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8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
1/39
Repaso
PRACTICA DE NÚMEROS NATURALES
Efectuar:
1. 20 – 18 –12 –6 – 2 + 7 =
2. 3 + 9 – 10 + 8 + 1 –5 =
3. 15 – 8 +4 – 3 + 6 – 2 + 12 =
4. (16 + 4) – (8 – 3) + 11 – 7 =
5. (13 – 9) + (19 – 10) – 4 + 16 =
6. (8 – 2 + 5) –10 + 4 –9)+ 2x7 =
7. 80 – [ (9-7) - (11+3) + 3x5 ] =
8. 7x9 – 75:15 + 8
×2 =
9. 16:8
×10 – (3
×
2-4) -5
×2 =
10. 32 + 17 – (7 + 2
×3) –3 =
11. 7
×5 + 5
×7 – 10:2 + 52 =
12.
9 4 16 81
=
13.
49 121 64 25
=
14.
3 3100 8 64 49
=
15.
3 41 27 16 225
=
16. 256 (23 - 32 + 6º ) =
17. 5
×(32 - 5) – 7(22 – 2) =
18. (32 – 23)(42 – 24)(25 – 52) =
19. 3(7-1)2 + 2(5 – 2)3 – 161 =
20.
2581 49 2 + ÷ ÷
=
MÁS PRACTICA
Efectuar:
21. 20 – 18 –12 –6 – 2 + 7 =
22. 3 + 9 – 10 + 8 + 1 –5 =
23. 15 – 8 +4 – 3 + 6 – 2 + 12 =
24. (16 + 4) – (8 – 3) + 11 – 7 =
25. (13 – 9) + (19 – 10) – 4 + 16 =
26. (8 – 2 + 5) –10 + 4 –9)+ 2x7 =
27. 80 – [ (9-7) - (11+3) + 3x5 ] =
28. 7x9 – 75:15 + 8
×2 =
29. 16:8
×10 – (3
×2-4) -5
×2 =
30. 32 + 17 – (7 + 2
×3) –3 =
31. 7
×5 + 5
×7 – 10:2 + 52 =
32.
9 4 16 81
=
33.
49 121 64 25
=
34.
3 3100 8 64 49
=
35.
3 41 27 16 225
=
36. 256 (23 - 32 + 6º ) =
37. 5
×(32 - 5) – 7(22 – 2) =
38. (32 – 23)(42 – 24)(25 – 52) =
39. 3(7-1)2 + 2(5 – 2)3 – 161 =
40.
2581 49 2 + ÷ ÷
=PRACTICA DE NÚMEROS ENTEROS
Efectuar:
10+-5+-8+3+-4+7 =
–7+9+-2+-6+12+4 =
4 -7+(-5+8) – 10 =
6 –3(1-7)+2(5-8) =
10+(8-(6-4)+12) =
30:6 – 12:4 + 16:2 + 3 =
(4
×-5)+ (-3x-7)+(-2x10) =
(-3)2+(-2)2+(-6)2+(-1)2 =
(-3)4+(-5)2-72+(-1)6 =
(-5)(+4)+12:6x7-(-14:2) =
(-1)3+(-2)3-(-3)3+07 =
34 416 81 27 64+ − − =
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2/39
13.
5 3 3 31 1 8 125− + − − − −
14.
3 416 27 81 1− + − =
15.
3 33 564 32 1 1− + − −
16. 66x22 + 43 + 5x3 + 6 – 2 =
17. 14 + [ 20 ÷ (2+3) ] – 7 ! =
18.
0210 ( 2 3) (7 9) 3 − + − − − − −
=
19.
( ) ( )2 2536 0 6 15 3+ − − + −
=
MÁS PRACTICA
1. 12+-7+-4+6+-1+11 =2. –10+13+-4+-8+15+-7 =
3. 6-10+(-12+7)+13 =
4. 7-4(2-9) + 8(5-10) =
5. –16+(12-(5-6)+1) =
6. 24:12-18:6-64:16+48 =
7. (-8x-3) + (-5x-2) – (-3x9) =
8. (-4)2+(-2)2-(-5)2 + (-1)3 =
9. (-1)8 + (-3)2 – (-1)3 +05 =
10. (-5)3-(-25x5) + (-7)2-2 =
11. (-8)(-5)+(-9)(2)-(-18:9) =
12.
=++−+−− 39753
21111
13. -
=−+−−− 3433
1168125
14.
=+−+− 81181100 54
15.
=−−−+ 433 166411
16.
[ ] [ ] =+−−+−−−+− 2)8(5)32(10
17.
=−−+−−+ )27()3156()036( 3225
18.
{ } [ ] =+÷−+−−−−÷−− 12)4208(4)5(5)6)(5(
=−+×+ 5:)447)365(( 2
(
=+−+− 1810:)16061 22222
1. NÚMERO RACIONAL"# #$%er& e' raca cua#*& ue*e 'er rere'e#ta*& c&%& u#a *,'# #*ca*a *e *&'e#ter&' & cua %ate%tca%e#te 'e *ef#e:
a =
≠∈∧∈ 0#/#%#
#
%
E%:
etc/9
5/
12
18/4/
4
3/
7
9 −−
2. FRACCIÖN:"#a fracc# e' u# #$%er& raca *e a f&r%a
a
**e a e' u# #$%er& e#ter& *'t#t& *ecer& a%a*& #u%era*&r e' u# e#ter&&'t,& a%a*& *e#&%#a*&r c a c*c#a*ca *e ue a e' *fere#te *e t&*&%$t& *e .
racc#:
a
#*e:
a ∈ ∈+ a ≠ ≠ 0
2.1. ;??;;?@A E B;;?CAE>
>ea a fracc#
D
=
.
a.- POR LA COMPARACIÓN DE SU VALORRESPECTO A LA UNIDAD.
PROPIA IMPROPIA
D
1 ∴ DD
F1 ∴ F D
18
16/
9
5/
7
4
10
16/
9
12/
8
20
GHr%#&' *e a fracc#.
Au%era*&r e#&%#a*&r
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
3/39
Exacto o Limitado
Inexacto o IlimitadoPeriódico Puro
Periódico Mixto
Número Decimal
.- POR SU DENOMINADOR:>e#*& I u# e#ter& &'t,&.
DECIMAL ORDINARIA
D = 10J D ≠ 10J
32 10
32/
10
25/
10
3
15
25
/12
18
/7
3
!.- POR LA CANTIDAD DE DIVISORESCOMUNES DE SUS T"RMINOS:
IRREDUCTI#LE REDUCTI#LE
D ' KE>?L; (/ D) = 1
D #& ' KE>?L; ( D) ≠1
16
23/
23
15/
13
10
12
20/
36
20/
12
18
$.- POR %RUPO DE FRACCIONES:
&OMO%"NEAS &ETERO%"NEAS
G&*&' te#e# Mua*e#&%#a*&r.
%e#&' u#*e#&%#a*&r e'
*'t#t& a &' *e%'.
12
20/
12
11/
12
5/
12
3
3
7/
8
6/
8
2/
8
10
NOTA:1.-
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4/39
!'.- NÚMERO DECIMAL INE(ACTOPERIÓDICO MI(TO:
;ua#*& a arte *ec%a c'ta *e u# erN&*&r&ce**& &r u#a cfra & Mru& *e cfra'a%a*& arte #& er*ca ue #& f&r%a arte*e erN&*&.
• 57222... =275
• 0332999... =
93320
E# Me#era ara t&*& #$%er& a,a er*c&%xt&:
PRO#LEMAS RESUELTOS
1.- > a &' tHr%#&' *e u#a fracc# rre*ucte'e e 'u%a e tre *e *e#&%#a*&r are'uta*& 'e e re'ta a fracc# re'uta a %'%afracc# Q;u#t& 'u%a# &' tHr%#&' *e afracc# &rM#aR
Solución:
>ea f =
a
(a ' KE>?)
u%a *e tHr%#&' 3 + 7 = 10
2.- Saa ax ' a fracc#
a
a
e' eu,ae#te a
152
57
.
Solución:>e cu%e:
819
319
152
57
a
a
××
==
8
3
a
a=
e'c&%e#*& efectua#*&:
77a = 22'& a = 2 = 7r&*uct& a x = 2 x 7 = 14
3.- Q;u#ta' fracce' c&%re#**a' e#tre
29
23
43
19
' tae' ue 'u' tHr%#&' '#$%er&' c'ecut,&'.R
Solución:
>e cu%e:
)??(
29
23
1#
#
43
19<
+<
(?)
e (?): 08 # # = 1 2 3e (??): # 38
ea# a r%&'.
)D(
cfra'O#Ocfra'O%O
)D()D(
cfra'O%O
)D(
cfra'O#O 0...000)1D)...(1D)(1D(
...acP... J...acP...J ...ca
−−−
−=
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
5/39
35
74
a
a
a
a 22=
+=+
*a#*& f&r%a:
75
75
a
a 2222
×
+=
+
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6/39
a)
3
16
)
9
16
c)
27
8
*)
16
9
e)
16
3
10).-Efect$a :
( )[ ] -232-
a)
64
)
54
1
c)
64
1
*)
32
1
e)
16
1
11) .-Efect$a :
1-
01-
2
10x
3
1
9
1 +
a) 31 ) 3 c) 4*) 11 e) 5
12).- ;acua e ,a&r *e ; ' :
; =4
1
3
1
2
14
4
1
3
1
2
14
−−−
+++
a) 1748 ) 6135c) 1523 *) 1837 e) 2439
13).- Q;u#t& e fata a E ara 'er Mua a 35 ' :
E =6
16
4
14
3
13
2
12
+
+
a) 435 ) 720 c) 130*) 125 e) 415
14).- >%fca :
E =
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
9
11
8
11
7
11
6
11
5
11
9
11
8
11
7
11
6
11
5
11
a) 29 ) 92 c) 3*) 1 e) 13
15).- >%fca :
2
12
11
13
122
−−
+−
a) 3 ) 0 c) 4*) 1 e) 2
16).- >%fca :
3
1
4
32x
12
7
9
4
3
2
5
1
6
1
15
6
6
1
9
2
10
3
5
4x
8
3
÷
−+
−+
−+÷
=
a) 12 ) 45 c) 90
*) 75 e) #.a
17).- Efect$a :
50123
1623
4
5
2
2
1I
+
+
+
=
−−−
a) 9 ) 7 c) 5
*) 6 e) #.a
18).- >%fca :
3
2
3132
662
3
2
3E
−
−−−−
+−
+
=
a) 17 ) 3625 c) 16
*) 35 e) #.a
19).- Efect$a :
−×
−×
−×
−×
−=
6
11
5
11
4
11
3
11
2
11
a) 12 )13 c) 14*) 15 e) 16
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7/39
20).- Saa: L =
1
8
11
7
11
6
11
8
11
7
11
6
11
−
+
+
+
−
−
−
a) 36 ) 24 c) 25*) 21 e) 32
21).- Efect$a :
L =5
15.
5
2.
2
3
5
3.
3
21
3
1.
8
3
4
1
3
1
2
1−
÷++
a) 25 ) 27 c) 28
*) 30 e) 26
22).- ;acua :
E =
11
5
2.
2
11.
5
4.
5
4−−
a) 53 )35 c) 25*) 52 e) 14
23).- Efect$a :
L =
111
5
111
5
51 −−−
−−−
−
a) 1 ) 2 c) 3*) 4 e) 5
24).- ;acua :
L =
8
1
1
11
11
−
+−
a) 18 ) 815 c) 2*) 1716 e) 1617
25).- Saa e ,a&r *e :
L =18.17
1...
4.3
1
3.2
1
2.1
1++++
a) 1024 ) 1331c) 1031 *) 1718 e) 1518
26).- Saa e tre *e ; ':
9
760504030; ++++=
a) 3 ) 4 c) 5 *) 6 e) 8
CLAVES DE RESPUESTAS
01) 02) e 03)
04) a 05) e 06)
07) a 08) a 09)
10) c 11) 12)
13) * 14) 15)
16) 17) * 18)
19) e 20) 21) e
22) a 23) * 24)
25) * 26) c
ECUACIONESE' t&*a Mua*a* ue 'e ,erfca '&& ara*eter%#a*&' ,a&re' *e 'u' etra' a%a*a'?A;@VA?G>.
1. COMPONENTESE# t&*a ecuac# 'e c'*era:
a' P/0 /0/. G&*& & e'crt& a aPuer*a *e a Mua*a*.
' S0$ /0/. G&*& & e'crt& a a*erecWa *e a Mua*a*.
!' Vaa0 !7a. >N%&& uerere'e#ta a u# #$%er& *e'c&c*&
2. FORMAS
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
8/39
3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONESa' R0890 a 0!a!. E' Waar e
cu#t& '&uc# *e a ecuac#.' Ra; $0 a 0!a!.- E' e ,a&r ue
t&%a a ,arae & #cM#ta ara
tra#'f&r%ar a ecuac# e# u#a Mua*a*,er*a*era *e #$%er&'.
!' C
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
9/39
( 3 + % ) x + % – 3 = 0
Solución x = *
1* + *m + m - 3 = 0 12 + 6m = 0
m = -2 7) Be'ue,e:
% + 3 (%-1) = 6 – 4 (2% + 3)
Solución
m + 3m - 3 = 6 - m - 12 4m – 3 = - m - 6
12 m = -3
m = -1/4
PRO#LEMAS PROPUESTOS
1) 14x + 1 = 25x-2
a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) –37
2) 10(1+4x)=14 + 24x
a) Z ) 11 c) 20*) 10 e) –37
3) 4(2a + 5) – 70 =-2a
a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) -3-7
4) 4(x + 5) =2
x23 −
a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) –37
5)
6
#56
3
#38 −=
−
a) 5 ) 11 c) 20*) 10 e) –3 7
6) 6x – 4x – 4 + x = -3x – 5 + 2x
a) –Z ) 4 c) Z*) 4 e) A.
7) 12 – (-2x + 6) = 5 –(4x + 5)
a) 1 ) –1 c) 2*) 5 e) –2
8) 24 – 4(x+3) = 2(10x-6)
a) 1 ) 2 c) 3*) 5 e) A.
9) 5(x + 1) = 4x + 2(x - 13)
a) 10 ) 15 c) 31*) 45 e) A..
10)
16
4x
3
2x=
−+
+
a) 1 ) 2 c) 5*) 4 e) 5
11)
25
x
2
5x=−
−
a) 10 ) 15 c) 30
*) 5 e) A..
12) 7 -8
7x3
3
x5 +=
a) 1 ) 2 c) 3*) 4 e) 5
13)
x3
1
4
1
6
1
2
1x3+=+
−
a) T ) 2 c) Z *) 1 e) A..
14)
14
x3
3
)4x(
2
x−=
−+
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
15) 7x – 10 + 2x = 5 + 6x
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
16) 3(2x + 2) = 9(x – 1)
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
17) 12 + 2 (10 - x) = 4 + (15x-6)
a) 1 )2 c) 3
18) x-14
x5
7
1
2
2x=+
−
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10/39
a) –1 )-7 c) –8
19)4
3
12
x51x2
6
x−=++
a) –1 ) -2 c) –3
20)5
1x2
3
1
9
x4 +=−
a) 10 )11 c) 12
21)a
7a5
a
3a +=−
−
a) –1 ) –2 c) –3 *) 0 e) A.
22) 2x-15
2x3
3
)4x( ++
−
-2 = 0
a) –17 ) -27 c) 1*) 27 e) A..
CLAVES DE RESPUESTAS
1) c 2) a 3) a
4) e 5) * 6) a
7) 8) a 9) c
10) 11) 12)c
13)a 14)* 15)e
16)e 17) 18)c
19)a 20)c 21)
22)*
PLANTEO DE
ECUACIONES
1. CONCEPTOKa#tear u#a ecuac# e' tra*ucr u# r&e%a*e e#Muae e'crt& u &ra a e#Muae%ate%tc& (ecuace')."#a reac# e#tre #cM#ta' *at&' #&' e,a af&r%ar u#a ecuac#.
2. CRITERIOS
1 .5 %' *e & ue &te#M&. Q;u#t& %e ue*arNa ' c&%rara u#
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
11/39
artcu& ue cue'ta a cuarta arte *e & ue #&Ma'tarNaRSolución:
& =
102
3+
x
Gu = x tu,era' 2x
.2. Q;u#t& te#e B&'aRSolución:B&'a te#e: x> rece 12 : x + 12> rece 2 : x + 2
x + 12 = 2(x + 2)
x + 12 = 2x + 4 x = 8
oa ti!n! S/'
PRÁCTICA DIRI%IDA N* +2
1).- .1296 'e Wa# c&%ra*& Mua #$%er&*e ,a'&' *e tre' ca'e' *'t#ta' 'e#*& &'
rec&' re'ect,&' *e ca*a ca'e *e ,a'& 7 8 12 '&e'. Q;u#ta' *&ce#a' *e ,a'&' 'ec&%rarR
a) 4 ) 6 c) 8*) 10 e) 12
9).- La#ue c&%ra a %ta* *e u# r&& *eaa%re %e#&' 12 %etr&'. eM& c&%ra u#terc& *e %'%& r&& %' 4 %etr&' &r & curece 8 %etr&' %e#&' ue La#ue. Q;u#t&'%etr&' c&%r La#ueR
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
12/39
a) 52 ) 60 c) 72*) 44 e) 50
10).- "# #\& te#Na 20 &a' u#a' r&a' &tra'aPue'. > er*e 4 &a' *e ca*a c&&r e#tce'e tre *e #$%er& *e &a' aPue' eu,a*rNaa #$%er& *e a' &a' r&a'. Q;u#ta' &a'
r&a' te#NaRa) 14 ) 7 c) 12*) 13 e) 11
11).- &' er'a' te#e# >.3680 >.2560re'ect,a%e#te. # ctar a' Ma#a' 'e te#e# 5 a,e''# ctar &' a,&' te#e%&' 7 a,e' '# ctar &' at&' te#e%&' 4 a,e'. e te#Na 400 cara%e&' ara 'er *'tru*&'e# arte' Muae' a u# Mru& *e #\&'. > 'eretra# 4 #\&' &' re'ta#te' rece# 5cara%e&' %'. ;u#t&' #\&' WaNa#ca%e#te.
a) 20 ) 16 c) 25*) 15 e) 30
22).- & te#M& e tre *e a %ta* *e & ue t$te#e' %' >.10. > t$ tu,era' e *&e *e &'ue te#e' te#*rNa' >.5 %' *e & ue &te#M&. Q;u#t& %e ue*arNa ' c&%rara u#artcu& ue cue'ta a cuarta arte *e & ue #&Ma'tarNaR
a) 10 ) 11 c) 30*) 44 e) 50
23).- "# reMa& e#,uet& cue'ta 13 '&e' '#e#,&,er cue'ta 11 '&e' %' *e & ue c&ra#&r e#,&,er&. Q;u#t& c&ra# &r e#,&,er&R
a) >.1.50 ) >.2.00
c) >.0.75 *) >.1.00e) >.0.50
24).- E# u# c&rra Wa 13 a#%ae' e#tre ce&' Ma#a'. > te#e# 42 ata' e# t&ta. Q;u#t&'ce&' WaR
a) 5 ) 6 c) 8*) 4 e) 9
8/18/2019 NÚMERO RACIONAL.docx
13/39
25).- E# u# taer Wa 25 ,eWNcu&' e#tre aut&' %&t&'. > te#e# 70 rue*a' e# t&ta. Q;u#t&'aut&' WaR
a) 15 ) 10 c) 20*) 18 e) 17
26).- > ^ua# rece >. 5 te#*rNa e *&e ue '
Wuera Ma'ta*& >. 5. Q;u#t& te#e ^ua#Ra) >. 18 ) >. 15 c) >. 9*) >. 10 e) >. 5
27).- "# aa%re *e 28% 'e c&rta# e# 3 arte' taue ca*a arte e' e *&e *e a#ter&r.Q;u#t&%*e a arte %a&rR
a) 8% ) 4% c) 18%*) 16% e) 12%
28).- .60. Q;u#t& Wa rec*& Kac&R
a) >.6 ) >.36 c) >.12*) >.24 e) >.18
30).- E erN%etr& *e u# rect#Mu& e' 40c%.> earM& %*e 4c% %' ue e a#cW&. Q;u#t&%*e e arM&R
a) 12% ) 8% c) 10%*) 15% e) 16%
CLAVES DE RESPUESTAS
1) e 2) a 3) * 4) c5) e 6) e 7) e 8) a9) 10)* 11)e 12)c13) 14)a 15)a 16)*17) 18)e 19) 20)*21)a 22)* 23)* 24)c25) 26) 27)* 28)29)e 30)a
ECUACIONES CUADRÁTICAS
E' t&*a ecuac# a cua u#a ,eP '%fca*a e%a&r exe#te *e a #cM#ta e' 2.En general :
a c ∈ B ∀ a ≠ 0
1. E;";?CAE>?A;CLK
• > : = 0 →
• > : c = 0 →
2. B_;E> E "A
E;";?@A E >EV"ACVBC
> &' ,a&re' *e a #cM#ta ue 'at'face aecuac#.
• G&*a ecuac# *e 'eMu#*& Mra*& te#e*&' raNce' & '&uce'.
3. L`GCC E >C
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14/39
3(x 2 – 4) = x 2 – x + 16 + x
3x 2 – 12 = x 2 + 16
2x 2 = 2
x 2 = 14
x = ±
14
C'S = ±
14
5
3) Be'ue,e aca#*& fact&rPac#
x2 + 3x – 108 = 0
Solución :
x 2 + 3x – 10 = 0 x +12 x -9
(x + 12) (x – 9) = 0
x + 12 = 0 x = -12
(x – 9) = 0
x = 9
C'S'= -12 95
4) Be'ue,e aca#*& a fr%ua Me#era:
9x2 - 12x + 4 = 0
Solución :
a = 9& = -12
c = 4
a2
ac4 2 −±−
)9(2
)4)(9(412)12( 2 −±−−
18
14414412 −±
=
18
012 ±
18
12
x =
3
2
5) Be'ue,e : x2 + 5x – 24 = 0
Solución :
x 2 + *x – 24 = 0
x + x -3
(x + ) (x – 3) = 0
x + = 0 x = - x - 3 = 0
x = 3
C'S' =- 35
6) Be'ue,e : 6x2 + 11 x – 10 = 0
Solución :
6x 2 + 11 x – 10 = 0 2x +* 3x -2
(2x + *) (3x – 2) = 0 2x + * = 0
x = -*/2
3x – 2 = 0
x = 2/3
C'S' =
−
3
2/
2
5
7) Be'ue,e : 8x2 – 2x – 3 = 0>&uc# :
8x 2 – 2x – 3 = 0
x =
)8(2
)3)(8(422 2 −−±
x =
16
9642 +±
x =
16
102
16
1002 ±=
±
Luego :
x 1 =
4
3
16
12
16
102
==
+
x 2 =
2
1
16
8
16
102−=
−=
−
∴ x 1 = ¾ x 2 = – ½
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15/39
8) Be'ue,e : 8x + 5 = 36x2
Solución :x + * = 36x 2
o$"!nan"o :
36x 2 - x – * = 0
x =
)36(2
)36)(5(488 2 −−±
x =
72
720648 +±
x =72
288
72
7848 ±=
±
Luego :
x 1 =
2
1
72
36
72
288==
+
x 1 =
18
5
72
20
72
288 −=
−=
−
∴ x 1 =
2
1
x 2 =
18
5−
9) Be'ue,e : 5x2 + 13x – 6 = 0
Solución :
x =
10
28913
)5(2
)6)(5(41313 2 ±−=
−−±−
x =
10
1713 ±−
7u!8o :
x 1 =
5
2
10
4
10
1713==
+−
x 2 =
=−
=−−
10
30
10
1713
-3
x 1 = 2/* x 1 = -3
PRO#LEMAS PROPUESTOSI.- &aa 0 $8!/a70 0 !a$a a $0 a8
80708 0!a!08 !a$?7!a802x3x2 =+−
1).-
a) 1 ) 9 c) 3 *) 2 e) 0
015x2x2 =−−
2).-
a) 16 ) 69 c) 83 *) 72 e) 64
02x5x3 2 =+−
3).-
a) 16 ) 7 c) 1 *) 72 e) 6022x3x4 2 =−+
4).-
a) 146 ) 487 c) 451 *) 172 e) 361
024x11x2 =++
5.-
a) 1 ) 12 c) 25 *) 36 e) 61063x16x2 =+−
6).-
a) 10 ) 12 c) 25 *) 4 e) 6104x12x9 2 =+−
7).-
a) 210 ) 142 c) 125 *) 4 e) 0
02x7x3 2 =+−
8).-
a) 52 ) 0 c) 25 *) 4 e) 40
056152
=++ x x
9).-
a) 10 ) 49 c) 13 *) 25 e) 0
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2x1011x =+
10).-
a) 16 ) 256 c) 221 *) 285 e) 441
II.- R08090 a8 80708 0!a!08!a$?7!a8 :
11).- 3x2 = 48
a) ±2 ) ±3 c) ±4*) ±16 e) ±5
12).- 5x2 – 9 = 46
a) ±11
) ±11 c) ±5*) ±6 e) ±1
13).- (x + 5) (x – 5) = -7
a) ±5
) ±3 c) ±32
*)
2
e) A..
14).- (2x – 3) (2x + 3) – 135 = 0
a) ±6 ) ±5 c) ±8*) ±4 e) A..
15).- x2 = 5x
a) 1/ 5 ) 2/ 3 c) 0/ 5*) 1/ -5 e) A.
16).-4x2 = -32x
a) –8/ 1 ) –1/ 8 c) 0/ 1*) 0/ -5 e) –8/ 0
17).- x2 – 3x = 3x2 – 4x
a) 0/ T ) 1/ T c) –1/ T*) 0/ - T e) A..
18).- 5x2 + 4 = 2(x + 2)
a) 1/ 2 ) 0/ -25 c) 0/ 25*) 6/ 2 e) A..
19).- (x-3)2 – (2x + 5)2 = -16
a) 0/ 326 ) 0/ 25 c) 5/ 325*) 0/ -263 e) A..
20).- x2 – x – 6 = 0
a) 2/ 3 ) 1/ -3 c) –2/ 1*) –2/ 3 e) 1/ 5
21).- x2 + 7x – 18 = 0
a) 2/ -9 ) 1/ -9 c) 2/ 3*) –2/ 3 e) –2/ 9
22).- x2 + 8x - 65 = 0
a) 3/ 2 ) –13/ 5 c) –13/ -5*) –5/ 13 e) A..
23).- 2x2 + 7x – 4 = 0
a) –4/ 1 ) T / 4 c) – T / 4*) T / -4 e) 2/ -4
24).- 20x2 – 27x = 14
a) 3/ 5 ) –25 / 74c) 23 / 20 *) 25 / -74 e) A..
25).- x2 – 2x – 15 = 0
a) –3/ 5 ) 2/ 3 c) 3/ 5*) –5/ 3 e) A..
III.- R08090 a@!a$ a /a 00a.
26).- 3x2 – 5x + 2 = 0
a) 1/ 23 ) 35 / -2c) –1/ 23 *) 13/ 2e) A..
27).- 4x2 + 3x - 22 = 0
a) 11/ 2 ) –114 / 2c) 13/ -2 *) 35 / 6e) A..
28).- x2 + 11x + 24 = 0
a) 3/ 8 ) 6/ 3 c) 3/ -8*) –3/ -8 e) A..
29).-x2 – 16x + 63 = 0
a) 1/ 7 ) 7/ 9 c) –2/ 7*) 7/ -9 e) 1/ 9
30).- 5x2 – 7x – 90 = 0
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a) 1 ) 5 c) –185*) c e) a
31).- 3x2 – 7x + 2 = 0
a) 2 ) 13 c) -3
*) a c e) a
CLAVES DE RESPUESTAS1) a 2) e 3) c
4) e 5) c 6) *
7) e 8) c 9) *
10)e 11)c 12)a
13)c 14)a 15)c
16)e 17)a 18)c
19)* 20)* 21)a
22) 23)* 24)
25)a 26)a 27)
28)* 29) 30)e
FACTORI>ACIÓN
E' e r&ce'& *e tra#'f&r%ac# *e u# &#&%&*e c&efce#te' e#ter&' e# u#a %utcac# *e*&' & %' exre'e' a%a*&' fact&re'.
E%:x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
fact&re'
1. FACTOR PRIMO E' aue fact&r #& c'ta#te ue te#e c&%&$#c& *,'&r a &tra exre'# *H#tca a ea. E%:
x + 1 fact&r #ea.x2 + 1 fact&r cua*rtc&.
2. M"TODOS :2.1. FACTOR COMÚN BO A%RUPACIÓN DE
T"RMINOS
Ee%& :act&rPa:E = x49 + 2x310 + x211
>&uc#:
E .; e': x
2
9
ACIÓN POR IDENTIDADES:a' T/ Ca$a$ P00!7:
2 ± 2D + D2 = ( ± D)2
Ee%& :act&rPa: E = x2 – 4x + 42
>&uc#:E = x2 – 2(x) (2) + (2)2
→ E = (x – 2)2
' D00!a $0 Ca$a$8:
2 – D2=( + D) ( - D)
Ee%& :act&rPa: E = x2 – 1
>&uc#:
E = (x + 1) (x – 1)
!' S/a D00!a $0 C:
3 ± D3=( ± D)(2 ± D + D2)
Ee%& :act&rPa: E = x3 – 1
>&uc#:
E = (x - 1) (x2 + x +1 )
2.3. M"TODO ASPA SIMPLE:
x2% + Dx%# + ;2#
Ee%& :act&rPa: x2 + 2x - 8
>&uc#:
x2 + 2x – 8x +4x -2 → (x + 4) (x – 2)
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LHt&*& 'a &e:
x2+Dx+;2 + x + E +
Ee%& :act&rPa:
E = 15x2 + 14x + 32 + 41x + 23 + 14
5x 3 2 3x 7
&uc#: MG7$ A8@a S/@0:
H 2 - 2 - 3
4 -3
2 1
H 2 2 3 )4 3' )2 1'
2'.- C?78 a!708 @/8 700:
) J '11 )-J', )2 J2'K
D. $0 !a$a$
>&uc#:
) J'11 )-J', - ) J'K )-J'K
) J'K )-J', ) J'2 - ) - J'2
)J'K )-J', ) J - J' ) J- J'
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19/39
)J'K )-J',)2')2J'
4J)-J', )J'K
R@7a : 4 a!708 @/8
3'.- Fa!7;a:
a2 2 !2 2a
>&uc#:
O$0a$ :
a2 2a 2 !2
)a '2 !2
D. $0 !a$a$8
)a !' )a !'
4'.- Fa!7;a:
F 3 32 4 2
S!:
P $9808 /!8: 1
1 08 $98:
1 -3 4 -2
1 1 -2 2
1 -2 2 +
2 2 2
3 32 4 2 )-1' )2 22'
5).- act&rPa:
4x5 + 10x4 – x33 + x32 + 6x3
>&uc#:
Fa!7 !/:
3J)42 1+ J2 J 6'
a8@a $0
R@7a : 3J)2 J 2' )2 J 3'
6'.- Fa!7;a:
6 J6
>&uc#:
• D00!a $0 !a$a$8.
)3 J3' )3- J3'
• P $07$a$08.
)J' )2 J J2' )-J' )2 J J2'
)J' )-J' )2 J J2' )2 J J2'
,'.- Fa!7;a:
E 5 4 23 22 1
S!:
A@a$ $8 a $8:
E 4) 1' - 22) 1' ) 1'
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E ) 1' )4 22 1'
T.C.P
E ) 1' )2 1' )2 1'
E ) 1' ) 1' ) 1' )-1' ) 1'
R@7a : E ) 1'3 )-1'2
H'.- Fa!7;a:
R 2 J2 ;2 2J 2; 2J;
S!:
A@a$ :
R 2 2J J2 2; 2J; ;2
R ) J'2 2;) J' ;2
T.C.P
R ) J' ;2 ) J ;'2
K'.- Fa!7;a:
& )a ' )a !' - )$ ' )$ !'
S!:
R0890$ 8 @$!78:
& a2 )!'a ! - $2 )!' $ !
& a2 ) !'a ! $2 ) !'$ !
& a2 $2 ) !'a ) !'$
& )a $' )a $' ) !' )a $'
& )a $' )a $ !'
PRÁCTICA DIRI%IDA N* +6
1'.- U a!7 @/ $0:
%3 – %#2 + %2# – #3 + %2 – #2
a) % + # + 2 ) %+1c) #-1 *) %+# e) %-#+1
2).- act&rPa:%#+ + %## + #% %+ #%+
*a u# fact&r r%&:
a) %# + # ) %# + #
c) % + #% *) % + ## e) % + #
3).- act&rPa: x3 + x2 + x + 1
a) (x2 + 1)(x - 1) ) (x2 + 1)(x + 1)c) (x2 + 1)(1 - x) *) (1 + x)(1-x2)e) A..
4).-;u#t&' K te#e : D= x (x2 - 2 + xP) - 2 P
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
5).- ;u#t&' K te#e:
; = x3 - 2x2 + x2 - 23
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
6).- ;u#t&' fact&re' r%&' te#e:< = 8x6 + 7x3 - 1
a) 2 ) 4 c) 5 *) 6 e) 3
7).- act&rPa: L = 4'4t - 4'3t2 - 24 '2t3
Bta : .............................................
8).- act&rPa: A = 12(x-)2 + 7(x-) - 12
Bta : .............................................
9).- Q;u#t&' K te#e a exre'#RK = (x - 1)4 + (x - 1)2 - 6
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 510).- Q;u#t&' K te#eR
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x49 + 2x310 + x211
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
11).- ;u#t&' fact&re' r%&' Wa e#:
x6 - 6
a) 3 ) 4 c) 5 *) 6 e) 7
12).-
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a) 3x+2 ) 3x-2 c) 2x-1*) 3x+4 e) 3x+5
30).- act&rPa: (x) = x3-5x2-2x+24
a) –11 ) –10 c) –5*) 2 e) 11
31).- act&rPa:
(x) = (x2+8)2- 6x (x2+8) -27x2
?#*ca a 'u%a *e c&efce#te' *e fact&r r%&cua*rtc&.
a) 0 ) 12 c) 6*) –4 e) 18
32).- ;u#t&' fact&re' r%&' #eae' re'e#ta:(ax – 3)2 – (x – 3a)2
a) 2 ) 3 c) 4
*) 1 e) #& re'e#ta ta fact&r
33).- ?#*ca u#& *e &' fact&re' r%&' *e:%(%2+%#–1) – # (#2+%#–1)
a) % + # ) # – 1 c) % - 1*) % + # – 1 e) %2 + 1
34).- ?#*ca e t&ta *e fact&re' terae' uere'e#ta: 20x4 + 31x2 – 9
a) 3 ) 4 c) 5*) 6 e) 7
35).- ?#*ca u#& *e &' fact&re' *e:
64x123 – 68x87 + 4x411
a) x2 + 1 ) 2 + 1 c) x2 + 2
*) 2x – 1 e) 2 + 1
36).- eter%#a a 'u%a *e &' tHr%#&' #eae'*e &' fact&re' r%&' *e: (x+1)(x+3)(x–5)(x–7)+28
a) –6x ) –8x c) –10x*) 4x e) 6x
37).- ?#*ca e t&ta *e fact&re' *e:x4 – 13x2 + 36
a) 4 ) 8c) 16 *) 32e) #& 'e ue*e act&rPa
38).- ;u#t&' fact&re' r%&' re'e#ta:x16 + 15x8 – 16
a) 4 ) 6 c) 5
*) 9 e) %' *e 9.
39).- Saa e #$%er& *e fact&re' r%&':(x+)2(x2-2)2-(x-)2(x2+2)2
a) 2 ) 3 c) 4*) 5 e) 6
40).- act&rPa:
Y(a/ %) ≡ 2a% – 2a# + 2a – % + # - 1 cacua e tHr%#& #*ee#*e#te *e u# fact&r r%&
a) 1 ) # + 2c) –# + 1 *) 3 e) #-2
41).- act&rPa:
K(a/ / c) ≡ (a-)(a2-c2) - (a-c)(a2- 2)e &te#e: (xa + )P
e ,a&r *e x + P e':
a) 2 ) 3 c) 4*) 5 e) 6
43).- act&rPa:
K(x) ≡1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)>e &te#e: (x2 + %x + #)
e ,a&r *e % + # + e':
a) 2 ) 4 c) 6*) 8 e) 10
CLAVES DE RESPUESTAS
1) * 2) e 3)
4) c 5) 6)
7)-- 8) -- 9) c
10)c 11) 12)*
13)-- 14)-- 15)
16)-- 17)-- 18)a
19)* 20)c 21)
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22)* 23)c 24)a
25)* 26)e 27)
28)c 29)a 30)c
31) 32)a 33)*
34)a 35)c 36)
37)a 38)c 39)c 40)c 41)
INTERVALO.- E' aue 'ucu#t& *e &' #$%er&'reae' (B) cu&' ee%e#t&' x e't# c&%re#**&'e#tre &' extre%&' a / 'e#*& e't&' ta%H# #$%er&'reae' ue ue*e# e'tar & #& #cu*&' e# e #ter,a&.
CLASES DE INTERVALOS: >e a%a# #ter,a& aert&a 'ucu#t& *e #$%er&' reae' c&%re#**&' e#tre a . E #ter,a& aert& 'e rere'e#ta: (a/ ) & [a/ ].Vrfca%e#te:
x ∈ (a/ ) ⇔ a x .
Ee%&:
Bere'e#ta Mrfca%e#te: x ∈ (-1/4)
II. INTERVALO CERRADO.- >e a%a #ter,a& cerra*&a 'ucu#t& *e #$%er&' reae' c&%re#**&' e#tre a #cue#*& a .E #ter,a& cerra*& 'e re'e#ta: [a/ ].
Vrfca%e#te:
x ∈ [a/ ] ⇔ a ≤ x ≤ .
Ee%&:
Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-4/ 2].
III. INTERVALOS MI(TOS.- UIERDA BA#IERTO A LA DEREC&A DE E(TREMOS a J .-
E' e 'ucu#t& *e &' #$%er& reae' xc&%re#**&' e#tre a '# #cur e extre%& '##cur e extre%& 'e rere'e#ta: [a/ ] & [a/ ].Vrfca%e#te:
x ∈ [a/ ] ⇔ a ≤ x .
Ee%&:
Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-3/ 3].
2. INTERVALO CERRADO A LA DEREC&A BA#IERTO A LA I>UIERDA DE E(TREMOS a J .-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' xc&%re#**&' e#tre a '# #cur e extre%& a 'e
rere'e#ta: [a/ ] & [a/ ].
Vrfca%e#te:
x ∈ [a/ ] ⇔ a x ≤
Ee%&:Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-2/ 1].
3. INTERVALO CERRADO EN a POR LA I>UIERDA.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %a&re' &Muae' ue a/ 'e rere'e#ta: [a/ +
] & [a/ +
].Vrfca%e#te:
x ∈ [a/ ] ⇔ a ≤ x + ∞.
Ee%&:
Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ [-2/ + ].
4. INTERVALO A#IERTO EN a POR LA I>UIERDA.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %a&re'ue a 'e rere'e#ta: (a/ + ) & [a/ + ].Vrfca%e#te:
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x ∈ [a/ + ] & [a/ + ] & [a/ + ].
Ee%&:
Bere'e#tar Mrfca%e#te: x ∈ (-1/ + ).
+5.- INTERVALO CERRADO EN POR LADEREC&A.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %e#&re' &Muae' ue 'e rere'e#ta: (-
/ ) & [-
].Vrfca%e#te:
x∈
(-
/ ) ⇔ - Q x ≤ .
Ee%&:
Bere'e#tar Mrfca%e#te: x∈
(-
/ 4]
6. INTERVALO A#IERTO EN POR LA DEREC&A.-E' e 'ucu#t& *e &' #$%er&' reae' x %e#&re'ue 'e rere'e#ta: (- ) & [- / ].Vrfca%e#te:
x∈
(-
/ ) ⇔ - Q x ≤ .
Ee%&:
Bere'e#ta Mrfca%e#te: x ∈ (- / 2).
PRÁCTICA DIRI%IDA
a) Exre'ar *e f&r%a *e #ter,a& Mrfca%e#te.
01. 5 x 9 08. 10 ≥ 0
Bta: ................ Bta: bb...
02. -1 4º. . 09. -2 x +
Bta: bb... Bta: bb...
03. -7 x 2 10. -5 x +
Bta: ................ Bta: bbbb
04. -3 x 5 11. + F x F -3
Bta: ................ Bta: bbbb
05. -6 x 1.... 12. 0 x + ∞
Bta: ................ Bta: bbbb
06. 4 8..... 13. - x ≤ 7
Bta: ................ Bta: bbbb
07. 12 F x F -5.. 14. -
x -2
Bta: ................ Bta: bbbb
) a*a' a' Mrfca'/ exre'ar& e# f&r%a *e #ter,a&.
1.
.............................................................................
2.
.............................................................................
03.
.............................................................................
04.-
.............................................................................
05.-
.............................................................................
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06.-
.............................................................................
07.-
.............................................................................
08.-
.............................................................................
TAREA DOMICILIARIA
a) Exre'ar *e f&r%a *e #ter,a& Mrfca%e#te.
01. -2 x 10 09. -1 Q +
Bta: ................ Bta: bb...
02. -4 0.... 10. 12 x F 5
Bta: bb... Bta: bb...
03. 7 x + 11. -8 x ≥ -10
Bta: ................ Bta: bbbb
04. -8 x 2 12.
1
2 x 3
Bta: ................ Bta: bbbb
05.
5 x
313. - x 25
Bta: ................ Bta: bbbb
06. -
2
x Q
714. 13 F x F 0
Bta: ................ Bta: bbbb
07. -
3
2 x
3
215. -, F x F -15
Bta: ................ Bta: bbbb
08. - x 9... 16. -20 x -15
Bta: ................ Bta: bbbb
) a*a' a' Mrfca' exre'ar& e# f&r%a *e #ter,a&.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Par ordenado:
cu#t& f&r%a*& &r a e# e'e &r*e# *e#&ta*& &r (a/) 'e e a%a @a $0a$ 'e#*& a
r%era c&%e#te 'eMu#*a c&%e#te.K&r ee%& ' 'e *ec*era #*car e #$%er& *e &r*e#*e ca*a au%#& *e a ca'e &r %e*& *e u# ar &r*e#a*& te#*rNa%&':
(;ar&' ,ara*&/ 1)(LMue NaP/ 2)(^&'H E'caa#te/ 3) etc.
&' are' &r*e#a*&' ' Muae' '& ' 'u' r%era'c&%e#te' ' Muae' 'u' 'eMu#*a' c&%e#te'ta%H# e' *ecr:
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(a/ ) = (%/ #) ⇔ a = % ∧ = #
Producto Cartesiano
a*&' *&' cu#t&' D 'e a%a Kr&*uct&;arte'a#& xD a cu#t& *e t&*&' &' are'&r*e#a*&' (a/) tae' ue a erte#ece a erte#ece a D.
E' *ecr:
x D = (a/ ) a ∈ ∧ ∈ D!
K&r ee%& 'ea: = 1/ 2/ 3!D = a !
⇒ x D = (1/ a) (1/ ) (2/ a) (2/ ) (3/ a) (3/ )!
Representación gráfica del
producto cartesiano
E r&*uct& carte'a#& x D 'e ue*e rere'e#tar
%e*a#te cert&' Mrfc&' & e'ue%a' &' %' utPa*&'':
A. Diagrama sagital o de fechas
Sea: A = {1; 4} y B = {0; 3; 7}
#. Daa/a !a708a:
>ea: = 1996/ 1997! D = 20/ 30!
O809a!:
E #$%er& *e ee%e#t&' *e r&*uct& carte'a#& x D'e *e*uce *e a 'Mue#te reac#:
#( x D) = #() x #(D)
RELACIÓN BINARIA
a*&' *&' cu#t&' D 'e a%a reac# B *e e# D a aue 'ucu#t& *e r&*uct& carte'a#& x D ue cu%e *eter%#a*a c*c# e#tre &'ee%e#t&' *e 'u' are' &r*e#a*&'.
K&r ee%& 'ea# &' cu#t&':
= 1/ 3/ 5! D = 2/ 4!
*e e r&*uct& carte'a#& x D e':
x D = (1/ 2) (1/ 4) (3/ 2) (3/ 4) (5/ 2) (5/ 4)!
> (a/ ) rere'e#ta a t&*&' e't&' are' &r*e#a*&'r&ce*e%&' a extraer aue&' ue cu%e#: a F .
E#tce' te#*re%&' a 'Mue#te reac#:
B = (3/ 2) (5/ 2) (5/ 4)!
Yue 'e ue*e *eter%#ar c&%&:
B = (a/ ) ∈ x D a F !
C'er,a%&' ue e# #ue'tra reac# a F e' ac*c# & 0a $0 !08@$0!a Wa ue te#er re'e#te ue 'e #&' u*& Waer e**& &tra reMa *ec&rre'*e#ca &r ee%&:
a → B1 = (1/ 2) (1/ 4) (3/ 4)!a = – 1 → B2 = (1/ 2) (3/ 4)!
Dominio Y Rango De UnaRelación
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BLO!E I
1. E'cre d & e#tre &' arH#te'' 'eM$# ca*ar&&'c# 'ea ,er*a*era & fa'a.
a) 2/ 5! = 5/ 2!) 4/ 3! ≠ 3/ 4!c) (3/ 4) = (4/ 3)*) (a ) = ( a)e) (5/ 2) ≠ (2/ 5)f) (a a) = (a a)
2. Saar x e 'eM$# 'ea e ca'& ara ue 'ecu%a a Mua*a* *e are' &r*e#a*&'.
a) (x/ 2) = (5/ 2)
) (10/-) = (10/ -5)c) (5/ -3) = (x + 1/ -3)*) (x + 2/ ) = (5/ 1)e) (1/ -3) = (-/ x – 3)
f) (5x/ 4) =
1220/
3. >ea# &' cu#t&':
= -2 / -1 / 1 / 0 ! E = 1 / 3 / 5 !
a) x E ) E x c) x *) E x Ee) (–E) x ( ∩ E)
4. Saar x + ' 'e cu%e ue:(x – 3/ 8) = (-2/ 2 – )
5. Saar a + ' ' cu%e ue:(2a + / 3a - 2) = (9/ 3)
6. a*&: = 1/ 3/ 5/ 7! D = 2/ 4/ 6/ 8!
a reac#:
B = (a/ ) ∈ x D a. e' %$t& *e 3!Saar:a) ;u#t& *e art*a e# B) ;u#t& *e eMa*a e# Bc) B &r exte#'#.*) aMra%a 'aMta.
e) aMra%a carte'a#&.7. a*&':
; = 0/ 1/ 3/ 5/ 6! = 1/ 2/ 3/ 4! a reac#:B = (c/ *) ∈ ; x c+* e' r%&! Waar:
a) B &r exte#'#.) &%(B)
8. >ea#:G = -2/ 0/ 2/ 4!
" = 2/ 3/ 4! a reac#:B = (t/ u) ∈ G x " t+u e' ar!
Saar:a) B &r exte#'#.) &%(B)c) Ba#(B)*) &%(B) x Ba#(B)
9. >ea# &' cu#t&': = 12/ 8/ 5! D = 2/ 3/ 4/ 5! a reac# B: → D *ef#*a &r ... e' %$t&*e ...
a) Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%acarte'a#&.
) eter%#a B &r exte#'#.c) Saar e &%(B) Ba#(B)
10. Ge#e' &' cu#t&': = 2/ 3/ 5! D = 4/ 6/ 11! a reac#:B: → D *ef#*a &r ... e' r%& reat,& c...
a) Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%acarte'a#&.) eter%#a B &r exte#'#.c) Saar e &%(B) Ba#(B)
11. >ea# &' cu#t&': = 2/ 4/ 5! D = 3/ 4! a reac#:B: → D *ef#*a &r ... e' %a&r ue ...
a) Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%acarte'a#&.) eter%#a B &r exte#'#.c) Saar e &%(B) Ba#(B)
12. >: = -4/ -2/ 0/ 2/ 4!D = -5/ -1/ 3/ 5!
B = (a/ ) ∈ x D a2 – F 9!> = (a/ ) ∈ x D a . ≥ 12!
Saar:
a) B ∪ > ) B ∩ > c) > – B *) B - >
13. >ea: = 1/ 2/ 3/ 4/ 5! D = 6/ 7/ 8!
a' reace' *e e# D/B = (1/ 6) (2/ 6) (3/ 7) (4/ 7)!> = (3/ 7) (4/ 7) (5/ 8)!
?#*car ,er*a*er& (d) & fa'& () e#:
?. &%(B ∩ >) = &%(B) ∩ &%(>)??. &%(B – >) = &%(B) – &%(>)
???. Ba#(B ∩ >) = Ba#(B) ∩ Ba#(>)?d. &%(B ∪ >) ≠ &%(B) ∪ &%(>)
14. a*&' &' cu#t&': = -3/ -2/ 0/ 1!D = -1/ 0/ 1! B = (a/ ) ∈ x D a + ≠ a/ a+ 0!Saar:
a) &%(B) Ba#(B)) A[&%(B)]
15. >ea#:
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= 0/ 1/ 2/ 3!D = 0/ 1/ 2/ 4! a reac#: B = (a/ ) ∈ x D 2 = !Saa: #[&%(B)] + #[Ba#(B)]
16: >ea# &' cu#t&': = 1/ 2/ 5!D = 3/ 4/ 6/ 8/ 10!
a reac#: B = (a/ ) ∈ x D –a ≥ 5!
Saar:a) &%(B) Ba#(B)) &%(B) ∪ Ba#(B)
BLOQUE II
1. > 'e cu%e ue: (x – 3/ 8) = (4/ + 3) Waar x +
2. > 'e cu%e ue: (a + / a – 2) = (11/ 2) . Saar a.
3. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 5!D = 4/ 5/ 6!
; = 1/ 2/ 3/ 4!
Saar: (D – ;) x ( ∩ D)4. >ea: = 1/ 2/ 3!
D = a !Saar:
a) x D #*ca#*& 'u #$%er& *e ee%e#t&'.) D x #*ca#*& 'u #$%er& *e ee%e#t&'.
5. >ea# &' cu#t&': = 2/ 4/ 5! D = 3/ 4! a reac#: B = (x/ ) ∈ x D x F !.Ea&ra u# *aMra%a 'aMta u# *aMra%a carte'a#&.
6. a*&' &' cu#t&': = 12/ 8/ 5! D = 2/ 3/ 4/ 5! a reac#: B = (x/)∈ x D x e' %$t& *e !.
eter%#ar B &r exte#'#.
7. a*&' &' cu#t&': = -4/ 0/ 2! D = 2/ 3/ 4/ 5! a reac#: B = (x/ ) ∈ x D x2 + ≤ 11!Q;ue' ' &' ee%e#t&' *e BR
8. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 3/ 4! D = 2/ 5/ 6!.;acuar a' 'Mue#te' reace'/ #*ca#*& 'u *&%#&ra#M& Mrfca:
a) B1 = (a/ ) ∈ x D a + 10!) B2 = (a/ ) ∈ x D = a + 3!
9. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 3/ 4! D = 2/ 5/ 6!.;acuar a' 'Mue#te' reace' #*ca#*& 'u *&%#&ra#M& Mrfca:
a) B3 = (a/ ) ∈ x D a = !) B4 = (a/ ) ∈ x D - a ≤ 2!
10. a*&' &' cu#t&': = 3/ 5/ 8! D = 2/ 3/ 45!/*eter%#ar a' 'Mue#te' reace':
a) B1 = (a/ ) ∈ x D a F !) B2 = (a/ ) ∈ x D = a!
11. a*&' &' cu#t&': = 3/ 5/ 8! D = 2/ 3/ 45!/*eter%#ar a' 'Mue#te' reace':
a) B3 = (a/ ) ∈ x D a + 8!) B4 = (a/ ) ∈ x D - a = 1!
12. a*&' &' cu#t&': = 1/ 2/ 3/ 4/ 5! D = 3/ 5/ 7! u#a reac# *ef#*a &r:
B = (a/ ) ∈ x D a + = 8!ar:
a) &%#& *e B
) Ba#M& *e Bc) &%(B) ∩ Ba#(B)
13. > &' are' &r*e#a*&': (2a + 2/ 14) (10/ 2 – 2) 'Muae'. Saar a +
a) 8 ) 9 c) 10 *) 11 e) 12
14. >: = 4/ 7/ 10/ 12! D = 1/ 3/ 8!eter%#ar: B = (a/ ) ∈ x D a ! *ar #(B)
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
15. >: = 1/ 2/ 4! D = 1/ 4/ 9!. eter%#ar B *ar e#$%er& *e ee%e#t&' *e 'u *&%#&.
B = (x/ ) ∈ x D x2
= !
a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
16. ?#*car ,er*a*er& (d) & fa'& () 'eM$# c&rre'*a/re'ect& a u#a reac# B *ef#*a *e e# D.?. #( x D) = #() x #(D)??. #(Ba#M&) = #(&%#&)???. B ⊂ x D
a) dd ) dd c) ddd *) d e) dd
1. NOCIÓN DE CONUNTO
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1) = 1/2/3!2) D = a c) 3)3) ; = a/ / c/ *)
3. RELACION DE PERTENENCIA
> OxO e' u# ee%e#t& *e cu#t& OO e#tce' 'e*ce ue: OxO erte#ece a cu#t& OO/ 'u #&tac#%ate%tca e' a 'Mue#te:
x ε
> OxO #& e' ee%e#t& *e cu#t& OO e#tce' 'e*ce ue OxO #& erte#ece a cu#t& OO/ 'u#&tac6# %ate%6tca e' a 'Mue#te:
X ∉
Ee%&:
1) = 1/ 2/ 3) e#tce':1 ε 2 ε
3 ε 4 ∉ 8 ∉ 7 ∉
Ee%&:
01.- >: = 2/ 3 / 5 / 8 ! e#tce' e' ,er*a*:?. 3 ∈ ??. 5!
∈
???. 8! ∈
>&uc#:
?. (d) : 3 ∈
??. () : &uc#:
= 1 / 3 / 4 / 5 / 7 !D = 3 / 5 / 6 / 8 !; = x+ x ∈ ∧ ∈ D!
&uc#:
a) (d) 2 ∈ ) (d) 2 ∈ 2! ⊂ c) (d) 2! e' ee%e#t& *e
2! ∈
PRO#LEMAS
01.- eter%#ar a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a'r&&'ce' 'Mue#te' ':
= 1/ 2 / 3 / 4!
a) 1 ε ) 2 ε c) 4 ∉ *) 8 ε 5 e) 5 ∉ f) 0 ε
02.- eter%#e a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a'r&&'ce' 'Mue#te' ':
= 1/ 2/ 3!/ 4! / φ)
a) 1 ⊂ ) 4 ε c) 2/ 3)ε *) ∅ ε e) 4! ∉ f) 3 ∉
03.- ?#*car cu#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'
': = ∅/ 1/ 2)/ 3/ 4!
a) 3 ε ) ∅ ε c) 3/ 4/ε *) 3) ε e) 1/ 2! ∉ ) 3 ⊂
04.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 2/ 3/ 4! / #*car a ,er*a* (d) & fa 'e*a* *ea' 'Mue#te' r&&'ce'.
a) 2 ε ) 3 ∉ c) 4 ε *) 5 ε e) 8 ∉ f) 3 ε M) 9 ∉ W) 10 ∉
05.- >e te#e e cu#t& 'Mue#te:
= 2/ 3/ 4/ 5!! / #*car a ,er*a* & fa 'e*a* *ea' 'Mue#te' r&&'ce'.
a) 3 ε ) 4 ε c) 5 ∉ *) 2 ∉ e) 4/ 5! ε f) 2! ε
06.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&:
D = 2/ 3!/ 4/ 5!! #*car a ,er*a* (d) & fa'e*a*() *e a' 'Mue#te' r&&'ce'.
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a) 3 ε D ) 2 ∉ D c) 5 ε D*) 4 ∉ D e) 2! ε D f) 3! εD
07 . - >e te#e &' cu#t&':
= 1 / 2 / 3 ! /∅
! / D = 2 / 3 ! / 5 !
;&&car a erte#e#ca (ε) & #& erte#e#ca (∉) e# a'r&&'ce' 'Mue#te':
a) 2b.. )∅
b... c) 2 3! bb *)
∅
!b...D e) 5b...D f) 6. b...D
08.- >e te#e e cu#t&:
; = 1/ ∅/ 3/ 4!!
?#*car cu#ta' r&&'ce' ' fa'a':
a)∅ ε ; ) 3 ∉ ; c) 4 ε ;
*) 1∉; e) 3/ 4! ∉ ; f) 1! ε ;
09.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&:
= 2 / 4 / 6 / 7 ! / #*car a ,er*a* (d) & fa'e*a*() *e a' 'Mue#te' r&&'ce'.
a ) 6 ∉ ) 4 ε c ) 5 ∉
* ) 2 ⊂ e ) 8 ε f) 2 ∉
10.- >e te#e# &' cu#t&':
= 2/ 4/ 5!/∅
! D = 3!
?#*car a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a' 'Mue#te'r&&'ce'
a) ∅ ε ) 3! ε D c) 4 ε *) 2∉ e) 4/ 5! ε
f) 8 ∉ D
11.- >e te#e e cu#t& = 3/ 6/ 7! . ?#*car a ,er*a* (d)& fa'e*a* () *e a' 'Mue#te' r&&'ce':
a) 6 ε ) 7 ∉ c) ∅ ∉ *) 6! ε e) 8 ∉ f) 3 ε
12.- >e te#e e cu#t&:
= 4 / 5/6! !/ #*car a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a''Mue#te' r&&'ce'
a) 6 ε ) 4 ε c) 5 ∉ *) ∅! ε e) 5/6! ε f) 4! ∉
13.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&:
= 2! / 3/ 4! / ∅ / 5! / #*car cu#ta' r&&'ce' 'fa'a':
a) 2 ∉ ) 3 ∉ c) ∅ ε
*) 5 ε e) 2! ∉ f) 4 ε
14.- >e te#e# &' cu#t&' 'Mue#te':
= 2 / 4/ 5! / ∅)/ D = ∅ / 3! / 1/ 4!!
;&&car a erte#e#ca (ε) & a #& erte#e#ca (∉) 'eM$#c&rre'*a:
a) 4bb ) 4bbD c) ∅b.. *) 3!bbD e) 2..b f) 1/ 4!bbD
DETERMINACIÓN DE UN CONUNTO
"# cu#t& 'e ue*e *eter%#ar *e *&' f&r%a':
1. K&r exte#'# & f&r%a tauar.- E' cua#*& 'e #&%rat&*&' &' ee%e#t&' *e cu#t&.
2. K&r ;&%re#'# & &r%a ;'truct,a E' cua#*&e#u#ca a r&e*a* & caracterN'tca ue te#e &'ee%e#t&' *e u# cu#t&.
Ee%&:
>: = 2xx ε A/ 1 ≤ x ≤ 4!
E'te cu#t& e't *eter%#a*& &r c&%re#'# 'u*eter%#ac# &r exte#'# 'er:
= 2/ 4/ 6/ 8!
Ee%&:
eter%#ar &r exte#'#:
K = x+6 x ∈ A ∧ x 5 !
>&uc#
a#*& &' ,a&re' a x x = 0 / 1 / 2 / 3 / 4e **e:x+6 = 6 / 7 / 8 / 9 / 10
K = 6 / 7 / 8 / 9 / 10 !
PRO#LEMAS
01.- eter%#ar &r exte#'# e 'Mue#te cu#t&: = 2x - 1 x ε A/ 1 ≤ x ≤ 6!
02.- exre'ar &r exte#'# e 'Mue#te cu#t&:D= x2+1 x ε A/ 1 x ≤ 5!
ar a 'u%a *e 'u' ee%e#t&'.
03.- Saar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t&: = 3x+2x ε A/ 1 x 5!
04.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 3x - 2x ε A/ 1 x ≤ 6!
?#*car a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t& .
05.- eter%#ar &r exte#'# &' 'Mue#te' cu#t&':1) = 2xx ε A/ 1 x ≤ 5!2) D = 2x - 1x ε A/ 2 x 6!
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3) ; = x2 + 1x ε A/ 1 x ≤ 5!
4) =
x
2x ε A/1≤ x ≤ 6)
06.- eter%#ar &r c&%re#'# &' 'Mue#te' cu#t&': 1) = 2/ 4/ 6/ 8 10/ 12!
2) D = 4/ 9/ 16/ 25/ 36!3) ; = 17/ 19/ 21/ 23/ 25!4) = 20/ 25/ 30/ 35/ 40!
07.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 2x + 5x ε A/ 1 x 6!
?#*car Qcu#ta' r&&'ce' 'Mue#te' ' ,er*a-*era'R
a)∅ ε ) 9 ε c) 17∉ *) 8 ε e) 11ε f) 11/ 13ε
08.- >e te#e e cu#t& 'Mue#te: D = x + 1x ε A/ 1 x 6!?#*car cua#ta' *e a' 'Mue#te' r&&'ce' '
,er*a*era'a) 1 ε D ) ∅ ε D c) 6 ∉ ; *) 4 ε D e) 3 ε D09.- eter%#ar &r exte#'# e cu#t& 'Mue#te:
= 5x - 1x ε A/ 1 x 6!
10.- Saar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e 'Mue#tecu#t&
= 4x - 5x ε A/ 2 x ≤ 6!
11.- Saar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t&:D = x + 2x ε A/ 1 x ≤ 8!
12.- eter%#ar &r exte#'# &' 'Mue#te' cu#t&':1) = 3xx ε A/ 1 ≤ x ≤ 4!2) D = x2 - 1x ε A/ 1 ≤ x 6!3) ; = 4x - 2x ε A/ 1 x 7!
4) = 3x2
-1x ε A/ 1 x ≤ 4!
13.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = 3x - 1x ε A/ 1 x ≤ 5!
eter%#ar a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t& OO.
14.- >e te#e e cu#t& 'Mue#te: = 2x - 1 x ε A/ 1 x ≤ 6!
eter%#ar cu#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'.a) 3 ε ) 11 ∉ c) ∅ ε *) 1 ∉ e) 5 ε f) 9! ε
15.- >e te#e e 'Mue#te cu#t&: = (x2 + 2x ε A/ 1 ≤ x ≤ 5!
?#*car a 'u%a *e &' ee%e#t&' *e cu#t& OO.
16.- eter%#ar &r c&%re#'# &' 'Mue#te' cu#t&':
1) = 18/ 20/ 22/ 24/ 26!2) D = 8/ 27/ 64/ 125!3) ; = 25/ 27/ 29/ 31/ 33!4) = 5/ 10/ 17/ 26!
1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN
>e *ce ue u# cu#t& OO e't #cu*& e# &tr& cu#t&ODO cua#*& t&*&' &' ee%e#t&' *e cu#t& OO 'ee#cue#tra# e# e cu#t& ODO. >u #&tac# %ate%tca e'a 'Mue#te
⊂ D
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5. CONUNTOS ESPECIALES
5.1. C&uc#:
= 2/3/4gD = 2/3/4/5/6!
?. ;&rrect&. ⊂
D??. ;&rrect&. 3
∈
3!⊂
5
∈
D 5!⊂
D
???. ?#c&rrect&. #() = 3. A& e' c&rrect&3 ⊂ D. & ?. ) >& ??. c)>& ?? ?. *) ? ??e) G&*a'
>&uc#:
= 3! D = 4!?. a'&. D #& te#e 'e#t*&.A& ex'te u#a reac# *e *e'Mua*a* e#tre cu#t&'.??. a'&. = 3 D = 4 #& te#e 'e#t*&. e' u# cu#t& #& u# #$%er&. ?Mua%e#te D.???. der*a*er&. = 3 !
⊂
3/ 4! Bta: c03.- a*& = 2/ 3/ 4/ 5! *eter%#ar a fa'e*a* &,erac*a* *e a' 'Mue#te' r&&'ce'.a. 3!
⊂
*. 2!∈
. 2/5!⊂
e. 5/ 3!⊂
c. 3/6!
⊄ f. ;ar*() ⊂
a) dddddd ) ddddd c) dd*) ddddd
e) dddd
>&uc#:a. (d). (d)
c. (d). 3/ 6!
⊄ 2/3/4/5! =
3/ 6!
⊄ &rue 6
∉
*. (). : = 2/ 3!E#tce' e' c&rrect&:. K() = 4 . 2!! ⊂ K(). 2!
⊂
K() ?d. 3! ∈ K()a) >& ?. ) >& ??.c) >& ? ?d.*) ??? ?d e) ?? ??? ?d.
>&uc#:
= 2/3!K() = ∅ / 2! / 3! / 2/3! !
?. ?#c&rrect&. K() = 4 #& te#e 'e#t*&. K() e' u#cu#t& #& ue*e 'er Mua a 4.
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PRO#LEMAS
01.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&': = 1/ 2/ 3!/ D = 2/ 3! ; = 2/ 3/ 4!?#*car a ,er*a* & fa'e*a* *e a' 'Mue#te'r&&'ce':
a) ⊂ D ) ⊂ ; c) D ⊂ ;
*) ; ⊂ e) ; ⊂ D f ) D ⊂
02.- >e te#e# &' cu#t&': = 2/ 3!/ D = 2/ 3/ 4! ; = 3!?#* car a ,er*a* (d) & fa'e*a* () *e a''Mue#te' r&&'ce'
a) ⊂ D ) ⊂ ; c) D ⊂ ;*) ; ⊂ D e) ; ⊂ f) D ⊂
03.- >e te#e# &' cu#t&' 'Mue#te': = 2/ 3!/ D = 3! ; = 1/ 3!Q;ua#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'R
a) D ⊂ ) ; ⊂ D c) ∅ ⊂ *) ∅ ε e) ⊂ ; f) 3 ∈ D
04.- >: = 3/ 6! D = !/ 'ae#*& a*e%' ue: = D/ Waar a 'u%a *e ,a&re' *e .
05.- >: = % + 1/ # - 2!/ D = 5/ 8! a*e%' = D/ Saar e %a&r ,a&r *e % x #.
06.- >: = 5/ 11!/ D = a + 3/ - 5!/ a*e%' = D/Saar e %e#&r ,a&r *e a x .
07.- >: = a + 2/ 5/ - 1! 'ae#*& ue e cu#t& OOe' u#tar&. Saar: a x .
08.- > e cu#t& D = % + 1/ # - 2/ - 4/ 10! e' u#cu#t& u#tar&. Saar: % + # + .
09.- >: = %+#/ %-#!/ D = 9/ 7!. *e%' = D/ Waar e
%e#&r ,a&r *e x D.
10.- >: = 2/ 4! D = %/ #! *e%': = D. eter%#ar a 'u%a *e &' ,a&re' *e O%O O#O
11.- >: = %+#/ %-#!/ D = 20/8!. *e%': = D.eter%#ar e ,a&r &'t,& *e O% x #O.
12.- > 'e te#e e 'Mue#te cu#t& = 2/ 3/ 4/ 5!! / D = 2/ 3!
?#*car cua#ta' r&&'ce' ' ,er*a*era'
a) ∅ ⊂ ) D ⊂ c) 3 ⊂ D*) 4 ∉ e) 8 ∉ D f) ⊂
13.- > 'e te#e: = xx ∈ A 1 ≤ x ≤ 4!D = 2xx ∈ A 1 ≤ x ≤ 2!
?#*car cua#ta' r&&'ce' ' fa'a': a) D ⊂ ) 1⊂ c) 5 ∈ *) ∅ ⊂ e) ∅∈D f) 3∉
14.- >e te#e# &' cu#t&': = 2/ 3/ 5!! / D = 2/ 3! ?#*car a ,er*a* & fa'e*a*
a) ∅ ∈ ) ⊂ c) ∅ ⊂ D*) D ∈ D e) D ⊂ Df) 2 ⊂
15.- ar 5 ee%&' *e:
a) ;u#t&' u#tar&' ) ;u#t&' #u&'
c) ;u#t&' #f#t&' *) ;u#t&' f#t&'
16.- >e te#e &' 'Mue#te' cu#t&':
= 2/ 3/ 4/ 5!! / D = 3/ 5!?#*car cua#ta' ' r&&'ce' fa'a':
a) ∅ ⊂ ) ∅ ⊂ D c) 5 ∈ *) 3 ∉ D e) D ∈ D f) ⊂
17.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&': = 2xx ∈ A 1 ≤ x ≤ 4!D = 2x + 1x ∈ A 1 x 5!?#*car cua#ta' r&&'ce' ' fa'a':
a) 2 ∈ ) ∅ ∈ c) 5 ∈ D*) ∅ ∈ D e) 11 ∈ D f) 10 ∈
18.- >: = %+1/ #-3! / D = 6/ 7! *e%': = D/ Saar e %e#&r ,a&r *e % x #
19.- >: = % - 1/ # - 2/ + 3/ 6! *e%' e' u# cu#t& u#tar&. Saar: % + # +
20.- >: = % + #/ % - #!/ D = 8/ 10! *e%': = D/ Waar a %e#&r ,a&r *e % x #
21.- >: = 4/ 6! / D = a/ !.Saar a 'u%a *e Oa O. >ae#*& ue = D
22.- >:
= a + / a - !D = 16/ 12!
*e%': = D. eter%#ar e %a&r ,a&r *e Oa x O
UNIN D! "N#UN$S
Dados dos conjuntos A y B se llama unin de A y
B al conjunto !o"mado #o" los elementos $ue
#e"tenecen a A o B%
A & B ' a *∈
A *∈
B +
,e#"esentacin de la &nin
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IN$!RS!""IN D! "N#UN$S
Dados dos conjuntos A y B se llama inte"seccin
de A y B al conjunto !o"mado #o" los elementos
$ue #e"tenece a A y a B%Notación:
A intersección B ⇒ A∩ B
-nte"seccin de dos o m.s conjuntos si/ni!icao0tene" un nue1o conjunto !o"mado #o" todos los
elementos comunes a los conjuntos conside"ados%
∩ D = x x∈
x∈
D !Vrfca%e#te:
DI%!R!N"IA D! "N#UN$S
,esta" es sinnimo de $uita"% l "esultado de lasust"accin se llama di!e"encia% 3i estos conce#tos
lo lle1amos a nuest"o estudio de los conjuntos
tenemos $ue:
3e llama di!e"encia ent"e un conjunto A y ot"o B4
al conjunto 22!o"mado #o" todos los elementos deA $ue no #e"tenecen a B%
5otacin:
Diferencia entre A y B⇒
A – B
A 6 B ' * * ∈ A y * ∉ B +
DI%!R!N"IA SI&'$RI"A
78oda la &nin 4 menos la inte"seccin9
5otacin: A B 7;a di!e"encia sim&uc#
&%#M&' *e &cture1 / 8 / 15 / 22 / 29 5 *&%#M&'Na' ue e'tu*: 31 – 5 = 26 *Na'
E'tu* '&
hMera 6 *Na'
E'tu* a%&' cur'&' 16 – 6 = 10 *Na'
02.- > e# u# aua *e 60 au%#&' 20 ar&ar '&&
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A& Wa ee%e#t&' fuera *e < ∪ L &rue t&*&'ar&ar a %e#&' u# cur'&. e te#e# &' cu#t&':
= 2/ 3/ 4!D = 3/ 5/ 6]; = 1/ 3/ 5!" = 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7!
Saar:a) ∩ D ) i c) D ∆ ;*) ;i e) D – ; f) (; - )i
03.- >e te#e# &' cu#t&':
= 1/ 2/ 3!
D = 2/ 3/ 4!; = 3/ 2/ 1! = 3/ 4!" = 1/2/3/4/5!
Saar:a) - D ) D ∩ ;c) D – *) ∆ e) jf) ∪ ;M) – D W) ( – )j
04.- QYuH &erac# rere'e#ta ca*a u#a *e a'reMe' '&%rea*a'R
) D)
;) )
E) )
V) S)
05.- E# ca*a Mrfc& '&%ree e cu#t& ue 'e #*ca.
) (∩ D) " ; D) ( " D ) ∩ ; ;) ( – D ) " ;
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) (∩
;) – ; E) ( – D ) – ; ) – (D – ; )
V) ( ∩ ;)C S) C " ;C ?) ( – D ) " (D – ; )
06.- >: = x x ∈ A 1 ea# &' cu#t&':
" = 1/2/3/4/5! = 1/2/3!D = 2/3/4!
Efectuar:
a) j- D ) Dj – c) j – D*) ( ∪ Dj) e) j ∆ Djf) j∩ Dj
09.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&':
= 2/ 3/ 4!
D = 3/ 4/ 5!; = 1/ 3/ 5!" = 1/2/3/4/5/6!
) E= (i-Di)∪; D) E = i∪Di ;) E=(;i∆Di)-i
10.- >e te#e# &' cu#t&':
= 1/ 2/ 3!/ D = 2/ 3/ 4!/ ; = 3 / 5!
Saar:
a) ∪D. ) - ; c) D - ;*) ∆ ; e) D ∩ ; f) D -
11.- >e te#e# &' 'Mue#te' cu#t&':
= 2/ 3/ 4! D = 3/ 4/ 5! ; = 4 / 5! = 1/4! "=1/2/3/4/5/6/7!
Saar:
a) - D ) ; ∩ c) ∆ D*) D - e) ∪ Df) D
12.- >e te#e# &' cu#t&':
= 1/ 2/ 3/ 4! D = 2 / 3/ 4!
; = 3/ 5! = 2/ 4!
Saar:
a) ∪ D ) ∩ ; c) - D
*) D – e) - f) ; ∆
13.- = 1/ 2/ 3) D = 2/ 3/ 4); = 3/ 4/ 5) " = 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6!
Saar:a) ∩ D ) i c) D ∆ ;*) Di e) ; – D f) ( ∪ D)i
14.- e'M#a#*&:
: e cu#t& *e t&*&' &' #ac*&' e# e Ker$.D: e cu#t& *e t&*&' &' #ac*&' e# a 'e,aa%aP#ca erua#a.;: e cu#t& *e t&*&' &' #ac*&' e# ?ut&'.E *aMra%a *e de## ue 'e reaca c&rrecta%e#te &'
tre' cu#t&' e':
a) c)
) *)
15.- >: = 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7!D = 5/ 6/ 7/ 8/ 9!; = 4/ 5 !
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E#tce'. Q;ue' ' &' ee%e#t&' ue *ee# e'tare# a arte acWura*a *e *aMra%a:
a) 4 5 6) 4 5 6 7c) 4 6 7*) 123e) 6 7
15.- >: = 1/2/3! /D = 1/2/4! / ; = 2/3/4/5!
E#tce': Q;ue' ' &' ee%e#t&'ue *ee# e'tar e# a arte acWura*a *e *aMra%aR2342 41 2 4
16.- e e#cue't a 120 au%#a' '&re 'u' refere#ca'&r e ,e & a #atac#/ 'e &tu,& &' 'Mue#te're'uta*&':
- a cuarta arte #& e Mu'ta e ,e # a #atac#- a %ta* e' Mu'ta a #atac#- &' 512 e' Mu'ta e ,e
Be'*er a a' 'Mue#te' reMu#ta':
) Q cu#ta' au%#a' e' Mu'ta e ,e a #atac#R) Q cu#ta' au%#a' e' Mu'ta '&a%e#te e ,eR) Q cu#ta' au%#a' e' Mu'ta '&a%e#te a #atac#R
>&uc#:
;cu&' re,&':
# ,e # #atac# =
1
4 . 120 = 30
#atac# =
1
2
. 120 = 60
de =
5
12 . 120 = 50
>ea: x = k *e au%#a' ue e' Mu'ta a%&' *e&rte'.e Mrfc&: (50-x) + x + (60-x) + 30 = 120 140 - x = 120 x = 20#a%e#te:
) k *e au%#a' ue e' Mu'ta e ,e a #atac# = 20) k *e au%#a' ue e' Mu'ta '&a%e#te ,e = 50 - 20= 30) k *e au%#a' ue e' Mu'ta '&a%e#te #atac# = 60 -20 = 40
02.- u#a reu## a''ter 68 tur'ta' *e &' cuae':
20 c&ce# Gac#a reua/ e #$%er& *e tur'ta' uec&ce# reua e' e *&e *e &' ue c&ce# '&Gac#a/ e #$%er& *e &' ue c&ce# Gac#a e' Mua a#$%er& *e &' ue #& c&ce# # Gac#a # reua.Q;u#t&' tur'ta' c&ce# '& reuaR
>&uc#:
>ea:
k tur'ta' ue c&ce# '& Gac#a = xk tur'ta' ue c&ce# Gac#a = x+20k tur'ta' ue c&ce# reua = 2xk tur'ta' ue c&ce# '& reua = 2x – 20 = R
e Mrfc&: x + 20 + 2x – 20 + x + 20 = 68
4x + 20 = 68x = 12
;&ce# '& reua = 2(12) – 20 = 4
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Bta: 4 tur'ta' c&ce# '& reua
PRO#LEMAS
01.- >e te#e e 'Mue#te *aMra%a:
?#*car e #$%er& *e ee%e#t&' e# ca*a ca'&:
a) >& ?#ca I&a e) ?#ca I&a & ;&ca ;&a) >1& ;&ca ;&a ) >& u#a Ma'e&'a
c) ?#ca I&a ;&ca ;&a V) ?#ca I&a*) A& ?#ca I&a S) A& ;&ca ;&a
02.- >e te#e e 'Mue#te *aMra%a:
?#*car e #$%er& *e ee%e#t&' ':
a) >& e) #& D) D f) # # Dc) & D M) er& #& D*) #& W) 03.- u# ca%a%e#t& ccurre# 48 au%#&': 22 #&'ae# c&c#ar/ 32 #& 'ae# ar%ar cara' 12 #& 'ae## c&c#ar # ar%ar cara'. Q;u#t&' au%#&' reaPa#a' *&' act,*a*e'R
a) 4 ) 8 c) 6 *) 5 e) 3
04.- u#a reu## a''ter 68 tur'ta' *e &' cuae':20 c&ce# Gac#a reua/ e #$%er& *e tur'ta' uec&ce# reua e' e *&e *e &' ue c&ce# '&Gac#a/ e #u%er& *e &' ue c&ce# Gac#a e' Mua a#u%er& *e &' ue #& c&ce# # Gac#a # reua.Q;u#t&' tur'ta' c&ce# '&& reuaR
a) 4 ) 8 c) 12 *) 16 e) 24
05.- u# certa%e# *e eePa 'e re'e#tar 250'e\&rta'. >e 'ae ue:- Suer 180 rua' *e a' cuae' 80 u'aa# a#te&&'.- E #$%er& *e ca#**ata' ue #& era# rua' ueta%&c& u'aa# a#te&&' era# &' 25 *e a' ue'&a%e#te u'aa# a#te&&'.
) Q;u#ta' u'aa# a#te&&'R
) Q;u#ta' u'aa# a#te&&' er& #& era# rua'R) Q;u#ta' #& era# # rua' # u'aa# a#te&&'R
06.- E# u#a e#cue'ta a 110 au%#&' '&re a refere#ca&r &' cur'&' *e rt%Htca D&&MNa 'e &tu,er &''Mue#te' re'uta*&':60 refere# rt%Htca
50 refere# D&&MNa20 #& refere# ##Mu#& *e e't&' cur'&'
Q;u#t&' refere# '& u#& *e e't&' cur'&'R
a) 35 ) 29 c) 40 *) 21 e) A
07.- e u# Mru& *e 200 ace#te' exa%#a*&' e# u#acN#ca 'e e#ctr ue 100 #& te#Na# c#cer 80 #&te#Na# *aete' 25 #& te#Na# ##Mu#a *e e'ta'e#fer%e*a*e'. Q;u#t&' te#Na# a%&'R
a) 20 ) 45 c) 50 *) 55e) 75
08.- E# e %e' *e LarP& Verar*& c&% e# e *e'au#&
a# c W&t-*&M (19 *Na') & c cWcWarr# (15 *Na') '*ura#te 4 *Na' *cW& %e' Verar*& e'tu,& e# au#a.Q;u#t&' *Na' c&% a# c cWcWarr# '&a%e#teR
a) 19 ) 15 c) 8 *) 7e) 12
09.- E# u# ce't& Wa %a#Pa#a' era' #ara#a'. "#Mru& *e 80 #\&' c&%er a' fruta' *e a 'Mue#te%a#era: 32 #\&' c&%er %a#Pa#a' 33 #\&'c&%er era' 20 #\&' c&%er #ara#a'/ 4 #\&'c&%er %a#Pa#a' era'/ 7 #\&' c&%er era' #ara#a' 5 #\&' c&%er #ara#a' %a#Pa#a'.Q;u#t&' #\&' c&%er &' tre' t&' *e fruta'*fere#te'R
a) 15 ) 10 c) 12 *) 13e) 11
10.- e 40 au%#&' *e u# aua e #$%er& *e &' uee'tu*a# Late%tca
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a) 32 20 ) 12 8 c) 8 4 *) 20 8e) 30 12
13.- E# u# 'a# *e 100 au%#&': 65 ar&ar BaP.Late%tc&/25 ar&ar BaP. Late%tc& BaP. dera/15 ar&ar '&a%e#te BaP. dera.
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a) 10 ) 15 c) 20 *) 25e) 30
14.- E# u#a e#cue'ta reaPa*a a 120 er'a': 40 ee#'&a%e#te a re,'ta OVe#teO/ 60 ee# '&a%e#te are,'ta O;areta'O/ 12 #& ee# ##Mu#a *e e'ta' re,'ta'.Q;u#t&' ee# a%a' re,'ta'R
a) 8 ) 68 c) 48 *) 20e) 38
15.- e 38 e'tu*a#te' ue *e'far e# u# ata#:
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a) 1 ) 2 c) 3 *) 4 e) 5
16.- E# u#a e#cue'ta reaPa*a a 129 tee,*e#te':
37 ,e# e ca#a 417 ,e# &' ca#ae' 5 234 ,e# e ca#a 515 ,e# &' ca#ae' 4 252 ,e# e ca#a 212 ,e# &' ca#ae' 4 540 ,e# &tr&' ca#ae'.Q;u#t&' tee,*e#te' ,e# &' ca#ae' 4/ 5 2R
a) 15 ) 17 c) 8 *) 20 e) 10