NÚMEROSREALES

1º BachilleratoCC. SS.

NaturalesEnteros

Racionales

Reales Irracionales

Números Reales

��

�

� IIII

Naturales � 1, 2, 3, ... Enteros � 2, 1, 0, 1, 2 ...− −

Racionales �3 7

, , 6 '333...5 3

Irracionales IIII , 3, 7 '12314...π

Números Reales

Representar 3/5

Números Racionales. Representación

Representar 3/5

Números Racionales. Representación

Representar 3/5

Números Racionales. Representación

Representar 3/5

Números Racionales. Representación

Representar 3/5

Números Racionales. Representación

Representar 17/5

3 4 516/5 17/5 18/5 19/5

Números Racionales. Representación

5Representa

5

2 25 2 1= +

Representar radicales

10Representa

2 210 3 1= +

10

Representar radicales

[ ]3 4,

[ ]3 1 3 2' , '

[ ]3 14 3 15' , '

[ ]3 141 3 142' , '3 4π

Representar números irracionales

πRepresenta

Expresión aproximada de un nº real

Aproxima 3 1 7320508= , ...

Representar números irracionales

πRepresenta

Intervalos Semirrectas y Entornos

Representar los valores que cumplen que en la Recta Real.3 4x− < ≤

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

( ] ] ]3 4 3 4− −, ó ,

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

5 6 7 8 9 10 1143210-1 12-2

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

Intervalos Semirrectas y Entornos

[ ]6 3= −A ,

( ]4 4= −B ,

[ )3= +∞D ,

( )0 5=C ,

( )2= − +∞E ,

( ]10= −∞F ,

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

Intervalos Semirrectas y Entornos

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

( ) ( )1 3 2 4 1 3→ − → − <E , , x

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 7-7

[ ] [ ]1 4 5 3 1 4− → − → + ≤E , , x

Entornos

Intervalos Semirrectas y Entornos

Expresión aproximada de un nº real

Aproxima 7 2 6457513= , ...

Unidad Décima Centésima Milésima

Defecto 2 2,6 2,64 2,645

Exceso 3 2,7 2,65 2,646

Redondeo 3 2,6 2,65 2,646

aE Aproximación número= −

Unidad Décima Centésima Milésima

Aproximación 1 1,7 1,73 1,732

Error abs. 0,73205... 0,03205… 0,00205… 0,00005…

Error absoluto

Es la diferencia entre el número y su aproximación en valor

absoluto.

3 1 73205= , ...

Errores. Cálculo con aproximaciones

ar

EE

Número=

Unidad Décima Centésima Milésima

Aproximación 1 1,7 1,73 1,732

Error abs. 0,73205... 0,03205… 0,00205… 0,00005…

Error relativo 0,42264… 0,01850… 0,00118… 0,000029…

Error relativo

Es el cociente entre el error absoluto y el.

3 1 73205= , ...

Errores. Cálculo con aproximaciones Errores. Cálculo con aproximaciones

El número π =3,141592653… se ha expresado por las fracciones según

Arquímedes y según Adrián Metius. Compara estos valores con el valor

verdadero de π, y di cuál es el error absoluto y relativo.

22

7355

113

22Arquímedes 3,142857143...

7→ =

aE 3,141592920 3,141592653

0,000000266

= − =

=

r

0,001264489E 0,000402499

3,141592653= =

355Metius 3,141592920...

113→ =

r

0,000000266E 0,000000085

3,141592653= =

aE 3,142857143 3,141592653

0,001264489

= − =

=

Potencias Exponente Entero

Una potencia de exponente negativo equivale a una potenciacon el mismo exponente en positivo cuya base es el inverso dela base inicial o un cociente con la base en positivo en eldenominador.

Las potencias de exponente entero cumplen las mismaspropiedades que las potencias de exponente natural.

1 1n

n

na

a a

− = =

Ejemplo: 5

5

5

1 13

3 3−

= =

Potencia de un producto: ( a · b )n = an · bn

Potencia de un cociente: ( a : b )n = an : bn

Producto de potencias de la misma base: am · an = am + n

Cociente de potencias de la misma base: am : an = am – n

Potencia de una potencia: ( am)n = am · n

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Expresa como una única potencia:

Potencias Exponente Entero

a) f)

e)

d)

c)

b)

Simplificar:

33 · 102

64= 33 · (2 · 5)2

(2 · 3)4=

33 · 22 · 52

24 · 34=

22 · 352

2–5 · 42

8–3=83 · 42

25= (2

3)3 · (22)2

25=

29 · 24

25=

213

25= 28

Potencias Exponente Entero

36–5 · 75–3 · 2546–5 · 152 · 60–5

=254 · 65 · 605152 · 365 · 753

=

58 · 25 · 35 · 210 · 35 · 5532 · 52 · 210 ·310 · 56 · 33

=

215 · 310 · 513=

210 · 315 · 58=

25 · 5535

Simplificar:

(52)4 · (2 · 3)5 · (22 · 3 · 5)5(3 · 5)2 · (22 · 32)5 · (52 · 3)3

==

Potencias Exponente EnteroUn número escrito en notación científica consta del producto de:

•Un número decimal comprendido entre 1 y 10.•Una potencia de base 10 y de exponente un número entero.

EjemploEjemploEjemploEjemplo. Los radios aproximados del Sol y del átomo dehidrógeno son de 694 000 000 y de 0,000 000 000 053metros, respectivamente. Expresa estas cantidades de formamás compacta.

Utilizando la notación científica el radio del Sol se escribe:6,94 · 108 metros

y el del átomo de hidrógeno se escribe:5,3 · 10−11 metros.

Notación Científica

a) 4,23 · 109 b) 4 · 10−8 c) 8,43 · 104 d) −5,72 · 10−4

d) 518 000 000 000 000 e) 0,000000003215 f ) −0,0000004

a) 625 000 000 b) 0,00027 c) 0,000003

Expresa con todas las cifras:

a) 6,25 · 108 b) 2,7 · 10−4 c) 3 · 10−6

d) 5,18 · 1014 e) 3,215 · 10−9 f ) −4 · 10−7

Escribe en notación científica:

a) 4 230 000 000 b) 0,00000004

c) 84 300 d) −0,000572

Notación Científica

( ) ( )7 8 15 15 162 37 10 5 21 10 2 37 5 21 10 12 3477 10 1 23477 10' ' ' ' ' '⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

( ) ( )17 8 9 9 82 37 10 : 5 21 10 2 37 : 5 21 10 0 45489 10 4 5489 10' ' ' ' ' '⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

( )7 8 7 7 7

7 8

2 37 10 5 21 10 2 37 10 52 1 10 2 37 52 1 10

54 47 10 5 447 10

' ' ' ' ' '

' '

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ =

= ⋅ = ⋅

Notación Científica

Radicales

Se llama raíz de orden n de un número real a a cualquier otro númeroreal b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado a.

Un radical es la raíz indicada de un número:

= ⇔ =nn a b b a

38 10 5, , ...

Propiedad fundamental de los radicales:

Si se multiplica o divide el índice de un radical y el exponente delradicando por un mismo número distinto de 0, se obtiene otro radicalequivalente al primero, siempre que se tome el mismo signo para lasraíces.

Dos radicales son equivalentes si representan al mismo número real.

64 122 3 62 2 2 2 1 4142= = = = =... , ...

Potencias de Exponente Fraccionario

Un radical se puede expresar como una potencia de base el radicando yde exponente una fracción:

=

m

n m na a

EjemploEjemploEjemploEjemplo: Investiga si son equivalentes los radicales 6 45 125 25, , .

1

25 5=

3 1366 6 2125 5 5 5= = =

2 1244 4 225 5 5 5= = =

Son equivalentes.Son equivalentes.Son equivalentes.Son equivalentes.

a ⋅ 3) 3 3

Expresa como potencia única:

b ⋅ 31

) 24

c3

8)

4

a ⋅ = ⋅ =1/2 1/3 5/63) 3 3 3 3 3

b ⋅ = ⋅ = ⋅ = =1/33 3

2 2/3 2/3

1 1 1 2) 2 2 2 2

4 2 2 2

c = = =

1/2 3/25/6

1/3 2/33

8 8 2) 2

4 24

Potencias de Exponente Fraccionario

ad

a

3 8

2)

Expresa como potencia única:

ea

32

1) f a

a⋅

1)

a ad a

a a= =

3 8 8/32/3

2 2)

e aa a

−= =

2/332 2/3

1 1)

af a a a

a a a⋅ = ⋅ = =

11/2

1/2 1/2

1 1)

Potencias de Exponente Fraccionario

Propiedades de las raíces

n n na b a b⋅ = ⋅

n

nn

a a

bb=: :n n na b a b=

Producto:

Cociente:

33 3 65 6 5 6 30⋅ = ⋅ =2 3 2 3 6⋅ = ⋅ =

= = 33 3 315 : 5 15 : 5 3= =6 : 3 6 : 3 2

( ) =m

n mn a a

⋅=n m n ma a

Potencia:

Raíz:

( ) = =3

32 2 8

⋅= =3 2 3 67 7 7

Propiedades de las raíces

2) Extrae el máximo de factores posibles del radical

Ejemplos:

⋅3 63 4 : 21) Calcula y simplifica:

⋅ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

63 2 3 43 6 66 6

3 36

3 4 : 2 3 4 : 2 3 2 : 2

3 2 3 2 6

Propiedades de las raíces

3 5000

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅33 4 3 33 33 3 3 35000 2 5 2 5 5 2 5 5 10 5

=36 5 5

=15 512 42 2

a a=510 8 4

Simplifica los siguientes radicales

Propiedades de las raíces

a b a b= ⋅34 8 212

( )x y x y x y⋅ = ⋅ = ⋅22 2 2 248

x x x x x⋅ = ⋅ = =3 5 7 5 7 124 12 12 1

Simplifica los siguientes radicales

Propiedades de las raíces

x x x= = ⋅3 36 4 6 2 316 2 2 2

x x x x

y y y y

⋅= = ⋅

⋅

5 2 5 2

3 2 3

28 2 7 2 7

75 5 3 5 3

( ) = = = ⋅ =10

4 10 5 22 2 2 2 2 4 2

Extrae factores de los siguientes radicales:

Operaciones con Radicales

⋅ ⋅⋅ = ⋅ = = =

⋅

4 24 4 44 4 4

2

5 5 2 5 2 5 202 2

12 12 2 3 3 3

⋅⋅ = ⋅ = = =

2

2 2 2

1 1 12 2 312 12 3

2 2 2 2

⋅ = ⋅ = ⋅ =

3 3 2

3 33 33 3 2

2 9 2 9 2 3 2

3 4 3 4 3 2 3

Introduce dentro de la raíz y simplifica:

Operaciones con Radicales

Dos radicales se llaman semejantes si, una vez simplificados,se escriben como números con la misma parte radical.

Ejemplo: Opera y simplifica 8 2 18+ ⋅

( )

3 28 2 18 2 2 2 3

2 2 2 3 2 2 2 6 2

2 6 2 8 2

+ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ =

= + ⋅ = ⋅

Radicales semejantes

+ − = + − =3 3 5 3 3 5

3 3 3 34 3 4 3

Suma:

= + − =

3 5 31 3

4 3 12

Operaciones con Radicales

= + ⋅ ⋅ − ⋅ = + − =4 2 4 3 2 2 7 3 2 4 2 24 2 21 2

Suma:

+ − = + ⋅ − ⋅ =3 2 3 22 8 4 72 7 18 2 2 4 3 2 7 2 3

( )= + − =4 24 21 2 7 2

Operaciones con Radicales

Operaciones con RadicalesRacionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrarotra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador.

Racionaliza los siguientes denominadores:

Racionalización

Racionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrarotra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador.

Racionaliza los siguientes denominadores:

RacionalizaciónRacionalizar una expresión fraccionaria con radicales es encontrarotra expresión equivalente que no contenga raíces en el denominador.

Racionaliza los siguientes denominadores:

Racionalización

Si a es un número real positivo y distinto de 1, el logaritmologaritmologaritmologaritmo enbase a de un número N es el exponente al que hay que elevar labase para obtener dicho número.

log b

a N b a N= ⇔ =

32log 8 3 2 8= ⇔ =

Ejemplo:

Logaritmos

25log 25 2 5 25porque= =

410log 10 000 4 10 10 000porque= =

410log 0,0001 4 10 0,0001porque

−= − =

32 3

1 1 1log 3 2

8 2 8porque

−= − = =

25 2

1 1 1log 2 5

25 5 25porque

−= − = =

Logaritmos

Aplicando la definición de logaritmo, calcula x en cada caso:

( )1 3 31

2

1log 8 8 2 2 2 2 3

2

xx

xx x

− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = → = −

4 4 44 log 16 16 2 2x x x x= ⇔ = ⇔ = → =

23 2

1 1log 2 3

3 9x x x

−= − ⇔ = → = =

Logaritmos

Logaritmo de un productoLogaritmo de un productoLogaritmo de un productoLogaritmo de un producto: ( )log log loga a aP Q P Q⋅ = +

Logaritmo de un cocienteLogaritmo de un cocienteLogaritmo de un cocienteLogaritmo de un cociente: log log loga a a

PP Q

Q

= −

( )2 2 2log 3 5 log 3 log 5⋅ = +

2 2 2

3log log 3 log 5

5

= −

Propiedades de los logaritmos

Logaritmo de una potenciaLogaritmo de una potenciaLogaritmo de una potenciaLogaritmo de una potencia: log logn

a aP n P= ⋅

Cambio de baseCambio de baseCambio de baseCambio de base:log

loglog

ba

b

PP

a=

32 2log 5 3 log 5= ⋅

2

log5log 5

log 2=

Propiedades de los logaritmos

Calcula usando la calculadora:

3

log5 0,69897log 5 1,46497...

log3 0,4771212= = =

5

log 7log 7 1,20906...

log5= =

7

log13log 13 1,31812...

log 7= =

Propiedades de los logaritmos

Convierte la expresión algebraica tomando logaritmos. x y

Az

=

2

3

A x y z= + −log 2 log log 3 log

x yA

z=

2

3log log

A x y z= + −2 3log log log log

( )A x y z= −2 3log log log

Propiedades de los logaritmos

B x y z= + −log 2 log 7 log 5 log

B x y z= + −2 7 5log log log log

( )B x y z= −2 7 5log log log

x yB

z

=

2 7

5log log

x yB

z=

2 7

5

Elimina los logaritmos de

Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y que log 3 ≈0,477, hallar:

3

3

log8 log 2 3 log 2 3 0,301log 8 1,893

log3 log3 log3 0,477

⋅ ⋅= = = = ≈

Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y que log 3 ≈ 0,477, hallar:

= = =

1

212 12log 0,012 log log

1000 1000

( )= = − =1 12 1log log12 log1000

2 1000 2

( )( ) ( )= ⋅ − = + − ≈ −21 1

log 2 3 3 2 log 2 log3 3 0,96052 2

Propiedades de los logaritmos

Toma logaritmos en la expresión ( )xx

A x=

( ) ( )x

x xA x x x = = ⋅ =

log log log

x x x x x= ⋅ ⋅ = ⋅2log log

A x x= ⋅2log log

Propiedades de los logaritmos