NUMERIČNI MODEL ČLOVEŠKE GLAVE ZA DOLOČITEV …

NUMERIČNI MODEL ČLOVEŠKE GLAVE ZA

DOLOČITEV TOPLOTNE OBREMENITVE

MOŽGANOV

Diplomsko delo

Študent: Boštjan ŠEGULA

Študijski program: Visokošolski strokovni študijski program Strojništvo

Smer: Proizvodno strojništvo

Mentor: izr. prof. dr. Jure MARN

Somentor: asist. dr. Jurij ILJAŽ

Somentorica: doc. dr. Nataša VUJICA HERZOG

Maribor, september 2015

- II -

- III -

I Z J A V A

Podpisani Boštjan ŠEGULA izjavljam, da:

je bilo predloženo diplomsko delo opravljeno samostojno pod mentorstvom izr. prof.

dr. Jure MARN in somentorstvom dr. Jurij ILJAŽ;

predloženo diplomsko delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev

kakršnekoli izobrazbe na drugi fakulteti ali univerzi;

soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet

Univerze v Mariboru.

Maribor, 16.9.2015 Podpis: ___________________________

- IV -

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Jure MARN in

somentorju dr. Jurij ILJAŽ za pomoč in vodenje pri

opravljanju diplomskega dela.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili

študij.

- V -

NUMERIČNI MODEL ČLOVEŠKE GLAVE ZA DOLOČITEV

TOPLOTNE OBREMENITVE MOŽGANOV

Ključne besede: numerični model človeške glave, prenos toplote v tkivu, termoregulacijski

model, numerična simulacija, možgani

UDK: [536.24:612.82]:004.942(043.2).

POVZETEK

V diplomskem delu je predlagan 3D numerični model človeške glave z namenom določitve

temperaturne porazdelitve oziroma toplotne obremenitve možganov v odvisnosti od

temperature okolice, izmenjave toplote in obremenitve človeka. Numerični model vsebuje

detajlno anatomijo glave ob upoštevanju Pennesovega modela prenosa toplote in

termoregulacisjkega modela za napoved temperature arterijske krvi. Analiza stacionarnih in

časovno odvisnih simulacij kaže na to, da je temperatura možganov, bolj ali manj konstantna

in pogojena s arterijsko temperaturo krvi. Razlog tega je v visoki prekrvavljenosti možganov

in nižji toplotni prevodnosti lobanje. Tako je s predlaganim numeričnim modelom mogoče

napovedati kritična stanja in lokalno toplotno obremenjenost možganov.

.

- VI -

THE NUMERICAL MODEL OF THE HUMAN HEAD FOR

DETERMINING THE THERMAL LOAD OF THE BRAIN

Key words: numerical bioheat model of human head, bioheat transfer, thermoregulation

model, numerical simulation, brains

UDK: [536.24:612.82]:004.942(043.2).

ABSTRACT

This work covers the 3D numerical model of human head, which determines the temperature

distribution and the heat load, based on the surrounding temperature, resistance of clothing

and work load. The numerical model is based on the detail anatomical structure of the head,

Pennes bioheat model and thermoregulation model. The steady state and transient results are

showing that the brain temperature is nearly constant and governed by the arterial blood

temperature. The reason is high brain blood flow rate and skull lover conductive properties.

The model determines the critical stages of surviving and local temperature distribution

inside the human head.

- VII -

KAZALO

1 UVOD ........................................................................................ 1

1.1 Problematika ............................................................................................. 1

1.2 Način reševanja ......................................................................................... 2

1.3 Pregled literature........................................................................................ 4

2 PRENOS TOPLOTE V TKIVU ............................................. 6

2.1 Fizikalni dejavniki ..................................................................................... 7

2.2 Pennesov model prenosa toplote ............................................................. 11

3 TERMOREGULACIJSKI MODEL ..................................... 14

3.1 Energijska enačba za jedro ...................................................................... 16

3.2 Energijska enačba za kožo ....................................................................... 17

3.3 Določitev arterijske temperature ............................................................. 19

4 NUMERIČNI MODEL ........................................................... 27

4.1 Geometrija ............................................................................................... 27

4.2 Računska mreža ....................................................................................... 30

4.3 Fizikalni parametri ................................................................................... 32

4.3.1 Določitev koeficientov prestopa toplote ............................................ 34

4.3.2 Robni pogoji in snovne lastnosti ....................................................... 37

4.4 Stacionarni izračuni ................................................................................. 39

4.5 Izračuni pri časovno odvisni simulaciji ................................................... 40

5 STACIONARNI REZULTATI .............................................. 43

6 REZULTATI – ČASOVNO ODVISEN PROBLEM .......... 48

7 ZAKLJUČEK ......................................................................... 56

- VIII -

LITERATURA ................................................................... 58

- IX -

UPORABLJENI SIMBOLI

λ - koeficient toplotne prevodnosti [𝑊

𝑚 𝐾]

𝐴𝑥 - površina [𝑚2]

𝛼 - koeficient toplotne prestopnosti [𝑊

𝑚2 𝐾]

𝑇𝑠 - temperatura trdne površine [𝐾]

𝑇𝑓 - povprečna temperatura [𝐾]

𝑞𝑖 - izparilna toplota vode [𝐽

𝑘𝑔]

𝑄𝐿 - latentna toplota [𝑊]

�̇�𝑧 - masni pretoka zraka [𝑘𝑔

𝑠]

𝑄𝑅𝐸𝑆 - toplotni tok respiracije [𝑊]

𝑐𝑝𝑧 - specifična toplota zraka [𝐽

𝑘𝑔 𝐾]

𝑇0 - temperaturo okolice [𝐾]

𝐸𝑠 - gostota izsevalnega toka črnega telesa [𝑊

𝑚2]

𝜀 - emisivnost telesa

𝐸 - skupni toplotni sevalni tok [𝑊

𝑚2]

�̇�𝑢 - skupna toplota ustvarjanja [𝑊]

�̇�𝑚 - toplota ustvarjanja zaradi metabolizma [𝑊]

�̇�𝑘𝑟𝑣𝑖 - toplota ustvarjanja zaradi perfuzijskega pretoka krvi [𝑊]

�̇�𝑖𝑧𝑔 - toplotna izguba [𝑊]

t - čas [𝑠]

�̅� - prostorska koordinata

𝑐𝑘 - specifična toplota krvi [𝐽

𝑘𝑔 𝐾]

- X -

�̇�𝑘 - prostorninska stopnja perfuzijskega pretoka krvi [𝑚𝑙

𝑚𝑖𝑛∙𝑘𝑔]

𝑄𝑥 - toplotni tok v x smeri [𝑊]

𝐸𝑠 - gostota izsevalnega toka črnega telesa [𝑊

𝑚2]

T - temperatura [𝐾]

𝑚𝑣 - masa vode [𝑘𝑔]

𝑄𝐸𝑉 - toplotni tok evaporacije [𝑊]

𝑇𝑖 - temperatura izdihanega zraka [𝐾]

𝜎 - Stefan-Boltzmannova konstanta [𝑊

𝑚2 𝐾4]

𝐸𝑎 - absorbirani sevalni tok [𝑊

𝑚2]

�̇�𝑠 - toplota shranjevanja [𝑊]

�̇� - stopnja dela [𝑊]

𝜌 - gostota [𝑘𝑔

𝑚3]

c - specifična toplota [𝐽

𝑘𝑔 𝐾]

∇𝑇 - sprememba temperature [𝐾]

�̂� - enotski vektor

𝜌𝑘 - gostota krvi [𝑘𝑔

𝑚3]

𝑇𝑎 - temperatura arterije [𝐾]

M - metabolizem [𝑊]

𝑄𝑘 - toplota zaradi prevodnosti [𝑊

𝑚2]

𝑄𝑏𝑓 - toplota zaradi konvekcije med jedrom in kožo [𝑊

𝑚2]

𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 - stopnja srčnega utripa [1]

𝐴𝐷 - površina telesa po Duboisu [𝑚2]

h - višina [𝑚]

- XI -

𝑇𝑎 - temperatura arterije [𝐾]

𝑇𝑗 - temperatura jedra [𝐾]

𝑇𝑘 - temperatura kože [𝐾]

𝑐𝑝𝑏 - specifična toplota krvi [𝐽

𝑘𝑔 𝐾]

𝜔𝑏𝑓 - perfuzijski pretok krvi [𝑚𝑙


𝑆𝑘 - toplotna bilanca za kožo [𝑊

𝑚2]

𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝 - toplotni tok evaporacije [𝑊

𝑚2]

𝑄𝑏𝑓 - toplotna prevodnost skozi tkivo in kožo [𝑊

𝑚2]

𝑄𝑑𝑟𝑦 - toplotna izguba s kože zaradi oblačil [𝑊

𝑚2]

𝑅𝑐𝑙𝑡 - toplotna upornost obleke [𝑚2 𝐾

𝑊]

𝛼𝑥 - koeficient toplotne prestopnosti [𝑊

𝑚2 𝐾]

𝐸𝑚𝑎𝑥 - stopnja največjega izhlapevanja [𝑊

𝑚2]

𝑆𝑗 - toplotna bilanca za jedro [𝑊

𝑚2]

𝑉𝑘 - volumen kože [𝑚3]

𝑇𝑘𝑡 - temperatura kože v novem času [𝐾]

𝑇𝑘𝑡−1 - temperatura kože v prejšnjem času [𝐾]

∆𝑡 - časovni korak [𝑠]

𝑇𝑗𝑡−1 - temperatura jedra v prejšnjem času [𝐾]

𝑇𝑗𝑡 - temperatura jedra v novem času [𝐾]

𝑐𝑝𝑡 - specifična toplota telesa [𝐽

𝑘𝑔 𝐾]

𝜌𝑡 - gostota telesa [𝑘𝑔

𝑚3]

𝜑 - relativna vlažnost [%]

- XII -

𝑎1 - spemenljivka [𝐽

𝑠 𝐾]

L - višina [𝑚]

𝑇𝑝 - povprečna temperatura [𝐾]

𝑧 - kinematična vizkoznost zraka [𝑚2

𝑠]

𝛽𝑧 - prostorninska temperaturna razteznost zraka [𝐾−1]

𝜆𝑧 - toplotna prevodnost zraka [𝑊

𝑚 𝐾]

𝑐𝑝𝑧 - specifična toplota zraka [𝐽

𝑘𝑔 𝐾]

𝜌𝑧 - gostota zraka [𝑘𝑔

𝑚3]

𝑁𝑢 - Nusseltovo brezdimenzijsko število

C - konstanta

n - konstanta

𝑃𝑟 - Prandtlovo brezdimenzijsko število

𝐺𝑟 - Grashofovo brezdimenzijsko število

𝑅𝑒 - Reynoldsovo brezdimenzijsko število

𝑣𝑚𝑎𝑥 - maksimalna hitrost [𝑚

𝑠]

U - koeficient prehodnosti [𝑊

𝑚2 𝐾]

𝜆𝑃 - toplotna prevodnost puhovke [𝑊

𝑚 𝐾]

𝑑𝑝 - debelina puhovke [𝑚]

�̇�𝑚 - metabolizem [𝑊

𝑘𝑔]

- XIII -

UPORABLJENE KRATICE

FS - Fakulteta za strojništvo

ISO - International Organisation for Standardization

MKE - Metoda končnih elementov

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo

- 1 -

1 UVOD

Človek je homeotermno bitje, kar pomeni da sam proizvaja in oddaja toploto, tako da

vzdržuje neko stalno telesno temperaturo. Za normalno delovanje človeškega telesa mora tako

produkcija, kot oddajanje toplote biti v ravnovesju, kar je osnovni pogoj za normalno telesno

temperaturo in s tem povezano celično presnovo in delovanje organizma kot celote. Prenos

toplote, kot zelo razširjen prenosni pojav in kot tak vpet v naš vsakdanjik, se v zadnjem času

vedno bolj uveljavlja tudi na medicinskem področju [5]. Iz tega vidika bomo z našo študijo

povzeli že obstoječe modele prenosa toplote v tkivih in nadgradili s računalniško podprtimi

simulacijami, s čimer bomo pripomogli k razvoju prenosnih pojavov toplote pri človeku.

1.1 Problematika

Prenos toplote v bioloških sistemih je zapleten proces. Njegova analiza pa zaradi heterogene

strukture ožilja, kompleksnosti omrežij arterij in ven, različne metabolične stopnje dokaj

težka. K tej zapletenosti še dodatno prispevajo odvisnost lastnosti tkiv od njihovih fizioloških

pogojev.

Razumevanje prenosa toplote v človeškem telesu je velikega pomena tako za boljši vpogled v

termoregulatorni mehanizem, kakor tudi za bilanco zdravstvenega stanja. Termoregulatrni

mehanizem se nahaja v hipotalamusu v centralnem živčnem sistemu v glavi. Njegova naloga

je uravnavanje telesne temperature telesa, prejema informacije o temperaturi kože iz

perifernih receptorjev ter informacije o temperaturi sredice iz centralnih receptorjev. Tako

imenovani toplotni receptorji, ki so povsod po telesu imajo funkcijo komunikacije z

centralnim živčnim sistemom in ohranjanje telesne toplote z zmanjšanjem ali povečanjem

toplotnih izgub.

Človek je toplokrvno bitje, zaradi česar se mu pri povišani oziroma znižani normalni telesni

temperaturi spremeni ne samo temperatura telesa, temveč tudi temperatura krvi, ki se pretaka

po arterijah, kar ima za posledico tudi ohlajanje oziroma pregrevanje možganov. To pa

bistveno vpliva na miselne sposobnosti v takšnih pogojih kot je težko odločanje, izgubljenost,

slabost, koma, nezavest itd. Možgani so najzapletenejši organ v človeškem telesu, saj


- 2 -

uravnavajo oziroma nadzirajo delovanje vseh drugih organov, zraven tega, da so glavne

funkcije motorika, racionalno mišljenje, nastajanje kratkoročnega spomina, ohranjanje

identitete,voh, itd. Prav iz tega naslova toplotnih obremenitev in funkcij, ki jih možgani

upravljajo pri procesiranju smo se odločili izdelati numerični model človeške glave, z

namenom termične simulacij in s tem določitve toplotne obremenitve možganov oziroma

temperaturnega polja odvisno od različnih pogojev, kot je temperatura okolice in telesna

obremenjenost človeka. Zraven iskanja primernega modela, ki opisuje prenos toplote v tkivih

bo tako potrebno še vključiti termoregulacijski model za natančnejšo napoved odzivanja

telesa. Napredek na področju računalništva sta pripeljala do tega, da je mogoče z računsko

dinamiko tekočin (RDT) v naprej simulirati prenosne pojave, kot je prenos toplote, tudi pri

človeškem telesu. Tako lahko s kompleksnimi numeričnimi 3D modeli človeka ali samo

določenega dela človeka (glave v našem primeru) na osnovi prenosa toplote v tkivu pridemo

do simulacij prenosa toplote oziroma temperaturnega obnašanja tkiva.

Namen numeričnih simulacij je določitev učinkovitosti nekaterih kliničnih aplikacij, kot je

hipertermija in kriokirurgija kot ena izmed načinov odstranjevanja obolelega tkiva, določitve

odzivov tkiva ali celega telesa na različno okolje (simulacija toplotne obremenitve gasilcev),

kot tudi namena diagnostike, kot je termografija z namenom določitve spremembe stanj

oziroma obolenj, kot je rak, arterioskleroza itd [5].

1.2 Način reševanja

V diplomski nalogi se bomo omejili na izvedbo kompleksnega numeričnega modela glave z

namenom določitve temperature možganov. Tako bo model služil za določevanje toplotne

obremenjenosti človeka pri ekstremnih pogojih, kot tudi na primer za določitev vpliva gretja

ali hlajenja v primeru podhladitve ali aplikativnega posega zmanjšanja poškodb pri možganski

kapi ali notranji krvavitvi možganov.

Kot prvo bomo podali model prenosa toplote v tkivih, kot tudi termoregulacijski model, ki

napove temperaturo telesa. Izdelali bomo toplotni numerični model realne 3D geometrije

človeške glave in ga nadgradili s upoštevanjem realnih snovnih lastnosti. Za razliko od

številnih člankov, drugih avtorjev, ki se nanašajo na to tematiko, bomo poskušali zajeti realno


- 3 -

geometrijo glave s celotno anatomijo, kot so kosti, mišice, različna tkiva itd., ter se s tem

približali realnejši obravnavi. V zadnjem koraku pa bomo poskusili zajeti spremenljivo

arterijsko temperaturo krvi oziroma telesa, ki se spreminja glede na to, v kakšnih pogojih se

človek nahaja. V ta namen bomo postavili model, ki napove temperaturo človeškega telesa

glede na zunanje okoliščine. Podoben primer je obravnaval Jung-Hyun Kim [2], kjer so

postavili termoregulatorni model gasilca. Model gasilca je bil preizkušen tako v praksi, kakor

tudi v študiji, katera je pokazala potencial za relativno natančno predvidevanje oziroma

napoved odziva telesne temperature pri gasilcih.

Tako bo s postavljenim numeričnim modelom možno simulirati časovno odvisno

spreminjanje temperature glave oziroma možganov z namenom določitve vpliva določenih

zunanjih okoliščin, oblačil, grelnikov, itd. Pričujoče delo bo tako predstavljalo novost na tem

področju, saj bo zajet večji del fizike, s čimer bo moč dobiti realnejše obnašanje oziroma

odzive in s tem temperaturno porazdelitev.

Prav tako bomo s študijo ugotovili ali je temperatura možganov odvisna bolj od arterijske

temperature krvi ali prehoda toplote skozi tkivo v okolico.

Predpostavke:

- model bo vseboval različna tkiva, ki bodo imela homogene lastnosti,

- na modelu bomo izvedli tako stacionarne, kot časovno odvisne simulacije,

- perfuzijski pretok krvi bo konstanten in neodvisen od temperature,

- arterijska temperatura krvi bo odvisna od zunanjih okoliščin, oziroma bo izračunana

na osnovi termoregulacijskega modela.

Pri tem se bomo omejili, da:

- bo posamezno tkivo homogeno,

- model ne bo vseboval ožilja,


- 4 -

- bomo tokovne in toplotne razmere okoliškega zraka zajeli s primernimi robnimi pogoji

(okoliškega zraka ne bomo modelirali).

1.3 Pregled literature

To področje je vsekakor zanimivo tako iz razvojnega, kot praktičnega stališča, saj smo priča

številnim znanstvenim objavam. Tako so raziskovalci v zadnjih desetletij poizkušali narediti

model kompleksnega toplotnega vedenja človeškega telesa, se tega v zadnjem času lotevamo

z uporabo numeričnih modelov za računalniške simulacije, pri katerih je mogoče natančnejše

opisati potek prenosa toplote.

Za celovito obravnavo toplotne obremenitve možganov oziroma glave, smo se ob pregledu

literature omejili na tri ključne članke, katere v nadaljevanju tudi povzemamo:

- izbira primernega modela prenosa toplote v tkivu (Pennesov model) [3],

- izbira termoregulacijskega modela (model gasilec) [2],

- pregled modeliranja človeške glave (simulacija SAR) [4].

Za enega najstarejših in najbolj preprostih modelov zagotovo velja tako imenovani Pennesov

model prenosa toplote v tkivih, ki temelji na perfuzijskem pretoku krvi. Enačbo je Pennes leta

1948 razvil na eksperimentalni analizi človeške podlakti in je v bistvu spremenjena verzija

enačbe prevoda toplote, vključno z učinki perfuzijskega pretoka krvi in stopnje metabolizma.

V preteklosti so ta model kritizirali, ponovno preverjali in spreminjali mnogi raziskovalci,

predvsem zaradi različnih Pennesovih domnev. Kljub vsemu pa mnoga pomembna

raziskovanja prenosa toplote v tkivih temeljijo ravno na matematični analizi tega modela, saj

se model veliko uporablja za oceno prenosa toplote in sprememb temperature v biološkem

tkivu in organih, pri različnih terapevtskih uporabah, kot so povišana telesna temperatura

(Roemer and Cetas, [3]), povišana temperatura možganov (Zhu and Diao, [3]), ablacija tkiva

(Jaunich et al., [3]), toplotna terapija (Okajima et al., [3]; Gupta et al., [3]), kirurgija z

zamrzovanjem (kriokirurgija) (Rossi in Rabin, [3]), diagnostika tumorjev (Das et al., [3]) itd.

Zraven primernega modela, ki opisuje prenos toplote v tkivih, je bilo za natančnejšo napoved

odzivov potrebno izbrati termoregulacijski model. Ob pregledu literature smo se odločili za


- 5 -

model gasilca, avtorja Jung-Hyun Kim [2], ki opisuje študijo odzivov telesne temperature pri

vadbi gasilcev v realnem času. Upoštevani so bili vsi okoliški parametri, vključno

upoštevanimi gasilskimi oblikami. Model se je izkazal kot zelo uspešen, saj je mogoče

predvideti relativno natančne izračune.

V zadnjem članku avtor Oriano Bottauscio [4] ocenjuje veljavnost oziroma pravilnost

nastavitve robnih pogojev pri analizi poenostavljenega človeškega 3D modela in primerja z

rezultati druge metode. Osredotoča se na ocenitev specifične stopnje absorpcije (SAR) in

porasta temperature v obsevanem človeškem telesu z znanimi vrednostmi električnih in

magnetnih polj okoli telesa ob vključitvi perfuzijskega pretoka krvi in stopnji metabolizma.

Pri tem se obravnava poenostavljen model glave, neupoštevanje različnih tkiv.


- 6 -

2 PRENOS TOPLOTE V TKIVU

Vsako nepravilno toplotno odstopanje v človeškem telesu se v medicini smatra kot znak za

nenormalno fiziološko stanje kot to navaja avtor Jurij Iljaž [5], kar se odraža s povišano

oziroma znižano telesno temperaturo od normalne. Da bi lahko razumeli kaj vpliva na

spremembo temperature telesa oziroma tkiva, je potrebno poznati fizikalne dejavnike, ki

vplivajo na prenos toplote v tkivu. Znano je, da na temperaturo tkiva vplivajo pretok krvi,

metabolizem celic ter prenos toplote z okolico, pri čemer pretok krvi v tkivu označujemo s

perfuzijskim pretokom krvi. Le-ta je določen s pretokom skozi kapilarno mrežo, male

arteriole in vene ter medceličnim prostorom. Perfuzijski pretok krvi igra pomembno vlogo

tako pri fiziologiji tkiva (prenos kisika, hranilnih snovi itd.), kot tudi pri termoregulaciji

zaradi velike kapilarne površine. Tako ima perfuzijski pretok krvi funkcijo izvora oziroma

ponora toplote, odvisno od temperaturne razlike med arterijsko temperaturo krvi in okoliškim

tkivom [5].

Perfuzijski pretok krvi ima tako tudi pomembno vlogo ohranjanja sistema pri življenju,

vključno s samo proizvodnjo toplote (metabolizem), saj zraven transporta kisika neprekinjeno

dobavlja in razporeja energijo za različne procese, kot so biosinteza molekul, prenos signalov

v obliki molekul in ionov prek celičnih membran in opravljanje mehaničnega dela za celično

gibanje in krčenje mišic. Energijo, ki je potrebna za te različne mehanske in kemijske procese

izhaja iz oksidacije hrane in svetlobe. Hrana se v človeškem prebavnem sistemu razgradi v

manjše delce z različnimi kemičnimi in fizikalnimi sredstvi, ki jih nato črevesne stene

absorbirajo v obliki posameznih molekul. Ožilje ustrezne molekule razporeja po telesu, kjer

jih glede na potrebe uporabljajo celice med kataboličnimi in med anaboličnimi reakcijami za

ustvarjanje toplote. Poleg asimilacije hrane, ter s procesi, ki prispevajo k delovanju

metabolizma, se toplota ustvarja tudi z delovanjem mišic [3] [5].

Toplota, ki se ustvarja v tkivih zaradi različnih celičnih dejavnosti, tako v normalnih, kot

nenormalnih pogojih, se porazgubi v okolje in/ali se s kombinacijo različnih mehanizmov

prenese na druga mesta.

Skratka, da je telo v toplotnem ravnovesju, mora biti stopnja proizvedene energije oziroma

toplote enaka stopnji odvedene energije, kar je bistvenega pomena pri vzdrževanju konstantne


- 7 -

telesne temperature [11]. Odstopanje toplotne bilance v različnih pogojih bomo nadalje

prikazali z izračunom v poglavju 3. Ko telo ni sposobno oziroma ne more ohranjati toplotne

bilance v ravnovesju, se skladiščena oziroma potrebna toplota dolgoročno povečuje oziroma

znižuje, kar privede do povišanja oziroma znižanja telesne temperature od normalne in s tem

posledično tudi do spremembe perfuzijskega pretoka krvi [5].

Tako je perfuzijski pretok krvi pomemben parameter pri prenosu toplote v tkivu in človeškem

telesu, saj lahko s pomočjo le-tega pridemo do toplotne obremenitve tkiva oziroma simulacije

prenosa toplote. Kot navaja avtor Jurij Iljaž [5] je znano, da je temperatura kože na mestu

rakavega obolenja zaradi visoke prekrvavitve nekaj stopinj višja od temperature okoliške

kože. V nasprotnem primeru, ko je lokalna temperatura nižja od okoliškega tkiva, kar se

odraža z znižanjem prefuzijskega pretoka zaradi zožitve ožilja pa pride v primeru tromboze

ali vaskularne stenoze [5].

Perfuzijski pretok krvi je kot pomemben klinični parameter ne le na področju diagnostike,

temveč tudi na področju nekaterih kliničnih aplikacijah, kot so npr. presaditev organov in

tkiv, hipertermija, kriokirurgija, zdravljenje opeklin, transportu zdravil [5].

2.1 Fizikalni dejavniki

Zaradi toplotnega transporta preko krvožilnega sistema predstavlja prenos toplote v telesu

oziroma v tkivu posebno področje te splošne znanosti. Za razumevanje prenosa toplote v

tkivu je potrebno poznati fizikalne pojave oziroma dejavnike, ki vplivajo na prenos pojava,

katere bomo nadalje na kratko tudi predstavili, nato pa poskušali podrobneje predstaviti tudi

matematični model prenosa toplote v tkivu. Ta model temelji na perfuzijskem pretoku krvi in

ga bomo kasneje uporabili pri simulaciji numeričnega modela človeške glave za določitve

toplotne obremenitve možganov [5] [11] [15].


- 8 -

Slika 2.1 - Nadzorna prostornina elementa tkiva [15]

Človeško telo s procesi metabolizma stalno ustvarja toploto, ter jo izmenjuje z okoljem in

med notranjimi organi oziroma tkivi kot to navaja avtorica Eva Klemenčič [11] (slika 2.1):

a) prevajanja (prevod toplote), ki temelji na eksperimentalnem delu Biot-a, vendar je v

glavnem poznan kot Fourierov zakon, ki pravi da je toplotni tok v dani smeri

sorazmeren površini ki je pravokotna na smer toplotnega toka, in temperaturnemu

gradientu v tej smeri. Toplotni tok teče od telesa z višjo temperaturo na telo z nižjo

temperaturo, dokler ne doseže termodinamičnega ravnovesja. Toplotni tok za eno

dimenzijo v smeri x lahko zapišemo kot [6][11]:

𝑄𝑥 = −λ𝐴𝑥

𝜕𝑇

𝜕𝑥,

(2.1)

kjer je λ toplotna prevodnost in je v splošnem funkcija temperature λ = λ(T), 𝐴𝑥 je

površina in 𝜕𝑇

𝜕𝑥 je enodimenzijski gradient temperature. Negativni predznak nakazuje

na toplotni tok s področja višje na področje z nižjo temperaturo. S prevajanjem toplote

bomo kasneje obravnavali prenos toplote med posameznimi tkivi v telesu [6][11].

b) konvekcije, ki je posredni prenos toplote med tekočino in trdno steno, pri čem je

gibanje tekočine pogojeno relativno glede na površino. Glede na gibanje ločimo

naravno in prisilno konvekcijo. Pri naravni konvekciji imata največji vpliv vzgon in

težnost, saj tekočina s segrevanjem postaja redkejši in se zaradi sile vzgona prične

dvigovati, na njegovo mesto pa priteče hladnejši del tekočine. Posledica temperaturnih

metabolizem

prevod toplote

perfuzijski pretok krvi

PRENOS TOPLOTE NA POVRŠINI

POTEKA s prevajanjem, konvekcijo,

sevanjem in izhlapevanjem

(SKLADIŠČENJE)


- 9 -

razlik med površino in tekočino je vzrok gibanja razlika gostot tekočine. Pri prisilni

konvekciji pa sodelujejo zunanji tokovi, kot sta veter in tok tekočine [11].

Toplotni tok med trdno površino temperature 𝑇𝑠 in okoliško tekočino povprečne

temperature 𝑇𝑓 izmenjuje toploto s konvekcijo in je odvisen od temperaturne razlike,

površine 𝐴𝑥 in koeficienta toplotne prestopnosti 𝛼:

𝑄𝑥 = 𝛼𝐴𝑥(𝑇𝑠 − 𝑇𝑓), (2.2)

Koeficient toplotne prestopnost lahko določimo iz eksperimentalno dobljenih

obrazcev in je analitično določljiva le za zelo enostavne primere toka, npr. laminarni

tok okrog telesa enostavnih oblik. Toplotna prestopnost 𝛼 ni snovna lastnost, saj ni

odvisna samo od lastnosti snovi in vrste konvekcije, temveč tudi od temperature,

hitrosti, geometrije ipd [6][11].

c) izhlapevanja, kjer ga pri človeku zaznamo z znojenjem in je posledica toplega okolja.

Tako sproži hipotalamus ob povišani temperaturi jedra signal za večjo aktivnost žlez

znojnic, ki pričnejo na površino kože dovajati znoj oziroma vodo z raztopljenimi ioni.

Na površini kože pride do tako imenovanega faznega prehoda, kjer voda z maso 𝑚𝑣

ob dovajanju latentne toplote 𝑄𝐿 preide v plinasto fazo:

𝑄𝐿 = 𝑚𝑣𝑞𝑖, (2.3)

kjer je 𝑞𝑖 izparilna toplota vode in pri temperaturi 100 °C ter tlaku 105 Pa znaša le-ta

2256 kJ/kg. Ker na površini kože voda izhlapeva pri nižji temperaturi od vrelišča, je za

fazni prehod v plinasto agregatno stanje potrebna večja izparilna toplota. Z

evaporacijo zaradi znojenja telo v časovnem intervalu 𝑑𝑡 odda toplotni tok 𝑄𝐸𝑉

[6][11]:

𝑄𝐸𝑉 = −𝑑(𝑚𝑣𝑞𝑖)

𝑑𝑡, (2.4)

d) dihanja oziroma respiracije, katerega toplotni tok 𝑄𝑅𝐸𝑆 je v osnovi odvisen od

masnega pretoka zraka �̇�𝑧, specifične toplote zraka 𝑐𝑝𝑧, ki znaša 1,013 kJ/kg K in

temperaturne razlike med 𝑇𝑖 temperaturo izdihanega zraka in med 𝑇0 temperaturo


- 10 -

okolice. Pri človeku je respiracija v primerjavi s skupno oddano toploto zanemarljiva,

izračuna pa se jo po enačbi [6][11]:

𝑄𝑅𝐸𝑆 = �̇�𝑧𝑐𝑝𝑧(𝑇𝑖 − 𝑇0), (2.5)

e) sevanje. Vse snovi oddajajo toploto v obliki toplotnega sevanja oziroma

elektromagnetnega valovanja, pri čemer elektromagnetno valovanje za prenos toplote

ne potrebuje snovi. Telesa sevano toploto tudi vsrkajo, odbijajo in prepuščajo.

Največji sevalni toplotni tok, ki ga telo s temperaturo 𝑇𝑠, oddaja v prostor, je podan s

Stefan-Boltzmannovim zakonom [6][11]:

𝐸𝑠 = 𝜀𝜎𝑇𝑠4, (2.6)

kjer je 𝐸𝑠 gostota izsevanega toka črnega telesa, 𝑇𝑠 je absolutna temperatura, 𝜀 je

emisivnost telesa in 𝜎, ki je Stefanova-Botz konstanta in znaša 5,67 ∙ 10−8 𝑊/𝑚2𝐾4.

Vsak sistem, ki toploto seva, jo hkrati tudi prejema od okolice s temperaturo 𝑇0.

Definicija absorbiranega sevalnega toka 𝐸𝑎 je definirana podobno, kot sevalni tok.

Skupni toplotni sevalni tok 𝐸 je razlika med absorbiranim in sevalnim tokom [11] [6]

brez upoštevanja oblikovnih faktorjev.

𝐸 = 𝐸𝑎 − 𝐸𝑠 = 𝜎𝜀(𝑇04 − 𝑇𝑠

4). (2.7)

V kolikor je temperatura okolice nižja od temperature sistema, sistem več toplote

odda, kar pomeni da je toplotni tok sevanja negativen. Človek seva in absorbira skoraj

kot črno telo, saj znaša 𝜀 okrog 0,98 [11].


- 11 -

2.2 Pennesov model prenosa toplote

Sredi 20. stoletja, natančneje leta 1948 je Pennes prvi razvil enačbo – matematični model

prenosa toplote v tkivu na temelju perfuzijskega pretoka krvi, sicer na invazivnem merjenju

temperature tkiva podlakti in kot takšen še danes velja za enega splošno najbolj uporabljenega

ter znanega [5].

Pennesov model se je skozi zgodovino obdržal, kljub temu, da so ta model v preteklosti

kritizirali, ga ponovno preverjali in spreminjali mnogi raziskovalci, predvsem zaradi

Pennesovih domnev. Kljub vsemu pa mnoga pomembna raziskovanja prenosa toplote v tkivu

temeljijo ravno na matematični analizi tega modela, saj zajema ključne dejavnike prevoda

toplote, vključno z učinki krvnega pretoka in izvora zaradi metabolizma celic [15].

Ker gre za enega najstarejših in najbolj preprostih modelov, kateri je še vedno aktualen, smo

se odločili ta matematični model, ki sloni na analitičnih izračunih, uporabiti numerično

simulacijo toplotne obremenitve človeške glave oziroma za postavitev numeričnega modela

človeške glave in s tem prispevati k realnejši sliki toplotne obremenitve možganov oziroma

temperaturne porazdelitve [15][3].

V nadaljevanju bomo interpretirali ključne fizikalne dejavnike Pennesovega (biotoplotnega)

modela, ki izhajajo iz načela ohranitve energije, obravnavani v članku Body (Human) heat

transfer [15]:

�̇�𝑢 = �̇�𝑠 + �̇�𝑖𝑧𝑔 + �̇�, (2.8)

kjer izraz �̇�𝑢 označuje stopnjo ustvarjanja toplote zaradi procesov metabolizma in

perfuzijskega pretoka krvi (�̇�𝑢 = �̇�𝑚 + �̇�𝑘𝑟𝑣𝑖), �̇�𝑠 je stopnja shranjevanja toplote v tkivu in

tekočinah, �̇�𝑖𝑧𝑔 je toplota izgubljena v okolju in okoliških tkivih in �̇� stopnja dela, ki ga

opravlja tkivo. Zadnja veličina je na ravni tkiv običajno zanemarljiva [15] [7].

V elementu tkiva, kot je prikazano na sliki 1, se toplota zaradi metaboličnega izvora [W/m3]

ustvarja v odvisnosti od kraja in časa �̇�𝑚(�̅�, 𝑡), kar ob integraciji skozi celotni kontrolni

volumen pripelje do [15] :


- 12 -

�̇�𝑚 = ∫ �̇�𝑚𝑉

(�̅�, 𝑡) 𝑑𝑥, (2.9)

kjer �̅� označuje prostorsko koordinato, t pa čas.

Pri nestabilnih pogojih se del toplotnega pretoka shrani v kontrolni volumen:

�̇�𝑠 = ∫ 𝜌𝑐(�̅�)𝜕𝑇(�̅�, 𝑡)

𝜕𝑡𝑉

𝑑𝑉, (2.10)

kjer je 𝜌 [kg/m3] gostota tkiva, c [J/kg K] je specifična toplota tkiva, T pa je temperatura tkiva

[15].

Enačba, ki ponazarja toplotno izgubo v okoliška tkiva je toplotna izmenjava prek toplotne

difuzije - prevod toplote (Fourierjev zakon prevoda toplote):

�̇�𝑖𝑧𝑔 = ∫ 𝜆∇𝑇(�̅�, 𝑡) ∙ �̂�𝐴

𝑑𝐴, (2.11)

kjer je λ [W/m K] koeficient toplotne prevodnosti tkiva, ∇𝑇(�̅�, 𝑡) je sprememba temperature,

�̂� je enotski vektor, ki je usmerjen navzven in A je površinsko območje nadzorne prostornine.

Drugi sestavni del izvora toplote v okoliška tkiva je perfuzija oziroma perfuzijski pretok krvi.

Kri kroži v različnih žilah, od žil s pretočnim premerom 2,5 cm (aorta) do 6–10 mm

(kapilare). Zaradi te štirikratne porazdelitve so učinki toplotnega prenosa krvi povezani s

specifično skupino obravnavanih žil. Splošni pristop k ponazarjanju tega učinka je

predpostavka, da je stopnja toplote, ki jo prevzame kri na ravni kapilar, enaka razliki med

vensko in arterijsko temperaturo, pomnoženo s krvnim pretokom (Fickov zakon) [15]:

�̇�𝑘𝑟𝑣𝑖 = ∫ 𝜌𝑘 ∙ 𝑐𝑘 ∙ �̇�𝑘(𝑇𝑎 − 𝑇𝑣)𝑉

∙ 𝑑𝑉, (2.12)

kjer je 𝜌𝑘 in 𝑐𝑘 [kJ/m3 K] toplotna kapaciteta krvi, �̇�𝑘 [kg/m

3 s] pa je prostorninska stopnja

perfuzije oziroma perfuzijski pretok krvi. Na kapilarni ravni je hitrost krvnega pretoka zelo

počasna, zato se pojavi toplotno uravnoteženje z okoliškim tkivom. Torej je mogoče z enačbo

12 prilagoditi z določitvijo 𝑇𝑣 = 𝑇 (Pennes, 1948). Ko so vsi izrazi zamenjani v enačbi 2.8


- 13 -

lahko integralno enačbo 2.8 zapišemo v diferencialni obliki za elementarni volumen 𝑑𝑉 in

tako pridemo do dobro poznane Pennesove enačbe oziroma modela, ki se zapiše kot [15]:

𝜌𝑐𝜕𝑇

𝜕𝑡= ∇ ∙λ∇𝑇 + 𝜌𝑘𝑐𝑘�̇�𝑘(𝑇𝑎 − 𝑇) + �̇�𝑚 (2.13)

Model je zelo koristen pri analizi toplotnega prenosa v različnih organih in tkivih, ki jih

zaznamuje gosto kapilarno omrežje. Drugi toplotni učinki zaradi krvnega pretoka niso

zadovoljivo pojasnjeni z zgornjo enačbo 2.13, kot so to analizirali Chen in Homes [8], ter

Weinbaum et al. [8] vključno z: 1) protitočnim prenosom toplote med sosednjimi žilami, 2)

učinkov usmerjenosti zaradi prisotnosti večjih krvnih žil, in 3) toplotne izmenjave z večjimi

žilami, pri čemer se ne vzpostavi celotno toplotno ravnotežje. Zgoraj naštete domneve nas v

našem primeru ne obremenjujejo, saj naš model glave ne bo vseboval ožilja [15] [8].

Prenos toplote z okoljem poteka prek zapletene kombinacije prevodnosti, konvekcije, sevanja

in izhlapevanja. Pri čemer določeno vlogo pri tem igrajo tudi drugi faktorji kot so oblačila,

naravna povrhnjica (koža), okoliška klima - hitrosti vetra, vlaga, idr. Za dober približek teh

učinkov oziroma izmenjave toplote z okolico bomo uporabili termoregulacijskega modela, ki

je opisan v naslednjem poglavju [15].


- 14 -

3 TERMOREGULACIJSKI MODEL

Termoregulacija je sposobnost organizma za ohranjanje telesne temperature jedra v določenih

mejah, tudi ob znatno drugačni temperaturi okolja, kot so vremenske razmere, aktivnost,

bolezenska stanja itd. Je proces homeostaze, ki vzdržuje dinamično ravnovesje med količino

nastale oziroma prejete in oddane toplote, potrebne za pravilno delovanje organov [5].

Človeško telo lahko obravnavamo kot odprt termodinamični sistem kot navaja avtorica Eva

Klemenčič [11], ki si z okolico izmenjuje toploto in maso. Človek potrebuje stalni dotok

energije tudi takrat, ko je v termodinamičnem ravnovesju z okolico in mirovanju. V

mirovanju se večina toplote porabi za pravilno delovanje organov in dihanje, nekaj pa za

potek procesov pri termogenezi. Le-ta ob porabi energijskih zalog generira toploto in za potek

procesa potrebuje kisik, ki ga celice na površini pridobijo z difuzijo skozi kožo, ostale celice

pa s kisikom oskrbuje krvni obtok. Okrog 18% celotnega energijskega toka metabolizma se

proizvede v glavi, 69% v trupu, ostalo pa v rokah in nogah. Vrednost metabolizma je odvisna

od starosti, višine, mase, mišične mase in telesne pripravljenosti. Tako se s staranjem vrednost

metabolizma zmanjša, človek potrebuje vedno manj energije za razvoj celic, prav tako se

zmanjša delež mišične mase [11] [9].

Zgoraj smo opisali proces generiranja toplote v samem »jedru« človeškega telesa. Na površni

telesa prevod toplote poteka preko kože, ki v veliki meri določa izgubo ali absorpcijo toplote.

Količino toplote, ki doseže kožo iz globljih tkiv, se lahko uravnava preko prefuzijskega

pretoka krvi v koži. V primeru ohlajanja telesa, se zraven procesa termogeneze preko

hipotalamusa vključi proces vazokonstrikcije, ki povzroči zožanje žil in s tem zmanjša pretok

krvi ob površini kože. Manjši perfuzijski pretok kri posledično zmanjša možnost izgube

toplote s konvekcijo in s sevanjem v okolico. V primeru visokih temperatur okolice želimo

čim večji prenos toplote iz telesa, kar pomeni večji pretok krvi v perifernih žilah. Višja

temperatura krvi povzroča izločanje noradrenalina, ki periferne žile razširi in omogoči dotok

večje količine krvi na površino kože in s tem hitrejše ohlajanje telesa s konvekcijo. Na

površini kože se toplota iz telesa odnaša s procesom znojenaja, kjer se izločajo kapljice vode,

ki na površini kože izhlapevajo [5][11]. Procese, kot so izhlapevanje, prevod, konvekcija in

sevanje imamo podrobneje opisano v poglavju 2.1.


- 15 -

Kot smo že zgoraj omenili, tudi samo delovanje krvnega obtoka oziroma perfuzijskega

pretoka krvi pripomore k termoregulaciji. Arterije iz srca tako odnašajo kri z višjo

temperaturo od ostalih tkiv, vene pa prinašajo kri iz perifernih delov v srce. Med arterijami in

venami pride do tako imenovanega prenosa toplote. Arterijska kri je tako ohlajena še preden

pride do perifernih žil oziroma območja in je zato izguba toplote z okolico manjša. Ta pojav

imenujemo protitočni prenos toplote [11][9].

Sam princip delovanja in poznavanje termoregulacije v človeškem telesu je zelo pomembno

zaradi postavitve natančnega numeričnega modela glave ob upoštevanju termoregulacijskega

modela, kar je cilj diplomskega dela. Glede na to, da je za nas ključnega pomena pridobiti čim

realnejšo sliko prenosa toplote in toplotnih obremenitev glave, smo se odločili, da uporabimo

in obravnavamo termoregulacijski model gasilca, avtorja Jung-Hyun Kim [2].

Namen njegove raziskave je bil prikazati uporabnost termoregulacijskega modela pri

predvidevanju in napovedi odzivov telesne temperature pri ljudeh, ki so vadili oblečeni v

gasilskih oblekah in primerjati napovedi z zaznanimi odzivi na simulirane gasilske dejavnosti.

Model je razdeljen na dva dela oziroma je opisan z dvema energijskima enačbama, in sicer za

jedro in kožo, pri čemer je koža obdana s pasivnim slojem oblačila. Model uporablja

neinvazivne meritve kot osnovne vnose, vključno s stopnjo srčnega utripa SU (HR – Hart

Rate), okoljskimi pogoji (delovna temperatura ali temperatura okolice, relativna vlaga, hitrost

vetra, srednja obsevalna temperatura SRT - (MRT – Mean Radiative Temperature)), obleko

(izolacija in prepustnost), poleg človeških antropometričnih vrednosti (višina, teža) [2].

S pomočjo teh parametrov, ki so v modelu uporabljeni, je mogoča natančnejša določitev

energijskih pretokov tako v jedru kot koži, telesne temperature in termofizioloških odzivov.

Pri metabolizmu (M), kot izvor prenosa toplote je privzeto, da nastane v jedru človeka. Prenos

toplote jedra v okolje oziroma toplotne izgube pa so opisane s respiratornimi izgubami (𝑄𝑟𝑒𝑠),

prevodnost toplote skozi tkivo do kože (𝑄𝑘), s konvekcijo prek perfuzijskega pretoka krvi

med jedrom in kožo (𝑄𝑏𝑓), ter zunanjim delom (𝑊𝑒𝑥𝑡, tj. plezanje na hrib, dvigovanje uteži

itd.). 𝑊𝑒𝑥𝑡 le redko poteka v daljših časovnih pogojih, saj jih je količinsko težko določiti in

meriti v realnem času, zato ga je večkrat mogoče zanemariti (Yokota et al. [2]). To zunanje

delo 𝑊𝑒𝑥𝑡 bomo zanemarili tudi v našem numeričnem modelu glave [2].


- 16 -

3.1 Energijska enačba za jedro

Če proizvedena in izgubljena energija v jedru nista uravnoteženi, se razlika akumulira, kar

lahko zapišemo kot:

𝑆𝑗 = 𝑀 − 𝑄𝑟𝑒𝑠 − 𝑄𝑘 − 𝑄𝑏𝑓 − 𝑊𝑒𝑥𝑡 [𝑊 ∙ 𝑚−2]. (3.1)

Metabolizem, kot izvor toplote (M) modela je določena z uporabo razmerja med trenutno

izmerjeno eksperimentalno stopnjo srčnega utripa glede na osnovno stopnjo srčnega utripa

(𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜) med temperaturo okolice in delovno temperaturo in območjem telesne površine

(Berglund, [2]):

𝑀 = [0.68 + 4.69(𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 − 1) − 0.052(𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 − 1) ∙ (𝑇𝑎 − 20)] ∙ 58.1 ∙𝐴𝐷 [𝑊],

(3.2)

kjer je 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 je opazovana stopnja srčnega utripa podana v času, deljena z osnovno stopnjo

srčnega utripa v udobnem stanju počitka neposredno pred pričetkom z delom, 𝐴𝐷 [𝑚2] je

Duboisovo območje telesne površine in se ga izračuna po enačbi [2]:

𝐴𝐷 = 0,202 ∙ 𝑚0,425 ∙ ℎ0,725, (3.3)

kjer je 𝑚 masa osebe in ℎ višina. Operativna oziroma delovna temperatura 𝑇0 [°C] je

enakovredna povprečju srednji obsevalni temperaturi (MRT) in temperaturi okolice 𝑇𝑎

pondirane (pomen ponderirano povprečje = srednja vrednost iz vrednosti, upoštevanih z

utežjo, s katero se izraža pomembnost posamezne enote) z ustreznimi koeficienti toplotnega

prenosa. V študiji [2] je Jung-Hyun Kim izbral, da sta temperaturi 𝑇0 enak 𝑇𝑎 (ko je MRT –

srednja obsevalna temperatura enak 𝑇𝑎) v pogojih zaprtega enakomernega podnebja. Tudi mi

bomo izbrali isto predpostavko. Napoved za M z uporabo enačbe (3.2) je bila preverjena za

različne laboratorijske pogoje (𝑇𝑎= 20°C – 40°C; 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜= 1,2 – 2,1; hitrost vetra 1,25 m s-1

;

temperatura rosišča ≤ 20 °C; obleka = 0,7 imanentna oblačila) (Berglund, [2]). Vnos stopnje

srčnega utripa za enačbo (3.2) je bil izračunan iz eno minutnega povprečja izmerjene stopnje

srčnega utripa vsakega posameznega človeka v začetku vadbe [2].


- 17 -

Izguba toplote z dihanjem prek konvekcije in izhlapevanja med vdihom in izdihom je

določena z enačbo po avtorjih (Fanger, [2]; Kraning and Gonzalez, [2]):

𝑄𝑟𝑒𝑠 = [0.0014 ∙ 𝑀(34 − 𝑇𝑎) + 0.0023 ∙ 𝑀(44 − 𝑃𝑎)] ∙ 𝐴𝐷−1 [𝑊 ∙ 𝑚−2], (3.4)

kjer je 𝑇𝑎 [°C] temperatura okolice, 𝑃𝑎 [Torr] je tlak okolice vodne pare (1 Torr = 133,32 Pa).

Primer za temperaturo okolice pri 22°C je 𝑃𝑎 = 9.9 Torr.

Pasivna toplotna prevodnost iz jedra do kože glede na prevodnost tkiva in temperaturne

razlike je upoštevana v obeh energijskih enačbah in je določena z enačbo (Gagge et al., [2]):

𝑄𝑘 =λ∙ (𝑇𝑗 − 𝑇𝑘) [𝑊 ∙ 𝑚−2], (3.5)

kjer je λ prevodnost tkiva med jedrom in kožo, avtor Jung-Hyun Kim [2] upošteva, da λ=5,28

𝑊

°𝐶∙𝑚2. 𝑇𝑗 je temperatura jedra in 𝑇𝑘 je temperatura kože [2].

Toplotni prenos 𝑄𝑏𝑓 krvnega pretoka med jedrom in kožo je:

𝑄𝑏𝑓 = 𝜔𝑏𝑓 ∙ 𝑐𝑝𝑏(𝑇𝑗 − 𝑇𝑘) [𝑊 ∙ 𝑚−2], (3.6)

kjer je 𝑐𝑝𝑏 specifična toplota krvi, avtor Jung-Hyun Kim [2] upošteva 1,163𝑊ℎ/(𝑙°𝐶), 𝜔𝑏𝑓 je

perfuzijski pretok krvi za kožo.

3.2 Energijska enačba za kožo

Na podoben način je mogoče določiti prenos toplote oziroma toplotno bilanco za kožo:

𝑆𝑘 = (𝑄𝑏𝑓 + 𝑄𝑘) − 𝑄𝑑𝑟𝑦 − 𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝 [𝑊 ∙ 𝑚−2], (3.7)

kjer sta 𝑄𝑏𝑓 konvekcija prek perfuzijskega pretoka krvi med jedrom in kožo in 𝑄𝑘 prevodnost

toplote skozi tkivo do kože v energijski enačbi kože določena kot izvor toplote. 𝑄𝑑𝑟𝑦

predstavlja izgubo suhe toplote s kože zaradi oblačil, 𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝 pa je toplotna izguba zaradi

izhlapevanja [2].


- 18 -

𝑄𝑑𝑟𝑦 je določena z uporabo metode, ki sta jo opisala (Kraning in Gonzalez, [2]):

𝑄𝑑𝑟𝑦 = (𝑇𝑘 − 𝑇0) ∙ 𝑅𝑐𝑙𝑡−1 [𝑊 ∙ 𝑚−2], (3.8)

kjer je 𝑇𝑘 srednja temperatura koža, 𝑇0 je delovna temperatura,

𝑅𝑐𝑙𝑡 je skupna toplotna upornost (°𝐶𝑚2 𝑊−1) obleke in robne plasti od kože do okolja:

- Imanentna vrednost (plast obleke) za gasilca je avtor Jung-Hyun Kim [2] upošteval in

ocenil vrednost 1,6 clo = 𝑅𝑐𝑙𝑡 = 0.248 𝑚2°𝐶 𝑊−1 (toplotna izolacija obleke 1clo =

0,248 𝑚2°𝐶 𝑊−1) z dodatkom upornosti robne plasti med obleko in lokalnim okoljem

(Berglund, [2]).

- mi bomo parameter 𝑅𝑐𝑙𝑡 predpisali oziroma izračunali na osnovi robnih pogojev

naravne in prisilne konvekcije, kar imamo, ki je določeno z enačbo kot:

𝑅𝑐𝑙𝑡 =1

𝛼𝑥 [𝑚2 ∙ 𝐾 ∙ 𝑊−2], (3.9)

kjer je 𝛼𝑥 spremenljivka za določen primer.

Toplotna izguba zaradi izhlapevanja znoja na koži je določena z enačbo po avtorju (Fanger,

[2]):

𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝 = (1 − 𝜔) ∙ 0.06 ∙ 𝐸𝑚𝑎𝑥 + 𝜔 ∙ 𝐸𝑚𝑎𝑥 [𝑊 ∙ 𝑚−2], (3.10)

kjer je 𝜔 mokrota kože, določena z razmerjem izhlapevanja znoja stopnje največjega

izhlapevanja (𝐸𝑚𝑎𝑥) pri popolnoma mokri koži. 𝐸𝑚𝑎𝑥 je najvišja stopnja izhlapevanja s kože,

ki je povsem prekrita z znojem, izračunana iz nasičenega parnega tlaka (Torr) vode na koži,

če je temperatura kože in zraka enaka temperaturi rosišča (Gagge in Gonzalez, [2]).

V diplomski nalogi ne upoštevamo tega parametra - toplotnih izgub zaradi izhlapevanja.


- 19 -

3.3 Določitev arterijske temperature krvi

Uporaba prej opisanega termoregulacijskega modela nam bo služila kot osnova za časovno

odvisno simulacijo toplotne obremenitve možganov, spreminjanje temperature arterije glede

na okolico in aktivnost, ki jo človek opravlja. Z uporabo metode končnih razlik smo rešili

sistem energijskih enačb, ki sta med seboj povezana in s tem določili časovno odvisno

temperaturo jedra in temperaturo kože glede na parametre, kot je temperatura okolice itd. Pri

tem smo uporabili implicitno časovno shemo za analizo dinamičnega sistema. Kljub temu da

nas zanima le temperatura jedra, pri čemer bomo predpostavili, da je le-ta enaka temperaturi

arterijske krvi, je bil potrebno rešiti obe energijski enačbi, za jedro in kožo.

Čeprav je predmet naše diplomske naloge analiza glave, bomo termoregulacijki model

obravnavali za celotno človeško telo, saj glava proizvede samo 18% celotnega energijskega

toka metabolizma [11].

Za izračun temperature jedra je potrebno predhodno določiti temperaturo kože, saj se

energijski enačbi nanašata ena na drugo. Kot prvo energijsko enačbo za kožo (3.7)

diskretiziramo z uporabo metode končnih razlik in izpeljemo izraz za temperaturo kože v

vsakem novem časovnem koraku, kar je prikazano v nadaljevanju.

Kot rečeno izhajamo iz energijske enačbe oziroma energijske bilance za kožo, kjer je 𝑆𝑘 vsota

vseh izvorov in ponorov prenosa toplote. Energijsko bilanco kože določajo konvekcija prek

perfuzijskega pretoka krvi med jedrom in kožo 𝑄𝑏𝑓, prevodnost toplote skozi tkivo do kože

𝑄𝑘, izgubo toplote s kože zaradi oblačil 𝑄𝑑𝑟𝑦 in toplotna izguba zaradi izhlapevanja 𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝.

𝑆𝑘 = (𝑄𝑏𝑓 + 𝑄𝑘) − 𝑄𝑑𝑟𝑦 − 𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝. (3.11)

V našem primeru ne bomo upoštevali parametra toplotni izgub zaradi izhlapevanja 𝑄𝑒𝑣𝑎𝑝.

Za akumulacijski člen 𝑆𝑘 lahko zapišemo:

𝑆𝑘 = 𝜌𝑘 ∙ 𝑐𝑝𝑘 ∙ 𝑉𝑘 ∙𝜕𝑇𝑘

𝜕𝑡.

(3.12)


- 20 -

Če upoštevamo v enačbi 3.11 izraz enačbe 3.12, dobimo [2]:

𝜌𝑘 ∙ 𝑐𝑝𝑘 ∙ 𝑉𝑘 ∙𝜕𝑇𝑘

𝜕𝑡= (𝑄𝑏𝑓 + 𝑄𝑘) − 𝑄𝑑𝑟𝑦 ,

(3.13)

kjer je 𝜌𝑘 gostota kože, 𝑐𝑝𝑘 je specifična toplota kože, 𝑉𝑘 je volumen kože, 𝜕𝑇𝑘/𝜕𝑡 je časovna

sprememba temperature kože. Za diskretizacijo časovnega odvoda smo uporabili shemo

prvega reda:

𝜕𝑇𝑘

𝜕𝑡=

𝑇𝑘𝑡 − 𝑇𝑘

𝑡−1

∆𝑡,

(3.14)

pri čemer je 𝑇𝑘𝑡 temperatura kože v novem času, 𝑇𝑘

𝑡−1 temperatura kože v prejšnjem času in

∆𝑡 časovni korak.

Če upoštevamo v enačbi 3.11 izraz za 𝑆𝑘, 𝑄𝑏𝑓, 𝑄𝑘 𝑖𝑛 𝑄𝑑𝑟𝑦, dobimo:

𝜌𝑘𝑐𝑝𝑘𝑉𝑘𝑇𝑘𝑡 − 𝜌𝑘𝑐𝑝𝑘𝑉𝑘𝑇𝑘

𝑡−1

∆𝑡= 𝜔𝑏𝑓 ∙ 𝑐𝑝𝑏𝐴𝐷(𝑇𝑗

𝑡−1 − 𝑇𝑘𝑡) + 𝝀𝐴𝐷(𝑇𝑗

𝑡−1 − 𝑇𝑘𝑡)

−𝐴𝐷(𝑇𝑘

𝑡 − 𝑇𝑎)

𝑅𝑐𝑙𝑡,

(3.15)

kjer je 𝑇𝑗𝑡−1 temperatura jedra v prejšnjem času in 𝐴𝐷 je površina kože. Tako smo zapisali

diferencialno enačbo (3.14) v algebrajski obliki.

Zaradi poenostavitve v enačbi 3.15 uvedemo nove spremenljivke kot:

𝑎1 =𝜌𝑘𝑐𝑝𝑘𝑉𝑘

∆𝑡,

𝑏 = 𝜔𝑏𝑓 ∙ 𝑐𝑝𝑏𝐴𝐷 ,

𝑐 = 𝜆 ∙ 𝐴𝐷 ,

𝑑 =𝐴𝐷

𝑅𝑐𝑙𝑡,

(3.16)

kjer 𝑅𝑐𝑙𝑡 izračunamo po enačbi 3.9.


- 21 -

Tako izrazimo iz enačbe 3.15 𝑇𝑘𝑡 temperaturo kože v novem časovnem koraku kot:

𝑇𝑘𝑡 =

𝑇𝑗𝑡−1(𝑏 + 𝑐) + 𝑑 ∙ 𝑇𝑎 + 𝑎1 ∙ 𝑇𝑘

𝑡−1

𝑎1 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑,

(3.17)

pri čemer so 𝑎1, 𝑏, 𝑐, 𝑑 novo vpeljane spremenljivke.

Na podoben način lahko sedaj iz energijske bilance za jedro izrazimo temperaturo jedra v

novem časovnem koraku. Energijska enačba za jedro 𝑆𝑗 določa vsoto vseh izvorov in

ponorov, pri čemer je M izvor zaradi metebolizma, 𝑄𝑟𝑒𝑠 je izguba toplote zaradi dihaja, 𝑄𝑘

zaradi prevoda toplote skozi tkivo do kože in 𝑄𝑏𝑓 zaradi konvekcije prek perfuzijskega

pretoka krvi med jedrom in kožo [2]. Energijsko enačbo za jedro (3.1) izrazimo na podoben

način kot:

𝑆𝑗 = 𝑀 − 𝑄𝑟𝑒𝑠 − 𝑄𝑘 − 𝑄𝑏𝑓 (3.18)

𝜌𝑡 ∙ 𝑐𝑝𝑡 ∙ 𝑉𝑡 ∙𝜕𝑇𝑗

𝜕𝑡= 𝑀 − 𝑄𝑟𝑒𝑠 − 𝑄𝑘 − 𝑄𝑏𝑓 [𝑊],

(3.19)

kjer je 𝜌𝑡 povprečna gostota telesa, 𝑐𝑝𝑡 povprečna specifična toplota telesa, 𝑉𝑡 povprečni

volumen telesa, 𝜕𝑇𝑗/𝜕𝑡 je časovna sprememba temperature jedra.

Ob upoštevanju v enačbi 3.18 izraz za 𝑀, 𝑄𝑟𝑒𝑠, 𝑄𝑘 𝑖𝑛 𝑄𝑏𝑓 ter shemo prvega reda (3.14),

dobimo:

𝜌𝑡𝑐𝑝𝑡𝑉𝑡𝑇𝑗𝑡 − 𝜌𝑡𝑐𝑝𝑡𝑉𝑡𝑇𝑗

𝑡−1

∆𝑡= 𝑀 − 𝑄𝑟𝑒𝑠 − 𝜆𝐴𝐷(𝑇𝑗

𝑡 − 𝑇𝑘𝑡−1) − 𝜔𝑏𝑓

∙ 𝑐𝑝𝑏𝐴𝐷(𝑇𝑗𝑡 − 𝑇𝑘

𝑡−1),

(3.20)

kjer je 𝑇𝑗𝑡 temperatura jedra v novem času, 𝑇𝑗

𝑡−1 temperatura jedra v prejšnjem času, 𝑇𝑘𝑡−1 je

temperatura kože v prejšnjem času, 𝐴𝐷 je površina kože in ∆𝑡 časovni interval.


- 22 -

Zaradi poenostavitve v enačbi 3.20 uvedemo novo spremenljivko:

𝑎2 =𝜌𝑡𝑐𝑝𝑡𝑉𝑡

∆𝑡.

(3.21)

Tako izrazimo iz enačbe 3.20 𝑇𝑗𝑡 temperaturo jedra v novem časovnem koraku kot:

𝑇𝑗𝑡 =

𝑀 − 𝑄𝑟𝑒𝑠 + 𝑇𝑘𝑡−1(𝑐 + 𝑏) + 𝑎2 ∙ 𝑇𝑗

𝑡−1

𝑎2 + 𝑏 + 𝑐,

(3.22)

pri čemer so 𝑎2, 𝑏, 𝑐, 𝑑 vpeljane spremenljivke in 𝑇𝑗𝑡−1 temperatura jedra v prejšnjem

časovnem koraku.

Na prikazan način je možno določiti časovni potek temperature jedra in kože glede na

temperaturo okolice, obremenitev človeka, upornost obleke itd.

Nadalje smo s pomočjo programa Excel temperaturo jedra in kože za vsak časovni korak in

tako dobili časovno spremembo temperature jedra in kože. Čas (zavest človeka) omejimo z

izračunano temperaturno spremenljivko jedra, saj nas zanima tudi koliko časa je lahko človek

pri zavesti v danih pogojih, ki jih bomo predpisali. Analizirali bomo človeško stanje v dveh

primerih, ko človek miruje in pri opravljanju nekega fizičnega dela. Upoštevali bomo zgornjo

mejo, tj 𝑇𝑗𝑚𝑎𝑥 = 42.8 °𝐶 oziroma spodnjo mejo preživetja 𝑇𝑗𝑚𝑖𝑛 = 27.0 °𝐶. Mejni odčitani

čas pri katerem je človek še pri zavesti, bomo upoštevali tako pri določitvi funkcije, kot

kasneje pri nastavitvah časa za izračun simulacije pri časovno odvisni simulaciji. S spodnjo

oziroma zgornjo mejno temperaturo jedra dobimo tako orientacijski čas preživetja.

Za oba primera (mirovanje, fizična aktivnost) predpišemo enake pogoje:

a) začetno temperaturo kože Tk = 35 °C,

b) začetno temperaturo jedra Tj = 36,5 °C,

c) temperature okolice 𝑇0 pri upoštevanem tlaku okolice 1bar:

- 𝑇01 = −10°𝐶 pri relativni vlažnosti 𝜑 = 50%,

- 𝑇02 = +20°𝐶 pri relativni vlažnosti 𝜑 = 70%,

- 𝑇03 = +40°𝐶 pri relativni vlažnosti 𝜑 = 90%.


- 23 -

d) prestop toplote 𝛼 za vse tri temperature okolice dobimo iz empiričnih preračunov v

poglavju 4.3.1:

- za naravno konvekcijo z lahkimi oblačili je 𝛼1 = 4,37𝑊

𝐾∙𝑚2,

- za prisilno konvekcijo z lahkimi oblačili je 𝛼2 = 12,23𝑊

𝐾∙𝑚2,

- za naravno konvekcije z oblačilom zimske puhovke je 𝛼3 = 0,303𝑊

𝐾∙𝑚2.

Na spodnjih grafih 3.1, 3.2 in 3.3 prikazujemo analitične izračune termoregulacijskega

modela za primer, ko je človek v mirovanju (𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1, kot opisuje avtor Jung-Hyun Kim

[2] pri modelu gasilca). Iz grafov 3.1, 3.2 in 3.3 je moč razbrati kako dolgo je človek pri teh

danih pogojih pri zavesti v omejenimi temperaturami mejah, kot je 27°C in zgornja meja

zavesti 42,8°C. Ta podatek nam je pomemben, saj bomo v poglavju 6 poiskali oziroma

potrebovali najkrajši čas zavesti človeka pri teh pogojih. Več o tem bomo opisali v poglavju

6.

Graf 3.1 – analitični izračun termoregulacijskega modela pri 𝑇01 = −10°𝐶

27

29

31

33

35

37

39

41

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Tj [°

C]

t [min]

T01, alfa1, HR1 T01, alfa2, HR1 T01, alfa3, HR1


- 24 -

Graf 3.2 – analitični izračun termoregulacijskega modela pri 𝑇02 = 20°𝐶

Na grafu 3.2 vidimo, da se človek pri temperaturi 20°C segreva pri najnižjem koeficientu

prestopa (oblečen v puhovko), pri čem se pri ostalih dveh ohlaja, vendar je življenjski cikel

krajši, kot pri srednjem koeficientu prestopa, ko je pri zavest približno 1400 min, kar je nekje

24 ur. Prav tako je v primeru, ko je prestop toplote večji, je čas preživetja približno enak kot

pri koeficientu z najnižjim prestopom, kar pomeni da temperatura okolice z 20°C na človeka

najugodneje vpliva s srednjo vrednostjo prestopa.

27

29

31

33

35

37

39

41

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Tj [°

C]

t [min]



- 25 -

Graf 3.3 - analitični izračun termoregulacijskega modela pri 𝑇03 = 40°𝐶

Za določitev časovne odvisnosti temperature jedra oziroma temperature arterijske krvi smo

upoštevali polinom 2. reda, kar bomo prikazali na enem izmed grafov, kljub temu, da so

temperaturna sprememba v nekaterih primerih linearne. Aproksimacijsko funkcijo

potrebujemo kot vhodni podatek za časovno odvisne numerične 3D simulacije, kjer se

temperatura krvi spreminja in jo določimo s programom Excel.

Graf 3.4 – primer določitve polinoma za 𝑇02, 𝛼2, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1

27

29

31

33

35

37

39

41

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tj [°

C]

t [min]


y = 8E-09x2 - 0,0006x + 36,413

27

29

31

33

35

37

39

41

0 100 200 300 400 500

Tj [°

C]

t [min]

T02, alfa2, HR1


- 26 -

Na grafu prikazujemo aproksimacijo funkcije oziroma določitev polinoma drugega reda za

primer 𝛼2 = 12,23 𝑊

𝑚2𝐾 in temperaturi 20°C v stanju, ko človek miruje. Tako je funkcija

temperature arterijske krvi za prikazan primer:

Ta = 8E-09t2 - 0,0006t + 36,413, (ZZ) (3.23)

kjer je t čas v sekundah.

Na podoben način smo določili funkcije za ostale primere:

a) Za mirovanje 𝑯𝑹𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 = 𝟏, 𝟎 so aproksimacije funkcij sledeče

𝑇𝑎 = 9 ∙ 10−9𝑡2 − 0,0009 ∙ 𝑡 + 36,4674 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇01𝑖𝑛 𝛼1 (3.24)

𝑇𝑎 = 3 ∙ 10−8𝑡2 − 0,0022 ∙ 𝑡 + 36,4023 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇01𝑖𝑛 𝛼2 (3.25)

𝑇𝑎 = −1 ∙ 10−10𝑡2 + 0,0001 ∙ 𝑡 + 36,5060 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇01𝑖𝑛 𝛼3 (3.26)

𝑇𝑎 = 8 ∙ 10−10𝑡2 − 0,0001 ∙ 𝑡 + 36,4973 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇02𝑖𝑛 𝛼1 (3.27)

𝑇𝑎 = 8 ∙ 10−9𝑡2 − 0,0006 ∙ 𝑡 + 36,4752 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇02𝑖𝑛 𝛼2 (3.28)

𝑇𝑎 = −2 ∙ 10−10𝑡2 + 0,0002 ∙ 𝑡 + 36,5104 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇02𝑖𝑛 𝛼3 (3.29)

𝑇𝑎 = −4 ∙ 10−9𝑡2 + 0,0004 ∙ 𝑡 + 36,5196 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇03𝑖𝑛 𝛼1 (3.30)

𝑇𝑎 = −7 ∙ 10−9𝑡2 + 0,0004 ∙ 𝑡 + 36,5263 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇03𝑖𝑛 𝛼2 (3.31)

𝑇𝑎 = −2 ∙ 10−10𝑡2 + 0,0003 ∙ 𝑡 + 36,5157 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇03𝑖𝑛 𝛼3 (3.32)

b) Za fizično aktivno 𝑯𝑹𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐 = 𝟏, 𝟒 so aproksimacije funkcij sledeče

𝑇𝑎 = 4 ∙ 10−10𝑡2 − 7 ∙ 10−5 ∙ 𝑡 + 36,5750 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇01𝑖𝑛 𝛼1 (3.33)

𝑇𝑎 = 3 ∙ 10−8𝑡2 − 0,0014 ∙ 𝑡 + 36,5100 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇01𝑖𝑛 𝛼2 (3.34)

𝑇𝑎 = −4 ∙ 10−10𝑡2 + 0,001 ∙ 𝑡 + 36,6136 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇01𝑖𝑛 𝛼3 (3.35)

𝑇𝑎 = −6 ∙ 10−9𝑡2 + 0,0005 ∙ 𝑡 + 36,5846 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇02𝑖𝑛 𝛼1 (3.36)

𝑇𝑎 = −2 ∙ 10−10𝑡2 + 3 ∙ 10−5 ∙ 𝑡 + 36,5625 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇02𝑖𝑛 𝛼2 (3.37)

𝑇𝑎 = 1 ∙ 10−10𝑡2 + 0,0009 ∙ 𝑡 + 36,5976 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇02𝑖𝑛 𝛼3 (3.38)

𝑇𝑎 = −1 ∙ 10−8𝑡2 + 0,001 ∙ 𝑡 + 36,5961 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇03𝑖𝑛 𝛼1 (3.39)

𝑇𝑎 = −2 ∙ 10−8𝑡2 + 0,0011 ∙ 𝑡 + 36,6028 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇03𝑖𝑛 𝛼2 (3.40)

𝑇𝑎 = 5 ∙ 10−10𝑡2 − 0,0009 ∙ 𝑡 + 36,5922 [°𝐶] 𝑧𝑎 𝑇03𝑖𝑛 𝛼3 (3.41)


- 27 -

4 NUMERIČNI MODEL

S postavitvijo numeričnega modela, ki temelji na zakonu ohranitve energije v določenem

območju reševanja ter na poznanih robnih pogojih, s katerimi nadomestimo okolico območja,

lahko izvedemo numerične simulacije in pridemo do želenih rezultatov temperature, toplotnih

tokov, itd. Zaradi zahtevnosti sistema enačb oziroma kompleksne geometrije analitično

reševanje ni primerno (ta metoda je primerna le za preproste primere), zato uporabimo

aproksimativno metodo reševanja oziroma pristop RTD (računska dinamika tekočin), s

katerim lahko rešimo zahtevne sisteme. Poznamo več metod reševanja, kot so metoda končnih

razlik, kontrolnih volumnov, robnih elementov, itd. Ansys CFX temelji na MKV (Metoda

Kontrolnih Volumnov), katera temelji na tem, da območje reševanja diskretiziramo s

končnimi volumni (elementi računske mreže), za katere zapišemo vodilne enačbe kot je v

našem primeru zakon o ohranitvi energije v disketni ali algebrajski obliki. Ko zapišemo

algebrajsko obliko enačbe za vse elemente računske mreže dobimo sistem enačb ki ga rešimo,

rešitev pa nam v našem primeru podaja temperaturno polje po območju reševanja (po celotni

glavi).

Tako bomo v tem poglavju prikazali oziroma analizirali temperaturne odzive numeričnega

modela glave oziroma toplotne obremenitve možganov ob različnih pogojih okolice v katerem

se objekt nahaja. Model bomo razvili za simuliranje stacionarnih in časovno odvisnih

temperaturnih razmer.

4.1 Geometrija

Glava je zaradi svoje funkcionalnosti pomemben in kompleksen del človeškega telesa. Velik

vpliv k doseganju realnejših numeričnih rezultatov zraven potrebnega predhodnega

poznavanja fizikalnih procesov ima tudi celovito upoštevanje anatomije oziroma različnih

tkiv. Zasluge za pridobitev realne geometrije ima Švicarsko podjetje (IT'IS Foundation),

katero se ukvarja z razvojem virtualnih oziroma numeričnih človeških modelov za

biomedicinske aplikacije in katero nam je omogočilo uporabo njihove 3D modela anatomije

človeka.


- 28 -

Prejeli smo model anatomije celotnega človeškega telesa po posameznih tkivih v računalniški

obliki STL (slika 4.1). Pri tem smo si pomagali s programom ICEM CFD (uporaba programa

za mreženje), ki je prav tako zajet v programskem paketu Ansys CFX. Najprej je bilo

potrebno uvoziti STL datoteke oziroma vso potrebno geometrijo tkiv kot so: možgani (bela

snov), možgani (siva snov), srednji možgani, mali možgani, možgansko deblo, talamus, koža,

kost (skorja), lobanja, spodnja čeljustnica, hrustanec, dihala, oko (beločnica), cerebrospinalna

tekočina ali likvor, mišica, hrbtenjača, jezik (slika 4.1).

3D model mišice 3D model cerebrospinalne tekočine

ali likvor

3D model možgan

bela snov

3D model možgan

siva snov


- 29 -

Slika 4.1 – Anatomija celotnega telesa in na novo zmodelirane glave z vsemi tkivi

Ker je predmet diplomske naloge simulacija glave, smo zgoraj našteta tkiva, ki so bila vzeta

za geometrijo oziroma računsko območje glave morali v vratnem predelu ločili, tako da je za

računsko območje bilo striktno obravnavana samo geometrija glave in dela vratu brez

celotnega telesa in okoliškega zraka, ob upoštevanju nehomogenosti oziroma različnih tkiv

kot je: možgani (bela snov), možgani (siva snov), srednji možgani, mali možgani, možgansko

deblo, talamus, koža, kost (skorja), lobanja, spodnja čeljustnica, hrustanec, dihala, oko

(beločnica), cerebrospinalna tekočina ali likvor, mišica, hrbtenjača, jezik.

Pri tem je bilo potrebno v tem predelu kjer smo odstranili spodnji del telesa narediti določene

popravke in to področje na novo zmodelirati. Tako smo morali nastale luknje zaradi

predhodnega rezanja modela pokrpali (slika 4.2) po posameznih tkivih.

3D model lobanje 3D model dihalnega sistema


- 30 -

Slika 4.2: Rezanje modela glave in krpanje nastalega

4.2 Računska mreža

Pri računalniški dinamiki tekočin (RDT) je potrebno računsko območje diskretizirati na tako

imenovane kontrolne volumne, za katere se zapiše vodilna enačba prenosa toplote (Pennesov

model) v diskretni obliki v povezavi s termoregulacijskim modelom. Ta postopek imenujemo

mreženje, saj volumsko območje diskretiziramo na zelo majhne volumenske elemente in

vozlišča v katerih se določi temperatura oziroma polje iskane spremenljivke. Pri velikosti

mreže je pomembno, da niso prevelike, da je število vozlišč in elementov dovolj majhno, saj

smo z velikostjo mreže omejeni z računalniško zmogljivostjo. Tako torej pri diskretizaciji

računskega modela vedno sprejemamo kompromis med kvaliteto mreže in njenega prileganja

geometriji ter med zmogljivostmi uporabljene računalniške opreme.

Mreženje smo izvedli s programskim paketom ICEM CFD, ki je namenjen diskretizaciji

območij z namenom uporabe v računalniški simulaciji.


- 31 -

V našem primeru smo izdelali samo eno mrežo z enotno velikostjo elementov 4 mm, kar je

privedlo do mreže z 1.538.960 elementi in 218.635 računskimi vozlišči in sicer iz več

razlogov:

- zadostnega števila elementov oziroma zadostna gostost mreže za opis prenosa

toplote (prenos toplote ni močno nelinearni pojav),

- ni ekstremnih temperaturnih gradientov oziroma nihanj

- celotno glavo obravnavamo kot trdno telo, vključno respiratorni sistem oziroma

zrak v ustih in možgansko tekočino oziroma cerebrospinalno tekočino

- pri nadaljnji obravnavi časovno odvisne simulacije bi pripeljalo do bistveno daljših

računskih časov

Za diskretizacijo območja reševanja smo zaradi lažjega mreženja uporabili nestrukturirano

mrežo, kot je razvidno na sliki 4.3.

Slika 4.3: Površinska in volumska mreža

Mreža je iz stališča porabe računskega spomina primerno gosta, kar vodi v relativno zmerne

računske čase. Zraven tega je potrebno upoštevati, da bomo obravnavali tako stacionarno, kot


- 32 -

časovno odvisno simulacijo, kar bi lahko ob upoštevanju gostejše mreže pripeljalo do dolgih

računskih časov.

4.3 Fizikalni parametri

Za izračun toplotih razmer v človeški glavi v odvisnosti od zunanjih vplivov okolice smo

uporabili tako imenovani Pennesov model, ki temelji na modelu prenosa toplote v trdnini in

dodatno opiše izvore toplote zaradi metabolizma in perfuzijskega pretoka krvi. Vsa

obravnavana tkiva so v numeričnem modelu obravnavana kot trdnina, zaradi česar je bilo

potrebno, za celovito obravnavo, dodati dodatno še izvore metabolizma in perfuzijskega

pretoka krvi, za opis Pennesovega modela. Zaradi poenostavitvi smo kot trdnino obravnavali

tudi zrak v ustih (zaprta usta) oziroma možgansko tekočino. V nasprotnem primeru bi le-to

vodilo v neprimerno kompleksnejši numerični model, saj bi bilo potrebno upoštevati naravno

konvekcijo oziroma naravno gibanje tekočine. Pri stacionarnem izračunu bomo zaradi

stacionarnosti obravnavali temperaturo arterijske kri kot konstanto, pri časovno odvisni

simulaciji pa bomo določili temperaturo arterijske krvi z termoregulacijskm modelom, ki smo

ga opisali v poglajvu 3.

Za nastavitve robnih pogojev kot nadomestek vpliva okolice na območje reševanja (saj ne

modeliramo okoliškega zraka) in drugih fizikalnih parametrov, kot so snovne lastnosti

obravnavamo z uporabo programskega paketa CFX-Pre, medtem ko smo določene parametre,

kot je prestop toplote, morali izračunati oziroma oceniti po empirični poti.

Ker je za nas ključnega pomena temperaturna sprememba možganov glede na zunanje

spremembe okolice, smo določili pet različnih točkovnih opazovalnih mest, katere

spremljamo skozi ves potek tako pri stacionarnem kot pri časovno odvisnem izračunu (slika

4.5).


- 33 -

Slika 4.5: Točke spremljanja temperature med izračunom

Prestop toplote iz glave na okolico bomo opisali z Cauchyjevim robnim pogojem, pri čemer

smo izbrali poenostavitev, da je le-ta po celotni glavi enak. Pri tem se zavedamo, da lasje

zmanjšajo toplotno prestopnost, kar bi vodilo v lokalno spreminjajoč se koeficient prestopa

toplote. Za analiziranje toplotnih razmer smo določili tri različne temperature okolice (-10°C,

20°C, 40°C) in prav tako tri različne koeficiente prestopa toplote. Koeficiente prestopa

določimo za naravno in prisilno konvekcijo (upoštevamo hitrost vetra 10 m/s) z lažjimi

oblačili in naravno konvekcijo z izolacijo puhovke saj bomo tako lažje obravnavali rezultate

simulacije pri prehodu toplotnega toka oziroma temperaturnega polja. Empirične izračune

koeficientov prestopa toplote smo opisali z Nusseltovim, Reynoldsovim, Prandtlovim in

Grashofovim brezdimenzijskim številom, pri čemer smo koeficient prestopa toplote ocenili z

izračunom za vertikalno ploščo. Izračune za prestop toplote med kožo in okolico smo

posplošili oziroma poenostavili z upoštevanjem, da veljajo za vse tri primere enake

temperature, kot so: temperaturo kože 37°C in temperaturo okolice 20°C. Tako bomo

obravnavali devet primerov, katere prikazujemo v naslednjem poglavju.

P4

P5

P1

P2

P3


- 34 -

4.3.1 Določitev koeficientov prestopa toplote

Naravna konvekcija je kompleksni pojav, ki se z razumljivo natančnostjo da izračunati za

preproste primere enostavnih geometrijskih oblik. Pri geometriji glave je mogoče toplotne

tokove razumljivo natančno popisati kot toplotni tok vzdolž vertikalne ravne plošče oziroma

stene. Za okvirno vrednost izvedemo empirični izračun Nusseltovega brezdimenzijskega

števila [6]. Pri tem so poznan naslednji parametri, kot so:

𝑇𝑘 = 35°𝐶,

𝑇0 = 20°𝐶,

𝐿 = 0,24𝑚 (karakteristična višina glave),

kjer je 𝑇𝑘 temperatura kože, 𝑇0 je temperatura okolice in 𝐿 je dolžina glave.

Za določitev koeficienta prestopa toplote je kot prvo potrebno določiti temperaturno

povprečje 𝑇𝑝:

𝑇𝑝 =𝑇𝑘 + 𝑇0

2=

35 + 20

2= 27,5°𝐶,

(4.1)

kjer zaradi poenostavitve upoštevamo snovne lastnosti zraka pri temperaturi 30°C, kot so:

gostota zraka 𝜌𝑧 = 1,128𝑘𝑔

𝑚3, specifična toplotna zraka 𝑐𝑝𝑧 = 1013𝐽

𝑘𝑔 𝐾, toplotna prevodnost

zraka 𝜆𝑧 = 0,0258𝑊

𝑚 𝐾, kinematična viskoznost zraka 𝑧 = 16,65 ∙ 10−6 𝑚2

𝑠 in 𝛽𝑧 =

0,003674 𝐾−1, ki je prostorninska temperaturna razteznost in je ocena za zrak.

Za okvirno vrednost izhajamo iz empiričnega izračuna Nusseltovega števila kot:

𝑁𝑢 = 𝑐 ∙ (𝐺𝑟 ∙ 𝑃𝑟)𝑛, (4.2)

kjer sta c in n koeficienta, 𝑐 = 0,59 in 𝑛 = 14⁄ .


- 35 -

Za izračun Nusseltovega brezdimenzijskega števila iz enačbe 4.2 je potrebno izračunati

Prandtlovo in Grashofovo brezdimenzijsko število kot:

𝑃𝑟 =𝑧 ∙ 𝜌𝑧 ∙ 𝑐𝑝𝑧

𝜆𝑧=

16,65 ∙ 10−6 ∙ 1,128 ∙ 1013

0,0258= 0,737,

(4.3)

𝐺𝑟 =𝑔 ∙ 𝛽𝑧 ∙ 𝑇 ∙ 𝐿3

2𝑧

=9,81 ∙ 0,003674 ∙ (35 − 20) ∙ 0,243

(16,65 ∙ 10−6)2

= 0,00305 ∙ 1010.

(4.4)

Če upoštevamo v enačbi 4.2 izraz za Pr in Gr, dobimo da je:

𝑁𝑢 = 40,63.

Tako lahko iz definicije Nusseltovega števila določimo koeficient prestopa toplote, ki je:

𝑁𝑢 =𝛼1 ∙ 𝐿

𝜆𝑧=> 𝛼1 =

𝜆𝑧 ∙ 𝑁𝑢

𝐿=

0,0258 ∙ 40,63

0,24= 4,37

𝑊

𝑚2 ∙ 𝐾.

(4.5)

Dobljeni koeficient predstavlja prestop toplote pri naravni konvekciji in lahkih oblačilih,

katera ne predstavljajo dodatnega toplotnega upora in se zato ne upošteva v korekciji prestopa

toplote oziroma prehoda.

Ker so začetni parametri enaki kot pri naravni konvekciji z razliko, da pri prisilni konvekciji

upoštevamo maksimalno hitrost vetra 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 10𝑚/𝑠, jih zato ne bomo pisali. Pri prisilni

konvekciji Nuselltovo brezdimenzijsko število opišemo s Prandltovim in Reynoldsovim

brezdimenzijskim številom. Da ugotovimo lastnosti toka, je potrebo izračunati Reynoldsovo

število kot:

𝑅𝑒 =𝑣𝑚𝑎𝑥∙𝐿

𝑧=

10 ∙ 0,24

16,65 ∙ 10−6= 1,44 ∙ 105.

(4.6)

Iz vrednosti Reynoldsovega števila ugotovimo, da je tok laminarni, saj je 𝑅𝑒 < 5 ∙ 105 in

0,6 < 𝑃𝑟 < 10. Ker je tok laminaren, določimo vrednost Nusseltovega števila iz enačbe:

𝑁𝑢 = 0,332 ∙ 𝑅𝑒1

2⁄ ∙ 𝑃𝑟1

3⁄ = 0,332 ∙ (1,44 ∙ 105)1

2⁄ ∙ (0,737)1

3⁄

𝑁𝑢 = 113,8.

(4.7)


- 36 -

Tako je koeficient prestopa toplote:

𝑁𝑢 =𝛼2 ∙ 𝐿

𝜆𝑧=> 𝛼2 =

𝑁𝑢 ∙ 𝜆𝑧

𝐿=

113,8 ∙ 0,025

0,24= 12,23

𝑊

𝑚2 ∙ 𝐾,

(4.8)

Dobljeni koeficient predstavlja prestop toplote pri prisilni konvekciji in lahkih oblačilih,

katera ne predstavljajo dodatnega toplotnega upora in se zato ne upošteva v korekciji prestopa

toplote oziroma prehoda.

Pri zadnjem primeru določitve koeficienta prestopa predpostavimo, da je celotna glava

izolirana z zimskim oblačilom – puhovko.

Izračunamo koeficient prehodnosti oziroma koeficient prestopnosti pri naravni konvekciji kot:

1

𝑈=

1

�̅�+

𝑑𝑝

𝜆𝑝=

1

8,3+

0,0762

0,024= 3,2955 => 𝑈 = 𝛼3,

(4.9)

kjer je 𝑑𝑝 debelina puhovke 7,62cm, 𝜆𝑃 je toplotna prevodnost in za puhovko znaša

0,024 𝑊

𝑚 𝐾, �̅� je povprečni koeficient prestopa toplote. Za koeficient prestopa toplote smo

izbrali srednjo vrednost naravne in prisilne konvekcije, in sicer le-ta znaša:

�̅� =𝛼1 + 𝛼2

2=

4,37 + 12,23

2= 8,3

𝑊

𝑚2𝐾.

(4.10)

Če upoštevamo v enačbi 4.9 vrednost za �̅� in da velja 𝑈 = 𝛼3, dobimo da je:

𝛼3 =1

3,2955= 0,303

𝑊

𝑚2 ∙ 𝐾.

(4.11)

Dobljeni koeficient predstavlja prestop toplote pri naravni konvekciji in debelejših oblačilih

(puhovka), katera ne predstavljajo dodatnega toplotnega upora in se zato ne upošteva v

korekciji prestopa toplote oziroma prehoda.


- 37 -

4.3.2 Robni pogoji in snovne lastnosti

Na sliki 4.6 so prikazane površine na katere je bilo potrebno predpisati robne pogoje.

Slika 4.6: Postavitev in predpis robnih pogojev

Prenos toplote iz glave na okolico smo določili s temperaturo okolice in koeficentom prestopa

toplote oziroma Cauchyjevim robnim pogojem, za katerega predpišemo, da je enak po celotni

glavi, razen v predelu vratu, kjer predpišemo adiabato (q= 0 W/m2). Na modelu glave ne

upoštevamo las, tako da ni ovir pri toplotni prestopnosti. Obravnavamo tri različne koeficienta

toplotne prestopnosti, katere imamo določene oziroma izračunane v podpoglavju 4.3.1:

𝛼1 = 4,37 𝑊

𝑚2 ∙ 𝐾 naravna konvekciji in lahka oblačila

𝛼2 = 12,23 𝑊

𝑚2 ∙ 𝐾

prisilna konvekcija in lahka oblačila pri

hitrosti vetra 10 m/s

𝛼3 = 0,303 𝑊

𝑚2 ∙ 𝐾 naravna konvekcija in puhovka

Tabela 4.2: Obravnavani koeficienti prestopa toplote

Vsak koeficient toplotne prestopnosti obravnavamo pri treh različnih temperaturah okolice,

tako da obravnavamo devet primerov. Pri izračunu koeficientov prestopnosti poenostavimo in

𝛼1 = 4,37 𝑊

𝑚2𝐾

𝛼2 = 12,23 𝑊

𝑚2𝐾

𝛼3 = 0,303 𝑊

𝑚2𝐾

temperatura zraka v ustih je enaka

temperaturi okolice

adiabatno

področje

temperatura okolice

𝑇01=-10°C

𝑇02=20°C

𝑇03= 40°C


- 38 -

upoštevamo samo eno temperaturo okolice in prav tako eno temperaturo kože za vse tri

primere.

Tabela snovnih lastnosti tkiv ter parametra perfuzijskega pretoka in metabolizma, ki smo jih

upoštevali pri postavitvi numeričnega modela:

Tkiva Gostota

𝜌 [𝑘𝑔

𝑚3]

Specifična

toplota

𝑐𝑝 [𝐽

𝑘𝑔∙𝐾]

Toplotna

prevodnost

λ[𝑊

𝑚∙𝐾]

Perfuzijski

pretok 𝜔𝑏𝑓

[𝑚𝑙


Metabolizem

�̇�𝑚 [𝑊

𝑘𝑔]

možgani (bela) 1041 3583 0,48 212 4,32

možgani (siva) 1045 3696 0,55 764 15,54

srednji možgani 1046 3630 0,51 559 11,37

mali možgani 1045 3653 0,51 770 15,67

možgansko deblo 1046 3630 0,51 559 11,37

talamus 1045 3696 0,55 685 13,93

koža 1109 3391 0,37 106 1,65

kost (skorja) 1908 1313 0,32 10 0,15

lobanja 1908 1313 0,32 10 0,15

spodnja

čeljustnica 1908 1313 0,32 10 0,15

hrustanec 1100 3568 0,49 35 0,54

dihala 1,2 1005 0,026 0 0

oko (beločnica) 1032 4200 0,58 380 5,89

Cerebrospinalna

tekočina ali

likvor

1007 4096 0,57 0 0

mišica 1090 3421 0,49 37 0,91

hrbtenjača 1075 3630 0,51 160 2,48

jezik 1090 3421 0,49 78 1,21

Tabela 4.3: Snovne lastnosti tkiv in zraka [10]


- 39 -

4.4 Stacionarni izračun

Ker nas zanimajo toplotne razmere pri konstantni temperaturi arterijske krvi in sicer za

stacionarne razmere, kakor tudi toplotne razmere, ko se temperatura arterijske krvi

spreminjanja s časom pri časovno odvisnih razmerah, bomo najprej izvedli stacionarno

simulacijo in analizirali izračun te študije.

Kot smo omenili v prejšnjem poglavju, je potrebno za reševanje omenjenega problema rešiti

zakon o ohranitvi energije, katerega opisuje Pennesov model. Ob vključitvi tega modela k

nastavljenemu numeričnemu modelu glave in s pripadajočimi robnimi pogoji lahko izvedemo

simulacijo temperaturnega polja. Ker je problem nelinearen, ga je potrebno reševati iterativno.

Izberemo število iteracij n = 100 in nastavimo vrednost konvergenčnega kriterija na 𝑅𝑀𝑆 =

1 ∙ 10−4.

Na spodnjem grafu je prikazana konvergenca omenjena zakona ohranitve energije za primer

izračuna pri 𝛼2 = 12,23 𝑊

𝑚2 𝐾 in temperaturi okolice 𝑇01 = −10°𝐶. Vidimo, da

konvergenčnega kriterija nikoli ne doseže, zato se ustavi po 100 iteracija, se pa temu kriteriju

približa, kar nakazuje na konvergenco izračuna, kar se vidi tudi iz grafa 4.2

Graf 4.1: Konvergenca stacionarnega izračuna pri -10°C

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

0 20 40 60 80 100

RM

S

n

RMS T-Energy


- 40 -

Med samim izračunom smo spremljali temperature v petih različnih točkah možganov, kot je

prikazano na sliki 4.5. Točke so bile izbrane približno, ena v sredini možganov, potem ob

strani, na vrhu, potem na sprednjem delu možganov in zadnja točka je bila izbrana na zadnjem

delu možganov. Potek temperaturnega dogajanja tekom izračuna oziroma iteracij v izbranih

točkah imamo prikazano na grafu 4.2, kjer je razvidno stacionarnost pojava, saj se

temperature ustalijo po 20 iteracijah.

Graf 4.2: Primerjava lokalnih temperatur med izračunom

4.5 Izračun pri časovno odvisni simulaciji

Pri časovno odvisni simulaciji je potrebno najprej določiti časovni korak. Izberemo ga na

podlagi primerjave treh simulacij z različnimi časovnimi vrednostmi. Z izbiro časovnega

koraka 30s, 60s, 120s poženemo simulacije, predhodno pa nastavimo število notranjih

nelinearnih iteracij na 10 in vrednost konvergenčnega kriterija na 𝑅𝑀𝑆 = 1 ∙ 10−4.

Za primerjavo in dokončno odločitev izbire časovnega koraka razberemo iz grafov in vidimo,

da gre za linearno funkcijo oziroma linearno spremembo temperature in da ni potrebe po

manjših časovnih korakih. V tem primeru izberemo največji časovni korak 120s, s katerim

35

35,5

36

36,5

37

37,5

1 10 100

T [

°C]

n

točka P1 točka P2 točka P3

točka P4 točka P5


- 41 -

poračunamo vse nadaljnje simulacije za 18 primerov. Tako bomo pri časovno odvisni

simulaciji pognali izračune za stanje, ko človek miruje in primerjali s simulacijo, ko je človek

aktiven v odvisnosti od temperature arterije in opazovanih točk. Dobili bomo ključne podatke

za študijo, saj nas zanima funkcija arterijske temperature krvi pri danih robnih pogojih, ali kri

hladi ali greje možgane.

Na spodnjem grafu je prikazana konvergenca omenjena zakona ohranitve energije za enak

primer, kot je pri stacionarnem izračunu, z robni pogoji za 𝛼2 = 12,23 𝑊

𝑚2 𝐾 in temperaturo

okolice 𝑇1 = −10°𝐶. Vidimo, da konvergenčni kriterij 1 ∙ 10−4 ni dosežen in se nahaja med

vrednostma konvergenčnega kriterija 1 ∙ 10−3 in 1 ∙ 10−4.

Graf 4.3: Konvergenca izračuna pri časovno odvisni simulaciji (𝛼2, 𝑇01, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜)

Rezultati časovno odvisne simulacije za 30s, 60s in 120s, kjer se lepo vidi, da gre za linearno

funkcijo oziroma linearno spremembo temperature:

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

0 10 20 30 40

RMS T-Energy


- 42 -

Graf 4.4: Primerjava lokalnih temperatur med izračunom za primer𝑇01, 𝛼2, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0

Iz grafa 4.4 je razvidno, da med izbranimi časovnimi koraki 0,5 min, 1 min in 2 min in med

izračunano temperaturo ni nobenih razlik, prav tako vidimo da je funkcija linearna, kar

pomeni da izberemo največji časovni korak, v tem primeru 2 min korak.

27

29

31

33

35

37

39

0 20 40 60 80 100

T [

°C]

t [min]

dt= 0,5 min dt= 1 min dt= 2 min


- 43 -

5 STACIONARNI REZULTATI

V tem razdelku bomo opisali enega izmed analiziranih primerov. Da jasneje povzamemo

ključne rezultate, smo izbrali dogajanje pri nižji temperaturi, in sicer -10°C z normalnimi

oblačili pri 𝛼1 = 4,37 𝑊/𝑚2𝐾. Zanima nas podatek, ali je temperatura možganov na

določenih mestih višja oziroma nižja od arterijske temperature ob predpisani okoliški

temperaturi. Na katerih mesti se začnejo možgani bolj ohlajati oziroma segrevati,

Slika 5.1: Točke spreminjanja temperature med izračunom

Temperatura v posameznih opazovanih točkah, ki so prikazane na sliki 5.1, so izbrane v tabeli

5.1:

Temperatura

v točki P1

Temperatura

v točki P2

Temperatura

v točki P3

Temperatura

v točki P4

Temperatura

v točki P5

36,81°C 36,80°C 36,48°C 36,31°C 36,32°C

Tabela 5.1: Stacionarna temperatura v opazovanih točkah

P5

P2

P1

P4

P3


- 44 -

Kljub temu, da je temperatura arterijske krvi konstanta in je v tem primeru znašala 36,5°C, se

iz zgornje tabele 5.1 vidi kako vplivajo zunanji parametri na določene dele možganov.

Določena področja so namreč bolj hladna od ostalih, kar je povezano z vplivom iz okolice,

kot tudi z izvori posameznega tkiva (metabolizem in izvor toplote zaradi pretoka krvi). Prav

tako vidimo, da je temperatura v točkah P1 in P2 višja od arterijske krvi, kar pomeni, da

možgani v tem območju arterijsko kri segrevajo (oziroma perfuzijski pretok hladi omenjen

del) in da je pri P3, P4 in P5 ravno obratno, kar je prikazano na spodnjih slikah, torej

perfuzijski pretok krvi greje možgane.

Slika 5.2: Temperaturno polje opazovanih točk

Točka P3 pri h=1674 mm Točka P2 pri h=1681 mm

Točka P1 pri h=1712 mm Točka P4 pri h=1720 mm Točka P5 pri h=1768 mm


- 45 -

Na sliki 5.2 je prikazano temperaturno polje znotraj glave, natančneje možganov. Točka P1

predstavlja območje temperature in kot je razvidno se nahaja v sredini možganov, kjer je

središče izvora toplote (slika 5.2, točka P2- izvor rdeče barve) na osnovi metabolizma,

perfuzijski pretok krvi pa predstavlja ponore toplote na tem območju, saj je temperatura

arterije manjša. Vidimo da se s pomikanjem iz središča proti robu fazni zamik krajša, kar

povzroča večja temperaturna nihanja in s tem padec temperature zaradi nižje temperature

okolice (glej sliko 5.2 pod točko P3, P4)

Slika 5.3: Temperaturna porazdelitev po ostalih anatomskih delih

Z opazovanjem vseh slik 5.2 v tem razdelku, vključno s sliko 5.3, ki opisuje prehod toplote po

celotni glavi vidimo, da so kljub ekstremnim okoliškim vplivom možgani dokaj enakomerno

segreti (prerezi), posebej vidno je na sliki 5.3, kjer je temperaturna razlika skale večja v

primerjavi s sliko 5.2.


- 46 -

Vidimo, da do temperaturnih sprememb oziroma malih faznih zamikov prihaja nekje na

področju lobanje, mišic in ostalega tkiva. Pri preverjanju omenjenih tkiv iz tabele snovnih

lastnosti tkiv (tabela 4.3) ugotovimo da ima lobanja nižjo toplotno prevodnost od ostalih tkiv,

kar pomeni da je izolator.

Ob ugotovitvah, ki smo jih navedli v zadnjem odstavku, se poraja vprašanje kakšne so razlike

temperaturnih porazdelitev pri temperaturi okolice 40°C. Kakšni so prehodi toplote, kaj se

dogaja z možgani, se segrevajo ali hladijo.

Primerjava simulacij za primer 𝛼1 = 4,37 𝑊/𝑚2𝐾, 𝑇01 = −10°𝐶 in 𝛼1 = 4,37 𝑊/𝑚2𝐾 pri

𝑇02 = −10°𝐶 je prikazana na sliki 5.4:

Slika 5.4: Primerjava toplotnih obremenitev možganov pri skali 36°C - 37°C

Na sliki 5.4 prikazujemo prerez glave temperaturnega polja pri višini 1674 mm v

temperaturnem razponu od 36-37°C z namenom prikaza poteka faznih zamikov oziroma

izvorov toplote na levi in ponorov toplote na desni. Vidimo da je središče izvorov oziroma

ponorov na različni lokacijah in da je temperatura na desni sliki bolj enakomerno

porazdeljena, da zajema večji obseg glave oziroma tkiv, saj je vzrok manjša temperaturna

razlika med arterijsko temperaturo in temperaturo okolice (približno 3,5°C) kot na levem

primeru, kjer je temperaturna razlika približno 47,5°C. Razlog za počasnejše segrevanje na

𝑇01 = −10°𝐶 𝑇01 = 40°𝐶


- 47 -

levi in hitrejše ohlajanje na desni je tudi v nastavitvah temperaturne skale, saj je le-ta od

36°C-37°C.

Iz slike je prav tako razvidno da arterijska kri s temperaturo 36,5 ℃ pomaga v prvem primeru

greti možgane v drugem, ko je temperatura okolice neprimerno višja pa hladiti in s tem

ohranjati temperaturo možganov na konstantnem nivoju. Kar je tudi razvidno iz tabele 5.2.

T01= -10°C T02= 20°C T03= 40°C

alfa1 36,80 36,80 36,81

alfa2 36,78 36,80 36,81

alfa3 36,81 36,81 36,81

Tabela 5.2: Prikaz območja P2 kot reprezentativne temperature možganov

V tabeli 5.2 je prikazano temperaturno območje v točki P2 kot reprezentativna temperatura

možganov. Kot je razvidno iz slike 5.2 se območje nahaja na zadnji strani možganov blizu

lobanje pri višini (h= 1681 mm). Vidimo, da so temperaturne razlike zanemarljivo majhne,

kar nakazuje k enakomernosti razporejene temperature kljub veliki temperaturni razliki

okolice.

Tako lahko sklenemo iz tega preprostega stacionarnega primera, da arterijska temperatura

krvi v največji meri pogojuje temperaturo možganov, ki je bolj ali manj konstantna, in sicer

zaradi dokaj velikega perfuzijskega pretoka in metaboličnega izvora. Tako bi bila bolj

natančna napoved oziroma analiza edino možna ob upoštevanju spremenljivega perfuzijskega

pretoka krvi od temperature.


- 48 -

6 REZULTATI – ČASOVNO ODVISEN PROBLEM

V tem razdelku bomo analizirali simulacijo enega primera časovno odvisnega problema v

stanju mirovanja in kasneje primerjali pri enakih pogojih v primeru, ko je človek aktiven. Da

jasneje povzamemo ključne rezultate, bomo povprečne temperature, ki jih opazujemo skozi

izračun prikazali v tabeli 6.1 in podkrepili s sliko prikazanih točk analize. Bolj natančno bomo

obravnavali oziroma analizirali primer pri temperaturi 𝑇01 = −10°𝐶 in koeficientu prestopa

𝛼2 = 12,23 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾 v času, ko človek miruje (𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0). Prav tako, kot pri

stacionarni simulaciji, nas zanima celovit potek temperaturnega poteka z razliko spremljanje

temperature v odvisnosti od časa.

Med samim izračunom smo spremljali temperature v petih različnih točkah možganov, kot je

prikazano na slik 5.1, vendar bomo zaradi boljše preglednosti in majhnih temperaturnih razlik

podali končne temperature pri zadnjem časovnem koraku, kjer je človek na meji zavesti.

Temperature pri času 80 min so podane v tabeli 6.1.

Graf 6.1: Prikaz potek dogajanja opazovanih mest pri (𝑇01, 𝛼2, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0) vključno z

arterijsko temperaturo

27

29

31

33

35

37

39

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

T [

°C]

t [min]

Ta točka P1 točka P2 točka P3 točka P4 točka P5


- 49 -

Temperatura

arterije

Temperatura

v točki P1

Temperatura

v točki P2

Temperatura

v točki P3

Temperatura

v točki P4

Temperatura

v točki P5

27,23°C 27,89°C 27,70°C 27,31°C 27,14°C 27,31°C

Tabela 6.1: Temperatura v opazovanih točkah na pri časi XYZ

Kot je razvidno iz grafa 6.1 in tabele 6.1 so temperature med seboj podobne in sledijo

temperaturni spremembi arterijske krvi.

Opazno je tudi, da so temperature v točkah P1 – P5 višje od temperature arterijske krvi, kar

pomeni da se arterijska kri na teh mesti segreva oziroma perfuzijski pretok ohlaja možgane,

kar se dogaja že od začetka, razen v točki P4, kjer arterijska kri greje, vendar kot je

podrobneje razvidno le za kratki čas. Človek pri teh pogojih izgubi zavest med 70 – 80 minut.

Ker je temperatura možganov oziroma v točkah P1-P5 dokaj enaka, bomo v vseh nadaljnjih

grafih prikazovali samo temperaturo v eni točki, in sicer v točki P2.

čas 0 min 24 min


- 50 -

Slika 6.1: Temperaturno polje opazovanih točk pri HR1

Na sliki 6.1 je prikazana temperatura porazdelitev po možganih v odvisnosti od časa, začenši

pri času 0 min pri začetni temperaturi 36,8°C in koncem pri 27°C. Glede na to, da se možgani

pri časovno odvisni simulaciji v stanju mirovanja pri ekstremnih vplivih iz okolice (-10°C,

veter 10m/s) in kljub izvorom metabolizma hitro ohlajajo (približno 70 – 80 min na 27°C),

vidimo da le-to poteka dokaj enakomerno po celotnih možganih z 1°C temperaturne razlike

med možgansko skorjo in notranjim delom, za kar ima vse zasluge lobanja kot izolator. Ta

primer bomo nadalje analizirali in primerjali potek dogajanja pri enakih časih za stanje, ko je

človek aktiven, kjer bo stopnja srčnega utripa višja za 40% (𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,4).

Za primer ko je človek aktiven je iz rezultatov v tabeli 6.2 vidno, da se prav tako določeni deli

segrevajo oziroma ohlajajo od ostalih, kot v primeru mirovanja, vendar je iz grafa razvidno,

da ohlajanje poteka počasneje (z razliko od grafa 6.1), kar je tudi dobro razvidno iz slike 6.2.

Tudi tokrat arterijska temperatura oziroma temperatura jedra pogojuje temperaturo možganov,

le da zaradi aktivnosti temperatura jedra pada počasneje, s tem pa tudi temperatura možganov.

Človek pri teh pogojih izgubi zavest med 120 – 140 minut.

48 min 78 min


- 51 -

Graf 6.2: Prikaz potek dogajanja v opazovani točki P2 za primer 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0 in

𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,4 pri enakih pogojih okolice

Sedaj bomo prikazali grafično le primerjavo med posameznimi scenariji, ki smo jih vzeli prav

tako v obzir, in sicer primerjavo med različno temperaturo okolice, izoliranostjo osebe in

obremenitvijo. Pri tem pa bomo pokazali in komentirali spremembo temperature možganov v

izbrani točki P2.

Na grafu 6.3 je prikazan potek dogajanja v točki P2 za primer ko človek miruje (𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 =

1,0) in ko je aktiven (𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,4), vendar je njegova aktivnost nezadostna, saj se

življenjski cikel podaljša iz 80 min na 140 min. Torej človek bi za daljši čas preživetja moral

biti bolj aktiven, kar bi se pokazalo z višjim 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜.

Temperatura

arterije

Temperatura

v točki P1

Temperatura

v točki P2

Temperatura

v točki P3

Temperatura

v točki P4

Temperatura

v točki P5

27,19°C 27,33°C 27,56°C 27,07°C 26,83°C 26,91°C

Tabela 6.2: Opazovane točke pri HR1,4

27

29

31

33

35

37

39

0 20 40 60 80 100 120 140 160

T [

°C]

t [min]

alfa2, T01, HR1 alfa2, T01, HR1,4


- 52 -

MIROVANJE po korakih AKTIVNOST po korakih

Slika 6.3: Primerjava temperaturnih polj v stanju mirovanja levo in v stanju aktivnosti desno

24 min

48 min

78 min


- 53 -

Graf 6.3: Opazovanje točke P2 pri temperaturi 𝑇01 = −10°𝐶 med mirovanjem, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0

(levo) in aktivnostjo, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,4 (desno)

Iz zgornjega grafa 6.3 vidimo, da človek pri stanju mirovanja in pri temperaturi okolice -10°C

zdrži največ časa, ko je toplo oblečen, kot je puhovka v našem primeru (𝛼3). Kar pa ne velja v

primeru, ko je človek aktiven, saj bi se pri takem koeficientu prestopa toplote hitro pregrel. V

primeru višjega odvoda toplote (𝛼2) se telo kljub telesni obremenitvi ohlaja, kar ima za

posledico tudi hitro zmanjšanje temperature možganov oziroma temperature v točki P2.

Toplotno najbolj primerno v tem primeru oziroma pri tej nizki temperature okolice je, da je

oseba dobro oblečena in pri mirovanju ali pa v primeru če je oseba aktivna, primerno in ne

preveč oblečena, saj mora biti produkcija toplote v sorazmerju s toplotnimi izgubami.

27

29

31

33

35

37

39

41

0 500 1000

T [

°C]

t [min]

alfa1 alfa2 alfa3

27

29

31

33

35

37

39

41

0 500 1000

T [

°C]

t [min]

alfa1 alfa2 alfa3


- 54 -

Graf 6.4: Opazovanje točke P2 pri temperaturi 𝑇02 = 20°𝐶 med mirovanjem, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0


V primeru višje temperature okolice, tj. 20 ℃, je temperaturni oziroma toplotni odziv prkazan

na grafu 6.4. V stanju mirovanja je videti, da ima dokaj enak potek prenosa toplote kot pri

grafu 6.3 v stanju ko je človek aktiven. Razlog za podobnost med nizko temperaturo okolja,

aktivnostjo človeka in med neaktivnostjo, višjo temperaturo okolja je v tem da pri mirovanju

pri temperaturi okolice 20°C človek ne potrebuje biti aktiven oziroma ne sme biti aktiven, ker

drugače se pregreje, kot je razvidno iz grafa 6.4 v stanju ko je človek aktiven zaradi toliko

višje temperature okolice (20°C). Pri temperaturi okolice 20°C in stanju aktivnosti je

najboljše, da je odvod toplote večji (veter) oziroma ni preveč oblečen.

27

29

31

33

35

37

39

41

0 500 1000

T [

°C]

t [min]

alfa1 alfa2 alfa3

35,8

36,8

37,8

38,8

39,8

40,8

41,8

42,8

0 500 1000

T [

°C]

t [min]

alfa1 alfa2 alfa3


- 55 -

Graf 6.5: Opazovanje točke P2 pri temperaturi 𝑇03 = 40°𝐶 med mirovanjem, 𝐻𝑅𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = 1,0


V primeru visoke temperature (40 ℃) pride v vsakem primeru do pregrevanja telesa, kot je to

razvidno iz grafa 6.5, tudi v mirovanju.

Oseba se v primeru aktivnosti pregreva neprimerno hitreje, kot v stanju mirovanja. To lahko

povežemo s poletnimi toplomi dnevi, ko se telo zelo težko ohladi oziroma je potrebno popiti

dosti več tekočine, da se telo ohlaja z mehanizmom potenja, ki je v takšnih primerih

neprimerno višji.

35,8

36,8

37,8

38,8

39,8

40,8

41,8

42,8

0 200 400 600

T [

°C]

t [min] alfa1 alfa2 alfa3

35,8

36,8

37,8

38,8

39,8

40,8

41,8

42,8

0 50 100

T [

°C]

t [min]

alfa1 alfa2 alfa3


- 56 -

7 ZAKLJUČEK

V zadnjem času je na tem področju bilo narejenih veliko raziskav prenosa toplote pri človeku

oziroma tkivih, ki opisujejo ta kompleksen pojav. Namen diplomske naloge je izdelava

oziroma postavitev numeričnega modela človeške glave s ciljem napovedati toplotno

obremenitev možganov oziroma porazdelitev temperature v možganih za različne pogoje, od

temperature okolice, obremenitve osebe ter oblačil oziroma izmenjave toplote z okolico. Saj

je le-tako mogoče napovedati kritična stanja, kot je izguba zavesti pri podhladitvi ali

pregretju. V ta namen je bil izdelan 3D numerični model človeške glave s podrobno

anatomijo, od mišičnega tkiva, možganov, lobanje, možganske tekočine itd. Prenos toplote v

modelu glave je bil opisan z splošno najbolj uporabljenim modelom prenosa toplote v tkivih,

tj. Pennesovim modelom, ki vključuje perfuzijski izvor oziroma ponor toplote ter izvor zaradi

metabolizma celic.

Pri tem je bilo narejenih kar nekaj stacionarnih simulacij, ob upoštevanju različne temperature

okolice in intenzitete prestopa toplote oziroma izmenjave toplote z okolico, in sicer pri

konstantni temperaturi človeškega jedra oziroma arterijske temperature krvi. Analiza

rezultatov je pri tem pokazala, da je temperatura možganov bolj ali manj konstantna, ter le

malo odvisna od temperature okolice in koeficienta prestopa toplote. Razlog tega je v veliki

prekrvavljenosti možganov, zaradi česar je temperatura možganov najbolj pogojena s

temperaturo arterijske krvi oziroma temperatur človeškega jedra (osrednjega dela). Prav tako

pa h konstantni temperaturi možganov prispeva tudi nizka toplotna prevodnost lobanje, ki

nekoliko izolira možgane od okoliškega tkiva.

Tako je bil v drugem delu numerični model glave nadgrajen s termoregulacijskim modelom,

ki napove v odvisnosti od temperature okolic, obremenjenosti človeka in stopnje izmenjave

toplote z okolico (upornost oblek) časovno spremembo temperature človeškega jedra, pri

čemer smo predpostavil, da je le-ta enak arterijski temperaturi krvi, ki pride v človeško glavo.

Tako smo lahko s pomočjo termoregulacijskega modela prišli do časovne spremembe

arterijske temperature krvi, ki igra tudi pomembno vlogo pri temperaturi možganov.

V zadnjem delu so bile tako izvedene časovno odvisne simulacije toplotne obremenitve

možganov v odvisnosti od temperature okolice, obremenjenosti in stopnji izmenjave toplote z


- 57 -

okolico. S takšnim modelom je tako mogoče napovedati kritična stanja oziroma čas v katerem

pride do podhladitve oziroma pregretja možganov in s tem povezano izgubo zavesti. To je še

zlasti uporabno v praksi za določitev temperaturne obremenjenosti gasilcev ali vojakov v

ekstremnih pogojih. Izdelan 3D numerični model pa ne podaja le temperature jedra, ki je

rezultat termoregulacijskega modela, temveč tudi natančnejšo oziroma lokalno porazdelitev

temperature v človeški glavi, zlasti temperaturo možganov, ki pa je zaradi visoke

prekrvavljenosti ter izolacijskih lastnosti lobanje bolj ali manj konstantna oziroma podobna

temperaturi arterijske krvi.

Izdelan numerični model tako ni pomemben le za napovedovanje časa zavesti človeka,

temveč tudi za napovedovanje lokalne temperature možganov. Le-to je še zlasti zanimivo pri

nekaterih kliničnih aplikacijah, kot je zmanjšanje notranje krvavitve možganov z lokalnim

ohlajanjem.

Natančnejšo analizo toplotne obremenitve možganov oziroma temperaturne porazdelitve pa bi

bilo mogoče dobiti z upoštevanjem temperaturne odvisnosti perfuzijskega pretoka krvi,

katerega smo do sedaj obravnavali kot konstantnega. Saj je znano, da se le-ta s tako

ekstremno razliko temperature, kot je prikazana v tej nalogi, lahko kar možno poveča ali

zmanjša, kar podaljša čas preživetja oziroma zavesti človeka. Omenjena izboljšava pa je

lahko predmet nadaljnje študije na tem področju.


- 58 -

LITERATURA

[1] Devashish Shrivastava, J. Thomas Vaughan. A Generic Bioheat Transfer Thermal

Model for a Perfused Tissue. J Biomech Eng. 2009 July ; 131(7): 074506.

doi:10.1115/1.3127260.

[2] Jung-Hyun Kim, W. Jon Williams, Aitor Coca, Miyo Yokota. Application of

thermoregulatory modeling to predict core and skin temperatures in firefighters.

International Journal of Industrial Ergonomics 43 (2013) 115-120.

[3] Pennes, H. H, Analysis of Tissue and Arterial Blood Temperatures in the Resting

Human. Forearm, J. Appl. Physiol 1, 93-122 (1948)

[4] Oriano Bottauscio, Mario Chiampi, Luca Zilberti. Boundary Element Solution of

Electromagnetic and Bioheat Equations for the Simulation of SAR and Temperature

Increase in Biological Tissues. IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS, VOL. 48,

NO. 2, FEBRUARY 2012.

[5] Jurij Iljaž. Reševanje inverznih problemov prenosa toplote v tkivu z metodo robnih

elementov. PhD diss., Univerza v Mariboru, 2012.

[6] Leopold Škerget, Andro Alujevič. Prenos toplote. Fakulteta za strojništvo, Univerza v

Mariboru, 2011.

[7] Christopher M. Collins, Michael B. Smith and Robert Turner. Model of local

temperature changes in brain upon functional activation. J Appl Physiol 97:2051-2055,

2004. First published 20 August 2004; doi:10.1152/japplphysiol.00626.2004.

[8] Chen, M. M. and Holmes, K. R.. Microvasculature Contributions in Tissue Heat

Transfer, In: Thermal Characteristics of Tumors: Applications in Detection and

Treatment, R. K. Jain and P. M. Gullino Eds., Ann. N.Y. Acad. Sci.,(1980),

335:137â€“150.DOI: 10.1111/j.1749-6632.1980.tb50742.x

[9] J. A. Harris, F. G Benedict, A biometric study of human basal metabolism, pridobljeno

6.5.2015 iz http://www.pnas.org/cgi/reprintframed/4/12/370

[10] Pridobljeno 6.5.2015 iz http://www.itis.ethz.ch/virtual-population/tissue-

properties/database/

[11] Eva Klemenčič, Toplotna bilanca potapljača pri potapljanju v hladni vodi, Univerza v

Mariboru, 2012.

[12] A. Yasin Citkaya, S. Selim Seker. FEM modeling of SAR distribution and temperature

increase in human brain from RF exposure., INTERNATIONAL JOURNAL OF

COMMUNICATION SYSTEMS, Int. J. Commun. Syst. 2012; 25:1450–1464,

Published online 20 February 2012 in Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com).

DOI: 10.1002/dac.2322.

[13] Arka Bhowmik, RupeshSingh, RamjeeRepaka, SubhashC.Mishra. Conventional and

newly developed bioheat transport models in vascularized tissues: A review. Journal of

Thermal Biology 38 (2013) 107–125.

[14] Manuel Murbach, Esra Neufeld, Myles Capstick, Wolfgang Kainz, David O. Brunner,

Theodoros Samaras, Klaas P. Pruessmann, Niels Kuster. Thermal Tissue Damage

Model Analyzed for Different Whole-Body SAR and Scan Durations for Standard MR

Body Coils. Magnetic Resonance in Medicine 71:421–431 (2014).

[15] Body (Human) heat transfer, pridobljeno 6.5.15 iz www.thermopedia.com/content/587/

http://www.pnas.org/cgi/reprintframed/4/12/370

http://www.itis.ethz.ch/virtual-population/tissue-properties/database/

http://www.itis.ethz.ch/virtual-population/tissue-properties/database/

Documents

NUMERIČNI MODEL ČLOVEŠKE GLAVE ZA DOLOČITEV …