1

Normalna raspodela

2

• Normalna gustina raspodele verovatnoće:

2

)(21

2

1)(

x

exf

Normalna raspodela

srednja vrednost

standardno odstupanje

3

Osobine normalne raspodele

• Standardno odstupanje je rastojanje od srednje vrednosti do tačke gde kriva menja oblik od konkavne na dole u konkavnu na gore

4

Osobine normalne raspodele

• zvonastog” oblika

• simetrična

• Unimodalna – samo jedan mod

• asimptotska

• srednja vrednost, medijana i modus su jednaki

• Raspodelu definišu srednja vrednost, , i standardno odstupanje, .

• Srednja vrednost kontroliše centar, a standardno odstupanje širinu

5

Mnogo normalnih raspodela

Promenom parametara μ i σ, dobijaju se različite normalne raspodele

Postoji beskonačan broj normalnih raspodela

6

Standardizovana normalna raspodela

• standardizovana normalna kriva je simetrična oko nule

• najveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3z

• površina ispod standardne normalne krive je 1

• krajevi krive se asimptotski približavaju x-osi

standardizovana normalna kriva

• z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću 0 i standardnom devijacijom 1

• standardizovana normalna raspodela

= 0

= 1 ≠ 0

≠ 1

7

Standardizovano odstupanje (z-score)

• Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u broju

standardnih odstupanja

• z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti

podeljena sa standardnim odstupanjem

– na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2

standardna odstupanja od srednje vrednosti

• Ako je -3,0 > z-score > 3,0 vrednost se smatra ekstremnom

xz

,s

xxz odnosno

8

Primer

• Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću μ = 5 i standardnim odstupanjem σ = 2, z vrednost za x = 6,2 je

• Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 standardnih odstupanja (0,6 inkremenata od 2 jedinice) iznad srednje vrednosti

6,02

52,6xz

9

Primer

6,02

52,6

xz

2008/2009 10

Nalaženje verovatnoće

Verovatnoća je površina ispod krive!

c d x

f(x)

?P c X d

2008/2009 11

Određivanje verovatnoće levo od z - Primer

Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima

normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i

standardnim odstupanjem 2,5.

Ako je potrebno 9,6 poena da se ispit položi, koji

procenat studenata nije položio ispit?

Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj

studenata nije položio ispit?

1. Izračunati vrednost z

2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima

3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta

2008/2009 12

Određivanje površine za z < 0,64

0,642,5

8,09,6

σ

μxz

z

0,64 0

x

9,6 8

μ = 8

σ = 2,5

μ = 0

σ = 1

P(x < 8,6) P(z < 0,64)

2008/2009 13

Površina za z < 0,64)

0,7389

z

0,64

0,00

P(x < 8,6) ) = P(z < 0,64) = 0,7389

Z ,00 ....

0,0 0,5000 .... 0,5080

0,5398 ....

.... .... .... ....

0,6 0,7257 .... 0,7389

,04

0,1 0,5478

Tabela standardizovane

normalne raspodele

73,89% studenata ima manje od 8,6 poena

185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena

2008/2009 14

Površina i.e. verovatnoća

Koja je verovatnoća da student ima tačno

9,6 poena?

P(x = 9,6) ) = P(z = 0,64) = 0

2008/2009 15

Određivanje površine desno od z

Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom

vrednošću 8,0 i standardnim odstupanjem 2,5.

Odrediti P(x > 9,6)

x

9,6

8,0

2008/2009 16

P(x > 9,6) = P(z > 0,64) = 1,0 – P(z ≤ 0,64) = 1,0 – 0,7389 = 0,2611

Određivanje verovatnoće desno od z

Z

0,64

0

Z

0,64

0,7389

0

1,000 1,0 – 0,7389 = 0,2611

26,11% studenata ima više od 9,6 poena

65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 9,6 poena

17

SISTEMI MASOVNOG OPSLUŽIVANJA

TESTIRANJE ULAZNOG TOKA

Na osnovu obavljenih snimanja vremena trajanja obrta jednog kamiona do luke Bar dobijeni su sledeći podaci:

vreme (h) 30-35 35-40 40- 45 45- 50 50- 55 55- 60 60- 65

frekvencije 37 80 102 63 13 6 1

a) Sa stopom rizika od 5% odredite koja teorijska raspodela odgovara datoj empirijskoj. b) verovatnoća da će obrt trajati između 40 i 50h.

c) Nađite simetričan interval oko vrednosti x = u kome vreme trajanja obrta uzima vrednosti sa verovatnoćom 0,90.

18

REŠENJE U EXCELU:

od do leva F(t)

desna F(t)

pi

1 30 35 37 32.5 0.1225 3.98 129.41 0.02112 0.1211 0.09996 30.2 1.53784

2 35 40 80 37.5 0.2649 9.93 372.52 0.12107 0.3790 0.25793 77.9 0.05691

3 40 45 102 42.5 0.3377 14.35 610.06 0.37900 0.7100 0.33101 100.0 0.04139

4 45 50 63 47.5 0.2086 9.91 470.67 0.71002 0.9215 0.21144 63.9 0.01148

5 50 55 13 52.5 0.0430 2.26 118.65 0.92146 0.9886 0.06713 20.3 2.60954

6 55 60 6 57.5 0.0199 1.14 65.69 0.98859 0.9991 0.01056 3.2 2.47932

7 60 65 1 62.5 0.0033 0.21 12.93 0.99915 1.0000 0.00082 0.2 2.29177

302 1.0000 41.79 1779.93 0.97885 χ2 = 9.02825

itifir

f2

iitfr ir tf

i

i

iif

2

it

i

0282,9488,9 2)4(2

05,0

(41,8;5,8)~ odnosno

),,(~

)

NX

NX

a

19

0,5424=50)<X<P(40

1217,04207,0)308,0()416,1(

)308,0()416,1(416,1308,0-P

5,8

41,80-50

5,8

41,80-40P

score Z50)<X<P(40=b)<X<P(a

)

T

T

b

Analitičko rešenje

Laplasove transformacije

20

9,037,5123,32P

9,578,565,165,1a65,1a

45,0)a

(9,0)a

(2

.9,0aa-

P

9,0aa-

P odnosno ,9,0=a)<X<a-P(

)

hXh

transLaplasoveT

X

c

Analitičko rešenje

Sa 90% sigurnosti možemo tvrdiiti da će obrt trajati između 32,23 i 51,37h

21

EasyFit software – izgled obrasca (tabele) za unos

22

EasyFit software

Komanda za izbor raspodele

Definisanje promenljivih i tip raspodele

23

EasyFit software – Proračun i predlog lista

24

EasyFit software - Proračun parametara raspodela sa liste

25

EasyFit software - Rangiranje raspodela prema testovima

26

EasyFit software – Stvarna i izabrana raspodela

27

EasyFit software

Gustina raspodele

Funkcija raspodele

28

EasyFit software – parametri raspodele

29

EasyFit software – Verovatnoće

Verovatnoće za vrednost obrta između 40 i 50 h

Verovatnoća za vrednost obrta od 35 h

30

Hvala na pažnji!