ntegracin por sustitucin trigonomtricaLaintegracin por sustitucin trigonomtricasirve paraintegrar funcionesque tienen la forma,yEste mtodo se basa en el uso de tringulos rectngulos, elteorema de Pitgorase identidades trigonomtricas.En el caso general la integral a resolver es:

Simplifiquemos paso a paso el trmino de la raz, primeramente sacaremosfactor comn, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:1. es decir:2. es decir:3. es decir:teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

Estos los cambios que hay que realizar segn la situacin:1. 2. 3. La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonomtrica en, se resuelve y se deshace el cambio.Elmtodo de integracin por sustitucin o cambio de variablese basa en la derivada de la funcin compuesta.

Paracambiar de variableidentificamos una parte de lo que se va a integrar con una nuevavariable t, de modo que se obtenga unaintegralms sencilla.Pasos para integrar por cambio de variable

1Se hace elcambio de variabley se diferencia en los dos trminos:

Se despejauydx, sutituyendo en la integral:

2Si laintegralresultante es ms sencilla, integramos:

3Se vuelve a lavariable inical:

Ejemplo

Cambios de variables usuales1.2.3.4.5.En lasfunciones racionales de radicales con distintos ndices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio de variableestelevado al mnimo comn mltiplo de los ndices.6.Sies par:

7.Sino es par:

Ejemplos

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICAPodemos usar el mtodo de sustitucin trigonomtrica para resolver integrales en que aparezcan lo radicales,,yEl objetivo consiste en eliminar los radicales del integrando. Con este fin, usamos las identidades pitagricas,

Por ejemplo, sia>0, hacemos, donde. Entonces,

Ntese que, por que.SUSTITUCIN TRIGONOMETRICA1.Para integrales que contienen, sea, entonces=2. Para integrales que contienen, sea, entonces=3. Para integrales que contienen, sea, entonces=

EJEMPLO 1Sustitucin trigonomtrica:CalcularSolucionObserve quees de la forma, luego usamos las sustitucin,

La cual implica que,,yPor tanto,

EJEMPLO 2Sustituciones trigonomtricasCalcularSOLUCIN: Tomamosentonces,yAs pues,

Mediante el uso de sustituciones trigonometricas se puede incluir integrales que contienen expresiones tales como, escribiendo la expresin de la forma,

As como se muestra en el ejemplo siguiente:EJEMPLO 3Sustitucion trigonometrica: potencias racionalesCalcularSolucionEscribimosen la formahaciendo, entonces,ypor tanto,

EJEMPLO 4Sustituciones trigonometricas para funciones racionales.EvaluarSolucionHaciendotenemos que,yLuego,

FORMULAS ESPECIALES DE INTEGRACIN1.2.3.

Tcnicas de Integracin.A continuacin se indican algunas tcnicas de Integracin que nos permitirn encontrar las integrales de una clase muy amplia de funciones.

Todas las tcnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o inmediata, como por ejemplo una de las de latabla bien reducirla a una integral ms sencilla.Integracin por cambio de variable.Nos proporciona un proceso que permite reconocer cundo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.Sea f(x) la funcin que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable:x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:

Para que la frmula de cambio de variable tenga posibilidades de xito, debemos identificar en el integrando a una funcin u y a u' (su derivada).Ejemplo1Ejemplo2

Integracin por partes.Este mtodo nos permitir resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una funcin por la derivada de otra.Seanuyvdos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:u=f(x), v=g(x), luegodu=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:

Ejemplo3Ejemplo4

Integracin de funciones racionales:Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:

Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una funcin racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (est ltima integral es la que nos queda por calcular).A continuacin describiremos varios casos de descomposicin de fracciones racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales, fciles de integrar.b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).Una fraccin simple es cualquier fraccin propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador es de la forma(ax + b)n(ax2+ bx + c)nb.1)Q(x) tiene todas sus races reales y distintas:La factorizacin del polinomioQ(x)es en factores lineales y distintos:Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-an), hacemos la siguiente descomposicin: con A1, ...Anconstantes reales.

Ejemplob.2)Q(x) tiene todas sus races reales, pero puede haber repetidas:La factorizacin del polinomioQ(x)es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir:Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3(x-an)mnDe nuevo como en el caso anterior la integracin de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

las cuales, paran > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.Ejemplob.3)Q(x) tiene races complejas distintas:Cuando en la factorizacin del polinomioQ(x)aparecen factores cuadrticos de la forma:ax2+ bx + c con b2- 4ac < 0a cada uno de estos factores le corresponde una fraccin parcial de la forma:donde A y B son constantes reales.Ejemplob.4)Q(x) tiene races complejas repetidas:Cuando en la factorizacin del polinomioQ(x)aparecen factores cuadrticos de la forma:(ax2+ bx + c)n con b2- 4ac < 0a cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma:con Ak, Bkconstantes reales (k=1, ..n)

Tcnicas de Integracin trigonomtrica:a) Funciones racionales de funciones trigonomtricas.Si el integrando es una funcin racional de senos y cosenos de la forma R(senx, cosx), entonces la integral se reduce a la integral de una funcin racional de "t" mediante un cambio de variable.1) Funcin racional de senx y cosx, impar en sex x, es decir R(-senx, cosx) = -R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente: cos x = t2) Funcin racional de senx y cosx, impar en cos x, es decir R(senx, -cosx) = -R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente: sen x = t3) Funcin racional par en senx y cosx, es decir R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx). Se aplica el cambio siguiente:

4) En cualquier caso,cambio general. Se aplica el cambio siguiente:

Ejemplob) Integrales que contienen funciones trigonomtricas.Veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonomtricas, que posteriormente se utilizarn en el mtodo de sustitucin trigonomtrica:1)Potencias de senos y cosenos.

Para resolver este tipo de integrales, consideramos dos casos: Si n es impar, es decir, n = 2k+1, factorizamos el integrando, por ejemplo:sennx dx = sen2k+1x dx = (sen2x)ksenx dxUtilizamos la identidad sen2x+cos2x=1 y tomamos el siguiente cambio de variable:- En caso de potencias del seno: u=cosx- En caso de potencias del coseno: u=senxEjemplo Si n es par, es decir, n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo:sennx = sen2kx = (sen2x)kcosnx = cos2kx = (cos2x)ky utilizamos las identidades trigonomtricas:sen2x = [1-cos(2x)] / 2cos2x = [1+cos(2x)] / 2Ejemplo2)Productos de potencias de senos y cosenos. Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:sen2x = (1-cos2x) / 2 y cos2x = (1+cos2x) / 2 Si m n es impar, utilizaremos la identidad:sen2x+cos2x=13)Productos de potencias de tangentes y secantes.

Si n es par, utilizamos la identidad:sec2x = 1 + tan2x Si m es impar, utilizamos la identidad:tan2x = sec2x - 1 Si n es impar y m par, utilizamos algn otro mtodo, como por ejemplo, integracin por partes.c) Sustitucin trigonomtrica.Este mtodo nos permitir integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales son funciones trigonomtricas.1)Si en el integrando aparece un radical de la forma:

tomamos el cambio de variable:x = a sen, con a > 0 ; = arcsenxEjemplo2)Si en el integrando aparece un radical de la forma:tomamos el cambio de variable siguiente:x = a tan, con a > 0 = arctanxEjemplo3)Si en el integrando aparece un radical de la forma:tomamos el cambio de variable siguiente:x = a sec, con a > 0 = arcsec(x/a) si x>a = 2arcsec(x/a) si x 0, el cambio a realizar esc.2) Si c > 0, el cambio a realizar esc.3) Si a < 0 y c < 0, el cambio a realizar es, con ax2+ bx + c = a(x-)(x-)Ejemplo