2. NUMERIKI SISTEMI I KODOVI

2.1. PREDSTAVLJANJE PODATAKA

Podaci u digitalnom raunaru se predstavljaju i obrauju u digitalnom obliku. Digitalni podaci se predstavljaju pomou simbola nekog numerikog ili brojnog sistema. Numeriki sistem ima osnovu ili bazu (b) i cifre (Ci) brojnog sistema. Osnova b numerikog sistema je uvijek cijeli pozitivan broj jednak ili vei od 1 ( b1 ). Cifre numerikog sistema su cijeli pozitivni

brojevi u opsegu od 0 do (b-1), tj. (0 C b-1). Cifre su teinske, tj. imaju odgovarajuu teinu u podatku. Mjesto odnosno poloaj ili pozicija cifre u podatku definie njenu teinu u podatku. Za predstavljanje digitalnih podataka u principu moe da se koristi bilo koji numeriki sistem, u zavisnosti od odabrane osnove numerikog sistema. Praktino su razvijeni i mogu se koristiti razliiti brojni sistemi, u zavisnosti od potrebe i pogodnosti u konkretnoj primjeni.

Digitalni podatak u nekom (bilo kom) numerikom sistemu se predstavlja na sljedei nain:

(b)

C ... C C C ,CC C C ... C C m-3-2-1- 0 1232-n1-n . (2.1)

Ovdje je:

m - broj razlomakih mjesta u podatku (broj cifara desno od zapete), n - broj cijelih mjesta u podatku (broj cifara lijevo od zapete),

C - cifre brojnog sistema,

b - osnova numerikog sistema, i - mjesto ili pozicija cifre u podatku.

Ako se koriena baza sistema podrazumijeva onda se ona ne pie, a ako se ne podrazumijeva onda se pie u indeksu podatka da bi se jasno vidjelo koji numeriki sistem je u pitanju. Vrijednost svake konkretne cifre u podatku zavisi od njenog poloaja u podatku, odnosno od njene teine. Teina svake cifre zavisi od koriene osnove numerikog sistema (b) i poloaja cifre u podatku (i) i teina cifre Ci na poziciji i u podatku je jednaka b

i. Konkretna

vrijednost cifre na poziciji i (cifre Ci ) je onda data sa Cibi .

Stvarna brojna vrijednost tako predstavljenog digitalnog podatka (izraz

2.1) moe se izraunati na sljedei nain, odnosno korienjem sljedeeg izraza:

2

1

m-

3-

3-

2-

2-

1-

1-

0

0

1

1

2

2

3

3

2-n

2-n

1-n

1-n

C ... bC bC bC

bC bC bC b C ... b C bC X

n

mi

i

i

m bCb (2.2)

Na primjer, za numeriki sistem sa osnovom b = 10 (tzv. decimalni ili dekadni numeriki sistem) bi bilo:

. 10 5 10 3 10 7 10 2 10 4 427,35 X -2-101210 (2.3)

Praktino se za digitalno predstavljanje podataka moe koristiti bilo koji numeriki (brojni) sistem. U sljedeoj Tabeli 1 su prikazani neki numeriki (brojni) sistemi koji se u praksi najee koriste za predstavljanje digitalnih podataka. Prikazane su osnove koje ti sistemi koriste, nazivi za takve sisteme i

simboli koji se koriste za predstavljanje cifara u tim numerikim sistemima.

Tabela 1.

OSNOVA

SISTEMA

NAZIV

NUMERIKOG SISTEMA

SIMBOLI CIFARA

NUMERIKOG SISTEMA

1 UNARNI / (ili 1)

2 BINARNI 0,1

3 TERNARNI 0,1,2 ( ili -1,0,1 )

8 OKTALNI 0,1,2,3,4,5,6,7

10 DECIMALNI ILI

DEKADNI

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

16 HEKSADECIMALNI

ILI HEKSADEKADNI

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Numeriki sistem koji koristi najniu osnovu (b=1) naziva se unarnim numerikim sistemom. Taj sistem se u praksi vrlo rijetko koristi. Za predstavljanje podataka upotrebljava se samo jedna cifra odnosno simbol, cifra

1 ili crtica. Podaci se predstavljaju povlaenjem odgovarajueg broja crticama ili pisanjem odgovarajueg broja 1. Broj crtica ili broj 1 je vrijednost predstavljenog podatka. Takav numeriki sistem je nepogodan za praktinu primjenu, naroito za predstavljanje podataka velike vrijednosti kada treba pisati jako veliki broj crtica ili 1.

U numerikom sistemu koji se naziva binarni koristi se osnova vrijednosti b=2. Kao cifre za predstavljanje podatak koriste se brojevi 0 i 1. Cifra u

binarnom numerikom sistemu se naziva binarnom cifrom i za nju se koristi termin bit, koji je nastao od termina binary digit (to znai binarna cifra) iz engleskog jezika korienjem prva dva slova prve rijei i poslednjeg slova

3

druge rijei. Zbog pogodnosti i prednosti vezanih za praktinu realizaciju i primjenu elektronskih kola za rad u binarnom sistemu, binarni numeriki sistem se koristi u digitalnim raunarima za predstavljanje i obradu podataka. Svi podaci, rezultati, a takoe i svi programi u digitalnom raunaru su predstavljeni pomou bita, odnosno pomou 0 i 1. Cifre 0 i 1 su u digitalnim elektronskim kolima i sistmima se predstavljaju sa dva naponska nivoa, niskim

i visokim. Iako ni binarni sistem nije pogodan za predstavljanje podataka

velikih vrijednosti jer tada zahtijeva veliki broj bita, on se praktino koristi u raunarima zbog jednostavnosti i prednosti realizacije i korienja odgovarajuih digitalnih binarnih elektronskih kola pomou kojih se realizuje digitalni raunar.

Numeriki sistem koji koristi osnovu b=3 naziva se ternarnim sistemom. Kod njega se za predstavljanje podataka kao cifre koriste brojevi 0, 1 i 2.

Nekad se koriste kao cifre vrijednosti 1, 0 i 1. Neke analize pokazuju da bi sa aspekta sloenosti realizacije, cijene i drugih karakteristika moda bilo najpovoljnije koristiti ternarni numeriki sistem i ternarna elektronska kola za realizovanje digitalnih raunara i digitalnih sistema. To je zbog toga to je 3 osnova koja je najblia vrijednosti baze prirodnog logaritma e = 2,718. U praksi postoje raunari realizovani korienjem osnove b=3, u ternarnom numerikom sistemu, pomou odgovarajuih ternarnih elektronskih kola. Takoe, praktino postoji dosta veliki interes i za realizovanje i primjenu raunare i digitalnih sistema u kojim se koristi osnova b=4. To je tzv. kvaternarni ili kvanarni numeriki sistem. Prakino postoje digitalni raunai i digitalni sistemi u kojima se dio ili itav sistem realizuje korienjem kvaternarne logike i kvaternarnih elektronskih kola.

Oktalni numeriki sistem koristi osnovu b=8 i brojeve 0 do 7 kao cifre. U primjenama u kojima treba predstavljati i koristiti vee vrijednosti podataka poeljno je primjenjivati numeriki sistem sa veom osnovom. Tada je potrebno manje cifara za predstavljanje neke konkretne vrijednosti podatka.

Zbog toga je u raunarskoj tehnici i informatici u nekim primjenama pogodno koristiti oktalni numeriki sistem.

Decimalni ili dekadni numeriki sistem koristi osnovu b=10, a kao cifre se upotrebljavaju brojevi od 0 do 9. Taj numeriki sistem ljudi koriste svakodnevno za predstavljanje podataka. Ljudi su usvojili osnovu b=10 za

predstavljanje podataka, za realizovanje svih aritmetikih operacija i za prikazivanje rezultata i dobro shvataju i razumiju korienje tog sistema. Zbog toga svi podaci i rezultati koje ljudi koriste moraju biti predstavljeni u

decimalnom ili dekadnom numerikom sistemu. Heksadecimalni ili heksadekadni numeriki sistem je jo jedan sa veom

osnovom koji se mnogo koristi u raunarskoj tehnici i informatici. Kod njega se upotrebljava osnova b=16. Kako nema dovoljno brojeva za predstavljanje

svih 16 cifara, u ovom sitemu se pored brojeva od 0 do 9 koriste i velika slova

latinice od A do F za predstavljanje cifara. I ovaj sistem se uglavnom koristi za

predstavljanje podataka veih vrijednosti, a poto koristi veu osnovu onda

4

zahtijeva manje cifara za predstavljanje konkretnog podatka nego sistemi sa

manjom osnovom.

Kao to je navedeno, u digitalnom raunaru se koristi binarni numeriki sistem. Kada se u raunaru koriste podaci izraeni u nekom drugom numerikom sistemu (najee u oktalnom, decimalnom ili heksadecimalnom), oni se moraju predstaviti pomou 0 i 1, odnosno u binarnom sistemu. Cifre tih sistema se onda predstavljaju pomou cifara binarnog sistema, tj. pomou bita. Zbog toga se nekad kae da su oktalni, decimalni i heksadecimalni numeriki sistemi modifikacije binarnog sistema i nazivaju se binarno izvedeni sistemi.

U bilo kom numerikom sistemu, to je manja osnova potreban je vei broj cifara da bi se izrazila data brojna vrijednost. Zbog toga je praktino bolje koristiti numerike sisteme sa veom osnovom. Meutim, praktina realizacija elektronskih digitalnih kola za vee osnove je dosta sloena i skupa, a postoje i jo neki problemi pri njihvom korienju. Zbog toga se praktino u raunarima i digitalnim sistemima koristi binarni numeriki sistem i binarna kola za njihovu realizaciju.

1.2. BINARNI NUMERIKI SISTEM

Kao to je ve navedeno, u svim digitalnim raunarima se upotrebljava binarni numeriki sistem za predstavljanje i obradu podataka. Koristi se osnova b=2, a cifre su 0 i 1. Primjer podatka datog u binarnom numerikom sistemu:

. 11010001 X 2 (2.4)

Vrijednost 2 u indeksu na kraju podatka je oznaka za korienu bazu numerikog sistema i pokazuje da se radi o podatku predstavljenom u binarnom numerikom sistemu. To se pie ako se ne zna, odnosno ne podrazumijeva, koji je numeriki sistem korien. U suprotnom sluaju, ako se zna koji sistem je korien baza sistema se ne pie u indeksu podatka.

Cifra u binarnom sistemu, odnosno binarna cifra se naziva bit. Taj termin

je skraenica od engleskog termina binary digit to znai binarna cifra i uobiajen i prihvaen je termin za oznaavanje cifara u binarnom numerikom sistemu. Prethodno prikazani podatak u (2.4) je predstavljen pomou osam bita.

U binarnom numerikom sistemu sa n bita se moe predstaviti 2n razliitih kombinacija, tj. razliitih vrijednosti, odnosno razliitih podataka. Podatak koji ima vie (n) bita naziva se binarna rije. Ako je broj bita u binarnoj rijei n =8 takva binarna rije se naziva bajt (engl. byte). Pomou jednog bajta moe da se predstavi 28 = 256 razliitih vrijednosti (podataka).

5

Za oznaavanje veih koliina podataka u bitima, u bajtovima ili u rijeima koriste se jo termini:

Kilo (K), to je 210 ili 1024,

Mega (M), to je 210 210 = 220 ili 1024 1024 = 1 048 576,

Giga (G), to je 210210210=230 ili 102410241024= 1 073 741 824,

Tera (T), to je 210210210 210 =240 ili 1024102410241024 = =1 099 511 627 776.

Ljudi koriste decimalni numeriki sistem za predstavljanje i obradu podataka, a raunari koriste binarni numeriki sistem. Zbog toga je u praksi potrebno vriti konverziju podataka iz decimalnog u binarni numeriki sistem i obrnuto. Pri unoenju podataka u raunar potrebno je izvriti konverziju iz decimalnog u binarni numeriki sistem, a pri prikazivanju rezultata potrebno je vriti konverziju iz binarnog u decimalni numeriki sistem. Takoe i pri korienju drugih numerikih sistema sa drugim osnovama, nekad je potrebno vriti konverziju podataka izmeu razliitih numerikih sistema.

2.3. KONVERZIJA PODATAKA IZMEU RAZLIITIH NUMERIKIH SISTEMA

2.3.1. KONVERZIJA IZMEU BINARNOG I DECIMALNOG SISTEMA

Konverzija binarnih u decimalne podatke

Konverzija binarnih u decimalne podatke, odnosno iz binarnog u

decimalni numeriki sistem, je relativno jednostavna. Realizuje se vodei rauna o tome da je osnova binarnog sistema b=2, te uzimajui u obzir vrijednost i poloaj (teinu) svake binarne cifre, u skladu sa izrazom (2.2), prema sljedeem izrazu:

.2C...2C2C2C 2C

2C...2 C 2C...CCC,CC...CCC

m-

2-

2-

1-

1-

0

0

1

1

2

2

2-n

2-n

1-n

1-nm-2-1-0122-n1-n

m

(2.5)

Daemo dva primjera konverzije iz binarnog u decimalni numeriki sistem.

Prvi primjer:

Neka je dat sljedei podatak u binarnom numerikom sistemu 1100,11012. Postupak njegove konverzije u decimalni numeriki sistem se realizuje na sljedei nain:

6

.8125,12

2120212120 2021 211100,1101

10

4-3-2-10123

2

(2.6)

Drugi primjer:

Neka je u binarnom numerikom sistemu dat sljedei podatak 10101011,10012. Konverzija tog podatka u decimalni numeriki sistem se vri na sljedei nain:

.5625,1712120202121

21202120 21202100110101011,1

10

43-210

1234567

2

(2.7)

Konverzija decimalnih u binarne podatke

Postupak konverzije podataka iz decimalnog u binarni numeriki sistem je neto sloeniji od prethodne konverzije. Realizuje se u dva postupka, odnosno u dva dijela. Posebno se vri konverzija cijelog dijela podatka (dio lijevo od zapete), a posebno konverzija razlomakog dijela podatka (dio desno od zapete).

Konverzija cijelog dijela podatka

Konverzija cijelog dijela podatka iz decimalnog u binarni numeriki sistem se najjednostavnije realizuje pomou dijeljenja osnovom binarnog sistema (dijeljenje sa 2). Podatak dat u decimalnom numerikom sistemu se dijeli sa 2. Ostatak dijeljenja je odgovarajua binarna cifra. Ako postoji ostatak (ostatak jednak 1) onda je ta binarna cifra 1, a ako ne postoji ostatak (ostatak

jednak 0) onda je ta binarna cifra jednaka 0. Tako se odreuje prva binarna cifra, binarna cifra najmanje teine u binarnom podatku (binarna cifra C0). Zatim se kolinik iz prethodnog dijeljenja dijeli sa 2. Tako se odreuje sljedea binarna cifra. Ako postoji ostatak pri dijeljenju onda je ta binarna cifra 1, a ako ne postoji ostatak onda je ta cifra 0. Taj postupak se dalje

ponavlja i uzastopno odreuju sljedee binarne cifre vie teine kao rezultat dijeljenja sa 2 prethodnog kolinika iz prethodnog dijeljenja. Taj postupak se ponavlja sve dok se ne dobije da je rezultat dijeljenja jednak 0. Tada su sve

binarne cifre odreene, konverzija je zavrena i moe se napisati binarni podatak koji je rezultat konverzije. Pri tome posljednja odreena binarna cifra ima najveu teinu (Cn-1), a prva odreena cifra ima najmanju teinu (C0).

7

Ako se sa XD oznai podatak dat u decimalnom numerikom sistemu koga treba konvertovati u binarni sistem onda se postupak konverzije moe prikazati na sljedei nain:

,C cifra binarna prva odredjena je tako,2

CX

2

X0

0

0D

,C cifra binarna druga odredjena je tako,2

CX

2

X1

11

0

,C cifra binarna trecaodredjena je tako,2

CX

2

X2

22

1

(2.8)

,C cifra binarna 1)-(n odredjena je tako,2

CX

2

X2-n

2-n2-n

3-n

.C cifra binarna ta-n odredjena je tako,2

CX

2

X1-n

1-n1-n

2-n

Ovaj postupak se ponavlja sve dok ne bude Xn-1=0. Tada je konverzija

zavrena i odreeno je svih n binarnih cifara cijelog dijela decimalnog podatka. U prikazanom postupku (ozvaeno sa 2.8) su sa Xi obiljeeni cjelobrojni kolinici dijeljena, a sa Ci su obiljeene dobivene binarne cifre (gdje i uzima vrijednosti od 0 do n-1).

Naveemo dva primjera konverzije cjelobrojnog podatka iz decimalnog u binarni numeriki sistem.

Prvi primjer:

Neka je dat sljedei podatak u decimalnom numerikom sistemu XD=1310. Njegova konverzija u binarni numeriki sistem se realizuje na sljedei nain:

,1C cifra binarna prva odredjena je tako,2

16

2

130

,0C cifra binarna druga odredjena je tako,2

03

2

61 (2.9)

,1C cifra binarna trecaodredjena je tako,2

11

2

32

.1C cifra binarna cetvrta odredjena je tako,2

10

2

13

. . .

. . .

. . .

. . .

8

Kako je rezultat dijeljenja jednak 0 s ovim se zavrava postupak konverzije i odreene su sve binarne cifre. Pri pisanju dobivenog binarnog podatka binarne cifre se itaju i piu odozdo prema gore, to je prikazano strelicom. Prema tome, rezultat konverzije je 1310 = 11012 .

Provjera ispravnosti konverzije se moe jednostavno izvriti ponovnom konverzijom dobivenog binarnog podatka u decimalni numeriki sistem. To se realizuje na sljedei nain:

.1321 2021 211101 100123

2 (2.10)

Ovim je provjerena i potvrena tanost konverzije iz decimalnog u binarni numeriki sistem.

Drugi primjer:

Neka je dat podatak XD=23310 u decimalnom numerikom sistemu. Konverzija tog podatka u binarni numeriki sistem se realizuje na sljedei nain:

,1C je da tako,2

1116

2

2330

,0C je da tako,2

058

2

1161

,0C je da tako,2

029

2

582

,1C je da tako,2

114

2

293 (2.11)

,0C je da tako,2

07

2

144

,1C je da tako,2

13

2

75

,1C je da tako,2

11

2

36

.1C je da tako,2

10

2

17

Kako je sada rezultat dijeljenja jednak 0, zavren je postupak konverzije i odreene su sve binarne cifre. Pri pisanju dobivenog binarnog podatka binarne cifre se itaju kao to je prikazano strelicom. Znai, rezultat konverzije je 23310 = 111010012 .

9

Provjera tanosti konverzije se moe lako izvriti ponovnom konverzijom dobivenog binarnog podatka u decimalni numeriki sistem na sljedei nain:

.2332120

202120 2121 2111101001

10

01

234567

2

(2.12)

Oako je provjerena ispravnost konverzije podatka iz decimalnog u binarni

numeriki sistem.

Konverzija razlomakog dijela podatka

Konverziju razlomakog dijela podatka (dio podatka koji je manji od 1, odnosno dio podatka koji je desno od zapete) iz decimalnog u binarni

numeriki sistem je najjednostavnije realizovati pomou mnoenja sa 2 (mnoenje osnovom binarnog sistema).

Podatak dat u decimalnom numerikom sistemu se mnoi sa 2. Ako je rezultat mnoenja manji od 1 onda je odgovarajua binarna cifra jednaka 0, a rezultat mnoenja se dalje mnoi sa 2 pri odreivanju sljedee binarne cifre. Ako je rezultat mnoenja vei od 1 onda je odgovarajua binarna cifra 1. Tada se od rezultata mnoenja oduzima vrijednost 1 i tako dobiveni rezultat se dalje mnoi sa 2 pri odreivanju sljedee binarne cifre. Tako se odreuje prva binarna cifra, binarna cifra najvee teine u binarnom podatku (binarna cifra C-1). Zatim se rezultat iz prethodnog postupka mnoi sa 2. Tako se odreuje sljedea binarna cifra. Ako je rezultat mnoenja manji od 1 onda je ta binarna cifra 0, a ako je rezultat mnoenja vei od 1 onda je ta binarna cifra 1 i od rezultata mnoenja se oduzima vrijednost 1. Takav postupak se dalje ponavlja i uzastopno odreuju sljedee binarne cifre nie teine kao rezultat mnoenja sa 2 rezultata iz prethodnog mnoenja. Cijeli postupak se ponavlja sve dok se ne dobije da je rezultat mnoenja jednak 0 ili dok se ne dobije potrebna tanost (potreban broj binarnih cifara u podatku). Ako se dobije da je rezultat

mnoenja jednak 0 onda ze zavrena konverzija i dobivena je tana binarna vrijednost za odgovarajui decimalni podatak. Meutim, u mnogim sluajevima se ne moe dobiti potpuno tana vrijednost pri konverziji, odnosno ne moe se postii da se kao rezultat dobije vrijednost 0, to znai da je za tano predstavljanje tog podatka potreban beskonaan broj binarnih cifara. U takvoj situaciji se postupak konverzije zavrava kada se postigne potrebna tanost, odnosno kada se odredi dovoljan (potreban) broj binarnih cifara. Tada su sve binarne cifre odreene i konverzija je zavrena. Moe se napisati binarni podatak koji je rezultat konverzije. Pri tome posljednja

odreena binarna cifra ima najmanju teinu (C-m), a prva odreena binarna cifra ima najveu teinu (C-1).

10

Ako sa XD oznaimo podatak predstavljen u decimalnom numerikom sistemu koga treba konvertovati u binarni sistem onda se postupak konverzije

moe predstaviti na sljedei nain:

,C cifra binarna prva odredjena je tako,CX 2X 1-1-1-D

,C cifra binarna druga odredjena je tako,CX 2X 2-2-2-1-

,C cifra binarna trecaodredjena je tako,CX 2X 3-3-3-2-

(2.13)

,C cifra binarna 1)-(m odredjena je tako,CX 2X 1)-(m-1)-(m-1)-(m-2)-(m-

.C cifra binarna ta-m odredjena je tako,CX 2X m-m-m-1)-(m-

Ovaj postupak se ponavlja sve dok ne bude X-m= 0 ili dok se ne postigne

potrebna tanost (potreban broj binarnih cifara). Tada je konverzija zavrena i odreeno je svih m binarnih cifara razlomakog dijela decimalnog podatka. U prikazanom postupku (ozvaeno sa 2.13) su sa Xi obiljeeni rezultati mnoenja sa 2 takvi da je 0Xi

11

Provjera tanost konverzije se moe jednostavno izvriti ponovnom konverzijom dobivenog binarnog podatka u decimalni numeriki sistem, na sljedei nain:

.3125,021 2021 200,0101 10-4-3-2-1

2 (2.15)

Tako je potvrena tanost konverzije iz decimalnog u binarni numeriki sistem.

Drugi primjer:

Neka je dat podatak XD=0,9510 u decimalnom numerikom sistemu. Konverzija u binarni numeriki sistem se realizuje na sljedei nain:

,1C je da tako,10,91,9 20,95 1-

,1C je da tako,10,81,8 20,9 2-

,1C je da tako,10,6 6,120,8 3- (2.16)

,1C je da tako1,0,21,2 20,6 4-

,0C je da tako0,0,40,4 20,2 5-

,0C je da tako0,0,80,8 20,4 6-

,1C je da tako,10,6,6120,8 7-

,1C je da tako,10,21,2 20,6 8-

,0C je da tako,00,40,4 20,2 9-

,0C je da tako,00,80,8 20,4 10-

.1C je da tako,10,61,6 20,8 11-

Ovdje se vidi da se ne moe dobiti da je rezultat nakon oduzimanja 1 jednak 0, pa se ne moe dobiti potpuno tana vrijednost podatka u binarnom numerikom sistemu nakon konverzije. Takoe se moe primijetiti da se binarne cifre od C-3 do C-6, odnosno binarne vrijednosti 1100, kasnije

ponavljaju. To znai da se ne moe dobiti potpuno tana vrijednost podatka nakon konverzije, a da se poslije prve dvije binarne cifre (C-1 i C-2 , tj. 11)

sljedee etiri binarne cifre (1100) ponavljaju do u beskonanost. Zbog toga se iz praktinih razloga u ovakvim sluajevima konverzija zavrava kada se odredi dovoljan broj binarnih cifara, tj. kada se dobije dovoljna tanost predstavljanja podatka. Pri pisanju dobivenog binarnog rezultata binarne cifre

se takoe itaju i piu odozgo prema dole, kao to je prikazano strelicom. Prema tome, ako se smatra da je dovoljno 11 binarnih cifara za predstavljanje

podatka i da e tada biti dovoljna tanost, rezultat konverzije bi bio 0,9510 = 0,111100110012 . Ako bi na primjer za predstavljanje podatka bilo dovoljno 8

12

binarnih cifara, tj. ako bi bila dovoljna tolika tanost, onda bi rezultat konverzije bio 0,9510=0,111100112.

Provjera tanost konverzije se takoe moe izvriti jednostavno ponovnom konverzijom dobivenog binarnog podatka u decimalni numeriki sistem. Ako pretpostavimo da je podatak predstavljen sa 8 binarnih cifara,

odnosno da je dovoljna tolika tanost, onda se kao rezultat provjere dobiva:

.94921875,02121

202021 2121 210,11110011

10

87

65-4-3-2-1

2

(2.16)

Vidi se da ovdje nije dobivena potpuno tana vrijednost 0,9510 ve priblina vrijednost 0,9492187510 koja se razlikuje u odnosu na tanu vrijednost u skladu sa odabranom tanou predstavljanja, odnosno u skladu sa korienim brojem bita za predstavljanje podatka. Meutim, potvrena je tanost konverzije iz decimalnog u binarni numeriki sistem. Ako bi se, meutim, za predstavljanje binarnog podatka koristilo 11 binarnih cifara, tj. ako bi bila

potrebna tolika tanost, onda bi kao to je prethodno odreeno decimalni podatak 0,9510 bio konvertovan u binarni podatak 0,111100110012. Tako bi

dobiveni binarni podatak odgovarao decimalnoj vrijednosti 0,949707031310,

to je preciznije predstavljanje, odnosno manja je razlika u odnosu na vrijednost 0,9510 koja je konvertovana u binarnu vrijednost. Ovo potvruje da se korienjem veeg broja bita postie vea tanost predstavljanja i obrade binarnih digitalnih podataka.

Konverzija kompletnog podatka

Konverzija kompletnog podatka iz decimalnog u binarni numeriki sistem se vri u dva koraka, tj. u dva postupka. Vri se posebno konverzija cijelog dijela podatka, a posebno konverzija razlomakog dijela podatka, prema prethodno opisanim postupcima. Zatim se objedinjavaju oba dijela podatka i

formira se kompletan podatak.

Ilustrovaemo to na jednom primjeru. Neka je dat sljedei podatak u decimalnom numerikom sistemu XD = 197,187510 . Konverzija se realizuje kao posebna konverzija cijelog i posebna konverzija razlomakog dijela podatka.

Konverzija cijelog dijela podatka:

13

,1C je pa ,2

198

2

1970

,0C je pa ,2

049

2

981

,1C je pa ,2

124

2

492

,0C je pa ,2

012

2

243 (2.17)

,0C je pa ,2

06

2

124

,0C je pa ,2

03

2

65

,1C je pa ,2

11

2

36

.1C je pa ,2

10

2

17

Rezultat konverzije cijelog dijela podatka je 19710 = 110001012 .

Konverzija razlomakog dijela podatka:

,0C je pa ,00,3750,375 20,1875 1-

,0C je pa ,00,750,75 20,375 2-

,1C je pa ,10,51,5 20,75 3- (2.14)

.1C je pa 1,01,0 20,5 4-

Rezultat konverzije razlomakog dijela podatka je 0,187510 = 0,00112 . Sada se moe formirati kompletan podatak dobiven konverzijom iz

decimalnog u binarni numeriki sistem. Objedinjavaju se oba dijela podatka dobivena konverzijom. Tako se kao konaan rezultat konverzije dobija 197,187510 = 11000101,00112 .

2.3.2. KONVERZIJA IZMEU DECIMALNOG I DRUGIH NUMERIKIH SISTEMA

Za konverziju podataka izmeu decimalnog i nekog drugog (bilo kog) numerikog sistema koriste se i mogu se koristiti isti principi i postupci kao i za konverziju izmeu decimalnog i binarnog numerikog sistema.

Pri takvim konverzijama se umjesto osnove binarnog numerikog sistema (umjesto vrijednosti 2) koristi osnova b numerikog sistema izmeu koga se vri konverzija sa decimalnim numerikim sistemom.

14

Konverzija u decimalni numeriki sistem

Konverzija iz numerikog sistema sa osnovom b u decimalni numeriki sistem se vri na isti nain kao i konverzija iz binarnog u decimalni numeriki sistem jedino se umjesto binarne osnove 2 koristi konkretna osnova b

numerikog sistema. To se realizuje prema sljedeem postupku:

.C...bCbCbC bC

bC...b C bC...CCC,CC...CCC

m-

2-

2-

1-

1-

0

0

1

1

2

2

2-n

2-n

1-n

1-nm-2-1-0122-n1-n

mb

(2.15)

Kao primjer pokazaemo nain konverzije podatka predstavljnog u numerikom sistemu sa osnovom 7 (b=7) u decimalni numeriki sistem. U numerikom sistemu sa osnovom b=7 kao cifre se koriste brojevi od 0 do 6. Neka je podatak koji treba konvertovati jednak 3052,4167. Konverzija tog

podatka u decimalni numeriki sistem se realizuje na sljedei nain:

.6093294461,1066

76717472 7570733052,416

10

-3-2-10123

7

(2.16)

Konverzija iz decimalnog numerikog sistema

Konverzija izmedju decimalnog i nekog drugog numerikog sistema (sa osnovom b) se vri na isti nain kao i konverzije izmedju decimalnog i binarnog sistema, jedino se umjesto binarne osnove 2 koristi potrebna osnova

b numerikog sistema u koji se vri konverzija. Realizuje se u dva dijela. Posebno se vri konverzija cijelog dijela podatka, a posebno konverzija razlomakog dijela podatka.

Konverzija cijelog dijela podatka

Konverzija cijelog dijela podatka iz decimalnog u numeriki sistem sa osnovom b se najjednostavnije realizuje dijeljenjem osnovom b. Podatak dat u

decimalnom numerikom sistemu se dijeli sa b. Ostatak dijeljenja je odgovarajua cifra u sistemu sa osnovom b dobivena konverzijom. Tako se odreuje prva cifra, cifra najmanje teine u sistemu sa osnovom b (cifra C0). Zatim se kolinik iz prethodnog dijeljenja dijeli sa b. Tako se odreuje sljedea cifra. Ostatak pri dijeljenju je ta sljedea cifra. Taj postupak se ponavlja i uzastopno se odreuju sljedee cifre vie teine kao rezultat dijeljenja sa b prethodnog kolinika iz prethodnog dijeljenja. Taj postupak se ponavlja dok se ne dobije da je rezultat dijeljenja jednak 0. Tada su sve cifre

odreene, konverzija je zavrena i moe se napisati podatak koji je rezultat

15

konverzije. Pri tome posljednja odreena cifra ima najveu teinu (Cn-1), a prva odreena cifra ima najmanju teinu (C0). Ako je sa XD oznaen podatak u decimalnom numerikom sistemu koga treba konvertovati u numeriki sistem sa osnovom b onda se postupak konverzije moe prikazati na sljedei nain:

,C cifra prva odredjena je tako,b

CX

b

X0

0

0D

,C cifra druga odredjena je tako,b

CX

b

X1

11

0

,C cifra trecaodredjena je tako,b

CX

b

X2

22

1

(2.17)

,C cifra 1)-(n odredjena je tako,b

CX

b

X2-n

2-n2-n

3-n

.C cifra ta-n odredjena je tako,b

CX

b

X1-n

1-n1-n

2-n

Postupak se ponavlja dok ne bude Xn-1=0. Tada je konverzija zavrena i odreeno je svih n cifara. U prikazanom postupku (2.17) su sa Xi obiljeeni cjelobrojni kolinici dijeljena, a sa Ci su obiljeene ostaci dijeljenja odnosno dobivene cifre (gdje i uzima vrijednosti od 0 do n-1).

Naveemo primjer konverzije cjelobrojnog podatka iz decimalnog u numeriki sistem sa osnovom b=5. Sistem sa osnovom 5 koristi kao cifre za predstavljanje podataka brojeve od 0 do 4. Neka je dat sljedei podatak u decimalnom numerikom sistemu XD=27310. Konverzija u numeriki sistem sa osnovom b=5 se realizuje na sljedei nain:

,3C cifra prva je pa ,5

354

5

2730

,4C cifra druga je pa ,5

410

5

541 (2.18)

,0C cifra trecaje pa ,5

02

5

102

.2C cifra cetvrta je pa ,5

20

5

23

. . .

. . .

. . .

. . .

16

Kako je sada rezultat dijeljenja jednak 0 zavrava se postupak konverzije i odreene su sve cifre podatka. Pri pisanju dobivenog podatka binarne se itaju i piu odozdo prema gore, u smjeru prikazanom strelicom. Znai, rezultat konverzije je 27310 = 20435 . Ovdje se takoe oigledno vidi da se u numerikom sistemu sa manjom osnovom koristi vei broj cifara za predstavljanje istog podatka.

Provjera tanosti konverzije se takoe moe jednostavno izvriti ponovnom konverzijom dobivenog podatka u decimalni numeriki sistem, na sljedei nain:

.27353 5450 522043 100123

5 (2.19)

Tako je provjerena tanost konverzije iz decimalnog u numeriki sistem sa osnovom b=5.

Konverzija razlomakog dijela podatka

Konverziju razlomakog dijela podatka (dio podatka koji je manji od 1, odnosno dio podatka koji je desno od zapete) iz decimalnog u numeriki sistem sa osnovom b se vri po istom principu kao i konverzija iz decimalnog u binarni sistem jedino se umjesto binarne osnove 2 koristi osnova b. Takva

konverzija se najjednostavnije realizuje pomou mnoenja sa osnovom b numerikog sistema u koji se vri konverzija.

Podatak dat u decimalnom numerikom sistemu se mnoi sa b. Cjelobrojna vrijednost rezultata (dio lijevo od zapete) je odgovarajua cifra. Razlomaki dio rezultata (dio desno od zapete) se dalje mnoi sa b pri odreivanju sljedee cifre. Tako se odreuje prva cifra podatka, cifra najvee teine u podatku (cifra C-1). Zatim se razlomaki dio rezultata iz prethodnog postupka mnoi osnovom b. Tako se odreuje sljedea cifra. Cjeli dio podatka je ta sljedea cifra. Razlomaki dio rezultata se dalje mnoi osnovom b da bi se dobila sljedea cifra. Taj postupak se ponavlja i tako uzastopno odreuju sljedee cifre nie teine. Cijeli postupak se ponavlja sve dok se ne dobije da je razlomaki dio rezultat mnoenja jednak 0 ili dok se ne dobije potrebna tanost (potreban broj cifara u podatku). Ako se dobije da je razlomaki dio rezultat mnoenja jednak 0 onda je zavrena konverzija. Dobivena je tana vrijednost za odgovarajui decimalni podatak u sistemu sa osnovom b. Meutim, ako se ne moe postii da se kao razlomaki dio rezultat dobije vrijednost 0 u takvoj situaciji se konverzija zavrava kada se postigne potrebna tanost, odnosno kada se odredi dovoljan (potreban) broj cifara. Tako su odreene sve cifre i moe se napisati podatak koji je rezultat konverzije. Pri tome posljednja odreena cifra ima najmanju teinu (C-m), a prva odreena cifra ima najveu teinu (C-1).

17

Ako je sa XD oznaen podatak predstavljen u decimalnom numerikom sistemu koga treba konvertovati u numeriki sistem sa osnovom b, postupak konverzije moe predstaviti na sljedei nain:

,C cifra prva odredjena je tako,CX bX 1-1-1-D

,C cifra druga odredjena je tako,CX bX 2-2-2-1-

,C cifra trecaodredjena je tako,CX bX 3-3-3-2-

(2.20)

,C cifra 1)-(m odredjena je tako,CX bX 1)-(m-1)-(m-1)-(m-2)-(m-

.C cifra ta-m odredjena je tako,CX bX m-m-m-1)-(m-

Postupak se ponavlja sve dok ne bude X-m= 0 ili dok se ne postigne

potrebna tanost (potreban broj cifara podatka). Tada je konverzija zavrena i odreeno je svih m cifara ovog podatka. U prikazanom postupku (2.20) su sa Xi obiljeeni razlomaki dijelovi rezultati mnoenja sa osnovom b, takvi da je 0Xi

18

Ovim je potvrena tanost konverzije iz decimalnog u oktalni numeriki sistem.

Konverzija kompletnog podatka

Konverzija kompletnog podatka iz decimalnog u numeriki sistem sa bilo kojom osnovom b se vri na isti nain kao i konverzija iz decimalnog u binarni sistem, jedino se umjesto binarne osnove 2 koristi potrebna osnova b.

Konverzija se realizuje u dva koraka, tj. u dva postupka. Obavlja se posebno

konverzija cijelog dijela podatka, a posebno konverzija razlomakog dijela podatka, na osnovu prethodno opisanih postupaka. Zatim se spajaju oba dijela

podatka i formira se kompletan podatak.

Ilustrovaemo to na primjeru. Neka je dat podatak u decimalnom numerikom sistemu XD = 497,91510 koji treba konvertovati u heksadecimalni numeriki sistem (sistem sa osnovom 16). U heksadecimalnom sistemu se kao cifre koriste brojevi od 0 do 9 i slova latinice od A do F. Konverzija se

realizuje kao posebna konverzija cijelog i posebna konverzija razlomakog dijela podatka.

Konverzija cijelog dijela podatka:

,1C je pa ,16

131

16

4970

,15 decimalno FC je pa ,16

151

16

311 (2.23)

.1C je pa ,16

10

16

12

Prema tome, rezultat konverzije cijelog dijela podatka je 49710 = 1F116 .

Konverzija razlomakog dijela podatka:

,14 decimalno EC je pa ,140,6414,64 160,915 1- ,10) (decimalnoA C je pa ,100,2410,24 160,64 2-

,3C je pa ,30,843,84 160,24 3-

,13) (decimalno DC je pa ,130,4413,44 160,84 4- (2.24)

,7C je pa ,70,047,04 160,44 5-

,0C je pa ,00,640,64 160,04 6-

,10) (decimalnoA C je pa ,100,2410,24 160,64 7-

Oigledno je da se ne moe dobiti da je razlomaki dio rezultata jednak 0, te da se nakon cifre C-6=0 poinju ponavljati cifre od C-2 do C-6 (cifre A, 3, D, 7, 0). Prema tome, ne moe se dobiti taan rezultat konverzije razlomakog dijela

19

podatka, ve samo priblian sa odgovarajuom tanou. Tako, ako se dovoljna tanost postie predstavljanjem podatka korienjem 8 heksadecimalnih cifara onda je rezultat konverzije 0,91510=0,EA3D70A316 .

Kompletan podatak dobiven konverzijom iz decimalnog u

heksadecimalni numeriki sistem dobiva se objedinjavanjem oba dijela podatka dobivena konverzijom. Tako je konaan rezultat konverzije 497,91510= 1F1,EA3D70A316 .

Provjera tanosti konverzije se moe izvriti ponovnom konverzijom dobivenog heksadecimalnog podatka u decimalni numeriki sistem:

.9149999998,497 16316101601671613

163161016141611615161EA3D70A31F1,

10

8-7-6-5-4-

-3-2-1012

16

(2.25)

Na ovaj nain je potvrena tanost konverzije iz decimalnog u heksadecimalni numeriki sistem. Iako nije dobivena potpuno tana vrijednost ona je vrlo blizu tane vrijednosti, predstavljena sa potrebnom tanou.

2.3.3. KONVERZIJA IZMEU RAZLIITIH NUMERIKIH SISTEMA

Isti prethodno opisani principi se mogu koristiti i koriste se i kod

konverzija podataka predstavljenih u nekim drugim numerikim sistema, odnosno predstavljenihu bilo kojim numerikim sistemima.

Konverzije izmedju razliitih numerikih sistema od kojih ni jedan nije decimalni (sistemi sa osnovama b1 i b2) najjednostavnije se realizuje posredno

preko decimalnog numerikog sistema. Prvo se izvri konverzija iz jednog numerikog sistema (sistem sa osnovom b1) u decimalni sistem, a onda iz decimalnog sistema u drugi (sistem sa osnovom b2) koriteni numeriki sistem. Konverzija iz numerikog sistema sa osnovom b1 u decimalni numeriki sistem se realizuje na nain prikazan sa (2.15), jedino se umjesto osnove b koristi osnova b1. Konverzija iz decimalnog u numeriki sistem sa osnovom b2 se vri na nain prikazan sa (2.17) i (2.20), jedino se umjesto osnove b koristi osnova b2.

Ilustrovaemo to nekim primjerima. Kao prvi primjer razmotriemo konverziju podatka datog u

heksadecimalnom sistemu (osnova b1=16) u podatak predstavljen u

numerikom sistemu sa osnovom b2=9. Neka je u heksadecimalnom sistemu dat podatak A3B,5E416 koga treba konvertovati u podatak u numerikom sistemu sa osnovom 9. Prvo se heksadecimalni podatak konvertuje u decimalni

numeriki sistem na sljedei nain:

20

.3681640625,2619 164

161416516111631610A3B,5E4

10

3-

-2-1012

16

(2.26)

Zatim se vri konverzija dobivenog decimalnog podatka u podatak predstavljen u numerikom sistemu sa osnovom 9. Prvo se realizuje konverzija cijelog dijela podatka na sljedei nain:

,0C je pa ,9

0291

9

26190

3,C je pa ,9

332

9

2911 (2.27)

,5C je pa ,9

53

9

322

.3C je pa ,9

30

9

33

Prema tome, rezultat konverzije cijelog dijela podatka je 261910 = 35309 .

Onda se realizuje konverzija razlomakog dijela podatka:

,3C je pa ,3250,31347656253,31347656 9250,36816406 1-

,2C je pa ,2250,82128906252,82128906 9250,31347656 2-

,7C je pa ,7250,39160156257,39160156 9250,82128906 3-

,3C je pa ,3250,52441406253,52441406 9250,39160156 4- (2.28)

,4C je pa ,4250,71972656254,71972656 9250,52441406 5-

,6C je pa ,6250,477539065,47753906269250,71972656 6-

.4C je pa ,4250,297851565,29785156249250,47753906 7-

Oigledno da se ne moe dobiti tana vrijednost podatka. Ako se uzme da je dovoljno koristiti 7 cifara za predstavljanje ovog dijela podatkaonda je rezultat

konverzije razlomakog dijela podatka 0,368164062510 = 0,32734649. Na kraju se formira kompletan podatak u numerikom sistemu sa osnovom 9, odnosno rezultat konverzije podatka iz sistema sa osnovom 16 u sistem sa

osnovom 9. Prema tome, rezultat konverzije je A3B,5E416=3530,32734649.

Kao jo jedan primjer uzeemo konverziju iz numerikog sistema sa osnovom 13 u oktalni sistem. Sistem sa osnovom 13 kao cifre koristi brojeve

od 0 do 9 i slova latinice A, B i C. Neka je u sistemu sa osnovom 13 dat

podatak B63,A2813 koga treba konvertovati u podatak u oktalnom

numerikom sistemu. Prvo se podatak iz sistema sa osnovom 13 konvertuje u decimalni numeriki sistem na sljedei nain:

21

.78470642,1940 138

13213101331361311A28B63,

10

3-

-2-1012

13

(2.29)

Zatim se vri konverzija dobivenog decimalnog podatka u podatak predstavljen u oktalnom numerikom sistemu (sa osnovom 8). Prvo se realizuje konverzija cijelog dijela podatka na sljedei nain:

,4C je pa ,8

4242

8

19400

,2C je pa ,8

230

8

2421 (2.30)

,6C je pa ,8

63

8

302

.3C je pa ,8

30

8

33

Rezultat konverzije cijelog dijela podatka onda je 194010 = 36248 .

Potom se vri konverzija razlomakog dijela podatka:

,6C je pa ,60,277651366,27765136 80,78470642 1-

,2C je pa ,20,221210882,22121088 80,27765136 2-

,1C je pa ,10,76968704,76968704180,22121088 3-

,6C je pa ,60,15749632,15749632680,76968704 4- (2.31)

,1C je pa ,10,25997056,25997056180,15749632 5-

,2C je pa ,20,07976448,07976448280,25997056 6-

Vidi se da se ni ovdje ne moe dobiti tana vrijednost podatka. Ako se pretpostavi da je dovoljno koristiti 6 cifara za predstavljanje ovog dijela

podatka onda je rezultat konverzije razlomakog dijela podatka 0,7847064210 = 0,6216128.

Sada se moe konano formirati kompletan podatak u numerikom sistemu sa osnovom 8, odnosno rezultat konverzije podatka iz sistema sa osnovom 13 u

oktalni sistem sa osnovom 8. Prema tome, rezultat konverzije je B63,A2813 =

3624,6216128.

2.4. BINARNO KODOVANI PODACI

Zbog pogodnosti njihovog korienja za neke primjene u raunarima se nekad za predstaljanje podataka koriste i neki drugi numeriki sistemi.

22

Najee se za takve potrebe koriste decimalni, oktalni i heksadecimalni numeriki sistemi. U tom sluaju se grupa binarnih cifara koristi za predstavljanje jedne cifre podatka u nekom drugom koritnom numerikom sistemu. Tako se dobivaju tzv. binarno kodovani brojevi (podaci).

Zavisno od toga koji numeriki sistem se primjenjuje, u praksi se koriste:

- Binarno kodovani decimalni (BCD-Binary Coded Decimal) brojevi (podaci),

- Binarno kodovani oktalni (BCO - Binary Coded Octal) brojevi (podaci),

- Binarno kodovani heksadecimalni (BCH Binary Coded Hexadecimal brojevi (podaci).

Binarno kodovani decimalni podaci

Kod binarno kodovanih decimalnih (BCD) podataka koristi se decimalni

numeriki sistem, a decimalne cifre se predstavljaju pomou binarnih cifara (bita). Kako decimalni numeriki sistem ima 10 cifara za njihovo binarno kodovanje je potrebno koristiti 4 bita. Pomou 4 bita se moe predstaviti 2

4=16 razliitih podataka. Za predstavljanje BCD cifara koristi se samo 10 prvih binarnih kombinacija od 16 moguih, koje su ekvivalentne vrijednosti brojeva od 0 do 9. U Tabeli 2 je prikazan nain kodovanja (predstavljanja) cifara kod BCD podataka. BCD podaci se predstavljaju tako to se svaka decimalna cifra zamjenjuje odgovarajuom grupom od 4 bita prema Tabeli 2. Tako se vri konverzija iz decimalnog numerikog sistema u BCD predstavljanje podataka. Naveemo jedan primjer takvog predstavljanja odnosno konverzije: 930710 = 1001 0011 0000 0111BCD. Pri obrnutoj

konverziji iz BCD predstavljanja u decimalni numeriki sistem grupe od po 4 bita iz BCD podatka se zamjenjuju odgovarajuim decimalnim ciframa. U BCD podatku se biti podijele u grupe od po 4 bita lijevo i desno posmatrano

od decimalne zapete. Ako na lijevoj ili na desnoj strani u poslednjim grupama

bita nema 4 bita onda se lijevo ili desno dodaje odgovarajui broj nula tako da se dobiju sve grupe sa po 4 bita. Tada se izvri zamjena svake grupe od 4 bita odgovarajuom decimalnom cifrom, u skladu sa Tabelom 2. Prikazaemo jedan primjer takve konverzije iz BCD u decimalni numeriki sistem: 1000 0011 1001 0101BCD = 839510.

Binarno kodovani oktalni podaci

Kod binarno kodovanih oktalnih (BCO) podataka se koristi oktalni

numeriki sistem i oktalne cifre se predstavljaju pomou binarnih cifara (bita). Kako oktalni numeriki sistem ima 8 cifara za njihovo binarno kodovanje je dovoljno koristiti 3 bita. Pomou 3 bita se moe predstaviti 23=8 razliitih binarnih podataka. Za predstavljanje BCO cifara koristi se svih 8 binarnih

23

kombinacija, koje su ekvivalentne vrijednostima brojeva od 0 do 7 koji se

koriste kao cifre u oktalnom sistemu. U Tabeli 2 je takoe prikazan nain kodovanja (predstavljanja) cifara kod BCO podataka. BCO podaci se

predstavljaju tako to se svaka oktalna cifra zamjenjuje odgovarajuom grupom od 3 bita prema Tabeli 2. Na taj nain se vri konverzija iz oktalnog numerikog sistema u BCO predstavljanje podataka. Prikazaemo jedan primjer takve konverzije iz oktalnog sistema u BCO predstavljanje podataka:

52708 = 101 010 111 000BCO. Kod obrnute konverzije iz BCO predstavljanja u

oktalni numeriki sistem grupe od po 3 bita iz BCO podatka se zamjenjuju odgovarajuim oktalnim ciframa. U BCO podatku se biti podijele u grupe od po 3 bita lijevo i desno posmatrano od decimalne zapete. Ako na lijevoj ili na

desnoj strani u poslednjim grupama bita nema 3 bita onda se lijevo ili desno

dodaje odgovarajui broj nula tako da se dobiju sve grupe sa po 3 bita. Tada se izvri zamjena svake grupe od 3 bita odgovarajuom decimalnom cifrom, u skladu sa Tabelom 2. Daemo jedan primjer takve konverzije iz BCO u oktalni numeriki sistem: 100 001 101 110BCO = 41568.

Tabela 2

CIFRE

BCO CIFRE

BCD CIFRE

BCH CIFRE

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

000

001

010

011

100

101

110

111

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Binarno kodovani heksadecimalni podaci

Kod binarno kodovanih heksadecimalnih (BCH) podataka se koristi

heksadecimalni numeriki sistem i heksadecimalne cifre se predstavljaju

24

pomou bita. Kako heksadecimalni numeriki sistem ima 16 cifara za njihovo binarno kodovanje se koriste 4 bita. Pomou 4 bita se moe predstaviti 24=16 razliitih binarnih podataka. Za predstavljanje BCH cifara koristi se svih 16 binarnih kombinacija, koje su ekvivalentne vrijednostima brojeva od 0 do 9 i

slova od A do F koji se koriste kao cifre u heksadecimalnom sistemu. U Tabeli

2 je takoe prikazan nain kodovanja (predstavljanja) cifara kod BCH podataka. BCH podaci se predstavljaju tako to se svaka heksadecimalna cifra zamjenjuje odgovarajuom grupom od 4 bita prema Tabeli 2. Tako se vri konverzija iz heksadecimalnog numerikog sistema u BCH predstavljanje podataka. Prikazaemo jedan primjer takve konverzije iz heksadecimalnog sistema u BCH predstavljanje podataka: FA6216= 1101 1010 0110 0010BCH.

Pri obrnutoj konverziji iz BCH predstavljanja u heksadecimalni numeriki sistem grupe od po 4 bita iz BCH podatka se zamjenjuju odgovarajuim heksadecimalnim ciframa. U BCH podatku se biti podijele u grupe od po 4

bita lijevo i desno posmatrano od decimalne zapete. Ako na lijevoj ili na

desnoj strani u poslednjim grupama bita nema 4 bita onda se lijevo ili desno

dodaje odgovarajui broj nula tako da se dobiju sve grupe sa po 4 bita. Tada se vri zamjena svake grupe od 4 bita odgovarajuom heksadecimalnom cifrom, u skladu sa Tabelom 2. Prikazaemo jedan primjer takve konverzije iz BCH u heksadecimalni numeriki sistem: 1101 0111 1111 0010BCH = D7F216.

Decimalni numeriki sistem koriste ljudi za predstavljanje i obradu podataka. Zbog toga se esto i u raunarima koristi decimalni sistem i BCD predstavljanje (kodovanje) pri predstavljanju i obradi podataka. Meutim, taj sistem nije ba jednostavno koristiti jer konverzija izmeu decimalnog i binarnog numerikog sistema nije jednostavna. Od numerikih sistema sa veom osnovom u praksi je najjednostavnije i najee korienje oktalnog i heksadecilanog sistema. Oni se najee koriste u praksi u raunarima za predstavljanje velikih vrijednosti. Ti sistemi imaju dobru osobinu i prednost

to je lako vriti konverzija iz binarnog u oktalni sistem i obrnuto, kao i iz heksadecimalnog u binarni sistem i obrnuto. Takoe, vrlo jednostavno se vri i konverzija izmeu oktalnog i heksadecimalnog numerikog sistema. Kada se koristi oktalni sistem onda se podaci u raunaru predstavljaju u BCO kodu, a kada se koristi heksadecimalni sistem podaci se predstavljaju u BCH kodu.

Konverzija iz oktalnog u binarni numeriki sistem se praktino moe realizovati na isti nain kao i konverzija iz oktalnog sistema u BCO predstavljanje (kod). Cifre u oktalno predstavljanom podatku se zamjenjuju

grupama od po 3 odgovarajua bita koji reprezentuju te oktalne cifre (Tabela 2). Naveemo jedan primjer: 6023,458 = 110 000 010 011,100 101BCO = 110000010011,1001012. Konverzija iz binarnog u oktalni numeriki sistem se moe praktino realizovati na isti nain kao i konverzija iz BCO predstavljanja u oktalni sistem. U binarno predstavljenom podatku biti se podijele u grupe od

po 3 bita, lijevo i desno od decimalne zapete. Zatim se grupe od po 3 bita

zamjenjuju odgovarajuim oktalnim ciframa (Tabela 1). Daemo jedan primjer takve konverzije: 11001010,010112 = 011 001 010,010 110BCO = 312,268.

25

Konverzija iz heksadecimalnog u binarni numeriki sistem se praktino moe realizovati na isti nain kao i konverzija iz heksadecimalnog sistema u BCH predstavljanje (kod). Cifre u heksadecimalno predstavljanom podatku se

zamjenjuju grupama od po 4 odgovarajua bita koji reprezentuju te heksadecimalne cifre (Tabela 2). Prikazaemo jedan primjer takve konverzije: D27,5B16 = 1101 0010 0111,0101 1011BCH = 110100100111,010110112.

Konverzija iz binarnog u heksadecimalni numeriki sistem se moe praktino realizovati na isti nain kao i konverzija iz BCH predstavljanja u heksadecimalni sistem. U binarno predstavljenom podatku biti se podijele u

grupe od po 4 bita, lijevo i desno od decimalne zapete. Zatim se grupe od po 4

bita zamjenjuju odgovarajuim heksadecimalim ciframa (Tabela 1). Naveemo jedan primjer: 11100010101,110012 = 0111 0001 0101,1100 1000BCH = 715,C816.

Konverzija podataka izmeu oktalnog i heksadecimalnog numerikog sistema se moe jednostavno praktino realizovati korienjem opisanih principa konverzije izmeu oktalnog i binarnog, te konverzije izmeu heksadecimalnog i binarnog numerikog sistema.

Konverzija iz oktalnog u heksadecimlani numeriki sistem se moe jednostavno realizovati tako to se prvo izvri konverzija podatka iz oktalnog sitema u BCO. Oktalne cifre se zamijene odgovarajuim grupama od po 3 bita koje odgovaraju tim oktalnim ciframa. Zatim se dobiveni podatak u BCO kodu

kao binarni podatak konvertuje u heksadecimalni numeriki sistem. U dobivenom BCO podatku sada se biti podijele u grupe od po 4 bita, lijevo i

desno od decimalne zapete. Grupe od po 4 bita se onda zamjenjuju

odgovarajuim heksadecimalnim ciframa. Naveemo jedan primjer ovakve konverzije: 7013,548 = 111 000 001 011,101 010 = 1110 0000 1011,1010

1000 = E0B, A816.

Konverzija iz heksadecimalnog u oktalni numeriki sistem se moe jednostavno realizovati tako to se prvo izvri konverzija podatka iz heksadecimalnog sitema u BCH predstavljanje. Heksadecimalne cifre se

zamijene odgovarajuim grupama od po 4 bita koje odgovaraju heksadecimalnim ciframa. Zatim se dobiveni podatak u BCH kodu kao binarni

podatak konvertuje u oktalni numeriki sistem. U dobivenom BCH podatku sada se biti podijele u grupe od po 3 bita, lijevo i desno od decimalne zapete.

Grupe od po 3 bita se onda zamjenjuju odgovarajuim oktalnim ciframa. Naveemo jedan primjer ovakve konverzije: A35,C916 = 1010 0011 01 01,1100 1001 = 101 000 110 101,110 010 010 = 5065,6228.

Inae, oktalni i heksadecimalni numeriki sistemi su pogodni za korienje u raunarima, odnosno sa binarnim numerikom sistemu, jer su njihove osnove jednake stepenu binarne osnove 2. Osnova oktalnog sistema je

jednaka treem stepeno binarne osnove (8=23), a osnova heksadecimalnog sistema je jednaka etvrtom stepenu binarne osnove (16=24). Takvi sistemi se nekad nazivaju izvedenim binarnim sistemima.

26

2.5. ALFANUMERIKI KODOVI

Pored znakova brojeva u raunarima se koriste i drugi znakovi, kao to su slova i sl. Za predstavljanje (kodovanje) tih znakova se koriste tzv.

alfanumeriki kodovi. Pored znakova brojeva binarno se koduju slova (velika i mala) i drugi znakovi (znakovi interpunkcije, kontrolni i drugi znakovi). Kako

postoji 10 znakova za brojeve i 30 znakova za slova da bi se svi oni mogli

predstaviti takvi kodovi koriste vie od 5 bita. Najee praktino korieni alfanumeriki kodovi su kodovi za prenos

informacija:

- Ameriki standardni kod, tzv. ASCII kod (American Standard Code for Information Interchange),

- Proireni alfanumeriki kod, tzv. EBCDIC kod (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code).

ASCII kod

Kod ASCII koda se za predstavljanje bilo kog znaka (podatka) koristi 7

bita. Tih 7 bita je podijeljeno u dvije grupe: prvu grupu ine prva (via po teini) 3 bita, a drugu grupu ine sljedea (nia po teini) 4 bita. Prva 3 bita definiu tip znaka koji se predstavlja (brojevi, velika slova, mala slova, kontrolni znakovi), a sljedea 4 bita definiu konkretan znak iz odreenog tipa znakova koji se predstavlja. Za kodovanje se koristi odgovarajua tabela ASCII kodova. Tabela ASCII kodova je prikazana u Tabeli 3. Prva grupa od 3

bita ASCII koda odreuje kolonu, a sljedea grupa od 4 bita odreuje vrstu u kojoj se nalazi odgovarajui znak u tabeli ASCII kodova.

27

Tabela 3: Tabela ASCII kodova

Kolona

Vrsta

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

0000

0

NUL DLE SP 0 @ P p

0001

1

SOH DC1 ! 1 A Q a q

0010

2

STX DC2 2 B R b r

0011

3

ETX DC3 # 3 C S c s

0100

4

EOT DC4 $ 4 D T d t

0101

5

END NAK % 5 E U e u

0110

6

ACK SYN & 6 F V f v

0111

7

BEL ETB , 7 G W g w

1000

8

BS CAN ( 8 H X h x

1001

9

HT EM ) 9 I Y i y

1010

10 (A)

LF SUB * : J Z j z

1011

11 (B)

VT ESC + ; K [ k {

1100

12 (C)

FF FS , < L \ l |

1101

13 (D)

CR GS - = M ] m }

1110

14 (E)

SO RS . > N ^ n ~

1111

15 (F)

SI US / ? O - o DEL

28

Na osnovu tabele ASCII kodova (Tabela 3) se moe vidjeti da se znakovi za brojeve u ASCII kodu koduju tako to je za sve brojeve grupa od prva 3 bita jednaka 011 binarno, odnosno 3 u heksadecimalnom sistemu (3H). Grupa

sljedea 4 bita definie konkretan znak broja koji se predstavlja. Vrijednosti te grupe bita se kreu od 0000 binarno (0 heksadecimalno, tj. 0H) za znak broja 0, pa do 1001 binarno (9 heksadecimalno, tj. 9H) za znak broja 9. U tabeli 4 su

prikazani naini predstavljanja znakova svih brojeva u ASCII kodu.

Tabela 4.

ZNAKOVI

BROJEVA

PREDSTAVLJANJE U

ASCII KODU

0 011 0000=30H 1 011 0001=31H

2 011 0010=32H

3 011 0011=33H

4 011 0100=34H

5 011 0101=35H

6 011 0110=36H

7 011 0111=37H

8 011 1000=38H

9 011 1001=39H

Iz tabele ASCII kodova (Tabela 3) se vidji da se znakovi za velika slova u

ASCII kodu predstavljaju tako to je za znakove velikih slova grupa od prva 3 bita jednaka 100 binarno, odnosno 4 u heksadecimalnom sistemu (4H) ili 101

binarno, odnosno 5 u heksadecimalnom sistemu (5H). Grupa sljedea 4 bita definie konkretan znak velikog slova koji se predstavlja. Vrijednosti te grupe bita se kreu od 0000 binarno (0 heksadecimalno, tj. 0H) pa do 1111 binarno (F heksadecimalno, tj. FH). U tabeli 5 su prikazani naini predstavljanja nekih znakova velikih slova u ASCII kodu.

Znakovi za mala slova u ASCII kodu se predstavljaju tako to je grupa od prva 3 bita jednaka 110 binarno, odnosno 6 u heksadecimalnom sistemu (6H)

ili 111 binarno, odnosno 7 u heksadecimalnom sistemu (7H). Grupa sljedea 4 bita definie konkretan znak malog slova. Vrijednosti te grupe bita se kreu od 0000 binarno (0 heksadecimalno, tj. 0H) pa do 1111 binarno (F

heksadecimalno, tj. FH).

29

Tabela 5.

Kao primjer ASCII kodovanja i predstavljanja pokazaemo kako se koduje i u raunaru predstavlja tekst kad se koristi ASCII kod. Neka je dat sljedei tekst: DANAS JE PETAK 15. APRIL. Kada se taj tekst koduje u ASCII kodu dobija se: 44 41 4E 41 53 20 4A 45 20 50 45 54 41 4B 20 31 35

2E 20 41 50 52 49 4C 2E, dato u heksadecimalnom kodu.

EBCDIC kod

Kod EBCDIC koda se za predstavljanje bilo kog znaka (podatka) koristi 8

bita. Tih 8 bita je podijeljeno u dvije grupe: prvu grupu ine prva (via po teini) 4 bita, a drugu grupu ine sljedea (nia po teini) 4 bita. Prva 4 bita definiu tip znaka koji se predstavlja (brojevi, velika slova, mala slova,

ZNAKOVI

VELIKIH

SLOVA

PREDSTAVLJANJE

U ASCII KODU

A 100 0001=41H

B 100 0010=42H

C 100 0011=43H

D 100 0100=44H

E 100 0101=45H

F 100 0110=46H

G 100 0111=47H

H 100 1000=48H

I 100 1001=49H

J 100 1010=4AH

K 100 1011=4BH

L 100 1100=4CH

M 100 1101=4DH

N 100 1110=4EH

O 100 1111=4FH

P 101 0000=50H

Q 101 0001=51H

30

kontrolni znakovi), a sljedea 4 bita definiu konkretan znak iz odreenog tipa znakova koji se predstavlja. Za kodovanje se koristi odgovarajua tabela EBCDIC kodova. Prva grupa od 4 bita EBCDIC koda odreuje kolonu, a sljedea grupa od 4 bita odreuje vrstu u kojoj se nalazi odgovarajui znak u tabeli EBCDIC kodova. Kombinacije grupe niih bita tog koda za slova i brojeve odgovaraju kombinacijama BCD koda. U tabeli 6 su dati uporedni

naini predstavljanja znakova brojeva u ASCII i EBCDIC kodu. Vidi se da je grupa od 4 via bita kod predstavljanja znakova brojeva jednaka 11112=FH. Nia 4 bita odgovaraju kombinacijama BCD koda.

Tabela 6.

ZNAKOVI

BROJEVA

PREDSTAVLJANJE U

ASCII KODU

PREDSTAVLJANJE U

EBCDIC KODU

0 011 0000=30H 1111 0000=F0H 1 011 0001=31H 1111 0001=F1H

2 011 0010=32H 1111 0010=F2H

3 011 0011=33H 1111 0011=F3H

4 011 0100=34H 1111 0100=F4H

5 011 0101=35H 1111 0101=F5H

6 011 0110=36H 1111 0110=F6H

7 011 0111=37H 1111 0111=F7H

8 011 1000=38H 1111 1000=F8H

9 011 1001=39H 1111 1001=F9H

U tabeli 7 su dati uporedni naini predstavljanja znakova slova u ASCII i EBCDIC kodu. Vidi se da grupa od 4 via bita kod predstavljanja znakova slova ima vrijednosti 11002=CH, 11012=DH ili 11102=EH. Nia 4 bita i ovdje odgovaraju kombinacijama BCD koda.

31

Tabela 7.

ZNAKOVI

VELIKIH

SLOVA

PREDSTAVLJANJE

U ASCII KODU

PREDSTAVLJANJE

EBCDIC KODU

A 100 0001=41H 1100 0001=C1H

B 100 0010=42H 1100 0010=C2H

C 100 0011=43H 1100 0011=C3H

D 100 0100=44H 1100 0100=C4H

E 100 0101=45H 1100 0101=C5H

F 100 0110=46H 1100 0110=C6H

G 100 0111=47H 1100 0111=C7H

H 100 1000=48H 1100 1000=C8H

I 100 1001=49H 1100 1001=C9H

J 100 1010=4AH 1101 0001=D1H

K 100 1011=4BH 1101 0010=D2H

L 100 1100=4CH 1101 0011=D3H

M 100 1101=4DH 1101 0100=D4H

N 100 1110=4EH 1101 0101=D5H

O 100 1111=4FH 1101 0110=D6H

P 101 0000=50H 1101 0111=D7H

Q 101 0001=51H 1101 1000=D8H

R 101 0010=52H 1101 1001=D9H

S 101 0011=53H 1110 0010=E2H

T 101 0100=54H 1110 0011=E3H

U 101 0101=55H 1110 0100=E4H

V 101 0110=56H 1110 0101=E5H

W 101 0111=57H 1110 0110=E6H

X 101 1000=58H 1110 0111=E7H

Y 101 1001=59H 1110 1000=E8H

Z 101 1010=5AH 1110 1001=E9H