Noc Knjiga Nije Cijela

UVOD

konstrukcijskih elemenata, razlikujemo ravninske i prostorne konstrukcije, a po

svojem se obliku dijele Pritom valja

naglasiti da stroga definicija ravninske konstrukcije podrazumijeva da se

njezina geometrija.

Linijske konstrukcije

nosive konstrukcije i istodobno kao dijelo

su,

djelovanju vanjskih sila.

Osnovni zadaci koji se na konstrukciju postavljaju u fazi njezina

projektiranja jesu:

Proces s

oblika i materijala elemenata konstrukcije s jedne strane, te naprezanja i

deformacija s druge strane.

Principi kojima se uspostavljaju te ovisnosti pripadaju

koja

kojem se

1.

2 1. Uvod

ih pretpostavki o deformiranju tijela

disciplinu koja se naziva (engl.

strength of materials).

19. st., a osniva se na radovima: Galileja, Mariottea, Hookea, Bernoullia,

Eulera, zatim Cauchyja, Naviera, Poissona, Lamea, Clapeyrona, Saint-Venanta,

Greena, Rayleigha, Timoshenka i drugih.

razvoju spomenutih dviju disciplina, odnosno mehanike

kontinuuma unutar -

i teorija

. Zanimljiv problem kojim se bave te discipline jest odr

funkciji vremena.

mnoge

pojedina razmat

idealizacija realnih

koje su mjere izvedeni

reologije kao znanstvene discip

idealnim tijelima koja dovoljno

materijala, a jednostavnija su u smislu

ma.

osnivati ni na elementarnim pretpostavkama, ni na kompliciranom

kontinuuma i optimizacijskim mu optimizacijski procesi u

mikrostrukture materijala. Ovakva su

upotrebljavanih materijala.

U ovom radu, tj. u sklopu sva provedena razmatranja u

smislu

konstrukcijskih elemenata temelje se na osnovnim oblicima konstrukcijskih

elemenata, prije

presjek.

1.1. 3

Zadaci mogu se podijeliti na dvije osnovne skupine.

procjenu , krutosti, stabilnosti i sigurnosti konstrukcijskih elemenata.

naprezanja, odnosno naprezanja i deformacija, te se dolazi do spoznaje o

meto

1. cije, a potrebno je odrediti dimenzije konstrukcijskih elemenata.

2. odrediti materijal konstrukcijskih elemenata.

3. Zadani su: oblik, dimenzije i materijal konstrukcije, a potrebno je odrediti

1.2.

tijela u

procesa

vanjskih i sila, mogu primijeniti zakoni teorijske mehanike krutog

tijela. Pretpostavlja se tijelo pres

dijela na drugi zamjenjuje koje se sada na presjeku

pojavljuju kao vanjske sile.

(engl. structural analysis

4 1. Uvod

e stabilnosti, odnosno stabilnosti

Nestabilnost deformacijskih formi konstrukcije problem je geometrijske

Navedeni se

Vidljivo je da se manji dio analize konstrukcija (strukturne analize)

a preostali je dio predmet razmatranja posebnih

teorija vibracija, teorija stabilnosti itd.

meto finite element method) koja, ovisno o

konstrukciju o

naprezanja, deformacija itd.) i

e pojedinosti.

kcije 5

A 1

31, 2

EC, D

Q

D

lim

2

1

3

C

E

q4

S1y S3

S1z

q3

q1

II

Q

q2

A 2, B1 B2,

Q

A 2 A 1I

A 2

A 1

A 1

B2

B1

B1

/2

y

z

x 1xS

II

I

I

Slika 1.1. konstrukcije

1q ..........

2q .........

3 4, q q .... t

1z 1y, S S .

Rezultantu sila , Q Q potrebno je rastaviti u tri komponente 1 2 3, i S S S.

Polovicu sile 3S Komponentu 1xS preuzima lim, odnosno

l , B2.

6 1. Uvod

1.4. Pr

zakoni mehanike kao i za apsolutno kruto tijelo.

Pretpostavka o neprekidnosti materijala

Prema toj pretpostavci, tijela se smatraju u potpunosti ispunjena materijom,

, premda pretpostavka nalazi opravdanje u

te time tijelu daje osobine neprekidnosti materije.

Pretpostavka o homogenosti materijala

Tijelo se smatra homogenim ako je ispunjen uvjet d d const.m V

Pretpostavka o malim deformacijama

Deformacije su u usporedbi s dimenzijama tijela vrlo male tako da se

P

Pod pojmom podrazumijeva se svojstvo tijela da ono po

Pod pojmom podrazumijeva se svojstvo tijela da ono pri

trajne.

7

Pod pojmom ili otpornosti tijela (konstrukcije) podrazumijeva se

smaknuti, uviti, saviti ili izviti.

Pojam krutosti

Pojam krutosti tijela podrazumijeva otpor tijela na deformiranje. Kada je taj

Pojam krhkosti

Pod pojmom se krhkog tijela podrazumijeva tijelo koje ima malu

sposobnost deformiranja prije nastupanja loma.

Pojam izotropnosti

Pod pojmom izotropnog tijela podrazumijeva se tijelo koje ima iste

Pojam anizotropnosti i ortotropnosti

Pojam anizotropnog

potpuna suprotnost izotropnom tijelu. Anizotropno tijelo koje posjeduje tri

ortogonalne

anizotropije ili ortotropnim tijelom.

koje se os

volumensko ili obujamsko

gravitacijske i inercijalne

ovise o drugim karakteristikama tijela. Bez obzira na to ovise li spomenuta

8 1. Uvod

gravitacijskim i inercijalnim silama, ali isto tako ta djelovanja mogu biti i

sila pri krivocrtnom gibanju.

o

javljaju i inercijalne sile.

udarno.

razlikujemo:

Osnovni su

uvijanje ili torzija

9

ravno savijanje

savijanje silama

izvijanje.

Kombinaci

F F

aksijalno opterecenje

FF

smicanje

Mt Mt

uvijanje (torzija)

M M

cisto ravno savijanje

F1 2

F3

F

ravno savijanje silama

izvijanje

F F

Slika 1.2.

10 1. Uvod

1.6. Kriteriji dimenzioniranja

Kako je spomenuto u poglavlju 1.1, dimenzije konstrukcije odnosno

provjeriti.

Bez obzira na

provjeravaju dimenzije.

Kriteriji su ovi:

kriterij krutosti

kriterij stabilnosti.

M

1. Kriterij maksimalnog normalnog naprezanja:

max dop. (1.1)

Prema tom kriteriju maksimalno normalno naprezanje, koje se pojavljuje u

elementa, ne smije biti

2. Kriterij maksimalnog tangencijalnog naprezanja:

max dop. (1.2)

Prema tom kriteriju maksimalno tangencijalno naprezanje, koje se

presjeka konstrukcijskog elementa, ne

3. Kriterij ekvivalentnog naprezanja:

ekv dop. (1.3)

Kriterij krutosti

Prema kriteriju krutosti maksimalna deformacija, koja se pojavljuje kod

1.6. Kriteriji dimenzioniranja 11

dopl l . (1.4)

Pod oznakom l ovdje se podrazumijeva svaka vrsta deformacije.

Kriterij stabilnosti

Prema kriteriju stabilnosti nije dovoljno samo da konstrukcijski element sa

(gubitak stabilnih deformacijskih formi ili oblika), odnosno njegovo izvijanje

ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJE

2.1. Naprezanje

homogena, a nastale deformacije zbog vanjskih sila male, tj. da se nalaze u

Tijela su sastavlj

djeluje

Zbog djelovanja vanjskih sila tijelo se deformira tako da se njegove sitne

deformiranju, suprotna su smjera od smjera djelovanja vanjskih sila i postoje

ela. Intenzitet (dopunskih)

naprezanje (engl. stress).

2.

14 2. Analiza naprezanja i deformacija

su

Q (sl. 2.1) o -

S

intenziteta, kao i sila Q , samo njoj suprotna smjera.

statike, tj. kao krutog i nedeformabilnog tijela, i s

kao

osljedica

da je reakcija veze ista sili Q ,

i A.

x

y

A

I I

QQ=S

Q

S F

Q

presjek I - I cvor A

Q=A

S=F =Q

=0F

A

y

A

Slika 2.1.

2.1.2. Vektor ukupnog naprezanja

deformacije to

Utjecaj koji se od vanjskih sila prenosi na tijelo preko promatrane elementarne

2.1. Naprezanje 15

A,

, F M .

2F

1F5F

3F

4F

nnt

A

O

M

F

Slika 2.2.

0A

vrijedi:

n

0 0

dlim , lim 0

dA A

F F Mt

A A A. (2.1)

Vektor nt F A i

surface traction). Vektor nt

n nx ny nz nx ny nzt t t t t i t j t k . (2.2)

Zbog djelovanja vanjskih sila tijelo se deformira, a zbog toga se pojavljuju

provesti razmatranje analogno razmatranju kojim je ustanovljen utjecaj koji se

U tu svrhu promatrajmo tijelo (sl. 2.3a) na koje djeluje sustav vanjskih sila

kojih su intenziteti F1, F2 Fn. Ako se tijelo pod djelovanjem tog sustava sila

statike. Zamislimo koja je definirana

normalom n , da je


nF

F1

F2

I

II

(R)

3F

iF

i+1F

I

(R)

n

FM

A

ap

O

Fdnp

a) b)

Slika 2.3.

Sada se dio I pod utjecajem vanjskih sila koje na njega d

(R) (R)

A .

elementi glavni vektor F i glavni moment M . Kvocijent

a

Fp

A (2.3)

A. Ako se

0A , bude stalno

unutar A , tada slijedi:

n

0 0

dlim ; lim 0

dA A

F F Mp

A A A, (2.4)

pri np nazivamo vektor ukupnog (totalnog ili punog)

za ravninu definiranu normalom n . Intenzitete vektora

definiranih izrazima (2.3) i (2.4), tj.

a n

d,

d

F Fp p

A A (2.5)

2.1. Naprezanje 17

A , odnosno ukupno

naprezanj O. Dimenzija je naprezanja FL2 i mjeri se jedinicom paskal

(Pascal-2, odnosno 10

6 Pa = 1 MPa = 1 N/mm

2.

nstrukcijskog elementa potrebno je

I

n

np

O

m

l

nl

nm

tn

n

n t

n l m

n = t = l = m =1

Slika 2.4. Rastavljanje vektora ukupnog naprezanja

Vektor ukupnog naprezanja np

normale n

(sl. 2.4). Jedna je komponenta na pravcu normale normalno naprezanje ( n ),

a druga u promatranoj ravnini

( n ). Tangencijalno naprezanje n

komponente me m i l

2.4:

n n n n nm nlp n m l (2.6)

gdje su n , m i l jedin

2 2 2 2 2 2 2n n n n nm nl, np p . (2.7)

np . Skup svih tih vektora np

. Postavlja se zadatak

.


tijela. Sila izaziva translatorno gibanje, spreg rotacijsko gibanje, a moment ima

dvostruko djelovanje.

T

savijanje (fleksiju) i izvijanje. Premda su savijanje silama i izvijanje sastavljeni

od smicanja

ili aksijal

promjeni oblika i volumena (obujma) tijela, a nastala se deformacija naziva

pritom zbiva sastoji se u promjeni njegova oblika, a volumen mu se ne mijenja.

naziva smicanjem. Zbog spomenutog deformiranja pravi se kutovi mijenjaju i

postaju kosi pa se ta deformacija naziva klizanje, a naprezanja koja se pritom

ncijalna)

naprezanja.

Torziju (uvijanje) uzrokuje spreg sila svojim djelovanjem u ravnini

zavojne ili

deformiranja uvijaju jedan u odnosu na drugi, deformacija je klizanje, a

i njegova oblika, a nastala

a koja

2.1. Naprezanje 19

neutralnu lin

Ravno savijanje silama uzrokovano je djelovanjem popre

smic

promjeni njegova oblika, a nastala deformacija tijela ogleda se u produljenju

javljaju su normalna i pos

njegovoj duljini.

ravnine s ukupno devet komponenata naprezanja. Pozitivnom se smatra ona

komponenta naprezanja koja u pozitivnoj ravnini ima smjer pozitivne

koordinatne osi, odnosno koja ima smjer negativne osi u negativnoj ravnini (sl.

2.5). U suprotnom, komponenta naprezanja je negativna. Pri tome se pod

orijentirana u pozitivnom smjeru koordinatne osi, dok se pod negativnom

negativnom smjeru koordinatne osi. Na sl. 4.9a. prikazana su pozitivna

naprezanja x i y, te pozitivna kombinacije naprezanja . Naime xy

pozitivnoj ravnini i ima smjer pozitivne osi y. Ovakva kombinacija pozitivnog

daje pozitivnu kutnu deformaciju koja se sastoji u smanjenju pravog kuta

djeluju i idu jedna prema drugoj (sl. 5.4a).


x

y

+ +

x

y

+

+

negativna

ravnina

pozitivna

ravnina

Slika 2.5. Pozitivno normalno i tangencijalno naprezanje u pozitivnoj i negativnoj ravnini

Na sl. 2.6. prikazane su komponente naprezanja za tri pozitivne ravnine.

Oy

z

x

x

yx

xy

xz

y

yz

zx

zy

z

d

d

d

z

y

x

'

'

'

'

''

'

'

'

Slika 2.6. Komponente naprezanja

paralelopipeda

izdvojenog iz napregnuta tijela (sl. 2.7).

2.1. Naprezanje 21

z

x

y

z

d

d

d

z

y

x

zy

yz

y

yx

xy

xz

zx

zy

z

x

y

yz

yx

zxx

xy

xz

'

'

'

'

'

''

'

'

z

y

yz' yz

Slika 2.7. Elementarni paralelopiped izdvojen iz napregnutog tijela

x y z xy yz xz yx zy zx, , , , , , , ,

dok su komponente naprezanja za preostale tri stranice:

' ' ' ' ' ' ' ' 'x y z xy yz xz yx zy zx, , , , , , , , .

Komponente naprezanja za ostale tri stranice razlikuju se od ovih za prirast

x, y, z), tada prema

Taylorovom pravilu

' xx x

y'

y y

zy'

zy zy

d

d

d

xx

yy

zz

(2.8)

istovrsnima post

linearne elastomehanike.


Djeluje li na elementarni volumen sa sl. 2.7. i volumenska sila

v x y z, , f f f f , jedinice koje su N/m3

0iF , (i = x, y, z), slijedi:

yxxx x x yx yx

zxzx zx x

0 d d d d d d

d d d d d d 0

F x y z y x zx y

z x y f x y zz

y xy

y y y xy xy

zy

zy zy y

0 dy d d dx d d

d d d d d d 0

F x z y zy x

z x y f x y zz

z xzz z z xz xz

yz

yz yz z

0 d d dy d d d

d d d d d d 0,

F z x x y zz x

y x z f x y zy

odnosno:

yxx zxx

xy y zy

y

yzxz zz

0

0

0.

fx y z

fx y z

fx y z

(2.9)

elastostatike. S obzirom na to da ih je prvi izveo Louis Navier (1821), ove se

Navierove

ji

i ji,j i

j

+ 0f fx

(2.10)

Einsteinova konvencija o sumiranju:

2.1. Naprezanje 23

ji

ji,j ji,j xi,x yi,y zi,z

j = x, y, zjx. (2.11)

U izrazu (2.10) indeks j predstavlja ponovljeni (nijemi) indeks jer se pojavljuje

dvaput u jednom pribrojniku i poprima vrijednosti x, y i z, dok indeks i

predstavlja slobodni

pribrojniku toga izraza i poprima vrijednosti x, y ili z. Pritom normalne

komponente naprezanja imaju prva dva indeksa jednaka, npr. xx = x, dok

yx = yx.

2.1.5. Konjugirana naprezanja

Postavimo li sada novi koordinatni sustav (x1, y1, z1) koji je paralelan s

koordinatnim sustavom (x, y, z

0iM , (i = x1, y1, z1),

dobiva:

1

yz

x yz yz

zy

zy zy

d d0 d d d d d

2 2

d d d d d d d 0

2 2

y yM y x z x z

y

z zz x y x y

z

1

zxy zx zx

xzxz xz

d d0 d d d d d

2 2

d d d d d d d 0

2 2

z zM z x y x y

z

x xz y z y z

x

1

zxz zx zx

xzxz xz

d d0 d d d d d

2 2

d d d d d d d 0,

2 2

z zM z x y x y

z

x xx y z y z

x

odnosno


yz zy

yz zy

zx xzzx xz

xy yx

xy yx

2 d 2 d 0

2 d 2 d 0

2 d 2 d 0.

y zy z

z xz x

x yx y

(2.12)

U izrazima za 0 M nisu prisutne komponente normalnih naprezanja i

komponente volumenske sile jer njihovi pravci sijeku svaku od osi

koordinatnoga sustava (x1, y1, z1), kao i komponente tangencijalnih naprezanja

koje su paralelne s koordinatnim osima.

xy yx yz zy zx xz, , . (2.13)

konjugirana naprezanja.

Slika 2.8.

2.1.6. Naprezanja za proizvoljnu ravninu

no ako su poznata

vektor naprezanja np ,

x, y,

z, xy = yx, yz = zy, zx = xz

2.1. Naprezanje 25

ila

C

zn

y

B

xA

O

pny

dy

dx

dz

yx

yz

y

x

z

pnx

pnz

zy

zx

xy

xz

dA

Slika 2.9. Elementarni tetraedar izdvojen iz napregnutog tijela

x, y i z. Ravnina ABC, koja sa spomenutim rav

A n

prema koordinatnim osima:

cos , cos , cosl m r . (2.14)

iznosi h, onda je volumen elementarnog

tetraedra dV = dA h/3.

Komponente vektora ukupnog naprezanja n nx ny nz, , p p p p

0iF , (i = x, y, z):

x nx x yx zx x

d0 d d d d 0

3

A hF p A A l A m A r f

y ny xy y zy y

d0 d d d d 0

3

A hF p A A l A m A r f

z nz xz yz z z

d0 d d d d 0

3

A hF p A A l A m A r f .

A, te pusti da vrijednost

h 0, tada naprezanja u ravnini ABC postaju jednaka naprezanjima u ravnini


nx x yx zx

ny xy y zy

nz xz yz z .

p l m r

p l m r

p l m r

(2.15)

ni ji jp n . (2.16)

e naprezanje za bilo

Cauchyjeve

naprezanja jer ih je prvi izveo Augustin Cauchy (1822).

pnx, pny i

pnz nske ili kontaktne sile nt na koordinatne osi, tj. tnx, tny i tnz.

2.1.7. Tenzor naprezanja

ija presjeka

jedan vektor naprezanja np . Na osnovi provedenih razmatranja u poglavlju

potrebno poznavati devet komponenata naprezanja za spomenute ravnine kroz

Iz matematike je poznato da se skup od 32 = 9 elemenata, gdje se elementi

Descartesov

koordinatni sustav, naziva tenzorom drugoga reda.

devet

definirano tenzorom naprezanja ij .

ku kao:

2.1. Naprezanje 27

xx xy xz x xy xz

ij yx yy yz yx y yz

zx zy zz zx zy z

[ ] , (2.17)

a kako su u matrici tenzora naprezanja tangencijalne komponente konjugirane,

tada je:

T Tij ij ji [ ]=[ ] , (2.18)

tenzor drugoga reda. S

obzirom na to da se njegove komponente pojavljuju u Cauchyjevim

Cauchyjevim tenzorom naprezanja.

vektora kao:

T

ij x y z xy yz zx . (2.19)

K

3 3

ij,j i v+ 0 ili div[ ] 0f f , (2.20)

odnosno

ni ij j nili [ ]p n p n . (2.21)

Uz tenzor drugoga reda kojim se definira stanje naprezanja, stanje

deformacije itd., postoje tenzori prvoga reda (31)

kojima se definira np

tenzori nultoga reda (30),

pravac, smjer), a masa s jednim podatkom (kg).

komponenata napre

jedne komponente naprezanja.

koordinatni sustav zarotira tako da na njegovim pravcima nema komponenata

tangencijalnih naprezanja, odnosno ako se njegove osi poklope s osima glavnih

naprezanja odnosno pravcima glavnih naprezanja, tada se stanje naprezanja za

tri, dva odnosno jednim glavnim naprezanjem. Glavna su naprezanja (1, 2, 3)


vlastite vrijednosti tenzora naprezanja. O prostornom ili troosnom, ravninskom

i u

daljnjim razmatranjima.

naprezanja.

Stanja naprezanja

jednoosno (linearno) dvoosno (ravninsko) troosno (prostorno)

x

x

yxy yx

z

x

y

zyzx

xy

xz

yz

yx

Tenzor naprezanja ij

x 0 0

0 0 0

0 0 0

x xy

yx y

0

0

0 0 0

x xy xz

yx y yz

zx zy z

1 0 0

0 0 0

0 0 0

1

2

0 0

0 0

0 0 0

1

2

3

0 0

0 0

0 0

Slika 2.7. Stanja naprezanja

na sferni i devijatorski

razdvojiti u dva sastavna s

o oij ij ij ili [ ] [ ] [S]S (2.22)

gdje je

o o

ij [ ] sferni dio tenzora naprezanja

ij [ ]S S devijatorski dio tenzora naprezanja.

2.1. Naprezanje 29

Ovdje su o[ ] i [ ]S pisi spomenutih tenzora.

1 0 1 0

2 0 2 0

3 0 3 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

. (2.23)

Shematski je prikaz izraza (2.23) dan na sl. 2.8.

1

2

3

stanje naprezanja

u okolini tocke stanje naprezanja

prvo sastavno

stanje naprezanja

drugo sastavno

0

0

0

1

2

3 0

0

0

- tenzor naprezanja - sferni tenzor naprezanja - devijator naprezanja

ij ij0

ijS

Slika 2.8. Sastavna stanja naprezanja

Pri tome je:

1 2 303

(2.24)

srednje normalno naprezanje.

napregnutog tijela uzet s rubovima paralelnim pravcima glavnih naprezanja, pa

prema tome, na njegove stranice djeluju samo glavna naprezanja 1, 2 i 3.

Takav je paralelopiped prikazan na lijevoj strani sl. 2.8, a njemu odgovara

tenzor naprezanja prikazan na lijevoj strani izraza (2.23).

Prvo od sastavnih stanja naprezanja prikazano je na sl. 2.8. prvim

paralelopipedom na desnoj strani. Njemu odgovara prvi tenzor na desnoj strani

o

naprezanja, kojim je opisano stanje naprezanja, naziva sferni dio tenzora

naprezanja ili sferni tenzor naprezanja.

Drugo od sastavnih stanja naprezanja prikazano je drugim paralelopipedom

desne strane na sl. 2.8. Odgovara mu drugi tenzor s desne strane izraza (2.23) i


on kod izotropnog materijala predstavlja stanje naprezanja kada nema promjene

samo promjena oblika paralelopipeda. U ovom je, naime,

Ovaj dio tenzora naprezanja naziva se devijatorski dio tenzora naprezanja ili

devijator naprezanja.

Kod anizotropnih ma

volumena.

x xy xz 0 x 0 xy xz

yx y yz 0 yx y 0 yz

zx zy z 0 zx zy z 0

0 0

0 0

0 0

(2.25)

x y z

03

. (2.26)

Kako srednje normalno naprezanje predstavlja invarijantu tenzora

naprezanja jer se njegova vrijednost ne mijenja s rotacijom koordinatnog

sustava, to izrazi (2.24) i (2.26) moraju dati iste vrijednosti.

2.2. Deformacija

2.2.1. Pomak, duljinska, kutna i volumenska deformacija

maciji

djelovanja vanjskih sila.

translaciju

rotaciju

2.2. Deformacija 31

ijela imaju jednake brzine i jednake pomake. Pri

mijenja. Pri deformaciji (engl. strain

a, pa tijelo tako mijenja svoj oblik i

svoj volumen

giba kao kruto tijelo, tj. takvi pomaci ne uzrokuju pojavu deformacije.

e naziva se

vektor pomaka pomak.

Na sl. 2.9. prikazano je

tijelo koje se pod djelovanjem

sustava vanjskih sila deformira.

AB, AC i AD

su okomite i paralelne s

koordinatnim osima x, y i z. Pri

1 1A B ,

1 1A C i 1 1A D

y

z

xAB

D C

AB

DC

1

1

1

1

s

Fn

F1

Slika 2.9. Vektor pomaka

1

s i j ku v w u v w (2.27)

intenzitet kojeg je:

s 2 2 2u v w ,

u, v, w pomaci na koordinatnim osima x, y, z.

koordinata x, y i z, tj.

( , , )s s x y z,

odnosno

( , , ), ( , , ), ( , , )x y z x y z x y zu u v v w w .

pomaci pri deformaciji, u pravilu, mali. Stoga se za komponente u, v i w vektora


derivabilne funkcije koordinata x, y i z.

duljinskih i kutnih

deformacija, odnosno duljinskih i kutnih komponenata deformacije jer duljinska

i kutna deformacija samo su komponente jedne te iste deformacije. Duljinska

deformacija ili duljinska komponenta deformacije (normalna deformacija,

Prema sl. 2.9. normalne komponente defo

izrazima:

1 1 1 1 1 1x y zB A C A D A

A B AB A C AC A D ADlim , lim , lim

AB AC AD (2.28)

0

liml

l

l. (2.29)

klizanje) predstavlja promjenu pravog kuta (u radijanima) iz

azima:

xy yx 1 1 1B AC A

yz zy 1 1 1C AD A

zx xz 1 1 1B AD A

lim ABC A B C

lim ACD A C D

lim ABD A B D .

(2.30)

volumenska (obujamska, zapreminska) deformacija v koja predstavlja relativnu

promjenu volumena ili obujma, a definirana je analogno duljinskoj deformaciji

iz izraza (2.29):

v0

limV

V

V. (2.31)

2.2.2. Rastavljanje pomaka na translaciju, rotaciju i deformaciju

dr . Promatrajmo promjene

2.2. Deformacija 33

2.10).

O

x

z

r

A

d

B

s

s

v

u

z

yx

w

y

A

d

II

I

B

r

r'

1

1

1

1

u

v

F1

Fn

Fn

Slika 2.10.

x, y, z x + dx, y + dy, z + dz), tada

1/2

2 2 2d d d d dr r x x x y y y z z z ,

odnosno:

2 2 2d d d dr x y z .

Vektor dr s koordinatnim osima ima kosinuse kutova:

d d d

cos , cos , cosd d d

x y zl m r

r r r. (2.32)


1 1

omponenata kao:

s i j ku v w , (2.33)

1 1 1 1 s i j ku v w . (2.34)

koji su

funkcije koordinata x, y i z,

proizlazi:

1 d ...s s s

odnosno

1 d d ds s s

s s x y zx y z

, (2.35)

ili po komponentama pomaka:

1

1

1

d d d d

d d d d

d d d d .

x y zx y z

x y zx y z

x y zx y z

u u uu u u u

v v vv v v v

w w ww w w w

(2.36)

1i i i,j jdxu u u , (2.37)

gdje ponovljeni indeks j poprima vrijednosti x, y i z, dok slobodni indeks i

poprima vrijednosti x, y ili z.

1 1 1 1

d d d d

s si j k

r r r r

u u v v w w. (2.38)

Kako je na osnovi izraza (2.32) i (2.36):

2.2. Deformacija 35

1

1

1

d

d

,d

ul m r

r x y z

l m rr x y z

l m rr x y z

u u u u

v v v v v

w w w w w

(2.39)

[ ]

u u u

x y zl

m nx y z

rw w w

x y z

v v v (2.40)

ili u indeksnom zapisu:

i ij jn . (2.41)

Tenzor ij [ ] , predstavlja gradijent vektora pomaka il i

tenzor gradijenta pomaka. Ovaj tenzor, kao i tenzor naprezanja, spada u tenzore

n n

dr .

Prilikom prijelaza deformabiln

(translacije i rotacije) kao krutog tijela i njegova deformiranja. Translacija i

rotacija mogu se zamijeniti rotacijom oko trenutnog pola rotacije, tako da ostaju

samo rotacija i deformacija.

Tenzor [ ]

S AS S AS

ij ij ij[ ]=[ ]+[ ] ili (2.42)


S T

1 1

2 2

1 1 1[ ] [ ] [ ]

2 2 2

1 1

2 2

u

x y x z x

x y y z y

x z y z z

u v u w

v u v v w

w u w v w

(2.43)

AS T

1 1

2 2

1 1 1[ ] [ ] [ ]

2 2 2

1 1

2 2

u

x y x z x

x y y z y

x z y z z

u v u w

v u v v w

w u w v w

. (2.44)

Izrazi (2.43) i (2.44) mogu se napisati i u indeksnom obliku kao:

S Tij ij ij i,j j,i1 1

2 2u u (2.45)

AS Tij ij ij i,j j,i1 1

2 2u u . (2.46)

gradijenta pomaka S ASij ij,

prikazan je elementarni paralelopiped.

samo pomake bridova

AB i AC u ravnini (x, y)

osi z

2.2. Deformacija 37

uE G

dz

x

B

F

a) b)

A C

d

dy D

x

y

HC'

A

z'

xd

C''

yd

z

d yy

x

B x

B'

dv

x

z y

Slika 2.11. Rotacija

taciji

y

x

proizlazi:

z z

ddBB' CC'

tan , tand dAB AC

yxyx

x x y y

uvv u

,

z z z ztan , tan ,

z z z1 1

2 2 x y

v u.

x i

y

x y z1 1 1

, ,2 2 2y z z x x y

w v u w v u. (2.47)

Nakon povratka izraza (2.47) u izraz (2


z y

AS ASij z x

y x

0

[ ] 0

0

. (2.48)

rot

i j k

s sx y z

u v w

. (2.49)

Razvijanjem izraza (2.49), slijedi:

rot s i j ky z z x x y

w v u w v u,

tj.

x y zrot 2 2 2s i j k .

Ako na tijelu nema rotacije, tada je rot 0s , odnosno:

x y z 0 , ,y z z x x y

w v u w v u. (2.50)

ni dio

tenzor rotacije.

infinite S Sij [ ] , prikazan

tenzor deformacije

ij [ ] .

te

stranice dx, dy i dz. Neka se duljine tih stranice uslijed deformiranja promijene,

2.2. Deformacija 39

O

xy

z

d

F

B d

A

E

H

G

C

d

D

z

y

x

x xdu

v

Axd

yd

A'

C

yd ''xy

yv

d y

C'

C'''

2 xy

B'''B'

Bu

xd

'xy

x x

vd

B''

C''

yu

dy

Slika 2.12. Dilatacije i klizanja

Osnovica ABCD se u ravnini (x, y)

A'B", a stranica AC u A'C". Iz sl. 2.12. vidljivo je da je:

A'B' AB d , A'C' AC dx y,

A'B'' A'B''' , A'C'' A'C'''.

Duljinske (normalne) deformacije definirane su izrazom (2.28), pa se u

a:

x

y

d d dA'B''' A'B'

dA'B'

d d dA'C''' A'C'

.dA'C'

x x xx

x x

y y yy

y y

uu

v

v

z

duljinske deformacije (dilatacije) iznose:

x y z, ,x y z

u v w. (2.51)


Osim promjene duljina stranica koje su opisane duljinskim deformacijama,

kuta predstavlja kutnu ili tangencijalnu deformaciju (klizanje), a na osnovi sl.

2.12, promjena pravog kuta (ABC) iznosi:

xy xy xy .

Prema sl. 2.12, izlazi:

xy

x

xy

y

dB''B'''

tan1A'B''' d d 1

dC''C'''

tan .1A'C''' d d 1

xx x x

x xx x

yy y y

y yy y

v v v

u u

u u u

v v

xy xy x xy

xy xy y xy

tan , 1

tan , 1 ,

x

y

v

u

slijedi da je:

xyy x

u v.

xy yx yz zy zx xz, ,y x z y x z

u v v w w u. (2.52)

x xy xz

S Sij yx y yz

zx zy z

1 1

2 2

1 1[ ]

2 2

1 1

2 2

. (2.53)

2.2. Deformacija 41

Promatrajmo infinitezimalni

pravokutni paralelopiped na sl. 2.13.

Neka se duljine tih stranica uslijed

deformiranja promijene za du, dv, dw. Kako se radi o malim deformacijama,

zanemarimo utjecaj kutnih

deformacija na promjenu visine

paralelopipeda. y

z

dy

dx

dzx

du

dv

dw

Slika 2.13. Volumenska deformacija

d d d dV x y z,

dok je volumen deformiranog paralelopipeda:

1d d d d d d dV x y zu v w .

Prema izrazu (2.34), volumenska (obujamska) deformacija iznosi:

1v

d d d d d d d d dd d d=

d d d d d

x y z x y zV V V

V V x y z

u v w

v x y z1 1 1 1,

odnosno

v x y z x y y z z x x y z. (2.54)

Kako je kod malih deformacija x 1, y 1, zkomponenata deformacije u izrazu (2.54) mogu zanemariti, pa se dobiva:

v x y z . (2.55)

Deformiranje tijela kod kojeg se njegov volumen ne mijenja, kao npr. u

izohorno

deformiranje.

2.2.4. Tenzor deformacije


trica tenzora deformacije, odnosno tenzor deformacije

x xy xz

xx xy xz

ij yx yy yz yx y yz

zx zy zz

zx zy z

1 1

2 2

1 1[ ]

2 2

1 1

2 2

. (2.56)

Ako su pomaci (u, v, w) i njihove derivacije mali, tada se komponente

xx x xy yx xy yx

yy y yz zy yz zy

zz z zx xz zx xz

, 2 2

, 2 2

, 2 2 ,

x y x

y z y

z z x

u u v

v v w

w u w

(2.57)

ij i,j j,i1

2u u . (2.58)

Izraz (2.58) predstavlja Cauchyjev tenzor deformacije.

glavnih dilatacija ( 1, 2, 3), u

obliku:

1

ij 2

3

0 0

0 0

0 0

. (2.59)

Glavne dilatacije predstavljaju vlastite vrijednosti tenzora deformacije.

sferni i devijatorski dio:

o oij ij ij ili [ ] [ ] [ ]e e (2.60)

gdje je

o o

ij [ ] sferni dio tenzora deformacije (sferni tenzor deformacije)

2.2. Deformacija 43

ij [ ]e e devijatorski dio tenzora deformacije (devijator deformacije).

1 0 1 0

2 0 2 0

3 0 3 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

, (2.61)

x xy xz x 0 xy xz

0

yx y yz 0 yx y 0 yz

0

zx zy z zx zy z 0

1 1 1 1

2 2 2 20 01 1 1 1

0 02 2 2 2

0 01 1 1 1

2 2 2 2

, (2.62)

gdje je 0 srednja duljinska deformacija, koja iznosi:

x y z1 2 3

03 3

. (2.63)

Sferni dio tenzora deformacije (ili sferni tenzor deformacije) daje

deformaciju koja se sastoji samo u promjeni volumena bez promjene oblika, a

devijatorski dio tenzora deformacije (ili devijator deformacije) daje samo

promjenu oblika bez promjene vo

jednake, a kutne su deformacije (klizanja) jednake nuli, odnosno kutovi se

elementa ne mijenjaju, pa stvarno postoji samo promjena volumena. Kod

d

postoji samo promjena oblika.

2.2.5. Uvjeti kompatibilnosti

Tenzor deformacije [ ]

x y z xy yx yz zy zx xy, , , , ,

koje ovise o tri poznate komponente pomaka:

, , u v w .

Sve te komponente deformacije, od kojih su tri duljinske (normalne)

d


pomaka derivabilne funkcije koordinata x, y i z.

omaka,

Da bi se integri

u, v i w, moraju biti ispunjeni uvjeti kompatibilnosti

oblika: ili da su normalne deformacije funkcija kutnih, ili obrnuto.

Ako, na primjer, komponentu tenzora deformacije:

xyy x

u v

uzastopce deriviramo po koordinatama x i y, slijedi:

2 222 2 2xy yx

2 2 2 2x y x y y x x yy x y x

u v u v.

deformacije, a u kojima su kutne deformacije dane u funkciji normalnih deformacija. Te su je

2 22xy yx

2 2

2 2 2yz y z

2 2

2 2 2zx z x

2 2.

x y y x

y z z y

z x x z

(2.64a)

u kojima su normalne deformacije dane u funkciji kutnih deformacija.

One glase:

45

2x

2y

2z

1

2

1

2

1.

2

yz xyzx

yz xyzx

yz xyzx

x x y z y z

y x y z x z

z x y z x y

(2.64b)

Saint-Venantovi uvjeti

kompatibilnosti komponenata deformacije.

Pre

Prema vrsti, naprezanja dijelimo na:

osnovno naprezanje (samo normalno ili samo tangencijalno)

tangencijalnog naprezanja).

stanje naprezanja.

Prema glavnim naprezanjima, stanja naprezanja dijelimo na:

linearno ili jednoosno

ravninsko ili dvoosno

prostorno ili troosno.

np uvi

u istoj ravnini ili mijenja svoju orijentaciju u prostoru. Ovisno o tome,

pojavljuju se jedno, dva ili tri glavna naprezanja prema kojima su nazvana

spomenuta naprezanja.

Deforma

duljinska (dilatacija, normalna)

te na vrstu deformacije.

A

3.1. Naprezanje i deformacija

z

tension compression), ovisno o smjeru

njegova djelovanja (sl. 3.1).

F C

A B

DF

z

C

A B

D

FFC'

A' B'

D'

z

FC

AB

DF

z

C

A B

D

FF

C'

B'

D'

z

A'a) vlacno b) tlacno

Slika 3.1.

ti koncentrirane sile, vlastita

temperaturne promjene i sl.

Podrazumjevamo da rezultanta bilo kojeg od navedenog uzroka aksijalnog

nazivamo .

3.

50

intenzitetu i smjeru djelovanja, mora biti jednaka rezultanti vanjskih sila, samo

suprotna smjera (sl. 3.2).

F F

I

A

II

F

I

N

A

d

zz

A

dA

dA

=

Slika 3.2.

na dva dijela: I i II. Odstrani li se dio II, tada

a jedinicu

z, a na svakoj elementarnoj

A, sila zdA .

N i koji

dijela (di

F i rezultantom

N,

z

z

z

0 0

d 0

d .

A

A

F N F

A F

F A

z,

F.

3.1. Naprezanje i deformacija 51

tj. z =

const. Na osnovi toga, posljednji izraz postaje:

zF

A.

Faktor z

normalno naprezanje N rezultanta

z ,N F

N FA A

, (3.1)

) na

tl

svih vanjskih aksijalnih sila koje na presjek djeluju gledano s iste strane

presjeka. U izrazu (3.1) aksijalnu smo silu N A

g presjeka, a tako se dobiveno naprezanje naziva

ili nominalnim (konvencionalnim) naprezanjem.

Definira li se pak, normalno naprezanje kao:

z1

N

A, (3.2)

gdje je A1 a se takvo

naprezanje naziva stvarno ili Cauchyjevo

deformacija A A1 postaju

Izraz (3.1), odnosno (3.2), pretpostavlja jednoliku raspodjelu naprazenja po

udaljen od presjeka u kojem djeluje sila. To su presjeci II na sl. 3.3.

52

l

l

a

b

b

I I

1

b1

b

I I

a1

z

b a>( )

y

zx

Slika 3.3.

1l i duljine prije deformiranja l ,

ukupno ili apsolutno produljenje:

1l l l . (3.3)

l > 0, l < 0.

uvedena je kao mjera deformacije omje

zl

l. (3.4)

relativno produljenje ili dilatacija, odnosno normalna

deformacija

definirana normalna deformacija, dobivena tako da je produljenje podijeljeno s

l, naziva

sa 100, dobiva se z (%).

Podijeli li se, pak, l sa trenutnom duljinom l1, dobiva se stvarna

deformacija, tj.

Sz z1 1 1

l l l l

l l l l. (3.5)

za deformaciju, dok se za opisivanje velikih deformacija, a koje su izrazito

nelinearne, oba izraza smatraju neprikladnima zbog njihova linearnog karaktera.

Greenova

deformacija:


2 22 2G 21z z z2 2

1

22 2

l l ll l

l l (3.6)

ili Almansijeva deformacija:

222 22

1 1A S S1z z z2 2

1

1

22 2

l l ll l

l l. (3.7)

Zamijeni li se, pak, l u izrazu (3.5) s infinitezimalnim inkrementom

(prirastom) produljenja dl1 l1, dobiva se tzv.

inkrementalna deformacija:

1

z

1

dd

l

l. (3.8)

Nakon integriranja izraza (3.8), proizlazi:

1 1

1 1Lz z z

1

d= d ln ln ln 1

l l

l l

l l l l

l l l. (3.9)

prirodna ili logaritamska deformacija. Izraz (3.9) koristi

ija, a koje se pojavljuju npr. kod

Razvije li se izraz (3.9) u Taylorov red, proizlazi:

L 2 3 4z z z z z z1 1 1

ln 12 3 4

(3.10)

Kako je za male deformacije 1, to se u izrazu (3.10) osim prvoga mogu

Lz z (3.11)

iste vrijednosti. Kako su u usvojene pretpostavke da su

deformaciju koristiti samo ona dana izrazom (3.5).

Produljenje elementarnog dijela infinitezimalne duljine dz jest dz, pa je

dilatacija:

z

d

d

z

z,

a ukupno ili apsolutno produljenje suma je produljenja elementarnih dijelova, tj.

54

z0 0

d dl l

l z z. (3.12)

Za integraciju izraza (3.12) mora biti poznata promjena:

z z( )z .

1 1,a a a b b b. (3.13)

a < 0 i b < 0, a > 0 i b >

0.

R

x y p x y, ,a b

a b. (3.14)

sti:

p

z

, (3.15)

naziva se Poissonov koeficijent. Za konvencionalne je materijale Poissonov

p i z

rasponu 0 0,5. Kod izohornog deformiranja

Postoje i neki umjetni materijali za koje je Poissonov koeficijent negativan,

deformiranja A = ab presjeka:

1 x z

1 y z

1 1

1 1 ,

a a a a a

b b b b b

1 1 1 z z

2 2 2z z z

1 1

1 1 2 ,

A a b a b

A A


odnosno kako je za male deformacije z 1, tada je:

1 z1 2A A . (3.16)

Relativno smanjenje ili kontrakcija

iznosi:

1

z2A A

A. (3.17)

Relativno produljenje z karakteristike su

2

1 1 1

2

2 2 2 2 3

1 1

1 1 1

2 2 ,

V V V A l Al A l Al

Al

Al

odnosno kako je za male deformacije 1, slijedi:

2 1 2V Al V . (3.18)

Relativna promjena volumena (volumenska dilatacija) iznosi:

v 1 2V

V. (3.19)

Eksperimentalno je ustanovljen l pri zagrijavanju, tj. pri

promjeni temperature za t , promijeni svoju duljinu za tl . Ta promjena

duljine iznosi:

t tl l t , (3.20)

dok topli

tt tl

tl

, (3.21)

gdje t predstavlja koeficijent toplinskog rastezanja. Dimenzija koeficijenta t je

1/K ili 1/oC.

56

3.2. Dijagram

poznavati i

i test) na stroju za kidanje

Fi l i. Eksperiment se izvodi do prekida

pokusne epruvete.

i dilatacije . Ove vrijednosti se dobiju na osnovi relacija

(3.1) i (3.4), tj.

i ii i,

F l

A l.

Kada se ovako dobivene vrijednosti unesu u koordinatni sustav, i to tako da

deformacije budu na apscisi, a naprezanja na ordinati, dobije se konvencionalni

ili i defomacije . Takav

O

E

P

G

M

stvarnidijagram

konvencionalni

dijagram

K

T1

T2

HelG

plG

G

pocetni

promjer

b)a)

kontrakcija

Slika 3.4. Dijagram

3.2. Dijagram 57

Punom je linijom prikazan konvencionalni dijagram , a isprekidanom

stvarni

prema izrazima (3.2) i (3.9):

i ii i

1i

, ln 1F l

A l.

2, pa se i krivulje stvarnog i

konvencionalnog dijagrama razlikuju.

U dijagramu

P granica proporcionalnosti

propor

p .

E

naprezanje

E u dijagramu . E deformacije su

svoj prvobitni oblik naziva se . Granicu

E

0.01 ili 0.005, tj.

naprezanje pri kojem ostaju trajne deformacije od 0,01 % ili 0,005 %, odnosno

= 0,0001 ili 0,00005.

T1, T2

posljedicu pojavu traj

trajno deformirati naziva se

1

2.

1 i T2 nazivaju se naprezanje na gornjoj,

58

odnosno donjoj 1 2T T i .

)

vete nagnute o

normale s aksijalnom osi epruvete zatvaraju kut od 45o (vidi poglavlje 4.1).

naprezanja iznad T

G

avcu GH koji je paralelan s pravcem OP. Kod G

pl

u ukupnoj deformaciji G

(povratnu) deformaciju Gel

prikazanom na sl. 3.4, onda takvu pojavu nazivamo materijala

(engl. strain hardening

tada imamo materijala (engl. strain softening).

yield

point T1 T2 usvaja kao naprezanje na

yield stress, yield strength

T, odnosno ili Y

T uzima se

naprezanje 0.2 pri kojem ostaju trajne deformacije od 0,2 % ( = 0,002) (sl.

3.5).

T

K

M

P

Opl

T

=0,002 (0,02 %)

Slika 3.5. T = 0.2

3.2. Dijagram 59

M

.

ispitivanju i naziva se granica

ili (engl. ultimate tensile stress, ultimate tensile

strength M. Od

i, a kad se

necking), na jednom mjestu epruvete (sl.

oslabljen

stalim dijelovima epruvete.

K granica loma

Lom epruvete nastupa na mjestu kontrahiranog presjeka pri naprezanju

K koje je manje od maksimalnog naprezanja M . To smanjenje vrijednosti

naprezanja javlja se

smanjenjem naprezanja. U stvarnom se dijagramu (isprekidana linija) vidi da

stvarno naprezanje raste i nakon pojave kontrakcije epruvete, a razlog je t

Dijagrami su rastezanja ( ) raznih materijala raznoliki, ali se mogu

60

O

polimernimaterijal

duktilnimaterijal

konstrukcijskicelik

krhkimaterijal

O

beton

O

TT

K

olovo, glina

b)

c)a)

P

P

P

P

(krhki materijal)

Slika 3.6. Dijagrami

Materijali koji mogu podnijeti velike deformacije prije loma nazivaju se

duktilni ili materijali, a oni koji pucaju pri vrlo malom produljenju (< 5 %)

nazivaju se krhki materijali.

temperaturama krhak. Za neke je krhke materijale poput betona (sl. 3.6b),

i

-

deformacije odvija bez promjene naprezanje.

pri ras

odgovara

razlikuje. Kod betona je ta razlika (8- 4) puta.

U praksi su mnoge konstrukcije ili pojedini njihovi dijelovi podvrgnuti

onovni ciklus itd. Na sl 3.4a vidljivo je da proces

3.2. Dijagram 61

G bila

el plras

U do

posebn

Puzanje

p optereti, a zatim dulje

vremena. Ta se pojava naziva puzanje (engl. creep). Metali iskazuju sklonost

200o o

C, dok se kod betona ili nekih polimernih materijala

rati i pri normalnim temperaturama. Izgled krivulje

prikazana je krivulja puzanja = (t) za konstantno naprezanje i konstantnu

temperaturu T. Pri tome je proces puzanja mog

primarno, sekundarno i tercijarno puzanje. Kod primarnog ili inicijalnog

puzanja (engl. primary creep

deformacije = d / dt. Deformacija kod sekundarnog puzanja (engl. secondary

or steady-state creep) raste uz =const., dok kod tercijarnog puzanja (engl.

tertiary or accelerating creep) brzina deformacije naglo raste, te nastupa lom.

62

tO

tO

tO

=const.

=const.

T =const.

krivulja

puzanja

0

brzina

deformacije

ddt

=

Slika 3.7. Puzanje materijala

Relaksacija

naprezanja pri istoj dilataciji. Ova se pojava naziva relaksacija naprezanja

(engl. stress relaxation). Naprezanje se, pritom, smanjuje na vrijednost pri kojoj

bi za isto vrijeme zbog puzanja nastupila dana dilatacija. Krivulja relaksacije

naprezanja za konstantnu deformaciju prikazana je na sl. 3.8.

3.2. Dijagram 63

tO

tO

krivulja

relaksacije

Slika 3.8. Relaksacija naprezanja

Bauschingerov efekt

za vlak i tlak (sl. 3.9). Ako se npr. uzorak najprije optereti na vlak iznad granice

HT'G'

nastupit T '

zapazio Johann Bauschinger tijekom svojih ispitivanja provedenih na uzorcima

Mitteilungen

naziva Bauschingerov efekt.

64

O

T

H

T'

G'

T

G

T

T

T

TT

2

'

Slika 3.9. Bauschingerov efekt

zaostaje, tako da se u dijagramu zapravo stvara petlja (sl. 3.10). Ova

pojava zaostajanja dilatacije za naprezanjem naziva se

pravcem, kao na sl. 3.6.

O

P

T

GG'

Slika 3.10.

3.3. Hookeov zakon 65

3.3. Hookeov zakon

da je materijalno linearan, a

ovisnost

E . (3.22)

Hookeov zakon zakoni

zakonu, naprezanje razmjerno deformaciji, faktor proporcionalnosti E, prema

(3.22), iznosi:

const. tanE

u dijagramu (sl. 3.3), a naziva se

ili Youngov modul iju

naprezanja Pa = N/m2, i predstavlja normalno naprezanje koje bi izazvalo

h deformacija kada se

ovisnost prikazuje dijagramom . Na apscisu

se nanose kutne deformacije, a n

Hookeov zakon za smicanje, a koji daje linearnu ovisnost tangencijalnih

G , (3.23)

gdje G predstavlja modul smicanja (klizanja) ili Coulombov modul, dimenzije

Pa.

E, modula smicanja G i Poissonova koeficijenta

ovisnost:

2 1

EG . (3.24)

Ako se u izraz (3.22) uvrste izrazi (3

napisati u obliku:

66

.N l Nl

E lA l AE

(3.25)

Ponekad se izraz (3.22) naziva prvi oblik, a izraz (3.25) drugi oblik Hookeova

zakona. Produkt AE u izrazu (3.25) naziva se aksijalna krutost

opiranja materijala tijela deformiranju.

i iuk ii i

N ll l

A E. (3.26)

U izrazu (3.26) indeks i N, l, A i E.

Pri tome, na duljini i- N, A i E moraju bit konstantni. Ako se te tri

0 0 0

l l lN

l dz dz dzE AE

. (3.27)

funkciju .N AE

za deformaciju potrebno rabiti nelinearne mjere, izrazi (3.6), (3.7) ili (3.9).

A B

(sl. 3.11), tada promjena naprezanja z(z

promatranog dijela duljine (l z ), iznosi:

z 0 ( )F N z Q A g l z

z( )

( ) .N z

z g l zA

(3.28)

Promjena aksijalne sile D(N) koja odgovara promjeni naprezanja D(),

B, gdje je aksijalna sila Nmax = g Al G, a

naprezanje max = g l .

67

l z

z

CQ=A

z

lz A

B

g l z( )

D( )

++

ND( )

+

D( )l

Slika 3.11. Aks

z iznosi:

2zz0 0 0

( ) 1( ) ( )d d - d

2

z z zz g gl z z z z l z z l z z

E E E,

odnosno ukupno je produljenje:

2

uk C2 2 2

g Al lgl Gll

E AE AEw . (3.29)

Iz izraza (3.29) vidimo da je ukupno produlj

koje bi bilo da u presjeku C djeluje aksijalna sila intenziteta jednakog vlastitoj

z

sila F , tada izrazi (3.28) i (3.29) postaju:

z( )F

z g l zA

(3.30)

uk C2

l Gl F

AEw . (3.31)

68

3.5. Toplinska naprezanja

uzrokom pojave naprezanja.

javljaju

naprezanja koja nazivamo toplinska naprezanja.

temperature t l taprezanja. To je, zapravo,

l + l t) djelovanjem sile F sabijemo na duljinu l.

FB=FFA=F

A B

l

A, Et+ t

l+ l t

Slika 3.12.

Na osnovi deformiranja tijela dobivamo:

t F 0l l l

t t0F l F

l t E tAE A

t t .E t (3.32)

t t .E

69

od tih spojeva rastavljivi spojevi, a drugi nerastavljivi spojevi. Svaki se od

vrsta zavarenih spojeva i vrsta zavara dano je na sl. 3.13.

a

t

a )

a

a

a

a

1 b )1 c )1

d )1 e )1 f )1

g )1 h )1

Slika 3.13. Zavareni spojevi i vrste zavara

a1 i spoj V zavar, b1 X zavar,

c1) T-spoj kutni zavar, d1) T-spoj udubljeni kutni zavar,

e1) T-spoj dvostruki kutni zavar, f1) preklopni zavareni spoj kutni zavar,

g1) T-spoj 1) T-spoj dupli XY zavar

Napomena: t debljina stijenke, a debljina zavara

0,7a t (t debljina najtanjeg zavarenog dijela).

ebljini lima (sl. 3.14).

FF t

F Ft do 8 mm

I zavar

F F

(12 - 40) mm

X zavar

F F

(10 - 16) mm

V zavar

Slika 3.14.

-F" prikazana je na sl. 3.15.

70

F F

vlak

F

Fvlak

tlak

Slika 3.15 -F"

F

F

F

t

F

F

l l=

F

tl l=

t

A - Aa t=

l

F

lA A

l

F

A A

a

A - A

l

F F

a l A

12

F F

a l l a l

Slika 3.16.

3.7. Koncentracija naprezanja 71

3.7. Koncentracija naprezanja

U konstrukcijama se upotrebljavaju i takvi elementi koji na pojedinim

k mogu imati oslabljen zbog utora, provrta ili

a u

usporedbi s drugim, neoslabljenim njegovim presjecima (sl. 3.17). Naprezanje

naprezanje naziva vr.

N

provrt

vr

An

N

N N

sr

An

N

An

N

Slika 3.17. Koncentracija naprezanja

M

sr koje bi vladalo na tom presjeku ako

pretpostavimo jednoliku raspodjelu po neto-presjeku. Iz toga se dobiva

koeficijent koncentracije naprezanja:

vrk teorsr

, (3.33)

sr = F / An, dok je An neto-

Koncentracija naprezanja izazvana bilo kojim od spomenutih razloga

72

zamora (engl. fatigue)

ispitivanja u vezi s koncentracijom naprezanja obavljao je R. E. Peterson, u

racije

naprezanja k teor

nisu sitnozrnati,

mogu se primijeniti smanjene vrijednosti koeficijenta koncentracije naprezanja :

k stv k teor1 1q . (3.34)

Pri tome je q koeficijent osjetljivosti materijala prema lokalnim naprezanjima

koji je eksper

deformacije. Pri dimenzioniranju je vr

Koeficijenti ak teor, i q imaju

prikazano u poglavlju 7, knjige ,

Turkalja.

Uslijed djelovanja vanjskog

mijenja svoj oblik i volumen. Ovaj se proces deformiranja odvija u skladu sa

(prvi zakon termodinamike):

W Q K U , (3.35)

gdje je:

W en na deformiranje tijela

Q

K

U

opter

W U , (3.36)

i dimenzioniranje 73

pretvara se u potencijalnu energiju deformiranja.

Kako je vidljivo iz dijagrama na sl. 3.4,

21 1

2 2V V

U dV dVE

. (3.37)

21 1 1

2 2 2U V Al Al

E E,

a uz vrijednosti dane izrazima (3.1) i (3.4):

1

,2

F lU Al

A l

pa izraz (3.36) glasi:

2

F lW U . (3.38)

Izraz (3.38) predstavlja Clapeyronov teorem

energija linearno-

polovici produkta sile i deformacije na kraju procesa deformiranja.

naprezanja i dimenzioniranje

a, ali i

ost naprezanja iznad koje nastupa lom

materijala konstrukcijskog elementa. S obzirom na upotrijebljeni materijal, kao i

(engl. allowable stress).

, odnosno 0.2 f , a kad se

M (ili m fM.

74

Mdop dop ili f f

. (3.39)

i M razlikuju, jasno je da je i f f .

Tablica 3.1.

MATERIJAL E G t

MATERIJAL 0.2 ( ) M (vlak)

GPa GPa - 10-7 1/

oC Mpa MPa

200-220 80-81

0,28-0,32

125 S 235 JR1) 235 340-470

Lijevano

100-180 45

0,25-

027 87-111 S 355 J2G3 1) 355 490-630

Bakar 84-130 40-

49

0,31-

0,34 165 E 360 1) 360 670-830

Bronca 115 40-

42

0,32-

035 175 PH 235 2) 235 360-480

Mjed 90-120 35-

37

0,32-

042 180 16 Mo 2) 275 440-590

Aluminij 63-75 26-

27

0,32-

0,36 255 C 35 3) 430 630-780

Magnezij 45 17 0,32 260 260-380 520-600

Olovo 17 7 0,21 290 Sivi lijev - 90-290

Staklo 56 22 0,27 80 Nodularni

lijev 220-600 350-900

Beton 15-40 - 0,08-0,18

100-140 Bakar - 210-300

Guma 0,01 - 0,47 - Aluminij - 70-130

Pluto 0,006 - - - Duraluminij 50-130 170-350

1) DIN EN 10025

2) DIN EN 10028

3) DIN EN 10083

max

dop

FA

75

maxmax dop

F

A.

za zadani pr

max dopF A .

zadovoljen i kriterij krutosti:

maxmax dop

F ll l

AE,

dopl

) ne moraju

glase:

max dop max dop

max max

,F Fl

l lA AE

.

STANJA NAPREZANJA

vektora ukupnog naprezanja np . Ako vektor naprezanja np

pravcu bez obzira na orijentaciju presjeka, stanje je naprezanja linearno ili

jednoosno ravninsko ili

dvoosno. Ako vektor ukupnog naprezanja np mijenja orijentaciju u prostoru,

tada je stanje naprezanja prostorno ili troosno.

4.1. Jednoosno stanje naprezanja

presjecim

kidanja, koje se naziva krhkim, i razaranje zbog smicanja, koje se naziva

ili viskoznim.

4.

134 Stanja naprezanja

ma u kojima se javljaju normalna

normalne i tangencijalne komponente vektora ukupnog naprezanja razmotrit

F

c)

np An

nnAnt

An n

nA

F F

a)

F

b)

dA

N

Slika 4.1.

Oznake su ove:

F ..........

np ......... vektor ukupnog naprezanja na kosome presjeku

zA .........

nA ......... n z cosA A

n ......... normalno naprezanje

n ..........

.......... kut kosog presjeka

, n t ....... normala i tangenta ravnine kosog presjeka

Intenzitet je ukupnog naprezanja:

nn z

cosF F

pA A

. (4.1)

(tangencijalnih) naprezanja

Ay i dAz

dovoljno postaviti sam

4.1. Jednoosno stanje naprezanje 135

z Az

Az

Ay

nA

tn

Az Ancos

a) b)

t

n

n An

Az z

nn A

Ay An sin

d

n And

n And

pn And

d

d

d

d

d

d

d

=

=

d

d

d

Slika 4.2.

n n n z z

2

n n z n

0 d d cos 0

d d cos 0

F A A

A A

2n zcos , (a)

odnosno uz supstituciju 21

cos 1 cos22

proizlazi:

n z1

1 cos22

. (4.2)

Izrazom (4.2), kao i izrazom (a) definirana je promjena normalne komponente

ukupnog naprezanja na kosome presjeku, tj. n = n(

ekstremne vrijednosti te komponente

ekstrema funkcije. Tada na osnovi izraza (4.2) slijedi:

nz

dsin 2 0

d.

Ovaj je uvjet ispunjen uz:

0 i 2

.

Dalje je:

2

nz2

d2 cos2

d,

0 i 2 slijedi:


2

nz2

2

nz2

d0 2 0..............maksimum

d

d2 0...............minimum.

2 d

0 i 2 u izraz (4.2) dobiva se:

n z max 1

n min 2

0

0 .2

(4.3)

Na osnovi izvedenog slijedi da normalna komponenta ukupnog naprezanja

(tj. normalno naprezanje) ima ekstremne vrijednosti kada su kutovi kosoga

presjeka 0 i / 2 i te vrijednosti iznose z, odnosno nula. Ekstremnu

vrijednost normalne komponente ukupnoga naprezanja na kosome presjeku

nazivamo glavno naprezanje. Vidljivo je da postoji samo jedno glavno

1. Stoga se to naprezanje i

naziva jednoosno naprezanje. Vrijednost drugog glavnog naprezanja 2 jest

glavni pravac, a

ravnina na koju je taj pravac okomit naziva se glavna ravnina.

di:

t n n z z

n n z z

0 d d sin 0

d d cos sin 0

F A A

A A

n z sin cos , (b)

a uz supstituciju 2 sin cos sin2 , izlazi:

n z1

sin 22

. (4.4)

Izrazom (4.4), odnosno izrazom (b) definirana je promjena tangencijalne

komponente ukupnog naprezanja, odnosno tangencijalnog naprezanja na kosome

presjeku, tj. n = n( ). Pritom valja naglasiti da prema sl. 4.2, a u skladu s

definicijom pozitivnog i negativnog tangencijalnog naprezanja iz poglavlja

2.1.4. (sl. 2.5), izraz (4.4) predstavlja zakon promjene negativnog naprezanja n.

Da bi se dobio zakon promjene pozitivnog tangencijalnog naprezanja, potrebno

je u izraz (4.4) uvesti supstituciju n n

n z1

sin 22

. (4.5)

Primijeni li se i ovdje pravilo o ekstremu funkcije, slijedi:

4.1. Jednoosno stanje naprezanje 137

nz

dcos2 0.

d

Ovaj je uvjet ispunjen za:

4.

Dalje je:

2

nz2

d2 sin 2

d.

4 slijedi:

2

nz2

2

nz2

d2 0.........maksimum

4 d

d2 0..............minimum.

4 d

4

n z I max

n z II min

1

4 2

1.

4 2

(4.6)

ekstremne vrijednosti tangencijalnog naprezanja. Na

ravninama koje s glavnim ravninama zatvaraju kut 4. Pravci normale

ravnina na kojima djeluju ekstremne vrijednosti tangencijalnih naprezanja

II , i nazivaju se pravci ekstremnih vrijednosti tangencijalnih

naprezanja

naprezanja nanose ispod

Ako se u izraz (4.5) uvrsti vrijednost 0 i / 2, slijedi da su

tangencijalna naprezanja u ravninama glavnih naprezanja jednaka nuli, a ako se

u izraz (4.2) uvrsti vrijednost 4,slijedi da je vrijednost normalnog

naprezanja na pravcima ekstremnih vrijednosti tangencijalnih naprezanja

jednaka z 2 , tj.:


n max 1 n

n min 2 n

n max, min n z

0 0

0 02

1

4 2

(4.7)

Promjenu komponenata naprezanja n i n na kosome presjeku u funkciji

kuta kosog presjeka

Ako se iz izraza (4.2) i (4.5), koji se mogu napisati kao:

n z z

n z

1 1cos2

2 2

1sin 2 ,

2

eliminira kut , tako da se oba izraza prvo kvadriraju, te se zatim zbroje, slijedi:

2 2

2

n z n z

1 1.

2 2 (4.8)

z 2R

zS 2;0 (sl. 4.3), koju nazivamo . Na toj su

n i n za kosi presjek pod kutom . Pri tome,

n, n) nalazi iznad apscise, tangencijalno naprezanje n ima

takav smjer na kosom presjeku da ono zarotirano za 90o suprotno rotaciji

kazaljki na satu, djeluje na taj presjek

apscise, tangencijalno naprezanje n zarotirano za 90o suprotno rotaciji kazaljki

na satu, djeluje na kosi presjek u skladu

sa sl. 2.5. (poglavlje 2.1.4), iznad apscise dobivaju negativna, a ispod apscise

pozitivna tangencijalna naprezanja.

karakteru z naslanja s lijeve strane na ordinatu (os ), pri

1 = z , dok je 2 = . Glavni pravac (1)

poklapa se s apscisom, a glavni pravac (2) s ordinatom. Ako je pak z

naslanja s desne strane na os , uz 1 = 0 i

2 = z glavni pravac (1) poklapa s ordinatom, a glavni

pravac (2) s apscisom.

Karl Culmann

naprezanja, a po Otto Mohr (1895).

4.2. Dvoosno stanje naprezanje 139

n

n

n

n

2n

n

1

g. rav. (1)

OS

N

g. pr. (1)

II

=0

1=

n n= =0

412

R= z

N'

I

12

= zn

12

= zI

4

12

z

n

II

max=

Slika 4.3.

Uzmu li se u obzir izrazi (4.3) i (4.5), vrijednosti komponenata n i n mogu

se napisati u funkciji glavnoga naprezanja 1, tako da izrazi (4.2) i (4.5)

dobivaju ovaj oblik:

n 1

n 1

11 cos2

2

1sin 2 .

2

(4.9)

4.2. Dvoosno stanje naprezanja

glav

x i y u njezinoj


4.2.1.1. Glavna naprezanja i ekstremne vrijednosti tangencijalnih naprezanja

x i y pozitivne

x > y. Promjenu normalnog i tangencijalnog naprezanja na

itezimalnom dijelu volumena

x

y

y

z

x

a) Tanka ploca

t

nA

y

x

yA

xAnA

yAy

n

t

t

c) Zatvoreni poligon sila

O

y

xxAx

nAnnAn

d

d

d

d

d

dd

Ax Ancos

Ay An sin

d

d

d

d

=

=

n

t

nAnd

nAndxAx d

yAy d

np And

Slika 4.4. -


n n n x x y y

2 2

n n x n y y

0 d d cos d sin 0

d d cos d sin 0

F A A A

A A A

2 2n x ycos sin . (a)

Uz:

2 21 1cos 1 cos2 ; sin 1 cos2 ,2 2

iz izraza (a) slijedi:

n x y x y1 1

cos22 2

. (4.10)

Izraz (4.10), kao i izraz (a), predstavlja zakon promjene normalnog naprezanja

na kosom presjeku, tj. n = n( ). Prim

funkcije, dobiva se:

nx y

dsin2 0

d.


0, 2

.

Dalje je: 2

nx y2

d2 cos2

d,

2 ,0 slijedi:

2

nx y2

2

nx y2

d0 2 0.........maksimum

d

d2 0...........minimum.

2 d

0 i 2 u izraz (4.10) dobiva se:


n x max 1

n y min 2

0

.2

(4.11)

1 me

pravcu (1) i okomito je na glavnu ravninu (1), a glavno naprezanje 2

glavnome pravcu (2) i okomito je na glavnu ravninu (2).

I

t n n x x y y

n n x n y n

0 d d sin d cos 0

d d sin cos d cos sin 0

F A A A

A A A

n y xcos sin sin cos , (b)

odnosno uz:

1

sin cos sin 22

,

iz izraza (b) proizlazi:

n x y1

sin 22

. (4.12)

Izraz (4.12), kao i izraz (b), predstavljaju zakon promjene tangencijalnog

n = n( ). Na osnovi ekstrema

funkcije, slijedi:

nx y

dcos2 0

d.


4.

Dalje je:

2

nx y2

d2 sin2

d.

4 i x > y slijedi:


2

nx y2

2

nx y2

d2 0.........maksimum

4 d

d2 0..............minimum.

4 d


4 u izraz (4.12), slijedi:

n x y I max

n x y II min

1

4 2

1.

4 2

(4.13)

ravninama koje s ravninama glavnih naprezanja zatvaraju kutove 4.

Ako se u izraz (4.12) uvrste vrijednosti 0, 2, a u izraz (4.10)

vrijednosti 4

n max 1 n

n min 2 n

n max,min n x y

0 0

02

1 .

4 2

(4.14)

Promjene normalnoga (n) i tangencijalnoga ( n) naprezanja na kosome

(4.9) i (4.11) koji su glasili:

n x y x y

n x y

1 1cos2

2 2

1sin 2 ,

2

eliminira kut , tako da se oba izraza prvo kvadriraju, te se zatim zbroje, tada

slijedi:

2 2

2

n x y n x y

1 1.

2 2 (4.15)

x y

1

2R x y

1, 0

2 (sl. 4.5).


II

2

I

OS

R

N'

N

g. pr. (2)g. rav. (1)

n

n

n

g. pr. (1)g. rav. (2)

= y

2= y

1= x

n=0

n

n

x

12

x y( )R=

n=

4

12

+x y( )

n=0P

II

n

1=

n

I

= 2

Slika 4.5

Uzmu li se u obzir izrazi (4.11) i (4.13), izrazi (4.10) i (4.12) mogu se

n 1 2 1 2

n 1 2

1 1cos2

2 2

1sin 2 .

2

(4.16)

presje

polumjera 1 1R i 2 2R , nanesemo pravac kosoga presjeka i pravac

normale, tada na osnovi sl. 4.6. slijedi da je normalno naprezanje:

n C D .

To proizlazi iz:

2 1

C D =C S+SD

C S=CSsin , SD =SDcos

CS sin , SD cos


y

x

n

R 11=

R 22=

n

D'

D

S

C

C'

pn

Slika 4.6.

2 2

n 2 1C D sin cos .

Ova vrijednost za uvedene supstitucije trigonometrijskih funkcija postaje

istovjetna izrazu (4.10).

Uzme li se da su 1 i 2,

naprezanja koja predstavlja hodograf vektora ukupnog naprezanja np , sl. 4.6.

4.2.1.3. Naprezanja tankih limova posuda pod tlakom

od tlakom, poput rezervoara i kotlova, rotacijska su tijela

p membranskih

naprezanja: meridionalno naprezanje m i cirkularno naprezanje c. Ta su

debljini stijenke.

Naprezanja uzrokovana savijanjem kod posuda pod tlakom imaju samo

lokalni karakter i javljaju se na mjestima promjene debljine stijenke, promjene

oslonaca i sl.

ude.


a)

Na sl. 4.7a. prikazana su membranska naprezanja koja se pojavljuju u

ra z , tada slijedi:

2z m0 2 0.F R t p R (a)

Iz toga je:

m z2

p R

t. (4.17)

z

y

R

Rp

m

a)

c

b)

pR2

x

z

t

c)

d

y

z

z

y x

c

z

m

c

c

m

m=

zz m=

p

Slika 4.7. Naprezanja u tankostijenoj cilindri

y slijedi:

y c0 2 d 2 d 0F t z p R z , (b)

odnosno:

cp R

t. (4.18)

naprezanja jer je naprezanje x zanemarivo u odnosu na m i c. Na vanjskoj je

x x = p. Duljinska deformacija na

cirkularnom pravcu odnosi se na promjenu polumjera i iznosi:


cR

R. (c)

c c m1

E. (4.19)

polumjera iznosi:

2

22

p RR

E t. (4.20)

b) Sferna posuda

Promatrajmo, sada, sfernu posudu u kojoj vlada predtlak p (sl. 4.8a). Zbog

a pravcu osi z , dobiva se:

2

z m0 2 0F R t p R , (d)

m c2

p R

t. (4.21)

Slika 4.8.

Documents

Noc Knjiga Nije Cijela