2.620 y 2.924 son nmeros amigos.La otra cuestin se hara igual, pero con un poco ms de paciencia.

NUMEROS SIMPATICOS

Un nmero de Friedman simptico es tal que los dgitos en la expresin pueden ser reordenados para que se encuentren en el mismo orden de aparicin que en el propio nmero. Por ejemplo, podemos reordenar 127 = 27 - 1 como 127 = -1 + 27. Todas las expresiones para esta clase de nmeros menores de 10000 involucran adiciones y substracciones. Los primeros nmeros de esta clase son:

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (secuencia A080035 en OEIS

Un nmero entero positivo es "simptico" si es mltiplo del producto de sus cifras. Por ejemplo 312 es "simptico" porque312 = 52(3x1x2). Cuntos nmeros simpticos de dos cifras existen?

Hoy vamos a hablarles de los nmeros de Friedman. Puede haber nmeros de Friedman en distintas bases, pero aqu nos referiremos nicamente a los de base 10Un nmero entero se dice que es de Friedman si podemos escribirlo utilizando sus mismos dgitos junto con cualquiera de las cuatro operaciones aritmticas (+, -, ?, ) y en ocasiones con potencia.Para entenderlo veamos unos ejemplos: los cuatro primeros nmeros de Friedman (ms pequeos) son:25 = 52121 = 112125 = 51+2126 = 6 * 21Y el siguiente es el que da ttulo a nuestro post:127= 27-1127 se dice tambin que es simptico (y es el menor de ellos) porque podemos reorganizar las cifras de forma que mantengan el orden en que aparecen en el nmero (1-2-7) ya que podemos escribir:127= -1+ 27Aqu tenis la lista de los primeros 45 nmeros de Friedman (en negrita los que son simpticos)25, 121, 125, 126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159.El que quiera entretenerse, al estilo del post del reloj de 3 nueves, puede jugar a encontrar las expresiones de Friedman para algunos de esos nmeros. Y para los que no tengan ganas de intentarlo, aqu tenis las soluciones.Ah, y como curiosidad, todos los nmeros romanos con ms de un smbolo son nmeros de Friedman de forma trivial. Prueben si no. Mira ste vdeo, qu moln:

NMEROS ENAMORADOS Una maana tan claracomo jams yo recuerdo,te jur pan y cebolla,ternura y amor eterno.

Dos presentes cautivaron,al nacer, nuestros sentidos.De su andar y su futurosomos aliento y camino.

Tres tesoros engalananmi corazn, donde anidan,y a la sombra de sus besosvoy celebrando la vida

Cuatro almas anudadasen abrazos sonrientescompartimos alegrasdesde octubre hasta septiembre.

Cinco continentes faltanen el mundo que yo anhelopara llenarlos de amigos,de paz, de risas, de sueos.

Seis meses respiro calmay otros tantos me la inventopara besar tus pestaascada da que despierto.

Los nmeros son regalosy su suma un homenajea los aos que cumplimosinspirando el mismo aire.

Los nmeros ensean que hacer para dejarlo ms enamorado

Los fracasos pasados pueden influir sobre nuestra voluntad de emprendimiento futuro al hacernos pensar que nuestras posibilidades son inferiores a la realidad. Esta pequea historia, que he escrito y ampliado ligeramente para ustedes, trata de dos valores importantes para emprender: constancia y voluntad. Respecto a las conclusiones que cada uno saque la suya. En el circo todo pareca divertido: los payasos caan al suelo mientras rean a carcajadas y una mujer haca malabares encima de un caballo. A travs los ojos de los nios todo resultaba fascinante pero al final del espectculo uno de estos jvenes observ con cierta tristeza a un elefante que se miraba su pata encadenada. No poda imaginar por qu aquel tremendo animal de fuerza descomunal poda estar preso por una simple cadena as que dirigindose a su padre expres su duda: Por qu no se libera el elefante? No se debe querer ir. Estar contento aqu porque le dan bien de comer .- Dijo el padre intentando alejar a su hijo de la barrera que les separaba del paquidermo. Pero no parece feliz. Estar cansado porque acaba de trabajar. Al fin, con un ligero empujn fraternal, reemprendieron su camino.Ambos se alejaron de all aunque el padre ech una mirada atrs e imagin la historia de aquel animal. Era algo triste que no quera decirle a su hijo pues podra estropearle una tarde magnfica. Aquel elefante lleg siendo una cra y fue encadenada a un poste por una cadena mucho menos resistente que la actual pero que era incapaz de romper. Los intentos por soltarse fueron constantes durante das y noches hasta que una maana simplemente dej de luchar. Con el paso del tiempo el elefante iba hacindose ms y ms poderoso y las cadenas relativamente ms fciles de romper. No obstante, en la mente del elefante exista una prisin mucho ms poderosa: el pensamiento de que nunca podra romperlas.Ahora que haba desechado la idea de huir se haba abandonado a su suerte. Ignoraba que si usara el empeo que utiliz siendo una cra podra arrancar el poste, romper la cadena y arrancar la carpa del circo. Haba olvidado incluso por qu huir pues ya no tena ningn sentido planterselo. Era prisionero por las limitaciones que se haba impuesto a s mismo por los fracasos del pasado. Desde que se rindi ya podan quitarle las cadenas sin problemas.Unas semanas ms tarde, en la playa, el padre pudo ver cmo su hijo se sentaba con los brazos cruzados en la hamaca con el baador y parte del pecho llenos de arena. Pareca molesto por algo as que le pregunt con cario: Est todo bien? No! Cuntame hijo qu pas? Hice un castillo de arena y un nio lo tir. explic airadamente mientras sealaba a un punto inexacto de la playa. Pero hijo, no pasa nada. Haremos otro. No quiero. Seguro que me lo vuelven a romper.Los brazos volvieron a cruzarse y baj la mirada. Ante esto, el padre record al elefante derrotado por s mismo y se levant sonriendo: Ven, hijo. Te voy a ensear una cosa.Lo acerc a la orilla y con un cubo comenz a construir un nuevo castillo que fue destruido por una ola al poco tiempo. El nio miraba serio con los brazos cruzados aunque escondiendo una pequea sonrisa. Sin decir una palabra su padre volvi a hacer otro castillo y en esta ocasin aadi una fosa alrededor a la que caa el agua de las olas. Pese al rpido esfuerzo el agua desbordaba y con algo de tiempo el castillo se desmoronaba.El hijo no tard en involucrarse en aquel juego y ya eran cuatro las manos que cavaban rpidamente la fosa antes de que llegara la siguiente ola. Rindose y jugando sin palabras se estaba transmitiendo una frase de la madre Teresa de Calcuta que el padre tena muy presente: Lo que tardaste aos en construir puede ser destruido en una hora. An as, construye Emprender es aguantar, seguir adelante levantndose tras algunas cadas y aprendiendo de ellas. Es liberarse de las limitaciones del miedo y luchar por no ser atado por las grandes cadenas de nuestras dudas. Mientras jugaban, el padre miraba a su hijo pensando que nunca dejara que se autoimpusiera limitaciones. Deba saber perder pero sin olvidar cmo se gana: luchando. Al final se haban olvidado de los castillos rotos y simplemente competan contra el mar. Y aquella leccin, que nunca se expres con palabras, fue probablemente la ms importante que aprendi de su padre.

El nmero pentagonal es aquel nmero figurado que puede ser tanto un nmero triangular, como un nmero cuadrado, pero cuyos patrones usados en su construccin no son simtricamente rotacionales.

Se sabe que el n-simo nmero pentagonal pn es el nmero de distintos puntos en un patrn de puntos, el cual consiste en el contorno de pentgonos regulares cuyos lados contienen de 1 a n puntos, superpuestos, de forma que tienen en comn el vrtice. Para demostrar esto un ejemplo: el tercero de ellos est formado de contornos compuestos por 1,5 y 10 puntos respectivamente, pero el 1, 3 puntos del de 5, coinciden con 3 del de 10, dejando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentgono, y 2 dentro de el y asi sucesivamente.

Tambin cabe mencionar que el n-simo nmero pentagonal es la tercera parte del (3n-1)-simo nmero triangular.

Se considera que los nmeros pentagonales son muy importantes en la teora de particiones de Euler, como est expresado en su teorema del nmero pentagonal.

Para poder hallar el ensimo nmero pentagonal, se puede seguir la siguiente frmula:

P 1= 1P2 = 1+4P3 = 1+4+7P4 = 1+4+7+10P5 = 1+4+7+10+13

Nmero 32

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- El nmero 32 treinta y dos es el nmero natural que viene luego del treinta y uno y antes del treinta y tres.

- El nmero 32 treinta y dos es un nmero compuesto, que tiene los siguientes factores propios: 1, 2, 4, 8 y 16.

- El nmero 32 treinta y dos ebido a la suma de sus factores es 31 < 32, se trata de un nmero defectivo.

- El nmero 32 treinta y dos es la quinta potencia de dos.

- El nmero 32 treinta y dos es un nmero de Leyland ya que 24 + 42 = 32.

- El nmero 32 treinta y dos es el nmero atmico del germanio (Ge).

- El nmero 32 treinta y dos es el cdigo telefnico internacional de Blgica.

- El nmero 32 treinta y dos es la temperatura en Fahrenheit a la cual el agua se hace hielo.

- El nmero 32 treinta y dos es el nmero total de piezas en el ajedrez.

- El nmero 32 treinta y dos es ek nmero de dientes que tiene un humano.

- El nmero 32 treinta y dos es el nmero del mrtir o el redentor, es un nmero de pruebas. - El nmero 32 treinta y dos tiene las caractersticas del 5 super agudizadas. Necesita estar rodeado de belleza y armona.

- El nmero 32 treinta y dos segun el significado de los sueos el 32 es dinero parece que en el tarot se suma el 32 seria 3+2 = 5

La causa quinta es la energa que se proyecta en todo el proceso de la creacin y da lugar a la inteligencia que gua el proceso creador con el fin de expresar la conciencia.

Es la capacidad de adaptacin que tiene la vida y la naturaleza en cualquier ambiente hostil capaz de transformarlo y hacer de l un lugar habitable mediante una gestin impecable de la energa.

Nmero 5

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El nmero 5 dentro del simbolismo cosmologico tiene un papel muy importante. Tambin es muy sabido que existen tradiciones con los elementos que conforman el mundo sensible en base al nmero 5.

Por ejemplo los hindus hablan de los cinco bhutas conocidos como elementos densos, estos son el etr, el aire, el fuego, el agua y la tierra, mientras que los chinos tienen los cinco wu hsing o elementos mundanos (relacionados al mundo) que son el agua, el fuego, el metal, la madera y la tierra, por otra parte dentro del cristianismo medieval se tienen a los cinco elementos que son quintaesencia, el aire, el fuego, el agua y la tierra.

Tambin dentro de la tradicin hind, el vocablo pacha (cinco) adems de estar presente en la cosmologa se encuentra en las ciencias, artes y tcnicas como la astrologa, esto es as:

- Pachadasha: el decimoquinto da de la quincena lunar; pachanga, calendario o almanaque.- Ayurveda o medicina: pachakarman, los cinco tipos de tratamiento; pachagni, los cinco fuegos del cuerpo humano, pachaprana, los cinco aires vitales.- Pachakola (diettica) con cinco especias: pachatikta, las cinco cosas amargas.- Psicologa: pachaklesha, los cinco tipos de dolor; pachaindriya, los cinco rganos de los sentidos.- Ritualstica: pachagavya, los cinco productos de la vaca usados en el ritual vdico. Pachatirthi: los cinco principales lugares de peregrinacin; pachama-kara, los cinco componentes del ritual tntrico.- Politica: pachavarga, los cinco tipos de espas.

Dentro de la cultura hind el nmero cinco tambin est presente en los nombres de algunas deidades, como Shiva, como Pachamuhka (figura de los cinco rostros) y Pachamantra-tanu (su cuerpo tiene de cinco mantras).

Es bien sabido que el nmero cinco tambin est presente en la naturaleza, es decir cada ser y sus partes, por ejemplo una persona tiene cinco miembros (1 cabeza, 2 brazos y 2 piernas), cada manos y cada pie tiene cinco dedos. Todas las plantas cuentan con cinco partes (raz, tronco, hoja, flor y fruto), dentro de lo que son minerales por ejemplo los cristales de pirita siguen un patrn pentagonal.

Pero el nmero cinco es ms resaltante en lo que se refiere a la cosmologa, explicando la importancia del pentgono y de la estrella de cinco puntas. Se considera que la estrella de cinco puntas es un simbolo de Shiva y sus cinco rostros que son el productor, el conservador, el destructor, el ocultador y el que otorga gracia.

Adems el nmero 5 era el smbolo con el cual se podia identificar a la escuela de los pitagricos, quienes daban carcter teraputico al conocido pentagrama que es considerado como el signo del hombre.

Cuando el nmero 5 es invertido dentro del mundo de la magia, se considera como el signo del Macho Cabro.

Nmero Ggol

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El nmero 10 tambin conocido bajo el nombre de nmero Ggol que en ingles es googol, es un nmero descubierto en el ao de 1938 por Milton Sirotta, quin increiblemente era un nio de tan solo 9 aos, quin dice que:

1 ggol es equivalente a 10^100, lo que equivale a:

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Esto quiere decir que usando la forma oral y literal de los nmeros se tiene que: un 1 continuado de seis ceros equivale a un milln, luego un 1 continuado por doce ceros equivale a un billn, entonces un 1 seguido de dieciocho ceros equivale a un trilln, mientras que un 1 continuado de veinticuatro ceros viene a ser un cuatrilln, un 1 seguido de treinta ceros es llamado un quintilln, y as sucesivamente en las potencias del milln, de tal forma que un Ggol es equivalente a diez mil hexadecillones. En resumen un ggol es igual a un 1 que est seguido por cien ceros, o que en notacin cientfica, un ggol es un 1 por diez a la cien.

Cabe resaltar que tan la forma oral, como la forma escrita de los nmeros en ingls usa otro sistema, por ejemplo en espaol es un billn, mientras que en ingls los billones son llamados como miles de millones y en espaol son conocidos como millones de millones.

Otra cosa que saber del nmero Ggol (10^100) es que fue utilizado por el buscador ms reconocido y utilizado del internet, es decir que este buscador toma el nombre de este super famoso nmero, pero comete un error ortogrfico, siendo as que el buscador queda con el nombre de "Google", entonces este nmero se entiende como si fuera la idea del infinito.

Dentro de las matemticas el ggol no tiene mucha importancia, as como tampoco tiene algn uso prctico, tan solo fue creado para demostrar la diferencia que existe entre un nmero inimaginablemente grande y el infinito, solo con este motivo es raramente usado en las matemticas.

Se considera que un ggol tiene un valor mucha mayor al nmero de tomos del universo, tambin se debe de saber que la figura geomtrica regular que posee un ggol de caras, recibe el nombre de gugoledro o tambin el nombre de googoledro, esta figura geomtrica tendra o podra ser representada como una esfera, debido al infinito nmero de caras que posee esta figura geomtrica.

Nmero 4

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- El nmero 4 es aquel nmero natural, que viene a continuacin del tres y antes del cinco.

- El nmero 4 es el primer nmero compuesto, entonces sus divisores son el 1, el 2 y el mismo.

- El nmero 4 debido a que la suma de sus divisores es 3 < 4, es considerado como un nmero defectivo.

- El nmero 4 es el segundo cuadrado perfecto.

- El polgono que tiene 4 lados se llama cuadriltero.

- El poliedro que tiene 4 caras es un tetraedro.

- En el caso que se multiplique un nmero por 4 se obtiene el cudruple del nmero inicial, y divide un nmero por 4 se obtiene un cuarto del nmero inicial.

- Son 4 los elementos: tierra, agua, aire y fuego.

- El nmero 4 en la simbologa cristiana se ve en:

* El Gnesis describe que en el Jardn del Edn nacen 4 ros en direccin a los 4 puntos cardinales. Esos 4 ros son: el Pisn, el Guijn, el Hiddekel, y el Prat.* Hay 4 Padres de la Iglesia principales.* Hay 4 Evangelios cannicos cristianos, atribuidos a los cuatro evangelistas (Mateo, Marcos, Lucas y Juan).* En el Apocalipsis de Juan Evangelista se dice que eran 4 seres vivientes llenos de ojos por delante y por detrs: 1 semejante a un len, 2 Semejante a un toro, 3 Semejante a un hombre, 4 Semejante a un guila.* Los Cuatro Jinetes del Apocalipsis: guerra, hambre, peste, muerte.

- El nmero 4 en la religin budista ve las cuatro nobles verdades.

- En la cultura china, se considera al 4 como un nmero de mala suerte debido a su similitud fontica con la palabra que significa muerte.

- En Japn, se considera mal presagio recibir un regalo compuesto de 4 partes o piezas.

- En idioma rabe 4 se dice arba, origen del espaol arroba (4 arrobas = 1 quintal) cuyo smbolo @, y a travs del ingls ha dado la vuelta al mundo; siendo junto con $ (pesos) y & (et, en latn y) los smbolos espaoles ms exportados a otras culturas.

- El 4 corresponden al signo astronmico de Jpiter.

Nmero 4444

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El nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro en lo que respecta a lo celestial, significa que los ngeles se encuentrn rodendo a la persona que tiene este nmero en su vida, adems que ayuda a reafirmar el amor y ayuda.

Este nmero (el cuatrocientos cuarenta y cuatro )adems manifiesta la ayuda de los ngeles cerca de la personay algunas veces se considera como una seal de los ngeles al estar en desacuerdo con los pensamientos y con los sentimientos, es decir que puede llegar a ser interpretada como una negacin de la parte csmica a las preguntas que una persona se hace o de las ideas que esta pueda tener.

En lo que respecta a lo que es numerologia angelical, el nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro significa la proteccin de los ngeles en todo momento.

El nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro dentro de lo que es la escuela del misterio descifra lo que esta ocurriendo en la vida, esto lo descifra como una leccin para poder aprender sobre la realidad.

Tambin el nmero cuatrocientos cuarenta y cuatro es considerado como el nmero de la resurreccin, en otras partes del mundo se considera que este puede ser un nmero angelical.

Nmeros Capicas

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El nmero capica, es un nmero palndromo, que debe su nombre a las palabras catalanas "cap" y "cua" que significan cabeza y cola.

Un nmero capica hace referencia a cualquier nmero simtrico que puede ser leido de la misma forma as sea de izquierda a derecha, como de derecha a izquierda, para entender mejor este nmero especial veamos los siguientes ejemplos:

- 353.- 1309031.- 1771.

Entonces se entiende que el trmino de un nmero capica debe su originen a la expresin que posee, adems este nmero simtrico puede ser escrito en cualquier base de tal forma que se cumpla que : a1a2a3...|... a3a2a1.

Existen algunas normas para poder determinar si un nmero es capica o no, estas son:

- Que todos los nmeros que tiene base 10 y que van acompaados de un dgito como el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, es considerado como un nmero palindrmicos.

- En total son nueve nmeros capicas que tienen dos dgitos, pero si se incluyen los ceros en la parte izquierda seran diez los nmeros de este tipo, siendo estos: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99.

- Se tiene 93 dgitos en total ( aunque si se incluyen los ceros a la izquierda seran 100 dgitos) dentro de los mil primeros nmeros, estos son : 101, 111, 121,..., 181, 191, 202, 212,..., 292, 303, 313,..., 898, 909, 919, 929,..., 979, 989, 999.

- Dentro de los diez mil primeros nmeros, son un total de 94 dgitos o 100, al incluir los ceros a la izquierda, estos nmeros son: 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999.

- Mientras que son un total de 905 dgitos y 1000, si se incluyen los ceros a la izquierda, dentro de los primeros cien mil primeros nmeros, siendo estos los siguientes nmeros capicas: 10001, 11011, 11111, 11211, 11311, 11411, 11511,..., 99999.

Existe una regla que dice que los nmeros capicas dice que al tomar un nmero al azar, que tenga ms de un dgito, luego es puesto al revs y pasa a ser sumado hay una posibilidad que de como resultado un nmero capica, por ejemplo:

21 + 12 = 33204 + 402 = 606

Existe otra forma de obtener un nmero capica, esto se logra partiendo de los nmeros triangulares como los siguientes: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc.

Aunque tambin otra manera de obtener un nmero capica es que a partir de un nmero dadose le adiciona el nmero que resulta de invertir el orden de sus cifras, este proceso se repite la cantidad de veces que sean necesarias hasta poder obtener un nmero capica, pars entender esto veamos el siguiente ejemplo:

Se tiene el nmero 96:

96 + 69 = 165 ---> 165 + 561 = 726 ---> 726 + 627 = 1353,

Por ltimo se tiene:

1353 + 3531 = 4884

Nmeros Triangulares

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El nmero triangular es aquel nmero que puede ser recompuesto en la forma de un tringulo equiltero, siendo el primer nmero triangular el 1, los nmeros triangulares fueron de estudiados por Pitgoras quien consideraba un nmero sagrado al 10 cuando este es escrito en forma triangular, este nmero es conocido como Tetraktys o triann.

Un nmero triangular representado por el smbolo Tn se encuentra definido en la siguiente frmula:

Segn la ecuacin de RamanujanNagell, se considera que el nmero triangular ms grande puede ser representado mediante la frmula 2k 1 es 4095.

Entonces cabe destacar que un nmero triangular es aquel nmero que puede ser representado a travs de un patrn triangular que posee puntos espaciados de forma equilibrada.

Adems los nmeros triangulares pueden ser obtenidos gracias a la expresin:

[(n+1)(n+2)] /2;

Donde "n" es un numero natural mayor o igual que 1.

Un nmero triangular es aquel nmero de puntos que son distribuidos en la forma de un tringulo perfectamente de lados iguales.

Algunos ejemplos de nmeros triangulares se ven a continuacin:

- El nmero tres, es considerado como un nmero triangular con 2 lados, debido a que puede ser descompyesto en: 3= 1 +2

- El nmero seis, tambin es un nmero triangular, pero este cuenta con 3 lados, debido a que se descompone en: 6= 1+2+3

Existe una propiedad de los nmeros triangulares, la cual dice que si se suman dos nmeros triangulares consecutivos, se llega a tener como resultado un nmero cuadrado, por ejemplo, si se sumas, 3+6, se tiene como resultado el nmero cuadrado 9.

Nmeros Cuadrados

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El nmero cuadrado, es un concepto dado en la rama de lo que son las matemticas, lo que corresponde al concepto de un nmero cuadrado, es la definicin de un nmero entero que viene a ser el cuadrado de algn otro nmero, para que se entienda un nmero cuadrado es aquel nmero cuya raz cuadrada es un nmero entero.

Se entiende que es posible que un nmero cuadrado es considerado como un cuadrado perfecto, siempre y cuando se puede ordenar dentro de una figura cuadrada y los resultados sean exactos.

Se considera que un nmero libre de cuadrados es aquel nmero entero positivo que no posee divisores cuadrados, exceptuando el 1.

Existe el teorema de los cuatro cuadrados, este es el teorema de Lagrange, el cual determina que cualquier nmero entero positivo es posible que pueda ser escrito igual la suma de cuatro perfectos cuadrados. Mientras que tres cuadrados no son suficientes para ser representados como nmeros de la forma 4k(8m + 7). As tambin este teorema dice que un nmero positivo puede llegar a ser representado como la suma de dos cuadrados solo si la factorizacin en nmeros primos no tiene potencias impares de la forma 4k + 3.

Algunas reglas que se tienen para determinar si un nmero es cuadrado son las siguientes:

- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 0, su cuadrado termina en 00 y los precedente dgitos deben ser tambin un cuadrado.

- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 1 o 9, el cuadrado termina en 1 y el nmero formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.

- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 2 u 8, su cuadrado termina en 4 y el precedente dgito debe ser un nmero par.

- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 3 o 7, su cuadrado termina en el dgito 9 y el nmero formado por su precedentes dgitos debe ser divisible entre cuatro.

- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 4 o 6, su cuadrado termina en 6 y el precedente dgito debe ser impar.

- Cuando el ltimo dgito de un nmero es 5, su cuadrado termina en 25 y los precedentes dgitos deben ser 0, 2, 06, o 56.

En resumen un nmero cuadrado es entendido como el producto de dos enteros idnticos, otro concepto es que los nmeros cuadrados pueden ser representados siempre por puntos en la forma de un cuadrado.

Por ltimo un nmero cuadrado es el resultado de la multiplicacin de un nmero por s mismo, como se ve en la siguiente formula:a a = a

Cabe mencionar finalmente que los nmeros cuadrados son aquellos nmeros que tienen races cuadradas exactas.

Nmero Primo

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La definicin para un nmero primo consiste en explicar en que este tipo de nmero es aquel nmero natural que es mayor a 1 y que puede ser dividido solamente por dos nicos mmeros que son l mismo nmero y el nmero 1.

Una de las excepciones es el nmero 1, ya que este singular nmero es dividido por todos los nmeros hasta el infinito.

La primalidad es la propiedad de ser un nmero primo. Tambin existe el nmero primo impar, el cual es aquel nmero primo mayor a 2.

Los nmeros primos han sido estudiados por muchos matemticos, quienes han encontrado muchas teoras de esta clase de nmeros, tambin han encontrado muchas hiptesis, como la de Riemann, la de Goldbach, entre otras.

Aproximadamente en el ao 300 a. C., se da la primera prueba del conocimiento de los nmeros primos, ya que el gran Euclides logra definir este tipo de nmeros y los sustenta en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX), escritos en los que demuestra que existen infinitos nmeros primos.

En resumen para entender mejor a los nmeros primos se sabe que estos son los nmeros que tienen solo dos divisores, esto quiere decir que pueden ser divisibles solamente por s mismos y por la unidad.

Los siguientes nmeros son los nmeros primos menores a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Un par de ejemplos para entender de mejor manera lo que es un nmero primo:

- El nmero 2 es divisible por s mismo y por 1 (unidad), por lo tanto es un nmero primo.- El nmero 3 es divisible por s mismo y por 1 (unidad), por lo tanto es un nmero primo.- El nmero 4 es divisible por s mismo, por 1 (unidad) y por 2, por lo tanto no es un nmero primo.

Nmeros Binarios

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Un nmero binario es aquel valor numrico que pertenece al sistema numrico, puede ser unicamente utilizado mediante dos dgitos distintos los cuales son el 0 y el 1.

Un nmero binario es considerado como la base en todos los campos aplicativos en lo que se refiere al estudio de las computadoras y en electrnica, debido a que los dispositivos electrnicos pueden representar de manera fcil dos estados distintos.

Los dgitos 0 y 1 que son los nmeros bases binarios pueden representar por condiciones encendido/apagado en un circuito de conmutacin electrnica, o por ausencia/presencia de magnetizacin de un chip de memoria, un disco, o una cinta.

A continuacin mediante la tabla siguiente se demuestran los valores de los nmeros binarios como el equivalente en los nmeros decimales:

El nmero de Euler tambin conocido bajo el apelativo de nmero neperiano, debe su nombre al matemtico Leonhard Euler, siuzo que decifr este tipo de nmero a partir de dos formulas, una matemtica y la otra fsica, formulaciones que se explican a continuacin:

Formulacin matemtica de los nmeros de Euler: segn esta frmula el nmero de Euler es el resultado de la secuencia de E(n), es decir que es la secuencia de nmeros enteros que se encuentran definidos por el desarrollo de la serie de Taylor de la secante y de la secante hiperblica, donde t viene a ser el ngulo del coseno hiperblico.

El nmero de Euler tambin se encuentra entre los polinomios de Euler, como valores impares, los cuales se obtienen con signos alternados. A continuacin unos cuantos ejemplos:

E0 = 1E2 = 1E4 = 5E6 = 61E8 = 1.385E10 = 50.521E12 = 2.702.765E14 = 199.360.981E16 = 19.391.512.145E18 = 2.404.879.675.441

Formulacin fsica de los nmeros de Euler: segn esta formulacin se tiene que este tipo de nmeros son adimensionales, que se usan en la mecnica de fluidos, que adems ayudar a explicar la relacin entre la prdida de presin en relacin con la energa cintica por el volumen del flujo. Esto se explica con la siguiente frmula:

Donde:p : viene a ser la densidad del fluido.p(0) : viene a ser la presin aguas arriba.p(1) : viene a ser la presin aguas abajo.v : viene a ser la velocidad caracterstica del flujo.

Nmero 7

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El nmero siete "7" es un nmero muy utilizado en la cultura, ya que se tiene que existen:

- Siete colores del arco iris:rojo, naranja, amarillo, verde, azul, ndigo o ail y violeta.- Siete pecados capitales:soberbia, avaricia, lujuria, ira, gula, envidia y pereza. - Siete das de la semana:lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sbado y domingo.- Siete sacramentos: bautizo, primera comunin,confirmacin, matrimonio, penitencia, orden sacerdotal, uncin de los enfermos.- Siete Chakras del cuerpo humano:Sajasrara chakra, Ag chakra, Vishuddha chakra, Anajata chakra, Manipura chakra, Suadhisthana chakra, Muladhara chakra.- Siete maravillas del mundo.- Siete notas musicales: do, re, mi, fa, sol, la, si.- Siete planetas: marte, mercurio, venus, jpiter, urano, neptuno y plutn.- Siete virtudes cardinales: Contra la soberbia, humildad; contra la avaricia, largueza; contra la lujuria, castidad; contra la ira, paciencia; contra la gula, templanza; contra la envidia, caridad y contra la pereza, diligencia. - Siete dones del Espritu Santo: Sabidura, inteligencia, consejo, fortaleza, ciencia, piedad y Temor de Dios. - Siete peticiones del Padre Nuestro.

Este nmero debe su origen a la popularidad que fue creada por los antiguos astrnomos cuando vieron que las estrellas no podian cambiar de posicin durante el ao pero observaron siete cuerpos celestes que s lo hacan.

El nmero 7 tambin es considerado como nmero especial debidp a que es el resultado de la suma de 3 (lo celeste) y 4 (lo terrenal), por esto es considerado como un nmero perfecto, por que simboliza la relacin de lo divino y lo humano, siendo el resultado la creacin.

En la biblia tambin es un nmero muy comn en muchos libros, por ejemplo en el Apocalipsis "se abren siete sellos antes de que se desate la ira de Dios, que somete al mundo a siete juicios, 4 para la naturaleza y 3 para el resto de las cosas y es escoltado por 7 ngeles que hacen sonar 7 trompetas para enviar 7 castigos sobre los injustos".

Se sabe que William Shakespeare dividi la vida del hombre en 7 edades que seran: la infancia, la niez, el amante, el soldado, el adulto, la edad avanzada y la senectud.

Tambin se sabe que el nmero siete es un nmero natural, continua al 6 y precede al 8, se considera que el nmero 7 representa lo bueno y el 8 lo malo. Tambin el nmero siete es el cuarto nmero primo.

Nmero 10

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- El nmero 10 (diez) es el nmero natural que continua al nueve y antecede al once.

- El nmero 10 en la numeracin romana se representa con una X.

- El nmero 10 es un nmero compuesto, porque tiene los siguientes factores propios: 1, 2 y 5.

- El nmero 10 debido a la suma de sus factores 8 < 10, se trata de un nmero defectivo.

- El 10 es la base del sistema decimal.

- El 10 es el cuarto nmero triangular, despus del 6 y antes del 15.

- Un polgono de 10 lados recibe el nombre de decgono.

- El nmero 10 ha sido un nmero base de varias culturas y civilizaciones

- El nmero 10 es el nmero de dedos que suman ambas manos.

- El nmero 10 es el primer nmero compuesto (1 y 0).

- El nmero 10 es el primer nmero de 2 cifras.

- El nmero 10 es el fundamento del sistema decimal.

- El nmero 10 es la base de la numeracin mgica.

- El nmero 10 es para los pitagricos, la suma de los conocimientos humanos al ser la nueva unidad.

- El nmero 10 repetido 10 veces es 100.

- El nmero 100 repetido 10 veces da 1000.

- El nmero 10 contiene a todos los nmeros del mismo modo que las categoras contienen todo lo conocido.

- El nmero 10 simboliza para los cristianos primitivos la ley de Dios por los mandamientos. - El nmero 10 es llamado nmero universal.

- El nmero 10 por contener a todos los restantes, se consideraba como una representacin de la eternidad.

- El nmero 10 al estar compuesto por el 1 que significa Dios y el 0, la nada, encierra en s la totalidad.

- El nmero 10 para Pitgoras, era la totalidad del cosmos.

- El nmero 10 en hebreo, corresponde con el nombre Iod, que en griego es Iota y corresponde a nuestros sonidos Y, I, J.

- El nmero 10 para los griegos era la panteleia, es decir lo completo, lo realizado.

- El nmero 10 para los mahometanos quiere decir que slo 10 animales admitidos en el paraso.

Nmero 100

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- El nmero 100 (cien) , tambin conocido o llamado como ciento, es un nmero natural, el cual viene luego d- El nmero 99 (noventa y nueve) y antes d- El nmero 101 (ciento uno).

- El nmero 100 tambin es representado por 10 en notacin cientfica.

- El nmero 100 dentro del Sistema Internacional, recibe los prefijos tpicos de hecto y cent o centi.

- El nmero 100 es un nmero compuesto.

- El nmero 100 tiene los siguientes factores propios: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25 y 50.

- El nmero 100 es un nmero abundante debido a la suma de sus factores es 117 > 100.

- El nmero 100 es la fundacin del sistema de porcentajes.

- El nmero 100 es la suma de los primeros nueve nmeros primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23).

- El nmero 100 es un nmero octadecagonal.

- El nmero 100 es un nmero de Leyland ya que 26 + 62 = 100.

- El nmero 100 es el cuadrado de 10.

- El nmero 100 es el nmero atmico del fermio, un actnido.

- El nmero 100 es la temperatura en grados centgrados a la cual el agua hierve a nivel del mar.

- El nmero 100 es el nmero de aos en un siglo.

- El nmero 100 es el nmero de divisiones de la mayora de las divisas del mundo.

- El nmero 100 est presente en el refrn "Quien hace un cesto hace ciento" y en Ms vale pjaro en mano, que ciento volando.

- El nmero 100 es el nmero de mujeres muertas en Nicaragua entre enero y marzo del 2008 por la abolicin del aborto teraputico.

Nmero 12

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- El nmero 12simblicamente representa a la totalidad y eleccin. - El nmero 12 es nombrado en la Biblia muchas veces por ejemplo:Las 12 tribus de Israel.Los 12 profetas menores del Antiguo Testamento.Los 12 apstoles de Jess.Las 12 legiones de ngeles a la disposicin de Jess.En el Apocalipsis se habla de 12 estrellas que coronan a la Mujer, 12 puertas de Jerusaln, Los 12 frutos del rbol de la vida. Las 12 estrellas que son, 12 horas diurnas y 12 nocturnas.Las 12 puertas de la Jerusaln Celeste.Los 12 Hermanos Arvales (Antigua cofrada sacerdotal romana).

- El nmero es considerado como el nmero solar por excelencia y una constante en la cultura mediterrnea.

- El nmero es smbolo del orden csmico, de la perfeccin y de la unidad.

- El nmero se ve en la Bandera de la Unin Europea, que cuenta con doce estrellas doradas.

- Los doce dioses griegos principales: Zeus, Hera, Apolo, Afrodita, Atenea, Poseidn, Hefesto, Hermes, Ares, Artemisa, Demter y Hestia.

- El nmero 12 es el nmero natural que viene despus del once y antes del trece.

- El nmero 12 es un nmero compuesto, tiene los siguientes factores propios: 1, 2, 3, 4 y 6. - El nmero 12 debido a la suma de sus factores es 16 > 12, viene a ser un nmero abundante.

- El nmero es un nmero semiperfecto, por que la suma de sus factores propios: 1, 2, 3 y 6 es igual a 12.

- El nmero es un nmero do-perfecto, debido a que la suma de todos sus factores propios pares: 2, 4 y 6 es igual a 12.

- El poliedro que tiene 12 caras es llamado dodecaedro, sus caras son de forma de pentgonos regulares.

- El nmero es el nmero atmico del magnesio (Mg).

- El nmero 12 es uno de los principales nmeros utilizados en la historia de la humanidad. - En un ao la Luna gira unas doce veces alrededor de la Tierra.

- Los antiguos astrnomos establecieran ms adelante los doce signos del zodaco.

Nmero de Finonacci

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El nmero de Fibonacci es aquella sucesin de cifras que sigue la siguiente frmula:

Fn = Fn-1 + Fn-2.

La sucesin de los nmeros de Fibonacci fue descrita por el matemtico italiano Leonardo de Pisa, quin era conocido como Fibonacci (en honor a este personaje es que estos nmeros reciben el nombre).

Los nmeros de Fibonacci tiene muchas aplicaciones en las matemticas, la teora de juegos, tambin aparece en configuraciones biolgicas.

Segn esta frmula, la sucesin vendria a ser 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etctera. de tal manera que cada elemento restante es la suma de los dos anteriores o para entenderlo mejor sera decir que la sucesin inicia con 1 y 1 , y a partir de ah cada elemento es la suma de los dos anteriores.

Queda claro que los nmeros de Fibonachi, describen el crecimiento de algo, pueden ser usados en los juegos de azar, en clasificacin de datos o en mecanismos para recuperar informacin en las computadoras, en los fractales. Tambin en algunas aplicaciones de los nmero de cadenas de bits de longitud que no tienen ceros consecutivos.

Adems los nmeros de Fibonacci tienen una gran cantidad de propiedades y relaciones, algunas de ellas son muy evidentes, otras pasan desapercibidas y otras son curiosas.

Pero se sabe que esta serie de nmeros fueron conocidos anteriormente segn una frmula realizada por Binet en la cual indica como calcular el -simo nmero de Fibonacci, una de esas formas es siguiendo la siguiente frmula:

Para poder comprobar si un nmero entero positivo es o no un nmero de Fibonacci, se debe seguir los pasos que propone la propiedad siguiente:

" Si N es un nmero entero positivo, N es un nmero de Fibonacci si y slo si 5.N(2)+4 5.N(2)-4 es un cuadrado perfecto".

Nmeros figuradosKarl Friedrich Gauss, llamado el Prncipe de las Matemticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intencin de entretener a los nios mientras trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los nmeros del 1 al 100. El profesor qued sorprendido cuando Gauss, que tena 11 aos, dio la respuesta correcta poco despus de ser formulada la pregunta. Seguramente, Gauss procedi de la siguiente manera: S=101x50=5050 Seguramente conocers los nmeros triangulares y cuadrados que fueron estudiados por los Pitagricos en el s. VI a.C.Nmeros Triangulares:

Para los pitagricos el diez dispuesto en forma triangular (triann) era una figura sagrada por la que tenan la costumbre de jurar.Tabla de los nmeros triangulares:N1234...........n..

T13610Tn?..

Si observamos la naturaleza de los nmeros triangulares es fcil reconocer las dos propiedades siguientes:Tn = Tn-1 + nTn = 1 + 2 + 3 + .... + n Basndote en la ltima propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la expresin del ensimo nmero triangular. Halla tambin la expresin de los dos que le siguen.Nmeros cuadrados:

Tabla de los nmeros cuadrados:N1234...........n..

C14916...........n2..

Halla la expresin de los dos nmeros cuadrados que siguen al ensimo. Haz lo mismo con los dos anteriores.El esquema geomtrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relacin entre los nmeros triangulares y los cuadrados:

Comprueba la igualdad de forma algebraica Existen ms tipos de nmeros figurados:

Oblongos (Nmeros rectangulares en los que la dimensin de un lado es una unidad mayor que el otro)

Pentagonales

Hexagonales

Estrellados

Cbicos

Tetradricos

Tcnicas para buscar el patrnMtodos geomtricos

El esquema anterior sugiere que un nmero pentagonal se expresa como la suma de tres nmeros triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado Pn = 3 Pn-1 + n , de donde

Deduce del siguiente esquema el patrn de la secuencia de nmeros estrellados.

Realiza la misma actividad con los nmeros hexagonales:

Ten presente que uno de los vrtices se cuenta dos veces.Progresiones aritmticas Una progresin aritmtica (PA) es una secuencia de nmeros reales de manera que cada trmino de la sucesin se obtiene sumndole al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia . Veamos algunos ejemplos:-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5. 70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = -30. 3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2. De esta manera se tiene que :

En general tenemos queEn muchas ocasiones conviene saber cunto vale la suma de los n primeros trminos de una PA:

Esto nos permite averiguar cmodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n. Observamos que el ensimo nmero triangular se construye sumando los n primeros trminos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer trmino 1, ensimo trmino n y diferencia 1. Si aplicamos la frmula anterior se tiene que Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresin del ensimo nmero pentagonal:P 1= 1P2 = 1+4P3 = 1+4+7P4 = 1+4+7+10P5 = 1+4+7+10+13Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer trmino 1 y diferencia 3, tenemos que Pn se corresponde con la suma de los n primeros trminos de la sucesin. En virtud de las frmulas que hemos visto:

Halla, mediante una tcnica similar, el trmino general de los nmeros hexagonales y estrellados.Diferencias finitas Comencemos estudiando las diferencias entre los trminos consecutivos de una PA cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

Veamos la tabla de diferencias de la sucesin de nmeros hexagonales:

Y la de los nmeros cbicos:

En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los nmeros hexagonales lo son las diferencias segundas y, en el caso de los nmeros cbicos, hay que llegar hasta la tercera diferencia. Lo anterior, como se ver, no se debe a la casualidad.En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las primeras diferencias fijas podemos concluir que la secuencia es una progresin aritmtica de diferencia d y primer trmino a1 :

Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de trmino general 2 n + 5, 3 n - 1 y -6 n + 9. Cmo son las secuencias de trmino general an = a n + b?Veamos que cuando el trmino general de una secuencia viene dada por un polinomio de segundo grado en n, an = a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son constantes:

Recprocamente, si las segundas diferencias son constantes el trmino general ser del tipoan = a n2 + b n + c. Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma: la diferencia segunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay que restarle 3a al primer valor de D1. Por ltimo, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer trmino de la secuencia. Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las secuencias de trmino generaln2 + 3n + 2 y -n2 + 7 Investiga utilizando diferencias el patrn de la secuencia de los nmeros tetradricos. Estudia las diferencias de una sucesin de trmino general an = a n 3 + b n 2 + c n + d Halla el trmino general de las secuencias:2, 9, 20, 35, 54, 77,....4, 5, 8, 13, 20, 29,.... Llamamos nmeros poligonales a los que se generan mediante un polgono: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si en la frmula ,cambiamos b por 1 obtenemos la expresin general de los nmeros triangulares; si la cambiamos por 2 obtenemos la de los nmeros cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtiene la de los pentagonales, ... Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:Cn=Tn + Tn-1Pn=Cn + Tn-1Hn=Pn + Tn-1etc.No siempre nos valen las diferencias: Cuando el trmino general de una secuencia no sea un polinomio en n no podremos utilizar la tcnica de las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos para estudiar dos tipos de secuencias que tambin son muy frecuentes en la literatura matemtica: las progresiones geomtricas y las sucesiones recurrentes.Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito el proceso de construccin de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1). Cunto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la lnea negra?Y si considersemos a la infinidad de ellos?Resuelve la cuestin cuando leas el siguiente apartado:

Progresiones geomtricas Una progresin geomtrica (PG) es una secuencia de nmeros reales de manera que cada trmino de la sucesin se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razn.De esta manera se tiene que :

En muchas ocasiones conviene saber cunto vale la suma de los n primeros trminos de una PG:

Halla el permetro del copo de nieve de n capas:

En la frmula de la suma de los n primeros trminos de una PG , si -1 < r < 1, se tiene que , es decir, rn se acercar a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.En consecuencia la frmula de la suma de los infinitos trminos de una PG sera . Calcula la longitud de la lnea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. Cmo ser el permetro del copo en ese mismo caso?Sucesiones recurrentesDe manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas en las que un trmino se expresa en funcin de trminos anteriores. Veamos un par de casos que aclaren la idea:Averiguar el nmero de caminos distintos que se pueden tomar desde los vrtices numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder):

En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada trmino es la suma de los dos anteriores)Segn esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesin, con lo que no se hacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su trmino general. Las Torres de Hanoi:Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma que queden en la misma posicin. Los discos slo pueden situarse descansando en alguno de los tres postes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobre otro menor.

Hallar la secuenciaN. De discos12.................................n

N. mnimo de movimientos13.................................

Metodologa.Comenzar por pocos discos.Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo A n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 A n-1 .Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n - 1.Del hecho de que A n = 1 + 2 A n-1 se deduce que las diferencia primera ser:D = A n+1 - A n = 1 + 2 A n - A n = 1 + A n que no se hace constante. Puedes estudiar lo que ocurre con las dems diferencias y comprobars que ocurre lo mismo.Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresin para su trmino general: An = 2n - 1.APNDICES Trayecto desde las sucesiones recurrentes a las progresiones geomtricas mediante una actividad recreativa debida a Lewis Carroll: El cuadrado evanescente Se ha dicho que la Geometra es el arte de razonar bien sobre figuras falsas. (CHASLES, en otro sentido, claro)En esta paradoja aparente intervienen los nmeros 5, 8 y 13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos que tambin funciona con los nmeros 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los trminos de la sucesin de Fibonacci, vista anteriormente, en los que cada uno es la suma de los dos anteriores.Precisamente, si construimos la paradoja con los nmeros 2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal del rectngulo no es una lnea, sino un delgado cuadriltero cuya rea vale una unidad).Sean a, b, c tres trminos consecutivos de la sucesin de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a c +1, o b2 = a c -1Consideremos una sucesin de trminos no necesariamente enteros, en la que cada trmino se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: se podrn dar las condiciones a + b = c y b2 = a c?. Es decir, se podr cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rectngulo tenga el rea igual al cuadrado?.Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuacin b2 - ab - a2 = 0.Cuya solucin positiva es Aparece el nmero ureo!La nica sucesin de Fibonacci en la que cada trmino es el producto de sus trminos adyacentes es la sucesin 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,..... o, equivalentemente, la PG de razn 1,N,N 2,N 3,N 4,...Trmino general de algunas sucesiones recurrentes: Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el trmino general de una sucesin recurrente.Ecuacin caracterstica de una sucesin recurrenteSi una relacin de recurrencia es del tipo: siendo los ci nmeros reales, Se denomina ecuacin caracterstica de la relacin a la expresin:

Est claro que la sucesin verifica la relacin de recurrencia sii b es raz de la ecuacin caracterstica. En general, si la ecuacin tiene races no nulas y distintas, entonces cualquier sucesin del tipo: , donde las ci son arbitrarias, verifica la relacin de recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se puede obtener una solucin particular, pues estas condiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incgnitas ci:

Y al ser las races distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es el producto de por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una solucin particular para An Veamos, como ejemplo, cmo obtener el trmino general de la sucesin anterior:Una sucesin de Fibonacci viene definida en los trminos , la ecuacin caracterstica asociada es.Si concretamos en nuestro ejemplo del nmero de caminos, las condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos as el sistema cuyas soluciones son: . As pues, el trmino general de la sucesin viene dado por la regla:, que se llama frmula de Binet (1786-1856) porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli. Dado que , tenemos que Por lo tanto para n suficientemente grande. Encuentra el trmino general de la secuencia 1,2, 5, 14, 41, ... en la que cada trmino se obtiene multiplicando por cuatro el trmino anterior y restndole el triple del que est detrs de ste.Algunas actividades recreativas relacionadas con el tema: D. Juan el albail es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseo favorito consiste en utilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes.He aqu algunos patios construidos por l:

Si atendemos al nmero L de baldosas que tiene el patio en cada lado, podemos hacer la siguiente tabla, en la que B indica el nmero de baldosas blancas empleadas. L3456.................n

B8121620.................?

Un seor le pregunta a Juan la frmula para un patio con n baldosas de lado. Sabras ayudarle a averiguar las baldosas blancas y rojas que se necesitaran?El Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en los bordes. Su especialidad son los patios rectangulares en los que un lado es la mitad del otro pero tiene el problema de que se la contando. Sabras ayudarle a calcular las baldosas blancas y rojas, en funcin del nmero de baldosas del ancho del patio? El siguiente problema aparece en el papiro de Rind (2000 a J): Entre cinco personas se reparten cien medidas de trigo; la segunda recibe ms que la primera tanto como la tercera ms que la segunda, la cuarta ms que la tercera y la quinta ms que la cuarta. Adems, las dos primeras recibieron siete veces menos que las tres restantes. Cunto correspondi a cada una? Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitro semanal para cada una. Esto se haca en el caso de que el nmero de gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminua en una el nmero de aves, la comida preparada dur el doble de lo proyectado. Qu cantidad de comida prepararon como reserva y para cunto tiempo fue calculada? Los soldados de una guarnicin costera van a construir un fuerte en una isla. Si hubiese trabajado toda la guarnicin hubiesen tardado 24 das. La isla se comunica con la costa mediante un barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta.El trabajo fue comenzado por el primer grupo de soldados que lleg a la isla, al da siguiente se le uni el segundo grupo, al tercer da el tercero, etc. Sabiendo que todos los grupos eran iguales y que el primero trabaj once veces ms que el ltimo, cuntos das trabaj cada grupo? Veamos otro clsico problema: Un hortelano vendi al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardn ms media manzana; al segundo la mitad de las restantes ms media, al tercero la mitad de las que quedaban ms otra media manzana, etc. El sptimo comprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes ms media manzana, agot la mercanca. Cuntas manzanas tena el jardn? Determina la expresin de An :

Demuestra que si multiplicas por ocho un nmero triangular, y sumas uno, obtienes un nmero cuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema geomtrico. (NOTA: la demostracin algebraica requiere expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado perfecto) Realiza las sumas:1+3+5+.....+(2n+1)3+4+5+.....+(n+2)5+8+11+....+(3n+2) Un bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los 140 toneles que dispone. Con cuntos toneles se formar la base? Y si fuesen 345 toneles, podra realizar su deseo? Una escuadrilla area tiene unos cincuenta aviones aproximadamente y su formacin en vuelo es un tringulo equiltero.Algunos aviones caen despus de un combate, de manera que cuando los aviones restantes regresan lo hacen formando cuatro tringulos equilteros de igual lado.Dinos cuntos aviones tena la escuadrilla, sabiendo que con los aviones derribados se poda haber formado otra formacin igual en tringulo equiltero. Cuntos trozos, no necesariamente iguales, se pueden obtener como mximo al realizar n cortes sobre una tarta?

Intenta obtener el mximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has conseguido, sabiendo que las diferencias segundas de dicha secuencia se hacen constantes. Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas. Expresa el nmero de cubos necesario para realizar una de n capas.

Halla An (nmero mximo de regiones obtenidas por interseccin de n crculos) A veces las apariencias engaan. Si observamos el nmero mximo de regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una circunferencia, la observacin de los 5 primeros trminos parece indicar que la secuencia sigue la frmula An = 2n-1. Claramente se ve que el trmino sexto no cumple ya esa regla. Determina la expresin general de la sucesin, sabiendo que sus primeros trminos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que sus cuartas diferencias son constantes. Curiosidades con nmeros cuadrados:16 = 421156 = 342111556 = 33421115556 = 3334211115556 = 3333421111155556 = 333334212 = 1 112 = 1211112 = 1232111112 = 1234321111112 = 12345432192 = 81 992 = 98019992 = 99800199992 = 99980001999992 = 9999800001

El quinto nmero pentagonal es 35, cmo se calcula?

" un nmero pentagonal se expresa como la suma de tres nmeros triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado Pn = 3 Pn-1 + n , Luego de simplificar queda : NPent(n) = ( 3* n^2 - n) / 2