Sadraj

Uvod21.Statistika teorija detekcije32.Kriteriji detekcije62.1Bayesov kriterij62.2Minimaksni kriterij112.3Neyman Pearsonov kriterij12

Uvod

1. Statistika teorija detekcije

Ako posmatramo digitalni binarni prenos, imamo niz jedinica i nula koji je potrebno poslati. Usljed uma u kanalu moe doi do greke pri prenosu. Neka je signal nule obiljeen sa s0(t), amplitude U0=0 , a signal jedinice sa s1(t), amplitude U1, trajanja od 0 do To, kao na slici:

Slika 1. Vremenski oblik signala s0(t) i s1(t)

Slika 2. Vremenski oblik binarnog niza

Ako bi se mjerila vrijednost signala u nekom vremenskom trenutku t0 na osnovnom periodu To, npr. vrijednost napona (s0(t)=Uo=0, s1(t)=U1), u idealnom sluaju kada nema smetnji, izmjereni napon x=u(t0) bi bio Uo ili U1.

x=u(t0)=U1

x=u(t0)=Uo

Slika 3. Odmjeravanje signala u trenutku toUsljed prisustva uma izmjerena vrijednost napona razlikovae se od Uo i U1. Uzmimo za primjer sluaj kada se alje signal s1(t). Gausov aditivni um no(t) na osnovnom periodu To superponiran na signal s1(t) rezultira degradiranim signalom koji pristie na prijemnik, kao to je prikazano na slici:

a) b) c)

Slika 4. a) Vremenski oblik signala uma n0(t) b) vremenski oblik signala s1(t) c) vremenski oblik signala uma superponiranog na signal s1(t)

U tom sluaju, u trenutku odmjeravanja t0 moe se desiti da je vrijednost napona, tj. uma superponiranog na signal u(to) manja od vrijednosti Uo, na prijemu dolazi do greke - detektovan je signal s0(t).

Slika 5. Pogrena detekcija u trenutku odmjeravanja usljed prisustva uma

Usljed prisustva uma u prenosnom kanalu, izmjerena vrijednost napona na prijemniku teoretski moe uzeti bilo koju realnu vrijednost. Zadatak statistike teorije detekcije je da na osnovu poznavanja statistikih osobina uma i korisnog signala osigura optimalno donoenje odluke o tome koji je signal poslan. Iz ovog razloga se uvodi pojam praga odluivanja ut, koja predstavlja kritinu poredbenu vrijednost za donoenje ispravne odluke. Intuitivno, prag odluivanja bismo postavili negdje izmeu Uo i U1 (za Uout jedinica.

1

0Slika 6. Prag odluivanja ( t-eng. treshold )

Dodatno, poveanjem broja uzoraka mjerenja, npr. x1, x2,...,xn, na osnovnom periodu To vri se viestruko odmjeravanje, ime se poveava pouzdanost ispravne detekcije. U ovom sluaju se uvodi pojam oblasti odluivanja.

Slika 7. Viestruko odmjeravanje u trenucima

Def: skup Rn svih moguih x = (x1,...,xn) mora se podijeliti na dvije oblasti R0 i R1 koje odgovaraju detekciji nule i jedinice. U jednodimenzionalnom sluaju te oblasti su intervali:R0 = (,ut), R1 = (ut,).

Slika 8. Oblasti odluivanja: Ro za signal i R1 za signal

Za postavljanje praga odluivanja, odnosno izbora oblasti odluivanja postoji nekoliko kriterija, iji odabir ovisi od raspoloivih podataka. Ovdje e biti razmatrani Bayesov kriterij, Minimaksni kriterij i Neyman-Pearsonov kriterij.

2. Kriteriji detekcije

2.1 Bayesov kriterij

Bayesov kriterij primjenjuje se kad greke prve i druge vrste nisu jednako opasne. Uzmimo za primjer alarm u nekom zatienom objektu. Pretpostavimo da alarm alje signal nule ako je sve u redu, a signal jedinice predstavlja aktivaciju alarma. Cijena tete koja nastaje sluajnom aktivacijom (oitanjem jedinice umjesto nule na prijemniku) je neuporedivo manja od tete koja bi eventualno nastala kada se alarm ne bi oglasio u sluaju provale, tj. kada bi se grekom na prijemniku detektovala nula umjesto jedinice.Da bi se kvantificirale posljedice greaka, uvodi se cjenovnik odluka:Cij (Di Sj),i,j = 0,1.Gdje je Cij cijena detekcije simbola i (Di) kada je poslan simbol j (Sj). (Cijena C-eng. cost, detektovano D-eng. detected, poslato S-eng. sent).Potpuni cjenovnik je dat kao:C00 (D0 S0),C10 (D1 S0),C01 (D0 S1),C11 (D1 S1),

Obino se posmatraju samo cijene pogrenih odluka (C10 i C01), ali radi openitosti e biti razmatrane i cijene ispravnih odluka (C00 i C11).Rizik donoenja neke odluke definie se kao proizvod cijene te odluke i odgovarajue vjerovatnoe. Prosjeni rizik je suma tih proizvoda za sve mogue odluke, dakle:

Neka su poznate vjerovatnoe pojavljivanja nule P0 i jedinice P1 = 1 P0, uslovne gustoe vjerovatnoe p0(x), p1(x) kao i cijene Cij. Uzmimo da se vri viestruko odmjeravanje, tako da je x = (x1,...,xn) i R0, R1 su komplementarne oblasti u n-dimenzionalnom prostoru. Ukoliko posmatramo normalni aditivni Gausov um snage, njegova raspodjela vjerovatnoe je data kao:(x) =

Slika 9. Gustoa vjerovatnoe Gausovog uma

Napon u prijemnom kolu je sluajna varijabla oblika: za signal nule , za signal jedinice

Analogno, uslovne gustoe vjerovatnoe signala p0(x) i p1(x) uz prisustvo uma n, definiu se kao:

Slika 10. Gustoe vjerovatnoe p0(x) i p1(x) za Uo=0

Kako prema Bayesovoj teoremi vrijedi:

zajednika vjerovatnoa detektekcije simbola , kada je na izvoru poslan simbol , jednaka je proizvodu -vjerovatnoe pojavljivanja simbola na izvoru i - uslovne vjerovatnoe detektekcije simbola kada je na izvoru poslan simbol , koja ovisi o ispravnom ili pogrenom prenosu. Vjerovatnoe pojedinih dogaaja su date kao:

Pogodno je sve integrale svesti na integrale po oblasti R1: Prema uslovu normiranja, integral gustoe vjerovatnoe po cijelom prostoru je jednak 1, pa slijedi:

Grafika interpretacija integrala , tj. i ispravnih i pogrenih prelaza ( za sluaj jednostrukog odmjeravanja je data na sljedeim slikama:

Slika 11. Prelaz 00

Slika 12. Prelaz 10

Slika 13. Prelaz 01

Slika 14. Prelaz 11Bayesov kriterij glasi:Oblasti odluivanja R0 i R1 treba odabrati tako da prosjeni rizik bude minimalan.

Prosjeni rizik u sluaju jednostrukog odmjeravanja se dobija kao:

Ovdje se pojavljuju efektivne cijene greaka, tj. razlike cijene greke i odgovarajue pravilne odluke:

Sa ovim oznakama, prosjeni rizik je:

Uvedimo funkciju

Prosjeni rizik je:

Uslov minimalnosti se svodi na:

Dakle, prag je taka na realnoj osi u kojoj se sijeku krive y1= i y2=, a zavisi od cijena pogrenih odluka i vjerovatnoa i .

U sluaju kada su cijene greaka jednake, uslov minimalnosti se svodi na

i ovo predstavlja kriterij minimalne vjerovatnoe greke.U sluaju viestrukog odmjeravanja R0 i R1 su komplementarne oblasti u n-dimenzionalnom prostoru. Minimalna vrijednost prosjenog rizika se dobija kada se oblasti odluivanja odaberu na sljedei nain:

Dakle, ako izmjerenom uzorku x=(x1, x2,..., xn) odgovara negativna vrijednost funkcije , detektovana je nula, a ako je , detektovana je jedinica.

2.2 Minimaksni kriterij

Minimaksni kriterij se primjenjuje u sluaju kada su poznata statististika svojstva uma, tj. gustoe vjerovatnoe p0(x) i p1(x), kao i cijene Cij , ali nisu poznate vjerovatnoe pojavljivanja nule i jedinice i . U odsustvu informacija o vjerovatnoama i , mogla bi se uzeti pretpostavka da su one jednake i da iznose , pa primijeniti Bayesov kriterij. U stvarnosti mogu znatno razlikovati od 1/2, a samim time i stvarni rizik moe biti mnogo vei. Minimaksni kriterij je princip minimizacije maksimalne prosjene cijene za odabrano P1.Prema minimaksnom kriteriju postupak odreivanja oblasti odluivanja je sljedei:1. Uzme se proizvoljna vrijednost u intervalu [0,1], prema uslovu normiranja , i za tako pretpostavljene vrijednosti se formira funkcija

gdje su efektivne cijene greaka prve i druge vrste.2. Pomou se izvri podjela na oblasti po Bayesovom kriteriju

i izrauna odgovarajua vrijednost prosjenog rizika (minimalna za date p0(x), p1(x), Cij i izabranu vrijednost )3. Ovo se uradi za sako , dakle definie se funkcija

4. Odredi se vrijednost za koju ta funkcija ima maksimum

Oblasti odluivanja po minimaksnom kriteriju su Bayesove oblasti za upravo tu vrijednost vjerovatnosti P0, dakle

sa , a je komplementarna oblast.

Uslovi koji se dobijaju za , kao i smisao ovakvog izbora oblastiProsjeni rizik

uz uslov

Tu je

Funkcija

sa

Ako se podjela na oblasti , izvri nezavisno od , onda F i G ne zavise od i je linearna funkcija od . Ako se podjela izvri prema Bayesovom kriteriju za izabrano , onda e i oblasti zavisiti od :

pa onda i F i G u izrazu za zavise od .

Za granine sluajeve, , vrijednost se dobije kao:a) i

Tu je dakle ima minimum kad je , a to znai da treba uzeti . Ovo je oekivan rezultat za logino je smatrati da je poslana jedinica, kakva god bila vrijednost x na prijemu. Odgovarajua vrijednost je

b) i

Analogno kao u prethodnom sluaju, e biti minimalan za .

Oigledno je da e pri poveanju sa nule na pozitivne vrijednosti, i pri smanjenju sa jedinice ka manjim vrijednostimadoi do poveanja rizika. Oekivana kriva je data na slici:

Slika 14. Kriva Prosjeni rizik kada se podjela na oblasti izvri prema Bayesovom kriteriju za vrijednost vjerovatnoe , dok je stvarna vrijednost . Zavisnost je linearna,

gdje je

Prava i kriva se sijeku u taki , jer za je

.Za dovoljno bliske vrijednosti kriva lei ispod prave, jer je za dato , za bilo koji nain odabira oblasti odluivanja. Na osnovu prethodnog se moe zakljuiti da se prava i kriva dodiruju u taki , odnosno da je prava tangenta na krivu u toj taki.Provjera se moe izvriti eksplicitnim raunom za sluaj jednostrukog odmjeravanja i podjela na oblasti izvrene na osnovu praga odluivanja. Tada je:

i F, G su funkcije od , tako da je prosjeni rizik .Za datu vrijednost uslov minimalnosti je

i iz dobijene jednaine se odredi prag , koje e zavisiti od , tj. .Kada se ovako dobijena vrijednost uvrsti u , dobie se minimalni (Bayesov) rizik.Koeficijent smjera tangente na krivu na krivu je izvod

.Prema izboru praga odluivanja izraz u vitiastim zagradama je jednak nuli, pa je

F je koeficijent pravca prave , i u taki se koeficijenti pravca podudaraju. to znai da je posmatrana prava zaista tangenta na krivu u toj taki.

Slika 15. Tangenta u taki na krivu Ako se pretpostavljena vrijednost vjerovatnoe nule i stvarna vjerovatnoa puno ne razlikuju, onda ni razlika izmeu i nije velika. Na grafiku se moe uoiti da je za neke vrijednosti rizik mnogo vei od odgovarajue vrijednosti , iz ega je lako zakljuiti smisao minimaksnog kriterija: ako se podjela na oblasti izvri za onu vrijednost za koju je minimalni rizik maksimalan, onda je tangenta na krivu u taki i rizik uopte ne zavisi od stvarne vrijednosti ! Time se na najbolji mogui nain izbjegava opasnost od pretjerano velike vrijednosti rizika usljed razlike izmeu pretpostvljene i stvarne vrijednosti vjerovatnoe . Naime, za svako drugo maksimalni rizik je vei od max{} to se jasno vidi iz grafika. Ovaj kriterij se naziva i kriterijem pesimiste.

2.3 Neyman Pearsonov kriterij

Ovaj kriterij se primjenjuje kada su nam poznate samo uslovne gustoe vjerovatnoe p0(x) i p1(x), a ne znamo ni vjerovatnoe i , ni cjenovnik odluka. Kako greke prve i druge vrste nisu podjednako opasne: odredi se podnoljiva cijena greke prve vrste (lanog alarma), a minimizira cijena greke druge vrste (proputanje signala). Dakle, uzima se fiksna vrijednost

sa zahtjevom da je

Kako je = , jasno je da treba maksimizirati vjerovatnou pravilne detekcije, tj..U jednodimenzionalnom sluaju, prag odluivanja se moe odrediti ve iz prvog uslova, pa je Neyman Pearsonov kriterij interesantan samo u sluaju viestrukog odmjeravanja. Potrebno je nai maksimum integrala

uz uslov da je

Ovo predstavlja problem nalaenja vezanog ekstrema, i za njegovo rjeenje se moe koristiti metod Lagrangeovih multiplikatora. Uvodi se:,i problem se svodi na nalaenje bezuslovnog maksimuma veliine F. Kako F sadri parameter , odgovarajui uslov je:

Dalje, F zavisi i od izbora oblasti . Kako je

maksimalna vrijednost F se dobije ako se uzme

a za Ro oblast u kojoj je ista funkcija negativna, analogno kao i kod Bayesovog kriterija.