Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije

Nizovi i redovi

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 1 / 63

Nizovi brojeva

Intuitivno, niz realnih brojeva je

2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .

Definicija. Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.

Uvodimo oznaku: a(n) = an.

Niz se najcešce:

zadaje zadavanjem analiticke formule za an,

cijeli niz se tada oznacava sa {an}.


Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .

Definicija.

Niz realnih brojeva je svaka funkcija a : N→ R.


Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .


Uvodimo oznaku:

a(n) = an.

Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:




Nizovi brojeva


2,35,−4, 1

2, 7,√2, 3, 3,

457, . . .

Mozemo smatrati:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2, 3

5 , −4,12 , 7,

√2, 3, 3, 45

7 , . . .



Niz se najcešce:


cijeli niz se tada oznacava sa {an}.Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 2 / 63

Nizovi brojeva

Primjerice, vrijedi:

an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .

Niz je realna funkcija realne varijable, pa govorimo o:

ogranicenom nizu (an = 1n ),

monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1

n ).


Nizovi brojeva


an =1n

⇒ {an} = 1,12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} =

1,12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n

⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} =

2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .

Niz je realna funkcija realne varijable,

pa govorimo o:



n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .


ogranicenom nizu

(an = 1n ),


n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .



monotono rastucem nizu

(an = 2n),monotono padajucem nizu (an = 1

n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .



monotono rastucem nizu (an = 2n),

monotono padajucem nizu (an = 1n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .



monotono rastucem nizu (an = 2n),monotono padajucem nizu

(an = 1n ).


Nizovi brojeva


an =1n⇒ {an} = 1,

12,13,14,15, . . .

an = 2n ⇒ {an} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .




n ).


Nizovi brojeva

Definicija.

Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.


an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva

Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran,

ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.


an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva

Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje

svi clanovi niza me�usobno jednaki.


an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva

Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva stacionaran, ako su od nekogmjesta u nizu pa nadalje svi clanovi niza me�usobno jednaki.


an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva



an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva



an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva



an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} =

2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva



an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8,

5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva



an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva



an ={2n, za n ≤ 45, za n > 4

⇒ {an} = 2, 4, 6, 8, 5, 5, 5, 5, 5, . . . , 5, . . .


Nizovi brojeva

Definicija.

Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.


an =(−1)n+1

n⇒ {an} = 1,−

12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva

Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani,

ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.


an =(−1)n+1

n⇒ {an} = 1,−

12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva

Definicija. Kazemo da je niz realnih brojeva alternirani, ako su svaka dvasusjedna clana u nizu suprotnog predznaka.


an =(−1)n+1

n⇒ {an} = 1,−

12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva



an =(−1)n+1

n⇒ {an} = 1,−

12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva



an =(−1)n+1

n

⇒ {an} = 1,−12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva



an =(−1)n+1

n⇒ {an} =

1,−12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva



an =(−1)n+1

n⇒ {an} = 1,−

12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva



an =(−1)n+1

n⇒ {an} = 1,−

12,13,−14,15,−16, . . .


Nizovi brojeva

Zadatak.

Zadani su nizovi:

a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).

Napiši nekoliko prvih clanova niza, odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.

Rješenje. a) Vrijedi

{an} =12,14,18,116,132,164, . . .

Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.

b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...

Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani


Nizovi brojeva

Zadatak. Zadani su nizovi:




{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva


a) an = (12)n,

b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).



{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva


a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n,

c) an = sin(nπ), d) an = cos(nπ).



{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva


a) an = (12)n, b) an = n+ (−1)n, c) an = sin(nπ),

d) an = cos(nπ).



{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva



Napiši nekoliko prvih clanova niza,

odgovori je li niz ogranicen, monoton,stacionaran ili alternirani.


{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva




Rješenje.

a) Vrijedi

{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva




Rješenje. a)

Vrijedi

{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =

12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,

14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,

18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,

116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,

132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,

164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164,

. . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .

Niz:

jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.

b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .

Niz: jest ogranicen,

jest monotono padajuci, nije stacionaran, nijealternirani.

b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .

Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci,

nije stacionaran, nijealternirani.

b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .

Niz: jest ogranicen, jest monotono padajuci, nije stacionaran,

nijealternirani.

b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b)

Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} =

0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0,

3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3,

2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2,

5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5,

4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4,

7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7,

6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6,

9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9,

8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8,

11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11,

10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10,

...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...

Niz:

nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani


Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...

Niz: nije ogranicen,

nije monoton, nije stacionaran, nije alternirani


Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...

Niz: nije ogranicen, nije monoton,

nije stacionaran, nije alternirani


Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...

Niz: nije ogranicen, nije monoton, nije stacionaran,

nije alternirani


Nizovi brojeva





{an} =12,14,18,116,132,164, . . .


b) Vrijedi{an} = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, ...



Nizovi brojeva




Rješenje. c)

Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .

Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.

d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...

Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva




Rješenje. c) Vrijedi{an} =

0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .


d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva




Rješenje. c) Vrijedi{an} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .


d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva





Niz:

jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.

d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva






jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.

d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva





Niz: jest ogranicen, jest monoton

(i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran, nije alternirani.

d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva





Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo),

jeststacionaran, nije alternirani.

d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva





Niz: jest ogranicen, jest monoton (i rastuci i padajuci, ali ne strogo), jeststacionaran,

nije alternirani.

d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva






d)

Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} =

− 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1,

1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1,

− 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1,

1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1,

− 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...

Niz:

jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...


nije monoton, nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...

Niz: jest ogranicen, nije monoton,

nije stacionaran, jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...

Niz: jest ogranicen, nije monoton, nije stacionaran,

jest alternirani.


Nizovi brojeva






d) Vrijedi{an} = − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,−1, 1,−1, 1, ...



Nizovi brojeva

Uocimo:

niz je funkcija s domenom N,

funkcija ima limes jedino u gomilištima domene,

jedino gomilište skupa N je +∞.

Zakljucujemo da je:

limes niza definira jedino u +∞, tj. limes niza an je

limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Uocimo:




Zakljucujemo da je:


limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Uocimo:




Zakljucujemo da je:


limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Uocimo:




Zakljucujemo da je:


limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Uocimo:




Zakljucujemo da je:


limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Uocimo:




Zakljucujemo da je:

limes niza definira jedino u +∞,

tj. limes niza an je

limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Uocimo:




Zakljucujemo da je:


limn→+∞

an.


Nizovi brojeva

Definicija.

Kazemo da niz {an} :

konvergira prema L ∈ R ako vrijedi

limn→+∞

an = L,

divergira prema +∞ (ili −∞) ako vrijedi

limn→+∞

an = +∞ (ili limn→+∞

= −∞),

divergira ako vrijedi

limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva

Definicija. Kazemo da niz {an} :


limn→+∞

an = L,


limn→+∞


= −∞),


limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva


konvergira prema L ∈ R

ako vrijedi

limn→+∞

an = L,


limn→+∞


= −∞),


limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva



limn→+∞

an = L,


limn→+∞


= −∞),


limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva



limn→+∞

an = L,

divergira prema +∞ (ili −∞)

ako vrijedi

limn→+∞


= −∞),


limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva



limn→+∞

an = L,


limn→+∞


= −∞),


limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva



limn→+∞

an = L,


limn→+∞


= −∞),

divergira

ako vrijedi

limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva



limn→+∞

an = L,


limn→+∞


= −∞),


limn→+∞

an = ne postoji.


Nizovi brojeva

Zadatak.

Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:

a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva

Zadatak. Proširenjem po neprekidnosti pokazi da vrijedi:

a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e,

b) limn→+∞

n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1,

c) limn→+∞

n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).

Rješenje.

a) Vrijedi

limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).

Rješenje. a)

Vrijedi

limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n =

limx→+∞

(1+1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x =

e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

(1+1n)n = lim

x→+∞(1+

1x)x = e


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).

Rješenje. b)

Vrijedi

limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).

Rješenje. b) Vrijedi

limn→+∞

n√n =

limx→+∞

x√x = lim

x→+∞x1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x =

limx→+∞

x1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x =

L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je

ln L =

ln limx→+∞

x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je

ln L = ln limx→+∞

x1x =

limx→+∞

ln x1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x =

limx→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1=

limx→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x=

0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0

⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L =

e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 =

1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√n = lim

x→+∞x√x = lim

x→+∞x1x = L.

Sada je


x1x = lim

x→+∞ln x

1x = lim

x→+∞

ln xx=

[+∞+∞

, L′H]=

= limx→+∞

1x

1= lim

x→+∞

1x= 0⇒ L = e0 = 1


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).

Rješenje. c)

Vrijedi

limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).

Rješenje. c) Vrijedi

limn→+∞

n√a =

limx→+∞

x√a = lim

x→+∞a1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a =

limx→+∞

a1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x =

L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je

ln L =

ln limx→+∞

a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0⇒ L = e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x =

limx→+∞

ln a1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0⇒ L = e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0⇒ L = e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax=

[ln a+∞

] = 0⇒ L = e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] =

0⇒ L = e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0

⇒ L = e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0⇒ L =

e0 = 1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0⇒ L = e0 =

1.


Nizovi brojeva


a) limn→+∞

(1+1n)n = e, b) lim

n→+∞n√n = 1, c) lim

n→+∞n√a = 1 (za a > 0).


limn→+∞

n√a = lim

x→+∞x√a = lim

x→+∞a1x = L.

Sada je


a1x = lim

x→+∞ln a

1x =

= limx→+∞

ln ax= [

ln a+∞

] = 0⇒ L = e0 = 1.


Redovi brojeva

Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an

je zbroj svih clanova niza {an}.

Pitanje. Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?

+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva

Definicija.

Neka je {an} niz realnih brojeva. Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an



+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva

Definicija. Neka je {an} niz realnih brojeva.

Red realnih brojeva ∑+∞n=1 an



+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva



Pitanje.

Zar nije suma beskonacno mnogo (pozitivnih) clanova niza uvijekjednaka beskonacno?

+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=

12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . .

= 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva




+∞

∑n=1

12n=12+14+18+116+ . . . = 1


Redovi brojeva

Definicija.

Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k

n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.

Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili

sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.

+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞

⇒ red+∞∑n=1(1)n nije zbrojiv

+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1

⇒ red jest zbrojiv,+∞∑n=1

12n = 1


Redovi brojeva

Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva.

Broj sk = ∑kn=1 an naziva

se k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.



+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva

Definicija. Neka je ∑+∞n=1 an red realnih brojeva. Broj sk = ∑k

n=1 an

nazivase k−ta parcijalna suma reda. Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.



+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva


n=1 an nazivase k−ta parcijalna suma reda.

Niz {sk} naziva se niz parcijalnih sumareda.



+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva



Definicija.

Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan (ili zbrojiv ili


+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva



Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an konvergentan

(ili zbrojiv ilisumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.

+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva




sumabilan),

ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s. Broj s se naziva sumom reda.

+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva




sumabilan), ako niz parcijalnih suma {sk} konvergira prema konacnombroju s.

Broj s se naziva sumom reda.

+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . .

⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} =

1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1,

2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2,

3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3,

4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4,

5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5,

. . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k ,

. . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→

+∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . .

⇒ {sk} = 12 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} =

12 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,

78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,

1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 ,

. . . , 2k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k ,

. . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→

1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1

⇒ red jest zbrojiv,

+∞∑n=1

12n = 1


Redovi brojeva





+∞∑n=1(1)n = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . ⇒ {sk} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k , . . .→ +∞


+∞∑n=1

12n =

12 +

14 +

18 +

116 + . . . ⇒ {sk} = 1

2 ,34 ,78 ,1516 , . . . , 2

k−12k , . . .→ 1


12n = 1


Redovi brojeva

Zadatak.

Ispitaj konvergenciju reda

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

= 1 (konvergentan red)


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje.

Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=

12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =

12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,

23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,

34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,

45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,

56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56,

. . . ,k

k + 1, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . .

→ 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

= 1

(konvergentan red)


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n(n+ 1)

.

Rješenje. Vrijedi

∑+∞n=1

1n(n+ 1)

=12+16+112+120+130+ . . .

⇒ {sk} =12,23,34,45,56, . . . ,

kk + 1

, . . . → 1

pa je

∑+∞n=1

1n(n+ 1)



Redovi brojeva

Definicija.

Harmonijski red je red

∑+∞n=1

1n.

Geometrijski red je red+∞

∑n=0

a · qn,

pri cemu su a, q ∈ R i a 6= 0.

Za geometrijski red vrijedi

+∞

∑n=0

a · qn =+∞

∑n=1

a · qn−1


Redovi brojeva

Definicija. Harmonijski red je red

∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,



+∞

∑n=0

a · qn =+∞

∑n=1

a · qn−1


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,



+∞

∑n=0

a · qn =+∞

∑n=1

a · qn−1


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,



+∞

∑n=0

a · qn =+∞

∑n=1

a · qn−1


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,



+∞

∑n=0

a · qn =

+∞

∑n=1

a · qn−1


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,



+∞

∑n=0

a · qn =+∞

∑n=1

a · qn−1


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,


Primjerice,

za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red

+∞

∑n=0(12)n = 1+

12+14+18+ . . .


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,


Primjerice, za a = 1 i q = 12

dobivamo geometrijski red

+∞

∑n=0(12)n = 1+

12+14+18+ . . .


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,


Primjerice, za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red

+∞

∑n=0(12)n =

1+12+14+18+ . . .


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n.


∑n=0

a · qn,


Primjerice, za a = 1 i q = 12 dobivamo geometrijski red

+∞

∑n=0(12)n = 1+

12+14+18+ . . .


Redovi brojeva

Zadatak.

Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi

∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,

pa je harmonijski red ∑+∞n=1

1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju:

a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi

∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda,

b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi

∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje.

a) Vrijedi

∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a)

Vrijedi

∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. a) Vrijedi

∑+∞n=1

1n

=

1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . .

>

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+

(14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) +

(18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) +

. . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+

12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+

12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+

. . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . =

+∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva


∑+∞n=1

1n

= 1+12+ (

13+14) + (

15+16+17+18) + . . . >

> 1+12+ (

14+14) + (

18+18+18+18) + . . . =

= 1+12+12+12+ . . . = +∞,


1n divergentan.


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b)

Uocimo da za q = 1 vrijedi

+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞

Sada za q 6= 1 vrijedi

sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk

sk − qsk = a− a · qk

sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1

vrijedi

+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Uocimo da za q = 1 vrijedi

+∞

∑n=0

a · qn =

a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .

⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} =

a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .

→ ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞


sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1

/ · qq · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qk


sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞


sk = a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . .+ a · qk−1 / · q

q · sk = a · q + a · q2 + a · q3 + a · q4 + . . .+ a · qksk − qsk = a− a · qk

sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . . ⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . . → ±∞




sk = a1− qk1− q


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0

a ·qn =

limk→+∞

sk = limk→+∞

a1− qk1− q =

a

1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0

a ·qn = limk→+∞

sk =

limk→+∞

a1− qk1− q =

a



Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0


sk = limk→+∞

a1− qk1− q =

a



Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0


sk = limk→+∞

a1− qk1− q =

a

1− q za − 1 < q < 1,

+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0


sk = limk→+∞

a1− qk1− q =

a

1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,

−∞ za q > 1 i a < 0,ne postoji za q ≤ −1.


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0


sk = limk→+∞

a1− qk1− q =

a

1− q za − 1 < q < 1,+∞ za q > 1 i a > 0,−∞ za q > 1 i a < 0,

ne postoji za q ≤ −1.


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn = a+ a+ a+ a+ a+ . . .⇒ {sk} = a, 2a, 3a, 4a, . . .→ ±∞


+∞

∑n=0


sk = limk→+∞

a1− qk1− q =

a



Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju: a) harmonijskog reda, b) geometrijskogreda.Rješenje. b) Dakle, za geometrijski red vrijedi

+∞

∑n=0

a · qn =

{ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn ={ a1− q za |q| < 1

divergira za |q| ≥ 1


Redovi brojeva


+∞

∑n=0

a · qn ={ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1


Redovi brojeva

Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda).

Ako je red ∑+∞n=1 an

konvergentan, onda je limn→+∞

an = 0.

Pojasnimo znacenje teorema:

ako je limn→+∞

an 6= 0, onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;

ako je limn→+∞

an = 0, onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti

konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞

n=1nn+1 je divergentan

ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞

n=11n je divergentan.


Redovi brojeva

Teorem (Nuzan uvjet konvergencije reda). Ako je red ∑+∞n=1 an

konvergentan,

onda je limn→+∞

an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞

an 6= 0,

onda je red ∑+∞n=1 an sigurno divergentan;

ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞

an = 0,

onda red ∑+∞n=1 an moze ali i ne mora biti

konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 =

1 6= 0⇒∑+∞n=1

nn+1 je divergentan

ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1

6= 0⇒∑+∞n=1

nn+1 je divergentan

ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0

⇒∑+∞n=1

nn+1 je divergentan

ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞

n=1nn+1

je divergentan

ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) =

0 i ∑+∞n=1

1n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0

i ∑+∞n=1

1n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) =

1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n =

0 i ∑+∞n=1

1n je divergentan.


Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0

i ∑+∞n=1

1n je divergentan.


Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞

n=11n

je divergentan.


Redovi brojeva



an = 0.


ako je limn→+∞


ako je limn→+∞


konvergentan.

Primjerice, vrijedi

limn→+∞

nn+1 = 1 6= 0⇒∑+∞


ali zato

limn→+∞

1n(n+1) = 0 i ∑+∞

n=11

n(n+1) = 1,

limn→+∞

1n = 0 i ∑+∞



Redovi brojeva

Definicija.

Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞

n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:

red ∑+∞n=1 bn je majoranta reda ∑+∞

n=1 an,

red ∑+∞n=1 an je minoranta reda ∑+∞

n=1 bn.

Zadatak. Zadani su redovi ∑+∞n=1

1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞

n=11n2 . Za svaki red

utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi

1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1

1n2 minoranta redova ∑+∞

n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1

1n majoranta redu ∑+∞

n=11n2 , a minoranta redu ∑+∞

n=11√n ;

red ∑+∞n=1

1√n je najoranta redova ∑+∞

n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva

Definicija. Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞

n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima.

Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn, onda kazemo:red ∑+∞

n=1 bn je majoranta reda ∑+∞n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva


n=1 bn redovi realnih brojeva s pozitivnimclanovima. Ako od nekog mjesta u nizu vrijedi an ≤ bn,

onda kazemo:


n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.

Zadatak.

Zadani su redovi ∑+∞n=1

1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞

n=11n2 .

Za svaki redutvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje. Vrijedi

1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞


utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.

Rješenje. Vrijedi1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞


utvrdi je li minoranta ili majoranta preostala dva reda.Rješenje.

Vrijedi1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1

1n2

minoranta redova ∑+∞n=1

1n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1

1n

majoranta redu ∑+∞n=1

1n2 , a minoranta redu ∑+∞

n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1


n=11n2 ,

a minoranta redu ∑+∞n=1

1√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1

1√n

je najoranta redova ∑+∞n=1

1n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva




n=1 an,


n=1 bn.


1√n , ∑+∞

n=11n , ∑+∞



1n2 ≤

1n ≤

1√n

pa je:

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11√n ,

red ∑+∞n=1



n=11√n ;

red ∑+∞n=1


n=11n i ∑+∞

n=11n2


Redovi brojeva

Teorem (Kriteriji konvergencije).

Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞

n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima. Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.

Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.


Redovi brojeva

Teorem (Kriteriji konvergencije). Neka su ∑+∞n=1 an i ∑+∞

n=1 bn redovirealnih brojeva sa pozitivnim clanovima.

Tada vrijede sljedeci kriterijikonvergencije.



Redovi brojeva





Redovi brojeva



Poredbeni kriterij I.

Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.


Redovi brojeva



Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnumajorantu,

a divergentan ako ima divergentnu minorantu.


Redovi brojeva





Redovi brojeva

Zadatak.

Ispitaj konvergenciju redova:

a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. a) Vrijedi1

(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj konvergenciju redova:

a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 ,

b) ∑+∞n=1

1√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n ,

c) ∑+∞n=1

42n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n ,

e) ∑+∞n=1

n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n ,

f) ∑+∞n=1

(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje.

a) Vrijedi1

(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. a)

Vrijedi1

(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg.

⇒+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 =

1++∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 =

{k = n− 1} = 1++∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} =

1++∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


(n+1)2 ≤1

n(n+1)

pa imamo

+∞

∑n=1

1n(n+1) kvg. ⇒

+∞

∑n=1

1(n+1)2 konvergira

⇒+∞

∑n=1

1n2 = 1+

+∞

∑n=2

1n2 = {k = n− 1} = 1+

+∞

∑k=1

1(k+1)2

⇒+∞

∑n=1

1n2 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. b)

Vrijedi1√n≥ 1n

pa imamo+∞

∑n=1

1ndivergira⇒

+∞

∑n=1

1√ndivergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. b) Vrijedi1√n≥ 1n

pa imamo+∞

∑n=1

1ndivergira⇒

+∞

∑n=1

1√ndivergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


pa imamo+∞

∑n=1

1ndivergira⇒

+∞

∑n=1

1√ndivergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


pa imamo+∞

∑n=1

1ndivergira⇒

+∞

∑n=1

1√ndivergira


Redovi brojeva



Poredbeni kriterij II.

Neka je

limn→+∞

anbn= L.

Ako je 0 < L < +∞, onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.


Redovi brojeva



Poredbeni kriterij II. Neka je

limn→+∞

anbn= L.



Redovi brojeva




limn→+∞

anbn= L.

Ako je 0 < L < +∞,

onda oba reda konvergiraju ili oba redadivergiraju.


Redovi brojeva




limn→+∞

anbn= L.



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. c)

Uspore�ujemo

+∞

∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1

42n − 3 konvergira


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. c) Uspore�ujemo+∞

∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

=

limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 =

limn→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n=

4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4

> 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


∑n=1

42n − 3 i

+∞

∑n=1

12n

Vrijedi

limn→+∞

42n−312n

= limn→+∞

4 · 2n2n − 3 = lim

n→+∞

41− 3

2n= 4 > 0

pa imamo+∞

∑n=1

12nkonvergira⇒

+∞

∑n=1



Redovi brojeva



D’Alambertov kriterij.

Neka je

limn→+∞

an+1an

= L.

Tada vrijedi:

ako je L < 1 onda red ∑+∞n=1 an konvergira;

ako je L > 1 onda red ∑+∞n=1 an divergira;

ako je L = 1 onda ovaj kriterij ne daje odluku.


Redovi brojeva



D’Alambertov kriterij. Neka je

limn→+∞

an+1an

= L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

an+1an

= L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

an+1an

= L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

an+1an

= L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

an+1an

= L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. d)

Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi

limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=12< 1,

pa je red konvergentan.


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. d) Po D’Alambertovom kriteriju vrijedi

limn→+∞

an+1an

=

limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=12< 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

=

limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=12< 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1=

limn→+∞

n+ 12n

=12< 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=

12< 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=12

< 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=12< 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

an+1an

= limn→+∞

n+12n+1n2n

= limn→+∞

n+12n1= lim

n→+∞

n+ 12n

=12< 1,



Redovi brojeva



Cauchyjev kriterij.

Neka je

limn→+∞

n√an = L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva



Cauchyjev kriterij. Neka je

limn→+∞

n√an = L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

n√an = L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

n√an = L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

n√an = L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva




limn→+∞

n√an = L.

Tada vrijedi:





Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. e)

Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi

limn→+∞

n√an = lim

n→+∞

n

√n3n

2n= lim

n→+∞

32

n√n =

32> 1,

pa je red divergentan.


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. e) Po Cauchyjevom kriteriju vrijedi

limn→+∞

n√an =

limn→+∞

n

√n3n

2n= lim

n→+∞

32

n√n =

32> 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

n√an = lim

n→+∞

n

√n3n

2n=

limn→+∞

32

n√n =

32> 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

n√an = lim

n→+∞

n

√n3n

2n= lim

n→+∞

32

n√n =

32> 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

n√an = lim

n→+∞

n

√n3n

2n= lim

n→+∞

32

n√n =

32

> 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

n√an = lim

n→+∞

n

√n3n

2n= lim

n→+∞

32

n√n =

32> 1,



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .


limn→+∞

n√an = lim

n→+∞

n

√n3n

2n= lim

n→+∞

32

n√n =

32> 1,



Redovi brojeva



Leibnizov kriterij.

Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)limn→+∞ an = 0,

onda je red ∑+∞n=1(−1)nan konvergentan.

Uocimo da:

prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.


Redovi brojeva



Leibnizov kriterij. Ako za red ∑+∞n=1 an vrijedi:



Uocimo da:



Redovi brojeva




a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . (tj. niz an je padajuci)

limn→+∞ an = 0,


Uocimo da:



Redovi brojeva






Uocimo da:



Redovi brojeva






Uocimo da:



Redovi brojeva






Uocimo da:



Redovi brojeva






Uocimo da:

prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,

Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.


Redovi brojeva






Uocimo da:



Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. f)

Po Leibnizovom kriteriju:

niz an = 12n+1 je pozitivan padajuci niz

vrijedilim

n→+∞an = lim

n→+∞1

2n+1 = 0

pa je red ∑+∞n=1

(−1)n2n+1 konvergentan.


Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .

Rješenje. f) Po Leibnizovom kriteriju:


vrijedilim

n→+∞an = lim

n→+∞1

2n+1 = 0




Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .



vrijedilim

n→+∞an = lim

n→+∞1

2n+1 = 0




Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .



vrijedilim

n→+∞an =

limn→+∞

12n+1 = 0




Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .



vrijedilim

n→+∞an = lim

n→+∞1

2n+1 =

0




Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .



vrijedilim

n→+∞an = lim

n→+∞1

2n+1 = 0




Redovi brojeva


a) ∑+∞n=1

1n2 , b) ∑+∞

n=11√n , c) ∑+∞

n=14

2n−3 ,

d) ∑+∞n=1

n2n , e) ∑+∞

n=1n3n2n , f) ∑+∞

n=1(−1)n2n+1 .



vrijedilim

n→+∞an = lim

n→+∞1

2n+1 = 0




Redovi brojeva

Uocimo da:


Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red

∑+∞n=1 |an | konvergentan.

Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞

n=1 anujedno i konvergentan.

Uocimo:

ako je red apsolutno konvergentan, onda red ujedno i konvergentan,

ako je red konvergentan, red ne mora biti apsolutno konvergentan.


Redovi brojeva

Uocimo da:

prva cetiri kriterija daju uvjet konvergencije zaredove s pozitivnim clanovima,

Leibnizov kriterij daje uvjet konvergencije za alternirane redove.





Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:






Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:


Definicija.

Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, ako je red




Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:


Definicija. Kazemo da je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan,

ako je red∑+∞n=1 |an | konvergentan.



Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:






Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:




Teorem.

Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan, onda je red ∑+∞


Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:




Teorem. Ako je red ∑+∞n=1 an apsolutno konvergentan,

onda je red ∑+∞n=1 an

ujedno i konvergentan.

Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:






Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:






Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:






Uocimo:




Redovi brojeva

Uocimo da:






Uocimo:




Redovi brojeva

Zadatak.

Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:

a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n

apsolutno konvergira

⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva

Zadatak. Ispitaj apsolutnu konvergenciju redova:

a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

,

b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.

Rješenje.

a) Vrijedi

+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.

Rješenje. a)

Vrijedi

+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ =

+∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n=

1 ⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1

⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n2n

∣∣∣∣ = +∞

∑n=1

12n= 1 ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n2n


⇒+∞

∑n=1

(−1)n2n

konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.

Rješenje. b)

Vrijedi

+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n = dvg. ⇒

+∞

∑n=1

(−1)n+1n apsolutno divergira

ali . . . ⇒+∞

∑n=1

(−1)n+1n = ln 2 (uvjetno) konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ =

+∞

∑n=1

1n = dvg. ⇒

+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n =

dvg. ⇒+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n = dvg.

⇒+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n = dvg. ⇒

+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1



Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n = dvg. ⇒

+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1

(−1)n+1n

= ln 2 (uvjetno) konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n = dvg. ⇒

+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1

(−1)n+1n = ln 2

(uvjetno) konvergira


Redovi brojeva


a)+∞

∑n=1

(−1)n2n

, b)+∞

∑n=1

(−1)n+1n

.


+∞

∑n=1

∣∣∣ (−1)n+1n

∣∣∣ = +∞

∑n=1

1n = dvg. ⇒

+∞

∑n=1


ali . . . ⇒+∞

∑n=1



Nizovi i redovi funkcija

Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N. Niz funkcija je niz

f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.

Ako je x ∈ ∩n∈NDn, onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:

niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},

suma tog niza brojeva je red brojeva

f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).

Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija i oznacava sa∑+∞n=1 fn.



Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N.

Niz funkcija je niz

f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . .

= {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.

Ako je x ∈ ∩n∈NDn,

onda uvrštavanjem x u niz funkcija dobivamo:

niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . .

= {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . .

=+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).





f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).

Skup svih takvih redova brojeva naziva se red funkcija

i oznacava sa∑+∞n=1 fn.




f1, f2, f3, . . . , fn, . . . = {fn}.


niz brojeva

f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . = {fn(x)},


f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . =+∞

∑n=1

fn(x).




Definicija.

Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞

n=1 fn je skup svih redova brojeva

+∞

∑n=1

fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . . za x ∈ D.

Skup D naziva se podrucje definicije ili domena reda funkcija.



Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N,

te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞


+∞

∑n=1





Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn.

Red funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih redova brojeva

+∞

∑n=1





Definicija. Neka je fn : Dn → R funkcija za svaki n ∈N, te neka jeD = ∩n∈NDn. Red funkcija ∑+∞

n=1 fn

je skup svih redova brojeva

+∞

∑n=1







+∞

∑n=1

fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .+ fn(x) + . . .

za x ∈ D.






+∞

∑n=1







+∞

∑n=1





Primjerice, za n ∈N∪ {0} vrijedi

fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .

Podrucje definicije reda ∑+∞n=0 x

n je cijeli skup R. Sada imamo

+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn

⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} =

1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn =

1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .


n je cijeli skup R.

Sada imamo

+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 1

1+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 2

1+ 12 +

14 +

18 + . . . za x = 1

2...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2

...




fn(x) = xn ⇒ {xn} = 1, x , x2, x3, . . . , xn, . . . .

⇒+∞

∑n=0

xn = 1+ x + x2 + x3 + . . .+ xn + . . .



+∞

∑n=0

xn =

1+ 1+ 1+ 1+ . . . za x = 11+ 2+ 4+ 8+ . . . za x = 21+ 1

2 +14 +

18 + . . . za x = 1

2...



Definicija.

Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.

Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D za koje

red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira.

Na podrucju konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn definiramo funkciju

s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).

koja se zove suma reda funkcija.

Dakle, ispitivanje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn svodi se na:

odre�ivanje svih x ∈ R za koje red brojeva ∑+∞n=1 fn(x) konvergira,

odre�ivanje funkcije s(x) na tom podrucju koja je suma reda.



Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija

i D njegovo podrucje definicije.Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞

n=1 fn je skup svih x ∈ D za kojered brojeva ∑+∞

n=1 fn(x) konvergira.


s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).







Definicija. Neka je ∑+∞n=1 fn red funkcija i D njegovo podrucje definicije.




s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).








Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn

je skup svih x ∈ D za kojered brojeva ∑+∞



s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).








Podrucje konvergencije reda funkcija ∑+∞n=1 fn je skup svih x ∈ D

za kojered brojeva ∑+∞



s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).











s(x) =+∞

∑n=1

fn(x).







Zadatak.

Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x

n.Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva

+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.

Dakle, suma reda funkcija ∑+∞n=0 x

n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x



Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda funkcija ∑+∞n=0 x

n.

Rješenje. Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva

+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x




n.Rješenje.

Podsjetimo se geometrijskog reda brojeva

+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0

a · qn =

{ a1− q za |q| < 1divergira za |q| ≥ 1

Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn =

{q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} =

11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x





+∞

∑n=0


Sada je+∞

∑n=0

xn = {q = x , a = 1} = 11− x za |x | < 1.


n je funkcija

s : 〈−1, 1〉 → R

s(x) =1

1− x


Red potencija

Niz potencija je niz funkcija oblika

fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.

Red potencija je red funkcija oblika

+∞

∑n=0

an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .

pri cemu je:

x0 ∈ R,

an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.


Red potencija

Niz potencija

je niz funkcija oblika

fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n

za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.

Red potencija

je red funkcija oblika

+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0

an(x − x0)n =

a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + . . .+ an(x − x0)n + . . .

pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,

an ∈ R za svaki indeks n ∈N∪ {0}.

Brojevi an nazivaju se koeficijenti reda potencija.


Red potencija


fn(x) = an(x − x0)n za n ∈N∪ {0}.


+∞

∑n=0


pri cemu je:

x0 ∈ R,



Red potencija

Definicija.

Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj

R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ ili 1R = lim

n→+∞n√|an |.

Posebno, ako su ovi limesi:

jednaki +∞ onda je R = 0,

jednaki 0 onda je R = +∞.


Red potencija

Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n

je brojR za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.





Red potencija

Definicija. Radijus konvergencije reda potencija ∑+∞n=0 an(x − x0)n je broj

R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.





Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣

ili1R= lim

n→+∞n√|an |.





Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.





Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.





Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.


jednaki +∞

onda je R = 0,



Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.





Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.



jednaki 0

onda je R = +∞.


Red potencija


R za kojeg vrijedi

1R= lim

n→+∞


n→+∞n√|an |.





Red potencija

Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija).

Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞

n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.

Dakle, red potencija:

konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.


Red potencija

Teorem (Kriterij konvergencije reda potencija). Ako je R radijuskonvergencije reda ∑+∞

n=0 an(x − x0)n,

onda taj red:

konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.




Red potencija


n=0 an(x − x0)n, onda taj red:

konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.




Red potencija


n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,

divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.




Red potencija


n=0 an(x − x0)n, onda taj red:konvergira za svaki x za koji je |x − x0| < R,divergira za svaki x za koji je |x − x0| > R,

nema odluke za x za koji je |x − x0| = R.




Red potencija






Red potencija






Red potencija




konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,

divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.


Red potencija




konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉

za x = x0 − R i x = x0 + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.


Red potencija






Red potencija

Posebno, ako je x0 = 0

onda red potencija poprima oblik

+∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:

konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.


Red potencija

Posebno, ako je x0 = 0 onda red potencija poprima oblik

+∞

∑n=0

anxn =

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:



Red potencija


+∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:



Red potencija


+∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:



Red potencija


+∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:

konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,

divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.


Red potencija


+∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:

konvergira za x ∈ 〈−R,R〉 ,divergira za x ∈ 〈−∞,−R〉 ∪ 〈R,+∞〉

za x = −R i x = x + R konvergenciju reda treba posebno ispitati.


Red potencija


+∞

∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anxn + . . . ,

te taj red:



Red potencija

Zadatak.

Ispitaj konvergenciju reda potencija:

a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je

1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:

konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi

x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira

Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .


Red potencija

Zadatak. Ispitaj konvergenciju reda potencija:

a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n,

b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn,

c) ∑+∞n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje.

a) Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je

1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. a)

Vrijedi x0 = 0 i an = n, pa je

1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. a) Vrijedi x0 = 0 i an = n,

pa je

1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R =

limn→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ =

limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ =

limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n =

1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1

⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R =

1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:

konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 =

〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi

x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:

konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,

divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi

x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:

konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 =

〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,na rubovima vrijedi

x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:

konvergira za x ∈ 〈x0 − R, x0 + R〉 = 〈−1, 1〉 ,divergira zax ∈ 〈−∞, x0 − R〉 ∪ 〈x0 + R,+∞〉 = 〈−∞,−1〉 ∪ 〈1,+∞〉 ,

na rubovima vrijedi

x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒

∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n =

0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . .

= divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒

∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n =

0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . .

= divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R = lim

n→+∞

∣∣∣ an+1an ∣∣∣ = limn→+∞

∣∣ n+1n

∣∣ = limn→+∞

n+1n = 1⇒ R = 1

pa red:


x = 1 ⇒ ∑+∞n=0 n · 1

n = 0+ 1+ 2+ 3+ . . . = divergira

x = −1 ⇒ ∑+∞n=0 n · (−1)

n = 0− 1+ 2− 3+ . . . = divergira

Dakle, podrucje konvergencije reda je x ∈ 〈−1, 1〉 .Jelena Sedlar (FGAG) Nizovi i redovi 49 / 63

Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. b)

Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,

pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.Za x = 0 dobivamo red

∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞

n=0 0 = 0⇒ red konvergira.


Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!,

pa je

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. b) Vrijedi x0 = 0 i an = n!, pa je

1R=

limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =

limn→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ =

limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) =

+∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞

⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R =

0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,

pa red divergira za svaki x ∈ R, x 6= 0.

Za x = 0 dobivamo red

∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn =

∑+∞n=0 0 = 0⇒ red konvergira.


Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞

n=0 0 =

0⇒ red konvergira.


Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞

n=0 0 = 0

⇒ red konvergira.


Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣ (n+ 1)!n!

∣∣∣∣ = limn→+∞

(n+ 1) = +∞⇒ R = 0,


∑+∞n=0 n!xn = ∑+∞



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. c)

Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,

pa red konvergira za svaki x ∈ R.


Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! ,

pa je

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.

Rješenje. c) Vrijedi x0 = 0 i an = 1n! , pa je

1R=

limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =

limn→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ =

limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

=

0⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0

⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R =

+∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Red potencija


a) ∑+∞n=0 nx

n, b) ∑+∞n=0 n!xn, c) ∑+∞

n=0

1n!xn.


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red

Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi

f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1

za neki c = x0 + θ(x − x0) gdje je 0 < θ < 1.

Nazivi:

Taylorov polinom stupnja n,

ostatak Rn(x) u Lagrangeovom obliku.


Taylorov red

Teorem.

Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi

f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red

Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna n+ 1 puta u okolinitocke x0.

Tada za svaki x iz te okoline vrijedi

f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) =

f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +

Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =

f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1

za neki c = x0 + θ(x − x0)

gdje je 0 < θ < 1.

Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n +Rn(x)

pri cemu je

Rn(x) =f (n+1)(c)(n+ 1)!

(x − x0)n+1


Nazivi:




Taylorov red

Teorem.

Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi

f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n

ako i samo ako je limn→+∞ Rn(x) = 0.

Nazivi:

Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f

f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red

Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0.

Tada za svaki x iz te okoline vrijedi

f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red

Teorem. Neka je funkcija f : X → R derivabilna proizvoljno mnogo putau okolini tocke x0. Tada za svaki x iz te okoline vrijedi

f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) =

f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:

Taylorov red (ili razvoj) funkcije f u tocki x0,

za x0 = 0 govorimo o Maclaurinovom redu (ili razvoju) funkcije f

f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red


f (x) = f (x0) +f ′(x0)1! (x-x0) +

f ′′(x0)2! (x-x0)2 + . . .+ f (n)(x0)

n! (x-x0)n + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(x0)n! (x − x0)n


Nazivi:


f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

=+∞

∑n=0

f (n)(0)n! xn


Taylorov red

Zadatak.

Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije:

a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex ,

b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x ,

c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x .

Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje.

a) Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a)

Vrijedi

f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Vrijedi

f (x) = ex

⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) =

1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) =

ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex

⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) =

1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) =

ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex

⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) =

1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) =

ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex

⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) =

1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) =

f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =

+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red


f (x) = ex ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex ⇒ f ′′(0) = 1

. . .f (n)(x) = ex ⇒ f (n)(0) = 1

. . .

pa je

ex = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3 + . . .+ 1n!x

n + . . . =+∞

∑n=0

1n!x

n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. a) Dobili smo

ex =+∞

∑n=0

1n!x

n

Radijus konvergencije je

1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,

pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = ex za svaki x ∈ R.


Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R=

limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =

limn→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ =

limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

=

0⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0

⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R =

+∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex =+∞

∑n=0

1n!x

n


1R= lim

n→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣1

(n+1)!1n!

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

1n+ 1

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


ex

≈ 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3


Taylorov red


ex ≈ 1

+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3


Taylorov red


ex ≈ 1+ 11!x

+ 12!x

2 + 13!x

3


Taylorov red


ex ≈ 1+ 11!x +

12!x

2

+ 13!x

3


Taylorov red


ex ≈ 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3


Taylorov red


ex ≈ 1+ 11!x +

12!x

2 + 13!x

3


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b)

Vrijedi

f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Vrijedi

f (x) = cos x

⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) =

1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) =

− sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x

⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) =

0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) =

− cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x

⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) =

− 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1

f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) =

sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x

⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) =

0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) =

cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x

⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) =

1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) =

− sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x

⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) =

0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x)

= f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . =

∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red


f (x) = cos x ⇒ f (0) = 1

f ′(x) = − sin x ⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos x ⇒ f ′′(0) = − 1f ′′′(x) = sin x ⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos x ⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sin x ⇒ f (5)(0) = 0

. . .

cos x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. b) Dobili smo

cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R = +∞,

pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) = cos x za svaki x ∈ R.


Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

=

limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =

limn→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ =

= limn→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

=

0⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0

⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R =

+∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+2)!(−1)n(2n)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 1)(2n+ 2)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


cos x

≈ 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + 18!x

8


Taylorov red


cos x ≈ 1

− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + 18!x

8


Taylorov red


cos x ≈ 1− 12!x

2

+ 14!x

4 − 16!x

6 + 18!x

8


Taylorov red


cos x ≈ 1− 12!x

2 + 14!x

4

− 16!x

6 + 18!x

8


Taylorov red


cos x ≈ 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6

+ 18!x

8


Taylorov red


cos x ≈ 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + 18!x

8


Taylorov red


cos x ≈ 1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + 18!x

8


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c)

Vrijedi

f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Vrijedi

f (x) = sin x

⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) =

0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) =

cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x

⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) =

1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) =

− sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x

⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) =

0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) =

− cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x

⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) =

− 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1

f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) =

sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x

⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) =

0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) =

cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x

⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) =

1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) =

f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . =

∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red


f (x) = sin x ⇒ f (0) = 0

f ′(x) = cos x ⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sin x ⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x ⇒ f ′′′(0) = − 1f (4)(x) = sin x ⇒ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x ⇒ f (5)(0) = 1

. . .

sin x = f (x) = f (0) + f ′(0)1! x +

f ′′(0)2! x

2 + f ′′′(0)3! x3 + . . .+ f (n)(0)

n! xn + . . . =

= 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + . . . = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


Taylorov red

Zadatak. Razvij u Maclaurinov red funkcije: a) f (x) = ex , b)f (x) = cos x , c) f (x) = sin x . Odredi podrucje konvergencije tih redova.Rješenje. c) Dobili smo

sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R = +∞,

pa Maclaurinov red konvergira ka f (x) za svaki x ∈ R.


Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

=

limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ =

limn→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ =

= limn→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

=

0⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0

⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R =

+∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x = ∑+∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1


1R

= limn→+∞

∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣ = lim

n→+∞

∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(2n+3)!(−1)n(2n+1)!

∣∣∣∣∣∣ == lim

n→+∞

1(2n+ 2)(2n+ 3)

= 0⇒ R = +∞,



Taylorov red


sin x

≈ 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + 19!x

9


Taylorov red


sin x ≈ 11!x

1

− 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + 19!x

9


Taylorov red


sin x ≈ 11!x

1 − 13!x

3

+ 15!x

5 − 17!x

7 + 19!x

9


Taylorov red


sin x ≈ 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5

− 17!x

7 + 19!x

9


Taylorov red


sin x ≈ 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7

+ 19!x

9


Taylorov red


sin x ≈ 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + 19!x

9


Taylorov red


sin x ≈ 11!x

1 − 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + 19!x

9


Taylorov red

Zadatak.

Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi

e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red

Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ

kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi

e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red

Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.

Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi

e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red

Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje.

Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi

e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red

Zadatak. Obrazlozi zašto pišemo e iϕ = cos ϕ+ i sin ϕ kod prikazakompleksnih brojeva.Rješenje. Uocimo da po razvoju u Maclaurinov red vrijedi

e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ =

1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) +

i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Taylorov red


e iϕ = 1+11!(iϕ) +

12!(iϕ)2 +

13!(iϕ)3 +

14!(iϕ)4 +

15!(iϕ)5 + . . . =

= 1+11!iϕ+

12!i2ϕ2 +

13!i3ϕ3 +

14!i4ϕ4 +

15!i5ϕ5 + . . . =

= 1+11!iϕ− 1

2!ϕ2 − 1

3!iϕ3 +

14!

ϕ4 +15!iϕ5 + . . . =

= (1− 12!

ϕ2 +14!

ϕ4 + . . .) + i(11!

ϕ− 13!

ϕ3 +15!

ϕ5 + . . .) =

= cos ϕ+ i sin ϕ.


Documents

Nizovi i redovi - gradst.unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA/TT07_… · Nizovi i redovi Jelena Sedlar Fakultet graƒevinarstva, arhitekture i geodezije