NIVELAMENTO EM MATEMTICA

Programa* Primeira semana:

- Vetores e escalares;- Produto escalar e produto vetorial;- Diferenciao de vetores;- Gradiente, divergente e rotacional;- Integrao de vetores;- Teorema da divergncia de Gauss;- Coordenadas curvilneas;- Espaos vetoriais;- Transformaes linearesPROVA SOBRE O CONTEDO DA PRIMEIRA SEMANA

1

NIVELAMENTO EM MATEMTICA

Programa* Segunda semana:

- Matrizes;- Sistemas de equaes lineares;- Equaes diferenciais ordinrias

PROVA SOBRE O CONTEDO DA SEGUNDA SEMANA

2

NIVELAMENTO EM MATEMTICA

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

* Contedo da primeira semana:1. Spiegel, M., Anlise Vetorial, Coleo Schaum, McGraw-

Hill, 1972.2. Kreyszig, E., Matemtica Superior para Engenharia, LTC,

vol. 1, 9 edio, 2009.

* Contedo da primeira semana:1. Kreyszig, E., Matemtica Superior para Engenharia, LTC,

3

VETORES E ESCALARESEm Fsica e Geometria, assim como em suas aplicaes em

engenharia, usamos dois tipos de quantidades: vetores e escalares.

Vetor uma grandeza que tem mdulo, ou valor absoluto, direo e sentido: deslocamento, velocidade, fora e acelerao. Um vetor de comprimento 1 chamado vetor unitrio.

Representao: mdulo: |PQ| ou |a|

4

VETORES E ESCALARESEscalar uma grandeza que no tem direo, nem sentido: massa, comprimento, tempo, temperatura e qualquer nmero real.Quando multiplicamos os vetores por um mesmo nmero, isso resultar uma mudana de escala da geometria. Da que, em anlise vetorial, os nmeros so geralmente chamados de escalares.Portanto, se h um nmero e a um vetor, define-se a expresso ha como sendo um vetor cujo comprimento |h| vezes o comprimento de a e que ter o mesmo sentido de a se h for positivo e ser oposto se h for negativo.

5

VETORES E ESCALARES

Definio: Dois vetores so iguais se tm o mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido, embora no tenham a mesma origem.

6

* Componentes de um vetorEscolhamos um sistema de coordenadas cartesianas xyz no espao, como mostrado na figura abaixo.

VETORES E ESCALARES

* Componentes de um vetorEscolhamos um sistema de coordenadas cartesianas xyz no espao, como mostrado na figura abaixo.

7

VETORES E ESCALARESConsideremos que a seja um dado vetor com ponto inicial P: (x1,y1, z1) e um ponto terminal Q:(x2, y2, z2).

* Componentes de um vetorEscolhamos um sistema de coordenadas cartesianas xyz no espao, como mostrado na figura abaixo.

Ento, as 3 diferenas de coordenadas sero dadas por:

Que so chamadas de componentes do vetor a com relao a esse sistema de coordenadas, e pode-se represent-las simplesmente por a = [a1, a2, a3]

8

O comprimento |a| de a pode agora ser expresso em termos de seus componentes, partindo do teorema de Pitgoras:

VETORES E ESCALARES

Exerccio 1: O vetor a tem como ponto inicial P:(4,0,2) e como ponto terminal Q:(6,-1,2). Ache seu mdulo.

9

Dado um sistema de coordenadas cartesianas, o vetor posio r de um ponto A:(x, y, z) o vetor que tem como ponto inicial a origem (0, 0, 0) e que tem como ponto final o ponto A. Portanto, r = [x, y, z].

VETORES E ESCALARES

10

VETORES E ESCALARESTeorema 1: Dado um sistema fixo de coordenadas cartesianas, cada vetor determinado de forma nica por seu trio ordenado de componentes correspondentes. De modo inverso, cada trio ordenado de nmeros reais (a1, a2, a3) corresponde exatamente um vetor a = [a1, a2, a3], com (0, 0, 0) correspondendo ao vetor nulo 0, que possui mdulo zero e no tem direo.Logo, uma equao vetorial a = b equivale a 3 equaes a1=b1, a2=b2 e a3=b3, para as componentes.

11

* Adio de vetores, multiplicao escalar- Adio de vetores : A soma a + b de dois vetores

a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3] obtida pela adio das componentes correspondentes:

VETORES E ESCALARES

12

No caso de foras, essa adio a regra do paralelogramo, pela qual obtemos a resultante de duas foras em mecnica.

VETORES E ESCALARES

13

VETORES E ESCALARES- Propriedades bsicas da adio vetorial : A adio de vetores

obedece s seguintes leis:

ComutatividadeAssociatividade

14

VETORES E ESCALARES- Multiplicao escalar : O produto ca de um vetor

a = [a1, a2, a3] e um escalar c qualquer (nmero real c) o vetor obtido multiplicando-se cada componente de a por c

Geometricamente, se a 0, ento ca, com c > 0 tem a direo de a e com c < 0 tem a direo oposta. Em ambos os casos, o mdulo de ca |ca|, e ca = 0, se a = 0, ou c = 0, ou ambos.

15

VETORES E ESCALARES- Propriedades bsicas da multiplicao escalar

- Vetores Unitrios i, j, k: Alm de a = [a1, a2, a3], outra maneira usual de escrever vetores :

Onde:

16

VETORES E ESCALARES- Notao ijk para vetores: considerando a = [4, 0, 1] e b = [2, -5, ], podemos representar esses vetores como sendo: a = 4i + k e b = 2i - 5j + k

Todos os vetores a = [a1, a2, a3] = a1i + a2j + a3k formam o espao vetorial R3. R3 tem dimenso 3. O trio de vetores i, j, k chamado de base cannica de R3.

17

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Produto escalar ou produto interno

O produto escalar a.b (l-se a escalar b) de dois vetores a e b o produto de seus mdulos vezes o cosseno do ngulo entre eles.

O ngulo , com 0 , entre a e b medido quando os pontos iniciais dos vetores coincidem.

18

PRODUTO ESCALAR E VETORIALEm componentes, a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3]

* Ortogonalidade: Como o cosseno pode ser positivo, negativo ou nulo, o mesmo pode ocorrer com o produto escalar.

Um vetor a chamado de ortogonal ao vetor b se a.b = 0. Ento b tambm ortogonal a a e dizemos a e b so vetores ortogonais.

19

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL

Teorema 2: O produto escalar de dois vetores no-nulos 0 se e somente se esses vetores so perpendiculares.

* Comprimento e ngulo: quando b = a, ento a.b fornece a.a = |a|2. Logo,

Da que para o ngulo entre 2 vetores no-nulos, resulta em:

20

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL

* Propriedades do produto escalar : considerando quaisquer vetores a, b e c e escalares q1 e q2:

21

PRODUTO ESCALAR E VETORIALA multiplicao escalar comutativa e distributiva com relao adio vetorial:

Alm disso, quando|cos | 1, temos que:

E tambm:

Distributividade

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Desigualdade triangular

Um clculo direto com produtos internos mostra que:

22

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Aplicaes do produto escalar :

- Trabalho realizado por uma fora:

23

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Aplicaes do produto escalar :

- Componente de uma fora em uma dada direo: pode-se usar o conceito de componente ou projeo de um vetor a na direo de um vetor b ( 0), definida por:

Portanto, p o comprimento da projeo ortogonal de a sobre uma linha reta l, paralela a b:

24

PRODUTO ESCALAR E VETORIALSe multiplicarmos p por |b|/|b| = 1, temos a.b no numerador:

Pode-se representar a projeo p de a na direo b e a projeo q = |b|.cos de b na direo a.

25

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Produto vetorial ou produto cruzado

O produto escalar resulta em um escalar, por outro lado, h aplicaes onde precisamos de um produto que resulte novamente em um vetor (Ex: estudos relacionados a rotaes).

Definio: O produto vetorial a x b (l-se a vetorial b) de dois vetores a e b o vetor v = a x b. Se a e b tm direes iguais ou opostas, ou se a = 0, ou b = 0, ento v = a x b = 0. Em qualquer outro caso, v tem o mdulo: |v| = |a x b| = |a||b|.sen.

26

PRODUTO ESCALAR E VETORIALConsiderando os vetores a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3], ento v = [v1, v2, v3] = a x b, tem as componentes:

27

PRODUTO ESCALAR E VETORIALSabendo-se que v = [v1, v2, v3] = v1i+v2j+v3k, podemos ver que ela a expanso do seguinte determinante simblico pela sua primeira linha.

Os produtos vetoriais das bases cannicas so os seguintes:

28

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Propriedades gerais do produto vetorial:

a) Para todo escalar l,

b) A multiplicao cruzada distributiva em relao adio vetorial:

c) A multiplicao cruzada no comutativa:

d) A multiplicao cruzada no associativa:

29

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Aplicaes do produto vetorial:

- Momento de uma fora: o momento m de uma fora p em relao a um ponto Q definido como o produto m = |p|d, onde d a distncia entre Q e a linha de ao L de p. Se r o vetor de Q at um ponto A qualquer sobre L, ento:

d = |r|.sen.

Como o ngulo entre r e p, vemos que m = |r x p|. O vetor m = r x p chamado vetor momento, ou vetor momento de p.

30

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Produto escalar triplo

O produto misto triplo de trs vetores a, b, c representado por (a b c) e definido por:

Em termos das componentes a = [a1, a2, a3], b = [b1, b2, b3] e c = [c1, c2, c3], podemos escrev-lo como um determinante de terceira ordem. Para isso, fazemos b x c = v = [v1, v2, v3]

31

PRODUTO ESCALAR E VETORIAL* Propriedades e aplicaes do produto escalar triplo

a) Na representao do produto escalar triplo, o ponto e a cruz podem ter suas posies invertidas:

b) Interpretao geomtrica: o valor absoluto (a b c) o volume do paraleleppedo que tem a, b, c como os vetores das bordas.

c) Independncia linear: 3 vetores R3 so linearmente independentes se e somente se seu produto escalar triplo 0

32

DIFERENCIAO