Notes sur lecours de mathématiques deRamis, Deschamps, Odoux

Florent Rougon

18 janvier 2021

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Table des matièresTome 1 (algèbre) 5

Page 50, théorème I (décomposition canonique d’un morphisme) . . . 5Page 51, théorème II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Page 77, exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Page 78 : action de groupe transitive, fidèle, libre . . . . . . . . . . . 6Page 97 : définition d’un élément irréductible dans un anneau intègre 8Page 101 : tout anneau principal est factoriel . . . . . . . . . . . . . . 10Page 105 : corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . 12Pages 111-112, prop. 2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Page 170 : Polynômes dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Page 182 : extension simple transcendante sur K . . . . . . . . . . . . 17

Tome 3 (topologie et éléments d’analyse) 19Pages 7-8, théorème 1.1.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Page 9, proposition du § 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Page 9, théorème du § 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bibliographie 21

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Tome 1 (algèbre)

Page 50, théorème I (décomposition canoniqued’un morphisme)

Pour le sens “⇐=”, il suffit de supposer g application de E/R dans F telle quef = g◦ϕ. Le fait que g soit un morphisme de magmas en résulte nécessairement,comme le montre la preuve du théorème.

Page 51, théorème IIPetite précision concernant la dernière affirmation de la démonstration du

théorème II. Pour justifier l’implication

f̄ morphisme bijectif de magmas =⇒ f̄ isomorphisme de magmas

(qui prouve que l’application réciproque de f̄ est un morphisme de magmas),on utilise la dernière proposition de la page 45. Elle est applicable parce queles magmas (E/R,>i,⊥j) et (f(E),>′i,⊥′j) de départ et d’arrivée de f̄ necomportent que des lois de composition (internes ou externes), pas de relationsbinaires.

Page 77, exempleLa dernière affirmation de l’exemple découle du résultat donné en bas de

la page 74, à savoir que si s est un cycle, alors l’application induite sur sonsupport est de la forme (

a1 a2 . . . aq−1 aqa2 a3 . . . aq a1

)

et l’on prouve avec un raisonnement par récurrence (au cours duquel q est fixé)que

s = τa1,a2 ◦ τa2,a3 ◦ · · · ◦ τaq−1,aq .

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Tome 1 (algèbre)

Page 78 : action de groupe transitive, fidèle, libreDans cette section,G désigne un groupe non nécessairement abélien, d’élément

neutre e ; E est un ensemble et l’on considère une action de G sur E.Selon la définition donnée au § 2.5.2.2 de [RDO85, p. 78], il me semble

comprendre que pour MM. Ramis, Deschamps et Odoux, un groupe G opèrefidèlement et transitivement sur un ensemble E si et seulement si, pour tout(x, y) dans E2, il existe un unique a dans G tel que y = a · x. Autrement dit, sil’on a

(i) ∀(x, y) ∈ E2, ∃a ∈ G : y = a · xet (ii) ∀x ∈ E, ∀(a, b) ∈ G2, (a · x = b · x =⇒ a = b).

On montre facilement que la clause (ii) est équivalente à

∀x ∈ E, Gx = {e}

où Gx est le stabilisateur de x (noté Stx sur Wikipédia 1). Or justement,sur la même page Wikipédia, 2 il est écrit que cette clause (ii) signifie pardéfinition que l’action est libre, et que la conjonction des clauses (i) et (ii),c’est-à-dire lorsqu’une action est à la fois transitive et libre, définit une actionsimplement transitive — là où [RDO85, p. 78] dit que G opère « fidèlement ettransitivement ».

D’un autre côté, selon Wikipédia 3, Wikiversité 4, [Per96, p. 14 ; Ber16, p. 26 ;DW01, p. 20], une action de G sur E est dite fidèle si le morphisme associéG→ SE, g 7→ fg, est injectif 5, autrement dit si

∀g ∈ G, (fg = idE =⇒ g = e)

c’est-à-dire si

∀g ∈ G,(

(∀x ∈ E, g · x = x) =⇒ g = e).

1. https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Stabilisateur_d.27un_.C3.A9l.C3.A9ment

2. https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Action_libre

3. https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Action_fid.C3.A8le

4. https://fr.wikiversity.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes/Action_de_groupe#Vocabulaire

5. fg désigne l’action de l’élément g ∈ G, qui à tout élément x de E associe g · x.

6

Ceci revient donc à dire que le seul élément de G qui fixe tous les éléments deE est e, autrement dit que l’intersection des stabilisateurs de tous les élémentsde E est le singleton {e}.

En résumé, la définition « opère fidèlement et transitivement » donnée dans[RDO85, p. 78] correspond à une action transitive et libre selon Wikipédia, 6

c’est-à-dire que

l’action est transitive et ∀x ∈ E, Gx = {e}

(c’est d’ailleurs ce que dit le premier exemple du § 2.5.3.1 à de [RDO85, p. 79]),alors que selon Wikipédia 7, [Per96 ; Ber16 ; DW01], dire qu’une action degroupe est transitive et fidèle s’interprète terme à terme comme

l’action est transitive et⋂x∈E

Gx = {e}.

Il est clair que la première assertion implique la seconde, mais la réciproqueest beaucoup moins claire ! En fait, [Ber16, p. 27] montre que cette réciproqueest vraie lorsque G est abélien. La preuve ci-dessous, en utilisant la définitiond’une action transitive et fidèle selon Wikipédia, Daniel Perrin et autres, paropposition à celle de [RDO85, p. 78].

Proposition 1. Si G est abélien, alors toute action de G sur E qui est transitiveet fidèle est transitive et libre, c’est-à-dire simplement transitive.

Démonstration. Considérons une action transitive et fidèle de G sur E etmontrons qu’elle est libre, i.e. que Gx = {e} pour tout x dans E. Les inclusionsréciproques étant évidentes, il suffit de montrer que Gx ⊂ {e} pour tout x dansE. Soient x dans E et g dans Gx. On a donc g · x = x.

Soit y dans E. Comme l’action de G sur E est transitive, il existe k dans Gtel que y = k · x. Or G est abélien, donc

g · y = g · (k · x) = (gk) · x = (kg) · x = k · (g · x) = k · x = y

Nous avons donc g · y = y pour tout y dans E. L’action considérée étantfidèle (i.e., le morphisme associé G → SE est injectif), on en déduit g = e.Ainsi, pour tout x dans E, on a Gx ⊂ {e}. Il en résulte que

∀x ∈ E, Gx = {e}

autrement dit, l’action considérée de G sur E est libre.6. https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)

#Action_libre7. https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)

#Action_fid.C3.A8le

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Tome 1 (algèbre)

Page 97 : définition d’un élément irréductible dansun anneau intègre

La définition donnée dans [RDO85, p. 97] est : on appelle élément irréductiblede l’anneau intègre A tout élément non inversible a de A dont les seuls diviseurssont les éléments inversibles d’une part, les éléments associés à a d’autre part.Sur Wikipédia 8, ils adjoignent à cette définition la condition « a non nul ».Il est fait de même dans [LA78, p. 97] et [Per96, p. 46] (modulo un petitcafouillage dans l’explication de la définition). Il ne s’agit apparemment pasd’un oubli dans [RDO85], car on retrouve la même définition avec une tournurefort différente (non copiée/collée) dans l’énoncé de l’exercice 1.2.7 de [RDO88,p. 20].Si l’on ajoute la condition « a non nul » à la définition de [RDO85], un

élément a de l’anneau intègre A est irréductible s’il vérifie l’une des conditionsdonnées dans la proposition suivante (il les vérifie alors toutes).

Proposition 2. Soient A un anneau intègre et a un élément de A. Les propo-sitions suivantes sont équivalentes :(i) a est non nul, non inversible et ses seuls diviseurs sont les inversibles et

les éléments associés à a.(ii) a n’est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles ; autrement

dit, a est non inversible et si a = bc avec b et c dans A, alors b ou c estinversible.

(iii) a est non nul, non inversible et premier avec tout élément qu’il ne divisepas.

(iv) (a) est non nul et maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propresde A.

Démonstration.

(i) =⇒ (ii) Si a est produit de deux éléments non inversibles b et c de A, alorsb et c sont des diviseurs de a non inversibles et non associés à a (si l’unétait associé à a, l’autre serait inversible).

(ii) =⇒ (iii) Le 0 de A est non inversible car A est un anneau intègre doncnon nul. Il en résulte que a est non nul, sinon étant donné que 0 = 0× 0dans A, a serait le produit de deux éléments non inversibles de A.

8. https://fr.wikipedia.org/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau#%C3%89l%C3%A9ments_premiers_entre_eux_et_%C3%A9l%C3%A9ment_irr%C3%A9ductible

8

Pour la dernière assertion à prouver, supposons par l’absurde que a nesoit pas premier avec tout élément qu’il ne divise pas, autrement ditqu’il existe b et c dans A tels que a ne divise pas b et c soit un diviseurcommun non inversible à a et b. Comme c divise a, il existe k dans A telque a = ck. k n’est pas inversible, sinon a et c seraient associés, et vuque c divise b, cela entraînerait a | b, ce qui est exclu par hypothèse. aest donc le produit de deux éléments non inversibles de A, à savoir c etk, ce qui contredit (ii). Ainsi, a est premier avec tout élément de A qu’ilne divise pas.

(iii) =⇒ (iv) a étant non inversible, (a) est un idéal principal propre de A.Reste à montrer qu’il est maximal dans l’ensemble des idéaux principauxpropres de A. Soit B un un idéal principal propre de A contenant (a).Il existe b dans A non inversible tel que (a) ⊂ (b), c’est-à-dire b | a.Montrons que a | b, on aura alors (a) = (b). Par l’absurde, supposons quea - b. De l’hypothèse (iii), on déduit alors que a et b sont premiers entreeux, donc leurs seuls diviseurs communs sont les éléments inversibles deA. Or b est un tel diviseur commun, donc il est inversible, ce qui contreditle fait que (b) est un idéal propre de A.

(iv) =⇒ (i) a est non nul et non inversible car (a) est un idéal non nul etpropre de A. Soit b un diviseur non inversible de a. Montrons que a et bsont associés. Étant donnée l’hypothèse sur b, on sait que (b) est un idéalprincipal propre de A (car b n’est pas inversible) qui contient l’idéal (a)(car b divise a). Or (a) est maximal dans l’ensemble des idéaux principauxpropres de A, d’où (b) = (a), ce qui revient à dire que a et b sont associés.Il en résulte que tout diviseur de a est soit inversible, soit associé à a.

Remarquons enfin qu’avec la définition de [RDO85], 0A est irréductible dansA si et seulement si A est un corps. En effet, comme 0A 6= 1A car A est intègredonc non nul, 0A est irréductible dans A selon [RDO85] si et seulement si toutélément de A est soit inversible, soit associé à 0A, c’est-à-dire soit inversible,soit nul.

Proposition 3. Soient A un anneau principal, p un élément irréductible de Aet a dans A. Alors p divise a si et seulement s’il n’est pas premier avec a.

Démonstration. Si p divise a, alors p est un diviseur commun non inversible àa et p, donc a et p ne sont pas premiers entre eux. Réciproquement, si a et pne sont pas premiers entre eux, il existe d non inversible tel que d | a et d | p.p étant irréductible, ses seuls diviseurs sont les inversibles et les associés à p,donc d est associé à p. Puisque d | a, on en déduit que p | a.

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Tome 1 (algèbre)

Cette proposition est donnée dans [RDO85, p. 98] sous une forme trèslégèrement différente et est valable quelle que soit la définition d’élémentirréductible adoptée (i.e., que 0A soit exclu ou non). Elle reste valable dans unanneau factoriel.

Proposition 4. Dans un anneau principal, un élément est premier avec unproduit si et seulement s’il est premier avec chacun des facteurs du produit.

Démonstration. Le sens “⇐=” ayant été démontré dans le livre, nous ne mon-trerons ici que le sens “=⇒”. Soient A un anneau principal, n dans N∗, a1, . . . , anet b des éléments de A tels que b soit premier avec le produit a1 · · · an. Toutdiviseur commun à b et au produit a1 · · · an est donc inversible. Soient i dansJ1, nK et di un diviseur commun à b et ai. di divise b et a1 · · · an, donc il estinversible puisque b et a1 · · · an sont premiers entre eux. Ainsi, tout diviseurcommun à b et ai est inversible, ce qui signifie que b et ai sont premiers entreeux.

Cette proposition est donnée dans [RDO85, p. 99] sous le titre « générali-sation », simplement avec un seul sens. Sauf erreur, elle reste valable dans unanneau factoriel.

Proposition 5. Dans un anneau principal, un élément irréductible divise unproduit de facteurs si et seulement s’il divise l’un des facteurs.

Démonstration. Soient A un anneau principal, p un élément irréductible de A,n dans N∗ et a1, . . . , an n éléments de A. Si p divise l’un des ai, il divise leurproduit. Réciproquement, supposons que p divise le produit a1 · · · an. D’aprèsla proposition 3 page précédente, on en déduit que p et a1 · · · an ne sont paspremiers entre eux. Avec la proposition 4, on en déduit qu’il existe i dans J1, nKtel que ai ne soit pas premier avec p (sinon p serait premier avec tous les ai etdonc aussi avec leur produit). En utilisant à nouveau la proposition 3, on enconclut que p divise ai.

Sauf erreur, cette proposition reste valable dans un anneau factoriel.

Page 101 : tout anneau principal est factorielExistence

La rédaction de la démonstration de l’existence d’une décomposition est unpeu bancale à mon avis. La méthode proposée permet de construire une suitestrictement croissante d’idéaux de A, ce qui contredit le lemme précédant le

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théorème. En effet, quand on a obtenu que (b) et (c) contiennent strictement(a), c’est bon, stop ! On dispose d’un procédé de construction, il suffit de l’itérerpour construire une suite strictement croissante d’idéaux de A (une suite infinie,normale, pas leur suite finie bizarre avec petit cafouillage entre J0 et J1...). C’estabsurde d’après le lemme, donc l’hypothèse E 6= 0 est invalidée. Il en résulteque tout idéal non nul de A a au moins un de ses générateurs qui admet unedécomposition en produit de facteurs irréductibles, et comme les générateursd’un même idéal sont associés, tout élément non nul de A admet une telledécomposition (puisqu’il engendre un idéal non nul).

UnicitéCe qui suit est écrit avec pour convention qu’un élément irréductible de

A est par définition non nul. La proposition reste vraie cependant sans cettecondition (i.e., avec la définition d’élément irréductible selon [RDO85, p. 97]),car elle spécifie que a 6= 0A : il suffit de traiter à part le cas où 0A ∈ P . Ce casest immédiat puisque, a étant non nul, la valuation 0A-adique ν(0A) de a estnécessairement nulle, ce qui assure son unicité.Concernant l’unicité de la décomposition, expliquons un peu comment on

obtient ν(p0) ≤ ν ′(p0). Rappelons que l’on a par hypothèse

u∏p∈P

pν(p) = u′∏p∈P

pν′(p),

que l’on a fixé un p0 quelconque dans P et établi, avec le théorème de Gauss,que p0

ν(p0) divise p0ν′(p0). Il existe donc b dans A tel que p0

ν′(p0) = b p0ν(p0). Par

l’absurde, supposons que ν(p0) > ν ′(p0). L’égalité précédente peut s’écrire

p0ν′(p0)(1− b p0

ν(p0)−ν′(p0)) = 0.

Comme p0 est non nul et A intègre, p0ν′(p0) est également non nul et il s’ensuit

que b p0ν(p0)−ν′(p0) = 1. Puisque nous avons supposé ν(p0)− ν ′(p0) > 0, on en

déduit que p0 est inversible, ce qui contredit le fait que p0 est irréductible. Ainsi,ν(p0) ≤ ν ′(p0).Par symétrie, le même raisonnement permet d’obtenir ν ′(p0) ≤ ν(p0), d’où

ν ′(p0) = ν(p0). Ceci étant valable pour tout p0 dans P, on en déduit ν =ν ′ (égalité de deux applications de P dans N). On obtient ainsi ux = u′xavec x = ∏

p∈P pν(p). De même que ci-dessus, l’intégrité de A et le fait que

x 6= 0A permettent de simplifier par x et entraînent u = u′, ce qui termine ladémonstration de l’unicité de la décomposition.

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Tome 1 (algèbre)

Page 105 : corps des fractions d’un anneau intègre[RDO85, p. 105] annonce que le corps des fractions d’un anneau intègre est

unique à isomorphisme près, mais la démonstration n’établit pas ce point, àmon avis. En fait, je ne suis pas sûr que les deux conditions énoncées soientsuffisamment fortes pour assurer l’unicité à isomorphisme près. Nous allonsdonner ci-dessous une condition a priori un peu plus forte qui, elle, assurecette unicité. Cette condition est une propriété universelle, ce qui fournit uneméthode simple et classique pour établir l’isomorphisme.Je n’ai pas lu en détail la démonstration de [LA78, p. 102-103], mais il est

clair que l’unicité à isomorphisme près du corps des fractions y est prouvée avecla même méthode que ci-dessous. Concernant les propriétés universelles, onpourra consulter [Duc03]. Le dernier exercice du chapitre suivant de [RDO85],Modules et espaces vectoriels s’intéresse également à ce type de problème, dansles modules. Introduisons la propriété universelle suivante :

Définition. Soit A un anneau intègre. On dit qu’un corps commutatif K vérifiela propriété universelle de A s’il existe un morphisme d’anneaux injectif i de Adans K tel que pour tout corps commutatif L et tout morphisme d’anneauxinjectif f de A dans L, il existe un unique morphisme f̃ de K dans L vérifiantf = f̃ ◦ i.

A K

L

f

i

f̃

Remarque — En tant que morphisme d’anneaux d’un corps dans un anneaunon nul, un tel f̃ est nécessairement injectif (cf. [RDO85, p. 107]).

Rappel des notations de [RDO85, p. 105] : A est un anneau intègre, R larelation d’équivalence sur A× (A \ {0}) définie par

(a, b) R (a′, b′) ⇐⇒ ab′ = a′b,

K un corps commutatif (le corps des fractions de A) dont l’ensemble sous-jacentest le quotient de A × (A \ {0}) par R, ϕ : A × (A \ {0}) → K la surjectioncanonique associée à ce quotient et ε l’injection canonique de A dans K, quiapplique tout élément a de A sur ϕ(a, 1A).

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Proposition 6. Avec les notations ci-dessus, le corps K vérifie la propriétéuniverselle de A.

Démonstration. Nous avons vu dans [RDO85, p. 105] que l’injection canoniqueε de A dans K est un morphisme d’anneaux injectif (ε jouera le rôle du i de lapropriété universelle). Soit L un corps commutatif tel qu’il existe un morphismed’anneaux injectif f de A dans L. Il s’agit de vérifier l’existence et l’unicitéd’un morphisme d’anneaux f̃ de K dans L vérifiant f = f̃ ◦ ε.

— Pour l’existence, on procède essentiellement comme au c) de [RDO85, p. 105],en étant un peu plus précis. Pour tout (a, b) dans A× (A \ {0}), f(b) estnon nul donc inversible dans le corps L, donc f(a)f(b)−1, qui est égal àf(a)f(b−1) ou encore à f(ab−1), est bien défini. De plus, si (a, b) et (a′, b′)sont deux éléments de A × (A \ {0}) tels que (a, b) R (a′, b′), alors pardéfinition de R, ab′ = a′b d’où f(a)f(b′) = f(a′)f(b). Comme f est injectifet L un corps commutatif, on en déduit f(a)f(b)−1 = f(a′)f(b′)−1. Cecimontre que l’application de A × (A \ {0}) dans L qui applique (a, b) surf(a)f(b)−1 est compatible avec R (l’image de (a, b) ne dépend que de saclasse ϕ(a, b) ∈ K pour R), donc d’après le théorème de factorisation, ilexiste une (unique) application f̃ de K = ϕ(A) dans L telle que f = f̃ ◦ ϕ.Pour tous (a, b) et (a′, b′) dans A× (A \ {0}), on a :

f̃(ϕ(a, b) + ϕ(a′, b′)) = f̃(ϕ(ab′ + a′b, bb′)) = f(ab′ + a′b)f(bb′)−1

= f((ab′ + a′b)(bb′)−1) = f(ab−1 + a′b′−1)

= f(ab−1) + f(a′b′−1)= f̃(ϕ(a, b)) + f̃(ϕ(a′, b′))

f̃(ϕ(a, b)ϕ(a′, b′)) = f̃(ϕ(aa′, bb′)) = f(aa′)f(bb′)−1

= f(a)f(b)−1f(a′)f(b′)−1 = f̃(ϕ(a, b))f̃(ϕ(a′, b′))

f̃(ϕ(1A, 1A)) = f(1A)f(1A)−1 = 1L

L’application f̃ est donc un morphisme d’anneaux (de corps) de K = Kdans L.

— Montrons maintenant l’unicité du morphisme d’anneaux f̃ de K dans Lvérifiant f = f̃ ◦ ε. Soit x dans K. ϕ étant surjectif, il existe (a, b) dans

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Tome 1 (algèbre)

A× (A \ {0}) tel que x = ϕ(a, b), d’où

f̃(x) = f̃(ϕ(a, b)) = f̃ (ϕ(a, 1)ϕ(1, b)) = f̃ (ϕ(a, 1)) f̃ (ϕ(1, b))= f̃ (ϕ(a, 1)) f̃

(ϕ(b, 1)−1

)= f̃ (ε(a)) f̃

(ε(b)−1

)= (f̃ ◦ ε)(a) (f̃ ◦ ε)(b)−1 = f(a) f(b)−1

Les valeurs prises par f̃ sont donc entièrement déterminées par f .Proposition 7. Il existe, à isomorphisme près, un unique corps commutatifvérifiant la propriété universelle de A : c’est le corps des fractions de A.Démonstration. D’après la proposition précédente, nous savons qu’il existe aumoins un corps commutatif vérifiant la propriété universelle de A, à savoircelui construit dans [RDO85, p. 104-105]. Il reste à montrer qu’un tel corps estunique à isomorphisme près.

Soient K et K′ deux corps commutatifs vérifiant la propriété universelle de A.Il existe donc deux morphismes d’anneaux injectifs i et i′, respectivement de Adans K et de A dans K′. La propriété universelle vérifiée par K nous assure,avec L = K′ et le morphisme d’anneaux injectif i′ de A dans K′, qu’il existe ununique morphisme d’anneaux f̃ de K dans K′ tel que i′ = f̃ ◦ i. De même, lapropriété universelle vérifiée par K′ prouve, avec L = K, qu’il existe un uniquemorphisme d’anneaux g̃ de K′ dans K tel que i = g̃ ◦ i′.

A K

K′

i′

i

f̃

A K′

K

i

i′

g̃

g̃ ◦ f̃ est donc un morphisme d’anneaux de K dans K tel que i = (g̃ ◦ f̃) ◦ i,or l’application identité sur K est aussi un morphisme d’anneaux de K dans Ktel que i = idK ◦ i ; d’après l’unicité de la la propriété universelle de A vérifiéepar K, on en déduit que g̃ ◦ f̃ = idK. De la même façon, on a i′ = (f̃ ◦ g̃) ◦ i′et i′ = idK′ ◦ i′ avec idK′ morphisme d’anneaux de K′ dans K′, d’où l’on tiref̃ ◦ g̃ = idK′ .

A K

K

i

i

g̃ ◦ f̃ = idK

A K′

K′

i′

i′

f̃ ◦ g̃ = idK′

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Nous avons donc montré que g̃ ◦ f̃ et f̃ ◦ g̃ sont des morphismes d’anneauxtels que g̃ ◦ f̃ = idK et f̃ ◦ g̃ = idK′ . Ceci prouve que K et K′ sont des corpsisomorphes et achève la démonstration.

Proposition 8. Soient A et A′ deux anneaux intègres isomorphes, K et K ′leurs corps des fractions respectifs. Tout isomorphisme d’anneaux de A dans A′se prolonge de manière unique en un isomorphisme de K sur K ′.

Démonstration. Nous avons vu que A se plonge dans son corps des fractions.Afin d’alléger les notations, identifions A à son plongement dans K de sorteque A soit un sous-anneau de K et faisons de même pour A′ et K ′. Notons K∗l’ensemble K \ {0} des éléments inversibles de K, et de même K ′∗ = K ′ \ {0}.

Soit f un isomorphisme d’anneaux de A dans A′. Commençons par prouverl’unicité en supposant que f se prolonge en un isomorphisme d’anneaux f̄ deK sur K ′. Soit x un élément de K. D’après l’identification faite ci-dessus, ilexiste (a, b) dans A× (A \ {0}) tel que x = ab−1. Nous avons donc

f̄(x) = f̄(ab−1) = f̄(a)f̄(b−1) = f̄(a)f̄(b)−1 = f(a)f(b)−1

Il en résulte que si un prolongement f̄ de f à K existe, il est nécessairementunique car parfaitement déterminé par f .Montrons que l’application f̄ : : K → K ′ ainsi définie est un morphisme

d’anneaux. Comme K et K ′ sont des corps commutatifs, nous pouvons notersans ambiguïté a

b= ab−1 = b−1a pour tout (a, b) dans K×K∗ ou dans K ′×K ′∗.

Soient (a, b) et (a′, b′) dans K ×K∗.

f̄

(a

b+ a′

b′

)= f̄

(ab′ + a′b

bb′

)= f(ab′ + a′b)

f(bb′) = f(a)f(b′) + f(a′)f(b)f(b)f(b′)

= f(a)f(b) + f(a′)

f(b′) = f̄(a

b

)+ f̄

(a′

b′

)

f̄

(a

b× a′

b′

)= f̄

(aa′

bb′

)= f(aa′)f(bb′) = f(a)f(a′)

f(b)f(b′) = f(a)f(b) ×

f(a′)f(b′)

= f̄(a

b

)× f̄

(a′

b′

)

f̄(1K) = f̄(1A

1A

)= f(1A)f(1A) = 1A′

1A′= 1K′

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Tome 1 (algèbre)

L’application f̄ est donc un morphisme d’anneaux (de corps) de K dans K ′. Ilreste à montrer que c’est un isomorphisme.

Soit (a, b) dans K ×K∗ tel que f̄(ab−1) = 0K′ . Alors f(b) est non nul car fest injectif et b non nul, et f(a)f(b)−1 = 0K′ . Comme K ′ est intègre et f(b)−1

non nul, il vient f(a) = 0K′ d’où, puisque f est injectif, a = 0K et ab−1 = 0K .f̄ est donc injectif.Soit y′ dans K ′. Il existe (a′, b′) dans A′ × (A′ \ {0}) tel que y′ = a′b′−1.

Puisque f est un isomorphisme de A dans A′, il existe (a, b) dans A× (A \ {0})tel que a′ = f(a) et b′ = f(b), d’où y′ = f(a)f(b)−1 = f̄(ab−1). Ceci prouve quef̄ est surjectif ; il s’agit donc d’un isomorphisme de corps, comme annoncé.

Pages 111-112, prop. 2.cProposition 9. Soit (G,+) un groupe ordonné. Pour tous x, y et z dans G,on a :

x < y =⇒ x+ z < y + z.

Démonstration. Soient x, y et z dans G avec x < y. Par définition de la relation<, on a x ≤ y et x 6= y. Comme (G,+) est un groupe ordonné, la relationx ≤ y entraîne x+ z ≤ y + z [cf. RDO85, p. 107]. De plus, x+ z 6= y + z sinonon aurait x = y. Il en résulte que x+ z < y + z.

Proposition 10. Soit (G,+) un groupe ordonné. Pour tous x, y et z dans G,on a :

x < y < z =⇒ x < z.

Démonstration. Soient x, y et z dans G tels que x < y < z. On a x ≤ y ≤ z,d’où x ≤ z par transitivité de ≤. De plus, x 6= z sinon on aurait z < y < z,ce qui serait absurde car z < y et y < z entraîneraient respectivement z ≤ yet y ≤ z, d’où y = z par antisymétrie de ≤, ce qui contredirait y < z. Ainsi,x < z.

Proposition 11. Si (A,+, ·) est un anneau non nul totalement ordonné, alorspour tout n dans N, on a n.1A < (n+ 1).1A.

Démonstration. On procède par récurrence.— Comme A est totalement ordonné, on a 0A ≤ 1A ou 1A ≤ 0A. Si 1A ≤ 0A,

alors −1A ≥ 0A, d’où 1A = (−1A) · (−1A) ≥ 0A d’après la définition de Aanneau ordonné [RDO85, p. 110] 9. Par antisymétrie de la relation d’ordre

9. Ou encore d’après la « règle des signes » [RDO85, p. 110], qui en est une conséquencedirecte.

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sur A, ceci entraînerait 1A = 0A, exclu puisque A est non nul. On en déduitque 0A ≤ 1A.

— Comme A est non nul, 0A 6= 1A donc avec le point précédent, on obtient0A < 1A. Ceci prouve l’initialisation de la propriété à démontrer.

— Si n ∈ N et n.1A < (n+ 1).1A, alors n.1A + 1A < (n+ 1).1A + 1A d’aprèsla proposition 9 page ci-contre, d’où (n+ 1).1A < (n+ 2).1A. Ceci prouvel’hérédité.

Proposition 12. Si (A,+, ·) est un anneau non nul totalement ordonné, alorspour tout n dans N∗, on a 0A < n.1A.

Démonstration. On procède par récurrence.— D’après la proposition 11 page précédente, on sait que 0A < 1A.— Si n ∈ N∗ est tel que 0A < n.1A, alors toujours d’après la proposition 11,

on a 0A < n.1A < (n+ 1).1A. Avec la proposition 10 page ci-contre, on endéduit 0A < (n+ 1).1A.

Page 170 : Polynômes dérivésDans la phrase « Retenons que l’on peut avoir deg(P ′) < deg(P )− 1, mais

que si A est intègre et de caractéristique 0, alors pour tout polynôme non nulP , deg(P ′) = deg(P )− 1 », il faut évidemment remplacer « non nul » par « nonconstant ».

Page 182 : extension simple transcendante sur KPour justifier l’assertion « l’isomorphisme de K[X] sur K[a] se prolonge alors

en un isomorphisme de K(X) sur K(a) » donnée dans [RDO85, p. 182] lorsquea est transcendant sur K, il est possible d’utiliser la proposition 8 (on peutpréalablement s’assurer que K(a) vérifie la propriété universelle de l’anneauintègre K[a] pour se convaincre que K(a) est bien le corps des fractions deK[a]).

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Tome 3 (topologie et élémentsd’analyse)

Pages 7-8, théorème 1.1.3.2Il ne me semble pas immédiat, avec l’argument donné (« ϕ est un morphisme

d’anneaux »), que C+ ∩ (−C+) = {I} implique R+ ∩ (−R+) = {0}. Détaillonsdonc ce point.— Soit X dans R+ ∩ (−R+), c’est-à-dire dans ϕ(C+) ∩ −ϕ(C+). Il existe x =

(xn)n∈N et y = (yn)n∈N dans C+ tels que X = ϕ(x) = −ϕ(y). Comme ϕest un morphisme d’anneaux, on en déduit ϕ(x + y) = 0, autrement ditx + y ∈ I, c’est-à-dire que x + y est une suite de rationnels qui convergevers 0 (le 0 de Q).Si x ou y converge vers 0, c’est à-dire si x ou y est dans I, alors X = 0.Supposons maintenant que ni x ni y ne converge vers 0, autrement dit quex /∈ I et y /∈ I. D’après la définition de C+ et la dernière proposition du§ 1.1.1 de [RDO82, p. 5], on en déduit qu’il existe a et a′ dans Q∗+, N et N ′dans N tels que :

∀n ∈ N, n ≥ N =⇒ xn ≥ a

∀n ∈ N, n ≥ N ′ =⇒ yn ≥ a′.

Donc avec N ′′ = max(N,N ′), on a :

∀n ∈ N, n ≥ N ′′ =⇒ xn + yn ≥ a+ a′.

Or nous avons vu que x + y converge vers 0, donc par passage à la limiteon a 0 ≥ a+ a′ > 0, absurde. Nous avons donc montré R+ ∩ (−R+) ⊂ {0}.

— L’inclusion réciproque est beaucoup plus facile, mais il faut remarquer quele 0 du membre de droite est le 0 du corps R étudié, autrement dit la classeϕ(0) de la suite de rationnels nulle 0, ou encore l’ensemble des suites derationnels qui convergent vers 0. Comme la suite nulle de Q est dans C+, sonimage ϕ(0) par ϕ est dans ϕ(C+). Or ϕ est un morphisme d’anneaux, doncϕ(0) = −ϕ(0), ce qui prouve que ϕ(0) est également dans −ϕ(C+) = −R+.

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Tome 3 (topologie et éléments d’analyse)

Page 9, proposition du § 1Notons x la suite (xn)n∈N. L’existence d’un ε dans Q∗+tel que xn ≥ ε à partir

d’un certain rang résulte de la définition de R+ p. 7, du fait que (xn) est unreprésentant de ω ∈ R∗+ et de la proposition en haut de la page 5 (on utilise lefait que (xn) ne converge pas vers 0, sinon elle serait dans I et ω = ϕ(x) seraitnul) 1. On a donc, à partir d’un certain rang, xn − ε+ 1/(n+ 1) > 0 2. La suitede terme général xn− ε+ 1/(n+ 1), que l’on peut aussi noter v = x−ψ(ε) + uavec l’application ψ définie p. 8 et u = ( 1

n+1)n∈N, est donc une suite de Cauchyde rationnels, strictement positive à partir d’un certain rang. Il en résulte quev ∈ C+, et par suite ϕ(v) ∈ R+ d’après la définition de R+ donnée p. 7. Orϕ(v) = ϕ(x−ψ(ε)+u) = ϕ(x)− (ϕ◦ψ)(ε) = ω−θ(ε) car ϕ est un morphismed’anneaux et ϕ(u) = 0 puisque u est une suite de rationnels qui converge vers 0(i.e., elle est dans I, le noyau de ϕ). Ainsi, ω− θ(ε) ∈ R+, c’est-à-dire θ(ε) ≤ ωselon la définition de la relation ≤ dans R donnée vers le bas de la page 7.

Page 9, théorème du § 2Expliquons comment obtenir |X − θ(xm)| ≤ θ(ε). On note x la suite (xn)n∈N

et u la suite de Cauchy de rationnels de terme général un = ε− |xn − xm|.

θ(ε)− |X − θ(xm)| = (ϕ ◦ ψ)(ε)− |ϕ(x)− (ϕ ◦ ψ)(xm)|= (ϕ ◦ ψ)(ε)− |ϕ(x− ψ(xm))|= (ϕ ◦ ψ)(ε)− ϕ(|x− ψ(xm)|)= ϕ (ψ(ε)− |x− ψ(xm)|)= ϕ(u)

(pour passer de la deuxième à la troisième ligne, on a utilisé la propositiondu § 1.1.3 de [RDO82, p. 8] qui dit que si x ∈ C(Q), alors |ϕ(x)| = ϕ(|x|)).Or nous avons vu que un > 0 pour tout n ≥ N , donc u est dans C+, d’oùθ(ε) − |X − θ(xm)| ∈ R+ d’après la définition de R+ donnée p. 7. On endéduit, via la définition de la relation ≤ dans R (cf. bas de la page 7), que|X − θ(xm)| ≤ θ(ε).

1. Voir aussi la remarque a) p. 8.2. J’ai rajouté le terme 1/(n + 1) pour avoir le strictement positif.

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Bibliographie[Ber16] Marcel Berger. Géométrie 1. Nouvelle bibliothèque mathématique.

Reproduit l’édition Nathan de 1990 (isbn : 2-09-191730-3, tirage de1996). Paris : Cassini, 2016. 430 p. isbn : 978-2-84225-145-1.

[Duc03] Antoine Ducros. À propos des objets caractérisés par une propriétéuniverselle. Préparation à l’agrégation de mathématiques, Universitéde Rennes 1. Oct. 2003. url : https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/propuniv.pdf (visité le 27/11/2018).

[DW01] Claude Deschamps et André Warusfel. Mathématiques 2eannée.Cours et exercices corrigés. 2eannée mp, pc, psi ; Série E. Ramis.Nouveau tirage corrigé. Paris : Dunod, 2001. 1456 p. isbn : 2-10-005412-0.

[LA78] Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès. Cours demathématiques. Classes préparatoires 1er cycle universitaire. T. 1 :Algèbre. 3e éd. Paris : Dunod Université, 1978. 534 p. isbn : 2-04-007074-5.

[Per96] Daniel Perrin. Cours d’algèbre. capes/agreg mathématiques.Paris : Ellipses, 1996. 207 p. isbn : 2-7298-5552-1.

[RDO] Edmond Ramis, Claude Deschamps et Jacques Odoux. Coursde mathématiques spéciales. Classes préparatoires et enseignementsupérieur 1er cycle. 5 t. Paris : Masson.T. 1 : Algèbre. 1985.T. 3 : Topologie et éléments d’analyse. 1982.

[RDO82] Edmond Ramis, Claude Deschamps et Jacques Odoux. Coursde mathématiques spéciales. Classes préparatoires et enseignementsupérieur 1er cycle. T. 3 : Topologie et éléments d’analyse. 2e éd.Paris : Masson, 1982. 368 p. isbn : 2-225-77187-1.

[RDO85] Edmond Ramis, Claude Deschamps et Jacques Odoux. Coursde mathématiques spéciales. Classes préparatoires et enseignementsupérieur 1er cycle. T. 1 : Algèbre. 4e tirage. Paris : Masson, 1985.444 p. isbn : 2-225-39919-0.

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Bibliographie

[RDO88] Edmond Ramis, Claude Deschamps et Jacques Odoux. Algèbre.Exercices avec solutions. Paris : Masson, 1988. 200 p. isbn : 2-225-81314-0.

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