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Departamento de Engenharia Elétrica
Notas de aula em Máquinas Elétricas de
Corrente Contínua
Disciplinas: SEL0329 – Conversão Eletromecânica de Energia
SEL0330 – Laboratório de Conversão Eletromecânica de Energia
SEL0422 – Máquinas Elétricas
SEL0423 – Laboratório de Máquinas Elétricas
DIÓGENES PEREIRA GONZAGA
ALINE DURRER PATELLI JULIANI
São Carlos, Outubro de 2008.
2
1. CLASSIFICAÇÃO DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS
Há dois grandes grupos de máquinas elétricas: as de corrente contínua e as de
corrente alternada. Ambos são constituídos de dispositivos reversíveis, do ponto de
vista conversão de energia, podendo operar seja como motor, seja como gerador.
Dentre as máquinas de corrente alternada há máquinas síncronas e máquinas
assíncronas, essas últimas são também denominadas máquinas de indução. Tais
máquinas são compostas, normalmente, de dois enrolamentos. Por outro lado, há
máquinas em que um enrolamento é substituído por peças polares de imãs permanentes
e, ainda, outras máquinas, cujos princípios de funcionamento são baseados em algum
tipo de propriedades magnéticas, como a relutância, ou a histerese.
2. INTRODUÇÃO
Num estudo introdutório clássico de máquinas elétricas rotativas é interessante
iniciarem-se as análises pelas máquinas elétricas de corrente contínua, aqui
denominadas Máquinas CC, que são constituídas de dois enrolamentos, o primeiro
conhecido popularmente por indutor, ou enrolamento de campo, ou ainda de excitação,
que pode ser substituído por um conjunto de imãs permanentes, que está localizado no
estator, que é a parte fixa, ou estática, da Máquina CC e que consome pouca energia em
operação se comparado com o outro enrolamento, que é conhecido por induzido, ou
enrolamento de armadura, localizado no rotor, ou parte girante do motor, que é, então,
responsável pelo consumo da maior parte da energia envolvida pela máquina quando
operando como motor, ou fornecida pela máquina, quando operando como gerador.
Assim, uma máquina de 3,0c.v., em operação normal, absorve no enrolamento de
campo cerca de 108W, enquanto a armadura absorve/fornece 2,21kW.
Para que a Máquina CC funcione é necessário um dispositivo que permita que
ocorra o fluxo de potência de alguma fonte externa para a armadura, no caso motor, ou
da armadura para alguma carga elétrica, no caso gerador. O dispositivo utilizado é o
conjunto escovas/comutador, que provê a máquina de contato elétrico girante, o qual
permite acesso elétrico ao enrolamento da armadura e, também, permitindo também a
manutenção do ângulo de 90 graus elétricos entre os fluxos do estator (ou campo) e do
rotor (ou armadura) visando trabalhar-se com o máximo torque. De forma simplista, tal
conjunto de contatos promove o chaveamento do sinal elétrico e se configura num
dispositivo retificador eletromecânico, no caso do Gerador CC e num inversor
eletromecânico, no caso do Motor CC. A Fig. 1 mostra um esboço do conjunto
3
escovas/comutador; maiores detalhes sobre sua atuação e sua importância serão vistos
no parágrafo 3.5. Este dispositivo é, também, responsável pela grande quantidade de
ruídos sonoros e elétricos causados pela Máquina CC.
Fig. 1 – Esboço do conjunto Escovas/Comutador, por meio do qual é feito o acesso elétrico à
armadura, onde apenas um par de ranhuras estão preenchidas com bobinas, não havendo ainda
preocupação com a região de melhor comutação.
3. PRINCÍPIOS DE OPERAÇÃO
É conhecido da teoria da Conversão Eletromecânica de Energia que o torque, ou
conjugado eletromagnético, de um dispositivo de dupla excitação, com movimento
angular restrito e de relutância variável, como o da Fig. 2, é dado pela Eq. 1.
Fig. 2 – Dispositivo de dupla excitação, com movimento angular restrito e de relutância variável.
Nmd
dMii
d
dLi
d
dLiTel
)()(
2
1)(
2
1 1221
22
212
1 Eq. 1
4
Entretanto, a Máquina CC pode ser considerada um dispositivo com entreferro
de ar praticamente uniforme, ou seja, a “espessura do ar” se mantém constante em toda
a volta do rotor, o que leva a uma relutância magnética constante em relação à posição
angular θ, sendo possível considerarem-se nulas as duas primeiras parcelas da Eq. 1,
que são ligadas à relutância do circuito magnético da máquina. A terceira parcela é
eminentemente ligada às excitações dos dois enrolamentos e, em geral, é predominante
na Máquina CC. Da estrutura eletromagnética da Máquina CC pode-se considerar que a
indutância mútua M12(θ) seja proporcional ao cos(θ) (usando apenas 1a harmônica
espacial), já que seu máximo ocorre quando do alinhamento dos eixos magnéticos dos
dois enrolamentos, onde ter-se-ia θ = 0o. Assim, vale a Eq. 2.
Henry )cos( M)(12 M Eq. 2
Substituindo-se a Eq. 2 na Eq. 1, já simplificada, e desenvolvendo-se a derivada
envolvida, tem-se a Eq.3, que mostra a expressão do torque eletromagnético em função
de θ.
Nm)21 (senMiiTel Eq. 3
Uma rápida análise na Eq. 3 permite concluir-se que o torque eletromangético máximo
ocorre quando θ=90o, ou seja, quando os dois enrolamentos tiverem seus eixos
magnéticos defasados de 90o. Assim, é desejável que a Máquina CC opere sempre em
condições de torque eletromagnético máximo, o que é obtido com um sistema de
comutação convenientemente construído. Isto será tratado no parágrafo dedicado à
comutação da Máquina CC. O sinal negativo da Eq. 3 significa que há uma forte
tendência de alinhamento entre os eixos magnéticos do rotor com o do estator.
Ainda tratando dos princípios de funcionamento da Máquina CC, há dois efeitos
da maior importância, o efeito gerador e o efeito motor , que serão vistos a seguir.
Suponha-se um campo magnético normal ao plano do papel e neste penetrando,
representado pelo Vetor Indução Magnética ou Vetor Densidade de Fluxo Magnético B
[Tesla], como é mostrado nas Figs. 3, 5 e 6; assim, vetorialmente tem-se xaBB
no
sistema de coordenadas cartesianas.
Em ambos os casos, considere-se uma barra condutora de comprimento ativo ℓ
“o quanto” da barra é submetido ao campo magnético , massa m, movimentando-se
com velocidade v
e posicionada de tal forma que lhe permita “cortar” as linhas de força
do campo magnético num ângulo de 90o. Então, tem-se:
5
3.1. EFEITO GERADOR
Tal barra se movimenta, por alguma ação anterior, com velocidade zavv
,
vista na Fig. 3. Considerando-se a barra inicialmente em equilíbrio eletrostático, todas
as cargas nela existentes estarão movimentando-se com a mesma velocidade
considerada, como é visto na Fig. 4(a), estando então submetidas a forças elementares,
mostradas pelas Eqs. 4(a) e (b).
4.)()(
)()(
EqbBxvdqFd
aBxvdqFd
Fig. 3 – Efeito Gerador: barra condutora retilínea de comprimento ℓ, movimentando-se com
velocidade v
, a 900 em relação a B
.
Assim, as cargas elementares positivas acumular-se-ão no extremo superior da
barra condutora e as cargas elementares negativas no inferior, por ação das forças
elementares, causando o campo eletrostático E
.
6
Fig. 4 – (a) Detalhes da separação das cargas elementares internas ao condutor, por ação combinada do
campo magnético e da velocidade da barra; (b) Campos Eletrostático E
e Não Eletrostático *E
atuantes
na barra condutora.
Se a Eq. 4(a) tiver seus dois membros divididos por dq+ e a (b) por dq
-, obter-se-
á a expressão de um campo não eletrostático *E
, que é dado pela Eq. 5 e é mostrado na
Fig. 4(b).
]/[]/[* mVouCNavBBxvdq
Fd
dq
FdE y
Eq. 5
Na Fig. 4(b) também é mostrado o campo eletrostático resultante do acúmulo de
carga nos extremos da barra, )( yaEE
, cujas linhas de força, como é bem sabido,
iniciam-se nas cargas positivas e terminam nas negativas. A separação de cargas
elementares positivas e negativas cessará quando 0* EE
. Nesta condição, calcula-
se a diferença de potencial, e12 entre os extremos 1 (superior) e 2 (inferior), cuja
expressão é dada na Eq. 6, que é a força eletromotriz (f.e.m.) induzida sobre a barra pela
conjunção de seu movimento num campo magnético.
]Volt[vBdEdEe *
1
2
1
2
12 Eq. 6
Assim, a barra condutora, como mostrada na Fig. 3, apresentará potencial
positivo no extremo superior e negativo no inferior.
7
3.2. EFEITO MOTOR
A mesma barra utilizada na análise inicial do efeito gerador, agora inicialmente
estática, conduzindo uma corrente elétrica de intensidade I e submetida ao mesmo
campo B
é mostrada na Fig. 5(a).
Fig. 5(a) – Efeito Motor: barra condutora de comprimento ℓ, conduzindo I, dentro do campo B
.
Como resultado tem-se uma força de origem magnética aplicada à barra, como é
mostrado na Eq. 7.
)(
)()(0
y
z
aIdyIdcom
NaIBBxIdF
Eq. 7
Em conseqüência da força F
, a barra condutora, que possui massa m, é
acelerada e, num certo instante, atinge uma velocidade 'v
, no mesmo sentido da força.
Agora, a situação é a seguinte: tem-se uma barra condutora que se movimenta com
velocidade 'v
num campo magnético cuja densidade de fluxo magnético é B
, ou seja,
sobre a barra será induzida uma força contra eletromotriz (f.c.e.m.) 12e , na Eq. 8, de
mesma intensidade e polaridade da f.e.m. e12 da Eq. 6.
vBe 12 [Volt] Eq. 8
A tensão externa Vext, aplicada à barra condutora, será sempre maior que 12e ,
pois se assim não for, a corrente I poderá ser nula e não ocorrerá o efeito motor.
8
Por outro lado, retornando ao efeito gerador, se a chave S for fechada, como é
visto na Fig. 5(b), a barra condutora conduzirá uma corrente I’, “subindo potencial”, ou
seja, no sentido da extremidade 2 para a 1. O valor de I’ é dado na Eq. 9.
][12 AmpèreR
Bv
R
eI
Eq. 9
Tem-se a barra condutora conduzindo I’, superposta ao efeito gerador; assim, a
barra fica submetida a uma força de origem magnética F
, contrária ao movimento
original da barra, dada pela Eq. 10.
][)()(
2
NaR
BvaIBF zz
Eq.10
Para que e12 continue a ser gerada é necessário que um agente externo aplique à
barra condutora uma força EXTF
no sentido do movimento original da barra, como é
mostrado na Fig. 5(b), de tal forma que EXTF
> F
, pois se assim não for, a barra será
desacelerada e sua velocidade v
se anulará e, também, e12=0.
Fig. 5(b) – A barra condutora do efeito gerador, após a chave S ser fechada, conduzirá I’ e, pelo
fato de estar imersa num campo magnético, sofrerá a ação da força F
em sentido oposto ao do
movimento, assim é necessária a atuação de uma força externa extF
para ser dada continuidade
à geração na forma de e12.
O modelo utilizado na análise dos dois efeitos gerador e motor, considera um
campo uniforme distribuído em um plano muito extenso, o que fisicamente torna
9
inviável qualquer tentativa de realização. Assim, sua transformação em um
dispositivo cilíndrico, com é mostrado na Fig. 6, permite a sua realização
prática. A configuração cilíndrica é muito utilizada nos motores rotativos, já que,
se os condutores 1 e 2 girarem em torno do eixo do cilindro, eles estarão sempre
submetidos ao campo perpendicular a eles
Fig. 6 – Transformação de uma estrutura planar do campo magnético para uma estrutura
cilíndrica; são mostrados os condutores 1 e 2 que podem ser os lados ativos de uma espira.
3.3. GERADOR ELEMENTAR DE CORRENTE ALTERNADA
Considere-se a Fig. 7(a), na qual uma estrutura magnética de dois pólos é
mostrada, dentro da qual uma espira retangular, com os lados ativos 1 e 2, pode girar em
torno de seu eixo de simetria com velocidade angular ω no sentido anti-horário.
A Fig. 7(b) permite obter-se a expressão da f.e.m. induzida total e sobre a espira,
como é visto na Eq. 11, composta das f.e.m. e1 e e2 induzidas respectivamente sobre os
lados ativos 1 e 2, de comprimento ℓ, da bobina.
)(22
)(2
0
1
0
21
tsenBrsenBv
senBvsenBvdBxvdBxveee
Eq. 11
Onde v = ω.r e θ =ω.t.
Fig.7 – (a) Representação do gerador elementar de corrente alternada com seus dois pólos e a bobina que
gira em torno de seu eixo de simetria; (b) Vista em corte transversal reto e (c) esboço da tensão induzida
quase senoidal.
Ainda na Fig. 7(a) são vistos os anéis, um em cada terminal da espira, e os
contatos deslizantes, que podem ser supostos de “carvão” (grafite), onde se colhe a
f.e.m. induzida na espira. Na Fig. 7(c) é mostrado um esboço da tensão senoidal
induzida na espira.
11
Os dois pólos, Norte e Sul, magnéticos podem ser obtidos por meio de imãs
permanentes, ou por meio de bobinas convenientemente enroladas nos núcleos de
material ferromagnéticos e conduzindo corrente. Em ambos os casos as linhas de força
do campo magnético têm seu início no pólo Norte e seu fim no pólo Sul e são
consideradas paralelas em toda a extensão interpolar de ar, embora se saiba que nas
fronteiras pólo-ar haja alguma distorção dessas linhas, como é visto na Fig. 8, já que
devido ao fato do pólo apresentar permeabilidade magnética elevada comparada com a
do ar, as linhas de força atravessam a fronteira Fe-ar na direção normal a esta. Este fato
será muito útil quando as bobinas da parte móvel da máquina tiverem núcleo de material
ferromagnético, como é visto na Fig. 8(b), onde se obtém uma maior densidade de fluxo
magnético no rotor, o que será tratado com mais detalhes mais tarde.
Fig. 8 – Detalhe da travessia da fronteira Fe-Ar pelas linhas de força do campo magnético: a 90o; (a)
espira sem núcleo ferromagnético: densidade de fluxo magnético B
baixa; (b) espiras imersas nas
ranhuras do ferro do rotor: densidade de fluxo magnético B
mais elevada .
12
3.4. GERADOR ELEMENTAR DE CORRENTE CONTÍNUA
A Fig. 9(a) mostra que o gerador elementar de corrente contínua é derivado do
gerador elementar de corrente alternada, apenas substituindo-se os dois anéis deslizantes
por um contato cilíndrico seccionado longitudinalmente em um diâmetro, denominado
comutador, como se vê na Fig. 9(b). Na Fig. 9(c) é mostrado o esboço da tensão e,
originalmente, alternada retificada pelo processo de comutação, resultando numa tensão
pulsante. Cada uma das partes do comutador elementar está ligada a uma extremidade
da espira e ambas giram solidariamente ao eixo desta.
Fig. 9 – (a) Gerador elementar de corrente contínua; (b) detalhes do comutador e das escovas
de contato e (c) esboço da tensão retificada e’.
Na Fig. 7(c), durante o primeiro semi-período (de 0 a π rad.) da senoide, o
terminal do lado ativo 1 da espira é positivo em relação ao terminal do lado ativo 2 e
durante o segundo semi-período é negativo, variando a tensão e senoidalmente em
ambos. Se os anéis são substituídos pelo comutador visto nas Figs. 9(a) e (b), durante o
primeiro semi-período o terminal do lado ativo 1 é positivo em relação ao 2, também
com a tensão e variando senoidalmente, porém quando atinge o zero (θ = π rad.) e em
seguida ficaria negativo, ocorre a comutação, ou seja, as escovas passam pela região de
separação e isolação das duas partes cilíndricas do comutador, e o lado ativo 2 passa a
ter seu terminal positivo em relação ao terminal do lado ativo 1. Assim, no segundo
13
semi-período da senoide, em lugar da escova que estava no potencial positivo ficar no
negativo, ela continua em contato com o potencial positivo após a comutação,
ocorrendo a retificação eletromecânica da tensão e, que passa a ser denominada e’,
como esboçado na Fig. 9(c).
Entretanto, sabe-se dos estudos de Eletrônica que um retificador monofásico,
como é esse caso, apresenta um baixo valor de “nível DC” e que isso é melhorado
drasticamente se for utilizada, por exemplo, uma ponte retificadora trifásica de onda
completa, mostrada na Fig. 10(a).
Fig. 10 – (a) Esboço de uma ponte retificadora trifásica de onda completa e (b) Esboço das formas de
onda das tensões trifásicas e em corrente contínua sobre uma carga resistiva.
Nessa nova situação, ocorre um ripple de aproximadamente 5% da tensão
retificada e um “nível DC” dado por VoltVV faseDC 5,295.3.2.95,0 , para um
sistema de 220/127 Volt, assim não há necessidade de filtragens sofisticadas para
aplicações eletromecânicas.
Para se obter uma situação análoga na retificação eletromecânica em uma
máquina CC, por meio de escovas e comutador, em lugar de se utilizar uma máquina
14
CC com apenas dois pólos e uma espira, utilizar-se-á uma máquina com número maior,
e sempre par, de pólos e um número conveniente de espiras nas bobinas, além de um
número relativamente maior de bobinas distribuídas na parte rotativa, ou, rotor da
máquina CC. As Figs. 11(a) e (b) mostram os esboços da forma de onda da tensão de
saída e para uma máquina CC cuja armadura possua 2 pólos e: na (a) apenas 2 bobinas
ocupando 2 ranhuras, com 1, 2 e 4 espiras cada, gerando as tensões CC 2
4
2
2
2
1 e, eee , já na
(b) tem-se 4 bobinas ocupando 4 ranhuras, defasadas entre si de /2 radianos no espaço,
com 1, 2 e 4 espiras cada, gerando as tensões CC 4
4
4
2
4
1 e, eee , visivelmente maiores que
as anteriores. O aumento do número de espiras eleva, grosso modo, o pico das quase
senoides geradas; por outro lado o aumento do número das bobinas, que estão
distribuídas nas ranhuras na face externa do corpo do rotor, eleva o nível DC das
tensões retificadas.
Fig. 11 – Esboço das fems induzidas e níveis DC nas escovas do gerador CC: (a) apenas duas bobinas
com uma, duas e quatro espiras; (b) quatro bobinas com uma, duas e quatro espiras.
A Fig. 12 mostra o esboço do corte do rotor, com duas ranhuras em (a) preenchidas por
duas bobinas e em (b) quatro ranhuras preenchidas com quatro bobinas, numa máquina
15
CC de dois pólos, ligadas a um comutador de duas seções no caso (a) e de quatro seções
no (b). A quantidade de escovas é igual ao número de caminhos em paralelo no
enrolamento de armadura, a, quando se trata do enrolamento tipo imbricado ou
embricado, e este número, nesse caso é igual ao número de pólos p da máquina DC.
Fig. 12 – Máquina CC de dois pólos, com enrolamento em dupla camada: (a) duas bobinas (1t-2f e 2t-1f)
depositadas nas mesmas ranhuras separadas por radianos e (b) quatro bobinas (1f-2t, 2f-3t, 3f-4t e 4f-1t)
depositadas em quatro ranhuras separadas por /2 radianos.
16
Se o leitor tivesse em mãos um núcleo ferromagnético de armadura com 8
ranhuras e quisesse distribuir nele um enrolamento de camada simples com dois pólos,
o que aconteceria? A Fig. 13 mostra o resultado: metade das seções do comutador fica
sem conexões, já que este possui um número de seções igual ao número de ranhuras da
armadura, num enrolamento embricado. As bobinas, como mostrado nas Figs. 12 e 13
possuem uma distância angular de 180o
elétricos entre seus lados ativos. De modo
genérico, o ângulo elétrico depende do número de pólos da máquina envolvida, como é
visto na Equação 12. Já a Equação 13 mostra a relação para as derivadas dos ângulos,
que representam pelo lado elétrico a freqüência angular e pelo lado mecânico a
velocidade angular.
)radianos(2
)elétricosradianos( cosmecânielétrico
p Eq. 12
)egundoradianos/s(2
)segundoelétricos/radianos( cosmecânielétrico
p
Eq. 13
Fig. 13 – Motor CC, dois pólos, oito ranhuras na armadura, comutador de oito seções, enrolamento de
camada simples: sobraram seções do comutador.
Na Fig. 14 é mostrada uma armadura com núcleo ferromagnético igual ao da
Fig. 13, porém com enrolamento de dupla camada.
17
Fig. 14 – Mesmo núcleo de armadura da Fig. 13 com enrolamento de dupla camada sem a preocupação
com a posição das escovas sobre o comutador.
A Fig. 15 mostra o esboço de uma ranhura da armadura em consideração, com
seu número (i) e os lados ativos nela depositados, um no topo (it) e o outro no fundo (if)
da ranhura.
Fig. 15 – Esboço da i-ésima ranhura, com os lados ativos de duas bobinas, um no topo (it) e o outro no
fundo (if).
A seguir vem o esquema para preenchimento, com um enrolamento de 4 pólos,
de uma armadura de 16 ranhuras e o comutador possui 16 seções, que é um número
igual ao de ranhuras: 1t-5f, 2t-6f, 3t-7f, 4t-8f, 5t-9f, 6t-10f, 7t-11f, 8t-12f, 9t-13f, 10t-
14f, 11t-15f, 12t-16f, 13t-1f, 14t-2f, 15t-3f e 16t-4f. A Fig. 16 mostra a realização deste
preenchimento, porém sem mostrar os pólos principais, nem as escovas.
18
Fig. 16 – Enrolamento de armadura de 4 pólos e 16 ranhuras; não são mostrados os pólos principais.
3.5. ESCOVAS E COMUTADOR NO ENROLAMENTO EMBRICADO
Para haver acesso elétrico ao enrolamento de armadura de qualquer máquina de
corrente contínua é necessário um conjunto de escovas de grafite que ficarão em contato
rotativo com o comutador. O número de escovas utilizado para acessar o enrolamento
embricado define o número de caminhos paralelos, a, por onde a corrente de armadura,
Ia, será dividida e este número, neste tipo de enrolamento, é igual ao número de pólos,
p, que é o ente que define a divisão do enrolamento, criando os caminhos paralelos.
Então, para uma máquina de p = 4 pólos há necessidade de um conjunto de 4 escovas,
fixadas num dispositivo chamado porta-escovas em que as escovas se localizam sobre
uma circunferência, mantendo entre elas a distância angular constante de 90o, sendo
interligadas duas a duas diametralmente opostas, como no esboço da Fig. 17(a). Na Fig.
17(b) é mostrado o esboço de um comutador com apenas duas bobinas ligadas; o
comutador neste tipo de enrolamento tem o mesmo número de seções que de ranhuras
na armadura. Na Fig. 17(c) é mostrada uma escova curto-circuitando uma bobina: este
fato se repetirá muitas vezes durante cada rotação do motor, com todas as escovas do
Motor CC considerado. Já a fig. 17(d) mostra uma foto de um comutador.
Este curto-circuito poderia ser um grave defeito do motor de corrente contínua, mas é
evitado localizando as escovas de tal forma a curto-circuitarem bobinas que estejam em
posições onde concatenem o máximo fluxo magnético, pois nesta situação a derivada
19
temporal do fluxo é nula, sendo nula então a f.e.m. induzida (Lei de Faraday) e, em
conseqüência, a corrente circulante nesta situação.
(a)
(b)
(c)
20
(d)
Fig. 17 – (a) Dispositivo porta-escovas e (b) comutador conectado a duas bobinas
e (c) escova curto-circuitando uma bobina e (d) foto do comutador [DPG – SEL].
A Fig. 18(a) representa uma máquina de corrente contínua de dois pólos, na qual
a bobina que está passando pelo plano perpendicular ao fluxo principal concatena-o
totalmente. A Fig. 18(b) mostra o esboço de uma máquina de quatro pólos com as
bobinas que concatenam fluxo máximo. Em ambos os casos são representadas as
escovas curto-circuitando as bobinas especificadas, sem correntes, já que elas
concatenam fluxo máximo. Nessas Figuras não são mostradas as outras bobinas de cada
enrolamento.
21
Fig. 18 – (a) Bobinas na Linha Neutra Geométrica da máquina de 2 pólos; (b) Bobinas nas Linhas
Neutras Geométricas da máquina de 4 pólos.
22
3.6. ENROLAMENTOS DE CAMPO
O campo principal da Máquina CC é fornecido por dispositivos localizados em
seu estator. Tais dispositivos podem ser, ou enrolamentos percorridos por corrente de
campo que são as bobinas polares, ou peças polares constituídas de imãs permanentes.
No caso de bobinas polares, há três possibilidades:
1- Enrolamento de campo conectado eletricamente em paralelo com o
enrolamento de armadura. Este mesmo enrolamento de campo pode ser
utilizado com alimentação independente do enrolamento da armadura. Este
enrolamento é constituído de um grande número de espiras, com bitola muito
fina já que é percorrida por baixas correntes. Assim, resulta uma resistência
elétrica relativamente elevada para este enrolamento.
2- Enrolamento de campo conectado eletricamente em série com o enrolamento
da armadura. Constituído por um pequeno número de espiras, de um condutor
de bitola elevada, que virá a conduzir uma corrente elevada que é a mesma da
armadura.
3- Composição do campo magnético aditiva ou subtrativamente dos
enrolamentos paralelo e série, no total ou em partes.
A Fig. 19 mostra um esboço do campo magnético causado por enrolamentos
paralelo ou independente e série. Sua interação com a armadura independerá do tipo de
enrolamento de campo utilizado, pois em termos de campo o elemento que será
importante será a força-magnetomotriz (f.m.m.) resultante em cada caso, as quais são
mostradas nas Equações 14(a), (b) e (c).
)c(ININF
)b(INF
)a(INF
csscpipcomp
csss
cpipipi
Eqs. 14
Onde: Npi é o número de espiras o enrolamento de campo paralelo e, também, no caso
independente; Ns é o número de espiras do enrolamento de campo série; Icpi é a corrente
no enrolamento de campo paralelo ou independente e Ics é a corrente no enrolamento de
campo série.
23
Num exemplo numérico, com base nos valores Ns=10 espiras, Ics=50,0A, Npi=1000
espiras e Icpi=1,0A, ter-se-iam os valores Fpi=1000A-espira, Fs=500A-espira e
Fcomp=1500A-espira ou 500A-espira, para as f.m.m, no caso aditivo.
Fig. 19 – Esboço do campo paralelo ou independente e série.
24
3.7. COMPOSIÇÃO DOS CAMPOS MAGNÉTICOS: PRINCIPAL E DA
ARMADURA; REAÇÃO DA ARMADURA.
A Máquina CC, quando em carga, tem seu fluxo principal afetado pelo fluxo da
armadura, resultando um campo de fluxo deformado e deslocado da Linha Neutra
Geométrica. As Figs. 20(a), (b) e (c) mostram tal efeito no Gerador CC e as Figs. 21(a),
(b), (c) e (d) o mostram no Motor CC. Tal efeito é a reação da armadura.
O Gerador CC excitado pelo fluxo principal p e sendo acionado externamente
com velocidade angular n, no sentido horário, apresenta a configuração de corrente de
armadura da Fig. 20(a), a qual produz o fluxo de armadura a , resultado da composição
das contribuições de todas as bobinas da armadura, na direção da Linha Neutra
Geométrica (LNG), no sentido da esquerda para a direita. O fluxo resultante R no
entreferro de ar é igual à composição de a e p .
Na Fig. 20(b) é mostrada de outra forma esta composição: fica evidente a
mudança de posição da bobina que concatenará fluxo máximo e, portanto, f.e.m.
induzida nula, ou seja, a Linha Neutra Magnética (LNM) se afasta da LNG, passando
para uma posição angular α no sentido da velocidade angular do Gerador CC, como é
representado nas Figs. 20(b) e (c).
25
Fig. 20 – O Gerador CC: (a) Composição do fluxo da armadura a ; (b) Composição dos fluxos a , p
e R deslocamento da LNM de um ângulo α em relação à LNG, no mesmo sentido da rotação e (c) A
deformação das linhas de força do campo magnético e mudança da distribuição da corrente de armadura.
O Motor CC, também excitado pelo fluxo principal a é submetido à tensão
terminal e entra em movimento, girando com velocidade angular n no sentido anti-
horário, apresentando a configuração de corrente de armadura da Fig. 21(a), produzindo
o fluxo da armadura a no sentido da esquerda para a direita sobre a LNG; mostra
também a composição de a e p resultando em R . A Fig. 21(b) mostra as
componentes de a e p no entreferro de ar.
A Fig. 21(c) mostra o deslocamento da LNM de um ângulo α em sentido
contrário ao da velocidade angular n do Motor CC.
26
Fig. 21 – (a) Representação dos três fluxos: principal p , de armadura a (composto a partir das
bobinas excitadas com a corrente de armadura) e resultante R no entreferro de ar.
(b) Representação das linhas de fluxo: principal p , de armadura a e resultante no entreferro R e da
Linha Neutra Magnética (LNM) deslocada da LNG de um ângulo α em sentido contrário ao da velocidade
angular n.
27
(c) representação das linhas de fluxo deformadas no Motor CC
(d) representação da reação da armadura no eixo direto D e no eixo transversal a do Motor CC.
28
A Fig. 21(d) mostra a reação da armadura no Eixo Direto causada pela nova
distribuição da corrente de armadura que, embora seja um defeito do Motor CC, é muito
utilizada nos antigos aparelhos eletrodomésticos para aumentar sua velocidade angular
pelo empobrecimento do campo principal, atuando-se na posição das escovas no
comutador. Nesta Figura há dois pares de regiões angulares opostas pelos vértices; um
desses pares fica à direita e à esquerda da armadura, limitadas por ângulos “2α” e,
considerando as correntes dentro delas, estas produzem um fluxo magnético D na
direção vertical (Eixo Direto) no sentido de cima para baixo, contrapondo-se ao fluxo
principal p , empobrecendo-o. Já as regiões correspondentes aos ângulos “π-2α”
superior e inferior são responsáveis pela produção do fluxo da armadura, no sentido da
esquerda para a direita sobre a LNG.
Tanto no caso do Gerador CC, quanto no caso do Motor CC, os quadrantes do
campo onde há efeito aditivo do fluxo magnético, dependendo do valor da corrente de
armadura, haverá saturação nos pólos, causando um efeito desmagnetizante, com
empobrecimento do campo e suas conseqüências no desempenho da Máquina
CC.
3.8. CORREÇÃO DOS EFEITOS DA REAÇÃO DA ARMADURA:
Tendo em vista que o ente causador da reação da armadura é a corrente de armadura,
esta é utilizada excitando um conjunto de bobinas localizado nas regiões interpolares do
estator da Máquina CC, ligadas em série com o enrolamento de armadura. A Fig. 22
mostra os esboços das curvas dos fluxos magnéticos principal, de armadura e resultante,
todos em função da posição angular no entreferro da Máquina CC, que só não são
idênticos aos da Fig. 22 porque na Fig. 23 são colocados detalhes em vermelho, que é o
de um fluxo auxiliar que corrige a posição da Linha Neutra Magnética, mantendo-a
sempre sobre a LNG. Tal fluxo auxiliar é obtido pelas bobinas dos interpólos, ou pólos
de comutação, como mostra a Fig. 24.
29
Fig. 22 – Esboços dos Fluxos Magnéticos no entreferro de ar da Máquina CC: (a) Máquina CC de dois
pólos planificada com suas bobinas de campo (concentrada) e de armadura (distribuída); (b) fluxo
principal devido ao enrolamento de campo; (c) fluxo magnético devido ao enrolamento de armadura e (d)
fluxo resultante (b + c) mostrando que ele fica defasado da Linha Neutra Geométrico [NASAR &
BOLDEA].
30
Fig. 23 – Foram acrescentados ao estator da Máquina CC os interpólos (em vermelho), que compensam o
deslocamento do fluxo resultante em relação à Linha Neutra Geométrica {alteração da Fig. 22 de
[NASAR & BOLDEA]}.
A Fig. 24 mostra como são instalados os interpólos no estator do Gerador CC.
As bobinas dos interpólos são constituídas de condutor que tenha a capacidade de
conduzir a corrente de armadura da Máquina CC e não representem grande queda de
tensão no circuito da armadura. Sua principal função é manter a LNM coincidindo com
a LNG, independentemente do valor da corrente de armadura, ou seja, a bobina que
estiver passando pela LNG estará concatenando, sempre, o máximo fluxo magnético,
sendo assim a bobina mais conveniente para ser comutada, como é mostrado na Fig. 24.
31
Fig. 24 – Montagem dos interpólos para corrigir os efeitos da reação da armadura no Gerador CC: este
sistema mantém a LNM sempre coincidindo com a LNG. Para o Motor CC o esquema é muito parecido
com este.
32
3.9. CONFIGURAÇÕES DE MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
3.9.1. Gerador de Corrente Contínua com Excitação ou Campo Independente: nesta
configuração, Gerador CC – Independente, há a necessidade de uma fonte Vc de
corrente contínua para fazer a excitação do circuito magnético do gerador, como pode
ser visto na Fig. 25; o enrolamento de excitação ou campo apresenta uma resistência
elétrica rc elevada se comparada com a resistência elétrica do enrolamento da armadura
ra (rc≈ 100 ra). A tensão terminal Vt está aplicada a uma carga cuja resistência é RL,
resultando a corrente de armadura Ia.
Fig. 25 – Esquema do Gerador CC com excitação ou campo independente.
Uma fonte externa de energia mecânica aciona o gerador com um torque, ou
conjugado, TEXT, colocando-o a uma velocidade angular n (rad/s). A interação das
bobinas da armadura girando a esta velocidade angular dentro do campo magnético,
representado pelo fluxo magnético (Weber), induz nelas a força eletromotriz
induzida na armadura Ea (Volt), dada pela Eq. 15.
nKEa Eq. 15
Se a carga, representada por RL, estiver desconectada, ou seja, em circuito aberto, a
corrente Ia será nula e o torque resistente por parte do gerador CC, dado pela Eq. 16,
também será nulo; caso alguma carga estiver conectada ter-se-á um valor deste
torque proporcional à Ia.
ael IKT Eq. 16
33
A equação dinâmica do sistema Acionador-primário/Gerador CC/Carga é dada pela
Eq. 17, que vale também para as próximas configurações de geradores CC.
dt
ndJnDTT elEXT Eq. 17
Onde D (Nms/rad) é o coeficiente de atrito viscoso nos mancais e na ventilação do
Gerador CC e J (kgm2) é o momento de inércia das partes girantes envolvidas.
A Eq. 18, obtida na malha do campo, dá a corrente de campo ou de excitação. Já a
relação entre a Corrente de campo Ic e o Fluxo magnético é dada na Fig. 26, que é
a Curva de Magnetização do material que constitui o circuito magnético da
máquina.
c
cc
r
VI Eq. 18
Fig. 26 – Curva de Magnetização do material do circuito magnético da máquina.
Se o Gerador CC for acionado com velocidade angular constante, n, usualmente em
sua velocidade angular nominal, com a carga desconectada, ou seja, em Vazio, ter-
se-á Vto=tensão terminal em vazio e a f.e.m. Ea será proporcional apenas ao fluxo
magnético, com é dado na Eq. 19.
'KEa Eq. 19
Onde K’=K n
A Fig. 27 mostra a curva de saturação magnética da máquina CC, relacionando Ea
com a corrente de campo Ic, quando esta é nula a f.e.m. residual, EaRESIDUAL, é
proporcional ao fluxo magnético residual, RESIDUAL, da fig. 26.
34
Fig. 27 – Curva de Saturação Magnética da Máquina DC.
Já com uma inspeção na malha da armadura, obter-se-á a Eq. 20, que relaciona em
regime permanente a tensão terminal, a f.e.m. da armadura e a corrente de armadura,
mostrando que a tensão terminal decai linearmente, em relação à f.e.m. da armadura,
como crescimento da corrente de armadura.
aaat IrEV Eq. 20
A corrente de armadura, que é solicitada pela carga é dada pela Eq. 21.
L
ta
R
VI Eq. 21
A Fig. 28 mostra o esboço da curva característica externa Vt versus Ia, ou de saída,
do Gerador CC – Independente. É visível, nessa curva a queda de tensão à medida
que a corrente cresce.
Fig. 28 – Curva característica externa, Vt versus Ia, do Gerador CC – Independente.
35
Assim, tem-se a Eq. 22:
La
aa
Rr
EI
Eq. 22
3.9.2. Motor de Corrente Contínua com Excitação ou Campo Independente: nesta
configuração, Motor CC – Independente, há a necessidade de se utilizarem duas fontes
de corrente contínua, uma para o campo, Vc, e outra conectada aos terminais da
armadura, Vt, como mostra a Fig. 29.
A equação dinâmica do sistema Motor CC/Carga Acionada é mostrada na Eq. 23, que
também vale para as outras configurações de motores CC.
dt
ndJnDTT Lel Eq. 23
Onde, TL é o torque de carga, D é o coeficiente de atrito viscoso do motor e da carga e J
é o momento de inércia das partes girantes do sistema. As relações entre a f.c.e.m (força
contra-eletromotriz) induzida na armadura e o campo são dadas como no caso do
Gerador CC. Assim, resta analisar a malha da armadura, resultando nas Eqs. 24(a) e (b).
)(
)(
bk
IrVn
aIrEV
aat
aaat
Eqs. 24
Fig. 29 – Esquema do Motor CC com excitação independente.
A Eq.24(b) é obtida da equação 24(a) pela substituição da Eq. 15 nesta última.
36
3.9.2.1 Variação da Velocidade Angular do Motor DC - Independente por ações em Vt e
em Ic.
Considerando a Eq. 24(b) há dois caminhos a serem seguidos:
1) Por variação da tensão terminal Vt
Como a queda de tensão raIa é muito menor que Vt, se a corrente de campo for
mantida constante (Ic = cte) o fluxo será constante ( = cte) também e a velocidade
angular n variará proporcionalmente à tensão terminal Vt.
2) Por variação da corrente de campo Ic
Mantendo-se constante a tensão terminal Vt, o numerador da Eq. 24(b) será
aproximadamente constante, já que a variação de raIa é desprezível. Por outro lado,
o denominador da mesma equação, Ké função crescente da corrente de campo Ic,
como mostra a Fig. 26, o que leva a concluir que a velocidade angular n variará em
sentido inverso da corrente de campo: se Ic aumentar então n diminuirá e vice-versa.
Assim, se Ic for nula teremos K muito pequeno (valor residual do fluxo magnético)
e a velocidade angular n crescerá quase ilimitadamente, podendo danificar o motor
CC. Assim: Nunca acione um motor de corrente contínua sem seu campo estar
conectado e alimentado.
Por outro lado, no processo de partida do Motor CC – Independente é necessário
alimentar, inicialmente, o enrolamento de campo com a máxima corrente de campo
que o enrolamento permitir, então obtendo o máximo fluxo possível e alimentar o
enrolamento da armadura com tensão terminal crescente, o que faz a velocidade
crescer proporcionalmente, até que se atinja a tensão terminal nominal, quando
então ter-se-á uma velocidade angular ainda menor que a velocidade angular
nominal. Em seguida, com a tensão terminal em seu valor nominal, diminui-se a
corrente de campo de forma que a velocidade angular cresça até atingir, finalmente,
seu valor nominal.
3.9.3. Gerador de Corrente Contínua com Excitação Paralela
Esta configuração também é chamada de Derivação ou Shunt. O enrolamento de campo
não é alimentado por uma fonte de corrente contínua própria, sua excitação vem em
Derivação da própria tensão terminal gerada pelo Gerador CC – Paralelo. A Fig. 30
37
mostra o esquema desta configuração. A resistência de campo nesta configuração é a
mesma da configuração independente, ou seja, rc≈100 ra.
Este tipo de gerador apresenta algumas restrições quando é ligado, inicialmente em
Vazio (RL→∞). O gerador é posto a girar com velocidade angular n e, como há um fluxo
residual muito pequeno característico do material, é induzida uma f.e.m. EaRES de valor
baixo em sua armadura, a qual estará aplicada apenas à resistência da armadura em serie
com o enrolamento de campo, resultando na corrente de campo como mostra a Eq.
25(a).
Fig. 30 – Gerador CC – Paralelo, onde Rc é a resistência do reostato limitador de corrente.
cca
aRESac
Rrr
EII
Eq. 25(a)
A corrente de campo Ic pode estar causando um fluxo magnético num sentido tal, que
anule o fluxo residual, não permitindo assim a indução da f.e.m. na armadura. Isso
também poderá ocorrer se a máquina girar ao contrário do que deve. A solução é
inverter a polaridade do enrolamento de campo ou inverter o sentido de rotação do
gerador CC. Este processo de obtenção da f.e.m. na armadura é chamado de
escorvamento, ou seja, o Gerador CC – Paralelo escorvará ou não escorvará,
dependendo das conexões iniciais.
Depois de corrigido o problema, na Fig. 31 é visto o ponto onde a corrente de campo é
nula e a f.e.m. induzida na armadura assume o valor residual EaRES. Assim, desprezando
ra em relação a (rc + Rc), a corrente de campo fica como na Eq. 25(b) e a tensão
38
terminal é dada pela reta de entreferro (2) e pela Equação 25(c). Para completar, a Eq.
25(d) é a reta de carga para este gerador e a (e) é a equação da malha da armadura.
cc
aRESc
Rr
EI
0 (b)
ccct IRrV )( (c)
LLt IRV (d)
aaat IrEV (e) Eqs. 25
(a)
(b)
Fig. 31 – (a) Curva de Saturação Magnética “em Vazio”, na velocidade angular n = n(nominal) (curva 1),
onde as retas 2, 3 e 4 representam a resistência Rc para valores crescentes e são denominadas retas do
entreferro; (b) Esboço da Curva de Tensão Terminal versus corrente de carga Il, ambas para o Gerador
CC – Paralelo, este assunto será mais bem tratado no parágrafo 3.10.2.
39
A corrente de campo inicial Ico definirá na curva 1 da Fig. 31(a)um novo valor Ea1, o
qual causará um novo valor de tensão terminal na reta 2 e assim sucessivamente como
mostrado na mesma figura, atingindo o ponto de operação com VtMÁX ≈ Ea7.
40
3.9.4. Motor de Corrente Contínua com Excitação Paralela.
A Fig. 32 mostra o esquema do Motor CC – Paralelo. Ele não apresenta
restrições funcionais como o Gerador CC – Paralelo, porém exige que em sua partida o
enrolamento de campo esteja devidamente ligado, para não haver problema de ausência
de campo, o que certamente seria destrutivo para o Motor CC – Paralelo.
As Eqs. 26(a) e (b) foram obtidas a partir, respectivamente, da malha da armadura e da
malha do campo do esquema do Motor CC – Paralelo.
)()(
)(
bIRrV
aIrEV
ccct
aaat
Eqs. 26
Se a estas duas equações forem juntadas as Eqs. 15 e 16 é possível fazer-se uma análise,
sempre em regime permanente, do Motor CC – Paralelo. Desse modo, a Eq. 27 mostra a
relação entre a corrente de armadura Ia e sua velocidade angular n.
K
IrVn aat Eq. 27
Figura 32 – Esquema do Motor DC – Paralelo
Uma rápida análise qualitativa no circuito da Fig. 32 dá indícios para se considerar o
Motor CC – Paralelo como um motor de velocidade aproximadamente constante, se
submetido a pequenas variações da tensão terminal: na Eq. 27 caso seja aumentada a
tensão terminal o resultado é um aumento da velocidade angular, porém esse mesmo
aumento da tensão terminal causará um aumento na corrente de campo e, em
conseqüência, uma diminuição da velocidade angular, ou seja, uma mesma causa leva a
41
dois efeitos opostos sobre a velocidade angular. Por outro lado, é possível uma análise
que mostre isso quantitativamente: na Fig. 33 é possível considerar-se uma região quase
linear na curva de magnetização ali apresentada.
Fig. 33 – Curva de Magnetização parcialmente linearizada.
Pode-se considerar, então, a Eq. 28, para representar o fluxo em função da corrente de
campo em boa parte da curva considerada.
cIK Eq.28
A Eq. 26(a), considerando-se raIa<<Vt, pode ficar da forma: Vt≈Ea=K n. A corrente e
campo pode ser explicitada nas Eqs. 26(b) e 28. Então, chega-se à expressão da Eq. 29.
cc
t
Rr
VK
Eq. 29
Levando a expressão do fluxo da Eq. 29 àquela originada na Eq. 26(a) da tensão
terminal resulta a Eq. 30, para expressar a velocidade angular constante para pequenas
variações de Vt.
KK
Rrn cc Eq. 30
As Eqs. 24(b) e 27 são iguais, porém representam a velocidade angular dos Motores CC
– Independente e Paralelo, respectivamente. Com elas é possível obter as características
n versus Ia e n versus Tel nos dois casos. Se a tensão terminal for mantida constante e
suas cargas variarem é evidente que as correntes de armaduras e, em conseqüência, os
torques variarão. As Figs. 24(a) e (b) mostram estas características. No caso do Motor
CC – Paralelo, se Vt for mantida constante o campo também será constante e, no caso do
42
Motor CC – Independente deve-se manter a corrente de campo constante para esta
mesma análise.
Fig. 34 – (a) Curva n versus Ia e n versus Tel.
A Fig. 35 mostra a relação entre o torque eletromagnético e a corrente de armadura
mantido constante o campo. Assim, vale a Eq. 31.
ael IKT ' Eq. 31
Fig. 35 – Curva de Tel versus Ia, com campo constante.
3.9.5. Gerador de Corrente Contínua com Excitação Série.
As Máquinas CC – Série nas suas duas versões, gerador e motor, têm seu
enrolamento de campo ligado em série com a armadura; assim, a resistência elétrica
deste seu enrolamento não pode superar em muito o valor da resistência do enrolamento
da armadura, já que ambas serão percorridas pela corrente da armadura da máquina, não
podendo causar queda de tensão elevada, o que alteraria seu desempenho, devido às
43
perdas ôhmicas. Ambas, também, têm uma característica importante em comum: não
devem partir sem carga, pois assim não teriam corrente de campo e, portanto, não
poderiam operar.
O Gerador CC – Série quando acionado por uma fonte primária de energia mecânica a
uma determinada velocidade angular, deve ter sua carga conectada imediatamente, para,
assim ter seus enrolamentos de armadura e de campo percorridas pela corrente de
armadura. A Fig. 36 mostra o esquema de seu circuito para regime permanente.
Fig. 36 – Esquema do Gerador CC – Série.
As Equações 32(a) e (b) dão as relações de tensões e correntes do Gerador CC – Série.
acsaat IrrEV (a)
aLt IRV (b) Eqs.32
Onde rcs possui a mesma ordem de grandeza de ra. A Fig. 37 mostra os esboços das
curvas dadas pelas Eqs. 32(a) e (b). Como a f.e.m. induzida na armadura depende do
fluxo magnético e, nesta configuração, este depende da corrente de armadura, a tensão
dependerá muito mais da corrente de armadura e têm-se o gráfico diferente de outras
configurações de Geradores CC.
44
Figura 37 – Curva tensão terminal versus corrente de armadura (carga)
3.9.6. Motor de Corrente Contínua com Excitação Série.
O esquema do Motor CC – Série é mostrado na Fig. 38.
Fig. 38 – Motor CC – Série.
A Eq. 33 dá a relação de tensões e correntes no Motor CC – Série.
acsaat IrrEV Eq. 33
Da teoria dos fundamentos de conversão eletromecânica de energia tem-se a Eq. 34,
para dispositivo de conversão com rotor de pólos lisos, como é o caso das máquinas de
corrente contínua.
acel IIMT . Eq. 34
Desse modo, comparando as Eqs. 16 e 34 obtêm-se a Eq. 35.
cIMK . Eq. 35
45
Com este resultado, substituindo a expressão da f.e.m. da Eq. 15 na Eq. 33 e
explicitando-se a velocidade angular, levando-se em consideração que a queda de tensão
acsa Irr é muito menor que Vt, chega-se à Eq. 36, a qual mostra que a velocidade
angular n e a corrente de armadura Ia são inversamente proporcionais.
a
t
IM
Vn
. Eq. 36
A curva que relaciona estas duas grandezas é uma hipérbole eqüilátera, cuja família é
parametrizada por Vt. A Fig. 39 mostra esta curva; mostra também que o Motor CC-
Série não pode partir sem carga, que é representada pela corrente de armadura, pois se
assim fosse a velocidade tenderia para infinito e o danificaria rapidamente.
Fig. 39 – Curva de velocidade angular versus corrente de armadura (carga).
A Eq. 16 mostra a relação entre o torque eletromagnético e a corrente de armadura,
assim, se for considerada a Eq. 34 com Ic=Ia, obtém-se a Eq. 37 que é representada na
Fig. 40 e da qual se tira a relação entre a corrente de armadura e o torque
eletromagnético, Eq. 38, a qual levada à Eq. 36 resulta na Equação 39, o que permite
obter-se a curva de velocidade angular versus torque eletromagnético, mostrada na Fig.
41, onde fica claro que este motor não pode partir em vazio pois a velocidade fica
ilimitada e pelas suas características deve ser imposta uma velocidade máxima.
2. ael IMT Eq. 37
M
TI el
a Eq. 38
46
el
t
TM
Vn
. Eq. 39
Fig. 40 – Curva de torque eletromagnético versus corrente de armadura (carga).
Fig. 41 – Curva de velocidade angular versus torque eletromagnético para o Motor CC – Série. .
O Motor CC – Série é também denominado Motor Universal, já que nesta
configuração o Motor de Corrente Contínua pode ser alimentado com Corrente
Alternada. Isto se justifica pelo fato dos enrolamentos de armadura e de campo serem
percorridos pela mesma corrente, estando na mesma fase em relação à tensão terminal,
diferentemente das outras duas configurações. Também, o enrolamento de campo série
47
deve ser instalado sobre um núcleo ferromagnético finamente laminado. O Motor
Universal é utilizado amplamente em eletrodomésticos, nos quais a variação de
velocidade angular é muito importante e é obtida, no sentido crescente, empobrecendo o
campo, ou no sentido decrescente, enriquecendo o campo. Isto pode ser feito utilizando-
se o conceito de reação da armadura que é tratado nos parágrafos 3.7 e 3.8.
Uma outra forma de analisar o Motor CC – Série é por meio da curva de
magnetização, da Fig. 26, na qual se podem definir duas regiões de operação, de acordo
com a condição de operação deste motor: durante a partida, que no Motor CC – Série
precisa ser em carga, o que acarreta elevada corrente de armadura, como a corrente de
campo é a própria corrente de armadura, então o fluxo magnético é praticamente
constante, pois o material ferromagnético estará saturado; após acelerar, o Motor CC –
Série terá sua corrente de armadura drasticamente reduzida, quando então a
magnetização será praticamente linear. A Fig. 26’ mostra estas duas situações.
Fig. 26’ – Curva de Magnetização do núcleo ferromagnético do Motor CC – Série
Desse modo as Eqs. 34 a 39 podem ser alteradas com os conceitos da Fig. 26’, sem
perderem seus significados.
48
3.10. EFEITO DA REAÇÃO DA ARMADURA SOBRE A TENSÃO GERADA POR
GERADORES DE CORRENTE CONTÍNUA
3.10.1. Gerador de Corrente Contínua com Excitação ou Campo Independente em Carga
e com o Efeito da Reação da Armadura.
A Fig. 25 mostra o circuito representativo do Gerador CC – Independente. As
Eqs. 20 e 21, respectivamente, da malha da armadura e da carga dão as relações que
representam este gerador em regime permanente. A Fig. 42 mostra a característica
externa do Gerador CC – Independente e o efeito da reação da armadura só é
verificado experimentalmente e é igual à queda de tensão RAVOA . A Eq. 40 inclui o
efeito da reação da armadura na expressão da tensão terminal.
RAaaat VIrEV Eq. 40
Fig. 42 - Característica Externa do Gerador CC – Independente com O = ponto de operação;
aa IrAB queda de tensão na armadura e RAVOA queda devido à reação da armadura.
O efeito da reação da armadura pode ser compensado por atuação na corrente de
campo do Gerador CC – Independente, ou seja, tal corrente é incrementada a ponto de
se obter a tensão efetivamente esperada. Embora não haja uma expressão teórica para
avaliar os efeitos da reação da armadura, há uma expressão empírica que diz que ΔVRA é
proporcional à corrente de armadura Ia. Uma rápida análise na Fig. 42 mostra que para
pequenos valores de Ia o efeito da reação da armadura é muito pequeno e desprezível.
49
3.10.2. Gerador de Corrente Contínua com Excitação Paralela ou Shunt em Carga: Sem
e Com o Efeito da Reação da Armadura.
Considerando que o Gerador CC – Paralelo escorvou, é necessário um reostato
de campo como esboçado na Fig. 30, cuja resistência elétrica varie desde 0 até acima de
um valor tal, que somado à resistência do enrolamento de campo leva à resistência
crítica resultando uma reta de entreferro tangente à curva de saturação em vazio do
Gerador CC – Paralelo, como se vê na Fig. 43, a qual foi obtida para uma máquina CC
cujos DADOS DE PLACA são: P = 12 kW, Vt = 100V, n = 1000rpm, rc = 80, ra =
0,1; Icnom = 1,0A. As retas 1, 2 e 3 da Fig. 43 têm suas inclinações dadas pela Eq.
25(c), com os valores de Rc=0,0, 20,0 e 70 (resistência crítica=70+80=150),
respectivamente, sendo que a primeira dá VtMÁX≈118V com Ic=1,4A, a segunda dá
VtNOM=100V com Ic=1,0 e a terceira dá uma região indefinida da tensão, porém não
deve ser considerada numa operação normal do Gerador CC – Paralelo.
Fig. 43 – Curva característica em Vazio do Gerador CC – Paralelo com três situações de reta de
entreferro, para o exemplo considerado. As retas 1 e 2 resultam em pontos de operação razoáveis para o
Gerador CC – Paralelo.
50
3.10.2.1. Gerador CC – Paralelo em Carga Desprezando a Reação da Armadura
Conecta-se o Gerador CC – Paralelo a uma carga representada pela Eq. 25(d) e
se despreza, entretanto, o efeito da reação da armadura. Numa análise qualitativa, com
a possível variação de RL da Fig. 30, de forma a aumentar a solicitação de corrente IL do
gerador em questão, a tensão terminal Vt sofrerá redução, considerando a Eq. 25(e). Em
conseqüência, a Eq. 25(c) mostra que a corrente de campo Ic variará proporcionalmente
a Vt, ou seja, diminuirá com esta; tendo em vista que o fluxo magnético é função
crescente de Ic será então diminuído, o que causará diminuição de Ea e fecha o círculo
diminuindo Vt e assim por diante. Por outro lado, um processo geométrico, mostrado na
Fig. 44, permite a partir da curva de saturação em vazio e das Eqs. 25(c), (d) e (e) ser
obtida a curva característica externa Vt versus IL.
Fig. 44 – Característica externa do Gerador CC – Paralelo, Sem o Efeito do Reação da Armadura,
com Eao=EAresidual
A Fig. 44 é construída segundo os tópicos a seguir:
A reta ____
OP corresponde à máxima corrente de campo;
amáxcmáxaamáxp EIrEV (tensão em vazio) tirando paralelas à reta definida
por ____
OP , obtém-se pontos de mesma queda aa Ir em relação a Ea;
____
EF corresponde a aMÁXaLMÁXa IrIr ;
Para RL = 0 temos a corrente de curto circuito a
aRESIDUALcc
r
EI .
51
Comparando o desempenho do Gerador CC – Paralelo com o do Gerador CC -
Independente tem-se:
No de excitação independente a corrente de campo não varia com a tensão
nominal;
No de excitação Shunt ocorre a variação da corrente de campo com a tensão
nominal, causando então uma redução adicional nesta tensão, o que não
ocorre no de excitação independente, como é esboçado na Fig. 45.
Fig. 45 – Comparação dos desempenhos dos Geradores CC – Independente e Paralelo
{Esta dedução foi aproveitada ipsis literis da 1a Prova de SEL0329 – Conversão
Eletromecânica de Energia, realizada no dia 09/10/2008 pelo aluno Guilherme Afonso
Mazanti, Pentium, do Curso de Engenharia Elétrica – Ênfase em Eletrônica,
EESC/USP, Turma de 2006.
O Gerador CC – Paralelo está sendo acionado por uma fonte de energia
mecânica externa na velocidade angular n constante.
Reportando-se à Figura 26, fica claro que o fluxo magnético é uma função
crescente da corrente de campo Ic, como é mostrado na eq. x1.
)I(f c Eq. x1
A equação da malha da armadura é a eq. 25(e), a f.e.m. induzida na armadura é dada
pela eq. 15, já a corrente de campo é dada pela eq. x2.
52
cc
tc
Rr
VI
Eq. x2
Com as substituições convenientes na eq. 25(e), obtém-se a eq. x3.
aacctt Ir)]Rr/(V[fnKV Eq. x3
Considerando-se a eq. x4, a eq. x3 evolui para a eq. x5.
)]Rr/(V[f)V(g cctt Eq. x4
aatt Ir)V(gnKV Eq. x5
Derivando-se a eq. x5 em relação à corrente de armadura Ia, tem-se a eq. x6.
a
a
tt
a
t rdI
dV)V(gnK
dI
dV Eq. x6
Onde t
tdV
dg)V(g
Explicitando-se a derivada da tensão terminal em relação a Ia, chega-se à eq. x7,
)V(gnK
r
dI
dV
t
a
a
t
1 Eq. x7
a qual permitirá a análise da curva da fig. 45.
Da eq. x5 considera-se que há duas fontes de redução na tensão terminal: a primeira, um
aumento da corrente Ia causa uma queda de tensão raIa na tensão terminal, o que
também causa uma diminuição na parcela Kng(Vt), segunda causa de queda da tensão
terminal Vt, o que leva essa queda a ser maior que no Gerador CC – Independente, curva
da fig. 28, ou seja, a declividade da curva do Gerador CC – Paralelo, curva da fig. 45,
em carga é maior do que naquele, no trecho inicial de ambas.
Justificativa analítica:
Considerando o denominador do segundo membro da eq. x7, no início da curva
analisada ele estará na faixa mostrada na eq. x8.
0<1 – Kng’(Vt )<1 Eq. x8
O que leva o módulo da derivada de Vt em relação à Ia ser maior que ra, como mostra a
eq. x9.
a
t
a
a
t r)V('Kng
r
dI
dV
1 Eq. x9
Justificando o que foi afirmado acima, relativo às declividades das curvas.
53
Em seguida, atingido um valor de Vt tal, que seja considerado o limite inferior da
inequação mostrada na eq. x8, ou seja, como na eq. x10, ter-se-á a situação mostrada na
eq. x11, ou seja, uma situação de máxima corrente de armadura.
1 – Kng’(Vt )=0 Eq. x10
a
t
dI
dV Eq. x11
a qual justifica o ponto P da fig. 45.
A partir do ponto P, o sinal da derivada da tensão terminal em relação à corrente de
armadura passa a ser positivo, já que no trecho inicial era negativo (eq. x7) e a curva
tende a um valor fixo quando a tensão terminal tende a zero, ou seja, o Gerador CC –
Paralelo entra em curto-circuito, resultando na expressão mostrada na eq. x12 para a
corrente de curto-circuito na armadura.
a
aRESIDUALaCC
r
EI Eq. x12
A única limitação de corrente da armadura é a resistência da armadura, já que o
enrolamento de campo e a carga ficam curto-circuitados e, para corrente de campo nula
decorrente disso, a tensão do Gerador CC – Paralelo é a f.e.m. induzida residual da fig.
27.}
3.10.2.2. Gerador CC – Paralelo em Carga Considerando os Efeitos da Reação da
Armadura
O efeito desmagnetizante nos pólos, devido à reação da armadura, causa uma
queda adicional na tensão terminal Vt, como mostra a Eq. 40.
A reação da armadura usualmente pode, também, ser quantizada como
acréscimo na corrente de campo cRAI , que representa o quanto a mais de corrente de
campo deve ser fornecida ao motor, para que seja compensado o efeito desmagnetizante
da reação da armadura.
A Fig. 46, análoga à fig. 44, agora considerando a reação da armadura, mostra as
curvas de tensão terminal versus corrente de carga nos dois casos. Para se obter estas
curvas considera-se o procedimento a seguir:
aa IrPQ ____
e )(
____
RAcIQR
'
tV com reação da armadura
54
Vt sem reação da armadura
)(12 RAccc III
Repete-se o processo em vários pontos, obtendo-se uma curva Vt x It.
Fig. 46 – Construção das curvas sem e com reação da armadura.
Exemplo numérico
P = 12 kW; VtN = 100 V; rc = 80 ; = 1000 rpm; ra = 0,1 .
A Curva de Saturação em Vazio, da Fig. 47, é utilizada neste procedimento.
Fig. 47 – Curva de Saturação em Vazio e reta do entreferro, com o procedimento para a obtenção
da curva característica externa, considerando os efeitos da reação da armadura.
55
Traçando uma reta de campo ____
OP tal que P (1 A, 100 V), obter a tensão a plena
carga.
a) Desprezando os efeitos da reação da armadura
120100
12000_ PCaI A 12_ PCaa Ir V 80_ PCtV V Ic 0,8 A
b) Repetir o item (a) levando em conta o efeito da reação da armadura
AI PCcRA 06,0_ .
Tem-se:
VtPC _CRA ≈ 70V e AI c 7,0 do gráfico acima
c) Calcular IaMÁX e Vt correspondente, sabendo-se que acRA IKI (ou seja, a
reação da armadura é aproximadamente proporcional à corrente de armadura).
Do gráfico, no triângulo da reta tangente: ra IaMÁX ≈ 15V portanto: IaMÁX ≈ 150A
aPC
aMÁX
PCcRA
MÁXcRA
I
I
I
I
_
_ → AxI
MÁXcRA075,006,0
120
150_
Vt (Iamáx) ≈ 57 V no gráfico, também.
d) Determinar a corrente de armadura de curto-circuito Icc:
Vt=0, portanto Ic=0 → Ea=Ea residual≈12V e AI cc 1201,0
12
3.11. PARTIDA DO MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
Normalmente, todos os motores de corrente contínua apresentam um transitório
de partida que obedece à Eq. 40, obtida a partir das Eqs. 23 e 34.
cacel TnDdt
dnJiiMT . Eq. 40
Durante um curto intervalo de tempo, antes de atingir o regime permanente, a corrente
de armadura apresenta valores elevados, podendo atingir de 5 a 10 vezes a corrente
nominal (IaNOM), como mostra o esboço da Fig. 48. Isto pode causar problemas ao
Motor CC:
56
Fig. 48 – Transitório da Corrente de Partida de um Motor CC
Elevada queda de tensão na instalação;
Aquecimento no motor que pode ser acumulativo caso haja repetidas partidas,
sem respeito a um intervalo de tempo entre elas (normas ABNT);
A corrente de armadura na partida, então, é elevada e assim causará uma torque
elevado resultando num “Tranco” no motor ( acel iiMT ); isto pode ser
reduzido se a corrente de campo for a mais elevada que o Motor CC permita,
pois evitará que a velocidade angular cresça muito rapidamente e em seguida
caia para um valor razoável.
Ainda que o intervalo de tempo de duração do transitório de partida seja rápido,
ele é suficiente para danificar os diodos da fonte de corrente contínua que
alimenta o Motor CC.
Para que a partida do Motor CC não seja um grande problema, há processos de partida
em que se utilizam reostatos de partida, como é visto na bibliografia antiga
[CLAYTON] e que, com o avanço da Eletrônica, podem ser substituídos por
dispositivos modernos de acionamento desses Motores CC.
3.11.1. Motores de Corrente Contínua com Campo Independente ou Campo Paralelo
Um reostato de partida com N seções é colocado em série com a armadura do
Motor CC – Independente ou Paralelo
57
Fig. 49 – Reostato de Partida com N partes e ligado em série com a armadura.
Em ra podem estar incluídas, além da resistência de armadura, também a
resistência dos enrolamentos dos interpólos e, eventualmente, a do enrolamento
compensador, ver [FITZGERALD];
É imposto que:
aN
aNN
aNNN
aN
aN
rR
rrR
rrrR
rrrrR
rrrrR
1
11
322
211
.................................
...
...
Fig. 50 – Estratégia de Partida do Motor CC – Independente ou Paralelo; a corrente de partida é nula no
instante t=t0
58
Para t = t0+ →
1R
VII t
Ma quando o motor começa a girar com velocidade
angular n(t), então
1
1)()(R
tEVIItnIMtE t
mac
;
Em t = t1 a resistência é reduzida de R1 para R2 de modo que kI
I
R
R
m
M 2
1 e
2
1)(
R
tEVII t
Ma
e a máquina acelera, portanto E(t) cresce e
2
2)(
R
tEVII t
ma
;
Em t = t2 a resistência é reduzida de R2 para R3 de modo que kI
I
R
R
m
M 3
2 e
3
2)(
R
tEVII t
Ma
;
E assim por diante, de modo que:
1
i
i
m
M
R
R
I
Ik
ou m
M
N
N
N
N
I
I
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Rk
1
1
4
3
3
2
2
1
e vale: aNN
NN
r
R
R
R
R
R
R
R
R
Rk 1
1
1
13
2
2
1
N
ar
Rk 1
ar
RkN 1
1010 loglog k
rR
Na
log
log 1
N
Ma
tN
Ma
MN
a Ir
V
Ir
IR
r
Rk
11
Sendo Mm IIk
1
N
Ma
tN
am
t
Ir
V
rIk
Vk
EXEMPLO
IM = 125 A; Vt = 500 V; ra = 0,25 ; N = 12 (reostato com 12 elementos); para
Ia = IM = 125 A, então a resistência total R1 (=Reostato + ra) deve ser:
59
41
M
t
I
VR
então 161 ar
R e 26,11612 k
R1 = 4 Seções do reostato
R2 = R1/k = 3,175 r1 = R1 – R2 = 0,825
R3 = R2/k = 2,520 r2 = R2 – R3 = 0,655
R4 = R3/k = 2,000 r3 = R3 – R4 = 0,520
R5 = R4/k = 1,587 r4 = R4 – R5 = 0,413
R6 = R5/k = 1,26 r5 = R5 – R6 = 0,327
R7 = R6/k = 1,00 r6 = R6 – R7 = 0,260
R8 = R7/k = 0,794 r7 = R7 – R8 = 0,206
R9 = R8/k = 0,630 r8 = R8 – R9 = 0,164
R10 = R9/k = 0,500 r9 = R9 – R10 = 0,130
R11 = R10/k = 0,397 r10 = R10 – R11 = 0,103
R12 = R11/k = 0,315 r11 = R11 – R12 = 0,082
R13 = R12/k = 0,250 r12 = R12 – R13 = 0,065
PG’s de razão k = 1,26 PG’s de razão k = 1,26
Da teoria das razões e proporções temos:
dc
cb
cb
ba
zcb
yba
z
y
y
x
d
c
c
b
b
a
Aplicada a este caso fica:
r1 r2
43
32
32
21
1
1
3
2
2
1
RR
RR
RR
RR
R
R
R
R
R
R
R
Rk
n
n
n
n
r2 r3
Cálculo das ri’s sem calcular todas as Ri’s
60
825,0206,041
111 1
1
1
21211 k
k
R
kR
R
RRRRr
655,01
11 1
2
11
2
32322
k
rk
k
R
k
k
k
R
R
RRRRr
Assim por diante, resultando no caso genérico: k
rk
k
Rr i
ii11 1
e, assim, todos os elementos ri’s do reostato de partida são calculados diretamente.
T
K
r
K
Vn t
2
ou
at I
K
r
K
Vn
Fig. 51 - Conjugado (Corrente) x Velocidade de Rotação na Partida
arrrrrrrrR 76543211
arrrrrrrR 7654322
arrR 77
arR 8
O conjugado mínimo é imposto pela carga;
O conjugado máximo é imposto pela máxima corrente que o motor suporta.
3.11.2. Motores de Corrente Contínua com Campo Série
Deve partir em carga, já que vazio o motor dispara (se T→0 n→∞);
61
Fig.52 – Curva de torque versus velocidade angular do Motor CC- Série.
O fluxo magnético é variável com a corrente de armadura I.
Fig. 53 – Fluxo magnético versus corrente de armadura
As Figs. 54(a) e (b) representam, respectivamente, o Motor CC – Série sem reostato de
partida e com reostato de partida.
62
(a)
(b)
Figs. 54 – (a) Motor CC – Série sem reostato de partida e (b) com reostato de partida com N seções.
as rrr 2
1
a
2
1
I
Ik
1
1I
VR t
rR
rrR
rrrR
rrrrR
rrrrR
n
nn
nii
n
n
1
322
211
...
...
Quando a resistência total é Ri 2IRVE it , chaveando o reostato para
ii RR 1 a corrente passa instantaneamente para I1 e o fluxo passa de 2 para 1; a
f.c.e.m. fica:
EaEE 2
1'
(já que nKE e n é considerada constante durante o
chaveamento)
ii
ttittti R
k
aaRR
I
Ia
I
Va
I
V
I
IRVaV
I
EVR
11
2
2
111
2
1
'
1
então 11 1 ii Rk
aaRR
Mas iiiii RRk
aRRr 11
63
ri – 1
1 ii rk
ar e
1
2
2
1
I
I
k
ab
Sabemos que rrbbbrrrrrR n
n
1
12
3211 1 é uma
PG de razão b e termo inicial 1 igual a:
rb
br
n
1
11
soma dos termos da PG
entretanto, kRkbk
kaRR
k
aaRRRRr
11111211 1
11
Para prosseguir é necessário ter-se a curva de magnetização do motor, na fig. 55.
Fig. 55 – Curva de magnetização do Motor CC - Série
Considerando que:
rb
brR
n
1
111 e 11 1 Rkbr
então temos:
rb
bkRbR
n
1
1111
ou
11
1 11
11
R
r
b
bkb
R
rR n
64
Em geral os dados disponíveis do motor são Vt, Imáx = I1, r, n e a curva x I
obtém-se então 1
1I
VR t .
Fica faltando graduar as resistências parciais ri do reostato, o que envolve a
obtenção da corrente Imín = I2, pois a, k e b dependem dela.
Para se chegar ao valor correto de I2 é necessário avaliar a expressão:
b
bkbX
n
1
11 para diversos valores de I2 =
1
1R
r
Exemplo
Vt = 300 V; I1 = 300 A; n = 4; 0,11
1I
VR t e 8,01
1
R
r
Deve-se escolher I2 de tal forma que X = 0,88; constrói-se a tabela a seguir, a partir dos
valores tirados do gráfico x I, dado.
I2 (A) 300 = I1 = Imáx 250 225 220 200
2 (10-8
Wb) 7,20 = 1 = máx 6,40 5,95 5,85 5,50
a=1/2 1,125 1,210 1,230 1,309
k=I1/I2 1,200 1,333 1,363 1,500
b=a/k 0,938 0,907 0,902 0,872
1-b 0,062 0,093 0,098 0,128
b4
0,774 0,677 0,662 0,578
1- b4 0,226 0,323 0,338 0,422
b (k-1) 0,188 0,302 0,327 0,436
X 0,684 1,049 1,128 1,437
0,88
Para a obtenção de X efetua-se a interpolação linear no trecho de 225 a 250A, que
corresponde à faixa de 0,684 a 1,049 da tabela acima, na Fig. 56.
65
Fig. 56 – Obtenção do valor de X via interpolação linear na tabela acima.
Para I2 = 238,4 A temos:
da curva x I 2 6,1 x 10-8
Wb;
a = 1,180; k = 1,258; b = 0,938
242,01258,11938,0111 kRbr
227,012 rbr
213,023 rbr
199,034 rbr
4
1
88,0i
ir
4
1
1 00,1i
i rrR
Para um motor excitação série que apresenta a mesma relação k, entre as
correntes máxima e mínima, que um motor excitação shunt, há necessidade de um
reostato com menor número de seções que neste último.
A auto-excitação, no caso do motor série, ajuda consideravelmente na prevenção
de variações rápidas na corrente (evita mudanças bruscas).
Shunt: 81,107
1 r
r
Série: 22,14
1 r
r
66
Current Rush [CLAYTON]
Se a resistência do reostato não for graduada (em P.G.), mas dividida em partes
iguais, os picos de corrente ao se chavearem as últimas divisões são elevados, sendo
este efeito denominado de current rush e é mostrado na Fig. 57.
Fig. 57 – Current Rush.
Na prática, isto significa que quando a última parte do reostato for curto-circuitada o
pulso de corrente será tão grande que circulará pelo comutador uma “língua de fogo”
que poderá destruí-lo.
67
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[BARBI] – Barbi, I.; “Teoria Fundamental do Motor de Indução”; 1985, Editora da
Universidade Federal de Santa Catarina/ Eletrobrás, Florianópolis, SC.
[BOFFI] – Boffi, L. V.; “Conversão Eletromecânica de Energia”; (1980), Ed. Edgard
Blücher/ São Paulo.
[CATHEY] – CATHEY, J.J. – “ELECTRICMACHINES” - (2000) Ed. McGraw-Hill,
New York/USA.
[CHAPMAN] – Chapman , S. J.; “Electric Machinery Fundamentals”; 2001; Ed.
MacGraw-Hill/ New York (USA).
[CLAYTON]
[DEL TORO] – DEL TORO, V. Del - Fundamentos de Máquinas Elétricas - (1999)
Livros Técnicos e Científicos Ed. RJ/Brasil.
[FALCONE] – Falcone , A. G.; “Eletromecânica”; Ed. Edgard Blücher/ São Paulo.
[FITZGERALD] – FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr., C & UMANS, S.; (2006);
“MÁQUINAS ELÉTRICAS”; Ed. BOOKMAN São Paulo.
[KOSOW] – Kosow, I. L.; “Máquinas Elétricas e Transformadores”; 13a Edição, 1998;
Editora Globo, São Paulo.
[LANGSDORF] – Langsdorf, A. S.; “Teoria de las Maquinas Electricas de Corrente
Directa”; 2a Edição, 1967; Editora McGraw-Hill, Mexico (Mexico).
SEN, P.C.; “Principles of Electric Machines and Power Electronics”. 2nd
ed. New York:
John Wiley & Sons, (1997) 615 p.
68
[LARAMORE] – McPHERSON, G. & LARAMORE, R. D.; “AN INTRODCTION TO
ELECTRICAL MACHINES AND TRANSFORMERS”; (1990); 2nd
Edition, Ed. John
Wiley & Sons, New York/USA.
LOBOSCO
NASAR
