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Nombres complexes Ecriture algébrique d’un complexe – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : calculs dans l’ensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication, division) et écriture algébrique d’un complexe Exercice 2 : puissances de Exercice 3 : partie réelle et partie imaginaire d’un complexe, notions de réel et d’imaginaire pur Exercices 4 et 5 : conjugué d’un nombre complexe Exercices 6 et 7 : affixe d’un point et point-image Exercice 8 : affixe d’un vecteur et affixe d’un barycentre Exercice 9 : module d’un complexe Exercice 10 : résolution d’équation dans l’ensemble des complexes Exercice 11 : détermination d’un lieu géométrique / caractérisation d’un ensemble de points (cercle, droite…) Nombres complexes Ecriture algébrique d’un complexe Exercices corrigés

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  • Nombres complexes Ecriture algbrique dun complexe Exercices corrigs

    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    1

    Sont abords dans cette fiche :

    Exercice 1 : calculs dans lensemble des nombres complexes (addition, soustraction, multiplication,

    division) et criture algbrique dun complexe

    Exercice 2 : puissances de

    Exercice 3 : partie relle et partie imaginaire dun complexe, notions de rel et dimaginaire pur

    Exercices 4 et 5 : conjugu dun nombre complexe

    Exercices 6 et 7 : affixe dun point et point-image

    Exercice 8 : affixe dun vecteur et affixe dun barycentre

    Exercice 9 : module dun complexe

    Exercice 10 : rsolution dquation dans lensemble des complexes

    Exercice 11 : dtermination dun lieu gomtrique / caractrisation dun ensemble de points (cercle,

    droite)

    Nombres complexes Ecriture algbrique dun complexe

    Exercices corrigs

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    2

    Soient les complexes et .

    Calculer :

    et donner le rsultat sous sa forme algbrique.

    Rappels :

    Ensemble des nombres complexes

    Lensemble des nombres complexes, not , contient tous les nombres rels, ainsi que tous les nombres crits

    sous la forme o et sont des rels. Autrement dit, .

    Lensemble est muni dune addition et dune multiplication (ainsi que dune soustraction et dune division),

    qui possdent les mmes proprits et rgles de calcul que dans . On convient galement que .

    criture algbrique dun complexe

    Lcriture dun complexe (avec ) est appele la FORME ALGBRIQUE ou CRITURE

    CARTSIENNE de ce complexe.

    Somme de deux complexes

    Diffrence de deux complexes

    Produit de deux complexes

    Puissance dun complexe

    Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

    Correction de lexercice 1

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    Quotient de deux complexes

    Remarques importantes :

    Lorsquon effectue des additions ou soustractions de nombres complexes, on utilise en gnral leur

    forme algbrique. En revanche, lorsquon effectue des multiplications ou divisions de nombres

    complexes (non nuls), on utilise en gnral leur criture exponentielle.

    Il nexiste pas de relation dordre dans qui prolongerait celle de et qui obirait par consquent

    aux mmes rgle des signes.

    1- Calculer , et .

    2- En dduire pour tout .

    3- Que vaut ?

    4- Calculer .

    1- Calculons , et .

    2- Tout dabord, remarquons que :

    Soient et , deux entiers naturels dsignant respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de

    (entier naturel) par 4.

    On a donc avec .

    Exercice 2 (4 questions) Niveau : facile

    Correction de lexercice 2

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    4

    Si , cest--dire si , alors

    Si , cest--dire si , alors

    Si , cest--dire si , alors

    Si , cest--dire si , alors

    En rsum, en posant et .

    {

    Remarque : Les entiers naturels tels que est un imaginaire pur sont donc de la forme ou

    . Les entiers naturels tels que est un rel sont quant eux de la forme ou .

    3- Calculons .

    La division euclidienne de 2011 par 4 donne : . Ici, .

    Donc . En effet,

    4- Calculons .

    Tout dabord, remarquons que . Il sagit donc de la somme

    de termes dune suite gomtrique de premier rang et de raison .

    Rappel : Somme des termes dune suite gomtrique

    Soit une suite gomtrique de raison . Alors la somme des termes conscutifs de cette suite est

    donne par la formule :

    Autrement dit, avec o dsigne le rang partir duquel la suite est dfinie :

    Ainsi, on obtient :

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    On pose avec et rels.

    1- Dterminer la partie relle et la partie imaginaire de .

    2- A quelle(s) condition(s) est-il un rel ?

    Rappels : Partie relle et partie imaginaire dun complexe

    Soit un complexe crit sous sa forme algbrique (avec ).

    On dit alors que est la PARTIE RELLE de et on la note .

    On dit par ailleurs que est la PARTIE IMAGINAIRE de et on la note .

    On pose avec et rels.

    1- Dterminons la partie relle et la partie imaginaire de .

    Pour tous rels et ,

    Ainsi,

    2- A quelle condition est-il un rel ?

    Rappels : Notions de rel et dimaginaire pur

    Soit un complexe crit sous sa forme algbrique

    (avec ).

    est un REL si et seulement si .

    est un IMAGINAIRE PUR si et seulement si .

    est un rel si et seulement si .

    Or, pour tous et rels,

    Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 3

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    6

    En conclusion, est un rel si et seulement si ( rel quelconque) ou ( rel

    quelconque).

    Montrer que, pour tout nombre complexe , et .

    Rappel : Conjugu dun nombre complexe

    Le CONJUGU du nombre complexe (avec et rels) est le nombre complexe, not , tel que :

    Soit un nombre complexe (avec et rels). Alors son conjugu

    est tel que . Alors :

    Remarque : Autrement dit, on peut traduire ces rsultats par les

    quivalences suivantes :

    est un rel si, et seulement si,

    est un imaginaire pur si, et seulement si,

    Dterminer les nombres complexes dont le carr est gal au conjugu.

    Soit un nombre complexe (avec et rels).

    Exercice 4 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 4

    Exercice 5 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 5

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    7

    Alors le carr de , not , est :

    Le conjugu de , not , est :

    Rappel : Egalit de deux nombres complexes

    Deux nombres complexes sont GAUX si, et seulement si, ils ont mme partie relle et mme partie

    imaginaire.

    Dterminons les nombres complexes dont le carr est gal leur conjugu. Rsolvons donc lquation .

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    (

    )

    (

    )

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    {

    Les solutions de lquation sont :

    {

    }

    Donner lcriture algbrique de . Quen dduire pour le point daffixe ?

    Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile

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    Rappel : Point-image dun complexe et affixe dun point

    Soit un repre orthonormal du plan.

    A tout nombre complexe (avec et rels), on peut

    associer lunique point de coordonnes .

    On dit alors que est le POINT-IMAGE de et que est

    lAFFIXE du point .

    Laxe est appel AXE DES RELS et laxe est appel AXE DES IMAGINAIRES PURS.

    Le plan est quant lui appel PLAN COMPLEXE.

    [ ]

    Autrement dit, on a (criture algbrique du complexe ).

    Il en rsulte que le point daffixe se trouve sur laxe des rels et plus prcisment sur la demi-droite [ du

    plan complexe rapport un repre orthonormal direct .

    Dans le plan complexe muni dun repre orthonormal , placer les points , et daffixes

    respectives , , .

    Notons , et les abscisses respectives des points , et .

    , de coordonnes , est donc le point-image de .

    , de coordonnes , est donc le point-image de .

    , de coordonnes , est donc le point-image de .

    Correction de lexercice 6

    Exercice 7 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 7

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    Dans le plan complexe, , , et dsignent les affixes respectives des points , , et .

    Prouver, de deux manires diffrentes, que le quadrilatre est un paralllogramme.

    Rappel : Affixe dun vecteur

    Soit un repre orthonormal du plan complexe.

    LAFFIXE du vecteur est la diffrence de laffixe du point

    et de laffixe du point .

    Autrement dit, (avec et rels) ; le vecteur

    a pour coordonnes .

    Rappel : Affixe dun barycentre

    Soient , , , points pondrs du plan complexe, daffixes respectives , ,

    , tels que :

    Alors leur BARYCENTRE a pour affixe, note , la moyenne pondre de leur affixe :

    Remarque : Le milieu dun segment [ ] est lisobarycentre des points et .

    Commenons par placer dans le plan complexe muni du repre orthonormal les points , , et

    daffixes respectives , , et .

    1re mthode :

    Rappel : Un quadrilatre est un paralllogramme si et seulement si les vecteurs et sont gaux.

    Le vecteur a pour affixe et on a :

    Par ailleurs, le vecteur a pour affixe et on a :

    Ainsi, . Autrement dit, les vecteurs et sont gaux. est par consquent un

    paralllogramme.

    Exercice 8 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 8

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    10

    2me mthode :

    Rappel : Un quadrilatre est un paralllogramme

    si et seulement si ses diagonales se coupent en leur

    milieu.

    Dune part, la diagonale [ ] du quadrilatre a pour

    milieu :

    Dautre part, la diagonale [ ] du quadrilatre a

    pour milieu :

    Ainsi, les diagonales [ ] et [ ] du quadrilatre

    ont mme milieu donc est un paralllogramme. Le

    centre du quadrilatre a pour affixe .

    Dterminer le module des nombres complexes suivants : , , , et .

    Rappel : Module dun nombre complexe

    Soit un nombre complexe crit sous sa forme algbrique (avec et rels). Le MODULE de est le

    nombre rel positif, not | |, dfini par :

    | |

    Soit le nombre complexe

    donc | |

    Soit le nombre complexe

    donc | |

    Exercice 9 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 9

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    11

    Soit le nombre complexe

    donc | |

    Soit le nombre complexe

    donc | |

    Soit le nombre complexe

    donc | | ( )

    Remarque importante : Dans le plan complexe muni dun repre orthonormal , si a pour affixe ,

    alors | | . Autrement dit, le module de correspond la distance entre le point daffixe et lorigine

    du repre daffixe .

    Plus gnralement, si et dsignent les affixes respectives de deux points et dans le plan complexe

    muni dun repre orthonormal , alors | | | |

    Rsoudre dans lensemble des nombres complexes lquation dinconnue .

    Rappel : Equation du second degr coefficients rels

    Soit un trinme du second degr (avec , et rels tels que ).

    solutions de factorisation de

    et

    | |

    | |

    et ;

    Rsolvons dans lquation dinconnue .

    Exercice 10 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 10

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    12

    Soit le discriminant du trinme du second degr .

    .

    donc le trinme admet deux racines complexes distinctes :

    | |

    Dans chacun des cinq cas suivants, dterminer lensemble des points daffixe tels que :

    1-

    2-

    3- | |

    4- | |

    5- | | | |

    1- Dterminons lensemble des points daffixe tels que .

    Rappel : Interprtation gomtrique du conjugu dun complexe

    Soit un nombre complexe.

    est un rel si, et seulement si,

    est un imaginaire pur si, et seulement si,

    est un rel si, et seulement si, il est gal son conjugu. Autrement dit,

    est un rel est un imaginaire pur

    Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 11

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    13

    Lensemble des points cherchs est la runion de laxe

    des rels et de laxe des imaginaires purs dun repre du

    plan complexe.

    Remarque : On pouvait galement remarquer que :

    et donc que et

    . Or, est un rel si et seulement si

    2- Dterminons lensemble des points daffixe tels que .

    Soit un nombre complexe crit sous sa forme algbrique (avec et rels).

    Pour tout , .

    Lensemble des points recherchs est la runion des

    deux droites dquations respectives et dans

    un repre du plan complexe.

    Remarque : On appelle premire bissectrice du plan la

    droite dquation et deuxime bissectrice du repre

    la droite dquation .

    3- Dterminons lensemble des points daffixe tels que | |

    Soit le point daffixe et soit le point daffixe . Alors | | | | .

    Donc appartient au cercle de centre et de rayon .

    Rappel : Caractrisation dun cercle

    Soit un rel positif et soient et deux nombres

    complexes.

    Lensemble des points , daffixe , tels que | |

    est le CERCLE de centre , daffixe , et de rayon .

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    14

    4- Dterminons lensemble des points daffixe tels que | | .

    Soit un nombre complexe crit sous sa forme algbrique (avec et rels).

    Pour tout ,

    | |

    Do :

    | |

    Donc appartient au cercle de centre daffixe

    et de rayon .

    Rappel : Equation dun cercle

    Soit un rel positif et soit un point de coordonnes ( et rels) . Lensemble des points de

    coordonnes ( et rels), tels que , est le CERCLE de centre et de

    rayon .

    5- Dterminons lensemble des points daffixe tels que | | | |.

    Soit le point daffixe , soit le point daffixe et soit le point daffixe .

    Alors | | | | | | | | | | | | .

    Donc appartient la mdiatrice du segment [ ], avec

    et .

    Rappel : Caractrisation de la mdiatrice dun

    segment

    Soient et deux points du plan complexe, daffixes

    respectives et . Lensemble des points , daffixe

    , tels que | | | | est la MDIATRICE

    du segment [ ].