NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMTICAS A. TEORA DE ? ... o con los elementos de otros conjuntos,

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    09-Aug-2018

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    ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE NUTICA Y MQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

    NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMTICAS

    A. TEORA DE CONJUNTOS.

    A. 1 Conjuntos.

    Un conjunto o coleccin lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre s pero que poseen en comn ciertas propiedades o caractersticas, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.

    Un conjunto puede tener un nmero finito o infinito de elementos, en matemticas es comn denotar a los elementos mediante letras minsculas y a los conjuntos por letras maysculas, as por ejemplo:

    C = {a, b, c, d, e, f, g, h}

    En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:

    es el conjunto de los nmeros reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).

    Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.

    A. 2 Diversos conjuntos numricos.

    En Matemticas empleamos diversos conjuntos de nmeros, los ms elementales son:

    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los nmeros naturales, o nmeros que sirven para contar.

    Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los nmeros enteros, o nmeros que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).

    Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los nmeros racionales, o nmeros que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fraccin, p/q. Observen que algunos nmeros con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3. No obstante, en Q no se hallan algunos nmeros como 1,4142136... (raz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el nmero ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos nmeros se les llama "nmeros irracionales".

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    R = Q U {"nmeros irracionales"} . El conjunto de los nmeros reales, formado por la unin de Q y de todos los nmeros irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos nmeros de R.

    Segmento de una recta, [a, b], son todos los nmeros reales comprendidos entre a y b, es decir, los nmeros x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".

    Para un nmero real, x, llamamos valor absoluto de este nmero, expresado |x|, al nmero real que queda cuando se le considera positivo . Por ejemplo

    || = 7,

    || = 5, 31

    (para los nmeros positivos se les deja como estn, para los negativos se les cambia de signo).

    Las propiedades del valor absoluto son:

    Para un nmero real, sea x, llamamos parte entera de este nmero, expresado [x], al nmero entero que queda cuando se le suprimen todos sus decimales. Por ejemplo:

    [3,1416] = 3,

    [-2,189] = -2

    A. 3 Subconjuntos de un conjunto.

    Dado un conjunto C y una propiedad P de un elemento genrico de C, los elementos de C que poseen esa propiedad forman un nuevo conjunto S llamado subconjunto de C, y se expresa:

    Por ejemplo, para el conjunto de los nmeros reales, R, podemos fijarnos en la propiedad siguiente:

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    x = [x]

    La propiedad de que un nmero coincida con su parte entera, dicha propiedad slo la cumplen los nmeros enteros, por eso podemos expresar:

    Todo conjunto C es subconjunto de s mismo, por otra parte el conjunto vaco (el que no posee ningn elemento), expresado por , es subconjunto de cualquier otro conjunto. As podemos expresar:

    A un subconjunto de C tambin se le llama parte de C.

    A. 4 Notaciones con conjuntos.

    En teora de conjuntos, y ms generalmente en el mbito de las matemticas, se utilizan unas determinadas notaciones que conviene indicar desde el principio.

    Sea un conjunto con unos ciertos elementos, consideremos el conjunto N de los nmeros naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . Para expresar que un determinado elemento pertenece a N se utiliza el smbolo " " (igual que el smbolo del euro pero con una sola raya central ). Este mismo smbolo pero tachado se interpreta como que "el elemento no pertenece al conjunto". Por ejemplo podemos expresar:

    * Los cuantificadores :

    Estos dos smbolos sirven para aludir a la cantidad de los elementos del conjunto, el primero hace referencia a "al menos uno", el segundo se refiere a "todos sin excepcin". Por ejemplo:

    Se lee: " existe al menos un elemento n perteneciente al conjunto N tal que (la coma se lee aqu "tal que") n es mayor que 1000". En realidad, hay muchos elementos en N mayores que 1000, pero con este smbolo nos referimos a que hay por lo menos uno, es decir, negamos que no haya ninguno con la propiedad que viene a continuacin..

    Se lee: " cualquiera que sea el elemento n del conjunto N se tiene que (aqu la coma se lee "se tiene que") n es mayor o igual a 0". [NOTA: las comas son separadores entre smbolos en una definicin, y se leen como a uno le d la gana siempre que completen el significado a la frase).

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    A. 5 Unin e interseccin de conjuntos.

    Dados dos conjuntos A y B, se define unin de los conjuntos A y B, , al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A a B.

    Dados dos conjuntos A y B, se define interseccin de los conjuntos A y B, , al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la vez a A y a B.

    Si la interseccin de dos conjuntos es el conjunto vaco, entonces se dice que estos dos conjuntos son disjuntos (tambin llamados, quizs ms apropiadamente, "disyuntos").

    Algunas propiedades:

    Unin:

    Interseccin:

    Unin e interseccin:

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    * Cardinal de un conjunto.

    Para un conjunto A, llamamos cardinal de A al nmero de elementos que posee A. Se expresa, Card(A), o bien: n(A).

    Para muchos conjuntos utilizados en Matemticas, tales como N, Z, Q R, su cardinal es infinito. Pero para dos conjuntos A y B con una cantidad finita de elementos se tiene la siguiente propiedad:

    A. 6 Conjunto complementario de un conjunto.

    Dado un conjunto A, se llama conjunto complementario de A (representado por A') respecto a un conjunto universal U, a todo U excepto los elementos de A.

    Es decir, todo excepto los elementos de A .

    Algunas propiedades:

    Suponiendo un conjunto universal llamado C, se verifica:

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    A. 7 Particin de un conjunto.

    Dado un conjunto C, se dice que se ha realizado una particin del conjunto C en subconjuntos (o "partes") S1, S2, ...., Si, ...., Sn , cuando stos cumplen las dos propiedades:

    es decir que sean disjuntos y que su unin cubra todo C.

    A. 8 Producto cartesiano de conjuntos.

    Sean dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B al conjunto C formado por todas las parejas posibles en forma de par ordenado (x, y), tales que el primer elemento, x, pertenezca al conjunto A y el segundo, y, pertenezca al conjunto B.

    Este producto cartesiano se representa por C = AB.

    En el diagrama adjunto podemos ver un ejemplo de producto cartesiano de AB, siendo A={a, b, c, d}, y siendo B={}. Los elementos de AB,

    representados en rojo, son todos los pares (x, y), como por ejemplo (a, ), (a, ), (b, ), .... El nmero de elementos en este caso es: 45, es decir, 20.

    A. 9 Relacin binaria definida entre los elementos de un conjunto.

    Sea un conjunto A, se llama relacin binaria entre los elementos del conjunto A a una parte del producto cartesiano AA (tambin llamado A).

    Por ejemplo, en el diagrama adjunto tenemos el conjunto A = {}. Establecido el producto cartesiano AA, cualquier parte C de l, como la sealada por puntos anaranjados, define una relacin R entre los elementos de A.

    La relacin R del dibujo vendra expresada as:

    C = {(}

    Aunque es ms comn escribirla as:

    C = {RRRRRR }

    Adems, en Matemticas una relacin suele venir definida mediante una propiedad, por

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    ejemplo, en el conjunto N de los nmeros enteros se encuentra definida la relacin siguiente:

    aRb "a es divisible por b"

    Segn esta relacin, se tiene: 1R1, 4R2, 4R1, 6R2, ....

    * Propiedades de las relaciones binarias

    Dado un conjunto A con una relacin binaria R definida entre sus elementos, hay cuatro posibles propiedades para R:

    1. Propiedad Reflexiva: La relacin R es reflexiva si:

    o sea, si cada elemento de A est relacionado por R con s mismo.

    2. Propiedad Simtrica: La relacin R es simtrica si:

    es decir, que si x se encuentra relacionado con y, entonces y tambin est relacionado con x.

    3. Propiedad Antisimtrica. La relacin R es antisimtrica si:

    es decir, si xRy entonces y no est relacionado con x (a no ser que ambos, x e y coincidan).

    4. Propiedad Transitiva. La relacin R es transitiva si:

    es decir, si x se encuentra relacionado con un elemento y, y ste, a su vez, est relacionado con otro elemento z, entonces x est relacionado con z tambin.

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    A. 10 Relacin de Equivalencia.

    Sea A un conjunto y R una relacin binaria definida en A, se dice que R es una relacin de equivalencia en A si para R se verifican las tres propiedades:

    1. Reflexiva. 2. Simtrica. 3. Transitiva.

    Como un ejemplo consideremos el conjunto N* de los nmeros naturales (excepto el 0), y consideremos la siguiente relacin binaria en R:

    x R y {x e y tienen la misma "paridad"}

    (NOTA: Se dice que un nmero natural tiene paridad par cuando es divisible por el 2, y paridad "impar" cuando no lo es.)

    As tenemos: ( 1R1, 1R3, 3R5, 5R7, 5R5, ...., 2R2, 2R4, 4R2, 20R100,... )

    Se trata de una relacin de equivalencia porque R cumple las tres propiedades:

    1. R es reflexiva: En efecto, pues dado un nmero natural cualquiera x, est relacionado por R consigo mismo, en otras palabras, x tiene la misma paridad que s mismo.

    2. R es simtrica: Algo obvio, pues si x R y, es decir, si x e y tienen la misma paridad, ello significa que y R x, o sea, y y x tienen obviamente la misma paridad ("si Pepe y Juan son franceses, no lo dejan de ser si hablamos de Juan y Pepe" ).

    3. R es transitiva: Si x R y, es decir x tiene la misma paridad que y, y simultneamente, y R z, es decir, y tiene la misma paridad que z, entonces obviamente x R z (x tiene la misma paridad de z).

    * Clase de equivalencia.

    Dado un conjunto A y una relacin de equivalencia R definida en l, si tomamos un elemento a A y buscamos el conjunto de elementos que estn relacionados con l segn R, lo que obtenemos es la clase de equivalencia , es decir:

    Tenemos que:

    i) Dos elementos que estn relacionados entre s definen la misma clase de equivalencia:

    ii) Dos clases de equivalencia distintas son disjuntas. Por lo cual el conjunto A, al establecer una relacin de equivalencia R en l, queda "partido" en clases de equivalencia (en el sentido de particin dado en 1.6)

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    As para la relacin de "paridad" en N* de nuestro ejemplo, el conjunto N* queda "partido" en dos clases: : los nmeros impares, y : los nmeros pares. Es obvio que hay una redundancia al hablar de la clase o hablar de la clase pues ambas se refieren al conjunto de los nmeros pares.

    A. 11 Relacin de Orden.

    Sea A un conjunto y R una relacin binaria definida en A, se dice que R es una relacin de orden en A si para R se verifican las tres propiedades:

    1. Reflexiva. 2. Antisimtrica. 3. Transitiva

    Como un ejemplo consideremos el conjunto N de los nmeros naturales, y consideremos la siguiente relacin binaria en R:

    x R y {x y }

    1. R es reflexiva: En efecto, pues dado un nmero natural cualquiera x, este nmero es "menor o igual" que s mismo, en concreto es igual; (de paso fijmonos cmo la relacin "

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    A. 12 Aplicacin entre dos conjuntos.

    Sean dados dos conjuntos A = {a, b, c, d, e, ... } y B = {, ...}. Se llama corresponcencia del conjunto A en el B a un subconjunto de AB.

    Por ejemplo, en la grfica de la derecha tenemos una cierta correspondencia definida por aquellos elementos de AB indicados (marcados en color rojo).

    Por lo tanto, la correspondencia del ejemplo podra venir expresada como:

    f(x) = {(a, (a, (b, (b, (b, (c, (c, (c, (d, (d, (d, }

    En la que se enumeran todos los pares ordenados de la aplicacin. No obstante, no es as como las aplicaciones suelen generalmente expresarse sino en la forma grfica de la izquierda.

    Se expresan los elementos de A a la izquierda, los de B a la derecha, y para cada pareja (a, ) se traza una flecha que parte del elemento de A y finaliza en el elemento de B.

    La correspondencia viene entonces representada por un conglomerado de flechas que van desde los elementos de A hacia los elementos de B. Pero obsrvese cmo de los

    elementos de A pueden salir varias flechas hacia B, por ejemplo, al elemento "a" se le hacen corresponder los y de B. Pues bien, en Matemticas es conveniente que a cada elemento de A le corresponda un nico elemento de B, es decir, que slo salga una flecha (o ninguna) de cada elemento del conjunto de la izquierda. En este caso la correspondencia se llama aplicacin (tambin llamada "funcin" cuando los conjuntos son numricos).

    A los elementos de B donde una flecha finaliza se les llama "imgenes", y a los elementos de A de los que parte una flecha se les llama "anti-imgenes".

    En Matemticas es muy corriente expresar las aplicaciones mediante y = f(x), siendo y los elementos de B, x los elementos de A, y siendo f(x) una cierta expresin matemtica.

    Un ejemplo poda ser y = x2 + 1.

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    * Aplicacin Suprayectiva

    Una aplicacin f : A ----> B se dice suprayectiva, cuando todo elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. En otras palabras, el conjunto B queda recubierto por completo por las flechas procedentes de A, no quedando ningn elemento "libre", sin su correspondiente flecha, en B.

    Matemticamente se expresa indicando que la ecuacin:

    y = f(x)

    tiene al menos una solucin para x.

    * Aplicacin Inyectiva

    Una aplicacin f : A ----> B se dice inyectiva, cuando todo elemento de B es la imagen de un elemento de A como mximo. (En este caso puede haber elementos de B que no sean imgenes de elementos de A).

    Matemticamente f es inyectiva si para cualquier par de elementos de A, , que sean distintos, entonces sus imgenes son tambin distintas, es decir:

    * Aplicacin Biyectiva

    Una aplicacin f : A ----> B se dice biyectiva, si es al mismo tiempo suprayectiva e inyectiva.

    En este caso a cada elemento de A le corresponde uno, y slo uno, elemento de B.

    Es decir, para cada valor de "y" slo existe un valor de "x" que sea solucin de la ecuacin y = f(x).

    Por ejemplo, en la expresin y = 2 x + 1 , para un valor determinado de "y" slo existe un valor de x, en concreto x = (y-1).

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    ALGUNOS EJERCICIOS.

    1. En una reunin hay ms hombres que mujeres, hay ms mujeres que beben que hombres que fuman, y ms mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos mujeres que ni beben ni fuman que hombres que beben y no fuman.

    Solucin : Podemos considerar los ocho conjuntos disjuntos de la grfica de la figura , evidentemente el conjunto de los hombres que fuman y no beben (F) es disjunto de las mujeres que fuman y no beben (G), o los hombres que beben y no fuman (A) es disjunto de las mujeres que beben y no fuman (D), etc.

    Que haya ms hombres que mujeres significa:

    n(A) + n(B) + n(E) + n(F) > n(C) + n(D) + n(G) + n(H) {1}

    Que haya ms mujeres que beben que hombres que fuman significa:

    n(C) + n(D) > n(B) + n(F) {2}

    Y que haya ms mujeres que fuman y no beben que hombres que ni beben ni fuman significa:

    n(G) > n(E) {3}

    Si sumamos {1},{2} y {3} obtenemos:

    n(A) + n(B) + n(C) + n(D) + n(E) + n(F) + n(G) > n(B) + n(C) + n(D) + n(E) + n(F) + n(G) + n(H)

    Y simplificando trminos iguales, tenemos:

    n(A) > n(H)

    Lo cual significa que el nmero de mujeres que ni beben ni fuman es inferior al de hombres que beben y no fuman (que es lo que haba que demostrar).

    * * *

    2. En el conjunto de los nmeros reales se define la siguiente relacin:

    x R y tan x = tan y

    Se trata de una relacin de equivalencia ?.

    Solucin: Comprobemos si R cumple las tres propiedades de las relaciones de equivalencia:

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    a) Reflexiva:

    obviamente, todo nmero real est relacionado consigo mismo.

    b) Simtrica:

    Si x R y y R x

    tambin obvio, pues si tan x = tan y , tambin se da que tan y = tan x.

    c) Transitiva:

    Cosa que tambin se da para esta R, pues si tan x = tan y, y simultneamente, tan y coincide con tan z, evidentemente se dar que tan x = tan z.

    Por lo tanto la relacin R definida es una relacin de equivalencia para los nmeros reales.

    * * *

    EJERCICIOS PARA EL ALUMNO:

    1. Dados tres conjuntos A, B. C tales que:

    qu se puede decir de los dos conjuntos B y C ?.

    2. Dadas dos partes A y B de un conjunto E, se llama diferencia simtrica de A y B (que se escribe AB) al conjunto:

    AB = (A B) - (A B)

    Demostrar que AB = (A-B) (B-A)

    (NOTA: Por A - B expresamos todos los elementos de A excepto los de B).

    3. Se sabe que entre los tripulantes de un barco a los que les gusta la cerveza o el vermut o ambas bebidas, les gusta tambin la cerveza o el vino o las dos. Y a los que les gusta la cerveza y

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    el vermut les gusta tambin la cerveza y el vino. Demostrar que a todos los que les gusta el vermut les gusta tambin el vino.

    4. En el conjunto N de los nmeros naturales se establece la siguiente relacin binaria:

    x R y y - x =

    siendo m un nmero entero dado (por nos referimos a "cualquier mltiplo de m").

    a) Probar que R es una relacin de equivalencia. b) Indicar cules son las clases de equivalencia.

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